Двугранный угол как обозначается: Двугранный угол — урок. Геометрия, 10 класс.

Содержание

Двугранный угол — урок. Геометрия, 10 класс.

Двугранный угол — это часть пространства, заключённая между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

 

Если в пространстве пересекаются две плоскости, получаются четыре двугранных угла (аналогично как при пересечении двух прямых получаются четыре угла). Рассмотрим один из них.

 

Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его гранями.

Общая прямая \(a\) этих граней называется ребром двугранного угла.

 

Выберем на ребре \(a\) двугранного угла произвольную точку \(C\) и проведём две пересекающиеся прямые AC⊥a и BC⊥a, а через эти прямые — плоскость γ перпендикулярно ребру \(a\).

 

Линии пересечения \(AC\) и \(BC\) полуплоскостей α и β с плоскостью γ образуют некоторый угол ∡ACB. Этот угол называется  линейным углом двугранного угла. Величина линейного угла не зависит от выбора точки \(C\)  на ребре \(a\).

 

Обрати внимание!

Величина двугранного угла  \(0° <\) &angmsd;ACB \(< 180°\).

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен \(0°\) по определению.

Если при пересечении плоскостей один из двугранных углов составляет \(90°\), то три остальных угла — тоже \(90°\). Эти плоскости называют перпендикулярными.

Следующие теоремы, которые здесь приведём без доказательств, могут пригодиться при решении задач.

 

1. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

 

2. Плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоскостей.

 

3. Если две плоскости перпендикулярны, и в одной из них прямая проведена перпендикулярно линии пересечения плоскостей, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

Многогранные углы

Объясним понятие многогранных углов.

Представим несколько лучей в пространстве с общим началом. Их можно представить тоже как часть линий пересечения плоскостей — трёх, четырёх или больше — и назвать рёбрами многогранного угла.

 Трёхгранный угол

 

 Четырёхгранный угол

 

 Пятигранный угол

 

Каждые два луча образуют угол, который называют плоским углом многогранного угла.

 

 

Обрати внимание!

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

 

Сумма плоских углов многогранного угла меньше \(360°\).

§ 14. Двугранные углы. Угол между двумя плоскостями

§ 14.Двугранные углы. Угол между двумя плоскостями

14.1. Двугранный угол и его измерение

Рассмотрим два полупространства, образованные непараллельными плоскостями. Пересечение этих полупространств назовём двугранным углом.

Прямую, по которой пересекаются плоскости — границы полупространств, называют ребром двугранного угла, а полуплоскости этих плоскостей, образующие двугранный угол, — гранями двугранного угла.

Двугранный угол с гранями α, β и ребром a обозначают αaβ. Можно использовать и такие обозначения двугранного угла, как K(AB)T; α(AB)β (рис. 94, 95).

Замечание. Иногда говорят, что двугранный угол αaβ образован двумя полуплоскостями α и β, имеющими общую граничную прямую a.

Фигуры, образованные двумя страницами одной книги, двумя соседними гранями куба, — модели двугранного угла.

Для измерения двугранного угла введём понятие его линейного угла. На ребре a двугранного угла αaβ отметим произвольную точку O и в гранях α и β проведём из точки O соответственно лучи OA и OB, перпендикулярные ребру a (рис. 96, а). Угол AOB, образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла αaβ.

Так как OA ⊥ a и OB ⊥ a, то плоскость AOB перпендикулярна прямой a. Это означает, что линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру.

Вследствие произвольного выбора точки O на ребре двугранного угла заключаем, что двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов. Докажем, что все они равны. Действительно, рассмотрим два линейных угла AOB и A1O1B1 двугранного угла αaβ (рис. 96, б). Лучи OA и O1A1 лежат в одной грани α и перпендикулярны прямой a — ребру двугранного угла, поэтому они сонаправлены. Аналогично получаем, что сонаправлены лучи OB и O1B1. Тогда ∠ AOB = ∠ A1O1B1 (как углы с сонаправленными сторонами).

Таким образом, нами доказана теорема.

Теорема 27. Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.

Иначе говоря, все линейные углы данного двугранного угла равны между собой.

Это позволяет ввести следующее определение.

Определение. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Величина двугранного угла, измеренная в градусах, принадлежит промежутку (0°; 180°).

На рисунке 97 изображён двугранный угол, градусная мера (величина) которого равна 30°. В этом случае также говорят, что двугранный угол равен тридцати градусам.

Двугранный угол является острым (рис. 98, а), прямым (рис. 98, б) или тупым (рис. 98, в), если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой.

Заметим, что аналогично тому, как и на плоскости, в пространстве определяются смежные (рис. 99, а) и вертикальные (рис. 99, б) двугранные углы. При этом справедливы и аналогичные теоремы о величинах этих углов.

Попробуйте доказать самостоятельно следующие два утверждения, важные для решения задач.

 На гранях двугранного угла величины α взяты точки A и B; A1 и B1 — проекции этих точек на ребро двугранного угла; AA1= a; BB1 = b; A1B1 = h. Тогда

AB = .

 Если внутри двугранного угла величины α взята точка на расстояниях a и b от граней двугранного угла, то её расстояние от ребра двугранного угла равно .

14.2. Угол между двумя плоскостями

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 100). Если величина одного из них равна ϕ, то величины трёх остальных равны соответственно 180° – ϕ, ϕ, 180° – ϕ (почему?). Наименьшая из этих величин принимается за величину угла между данными пересекающимися плоскостями.

Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении.

Угол между параллельными или совпадающими плоскостями полагается считать равным нулю.

Если величина угла между плоскостями α и β равна ϕ, то пишут: (α; β) = ϕ.

Так как двугранный угол измеряется своим линейным углом, то из выше приведённого определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями равен углу между пересекающимися прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения (см. рис. 100). Это означает, что величина угла между плоскостями принадлежит промежутку [0°; 90°].

ЗАДаЧа. Отрезок DM длиной 3,2 перпендикулярен плоскости ромба ABCD (∠ ADC — тупой). Диагонали ромба равны 12 и 16. Найти углы между плоскостями:

а) ABC и MBC; б) AMD и CMD.

Решение. а) Пусть DE — высота ромба ABCD (рис. 101). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ME ⊥ BC и ∠ DEM = ϕ — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и MBC. Найдём величину этого угла.

По условию задачи DM ⊥ (ABC), поэтому ⧌ MDE — прямоугольный, значит, tg ϕ = . Так как DE — высота ромба ABCD, то DE = , где S — площадь этого ромба. Сторона BC ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника BOC, катеты OB и OC которого равны 6 и 8. Значит, BC =  =  = 10.

Учитывая, что S = •AC•BD = •12•16 = 96, находим: DE =  = 9,6. Тогда tg ϕ =  =  = , откуда ϕ = arctg .

б) Так как отрезок DM — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD, то AD ⊥ DM, CD ⊥ DM, значит, ∠ ADC = ψ — линейный угол двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями ADM и CDM. Найдём этот угол.

В треугольнике ACD по теореме косинусов находим

cos ψ =  =  = – ,

откуда ψ = arccos .

Ответ: а) arctg ; б) arccos .

Урок 7: Двугранный угол — 100urokov.ru

План урока:

Понятие двугранного угла и угла между плоскостями

Перпендикулярность плоскостей

Прямоугольный параллелепипед

Трехгранный угол

Многогранный угол

Типичные задачи на углы между плоскостями

 

Понятие двугранного угла и угла между плоскостями

Напомним, что в планиметрии углом называют фигуру, состоящую из точки и двух лучей, выходящих из нее. Сама точка именуется вершиной угла, а лучи – сторонами угла.

По аналогии в стереометрии рассматривается схожая фигура – двугранный угол. Он состоит из двух полуплоскостей, которые исходят из одной прямой. Каждая из этих полуплоскостей именуется гранью двугранного угла, а их общая прямая – это ребро двугранного угла.

Для обозначения двугранного угла достаточно указать две точки на его ребре, а также ещё по одной точке на каждой грани. Например, на следующем рисунке показан угол САВD:

Двугранные углы часто встречаются в обычной жизни. Например, его образуют двухскатные крыши домов. В стереометрии двугранные угла можно найти в любом многограннике.

Двугранные углы можно измерять. Для этого надо выбрать произвольную точку на ребре угла и на каждой грани построить перпендикуляр, проходящий через эту точку. Через эти два перпендикуляра можно построить единственную плоскость. Угол между двумя перпендикулярами и принимается за величину двугранного угла.

Отдельно отметим, что плоскость, проходящая через перпендикуляры (на рисунке выше это γ) перпендикулярна ребру угла АВ. Это вытекает из признака перпендикулярности прямой и плоскости. Действительно, АВ⊥ВС и АВ⊥BD, поэтому и АВ⊥γ. Построенный угол ∠СBD называют линейным углом двугранного угла.

Понятно, что в каждом двугранном угле можно построить сколько угодно линейных углов:

Здесь помимо ∠ВСD построены линейные углы ∠В’С’D’ и ∠В’’С’’D’’. Однако все эти углы имеют одинаковую градусную меру. Сравним, например, ∠ВСD и ∠В’С’D’. Так как BD⊥AB и B’D’⊥АВ, то BD||B’D’. Аналогично можно прийти к выводу, что ВС||B’C’. Получаем, что стороны углов ∠ВСD и ∠В’С’D’ – это сонаправленные лучи, а потому ∠ВСD и ∠В’С’D’ одинаковы.

Двугранные углы, как и обычные углы, можно разделить на острые (их градусная мера меньше 90°), прямые (они в точности равны 90°) и тупые (которые больше 90°).

Если две плоскости пересекаются, то они образуют сразу 4 двугранных угла. Если среди них есть острый угол, то его величина считается углом между плоскостями. Если же все образуется 4 прямых двугранных угла, то угол между плоскостями принимается равным 90°.

 

Перпендикулярность плоскостей

В частном случае, когда угол составляет 90°, говорят, что пересекающиеся плоскости перпендикулярны.

Перпендикулярны друг другу пол и стены в доме, смежные грани кубика, стенки коробки. Существует особый признак перпендикулярности плоскостей.

Действительно, пусть плоскости α и β пересекаются по линии n, и в β есть такая прямая m, что m⊥α. Тогда m и n должны пересекаться в какой-нибудь точке К. Проведем в плоскости α через К прямую р, перпендикулярную n. Ясно, что m⊥р, ведь m⊥α. Получается, угол между m и р как раз и является углом между плоскостями α и β, ведь m⊥n и р⊥n. И этот угол равен 90°, ведь m⊥p, ч т. д.

Из доказанного признака вытекает следующее утверждение:

 

Прямоугольный параллелепипед

Ранее мы уже узнали про параллелепипед. Это фигура с 6 гранями, каждая из которых представляет собой параллелограмм. Особый интерес представляет его частный случай – прямоугольный параллелепипед.

Такую форму имеют многие шкафы, другие предметы мебели, коробки для обуви, небоскребы. Изображают прямоугольный параллелепипед так:

Для обозначения вершин параллелепипеда применяют латинские буквы. Очень часто для вершин одной грани используют 4 буквы без индекса (на рисунке выше это А, В, С, D), а другие 4 вершины обозначают такими же буквами, но с нижним индексом 1: А1, B1, C1 и D1. При этом одноименные вершины (например, А и А1) находятся на одном ребре, которое располагается на рисунке вертикально.

Докажем некоторые свойства прямоугольного параллелепипеда.

Например, ребро АD пересекается с гранями АВВ1А1 и CDD1C1. Значит, оно перпендикулярно этим граням (точнее говоря, оно перпендикулярно плоскостям, проходящим через эти грани). Действительно, AD⊥DC, ведь ∠ADC является углом в прямоугольнике АВСD и потому он прямой. Аналогично и AD⊥DD1, ведь и ADD1A1 – прямоугольник. Получается, что ребро AD перпендикулярно 2 прямым в грани CDD1C1 (которые при этом пересекаются), и потому оно перпендикулярно и всей грани. То же самое можно продемонстрировать для любого ребра прямоугольного параллелепипеда и любой грани, которую она пересекает.

Эти грани пересекаются по ребру А1D1. Этому ребру в свою очередь перпендикулярны ребра АА1 и А1В1, лежащие в гранях ADD1A1 и A1D1C1B1. Значит, ∠АА1В1 и будет углом между этими гранями. Но он составляет 90°, то есть грани перпендикулярны, ч. т. д.

Хотя у прямоугольного параллелепипеда есть 12 граней, многие из них имеют одинаковую длину. Поэтому для описания размеров этой фигуры достаточно указать только три параметра. Обычно их называют длиной, шириной и высотой:

Эти параметры также называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Зная их, можно вычислить длину диагонали прямоугольного параллелепипеда. Для этого используется следующая теорема:

Действительно, пусть есть прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1. Назовем ребро AD его длиной, АВ – шириной, а ВВ1 – высотой. Пусть необходимо найти длину диагонали В1D:

Сначала построим отрезок BD и рассмотрим ∆ABD. Он прямоугольный, и потому для него верна теорема Пифагора:

Теперь перейдем к ∆В1ВD. Так как ребро BB1 перпендикулярно грани ABCD, то ∠В1ВD – прямой. Тогда и ∆В1ВD – прямоугольный, а потому и для него можно записать теорему Пифагора:

Дополнительно отметим уже известный нам факт, что тот прямоугольный параллелепипед, у которого все стороны одинаковы, именуется кубом. Можно дать и такое определение куба:

 

Трехгранный угол

Выберем в пространстве произвольную точку K. Далее из нее проведем три луча КА, КВ и КС так, чтобы они не находились в одной плоскости:

В результате мы получили фигуру, которую именуют трехгранным углом. Она состоит их трех плоских углов: ∠АКС, ∠АКВ и ∠ВКС. Эти углы так и называются – плоские углы трехгранного угла. Сам же трехгранный угол обозначают четырьмя буквами: КАВС. Обратите внимание, что через каждую пару лучей КА, КВ и КС можно провести плоскость. Таким образом, название «трехгранный» угол показывает, что в точке К сходятся три грани. Чаще всего в стереометрии такой угол возникает при рассмотрении вершин тетраэдра, в котором есть сразу четыре трехгранных угла:

Доказательство. Пусть в пространстве из точки D выходят лучи AD, BD и CD. Важно понимать, что мы можем свободно «передвигать» точки А, В и С по лучам, и величина плоских углов при этом меняться не будет. Если среди плоских углов нет наибольшего, то теорема очевидно выполняется. Поэтому надо рассмотреть лишь случай, когда один из углов – наибольший. Пусть им будет ∠BDC:

Это возможно сделать, ведь ∠BDC > AD, поэтому внутри ∠BDC можно провести луч DK. Далее «сместим» точку А на луче АD так, чтобы DK = AD. Естественно, что при этом плоские углы трехгранного угла никак не изменятся, также как останется верным равенство

Сравним ∆ADC и ∆DKC. У них есть общая сторона DC, одинаковы стороны DK и AD, а также совпадают углы между ними. Значит, эти треугольники равны, и тогда можно записать, что:

Теперь сравним ∆ABD и ∆DBK. У них BD – общая сторона, а DK = AD. При этом BK < AB. В таком случае против меньшей стороны будет лежать меньший угол (смотри примечание после доказательства), то есть

Именно это неравенство и необходимо было доказать.

Примечание. В ходе доказательства было использовано утверждение, что если у двух треугольников две стороны одинаковы, в третьи стороны отличаются, то против меньшей третьей стороны будет располагаться меньший угол:

Это утверждение часто не рассматривается в курсе планиметрии, поэтому есть смысл доказать его отдельно. Действительно, пусть есть ∆АВС и ∆А’B’C’, АС = А’C’ и АВ = A’B’, а СВ < C’B’. Надо показать, что ∠А <∠A’. Для этого выразим стороны СВ и C’B’ (а точнее говоря, их квадраты) с помощью теоремы косинусов:

Из последнего неравенства на основе определения косинуса для углов из интервала от 0° до 180° вытекает, что и

 

Многогранный угол

Возможен случай, когда из одной точки в пространстве выходят не три, а большее количество лучей, причем образуемые ими углы не располагаются в единой плоскости. Такая фигура именуется многогранным углом. Трехгранный угол можно считать его частным случаем. Также его частными случаями будут четырехгранный угол, пятигранный угол, шестигранный угол и т. д.

Более наглядна следующая демонстрация многогранного угла. Построим на плоскости α произвольный многоугольник. Далее выберем какую-нибудь точку вне плоскости α и соединим ее с вершинами многоугольника с помощью лучей. При этом у нас как раз получится многогранный угол. Если, например, в качестве многоугольника мы использовали пятиугольник, то и получим мы пятигранный угол:

Важно отметить, что в данном случае состоит многогранный угол именно из лучей КА1, КА2, КА3…, а не из одноименных отрезков. То есть многогранный угол – это ни в коем случае не многогранник КА1А2А3А4А5, у него есть только одна вершина – точка К. Многогранник КА1А2А3А4А5 – это пирамида, такая фигура изучается в курсе стереометрии чуть позже. Многоугольник А1А2А3А4А5 – это сечение многогранного угла. Углы ∠А1КА2, ∠А2КА3, ∠А3КА4… – это плоские углы многогранного угла.

Заметим, что на исходный многоугольник на плоскости может быть как выпуклым, так и невыпуклым. Соответственно и многогранный угол может быть как выпуклым, так и невыпуклым:

Так как любой треугольник – это выпуклый многоугольник, то и любой трехгранный угол является выпуклым. В выпуклом угле все его точки лежат по одну сторону от любой плоскости, проходящей, через какие-нибудь два смежных луча угла. Вообще любое сечение многогранного угла представляет собой выпуклый многоугольник.

Докажем важное утверждение:

Для доказательства возьмем произвольный многогранный угол и проведем в нем сечение А1А2А3…Аn, которое будет являться выпуклым многоугольником:

В последнем равенстве в каждой скобке стоят по два плоских угла в тех трехгранных углах, вершины которых совпадают с вершинами многоугольника А1А2А3…Аn. В предыдущей теореме мы выяснили, что эта сумма меньше третьего плоского угла, то есть

В правой части в скобках стоит сумма углов выпуклого n-угольника А1А2А3…Аn. Она, как мы знаем, составляет 180°•(n – 2), то есть

Последнее неравенство и необходимо было доказать.

 

Типичные задачи на углы между плоскостями

В школьной практике почти не встречаются задачи с многогранными углами, поэтому достаточно понимания и двугранного угла.

 

Задание. У тетраэдра ABCD все ребра одинаковы. Найдите величину двугранного угла между плоскостями АВС и АСD.

Решение. Отметим на ребре АС точку М, которая является его серединой:

Заметим, что плоскости АВС и АСD пересекаются по прямой АС. Раз все ребра тетраэдра одинаковы, то ∆АВС и ∆АСD – равносторонние. DM и BM – это медианы в ∆АВС и ∆АСD соответственно, ведь M – середина АС. Но раз треугольники равносторонние, то они одновременно являются и высотами, то есть BM⊥AC и DM⊥АС. Тогда ∠DMB как раз и представляет собой линейный угол двугранного угла BАСD. То есть именно его значение нам и надо вычислить (если, конечно, он окажется не больше 90°).

Пусть ребра тетраэдра имеют длину а. Тогда АМ вдвое короче. Найдем из прямоугольного ∆АМD длину MD:

 

Задание. Двугранный угол равен φ, меньший 90°. На одной из его граней отмечена точка К, которая находится на расстоянии d от другой грани. Каково расстояние между точкой К и ребром двугранного угла?

Решение. Пусть угол образован плоскостями α и β. Опустим из K два перпендикуляра – один на плоскость β в точку Н, а другой на линию пересечения плоскостей в точку Р:

По условию задачи ∠НРК = φ, а HK = d. Нам же надо найти РК. Это можно сделать, применив определение синуса к ∆РНК:

 

Задание. Верно ли, что плоскость, пересекающая две параллельные плоскости, образует с ними одинаковые углы?

Решение. Пусть есть параллельные друг другу плоскости α и β, а пересекает их плоскость γ. Линию пересечения α и γ обозначим как n, и такую же линию для β и γ обозначим как m:

Заметим, что m и n располагаются в одной плоскости γ и при этом не пересекаются, в противном случае у α и β нашлась бы общая точка, которой быть не должно. Значит, m||n.

Далее проведем в γ прямую р, перпендикулярную n. Раз m||n и р⊥n, то и р⊥m. То есть р – общий перпендикуляр для m и n.

Далее в α через точку пересечения n и p проведем прямую k, перпендикулярную n. Ясно, что k||β. После уже через точку пересечения m и p построим такую прямую k’, что k||k’:

Так как k||β и k||k’, то прямая k’ будет принадлежать плоскости β (по теореме 6 из этого урока). Так как k||k’, m||n и n⊥k, то по теореме о сонаправленных лучах можно утверждать, что и m⊥k’. Тогда углы, отмеченные на рисунке синим цветом – это и есть линейные углы двугранных углов. Они одинаковы, так как являются соответственными при секущей р и параллельных прямых k и k’. Если же двугранные углы равны, то одинаковы и углы между плоскостями, ч. т. д.

Примечание. Доказанный факт можно сформулировать в виде теоремы:

Она может быть использована при решении некоторых сложных задач.

 

Задание. В прямоугольном ∆АВС АВ и АС – катеты с длиной 7 и 24 соответственно. Через гипотенузу проведена плоскость β, образующая с плоскостью АВС угол 30°. Каково расстояние между точкой А и плоскостью β?

Решение.

Опустим из А перпендикуляр АН на β. Это и будет искомое нами расстояние. Также в ∆АВС построим высоту AD. Заметим, что раз АН⊥β, то по определению и АН⊥HD. Можно сказать, что HD – это проекция AD на β. Раз прямая ВС перпендикулярна наклонной AD, то она одновременно будет перпендикулярна и наклонной HD по обратной теореме о трех перпендикулярах.

Плоскости АВС и β пересекаются по прямой ВС, АD⊥ВС и HD⊥BC. Получается, что ADH – это как раз угол между АВС и β, и по условию он составляет 30°.

По теореме Пифагора вычислим гипотенузу ВС:

Теперь перейдем к ∆AHD. Он также прямоугольный (∠Н = 90°). Используем для него тригонометрию:

 

Задание. Известны измерения прямоугольного параллелепипеда. Его длина составляет 90 см, ширина – 20 см, а высота – 60 см. Какова длина диагонали такого параллелепипеда?

Решение. Обозначим измерения буквами а, b, с, а диагональ буквой d. Достаточно просто воспользоваться формулой:

Далее рассмотрим несколько задач, в которых надо найти угол между плоскостями, находящимися в кубе с ребром, чья длина составляет единицу.

 

Задание. Вычислите угол между гранью ADHЕ и сечением АBGН:

Решение. Заметим, что сечение АВGH содержит прямую АВ. Но АВ – это перпендикуляр к АЕНD. Если АВGH содержит перпендикуляр к ADH, то эти две плоскости перпендикулярны, и угол между ними составляет 90°.

Ответ: 90°.

 

Задание. Определите угол между гранью ADHE и сечением ADGF:

Решение. Две рассматриваемые плоскости пересекаются по ребру AD. Ребра DH и AD перпендикулярны как стороны квадрата. Так как AD – это перпендикуляр к грани СDHG, то AD⊥DG. Получается, что ∠HDG – это и есть искомый угол. Его величина равна 45°, ведь это угол между диагональю квадрата и его стороной.

Ответ: 45°.

 

Задание. Вычислите угол между сечениями АВGH и EFCD:

Решение. Пересекаются эти две плоскости по прямой KP, где K и P – точки пересечения диагоналей квадратов BFGH и AEHD. Докажем, что отрезки KG и KC перпендикулярны KP.

Действительно, рассмотрим четырехугольник АВGH. Ребра АВ и GH перпендикулярны граням AEHD и BFGH, поэтому все углы в АВGH – прямые, то есть это прямоугольник и BG||AH. Теперь рассмотрим четырехугольник АВKP. Стороны BK и AP параллельны и равны как половины равных отрезков BG и AH. Значит, BKAP – параллелограмм. Но в нем есть прямые углы ∠В и ∠А, поэтому BKAP – прямоугольник. Аналогично можно показать, что и KGHP – прямоугольник. Это и приводит к выводу о том, что KG⊥KP и PH⊥KP. Поэтому ∠СKG и является искомым углом между сечениями. Он является углом между диагоналями квадрата, то есть равен 90°.

Ответ: 90°.

 

Задание. Найдите угол между сечением AFH и гранью AEHD:

Решение. Обозначим середину диагонали AH буквой K. Докажем ∠EKF – искомый нами угол:

Действительно, плоскости AHD и AFH пересекаются по прямой AH. EK – медиана в равнобедренном ∆AEH с основанием AH, поэтому она также является и высотой, то есть EK⊥AH. AF и FH – диагонали в равных квадратах ABFE и EFGH, поэтому эти диагонали одинаковы. Значит, ∆AFH – равнобедренный, и поэтому его медиана FK также перпендикулярна основанию AH. Получается, что ∠EKF и является искомым. Вычислить его можно из ∆EKF.

Сначала найдем длину EK. В прямоугольном ∆AEK ∠KAE составляет 45° (угол между диагональю и стороной квадрата), поэтому

 

Задание. Вычислите угол между гранью BCGF и сечением AFH:

Решение. Вспомним, что в предыдущей задаче мы уже вычислили угол между гранью АЕHD и тем же сечением АFH. Но грани AEHD и BCFG параллельны, поэтому АFH должна пересекаться их под одним и тем же углом. Поэтому ответ этой задачи совпадает с ответом к предыдущей задаче.

Ответ: ≈ 54,74°.

 

Задание. Чему равен угол между сечениями АСH и AFGH?

Решение. Пусть диагонали СН и DG пересекаются в точке К. Точка K будет принадлежать обоим сечениям, как и точка А. Значит, сечения пересекаются по линии АК. Проведем в сечении AFGH через точку K прямую, перпендикулярны АК и пересекающую FG в какой-то точке Р (позже мы убедимся, что прямая действительно должна пересекать отрезок FG):

Докажем, что ∠CPK и является углом между сечениями. Мы специально провели РК так, что РК⊥АК. Теперь посмотрим на ∆АСН. Он равносторонний, ведь его стороны АС, СН и DH – это диагонали равных квадратов (граней куба). Прямая АК – медиана, ведь K – точка пересечения диагоналей квадрата СDHG, которая делит диагонали пополам. Но раз ∆АСН равносторонний, то его медиана – это ещё и высота, то есть АК⊥РК. Итак, АК⊥СК и АК⊥РК, поэтому ∠CPK – это угол между сечениями. Для его вычисления необходимо найти все стороны в ∆РСК и далее применить теорему косинусов.

Проще всего найти СК. ∆СKD – прямоугольный (∠К = 90°), а ∠СDK составляет 45° (угол между стороной и диагональю в квадрате). Тогда можно записать, что

Отдельно отметим, что отрезки GK и KD имеют такую же длину, ведь диагонали в квадрате (а значит и их половины) одинаковы.

Для нахождения РК покажем отдельно плоскость AFG, то есть красное сечение:

Обозначим ∠KAD как φ. Тогда ∠АКD будет составлять 90 – φ. Углы ∠АКD, ∠АKP и ∠PKG в сумме дают 180°, что позволяет найти ∠PKG:

Получилось, что у ∆АКD и ∆PKG есть по два одинаковых угла (φ и 90°). Значит, они подобны. Составим такую пропорцию:

Теперь можно вернуться ко всему кубу и найти отрезок РС. Здесь снова можно применить теорему Пифагора, но уже к ∆PCG:

Теперь для ∆PCK мы можем записать теорему косинусов

Неожиданно мы доказали, что два построенных сечения перпендикулярны друг другу. Прийти к этому выводу можно было и иначе. Достаточно было бы показать, что прямая CH – это перпендикуляр к сечению AFGD. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Ответ: 90°.

 

Задание. Вычислите угол между сечениями BDHF и ADGF:

Решение. У сечений общими являются точки F и D. Значит, именно по прямой FD они пересекаются.

Опустим в синей сечении BDHF перпендикуляр на FD, который упадет в некоторую точку K:

Докажем, что отрезок GK также перпендикулярен FD. Действительно, BK – это высота в ∆BDF. Но ∆BDF и ∆GDF равны, ведь они одинаковы все три стороны (FD – общая сторона, BF и FG – ребра куба, BD и DG – диагонали на гранях куба). В равных треугольниках высоты должны делить стороны на равные отрезки, поэтому высота, опущенная из G на FD, также разделит FD на отрезки FK и KD. То есть она просто упадет в точку K. Это и значит, что KG – высота. Получается, что нам надо вычислить ∠BKG.

Сначала найдем длину диагоналей BD и BG. Можно применить теорему Пифагора для ∆BFG:

KG имеет ту же длину, ведь KG и BK – одинаковые высоты в равных треугольниках ∆BDF и ∆GDF.

Теперь используем теорему косинусов для ∆BKG:

Мы вычислили двугранный угол, но он оказался больше 90°. Это значит, угол между плоскостями равен не 120°, а 180° – 120°, то есть 60°.

Ответ: 60°.

 

Сегодня мы познакомились с понятием двугранного угла, научились вычислять углы между плоскостями. В частном случае вместо вычисления угла можно просто доказать перпендикулярность плоскостей.

 

Что это такое Двугранный угол. Энциклопедия

Пользователи также искали:



двугранный угол линейный угол двугранного угла,

двугранный угол как найти,

двугранный угол обозначение,

двугранный угол в пирамиде,

двугранный угол в тетраэдре,

двугранный угол задачи,

как измеряется двугранный угол,

как обозначается двугранный угол,

Двугранный,

двугранный,

угол,

Двугранный угол,

двугранный угол в пирамиде,

как обозначается двугранный угол,

двугранный угол обозначение,

как измеряется двугранный угол,

двугранный угол в тетраэдре,

двугранный угол задачи,

найти,

пирамиде,

обозначается,

обозначение,

линейный,

двугранного,

угла,

измеряется,

тетраэдре,

задачи,

двугранный угол как найти,

двугранный линейный угол двугранного угла,

двугранный угол,

геометрические фигуры. двугранный угол,

Урок 2. луч и угол — Геометрия — 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 2

Луч и угол

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Угол.
  • Луч.
  • Внутренняя и внешняя часть угла.
  • Развёрнутый угол.

Тезаурус:

Луч – часть прямой, состоящая из всех точек, лежащих по одну сторону от заданной точки и той точки, которая является началом луча.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Угол также рассматривается как часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Стороны угла – лучи, из которых состоит угол.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы уже познакомились с некоторыми геометрическими понятиями: прямая, точка, отрезок. Сегодня мы рассмотрим ещё два понятия, часто встречающиеся в геометрии – это луч и угол.

Для начала, вспомним, как строятся и обозначаются лучи и углы.

Для этого проведём прямую а, отметим на ней точкуО, которая разделит прямую на две части. Эти части прямой называются лучами, исходящими из точки О. А сама точка О, называется началом каждого из лучей.

Луч принято обозначать как одной малой латинской буквой, например, а.

Или двумя большими латинскими буквами, например, ОА.

При этом стоит помнить, что первая буква всегда обозначает начало луча, а вторая– это любая точка на луче.

Теперь рассмотрим понятие угол.

Начнём с определения.

Угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Лучи – это стороны угла.

В данном случае, это стороны ОА и ОВ.

Общее начало сторон, в данном случае О – это вершина угла.

Углы принято обозначать как двумя малыми латинскими буквами, по названию сторон угла, например, ∠hk,

так и тремя большими латинскими буквами, например, тот же угол можно обозначить ∠АОВ, где вершина угла будет стоять в середине обозначения угла.

Или одной большой латинской буквой, обозначающей вершину угла. Например, тот же угол можно обозначить буквой∠О, по вершине угла.

Далее введём понятия, связанные с углами.

Во-первых, рассмотрим угол, который называют развёрнутым, его обе стороны лежат на одной прямой. Например, ∠С– развёрнутый.

В дальнейшем будем рассматривать углы меньше развёрнутого.

Угол также рассматривается как часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Во-вторых, плоскость, на которой изображён любой угол, кроме развёрнутого, делится на две области: внутреннюю и внешнюю.

В развёрнутом углу, любая часть считается внутренней.

Решим задачу.

На рисунке изображён угол. Какие из точек лежат внутри угла и вне его?

Решение:

Внутри угла лежат точки: М, Е, К.

Вне угла лежат точки: Р, D, N.

Отметим, что точкиВ и С лежат на сторонах углаО.

Продолжая изучать углы, отметим, что если внутри угла из его вершины провести луч, то он разделит угол на два угла.

Например, луч ОС делит ∠АОВ на два угла – ∠ВОС и ∠АОС.

Итак, сегодня мы повторили некоторые сведения о луче и углах; сформировали представления о внутренней и внешней областях угла, меньше развернутого, познакомились с различными обозначениями луча и угла.

Материал для углубленного изучения

Двугранный угол.

Мы разобрали понятие угол, связанное с планиметрией. Но как отмечалось ранее, у геометрии есть ещё один раздел – стереометрия, который изучается в старших классах. Этот раздел изучает пространственные фигуры, одна из таких фигур–двугранный угол. Дадим ему определение: двугранный угол – пространственнаягеометрическая фигура, образованная двумяполуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Двугранный угол имеет стороны (иначе их называют грани), это полуплоскости α и β, и ребро, в данном случае это прямая АВ. Как измерить такие углы и их разновидности, вы узнаете в курсе геометрии 10 класса.

Тренировочные задания.

№ 1. Какие из точек лежат на стороне угла?

Решение:

Посмотрите на рисунок. На нём изображён угол ВОС, соответственно точки B и C лежат на сторонах угла, других точек нет.

Ответ: B и C.

№ 2. Сколько углов изображено на рисунке?

Решение. Перечислим все углы, изображённые на рисунке.

СОВ, ВОА, АОD, DОС и развёрнутые углы СОА и DОВ. Получается 8 углов.

Ответ: 8 углов.

Стереометрия (Геометрия в пространстве) — Все свойства, теоремы, аксиомы и формулы — Математика

Оглавление:

 

Базовые теоремы, аксиомы и определения стереометрии

Вводные определения и аксиомы стереометрии

К оглавлению…

Некоторые определения:

  1. Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых, имеющие общую сторону, не лежат в одной плоскости. При этом сами многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника.
  2. Фигура, образованная всеми гранями многогранника, называется его поверхностью (полной поверхностью), а сумма площадей всех его граней – площадью (полной) поверхности.
  3. Куб – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами. Стороны квадратов называются ребрами куба, а вершины – вершинами куба.
  4. Параллелепипед – это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм. Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра, а имеющие общее ребро называются смежными. Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями, тогда остальные грани – боковыми гранями, а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, – его боковыми ребрами.
  5. Прямой параллелепипед – это такой параллелепипед, у которого боковые грани – прямоугольники. Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники. Заметим, что всякий прямоугольный параллелепипед является прямым параллелепипедом, но не любой прямой параллелепипед есть прямоугольный.
  6. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда. У параллелепипеда всего четыре диагонали.
  7. Призма (n-угольная) – это многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы. Равные n-угольники называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы. Прямая призма – это такая призма, у которой боковые грани – прямоугольники. Правильная n-угольная призма – это призма, у которой все боковые грани – прямоугольники, а ее основания – правильные n-угольники.
  8. Сумма площадей боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней призмы называется площадью поверхности призмы (обозначается Sполн).
  9. Пирамида (n-угольная) – это многогранник, у которого одна грань – какой-нибудь n-угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной; n-угольник называется основанием; треугольники, имеющие общую вершину, называются боковыми гранями, а их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, а ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми.
  10. Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью поверхности пирамиды (площадь поверхности обозначается Sполн).
  11. Правильная n-угольная пирамида – это такая пирамида, основание которой – правильный n-угольник, а все боковые ребра равны между собой. У правильной пирамиды боковые грани – равные друг другу равнобедренные треугольники.
  12. Треугольная пирамида называется тетраэдром, если все ее грани – равные правильные треугольники. Тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды (т.е. не каждая правильная треугольная пирамида будет тетраэдром).

Аксиомы стереометрии:

  1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
  2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
  3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом стереометрии:

  • Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость.
  • Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
  • Теорема 3. Через две параллельные прямые проходит единственная плоскость.

 

Построение сечений в стереометрии

К оглавлению…

Для решения задач по стереометрии остро необходимо умение строить на рисунке сечения многогранников (например, пирамиды, параллелепипеда, куба, призмы) некоторой плоскостью. Дадим несколько определений, поясняющих, что такое сечение:

  • Секущей плоскостью пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется такая плоскость, по обе стороны от которой есть точки данной пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба).
  • Сечением пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) называется фигура, состоящая из всех точек, которые являются общими для пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и секущей плоскости.
  • Секущая плоскость пересекает грани пирамиды (параллелепипеда, призмы, куба) по отрезкам, поэтому сечение есть многоугольник, лежащий в секущей плоскости, сторонами которого являются указанные отрезки.

Для построения сечения пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) можно и нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами пирамиды (призмы, параллелепипеда, куба) и соединить каждые две из них, лежащие в одной грани. Заметим, что последовательность построения вершин и сторон сечения не существенна. В основе построения сечений многогранников лежит две задачи на построение:

  1. Линии пересечения двух плоскостей.

Для построения прямой, по которой пересекаются некоторые две плоскости α и β (например, секущая плоскость и плоскость грани многогранника), нужно построить две их общие точки, тогда прямая, проходящая через эти точки, есть линия пересечения плоскостей α и β.

  1. Точки пересечения прямой и плоскости.

Для построения точки пересечения прямой l и плоскости α нужно построить точку пересечения прямой l и прямой l1, по которой пересекаются плоскость α и любая плоскость, содержащая прямую l.

 

Взаимное расположение прямых и плоскостей в стереометрии

К оглавлению…

Определение: В ходе решения задач по стереометрии две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые а и b, либо AB и CD параллельны, то пишут:

Несколько теорем:

  • Теорема 1. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.
  • Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
  • Теорема 3 (признак параллельности прямых). Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
  • Теорема 4 (о точке пересечения диагоналей параллелепипеда). Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в стереометрии:

  • Прямая лежит в плоскости (каждая точка прямой лежит в плоскости).
  • Прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку).
  • Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Определение: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая а параллельна плоскости β, то пишут:

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
  • Теорема 2. Если плоскость (на рисунке – α) проходит через прямую (на рисунке – с), параллельную другой плоскости (на рисунке – β), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей (на рисунке – d) параллельна данной прямой:

 

Если две различные прямые лежат в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны. Однако, в пространстве (т.е. в стереометрии) возможен и третий случай, когда не существует плоскости, в которой лежат две прямые (при этом они и не пересекаются, и не параллельны).

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой они обе лежат.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
  • Теорема 2. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.

Теперь введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O в пространстве и проведем через нее прямые a1 и b1, параллельные прямым a и b соответственно. Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми a1 и b1.

Однако на практике точку O чаще выбирают так, чтобы она принадлежала одной из прямых. Это обычно не только элементарно удобнее, но и рациональнее и правильнее с точки зрения построения чертежа и решения задачи. Поэтому для угла между скрещивающимися прямыми дадим такое определение:

Определение: Пусть a и b – две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку O на одной из них (в нашем случае, на прямой b) и проведем через неё прямую параллельную другой из них (в нашем случае a1 параллельна a). Углом между скрещивающимися прямыми a и b называется угол между построенной прямой и прямой, содержащей точку O (в нашем случае это угол β между прямыми a1 и b).

Определение: Две прямые называются взаимно перпендикулярными (перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярными могут быть как скрещивающиеся прямые, так и прямые лежащие и пересекающиеся в одной плоскости. Если прямая a перпендикулярна прямой b, то пишут:

Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Если две плоскости α и β параллельны, то, как обычно, пишут:

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
  • Теорема 2 (о свойстве противолежащих граней параллелепипеда). Противолежащие грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях.
  • Теорема 3 (о прямых пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью). Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые их пересечения параллельны между собой.
  • Теорема 4. Отрезки параллельных прямых, расположенные между параллельными плоскостями, равны.
  • Теорема 5 (о существовании единственной плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку вне ее). Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Определение: Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая a перпендикулярна плоскости β, то пишут, как обычно:

Теоремы:

  • Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой прямой.
  • Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
  • Теорема 3 (о параллельности прямых, перпендикулярных плоскости). Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.
  • Теорема 4 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
  • Теорема 5 (о плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой). Через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.
  • Теорема 6 (о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной плоскости). Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
  • Теорема 7 (о свойстве диагонали прямоугольного параллелепипеда). Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его ребер, имеющих общую вершину:

Следствие: Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.

 

Теорема о трех перпендикулярах

К оглавлению…

Пусть точка А не лежит на плоскости α. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную плоскости α, и обозначим буквой О точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, называется отрезок АО, точка О называется основанием перпендикуляра. Если АО – перпендикуляр к плоскости α, а М – произвольная точка этой плоскости, отличная от точки О, то отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок ОМ – ортогональная проекция (или, короче, проекция) наклонной АМ на плоскость α. Теперь приведем теорему, которая играет важную роль при решении многих задач.

Теорема 1 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. Верно и обратное утверждение:

Теорема 2 (о трех перпендикулярах): Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная наклонной, перпендикулярна и ее проекции на эту плоскость. Данные теоремы, для обозначений с чертежа выше можно кратко сформулировать так:

Теорема: Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и две наклонные, то:

  • две наклонные, имеющие равные проекции, равны;
  • из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Определения расстояний объектами в пространстве:

  • Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной плоскости.
  • Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.
  • Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.
  • Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую и параллельной первой прямой.

Определение: В стереометрии ортогональной проекцией прямой a на плоскость α называется проекция этой прямой на плоскость α в случае, если прямая, определяющая направление проектирования, перпендикулярна плоскости α.

Замечание: Как видно из предыдущего определения, проекций бывает много. Другие (кроме ортогональной) проекции прямой на плоскость можно построить если прямая определяющая направление проецирования будет не перпендикулярна плоскости. Однако, именно ортогональную проекцию прямой на плоскость в будущем мы будем встречать в задачах. А называть ортогональную проекцию будем просто проекцией (как на чертеже).

Определение: Углом между прямой, не перпендикулярной плоскости, и этой плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость (угол АОА’ на чертеже выше).

Теорема: Угол между прямой и плоскостью является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, лежащими в данной плоскости и проходящими через точку пересечения прямой и плоскости.

 

Двугранный угол

К оглавлению…

Определения:

  • Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой и частью пространства, для которой эти полуплоскости служат границей.
  • Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.

Таким образом, линейный угол двугранного угла – это угол, образованный пересечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Все линейные углы двугранного угла равны между собой. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°). В дальнейшем, при решении задач по стереометрии, под двугранным углом будем понимать всегда тот линейный угол, градусная мера которого удовлетворяет условию:

Определения:

  • Двугранным углом при ребре многогранника называется двугранный угол, ребро которого содержит ребро многогранника, а грани двугранного угла содержат грани многогранника, которые пересекаются по данному ребру многогранника.
  • Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведенными соответственно в данных плоскостях перпендикулярно их линии пересечения через некоторую ее точку.
  • Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
  • Теорема 2. Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости.

 

Симметрия фигур

К оглавлению…

Определения:

  1. Точки M и M1 называются симметричными относительно точки O, если O является серединой отрезка MM1.
  2. Точки M и M1 называются симметричными относительно прямой l, если прямая l проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна ему.
  3. Точки M и M1 называются симметричными относительно плоскости α, если плоскость α проходит через середину отрезка MM1 и перпендикулярна этому отрезку.
  4. Точка O (прямая l, плоскость α) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно точки O (прямой l, плоскости α) некоторой точке этой же фигуры.
  5. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные между собой правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.

 

Призма

К оглавлению…

Определения:

  1. Призма – многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
  2. Основания – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях. На чертеже это: ABCDE и KLMNP.
  3. Боковые грани – все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом. На чертеже это: ABLK, BCML, CDNM, DEPN и EAKP.
  4. Боковая поверхность – объединение боковых граней.
  5. Полная поверхность – объединение оснований и боковой поверхности.
  6. Боковые ребра – общие стороны боковых граней. На чертеже это: AK, BL, CM, DN и EP.
  7. Высота – отрезок, соединяющий основания призмы и перпендикулярный им. На чертеже это, например, KR.
  8. Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. На чертеже это, например, BP.
  9. Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания. Другое определение: диагональная плоскость – плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани.
  10. Диагональное сечение – пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе, иногда, его частные случаи – ромб, прямоугольник, квадрат. На чертеже это, например, EBLP.
  11. Перпендикулярное (ортогональное) сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Свойства и формулы для призмы:

  • Основания призмы являются равными многоугольниками.
  • Боковые грани призмы являются параллелограммами.
  • Боковые ребра призмы параллельны и равны.
  • Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:

где: Sосн – площадь основания (на чертеже это, например, ABCDE), h – высота (на чертеже это MN).

  • Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания:

  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы (на чертеже ниже перпендикулярное сечение это A2B2C2D2E2).
  • Углы перпендикулярного сечения – это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
  • Перпендикулярное (ортогональное) сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
  • Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: Sсеч – площадь перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра (на чертеже ниже это, например, AA1 или BB1 и так далее).

  • Площадь боковой поверхности произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

где: Pсеч – периметр перпендикулярного сечения, l – длина бокового ребра.

Виды призм в стереометрии:

  • Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (изображены выше). Основания такой призмы, как обычно, расположены в параллельных плоскостях, боковые рёбра не перпендикулярны этим плоскостям, но параллельны между собой. Боковые грани – параллелограммы.
  • Прямая призма – призма, у которой все боковые ребра перпендикулярны основанию. В прямой призме боковые ребра являются высотами. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. А площадь и периметр основания равны соответственно площади и периметру перпендикулярного сечения (у прямой призмы, вообще говоря, перпендикулярное сечение целиком является такой же фигурой, как и основания). Поэтому, площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на длину бокового ребра (или, в данном случае, высоту призмы):

где: Pосн – периметр основания прямой призмы, l – длина бокового ребра, равная в прямой призме высоте (h). Объем прямой призмы находится по общей формуле: V = Sоснh = Sоснl.

  • Правильная призма – призма в основании которой лежит правильный многоугольник (т.е. такой, у которого все стороны и все углы равны между собой), а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. Примеры правильных призм:

Свойства правильной призмы:

  1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.
  2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.
  3. Боковые ребра правильной призмы равны между собой.
  4. Правильная призма является прямой.

 

Параллелепипед

К оглавлению…

Определение: Параллелепипед – это призма, основания которой параллелограммы. В этом определении ключевым словом является «призма». Таким образом, параллелепипед – это частный случай призмы, которая отличается от общего случая только тем, что в основании у нее не произвольный многоугольник, а именно параллелограмм. Поэтому все приведенные выше свойства, формулы и определения касающиеся призмы остаются актуальными и для параллелепипеда. Однако, можно выделить несколько дополнительных свойств характерных для параллелепипеда.

Другие свойства и определения:

  • Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противолежащими, а имеющие общее ребро – смежными.
  • Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими.
  • Отрезок, соединяющий противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда.
  • Параллелепипед имеет шесть граней и все они – параллелограммы.
  • Противоположные грани параллелепипеда попарно равны и параллельны.
  • У параллелепипеда четыре диагонали; они все пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой пополам.
  • Если четыре боковые грани параллелепипеда – прямоугольники (а основания – произвольные параллелограммы), то он называется прямым (в этом случае, как и у прямой призмы, все боковые ребра перпендикулярны основаниям). Все свойства и формулы для прямой призмы актуальны для прямого параллелепипеда.
  • Параллелепипед называется наклонным, если не все его боковые грани являются прямоугольниками.
  • Объем прямого или наклонного параллелепипеда рассчитывается по общей формуле для объема призмы, т.е. равен произведению площади основания параллелепипеда на его высоту (V = Sоснh).
  • Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней – прямоугольники (т.е. кроме боковых граней еще и основания являются прямоугольниками), называется прямоугольным. Для прямоугольного параллелепипеда актуальны все свойства прямого параллелепипеда, а также:
    • Диагональ прямоугольного параллелепипеда d и его рёбра a, b, c связаны соотношением:

d2 = a2 + b2 + c2.

    • Из общей формулы для объема призмы можно получить следующую формулу для объема прямоугольного параллелепипеда:

  • Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами, называется кубом. Помимо прочего, куб является правильной четырехугольной призмой, и вообще правильным многогранником. Для куба справедливы все свойства прямоугольного параллелепипеда и свойства правильных призм, а также:
    • Абсолютно все рёбра куба равны между собой.
    • Диагональ куба d и длина его ребра a связаны соотношением:

  • Из формулы для объема прямоугольного параллелепипеда можно получить следующую формулу для объема куба:

 

Пирамида

К оглавлению…

Определения:

  • Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и так далее. На рисунке приведены примеры: четырёхугольная и шестиугольная пирамиды.

  • Основание – многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды. На чертеже основание это BCDE.
  • Грани, отличные от основания, называются боковыми. На чертеже это: ABC, ACD, ADE и AEB.
  • Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды (именно вершиной всей пирамиды, а не просто вершиной, как все остальные вершины). На чертеже это A.
  • Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. На чертеже это: AB, AC, AD и AE.
  • Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем – вершины основания. Для пирамиды с чертежа обозначение будет таким: ABCDE.

  • Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. На чертеже высота это AG. Обратите внимание: только в случае если пирамида является правильной четырехугольной пирамидой (как на чертеже) высота пирамиды попадает на диагональ основания. В остальных случаях это не так. В общем случае у произвольной пирамиды, точка пересечения высоты и основания может оказаться где угодно.
  • Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На чертеже это, например, AF.
  • Диагональное сечение пирамиды – сечение пирамиды, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания. На чертеже это, например, ACE.

Еще один стереометрический чертеж с обозначениями для лучшего запоминания (на рисунке правильная треугольная пирамида):

Если все боковые ребра (SA, SB, SC, SD на чертеже ниже) пирамиды равны, то:

  • Около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка O). Иными словами, высота (отрезок SO), опущенная из вершины такой пирамиды на основание (ABCD), попадает в центр описанной вокруг основания окружности, т.е. в точку пересечения посерединных перпендикуляров основания.
  • Боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы (на чертеже ниже это углы SAO, SBO, SCO, SDO).

Важно: Также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом (углы DMN, DKN, DLN на чертеже ниже равны), то:

  • В основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр (точка N). Иными словами, высота (отрезок DN), опущенная из вершины такой пирамиды на основание, попадает в центр вписанной в основание окружности, т.е. в точку пересечения биссектрис основания.
  • Высоты боковых граней (апофемы) равны. На чертеже ниже DK, DL, DM – равные апофемы.
  • Площадь боковой поверхности такой пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани (апофему).

где: P – периметр основания, a – длина апофемы.

Важно: Также верно и обратное, то есть если в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом и высоты боковых граней (апофемы) равны.

 

Правильная пирамида

К оглавлению…

Определение: Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

  • Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
  • Все боковые грани правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом.

Важное замечание: Как видим правильные пирамиды являются одними из тех пирамид к которым относятся свойства, изложенные чуть выше. Действительно, если основание правильной пирамиды – это правильный многоугольник, то центр его вписанной и описанной окружностей совпадают, а вершина правильной пирамиды проецируется именно в этот центр (по определению). Однако важно понимать, что не только правильные пирамиды могут обладать свойствами, о которых говорилось выше.

  • В правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные треугольники.
  • В любую правильную пирамиду можно как вписать сферу, так и описать около неё сферу.
  • Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

 

Формулы для объема и площади пирамиды

К оглавлению…

Теорема (об объеме пирамид, имеющих равные высоты и равные площади оснований). Две пирамиды, имеющие равные высоты и равные площади оснований, имеют равные объемы (Вы конечно, наверняка уже знаете формулу для объема пирамиды, ну или видите ее несколькими строчками ниже, и Вам кажется это утверждение очевидным, но на самом деле, если судить «на глаз», то данная теорема не так уж и очевидна (см. рисунок ниже). Это относится кстати и к другим многогранникам и геометрическим фигурам: их внешний вид обманчив, поэтому, действительно – в математике нужно доверять только формулам и правильным расчетам).

  • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

где: Sосн – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды.

  • Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Для площади боковой поверхности пирамиды можно формально записать такую стереометрическую формулу:

где: Sбок – площадь боковой поверхности, S1, S2, S3 – площади боковых граней.

  • Полная поверхность пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

 

Тетраэдр

К оглавлению…

Определения:

  • Тетраэдр – простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника, иными словами, треугольная пирамида. Для тетраэдра любая из его граней может служить основанием. Всего у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
  • Тетраэдр называется правильным, если все его грани – равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра:
    1. Все ребра правильного тетраэдра равны между собой.
    2. Все грани правильного тетраэдра равны между собой.
    3. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой.

На чертеже изображен правильный тетраэдр, при этом треугольники ABC, ADC, CBD, BAD – равны. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра (а – длина ребра):

 

Прямоугольная пирамида

К оглавлению…

Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA – ребро, являющееся одновременно высотой.

 

Усечённая пирамида

К оглавлению…

Определения и свойства:

  • Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
  • Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды. Итак, у усеченной пирамиды на чертеже два основания: ABC и A1B1C1.
  • Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA1B1B.
  • Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA1.
  • Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания.
  • Усеченная пирамида называется правильной, если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды.
  • Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники.
  • Боковые грани правильной усеченной пирамиды – равнобедренные трапеции.
  • Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани.
  • Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней.

Формулы для усеченной пирамиды

Объём усечённой пирамиды равен:

где: S1 и S2 – площади оснований, h – высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы:

где: P1 и P2 – периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а – длина апофемы. Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

 

Пирамида и шар (сфера)

К оглавлению…

Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник (т.е. многоугольник около которого можно описать сферу). Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им.

Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид. На чертеже справа, на высоте SH надо выбрать точку О, равноудалённую от всех вершин пирамиды: SO = = = OD = OA. Тогда точка О – центр описанного шара.

Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше. Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу. При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными.

Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На рисунке справа плоскость γ является биссекторной плоскостью двугранного угла, образованного плоскостями α и β.

На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду (или пирамида описанная около шара), при этом точка О – центр вписанного шара. Данная точка О равноудалена от всех граней шара, например:

ОМ = ОО1

 

Пирамида и конус

К оглавлению…

В стереометрии конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие).

Важное свойство: Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

 

Пирамида и цилиндр

К оглавлению…

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.

Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды – вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

 

Сфера и шар

К оглавлению…

Определения:

  1. Сфера – замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы.
  2. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы.
  3. Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R.
  4. Шар – геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Обратите внимание: поверхность (или граница) шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой.
  5. Радиусом, хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара.
  6. Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и окружностью. Окружность – это линия, а круг – это ещё и все точки внутри этой линии. Сфера – это оболочка, а шар – это ещё и все точки внутри этой оболочки.
  7. Плоскость, проходящая через центр сферы (шара), называется диаметральной плоскостью.
  8. Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).

Теоремы:

  • Теорема 1 (о сечении сферы плоскостью). Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы.
  • Теорема 2 (о сечении шара плоскостью). Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении.

Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О. Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра (на рис. A и B), можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов.

Определения:

  1. Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
  2. Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.
  3. Любая прямая, лежащая в касательной плоскости сферы (шара) и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере (шару). По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку – точку касания.

Теоремы:

  • Теорема 1 (признак касательной плоскости к сфере). Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы.
  • Теорема 2 (о свойстве касательной плоскости к сфере). Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

 

Многогранники и сфера

К оглавлению…

Определение: В стереометрии многогранник (например, пирамида или призма) называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника (пирамиды, призмы). Аналогично: многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на границе этого шара. При этом шар называется описанным около многогранника.

Важное свойство: Центр сферы, описанной около многогранника, находится на расстоянии, равном радиусу R сферы, от каждой вершины многогранника. Приведем примеры вписанных в сферу многогранников:

Определение: Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера (шар) касается всех граней многогранника. При этом сфера и шар называются вписанными в многогранник.

Важно: Центр сферы, вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу r сферы, от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника. Приведем примеры описанных около сферы многогранников:

 

Объем и площадь поверхности шара

К оглавлению…

Теоремы:

  • Теорема 1 (о площади сферы). Площадь сферы равна:

где: R – радиус сферы.

  • Теорема 2 (об объеме шара). Объем шара радиусом R вычисляется по формуле:

 

Шаровой сегмент, слой, сектор

К оглавлению…

Шаровой сегмент

В стереометрии шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая секущей плоскостью. При этом соотношение между высотой, радиусом основания сегмента и радиусом шара:

где: h − высота сегмента, r − радиус основания сегмента, R − радиус шара. Площадь основания шарового сегмента:

Площадь внешней поверхности шарового сегмента:

Площадь полной поверхности шарового сегмента:

Объем шарового сегмента:

Шаровой слой

В стереометрии шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Площадь внешней поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара. Площадь полной поверхности шарового слоя:

где: h − высота шарового слоя, R − радиус шара, r1, r2 − радиусы оснований шарового слоя, S1, S2 − площади этих оснований. Объем шарового слоя проще всего искать как разность объемов двух шаровых сегментов.

Шаровой сектор

В стереометрии шаровым сектором называется часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара и основанием, совпадающим с основанием шарового сегмента. Здесь подразумевается, что шаровой сегмент меньше чем пол шара. Площадь полной поверхности шарового сектора:

где: h − высота соответствующего шарового сегмента, r − радиус основания шарового сегмента (или конуса), R − радиус шара. Объем шарового сектора вычисляется по формуле:

 

Цилиндр

К оглавлению…

Определения:

  1. В некоторой плоскости рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную плоскости окружности. Цилиндрической поверхностью называется фигура, образованная этими прямыми, а сами прямые называются образующими цилиндрической поверхности. Все образующие цилиндрической поверхности параллельны друг другу, так как они перпендикулярны плоскости окружности.

  1. Прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Неформально, можно воспринимать цилиндр как прямую призму, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности цилиндра.
  2. Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между секущими плоскостями, которые перпендикулярны ее образующим, а части (круги), отсекаемые цилиндрической поверхностью на параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Основания цилиндра – это два равных круга.
  3. Образующей цилиндра называется отрезок (или длина этого отрезка) образующей цилиндрической поверхности, расположенный между параллельными плоскостями, в которых лежат основания цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой, а также перпендикулярны основаниям.
  4. Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры кругов, являющихся основаниями цилиндра.
  5. Высотой цилиндра называется перпендикуляр (или длина этого перпендикуляра), проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания цилиндра к плоскости другого основания. В цилиндре высота равна образующей.
  6. Радиусом цилиндра называется радиус его оснований.
  7. Цилиндр называется равносторонним, если его высота равна диаметру основания.
  8. Цилиндр можно получить поворотом прямоугольника вокруг одной из его сторон на 360°.
  9. Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – хорды оснований цилиндра.
  10. Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две стороны которого есть образующие цилиндра, а две другие – диаметры его оснований.
  11. Если секущая плоскость, перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении образуется круг равный основаниям. На чертеже ниже: слева – осевое сечение; в центре – сечение параллельное оси цилиндра; справа – сечение параллельное основанию цилиндра.

 

Цилиндр и призма

К оглавлению…

Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра. В этом случае цилиндр называется описанным около призмы. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае будут равны. Все боковые ребра призмы будут принадлежать боковой поверхности цилиндра и совпадать с его образующими. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать в такой цилиндр можно также только прямую призму. Примеры:

Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра. В этом случае цилиндр называется вписанным в призму. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае также будут равны. Все боковые ребра призмы будут параллельны образующим цилиндра. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать такой цилиндр можно только в прямую призму. Примеры:

 

Цилиндр и сфера

К оглавлению…

Сфера (шар) называется вписанной в цилиндр, если она касается оснований цилиндра и каждой его образующей. При этом цилиндр называется описанным около сферы (шара). Сферу можно вписать в цилиндр, только если это равносторонний цилиндр, т.е. диаметр его основания и высота равны между собой. Центром вписанной сферы будет служить середина оси цилиндра, а радиус этой сферы будет совпадать с радиусом цилиндра. Пример:

Цилиндр называется вписанным в сферу, если окружности оснований цилиндра являются сечениями сферы. Цилиндр называется вписанным в шар, если основания цилиндра являются сечениями шара. При этом шар (сфера) называется описанным около цилиндра. Вокруг любого цилиндра можно описать сферу. Центром описанной сферы также будет служить середина оси цилиндра. Пример:

На основе теоремы Пифагора легко доказать следующую формулу, связывающую радиус описанной сферы (R), высоту цилиндра (h) и радиус цилиндра (r):

 

Объем и площадь боковой и полной поверхностей цилиндра

К оглавлению…

Теорема 1 (о площади боковой поверхности цилиндра): Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту:

где: R – радиус основания цилиндра, h – его высота. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности прямой призмы.

Площадью полной поверхности цилиндра, как обычно в стереометрии, называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра (т.е. просто площадь круга) вычисляется по формуле:

Следовательно, площадь полной поверхности цилиндра Sполн. цилиндра вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме цилиндра): Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

где: R и h – радиус и высота цилиндра соответственно. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема призмы.

Теорема 3 (Архимеда): Объём шара в полтора раза меньше объёма, описанного вокруг него цилиндра, а площадь поверхности такого шара в полтора раза меньше площади полной поверхности того же цилиндра:

 

Конус

К оглавлению…

Определения:

  1. Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга (называемого основанием конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (называемой вершиной конуса) и всех возможных отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Неформально, можно воспринимать конус как правильную пирамиду, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности конуса.

  1. Отрезки (или их длины), соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
  2. Поверхность конуса состоит из основания конуса (круга) и боковой поверхности (составленной из всех возможных образующих).
  3. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
  4. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом.
  5. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе, как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы, а основание – вращением катета, не являющимся осью.
  6. Радиусом конуса называется радиус его основания.
  7. Высотой конуса называется перпендикуляр (или его длина), опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту, т.е. прямая проходящая через центр основания и вершину.
  8. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Такое сечение называется осевым.

  1. Если секущая плоскость проходит через внутреннюю точку высоты конуса и перпендикулярна ей, то сечением конуса является круг, центр которого есть точка пересечения высоты и этой плоскости.
  2. Высота (h), радиус (R) и длина образующей (l) прямого кругового конуса удовлетворяют очевидному соотношению:

 

Объем и площадь боковой и полной поверхностей конуса

К оглавлению…

Теорема 1 (о площади боковой поверхности конуса). Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую:

где: R – радиус основания конуса, l – длина образующей конуса. Эта формула легко выводится (или доказывается) на основе формулы для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади боковой поверхности и площади основания. Площадь основания конуса (т.е. просто площадь круга) равна: Sосн = πR2. Следовательно, площадь полной поверхности конуса Sполн. конуса вычисляется по формуле:

Теорема 2 (об объеме конуса). Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту:

где: R – радиус основания конуса, h – его высота. Эта формула также легко выводится (доказывается) на основе формулы для объема пирамиды.

 

Усеченный конус

К оглавлению…

Определения:

  1. Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом.

  1. Основание исходного конуса и круг, получающийся в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями, а отрезок, соединяющий их центры — высотой усеченного конуса.
  2. Прямая проходящая через высоту усеченного конуса (т.е. через центры его оснований) является его осью.
  3. Часть боковой поверхности конуса, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конуса, расположенные между основаниями усеченного конуса, называются его образующими.
  4. Все образующие усеченного конуса равны между собой.
  5. Усеченный конус может быть получен при повороте на 360° прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

Формулы для усеченного конуса:

Объем усеченного конуса равен разности объемов полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Объём усечённого конуса вычисляется по формуле:

где: S1 = πr12 и S2 = πr22 – площади оснований, h – высота усечённого конуса, r1 и r2 – радиусы верхнего и нижнего оснований усеченного конуса. Однако на практике, всё же удобнее искать объем усеченного конуса как разность объёмов исходного конуса и отсеченной части. Площадь боковой поверхности усеченного конуса также можно искать как разность между площадями боковой поверхности исходного конуса и отсеченной части.

Действительно, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей полного конуса и конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

где: P1 = 2πr1 и P2 = 2πr2 – периметры оснований усеченного конуса, l – длина образующей. Площадь полной поверхности усеченного конуса, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности:

Обратите внимание, что формулы для объема и площади боковой поверхности усеченного конуса получены на основе формул для аналогичных характеристик правильной усеченной пирамиды.

 

Конус и сфера

К оглавлению…

Конус называется вписанным в сферу (шар), если его вершина принадлежит сфере (границе шара), а окружность основания (само основание) является сечением сферы (шара). При этом сфера (шар) называется описанной около конуса. Вокруг прямого кругового конуса всегда можно описать сферу. Центр описанной сферы будет лежать на прямой содержащей высоту конуса, а радиус этой сферы будет равен радиусу окружности, описанной около осевого сечения конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

Сфера (шар) называется вписанной в конус, если сфера (шар) касается основания конуса и каждой его образующей. При этом конус называется описанным около сферы (шара). В прямой круговой конус всегда можно вписать сферу. Её центр будет лежать на высоте конуса, а радиус вписанной сферы будет равен радиусу окружности, вписанной в осевое сечение конуса (это сечение является равнобедренным треугольником). Примеры:

 

Конус и пирамида

К оглавлению…

  • Конус называется вписанным в пирамиду (пирамида – описанной около конуса), если основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершины конуса и пирамиды совпадают.
  • Пирамида называется вписанной в конус (конус – описанным около пирамиды), если ее основание вписано в основание конуса, а боковые ребра являются образующими конуса.
  • Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Примечание: Подробнее о том, как в стереометрии конус вписывается в пирамиду или описывается около пирамиды уже говорилось в ранее здесь.

Двугранный угол

Вопросы
занятия:

·                  
введем
понятие двугранного угла;

·                  
узнаем
о том, как определить линейный угол рассматриваемой геометрической фигуры.

Материал
урока.

Для
начала давайте вспомним, что понимали под углом в планиметрии. Итак, углом
на плоскости
мы называлигеометрическую фигуру, образованную двумя лучами,
исходящими из одной точки.

В
стереометрии наряду с такими углами рассматривается еще один вид углов, которые
называют двугранными углами. Но прежде чем мы введем понятие двугранного угла, давайте
вспомним одну из аксиом планиметрии: «любая прямая, проведенная в данной
плоскости, разделяет эту плоскость на две полуплоскости».

Пусть
есть прямая а, которая лежит в некоторой плоскости. Тогда можно указать две
части этой плоскости, каждая из которых вместе с прямой а называется
полуплоскостью.

Прямая
а называется границей для каждой из полуплоскостей. В отличие от планиметрии, в
пространстве две полуплоскости с общей границей прямой а, могут не лежать в
одной плоскости.

Давайте
представим себе, что мы перегнули плоскость по прямой а так, что две
полуплоскости с границей а оказались уже не лежащими в одной плоскости.
Полученная фигура и есть двугранный угол.

Определение.
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя
полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости,
образующие двугранный угол, называются его гранями. У двугранного угла
две грани, отсюда и название – двугранный угол.

Прямая
а – общая граница полуплоскостей – называется ребром двугранного угла.

Двугранный
угол, ребро которого есть прямая AB,
а гранями являются полуплоскости α и β, обозначают так . Обратите внимание, две средние буквы в
обозначении – это ребро данного двугранного угла.

Или,
если двугранный угол с ребром AB,
на разных гранях которого отмечены точки C
и D, то двугранный угол называют CABD.

В
обыденной жизни мы часто встречаемся с предметами, имеющими форму двугранного
угла. Представление о двугранном угле нам дают: полураскрытая книга, открытый
ноутбук,  двускатная крыша здания, стена комнаты совместно с полом и т.д.

Напомню,
что углы на плоскости измеряются в градусах.

Для
измерения двугранного угла вводится понятие линейного угла. Пусть точка
О лежит на ребре l
двугранного
угла. В каждой грани из этой точки проведем лучи ОА и ОB
перпендикулярно к ребру l.
Угол АОB, сторонами которого
служат лучи ОА и ОB, называется
линейным углом данного двугранного угла.

Определение.
Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого
являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в
его гранях перпендикулярно ребру.

На
рисунке вы видите изображение линейного угла AOB
двугранного угла с ребром l.
Так как ОА перпендикулярно l
 и
ОB перпендикулярно l,
то плоскость, в которой лежат лучи ОА и ОB,
перпендикулярна к прямой l.
Таким образом, плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного
угла. Очевидно, двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов.

Верно
следующее утверждение: все линейные углы двугранного угла равны между
собой.

Докажем
это утверждение.

Рассмотрим
два линейных угла А О Б и А один О один Б один двугранного угла,ребро которого
эль. Лучи ОА и О один А один лежат в одной грани и перпендикулярны ребру эль.
Следовательно, они параллельны. Аналогично и лучи ОБ и О один Б один лежат в
одной грани и перпендикулярны ребру эль. Значит, они параллельны.

Отложим
на лучах ОА и О1A1
равные отрезки OM и O1M1
соответственно, а на лучах ОB
и O1B1
– равные отрезки ON и O1N1
соответственно.

Так
как OM равно O1M1
и OM параллельно O1M1,
то четырехугольник OMM1O1
– параллелограмм. Тогда ОО1 равно MM1
и OO1
параллельно MM1
по свойствам параллелограмма.

Так
как ON равно O1N1
и ON параллельно O1N1,
то четырехугольник ONN1O1
– параллелограмм. Тогда OO1
равно NN1
и OO1
параллельно NN1
по свойствам параллелограмма. Отсюда, OO1
равно NN1
и OO1
параллельно NN1.

Видим,
что тогда MM1
равно NN1
и MM1
один параллельно NN1,
т.е. четырехугольник NMM1N1
– параллелограмм. Следовательно, NM
равно N1M1.

Рассмотрим
треугольники OMN и O1M1N1.
Они равны по трем сторонам. Отсюда следует, что угол MON
равен углу M1O1N1.
А значит, и угол АОB равен углу A1O1B1.
Что и требовалось доказать.

Это
утверждение можно доказать и быстрее. Достаточно было при рассмотрении линейных
углов AOB и  A1O1B1
заметить, что так как лучи ОА и O1A1
лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой OO1,
то они параллельны, а, значит сонаправлены. Точно также лучи ОB
и
O1B1
лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой OO1,
следовательно они параллельны, и, значит сонаправлены. Отсюда вытекает, что
угол A1O1B1
равен углу AOB (как углы с
сонаправленными сторонами). Что и требовалось доказать.

Определение.
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного
угла.

Это
говорит о том, что, сколько градусов содержится в линейном угле, столько же
градусов содержится в его двугранном угле.

На
рисунке вы видите изображение двугранного угла, градусная мера которого равна 50°.
Обычно говорят коротко: «Двугранный угол равен 50°».

Различают
следующие виды двугранных углов.

Двугранный
угол называется прямым, если его линейный угол равен 90°.

Двугранный
угол называется острым, если его линейный угол острый, т.е. < 90° (расположен
в промежутке от 0 до 90 градусов).

Двугранный
угол называется тупым, если его линейный угол тупой, т.е. > 90°
(расположен в промежутке от 90 до 180 градусов).

Если
грани двугранного угла лежат в одной плоскости, то он называется развернутым.

В
дальнейшем под двугранным углом будем понимать всегда тот, линейный угол φ
которого удовлетворяет условию 0°<φ<180°.

Рассмотрим
примеры.

Пусть
ABCDA1B1C1D1
– прямоугольный параллелепипед. Тогда угол ADD1
является линейным углом двугранного угла, ребро которого есть прямая DC,
а его грани – полуплоскости, в которых лежат прямоугольники ABCD
и DCC1D1,
так как АD перпендикулярно DC
и DD1
перпендикулярно DC. Угол ADD1
– прямой, следовательно, указанный двугранный угол – прямой.

Двугранным
углом при ребре пирамиды называется двугранный угол, ребро которого содержит
ребро пирамиды.
А грани двугранного угла содержат грани
пирамиды, которые пересекаются по данному ребру пирамиды.

Пусть
DABC – правильная треугольная пирамида,
а точка О – середина ребра АC.
Прямая DО перпендикулярна
прямой АС.

Так
как медиана в равностороннем треугольнике ABC
является и высотой. Прямая BО
также перпендикулярна прямой АС. Так как медиана в равнобедренном треугольнике DAC
является и высотой. Значит, угол DOB
есть линейный угол двугранного угла DACB,
ребро которого – прямая AC,
а гранями являются полуплоскости, содержащие треугольники ABC
и DAC.

Подведем
итоги урока.
На этом уроке мы познакомились с
понятием двугранного угла. Узнали, что двугранным углом называется фигура,
образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не
принадлежащими одной плоскости. Ввели понятие линейного угла: линейным углом
двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим
началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях
перпендикулярно ребру. А также убедились, что градусной мерой двугранного угла
называется градусная мера его линейного угла и, что все линейные углы
двугранного угла равны между собой.

CHEM 440 — Двугранные углы

ТЕМЫ БИОХИМИИ

Углы двугранные (или торсионные)

Определения связующего угла и дигдрального (торсионного) угла. Двугранные углы основной цепи полипептида,
φ, ψ и ω. Сюжеты Рамачандрана.


Конформации, которые принимают биологические молекулы, определяют физические и химические свойства
они проявляются в биологических системах.Следовательно, нам нужен способ описания наблюдаемых конформаций.
для типов молекул, изучаемых в биохимии. Основное внимание в этом разделе будет уделено
конформации полипептидов, как подготовка к пониманию структурно-функциональных взаимосвязей в белках

Двугранный угол — также называемый торсионным углом — определяется четырьмя
последовательно связанные атомы. Это представлено на рисунке ниже.
структурой A-B-C-D (вторая панель; обратите внимание на различие между
угол наклона и угол кручения).Представьте себе, что вы смотрите на связь между
атомы B и C (как указано стрелкой). Это центральная связь
из трех определенных облигаций. Сначала мы видим облигацию B-C в
плоскость рисунка, при этом связь B-A направлена ​​влево и
вверх из плоскости, а соединение C-D направлено вниз и вправо.
Затем берем эту конструкцию, и начинаем ее крутить так, чтобы мы
можно смотреть прямо вниз на связь B-C (третья панель).В конце концов, наш
вид эквивалентен проекции Ньюмана на последней панели. Из
с этой точки зрения двугранный угол τ — это видимый угол, охватываемый
D относительно A, как показано. Определим диапазон значений двугранной
углы должны быть [-180 °, + 180 °], а значение τ
составляет около -150 ° (отрицательная часть диапазона соответствует
когда D против часовой стрелки относительно A.)

Конечно, другие атомы могут быть присоединены к B и C — и обычно так и есть.Нам нужно было бы указать, какие атомы соответствуют A, B, C и D, чтобы однозначно определить двугранный угол.
Для длинных неразветвленных полимеров, таких как белки, имеет смысл потребовать
что от A до D все атомы главной цепи.
Ниже представлено изображение молекулярной графики, которое соответствует приведенному выше эскизу и иллюстрирует
определение двугранного угла Phi (φ) основной цепи полипептида.

Двугранные углы основной цепи полипептида: Phi (φ), Psi (ψ) и Omega (ω)

Двугранный угол определяется четырьмя атомами.Это можно визуализировать
глядя вниз на центральную связь (т.е. связь от атома 2 к атому 3).
Двугранные углы вдоль полипептидной цепи бывают трех типов:

Phi (φ) — центральная связь между N ( i )
[азот амида остатка i ] и C (альфа, i ) [альфа углерод остатка i ].
Посмотрите вниз на N ( i ) -Cα ( i )
связь, обратите внимание на угол, образованный ацильным углеродом C ( i ) относительно C ( i -1)
— ацильный углерод из предыдущего остатка.

Psi (ψ) — центральная связь между C (альфа, i) и C (i) [ацильный углерод остатка i ].
Посмотрите на связь Cα ( i ) -C ( i ),
обратите внимание на угол между N ( i + 1) относительно N ( i ).

Омега (ω) — пептидная связь
между ацильным углеродом C ( i ) и N ( i +1) находится центральная связь.

Phi (φ) и psi (ψ)
иногда обозначают как углы Рамачандрана ,
так как они используются в двумерном графике двугранной основной цепи
углы, называемые сюжетом Рамачандрана (см. ниже).

Участок Рамачандрана

График Рамачандрана представляет собой график двугранных углов главной цепи фи
(φ) и psi (ψ) для полипептидной цепи с phi
(φ) значения по оси x и значения psi (ψ) по оси y .

Схема сюжета Рамачандрана, обычно представленная в учебниках, показана слева.
(щелкните рисунок, чтобы отобразить увеличенную версию). Контуры указывают степень разрешенного (светло-зеленый)
и наиболее предпочтительные (темно-зеленые) комбинации (φ, ψ). Оранжевые кружки показывают расположение идеальных
значения phi, psi для наиболее распространенных регулярных вторичных структурных элементов, бета-цепей (в антипараллельных и параллельных
листов) и альфа-спирали.За пределами счетчика соответствующие конформации нежелательны или запрещены.
Точное расположение счетчиков не следует воспринимать слишком буквально, поскольку благоприятные и разрешенные регионы зависят от
идентичность остатка. Глицин, в частности, имеет гораздо больше разрешенных областей, чем показано здесь.
Это обсуждается ниже.

«Настоящий» участок Рамачандрана

В «финальной игре» определения структуры белка
экспериментально определенная модель должна быть проанализирована на предмет ее стереохимических
качество.Серьезные проблемы с моделью могут быть указаны, если есть
являются экземплярами не-Gly-остатков, двугранные углы главной цепи которых
лежат за пределами разрешенных регионов, или, если слишком высокая пропорция
остатков находятся за пределами области наибольшего благоприятствования. Пример
График Рамачандрана для белка из 190 остатков показан на
сопровождающий рисунок.

На рисунке показан график Рамачандрана для
белковая структура, определенная с помощью рентгеновской кристаллографии.(Нажмите на
для просмотра увеличенной версии в новом окне.) Каждый черный квадрат
представляет собой конформацию основной цепи по одному остатку
белок. Обратите внимание, как значения phi, psi для остатков сгруппированы в
красные регионы «наибольшего благоприятствования». Красная область наверху
слева (обозначено буквой «B» на рисунке) соответствует остаткам
в конформации бета-цепи основной цепи, в то время как большая площадь
около середины (помечено «A») соответствует альфа-спирали.Третья, небольшая красная область графика — это остатки, которые усваивают
расположена левая («L») альфа-спираль. Несколько из
остатки лежат в «дополнительных разрешенных областях» (ярко-желтый)
граничащие с наиболее благоприятными регионами. Обратите внимание, как остатки глицина
(обозначены треугольниками) в некоторых случаях находятся в «запрещенных регионах».
Это потому, что Gly с маленьким атомом водорода в качестве «стороны»
цепь «, стерически менее затруднена, чем другие аминокислоты.Gly может использовать недопустимые пары углов phi и psi.
для любого другого остатка.

Двугранный угол — обзор

10.2 Эволюция орбит спутников, подверженная преобладающему влиянию сжатия планет

Несферичность планет состоит в основном в их динамическом сжатии. Эффект сжатия описывается второй зональной гармоникой разложения силовой функции притяжения центральной планеты в ряд сферических функций.Для моделирования эволюции орбит спутников обычно используется только этот член разложения.

Обратите внимание, что динамическое сжатие планеты является определяющим фактором в эволюции орбит только для ближайших спутников планет. На эволюцию орбит основных спутников планеты сильное влияние оказывает ее сжатие, наряду с влиянием взаимного притяжения спутников.

Как эволюционирует орбита, если принять во внимание только сжатие планеты, обсуждается выше в главе 3.Мы воспроизводим здесь формулы, описывающие такую ​​эволюцию.

Мы будем использовать обозначения, принятые в главе 3 для элементов кеплеровской орбиты:

n для среднего движения , радиан / единица времени;
e — для эксцентриситета , безразмерные единицы;
i — для наклона (двугранный угол между плоскостью орбиты и главной плоскостью Oxy ), радианы;
M 0 — для средней аномалии на эпоху (значение средней аномалии M в начальный момент времени — эпоху), радианы;
ω — для углового расстояния перицентра от восходящего узла орбиты, радиан;
Ом — долгота восходящего узла орбиты (угол в плоскости Oxy между осью x и линией узлов), радианы;
t 0 — начальный момент времени , эпоха элементов;
t соответствует текущему моменту времени, в который вычисляются координаты тела.

Наряду со средним движением n , мы также рассматриваем большую полуось орбиты a , связанную с третьим законом Кеплера

n = μa3,

, где μ — гравитационная параметр планеты.

Рассматривая сжатие планеты как доминирующий фактор в эволюции орбиты, мы располагаем главную координатную плоскость перпендикулярно оси динамической симметрии планеты.

При исследовании эволюции орбит спутников планет выполняется усреднение возмущающей функции по быстро меняющимся аргументам.В данном случае это средняя аномалия M . В теории возмущений применяется разложение возмущающей функции по малым параметрам. В результате выражение для него принимает форму кратного расширения средней аномалии M , аргумента перицентра ω и долготы восходящего узла Ω. Усреднение по M фактически состоит в отбрасывании короткопериодических членов, содержащих M под знаком тригонометрических функций.

Динамическая структура больших планет такова, что сжатие преобладает в их несферичности, и приблизительно планету можно рассматривать как осесимметричное тело. Тогда в разложении возмущающей функции R мы берем только вторую зональную гармонику с коэффициентом J2 и после усреднения по M получаем

R = −μr02a3J2∑p = 02F20p (i) X0−3,2 −2p (e) cos⁡ [(2−2p) ω],

где F20p (i) и X0−3,2−2p (e) — функции наклона и эксцентриситета, а r0 — средний экваториальный радиус планета.Их природа оказалась устроена так, что функции эксцентриситета X03, −2 (e) и X03,2 (e) равны нулю. Следовательно, функция среднего возмущения, обусловленная второй зональной гармоникой, принимает вид

R = −μr02a3J2F201 (i) X0−3,0 (e).

После подстановки явных выражений для функции наклона и функции эксцентриситета из Приложения C получаем

R = −μr02a3J2 (1 − e2) −3/2 (34sin2⁡i − 12).

Таким образом, в возмущающей функции остается только вековой член.Чтобы определить возмущения, его необходимо подставить в уравнения Лагранжа относительно орбиты спутника.

Поскольку секулярный член не зависит от элементов M , ω и Ω, правые части уравнения Лагранжа для элементов a , e и i будут равны нулю, и сами эти элементы не будут содержать вековых возмущений. В то же время не следует забывать о постоянном значении, которое должно быть добавлено к большой полуоси, как объяснено в Разд.3.10.

При определении вековых возмущений мы принимаем

M = M0 + (n + n1) (t − t0), ω = ω0 + n2 (t − t0), Ω = Ω0 + n3 (t − t0).

Если в теории возмущений определены возмущения только первого порядка, то коэффициенты n1, n2 и n3 могут быть найдены как значения правых частей уравнений Лагранжа относительно элементов M , ω и Ω соответственно после подстановки постоянных значений a , e и i .

В случае возмущений, вызванных второй зональной гармоникой, выражения для n1, n2 и n3 имеют следующий вид:

(10.1) n1 = n34J2 (r0a) 22−3sin2⁡i (1 − e2) 3 / 2,

(10.2) n2 = n34J2 (r0a) 24−5sin2⁡i (1 − e2) 2,

(10.3) n3 = −n32J2 (r0a) 2cos⁡i (1 − e2) 2.

Напоминаем читателю, что мы измеряем элементы i , ω, и Ω относительно экватора планеты, перпендикулярного оси ее динамической симметрии, а также относительно направления основных ось Ox и линейка узлов.

Существенным свойством вековых изменений трех элементов орбиты является малость коэффициентов n1, n2 и n3 по сравнению со средним движением n .

Из приведенных выше формул видно, как орбита эволюционирует только под действием указанного здесь возмущающего фактора. Если пренебречь малыми отклонениями от некоторой кеплеровской орбиты, то окажется, что плоскость орбиты спутника медленно прецессирует с почти постоянным наклоном к оси симметрии планеты, линия апсид также медленно прецессирует, и спутник движется по этой орбите. с частотой обращения вокруг планеты, немного измененной по сравнению со средним кеплеровским движением.Свойства прецессий таковы, что орбитальный узел всегда движется в направлении, противоположном движению спутника, а линия апсид, в зависимости от наклона, может вращаться в ту или иную сторону, оставаясь неподвижной в плоскости соприкасающейся орбиты. с наклоном около 63 градусов.

Несферичность планеты не ограничивается ее сжатием. Другие условия расширения силовой функции гравитации планеты также могут влиять на эволюцию орбиты.На данном этапе исследования важным фактом теории возмущений является то, что, как бы точно мы ни вычисляли возмущения из-за несферичности планеты, мы не получим вековых или даже смешанных возмущений в элементах a , e. и i . Доказательство можно провести с помощью математической индукции. Вместо этого мы просто ссылаемся на уже процитированную работу (Аксенов, 1966).

Случай малых эксцентриситетов Эволюционные свойства орбит спутников сплющенной планеты, описанные здесь, остаются в силе только при значительных эксцентриситетах.Если эксцентриситет мал и имеет значение порядка J2 (r0a) 2, то свойства эволюции орбиты качественно меняются. С уменьшением эксцентриситета короткопериодические возмущения аргумента перицентра ω приобретают нарастающую амплитуду, в результате чего ее изменение становится монотонным со скоростью движения спутника вокруг планеты. В то же время короткопериодические возмущения средней аномалии M трансформируют ее изменение от монотонного к либрационному относительно значения M = 0.Этот случай движения спутника сжатой планеты впервые подробно изучен в работе Емельянова (2015). Это также рассматривается в специальном разделе главы 3.

Диэдрический эффект

— обзор

7.2.2 Спиральная мода

Спиральная мода также не колеблется и определяется другим действительным корнем характеристического полинома. При возбуждении динамика моды обычно развивается медленно и включает сложное сопряженное движение в виде крена, рыскания и бокового скольжения.Основные аэромеханические принципы, определяющие динамику режима, показаны на рис. 7.4. Характеристики режима очень зависят от боковой статической устойчивости и направленной статической устойчивости самолета. Эти темы обсуждаются в разделах 3.4.1 и 3.4.2 Раздел 3.4.1 Раздел 3.4.2

Рисунок 7.4. Развитие спирального режима.

Спиральная мода обычно вызывается возмущением бокового скольжения, которое обычно следует за возмущением крена и вызывает падение крыла.Предположим, что самолет изначально находится в полете с выравниванием крыльев и что возмущение вызывает небольшой положительный угол крена ϕ . Если не отмечено, это приводит к небольшой положительной скорости бокового скольжения v , как показано в (a) на рис. 7.4. При боковом скольжении плавник падает на угол β , который создает подъемную силу и, в свою очередь, создает момент рыскания, чтобы развернуть самолет в направлении бокового скольжения. Движение по рысканию создает дифференциальную подъемную силу по размаху крыла, что, в свою очередь, приводит к крутящему моменту, заставляя правое крыло опускаться дальше, тем самым усугубляя ситуацию.Это развивающееся расхождение обозначено точками (b) и (c) на рис. 7.4. Одновременно двугранный эффект крыла создает отрицательный восстанавливающий момент качения из-за бокового скольжения, который возвращает крыло в горизонтальное положение. Некоторый дополнительный восстанавливающий момент качения также создается подъемной силой ребра, когда она действует в точке над осью ox валка, что обычно.

Таким образом, возникает ситуация, в которой эффект плавника, или направленная статическая устойчивость, и двугранный эффект, или поперечная статическая устойчивость, действуют противоположно, создавая это интересное динамическое состояние.Обычно требования к боковой и направленной статической устойчивости таковы, что противоположные эффекты почти одинаковы. Когда двугранный эффект больше, спиральная мода стабильна и, следовательно, сходится; когда эффект плавника больше, спиральная мода нестабильна и, следовательно, расходится. Поскольку эти эффекты почти равны, спиральная мода почти нейтрально устойчива, а иногда даже может быть нейтрально стабильной, то есть она не является ни сходящейся, ни расходящейся. Поскольку мода не колеблется, она проявляется как классическая экспоненциальная сходимость или расхождение, и, поскольку она почти нейтральна, постоянная времени очень велика, обычно 100 с или более.Это означает, что когда режим устойчивый, крыло медленно восстанавливает горизонтальное положение после возмущения, а когда оно нестабильно, скорость его отклонения также очень низкая. В нейтральном положении самолет просто выполняет разворот при постоянном крене.

По понятным причинам наибольшее внимание привлекает именно нестабильное состояние. После возбуждения режима самолет летит по медленно расходящейся траектории как по крену, так и по рысканью, и, поскольку вертикальные силы больше не находятся в равновесии, самолет также теряет высоту.Таким образом, нестабильная траектория полета представляет собой спиральное снижение, которое, если его не остановить, заканчивается, когда самолет ударяется о землю! Однако, поскольку скорость отклонения режима обычно очень низкая, большинство пилотов могут с этим справиться. По этой причине допускается нестабильный спиральный режим, если его постоянная времени достаточно велика. Поскольку режим развивается очень медленно, ускорения в результирующем движении незначительно малы, а сигналы движения, доступные пилоту, почти незаметны.При вылете по спирали визуальные подсказки становятся наиболее важными подсказками для пилота. Также важно понимать, что вылет спирали — это не то же самое, что вращение. Вращение — это полностью остановленное состояние полета, тогда как при спиральном спуске крыло продолжает лететь в обычном смысле.

MGCF Prelab — DOF

Концепции моделирования — степени свободы:

Координаты XYZ


Мы можем описать положение атома в пространстве с помощью трех координат: x, y и z.Для второго атома нам понадобится второй набор координат x, y, z.

Для N атомов нам потребуется 3N координат.

Этот подход дает абсолютные положения атомов в трехмерном пространстве. Однако нас обычно не волнуют абсолютные положения атомов. Вместо
обычно мы заботимся только об относительном расположении атомов по отношению друг к другу. Из-за этого мы можем игнорировать те координаты, которые соответствуют
на перевод и вращение в
абсолютное пространство и сосредоточьтесь только на тех координатах, которые являются внутренними по отношению к молекуле.

Чтобы понять это, представьте себе один атом A в произвольной точке пространства. Теперь представьте себе второй атом, B.
Вам нужна только 1 переменная (длина связи), чтобы описать положение 2-го атома.
относительно первого. Добавьте третий атом, C, и вам понадобятся только 2 дополнительные переменные:
вторая длина связи и угол. Таким образом, относительное положение 3 атомов
можно описать всего 3-мя переменными. Когда добавляется 4-й атом,
Требуются 3 новые переменные: длина связи, угол и двугранный угол.Для всех дополнительных атомов также потребуются 3 новые переменные.

Как правило, для N связанных атомов
вам понадобится 3N-6 терминов, чтобы описать внутренние координаты молекулы.
Это 3N-5 для линейной молекулы.

Резюме 1: Для молекулы из N атомов существуют внутренние координаты 3N-6. Это длины связей N-1, валентные углы N-2 и двугранные углы N-3.
(также называемые кручением). Эти координатные переменные называются внутренними степенями свободы.

Рассмотрим гипотетическую (нелинейную) молекулу A-B-C-D. Он имеет (3х4) -6 = 6 степеней свободы. Эти
3 длины связи, 2 угла связи и 1 двугранный угол, как показано на приведенном выше рисунке.


Двугранный угол: Двугранный угол для ABCD (вверху) — это угол между плоскостями ABC и BCD как единым целым.
смотрит вниз по оси BC. В таком случае,
двугранный угол 180 градусов.

Многие люди не понимают двугранные углы, поэтому этот краткий раздел ниже расширяет эту тему.

Двугранный угол — это угол между плоскостями.
В Википедии есть довольно
хорошее объяснение, но его легче всего увидеть в прогнозах Ньюмана для н-бутана. Если мы
Чтобы узнать двугранный уголCCС в бутане, мы должны учитывать конформации.
Здесь у нас есть затменная и антиформная формы с указанными двугранными угламиCCCС.

Если вы вращаете вокруг центральной С-С связи бутана и вычисляете энергию каждые 10 градусов, вы получаете
данные, которые можно отобразить, как на графике ниже.Геометрия с наименьшей энергией имеет двугранный угол
180 градусов (анти). Форма с наивысшей энергией имеет двугранный угол 0 градусов (затмение).

Бутан: энергия против двугранного угла — поверхность потенциальной энергии


Вот некоторые виды, сделанные с помощью программы молекулярного моделирования Maestro.

Бутан — затменная форма: двугранный угол = 0 градусов (вид спереди слева, проекция Ньюмана как вид справа).


Бутан — антиконформация: двугранный угол = 180 градусов (вид спереди слева, проекция Ньюмана как вид справа).


Бутан — грубая форма: двугранный угол = 60 градусов (вид спереди слева, проекция Ньюмана, как вид справа).
При 300 градусах имеется вторая гош-конформация. Это вторые по величине энергетические конформации на графике.

Выше мы сосредоточили внимание на одном двугранном угле в н-бутане и отметили, что он имеет 3 значительных
конформационные состояния, одно анти и 2 гош. Такие состояния называются конформерами, ротамерами или конформационными изомерами. Облигации, которые обычно являются sp3-sp3
есть 3 таких состояния.Если вы изучаете молекулу с вращающимися связями, то ее конформационная
Гибкость является ключевым фактором при выборе метода молекулярного моделирования.
Есть хорошее обсуждение
конформационная изомерия
в Википедии.

Упражнение 1. Сколько внутренних степеней свободы имеет н-бутан? Сколько их
длины связей, углы и двугранные углы?

Упражнение 2: посмотрите на дипептид,
Ансерин.
Сколько существует вращающихся облигаций? Амидные связи обычно цис- или транс- (2 конформационные
состояний), но связи sp3-sp3 обычно похожи на бутан и имеют 3 конформационных состояния.Исходя из этого, сколько конформационных изомеров у ансерина в целом?


Вы можете вернуться на главную страницу предварительной лаборатории или перейти к следующей концепции.

PumMa »Теория» Потенциалы



В основе любой программы молекулярной динамики лежит эмпирическое силовое поле, которое используется для расчета взаимодействий между атомами. Чаще всего эти взаимодействия разделяются на две группы: связанные и несвязанные. В первой группе учитываются все внутримолекулярные взаимодействия (такие как связи, углы и двугранность), тогда как во второй рассматриваются взаимодействия, такие как ван-дер-ваальсовы и электростатические.В этом разделе обсуждаются все потенциалы, доступные в PumMa, начиная с внутримолекулярных потенциалов.

Связанный потенциал

Для моделирования ковалентной связи в молекулярной структуре можно использовать многие типы потенциалов взаимодействия, такие как потенциал Морзе или конечно-расширяемый нелинейно-упругий (FENE) потенциал. Однако наиболее распространенным потенциалом, который можно использовать в любой программе молекулярной динамики, является потенциал гармонической связи. Уравнение, описывающее потенциальную энергию гармонического потенциала, имеет вид

(1)
В этом уравнении r 0 — эталонная длина связи, k ij — силовая постоянная, а r ij — расстояние между атомами i и j, следовательно, текущая длина облигации.На рисунке справа схематично показаны некоторые из этих параметров. Гармонический потенциал в основном представляет собой приближение Тейлора более сложных потенциалов вокруг эталонной длины связи. Из этого потенциала можно вывести силу, действующую на атом i (при условии, что мы имеем дело с центральными и консервативными силами) через
(2)

Подставив уравнение (1) в (2 ) дает нам для силы, действующей на атом i

(3)

Сила, действующая на атом j, согласно третьему закону Ньютона, имеет одинаковую величину, но противоположна по направлению силе, действующей на атом i.

Угловой потенциал

Между двумя связями, имеющими общий атом, можно определить угол. Такой угол показан на рисунке справа для набора из трех последовательных атомов i, j и k. Соответствующий валентный угол обозначен θ ijk . На основе векторов положения атомов векторы связи для двух связей могут быть определены как r ij = r i r j и r kj = r к r j .Важно отметить, что оба вектора связи определены по отношению к общему атому (в данном случае атом j).

Из этих определений угол θ ijk впоследствии может быть выражен как

(4)

В этом уравнении r ij и r kj — длины векторов связей, тогда как r ij и r kj — векторы, и · обозначает скалярное произведение.Подобно выводу силы с потенциалом связи, сила, действующая на атом i, определяется выражением

(5)

, где правило цепочки использовалось для разделения производной относительно вектора положения на две части. Используя уравнение (4), легко получить самую правую производную, тогда как производная потенциальной энергии зависит от функциональной формы функции потенциальной энергии.

В программе молекулярной динамики чаще всего встречаются два типа угловых потенциалов.Это гармоническая и косинусная гармонические потенциальные функции, первая из которых используется в силовом поле CHARMM, а вторая — в силовом поле GROMOS96. PumMa может использовать обе функциональные формы, но не одновременно. Перед моделированием необходимо выбрать, какую функциональную форму углового потенциала следует использовать.

Косинусный потенциал угла гармоники определяется выражением

(6)

где θ 0 — опорный угол, а k CH ijk — силовая постоянная для косинусной гармонической функциональной формы.Подобно потенциалу связи, потенциал угла гармоники выражается как

(7)

где θ 0 — снова опорный угол, а k H ijk — силовая постоянная для гармонической версии углового потенциала. Очень важно отметить, что силовые постоянные либо для косинусной гармоники, либо для гармонического потенциала имеют разный порядок величины и разные единицы (см. Страницы руководства).

Комбинирование уравнения (6) или (7) с (5) дает выражение для силы, действующей на атом i, и аналогичные выражения могут быть получены для сил, действующих на атомы j и k.

Юри-Брэдли

В силовом поле CHARMM к углу добавляется дополнительная потенциальная функция, чтобы ограничить движения связей, участвующих в этом угле. Эту потенциальную функцию часто называют потенциалом Ури-Брэдли. Функциональная форма этого потенциала очень похожа на потенциальную функцию связи и определяется выражением

(8)

Здесь эталонная длина расстояния между частицами i и k задается как r 0 , а соответствующая силовая постоянная определяется как k UB ik .По сути, потенциал Ури-Брэдли вводит виртуальную связь между атомами i и k. Сила, связанная с этим потенциалом, может быть получена аналогично потенциалу связи.

Торсионные потенциалы

Чаще всего различают два типа торсионных потенциалов: потенциалы с двугранным углом и несобственные кручения. Оба потенциала опираются на квартет атомов, так или иначе связанных между собой. Потенциалы с двугранным углом зависят от четырех следующих друг за другом связанных атомов, тогда как неправильное кручение зависит от трех атомов, центрированных вокруг четвертого атома.Потенциал двугранного угла в основном используется для ограничения вращения вокруг связи. Неправильное кручение используется для поддержания хиральности тетраэдрического вытянутого тяжелого атома или для поддержания планарности определенных атомов. Основное различие между обоими торсионными потенциалами — это определение торсионного угла и функциональная форма потенциальной функции. К счастью, разницу в определении торсионного угла можно устранить, пронумеровав атомы хитрым способом. Сначала обсуждается правильный диэдр, а затем неправильный тип.

Собственные двугранные

На рисунке слева можно увидеть определение угла скручивания для собственного потенциала двугранного угла. Торсионный угол φ ijkl — это угол между плоскостью, проходящей через атомы i, j и k, и плоскостью, проходящей через атомы j, k и l. Для каждой из этих двух плоскостей векторы нормалей можно вычислить, взяв перекрестное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости, где направления векторов должны быть выбраны умным способом, чтобы получить угол кручения в соответствии с IUPAC / Конвенция МСБ.

Для плоскости, проходящей через атомы i, j и k, этот вектор нормали m выражается как

(9)

где r ij и r jk — векторы связей, лежащие в плоскости ijk. Аналогично плоскости, проходящей через атомы j, k и l, вектор нормали n задается формулой

(10)

Для угла скручивания можно использовать определение, подобное в (4).Косинус крутильного угла φ ijkl выражается как

(11)

и синус того же угла φ ijkl как

(12)

где m, n и r jk — длины соответствующих векторов. Используя два определения косинуса и синуса и принимая во внимание соглашение IUPAC / IUB, крутильный угол определяется как

(13)

Для моделирования барьеров вращения вокруг связей в соответствии с термодинамическими данными была введена косинусная форма диэдрального потенциала, которая выражается как

(14)

где k C ijkl — силовая постоянная, принадлежащая косинусному типу потенциала, φ 0 угол, при котором потенциал проходит через свое минимальное значение, и n ijkl — это кратность , которая указывает количество минимумов при повороте связи на 360, или .Кратность — это ненулевое положительное целое число. Однако нередко вращение вокруг облигации имеет локальные и глобальные минимумы. Чтобы приспособиться к такому поведению, потенциал расщепляется.
в своих основных гармонических функциях, каждая из которых имеет свою собственную силовую постоянную, кратность и опорный угол. В PumMa каждый гармонический вклад в двугранный
потенциал конкретного квартета атомов необходимо указывать отдельно в наборе параметров силового поля.

Помимо функциональной формы косинуса в PumMa доступна также гармоническая форма.Следует отметить, что этот диэдральный потенциал действителен только тогда, когда соответствующий диэдр имеет только один минимум. Спорный вопрос, так ли это в случае полностью атомистического моделирования, но считается, что он хорошо моделирует двугранность в крупнозернистом моделировании. Гармонический двугранный потенциал выражается как

(15)

где k H ijkl — соответствующая силовая постоянная, которая, очевидно, отличается от силовой постоянной в функциональной форме косинуса.Базовый двугранный угол φ 0 должен быть между -π и π.

Сила, возникающая из-за любого из двух типов функциональных форм правильного двугранного потенциала, может быть выражена следующим образом:

(16)

Импроперы

Для неправильного скручивания определение угла скручивания показано на рисунке справа. Угол φ ijkl по-прежнему зависит от тех же двух плоскостей ijk и jkl, поскольку атомы были выбраны с умом, как это видно на рисунке с атомом i в центре, а не на одном из концов двугранной цепь.Используя это определение, те же уравнения (9) — (13) можно использовать для вычисления торсионного угла, и, следовательно, не нужно много изменений вносить в код молекулярной динамики.

Поскольку неподходящий потенциал кручения в основном используется для поддержания планарности в молекулярной структуре. Следовательно, он имеет только один минимум, и можно использовать гармонический потенциал. Следовательно, несобственная функциональная форма кручения имеет вид

(17)

Вывод силы на основе этого потенциала снова дается формулой (16).

Потенциал Ван-дер-Ваальса

Ван-дер-Ваальсовы взаимодействия часто называют комбинацией сил притяжения и отталкивания между двумя атомами, которые не связаны друг с другом. Энергия, возникающая в результате этого взаимодействия, зависит от расстояния между двумя атомами. Эта энергия равна нулю на бесконечном расстоянии, но по мере того, как расстояние уменьшается, энергия уменьшается, проходит через минимум и оттуда быстро увеличивается.

Наиболее распространенный потенциал для моделирования взаимодействий Ван-дер-Ваальса известен как потенциал Леннарда-Джонса, который зависит только от двух параметров и выражается как

(18)

где ε ij — минимум (глубина ямы) потенциала взаимодействия между атомом i и j, σ ij диаметр столкновения (расстояние, при котором энергия равно нулю) и r ij = | r i r j | расстояние разделения.Притягивающая часть потенциала (та часть, которая содержит степень 6) была экспериментально подтверждена. Для отталкивающей части подходят разные мощности, однако чаще всего используется мощность 12, так как в результате можно легче вычислить потенциал, являющийся квадратом притягивающей части. Обычно параметры (такие как σ ij и ε ij ) задаются не для конкретной пары, а как параметр самого атома. Чтобы иметь возможность вычислить взаимодействия Ван-дер-Ваальса, применяются правила смешивания Лоренца-Бертело для определения значений параметров, которые затем задаются следующим образом:

и (19)

где σ ii , σ jj , ε ii и ε jj — диаметры столкновения для атомов i, j и ямы глубины для атомов i и j соответственно.В PumMa, однако, указываются не параметры для типа атома (как это обычно бывает в CHARMM), а параметры для пары атомов, см. Файл параметров для получения дополнительной информации.

Сила, прилагаемая потенциалом Леннарда-Джонса, например, к атому i, может быть получена с помощью выражения, аналогичного уравнению (2), и выражается как

(20)

Электростатический потенциал

Электроотрицательные атомы притягивают электроны больше, чем электроотрицательные атомы, что приводит к неравномерному распределению заряда в молекуле.Это распределение можно представить разными способами, но один из наиболее распространенных способов — представить распределение зарядов в виде точечных зарядов, локализованных по всей молекуле и в основном совпадающих с ядрами атомов. Для ионов их заряд также считается точечным.

Электростатическое взаимодействие (также известное как кулоновское взаимодействие) между двумя атомами в одной или другой молекуле выражается с помощью закона Кулона.

(21)

где q i и q j — заряды атомов i и j соответственно, ε 0 — диэлектрическая проницаемость вакуума (ε 0 = 8.8542 · 10 -12 C 2 N -1 м -2 ), ε R диэлектрическая проницаемость (ε R = 1 для вакуума по определению) и r ij расстояние между атомами i и j.
Аналогично получению силы с помощью потенциала Ван-дер-Ваальса мы можем записать силу, действующую на атом i, как эффект кулоновского потенциала

(22)

<< | Теория | Ансамбли >>

Оснастка самолета — Проверки оснастки (Часть первая)

Проверки оснастки

Вся сборка и сборка самолета должны выполняться в соответствии с требованиями, установленными производителем конкретного самолета и / или компонентов самолета.Правильное выполнение процедур обеспечивает надлежащую работу компонентов с точки зрения их механических и аэродинамических функций и обеспечивает структурную целостность самолета. Процедуры монтажа подробно описаны в соответствующих руководствах по техническому обслуживанию или ремонту и в соответствующих руководствах по ремонту конструкций. Кроме того, в технических характеристиках самолета или в листах данных сертификата типа (TCDS) также содержится информация о перемещении поверхности управления, а также о пределах веса и баланса.

Цель этого раздела — объяснить методы проверки относительного выравнивания и регулировки основных структурных компонентов самолета.Это не означает, что процедуры в точности такие же, как и на конкретном воздушном судне. При установке самолета всегда следуйте процедурам и методам, указанным производителем самолета.

Конструктивное выравнивание

Положение или угол основных конструктивных элементов зависит от продольной опорной линии, параллельной центральной линии самолета, и поперечной опорной линии, параллельной линии, соединяющей законцовки крыла. Перед проверкой положения или угла наклона основных компонентов самолет необходимо поддомкратить и выровнять.

Небольшие самолеты обычно имеют фиксированные штифты или блоки, прикрепленные к фюзеляжу параллельно или совпадающим с опорными линиями. Спиртовой уровень и линейка опираются на колышки или блоки, чтобы проверить уровень самолета. Этот метод проверки уровня самолета также применим ко многим более крупным типам самолетов. Однако на больших самолетах иногда используется метод сетки. Решетчатая пластина — это постоянное приспособление, устанавливаемое на полу или опорной конструкции самолета.[Рисунок 2-83] Рисунок 2-83. Установлена ​​сетка. [щелкните изображение, чтобы увеличить] Когда самолет должен быть выровнен, отвес подвешивается в заданном положении в потолке самолета над решеткой. Регулировки домкратов, необходимые для выравнивания самолета, указаны на шкале сетки. Дрон находится в горизонтальном положении, когда отвес подвешен над центральной точкой сетки.

Во всех случаях необходимо соблюдать определенные меры предосторожности при захвате самолета домкратом.Обычно проверка такелажа и центровки должна выполняться в закрытом ангаре. Если это не может быть выполнено, самолет следует расположить носом против ветра.

Вес и загрузка самолета должны точно соответствовать описанию в руководстве производителя. Во всех случаях самолет не должен подниматься домкратом до тех пор, пока не будет определено, что максимальный вес домкрата (если применимо), указанный изготовителем, не превышен.

За некоторыми исключениями, двугранные углы и углы падения обычных современных самолетов не могут быть отрегулированы.Некоторые производители разрешают регулировку угла атаки крыла для корректировки условий тяжелого крыла. Двугранные углы и углы падения следует проверять после жесткой посадки или после возникновения аномальных полетных нагрузок, чтобы убедиться, что компоненты не деформированы и что углы находятся в указанных пределах.

Существует несколько методов проверки соосности конструкции и углов крепления. На некоторых самолетах используются специальные монтажные доски, которые включают в себя или на которые может быть помещен специальный прибор (спиртовой уровень или инклинометр) для определения угла.На некоторых самолетах юстировку проверяют с помощью транзитного и отвесного отвеса или теодолита и визирных стержней. Конкретное оборудование, которое следует использовать, обычно указывается в руководстве по техническому обслуживанию производителя.

При проверке совмещения необходимо разработать подходящую последовательность и соблюдать ее, чтобы убедиться, что проверки выполняются во всех указанных положениях. Указанные проверки центровки обычно включают:

  • Двугранный угол крыла
  • Угол наклона крыла
  • Вертикальность киля
  • Центровка двигателя
  • Проверка симметрии
  • Угол наклона горизонтального стабилизатора
  • Угол наклона горизонтального стабилизатора Проверка угла наклона

    Двугранный угол следует проверять в указанных положениях с помощью специальных досок, предоставленных производителем самолета.Если таких досок нет, можно использовать линейку и инклинометр. Методы проверки двугранного угла показаны на рис. 2-84.

    Рисунок 2-84. Проверка двугранности. [щелкните изображение, чтобы увеличить] Важно, чтобы двугранность была проверена в положениях, указанных производителем. Некоторые части крыльев или горизонтального стабилизатора иногда могут быть горизонтальными или, в редких случаях, могут присутствовать угловые углы.

    Проверка падения

    Падение обычно проверяется как минимум в двух указанных положениях на поверхности крыла, чтобы убедиться, что крыло не скручено.Для проверки угла падения используются различные доски. У некоторых есть упоры на передней кромке, которые должны соприкасаться с передней кромкой крыла. Другие оснащены установочными штифтами, которые подходят к определенной части конструкции. В любом случае цель состоит в том, чтобы убедиться, что плата установлена ​​точно в предполагаемом положении. В большинстве случаев доски удерживаются вне контура крыла с помощью коротких удлинителей, прикрепленных к доске. Типичная таблица инцидентности показана на Рисунке 2-85.

    Рисунок 2-85. Типичная доска инцидентов. [щелкните изображение, чтобы увеличить] При использовании доска помещается в указанные места на проверяемой поверхности. Если угол падения правильный, инклинометр в верхней части доски показывает ноль или в пределах указанного допуска нуля. Изменения в областях, где расположены табло заболеваемости, могут повлиять на показания. Например, если установлены пыльники передней кромки, это влияет на положение доски, имеющей упор на передней кромке.

    Проверка вертикальности ребра

    После проверки такелажа горизонтального стабилизатора можно проверить вертикальность вертикального стабилизатора относительно поперечной опорной точки.Измерения проводятся от заданной точки по обе стороны от верха ребра до заданной точки на левом и правом горизонтальных стабилизаторах. [Рисунок 2-86] Измерения должны быть аналогичными в установленных пределах. Когда необходимо проверить соосность шарниров руля направления, снимите руль направления и пропустите отвес через отверстия для крепления шарниров руля. Линия должна проходить через все отверстия по центру. Следует отметить, что на некоторых самолетах передняя кромка вертикального оперения смещена относительно продольной центральной линии для противодействия крутящему моменту двигателя.

    Рисунок 2-86. Проверка вертикальности плавника. [щелкните изображение, чтобы увеличить]

    Проверка центровки двигателя

    Двигатели обычно устанавливаются так, чтобы линия тяги была параллельна горизонтальной продольной плоскости симметрии. Однако это не всегда верно, когда двигатели устанавливаются на крыльях. Проверка правильности положения двигателей, включая любую степень смещения, во многом зависит от типа крепления. Обычно проверка влечет за собой измерение от центральной линии крепления до продольной центральной линии фюзеляжа в точке, указанной в соответствующем руководстве.[Рисунок 2-87] Рисунок 2-87. Типичные измерения, используемые для проверки симметрии самолета.

    Проверка симметрии

    Принцип типичной проверки симметрии показан на Рис. 2-87. Точные цифры, допуски и контрольные точки для конкретного самолета можно найти в соответствующем руководстве по эксплуатации или техническому обслуживанию.

    На небольших самолетах измерения между точками обычно проводятся с помощью стальной ленты. При измерении больших расстояний рекомендуется использовать пружинную шкалу с лентой для получения равного натяжения.Обычно достаточно пяти фунтов.

    На больших самолетах места для снятия размеров обычно наносятся мелом на полу. Это делается путем подвешивания отвеса к контрольным точкам и разметки пола непосредственно под концом каждого отвеса. Затем измерения производятся между центрами каждой маркировки.

    Flight Mechanic рекомендует

    Произошла ошибка при настройке вашего пользовательского файла cookie

    Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности.Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.


    Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

    Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

    • В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
    • Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, нажмите кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
    • Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
    • Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г.,
      браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
    • Вы ​​установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с вашим системным администратором.

    Почему этому сайту требуются файлы cookie?

    Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie
    потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.


    Что сохраняется в файле cookie?

    Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

    Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт
    не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к
    остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *