Двойной модуль как решать: Решить уравнение с двойным модулем: ||5x-3|+3|=4

Содержание

Модуль числа, решение неравенств с модулем, свойства, как раскрыть, чему равен модуль отрицательного числа, как решать уравнения с модулем, примеры графиков

Модуль числа легко найти, и теория, которая лежит в его основе, важна при решении задач.

Свойства и правила раскрытия, используемые при решении упражнений и на экзаменах, будут полезны школьникам и студентам.

Что такое модуль в математике

Модуль числа описывает расстояние на числовой линии от нуля до точки без учета того, в каком направлении от нуля лежит точка. Математическое обозначение: |x|.

Иными словами, это абсолютная величина числа. Определение доказывает, что значение никогда не бывает отрицательным.

Свойства модуля

Важно помнить о следующих свойствах:

  1. Правило раскрытия: абсолютная величина любого числа больше или равна нулю:
  2. Если абсолютные значения содержат выражения противоположных значений, они равны:
  3. Значение числа не превышает величину его модуля:
  4. Правило раскрытия при произведении:
  5. Правило, применимое при делении:
  6. При возведении в степень:
  7. Сумма величин:
  8. Двойной модуль:

Модуль комплексного числа

Абсолютной величиной комплексного числа называют длину направленного отрезка, проведенного от начала комплексной плоскости до точки (a, b).

Этот направленный отрезок также является вектором, представляющим комплексное число a + bi, поэтому абсолютная величина комплексного числа – это то же самое, что и величина (или длина) вектора, представляющего a+ bi.

Как решать уравнения с модулем

Уравнение с модулем – это равенство, которое содержит выражение абсолютного значения. Если для действительного числа оно представляет его расстояние от начала координат на числовой линии, то неравенства с модулем являются типом неравенств, которые состоят из абсолютных значений.

Уравнения типа |x| = a

Уравнение |x| = a имеет два ответа x = a и x = –a, потому что оба варианта находятся на координатной прямой на расстоянии a от 0.

Равенство с абсолютной величиной не имеет решения, если величина отрицательная.

Если |x| &lt, a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

Уравнения типа |x| = |y|

Когда есть абсолютные значения по обе стороны уравнений, нужно рассмотреть обе возможности для приемлемых определений – положительные и отрицательные выражения.

Например, для равенства |x − a| = |x + b| есть два варианта: (x − a) = − (x + b) или (x − a) = (x + b).

Далее простая арифметика − нужно решить два равенства относительно x.

Уравнения типа |x| = y

Уравнения такого вида содержат абсолютную величину выражения с переменной слева от нуля, а справа – еще одну неизвестную. Переменная y может быть как больше, так и меньше нуля.

Для получения ответа в таком равенстве нужно решить систему из нескольких уравнений, в которой нужно убедиться, что y – неотрицательная величина:

Решение неравенств с модулем

Чтобы лучше понять, как раскрыть модуль в разных типах равенств и неравенств, нужно проанализировать примеры.

Уравнения вида |x| = a

Пример 1 (алгебра 6 класс). Решить: |x| + 2 = 4.

Решение.

Такие уравнения решаются так же, как и равенства без абсолютных значений. Это означает, что, перемещая неизвестные влево, а константы – вправо, выражение не меняется.

После перемещения константы вправо получено: |x| = 2.

Поскольку неизвестные связаны с абсолютным значением, это равенство имеет два ответа: 2 и −2.

Ответ: 2 и −2.

Пример 2 (алгебра 7 класс). Решить неравенство |x + 2| ≥ 1.

Решение.

Первое, что нужно сделать, это найти точки, где абсолютное значение изменится. Для этого выражение приравнивается к 0. Получено: x = –2.

Это означает, что –2 – поворотная точка.

Далее определяется знак на интервалах: на промежутке  величина будет отрицательной, а на интервале  будет положительной.

Разделим интервал на 2 части:

  1. для x + 2 ≥ 0

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал [−1, + ∞).

  1. для х + 2 &lt, 0

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал (−∞, –3].

Окончательное решение – объединение ответов отдельных частей:

x ∈ (–∞, –3] ∪ [–1, + ∞).

Ответ: x ∈ (–∞, –3] ∪ [–1, + ∞).

Уравнения вида |x| = |y|

Пример 1 (алгебра 8 класс). Решить уравнение с двумя модулями: 2 * |x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|.

Решение:

Ответ: x1 = 3, x2 = − 1.

Пример 2 (алгебра 8 класс). Решить неравенство:

Решение:

Уравнения вида |x| = y

Пример 1 (алгебра 10 класс). Найти x:

Решение:

Очень важно провести проверку правой части, иначе можно написать в ответ ошибочные корни. Из системы видно, что  не лежит в промежутке .

Ответ: x = 0.

Модуль суммы

Модуль разности

Абсолютная величина разности двух чисел x и y равна расстоянию между точками с координатами X и Y на координатной прямой.

Пример 1.

Пример 2.

Модуль отрицательного числа

Для нахождения абсолютного значения числа, которое меньше нуля, нужно узнать, как далеко оно расположено от нуля. Поскольку расстояние всегда является положительным (невозможно пройти «отрицательные» шаги, это просто шаги в другом направлении), результат всегда положительный. То есть,

Проще говоря, абсолютная величина отрицательного числа имеет противоположное значение.

Модуль нуля

Известно свойство:

Вот почему нельзя сказать, что абсолютная величина – положительное число: ноль не является ни отрицательным, ни положительным.

Модуль в квадрате

Модуль в квадрате всегда равен выражению в квадрате:

Примеры графиков с модулем

Часто в тестах и на экзаменах встречаются задания, которые возможно решить, лишь проанализировав графики. Рассмотрим такие задания.

Пример 1.

Дана функция f(x) = |x|. Необходимо построить график от – 3 до 3 с шагом 1.

Решение:

Объяснение: из рисунка видно, что график симметричен относительно оси Y.

Пример 2. Необходимо нарисовать и сравнить графики функций f(x) = |x–2| и g(x) = |x|–2.

Решение:

Объяснение: константа внутри абсолютной величины перемещает весь график вправо, если ее значение отрицательное, и влево, если положительное. Но постоянная снаружи будет передвигать график вверх, если значение положительное, и вниз, если оно отрицательное (как –2 в функции g (x)).

Координата вершины x (точка, в которой соединяются две линии, вершина графа) – это число, на которое график сдвигается влево или вправо. А координата y – это значение, на которое график сдвигается вверх или вниз.

Строить такие графики можно с помощью онлайн приложений для построения. С их помощью можно наглядно посмотреть, как константы влияют на функции.

Метод интервалов в задачах с модулем

Метод интервалов – один из лучших способов найти ответ в задачах с модулем, особенно если в выражении их несколько.

Для использования метода нужно совершить следующие действия:

  1. Приравнять каждое выражение к нулю.
  2. Найти значения переменных.
  3. Нанести на числовую прямую точки, полученные в пункте 2.
  4. Определить на промежутках знак выражений (отрицательное или положительное значение) и нарисовать символ – или + соответственно. Проще всего определить знак с помощью метода подстановки (подставив любое значение из промежутка).
  5. Решить неравенства с полученными знаками.

Пример 1. Решить методом интервалов.

Решение:

Результатом будет сумма всех подходящих интервалов.

Модуль в модуле

Среди примеров часто встречаются уравнения, где нужно найти корни равенств такого вида: ||ax – b| – c| = kx + m.

Лучше всего понять принцип на примере.

Пример 1. Решить

Решение:

Первым делом нужно раскрыть внутренний модуль. Для этого рассматривается два варианта:

В первом случае выражение положительное, а во втором отрицательное. Исходя из этого, получаем:

Нужно упростить два уравнения:

Далее каждое из равенств разделяется еще на два:

Получено четыре результата:

Заключение

Самое важное, что нужно знать: модуль не может быть отрицательным.

Поэтому, если представлено выражение, похожее на |2 – 4x| = –7 стоит помнить, что равенство неверно даже без поисков ответов.

В качестве итогов, напомним все свойства, которые помогут в решении задач:

  • когда положительное число находится внутри модуля, достаточно просто избавиться от него,
  • если есть выражение, нужно его упростить, прежде чем найти абсолютное значение,
  • если равенство содержит две переменные, нужно решать его с помощью системы уравнений и за основу брать методы решения выражений с абсолютными величинами.

Решать равенства и неравенства можно разными способами, но лучше всего использовать графический способ или метод интервалов.

Вычисление двойных интегралов: теория и примеры

Записывается двойной интеграл так:

.

Здесь D – плоская фигура, ограниченная линиями, выражения которых (равенства) даны в
задании вычисления двойного интеграла. Слева и справа – равенствами, в которых слева переменная x,
а сверху и снизу – равенствами, в которых слева переменная y. Это место и далее – одно из важнейших
для понимания техники вычисления двойного интеграла.

Вычислить двойной интеграл — значит найти число, равное площади упомянутой фигуры
D.

Пока мы не касаемся определения двойного интеграла, а будем учиться его вычислять.
Понять, что такое двойной интеграл, проще, когда решены несколько задач на его вычисление, поэтому
определение двойного интеграла вы найдёте в конце этого урока. Чуть забегая вперёд, можно лишь
отметить, что определение двойного интеграла также связано с упоминавшейся фигурой D.

В случае если фигура D представляет
собой прямоугольник, все линии, ограничивающие её – это прямые линии. Если фигура
D — криволинейна, то слева и справа она ограничена
прямыми, а сверху и снизу – кривыми линиями, заданными равенствами, которые даны в задании.
Бывают и случаи, когда фигура D – треугольник, но о таких случаях чуть дальше.

Для вычисления двойного интеграла нужно, таким образом, рассортировать
линии, огранивающие фигуру D, которая имеет строгое название – область интегрирования.
Рассортировать на левые и правые и на верхние и нижние. Это потребуется при сведении
двойного интеграла к повторному интегралу
– методе вычисления двойного интеграла.

Случай прямоугольной области:

Случай криволинейной области:

А это
уже решение знакомых нам определённых интегралов, в которых заданы верхний и нижний пределы
интегрирования. Выражения, задающие линии, которые ограничивают фигуру D, будут пределами
интегрирования для обычных определённых интегралов, к которым мы уже подходим.

Случай прямоугольной области

Пусть дана функция двух переменных f(xy)
и ограничения для D: D = {(xy) | a ≤ x ≤ bc ≤ y ≤ d},
означающие, что фигуру D слева и справа ограничивают
прямые x = a и x = b,
а снизу и сверху — прямые y = c и y = d.
Здесь a, b, c, d — числа.

Пусть для такой функции существует двойной интеграл

.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному
интегралу, который имеет вид

.

Здесь пределы интегрирования a, b, c, d — числа, о
которых только что упоминалось.

Сначала нужно вычислять внутренний (правый) определённый интеграл, затем — внешний (левый)
определённый интеграл.

Можно и поменять ролями x и y.
Тогда повторный интеграл будет иметь вид

.

Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала — внутренний (правый) интеграл, затем —
внешний (левый).

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая игрек константой. Получаем.

.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Случай криволинейной или треугольной области

Пусть снова дана функция двух переменных f(xy),
а ограничения для D: уже несколько другого вида:

.

Эта запись означает, что фигуру D слева и справа ограничивают,
как и в случае прямолинейной области —
прямые x = a и x = b,
но снизу и сверху — кривые, которые заданы уравнениями и
. Иными
словами, и
— функции.

Пусть для такой функции также существует двойной интеграл

.

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному
интегралу, который имеет вид

.

Здесь пределы интегрирования a и b — числа, а
и
— функции.
В случае треугольной области одна из функций или
— это
уравнение прямой линии. Такой случай будет разобран в примере 3.

Как и в случае прямолинейной области, сначала нужно вычислять правый определённый интеграл, затем — левый
определённый интеграл.

Точно так же можно поменять ролями x и y.
Тогда повторный интеграл будет иметь вид

.

Такой повторный интеграл нужно решать точно так же: сначала — внутренний (правый) интеграл, затем —
внешний (левый).

Пример 3. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования и видим, что она треугольная:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого).
Сначала представляем этот интеграл в виде суммы интегралов:

.

Вычисляем первое слагаемое:

Вычисляем второе слагаемое:

Вычисляем третье слагаемое:

Получаем сумму, которая и будет решением данного двойного интеграла:

.

Пример 4. Вычислить двойной интеграл

,

где

.

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

.

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Случается, область интегрирования двойного интеграла ограничена такими линиями,
что возникает необходимость разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий
повторный интеграл отдельно. Это случаи, когда:

1) область интегрирования представляет собой фигуру, имеющую в виде нижней
или верхней (левой или правой) границы две или более двух прямых или кривых линий;

2) область интегрирования
представляет собой фигуру, границу которой прямые пересекают более чем в двух точках.

Если вышесказанное относится к левой или правой границе области интегрирования, то есть
ограничениях, заданных линиями, выраженными через x, то область интегрирования называется
x-неправильной. Если же прямая y = y0
пересекает соответствующую границу лишь в одной точке и если границей служит лишь одна прямая или кривая,
то область интегрирования называется x-правильной

Аналогично, если границу, заданную линиями, выраженными через y, прямая
x = x0
пересекает более чем в одной точке или если границей служат более одной прямой или кривой,
то область интегрирования называется y-неправильной. Вывести теперь признаки y-правильной
области, надо полагать, совсем просто.

До сих пор мы рассматривали примеры с x-неправильными и y-правильными
областями интегрирования. Теперь рассмотрим случаи, когда условие правильности нарушается.

Как уже отмечалось выше, после приведения двойного интеграла к
повторному интегралу, можно поменять переменные x и y ролями, или,
говоря иначе, поменять порядок интегрирования.

Смена порядка интегрирования образно может быть описана следующими словами О’Генри:
«Так ведёт себя обитатель джунглей — зверь, попав в клетку, и так ведёт себя обитатель клетки —
человек, заблудившись в джунглях сомнений». Результат, так же по О’Генри один и тот же:
«Чалмерс разорвал письмо на тысячу мельчайших клочков и принялся терзать свой дорогой ковёр, расхаживая
по нему взад и вперёд». (О’Генри. Шехерезада с Мэдисон-сквера.)

Тогда, если левый интеграл у нас по
переменной x, а правый — по y, то после смены порядка интегрирования
всё будет наоборот. Тогда пределы интегрирования для «нового» игрека нужно «позаимствовать»
у «старого» икса, а пределы интегрирования для «нового» икса получить в виде обратной
функции
, разрешив относительно икса уравнение, задававшее предел для игрека.

Пример 8. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

.

Решение. После смены порядка интегрирования интеграл по игреку станет
левым, а интеграл по иксу — правым. Пределы интегрирования для «нового» игрека
позаимствуем у «старого» икса, то есть нижний предел равен нулю, а верхний — единице.
Пределы интегрирования для «старого» игрека заданы уравнениями
и
.
Разрешив эти уравнения относительно икса, получим новые пределы интегрирования для икса:

(нижний) и (верхний).

Таким образом, после смены порядка интегрирования повторный интеграл
запишется так:

.

После смены порядка интегрирования в двойном интеграле нередко область интегрирования
превращается в y-неправильную или x-неправильную (см. предыдущий параграф).
Тогда требуется разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный
интеграл отдельно.

Поскольку разбиение области интегрирования на части представляет определённые
трудности для многих студентов, то не ограничимся примером, приведённым в предыдущем параграфе, а
разберём ещё пару примеров.

Пример 9. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

.

Решение. Итак, область интегрирования данного повторного интеграла
ограничена прямыми y = 1, y = 3,
x = 0, x = 2y.

При интегрировании в другом порядке нижняя граница области состоит из двух прямых:
AB и BC, которые
заданы уравнениями y = 1 и y = x/2,
что видно на рисунке ниже.

Выход из такой неопределённости состоит в разбиении области интегрирования
на две части. Делить область интегрирования будет прямая .
Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет
равным сумме двух интегралов:

Естественно, таким же будет решение двойного интеграла, который сводится к повторному
интегралу, данному в условии этого примера.

Пример 10. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

.

Решение. Итак, область интегрирования повторного интеграла
ограничена прямыми x = 0, x = 2 и
кривыми и
.

Как видно на рисунке ниже, прямая, параллельная оси 0x,
будет пересекать нижнюю границу области интегрирования более чем в двух точках.

Поэтому разобьём область интегрирования на три части прямыми, которые на
рисунке начерчены чёрным. Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Пределы для трёх новых областей интегрирования будут следующими.

Для :

Для :

Для :

Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет
равным сумме трёх интегралов:

Той же сумме трёх интегралов будет равен и двойной интеграл, который сводится к
повторному интегралу, данному в условии этого примера.

И всё же обстоятельства непреодолимой силы нередко мешают студентам уже на предыдущем
шаге — расстановке пределов интегрирования. Тревога и смятение не лишены некоторого основания: если для
разбиения области интегрирования на части обычно достаточно приглядеться к чертежу, а для решения
повторного интеграла — таблицы интегралов, то в расстановке пределов интегрирования нужен некоторый
опыт тренировок. Пробежим пример, в котором остановимся только на расстановке пределов интегрирования и —
почти на автомате — на разбиении области и опустим само решение.

Пример 11. Найти пределы интегрирования двойного интеграла, если
область интегрирования D задана следующим образом:


y — 2x ≤ 0;
2y — x ≥ 0;
xy ≤ 2.

Решение. В явном виде (через x и y «без примесей») линии,
ограничивающие область интегрирования, не заданы. Так как для икса ими чаще всего оказываются
прямые, касающиеся в одной точке верхней и нижней границ, выраженных через игрек, то пойдём именно
по этому пути. Тем более, что при смене порядка интегирования мы получим область интегрирования с такой
же площадью.
Разрешим неравенства относительно игрека и получим:


y ≤ 2x;
y ≥ x/2;
y ≤ 2/x.

Строим полученные линии на чертёже. Пределами интегрирования по иксу действительно
служат линии x = 0 и x = 2.
Но область интегрирования оказалась y-неправильной, так как её верхнюю границу нельзя задать
одной линией y = y(x).

Поэтому разобьём область интегрирования на две части при помощи прямой
x = 1 (на чертеже — чёрного цвета).

Теперь данный двойной интеграл можем записать как сумму двух повторных интегралов с правильно расставленными пределами
интегрирования:

.

В этом параграфе даны примеры, в которых двойной интеграл равен
отрицательному числу. Но, как отмечалось в теоретической справке в начале урока, площадь
области интегрирования равна самому двойному интегралу. А если двойной интеграл —
отрицательное число, то площадь равна его модулю.

Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла имеет
более универсальный характер, чем вычисление площади криволинейной трапеции с помощью
определённого интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислять площади не
только криволинейной трапеции, но и фигур, расположенных произвольно по отношению к
к координатным осям.

Пример 12. Вычислить площадь области, ограниченной
линиями y² = x + 1 и x + y = 1.

Решение. Область интегрирования представляет собой фигуру,
ограниченную слева параболой y² = x + 1,
а справа прямой y = 1 — x.
(рисунок ниже).

Решая как систему уравнения этих линий, получаем точки их пересечения:
. Ординаты этих точек —
— 2 и 1 будут
соответственно нижним и верхним пределами интегрирования по игреку. Итак, площадь
фигуры найдём как двойной интеграл, сведённый к повторному:

.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

.

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Как видим, решение двойного интеграла — отрицательное число. За площадь
данной плоской фигуры принимается модуль этого числа, то есть 4/9.

Объём криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью
,
снизу плоскостью z = 0 и с боковых
сторон цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси
0z, а направляющей служит контур области,
вычисляется также по формуле двойного интеграла. То есть, с помощью двойного интеграла
можно вычислять объёмы тел.

Пример 13. Вычислить объём тела, ограниченного
поверхностями x = 0,
y = 0, z = 0 и
x + y + z = 1 (рисунок ниже).

Расставляя пределы интегрирования, получаем следующий повторный
интеграл:

.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

.

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Вновь видим, что решение двойного интеграла — отрицательное число. За объём
данного тела принимается модуль этого числа, то есть 1/6.

Мы уже знаем, что представляет собой область D. Пусть z = f(xy) —
некоторая функция двух переменных, определённая и ограниченная в этой области. Разобъём область
D произвольно на n частей, не имеющих общих точек, с площадями
. В каждой из этих частей
выберем произвольную точку
и составим сумму

,

которую назовём интегральной суммой. Диаметром области D
условимся называть наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Учитывается также
наибольший из диаметров частичных областей.

Определение. Если интегральная сумма при неограниченном возрастании
числа n разбиений области D и стремлении наибольшего из диаметров частичных областей
к нулю имеет предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции
f(xy) по области D.

Если областью интегрирования является окружность или часть окружности, то двойной
интеграл проще вычислить в полярных координатах. Обобщением понятия двойного интеграла для функции трёх переменных является
тройной интеграл.

Кратные и криволинейные интегралы

Поделиться с друзьями

Математические функции — Visual Basic



  • Чтение занимает 2 мин

В этой статье

Методы System.Math класса предоставляют тригонометрические, Логарифмические и другие общие математические функции.

Remarks

В следующей таблице перечислены методы System.Math класса. Их можно использовать в программе Visual Basic:

Метод .NET Описание
Abs Возвращает абсолютное значение числа.
Acos Возвращает угол, косинус которого равен указанному числу.
Asin Возвращает угол, синус которого равен указанному числу.
Atan Возвращает угол, тангенс которого равен указанному числу.
Atan2 Возвращает угол, тангенс которого равен отношению двух указанных чисел.
BigMul Возвращает полное произведение 2 32-разрядных чисел.
Ceiling Возвращает наименьшее целочисленное значение, которое больше или равно указанному Decimal или Double .
Cos Возвращает косинус указанного угла.
Cosh Возвращает гиперболический косинус указанного угла.
DivRem Возвращает частное от 2 32-битных или 64-битовых целых чисел со знаком, а также возвращает остаток в выходном параметре.
Exp Возвращает значение e (основание натуральных логарифмов), возведенное в указанную степень.
Floor Возвращает максимальное целое число, которое меньше или равно указанному Decimal Double значению или.
IEEERemainder Возвращает остаток, полученный от деления указанного числа на другое заданное число.
Log Возвращает натуральный (базовый e) логарифм указанного числа или логарифм указанного числа в заданном базовом массиве.
Log10 Возвращает логарифм с основанием 10 указанного числа.
Max Возвращает большее из двух чисел.
Min Возвращает меньшее из двух чисел.
Pow Возвращает указанное число, возведенное в указанную степень.
Round Возвращает Decimal значение или, Double округленное до ближайшего целого значения или до указанного числа цифр дробной части.
Sign Возвращает Integer значение, указывающее знак числа.
Sin Возвращает синус указанного угла.
Sinh Возвращает гиперболический синус указанного угла.
Sqrt Возвращает квадратный корень из указанного числа.
Tan Возвращает тангенс указанного угла.
Tanh Возвращает гиперболический тангенс указанного угла.
Truncate Вычисляет целую часть указанного Decimal Double числа или.

В следующей таблице перечислены методы System.Math класса, которые не существуют в платформа .NET Framework но добавляются в .NET Standard или .NET Core:

Метод .NET Описание Доступно в
Acosh Возвращает угол, гиперболический косинус которого равен указанному числу. Начиная с .NET Core 2,1 и .NET Standard 2,1
Asinh Возвращает угол, гиперболический синус которого равен указанному числу. Начиная с .NET Core 2,1 и .NET Standard 2,1
Atanh Возвращает угол, гиперболический тангенс которого равен указанному числу. Начиная с .NET Core 2,1 и .NET Standard 2,1
BitDecrement Возвращает ближайшее самое маленькое значение, которое меньше, чем x. Начиная с .NET Core 3,0
BitIncrement Возвращает ближайшее самое большое значение, превышающее x. Начиная с .NET Core 3,0
Cbrt Возвращает кубический корень из указанного числа. Начиная с .NET Core 2,1 и .NET Standard 2,1
Clamp Возвращает value, ограниченное диапазоном от min до max включительно. Начиная с .NET Core 2,0 и .NET Standard 2,1
CopySign Возвращает значение с величиной x и знаком y. Начиная с .NET Core 3,0
FusedMultiplyAdd Возвращает (x * y) + z, округленное как одна операция ternary. Начиная с .NET Core 3,0
ILogB Возвращает целочисленный логарифм с основанием 2 указанного числа. n, вычисленное эффективно. Начиная с .NET Core 3,0

Чтобы использовать эти функции без уточнения, импортируйте System.Math пространство имен в проект, добавив следующий код в начало исходного файла:

Imports System.Math

Пример-ABS

В этом примере используется Abs метод Math класса для расчета абсолютного значения числа.

Dim x As Double = Math.Abs(50.3)
Dim y As Double = Math.Abs(-50.3)
Console.WriteLine(x)
Console.WriteLine(y)
' This example produces the following output:
' 50.3
' 50.3

Пример — Atan

В этом примере используется Atan метод Math класса для вычисления значения PI.

Public Function GetPi() As Double
    ' Calculate the value of pi.
    Return 4.0 * Math.Atan(1.0)
End Function

Примечание

System.MathКласс содержит Math.PI постоянное поле. Его можно использовать вместо вычисления.

Пример — COS

В этом примере используется Cos метод Math класса для возврата косинуса угла.

Public Function Sec(angle As Double) As Double
    ' Calculate the secant of angle, in radians.
    Return 1.0 / Math.Cos(angle)
End Function

Пример — exp

В этом примере используется Exp метод класса, Math возвращающий значение e, возведенное в степень.

Public Function Sinh(angle As Double) As Double
    ' Calculate hyperbolic sine of an angle, in radians.
    Return (Math.Exp(angle) - Math.Exp(-angle)) / 2.0
End Function

Пример журнала

В этом примере используется Log метод Math класса для возврата натурального логарифма числа.

Public Function Asinh(value As Double) As Double
    ' Calculate inverse hyperbolic sine, in radians.
    Return Math.Log(value + Math.Sqrt(value * value + 1.0))
End Function

Пример-Round

В этом примере Round метод Math класса используется для округления числа до ближайшего целого числа.

Dim myVar2 As Double = Math.Round(2.8)
Console.WriteLine(myVar2)
' The code produces the following output:
' 3

Пример — подпись

В этом примере используется Sign метод Math класса для определения знака числа.

Dim mySign1 As Integer = Math.Sign(12)
Dim mySign2 As Integer = Math.Sign(-2.4)
Dim mySign3 As Integer = Math.Sign(0)
Console.WriteLine(mySign1)
Console.WriteLine(mySign2)
Console.WriteLine(mySign3)
' The code produces the following output:
' 1
' -1
' 0

Пример — Sin

В этом примере используется Sin метод Math класса для возврата синуса угла.

Public Function Csc(angle As Double) As Double
    ' Calculate cosecant of an angle, in radians.
    Return 1.0 / Math.Sin(angle)
End Function

Пример. Sqrt

В этом примере используется Sqrt метод Math класса для вычисления квадратного корня числа.

Dim mySqrt1 As Double = Math.Sqrt(4)
Dim mySqrt2 As Double = Math.Sqrt(23)
Dim mySqrt3 As Double = Math.Sqrt(0)
Dim mySqrt4 As Double = Math.Sqrt(-4)
Console.WriteLine(mySqrt1)
Console.WriteLine(mySqrt2)
Console.WriteLine(mySqrt3)
Console.WriteLine(mySqrt4)
' The code produces the following output:
' 2
' 4.79583152331272
' 0
' NaN

Пример — Tan

В этом примере используется Tan метод Math класса для возврата тангенса угла.

Public Function Ctan(angle As Double) As Double
    ' Calculate cotangent of an angle, in radians.
    Return 1.0 / Math.Tan(angle)
End Function

См. также

Тестирование производительности вычислительного модуля Intel Xeon Phi

Вычислительный модуль Intel Xeon Phi — математический сопроцессор с производительностью на операциях двойной точности до 1 TFLOPS — один триллион операций в секунду! Это в четыре раза быстрее рабочей станции на базе двух процессоров Intel Xeon E5-2650 (пиковая производительность 270 GFLOPS). В одну систему можно установить до 8-ми Intel Xeon Phi.

Вычислительный модуль (математический сопроцессор) Intel Xeon Phi

Вычислительный модуль Intel Xeon Phi построен на базе 64-битной архитектуры x86, поэтому для него не нужно переписывать имеющиеся программы, достаточно их просто перекомпилировать — в отличие от вычислительных модулей NVIDIA, основанных на архитектуре CUDA и требующих при программировании использования специализированных функций.

В этой статье мы расскажем о результатах тестирования производительности Intel Xeon Phi, а также обсудим некоторые вопросы параллельных вычислений, то есть таких задач, которые можно разбить на параллельные ветви или процессы, выполняющиеся одновременно.

Поясним несколько терминов, которые мы будем использовать в данной статье.

Число двойной точности с плавающей запятой — вид компьютерного представления числа в нормализованной форме в соответствии со стандартом IEEE 754. Такое число занимает в памяти компьютера 8 байт и записывается в виде мантиссы со знаком и показателя степени. Точность представления мантиссы 16 значащих цифр, диапазон числа от 10-308 до 10308.

FLOP — одна операция над числами двойной точности. Операции могут быть как простыми (например, арифметические операции сложения и умножения), так и более сложными: извлечение корня, вычисление логарифма, возведение в степень или определение значений тригонометрических функций. Максимальные показатели производительности достижимы на простых арифметических операциях.

FLOPS — число операций двойной точности, выполняемых за одну секунду.

В наших тестах мы использовали двухпроцессорную рабочую станцию Team Workstation P4000CR с двумя процессорами Intel Xeon E5-2650 с микроархитектурой Intel Sandy Bridge.

Процессор Intel Xeon E5-2650 имеет восемь физических ядер. Каждое ядро может выполнить за один процессорный такт 8 операций двойной точности. Поскольку штатная рабочая частота процессора равна 2 GHz, пиковая теоретическая производительность одного ядра составляет:

8 FLOP/такт * 2 GHz (тактов/секунду) = 16 GFLOP/секунду = 16 GFLOPS

Каким образом достигается такая производительность?

Полный цикл обработки ядром процессора одной машинной инструкции занимает более одного такта. Он включает следующие основные этапы: загрузка инструкции и данных, декодирование инструкции, выполнение инструкции и, наконец, запись результата. Это сильно упрощенная схема, а на самом деле обработка инструкции включает больше этапов и требует соответствующего количества процессорных тактов.

Процессор организован при принципу конвейера. Каждый такт на вход процессора подается очередная инструкция. Инструкции, которые уже находятся на конвейере, передаются на следующий этап. На выходе конвейера появляется результат обработанной инструкции.

Таким образом, одновременно на конвейере параллельно обрабатывается несколько инструкций со сдвигом на один такт. Благодаря конвейерной организации процессор фактически обеспечивает обработку одной инструкции за один такт.

Но каким образом процессор выполняет за такт не одну, а восемь операций?

Ядро процессора может использовать в качестве операнда четыре числа благодаря наличию 256-битных регистров. В одном регистре помещается четыре 64-битных числа двойной точности. Такой процессор называют суперскалярным или векторным, потому что операция выполняется не над числом, а над вектором. Эта возможность обеспечивается расширением набора процессорных команд Intel AVX (Advanced Vector eXtensions).

Ядро процессора имеет несколько специализированных блоков ALU (арифметико-логических устройств), которые выполняют вычисления различных типов. Операции сложения и умножения выполняются разными ALU, поэтому могут происходить одновременно. Наличие совмещенных инструкций сложения и умножения позволяет ядру выполнять за один такт до восьми операций над числами двойной точности.

Эта технология, когда вместо операций со скалярными операндами выполняются операции с векторами, называется векторизацией. «Векторизация» программы происходит автоматически на этапе компиляции. Эффективность векторизации можно повысить, оптимизируя исходный код программы.

Итак, ядро имеет пиковую производительность 16 GFLOPS. В нашей тестируемой рабочей станции с двумя 8-ядерными процессорами всего 16 ядер. Общая теоретическая производительность рабочей станции:

16 GFLOPS/ядро* 8 ядер/CPU * 2 CPU = 256 GFLOPS

Чтобы получить такую производительность для одной программы, необходимо разбить эту программу на 16 потоков, которые будут выполняться параллельно каждый на своем ядре. Поскольку потоки будут работать в системе с общей памятью, они могут при необходимости обмениваться данными через глобальные переменные программы, хранящиеся в этой памяти.

Для создания таких параллельных программ, работающих в системах с общей памятью, разработан стандарт OpenMP (Open Multi-Processing) — совокупность директив компилятора, библиотек и переменных окружения, предназначенных для программирования многопоточных приложений в многоядерных и многопроцессорных системах с общей памятью.

Примером программы, которую легко «распараллелить» в системе с общей памятью, может служить цикл, в котором результат вычислений на каждом следующем шаге не зависит от результатов вычислений на предыдущих шагах. Такой цикл можно разбить на несколько меньших циклов, каждый из которых будет исполняться отдельной параллельной ветвью программы.

Параллельный исполняемый код может быть создан компилятором автоматически. Также можно в явном виде указать участок программы, который нужно «распараллелить», добавив в исходный текст программы специальную директиву OpenMP — прагму. При помощи прагм можно создавать потоки, распределять между ними задания, управлять классами данных (общие или локальные), а также синхронизировать потоки, если они обмениваются данными в процессе вычислений.

Во многих случаях автоматическое добавление параллелизма в программу при помощи компилятора обеспечивает достаточно эффективный результат. При этом количество ветвей программы во время исполнения зависит от числа доступных процессорных ядер. На компьютере с одноядерным процессором программа будет выполняться последовательно, а на компьютере с двумя 8-ядерными процессорами будут выполняться 16 параллельных ветвей.

Параллельную задачу можно запустить и на узлах вычислительного кластера. В этом случае на узлах запускаются одинаковые копии программы — процессы. Каждый процесс при запуске получает уникальный номер процесса, который определяет роль своего узла в общей вычислительной работе.

Процессы на разных узлах не имеют доступа к оперативной памяти других узлов, поэтому не могут обмениваться данными через память, как это происходит в системах с общей памятью. Организация взаимодействия процессов в этом случае регламентируется стандартом MPI (Message Passing Interface — Интерфейс Передачи Сообщений), который описывает способы обмена сообщениями между параллельными процессами одной задачи в системах с распределенной памятью.

В качестве коммуникационной среды могут использоваться различные физические интерфейсы. В нашем тестировании для связи между узлами кластера использовалась сеть Gigabit Ethernet. Каждый узел подключался к сети по двум портам, объединенным в агрегированный канал по стандарту 802.3ad.

MPI-задачу можно выполнить и на одном компьютере. В этом случае на нем запускается одновременно несколько параллельных процессов, которые в качестве коммуникационной среды используют общую память компьютера, но при этом обмен данными происходит не через общие переменные программы, как в стандарте OpenMP, а через протокол обмена сообщениями MPI.

Вычислительный модуль Intel Xeon Phi 3120A (тестируемая модель) имеет 57 физических ядер, 6 GB оперативной памяти и работает на частоте 1100 MHz. Благодаря использованию 512-битных регистров каждое ядро Intel Xeon Phi выполняет до 16 операций двойной точности за один такт. Поэтому его теоретическая пиковая производительность составляет:

16 FLOP/такт * 1,1 GHz (тактов/секунду) * 57 ядер = 1003 GFLOP/сек = 1,003 TFLOPS

Технические характеристики Intel Xeon Phi 3120A:

  • микроархитектура Many Integrated Core (MIC), ядро Knights Corner, техпроцесс 22 нм
  • 57 вычислительных ядер, технология Hyper-Threading, 4 потока на ядро, 228 потоков
  • разрядность данных 64 бита, 512-битные векторные регистры
  • кэш-память 1-го уровня L1: 32 KB данные / 32 KB инструкции на ядро, латентность 1 такт
  • кэш-память 2-го уровня L2: 512 KB на ядро, латентность 11 тактов
  • 6 GB оперативной памяти GDDR5, 16-ти канальный контроллер памяти
  • пиковая пропускная способность подсистемы памяти 352 GB/сек, эффективная 200 GB/сек
  • хост-интерфейс PCIe 2.0 x16, пропускная способность 6 GB/сек в каждом направлении
  • пиковая производительность на операциях с двойной точностью 1003 GFLOPS
  • потребляемая мощность 300 W, активное охлаждение

Вычислительный модуль Intel Xeon Phi управляется собственной операционной системой на базе Linux, имеет виртуальный диск с файловой системой, локальную оперативную память объемом 6 GB, виртуальный сетевой интерфейс и IP-адрес. С точки зрения хоста (рабочей станции) он может рассматриваться как самостоятельный вычислительный узел.

Теоретически в одну систему можно установить до восьми вычислительных модулей Intel Xeon Phi, однако реально для существующих серверных платформ можно говорить максимум о четырех модулях. Ограничивающими факторами являются: число линий PCIe — для четырех модулей понадобится 64 линии из 80 имеющихся в двухпроцессорной системе; мощность системы питания — для четырех модулей необходимо суммарно 1200W; производительность системы охлаждения рабочей станции, рассчитанной на установку максимум четырех карт расширения с рассеиваемой тепловой мощностью 300 W каждая.

Вычислительный модуль Intel Xeon Phi предполагает различные модели использования.

Режим «Native»

В этом режиме вычислительный модуль Intel Xeon Phi выступает в роли самостоятельного компьютера.

Программа, которая будет выполняться на модуле, должна быть откомпилирована в исполняемый код, предназначенный для запуска только на модуле. Затем программа вместе с необходимыми динамическими библиотеками должна быть записана на виртуальный диск модуля (либо на общий сетевой диск модуля и хоста) и запущена с консоли модуля.

Следует иметь в виду, что при данной модели использования размер задачи ограничивается объемом собственной оперативной памяти модуля, который составляет 6 GB.

Режим гетерогенного кластера

Хост вместе с установленным в нем вычислительным модулем Intel Xeon Phi можно рассматривать как кластер из двух узлов. На таком кластере можно запустить как одну задачу, выполняющуюся параллельно на двух узлах, так и две разные задачи, каждая на своем узле. В свою очередь, несколько таких хостов можно объединить между собой в «большой» гетерогенный кластер, состоящий из узлов двух типов. На таком кластере можно выполнять одновременно несколько задач, выбирая для каждой задачи узлы подходящего типа.

Режим сопроцессора или «offload»

В этом режиме задача запускается на хосте, а на сопроцессоре выполняются лишь отдельные участки программы с высокой степень параллелизма, для которых выполнение на сопроцессоре более эффективно, чем на хосте.

В исходном коде такой программы эти участки помечаются специальными директивами, которые указывают компилятору, что данные участки должны быть откомпилированы для выполнения на сопроцессоре. Во время выполнения задачи эти части программы выгружаются («offload») в сопроцессор и исполняются там.

В этот режиме размер задачи не ограничен размером локальной памяти вычислительного модуля. Мы выполняли тестирование производительности Intel Xeon Phi именно в этом режиме.

В нашем сравнительном тестировании производительности принимали участие следующие системы:

  1. Двухпроцессорная рабочая станция на базе Intel Xeon E5-2650, 128 GB DDR3-1600
  2. Кластер из четырех двухпроцессорных станций на базе Intel Xeon E5-2650, 32 GB DDR3-1600
  3. Двухпроцессорная рабочая станция на базе Intel Xeon E5-2650, 128 GB DDR3-1600 с установленным вычислительным модулем Intel Xeon Phi 3120A.

Тестирование проводилось в среде операционной системы Red Hut Enterprise Linux 6.3.

Для тестирования производительности мы использовали пакет High-Performance LINPACK — тест, который используется при составлении списка Top 500 Supercomputers.

Тест заключается в решении системы N линейных уравнений методом LU-разложения. В качестве исходных данных используется квадратная матрица коэффициентов размером N x N, которая заполняется при помощи генератора случайных чисел. В дальнейшем, мы будем использовать термин «размер задачи N», имея в виду матрицу коэффициентов размером N x N.

Выбор пакета HPL в качестве теста обусловлен, во-первых, его широкой известностью и доступностью, а также тем обстоятельством, что алгоритм вычислений хорошо «распараллеливается» и масштабируется. Наконец, сама по себе задача решения системы линейных уравнений часто встречается в разнообразных практических расчетах.

Вычисления производились с двойной точностью. Общее количество операций, которое необходимо выполнить в ходе теста, известно заранее и определяется по формуле: 2N3 / 3 + 2N2. Разделив полученное число на время выполнения теста, можно определить общую производительность системы.

Данный тест является «хорошей» параллельной задачей — исходную матрицу можно разбить на блоки, обработку которых выполняют отдельные параллельные ветви программы. В ходе расчетов параллельные потоки должны обмениваться данными для вычисления значений на границе блоков.

Мы провели тесты для нескольких размеров задачи N, соответствующих «стандартным» значениям объема оперативной памяти вычислительных систем:

Объем оперативной памяти 1 GB 2 GB 4 GB 8 GB 16 GB 32 GB 64 GB 128 GB
Размер задачи (N) 10000 15000 20000 29000 41000 58000 83000 117000

Размер задачи для каждого значения объема оперативной памяти выбирался так, чтобы таблица коэффициентов занимала не более 80% памяти (один элемент таблицы — число двойной точности с плавающей запятой — занимает 8 байт).

При увеличении размера задачи N общее количество вычислений растет пропорционально N в третьей степени, а количество обменов между параллельными процессами растет пропорционально N во второй степени (приблизительно). Таким образом, доля обменов в общем времени выполнения задачи снижается, а вычислений — увеличивается. Поскольку мы измеряем скорость вычислений, а не обменов, при увеличении размера задачи измеряемая производительность системы растет. Исключением является последовательная задача, которая не содержит операций обмена, поэтому для нее производительность от размера зависеть не должна.

Как говорилось выше, пиковая теоретическая производительность двухпроцессорной рабочей станции на базе Intel Xeon E5-2650 2 GHz должна составлять:

2 GHz * 8 FLOP/такт * 8 ядер * 2 CPU = 256 GFLOPS

Для измерения производительности в среде OpenMP мы сначала скомпилировали программу соответствующим образом. Задавая количество параллельных потоков посредством переменных окружения, мы провели измерения производительности для 1, 2, 4, 8 и 16 потоков для размеров задачи от 10000 до 117000. Результаты приведены на графике:

Измерения производились при отключенном режиме Turbo Boost. Intel Turbo Boost — это технология повышения рабочей частоты процессора при пиковой загрузке. Частота повышается автоматически при условии, что тепловыделение процессора не превышает установленный лимит. Когда загружено одно ядро, его частота может быть повышена существенно — до 2,8 GHz, когда загружено сразу несколько ядер, повышение частоты меньше. Чтобы режим Turbo Boost не искажал картину масштабирования производительности, мы его отключили. Впрочем, для 16 потоков мы измерили производительность и при включенном Turbo Boost, она составила 274 GFLOPS, что превышает теоретический предел для частоты 2 GHz — 256 GFLOPS. Из этого можно сделать вывод о том, что средняя частота ядер процессора во время теста с включенным Turbo Boost составляла 2,4 GHz:

274 GFLOPS / 230 GFLOPS (производительность при частоте 2 GHz) * 2 GHz ≈ 2,4 GHz

То есть режим Turbo Boost весьма эффективен даже при полной загрузке всех ядер.

Обратите внимание, что обе шкалы на графике логарифмические. Оказалось, что удвоение числа потоков практически удваивает производительность, которая на больших задачах во всех случаях близка к теоретическим пределам. При небольших размерах задачи производительность меньше из-за большей доли операций обмена в общем объеме операций.

Стоит сказать несколько слов об использовании технологии Hyper-Threading при параллельных расчетах. Данная технология, реализованная в процессорах Intel, позволяет выполнять на одном ядре два независимых потока вычислений. Операционная система при этом «видит» одно физическое ядро как два логических и сообщает о наличии на нашей рабочей станции 32 CPU. Однако, если использовать для параллельных потоков все 32 логических процессора, производительность будет ниже, поскольку два потока Hyper-Threading делят ресурсы одного физического ядра. Тем не менее, отключать режим Hyper-Threading в BIOS не следует, поскольку, как показало тестирование, это тоже снижает производительность. Необходимо при помощи переменных окружения организовать вычисления так, чтобы один поток задачи приходился на одно физическое ядро.

Таким образом, в системе с общей памятью, которой является наша рабочая станция в данном тестировании, организация параллельных вычислений средствами стандарта OpenMP позволяет получить практически линейный рост производительности при увеличении числа параллельных потоков. Так, для одного потока на одном ядре мы получили 15 GFLOPS, а на 16-ти ядрах — 230 GFLOPS, то есть потери составили около 4 %: 230 / (15 * 16) ≈ 0,96.

В отличие от среды OpenMP, когда запускается одна программа, которая в процессе выполнения разделяется на параллельные ветви (потоки), в среде MPI запускается несколько копий программы (процессов), которые тоже работают параллельно, но обмениваются данными не через переменные программы, хранящиеся в общей памяти, а посредством интерфейса передачи сообщений — MPI. Процессы можно запустить как на одной рабочей станции, так и на нескольких узлах, объединенных в кластер. В первом случае в качестве коммуникационной среды используется оперативная память рабочей станции, а во втором — сетевой интерфейс. На рабочей станции, как и в предыдущем примере, мы выполнили измерение для 1, 2, 4, 8 и 16 процессов, а на кластере из 4-х узлов — для 64 процессов.

Оказалось, что для рабочей станции производительность в среде MPI практически не отличается от производительности в среде OpenMP. Поэтому, если производительности одной рабочей станции достаточно, задачу организации параллельных вычислений целесообразно решать средствами OpenMP, поскольку это сделать гораздо проще — распараллелить задачу можно автоматически на этапе компиляции. Использование средств MPI требует дополнительных усилий по доработке программы.

Производительность кластера сильно зависит от размера задачи. При небольшом размере задачи кластер уступает в производительности даже одному узлу, поскольку обмен данными между процессами сильно замедляет вычисления. По мере роста задачи относительная доля обменов уменьшается и суммарная производительность растет. Максимальная производительность для кластера в наших тестах составила 633 GFLOPS, что в 2,3 раза быстрее одного узла. По характеру кривой видно, что при увеличении размера задачи, производительность будет расти и при достаточно большом размере задачи может быть достаточно близка к пиковой теоретической производительности. «Сдвинуть» кривую вверх можно используя более быструю коммуникационную среду, с меньшей, нежели у Gigabit Ethernet, латентностью, например, InfiniBand.

Мы протестировали Intel Xeon Phi 3120A в режиме «Offload». В этом режиме задача запускается на рабочей станции, после чего основная расчетная часть программы выгружается в сопроцессор и выполняется там. Вычисления происходят с большим количеством параллельных потоков. Важно, что в режиме «Offload», в отличие от режима «Native», размер задачи не ограничен объемом оперативной памяти вычислительного модуля (6 GB). Мы смогли выполнить тестирование для задачи размером 64 GB, а вот задача на 128 GB все же вызвала переполнение памяти сопроцессора.

Результаты тестирования рабочей станции в среде OpenMP, кластера в среде MPI и вычислительного модуля в режиме «Offload» представлены на следующей диаграмме.

На всех размерах задачи вычислительный модуль продемонстрировал подавляющее преимущество и вчетверо превзошел показатели производительности рабочей станции. Таким образом, мы на собственном опыте смогли убедится в том, что компания Intel разработала действительно революционный продукт, который позволяет радикально повысить производительность параллельных вычислений без существенных затрат, поскольку стоимость вычислительного модуля составляет менее половины стоимости рабочей станции, которая использовалась в тестировании.

Итак, каковы необходимые условия для эффективных вычислений с использованием сопроцессора Intel Xeon Phi?

  1. Алгоритмы с большой «плотностью» регулярных вычислений и высокой степенью параллелизма. Согласно рекомендациям Intel для сопроцессора Xeon Phi подходят задачи с возможным числом параллельных ветвей не менее 100.
  2. Наличие мощной рабочей станции с установленным вычислительным модулем Intel Xeon Phi. Например, Team Workstation P4000CR.
  3. Операционная система, установленная на рабочую станцию, должна быть совместима с вычислительным модулем Intel Xeon Phi. Компания Intel ведет постоянную работу по расширению списка таких операционных систем.
  4. Компилятор с поддержкой набора инструкций для микроархитектуры MIC (Many Integrated Core). Например, компилятор Intel.

В данный момент мы предлагаем следующие модели серверов и рабочих станций с поддержкой Intel Xeon Phi:

1) Рабочая станция  Team P4000CR  – до 4-х сопроцессоров Intel Xeon Phi
2) Сервер Team P4000IP  – до 4-х сопроцессоров Intel Xeon Phi
3) Сервер Team P4000CO  – до 2-х сопроцессоров Intel Xeon Phi
4) Сервер Team R2000GZ  – до 2-х сопроцессоров Intel Xeon Phi
5) Сервер Team R2000BB  – до 2-х сопроцессоров Intel Xeon Phi
6) Сервер Team R2000LH  – до 2-х сопроцессоров Intel Xeon Phi
7) Сервер Team P4000SC  – 1 сопроцессор Intel Xeon Phi
8) Сервер Team R1000JP  – 1 сопроцессор Intel Xeon Phi

Добавить сопроцессор Intel Xeon Phi в состав сервера или рабочей станции можно непосредственно в конфигураторе по приведенным ссылкам.

Спасибо.

Двойные неравенства. 2 способа решения


Например:


\(5<11<17\)

\(-2\leq3x+5\leq2\)

\(2x-5\leq3x+7\leq8x\)


Двойное неравенство по своей сути – это система из двух неравенств, записанных в одну строку. Поэтому  их всегда можно представить в виде системы.


Например:


\(-2\leq3x+5\leq2\Leftrightarrow\begin{cases}-2\leq3x+5\\3x+5\leq2\end{cases}\)

\(2x-5\leq3x+7\leq8x\Leftrightarrow\begin{cases}2x-5\leq3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)


Но делать это нужно не всегда.

2 способа решения двойного неравенства


1) Если в крайней левой и крайней правой частях двойного неравенства нет неизвестных, то удобнее оставить его как есть. При этом в процессе решения стремится равносильными преобразованиями привести неравенство к виду \([число]\)\(<\)\(x\)\(<\)\([число]\).


Пример: Решите двойное неравенство:





\(-2\leq3x+5\leq2\)    \(|-5\)


Здесь нет неизвестных по краям, поэтому к системе переходить не будем. Вместо этого делаем такие преобразования, чтоб в центре остался голый икс, а по краям — числа.

Для того чтобы «оголить» икс нужно избавиться от пятерки и тройки. Вычтем \(5\) из всего неравенства.


\(-7≤3x≤-3\)   \(|:3\)


 


Теперь нам мешает \(3\). Поделим все три части неравенства на \(3\).


\(-\)\(\frac{7}{3}\)\(\leq x \leq-1\)


 


Готово, наш икс «голый». Можно записывать ответ.

Ответ: \([-\)\(\frac{7}{3}\)\(;-1]\)


2) Если в крайних частях двойного неравенства есть неизвестные лучше перевести неравенство в систему и решать его как обычную систему неравенств.


Пример: Решите двойное неравенство:








\(2x-5<3x+7≤8x\)


В крайней левой и крайней правой частях есть неизвестные –значит переходим к системе.


\(\begin{cases}2x-5<3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)


Решаем обычные линейные неравенства: все, что с иксами переносим в левую сторону, все что без иксов — в правую.


\(\begin{cases}2x-3x<7+5\\3x-8x\leq-7\end{cases}\)


Приводим подобные слагаемые


\(\begin{cases}-x<12   \\-5x\leq-7   \end{cases}\)


«Оголим» иксы, поделив верхнее неравенство на \((-1)\), нижнее на \((-5)\). Не забываем при этом перевернуть знаки сравнения, так как мы делим на отрицательное число.


\(\begin{cases}x>-12   \\x\geq \frac{7}{5}\end{cases}\)


Отметим на числовой оси оба решения


  


Так как у нас система, то мы ищем значения иксов, которые подойдут обоим неравенствам, т.е. интервал, где есть двойная штриховка: и сверху, и снизу. Его и запишем ответ.


Ответ: \([\)\(\frac{7}{5}\)\(;\infty)\)

Скачать статью

Матрицы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

Задание. Вычислить $A B$ и $B A$,
если $A=\left( \begin{array}{rr}{1} & {-1} \\ {2} & {0} \\ {3} & {0}\end{array}\right), B=\left( \begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {2} & {0}\end{array}\right)$

Решение. Так как $A=A_{3 \times 2}$ , а
$B=B_{2 \times 2}$ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица
$C=C_{3 \times 2}$ , а это матрица вида $C=\left( \begin{array}{cc}{c_{11}} & {c_{12}} \\ {c_{21}} & {c_{22}} \\ {c_{31}} & {c_{32}}\end{array}\right)$ .

Вычисли элементы матрицы $C$ :

$ c_{11}=a_{11} \cdot b_{11}+a_{12} \cdot b_{21}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 2=-1 $

$ c_{12}=a_{11} \cdot b_{12}+a_{12} \cdot b_{22}=1 \cdot 1+(-1) \cdot 0=1 $

$ c_{21}=a_{21} \cdot b_{11}+a_{22} \cdot b_{21}=2 \cdot 1+0 \cdot 2=2 $

$ c_{22}=a_{21} \cdot b_{12}+a_{22} \cdot b_{22}=2 \cdot 1+0 \cdot 0=2 $

$ c_{31}=a_{31} \cdot b_{11}+a_{32} \cdot b_{21}=3 \cdot 1+0 \cdot 2=3 $

$ c_{31}=a_{31} \cdot b_{12}+a_{32} \cdot b_{22}=3 \cdot 1+0 \cdot 0=3 $

Итак, $C=A B=\left( \begin{array}{rl}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right)$ .

Выполним произведения в более компактном виде:

$=\left( \begin{array}{rrr}{1 \cdot 1+(-1) \cdot 2} & {1 \cdot 1+(-1) \cdot 0} \\ {2 \cdot 1+0 \cdot 2} & {2 \cdot 1+0 \cdot 0} \\ {3 \cdot 1+0 \cdot 2} & {3 \cdot 1+0 \cdot 0}\end{array}\right)=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right)$

Найдем теперь произведение $D=B A=B_{2 \times 2} \cdot A_{3 \times 2}$. Так как
количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с
количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение
неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ. $A B=\left( \begin{array}{rr}{-1} & {1} \\ {2} & {2} \\ {3} & {3}\end{array}\right)$ .
В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы
$B$ не совпадает с
количеством строк матрицы $A$ .

Урок 3. непредельные углеводороды – алкены — Химия — 10 класс

Химия, 10 класс

Урок № 3 Непредельные углеводороды – алкены

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Урок посвящён непредельным углеводородам, их номенклатуре, физическим и химическим свойствам, а также роли в жизни человека. В ходе урока учащиеся познакомятся с представителями данного класса органических веществ.

Глоссарий

Алкены – непредельные углеводороды ряда этилена, имеющие одну двойную углерод-углеродную связь

Гибридизация – процесс взаимодействия разных, но близких по энергии электронных орбиталей, приводящий к их выравниванию по форме и энергии.

Гомология – явление сходства по составу, строению, химическим свойствам и принадлежности к тому же классу одного вещества с другим веществом, но различающиеся дуг от друга на одну или несколько групп СН2. Группу СН2 называют гомологической разностью.

Горение – быстро протекающий процесс окисления вещества, сопровождающийся большим выделением тепла и ярким свечением.

Полимеризация – реакция, при которой одинаковые молекулы соединяются между собой в более крупную молекулу

Изомерия – явление существования веществ, одинаковых по составу и молекулярной массе, но различающихся по строению или расположению атомов в пространстве и вследствие этого по физическим и химическим свойствам. Такие вещества называются изомерами.

Формула структурная – изображение молекулы, в котором показан порядок связывания атомов между собой. Химические связи в таких формулах обозначаются черточками.

Основная литература: Рудзитис, Г. Е., Фельдман, Ф. Г. Химия. 10 класс. Базовый уровень; учебник/ Г. Е. Рудзитис, Ф. Г, Фельдман – М.: Просвещение, 2018. – 224 с.

Дополнительная литература:

1. Рябов, М.А. Сборник задач, упражнений и тестов по химии. К учебникам Г.Е. Рудзитис, Ф.Г. Фельдман «Химия. 10 класс» и «Химия. 11 класс»: учебное пособие / М.А. Рябов. – М.: Экзамен. – 2013. – 256 с.

2. Рудзитис, Г.Е. Химия. 10 класс : учебное пособие для общеобразовательных организаций. Углублённый уровень / Г.Е. Рудзитис, Ф.Г. Фельдман. – М. : Просвещение. – 2018. – 352 с.

Открытые электронные ресурсы:

Единое окно доступа к информационным ресурсам [Электронный ресурс]. М. 2005 – 2018. URL: http://window.edu.ru/ (дата обращения: 01.06.2018).

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ

Алкены – непредельные углеводороды, в молекулах которых между атомами углерода имеется одна двойная углерод-углеродная связь. Общая формула алкенов СnH2n, где n≥2.

Простейшим представителем алкенов является этен, или этилен С2Н4.

Структурная формула этилена:

(сокращенная: СН2=СН2).

Особенности пространственного и электронного строения алкенов на примере молекулы этилена

Рассмотрим особенности электронного и пространственного строения алкенов на примере молекулы этилена. Все атомы углерода в молекуле этилена находятся в состоянии sp2-гибридизации. Три гибридных орбитали участвуют в образовании трех достаточно прочных сигма связей (по две связи у каждого атома углерода с атомами водорода и одна общая между собой). Оставшаяся негибридная р-орбиталь образует менее прочную пи-связь между атомами углерода. Таким образом, в молекуле этилена присутствуют 5 сигма-связей и одна пи-связь, причем двойная связь между атомами углерода образована одной сигма и и одно пи-связями. Наличие пи-связей в молекулах алкенов делает невозможным вращение атомов углерода друг относительно друга (имеются ввиду те атомы, при которых находится двойная связь)

Каждый атом углерода в молекуле этилена имеет треугольное строение.

Номенклатура алкенов

Особенности номенклатуры алкенов заключаются в следующем:

1. Нумерация углеродной цепи начинается с того конца, где ближе расположена двойная связь

2. В конце названия изменяется суффикс -ан соответствующего предельного углеводорода на -ен или -илен, и, если это необходимо, указывается атом углерода, при котором находится двойная связь

Рассмотрим пример:

1. Нумерация главной цепи начинается слева направо, так как двойная связь ближе к левой части молекулы.

2. Называем радикал, расположенный у второго атома углерода: 2-метил

3. В главной цепи находится четыре атома углерода, следовательно, она соответствует предельному углеводороду – бутану.

4. Так как присутствует двойная связь, то суффикс – ан меняется на суффикс -ен и указывается положение двойной связи: бутен-1.

5. Соединяем суффикc с корнем и получаем название 2-матилбутен-1.

Гомология алкенов и изомерия алкенов.

Ближайшие гомологи этилена:

С3Н6 пропен (пропилен)

С4Н8 бутен (бутилен)

С5Н10 пентен (амилен)

Для алкенов характерны следующие виды изомерии:

1. Изомерия углеродного скелета

2. Изомерия положения кратной связи

3. Пространственная геометрическая изомерия

4. Межклассовая (с циклоалканами)

Рассмотрим каждый вид изомерии на примере вещества состава С4Н8:

При построении структурной формулы данного вещества возможно расположение двойной связи как между первым и вторым атомами углерода, так и между вторым и третьим, тогда возможно получить две структурные формулы

Данный вид изомерии называется изомерией положения кратных связей.

Для данного вещества возможно построить единственный разветвлённый изомер – изомер углеродного скелета – 2-метилпропен:

Межклассовый изомер бутена – циклобутан:

Также для бутена-2 возможно существование геометрических изомеров, это связано с тем, что метильная группа СН3 может располагаться относительно плоскости двойной связи в двух разных положениях, что приводит к образованию цис- (если эти группы расположены по одну линию связи) и транс-изомеров (если метильные группы расположены по разные линии связи):

Физические свойства алкенов

Этилен – бесцветный газ, почти без запаха, легче воздуха, плохо растворим в воде. Пропен и бутен – также газы. От пентена до октадецена – жидкости. Остальные – твердые вещества. Все агрегатные состояния указаны при нормальных условиях.

Способы получения алкенов

1. Внутримолекулярная дегидратация спиртов:

Данный способ является основным способом получения этилена в лабораторных условиях. Реакция протекает при температуре выше 140 градусов и в присутствии концентрированной серной кислоты, выполняющей роль катализатора. При дегидратации этанола получают этилен, а при дегидратации пропанола – пропилен:

2. Дегидрирование предельных углеводородов.

Данная реакция протекает при нагревании в присутствии катализаторов: никеля, платины, оксида хрома (III). При этом получают соответствующие алкены:

Химические свойства алкенов

Химические свойства алкенов обусловлены наличием в их молекулах двойных углерод-углеродных связей. Дело в том, что пи-связь, как было сказано ранее, является менее устойчивой, чем сигма связь. Поэтому при атаке её каким-либо реагентом она легко разрывается. Это объясняет основные химические свойства алкенов: они способны вступать в реакции присоединения и окисления.

Реакции присоединения

Гидрирование – присоединение водорода

Протекает при нагревании в присутствии катализаторов: платина, никель, оксид хрома (III). Продуктом реакции всегда является алкан.

Галогенирование – присоединение галогенов

Реакция протекает при обычных условиях. Продукт реакции – дигалогеналкан (1,2 — дибромэтан)

Признак реакции – обесцвечивание раствора брома, поэтому данную реакцию используют как качественную на двойную связь.

Гидрогалогенирование – присоединение галогенводородов

Продукт реакции – галогеналкан (хлорэтан)

Гидратация – присоединение воды

Продукт реакции — спирт

Реакция полимеризации

Полимеризация – реакция, при которой одинаковые молекулы соединяются в более крупные молекулы.

Условия реакции – высокая температура и давление

Продукт реакции – полимер (полиэтилен)

Продукты реакции полимеризации используются для производства пластмасс и синтетических волокон

Окисление

«Мягкое» — реакция Вагнера: взаимодействие с водным раствором перманганата калия

Продукт реакции – многоатомный спирт (этиленгликоль)

Признак реакции – обесцвечивание раствора перманганата калия , поэтому данную реакцию используют как качественную на двойную связь.

Каталитическое – окисление кислородом в присутствии катализаторов

Продукт реакции – оксид алкена (оксид этилена)

Горение

Продуктами полного горения алкенов являются углекислый газ и вода

Особенности реакций гидрогалогенирования и гидратации у пропилена и других гомологов этилена

Реакции присоединения галогеналканов и воды у гомологов этилена протекают по правилу Марковникова: водород присоединяется по месту разрыва двойной связи к более гидрированному атому углерода. Например, при присоединении хлороводорода к молекуле пропилена, образуется не 1-хлорпропан, а 2-хлорпропан:

Аналогично протекает реакция гидратации:

Применение этилена и его соединений

Производство пластмасс, взрывчатых веществ, антифриза, растворителей, синтетического каучука, ацетальдегида, для ускорения созревания плодов.

ПРИМЕРЫ И РАЗБОР РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ТРЕНИРОВОЧНОГО МОДУЛЯ

  1. Решение задачи на нахождение массы раствора.

Масса 2%-го раствора бромной воды, которая вступает в реакцию с 2,24 л пропилена равна

Шаг первый: Составляем уравнение химической реакции С2Н4 + Br2 = C2H4Br2

Шаг второй: Находим количество вещества пропилена по формуле n=V\Vm= 2,24 л / 22,4 л/моль = 0,1 моль

Шаг третий: По уравнению реакции количество вещества пропилена равно количеству вещества брома: n(С2Н4)=n(Br2)=0,1 моль

Шаг четвёртый: Находим массу брома по формуле: m=Mn=160 г/моль*0,1 моль= 16 г

Шаг пятый: Находим массу раствора бромной воды по формуле: m (раствора)=m/ω = 16г / 0,02 = 800г

  1. Решение упражнения на химические свойства алкенов

Вставьте в таблицу пропущенные продукты реакции

H2

Br2

H2O

HCl

этилен

пропилен

Варианты ответов: этан, пропан, бутан, 1,2-дибромэтан, 1,2-дибромпропан, 1,3-дибромпропан, этанол, пропанол-1, пропанол-2, хлорэтан, 1-хлорпропан, 2-хлорпропан.

Решение:

Первый шаг: При гидрировании алкенов водородом образуются предельные углеводороды – алканы с соответствующим числом атомов углерода. Поэтому первая колонка заполняется продуктами реакции – этан и пропан:

Второй шаг: При галогенировании алкенов галогены, в данном случае бром, присоединяются по месту разрыва двойной связи, образуя дигалогенпроизводные, например:

Поэтому второй столбец заполняется следующими веществами: 1,2-дибромэтан, 1,2-дибромпропан.

Третий шаг: При гидратации (присоединении воды) образуются спирты. При реакции пропилена с водой важно помнить о правиле Марковникова, поэтому продуктами реакции будут этанол и пропанол-2:

4. При гидрогалогенировании алкенов продуктом реакции будут галогеналканы. И опять нужно помнить о правиле Марковникова для гидрогалогенирования пропилена:

Поэтому правильный ответ в этом задании: хлорэтан и 2-хлорпропан

Второй класс по математике — инструкция и практика по математике для 2-го класса

Все приложения

[«` # «,» Моя учетная запись «]

Учащиеся осваивают операции сотнями, уверенно обмениваются мнениями и делают первые шаги к умножению, поскольку они полагаются на Чувство чисел, понимание числовых значений и гибкость чисел.

Подготовительный класс Детский садКласс 1Класс 2Класс 3Класс 4Класс 5

МОДУЛЬ 1. Суммы и различия до 20

Тема A: Основы беглого владения суммами и разностями в пределах 100

Учащиеся расширяют свои знания сложения и вычитания в пределах 20.Использование блоков по основанию 10 укрепляет концепцию «десятки» для построения понимания числовой ценности. Студенты быстро переходят от конкретных моделей к более абстрактным уравнениям. Учащиеся развивают свою беглость с помощью фактов сложения и вычитания, в том числе по 10, путем моделирования базовой концепции обмена и запоминания числовых связей 10.

Тема B: Начало беглости с помощью сложения и вычитания в пределах 100

Учащиеся складывают и вычитают с помощью обмен, представленный пересечением десятки на числовой линии или соединением / разрывом стержней с блоками base-10.Учащиеся используют такие стратегии, как «отдых» на круглом числе для сложения или вычитания десяти или использование 10 вместо 8 или 9 и корректировка своего ответа. Учащиеся развивают беглость речи с помощью +/- фактов в пределах 20. Они работают с уравнениями с тремя слагаемыми.

МОДУЛЬ 2. Сложение и вычитание единиц длины

Тема A: Основные понятия о линейке

Учащиеся изучают основные принципы линейной меры. Они измеряют объекты и линейные сегменты, расположенные по горизонтали, вертикали и случайным образом.Они практикуют все более абстрактные единицы измерения, от реальных предметов до кирпичей и отдельных сантиметров до сантиметровой линейки. Учащиеся учатся выравнивать объект по 0 на линейке для измерения длины.

Тема B: Измерение и оценка длины с помощью различных измерительных инструментов

Учащиеся изучают линейку, чтобы соотнести миллиметры с сантиметрами. Затем они преобразуют миллиметры, сантиметры, дециметры и метры, используя реальные объекты в качестве системы отсчета.

Тема C: Измерение и сравнение длины с использованием различных единиц длины

Учащиеся применяют свое понимание измерения, чтобы складывать и вычитать длины с помощью линейки.Они решают проблемы измерения объектов, которые не выровнены относительно 0 на линейке, а также объектов, длина которых превышает длину линейки, с помощью сложения и вычитания.

Тема D: Свяжите сложение и вычитание с длиной

МОДУЛЬ 3. Поместите значение, подсчет и сравнение чисел с 1000

Тема A: Формирование базы десять единиц из десяти, сотни и тысячи

Учащиеся применяют свои навыки счета и расстановки значений от трехзначных чисел до 200. Они укрепляют свое понимание сотни с помощью плоских карт с основанием 10, карточек с числовыми значениями и набора заполненных десятичных рамок.

Тема B: Понимание разрядных единиц, состоящих из одной, десяти и сотни

Учащиеся применяют свои навыки счета, чтения и разметки трехзначных чисел. Учащиеся используют таблицу сотен, а также вертикальные и горизонтальные числовые линии для прямого и обратного подсчета, определения отсутствующих чисел и определения имен чисел. Студенты обращаются к сложным навыкам счета по десяткам в пределах ста и по сотне. Они укрепляют свое концептуальное понимание схем счета и свою способность мысленно считать до сотен.

Определите отсутствующее 3-значное круглое число в числовой строке и определите его письменное имя (Часть 1)

Научитесь считать по сотням. Сначала выберите имена сотен, отображаемых в числовой строке. Затем введите все сотни от 0 до 1000 в числовую строку, двигаясь вперед и назад.

Определите отсутствующее трехзначное круглое число в числовой строке и определите его письменное имя (Часть 2)

Практикуйтесь в счете по сотням. Введите недостающую сотню в числовую строку и выберите ее имя из трех возможных вариантов.

Определите отсутствующее трехзначное круглое число в числовой строке и определите его письменное имя (Часть 1)

Практикуйтесь в счете по сотням.Введите недостающую сотню в числовую строку и выберите ее имя из трех вариантов.

Позиционирование 3-значных круглых чисел, как цифрами, так и словами, на вертикальной числовой строке

Разместите числа сотен в их правильном месте на числовая строка. Сначала даются цифры. Затем имена даются словами

Подсчитайте несколько сотен, пересекающих от девяностых до сотен на основе модели блоков с основанием 10

Узнайте, как представить кратные 100 с помощью блоков с основанием 10.Назовите количество, представленное слоями соток. Затем определите число, представленное стержнями-десятками, и укажите общую сумму

Определите 3-значное общее количество блоков с основанием 10 с и без модели карточек с разностными значениями

Укажите 3-значное число, представленное основанием-10. блоки. Определите каждое разрядное значение и введите общее значение

Посчитайте до десяти, используя трехзначные числа в числовой строке

Практикуйтесь в пересчете трехзначных чисел вперед через десятки на числовой строке.Введите три пропущенных числа в числовую строку.

Отсчитайте в обратном порядке по десятке, используя трехзначные числа в числовой строке.

Практикуйтесь в обратном подсчете трехзначных чисел по десяткам в числовой строке. Введите три пропущенных числа в числовой строке

Подсчитайте вперед и назад через сотню, используя 3-значные числа в числовой строке

Подсчитайте 3-значные числа вперед и назад через сотни на числовой строке. Введите три отсутствующих числа в числовую строку

Определите отсутствующий трехзначный номер в числовой строке и определите его письменное имя

Найдите и назовите отсутствующий трехзначный номер в числовой строке.Введите цифры, затем выберите имя из трех вариантов.

Распознайте эквивалентность между единицами, десятками, сотнями и тысячами, используя блоки с основанием 10.

Изучите взаимосвязь между единицами, десятками, сотнями и тысячей. Переименуйте 10 единиц в 1 десятку, 10 десятков на 1 сотню. Затем сложите сотни, считая сотнями, до 1000

Тема C: Трехзначные числа в единицах измерения, стандартных, расширенных и Word Forms

Учащиеся полагаются на твердое понимание разряда, чтобы сосредоточиться на взаимосвязи между трехзначным числом и его составные части.Они усиливают распознавание письменных имен номеров и начинают работать с числами, у которых есть нули-заполнители.

Разложение 3-значного числа на сотни, десятки и единицы

Разложение 3-значного числа на его разрядные значения. Сначала выберите правильные сотни, десятки и единицы, которые образуют данное число. Затем запишите разложение в развернутой форме как сложение.

Составьте 3-значные числа на основе набора карточек с разрядными значениями, показывающими сотни, десятки и единицы.

Создайте трехзначное число из карточек с разрядным значением.Даны число сотен, число десятков и число единиц, объедините их, чтобы получить трехзначное число. На каждом экране представлены два набора карточек.

Составьте трехзначный номер на основе его письменного имени.

Переведите записанное имя числа в цифры. Прописью указывается трехзначное число. Введите цифры, которые представляют это число.

Составьте трехзначное число с нулями-заполнителями или без них на основе его письменного имени.

Запишите цифры для письменного имени числа.Прописью указывается трехзначное число. Введите цифры, которые представляют это число. Цифра десятков или единиц может быть 0

Составить 3-значное число на основе заданного числа сотен, десятков и единиц

Разложить 3-значное число на его разрядные значения. Сначала определите, сколько сотен, десятков и единиц содержится в данном числе. Затем измените процесс в обратном порядке и укажите трехзначное число, которое содержит данные сотни, десятки и единицы

Определите трехзначные итоговые значения на основе набора блоков с основанием 10

Определите общее количество кубов, показанных в базовом коде. 10 кубиков.Введите количество отображаемых сотен, десятков и единиц. Затем дайте трехзначное общее количество

Тема D: Моделирование чисел в пределах 1000 с помощью дисков разрядных значений

Студенты знакомятся с блоком тысячи кубов по основанию 10 по мере того, как они выстраивают свою концепцию тысячи. Они также исследуют отношения между единицами, десятками, сотнями и тысячами, а также последовательность счета, используя знакомые представления.

Распознавать и представлять двузначные числа как десятки и единицы (Часть 1)

Разложить двузначное число на его разрядные значения.Сначала определите количество десятков и единиц и поместите метку разряда под каждой цифрой. Затем представьте число монетами с метками 10 и 1

Распознайте и представьте двузначные числа как десятки и единицы (Часть 2)

Запишите двузначное число, представленное таблицей значений разряда. Диски с метками 10 и 1 отображаются на диаграмме. Укажите общую сумму

Распознавайте и представляйте трехзначные числа в виде сотен, десятков и единиц

Разложите трехзначное число. Сначала пометьте каждую цифру и столбец соответствующей меткой разряда.Затем представьте число монетами с метками 100, 10 и 1. Наконец, измените процесс в обратном порядке и укажите 3-значное число

Распознать и представить 3-значные числа с нулями-заполнителями в виде сотен, десятков и единиц

Разобрать 3-значное число цифровой номер. Одно из значений разряда — это заполнитель 0. Представьте число монетами 100, 10 и 1. Затем измените процесс и укажите 3-значное число. Сравните разрядные значения двухзначных и трехзначных чисел, содержащих одинаковые цифры

Определите, сколько единиц, десятков или сотен нужно больше, чтобы достичь следующих десяти, сотен или тысяч, используя числовую линию (Уровень 1)

Изучите отношения между единицами, десятками, сотнями и тысячами.Используйте числовую линию, считающую по единицам, обозначьте 10 единиц как 1 десятку. Точно так же используйте числовую строку и считайте десятками, чтобы переименовать 10 десятков в 1 сотню и переименовать 10 сотен в 1 тысячу

Преобразование единиц, десятков, сотен и тысяч с использованием обозначения числа и единиц

Преобразование между единицами, десятками, сотни и тысячи. Дано 10, 100 или 1000, укажите, сколько других единиц эквивалентно

Преобразование между единицами, десятками, сотнями и тысячами с использованием обозначения единиц

Преобразование между единицами, десятками, сотнями и тысячами.Дана 1 любая из единиц, укажите, сколько из других единиц эквивалентно

Распознавать эквивалентности между единицами, десятками, сотнями и тысячей с блоками по основанию 10 и без них (Часть 1)

Определить эквивалентности между единицами единиц, десятки, сотни и тысячи. Учитывая единицу измерения в блоках с основанием 10, укажите количество кубиков и выберите эквивалент единиц. Затем выполните эквивалентность с множественным выбором без блочной модели

Распознайте эквивалентности между единицами, десятками, сотнями и тысячами с блоками по основанию 10 и без них (Часть 2)

Практикуйте эквивалентности между единицами, десятками, сотнями и тысячи.Введите правильный ответ на вопрос об эквивалентности

Определите, сколько еще единиц, десятков или сотен, чтобы достичь следующих десяти, сотен или тысяч, используя числовую линию (Уровень 2)

Укажите количество единиц, десятков или сотен чтобы достичь следующих десяти, сотен или тысяч. Используя числовую линию, определите, сколько единиц необходимо для достижения указанной конечной точки от начальной точки

Тема E: Сравнение двух трехзначных чисел

Учащиеся развивают свое глубокое понимание разряда для сравнения и упорядочивания трехзначных чисел.Они справляются с распространенными ошибками, такими как нули-заполнители и транспонированные числа. Учащиеся переходят от использования моделей base-10 и карточек с расстановкой значений к визуальному распознаванию порядка чисел и значений.

Используйте>, = и

<для сравнения двузначного числа с трехзначным числом Используйте>, = и <для сравнения двузначного числа с трехзначным числом

Сравните двузначные и трехзначные числа, используя символы неравенства. Сначала рассортируйте двузначные и трехзначные числа в отдельные поля. Затем представьте двузначное и трехзначное число с блоками с основанием 10 и сравните их значения разряда, чтобы определить их взаимосвязь.Наконец, выберите

Используйте>, = и

<для сравнения в разряде сотен на основе модели блоков с основанием 10.

Сравните два 3-значных числа в разряде сотен. Для каждого числа даны блочные модели Base-10, которые помогают при сравнении. Выберите соответствующий символ неравенства для размещения между числами

Используйте>, = и

<для сравнения в разряде сотен с карточками разряда и без них

Сравните два 3-значных числа в разряде сотен. Для облегчения сравнения числа разложены по карточкам с разрядными значениями.Затем сравните числа без карточек с разрядными значениями. Выберите соответствующий символ неравенства для размещения между числами

Используйте>, = и

<для сравнения в разряде десятков на основе модели блоков с основанием 10

Сравните два 3-значных числа в разряде десятков. Для каждого числа даны блочные модели Base-10, которые помогают при сравнении. Выберите соответствующий символ неравенства для размещения между числами

Используйте>, = и

<для сравнения в разряде десятков и единиц на основе карточек разряда

Сравните два 3-значных числа в разряде десятков и единиц.Для облегчения сравнения числа разложены по карточкам с разрядными значениями. Выбирайте соответствующий символ неравенства, пока не будет установлена ​​связь между исходными числами.

Используйте>, = и

<для сравнения в разрядах сотен и десятков

Попрактикуйтесь в сравнении двух трехзначных чисел. Мысленно сравните сотни и десятки мест, никакой декомпозиции не предусмотрено. Выберите соответствующий символ неравенства, который нужно разместить между числами.

Используйте>, = и

<для сравнения чисел с нулями-заполнителями.

Сравните два трехзначных числа, содержащих нули-заполнители.Для облегчения сравнения числа раскладываются по карточкам с разрядными значениями, но затем отображаются только числа. Выберите соответствующий символ неравенства для размещения между числами.

Используйте>, = и

<для сравнения чисел с нулями-заполнителями на основе модели блоков с основанием 10.

Сравните два 3-значных числа, которые содержат нули-заполнители. Для каждого числа даны блочные модели Base-10, которые помогают при сравнении. Выберите соответствующий символ неравенства для размещения между числами.

Используйте>, = и

<для сравнения чисел с похожими цифрами.

Попрактикуйтесь в сравнении двух трехзначных чисел, которые содержат одинаковые цифры в разных значениях разряда.Никакого разложения не предусмотрено. Выберите соответствующий символ неравенства для размещения между числами

Расположите числа в порядке возрастания и убывания (Часть 1)

Расположите 3-значные числа в порядке возрастания или убывания. Определите три 3-значных числа, представленных диаграммами разрядов. Затем разместите эти числа в указанном порядке. Наконец, три номера, которые необходимо заказать, даны без моделей.

Расположите номера в порядке возрастания и убывания (Часть 2)

Расположите 3-значные числа в порядке возрастания или убывания.Три 3-значных числа, представленные цифрами, написанными словами или разрядами. Запишите каждое число в стандартной форме, а затем расположите эти числа в указанном порядке

Расположите двух- и трехзначные числа в порядке возрастания

Практикуйтесь в расположении чисел в порядке возрастания. Даны три 3-значных числа. Перетащите их в правильном порядке

Расположите трехзначные числа в порядке возрастания (Уровень 1)

Поместите набор из пяти чисел в порядке возрастания.Разбросаны вагоны поездов с 2- или 3-значными номерами. Разместите их на дорожке в порядке возрастания

Расположите трехзначные числа в порядке возрастания (Уровень 2)

Поместите набор из пяти чисел в порядке возрастания. Разбросаны вагоны поездов с трехзначными номерами. Разместите их на дорожке в порядке возрастания

Расположите трехзначные числа в порядке возрастания (Уровень 3)

Расположите набор из пяти чисел в порядке возрастания. Разбросаны вагоны поездов с 3-значными номерами. Разместите их на дорожке в порядке возрастания.

Тема F: Найти 1, 10 и 100 больше или меньше числа

Учащиеся применяют свои знания о разрядах, чтобы сравнивать числа и составлять схемы счета.Они используют несколько представлений (блоки с основанием 10, пронумерованные диски и числовая линия) для поддержки понимания, уделяя особое внимание работе с разрядами.

Определите 1, 10 и 100 больше или меньше заданного числа на основе модели кубов с основанием 10.

Сложите или вычтите 1, 10 или 100 из 3-значного числа, используя модель с основанием 10. Определите числовые значения, представленные моделью для формирования первого числа. Затем добавляется или убирается кубик единиц, стержень десятков или квадрат 100.Введите полученное число

Определите 1, 10 и 100 больше или меньше заданного числа с моделью пронумерованных дисков и без нее (Часть 1)

Добавьте или вычтите 1, 10 или 100 из 3-значного числа, используя диски с номинальной стоимостью. Добавьте или уберите соответствующий диск для отображения подсказки. Введите полученное число

Определите 1, 10 и 100 больше или меньше заданного числа с моделью пронумерованных дисков и без нее (Часть 2)

Попрактикуйтесь в сложении или вычитании 1, 10 или 100 из 3-значного числа .Введите полученное число

Определите 1, 10 и 100 больше или меньше того же числа

Попрактикуйтесь в сложении или вычитании 1, 10 или 100 из 3-значного числа. Введите полученное число

Сравните два числа, которые отличаются на 1, 10 или 100 с моделью пронумерованных дисков и без нее.

Добавьте или вычтите 1, 10 или 100 из числа. Приводятся три-четыре задачи об одном и том же трехзначном числе. Введите ответы, полученные при взятии одного разряда больше или меньше, как указано

Сравните два числа, указав, на 1, 10 или 100 больше или меньше другого

Сравните два числа, которые отличаются на 1, 10, или 100.Либо определите разницу между двумя числами, либо укажите число, которое на 1, 10 или 100 больше или меньше заданного числа

Определите на 1 или 10 больше заданного числа по разным значениям с моделью пронумерованных дисков и без нее

Узнайте, как сложить разряды с помощью модели диска. Добавьте соответствующий диск и переименуйте набор из 10 в следующий более высокий разряд. Затем введите итоговую сумму

Определите на 1 или 10 меньше заданного числа по разрядам с моделью пронумерованных дисков и без нее.

Узнайте, как вычесть по разрядам с использованием модели диска.Переименуйте единицу как следующую более низкую числовую ценность, чтобы иметь возможность вычитать. Затем введите итоговую сумму

Счетчик вверх и вниз на 1 в сотнях с и без модели пронумерованных дисков

Счетчик на 1 и вниз на 1, начиная с любого трехзначного числа, не пересекая десятки. Начните с моделирования проблемы с моделью диска на диаграмме значений разряда, затем подсчитайте вверх или вниз без модели

Считайте вверх и вниз на 1 в сотнях через десятки с моделью пронумерованных дисков

Считайте вверх на 1 и обратный отсчет на 1, начиная с любого трехзначного числа.Модель с добавлением или вычитанием 1 с помощью модели диска при подсчете числа, кратного 10

Считайте вверх и вниз на 10 в сотнях с моделью пронумерованных дисков и без нее

Считайте вверх на 10 и отсчитайте на 10, начиная с любых трех -цифровое число без пересечения сотен. Модель с добавлением или вычитанием 10 для модели диска

Считайте вверх и вниз на 10 в сотнях по сотням для модели пронумерованных дисков

Считайте вверх на 10 и отсчитайте на 10, начиная с любого трехзначного числа.Модель с добавлением или вычитанием 10 с помощью модели диска при подсчете числа, кратного 100

Считайте вверх и вниз на 100 в сотнях с моделью пронумерованных дисков и без нее

Считайте вверх на 100 и отсчитайте на 100, начиная с любых трех -цифровой номер. Модель с добавлением или вычитанием 100 с моделью диска

Считайте вверх и вниз на 1 в сотнях по десяткам

Практикуйте счет вверх или вниз по единицам, начиная с любого трехзначного числа. Постарайтесь выполнить задачи, пока не потеряете всю жизнь!

Подсчитайте до 10 сотен в сотнях

Помогите мыши пройти через лабиринт к сыру, считая десятками, начиная с трехзначного числа

Считайте вверх и вниз на 100 сотен

Помогите мыши добраться до своего ракетного корабля, считая до 100, начиная с трехзначного числа

Определите и завершите схемы счета вверх и вниз на 1, 10 и 100 (Часть 1)

Посмотрите на образец и решите, отображается ли он увеличение на 1, 10 или 100 или уменьшение на 1, 10 или 100.Затем введите недостающие числа в числовые шаблоны

Определите и завершите шаблоны счета вверх и вниз на 1, 10 и 100 (Часть 2)

Определите, увеличивается или уменьшается шаблон на 1, 10 или 100. Затем заполните недостающие числа для завершения числового шаблона

МОДУЛЬ 4. Сложение и вычитание в пределах 200 с задачами со словами до 100

Тема A: Суммы и различия в пределах 100

Студенты практикуют стратегии для решения задач с 2-значными +/- и без обмен.Они применяют свои знания о числовом значении, сложении и вычитании, а также гибкости чисел для решения уравнений и нетрадиционных задач, используя знакомые представления (блоки с основанием 10, карточки с числовыми значениями, сто диаграмма и уравнения). Используя конкретные манипуляторы, они начинают решать проблемы, требующие обмена.

Соотнесите 1 больше или меньше и 10 больше или меньше со сложением и вычитанием (Часть 1)

Найдите на 1 больше, 1 меньше, 10 больше или 10 меньше, чем данное двузначное число. Затем выполните соответствующую задачу на сложение или вычитание

Свяжите 1 более или менее и 10 более или менее со сложением и вычитанием (Часть 2)

Найдите на 1 больше, на 1 меньше, на 10 больше или на 10 меньше, чем данное двузначное число .Затем выполните соответствующую задачу сложения или вычитания

Определите правило для шаблона счета +/- 1 или 10 и продолжите шаблон (Часть 1)

Посмотрите на шаблон числа и решите, показывает ли он на 1 больше, на 1 меньше, На 10 больше или на 10 меньше, затем выберите операцию сложения или вычитания, которую можно использовать для создания узора. Затем завершите шаблон, когда вы знаете первое число и знаете правило

Определите правило для шаблона счета +/- 1 или 10 и продолжите шаблон (Часть 2)

Посмотрите на первые три члена в числе шаблон и решите, будет ли правило +1, –1, +10 или –10.Затем продолжите шаблон, используя правило

Запишите двузначное число как десятки и единицы

Попрактикуйтесь в концепции значения разряда, разбивая двузначное число на десятки и единицы

Добавьте круглое число к двузначному числу с помощью и без использования числовых связей для добавления первых десятков

Добавьте двузначное число и двузначное число, кратное 10. Начните с использования числовой связи, чтобы разбить первое число на десятки и единицы, и сложите десятки вместе. Затем решите эти задачи без использования числовой связи

Вычтите круглое число из двухзначного числа с использованием числовых связей и без них, чтобы вычесть первые десятки

Вычтите двузначное кратное 10 из двузначного числа. .Начните с использования числовой связи, чтобы разбить первое число на десятки и единицы, и вычтите десятки, оставляя все те же самые. Затем решите эти задачи без использования числовой связи.

Сложите и вычтите двузначные и круглые числа, включая данные об изменении.

Попрактикуйтесь в сложении и вычитании двузначных кратных от 10 до двузначных чисел и от них. Обратите внимание, что слагаемые в задаче на сложение могут быть в любом порядке, а сумма одинакова.

Сложите двузначные числа, используя карточки с разностными значениями, чтобы складывать десятки и единицы отдельно

Добавьте двузначные числа, складывая десятки и единицы отдельно .Первые несколько задач проведут вас по этапам, а последние несколько задач — это практика. Ни одна из задач не требует перегруппировки.

Сложите двузначные числа с использованием числовых связей и без них, чтобы добавить первые десятки.

Практикуйте стратегию сложения двух двузначных чисел. Разбейте одно из чисел на десятки и единицы. Затем добавьте десятки к другому числу и, наконец, добавьте единицы к другому числу

Вычтите двузначные числа с использованием и без использования карточек разряда, чтобы отдельно вычесть десятки и единицы

Вычтите двузначные числа, сначала разбив числа на десятки и единицы.Первые несколько задач содержат шаги по использованию этой стратегии, а последние несколько задач позволяют вам практиковать эту стратегию самостоятельно.

Вычитание двухзначных чисел с использованием числовых связей и без них для вычитания первых десятков.

Практикуйте стратегию вычитания. два двузначных числа. Разбейте второе число на десятки и единицы, затем вычтите десятки из первого числа и, наконец, вычтите единицы из первого числа. Для этих задач не требуется перегруппировка.

Сложите двузначные числа с обменом и без обмена с помощью карточек разряда

Попрактикуйтесь в сложении двух двузначных чисел, складывая десятки, складывая единицы, а затем складывая эти две суммы.Некоторые проблемы требуют перегруппировки

Сложить двузначные числа с заменой и без использования числовых связей

Попрактикуйтесь в сложении двух двузначных чисел, разбивая второе число на десятки и единицы, и сначала добавляя десятки к первому числу, а затем прибавляя те. Эти проблемы требуют перегруппировки

Вычитание 2-значных чисел с обменом и без обмена с использованием модели блоков с основанием 10

Практика вычитания двузначных чисел с использованием блоков с основанием 10 в качестве модели.Удалите кубики и стержни, чтобы обозначить вычитаемое число. Количество оставшихся кубиков — это ответ

Вычтите двузначные числа с заменой с использованием модели блоков с основанием 10

Практикуйтесь вычитание двузначных чисел с использованием блоков с основанием десять в качестве модели. Удалите кубики и стержни, чтобы обозначить вычитаемое число. Количество оставшихся кубиков — это ответ.

Вычитание двузначных чисел с заменой с использованием числовых связей и без них.

Практика вычитания двузначных чисел с перегруппировкой и без нее, а также с использованием числовых связей и без нее.Разбейте второе число на десятки и единицы и сначала вычтите десятки из первого числа, а затем вычтите единицы

Тема B: Добавление столбца с обменом на десятки

Учащиеся используют знакомые манипуляторы, чтобы научить их использовать сложение столбцов с помощью понимание. Они начинают с использования стратегии сложения всех десятков и всех единиц, а затем их объединения. Затем они переходят к сложению двух- и трехзначных столбцов с заменой единиц на десять и без них.

Представьте и решите задачи сложения двузначных чисел без обмена с использованием модели диска.

Представьте задачи сложения двузначных чисел с моделью диска на диаграмме значений разряда.Затем используйте модель, чтобы найти сумму. Эти проблемы не требуют перегруппировки.

Сложите двузначные числа без обмена с помощью карточек с разностными значениями для раздельного сложения десятков и единиц

Попрактикуйтесь в сложении двух двузначных чисел без перегруппировки, сначала добавляя десятки, а затем добавляя единицы, а затем добавляя две суммы

Решение сложения двухзначных столбцов без обмена (Уровень 1)

Научитесь складывать два двузначных числа с помощью стандартного алгоритма без перегруппировки.Попрактикуйтесь в постановке задачи, перетаскивая цифры в правильные позиции. Затем сложите числа в каждом столбце разряда и запишите результат.

Решение сложения двухзначного столбца без обмена (Уровень 2)

Попрактикуйтесь в сложении двух двузначных чисел по стандартному алгоритму без перегруппировки. Попрактикуйтесь в постановке задачи, набирая цифры в правильных позициях. Затем сложите числа в каждом столбце значений разряда и запишите результат

Обмен в десятки, используя модель диска

Попрактикуйтесь в определении чисел, отображаемых дисками на диаграмме разряда.Помните, что, когда имеется 10 единиц, их можно обменять на 1 десять

Добавить 2-значные числа с заменой и без обмена с использованием модели диска

Добавить двузначные числа, представив числа с использованием модели диска в диаграмме значений разряда , и при необходимости обменять 10 единиц на 1 десять. Чтобы найти сумму, назовите общую сумму, представленную дисками в таблице.

Сложите двузначные числа с обменом с помощью карточек разряда

Сложите два двузначных числа, разбив числа на десятки и единицы.Сначала добавьте те. Если их больше 9, переместите новые 10 в столбец десятков, а затем добавьте десятки

Решение сложения двухзначного столбца с обменом и без обмена с использованием модели диска

Добавьте два двузначных числа, используя стандарт алгоритм и модель диска, как с перегруппировкой, так и без нее. Узнайте, как торговля 10 единицами на 1 десятку на диаграмме значений разряда представлена ​​в стандартном алгоритме

Решение сложения двухзначных столбцов с обменом и без обмена (Уровень 1)

Сложение двух двузначных чисел с перегруппировкой по стандартному алгоритму .Предоставляется поддержка, которая поможет вам выполнить шаги.

Решение сложения двухзначных столбцов с обменом и без него (Уровень 2)

Сложение двух двузначных чисел с перегруппировкой с использованием стандартного алгоритма. Предоставляется некоторая поддержка, которая поможет вам выполнить шаги

Решение сложения двухзначных столбцов с обменом и без него (Уровень 3)

Добавьте два двузначных числа как с перегруппировкой, так и без нее, используя стандартный алгоритм. Задайте задачу, сложите и укажите сумму

Решение сложения двух- и трехзначных столбцов с заменой и без замены (Уровень 1)

Научитесь складывать трехзначное число и двузначное число с помощью стандарта алгоритм с перегруппировкой и без нее.Практикуйтесь в настройке сложения столбцов, выстраивая цифры с одинаковым значением разряда, затем складывайте

Решение сложения двух- и трехзначных столбцов с заменой и без замены (Уровень 2)

Практикуйтесь в решении задач сложения двух и трех цифр с использованием стандартного алгоритма, как с перегруппировкой, так и без нее

Тема C: Вычитание столбцов с обменом на десятки

Учащиеся используют знакомые манипуляторы, чтобы научить их с пониманием использовать вычитание столбцов.Студенты учатся определять, нужен ли обмен, и если да, то как это делать с пониманием. Затем они переходят к двух- и трехзначному вычитанию столбцов с заменой десяти на единицы и без нее.

Тема D: Добавление столбцов с обменом на сотни

Учащиеся развивают свое понимание добавления столбцов и обмена, чтобы перейти в разряд сотен. Модели дисков и пошаговые подсказки помогают обеспечить концептуальное понимание и беглость процедур. Модель постепенного выпуска помогает студентам стать независимыми в решении этих многоэтапных задач.

Тема E: Вычитание столбцов с обменом на сотни

Учащиеся развивают свое понимание вычитания столбцов и обмена, чтобы перейти в разряд сотен. Пошаговые подсказки помогают обеспечить концептуальное понимание и беглость процедур. Модель постепенного выпуска помогает студентам стать независимыми в решении этих многоэтапных задач.

МОДУЛЬ 5. Сложение и вычитание в пределах 1000 с задачами со словами до 100

Тема A: Психологические стратегии сложения и вычитания в пределах 1000

Учащиеся работают с двузначными и трехзначными круглыми числами, чтобы разработать стратегии мысленного сложения и вычитания.Первая стратегия учит их прибавлять / вычитать до ближайшей сотни, а затем прибавлять / вычитать то, что осталось. Вторая стратегия учит студентов складывать / вычитать все сотни, а затем складывать / вычитать все десятки. Обе стратегии поддерживаются такими манипуляторами, как модель диска и числовая линия. 10 и трехзначное число, кратное 100, сначала с использованием модели диска, а затем без модели.Обратите внимание, что добавление кратного 100 к другому трехзначному числу означает сложение сотен цифр вместе

Вычитание трехзначных круглых чисел с использованием и без использования модели диска

Вычтите трехзначное кратное 100 из трехзначного кратного числа 10, сначала с использованием модели диска, а затем без модели. Обратите внимание, что вычитание кратного 100 из другого трехзначного числа означает вычитание сотен цифр

Добавьте двузначное круглое число к трехзначному круглому числу, добавив сотни, десятки, затем единицы

Добавьте трехзначное кратное числа 10 и двузначное кратное 10 путем добавления цифр десятков

Сложить до следующей сотни с использованием и без использования числовой модели

Поместите трехзначное кратное 10 в числовую строку.Затем определите следующее кратное 100, которое больше числа, и скажите, сколько вы прибавите, чтобы получить это кратное 100. Затем выполните аналогичные задачи, но без использования модели числовой линии

Добавьте 2-значное число к 3 -цифровое число, используя стратегию «Сделать следующую сотню» (Часть 1)

Узнайте, как сложить трехзначное число, кратное 10, и двузначное, кратное 10, используя стратегию «Сделать следующую сотню»

Добавить 2 -цифровое число в 3-значное число, используя стратегию «Сделать следующую сотню» (Часть 2)

Попрактикуйтесь в сложении трехзначного числа, кратного 10, и двузначного числа, кратного 10, используя стратегию «Сделать следующую сотню»

Добавьте 2-значное круглое число к 3-значному круглому числу с помощью ментальной математики.

Попрактикуйтесь в сложении трехзначного числа, кратного 10, и двузначного числа, кратного 10, с помощью мысленной математики.Вы можете использовать стратегию «сделать следующую сотню» или любую другую стратегию

Вычтите двузначное круглое число из трехзначного круглого числа, вычтя сотни, десятки, затем единицы

Практикуйте вычитание двузначного числа, кратного 10, из трехзначное кратное 10 без перегруппировки путем вычитания цифр десятков

Вычесть до следующей сотни с использованием и без использования числовой линии

Поместите трехзначное кратное 10 в числовую строку. Затем определите следующее кратное 100, которое меньше числа, и скажите, сколько вы вычтите, чтобы получить это кратное 100.Затем выполните аналогичные задачи, но без использования модели числовой линии.

Вычтите 2-значное число из 3-значного числа, используя стратегию «Сделать предыдущую сотню» (часть 1)

Узнайте, как вычесть двузначное кратное 10 из трехзначного числа, кратного 10, используя стратегию «Сделать предыдущую сотню»

Вычтите 2-значное число из 3-значного числа, используя стратегию «Сделать предыдущую сотню» (Часть 2)

Попрактикуйтесь в вычитании двузначное кратное 10 из трехзначного кратного 10 с использованием стратегии сделать предыдущую сотню

Вычесть двузначное круглое число из трехзначного круглого числа с помощью математической математики

Практика вычитания двузначного кратного 10 из трехзначного числа, кратного 10, используя математику в уме.Вы можете использовать предыдущую стратегию «Сотни» или любую другую стратегию.

Разбейте трехзначное число на сотни и двухзначное число.

Потренируйтесь разбивать трехзначное число на сотни и оставшееся двузначное число. Эти проблемы не требуют перегруппировки.

Сложите трехзначные числа, добавив сначала сотни.

Изучите стратегию сложения двух трехзначных чисел без перегруппировки, сначала добавив сотни, а затем сложив остальные. Все числа, используемые в задачах, кратны 10

Сложить 3-значные числа с помощью ментальной математики

Сложить два 3-значных числа с помощью ментальной математики.Даются подсказки о том, как завершить сложение разрядов

Сложить 3-значные числа с обменом путем добавления первых сотен

Попрактикуйтесь в сложении двух трехзначных чисел, кратных 10, без перегруппировки с использованием математической математики. Вы можете использовать любую стратегию, включая сложение первых сотен

Сложение трехзначных чисел с обменом с использованием ментальной математики

Практикуйте сложение двух трехзначных чисел, кратных 10, с перегруппировкой с использованием ментальной математики. Вы можете использовать любую стратегию, включая сначала прибавление сотен, а затем прибавление десятков

Вычитание 3-значных чисел путем вычитания первых сотен

Практика вычитания двузначных кратных 10 без перегруппировки, сначала вычитая сотни, а затем вычитая десятки

Вычитание трехзначных чисел с помощью ментальной математики

Практикуйте вычитание двузначных чисел, кратных 10, без перегруппировки с помощью ментальной математики.Вы можете использовать любую стратегию, включая сначала вычитание сотен, а затем вычитание десятков

Вычитание трехзначных чисел с обменом путем вычитания первых сотен

Вычитание трехзначных кратных 10 с перегруппировкой, сначала вычитая сотни, а затем вычитая десятки

Вычитание трехзначных чисел с обменом с использованием ментальной математики

Вычитание трехзначных чисел, кратных 10, с перегруппировкой с использованием ментальной математики. Вы можете использовать любую стратегию, включая сначала вычитание сотен, а затем вычитание десятков

Тема B: Добавление 3-значного столбца

Учащиеся используют сложение столбца для сложения 3-значных чисел при одном или нескольких обменах.Модель постепенного выпуска помогает студентам стать независимыми в решении этих многоэтапных задач.

Тема C: Вычитание 3-значного столбца

Учащиеся используют вычитание столбца для вычитания 3-значного числа с одним или несколькими заменами. Модель постепенного выпуска помогает студентам стать независимыми в решении этих многоэтапных задач.

МОДУЛЬ 6. Основы умножения и деления

Тема A: Формирование равных групп

Учащиеся работают с идентичными объектами реального мира, чтобы сформировать равные группы, учитывая либо количество групп, либо количество объектов, которые нужно поместить в каждую группу.Они также определяют количество групп, количество объектов в каждой группе и общее количество объектов. Учащиеся связывают предложения с повторяющимися числами сложения с визуальными представлениями равных групп.

Тема B: Массивы и равные группы

Учащиеся работают с абстрактными объектами в массивах, чтобы определить количество столбцов / строк, количество объектов в каждом столбце / строке и общее количество объектов. Они используют повторяющееся сложение для представления массивов, рассматривая массив как набор строк, так и набор столбцов.

Тема C: Прямоугольные массивы как основа для умножения и деления

Учащиеся переходят от коллекции объектов, расположенных в виде массива, к массивам, состоящим из сетки квадратов. Как и в предыдущем разделе, они определяют количество объектов в каждом столбце / строке и общее количество объектов, а также используют повторное сложение для представления массива.

Тема D: Значение четных и нечетных чисел

Сложите два равных слагаемых, чтобы получить сумму четных чисел.

Узнайте, что четные числа являются суммой двух равных слагаемых.Укажите количество показанных элементов, а затем удвойте сумму и укажите общую сумму. затем потренируйтесь находить суммы равных слагаемых

Объекты пары, чтобы определить, является ли сумма четной.

Подсчитайте два набора похожих объектов. Узнайте, что объединение объектов в пары может определить, является ли сумма четным.

Определить, является ли набор объектов четным или нечетным.

Определить, является ли набор данных объектов четным или нечетным. Узнайте, что когда объекты в наборе не могут быть объединены в пары, тогда число нечетное

Определите, как шаблон сложения +1 или +2 соотносится с четным и нечетным

Узнайте, как происходит связь между четными и нечетными числами, добавляя 1 или 2 к четное число

Определите, является ли скрытое число в числовой строке четным или нечетным.

Потренируйтесь считать по двойкам в одно-, двух- или трехзначных числах.Определите значение последовательных чисел в числовой строке, четные они или нечетные. Кроме того, узнайте, что ноль — это четное число

Определите четные числа как числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8

Считайте по 2 секунды, чтобы заполнить сетку четных чисел, чтобы узнать, что все четные числа заканчиваются на 0 , 2, 4, 6 или 8. Затем потренируйтесь давать четные числа; Допускаются одно-, двух- или трехзначные числа

Определять нечетные числа как числа, оканчивающиеся на 1, 3, 5, 7 или 9

Узнавать, что все нечетные числа заканчиваются на 1, 3, 5, 7 или 9.Затем потренируйтесь вводить нечетные числа; Допускаются одно-, двух- или трехзначные числа

Определить 3-значные числа как нечетные или четные

Выбрать все четные или все нечетные числа из набора из шести трехзначных чисел

МОДУЛЬ 8. Время , Фигуры и дроби как равные части фигур

Тема B: Составные фигуры и концепции дробей

Работая с треугольниками и квадратами, учащиеся вращают фигуры, чтобы заполнить узор. Они узнают, что количество частей в целом называется половинками, третями, четвертыми и шестыми в зависимости от общего количества.

Тема C: Половинки, трети и четверти окружностей и прямоугольников

Учащиеся опираются на свои знания половин, третей и четвертей, чтобы ответить на более сложные вопросы о дробных частях фигур. Они разбивают фигуры на заданные фракции, определяют размер дробных частей и говорят, сколько частей составляет целое.

Определите фигуры, которые разделены на две части

Определите одну или несколько фигур, которые разделены на две равные части или половинки

Разделите фигуры пополам и заполните недостающую половину фигур

Признайте, что некоторые фигуры можно разделить пополам разными способами.Разделяйте прямоугольники и шестиугольники пополам по-разному. Заполните недостающую половину заданной формы

Определите фигуры, которые разделены на трети, и разделите фигуры на трети.

Для одной или нескольких фигур определите, какие из них разделены на три равные части или трети. Разделить фигуры на трети

Определить фигуры, которые разделены на четверти и разделить фигуры на четверти.

Для одной или нескольких фигур определите, какие из них разделены на четыре равные части или трети. Разделение фигур на четверти

Сортировка фигур, разделенных на половины, трети и четверти

Для заданной формы определите, разделена ли она на половины, трети или четверти

Определите части целого в формах, разделенных на половины, триды , и четверти

Определите, на какую дробь разделена фигура.Сообщите, сколько в данной фракции содержится в целом. Определите, сколько больше заданной фракции необходимо для создания неполной формы целого

Все, что вам нужно знать — Real Python

В этой статье вы узнаете все о математическом модуле Python math . Математические вычисления являются неотъемлемой частью большинства разработок Python. Независимо от того, работаете ли вы над научным проектом, над финансовым приложением или над любым другим видом программирования, вам просто не избежать математики.

Для простых математических вычислений в Python вы можете использовать встроенные математические операторы , такие как сложение ( + ), вычитание ( - ), деление (/) и умножение ( * ). . Но более сложные операции, такие как экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические или степенные функции, не встроены. Означает ли это, что вам нужно реализовать все эти функции с нуля?

К счастью, нет. Python предоставляет модуль, специально разработанный для математических операций более высокого уровня: модуль math .

К концу этой статьи вы узнаете:

  • Что такое математический модуль Python
  • Как использовать функции модуля math для решения реальных задач
  • Какие константы математического модуля , включая пи, тау и число Эйлера
  • В чем разница между встроенными функциями и математическими функциями являются
  • В чем разница между math , cmath и NumPy:

Здесь вам пригодится математический опыт, но не беспокойтесь, если математика не ваша сильная сторона.Эта статья объяснит основы всего, что вам нужно знать.

Итак, приступим!

Знакомство с Python

math Module

Модуль Python math — важная функция, предназначенная для работы с математическими операциями. Он поставляется в стандартной версии Python и был там с самого начала. Большинство функций модуля math представляют собой тонкие оболочки математических функций платформы C.Поскольку его основные функции написаны на CPython, модуль math эффективен и соответствует стандарту C.

Модуль Python math предлагает вам возможность выполнять общие и полезные математические вычисления в вашем приложении. Вот несколько практических применений модуля math :

  • Вычисление комбинаций и перестановок с использованием факториалов
  • Расчет высоты столба с помощью тригонометрических функций
  • Расчет радиоактивного распада с использованием экспоненциальной функции
  • Расчет кривой подвесного моста с использованием гиперболических функций
  • Решение квадратных уравнений
  • Моделирование периодических функций, таких как звуковые и световые волны, с помощью тригонометрических функций

Поскольку модуль math поставляется вместе с выпуском Python, вам не нужно устанавливать его отдельно.Использование — это просто импорт модуля:

Вы можете импортировать модуль Python math , используя указанную выше команду. После импорта вы можете сразу использовать его.

Константы математического модуля

Модуль

Модуль Python math предлагает множество предопределенных констант . Доступ к этим константам дает несколько преимуществ. Во-первых, вам не нужно вручную жестко закодировать их в свое приложение, что сэкономит вам много времени.Кроме того, они обеспечивают согласованность всего кода. Модуль включает в себя несколько известных математических констант и важных значений:

  • Пи
  • Тау
  • Число Эйлера
  • бесконечность
  • Не число (NaN)

В этом разделе вы узнаете о константах и ​​о том, как их использовать в коде Python.

Пи

Пи (π) — это отношение длины окружности ( c ) к ее диаметру ( d ):

π = с / д

Это соотношение всегда одинаково для любого круга.

Пи — это иррациональное число , что означает, что его нельзя выразить простой дробью. Следовательно, у пи бесконечное количество десятичных знаков, но оно может быть приблизительно равно 22/7 или 3,141.

Интересный факт: Пи — самая признанная и известная математическая константа в мире. У него есть своя собственная дата празднования, называемая Днем Пи, которая приходится на 14 марта (3/14).

Вы можете получить доступ к pi следующим образом:

>>>

  >>> математика.Пи
3,1415

589793

Как видите, число пи в Python дается с точностью до пятнадцати десятичных знаков. Количество предоставленных цифр зависит от базового компилятора C. Python по умолчанию печатает первые пятнадцать цифр, а math.pi всегда возвращает значение с плавающей запятой.

Так чем же пи может быть вам полезен? Вы можете рассчитать длину окружности, используя 2π r , где r — радиус окружности:

>>>

  >>> г = 3
>>> окружность = 2 * математика.пи * р
>>> f "Окружность круга = 2 * {math.pi: .4} * {r} = {окружность: .4}"
'Окружность круга = 2 * 3,142 * 3 = 18,85'
  

Вы можете использовать math.pi для вычисления длины окружности. Вы также можете рассчитать площадь круга по формуле π r ² следующим образом:

>>>

  >>> r = 5
>>> площадь = math.pi * r * r
>>> f "Площадь круга = {math.pi: .4} * {r} * {r} = {area: .4}"
«Площадь круга = 3.142 * 5 * 5 = 78,54 '
  

Вы можете использовать math.pi для вычисления площади и длины окружности. Когда вы выполняете математические вычисления с помощью Python и сталкиваетесь с формулой, в которой используется π, рекомендуется использовать значение пи, заданное модулем math , вместо жесткого кодирования значения.

Тау

Тау (τ) — отношение длины окружности к ее радиусу. Эта константа равна 2π, или примерно 6,28. Как и пи, тау — иррациональное число, потому что оно просто пи умноженное на два.

Во многих математических выражениях используется 2π, и использование тау вместо этого может помочь упростить ваши уравнения. Например, вместо вычисления длины окружности с 2π r , мы можем подставить тау и использовать более простое уравнение τ r .

Однако использование тау в качестве постоянной окружности все еще обсуждается. Вы можете свободно использовать 2π или τ по мере необходимости.

Вы можете использовать тау, как показано ниже:

>>>

  >>> математика.тау
6,283185307179586
  

Подобно math.pi , math.tau возвращает пятнадцать цифр и является значением с плавающей запятой. Вы можете использовать тау для вычисления длины окружности с τ r , где r — радиус, следующим образом:

>>>

  >>> г = 3
>>> окружность = math.tau * r
>>> f "Окружность круга = {math.tau: .4} * {r} = {окружность: .4}"
'Окружность круга = 6,283 * 3 = 18,85'
  

Вы можете использовать math.tau вместо 2 * math.pi , чтобы привести в порядок уравнения, содержащие выражение 2π.

Число Эйлера

Число Эйлера

( e ) — это константа, являющаяся основанием натурального логарифма , математической функции, которая обычно используется для расчета скорости роста или убывания. Как и в случае с пи и тау, число Эйлера — иррациональное число с бесконечным числом десятичных знаков. Значение e часто приближается к 2,718.

Число Эйлера

является важной константой, поскольку оно имеет множество практических применений, таких как расчет роста населения с течением времени или определение скорости радиоактивного распада.Вы можете получить доступ к числу Эйлера из математического модуля следующим образом:

>>>

  >>> math.e
2,718281828459045
  

Как и в случае с math.pi и math.tau , значение math.e дается с точностью до пятнадцати десятичных знаков и возвращается как значение с плавающей запятой.

бесконечность

Бесконечность не может быть определена числом. Скорее, это математическая концепция, представляющая что-то бесконечное или безграничное.Бесконечность может идти в любом направлении, в положительном или отрицательном.

Вы можете использовать бесконечность в алгоритмах , когда вы хотите сравнить заданное значение с абсолютным максимальным или минимальным значением. Значения положительной и отрицательной бесконечности в Python следующие:

>>>

  >>> f "Положительная бесконечность = {math.inf}"
'Положительная бесконечность = бесконечность'
>>> f "Отрицательная бесконечность = {-math.inf}"
'Отрицательная бесконечность = -inf'
  

Бесконечность не является числовым значением.Вместо этого он определяется как math.inf . Python представил эту константу в версии 3.5 как эквивалент float ("inf") :

>>>

  >>> float ("inf") == math.inf
Истинный
  

И float ("inf"), и math.inf представляют концепцию бесконечности, что делает math.inf больше любого числового значения:

>>>

  >>> x = 1e308
>>> math.inf> x
Истинный
  

В приведенном выше коде math.inf больше, чем значение x , 10 308 (максимальный размер числа с плавающей запятой), которое является числом с двойной точностью.

Аналогично, -math.inf меньше любого значения:

>>>

  >>> y = -1e308
>>> y> -math.inf
Истинный
  

Отрицательная бесконечность меньше значения y , что составляет -10 308 . Никакое число не может быть больше или меньше отрицательной бесконечности.Вот почему математические операции с math.inf не изменяют значение бесконечности:

>>>

  >>> math.inf + 1e308
инф
>>> math.inf / 1e308
инф
  

Как видите, ни сложение, ни деление не изменяют значение math.inf .

Не число (NaN)

Не число или NaN, на самом деле, не является математическим понятием. Он возник в области информатики как ссылка на значения, которые не являются числовыми.Значение NaN может быть связано с недопустимыми входными данными или может указывать на то, что переменная, в которой должно быть числовым, была повреждена текстовыми символами или символами.

Всегда рекомендуется проверять, является ли значение NaN. Если это так, то это может привести к недопустимым значениям в вашей программе. Python представил константу NaN в версии 3.5.

Вы можете увидеть значение math.nan ниже:

NaN не является числовым значением. Вы можете видеть, что значение math.nan — это nan , то же значение, что и float («nan») .

Арифметические функции

Теория чисел — это раздел чистой математики, изучающий натуральные числа. Теория чисел обычно имеет дело с положительными целыми числами или целыми числами.

Модуль Python math предоставляет функции, которые полезны в теории чисел, а также в теории представлений , связанной области. Эти функции позволяют вычислить ряд важных значений, включая следующие:

  • факториалов числа
  • Наибольший общий делитель двух чисел
  • Сумма итераций

Найдите факториалы с помощью Python

factorial ()

Вы могли видеть математические выражения вроде 7! или 4! перед.Восклицательные знаки не означают, что числа взволнованы. Скорее, «!» — это факториал символа . Факториалы используются при поиске перестановок или комбинаций. Вы можете определить факториал числа, умножив все целые числа от выбранного числа до 1.

В следующей таблице показаны значения факториала для 4, 6 и 7:

Символ Словами Выражение результат
4! Четыре факториала 4 х 3 х 2 х 1 24
6! Шесть факториал 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 720
7! Семь факториал 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 5040

Из таблицы видно, что 4 !, или четырехфакториал, дает значение 24 путем умножения диапазона целых чисел от 4 до 1.Аналогично 6! и 7! дают значения 720 и 5040 соответственно.

Вы можете реализовать факториальную функцию в Python, используя один из нескольких инструментов:

  1. для петель
  2. Рекурсивные функции
  3. math.factorial ()

Сначала вы рассмотрим факториальную реализацию с использованием цикла для . Это относительно простой подход:

  def fact_loop (число):
    если число <0:
        возврат 0
    если num == 0:
        возврат 1

    факториал = 1
    для i в диапазоне (1, num + 1):
        факториал = факториал * я
    возврат факториала
  

Вы также можете использовать рекурсивную функцию, чтобы найти факториал.Это более сложно, но и более элегантно, чем использование цикла для . Вы можете реализовать рекурсивную функцию следующим образом:

  def fact_recursion (число):
    если число <0:
        возврат 0
    если num == 0:
        возврат 1

    return num * fact_recursion (число - 1)
  

Примечание: В Python существует ограничение на глубину рекурсии, но эта тема выходит за рамки данной статьи.

В следующем примере показано, как можно использовать для циклических и рекурсивных функций :

>>>

  >>> fact_loop (7)
5040

>>> fact_recursion (7)
5040
  

Несмотря на то, что их реализации различны, их возвращаемые значения одинаковы.

Однако реализация собственных функций только для получения факториала числа занимает много времени и неэффективно. Лучше использовать math.factorial () . Вот как можно найти факториал числа с помощью math.factorial () :

>>>

  >>> math.factorial (7)
5040
  

Этот подход возвращает желаемый результат с минимальным объемом кода.

factorial () принимает только положительные целые числа.Если вы попытаетесь ввести отрицательное значение, вы получите ValueError :

>>>

  >>> math.factorial (-5)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ValueError: factorial () не определен для отрицательных значений
  

Ввод отрицательного значения приведет к ошибке ValueError при чтении factorial (), не определенного для отрицательных значений .

factorial () также не принимает десятичные числа.Это даст вам ValueError :

>>>

  >>> math.factorial (4.3)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ValueError: factorial () принимает только целые значения
  

Ввод десятичного значения приводит к ошибке ValueError чтение factorial () принимает только целые значения .

Вы можете сравнить время выполнения для каждого из методов факториала, используя timeit () :

>>>

  >>> импорт timeit
>>> timeit.timeit ("fact_loop (10)", globals = globals ())
1,063997201999996

>>> timeit.timeit ("fact_recursion (10)", globals = globals ())
1,815312818999928

>>> timeit.timeit ("math.factorial (10)", setup = "import math")
0,10671788000001925
  

Пример выше иллюстрирует результаты timeit () для каждого из трех факторных методов.

timeit () выполняет один миллион циклов при каждом запуске. В следующей таблице сравнивается время выполнения трех факториальных методов:

Тип Время выполнения
С петлями 1.0640 с
С рекурсией 1,8153 с
С факториалом () 0,1067 с

Как видно из времени выполнения, factorial () быстрее, чем другие методы. Это из-за его базовой реализации C. Метод, основанный на рекурсии, самый медленный из трех. Хотя вы можете получить разные тайминги в зависимости от вашего CPU , порядок функций должен быть одинаковым.

factorial () не только быстрее, чем другие методы, но и более стабилен. Когда вы реализуете свою собственную функцию, вы должны явно кодировать случаев бедствий , такие как обработка отрицательных или десятичных чисел. Одна ошибка в реализации может привести к ошибкам. Но при использовании factorial () вам не нужно беспокоиться о случаях катастрофы, потому что функция обрабатывает их все. Поэтому по возможности рекомендуется использовать factorial () .

Найдите потолочное значение с помощью

ceil ()

math.ceil () вернет наименьшее целочисленное значение, которое больше или равно заданному числу. Если число является положительным или отрицательным десятичным числом, функция вернет следующее целочисленное значение, превышающее данное значение.

Например, вход 5,43 вернет значение 6, а вход -12,43 вернет значение -12. math.ceil () может принимать положительные или отрицательные действительные числа в качестве входных значений и всегда будет возвращать целочисленное значение.

Когда вы вводите целочисленное значение в ceil () , оно вернет то же число:

>>>

  >>> math.ceil (6)
6
>>> math.ceil (-11)
-11
  

math.ceil () всегда возвращает одно и то же значение, если на входе задано целое число. Чтобы увидеть истинную природу ceil () , вы должны ввести десятичные значения:

>>>

  >>> math.ceil (4.23)
5
>>> math.ceil (-11,453)
-11
  

Если значение положительное (4.23) функция возвращает следующее целое число, большее значения (5). Если значение отрицательное (-11,453), функция также возвращает следующее целое число, большее значения (-11).

Функция вернет ошибку TypeError , если вы введете значение, которое не является числом:

>>>

  >>> math.ceil ("x")
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
TypeError: должно быть действительное число, а не str
  

Вы должны ввести число в функцию.Если вы попытаетесь ввести любое другое значение, вы получите TypeError .

Найдите минимальную стоимость с

этажом ()

floor () вернет ближайшее целое значение, которое меньше или равно заданному числу. Эта функция ведет себя противоположно ceil () . Например, ввод 8,72 вернет 8, а ввод -12,34 вернет -13. floor () может принимать как положительные, так и отрицательные числа в качестве входных данных и возвращает целочисленное значение.

Если ввести целочисленное значение, функция вернет то же значение:

>>>

  >>> math.floor (4)
4
>>> math.floor (-17)
-17
  

Как и в случае с ceil () , когда вход для floor () является целым числом, результат будет таким же, как входное число. Вывод отличается от ввода только при вводе десятичных значений:

>>>

  >>> math.floor (5.532)
5
>>> math.floor (-6.432)
-7
  

Когда вы вводите положительное десятичное значение (5.532), оно возвращает ближайшее целое число, которое меньше введенного числа (5). Если вы введете отрицательное число (-6,432), оно вернет следующее наименьшее целочисленное значение (-7).

Если вы попытаетесь ввести значение, не являющееся числом, функция вернет ошибку TypeError :

>>>

  >>> math.floor ("x")
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
TypeError: должно быть действительное число, а не str
  

В качестве входных данных для ceil () нельзя вводить нечисловые значения.Это приведет к ошибке TypeError .

Усечение чисел с усечением

()

Когда вы получаете число с десятичной точкой, вы можете оставить только целую часть и исключить десятичную часть. В модуле math есть функция под названием trunc () , которая позволяет вам делать именно это.

Удаление десятичного значения - это тип округления. При использовании trunc () отрицательные числа всегда округляются в сторону увеличения до нуля, а положительные числа всегда округляются в сторону уменьшения до нуля.

Вот как функция trunc () округляет положительные или отрицательные числа:

>>>

  >>> math.trunc (12.32)
12
>>> math.trunc (-43,24)
-43
  

Как видите, 12,32 округляется вниз до 0, что дает результат 12. Таким же образом -43,24 округляется вверх до 0, что дает значение -43. trunc () всегда округляется до нуля независимо от того, положительное или отрицательное число.

При работе с положительными числами trunc () ведет себя так же, как floor () :

>>>

  >>> математика.trunc (12.32) == math.floor (12.32)
Истинный
  

trunc () ведет себя так же, как floor () для положительных чисел. Как видите, возвращаемое значение обеих функций одинаково.

При работе с отрицательными числами trunc () ведет себя так же, как ceil () :

>>>

  >>> math.trunc (-43.24) == math.ceil (-43.24)
Истинный
  

Если число отрицательное, floor () ведет себя так же, как ceil () .Возвращаемые значения обеих функций одинаковы.

Найдите близость чисел с помощью Python

isclose ()

В определенных ситуациях - особенно в области науки о данных - вам может потребоваться определить, близки ли два числа друг к другу. Но для этого сначала нужно ответить на важный вопрос: как закрыть и закрыть ? Другими словами, каково определение слова «закрыть»?

Что ж, Мерриам-Вебстер скажет вам, что близость означает «близость во времени, пространстве, эффекте или градусе».«Не очень-то полезно, правда?

Например, возьмите следующий набор чисел: 2.32, 2.33 и 2.331. Когда вы измеряете близость по двум десятичным знакам, 2,32 и 2,33 близки. Но на самом деле 2.33 и 2.331 ближе. Таким образом, близость - понятие относительное. Невозможно определить близость без какого-либо порога.

К счастью, модуль math предоставляет функцию под названием isclose () , которая позволяет вам установить собственный порог или допуск для близости.Он возвращает Истинно , если два числа находятся в пределах установленного вами допуска близости, и в противном случае возвращает Ложь .

Давайте посмотрим, как сравнить два числа, используя допуски по умолчанию:

  • Относительный допуск или rel_tol - это максимальная разница, которая считается «близкой» по отношению к величине входных значений. Это процент толерантности. Значение по умолчанию - 1e-09 или 0,000000001.
  • Абсолютный допуск или abs_tol - это максимальная разница, которая считается «близкой», независимо от величины входных значений.Значение по умолчанию - 0,0.

isclose () вернет Истина , если выполняется следующее условие:

абс (a-b) <= max (rel_tol * max (abs (a), abs (b)), abs_tol).

isclose использует приведенное выше выражение для определения близости двух чисел. Вы можете подставить свои собственные значения и посмотреть, близки ли какие-либо два числа.

В следующем случае 6 и 7 не близки к :

>>>

  >>> математика.isclose (6, 7)
Ложь
  

Числа 6 и 7 не считаются близкими, поскольку относительный допуск установлен для девяти десятичных знаков. Но если вы введете 6,999999999 и 7 с одинаковым допуском, тогда будут считаться близкими :

>>>

  >>> math.isclose (6.999999999, 7)
Истинный
  

Вы можете видеть, что значение 6.999999999 находится в пределах девяти десятичных знаков 7. Следовательно, исходя из относительного допуска по умолчанию, 6.999999999 и 7 считаются близкими.

Вы можете отрегулировать относительный допуск, как хотите, в зависимости от ваших потребностей. Если установить для параметра rel_tol значение 0,2, то 6 и 7 считаются близкими:

>>>

  >>> math.isclose (6, 7, rel_tol = 0.2)
Истинный
  

Вы можете заметить, что 6 и 7 сейчас близки. Это потому, что они находятся в пределах 20% друг от друга.

Как и в случае с rel_tol , вы можете настроить значение abs_tol в соответствии с вашими потребностями. Чтобы считаться близкими, разница между входными значениями должна быть меньше или равна значению абсолютного допуска.Вы можете установить abs_tol следующим образом:

>>>

  >>> math.isclose (6, 7, abs_tol = 1.0)
Истинный
>>> math.isclose (6, 7, abs_tol = 0,2)
Ложь
  

Когда вы устанавливаете абсолютный допуск на 1, числа 6 и 7 близки, потому что разница между ними равна абсолютному допуску. Однако во втором случае разница между 6 и 7 не меньше или равна установленному абсолютному допуску 0,2.

Вы можете использовать abs_tol для очень малых значений:

>>>

  >>> математика.isclose (1, 1.0000001, abs_tol = 1e-08)
Ложь
>>> math.isclose (1, 1.00000001, abs_tol = 1e-08)
Истинный
  

Как видите, вы можете определить близость очень маленьких чисел с помощью isclose . Несколько особых случаев, касающихся близости, можно проиллюстрировать с использованием значений nan и inf :

>>>

  >>> math.isclose (math.nan, 1e308)
Ложь
>>> math.isclose (math.nan, math.nan)
Ложь

>>> math.isclose (math.inf, 1e308)
Ложь
>>> math.isclose (math.inf, math.inf)
Истинный
  

Из приведенных выше примеров видно, что nan не близко ни к какому значению, даже самому себе. С другой стороны, inf не близок ни к каким числовым значениям, даже к очень большим, а близко к себе .

Функции питания

Функция мощности принимает любое число x в качестве входных данных, увеличивает x до некоторой степени n и возвращает x n в качестве выходных данных.Модуль Python math предоставляет несколько функций, связанных с питанием. В этом разделе вы узнаете о степенных функциях, экспоненциальных функциях и функциях извлечения квадратного корня.

Вычислить степень числа с помощью

pow ()

Степенные функции имеют следующую формулу, где переменная x является основанием , переменная n является степенью , а a может быть любой константой :

Степенная функция

В приведенной выше формуле значение основания x возведено в степень n .

Вы можете использовать math.pow () , чтобы получить степень числа. Существует встроенная функция pow () , которая отличается от math.pow () . Вы узнаете разницу позже в этом разделе.

math.pow () принимает два следующих параметра:

>>>

  >>> math.pow (2, 5)
32,0
>>> math.pow (5, 2.4)
47,5

46789696

Первый аргумент - это базовое значение, а второй аргумент - это значение мощности.В качестве входных данных можно указать целое или десятичное значение, и функция всегда возвращает значение с плавающей запятой. Есть несколько особых случаев, определенных в math.pow () .

Когда основание 1 возводится в степень любого числа n, получается результат 1.0:

>>>

  >>> math.pow (1.0, 3)
1.0
  

Когда вы увеличиваете базовое значение 1 до любого значения мощности, вы всегда получите в результате 1,0. Точно так же любое базовое число, возведенное в степень 0, дает результат 1.0:

>>>

  >>> math.pow (4, 0.0)
1.0
>>> math.pow (-4, 0,0)
1.0
  

Как видите, любое число в степени 0 даст в результате 1.0. Вы можете увидеть этот результат, даже если база равна нан :

>>>

  >>> math.pow (math.nan, 0,0)
1.0
  

Возведение нуля в степень любого положительного числа даст в результате 0,0:

>>>

  >>> math.pow (0.0, 2)
0,0
>>> math.pow (0,0, 2,3)
0,0
  

Но если вы попытаетесь возвести 0,0 в отрицательную степень, результатом будет ValueError :

>>>

  >>> math.pow (0,0, -2)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ValueError: ошибка математического домена
  

Ошибка ValueError возникает только тогда, когда основание равно 0. Если основание - любое другое число, кроме 0, тогда функция вернет допустимое значение мощности.

Помимо math.pow () , в Python есть два встроенных способа определения степени числа:

  1. х ** у
  2. pow ()

Первый вариант прост. Возможно, вы уже использовали его раз или два. Тип возвращаемого значения определяется входными данными:

>>>

  >>> 3 ** 2
9
>>> 2 ** 3,3
9,84

06759329

Когда вы используете целые числа, вы получаете целочисленное значение.Когда вы используете десятичные значения, тип возвращаемого значения изменяется на десятичное значение.

Второй вариант - универсальная встроенная функция. Вам не нужно использовать импорт, чтобы использовать его. Встроенный метод pow () имеет три параметра:

  1. База номер
  2. мощность номер
  3. Модуль упругости номер

Первые два параметра являются обязательными, а третий - необязательным. Вы можете вводить целые или десятичные числа, и функция вернет соответствующий результат на основе ввода:

>>>

  >>> pow (3, 2)
9
>>> pow (2, 3.3)
9,84

06759329

Встроенная функция pow () имеет два обязательных аргумента, которые работают так же, как base и power в синтаксисе x ** y . pow () также имеет третий параметр, который является необязательным: модуль . Этот параметр часто используется в криптографии. Встроенный pow () с необязательным параметром модуля эквивалентен уравнению (x ** y)% z . Синтаксис Python выглядит так:

>>>

  >>> pow (32, 6, 5)
4
>>> (32 ** 6)% 5 == pow (32, 6, 5)
Истинный
  

pow () возводит основание (32) в степень (6), а затем результат делится по модулю на число модуля (5).В этом случае результат равен 4. Вы можете подставить свои собственные значения и увидеть, что и pow (), и данное уравнение дают одинаковые результаты.

Несмотря на то, что все три метода расчета мощности делают одно и то же, между ними есть некоторые различия в реализации. Время выполнения для каждого метода следующее:

>>>

  >>> timeit.timeit ("10 ** 308")
1,0078728999942541

>>> timeit.timeit ("pow (10, 308)")
1.047615700008464

>>> timeit.timeit ("math.pow (10, 308)", setup = "import math")
0,1837239999877056
  

В следующей таблице сравнивается время выполнения трех методов, измеренное с помощью timeit () :

Тип Время выполнения
x ** y 1.0079 с
pow (x, y) 1.0476 с
math.pow (x, y) 0.1837 с

Из таблицы видно, что math.pow () работает быстрее, чем другие методы, а встроенный pow () является самым медленным.

Причина эффективности math.pow () заключается в том, как она реализована. Он полагается на базовый язык C. С другой стороны, pow () и x ** y используют собственную реализацию оператора ** входного объекта. Однако math.pow () не может обрабатывать комплексные числа (что будет объяснено в следующем разделе), тогда как pow () и ** могут.

Найдите натуральную экспоненту с помощью

exp ()

Вы узнали о силовых функциях в предыдущем разделе. С экспоненциальными функциями дело обстоит немного иначе. Вместо основания, являющегося переменной, переменной становится мощность. Выглядит это примерно так:

Общая экспоненциальная функция

Здесь a может быть любой константой, а x , которое является значением мощности, становится переменной.

Так что же такого особенного в экспоненциальных функциях? Значение функции быстро растет по мере увеличения значения x .Если основание больше 1, тогда значение функции непрерывно увеличивается по мере увеличения x . Особое свойство экспоненциальных функций состоит в том, что наклон функции также непрерывно увеличивается по мере увеличения x .

Вы узнали о числе Эйлера в предыдущем разделе. Это основание натурального логарифма. Он также играет роль с экспоненциальной функцией. Когда число Эйлера включается в экспоненциальную функцию, оно становится естественной экспоненциальной функцией :

Естественная экспоненциальная функция

Эта функция используется во многих реальных ситуациях.Возможно, вы слышали о термине экспоненциальный рост , который часто используется в отношении роста человеческой популяции или скорости радиоактивного распада. Оба они могут быть вычислены с использованием естественной экспоненциальной функции.

Модуль Python math предоставляет функцию exp () , которая позволяет вычислять натуральную экспоненту числа. Вы можете найти значение следующим образом:

>>>

  >>> math.exp (21)
1318815734,4832146
>>> математика.ехр (-1,2)
0,301194211

214

Входное число может быть положительным или отрицательным, и функция всегда возвращает значение с плавающей запятой. Если число не является числовым значением, метод вернет ошибку TypeError :

.
>>>

  >>> math.exp ("x")
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
TypeError: должно быть действительное число, а не str
  

Как видите, если ввод является строковым значением, тогда функция возвращает ошибку TypeError , чтение должно быть действительным числом, а не str .

Вы также можете вычислить показатель степени, используя выражение math.e ** x или используя pow (math.e, x) . Время выполнения этих трех методов следующее:

>>>

  >>> timeit.timeit ("math.e ** 308", setup = "import math")
0,17853009998701513

>>> timeit.timeit ("pow (math.e, 308)", setup = "import math")
0,21040189999621361

>>> timeit.timeit ("math.exp (308)", setup = "import math")
0,125878200007719
  

В следующей таблице сравнивается время выполнения вышеуказанных методов, измеренное с помощью timeit () :

Тип Время выполнения
e ** x 0.1785 с
pow (e, x) 0,2104 с
math.exp (x) 0,1259 с

Вы можете видеть, что math.exp () быстрее, чем другие методы, а pow (e, x) - самый медленный. Это ожидаемое поведение из-за базовой реализации C модуля math .

Также стоит отметить, что e ** x и pow (e, x) возвращают одинаковые значения, но exp () возвращает немного другое значение.Это связано с различиями в реализации. В документации Python отмечается, что exp () более точен, чем два других метода.

Практический пример с

exp ()

Радиоактивный распад происходит, когда нестабильный атом теряет энергию из-за испускания ионизирующего излучения. Скорость радиоактивного распада измеряется с помощью периода полураспада, который представляет собой время, необходимое для распада половины количества родительского ядра. Вы можете рассчитать процесс распада по следующей формуле:

Уравнение радиоактивного распада

Вы можете использовать приведенную выше формулу для расчета оставшегося количества радиоактивного элемента через определенное количество лет.Переменные данной формулы следующие:

  • N (0) - начальное количество вещества.
  • N (т) - это количество, которое все еще остается и еще не разложилось по прошествии определенного времени ( т ).
  • T - период полураспада распадающегося количества.
  • e - число Эйлера.

Научные исследования определили период полураспада всех радиоактивных элементов.Вы можете подставить значения в уравнение, чтобы рассчитать оставшееся количество любого радиоактивного вещества. Давай попробуем сейчас.

Радиоизотоп стронций-90 имеет период полураспада 38,1 года. В пробе содержится 100 мг Sr-90. Вы можете рассчитать оставшиеся миллиграммы Sr-90 через 100 лет:

>>>

  >>> half_life = 38,1
>>> начальный = 100
>>> время = 100
>>> оставшийся = начальный * math.exp (-0,693 * время / период полураспада)
>>> f "Оставшееся количество Sr-90: {осталось}"
«Оставшееся количество Sr-90: 16.22044604811303 '
  

Как видите, период полураспада установлен на 38,1, а продолжительность установлена ​​на 100 лет. Вы можете использовать math.exp , чтобы упростить уравнение. Подставляя значения в уравнение, вы можете обнаружить, что через 100 лет остается 16,22 мг Sr-90.

Логарифмические функции

Логарифмические функции можно считать инверсией экспоненциальных функций. Они обозначаются в следующей форме:

Общая логарифмическая функция

Здесь a - основание логарифма, которое может быть любым числом.Вы узнали об экспоненциальных функциях в предыдущем разделе. Экспоненциальные функции могут быть выражены в виде логарифмических функций и наоборот.

Питон натуральный бревно с бревном

()

Натуральный логарифм числа - это его логарифм по основанию математической константы e , или числа Эйлера:

Натуральная логарифмическая функция

Как и экспоненциальная функция, натуральный логарифм использует константу e . Обычно это обозначается как f (x) = ln (x), где e неявно.

Вы можете использовать натуральный логарифм так же, как экспоненциальную функцию. Он используется для расчета таких величин, как скорость роста населения или скорость радиоактивного распада элементов.

log () имеет два аргумента. Первый является обязательным, а второй - необязательным. С одним аргументом вы можете получить натуральный логарифм (с основанием e ) входного числа:

>>>

  >>> math.log (4)
1,3862943611198906
>>> математика.журнал (3.4)
1,2237754316221157
  

Однако функция возвращает ValueError , если вы вводите неположительное число:

>>>

  >>> math.log (-3)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ValueError: ошибка математического домена
  

Как видите, в log () нельзя ввести отрицательное значение. Это связано с тем, что значения журнала не определены для отрицательных чисел и нуля.

С двумя аргументами вы можете вычислить логарифм от первого аргумента до основания второго аргумента:

>>>

  >>> математика.журнал (math.pi, 2)
1.651496129472319
>>> math.log (math.pi, 5)
0,711260668712669
  

Вы можете увидеть, как значение изменяется при изменении базы журнала.

Общие сведения

log2 () и log10 ()

Модуль Python math также предоставляет две отдельные функции, которые позволяют вычислять значения журнала с основанием 2 и 10:

  1. log2 () используется для вычисления логарифмического значения по основанию 2.
  2. log10 () используется для вычисления логарифмического значения по основанию 10.

С помощью log2 () вы можете получить значение журнала с основанием 2:

>>>

  >>> math.log2 (math.pi)
1.6514961294723187
>>> math.log (math.pi, 2)
1.651496129472319
  

Обе функции преследуют одну и ту же цель, но в документации Python отмечается, что log2 () более точен, чем использование log (x, 2) .

Вы можете вычислить значение журнала числа по основанию 10 с помощью log10 () :

>>>

  >>> математика.log10 (math.pi)
0,4971498726941338
>>> math.log (math.pi, 10)
0,4971498726941338
  

В документации Python также упоминается, что log10 () более точен, чем log (x, 10) , хотя обе функции имеют одну и ту же цель.

Практический пример с натуральным бревном

В предыдущем разделе вы видели, как использовать math.exp () для вычисления оставшегося количества радиоактивного элемента через определенный период времени. С математикой .log () , вы можете определить период полураспада неизвестного радиоактивного элемента, измерив массу через определенный интервал. Следующее уравнение можно использовать для расчета периода полураспада радиоактивного элемента:

Уравнение радиоактивного распада

Переставив формулу радиоактивного распада, вы можете сделать период полураспада ( T ) предметом формулы. Переменные данной формулы следующие:

  • T - период полураспада распадающегося количества.
  • N (0) - начальное количество вещества.
  • N (t) - это количество, которое остается и еще не разложилось по прошествии определенного периода времени ( t ).
  • ln - натуральное бревно.

Вы можете подставить известные значения в уравнение для расчета периода полураспада радиоактивного вещества.

Например, представьте, что вы изучаете образец неопознанного радиоактивного элемента.Когда это было обнаружено 100 лет назад, размер образца составлял 100 мг. После 100 лет распада осталось всего 16,22 мг. Используя формулу выше, вы можете рассчитать период полураспада этого неизвестного элемента:

>>>

  >>> начальное = 100
>>> Осталось = 16,22
>>> время = 100
>>> half_life = (-0,693 * время) / math.log (оставшееся / начальное)
>>> f "Период полураспада неизвестного элемента: {half_life}"
'Период полураспада неизвестного элемента: 38.09942398335152'
  

Как видите, неизвестный элемент имеет период полураспада примерно 38.1 год. Основываясь на этой информации, вы можете идентифицировать неизвестный элемент как стронций-90.

Прочие важные

math Функции модуля

Модуль Python math имеет множество полезных функций для математических вычислений, и в этой статье подробно рассмотрены только некоторые из них. В этом разделе вы кратко узнаете о некоторых других важных функциях, доступных в модуле math .

Вычислить наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель (НОД) двух положительных чисел - это наибольшее положительное целое число, которое делит оба числа без остатка.

Например, НОД 15 и 25 равно 5. Вы можете разделить 15 и 25 на 5 без остатка. Нет большего числа, делающего то же самое. Если взять 15 и 30, то НОД будет 15, потому что и 15, и 30 можно разделить на 15 без остатка.

Для расчета GCD не нужно реализовывать собственные функции. Модуль Python math предоставляет функцию под названием math.gcd () , которая позволяет вычислить НОД двух чисел.В качестве входных данных можно указать положительные или отрицательные числа, и он вернет соответствующее значение НОД. Однако вы не можете ввести десятичное число.

Вычислить сумму итераций

Если вы когда-нибудь захотите найти сумму значений итерируемого объекта без использования цикла, то math.fsum () , вероятно, будет самым простым способом сделать это. В качестве входных данных можно использовать итерируемые объекты, такие как массивы, кортежи или списки, и функция возвращает сумму значений. Встроенная функция под названием sum () также позволяет вычислять сумму итераций, но fsum () более точна, чем sum () .Подробнее об этом можно прочитать в документации.

Вычислить квадратный корень

Квадратный корень числа - это значение, которое при умножении на себя дает число. Вы можете использовать math.sqrt () , чтобы найти квадратный корень из любого положительного действительного числа (целого или десятичного). Возвращаемое значение всегда является значением с плавающей запятой. Функция выдаст ошибку ValueError , если вы попытаетесь ввести отрицательное число.

Преобразовать значения углов

В реальных сценариях, а также в математике, вы часто сталкиваетесь со случаями, когда вам нужно измерять углы для выполнения вычислений.Углы можно измерять в градусах или радианах. Иногда приходится переводить градусы в радианы и наоборот. Модуль math предоставляет функции, которые позволяют это делать.

Если вы хотите преобразовать градусы в радианы, вы можете использовать math.radians () . Он возвращает значение введенного градуса в радианах. Аналогичным образом, если вы хотите преобразовать радианы в градусы, вы можете использовать math.degrees () .

Расчет тригонометрических значений

Тригонометрия - это изучение треугольников.Он касается отношения между углами и сторонами треугольника. Тригонометрия в основном интересует прямоугольные треугольники (в которых один внутренний угол равен 90 градусам), но ее также можно применить к другим типам треугольников. Модуль Python math предоставляет очень полезные функции, позволяющие выполнять тригонометрические вычисления.

Вы можете вычислить значение синуса угла с помощью math.sin () , значение косинуса с помощью math.cos () и значение тангенса с помощью math.загар () . Модуль math также предоставляет функции для вычисления арксинуса с помощью math.asin () , арккосинуса с math.acos () и арктангенса с помощью math.atan () . Наконец, вы можете вычислить гипотенузу треугольника, используя math.hypot () .

Новые дополнения к математическому модулю

в Python 3.8

С выпуском Python версии 3.8 в модуль math было внесено несколько новых дополнений и изменений.Новые дополнения и изменения заключаются в следующем:

  • comb (n, k) возвращает количество способов выбора k элементов из n элементов без повторения и без определенного порядка .

  • perm (n, k) возвращает количество способов выбора k элементов из n элементов без повторения и с порядком .

  • isqrt () возвращает целочисленный квадратный корень неотрицательного целого числа.

  • prod () вычисляет произведение всех элементов во входной итерации. Как и в случае с fsum () , этот метод может принимать итерации, такие как массивы, списки или кортежи.

  • dist () возвращает евклидово расстояние между двумя точками p и q , каждая из которых задана как последовательность (или итерация) координат. Две точки должны иметь одинаковый размер.

  • hypot () теперь обрабатывает более двух измерений.Ранее он поддерживал максимум два измерения.

cmath vs math

Комплексное число - это комбинация действительного и мнимого числа. Он имеет формулу a + bi , где a - действительное число, а bi - мнимое число. Действительные и мнимые числа можно объяснить следующим образом:

  • Действительное число - это буквально любое число, которое вы можете придумать.
  • Мнимое число - это число, возведение которого в квадрат дает отрицательный результат.

Действительным числом может быть любое число. Например, 12, 4,3, -19,0 ​​- все действительные числа. Мнимые числа отображаются как i . На следующем изображении показан пример комплексного числа:

.
Комплексное число

В приведенном выше примере 7 - действительное число, а 3i - мнимое число. Комплексные числа в основном используются в геометрии, исчислении, научных расчетах и ​​особенно в электронике.

Функции модуля Python math не приспособлены для обработки комплексных чисел. Однако Python предоставляет другой модуль, который может специально работать с комплексными числами, модуль cmath . Модуль Python math дополняется модулем cmath , который реализует многие из тех же функций, но для комплексных чисел.

Вы можете импортировать модуль cmath следующим образом:

Поскольку модуль cmath также входит в пакет Python, вы можете импортировать его так же, как вы импортировали модуль math .Прежде чем работать с модулем cmath , вы должны знать, как определить комплексное число. Вы можете определить комплексное число следующим образом:

>>>

  >>> c = 2 + 3j
>>> c
(2 + 3j)

>>> тип (c)
<класс 'сложный'>
  

Как видите, вы можете определить, что число действительно сложное, используя тип () .

Примечание: В математике мнимая единица обычно обозначается i . В некоторых полях более привычно использовать j для того же самого.В Python вы используете j для обозначения мнимых чисел.

Python также предоставляет специальную встроенную функцию под названием complex () , которая позволяет создавать комплексные числа. Вы можете использовать комплекс () следующим образом:

>>>

  >>> c = комплекс (2, 3)
>>> c
(2 + 3j)

>>> тип (c)
<класс 'сложный'>
  

Вы можете использовать любой метод для создания комплексных чисел. Вы также можете использовать модуль cmath для вычисления математических функций для комплексных чисел следующим образом:

>>>

  >>> cmath.sqrt (c)
(1.8581072140693775 + 0.6727275964137814j)

>>> cmath.log (c)
(1,3622897515267103 + 0,6947382761967031j)

>>> cmath.exp (c)
(-16.0670844 + 12.02063434789931j)
  

В этом примере показано, как вычислить квадратный корень, логарифмическое значение и экспоненциальное значение комплексного числа. Вы можете прочитать документацию, если хотите узнать больше о модуле cmath .

NumPy против

math

Для математических вычислений можно использовать несколько известных библиотек Python.Одна из самых известных библиотек - Numerical Python или NumPy. Он в основном используется в научных вычислениях и в областях науки о данных. В отличие от модуля math , который является частью стандартной версии Python, вам необходимо установить NumPy для работы с ним.

Сердце NumPy - это высокопроизводительная структура данных массива N -мерных (многомерных) массивов. Этот массив позволяет выполнять математические операции со всем массивом без циклического перебора элементов.Все функции библиотеки оптимизированы для работы с объектами N-мерного массива.

Для математических вычислений можно использовать как модуль math , так и библиотеку NumPy. NumPy имеет несколько общих черт с математическим модулем . NumPy имеет подмножество функций, подобных математическим функциям модуля , которые имеют дело с математическими вычислениями. И NumPy, и math предоставляют функции, которые имеют дело с тригонометрическими, экспоненциальными, логарифмическими, гиперболическими и арифметическими вычислениями.

Есть также несколько фундаментальных различий между math и NumPy. Модуль Python math больше ориентирован на работу со скалярными значениями, тогда как NumPy лучше подходит для работы с массивами, векторами и даже матрицами.

При работе со скалярными значениями функции модуля math могут быть быстрее, чем их аналоги в NumPy. Это связано с тем, что функции NumPy преобразуют значения в массивы под капотом, чтобы выполнять над ними вычисления.NumPy работает намного быстрее при работе с размерными массивами N из-за оптимизации для них. За исключением fsum () и prod () , функции модуля math не могут обрабатывать массивы.

Заключение

Из этой статьи вы узнали о модуле Python math . Модуль предоставляет полезные функции для выполнения математических вычислений, которые имеют множество практических приложений.

Из этой статьи вы узнали:

  • Что такое математический модуль Python
  • Как использовать math функций с практическими примерами
  • Какие константы математического модуля , включая пи, тау и число Эйлера, равны
  • В чем разница между встроенными функциями и математическими функциями являются
  • В чем разница между math , cmath и NumPy:

Понимание того, как использовать математические функции - это первый шаг.Пришло время применить полученные знания в реальных жизненных ситуациях. Если у вас есть какие-либо вопросы или комментарии, оставьте их в разделе комментариев ниже.

Solveset - документация SymPy 1.8

Функция для решения трансцендентных уравнений. Это помощник
Набор решений и должен использоваться для внутренних целей. _transolve
в настоящее время поддерживает следующий класс уравнений:

  • Экспоненциальные уравнения

  • Логарифмические уравнения

Параметры

f : Любое трансцендентное уравнение, которое необходимо решить.

Это должно быть выражение, которое предполагается
быть равным 0 .

символ : переменная, для которой решается уравнение.

Это должен быть класс , символ .

домен : набор, по которому решается уравнение.

Это должен быть класс Установить .

Возврат

Набор

Набор значений для символа , для которого f равно
нуль. EmptySet возвращается, если f не имеет решений
в соответствующем домене. ConditionSet возвращается как нерешенный
объект, если алгоритмы для оценки полного решения не
пока не реализовано.

Как использовать _transolve

_transolve не следует использовать как независимую функцию, потому что
предполагается, что уравнение ( f ) и символ происходят из
Набор решений и, возможно, претерпел несколько модификаций.Чтобы использовать _transolve в качестве независимой функции, уравнение ( f )
и символ должен быть передан, как если бы они были
набор решений .

Примеры

 >>> from sympy.solvers.solveset import _transolve as transolve
>>> from sympy.solvers.solvers import _tsolve as tsolve
>>> из символов импорта sympy, S, pprint
>>> x = symbols ('x', real = True) # добавлено предположение
>>> transolve (5 ** (x - 3) - 3 ** (2 * x + 1), x, S.Реалы)
FiniteSet (- (журнал (3) + 3 * журнал (5)) / (- журнал (5) + 2 * журнал (3)))
 

Как работает _transolve

_transolve использует два типа вспомогательных функций для решения уравнений
определенного класса:

Определение помощников: чтобы определить, подходит ли данное уравнение
принадлежит определенному классу уравнений или нет. Возврат либо
Истинно или Ложно .

Помощники по решению: после того, как уравнение определено, соответствующее
помощник либо решает уравнение, либо возвращает форму уравнения
что набор решений может лучше справиться.

Цель _transolve - взять уравнения, которые не являются
уже полиномиальны в своем генераторе (ах) и либо переделать их
как таковые посредством действительного преобразования или для их прямого решения.
Пара вспомогательных функций для каждого класса поддерживаемых
Для этого используются трансцендентные функции. Один
определяет трансцендентную форму уравнения, а другой
либо решает ее, либо преобразует ее в удобную форму, которая может быть
решено с помощью набора решений .{g (x)} = 0 \)
можно преобразовать в
\ (\ журнал (а) + е (х) \ журнал (б) - \ журнал (с) - г (х) \ журнал (г) = 0 \)
(при определенных предположениях), и это может быть решено с помощью набора решений
если \ (f (x) \) и \ (g (x) \) находятся в полиномиальной форме.

Чем _transolve лучше, чем _tsolve

  1. Лучшая производительность

_transolve предоставляет выражения в более упрощенной форме.

Рассмотрим простое экспоненциальное уравнение

 >>> f = 3 ** (2 * x) - 2 ** (x + 3)
>>> pprint (transolve (f, x, S.Reals), use_unicode = False)
    -3 * журнал (2)
{------------------}
 -2 * журнал (3) + журнал (2)
>>> pprint (tsolve (f, x), use_unicode = False)
     / 3 \
     | -------- |
     | журнал (2/9) |
[-log \ 2 /]
 
  1. Расширяемый

API _transolve разработан таким образом, что его легко
расширяемый, то есть код, который решает данный класс
уравнения заключены в помощник и не смешиваются с
сам код _transolve .

  1. Модульный

_transolve разработан как модульный, т.е. для каждого класса
уравнение отдельным помощником для идентификации и решения является
реализовано. Это позволяет легко изменять или модифицировать любой из
метод реализован прямо в хелперах, не мешая
с фактической структурой API.

  1. Более быстрые вычисления

Решение уравнения с помощью _transolve выполняется намного быстрее по сравнению с
_tsolve решайте , предпринимаются попытки вычислить все возможные
чтобы получить решения. Эта серия попыток немного усложняет решение.
медленный. В _transolve вычисление начинается только после определенного
определяется тип уравнения.

Как добавить новый класс уравнений

Добавление нового класса решателя уравнений представляет собой трехэтапную процедуру:

  • Определите тип уравнений

    Определите тип класса уравнений, к которому они принадлежат:
    это может быть , добавить , Pow, и т. д.типы. Отдельные внутренние функции
    используются для каждого типа. Напишите помощников по идентификации и решению
    и использовать их из подпрограммы для данного типа уравнения
    (при необходимости после добавления). Что-то вроде:

     def add_type (lhs, rhs, x):
        ....
        если _is_exponential (lhs, x):
            new_eq = _solve_exponential (левый, правый, х)
    ....
    rhs, lhs = eq.as_independent (x)
    если lhs.is_Add:
        результат = add_type (lhs, rhs, x)
     
  • Определите помощника по идентификации.

  • Определите помощника по решению.

Кроме этого, необходимо позаботиться о некоторых других вещах, пока
добавление решателя уравнений:

  • Условные обозначения:
    Имя помощника по идентификации должно быть как
    _is_class где класс будет именем или сокращением
    класса уравнения. Помощник по решению будет называться
    _solve_class .
    Например: для экспоненциальных уравнений это становится
    _is_exponential и _solve_expo .

  • Идентифицирующие помощники должны принимать два входных параметра,
    проверяемое уравнение и переменная, для которой решение
    ищется, а помощники по решению потребуют дополнительных
    параметр домена.

  • Обязательно учитывайте угловые случаи.

  • Добавьте тесты для каждого помощника.

  • Добавьте в помощник строку документации, описывающую метод
    реализовано.
    В документации помощников следует указать:

    • цель помощника,

    • метод, используемый для идентификации и решения уравнения,

    • доказательство правильности

    • возвращаемые значения помощников

(PDF) Точное моделирование двухдиодной модели фотоэлектрического модуля с использованием гибридного решения, основанного на дифференциальной эволюции

Превосходная производительность алгоритма

в первую очередь объясняется рядом факторов.Во-первых, большие значения F и

CR способствуют хорошему разнообразию и исследованию популяции. Это

помогает предотвратить попадание алгоритма в ловушку локальных оптико-

мам [40]. Во-вторых, реализация штрафной функции,

, т.е. (5) и применение ограничений по формуле. (18) убедитесь, что параметры

всегда находятся в пределах их физических диапазонов. В-третьих, схема индивидуального отбора

DE гарантирует, что любой вектор, проигравший одиночное соревнование

, будет немедленно исключен из популяции -

; поэтому только самые лучшие решения могут участвовать в

следующего поколения.В совокупности эти факторы способствуют созданию

высокоточных и согласованных решений с высокой скоростью сходимости.

Признано, что по сравнению с аналитическими методами, эволюционные методы

(включая DE) требуют более длительного вычислительного времени

. Этого следовало ожидать из-за поисковой природы ритма algo-

. Кроме того, случайные числа участвуют в формуле -

уравнений EA - поэтому выполнение происходит медленнее.Несмотря на этот факт

, при наличии доступной высокой вычислительной мощности предложенный метод

можно считать жизнеспособным с точки зрения точности

.

6. Заключение

В этой статье представлен точный гибридный метод расчета для двухдиодной модели

. Значения I

PV

, I

o1

, I

o2

и R

p

вычислены аналитически

, тогда как остальные параметры

оптимизированы с использованием DE.Точность метода моделирования проверена с использованием экспериментальных данных трех различных типов модулей PV

, то есть монокристаллических, поликристаллических, тонких пленок при

различных уровнях освещенности и температуры. Кроме того, производительность

предложенного метода оценивается по сравнению с популярными вычислительными методами для двухдиодной модели. Предложенный метод

оказывается более точным, когда

подвергается различным изменениям окружающей среды.В частности, значительная разница в точности очевидна в условиях низкой освещенности, где

RMSE предложенной модели измеряется на порядок величин на

ниже, чем у других методов. Предполагается, что предложенный метод

будет очень полезным инструментом для приложений моделирования

катионов, где требуется точная модель фотоэлектрического модуля.

Благодарность

Авторы выражают благодарность Universiti Teknologi Malaysia

и Министерству высшего образования Малайзии за предоставление помещений

и финансовую поддержку (грант исследовательского университета №

2509.06H78) для проведения исследования.

Ссылки

[1] Ishaque K, Salam Z, Taheri H. Простая, быстрая и точная двухдиодная модель для фотоэлектрических модулей

. Sol Energy Mater Sol Cells 2011; 95: 586–94.

[2] Исхак К., Салам З., Тахери Х. Точный симулятор фотоэлектрической системы MATLAB simulink

, основанный на двухдиодной модели. J Power Electr 2011; 11: 179–87.

[3] Чин В.Дж., Салам З., Исхак К. Точный расчет двухдиодной модели для тонкопленочного фотоэлектрического модуля CIS

с использованием гибридного подхода.В кн .: Электроэнергия и энергия

системы преобразования (EPECS), 2015 4-я международная конференция, посвященная 2015. с.

1–6.

[4] Лоренц Э., Хурка Дж., Хайнеманн Д., Бейер Х.Г. Прогноз освещенности для

прогнозирования мощности фотоэлектрических систем, подключенных к сети. IEEE J Sel Top Appl

Earth Observat Remote Sens 2009; 2: 2–10.

[5] Алмактар ​​М., Абдул Рахман Х., Хассан М.Ю., Саех И. Искусственная нейронная сеть -

Оценка температуры фотоэлектрического модуля на основе

для тропического климата

Малайзии и ее влияние на выработку энергии фотоэлектрической системой.Prog

Photovoltaics Res Appl 2015; 23: 302–18.

[6] Рахман М.М., Хасануззаман М., Рахим Н.А. Влияние различных параметров на мощность и КПД фотоэлектрического модуля

. Energy Convers Manage 2015; 103: 348–58.

[7] Barukc

ˇic

´M, C

´orluka V, Mikloševic

´K. Зависимая математическая модель от освещенности и температуры

для оценки характеристик фотоэлектрической панели

. Energy Convers Manage 2015; 101: 229–38.

[8] Ватау Д., Мусурои С., Барбулеску С., Бабеску М. Моделирование фотоэлектрических систем и оптимальное управление

. Energy Convers Manage 2014; 84: 448–56.

[9] Бабу BC, Гурджар С. Новая упрощенная двухдиодная модель фотоэлектрического модуля

. IEEE J Photovoltaics 2014; 4: 1156–61.

[10] Чин В.Дж., Салам З., Исхак К. Моделирование ячеек и оценка параметров модели

Методы применения фотоэлектрического симулятора: обзор. Appl Energy

2015; 154: 500–19.

[11] Эльбасет А.А., Али Х., Абд-Эль Саттар М. Новая семипараметрическая модель для фотоэлектрических модулей

. Sol Energy Mater Sol Cells 2014; 130: 442–55.

[12] Hejri M, Mokhtari H, Azizian MR, Ghandhari M, Soder L. О выделении параметра

пятипараметрической двухдиодной модели фотоэлементов и модулей

. IEEE J Photovoltaics 2014; 4: 915–23.

[13] Вольф М., Ноэль Г.Т., Стирн Р.Дж. Исследование двойной экспоненты в вольт-амперных характеристиках солнечных кремниевых элементов

.IEEE Trans Electron

Devices 1977; ED-24: 419–28.

[14] Исхак К., Салам З., Мехилеф С., Шамсудин А. Определение параметров солнечных фотоэлектрических модулей

с использованием дифференциальной эволюции на основе штрафов. Appl Energy

2012; 99: 297–308.

[15] Гоу Дж. А., Мэннинг CD. Разработка модели фотоэлектрической матрицы для использования в исследованиях моделирования силовой электроники

. IEE Proc-Electr Power Appl

1999; 146: 193–200.

[16] Лун С.-Х, Ван С., Ян Г.-Х, Го Т-Т.Новый метод явного моделирования двойных диодов

, основанный на W-функции Ламберта для фотоэлектрических решеток. Sol Energy

2015; 116: 69–82.

[17] Исхак К., Салам З. Усовершенствованный метод моделирования для определения параметров модели

фотоэлектрических (PV) модулей с использованием дифференциальной эволюции (DE). Сол

Энергия 2011; 85: 2349–59.

[18] Цзин Джун С., Кей-Сун Л. Идентификация фотоэлектрической модели с использованием роя частиц

Оптимизация с ограничением обратного барьера.IEEE Trans Power Electron

2012; 27: 3975–83.

[19] Хасаниен Х.М. Измененный алгоритм прыжка лягушки для идентификации фотоэлектрической модели

. IEEE Trans Sustain Energy 2015; 6: 509–15.

[20] Алам Д.Ф., Юсри Д.А., Этейба МБ. Алгоритм опыления цветов на основе оценки параметров солнечной PV

. Energy Convers Manage 2015; 101: 410–22.

[21] Исмаил М.С., Могаввеми М., Махлия ТМИ. Характеристика панели PV и глобальная оптимизация параметров модели

с использованием генетического алгоритма.Энергия

Convers Manage 2013; 73: 10–25.

[22] Niu Q, Zhang L, Li K. Алгоритм оптимизации на основе биогеографии с

стратегиями мутации для оценки параметров модели солнечных и топливных элементов.

Energy Convers Manage 2014; 86: 1173–85.

[23] Barukc

ic

´M, Hederic

´Z

ˇ, Špoljaric

´Z

ˇ. Оценка ВАХ фотоэлектрической панели

с использованием ВАХ производителей и стратегии эволюции.Energy Convers

Manage 2014; 88: 447–58.

[24] Аскарзаде А., дос Сантос Коэльо Л. Определение параметров фотоэлектрических модулей

в различных рабочих условиях с использованием нового подхода к оптимизатору спаривания птиц

. Energy Convers Manage 2015; 89: 608–14.

[25] Го Л., Мэн З., Сунь Й., Ван Л. Определение параметров и анализ чувствительности

моделей солнечных элементов с алгоритмом оптимизации кошачьего стая. Energy Convers

Manage 2016; 108: 520–8.

[26] Исхак К., Салам З., Тахери Х., Шамсудин А. Критическая оценка вычислительных методов EA

для извлечения параметров фотоэлектрических элементов на основе модели с двумя диодами

. Sol Energy 2011; 85: 1768–79.

[27] Хасан М.А., Парида СК. Обзор моделирования солнечных фотоэлектрических панелей на основе

с аналитической и экспериментальной точки зрения. Renew Sustain Energy Ред.

2016; 60: 75–83.

[28] Джейкоб Б., Баласубраманиан К., Бабу Т.С., Раджасекар Н.Извлечение параметров модели с двойным диодом солнечных панелей

с использованием искусственной иммунной системы. В: 2015 Международная конференция IEEE

по обработке сигналов, информатике, связи

и энергетическим системам (SPICES). п. 1–5.

[29] Цзян Л.Л., Маскелл Д.Л., Патра Дж.С. Оценка параметров солнечных элементов и модулей

с использованием улучшенного адаптивного алгоритма дифференциальной эволюции. Appl Energy

2013; 112: 185–93.

[30] Gong W, Cai Zhihua. Извлечение параметров моделей солнечных элементов с использованием восстановленной

адаптивной дифференциальной эволюции.Сол Энерджи 2013; 94.

Рис. 7. Скорость сходимости предложенного алгоритма за 100 отдельных прогонов.

V.J. Чин и др. / Преобразование энергии и управление 124 (2016) 42–50 49

Все модули бакалавриата | Кафедра политологии

POLS0001 Международный конфликт и сотрудничество

Этот модуль знакомит студентов с основными теоретическими традициями международных отношений (IR).Он использует эти различные теоретические подходы, чтобы пролить свет на исторические и текущие события мировой политики. Модуль направлен на то, чтобы связать теорию и «реальный мир», предоставляя студентам различные точки зрения для понимания и объяснения вопросов, связанных с войной (войнами), ядерным оружием, терроризмом, глобализацией и экологическими проблемами.

POLS0002 Демократия и авторитаризм

Этот модуль представляет собой введение в сравнительную политику: изучение внутренней политики в разных странах.Сравнительная политика подчеркивает сходства и различия между политическими системами государств, как важное содержание о том, как политика проводится во всем мире, так и как метод понимания общих политических процессов. Модуль будет охватывать формальные политические институты и аспекты гражданского общества, общественное отношение и политическую культуру, а также то, как они взаимодействуют для достижения политических и политических результатов.

POLS0016 Британская политика

Этот модуль знакомит студентов со структурой британской политической системы и практическим функционированием британской политики.Он начинается с изучения социальных основ политики в Великобритании, изучения роли различных национальных идентичностей, а также классовой, гендерной и этнической принадлежности. Он также дает широкий обзор основных институтов и участников британской системы, помещая их в сравнительный контекст.

POLS0019 Международная безопасность

В этом модуле рассматриваются основные дебаты в области международной безопасности. Многие важные вопросы международной политики связаны с применением или угрозой применения военной силы и политического насилия, а также с небезопасностью, которую эта угроза представляет для государств, сообществ и отдельных лиц.Этот модуль познакомит студентов с ключевыми вопросами в области международной безопасности, а также с теоретическими и эмпирическими подходами, которые ученые используют для ответа на них, исследуя ряд современных проблем международной безопасности.

POLS0020 Политика Европейского Союза

Этот модуль разработан, чтобы вооружить студентов глубоким эмпирическим пониманием, теоретическими знаниями и аналитическими навыками, необходимыми для понимания, обсуждения и оценки того, как работает Европейский Союз и его основные политические процессы.Студенты получат конкретные знания об истории и структуре Европейского Союза и разовьют образ мышления, который позволит им более критически исследовать другие современные политические вопросы.

POLS0021 Международное развитие и государственная политика

Этот модуль исследует, как идеи о развитии помогают нам понять, как мир делится на богатых и бедных. Мы критически исследуем идею о том, что мир можно понимать как состоящий из богатых, промышленно развитых «развитых» стран (или глобального «Севера») и более бедного «большинства мира» (или глобального «Юга»), и - используя критический подход к процессам развития - подчеркнем взаимодействие политики с обществом, культурой и экономикой.

POLS0022 Гендер и политика

Модуль дает обзор ключевых тем в политике и гендере. Исследуются история феминизма и основные феминистские и гендерные теории, а также влияние гендера на «политическую» деятельность и способы разработки государственной политики, учитывающей гендерные аспекты, в основном в национальном контексте. Он рассматривает, что составляет «политическую» деятельность, как представлены интересы женщин, имеет ли значение пол наших политических представителей, как гендерные аспекты политических институтов.

POLS0023 Глобальная экологическая политика

Этот модуль знакомит студентов с основными темами и проблемами изучения глобальной экологической политики. Модуль начинается с описания того, почему возникают (глобальные) экологические проблемы, а также как и при каких условиях они могут быть решены. Затем в нем исследуются процессы международного экологического руководства: выявление проблем / формулирование политики, разработка и согласование многосторонних экологических режимов, а также реализация и обеспечение соблюдения международного экологического права и политики.

POLS0027 Права человека и мировая политика

Права человека и глобальная политика тесно связаны. Этот модуль познакомит студентов с этими отношениями, исследуя некоторые из наиболее сложных и противоречивых проблем, стоящих перед правами человека, которые находятся на стыке международного права прав человека и международной политики.

POLS0030 Этика преступления и наказания

В этом модуле исследуется, что, возможно, является парадигматическим проявлением государственной власти: решение криминализировать какое-то поведение и, соответственно, наказывать тех, кто этим занимается.Зачем государству такая могучая власть? В чем собственно цель уголовного наказания? Какие виды наказания следует применять? Какие реформы системы уголовного правосудия в существующих государствах необходимы с моральной точки зрения? Какие действия следует криминализировать?

POLS0032 Власть, демократия и сопротивление

Многие люди считают, что граждане, и особенно граждане демократических государств, обязаны признавать авторитет закона, поддерживать и соблюдать институты своего государства.В этом модуле вы подробно изучите это предположение с разных точек зрения. Вы будете участвовать в недавних философских дискуссиях о природе политической власти, о легитимности демократии и об обязанности противостоять государственной несправедливости.

POLS0033 Философия, ценности и социальные науки

Этот модуль исследует взаимодействие между ценностями и социальными науками. Он спрашивает, как социальные науки находятся или должны находиться под влиянием ценностей, и как моральная или политическая философия должна включать в себя открытия социальных наук.Курс преследует две основные цели: во-первых, стимулировать критическое осмысление методологии социальных наук и, во-вторых, исследовать взаимосвязь между нормативной философией и социальными науками.

POLS0034 Британские парламентские исследования

Этот модуль знакомит студентов с работой британского парламента (как Палаты общин, так и Палаты лордов). Единственно, что она проводится совместно с парламентскими властями, а часть преподается в самом парламенте.Помимо академического изучения различных аспектов парламентских процессов, он включает в себя контакт с практиками и введение в парламентские исследования в рамках совместного исследовательского проекта.

POLS0035 Стратегии терроризма

Модуль о причинах, динамике и последствиях терроризма, а также о том, как мы можем эмпирически изучить их. Таким образом, студенты будут ознакомлены не только с основными теоретическими дискуссиями и эмпирическими выводами в исследовании терроризма, но и с конкретным процессом его эмпирического научного исследования.Он не будет охватывать так называемые «критические» подходы к терроризму или нормативные / этические вопросы, касающиеся (борьбы) с терроризмом.

POLS0038 Дискурсы и практика международного развития

Этот модуль исследует, как дискурсы о развитии делят мир на богатых и бедных. Мы критически исследуем идею о том, что мир можно понимать как состоящий из богатых, промышленно развитых «развитых» стран (или глобального «Севера») и более бедного «большинства мира» (или глобального «Юга»), и исследуем историю, гендерная и расовая принадлежность этой идеи.Основное внимание будет уделено тому, как представляет развитие, кем и с какими последствиями. Особое внимание уделим политике этих представительств.

POLS0039 Глобальные экономические и социальные права

Этот модуль знакомит учащихся с тем, что такое экономические и социальные права, и дает различные объяснения того, откуда эти права берутся. Мы кратко рассмотрим расширение того, что составляет экономические и социальные права, и включение этих прав в международное право со времен Второй мировой войны.Мы спросим, ​​почему правительства различаются в своих усилиях по реализации экономических и социальных прав своих граждан, и попытаемся понять, какие политические преимущества получают правительства посредством реализации этих прав или в противном случае.

POLS0041 Политика экономической политики в странах постиндустриальной демократии

Этот модуль знакомит студентов с изучением сравнительной политической экономии: политики разработки экономической политики в СТРАННЫХ (западных, образованных, промышленно развитых, богатых, демократических) странах.В модуле рассматриваются темы, теории и методы взаимодействия политики и экономики в странах с развитой демократией с целью понять различия в экономической политике и производительности и лучше понять причины и последствия этих изменений.

POLS0043 / 0045 Международная политическая экономия

Этот модуль представляет собой введение в изучение международной политической экономии (IPE). IPE - это область исследований, которая объединяет изучение политики и экономики, исследуя как международные, так и внутренние факторы, влияющие на предпочтения, поведение и политику.Темы включают политику и политику, относящиеся к международной торговле и инвестициям, а также способы, которыми на них влияют как внутренние, так и международные институты. Студенты смогут изучить как теоретические, так и эмпирические работы в этих и других областях.

PUBL0056 Регулирование крупного бизнеса

Этот модуль разработан, чтобы помочь студентам понять, как регулирование бизнеса работает в глобальной экономике. Мы исследуем, почему регулирование переходит с внутреннего на международный уровень, кто этого требует, кто его поставляет, какое влияние международные режимы регулирования оказывают на выполнение нормативных требований внутри страны и как мы оцениваем общие последствия таких нормативных актов.

POLS0065 Войны и насилие

В последние годы ведутся дискуссии об окончании войны, хотя для миллионов людей во всем мире войны и насилие являются частью их повседневной жизни - с последствиями далеко за пределами границ раздираемых войной государств. Этот модуль знакомит студентов с основными тенденциями в войне (типы войн, участники, участвующие в войнах, цели в войнах, финансирование войны, технологии ведения войны), теориями, объясняющими эти тенденции, взаимосвязью между войной и государственным строительством, а также этическими вопросами. о том, как ведутся войны.

POLS0066 Избиратели, общественное мнение и участие в политической жизни

В этом курсе рассматриваются ключевые дискуссии в очень широкой литературе по электоральному и политическому поведению в демократических государствах. Мы рассматриваем такие темы, как: почему и когда граждане становятся вовлеченными в политику и получают информацию о ней; почему, когда и как граждане голосуют и иным образом участвуют в политике; как граждане думают о партиях, политических вопросах и политически значимых социальных группах; и как эти различные формы политического поведения формируются политическим контекстом и институтами.

POLS0072 Распространение конфликта в международных отношениях

Этот модуль направлен на развитие понимания учащимися основных тем и дискуссий в современном исследовании распространения и распространения конфликтов.

POLS0074 Религия и политика

Этот курс предназначен для ознакомления студентов с изучением взаимосвязи между религией и политикой. Курс будет построен вокруг ключевых областей исследования в этой области, таких как условия, в которых общества или институты, которые ими управляют, становятся секуляризованными, возникновение и сохранение религиозно-светского разделения как заметного политического раскола, формирование и электоральная эффективность общества. религиозные партии и отношения между религией и типом режима, среди прочего.

POLS0075 Демократия, гражданство и конституции

Этот курс исследует природу и ценность демократии, а также различные роли, которые играют граждане и конституции в ее поддержании. Студенты будут исследовать различные обоснования демократии, проблемы определения того, кто является гражданами, каковы их права и обязанности, как они должны быть представлены и какие правила принятия решений и процедура голосования лучше всего отражают их коллективные взгляды.Мы также изучим способы взаимодействия права и политики, а также роль конституций и судебного надзора в формировании законодательного процесса.

POLS0076 Правительство США

Этот модуль знакомит студентов с американским правительством с упором на политическую культуру, институты и политику США. Особое внимание будет уделено историческому и интеллектуальному развитию американской политической системы и ее эволюции до наших дней.

POLS0079 Политика Ближнего Востока

Этот модуль исследует основные дебаты, особенности и проявления ближневосточной политики в двадцатом и двадцать первом веках. Мы будем рассматривать Ближний Восток как регион мира, который постоянно влияет на международный порядок в целом. В то же время мы будем исследовать Ближний Восток не как единое политическое проявление, а как разнообразный и динамичный регион.

POLS0080 Миграция, политика и политика

Кто мигрирует, почему они перемещаются и каковы последствия? Этот модуль исследует политическую экономию миграции (принудительной и иной) в 21 веке. Более десяти недель студенты будут знакомиться с литературой по политологии, экономике, политико-психологическим исследованиям и исследованиям миграции, посвященным текущим дебатам о миграции и миграционной политике.

POLS0088 Теории международных отношений

Это вводный курс на уровне бакалавриата по основным идеям международных отношений (IR).Помимо основных подходов, таких как реализм, конструктивизм и либерализм, мы также исследуем постколониальные / деколониальные перспективы изучения мировой политики. Студенты будут изучать случаи конфликта, дипломатии и роли негосударственных субъектов и крупных институтов, таких как ООН.

НЕ РАБОТАЕТ В 2021/22 г. POLS0026 Международные организации

Как возникает международное сотрудничество и конфликты? Как и почему государства формируют институты, которые ограничивают или поощряют межгосударственное поведение? Модуль фокусируется на основных теориях и концепциях межгосударственного сотрудничества и институтов.Он знакомит студентов с основными учреждениями в области окружающей среды, прав человека и глобальных рынков и завершается обсуждением роли, которую международные организации могут играть в содействии миру и сдерживании вооруженных конфликтов.

НЕ РАБОТАЕТ В 2021/22 POLS0028 Политика благосостояния

Цель этого модуля - познакомить студентов с базовой структурой современных государств всеобщего благосостояния и основными теоретическими подходами, объясняющими их политику.С этой целью класс обычно описывает развитие европейских государств всеобщего благосостояния и обсуждает возникновение различных типов государств всеобщего благосостояния.

НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ В 2021/22 ГОДУ POLS0036 Анализ и оценка политики

Этот междисциплинарный модуль знакомит студентов с методами количественной оценки и их использованием в анализе политики в области социальных наук. В модуле особое внимание будет уделено применению экспериментальных и квазиэкспериментальных методов оценки в «реальном мире» и их потенциальному влиянию на политику правительства.Студенты узнают о ключевых элементах методов оценки и смогут критически оценить свои сильные и слабые стороны. Модуль имеет высокий практический элемент, студенты регулярно анализируют данные с использованием R.

.

НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ В 2021/22 ГОДУ POLS0037 Демократические вызовы и инновации

Этот модуль помогает учащимся участвовать в текущих дебатах о предполагаемых неудачах современных демократических систем и о реформах, которые иногда предлагаются для их устранения.Он фокусируется на проблемах и предложениях по реформе в «устоявшихся» демократиях, а не в новых или хрупких демократиях - хотя многие из обсуждений вполне могут иметь отношение и к последним - и фокусируется на некоторых из основных (предполагаемых) проблем, с которыми сталкиваются современные демократии и ряд (предлагаемых) решений этих проблем.

angular - RouterModule.forRoot дважды вызывается

Я пытаюсь реализовать отложенную загрузку в своем приложении, но, похоже, сталкиваюсь с проблемой, из-за которой я получаю сообщение об ошибке:

Ошибка: RouterModule.forRoot () вызывается дважды. Ленивые загружаемые модули должны
используйте вместо этого RouterModule.forChild ().

Итак, у меня есть основной app-routing.module.ts , а также app-module.ts , который выглядит следующим образом:

  // Внешние зависимости
импортировать {BrowserModule} из '@ angular / platform-browser';
импортировать {NgModule} из '@ angular / core';
импортировать {HttpClientModule} из '@ angular / common / http';
импортировать {FormsModule, ReactiveFormsModule} из '@ angular / forms';
импортировать {BrowserAnimationsModule} из '@ angular / platform-browser / animations';

// Внутренние зависимости
импортировать {MaterialModule} из '../app/configuration/material/material.module ';
импортировать {SharedModule} из '../app/application/shared/shared.module';
импортировать {RoutingModule} из '../app/configuration/routing/routing.module';
импортировать {SettingsModule} из '../app/application/settings/settings.module';

импортировать {AppComponent} из './app.component';

импортировать {SearchService} из './application/shared/services/search.service';

@NgModule ({
  объявления: [AppComponent],
  импорт: [
    BrowserAnimationsModule,
    BrowserModule,
    SharedModule,
    RoutingModule,
    МатериалМодуль,
    HttpClientModule,
    FormsModule,
  ],
  провайдеры: [],
  бутстрап: [AppComponent]
})

класс экспорта AppModule {}
  
  // Внешние зависимости
импортировать {NgModule} из '@ angular / core';
импортировать {CommonModule} из '@ angular / common';
импортировать {RouterModule, Routes} из '@ angular / router';
импортировать {HttpModule} из '@ angular / http';

const appRoutes: Routes = [
  {path: '', redirectTo: 'overview', pathMatch: 'full'},
  {путь: 'обзор', loadChildren: '../../application/overview/overview.module#OverviewModule '},
  {путь: 'search', loadChildren: '../../application/search/search.module#SearchModule'},
  {путь: 'policy /: id', loadChildren: '../../application/policy/policy.module#PolicyModule'},
  {путь: 'заявка /: идентификатор', loadChildren: '../../application/claim/claim.module#ClaimModule'},
  {путь: 'настройки', loadChildren: '../../application/settings/settings.module#SettingsModule'}
];

@NgModule ({
  импорт: [
    CommonModule,
    RouterModule.forRoot (appRoutes)
  ],
  экспорт: [
    МаршрутизаторМодуль
  ],
  объявления: []
})

экспортный класс RoutingModule {}
  

Это работает нормально, и приложение правильно загружается. Проблема здесь в том, что в SharedModule появились компоненты для перенаправления пользователя с помощью routerLink на новую страницу.

  // Внешние зависимости
импортировать {NgModule} из '@ angular / core';
импортировать {CommonModule} из '@ angular / common';
импортировать {FormsModule, ReactiveFormsModule} из '@ angular / forms';
импортировать {CalendarModule} из primeng / calendar;
импортировать {AgmCoreModule} из '@ agm / core';
импортировать {FroalaEditorModule, FroalaViewModule} из 'angular-froala-wysiwyg';
импортировать {PdfViewerModule} из 'ng2-pdf-viewer';

// Внутренние зависимости
импортировать {MaterialModule} из '../../configuration/material/material.module ';
импортировать {RoutingModule} из '../../configuration/routing/routing.module';

импортировать {NavbarTopComponent} из '../../application/shared/components/navbar-top/navbar-top.component';
импортировать {NavbarSideComponent} из './components/navbar-side/navbar-side.component';
импортировать {TemplateCardWComponent} из './components/template-card-w/template-card-w.component';
импортировать {FilterPipe} из './pipes/filter.pipe';
импортировать {StandardTableComponent} из './components/standard-table/standard-table.component ';
импортировать {OrderPipe} из '../shared/pipes/order.pipe';
импортировать {ActionComponent} из './components/action/action.component';
импортировать {GoogleMapComponent} из './components/google-map/google-map.component';
импортировать {HtmlEditorComponent} из './components/html-editor/html-editor.component';
импортировать {PdfViewerComponent} из './components/pdf-viewer/pdf-viewer.component';
импортировать {KeyBindingPipe} из './pipes/key-binding.pipe';
импортировать {StandardEditTableComponent} из './components/standard-edit-table/standard-edit-table.component ';

@NgModule ({
  импорт: [
    CommonModule,
    МатериалМодуль,
    RoutingModule,
    FormsModule,
    CalendarModule,
    AgmCoreModule,
    FroalaEditorModule,
    FroalaViewModule,
    PdfViewerModule
  ],
  объявления: [
    NavbarTopComponent,
    NavbarSideComponent,
    TemplateCardWComponent,
    ФильтрТрубка,
    StandardTableComponent,
    ЗаказатьТрубка,
    ActionComponent,
    GoogleMapComponent,
    HtmlEditorComponent,
    PdfViewerComponent,
    KeyBindingPipe,
    StandardEditTableComponent
  ],
  экспорт: [
  ]
})

класс экспорта SharedModule {}
  

Как видите, мне нужно импортировать RouterModule.Если я удалю RouterModule, приложение загрузится, но не перенаправит. Если я сохраню RouterModule, приложение вызовет ошибку в начале вопроса.

Может ли кто-нибудь мне помочь в этом.

ML Studio (классический): двухклассовая логистическая регрессия - Azure

  • 7 минут на чтение

В этой статье

Создает двухклассовую модель логистической регрессии

Категория: Машинное обучение / Инициализация модели / Классификация

Обзор модуля

В этой статье описывается, как использовать модуль двухклассовой логистической регрессии в Студии машинного обучения (классическая) для создания модели логистической регрессии, которую можно использовать для прогнозирования двух (и только двух) результатов.

Логистическая регрессия - это хорошо известный статистический метод, который используется для моделирования многих видов проблем. Этот алгоритм представляет собой метод контролируемого обучения ; поэтому вы должны предоставить набор данных, который уже содержит результаты для обучения модели.

Подробнее о логистической регрессии

Логистическая регрессия - это хорошо известный метод статистики, который используется для прогнозирования вероятности результата и особенно популярен для задач классификации.Алгоритм предсказывает вероятность возникновения события, подбирая данные для логистической функции. Дополнительные сведения об этой реализации см. В разделе «Технические примечания».

В этом модуле алгоритм классификации оптимизирован для дихотомических или двоичных переменных. если вам нужно классифицировать несколько результатов, используйте модуль многоклассовой логистической регрессии.

Как настроить двухклассовую логистическую регрессию

Для обучения этой модели вы должны предоставить набор данных, содержащий метку или столбец класса.Поскольку этот модуль предназначен для задач с двумя классами, метка или столбец класса должен содержать ровно два значения.

Например, столбец метки может быть [Голосовал] с возможными значениями «Да» или «Нет». Или это может быть [Кредитный риск] с возможными значениями «Высокий» или «Низкий».

  1. Добавьте модуль двухклассовой логистической регрессии в свой эксперимент в Studio (классический).

  2. Укажите, как вы хотите обучать модель, установив параметр Создать режим обучающего .

    • Отдельный параметр : Если вы знаете, как вы хотите настроить модель, вы можете указать определенный набор значений в качестве аргументов.

    • Диапазон параметров : Если вы не уверены в лучших параметрах, вы можете найти оптимальные параметры, указав несколько значений и используя модуль «Настроить гиперпараметры модели», чтобы найти оптимальную конфигурацию. Тренер перебирает несколько комбинаций настроек и определяет комбинацию значений, которая дает лучшую модель.

  3. Для Допуск оптимизации укажите пороговое значение, которое будет использоваться при оптимизации модели. Если улучшение между итерациями опускается ниже указанного порога, считается, что алгоритм пришел к решению, и обучение прекращается.

  4. Для веса регуляризации L1 и веса регуляризации L2 введите значение, которое будет использоваться для параметров регуляризации L1 и L2. Для обоих рекомендуется ненулевое значение.

    Регуляризация - это метод предотвращения переобучения путем наложения штрафов на модели с экстремальными значениями коэффициентов. Регуляризация работает путем добавления штрафа, связанного со значениями коэффициентов, к ошибке гипотезы. Таким образом, точная модель с экстремальными значениями коэффициентов будет подвергаться большему штрафу, но менее точная модель с более консервативными значениями будет наказана меньше.

    Регуляризация L1 и L2 имеет разные эффекты и использование.

    • L1 может применяться к разреженным моделям, что полезно при работе с данными большой размерности.

    • Напротив, регуляризация L2 предпочтительна для данных, которые не являются разреженными.

    Этот алгоритм поддерживает линейную комбинацию значений регуляризации L1 и L2: то есть, если x = L1 и y = L2 , то ax + by = c определяет линейный диапазон условий регуляризации.

    Примечание

    Хотите узнать больше о регуляризации L1 и L2? В следующей статье рассматривается различие регуляризации L1 и L2 и их влияние на подгонку модели с примерами кода для моделей логистической регрессии и нейронных сетей: Регуляризация L1 и L2 для машинного обучения

    Для моделей логистической регрессии были разработаны различные линейные комбинации членов L1 и L2: например, эластичная чистая регуляризация.Мы предлагаем вам ссылаться на эти комбинации, чтобы определить линейную комбинацию, которая эффективна в вашей модели.

  5. Для Размер памяти для L-BFGS укажите объем памяти, который будет использоваться для оптимизации L-BFGS .

    L-BFGS означает «ограниченная память Бройден-Флетчер-Гольдфарб-Шанно». Это алгоритм оптимизации, популярный для оценки параметров. Этот параметр указывает количество прошлых позиций и градиентов, которые необходимо сохранить для вычисления следующего шага.

    Этот параметр оптимизации ограничивает объем памяти, который используется для вычисления следующего шага и направления. Если указать меньше памяти, обучение будет быстрее, но менее точным.

  6. Для Случайное начальное число введите целое число. Определение начального значения важно, если вы хотите, чтобы результаты воспроизводились в нескольких запусках одного и того же эксперимента.

  7. Выберите параметр Разрешить неизвестные категориальные уровни , чтобы создать дополнительный «неизвестный» уровень в каждом категориальном столбце.Если вы это сделаете, любые значения (уровни) в наборе тестовых данных, которые недоступны в наборе обучающих данных, будут сопоставлены с этим «неизвестным» уровнем.

  8. Добавьте к эксперименту набор данных с тегами и подключите один из обучающих модулей.

    Примечание

    Если вы передадите диапазон параметров в Train Model, она будет использовать только первое значение в списке диапазонов параметров.

    Если вы передаете единый набор значений параметров в модуль настройки гиперпараметров модели, когда он ожидает диапазон настроек для каждого параметра, он игнорирует значения и использует значения по умолчанию для учащегося.

    Если вы выберете опцию Parameter Range и введете одно значение для любого параметра, то это единственное значение, которое вы указали, будет использоваться на протяжении всей развертки, даже если другие параметры изменяются в диапазоне значений.

  9. Запустите эксперимент.

Результаты

После завершения обучения:

  • Чтобы просмотреть сводную информацию о параметрах модели вместе с весами признаков, полученными в ходе обучения, щелкните правой кнопкой мыши выходные данные «Обучить модель» или «Настроить гиперпараметры модели» и выберите Визуализировать .

  • Чтобы делать прогнозы на основе новых данных, используйте обученную модель и новые данные в качестве входных данных для модуля Score Model.

  • Чтобы выполнить перекрестную проверку по помеченному набору данных, подключите данные и неподготовленную модель к модели перекрестной проверки.

Примеры

Примеры использования этого алгоритма обучения см. В галерее искусственного интеллекта Azure:

Технические примечания

В этом разделе содержатся сведения о реализации, советы и ответы на часто задаваемые вопросы.

Советы по использованию

Логистическая регрессия требует числовых переменных. Поэтому, когда вы используете категориальные столбцы в качестве переменных, машинное обучение внутренне преобразует значения в массив индикаторов.

Для даты и времени используется числовое представление. (Дополнительные сведения о значениях даты и времени см. В разделе Структура DateTime (.NET Framework) - Примечания.) Если вы хотите обрабатывать дату и время по-другому, мы предлагаем вам создать производный столбец.

Подробности реализации

Логистическая регрессия предполагает логистическое распределение данных, где вероятность того, что пример принадлежит классу 1, определяется формулой:

p (x; β0,…, βD-1)

Где:

  • x - это D-мерный вектор, содержащий значения всех функций экземпляра.

  • p - функция логистического распределения.

  • β {0}, ..., β {D-1} - неизвестные параметры логистического распределения.

Алгоритм пытается найти оптимальные значения для β {0}, ..., β {D-1} , максимизируя логарифмическую вероятность параметров, заданных входными данными. Максимизация выполняется с помощью популярного метода оценки параметров, называемого BFGS с ограниченным объемом памяти.

Исследования

Для получения дополнительной информации о реализации этого алгоритма см. Эндрю и Гао в разделе «Масштабируемое обучение регуляризованных лог-линейных моделей L-1».

Параметры модуля

Имя Диапазон Тип По умолчанию Описание
Допуск оптимизации > = двойной. Эпсилон Поплавок 0,0000001 Укажите значение допуска для оптимизатора L-BFGS
Вес регуляризации L1 > = 0,0 Поплавок 1,0 Укажите вес регуляризации L1
Вес регуляризации L2 > = 0.0 Поплавок 1,0 Укажите вес регуляризации L2
Объем памяти для L-BFGS > = 1 Целое число 20 Укажите объем памяти (в МБ) для использования оптимизатором L-BFGS
Начальное число случайных чисел Любая Целое число Введите значение для заполнения генератора случайных чисел, используемого моделью. Оставьте поле пустым, чтобы использовать значение по умолчанию.
Разрешить неизвестные уровни категорий Любая логический Правда Укажите, следует ли создавать дополнительный уровень для каждого категориального столбца.Любые уровни в наборе тестовых данных, которые недоступны в наборе обучающих данных, сопоставляются с этим дополнительным уровнем.

Выход

Имя Тип Описание
Необученная модель Интерфейс Iearner Неопытная классификационная модель

См.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.