Формула дискриминат: Дискриминант. Формула дискриминанта.

Внеклассный урок — Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант

 

Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант.

  

Формула №1:

         —b ± √D
x
=  ————,  где
D = b2 – 4ac.
             2
a

Латинской буквой D обозначают дискриминант.

Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

Пример. Решим уравнение 12x2 + 7x + 1 = 0.

Сначала вычислим дискриминант.

Мы видим, что а = 12, b = 7, c = 1.

Итак:

D = b2 – 4ac = 72 – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.

Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:

         —b ± √D      -7 ± √1         -7 ± 1
x =  ———— = ———— = ————
             2a                24                 24

Находим оба значения x:

        -7 + 1        -6      -1          1
x1 = ——— = —— = — = – —
           24           24       4          4

 

         -7 – 1       -8       -1         1
x2 = ——— = —— = — = – — .
           24           24       3          3

 

                        1                   1
Ответ: x1 = – —,    x2 = – —
                        4                   3

 

Формула №2.

Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

      —k ± √D1
x = ———
,   где D1 = k2ac
            
a

Пример. Решим уравнение 5x2 – 16x + 3 = 0.

Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8,  a = 5,  c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D1:

D1 = k2ac = (-8)2 – 5 · 3 = 64 – 15 = 49.

Теперь находим оба значения x:

      —k ± √D1       — (-8) ± √49      8 ± 7
x = ———— =  ————— = ———
             a                     5                  5

Отсюда:

          8 + 7       15
x1 = ——— =  — = 3
            5            5

 

         8 – 7         1
x2 = ——— =  — = 0,2
             5           5 

 

Ответ: x1 = 3; x2 = 0,2.

 

При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

 

Дискриминант / Этюды // Математические этюды

Дискриминант / Этюды // Математические этюды

Математические этюды

К списку

Латин­ское discriminare озна­чает «обособ­лять», «раз­де­лять», «раз­ли­чать». Отсюда про­ис­хо­дит и слово дис­кри­ми­нация,
отсюда и зна­комое всем слово дис­кри­ми­нант, воз­ни­кающее в школь­ном курсе матема­тики при реше­нии квад­рат­ных урав­не­ний.
А раз­ли­чает этот «школь­ный» дис­кри­ми­нант квад­рат­ные урав­не­ния: те у кото­рых два реше­ния, от урав­не­ний, у кото­рых
реше­ний в действи­тель­ных чис­лах нет. В других терми­нах — пара­болы, пере­се­кающи­еся с осью абс­цисс, и пара­болы
с ней не пере­се­кающи­еся. 2-(x_0+t)x+x_0t$. То есть на плос­ко­сти
парамет­ров ему соот­вет­ствует точка $(p, q)=(-x_0+t, x_0t)$, а при изме­не­нии $t$ такие точки заме­тают прямую.

Оста­лось понять, почему эта прямая каса­ется дис­кри­ми­нант­ной кри­вой. Для этого доста­точно вспом­нить опре­де­ле­ние каса­тель­ной.
Наша прямая имеет с дис­кри­ми­нант­ной кри­вой ровно одну общую точку (урав­не­ние имеет только один корень когда $t=x_0$)
и при этом прямая не явля­ется вер­ти­каль­ной (т.е. не пере­се­ка­ется с дис­кри­ми­нант­ной кри­вой). А это и озна­чает,
что она каса­ется пара­болы $D=0$.

Итак, множе­ство квад­рат­ных урав­не­ний, один корень у кото­рых фик­си­ро­ван, на плос­ко­сти парамет­ров пред­став­ля­ется каса­тель­ной
к дис­кри­ми­нант­ной кри­вой. Это наблю­де­ние при­во­дит к заме­ча­тель­ным след­ствиям.

Сколько каса­тель­ных можно про­ве­сти к дис­кри­ми­нант­ной кри­вой — т.е. к обык­но­вен­ной пара­боле — из раз­ных точек плос­ко­сти?
Из точек над пара­бо­лой ни одной — у соот­вет­ствующих урав­не­ний нет (действи­тель­ных) кор­ней, а из точек под пара­бо­лой
ровно две — по числу кор­ней квад­рат­ного урав­не­ния с положи­тель­ным дис­кри­ми­нан­том. 2$ и корень равен $-p/2$.

Сдвиг пара­болы вдоль оси $Ox$ не меняет ни число кор­ней, ни рас­сто­я­ние между ними (в слу­чае, когда их два).
А чему соот­вет­ствуют такие сдвиги на плос­ко­сти парамет­ров?

Если пара­бола каса­ется оси абс­цисс, то корень один и соот­вет­ствующая пара­боле точка плос­ко­сти парамет­ров лежит на дис­кри­ми­нант­ной
кри­вой. При «гори­зон­таль­ных» сдвигах пара­болы точка движется по этой кри­вой.

Если пара­бола имеет два пере­се­че­ния с осью $Ox$, то, как мы знаем, точки пере­се­че­ния нахо­дятся из реше­ния квад­рат­ного урав­не­ния.
Формула реше­ний квад­рат­ного урав­не­ния $x_{1,2}=(-p\pm \sqrt{D})/2$ под­ска­зы­вают, что рас­сто­я­ние между кор­нями не меня­ется,
когда не меня­ется зна­че­ние дис­кри­ми­нанта. Таким обра­зом, гори­зон­таль­ный сдвиг пара­болы соот­вет­ствует движе­нию точки на плос­ко­сти
парамет­ров по кри­вой $D=const$. Такие кри­вые — пара­болы, полу­чающейся из дис­кри­ми­нант­ной кри­вой сдвигом по вер­ти­кали.

Пре­об­ра­зо­ва­ния плос­ко­сти, при кото­рых все точки двигаются по пара­бо­лам, в неко­то­ром смысле похожи на пово­роты. Только если при обыч­ном
пово­роте пере­хо­дит в себя окруж­ность, то при «пара­бо­ли­че­ском пово­роте» — пара­бола (в дан­ном слу­чае, дис­кри­ми­нант­ная кри­вая).
Такие пре­об­ра­зо­ва­ния — это часть заме­ча­тель­ной, но мало­из­вест­ной геомет­рии Гали­лея (про неё можно про­чи­тать в брошюре А. В. Хача­ту­ряна
«Геомет­рия Гали­лея» или в книге И. М. Яглома «Принцип отно­си­тель­но­сти Гали­лея и неев­кли­дова геомет­рия»).

Кажется самое время пере­смот­реть анимацию, а затем поис­сле­до­вать мир квад­рат­ных урав­не­ний с помощью интер­ак­тив­ной вер­сией ниже.
Можно как двигать точку на плос­ко­сти парамет­ров, так и менять зна­че­ния парамет­ров $p$ и $q$.

p =

0,0

q =

0,0

При пере­ходе через дис­кри­ми­нант­ную кри­вую малое непре­рыв­ное изме­не­ние парамет­ров ($p$ и $q$) при­во­дит к суще­ствен­ной пере­стройке изу­ча­емой
системы. Подоб­ные объекты и явле­ния изу­чает тео­рия осо­бен­но­стей, кото­рую ещё иногда назы­вают тео­рией ката­строф. И этот сюжет ещё будет
про­должен: нас ждёт изу­че­ние дис­кри­ми­нанта для куби­че­ских урав­не­ний и урав­не­ний чет­вёр­той степени. На этом пути мы уви­дим
даже кар­тины Саль­ва­дора Дали!

Лите­ра­тура

Васи­льев В. А. Геомет­рия дис­кри­ми­нанта. — М.: МЦНМО, 2017. — (Биб­лио­тека «Матема­ти­че­ское про­свеще­ние»; Вып. 41).

Арнольд В. И. Тео­рия ката­строф. — 3-е изд., доп. — М.: Наука, 1990.

Сгиб­нев А. И. Иссле­до­ва­тельские задачи для начи­нающих. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО, 2015.

Другие этюды раздела «Геометрия формул»

  Лестница в бесконечностьОбновлено  Наибольший общий делитель  Геометрическая прогрессия: легенда о шахматах  Убывание геометрической прогрессии

Математические этюды

Квадратичная формула и дискриминант: примеры

До сих пор мы использовали такие методы, как построение графиков, разложение на множители и применение свойства квадратного корня для нахождения точных решений некоторых квадратных уравнений. Мы также научились решать квадратные уравнения, дополняя квадрат.

Хотя некоторые из этих методов кажутся лучшим вариантом для решения любого типа квадратного уравнения, он может оказаться довольно сложным, если в данном квадратном уравнении участвуют дроби или десятичные дроби. Однако не бойтесь! Оказывается, есть решение для решения любая форма квадратного уравнения, выраженная в соответствии с приведенным выше определением. Это известно как квадратичная формула.

Квадратная формула — важный инструмент, используемый для определения решений любого заданного квадратного уравнения. Мы можем применить эту концепцию при решении квадратных уравнений, которые нельзя разложить на множители с помощью стандартных методов факторизации.

Обратите внимание, что мы действительно можем использовать Квадратную Формулу для нахождения решений любой формы квадратных уравнений, даже тех, которые можно разложить на множители.

Квадратная формула

Прежде чем мы углубимся в эту тему, давайте сначала вспомним стандартную форму квадратного уравнения.

Стандартная форма квадратного уравнения где

Имея это в виду, давайте теперь введем квадратную формулу.

Для квадратного уравнения вида, где решения даются квадратичной формулой ,

.

Обратите внимание, что квадратичная формула имеет « ±» 9знак 0006. Это означает, что формула дает два решения, а именно

.

Учитывая, что квадратная формула сообщает нам корни данного квадратного уравнения, мы можем легко найти эти точки и построить график более точно.

Вывод квадратичной формулы

Квадратичная формула выводится путем завершения квадрата. В этом разделе шаг за шагом объясняется его вывод, как показано ниже.

Учитывая общую форму квадратного уравнения:

Шаг 1: Разделите выражение на

Шаг 2: С каждой стороны

Шаг 3: Завершите квадрат

. Фактор левой части и упрощение правой части

Шаг 5: Квадратный корень с каждой стороны

Не забудьте знак ‘±’!

Шаг 6: Вычтите с каждой стороны

Шаг 7: Упростить выражение

Примечание: Этот метод завершения квадрата подробно объясняется в теме . Заполнение квадратов . Это обсуждение содержит четко проработанные примеры, которые показывают, как этот вывод применяется к данному квадратному уравнению. Проверьте это, если вы хотите изучить это более подробно!

Дискриминант

В следующих разделах мы рассмотрим свойства корней заданных квадратных уравнений. Мы познакомимся с новым понятием, называемым дискриминантом. Дискриминант играет решающую роль в понимании природы корней квадратного уравнения.

Прежде чем мы рассмотрим идею дискриминанта, нам нужно ознакомиться с несколькими важными терминами, которые помогут нам понять это обсуждение. Начнем с определения рационального и иррационального корня.

рациональный корень — это решение, которое может быть выражено как частное двух целых чисел.

Они представлены в виде где p и q — целые числа, где p — константа многочлена, а q — старший коэффициент.

Иррациональный корень — это решение, которое нельзя выразить как частное двух целых чисел. Они часто представлены бесконечно неповторяющимися десятичными знаками или сурдами.

Далее мы определим, что значит быть полным квадратом. Эта концепция имеет решающее значение, когда мы начинаем использовать квадратную формулу, поскольку она определяет, являются ли корни нашего квадратного уравнения рациональными или иррациональными, как мы скоро увидим!

Полный квадрат — это целое число, являющееся квадратом целого числа, то есть произведение некоторого целого числа на себя. Это принимает вид, где p — целое число. По сути, .

Примеры включают 9 (3 2 ), 16 (4 2 ), 25 (5 2 ) и т. д.

Теперь, когда мы рассортировали ключевые определения, давайте перейдем к концепции дискриминант и его связь со свойствами корней.

Дискриминант и свойства корней

Чтобы найти количество корней в заданном квадратном уравнении, воспользуемся дискриминантом . Мы также можем определить тип корней выражения.

Дискриминант квадратного многочлена используется для нахождения количества и типа решений квадратного уравнения. Он описывается формулой

Обратите внимание, что это компонент внутри квадратного корня в квадратичной формуле.

Условие дискриминанта имеет три случая.

Случай 1: D > 0

Когда определитель больше нуля, или, другими словами, b 2 – 4ac > 0 , мы получаем два действительных различных корня. Это может быть дополнительно классифицировано следующим образом.

  1. Если b 2 – 4ac – полный квадрат, то у нас есть два действительных рациональных корня;

  2. Если b 2 – 4ac не является полным квадратом, то у нас есть два действительных иррациональных корня.

График для этого случая показан ниже.

Дискриминантный случай, когда D > 0, StudySmarter Originals

Случай 2: D = 0

Когда определитель равен нулю, или, другими словами, настоящий корень. Это также известно как повторяющийся корень. График для этого случая показан ниже.

Дискриминантный случай, когда D = 0, StudySmarter Originals

Случай 3: D

< 0

Когда определитель меньше нуля или, другими словами, b 2 – 4ac < 0 получаем два комплексно-сопряженных корня. Это означает, что наше решение имеет вид a + bi , где a — действительная часть, а b — мнимая часть. График для этого случая показан ниже.

Дискриминантный случай, когда D < 0, StudySmarter Originals

Напомним, что мнимая единица равна

Использование квадратичной формулы и дискриминанта для поиска корней

В этом разделе мы рассмотрим некоторые рабочие примеры, демонстрирующие применение квадратичной Формула и дискриминант для поиска решений заданного квадратного уравнения.

Два действительных рациональных корня

Решите следующее квадратное уравнение.

Вычислите дискриминант и определите количество и тип корней, которые содержит это выражение. Затем используйте квадратную формулу для оценки ее решений.

Решение

Шаг 1 : Найдите a, b и c

Шаг 2 : Вычислите дискриминант

Шаг 3 : Найдите решение

Используя квадратичную формулу, мы получаем

Обратите внимание, что составляющая внутри квадратного корня равна D, или, другими словами,

Здесь — идеальный квадрат, поэтому мы получаем пара рациональных корней

Таким образом, решения .

Ниже приведен график для этого квадратного уравнения. Зеленые точки представляют решения выражения.

Пример 1, StudySmarter Originals

Два действительных иррациональных корня

Решите следующее квадратное уравнение.

Вычислите дискриминант и определите количество и тип корней, которые содержит это выражение. Затем используйте квадратную формулу, чтобы оценить их решения.

Решение

Шаг 1 : Найдите a, b и c

Шаг 2 : Вычислите дискриминант

Шаг 3 : Найдите решения

Используя квадратную формулу, мы получаем

Здесь не полный квадрат, поэтому мы получаем пару иррациональных корней

Таким образом, решения .

Ниже приведен график для этого квадратного уравнения. Зеленые точки представляют решения выражения.

Пример 2, StudySmarter Originals

Обратите внимание, что вы можете сохранить корни в точной форме и что десятичные разряды являются приблизительным ответом.

Один вещественный повторяющийся корень

Решите следующее квадратное уравнение.

Вычислите дискриминант и определите количество и тип корней, которые содержит это выражение. Затем используйте квадратную формулу, чтобы оценить их решения. Шаг 1 : Определить a, b и c

Шаг 3 : Найдите решения

Используя квадратную формулу, мы получаем

Заметив, что

Таким образом, решение .

Ниже приведен график для этого квадратного уравнения. Зеленые точки представляют решения выражения.

Пример 3, StudySmarter Originals

Два комплексных корня

Решите следующее квадратное уравнение.

Вычислите дискриминант и определите количество и тип корней, которые содержит это выражение. Затем используйте квадратную формулу, чтобы оценить их решения.

Решение

Шаг 1 : Определите a, b и c

Шаг 2 : Вычислите дискриминант

9 комплексных корней < D,

3 .

Шаг 3 : Найдите решения

Используя квадратичную формулу, мы получаем

Заметив, что

Упрощая это, мы получаем

.

Ниже приведен график для этого квадратного уравнения. Зеленые точки представляют решения выражения.

Пример 4, StudySmarter Originals

Обратите внимание, что на этом графике нет помеченных решений. Это связано с тем, что решения являются мнимыми и не могут быть отображены на стандартной декартовой плоскости. Декартова плоскость представлена ​​действительными числами, а не мнимыми числами! В этом случае мы можем по существу «предполагать» форму графика на основе коэффициента x 2 член и что точка пересечения с осью y задана исходным квадратным уравнением.

Дискриминант кубического уравнения

В этом разделе мы рассмотрим дискриминант кубического уравнения и определим типы корней выражения, учитывая значение его дискриминанта.

Для кубического уравнения вида (общего)

,

где a 0, дискриминант описывается формулой

.

Формула для вычисления дискриминанта кубических уравнений может быть довольно длинной. Вопросы, где может быть применена эта формула, часто редко встречаются в этой программе. Тем не менее, может быть полезно знать, как это делается для ясности.

Как и в квадратичном случае, дискриминант для кубических уравнений имеет три условия.

Случай 1: D > 0

Когда дискриминант больше нуля, мы получаем три (различных) действительных корня.

Допустим, у нас есть кубическое уравнение.

Здесь дискриминант равен .

Следовательно, у нас есть три различных действительных корня. Факторизация этого выражения дает

Таким образом, корни равны .

График показан ниже.

Пример 5, StudySmarter Originals

Случай 2: D = 0

Случай 2(a): (четкий тройной корень).

Допустим, у нас есть кубическое уравнение.

Здесь дискриминант равен .

Далее, .

Следовательно, у нас есть три повторяющихся действительных корня. Факторизация этого выражения дает

Таким образом, корни равны .

График показан ниже.

Пример 6, StudySmarter Originals

Случай 2(b): Если дискриминант равен нулю, а (отдельный) корень.

Допустим, у нас есть кубическое уравнение.

Здесь дискриминант равен .

Далее, .

Следовательно, у нас есть два повторяющихся действительных корня и один действительный корень. Факторизация этого выражения дает

Таким образом, корни равны .

График показан ниже.

Пример 7, StudySmarter Originals

Случай 3: D

< 0

Когда дискриминант меньше нуля, мы получаем один (различный) действительный корень и пару комплексно-сопряженных корней.

Допустим, у нас есть кубическое уравнение.

Здесь дискриминант.

Следовательно, у нас есть один действительный корень и два комплексно-сопряженных корня. Факторизация этого выражения дает

Таким образом, корни равны .

График показан ниже.

Пример 8, StudySmarter Originals

Квадратичная формула и дискриминант – основные выводы

  • Квадратичная формула используется для определения решений заданного квадратного уравнения.
  • Для квадратного уравнения формы Квадратная формула равна
  • Дискриминант используется для нахождения количества и типа решений квадратного уравнения. Он определяется по формуле D = b 2 — 4ас.
  • Условия для дискриминанта приведены в следующей таблице.
Значение дискриминанта Тип и количество корней График
D > 0, D — полный квадрат 2 Real Rational Roots

Graph when D > 0, Aishah Amri — StudySmarter Originals

D > 0, D is not a perfect square 2 Real Irrational Roots
D = 0 1 Действительно повторяющийся корень

График при D = 0, Айша Амри, StudySmarter Originals

D < 0 2 Комплексно-сопряженные корни

График при D = 0, Amarish Originals0003

Дискриминант — Центр академической поддержки

Что такое дискриминант квадратичной функции и для чего он используется?

Дискриминант квадратичной функции представляет собой значение, определяемое значениями a, b, и c функции. Это значение скажет нам, сколько решений будет иметь квадратное выражение. Это также позволяет нам выполнить некоторую работу по упрощению квадратичной формулы, прежде чем мы начнем решать.

Наша стандартная формула для квадратичной функции:

y = ax 2 + bx + c

Дискриминант равен той части квадратной формулы, которая стоит под радикалом (квадратный корень). Вот общая формула для дискриминанта.

b 2 – 4 ac

Интерпретация дискриминанта

Получаем формулу дискриминанта из радикала в квадратичной формуле. Наши правила о квадратных корнях гласят, что у нас не может быть отрицательных чисел под радикалом, если только мы не хотим работать с мнимым числом 9.0625 и . Нам не нужно будет использовать мнимые числа для нашей работы с дискриминантом.

Значение дискриминанта говорит вам, имеет ли квадратное уравнение 2 решения, 1 решение или нет действительных решений.

·         Если b 2 – 4 ac упрощается до положительного числа, то квадратное число имеет 2 решения.

·         Если b 2 – 4 ac упрощается до 0, то квадратное число имеет 1 решение.

·         Если b 2 – 4 ac упрощается до отрицательного числа, то квадратное число не имеет действительных решений.

Квадратное число, имеющее 2 решения, дважды пересечет ось x .

Квадратное число, имеющее 1 решение, будет касаться своей вершиной оси x .

Квадратное число, не имеющее действительных решений, не пересекает ось x .

Например,

Используйте дискриминант, чтобы определить, сколько решений будет иметь квадратное выражение. Затем используйте квадратичную формулу, чтобы найти эти решения.

2 x 2 + 5 x + 3 = 0

· Шаг 1: Найдите свои значения для A , B, и C

5. ax 2 + bx + c = 0.

§ Это означает, что a = 2, b = 5 и c = 3

3 90 Убедитесь, что одна сторона уравнения

3 90 равен нулю. Обычно это можно сделать сложением или вычитанием

·         Step 2: Plug your values ​​for a , b , and c into the discriminant formula and simplify the result

o   The discriminant formula is b 2 – 4 ac

5 2 – 4(2)(3)

25 – 24

1

·         Шаг 3. Интерпретация результатов.

o   Если результат положительный, у нас есть 2 действительных решения

o   Если результат равен нулю, у нас есть 1 действительное решение

o   Если результат отрицательный, у нас нет действительных решений (2 мнимых решения)

§  Наш результат равен 1, что является положительным числом. Это означает, что у нас будет 2 решения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *