Две величины называют прямо пропорциональными если при увеличении: Урок 7. прямая и обратная пропорциональность. решение задач — Математика — 6 класс

Содержание

Прямая и обратная пропорциональность. Формулы, обозначение, примеры

 

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

Виды зависимостей:

  • Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.
  • Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Зависимости также можно классифицировать по формам: функциональная и статистическая.

Функциональная зависимость между двумя переменными величинами характеризуется тем, что каждому значению одной из них соответствует вполне определенное и единственное значение другой.

В математике функциональной зависимостью переменной Y от переменной Х называют зависимость вида y = f(x), где каждому допустимому значению X ставится в соответствие по определенному правилу единственно возможное значение Y.

Статистическая зависимость — это зависимость случайных величин, когда изменение одной переменной приводит к изменению другой.

Если изменение одной из случайных величин влечет изменение среднего другой случайной величины, то статистическую зависимость называют корреляционной. Сами случайные величины, связанные корреляционной зависимостью, оказываются коррелированными.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

  • Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одно числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
  • Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

 

Чтобы повысить оценки в школе, приходите на уроки математики в онлайн-школу Skysmart. Интерактивный формат, личный учитель, карта прогресса и куча вдохновения — все, чтобы учиться было комфортно.

На бесплатном уроке расскажем, как у нас все устроено и покажем, что математика — совсем не страшная.

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

  • при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;
  • периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;
  • стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.

Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

y/x = k

Графиком прямо пропорциональной зависимости величин является прямая линия.

Например, при k = 2 график выглядит так:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

Как решаем:

 

  1. Вспомним формулу для определения пути через скорость и время: S = V * t.
  2. Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений: 70 * 2 = V * 7
  3. Найдем скорость второго автомобиля: V = 70 * 2/7 = 20

Ответ: 20 км/ч.

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?

Как рассуждаем:

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.

Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:

  • х = 1 (блогер) * 30 (раз) : 12/8 (дней).
  • х = 1 * 30 : 12/8
  • х = 20

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

 

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

  • время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;
  • при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;
  • количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.

Формула обратной пропорциональности

y = k/x

где y и x — это переменные величины,

k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

xy = k.

Графиком обратно пропорциональной зависимости величин является гипербола.

Свойства функции обратной пропорциональности:

 

  1. Область определения — множество всех действительных чисел, кроме x = 0.

    D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).

  2. Область значений — все действительные числа, кроме y = 0.

    Е(у): (-∞; 0) U (0; +∞).

  3. Не имеет наибольших и наименьших значений.
  4. Является нечетной, и ее график симметричен относительно начала координат.
  5. Непериодическая.
  6. Ее график не пересекает оси координат.
  7. Не имеет нулей.
  8. Если k > 0 (аргумент возрастает), функция пропорционально убывает на каждом из своих промежутков. Если k < 0 (аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
  9. При возрастании аргумента (k > 0) отрицательные значения функции находятся в промежутке (-∞; 0), а положительные — (0; +∞). При убывании аргумента (k < 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные — (-∞; 0).

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

Как рассуждаем:

 

  1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
  2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
  3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Как решаем:

 

  1. Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию: 30 : 24 = 5 : х
  2. Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член: х = 24 * 5 : 30; х = 4
  3. Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Как рассуждаем:

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Обозначим: =

v1 = 75 км/ч

v2 = 52 км/ч

t1 = 13 ч

t2 = х

Как решаем:

 

  1. Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.

    Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

  2. Подставим известные значения: 75/52 = t2/13

Ответ: 18 часов 45 минут.

А вот еще одна прямая зависимость: чем больше задачек решаешь — тем проще на экзаменах и контрольных. В онлайн-школе Skysmart собрали тысячи увлекательных примеров в интерактивном формате, чтобы школьники не только прокачивали знания, но и делали это с азартом и огоньком.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок математики: покажем, что учиться можно эффективно и в удовольствие.

Страница 70 №228 ГДЗ к учебнику «Алгебра» 7 класс Дорофеев, Суворова, Бунимович

Задание 228. Отрезок AB, длина которого 7 см (рис. 2.11), разделен точками K, M и P на 4 части в отношении 3 : 5 : 4 : 2. На сколько сантиметров длина отрезка AP больше длины отрезка KB?

Решение

1) 7 : (3 + 5 + 4 + 2) = 7 : 14 = 0,5 (см) − приходится на одну часть;
2) 0,5 * (3 + 5 + 4) = 0,5 * 12 = 6 (см) − длина отрезка AP;
3) 0,5 * (5 + 4 + 2) = 0,5 * 11 = 5,5 (см) − длина отрезка KB;
4) 6 − 5,5 = 0,5 (см) − длина отрезка AP больше длины отрезка KB.
Ответ: на 0,5 см.

Ответы к разделу «Чему вы научились»

Это надо знать

Задание 1. Какие величины называют прямо пропорциональными? Приведите примеры прямо пропорциональных величин. Запишите общую формулу прямо пропорциональной зависимости.

Ответ 7 гуру

Прямо пропорциональными называются такие величины, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая также уменьшается (увеличивается) во столько же раз.
Например, зависимость между пройденный расстоянием и временем при постоянной скорости движения.
Общая формула прямо пропорциональной зависимости y = kx.

Задание 2. Сформулируйте свойство прямо пропорциональных величин. Для зависимости пути от времени движения, рассмотренной в объяснительном тексте п. 2.2, назовите переменные величины, постоянную величину. Чему равно отношение соответственных значений пропорциональных величин? Чему равен коэффициент пропорциональности?

Решение

Свойство прямо пропорциональных величин: если две величины прямо пропорциональны, то отношение их соответственных значений равно одному и тому же числу − коэффициенту пропорциональности.
Переменные величины − время и путь, постоянная величина − скорость.
Отношение соответственных значений пропорциональных величин равно одному и тому же числу − коэффициенту пропорциональности.

Задание 3. Какие величины называют обратно пропорциональными? Приведите примеры обратно пропорциональных величин. Запишите общую формулу обратно пропорциональной зависимости.

Ответ

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.
Например, зависимость между временем движения и скоростью при постоянном расстоянии является обратной пропорциональностью.
Общая формула обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$

Задание 4. Сформулируйте свойство обратно пропорциональных величин. Для зависимости времени времени движения от его скорости, рассмотренной в объяснительном тексте п. 2.2, назовите переменные величины, постоянную величину. Чему равно произведение соответственных значений обратно пропорциональных величин?

Ответ

Свойство обратно пропорциональных величин: если две величины обратно пропорциональны, то произведение их соответственных значений равно одному и тому же числу.
Переменные величины − скорость и время, постоянная величина − расстояние.
Произведение соответствующих значений обратно пропорциональных величин равно коэффициенту пропорциональности.

Задание 5. Дайте определение пропорции. Приведите пример пропорции и назовите ее крайние и средние члены.

Ответ

Пропорцией называют равенство двух отношений:
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
Например:
$\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$
крайние члены: 2 и 9;
средние члены: 3 и 6.

Задание 6. Сформулируйте основное свойство пропорции. Как найти неизвестный член пропорции $\frac{a}{8} = \frac{5}{4}$?

Ответ

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции.
$\frac{a}{8} = \frac{5}{4}$
$a = \frac{5 * 8}{4} = 10$

Задание 7. Придумайте задачу на пропорциональное деление какой−либо величины.

Ответ

Сплав состоит из 2 частей олова, 5 частей свинца и 6 частей меди. Найдите массу каждого из элементов в 26 кг сплава?
Решение:
1) 26 : (2 + 5 + 6) = 26 : 13 = 2 (кг) − приходится на 1 часть;
2) 2 * 2 = 4 (кг) − олова в сплаве;
3) 5 * 2 = 10 (кг) − свинца в сплаве;
4) 6 * 2 = 12 (кг) − меди в сплаве.
Ответ: 4 кг олова, 10 кг свинца, 12 кг меди.

Это надо уметь

Задание 1. Расстояние между городами 600 км. Автомобиль выехал из одного города в другой. Запишите формулу для вычисления расстояния s, которое ему осталось проехать через t ч, если он едет со скоростью v км/ч.

Решение

1) vt (км) − проехал автомобиль;
2) 600 − vt (км) − осталось проехать автомобилю.
Ответ: s = 600 − vt.

 

Прямая и обратная пропорциональная зависимость

Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их величин остается неизменным. 

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Соответственно, при уменьшении одной из них в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.

Зависимость между такими величинами – прямая пропорциональная зависимость. Например: время прямо пропорционально расстоянию. Во сколько раз увеличится расстояние, при постоянной скорости, во столько же раз увеличится время.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Зависимость между такими величинами – обратно пропорциональная зависимость. Например: время обратно пропорционально скорости. Во сколько раз увеличится скорость, при том же расстоянии, во столько же раз уменьшится время.

Алгоритм решения задач с помощью пропорций:

  1. Неизвестное число обозначается буквой х.
  2. Условие задачи записывается в виде таблицы.
  3. Устанавливается вид зависимости между величинами.
  4. Прямо пропорциональная зависимость обозначается одинаково направленными стрелками, а обратно пропорциональная зависимость – противоположно направленными стрелками.
  5. Записывается пропорция.
  6. Находится ее неизвестный член.

Пример. Горнорудному предприятию требуется закупить на определенную сумму денег 5 новых машин по цене 120 тыс. тенге за одну. Сколько таких машин сможет купить предприятие, если цена за одну машину станет 150 тыс. тенге?

Решение: Ясно, что при увеличении стоимости одной машины, за определенную сумму денег мы сможем купить меньшее количество товара, поэтому данная зависимость обратная, составим краткое условие и выполним решение по вышеуказанному алгоритму:

\(\begin{array}{r} \downarrow \begin{array}{r} 5 \ м \ — 120\ тыс. тг. \\ x \ м \ -150\ тыс.тг. \end{array} \uparrow \end{array}\)

откуда, составив пропорцию, найдем неизвестный член пропорции:

\(\frac5{x}=\frac{150}{120}; \ x=\frac{5\cdot120}{150}=4.\)

Ответ: по цене 150 тыс. тг можно купить 4 машины.

Урок 12. Применение пропорций при решении задач. Прямая пропорциональность.

62

Условие:

Решение:

Советы:

Если при увеличении одной величины в некоторое число раз, другая величина увеличивается во столько же раз, то величины называются прямо пропорциональными. А если другая величина уменьшается во столько же раз , то величины называются обратно пропорциональными.

63

Условие:

Решение:

Советы:

Если при увеличении одной величины в некоторое число раз, другая величина увеличивается во столько же раз, то величины называются прямо пропорциональными. А если другая величина уменьшается во столько же раз , то величины называются обратно пропорциональными. 

64

Условие:

Решение:

Советы:

Если при увеличении одной величины в некоторое число раз, другая величина увеличивается во столько же раз, то величины называются прямо пропорциональными. А если другая величина уменьшается во столько же раз , то величины называются обратно пропорциональными.

65

Условие:

Решение:

Советы:

Если при увеличении одной величины в некоторое число раз, другая величина увеличивается во столько же раз, то величины называются прямо пропорциональными. А если другая величина уменьшается во столько же раз , то величины называются обратно пропорциональными.

66

Условие:

Решение:

Советы:

Если при увеличении одной величины в некоторое число раз, другая величина увеличивается во столько же раз, то величины называются прямо пропорциональными. А если другая величина уменьшается во столько же раз , то величины называются обратно пропорциональными.

67

Условие:

Решение:

Советы:

Если при увеличении одной величины в некоторое число раз, другая величина увеличивается во столько же раз, то величины называются прямо пропорциональными.  А если другая величина уменьшается во столько же раз , то величины называются обратно пропорциональными.

68

Условие:

Решение:

Советы:

Если при увеличении одной величины в некоторое число раз, другая величина увеличивается во столько же раз, то величины называются прямо пропорциональными. А если другая величина уменьшается во столько же раз , то величины называются обратно пропорциональными.

69

Условие:

Решение:

Советы:

Если при увеличении одной величины в некоторое число раз, другая величина увеличивается во столько же раз, то величины называются прямо пропорциональными. А если другая величина уменьшается во столько же раз , то величины называются обратно пропорциональными.

70

Условие:

Решение:

Советы:

Если при увеличении одной величины в некоторое число раз, другая величина увеличивается во столько же раз, то величины называются прямо пропорциональными. А если другая величина уменьшается во столько же раз , то величины называются обратно пропорциональными. 

71

Условие:

Решение:

Советы:

Если при увеличении одной величины в некоторое число раз, другая величина увеличивается во столько же раз, то величины называются прямо пропорциональными. А если другая величина уменьшается во столько же раз , то величины называются обратно пропорциональными.

72

Условие:

Решение:

Советы:

Если при увеличении одной величины в некоторое число раз, другая величина увеличивается во столько же раз, то величины называются прямо пропорциональными. А если другая величина уменьшается во столько же раз , то величины называются обратно пропорциональными.

73

Условие:

Решение:

Советы:

Если при увеличении одной величины в некоторое число раз, другая величина увеличивается во столько же раз, то величины называются прямо пропорциональными. А если другая величина уменьшается во столько же раз , то величины называются обратно пропорциональными.

74

Условие:

Решение:

Советы:

Если при увеличении одной величины в некоторое число раз, другая величина увеличивается во столько же раз, то величины называются прямо пропорциональными.  А если другая величина уменьшается во столько же раз , то величины называются обратно пропорциональными.

75

Условие:

Решение:

Советы:

Если при увеличении одной величины в некоторое число раз, другая величина увеличивается во столько же раз, то величины называются прямо пропорциональными. А если другая величина уменьшается во столько же раз , то величины называются обратно пропорциональными.

Пропорции. Прямая и обратная пропорциональная зависимости 6 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей


56. Пропорции. Прямая и обратная пропорциональная зависимости.


Рассмотрим отношения 3,6:1,2=3 и 6,3:2,1=3.


Эти отношения равны. 3,6:1,2=6,3:2,1 или 3,61,2=6,32,1.


Равенство двух отношений называют пропорцией.


С помощью букв пропорцию записывают так:


a:b=c:d или аb=cd.


Эти записи читают так: «Отношение a к b равно отношению с к d» или «а так относится к b, как с относится к d».


Числа а и d называют крайними, а числа b и c – средними членами пропорции.


В пропорции 3,61,2=6,32,1 найдем произведение ее крайних членов и произведение ее средних членов: 3,6·2,1=7,56              и              1,2·6,3=7,56.


В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.


ad=bc.


Это свойство называют основным свойством пропорции.


Пропорция 20:16=5:4 верна, так как 20·4=16·5=80.


Поменяем местами в этой пропорции средние члены, т.е. 20:5 = 16:4. Получилось верное равенство. Таким образом, при перестановке произведение крайних и произведение средних членов не меняется.


Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.


Используя основное свойство пропорции, можно найти ее неизвестный член, если все остальные члены известны.


Пример 1. Найдем в пропорции у:


у:51,6=11,2:34,4.


Используя основное свойство пропорции, получим: у·34,4=51,6·11,2. Значит,


у=51,6·11,234,4=16,8.


Пример 2. Решим уравнение 67,8а=7,626,35.


Используя основное свойство пропорции, получим: 7,62·а =6,35·67,8. Значит,


а=6,35·67,87,62=56,5.


Пример 3. Решим уравнение 0,2:x-2=12:212.


Используя основное свойство пропорции, получим:


x-2∙12=0,2∙212


x-2∙12=12


x-2=1


x=3.


Если станок с программным управлением за 2 ч изготовляет 28 деталей, то за 4 ч он изготовит 56 таких деталей. Во сколько раз больше времени будет работать станок, во столько же раз больше деталей он изготовит. Значит, равны отношения 4:2 = 56:28. Такие величины, как время работы станка и число изготовленных деталей, называют прямо пропорциональными величинами.


Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.


Если величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.


Пример 4. Автомобиль за 2 ч проехал 180 км. За какое время автомобиль проедет вдвое большее расстояние, если будет двигаться с той же скоростью?


Найдем вдвое большее расстояние: 180·2=360 км.


Найдем скорость автомобиля: 180:2=90 км/ч.


Найдем время, требующееся на 360 км:360:90=4 ч.


Значит, автомобилю потребуется вдвое большее времядля прохождения вдвое большего расстояния.


Говорят: «Время прямо пропорционально расстоянию«. Во сколько раз увеличится расстояние, при постоянной скорости, во столько же раз увеличится время.


Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.


Пример 5. Автомобилю, двигающемуся со скоростью 60 км/ч, потребовалось 6 часов на прохождение пути. За какое время автомобиль проедет это же расстояние, если будет двигаться с вдвое большей скоростью?


Найдем вдвое большую скорость: 60·2=120 км/ч.


Найдем расстояние: 60·6=360 км.


Найдем время при скорости 120 км/ч:360:120=3 ч.


Значит, автомобилю потребуется вдвое меньшее время для прохождения расстояния с вдвое большей скоростью.


Говорят: «Время обратно пропорционально скорости». Во сколько раз увеличится скорость, при том же расстоянии, во столько же раз уменьшится время.


Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

6.1.3. Прямо пропорциональные величины.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 2 мин. Просмотров 649 Опубликовано

I. Прямо пропорциональные величины.

Пусть величина y зависит от величины х. Если при увеличении х в несколько раз величина у увеличивается во столько же раз, то такие величины х и у называются прямо пропорциональными. 

Примеры.

1. Количество купленного товара и стоимость покупки (при фиксированной цене одной единицы товара — 1 штуки или 1 кг и т. д.) Во сколько раз больше товара купили, во столько раз больше и заплатили.

2. Пройденный путь и затраченное на него время (при постоянной скорости). Во сколько раз длиннее путь, во столько раз больше потратим времени на то, чтобы его пройти.

3. Объем какого-либо тела и его масса. (Если один арбуз в 2 раза больше другого, то и масса его будет в 2 раза больше)

II. Свойство прямой пропорциональности величин.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.

Задача 1.  Для малинового варенья взяли 12 кг малины и 8 кг сахара. Сколько сахара потребуется, если взяли 9 кг  малины?

Решение.

Рассуждаем так: пусть потребуется х кг сахара на 9 кг малины. Масса малины и масса сахара — прямо пропорциональные величины: во сколько раз меньше малины, во столько же раз нужно меньше сахара. Следовательно, отношение  взятой (по массе) малины (12:9) будет равно отношению взятого сахара (8:х). Получаем пропорцию:

12:9=8:х;

х=9·8:12;

х=6.    Ответ: на 9 кг малины нужно взять 6 кг сахара.

Решение задачи можно было оформить и так:

Пусть на 9 кг малины нужно взять х кг сахара.

(Стрелки на рисунке направлены в одну сторону, а вверх или вниз — не имеет значения. Смысл: во сколько раз число 12 больше числа 9, во столько же раз число 8 больше числа х, т. е. здесь прямая зависимость).

 

 

Ответ: на 9 кг малины надо взять 6 кг сахара.

Задача 2. Автомобиль за 3 часа проехал расстояние 264 км. За какое время он проедет 440 км, если будет ехать с той же скоростью?

Решение.

Пусть за х часов автомобиль пройдет расстояние 440 км.

Ответ: автомобиль пройдет 440 км за 5 часов.

Задача 3. Из трубы поступает вода в бассейн. За 2 часа она заполняет 1/5 бассейна. Какая часть бассейна заполняется водой за 5 часов?

Решение. 

Отвечаем на вопрос задачи: за 5 часов наполнится 1/х часть бассейна. (Весь бассейн принимается за одну целую).

Тест. Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Будьте внимательны! У Вас есть 10 минут на прохождение теста. Система оценивания — 5 балльная. Разбалловка теста — 3,4,5 баллов, в зависимости от сложности вопроса. Порядок заданий и вариантов ответов в тесте случайный. С допущенными ошибками и верными ответами можно будет ознакомиться после прохождения теста. Удачи!

Список вопросов теста

Вопрос 1

Две переменные величины называют прямо пропорциональными, если

Варианты ответов
  • при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз
  • при увеличении (уменьшении) одной из этих величин в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз
Вопрос 2

Две переменные величины называют обратно пропорциональными, если

Варианты ответов
  • при увеличении (уменьшении) одной из этих величин в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз
  • при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз
Вопрос 3

Свойство предмета или объекта, которое можно измерить.  В ответ запишите только слово. Например: линия

Вопрос 4
Варианты ответов
  • прямо пропорциональными
  • обратно пропорциональными
Вопрос 5

Пропорциональны ли следующие величины?

Варианты ответов
  • Сторона прямоугольника и его площадь при условии, что вторая сторона прямоугольника неизменна
  • Сторона квадрата и его площадь
  • Ребро куба и его объём
  • Количество купленного товара и его стоимость
Вопрос 6

Из перечисленных пар величин выберите те, которые являются прямо пропорциональными.

Варианты ответов
  • количество товара и его стоимость
  • масса воды и её объём
  • скорость и длина пути, пройденного за определённое время
  • сторона квадрата и его площадь
  • ребро куба и его объём
  • скорость и время, необходимое для преодоления данного расстояния
  • длина и ширина прямоугольника данной площади
Вопрос 7

Из перечисленных пар величин выберите те, которые являются обратно пропорциональными.

Варианты ответов
  • количество товара и его стоимость
  • масса воды и её объём
  • скорость и длина пути, пройденного за определённое время
  • сторона квадрата и его площадь
  • ребро куба и его объём
  • скорость и время, необходимое для преодоления данного расстояния
  • длина и ширина прямоугольника данной площади
Вопрос 8

Для приготовления борща на каждые 50 г мяса надо взять 30 г свёклы. Сколько свёклы надо взять на 300 г мяса? В ответ запишите только число. Например: 215

Вопрос 9

Для строительства стадиона 3 бульдозеров расчистили площадку за 180 минут. За какое время 5 бульдозеров расчистили бы эту площадку? В ответ запишите только число. Например: 21

Вопрос 10

Если периметр квадрата уменьшить в 5 раз, во сколько раз уменьшится его сторона? В ответ запишите только число. Например: 2

Прямо пропорционально: определение, уравнения и примеры — видео и стенограмма урока

Определение: прямо пропорционально

Допустим, вы строите самолеты разных размеров. Стоимость производства самолета увеличивается по мере увеличения размера самолета. Самолеты малого размера будут иметь низкую стоимость, самолеты среднего размера будут иметь среднюю стоимость, а большие самолеты будут иметь высокую стоимость. Пусть размер самолета S , а стоимость C . Обратите внимание, что при увеличении S увеличивается C , а при уменьшении S увеличивается и C .

Варианты описывают, как одно количество изменяется по отношению к другому. Когда одна величина постоянно увеличивается или постоянно уменьшается по отношению к другой величине, то две величины называются прямо пропорциональными друг другу. В примере с самолетом мы бы сказали, что величина C прямо пропорциональна S , умноженному на константу ( k ). Мы можем записать эту формулу как C = k S .

В приведенном выше уравнении C — стоимость строительства, S — размер самолета, а k — постоянное число, также известное как константа пропорциональности. Если вы должны нанести размер плоскости на ось x , а стоимость на ось y , то наклон линии будет равен константе пропорциональности, k . Когда две величины связаны друг с другом постоянной пропорциональностью, мы получаем линейную функцию. Давайте посмотрим на график зависимости стоимости самолета от размера.

Глядя на уравнение прямой ( y = 0,5 x ), мы знаем, что наклон линии равен 0,5. Это означает, что в этом примере коэффициент пропорциональности равен 0,5. Стоимость производства самолета прямо пропорциональна размеру самолета, умноженному на константу 0,5.

Теперь, когда мы понимаем, что означает прямая пропорциональность, мы можем взглянуть на несколько примеров, чтобы увидеть, как мы можем применить эти вариации отношения для решения различных типов проблем.

Пропорциональные переменные в химии

Один из примеров, когда мы сталкиваемся с величинами, которые напрямую связаны между собой, — это изучение физических свойств газов в химии. Если образец газа находится под постоянным давлением, его объем и температура прямо пропорциональны друг другу. Это утверждение также известно как закон Чарльза в химии и записывается как V = k T , где V — объем в литрах, T — абсолютная температура в Кельвинах и k . — константа пропорциональности.Это выражение описывает, что произойдет с объемом газа, если вы измените температуру. Если утроить температуру, то утроится и громкость. Давайте решим задачу, используя закон Чарльза, чтобы найти константу пропорциональности для кислорода при заданных условиях.

Проблема: Общий объем газообразного кислорода при давлении 1,00 атмосфер и температуре 294 Кельвина составляет 800 литров.

  1. Найти константу пропорциональности
  2. Записать полное выражение
  3. Рассчитайте объем при повышении температуры до 300 Кельвинов.

Решение:

  1. Решение относительно k в законе Чарльза дает нам: k = V / T . k = 800 литров / 294 Кельвина = 2,7 литра / Кельвина
  2. Полное выражение: V = 2,7 T
  3. Замена новой температуры в приведенном выше выражении даст нам новый объем газообразного кислорода:

V = (2,7 литра / Кельвина) * (300 Кельвинов) = 810 литров

Это означает, что при повышении температуры до 300 Кельвин объем увеличивался на 10 литров.

Пропорциональные переменные в геометрии

Мы также можем найти величины в геометрии, которые напрямую связаны. Например, площадь круга напрямую связана с квадратом радиуса круга. Мы можем записать это выражение, как показано:

Где A — площадь круга, pi — константа пропорциональности, а r — радиус круга.

Допустим, круг имеет радиус 2 см, но тогда значение радиуса увеличивается вдвое.Что происходит с районом?

Это означает, что если радиус круга удваивается, то площадь обведенной кружком увеличивается в четыре раза, что указывает на зависимость прямого изменения.

Резюме урока

На этом уроке вы узнали математическое определение термина прямо пропорционально и узнали, как его применять для решения задач, связанных с двумя величинами. Теперь вы готовы попробовать еще несколько задач, которые используют прямую пропорциональность для соотнесения количеств.

Прямая и обратная пропорция

Знаки прямой и обратной пропорции

2

Символ пропорциональности

X ∝ Y

Так обозначается прямо пропорциональный символ

X ∝ 1 / Y

Так обозначается знак обратной пропорциональности

Когда две величины X и Y прямо пропорциональны друг другу, мы говорим «X прямо пропорционален Y» или «Y». прямо пропорциональна X ».Когда две величины X и Y обратно пропорциональны друг другу, мы говорим, что «X обратно пропорционален Y» или «Y обратно пропорционален X».

Свойства прямой и косвенной пропорции.

Прямая пропорция

  • Когда одно количество увеличивается, другое количество тоже увеличивается.

  • Когда одно качество уменьшается, другое количество также уменьшается.

  • Соответствующие коэффициенты всегда остаются постоянными.

  • Его еще называют прямой вариацией.

Пример:

Допустим, X здесь прямо пропорционален Y. Соотнесите X и Y, если значение X = 8 и Y = 4.

Решение:

Мы знаем, X ∝ Y

Или мы также можем записать это как X = kY, где k = — постоянная пропорциональность.

8 = k x 4

k = 2.

Следовательно, уравнение связи между двумя переменными будет: X = 2Y.

Косвенная пропорция

  • Когда одно количество увеличивается, другое количество тоже уменьшается.

  • Когда одно количество уменьшается, другое количество тоже увеличивается.

  • Соответствующие передаточные числа всегда меняются обратно пропорционально.

  • Его еще называют косвенной вариацией.

Пример:

Допустим, X здесь обратно пропорционален Y. Соотнесите X и Y, если значение X = 815 и Y = 3.

Решение:

Давайте рассмотрим X1X2 как компоненты X и Y1Y2 как компоненты y.

Тогда

X1 / X2 = Y1 / Y2

Или

X1Y1 = X2 Y2

Утверждение «X обратно пропорционально Y» можно записать как X ∝ 1 / Y.

Допустим, X = 15 / Y

Поскольку у нас есть значение одной переменной, другую можно легко вычислить.

Возьмем Y = 3.

Следовательно,

X = 15/3

X = 5

Поскольку теперь мы знаем, что значение X равно 5, значение Y можно найти.

5 = 15 / Y

Y = 3

Как написать уравнения прямой и косвенной пропорции?

Шаг 1: Вам нужно будет записать пропорциональный символ

Шаг 2: С помощью константы пропорциональности преобразуйте символ в уравнение

Шаг 3: Затем вам нужно будет вычислить константу пропорциональности с предоставленной вам информацией

Шаг 4: Теперь подставьте постоянное значение в уравнение

Примеры прямой и косвенной пропорции

Пример 1: 45 км / ч — это единообразная скорость поезда, с которым он движется . Найдите:

(i) расстояние, пройденное им за 10 минут

(ii) время, необходимое для преодоления 100 км

Решение:

Пройденное расстояние (км)

45

a

100

Затраченное время (м)

60

10

b

Рассмотрим,

расстояние, пройденное за 10 минут = a

Время, необходимое для преодоления 100 км = b

(i) Учитывая, что

45/60 = a / 10

a = (45 x 10) / 60

a = 7 .5 км

Следовательно, расстояние, пройденное за 10 минут — 7,5 км

(ii) Учитывая, что

45/60 = 100 / b

a = (100 x 60) / 40

a = 150 минут

Следовательно время преодоления 100 километров — 150 минут.

Пример 2:

Допустим, X здесь прямо пропорционален Y. Соотнесите X и Y, если значение X = 100 и Y = 25.

Решение:

Мы знаем, X ∝ Y

Или мы также можем записать это как X = kY, где k = — постоянная пропорциональность.

100 = k x 25

k = 4.

Пример 2:

Значение X1 = 4, X2 = 10, Y1 = 8. Найдите значение Y2, если значения X и Y изменяются напрямую.

Решение:

Поскольку X и Y изменяются напрямую друг с другом:

X1 / X2 = Y1 / Y2

4/10 = 8 / Y2

Y2 = (8 x 10) / 4

Y2 = 20

Quiz Time

Попробуйте решить следующие вопросы:

  1. Здесь X прямо пропорционально Y.Соотнесите X и Y, если значение X = 50 и Y = 5.

  2. Здесь X обратно пропорционален Y. Соотнесите X и Y, если значение X = 49 и Y = 7.

  3. Стоимость 17 книг составляет рупий. 400. Сколько будут стоить 5 книг?

Вариант | Люмен Обучающий Колледж Алгебры

Компания по производству подержанных автомобилей только что предложила своему лучшему кандидату, Николь, должность в отделе продаж. Позиция предлагает 16% комиссионных с ее продаж. Ее заработок зависит от объема продаж.Например, если она продаст автомобиль за 4600 долларов, она заработает 736 долларов. Она хочет оценить предложение, но не знает, как это сделать. В этом разделе мы рассмотрим отношения, такие как эта, между доходами, продажами и ставкой комиссии.

Прямое изменение

Компания по производству подержанных автомобилей только что предложила своему лучшему кандидату, Николь, должность в отделе продаж. Позиция предлагает 16% комиссионных с ее продаж. Ее заработок зависит от объема продаж. Например, если она продаст автомобиль за 4600 долларов, она заработает 736 долларов. Она хочет оценить предложение, но не знает, как это сделать. В этом разделе мы рассмотрим отношения, такие как эта, между доходами, продажами и ставкой комиссии.

В приведенном выше примере заработок Николь можно определить, умножив объем продаж на комиссию. Формула e = 0,16 s говорит нам, что ее заработок, e , складывается из произведения 0,16, ее комиссии и продажной цены автомобиля. Если мы создадим таблицу, мы увидим, что по мере увеличения продажной цены увеличивается и прибыль, что должно быть интуитивно понятным.

s , отпускные цены e = 0,16 s Интерпретация
4 600 долл. США e = 0,16 (4600) = 736 Продажа автомобиля за 4600 долларов приносит 736 долларов прибыли.
9 200 долл. США e = 0,16 (9 200) = 1,472 Продажа автомобиля за 9 200 долларов приносит прибыль 1472 доллара.
18 400 долл. США е = 0.16 (18 400) = 2 944 Продажа автомобиля за 18 400 долларов приносит прибыль 2944 доллара.

Обратите внимание, что прибыль кратна продажам. По мере увеличения продаж прибыль предсказуемо увеличивается. Удвойте продажи автомобиля с 4600 до 9 200 долларов, и мы удвоим прибыль с 736 до 1472 долларов. По мере увеличения входа выход увеличивается как кратное входу. Отношение, в котором одна величина является постоянной, умноженной на другую, называется прямым изменением .{n}} [/ latex], где k называется константой вариации , которая помогает определить взаимосвязь между переменными.

Как сделать: учитывая описание задачи прямого изменения, решить для неизвестного.


  1. Определите вход, x , и выход, y .
  2. Определите постоянную вариации. {3} [/ latex].{3} \ hfill \\ \ text {} = 675 \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Анализ решения

    График этого уравнения представляет собой простую кубическую форму, как показано ниже.

    Вопросы и ответы

    Графики всех уравнений прямой вариации выглядят как Пример 1?

    №. Уравнения прямой вариации являются степенными функциями — они могут быть линейными, квадратичными, кубическими, квартическими, радикальными и т. Д. Но все графики проходят через (0, 0).

    Попробуй

    Величина y напрямую зависит от квадрата x .Если y = 24, когда x = 3, найдите y , когда x равно 4.

    Решение

    [латекс] \ frac {128} {3} [/ латекс]

    Посмотрите это видео, чтобы получить быстрый урок по прямым вариациям. Вы увидите больше отработанных примеров.

    Обратная и совместная вариация

    Температура воды в океане изменяется обратно пропорционально глубине воды. На глубине от 250 до 500 футов формула [латекс] T = \ frac {14 000} {d} [/ latex] дает нам температуру в градусах Фаренгейта на глубине в футах ниже поверхности Земли.Рассмотрим Атлантический океан, который покрывает 22% поверхности Земли. В определенном месте, на глубине 500 футов, температура может достигать 28 ° F.

    Если мы создадим таблицу, мы увидим, что по мере увеличения глубины температура воды снижается.

    d , глубина [латекс] T = \ frac {\ text {14,000}} {d} [/ latex] Интерпретация
    500 футов [латекс] \ frac {14 000} {500} = 28 [/ латекс] На глубине 500 футов температура воды составляет 28 ° F.
    350 футов [латекс] \ frac {14 000} {350} = 40 [/ латекс] На глубине 350 футов температура воды 40 ° F.
    250 футов [латекс] \ frac {14 000} {250} = 56 [/ латекс] На глубине 250 футов температура воды составляет 56 ° F. {n}} [/ латекс]

    , где k — ненулевая константа, тогда мы говорим, что y изменяется обратно пропорционально с n -й степени x .{n} y [/ латекс].

    Пример: написание формулы для обратно пропорциональной зависимости

    Турист планирует проехать 100 миль. Найдите формулу для времени, которое займет поездка, в зависимости от скорости, которую едет турист.

    Решение

    Вспомните, что умножение скорости на время дает расстояние. Если мы допустим, что t представляет время в пути в часах, а v представляет скорость (скорость или скорость), с которой едет турист, тогда vt = расстояние. Поскольку расстояние зафиксировано в 100 миль, vt = 100.{-1} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Мы можем видеть, что постоянная вариации равна 100, и, хотя мы можем записать отношение, используя отрицательный показатель степени, более часто это выражается в виде дроби.

    Как сделать: учитывая описание проблемы косвенного изменения, решить для неизвестного.

    {3}} [/ latex].{3}} \ hfill \\ \ text {} = \ frac {25} {27} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Анализ решения

    График этого уравнения представляет собой рациональную функцию.

    Попробуй

    Величина y изменяется обратно пропорционально квадрату x . Если y = 8, когда x = 3, найти y , когда x равно 4.

    Решение

    [латекс] \ frac {9} {2} [/ латекс]

    Следующее видео представляет собой короткий урок по обратной вариации и включает больше отработанных примеров.

    Вариант шарнира

    Многие ситуации сложнее базовой модели с прямым или обратным изменением. Одна переменная часто зависит от нескольких других переменных. Когда переменная зависит от произведения или частного двух или более переменных, это называется совместным вариантом . Например, стоимость проезда учащихся на автобусе для каждой школьной поездки зависит от количества учащихся и расстояния от школы. Переменная c , стоимость, изменяется вместе с количеством студентов, n , и расстоянием, d .

    Общее примечание: вариант соединения

    Совместное изменение происходит, когда переменная изменяется прямо или обратно с несколькими переменными.

    Например, если x напрямую зависит от y и z , мы имеем x = kyz . Если x напрямую изменяется с y и обратно с z , мы имеем [latex] x = \ frac {ky} {z} [/ latex]. Обратите внимание, что мы используем только одну константу в уравнении совместной вариации.{2}} {\ sqrt [3] {27}} \ hfill \\ \ text {} = 1 \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Попробуй

    x напрямую зависит от квадрата y и обратно пропорционально z . Если x = 40, когда y = 4 и z = 2, найти x , когда y = 10 и z = 25.

    Решение

    [латекс] x = 20 [/ латекс]

    В следующем видео представлен еще один рабочий пример задачи вариации сустава.{n}}, k \ text {ненулевая константа} \\ [/ latex].

    • Отношение, в котором одна величина является постоянной, умноженной на другую, называется прямым изменением.
    • Две переменные, которые прямо пропорциональны друг другу, будут иметь постоянное соотношение.
    • Отношение, в котором одна величина является константой, деленной на другую величину, называется обратной вариацией.
    • Две обратно пропорциональные друг другу переменные будут иметь постоянный множитель.
    • Во многих задачах переменная изменяется прямо или обратно с несколькими переменными. Мы называем этот тип отношений совместной вариацией.

    Глоссарий

    постоянная вариации
    ненулевое значение k , которое помогает определить взаимосвязь между переменными в прямой или обратной вариации
    прямое изменение
    взаимосвязь между двумя переменными, которые являются постоянными кратными друг другу; по мере увеличения одного количества увеличивается и другое
    обратное изменение
    взаимосвязь между двумя переменными, в которой произведение переменных является константой
    обратно пропорционально
    отношение, в котором одна величина является константой, деленной на другую величину; по мере увеличения одной величины другая уменьшается
    вариант шарнира
    отношение, при котором переменная изменяется прямо или обратно с несколькими переменными
    изменяется напрямую
    отношение, в котором одна величина является константой, умноженной на другую величину
    изменяется обратно пропорционально
    отношение, в котором одна величина является константой, деленной на другую величину

    Объяснитель урока: обратная вариация | Nagwa

    В этом пояснителе мы научимся определять обратную вариацию и писать
    уравнения, описывающие обратную вариацию для решения задач.

    Прежде чем обсуждать обратную вариацию, давайте вспомним, что подразумевается под прямым
    вариации и некоторые свойства переменных, которые непосредственно
    пропорциональны друг другу.

    Ключевой термин: прямая вариация или прямая пропорция

    Говорят, что две переменные находятся в прямом изменении или прямо пропорционально, если их
    соотношение постоянно.

    Этот тип отношений часто обозначается как 𝑦∝𝑥.
    Поскольку их соотношение постоянно, должно быть 𝑦𝑥 = 𝑚 для
    𝑥 ≠ 0 и некоторая константа 𝑚 ≠ 0, где
    𝑚 называется постоянной вариации или постоянной
    соразмерность.

    Умножая обе части предыдущего уравнения на 𝑥,
    Мы видим, что
    𝑦 = 𝑚𝑥.

    Если 𝑦∝𝑥, то 𝑦 — линейная функция.
    в, а его график представляет собой прямую, проходящую через
    источник.

    Это не единственный тип пропорциональной зависимости. Например, мы можем
    вспомните взаимосвязь между скоростью автомобиля и временем, затраченным на
    достичь пункта назначения. Это дается формулой
    𝑡 = 𝑑𝑣 ..

    В этом примере расстояние, которое необходимо преодолеть автомобилю, является постоянным, поэтому мы
    можно было бы сказать, что 𝑡∝1𝑣, с константой
    пропорциональность 𝑑.Это
    пример обратной вариации. Мы говорим, что 𝑡 меняется
    обратно пропорционально, если 𝑡 изменяется прямо
    с 1𝑣. Формально это можно определить следующим образом.

    Определение: обратная вариация или обратная пропорция

    Говорят, что две переменные 𝑦 и 𝑥 находятся в
    обратное изменение или обратная пропорция, если 𝑦 прямо
    пропорционально обратной величине 𝑥. Другими словами, «1».

    Это эквивалентно тому, что = 𝑚𝑥 для
    𝑥 ≠ 0 и некоторая константа 𝑚 ≠ 0;
    мы называем 𝑚 константой пропорциональности.

    Это уравнение можно переписать в виде 𝑥𝑦 = 𝑚. Следовательно
    произведение переменных, обратно пропорциональных друг другу
    остается постоянным.

    Мы можем использовать это определение для определения неизвестных значений в обратном
    пропорциональное отношение с учетом константы пропорциональности и
    неизвестный. Например, разделение фиксированной суммы денег между разными
    количество людей обратно пропорционально соотношению. Представьте, нам нужно
    разделить 800 долларов между 𝑛 людьми, затем сумму денег,
    в долларах, которые получает каждый человек, определяется как 𝑦, где
    𝑦 = 800𝑛.

    Если нам говорят, что после разделения денег поровну каждый человек получает
    50 долларов, мы можем определить соответствующее значение
    , подставив 𝑦 = 50 в уравнение, чтобы получить
    50 = 800𝑛.

    Затем умножаем уравнение на 𝑛 и делим
    уравнение через 50, чтобы получить
    𝑛 = 80050 = 16.

    Давайте посмотрим на примере, как определить константу пропорциональности в
    обратно пропорциональная зависимость при двух значениях соответствующих
    переменные.

    Пример 1: Нахождение константы обратной пропорциональности

    𝑦 изменяется обратно пропорционально 𝑥. Учитывая, что
    𝑦 = 8, когда 𝑥 = 7,
    что такое константа пропорциональности?

    Ответ

    Напомним, что две переменные 𝑦 и 𝑥
    говорят, что они изменяются обратно, если 𝑦 прямо пропорционально
    величина, обратная 𝑥. Другими словами,
    𝑦∝1𝑥. Это означает, что есть некоторые
    константа 𝑚 ≠ 0 такая, что
    𝑦 = 𝑚𝑥.𝑚 называется постоянной
    пропорциональности.

    Мы можем подставить 𝑦 = 8 и 𝑥 = 7 в это
    уравнение, чтобы получить
    8 = 𝑚7.

    Умножение уравнения на 7 дает
    𝑚 = 8 × 7 = 56.

    Стоит отметить, что мы могли найти 𝑚 напрямую, отметив
    что 𝑦 = 𝑚𝑥 можно переставить так, чтобы
    𝑥𝑦 = 𝑚. Другими словами, произведение переменных равно
    постоянный и равный. Следовательно, мы всегда можем найти
    коэффициент пропорциональности путем умножения соответствующих переменных:
    𝑚 = 8 × 7 = 56.

    В приведенном выше примере мы использовали свойство, которое
    соответствующие переменные в обратно пропорциональной зависимости
    остается постоянным. Аналогичное утверждение верно и для прямого изменения;
    соотношение соответствующих переменных остается постоянным. Это дает
    нам полезные тесты, чтобы определить, являются ли отношения прямо пропорциональными
    или обратно пропорционально.

    Давайте посмотрим, как использовать эти свойства для определения типа
    отношения, указанного в таблице, а затем решить для неизвестной переменной
    используя заданное значение для переменной.

    Пример 2: Определение того, является ли изменение между двумя пропорциональными величинами прямым или обратным

    Определите, изменяется ли 𝑥 прямо или обратно с
    𝑦 и используйте это, чтобы найти значение 𝑦
    когда 𝑥 = 3.

    Ответ

    Напомним, что 𝑥 напрямую зависит от 𝑦, если
    их соотношение остается постоянным; однако 𝑥 изменяется косвенно
    с 𝑦, если их произведение остается постоянным. Следовательно, мы можем
    определить, следуют ли 𝑥 и 𝑦 любому из
    эти отношения путем вычисления частного и произведения каждой пары
    -и 𝑦-значения и проверка,
    остается постоянным.Мы можем добавить эти значения в таблицу.

    𝑥 2 4 70
    𝑦 70 35 год 2
    𝑦𝑥 35 год 8.75 0,0285…
    𝑥𝑦 140 140 140

    Мы видим, что соотношение между соответствующими 𝑥- и
    𝑦-значения варьируются; однако их произведение остается постоянным при
    140. Следовательно, 𝑥 изменяется обратно пропорционально 𝑦, и
    𝑥𝑦 = 140.

    Мы можем использовать это уравнение для определения значения, когда
    𝑥 = 3, подставив 𝑥 = 3 в уравнение.Это дает
    3𝑦 = 140.

    Если разделить уравнение на 3, получим
    𝑦 = 1403.

    Наконец, мы можем записать это как смешанную дробь:
    𝑦 = 4623.

    Следовательно, 𝑥 изменяется обратно пропорционально 𝑦, и когда
    𝑥 = 3, 𝑦 = 4623.

    В предыдущем примере мы видели пример продукта соответствующего
    переменные остаются постоянными в косвенно пропорциональной зависимости. В
    в общем, это означает, что если 𝑦∝1𝑥 и
    𝑥 и 𝑦 и 𝑥 и
    𝑦 — соответствующие значения в соотношении, мы должны
    имеют
    𝑥𝑦 = 𝑥𝑦.

    Мы можем переписать это уравнение, чтобы получить
    𝑦𝑦 = 𝑥𝑥.

    Другими словами, 𝑦, 𝑦,
    𝑥 и 𝑥 пропорциональны, и мы можем
    используйте это, чтобы найти неизвестное в обратно пропорциональной зависимости от
    значения трех неизвестных без нахождения постоянной
    соразмерность.

    Прежде чем мы перейдем к другим примерам, рассмотрим график обратного
    пропорциональное отношение. Это будет график уравнения вида
    𝑦 = 𝑚𝑥; это называется обратным графом и
    имеет следующую форму.

    Мы видим, что по мере увеличения значения 𝑥 значение
    𝑦 уменьшается; аналогично, поскольку значение 𝑥
    уменьшается, значение 𝑦 увеличивается.

    Давайте используем это, чтобы определить, какой из нескольких различных графиков представляет
    обратная вариация.

    Пример 3: Определение типа вариации между двумя величинами по их графику

    Какой из показанных графиков представляет обратную вариацию?

    Ответ

    Начнем с того, что вспомним, что в обратно пропорциональной зависимости произведение
    переменных остается постоянным, поэтому 𝑥𝑦 = 𝑚 для некоторой постоянной
    𝑚.Следовательно, с увеличением значения 𝑥 величина
    значение 𝑦 должно уменьшиться. На диаграмме видно, что
    графики B, C и D делают
    не следуйте этому образцу. По мере увеличения значений 𝑥 мы можем
    видите, что-значения также увеличиваются, так что ни одно из этих
    графики могут отображать обратную вариацию.

    На графике A мы видим, что по мере увеличения 𝑥,
    уменьшается. Аналогично, с уменьшением,
    увеличивается. Это намекает нам на то, что график A представляет собой обратную вариацию.Мы можем
    подтвердите это, отметив, что форма этого графика — обратная
    функция 𝑦 = 𝑚𝑥, которую мы можем переставить, чтобы получить
    𝑥𝑦 = 𝑚.

    Следовательно, только график A представляет обратную вариацию.

    Давайте теперь посмотрим на пример того, как использовать описание обратного
    пропорциональная связь, чтобы найти уравнение, связывающее переменные.

    Пример 4: Написание уравнения, описывающего обратную вариацию

    Группа разведчиков получает в дар
    $ 1 000 для финансирования мест на международном
    джамбори.Сумма, которую получает каждый разведчик за поездку, обратно пропорциональна.
    с количеством разведчиков от группы, идущей на съезд.

    1. Напишите уравнение для 𝑚, суммы, которую получает каждый разведчик,
      в пересчете на 𝑛 количество скаутов из группы, которые собираются
      джамбори.
    2. Если на съезд собирается 25 скаутов от группы, сколько будет каждый скаут
      получить от пожертвования?

    Ответ

    Часть 1

    Напомним, что две переменные 𝑚 и 𝑛 называются
    обратно пропорционально, если 𝑚 прямо пропорционально
    обратная 𝑛.Другими словами,
    𝑚∝1𝑛. Это означает, что есть некоторые
    константа 𝑘 ≠ 0 такая, что
    𝑚 = 𝑘𝑛, где 𝑛 ≠ 0.
    𝑘 называется константой пропорциональности. Следовательно,
    найти уравнение для через 𝑛,
    нам нужно определить значение 𝑘.

    Для этого определим пару значений для 𝑛 и
    𝑚. Мы можем сделать это, заметив, что если бы был только один
    разведчик, они получат все деньги, потому что больше некому
    поделитесь деньгами с.Следовательно, при 𝑛 = 1 имеем
    𝑚 = 1000. Подставляя эти значения в пропорциональность
    уравнение дает
    1000 = 𝑘1 = 𝑘.

    Итак, 𝑘 = 1000, и мы можем подставить это в
    уравнение пропорциональности, чтобы получить
    𝑚 = 1000𝑛.

    Часть 2

    Если на джамбори собираются 25 разведчиков из группы, то имеем
    𝑛 = 25, а каждый разведчик получает
    соответствующее значение 𝑚.Поскольку у нас есть уравнение для
    𝑚 через 𝑛 можно заменить
    𝑛 = 25 в уравнение, чтобы найти соответствующее значение
    𝑚 получить
    𝑚 = 100025 = 40.

    Следовательно, каждый разведчик получает 40 долларов.

    В нашем следующем примере мы будем использовать обратно пропорциональную зависимость от
    определить значение неизвестного, используя три известных значения.

    Пример 5: Использование обратной вариации для поиска неизвестного

    Для прямоугольника фиксированной площади длина 𝑙 изменяется обратно пропорционально
    шириной 𝑤.Учитывая, что 𝑙 = 22 см
    когда 𝑤 = 16 см,
    определить значение 𝑙 при = 44 см.

    Ответ

    Ответить на этот вопрос можно двумя способами. Прежде всего напомним, что два
    переменные 𝑙 и меняются обратно пропорционально.
    если 𝑙 прямо пропорционально обратной величине
    𝑤. Другими словами, «1».
    Это означает, что существует некоторая константа ≠ 0 такая, что
    𝑙 = 𝑚𝑤. Мы можем найти значение 𝑚
    подставив 𝑙 = 22 и 𝑤 = 16 в
    уравнение, чтобы получить
    22 = 𝑚16.

    Умножение уравнения на 16 дает нам
    𝑚 = 22 × 16 = 352.cm

    Это площадь прямоугольника. Мы можем подставить это значение в
    уравнение пропорциональности, чтобы получить
    𝑙 = 352𝑤.

    Теперь подставим 𝑤 = 44 в это уравнение, чтобы получить
    𝑙 = 35244 = 8см.

    Более простой способ — использовать тот факт, что если две переменные изменяются обратно пропорционально
    друг с другом, то их произведение остается постоянным. Следовательно, если мы назовем
    длину, которую мы хотим найти 𝑙, мы имеем
    22 × 16 = 𝑙 × 44.

    Разделив уравнение на 44, получим
    𝑙 = 22 × 1644 = 8.см

    Следовательно, длина прямоугольника равна
    8 см.

    В нашем последнем примере мы применим определения и свойства
    обратная вариация для определения времени, затрачиваемого на
    выполнить задание при обратно пропорциональном соотношении между
    количество затраченных часов и количество рабочих.

    Пример 6: Решение проблем со словами, связанных с обратной вариацией

    Количество часов 𝑛
    необходимо для выполнения определенной задачи
    изменяется обратно пропорционально количеству рабочих, выполняющих задание.Если
    задание выполняется 23 работниками в
    35 часов, сколько времени нужно на
    115 рабочих выполнить задание?

    Ответ

    Сначала напомним, что если две переменные изменяются обратно пропорционально друг другу, то их
    продукт остается неизменным. Следовательно, если мы назовем время, которое мы хотим найти
    𝑡, мы должны иметь
    23 × 35 = 𝑘, 115 × 𝑡 = 𝑘.

    Для некоторой константы, приравнивая левую часть каждого
    уравнение дает нам
    23 × 35 = 115 × 𝑡.

    Если разделить уравнение на 115, получим
    𝑡 = 23 × 35115 = 7.h

    Следовательно, потребуется 115 рабочих
    7 часов на выполнение
    задача.

    В заключение напомним некоторые важные моменты этого объяснителя.

    Ключевые моменты

    • Говорят, что две переменные 𝑦 и 𝑥 находятся в
      обратное изменение или обратная пропорция, если
      𝑦∝1𝑥. Это означает, что их продукт
      остается постоянным.
    • Говоря и 𝑥 обратно пропорциональны
      равносильно утверждению, что 𝑦 = 𝑚𝑥 для некоторого
      постоянная 𝑚 ≠ 0; мы называем 𝑚 константой
      пропорциональности.
    • График переменных в обратной вариации является обратным графиком.

    Прямая и обратная пропорции

    Пропорциональность — равенство двух соотношений, это соотношение между двумя величинами, при котором изменение одной величины вызывает изменение другой величины с тем же коэффициентом.

    Пропорция может быть прямой или обратной . В этом уроке мы рассмотрим каждый из них.

    Прямая пропорция

    Допустим, автомобиль движется со скоростью 50 км / ч. Мы помним, что скорость — это расстояние, пройденное за единицу времени (1 час, 1 минута или 1 секунда). В нашем примере автомобиль движется со скоростью 50 км / ч, что означает, что за час он преодолеет расстояние в 50 километров.

    Покажем на диаграмме расстояние, которое проехала машина за час

    Пусть машина проедет еще час с такой же скоростью, равной пятидесяти километрам в час.Тогда получается, что машина проедет 100 км

    Как видно из примера, удвоение времени привело к увеличению пройденного расстояния в такой же раз, то есть вдвое.

    Такие величины, как время и расстояние, называются прямо пропорциональными. Соотношение между этими величинами называется , прямая пропорция .

    Прямая пропорция — это соотношение между двумя величинами, в котором увеличение одной влечет за собой увеличение другой в тот же самый коэффициент.

    И наоборот, если одно количество уменьшается в определенное количество раз, то другое количество уменьшается в такое же количество раз.

    Допустим, изначально планировалось проехать 100 км на машине за 2 часа, но, проехав 50 км, водитель решил отдохнуть. Тогда получается, что уменьшая расстояние вдвое, время сокращается во столько же раз. Другими словами, уменьшение пройденного расстояния приведет к уменьшению времени во столько же раз.

    Интересной особенностью прямо пропорциональных величин является то, что их соотношение всегда постоянно.То есть при изменении значений прямо пропорциональных величин их соотношение остается неизменным.

    В приведенном выше примере расстояние составляло 50 км, а время составляло один час. Отношение расстояния ко времени составляет 50.

    Но мы удвоили время в пути, сделав его равным двум часам. В результате пройденное расстояние увеличилось во столько же раз, то есть стало равным 100 км. Соотношение ста километров к двум часам снова равно числу 50

    .

    Число 50 называется коэффициентом прямой пропорциональности (или константой пропорциональности) .Он показывает, сколько расстояния преодолевается за час. В этом случае коэффициент играет роль скорости, потому что скорость — это отношение пройденного расстояния ко времени.

    Пропорции могут быть получены из прямо пропорциональных количеств. Например, соотношения

    и составляют пропорцию:

    Это отношение можно прочитать так:

    Пятьдесят километров — это один час, а сто километров — два часа.


    Пример 2. Стоимость и количество приобретенных товаров являются прямо пропорциональными величинами. Если 1 кг конфет стоит 30 долларов, то 2 кг таких же конфет будут стоить 60 долларов, а 3 кг — 90 долларов. По мере увеличения стоимости приобретаемого товара во столько же раз увеличивается его количество.

    Поскольку стоимость товаров и их количество являются прямо пропорциональными величинами, их соотношение всегда постоянно.

    Запишем соотношение тридцати рублей к одному килограмму

    А теперь запишите, что равняется соотношению шестьдесят долларов к двум килограммам.Это соотношение снова будет равно тридцати:

    .

    Здесь коэффициент прямой пропорциональности равен 30. Этот коэффициент показывает, сколько долларов мы платим за килограмм конфет. В данном примере коэффициент играет роль цены одного килограмма товара, потому что цена — это отношение стоимости товара к его количеству.


    Обратная пропорция

    Рассмотрим следующий пример. Расстояние между двумя городами — 80 км. Мотоциклист выехал из первого города и за 4 часа на скорости 20 км / ч поехал во второй город.

    Если скорость мотоциклиста составляла 20 км / ч, это означает, что каждый час он проезжал расстояние, равное двадцати километрам. Давайте изобразим расстояние, пройденное мотоциклистом, и время, которое он проехал:

    Обратный путь мотоциклиста составлял 40 км / ч, на этот же маршрут у него ушло 2 часа.

    Нетрудно заметить, что при изменении скорости время движения изменилось во столько же раз. Причем изменилось в обратную сторону — то есть скорость увеличилась, а время наоборот уменьшилось.

    Такие величины, как скорость и время, называются обратно пропорциональными. И соотношение между такими величинами называется обратной пропорциональностью .

    Обратная пропорция — это соотношение между двумя величинами, в котором увеличение одного количества вызывает уменьшение другого количества с тем же коэффициентом.

    И наоборот, если одно количество уменьшается в определенное количество раз, то другое увеличивается в такое же количество раз.

    Например, если на обратном пути мотоциклист скорость 10 км / ч, то те же 80 км он преодолеет за 8 часов:

    Как видно из примера, уменьшение скорости привело к увеличению времени движения во столько же раз.

    Особенность обратно пропорциональных количеств в том, что их произведение всегда постоянное. То есть, если значения обратно пропорциональных количеств изменяются, их произведение остается неизменным.

    В рассматриваемом примере расстояние между городами составляло 80 км. При изменении скорости и времени мотоциклиста это расстояние всегда оставалось прежним

    Мотоциклист может преодолеть это расстояние со скоростью 20 км / ч за 4 часа, со скоростью 40 км / ч за 2 часа и со скоростью 10 км / ч за 8 часов.Во всех случаях произведение скорости и времени составляет 80 км

    80 км = 20 км / ч * 4 ч

    80 км = 40 км / ч * 2 ч

    80 км = 10 км / ч * 8 ч


    Видеоурок

    7.2.1 Пропорциональные отношения | Миннесотский центр преподавателей STEM

    Пропорциональное отношение: стопок книг (S — ученик, T — учитель)

    T — «Хорошо, мы говорили о линейных отношениях и пропорциональных отношениях.Сегодня вы можете увидеть 10 стопок разных книг, которые у меня есть в передней части комнаты ». (Соберите 10 книг разных типов из разных классов; желательно разной толщины каждой книги. Каждая группа получает один набор из 10 книг одного типа. книги. Не используйте журналы или, если вы используете, используйте это в качестве дополнительной темы после завершения упражнения).

    «Давайте исследуем наш ключевой вопрос: какова взаимосвязь между количеством книг в стопке и высотой из стека? Если бы я сказал вам, сколько ваших книг в стопке, вы можете сказать мне высоту? Или, если я скажу вам высоту вашей стопки книг, вы можете сказать мне, сколько книг в стопке? Задача вашей группы — выяснить, насколько высоки разные стопки книг.Вам нужно будет составить двухколоночную таблицу для количества книг и высоты стопки. Подсчитайте количество книг от 0 до десяти. Независимая переменная какая будет? Что мы уже знаем? »

    S:« Количество книг ».

    T:« Да. Количество книг — независимая переменная, поскольку высота стопки зависит от количества книг. Итак, высота — моя зависимая переменная. Убедитесь, что ваша таблица начинается с 0 книг. Ваша задача — использовать книгу одного и того же типа и выяснить, какая высота стопки разная.Не выбирайте здесь ярлыков. Я хочу знать высоту каждой из 10 стопок книг ».

    Ученики начнут измерять, используя любую стратегию, какую захотят. Учитель ходит по комнате, задавая вопросы и помогая группам работающих учеников.

    T:« Хорошо, Я заметил здесь, что у вас 0 см для 0 книг, 3,1 см для 1 книги и 6,3 см для 2 книг. Расскажи мне об этом ».

    S:« Ну, мы взяли 1 книгу и измерили ее. Затем мы взяли 2 книги и измерили их высоту.Мы будем продолжать, пока у нас не будет 10 книг в высоту ».

    T:« Хорошо. Спасибо ».

    S: Студенты друг другу в своей группе:« Хммм. Может, мы не так делаем? Как это может быть? Если одна книга — 3,1, то разве две книги не должны быть 6,2? »

    S3:« Ну, мы измерили их, и это то, что мы получили. Как насчет того, чтобы мы повторно измерили, и на этот раз пусть тот же человек измерит, хорошо? »

    После повторного измерения ученики получают аналогичные данные, поэтому продолжайте использовать их исходный метод.

    Учитель ходит по комнате. Через некоторое время она слышит следующее:

    S2: «Ого, а нельзя ли просто взять высоту одной книги и умножить на любое количество книг, которое у нас есть?»

    T — «Почему? Как вы думаете, почему это сработает?»

    S2: «Потому что, поскольку мы используем одну и ту же книгу, все они имеют одинаковую высоту. Что ж, каждая книга такой же высоты, что и другие, поэтому мы можем просто умножить. Вау, это легко!»

    T: «Но если бы я просто сказал вам это сделать, вы бы поняли, почему? Может быть, нет.Итак, фактически выполняя задание и обдумывая его, вы решили проблему. Хорошая работа! »

    [1] (всему классу) T:« Хорошо, класс, что мы придумали? »

    S1:« В нашей таблице значения, которые увеличиваются каждый раз на одно и то же. Например, 1 книга была 2,2 см, 2 книги — 4,4, 3 книги — 6,6 и т. Д.

    S2: «Мы просто построили график данных, когда закончили. Наша таблица не меняется на точно такое же значение, но наш график представляет собой почти идеально прямую линию, идущую вверх.»

    T:» Поговорим о графике. Где начинается ваш график? »

    S2:« В (0,0). »

    T:« Почему он начинается там? »

    S2:« Потому что для 0 книг высота также равна 0. »

    Т: «Верно. Хороший. Кто еще это нарисовал? (другие группы поднимают руки) «Почему ваша очередь поднимается?»

    S3: «Потому что с каждой книгой, которую мы кладем в стопку, высота будет увеличиваться».

    T: «Верно. Что мы можем сделать в таком случае о наших графиках?»

    S1: «Все они должны быть прямыми линиями, проходящими через начало координат и восходящими.»

    T:» Верно. Теперь поговорим о столе. Одна группа сообщила, что значения не изменились на одно и то же значение. Позвольте мне спросить: вы каждый раз надевали одну и ту же книгу? »

    S2:« Да ».

    T:« Итак, давайте поговорим об этом. Если бы вы каждый раз клали в стопку книги одного и того же типа и размер книги не меняется, то что, по вашему мнению, должно произойти с высотой, когда вы увеличиваете количество книг в стопке на 1? »

    S3: «Высота всегда должна увеличиваться на одно и то же значение.«

    T:« Если это так, то почему таблица этой группы не показывает этого? »

    S1:« Ошибка измерения. Кто-то мог неправильно прочитать рулетку, или книга могла быть согнута или что-то в этом роде, из-за чего она казалась немного толще других ».

    T:« Хорошие наблюдения. Все мы знаем, что если мы проводим эксперимент, иногда условия не идеальны. Но здесь опять же, если бы я просто сказал вам, что все книги абсолютно одинаковы, видели бы мы этот тип ошибки? Нет, не было бы.Это способствует хорошему разговору, и мы учимся измерять и считать, чтобы увидеть расхождения. Вернемся к проблеме. Теперь, используя ваш образец в таблице, можем ли мы написать правило, которое будет определять высоту любой стопки книг? »

    S2—« Возьмите высоту одной книги и умножьте ее на количество книг. Таким образом, наша книга была всего 3,1 см в высоту, и поэтому мы могли просто умножить высоту 1 книги на количество книг ».

    T -« Это наше правило на словах. Нам нужно преобразовать это в уравнение, состоящее только из чисел, переменных и математических символов.Кто думает, что у них есть уравнение, которое будет работать здесь? »

    S3:« Мы могли бы написать h = 3.1n, где h — высота стопки, а n — количество книг в стопке ».

    T:» Верный. У нас есть пропорциональное соотношение, потому что высота каждой книги — это наша постоянная скорость изменения, и она увеличивается на ту же величину каждый раз, когда мы добавляем одну книгу в стопку. Таким образом, мы можем сказать, что высота стопки «пропорциональна» количеству книг в стопке. Что, если бы я попросил вас найти количество книг в стопке высотой 46 ½ сантиметров.Как бы вы это сделали? »

    S2:« Мы знаем, что высота стопки зависит от количества книг, поэтому, если вы возьмете высоту стопки и разделите ее на высоту одной книги, вы должны получить количество книги в стопке ».

    S3:« Если я возьму 46,5 и разделю на 3,1, получится ровно 15 раз. Думаю, в стопке будет 15 книг ».

    T:« Хорошая мысль. Когда вы определяли высоту стека, вы нашли правило h = 3.1n. [2] Какое правило в форме уравнения вы бы использовали для отмены высоты стопки? »

    S2:« Мы взяли высоту стопки, разделенную на толщину одной книги, чтобы найти количество книг.Итак, наше правило будет h / 3.1 = n.

    T: «Итак … что, если мы перейдем к другой книге, как это изменит правило? Или … что, если бы я начал с книги по естествознанию внизу, а затем сложил книги по математике поверх книги по естествознанию. Как это меняет правила? Это все еще пропорционально? Подумайте об этом сегодня вечером, и мы начнем с этого завтра ».

    6.3: Уравнения газового закона: экспериментальный план

    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
    1. Экспериментальный план

    Цели обучения

    • Объясните экспериментальный процесс, который использовался для изучения взаимосвязи между четырьмя основными измеряемыми количествами газов.
    • Определите прямо (линейно) пропорционально.
    • Определить косвенно (обратно) пропорционально.

    Термины, переменные и соответствующие единицы для четырех основных измеряемых количеств газов были представлены и обсуждены в предыдущем разделе этой главы. Изучая каждую из этих величин независимо, ученые обнаружили, что изменение экспериментальных параметров для одной из этих переменных повлияло на значения остальных измерений.Поэтому ученые разработали и провели серию дополнительных экспериментов, чтобы изучить качественные и количественные последствия изменения каждой из этих измеримых величин.

    Опытный образец

    Результаты эксперимента, в котором допускается изменение только двух величин, могут быть качественно описаны с помощью пропорции. Две переменные: напрямую, , или , линейно, , , пропорциональный, , если их соответствующие значения увеличиваются, или , оба уменьшаются с одинаковой относительной скоростью.Другими словами, если значение одной величины увеличивается, другая также должна увеличиваться. В качестве альтернативы, если одна числовая величина уменьшается, другая также должна уменьшаться. Математически деление двух прямо пропорциональных величин приводит к получению постоянного значения. Напротив, если значения двух величин изменяются в противоположных направлениях, эти переменные равны косвенно или обратно пропорционально , пропорционально друг другу. В этом типе отношений, если одно числовое значение увеличивается, другое должно уменьшаться с той же относительной скоростью.Математически постоянное значение получается при умножении двух косвенно пропорциональных величин.

    Чтобы установить, какой тип пропорции описывает взаимосвязь между каждой комбинацией переменных, связанных с газом, ученые ограничили свои первоначальные испытания исследованием двух из четырех измеряемых количеств газов. Измерения, связанные с двумя переменными, оставались неизменными, так что любое экспериментальное изменение третьей величины могло повлиять только на значение четвертой.Уравнения, которые были выведены после завершения этих экспериментальных испытаний, которые описаны в следующих параграфах, стали известны под общим названием Gas Laws .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *