Формула иксов дискриминанта: Дискриминант. Формула дискриминанта.

Содержание

Формула дискриминанта через k

Формула №1:

b ± √D
x
= ————, где
D = b 2 – 4ac.
2
a

Латинской буквой D обозначают дискриминант.

Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Если D 0, то уравнение имеет два корня.

Пример . Решим уравнение 12x 2 + 7x + 1 = 0.

Сначала вычислим дискриминант.

D = b 2 – 4ac = 7 2 – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.

Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:

Находим оба значения x:

Формула №2.

Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

k ± √D1
x = ———
, где D1 = k 2 – ac
a

Пример . Решим уравнение 5x 2 – 16x + 3 = 0.

Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8, a = 5, c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D1:

Теперь находим оба значения x:

При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

Дискриминант квадратного уравнения – это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

  1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
  2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
  3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

так как она относится к формуле:

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8, D 2 — 6x + 9 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0, D = 0

Уравнение имеет всего один корень:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36, D > 0

Мы уже разобрали, как решать квадратные уравнения. Теперь давайте более подробно рассмотрим, что называют дискриминантом квадратного уравнения.

Вернемся к нашей формуле для нахожденя корней квадратного уравнения.

x1;2 =

−b ± √ b 2 − 4ac
2a

Выражение « b 2 − 4ac », которое находится под корнем, принято называть дискриминантом и обозначать буквой « D ».

По-другому, через дискриминант формулу нахождения корней квадратного уравнения можно записать так:

x1;2 =

, где « D = b 2 − 4ac »

По одной из версий термин «Дискриминант» произошел от латинского discriminantis, что означает «отличающий» или «различающий».

В зависимости от знака « D » (дискриминанта) квадратное уравнение может иметь два, один или ни одного корня. Рассмотрим все три случая.

I случай

D > 0
(дискриминант больше нуля)

D —> , где « D = b 2 − 4ac »
—> —> D = b 2 − 4ac
D = 5 2 − 4 · 2 · (−7)
D = 25 + 56
D = 81
D > 0

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x2 = −5 − 9 4 x1 = 4 4 x2 = −14 4 x1 = 1 x2 = −3 2 4 x1 = 1 x2 = −3 1 2

Ответ: x1 = 1; x2 = −3

Вывод: когда « D > 0 » в квадратном уравнении два корня .

II случай

D = 0
(дискриминант равен нулю)

16x 2 − 8x + 1 = 0

D = b 2 − 4ac
D = (−8) 2 − 4 · 16 · 1
D = 64 − 64
D = 0

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x =

x =

Ответ: x =

Вывод: когда « D = 0 » в квадратном уравнении один корень .

III случай

D
(дискриминант меньше нуля)

D = b 2 − 4ac
D = (−6) 2 − 4 · 9 · 2
D = 36 − 72
D = −36
D

x1;2 =

x1;2 =

Ответ: нет действительных корней

Вывод: когда « D » в квадратном уравнении нет корней .

Нахождение дискриминанта, формула, сравнение с нулём

Дискриминант — многозначный термин. В данной статье речь пойдёт о дискриминанте многочлена, который позволяет определить, есть ли у данного многочлена действительные решения. Формула для квадратного многочлена встречается в школьном курсе алгебры и анализа. Как найти дискриминант? Что нужно для решения уравнения?

Квадратный многочлен, как искать его корни

Квадратным многочленом или уравнением второй степени называется i * w ^ 2 + j * w + k равный 0, где «i» и «j» — первый и второй коэффициент соответственно, «k» — константа, которую иногда именуют «свободным членом», а «w» — переменная. Его корнями окажутся все значения переменной, при которых оно превращается в тождество. Такое равенство допустимо переписать, как произведение i, (w — w1) и (w — w2) равное 0. В этом случае очевидно, что если коэффициент «i» не обращается в ноль, то функция в левой части станет нулевой только в случае, если x принимает значение w1 или w2. Эти значения являются результатом приравнивания многочлена к нулю.

Для нахождения значения переменной, при котором квадратный многочлен обращается в ноль, используется вспомогательная конструкция, построенная на его коэффициентах и названная дискриминантом. Эта конструкция рассчитывается согласно формуле D равняется j * j — 4 * i * k. Зачем она используется?

  1. Она говорит, имеются ли действительные результаты.
  2. Она помогает их высчитать.

Как это значение показывает наличие вещественных корней:

  • Если оно положительное, то можно найти два корня в области действительных чисел.
  • Если дискриминант равен нулю, то оба решения совпадают. (1/2).
  • Нахождение результата в соответствии с формулой (-j +/- d) / (2 * i).
  • Подстановка полученного результата в исходное равенство для проверки.
  • Некоторые частные случаи

    В зависимости от коэффициентов решение может несколько упрощаться. Очевидно, что если коэффициент перед переменной во второй степени равен нулю, то получается линейное равенство. Когда коэффициент перед переменной в первой степени нулевой, то возможны два варианта:

    1. многочлен раскладывается в разность квадратов при отрицательном свободном члене;
    2. при положительной константе действительных решений найти нельзя.

    Если свободный член нулевой, то корни будут {0; -j}

    Но есть и другие частные случаи, упрощающие нахождение решения.

    Приведенное уравнение второй степени

    Приведенным именуют такой квадратный трёхчлен, где коэффициент перед старшим членом — единица. Для данной ситуации применима теорема Виета, гласящая, что сумма корней равняется коэффициенту при переменной в первой степени, помноженному на -1, а произведение соответствует константе «k». 2-4*a*c.

    2. В зависимости от значения дискриминанта вычислить корни по формулам:

    D<0, корней нет.

    D=0, x=(-b/(2*a)

    D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

    Данный алгоритм универсален и подходит для решения любых квадратных уравнений. Полных и не полных, приведенных и неприведенных.

    Нужна помощь в учебе?

    Предыдущая тема: Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
    Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРешение задач с помощью квадратных уравнений: алгоритм и примеры

    Решение полных квадратных уравнений

    Покажем, как вывести эти формулы:

    Последнюю формулу можно существенно упростить в случае, если b делится на 2, то есть b = 2k. Тогда формула для корней квадратного уравнения будет иметь вид

    ,
    где k =

    .

    Полученную формулу для корней квадратного уравнения в случае четного коэффициента b можно переписать и без использования буквы k:

    или
    , где D1 = (

    )2 — ac.

    Очевидно, полученные формулы для корней полных квадратных уравнений можно использовать и для решения неполных уравнений, хотя проще использовать способы решения неполных квадратных уравнений.

    Пример 1. Решить квадратное уравнение 4x2 -28x + 49 = 0.

    Решение.

    Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 4, b = -28, c = 49.

    Так как b = -28 — четное число, то вычислим дискриминант D1 :

    D1 = (

    )2 — ac = (-14)2 — 4*49 = 196 — 196 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень
    x = .

    Это уравнение также можно решить без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:

    4x2 -28x + 49 = 0 (2x — 7)2 = 0 2x = 7 x =

    .

    Ответ:

    .

    Пример 2. Решить уравнение .

    Решение.

    Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:

    Умножив обе части уравнения на -6, получим x2 + 3x = 0. Это неполное квадратное уравнение решим способом разложения на множители:

    .

    Ответ: -3,0.

    Пример 3. Решить уравнение .

    Решение.
    Приведем к общему знаменателю левую часть и правую части уравнения:

    .

    Умножив обе части уравнения на 15, получим:

    6x2 + 3x = 20x-10 6x2 + 3x — 20x + 10 = 0 6x2 — 17x + 10 = 0.

    Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 6, b = -17, c = 10,
    D = b2 — 4ac = (-17)2 — 4*6*10 = 289 — 240 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

    Ответ:

    , 2.

    Пример 4. Решить уравнение .

    Решение.

    Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 2√2, c = 1.

    Так как b = 2√2, то есть b делится на 2 (

    = √2), вычислим дискриминант D1:

    D1 = (

    )2 — ac = (√2)2 — 1*1 = 1 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

    Ответ: -√2-1, -√2+1.

    Пример 5. Решить уравнение .

    Решение.

    Умножим левую и правую части уравнения на 6:

    Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена. У нас a = 3, b = -6, c = 2.

    Так как b = -6, то есть b делится на 2 (

    = 3), вычислим дискриминант D1:

    D1 = (b/2)2 — ac = 32 — 3*2 = 3 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

    Ответ:

    Формула решения приведенного квадратного уравнения. Квадратные уравнения

    Уравнение вида

    Выражение D
    = b
    2
    — 4 ac
    называют дискриминантом
    квадратного уравнения. Если
    D
    = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D
    > 0, то уравнение имеет два действительных корня.

    В случае, когда D
    = 0
    , иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.
    Используя обозначение D
    = b
    2
    — 4 ac
    , можно переписать формулу (2) в виде

    Если b
    = 2 k
    , то формула (2) принимает вид:

    где k
    = b
    / 2
    .
    Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b
    / 2
    — целое число, т.е. коэффициент b
    — четное число.
    Пример 1:
    Решить уравнение 2
    x
    2

    5 x
    +
    2
    =
    0
    . Здесь a = 2, b = -5, c = 2
    . Имеем D
    = b
    2

    4 ac
    =
    (-5) 2-
    4*2*2
    =
    9
    . Так как D
    >
    0
    , то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле (2)

    Итак x
    1
    =(5 + 3) / 4 = 2, x
    2
    =(5 — 3) / 4 = 1 / 2
    ,
    то есть x
    1
    =
    2
    и x
    2
    =
    1
    /
    2
    — корни заданного уравнения.
    Пример 2:
    Решить уравнение 2
    x
    2
    — 3 x
    + 5 = 0
    . Здесь a = 2, b = -3, c = 5
    . Находим дискриминант D
    = b
    2

    4 ac
    =
    (-3) 2- 4*2*5 = -31
    . Так как D
    0
    , то уравнение не имеет действительных корней.

    Неполные квадратные уравнения.

    Если в квадратном уравнении ax
    2
    + bx
    + c
    =0
    второй коэффициент b
    или свободный член c
    равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным
    . Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.
    Пример 1:
    решить уравнение 2
    x
    2
    — 5 x
    = 0
    .
    Имеем x
    (2 x
    — 5) = 0
    . Значит либо x
    = 0
    , либо 2
    x
    — 5 = 0
    , то есть x
    =
    2.5
    . Итак, уравнение имеет два корня: 0
    и 2.5

    Пример 2:
    решить уравнение 3
    x
    2
    — 27 = 0
    .
    Имеем 3
    x
    2
    = 27
    . Следовательно корни данного уравнения — 3
    и -3
    .

    Теорема Виета.

    Если приведенное квадратное уравнение x
    2
    + px
    + q
    =0
    имеет действительные корни, то их сумма равна
    p
    , а произведение равно q
    , то есть

    x 1 + x 2 = -p ,
    x 1 x 2 = q

    (сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

    Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

    С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

    Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0
    , где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

    D = b 2 – 4ас.

    В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

    Если дискриминант отрицательное число (D

    Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

    тогда х 1 = (-b — √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

    Например. Решить уравнение х 2
    – 4х + 4= 0.

    D = 4 2 – 4 · 4 = 0

    x = (- (-4))/2 = 2

    Ответ: 2.

    Решить уравнение 2х 2

    + х + 3 = 0.

    D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

    Ответ: корней нет
    .

    Решить уравнение 2х 2

    + 5х – 7 = 0
    .

    D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

    х 1 = (-5 — √81)/(2·2)= (-5 — 9)/4= – 3,5

    х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

    Ответ: – 3,5 ; 1
    .

    Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

    По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

    ах 2


    + bx + c,
    иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

    а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

    D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

    Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2



    , затем с меньшим
    bx
    , а затем свободный член с.

    При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

    Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2



    равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0
    . Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а
    , стоящий при х 2



    .

    На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
    уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

    Пример. Решить уравнение

    3х 2



    + 6х – 6 = 0.

    Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

    D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

    √D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

    х 1 = (-6 — 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

    х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

    Ответ: –1 – √3; –1 + √3

    Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

    √(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

    х 1 = (-3 — 3√3)/3 = (3 (-1 — √(3)))/3 = – 1 – √3

    х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

    Ответ: –1 – √3; –1 + √3
    . Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
    уравнения рисунок 3.

    D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

    √(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

    х 1 = (-2 — 2√3)/2 = (2 (-1 — √(3)))/2 = – 1 – √3

    х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

    Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

    Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

    сайт,
    при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно «не очень…»
    И для тех, кто «очень даже…»)

    Виды квадратных уравнений

    Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение
    ключевым словом является «квадратное».
    Оно означает, что в уравнении обязательно
    должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член).
    И не должно быть иксов в степени, больше двойки.

    Говоря математическим языком, квадратное уравнение — это уравнение вида:

    Здесь a, b и с
    – какие-то числа. b и c
    – совсем любые, а а
    – любое, кроме нуля. Например:

    Здесь а
    =1; b
    = 3; c
    = -4

    Здесь а
    =2; b
    = -0,5; c
    = 2,2

    Здесь а
    =-3; b
    = 6; c
    = -18

    Ну, вы поняли…

    В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор
    членов. Икс в квадрате с коэффициентом а,
    икс в первой степени с коэффициентом b
    и свободный член с.

    Такие квадратные уравнения называются полными.

    А если b
    = 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени.
    От умножения на ноль такое случается.) Получается, например:

    5х 2 -25 = 0,

    2х 2 -6х=0,

    -х 2 +4х=0

    И т.п. А если уж оба коэффицента, b
    и c
    равны нулю, то всё ещё проще:

    2х 2 =0,

    -0,3х 2 =0

    Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями.
    Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.

    Кстати, почему а
    не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а
    нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе…

    Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные.

    Решение квадратных уравнений.

    Решение полных квадратных уравнений.

    Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду:

    Если уравнение вам дано уже в таком виде — первый этап делать не нужно.) Главное — правильно определить все коэффициенты, а
    , b
    и c
    .

    Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

    Выражение под знаком корня называется дискриминант
    . Но о нём — ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с
    .
    Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с
    в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками!

    Например, в уравнении:

    а
    =1; b
    = 3; c
    = -4. Вот и записываем:

    Пример практически решён:

    Это ответ.

    Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…

    Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с
    . Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте
    !

    Предположим, надо вот такой примерчик решить:

    Здесь a
    = -6;
    b
    = -5;
    c
    = -1

    Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

    Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится
    . Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

    Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно?
    Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

    Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

    Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения
    .

    Решение неполных квадратных уравнений.

    Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с
    .

    Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4;
    а c
    ? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0

    ! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c,
    и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с
    , а b
    !

    Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

    И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
    Не получается? То-то…
    Следовательно, можно уверенно записать:
    х 1 = 0
    , х 2 = 4
    .

    Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым — абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1
    — то, что меньше, а х 2
    — то, что больше.

    Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

    Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

    Тоже два корня.
    х 1 = -3
    , х 2 = 3
    .

    Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
    Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

    Дискриминант. Формула дискриминанта.

    Волшебное слово дискриминант

    ! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых
    квадратных уравнений:

    Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D
    . Формула дискриминанта:

    D = b 2 — 4ac

    И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта?
    Ведь -b,
    или 2a
    в этой формуле специально никак не называют… Буквы и буквы.

    Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.

    1. Дискриминант положительный.
    Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

    2. Дискриминант равен нулю.
    Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых
    . Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.

    3. Дискриминант отрицательный.
    Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

    Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта
    не обойтись. Особенно — в уравнениях с параметрами. Такие уравнения — высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!)

    Итак, как решать квадратные уравнения
    через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с
    . Умеете внимательно
    подставлять их в формулу корней и внимательно
    считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

    А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

    Приём первый

    . Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
    Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

    Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с.
    Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

    И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

    А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно.
    У вас должны получиться корни 2 и -1.

    Приём второй.

    Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее
    уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1
    , проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком

    . Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку.

    Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b
    с противоположным

    знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b
    , который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
    Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1.
    Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

    Приём третий

    . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке «Как решать уравнения? Тождественные преобразования». При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

    Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

    Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

    Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

    Итак, подытожим тему.

    Практические советы:

    1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно
    .

    2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

    3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

    4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

    Теперь можно и порешать.)

    Решить уравнения:

    8х 2 — 6x + 1 = 0

    х 2 + 3x + 8 = 0

    х 2 — 4x + 4 = 0

    (х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

    Ответы (в беспорядке):

    х 1 = 0

    х 2 = 5

    х 1,2 =
    2

    х 1 = 2

    х 2 = -0,5

    х — любое число

    х 1 = -3

    х 2 = 3

    решений нет

    х 1 = 0,25

    х 2 = 0,5

    Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения — не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные — нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно.

    Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные
    ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает!

    Если Вам нравится этот сайт…

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

    Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

    можно познакомиться с функциями и производными.

    », то есть
    уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным
    уравнением
    и как его решать.

    Что называют квадратным уравнением

    Важно!

    Степень уравнения определяют по наибольшей
    степени, в которой
    стоит неизвестное.

    Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2
    »,
    значит, перед вами квадратное
    уравнение.

    Примеры квадратных уравнений

    • 5x 2 − 14x + 17 = 0
    • −x 2 + x + = 0
    • x 2 + 0,25x = 0
    • x 2 − 8 = 0

    Важно!

    Общий вид квадратного уравнения выглядит так:

    A
    x 2 + b
    x + c
    = 0

    «a
    », «b
    » и «c
    » — заданные числа.

    • «a
      » — первый или старший коэффициент;
    • «b
      » — второй коэффициент;
    • «c
      » — свободный член.

    Чтобы найти «a
    », «b
    » и «c
    »
    нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения
    «ax 2 + bx + c = 0
    ».

    Давайте потренируемся определять
    коэффициенты «a
    », «b
    »
    и «c
    » в квадратных уравнениях.

    5x 2 − 14x + 17 = 0

    −7x 2 − 13x + 8 = 0

    −x 2 + x + = 0

    x 2 + 0,25x = 0

    Уравнение Коэффициенты
    • a = −7
    • b = −13
    • с = 8
    x 2 − 8 = 0

    Как решать квадратные уравнения

    В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная
    формула для нахождения корней
    .

    Запомните!

    Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

    • привести квадратное уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0
      ».
      То есть в правой части должен остаться только «0
      »;
    • использовать формулу для корней:

    Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

    X 2 − 3x − 4 = 0

    Уравнение «
    x 2 − 3x − 4 = 0
    » уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0
    » и не требует дополнительных упрощений.
    Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения
    .

    Определим коэффициенты «a
    », «b
    » и
    «c
    » для этого уравнения.

    x 1;2 =
    x 1;2 =
    x 1;2 =
    x 1;2 =

    С её помощью решается любое
    квадратное уравнение.

    В формуле «x 1;2 =
    » часто заменяют подкоренное выражение
    «b 2 − 4ac
    » на букву «D
    » и называют
    дискриминантом
    . Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке
    «Что такое дискриминант ».

    Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

    x 2 + 9 + x = 7x

    В данном виде определить коэффициенты «a
    », «b
    » и
    «c
    » довольно сложно.
    Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0
    ».

    X 2 + 9 + x = 7x
    x 2 + 9 + x − 7x = 0
    x 2 + 9 − 6x = 0
    x 2 − 6x + 9 = 0

    Теперь можно использовать формулу для корней.

    X 1;2 =
    x 1;2 =
    x 1;2 =
    x 1;2 =
    x =

    x = 3

    Ответ: x = 3

    Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем
    оказывается отрицательное число.

    В данной статье мы рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

    Но сначала повторим какие уравнения называются квадратными. Уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где х – переменная, а коэффициенты а, b и с некоторые числа, причем а ≠ 0, называется квадратным
    . Как мы видим коэффициент при х 2 не равен нулю, а следовательно коэффициенты при х или свободный член могут равняться нулю, в этом случае мы и получаем неполное квадратное уравнение.

    Неполные квадратные уравнения бывают трех видов
    :

    1) Если b = 0, с ≠ 0, то ах 2 + с = 0;

    2) Если b ≠ 0, с = 0, то ах 2 + bх = 0;

    3) Если b= 0, с = 0, то ах 2 = 0.

    • Давайте разберемся как решаются уравнения вида ах 2 + с = 0.

    Чтобы решить уравнение перенесем свободный член с в правую часть уравнения, получим

    ах 2 = ‒с. Так как а ≠ 0, то разделим обе части уравнения на а, тогда х 2 = ‒с/а.

    Если ‒с/а > 0 , то уравнение имеет два корня

    x = ±√(–c/a)
    .

    Если же ‒c/a

    Давайте попробуем разобраться на примерах, как решать такие уравнения.

    Пример 1
    . Решите уравнение 2х 2 ‒ 32 = 0.

    Ответ: х 1 = ‒ 4, х 2 = 4.

    Пример 2
    . Решите уравнение 2х 2 + 8 = 0.

    Ответ: уравнение решений не имеет.

    • Разберемся как же решаются уравнения вида ах 2 + bх = 0.

    Чтобы решить уравнение ах 2 + bх = 0, разложим его на множители, то есть вынесем за скобки х, получим х(ах + b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда или х = 0, или ах + b = 0. Решая уравнение ах + b = 0, получим ах = ‒ b, откуда х = ‒ b/a. Уравнение вида ах 2 + bх = 0, всегда имеет два корня х 1 = 0 и х 2 = ‒ b/a. Посмотрите как выглядит на схеме решение уравнений этого вида.

    Закрепим наши знания на конкретном примере.

    Пример 3
    . Решить уравнение 3х 2 ‒ 12х = 0.

    х(3х ‒ 12) = 0

    х= 0 или 3х – 12 = 0

    Ответ: х 1 = 0, х 2 = 4.

    • Уравнения третьего вида ах 2 = 0
      решаются очень просто.

    Если ах 2 = 0, то х 2 = 0. Уравнение имеет два равных корня х 1 = 0, х 2 = 0.

    Для наглядности рассмотрим схему.

    Убедимся при решении примера 4, что уравнения этого вида решаются очень просто.

    Пример 4.
    Решить уравнение 7х 2 = 0.

    Ответ: х 1, 2 = 0.

    Не всегда сразу понятно какой вид неполного квадратного уравнения нам предстоит решить. Рассмотрим следующий пример.

    Пример 5.
    Решить уравнение

    Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 30

    Сократим

    5(5х 2 + 9) – 6(4х 2 – 9) = 90.

    Раскроем скобки

    25х 2 + 45 – 24х 2 + 54 = 90.

    Приведем подобные

    Перенесем 99 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный

    Ответ: корней нет.

    Мы разобрали как решаются неполные квадратные уравнения. Надеюсь, теперь у вас не будет сложностей с подобными заданиями. Будьте внимательны при определении вида неполного квадратного уравнения, тогда у вас все получится.

    Если у вас появились вопросы по данной теме, записывайтесь на мои уроки , мы вместе решим возникшие проблемы.

    сайт,
    при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    1. Основы Kotlin. Простые функции — Страница 2 — Fandroid.info

    Математические функции

    В библиотеке Java определено большое количество математических функций, предназначенных для выполнения более сложных операций. Для примера их использования рассмотрим задачу решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.

    Напомним, что корни квадратного уравнения ищутся по формуле x1,2 = (-b ± √d) / (2a), где d — дискриминант квадратного уравнения — вычисляется как d = b2-4ac. Мы решим эту задачу в упрощённом виде — найти какой-нибудь из двух возможных корней, скажем, тот, в котором в числителе используется знак плюс.

    Для начала напишем функцию для расчёта дискриминанта (она ещё пригодится нам в будущем). Для расчёта b2применим уже написанную выше функцию sqr(x: Double).

    fun discriminant(a: Double, b: Double, c: Double) = sqr(b) — 4 * a * c



    fun discriminant(a: Double, b: Double, c: Double) = sqr(b) — 4 * a * c

    В приведённой записи b является аргументом функции sqr. Запись вида sqr(b) называется вызовом функции sqr. Подчеркнём отличие параметра и аргумента — параметр определяется внутри функции и имеет определённое имя, в данном случае x, а аргумент передаётся в функцию снаружи и может являться как именем переменной, так и более сложным выражением.

    Теперь напишем функцию для поиска корня квадратного уравнения. Для вычисления квадратного корня применим готовую математическую функцию sqrt(x: Double) из математической библиотеки Котлина.

    fun quadraticEquationRoot(a: Double, b: Double, c: Double) =
    (-b + kotlin.math.sqrt(discriminant(a, b, c))) / (2 * a)



    fun quadraticEquationRoot(a: Double, b: Double, c: Double) =

            (-b + kotlin.math.sqrt(discriminant(a, b, c))) / (2 * a)

    Здесь мы, в свою очередь, используем уже написанную функцию discriminant для поиска дискриминанта, и выражение discriminant(a, b, c), то есть дискриминант уравнения, является аргументом функции sqrt. Это как раз тот случай, когда аргумент является сложным выражением.

    Обратите внимание на нотацию kotlin.math. перед именем функции sqrt. Поскольку готовых функций существует очень много, они разбиты на так называемые пакеты и классы внутри пакетов. kotlin.math.sqrt является полнымименем функции вычисления квадратного корня, а sqrt — её коротким именем. Из-за неудобства работы с полными именами, чаще используется следующая запись:

    // Разрешение использовать короткие имена для ВСЕХ функций из пакета kotlin.math
    import kotlin.math.*

    fun quadraticEquationRoot(a: Double, b: Double, c: Double) =
    (-b + sqrt(discriminant(a, b, c))) / (2 * a)



    // Разрешение использовать короткие имена для ВСЕХ функций из пакета kotlin.math

    import kotlin. math.*

     

    fun quadraticEquationRoot(a: Double, b: Double, c: Double) =

            (-b + sqrt(discriminant(a, b, c))) / (2 * a)

    Здесь import — так называемая директива импорта имён, смысл её пояснён в комментарии.

    Примеры других функций из kotlin.math:

    • abs(x: Int) или abs(x: Double) — модуль;
    • sqrt(x: Double) — квадратный корень;
    • Double.pow(x: Double) — возведение в степень xy, используется как x.pow(y);
    • sin(x: Double) — синус, cos(x: Double) — косинус, tan(x: Double) — тангенс, все три функции считают, что x задан в радианах;
    • exp(x: Double) — экспонента ex;
    • log(x: Double), log10(x: Double) — соответственно натуральный и десятичный логарифм;
    • min(x: Int, y: Int) или min(x: Double, y: Double) — минимум из двух чисел;
    • max(x: Int, y: Int) или max(x: Double, y: Double) — максимум из двух чисел.

    В том же пакете kotlin.math определены константы PI = 3.14…​ и E = 2.718…​

    Переменные в функциях

    Выше мы рассмотрели примеры с функциями sqrdiscriminant и sqRoot, вычисление результата в которых занимало одну строчку кода. Однако, в программировании это скорее редкий случай; гораздо чаще расчёт результата функции предполагает реализацию некоторой последовательности вычислений — алгоритма. Для сохранения результатов промежуточных вычислений программисты придумали переменные.

    Рассмотрим, например, задачу вычисления произведения двух корней квадратного уравнения. Напомним, что корни квадратного уравнения вычисляются как (-b+√d)/(2a) и (-b-√d)/(2a) соответственно, где d — дискриминант квадратного уравнения. При вычислении произведения удобно вначале сохранить вычисленный корень из дискриминанта в переменной sd, так как он используется при вычислении обоих корней. Затем нужно вычислить оба корня x1 и x2и уже потом рассчитать их произведение. На Котлине это записывается следующим образом:

    fun quadraticRootProduct(a: Double, b: Double, c: Double): Double /* тип обязателен */ {
    // Тело функции в виде блока
    val sd = sqrt(discriminant(a, b, c))
    val x1 = (-b + sd) / (2 * a)
    val x2 = (-b — sd) / (2 * a)
    return x1 * x2 // Результат
    }



    fun quadraticRootProduct(a: Double, b: Double, c: Double): Double /* тип обязателен */ {

        // Тело функции в виде блока

        val sd = sqrt(discriminant(a, b, c))

        val x1 = (-b + sd) / (2 * a)

        val x2 = (-b — sd) / (2 * a)

        return x1 * x2 // Результат

    }

    В этом примере тело функции записано в виде блока в фигурных скобках, в противоположность телу в виде выражения — как в функциях sqr и discriminant выше. Знак равенства при этом убирается и обязательно указывается тип результата функции. В примере присутствуют три промежуточные переменные — dx1x2. Определение промежуточной переменной в Котлине начинается с ключевого слова val (сокращение от value — значение), за которым следует имя переменной и, после знака равенства — её значение. При желании можно также указать тип переменной, например:

    // …
    val sd: Double = sqrt(discriminant(a, b, c))



        // …

        val sd: Double = sqrt(discriminant(a, b, c))

    Если тип переменной не указан, он определяется автоматически, например, в данном случае он совпадёт с типом результата функции sqrt.

    Блок состоит из так называемых операторов (в примере их четыре), выполняющихся по порядку сверху вниз.  Преждечем использовать какую-либо переменную, её следует определить. Например, такая запись привела бы к ошибке:

    fun quadraticRootProduct(a: Double, b: Double, c: Double): Double {
    val x1 = (-b + sd) / (2 * a) // Unresolved reference: sd
    val x2 = (-b — sd) / (2 * a) // Unresolved reference: sd
    val sd = sqrt(discriminant(a, b, c))
    return x1 * x2 // Результат
    }



    fun quadraticRootProduct(a: Double, b: Double, c: Double): Double {

        val x1 = (-b + sd) / (2 * a) // Unresolved reference: sd

        val x2 = (-b — sd) / (2 * a) // Unresolved reference: sd

        val sd = sqrt(discriminant(a, b, c))

        return x1 * x2 // Результат

    }

    Последний оператор функции, начинающийся с ключевого слова return, определяет значение её результата; returnпереводится с английского как вернуть (результат). Функция quadraticRootProduct в первую очередь вычислит значение переменной sd, используя другие функции discriminant и sqrt. Затем произойдёт вычисление переменных x1 и x2 и лишь в конце — вычисление результата в операторе return.

    Для сравнения, приведём запись той же функции, не использующей переменные:

    fun quadraticRootProduct(a: Double, b: Double, c: Double) =
    ((-b + sqrt(discriminant(a, b, c))) / (2 * a)) * ((-b — sqrt(discriminant(a, b, c))) / (2 * a))



    fun quadraticRootProduct(a: Double, b: Double, c: Double) =

            ((-b + sqrt(discriminant(a, b, c))) / (2 * a)) * ((-b — sqrt(discriminant(a, b, c))) / (2 * a))

    Хотя и записанная в одну строчку, такая функция является гораздо менее понятной, при её написании легко запутаться при расстановке скобок. Кроме того, в ней происходит двухкратное вычисление корня из дискриминанта, чего следует избегать.

    Страницы: 1 2 3 4

    Квадратное уравнение

    Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем  решение такого уравнения. Но что-то мне  подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

    Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

    Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

    Квадратное уравнение.

    Квадратичная функция.

    Дискриминант отрицательный. Решение есть!

    Неполные квадратные уравнения.

    Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

    Теорема Виета.

    Квадратное уравнение и ЕГЭ.

    Квадратное уравнение – это уравнение вида:

    где коэффициенты a,b и с произвольные числа, при чём a≠0.

    В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

    1. Имеют два корня.

    2. *Имеют только один корень.

    3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

    Пусть пока  будет так. *Далее поясню, некорректность второго пункта.

    Как вычисляются корни? Просто!

    Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

    Формулы корней имеют следующий вид:

    *Эти формулы нужно знать наизусть.

    Можно сразу записывать и решать:

    Пример:

    Далее не трудно заметить, что число корней зависит от этого самого дискриминанта:

    1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

    2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

    3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

    Давайте рассмотрим уравнение:

    По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

    Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

    х1= 3      х2= 3

    Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

    Теперь следующий пример:

    Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

    Вот и весь процесс решения.

    Квадратичная функция.

    Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

    Это функция вида:

    где х и у — переменные 

    a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

    Графиком является парабола:

    То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

    Рассмотрим примеры:

    Пример 1: Решить  2x2+8x–192=0

    а=2   b=8   c= –192

    D = b2–4ac = 82–4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

    Ответ: х1= 8   х2= –12 

    *Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

    Пример 2: Решить  x2–22x+121 = 0

    а=1   b=–22   c=121

    D = b2–4ac =(–22)2–4∙1∙121 = 484–484 = 0

    Получили, что  х1= 11  и   х2= 11 

    В ответе допустимо записать х = 11.

    Ответ: х = 11

    Пример 3: Решить  x2–8x+72 = 0

    а=1   b= –8   c=72

    D = b2–4ac =(–8)2–4∙1∙72 = 64–288 = –224

    Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

    Ответ: решения нет

    Дискриминант отрицательный. Решение есть!

    Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

    Понятие комплексного числа.

    Рекомендация: не пытайтесь представить комплексное число в реальной жизни, это всё равно, что представить бесконечность, четвёртое измерение или что-то сверх нашего сознания.

    Немного теории.

    Комплексным числом z называется число вида

    z = a + bi

    где a и b  – действительные числа, i  – так называемая мнимая единица.

    a+bi – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение.

    Мнимая единица равна корню из минус единицы:

    Теперь рассмотрим уравнение:

    Получили два сопряжённых корня.

    Неполное квадратное уравнение.

    Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

    Случай 1. Коэффициент b = 0.

    Уравнение приобретает вид:

    Преобразуем:

    Пример:

    4x2–16 = 0     =>   4x2 =16     =>   x2 = 4    =>      x1 = 2     x2 = –2

    Случай 2. Коэффициент с = 0.

    Уравнение приобретает вид:

    Преобразуем, раскладываем на множители:

    *Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

    Пример:

    9x2–45x = 0   =>   9x (x–5) =0   =>   x = 0   или   x–5 =0

    x1 = 0     x2 = 5

    Случай 3. Коэффициенты   b = 0   и   c = 0.

    Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

    Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

    Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

    — если для коэффициентов уравнения аx2+bx+c=0  выполняется равенство

    a + b + с = 0, то

    — если для коэффициентов уравнения аx2+bx+c=0  выполняется равенство

    a + с = b, то

    Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

    Пример 1:   5001x2–4995x – 6=0

    Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит

    Пример 2:   2501x2+2507x+6=0

    Выполняется равенство a + с = b, значит

    Закономерности коэффициентов.

    1. Если в уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а2 +1), а коэффициент «с»  численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

    аx2 + (а2 +1)∙х+ а= 0    = >   х1= –а    х2= –1/a.

    Пример. Рассмотрим уравнение  6х2 +37х+6 = 0.

    х1= –6    х2= –1/6.

    2. Если в уравнении ax2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а2 +1),  а коэффициент «с»  численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

    аx2 – (а2 +1)∙х+ а= 0      = >   х1= а    х2= 1/a.

     Пример. Рассмотрим уравнение 15х2 –226х +15 = 0.

    х1= 15    х2= 1/15.

    3. Если в уравнении ax2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a», то его корни равны

    аx2 + (а2 –1)∙х – а= 0    = >    х1= – а    х2= 1/a.

    Пример. Рассмотрим уравнение 17х2 +288х – 17 = 0.

    х1= – 17    х2= 1/17.

    4. Если в уравнении  ax2 – bx – c = 0  коэффициент «b» равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

    аx2 –  (а2 –1)∙х – а= 0      = >   х1=  а    х2= – 1/a.

    Пример. Рассмотрим уравнение 10х2– 99х –10 = 0.

    х1= 10    х2= – 1/10

    Теорема Виета.

    Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

    Теорема: Пусть квадратное уравнение  aх2 + bx + c = 0   имеет корни  хи  х2, тогда справедливы формулы Виета

    Доказательство:

    Пример. Рассмотрим уравнение  х2– 14х + 45 = 0.  Запишем a=1   b= –14   c=45.

    Ответ определить  несложно, возможны следующие варианты произведений

    45 = 1∙45    45 = 3∙15    45 = 5∙9.

    В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

    Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда. 

    СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

    При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

    Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

    2х2 – 11х+5 = 0  (1)      =>     х2 – 11х+10 = 0  (2)     

    По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что  х1 = 10  х2 = 1

    Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х2 «перебрасывали» двойку), получим

    х1 = 5  х2 = 0,5.

    Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

    Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

    Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х2:

    У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

    Потому результат и делим на 2.

    *Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

    Ответ: х1 = 5  х2 = 0,5

     

    Кв. ур-ие и ЕГЭ.

    О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий  ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

    Что стоит отметить!

    1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись: 

    15+ 9x2— 45x = 0  или  15х+42+9x2— 45x=0  или   15 -5x+10x2 = 0.

    Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

    2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h    и прочими.

    3. Если получите большой дискриминант, то посмотрите как можно извлечь такой корень без калькулятора.

    На этом всё. Надеюсь, статья была для вас полезной.

    Получить материал статьи в формате PDF

    С уважением, Александр Крутицких.

    P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

    Квадратичная формула — объяснение и примеры

    К настоящему времени вы знаете, как решать квадратные уравнения с помощью таких методов, как завершение квадрата, разность квадрата и формула трехчлена полного квадрата.

    В этой статье мы узнаем, как решать квадратные уравнения, используя два метода: , а именно квадратную формулу и графический метод . Прежде чем мы углубимся в эту тему, давайте вспомним, что такое квадратное уравнение.

    Что такое квадратное уравнение?

    Квадратное уравнение в математике определяется как многочлен второй степени, стандартная форма которого — ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c — числовые коэффициенты, а a 0.

    Термин второй степени означает, что хотя бы один член в уравнении возведен в степень двойки. В квадратном уравнении переменная x является неизвестным значением, для которого нам нужно найти решение.

    Примеры квадратных уравнений: 6x² + 11x — 35 = 0, 2x² — 4x — 2 = 0, 2x² — 64 = 0, x² — 16 = 0, x² — 7x = 0, 2x² + 8x = 0 и т. Д.Из этих примеров вы можете заметить, что в некоторых квадратных уравнениях отсутствуют члены «c» и «bx».

    Как пользоваться формулой корней квадратного уравнения?

    Предположим, что ax 2 + bx + c = 0 — наше стандартное квадратное уравнение. Мы можем вывести квадратную формулу, заполнив квадрат, как показано ниже.

    Выделите член c в правой части уравнения

    ax 2 + bx = -c

    Разделите каждый член на a.

    x 2 + bx / a = -c / a

    Выразить в виде полного квадрата
    x 2 + b x / a + (b / 2a) 2 = — c / a + (b / 2a) 2

    (x + b / 2a) 2 = (-4ac + b 2 ) / 4a 2

    (x + b / 2a) = ± √ (-4ac + b 2 ) / 2a

    x = — b / 2a ± √ (b 2 — 4ac) / 2a

    x = [- b ± √ (b 2 — 4ac)] / 2a …… …. (Это квадратная формула)

    Наличие плюса (+) и минуса (-) в квадратной формуле означает, что существует два решения, например:

    x 1 = (-b + √b2 — 4ac) / 2a

    AND,

    x 2 = (-b — √b2 — 4ac) / 2a

    Указанные выше два значения x известны как корни квадратного уравнения. Корни квадратного уравнения зависят от природы дискриминанта. Дискриминант является частью формулы корней квадратного уравнения в виде b 2 — 4 ас.Квадратное уравнение имеет два разных действительных корня дискриминанта.

    Когда значение дискриминанта равно нулю, уравнение будет иметь только один корень или решение. А если дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет действительного корня.

    Как решать квадратные уравнения?

    Давайте решим несколько примеров задач, используя формулу корней квадратного уравнения.

    Пример 1

    Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти корни x 2 -5x + 6 = 0.

    Решение

    Сравнение уравнения с общей формой ax 2 + bx + c = 0 дает

    a = 1, b = -5 и c = 6

    b 2 — 4ac = ( -5) 2-4 × 1 × 6 = 1

    Подставляем значения в формулу корней квадратного уравнения

    x 1 = (-b + √b2-4ac) / 2a

    ⇒ (5 + 1) / 2

    = 3

    x 2 = (-b — √b2-4ac) / 2a

    ⇒ (5 — 1) / 2

    = 2

    Пример 2

    Решите квадратное уравнение ниже используя квадратную формулу:

    3x 2 + 6x + 2 = 0

    Решение

    Сравнение задачи с общей формой квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 дает,

    a = 3 , b = 6 и c = 2

    x = [- b ± √ (b 2 — 4ac)] / 2a

    ⇒ [- 6 ± √ (6 2 — 4 * 3 * 2)] / 2 * 3

    ⇒ [- 6 ± √ (36-24)] / 6

    ⇒ [- 6 ± √ (1 2)] / 6

    x 1 = (-6 + 2√3) / 6

    ⇒ — (2/3) √3

    x 2 = (-6– 2√3) / 6

    ⇒ — (4/3) √3

    Пример 3

    Решить 5x 2 + 6x + 1 = 0

    Решение

    Сравнивая с квадратным уравнением, получаем

    a = 5, b = 6, c = 1

    Теперь примените квадратную формулу:

    x = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a

    Подставьте значения a, b и c

    ⇒ x = −6 ± √ (6 2 — 4 × 5 × 1) 2 × 5

    ⇒ x = −6 ± √ (36 — 20) 10

    ⇒ x = −6 ± √ (16) 10

    ⇒ x = −6 ± 410

    ⇒ x = — 0. 2, −1

    Пример 4

    Решить 5x 2 + 2x + 1 = 0

    Решение

    Коэффициенты:

    a = 5, b = 2, c = 1

    В данном случае дискриминант отрицательный:

    b 2 — 4ac = 2 2 — 4 × 5 × 1

    = −16

    Теперь примените формулу корней квадратного уравнения;

    x = (−2 ± √ −16) / 10

    ⇒√ (−16) = 4

    Где i — мнимое число √ − 1

    ⇒x = (−2 ± 4i) / 10

    Следовательно, x = −0.2 ± 0,4i

    Пример 5

    Решить x 2 — 4x + 6,25 = 0

    Решение

    Согласно стандартной форме квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, мы можем это наблюдать;

    a = 1, b = −4, c = 6,25

    Определите дискриминанты.

    b 2 — 4ac = (−4) 2 — 4 × 1 × 6,25

    = −9 ………………. (отрицательный дискриминант)

    ⇒ x = — (- 4) ± √ (−9) / 2

    ⇒ √ (−9) = 3i; где i — мнимое число √ − 1

    ⇒ x = (4 ± 3i) / 2

    Следовательно, x = 2 ± 1. 5i

    Как построить квадратное уравнение?

    Чтобы построить квадратное уравнение, выполните следующие действия:

    • Для квадратного уравнения перепишите уравнение, приравняв его к y или f (x)
    • Выберите произвольные значения x и y для построения кривой
    • Теперь изобразите функцию.
    • Считайте корни там, где кривая пересекает или касается оси x.

    Решение квадратных уравнений с помощью построения графиков

    Построение графиков — это еще один метод решения квадратных уравнений.Решение уравнения получается путем считывания отрезков x на графике.

    Есть три возможности при решении квадратных уравнений графическим методом:

    • Уравнение имеет один корень или решение, если точка пересечения по оси x на графике равна 1.
    • Уравнение с двумя корнями имеет 2 точки пересечения x
    • Если нет x-точек пересечения, то уравнение не имеет реальных решений.

    Давайте изобразим несколько примеров квадратных уравнений. В этих примерах мы нарисовали наши графики с помощью графического программного обеспечения, но чтобы вы хорошо поняли этот урок, нарисуйте свои графики вручную.

    Пример 1

    Решите уравнение x 2 + x — 3 = 0 графическим методом

    Решение

    Наши произвольные значения показаны в таблице ниже:

    x- точки пересечения равны x = 1,3 и x = –2,3. Следовательно, корни квадратного уравнения равны x = 1.3 и x = –2,3

    Пример 2

    Решите уравнение 6x — 9 — x 2 = 0.

    Решение

    Выберите произвольные значения x.

    Кривая касается оси x при x = 3. Следовательно, 6 x — 9 — x 2 = 0 имеет одно решение (x = 3).

    Пример 3

    Решите уравнение x 2 + 4x + 8 = 0 графическим методом.

    Решение

    Выберите произвольные значения x.

    В этом примере кривая не касается и не пересекает ось x. Следовательно, квадратное уравнение x 2 + 4x + 8 = 0 не имеет действительных корней.

    Практические вопросы

    Решите следующие квадратные уравнения, используя как квадратную формулу, так и графический метод:

    1. x 2 — 3x −10 = 0
    2. x 2 + 3x + 4 = 0
    3. x 2 −7x + 12 = 0
    4. x 2 + 14x + 45 = 0
    5. 9 + 7x = 7x 2
    6. x 2 + 4x + 4 = 0
    7. x 2 — 9x + 14 = 0
    8. 2x 2 — 3x = 0
    9. 4𝑥 2 — 4𝑥 + 5 = 0
    10. 4𝑥 2 — 8𝑥 + 1 = 0
    11. x 2 + 4x — 12 = 0
    12. 10x 2 + 7x — 12 = 0
    13. 10 + 6x — x 2 = 0
    14. 2x 2 + 8x — 25 = 0
    15. x 2 + 5x — 6 = 0
    16. 3x 2 — 27x + 9
    17. 15 — 10x — x 2
    18. 5x 2 + 10x + 15
    19. 24 + 12x — 2x 2
    20. x 2 −1 2x + 35 = 0

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Квадратичная формула — Бесплатная справка по математике

    Что такое квадратное уравнение?

    Квадратичная формула используется для решения очень специфического типа уравнения, называемого квадратным уравнением . 4 \) термины и т. Д. В них могут присутствовать или не присутствовать все три члена (\ (Bx \) или \ (C \) могут отсутствовать). Есть несколько вариантов решения квадратного уравнения относительно x, включая факторизацию или завершение квадрата. В этом уроке мы будем использовать квадратную формулу с метким названием , которая принимает три коэффициента (A, B и C) и предоставляет до двух решений, если они существуют.

    Первым шагом к использованию квадратной формулы будет определение трех коэффициентов: A, B и C. В приведенном выше уравнении они удобно расположены на одной стороне упрощенного уравнения.2 + 5x = -8 $$

    Решение уравнения относительно x

    Как бы вы решили это уравнение относительно x? Мы упростили его до стандартной формы, но нет очевидного способа преобразовать это уравнение в форму x =. Вот здесь и пригодится квадратичная формула!

    Квадратичная формула

    Квадратичная формула — это инструмент, который мы можем использовать для решения квадратных уравнений для любых возможных решений. В конце концов мы обнаружим, что на самом деле может быть несколько уникальных решений, а может и не быть ни одного.2-4ac}} {2a} $$

    Я знаю, это выглядит очень сложно. Как только вы будете использовать его много, вы выучите формулу наизусть, но до тех пор продолжайте практиковаться. На самом деле с использованием это не так уж и сложно — просто введите свои номера шаг за шагом. Мы уже научились находить три коэффициента A, B и C, и я сказал, что мы на полпути к решению. Теперь мы просто вставляем значения для A, B и C, и у нас остается два возможных решения для x, если они существуют. Почему два? Обратите внимание, что в формуле есть знак плюс / минус.2 + 12}} {2} $$
    $$ x = \ frac {-2 \ pm \ sqrt {16}} {2} $$
    $$ x = \ frac {-2 \ pm 4} {2} $$
    $$ x = \ frac {-2 + 4} {2} = 1 \ text {OR} $$
    $$ x = \ frac {-2-4} {2} = -3 $$

    Как видите, у нас есть два решения для этого уравнения. Может показаться странным, что x может быть двумя разными значениями, но попробуйте их оба в исходном уравнении, и вы увидите, что оба они работают! Как такое возможно? Квадратное уравнение — это не прямая линия, соединяющая каждый x с одним значением y. Если вы посмотрите на график этого типа уравнения, вы поймете, почему может быть 0, 1 или 2 решения.2 + 2x-3 = y \), поэтому мы можем изобразить его на графике. Если мы сделаем это, мы увидим, что квадратные уравнения на графике выглядят как параболы, и парабола, безусловно, может пересекать ось x дважды (что означает y = 0 в двух местах). Например, следующее изображение представляет собой график уравнения, которое мы только что решили. Видите, как он дважды пересекает ось абсцисс? Для двух разных значений x значение y равно 0. Это два решения. Если кончик параболы просто касается оси x, то у нас есть единственное решение. Если он никогда не пересечется, у нас нет решений.2-x + 1 \) и нарисуйте график, мы увидим почему. Нет случаев, когда y = 0:

    Квадратичная формула сложна, но если вы просто будете следовать инструкциям, у вас не будет проблем. Обязательно проверьте дискриминант, чтобы знать, сколько решений ожидать, и не забудьте знак +/-. Запоминание самой формулы может занять некоторое время, но это очень пригодится. 2} + bx + c, где a, b и c — действительные числа, но a \ ne 0.

  • Шаг 2: Переместите константу \ color {red} c в правую часть уравнения, вычтя обе части на \ color {red} c.
  • Шаг 3: Разделите все уравнение на коэффициент при квадрате члена, который равен \ large {a}.
  • Шаг 4: Теперь определите коэффициент линейного члена \ large {x}.
  • Шаг 5: Разделите его на 2 и возведите в 2-ю степень. Затем упростите его еще больше.
  • Шаг 6: Добавьте результат шага 5 к обеим сторонам уравнения.
  • Шаг 7: Упростите правую часть уравнения. Будьте осторожны, складывая дроби с разными знаменателями. Убедитесь, что вы нашли правильный наименьший общий знаменатель (ЖКД) при выполнении сложения.
  • Шаг 8: Выразите трехчлен в левой части уравнения как квадрат бинома.
  • Шаг 9: Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы исключить показатель степени 2 бинома.
  • Шаг 10: Упростить. Убедитесь, что вы добавили \ color {red} \ pm с правой стороны уравнения. В левой части больше нет силы 2.
  • Шаг 11: Сохраните переменную x слева, вычтя обе части на \ Large {b \ over {2a}}.
  • Шаг 12: Упростите, и готово!

Я надеюсь, что вы найдете пошаговое решение полезным в выяснении того, как квадратная формула выводится с использованием метода завершения квадрата.2-4ac $, как и в своем вопросе.

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения
Часть 3

Сегодня я хотел бы продолжить обсуждение дискриминанта квадратного уравнения. Вы можете просмотреть части 1 и 2 этого обсуждения здесь:

Дискриминант квадратного уравнения — Часть 1
Дискриминант квадратного уравнения — Часть 2

Напомним, что дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 — это величина Δ , определяемая

Δ = b 2 — 4 ac

То есть дискриминант — это просто выражение, которое появляется под квадратным корнем в формуле корней квадратного уравнения.

На прошлой неделе я попросил вас решить следующую задачу:

Пример: Найдите дискриминант x 2 + 8 x + 7 = 0 . Затем опишите характер корней уравнения и опишите график функции y = x 2 + 8 x + 7 .

Обязательно попробуйте решить эту проблему самостоятельно, прежде чем читать следующее решение.

Решение: В этом вопросе мы имеем a = 1, b = 8 и c = 7. Таким образом, дискриминант равен

.

Δ = b 2 — 4 ac = 8 2 — 4 (1) (7) = 64 — 28 = 36 .

Поскольку дискриминант положительный, два корня квадратного уравнения являются различными действительными числами. Кроме того, поскольку 36 — это полный квадрат (6 2 = 36), корни на самом деле рациональны.

График функции y = x 2 + 8 x + 7 — это направленная вверх парабола, которая пересекает ось x в двух точках.

Примечания: (1) В этом примере мы можем легко найти два корня уравнения путем факторизации:

x 2 + 8 x + 7 = 0
( x + 1) ( x + 7) = 0
x + 1 = 0 или x + 7 = 0
x = –1 или x = –7

Итак, два корня — –1 и –7.

(2) Мы знаем, что парабола открывается вверх, потому что a = 1> 0.

(3) Также очень легко найти точку пересечения и параболы. Мы просто подставляем 0 вместо x в уравнение. Таким образом, мы получаем y = 7. Отсюда следует, что пересечение параболы y — это точка (0,7).

Отрицательные дискриминанты

До сих пор мы рассматривали случаи, когда дискриминант равен 0 и положителен. Сегодня поговорим о том, что происходит, если дискриминант отрицательный.

Если дискриминант квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 отрицательный, то мы получаем отрицательное число под квадратным корнем в квадратной формуле. Квадратный корень отрицательного числа — это мнимое число. Таким образом, мы пришли к двум сложным решениям.

Графически, если дискриминант отрицательный, график функции y = ax 2 + bx + c является параболой, которая не пересекает x — ось.

Пример дается желтой параболой на изображении выше.

Пример: Найдите дискриминант x 2 + 4 x + 8 = 0 . Затем опишите характер корней уравнения и опишите график функции y = x 2 + 4 x + 8 .

Я опубликую решение этой проблемы завтра, а затем расскажу, что произойдет, если определитель будет отрицательным.Не стесняйтесь размещать свои собственные решения в комментариях.

Если вам понравилась эта статья, поделитесь ею со своими друзьями на Facebook:

Комментарии

комментария

Дискриминант квадратичной формулы

Дискриминант — это часть квадратичной формулы. Это позволяет нам определить, не решая квадратную формулу, как будут выглядеть решения. Положительный дискриминант означает, что существует два реальных решения, если он отрицательный, это означает, что реальных решений нет, а если он равен нулю, это означает, что существует только одно реальное решение.2 — 4 (1) (4) \\ = & \ quad 16 — 16 \\ = & \ quad 0 \ end {align} $$

Следовательно, поскольку дискриминант равен нулю, существует одно действительное решение для \ (x \).

Узнайте больше о наших темах Precalculus

Узнайте больше о наших темах о линейных и нелинейных уравнениях

Дискриминант

Дискриминант описывает характеристику корней многочленов. Он отличает разные многочлены одного типа друг от друга.

Существуют разные дискриминанты, используемые для разных степеней многочленов, но наиболее вероятно, что вы увидите, особенно в алгебре, b 2 — 4ac, который используется для описания числа решений квадратичной. Хотя это только один дискриминант, термин «дискриминант» часто используется для обозначения этого конкретного дискриминанта. Этот дискриминант также используется как часть формулы корней квадратного уравнения в числителе.

Если дискриминант меньше 0, то квадратичная функция не имеет действительного решения.Вы можете вспомнить это, вспомнив, что вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа (без использования мнимых чисел). В квадратной формуле дискриминант заключен в радикал, поэтому, если дискриминант отрицательный, вы не сможете вычислить реальное решение.

Пример

f (x) = 3x 2 — 2x + 2

а = 3; b = -2; с = 2

b 2 — 4ac = (-2) 2 — 4 (3) (2)

= 4 — 24 = -20

Если дискриминант отрицательный, настоящего решения нет. Как видно на рисунке ниже, на графике нет нулей:

Если дискриминант равен 0, то квадратичный имеет одно решение. Вы можете вспомнить это, вспомнив, что квадратный корень из 0 равен 0. Ниже приведен пример этого случая:

Пример

f (x) = 4x 2 — 4x + 1
а = 4; b = -4; с = 1
b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 (4) (1)
= 16–16 = 0
f (x) = 4x 2 — 4x + 1

Дискриминант равен 0, и есть одно решение при x = & frac12

Если дискриминант больше 0, то квадратичный имеет два решения.Вы можете вспомнить это, вспомнив, что квадратный корень из положительного числа имеет два решения, одно положительное и одно отрицательное, как показано ниже:

Пример

f (x) = x 2 — 2x — 3
а = 1; b = -2; с = -3
b 2 — 4ac = (-2) 2 — 4 (1) (- 3)
= 4 + 12 = 16

Поскольку дискриминант больше 0, существует два решения: x = -1 или x = 3.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.