Формула дискриминанта 0: Дискриминант. Формула дискриминанта.

Содержание

Внеклассный урок — Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант

 

Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант.

  

Формула №1:

         —b ± √D
x
=  ————,  где
D = b2 – 4ac.
             2
a

Латинской буквой D обозначают дискриминант.

Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Если D < 0, то уравнение не имеет корней.

Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

Пример. Решим уравнение 12x2 + 7x + 1 = 0.

Сначала вычислим дискриминант.

Мы видим, что а = 12, b = 7, c = 1.

Итак:

D = b2 – 4ac = 72 – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.

Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:

         —b ± √D      -7 ± √1         -7 ± 1
x =  ———— = ———— = ————
             2a                24                 24

Находим оба значения x:

        -7 + 1        -6      -1          1
x1 = ——— = —— = — = – —
           24           24       4          4

 

         -7 – 1       -8       -1         1
x2 = ——— = —— = — = – — .
           24           24       3          3

 

                        1                   1
Ответ: x1 = – —,    x2 = – —
                        4                   3

 

Формула №2.

Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

      —k ± √D1
x = ———
,   где D1 = k2ac
            
a

Пример. Решим уравнение 5x2 – 16x + 3 = 0.

Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8,  a = 5,  c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D1:

D1 = k2ac = (-8)2 – 5 · 3 = 64 – 15 = 49.

Теперь находим оба значения x:

      —k ± √D1       — (-8) ± √49      8 ± 7
x = ———— =  ————— = ———
             a                     5                  5

Отсюда:

          8 + 7       15
x1 = ——— =  — = 3
            5            5

 

         8 – 7         1
x2 = ——— =  — = 0,2
             5           5 

 

Ответ: x1 = 3; x2 = 0,2.

 

При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

 

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении axbx = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле Dk− ac, а корни по формулам и .

Примеры

Решим квадратное уравнение x+ 6− 16 = 0. В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k.

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k, то есть 2k.

n = 2k

Например, число 10 можно представить как 2 × 5.

10 = 2 × 5

В этом произведении = 5.


Число 12 можно представить как 2 × 6.

12 = 2 × 6

В этом произведении = 6.


Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении = −7.

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k.

В уравнении x+ 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6. Это число можно представить как 2 × 3. В этом произведении = 3. Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле Dk− ac

Dk− ac = 3− 1 × (−16) = 9 + 16 = 25

Теперь вычислим корни по формулам: и .

Значит корнями уравнения x+ 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8.

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта (D=b− 4ac), в формуле Dk− ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac.

И в отличие от формул и формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.


Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x− 6+ 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3). То есть = −3. Найдём дискриминант по формуле Dk− ac

Dk− ac = (−3)− 5 × 1 = 9 − 5 = 4

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и


Пример 3. Решить квадратное уравнение x− 10− 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5). То есть = −5. Найдём дискриминант по формуле Dk− ac

Dk− ac = (−5)− 1 × (−24) = 25 + 24 = 49

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2k. Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k, нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2


Пример 5. Решить квадратное уравнение

Коэффициент b равен . Это выражение состоит из множителя 2 и выражения . То есть оно уже представлено в виде 2k. Получается, что

Найдём дискриминант по формуле Dk− ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен .

Вычислим второй корень уравнения:


Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение axbx = 0. Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

b = 2k

Заменим в уравнении axbx = 0 коэффициент b на выражение 2k

ax+ 2kx = 0

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

D = b− 4ac = (2k)4ac = 4k− 4ac

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

D = b− 4ac = (2k)2 − 4ac = 4k− 4ac = 4(k− ac)

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k− ac.

В выражении 4(k− ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k− ac. Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k− ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D1

Dk− ac

Теперь посмотрим как выводятся формулы и .

В нашем уравнении axbx = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k. Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо b будем подставлять 2k. Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k− ac)

Но ранее было сказано, что выражение k− ac обозначается через D1. Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

Сократим получившуюся дробь на 2

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; 0,6

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; −1,4

Задание 4. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 5. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 6. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 7. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Что делать если дискриминант меньше нуля

Мы уже разобрали, как решать квадратные уравнения. Теперь давайте более подробно рассмотрим, что называют дискриминантом квадратного уравнения.

Вернемся к нашей формуле для нахожденя корней квадратного уравнения.

x1;2 =

−b ± √ b 2 − 4ac
2a

Выражение « b 2 − 4ac », которое находится под корнем, принято называть дискриминантом и обозначать буквой « D ».

По-другому, через дискриминант формулу нахождения корней квадратного уравнения можно записать так:

x1;2 =

, где « D = b 2 − 4ac »

По одной из версий термин «Дискриминант» произошел от латинского discriminantis, что означает «отличающий» или «различающий».

В зависимости от знака « D » (дискриминанта) квадратное уравнение может иметь два, один или ни одного корня. Рассмотрим все три случая.

I случай

D > 0
(дискриминант больше нуля)

D –> , где « D = b 2 − 4ac »
–> –> D = b 2 − 4ac
D = 5 2 − 4 · 2 · (−7)
D = 25 + 56
D = 81
D > 0

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x2 = −5 − 9 4 x1 = 4 4 x2 = −14 4 x1 = 1 x2 = −3 2 4 x1 = 1 x2 = −3 1 2

Ответ: x1 = 1; x2 = −3

Вывод: когда « D > 0 » в квадратном уравнении два корня .

II случай

D = 0
(дискриминант равен нулю)

16x 2 − 8x + 1 = 0

D = b 2 − 4ac
D = (−8) 2 − 4 · 16 · 1
D = 64 − 64
D = 0

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x =

x =

Ответ: x =

Вывод: когда « D = 0 » в квадратном уравнении один корень .

III случай

D
(дискриминант меньше нуля)

D = b 2 − 4ac
D = (−6) 2 − 4 · 9 · 2
D = 36 − 72
D = −36
D

x1;2 =

x1;2 =

Ответ: нет действительных корней

Вывод: когда « D » в квадратном уравнении нет корней .

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен:

Пример 42.4. Решить уравнение: .

Решение. Найдем дискриминант: = 36 – 52 = -16.

.

Тогда .

Ответ:

Видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение имеет решения на множестве комплексных чисел. В ответе получаются два сопряженных комплексных числа. Это очень важный результат: теперь мы знаем, что абсолютно любое квадратное уравнение имеет два корня на множестве комплексных чисел.

Подобное утверждение, известное под названием «основная теорема алгебры», было доказано Гауссом в конце XVIII века: любое алгебраическое уравнение п-й степени имеет п комплексных корней (при этом некоторые корни являются кратными). Эти результаты подчеркивают ту исключительную роль, которую играют комплексные числа в теории алгебраических уравнений.

Дата добавления: 2014-12-27 ; Просмотров: 12919 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Дискриминант квадратного уравнения – это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

  1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
  2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
  3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

так как она относится к формуле:

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 – 4ac = (-4) 2 – 4 · 3 · 2 = 16 – 24 = -8, D 2 – 6x + 9 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 – 4ac = (-6) 2 – 4 · 1 · 9 = 36 – 36 = 0, D = 0

Уравнение имеет всего один корень:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 – 4ac = (-4) 2 – 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36, D > 0

Дискриминант на 4 | Алгебра

Дискриминант, делённый на 4 — D/4 — удобно использовать для упрощения вычислений при решении квадратных уравнений, если коэффициент b при x — чётное число.

Формула дискриминанта, деленного на 4 —

   

Как и для случая с обычным дискриминантом, количество корней  квадратного уравнения зависит от знака D/4.

  • Если D/4>0, квадратное уравнение имеет два корня:

       

  • Если D/4=0, квадратное уравнение имеет один корень

       

  • Если D/4<0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с помощью формулы четверти дискриминанта.

   

   

Так как b=16 — чётное число, вместо обычного дискриминанта вычислим дискриминант, делённый на 4 (иногда его еще обозначают через D1):

   

Так как D/4>0, уравнение имеет два корня:

   

   

   

Ответ: -0,2; -3.

   

   

   

   

Поскольку D/4>0, уравнение имеет два корня:

   

   

   

   

Ответ: 9; 1/3.

   

   

   

   

Так как D/4=0, данное квадратное уравнение имеет один корень

   

Ответ: -2 1/3.

   

   

   

   

Так как D/4<0, уравнение не имеет корней в действительных числах.

Ответ: нет корней.

Для решения квадратных уравнений вполне достаточно помнить обычную формулу дискриминанта и связанные с ним формулы корней. И все же, дополнительное знание формулы четверти дискриминанта не будет лишним.

Во-первых, с меньшими (по модулю) числами проще работать. Во-вторых, эта формула иногда ускоряет процесс нахождения корней уравнения.

   

   

   

   

Если находить корни через формулу обычного дискриминанта, придётся раскладывать его на множители, выносить множитель из-под корня, затем общий множитель — за скобки и сокращать дробь.

Ответ:

   

 

Квадратное уравнение. Решение квадратных уравнений.

Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. Теорема Виета.

Квадратным уравнением называется уравнение вида:

                 ,

где
x — переменная,
a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта


Формула дискриминанта: .

О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

  • D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
  • D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
  • D<0 — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

                 .

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

                 .

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

                

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

                

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

                ,

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

                 .

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х2

Квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта.

( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений и неравенств. Системы уравнений. Формулы. Методы.  / / Квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Поделиться:   






Квадратное уравнение. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. Теорема Виета.     Версия для печати.

Квадратным уравнением называется уравнение вида:

                 ,

  • где
    • x — переменная,
    • a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению

дискриминанта


Формула дискриминанта: .

О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

  • D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
  • D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
  • D<0 — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

                 .

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

                 .

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

                

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

                

Теорема Виета о корнях квадратного уранения.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

                ,

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

                 .

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х2


Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:


Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.

Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

— это уравнение вида a x2 + b x + c = 0, где a не равно 0.

Геометрический смысл

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют точки пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня.

Если коэффициент a положительный, ветви параболы направлены вверх, если отрицательный — ветви параболы направлены вниз. Если коэффициент b положительный, то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если отрицательный — в правой полуплоскости.



Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Формулу для решения квадратного уравнения a x2 + b x + c = 0 можно получить так:

  • перенесем c в правую часть a x2 + b x = — c

  • умножим уравнение на 4a (2a x)2 + 4a b x = — 4a c

  • добавим b2 к обоим частям (2a x)2 + 4a b x + b2 = b2 — 4a c

  • в левой части выделим полный квадрат (2a x + b)2 = b2 — 4a c

  • извлечем квадратный корень 2a x + b = ± √b2 — 4a c

  • перенесем b в правую часть 2a x = — b ± √b2 — 4a c

  • разделим уравнение на 2a



    x =  -b ± √b2 — 4a c
    2 a



Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминантом

квадратного уравнения называют число равное D = b2 − 4ac

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта:

  • при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле



    x1,2 =  -b ± √D
    2 a
  • при D = 0 корень один (два равных или совпадающих корня), кратности 2:
  • при D
    x1,2 = 

    -b ± i√-D


    2 a




Теорема Виета

Приведенным квадратным уравнением

называется уравнение, в котором коэффициент при x2 равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на коэффициент a: x2 + px + q = 0,
где p = ba, q = ca

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

x2 + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:
      x1 + x2 = -p,      x1x2 = q.


Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

ax2 + bx + c = a(x — x1)(x — x2)



Примеры решения квадратных уравнений

Например. Найти корни квадратного уравнения: 2x2 + 5x + 3 = 0

D = 52 — 4·3·2 = 25 — 24 = 1




x1 =  5 + √1  = -1,
2·2



x2 =  5 — √1  = -1 1
2·2 2

Упражнения. Квадратные уравнения.

Дискриминанты и определение числа действительных корней квадратного уравнения

Что такое дискриминант?

Дискриминант — это величина, вычисляемая по квадратному уравнению. Он использует его, чтобы «различать» корни (или решения) квадратного уравнения.

Квадратное уравнение имеет вид: ax 2 + bx + c

Дискриминант, D = b 2 — 4ac

Примечание: это выражение внутри квадратного корня квадратной формулы

.

Дискриминант бывает в трех случаях;

Корпус 1:

b 2 — 4ac> 0

Если дискриминант больше нуля, это означает, что квадратное уравнение имеет два действительных, различных (разных) корня .

Пример

х 2 — 5х + 2 = 0

а = 1, б = -5, в = 2

Дискриминант, D = b 2 — 4ac

= (-5) 2 4 * (1) * (2)

= 17

Следовательно, квадратное уравнение

имеет два действительных различных корня.

х 2 — 5х + 2.

Корпус 2:

b 2 — 4ac <0

Если дискриминант больше нуля, это означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней .

Пример

3x 2 + 2x + 1 = 0

а = 3, б = 2, с = 1

Дискриминант, D = b 2 — 4ac

= (2) 2 — 4 * (3) * (1)

= — 8

Следовательно, у квадратного уравнения 3x 2 + 2x + 1 нет действительных корней.

Корпус 3:

b 2 — 4ac = 0

Если дискриминант равен нулю, это означает, что квадратное уравнение имеет два действительных идентичных корня .

Пример

х 2 + 2х + 1 = 0

а = 1, б = 2, с = 1

Дискриминант, D = b 2 — 4ac

= (2) 2 — 4 * (1) * (1)

= 0

Следовательно, есть два действительных идентичных корня квадратного уравнения x 2 + 2x + 1.

Сводка

Квадратное уравнение: ax 2 + bx + c

Определитель D = b 2 — 4ac

D> 0 означает два реальных, различных корня.

D = 0 означает два настоящих одинаковых корня /

D <0 означает отсутствие реальных корней.

Теперь попробуйте эти (будьте осторожны со знаками минус)

вопросов

Q1.х 2 — 7x + 2 = 0

Q2. — 3x 2 + 2x — 1 = 0

Q3. 9x 2 — 12x + 4 = 0

Q4. — х 2 + х + 1 = 0

ответов

Q1. D = 41 означает два реальных, различных корня.

Q2. D = -16, означает отсутствие настоящих корней.

Q3. D = 0 означает два настоящих одинаковых корня.

Q4. D = 5 означает два реальных, различных корня.

Что такое дискриминант квадратичной функции?

Для квадратичной функции в нормальной форме:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c #

, где #a, b, c # — действительные числа (обычно целые или рациональные числа) и #a! = 0 #, тогда дискриминант # Дельта # #f (x) # задается формулой:

# Delta = b ^ 2-4ac #

Предполагая рациональные коэффициенты, дискриминант сообщает нам несколько вещей о нулях #f (x) = ax ^ 2 + bx + c #:

  • Если #Delta> 0 # — полный квадрат, то #f (x) # имеет два различных рациональных вещественных нуля. 2-4ac)) / (2a) = (-b + -sqrt (Дельта)) / (2a) #

    , из которого вы можете понять, почему нули имеют тот характер, который они имеют для разных значений # Delta #.2 + 18abcd #

    • Если #Delta> 0 #, то #f (x) # имеет три различных действительных нуля.

    • Если #Delta = 0 #, то #f (x) # имеет либо один действительный ноль кратности # 3 #, либо два различных действительных нуля, один из которых имеет кратность # 2 #, а другой — кратность # 1 #.

    • Если #Delta <0 #, то #f (x) # имеет один действительный ноль и комплексно-сопряженную пару нереальных нулей.

    Сколько корней?

    Когда вы решаете корни квадратного уравнения, есть несколько возможных результатов.

    • У вас может быть два вещественных числа. Если вы установите x равным любому решению, результат будет равен нулю оба раза.
    • Может быть только одно вещественное число.
    • Уравнение может иметь два решения комплексных чисел. Реальных числовых решений не существует.

    Не волнуйтесь; есть простой способ узнать, сколько существует решений, еще до того, как вы начнете использовать формулу. Просто взгляните на часть квадратной формулы b 2 -4 ac .Этот небольшой кусок называется дискриминантом , и это ключевой вид нашей маленькой квадратичной экосистемы. Без него все развалится.

    • Если значение b 2 -4 ac положительно, тогда существует два решения с действительными числами.
    • Если b 2 -4 ac = 0, то существует только одно решение для вещественных чисел.
    • Если b 2 -4 ac отрицательно, то существует два решения комплексных чисел.

    Все это происходит непосредственно из формулы корней квадратного уравнения. Если дискриминант положительный, то у вас есть, что приводит к двум ответам с действительными числами. Если он отрицательный, то да, что дает два сложных результата. И если b 2 -4 ac равно 0, то у вас есть, поэтому у вас есть только одно решение.

    Пример задачи

    Сколько корней у x 2 — 3 = 0?

    Чтобы использовать дискриминант, сначала отметим, что a = 1, b = 0 и c = -3.

    b 2 — 4 ac = (0) 2 — 4 (1) (- 3) = 12

    Итак, у нас есть два настоящих корня. Ха! Слишком легко.

    Хорошо, как насчет этого?

    Сколько корней имеет 2 x 2 + 8 x + 8 = 0?

    Эй, прекрати с этой губой, подзаголовок. Почему бы просто не сказать «Пример задачи», как обычно? В любом случае, дискриминант для этого уравнения равен

    b 2 — 4 ac = (8) 2 — 4 (2) (8) = 64 — 64 = 0

    Это означает, что у нас есть один действительный числовой корень для этого уравнения.

    Тогда как вам этот?

    Сколько корней у 0,7731 x 2 — 2,3812 x + 4,1111 = 0?

    Это просто подло — но мы все еще можем это сделать. Просто позвольте нам быстро найти наш калькулятор.

    b 2 -4 ac = (-2,3812) 2 -4 (0,7731) (4,1111) ≈ 5,6701 — 12,7132 = -7,0431

    Это отрицательное значение, поэтому у этого уравнения есть два комплексных корня . Кроме того, калькулятор находился в массажном кабинете Шмоопа, рядом с грудой учебников по алгебре.Если вам интересно.

    Что он там делал?

    В то время мы могли выполнять несколько задач одновременно. Знаешь, мы очень заняты.

    Дискриминант кубического уравнения

    Дискриминант квадратного уравнения

    a x ² + bx + c = 0

    это

    Δ = b ² — 4 ac .

    Если дискриминант Δ равен нулю, уравнение имеет двойной корень, то есть существует уникальный x , который делает уравнение нулевым, и он дважды считается корнем. Если дискриминант не равен нулю, есть два различных корня.

    Кубические уравнения также имеют дискриминант. Для кубического уравнения

    a x ³ + bx ² + cx + d = 0

    дискриминант равен

    Δ = 18 abcd — 4 b ³ d + b ²c² — 4 ac³ — 27 a ² d ².

    Если Δ = 0, уравнение имеет кратный корень, но в противном случае оно имеет три различных корня.

    Замена переменной может свести общее кубическое уравнение к так называемому «вдавленному» кубическому уравнению вида

    x ³ + px + q = 0

    , в этом случае дискриминант упрощается до

    Δ = — 4 — 27 q ².

    Вот пара интересных связей. Идея сведения кубического уравнения к кубическому с углублением восходит к Кардано (1501–1576). То, что в этом контексте называется углубленной кубикой, известно как форма Вейерштрасса (1815–1897) в контексте эллиптических кривых. То есть эллиптическая кривая вида

    y ² = x ³ + ax + b

    Считается, что

    находится в форме Вейерштрасса. Другими словами, эллиптическая кривая имеет форму Вейерштрасса, если правая часть представляет собой углубленную кубику.

    Кроме того, эллиптическая кривая должна быть невырожденной, что означает, что она должна удовлетворять требованиям

    4 + 27 b ² ≠ 0.

    Другими словами, дискриминант правой части отличен от нуля.В контексте эллиптических кривых дискриминант определяется как

    Δ = -16 (4 + 27 b ²)

    , который совпадает с дискриминантом выше, за исключением коэффициента 16, который упрощает некоторые вычисления с эллиптическими кривыми.

    Примечание о полях

    В контексте решения квадратных и кубических уравнений мы обычно неявно работаем с действительными или комплексными числами. Предположим, что все коэффициенты квадратного уравнения действительны. Если дискриминант положительный, есть два различных действительных корня.Если дискриминант отрицательный, есть два различных комплексных корня, и эти корни являются комплексно сопряженными друг другу.

    Аналогичные замечания справедливы для кубических уравнений, когда все коэффициенты действительны. Если дискриминант положительный, существует три различных действительных корня. Если дискриминант отрицательный, имеется один действительный корень и комплексно сопряженная пара комплексных корней.

    В первом разделе я рассмотрел только, был ли дискриминант нулевым, и поэтому утверждения не зависят от поля, из которого берутся коэффициенты.2} — 4 \ left (1 \ right) \ left (1 \ right)}}} {{2 \ left (1 \ right)}} $$
    $$ = \ frac {{1 \ pm \ sqrt {- 3}}} {2} $$
    $$ = \ frac {{1 \ pm \ sqrt 3 i}} {2} = \ frac {1} {2} \ pm \ frac {{\ sqrt 3}} { 2} i $$

    Таким образом, корнями являются комплексные сопряжения $$ \ frac {1} {2} + \ frac {{\ sqrt 3}} {2} i $$ и $$ \ frac {1} {2} — \ frac { {\ sqrt 3}} {2} i $$

    Равные или двойные корни

    РАВНЫЕ ИЛИ ДВОЙНЫЕ КОРНИ

    Если дискриминант b 2 — 4ac равен нулю,

    радикал в формуле корней квадратного уравнения обращается в ноль.

    В этом случае корни равны; таких корней

    иногда называют двойным корнем.

    Рассмотрим уравнение

    9x 2 + 12x + 4 = 0

    Сравнивая с общей квадратичной, замечаем, что

    a = 9, b = 12 и c = 4

    Дискриминант

    Следовательно, корни равны.

    ПРОВЕРКА: По формуле

    Равенство корней проверено.

    Корни могут быть равны, только если трехчлен
    это. идеальный квадрат. Его коэффициенты равны.
    Факторизация трехчлена в

    9x 2 + 12x + 4 = 0

    видим, что

    (3x + 2) 2 = 0

    Поскольку множитель 3x + 2 возведен в квадрат, фактически имеем

    3x + 2 = 0

    дважды, а у нас

    дважды.

    Дело в том, что надо считать один и тот же корень
    дважды объясняет использование термина «двойной»
    корень «. Двойной корень квадратного уравнения — это
    всегда рационально, потому что двойной корень может возникнуть только тогда, когда радикал равен нулю.

    РЕАЛЬНЫЕ И НЕРАВНЫЕ КОРНИ Когда дискриминант положительный, корни

    должно быть настоящим. Также они должны быть неравными, поскольку
    равные корни возникают только тогда, когда дискриминант
    равно нулю.

    Рациональные корни.

    Если дискриминант — полный квадрат,
    корни рациональны. Например, рассмотрим
    уравнение

    3x 2 — x — 2 = 0

    , в котором

    a = 3, b = -1 и c = -2

    Дискриминант

    Мы видим, что дискриминант 25 представляет собой полный квадрат. Идеальный квадрат указывает на то, что

    радикал в квадратной формуле может быть удален, что корни уравнения рациональны, и что трехчлен можно факторизовать.Другими словами, когда мы оцениваем дискриминант и обнаруживаем, что он представляет собой идеальный квадрат, мы знаем, что

    что трехчлен можно разложить на множители.

    Таким образом,

    , из которых

    Мы видим, что информация, полученная из
    дискриминант правильный. Корни настоящие,
    неравный и рациональный.

    % PDF-1.4
    %
    388 0 объект
    >
    эндобдж

    xref
    388 168
    0000000016 00000 н.
    0000004866 00000 н.
    0000004980 00000 н.
    0000006585 00000 н.
    0000006913 00000 н.
    0000007027 00000 н.
    0000007382 00000 п.
    0000007764 00000 н.
    0000012310 00000 п.
    0000012667 00000 п.
    0000012938 00000 п.
    0000013050 00000 п.
    0000013307 00000 п.
    0000013478 00000 п.
    0000013787 00000 п.
    0000014139 00000 п.
    0000014695 00000 п.
    0000015083 00000 п.
    0000015465 00000 п.
    0000015902 00000 н.
    0000020121 00000 п.
    0000020391 00000 п.
    0000020580 00000 п.
    0000020843 00000 п.
    0000021107 00000 п.
    0000021196 00000 п.
    0000021801 00000 п.
    0000021970 00000 п.
    0000022342 00000 п.
    0000022781 00000 п.
    0000022964 00000 н.
    0000023082 00000 п.
    0000023582 00000 п.
    0000023775 00000 п.
    0000027838 00000 п.
    0000028203 00000 п.
    0000028436 00000 п.
    0000033482 00000 п.
    0000033754 00000 п.
    0000033884 00000 п.
    0000034456 00000 п.
    0000034752 00000 п.
    0000034916 00000 п.
    0000035294 00000 п.
    0000035850 00000 п.
    0000036043 00000 п.
    0000036306 00000 п.
    0000036587 00000 п.
    0000036727 00000 н.
    0000039197 00000 п.
    0000039532 00000 п.
    0000039935 00000 н.
    0000044013 00000 п.
    0000044463 00000 п.
    0000044874 00000 н.
    0000045177 00000 п.
    0000045264 00000 п.
    0000050093 00000 п.
    0000050403 00000 п.
    0000050584 00000 п.
    0000050989 00000 п.
    0000051191 00000 п.
    0000055739 00000 п.
    0000056221 00000 п.
    0000056385 00000 п.
    0000056655 00000 п.
    0000057012 00000 п.
    0000060099 00000 п.
    0000064373 00000 п.
    0000064540 00000 п.
    0000064798 00000 н.
    0000069033 00000 п.
    0000069396 00000 п.
    0000069806 00000 п.
    0000070324 00000 п.
    0000070686 00000 п.
    0000070919 00000 п.
    0000071307 00000 п.
    0000071655 00000 п.
    0000072073 00000 п.
    0000072445 00000 п.
    0000077290 00000 п.
    0000081743 00000 п.
    0000087153 00000 п.
    0000112495 00000 н.
    0000113277 00000 н.
    0000113402 00000 н.
    0000116210 00000 н.
    0000118378 00000 н.
    0000120651 00000 н.
    0000121294 00000 н.
    0000122976 00000 н.
    0000123803 00000 н.
    0000125315 00000 н.
    0000150888 00000 н.
    0000151622 00000 н.
    0000152509 00000 н.
    0000157047 00000 н.
    0000157082 00000 н.
    0000157160 00000 н.
    0000171703 00000 н.
    0000172034 00000 н.
    0000172100 00000 н.
    0000172216 00000 н.
    0000172251 00000 н.
    0000172329 00000 н.
    0000191300 00000 н.
    0000191631 00000 н.
    0000191697 00000 н.
    0000191813 00000 н.
    0000191947 00000 н.
    0000192341 00000 п.
    0000192494 00000 н.
    0000192900 00000 н.
    0000193155 00000 н.
    0000193652 00000 н.
    0000193957 00000 н.
    0000194278 00000 н.
    0000194372 00000 н.
    0000195070 00000 н.
    0000195344 00000 н.
    0000195653 00000 н.
    0000195740 00000 н.
    0000196393 00000 н.
    0000196656 00000 н.
    0000196959 00000 н.
    0000197152 00000 н.
    0000197605 00000 н.
    0000197915 00000 н.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.