Дробные рациональные уравнения 8 класс как решать: Дробные рациональные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

2=6\)

Содержание

Как решаются дробно-рациональные уравнения?


Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ. И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.


Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:


  1. Выпишите и «решите» ОДЗ.


  2. Найдите общий знаменатель дробей.


  3. Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.


  4. Запишите уравнение, не раскрывая скобок.


  5. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.


  6. Решите полученное уравнение.2+9x-5=0\)



    Находим корни уравнения



    \(x_1=-5;\)        \(x_2=\frac{1}{2}.\)



    Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.



    Ответ: \(\frac{1}{2}\).


    Смотрите также:
    Дробно-рациональные  неравенства

    Скачать статью

    Зачет по алгебре на тему: «Решение дробно-рациональные уравнения»


    Зачет по теме: «Решение дробно рациональных уравнений»


    8 класс


    Ф. И. ____________________________


     












    1. Решите уравнение:


    а)


     


     


     


     


     


     


     


     


     


    б)


    1. Найдите корни уравнения:


    а)


    б)


     


     


     


     


     


     


     


     


     


    1. Решите уравнение:


    а)


    б)


     


     


     


     


     


     


     


     


     


    1. Решите уравнение:


    а)


    б)


     


     


     


     


     


     


     


     


    1. Найдите значения переменной z, при которых:


    а) сумма дробей равна их произведению.


    б) разность дробей равна их произведению.


     


     


     


     


     


     


     


     


     


     


     


     

    Дробно рациональные уравнения. Решения

    Уравнение которые можно свести к дроби f(x)/g(x)=0 называется дробно рациональным уравнением.
    Решение дробно рациональных уравнений не слишком сложная задача если Вы знаете методику, а она достаточно проста.
    Если уравнение имеет несколько слагаемых то переносим их по одну сторону знака равенства и сводим к общему знаменателю. В результате получим дробную функцию f(x)/g(x), которая равна нулю

    Следующим шагом находим корни числителя. Отвергаем среди них те, которые не принадлежат области допустимых значений (нули знаменателя) и записываем правильный ответ.

    В теории все просто, однако на практике и у школьников и у студентов возникают проблемы при сведены к общему знаменателю, отыскании корней и т.д. Для ознакомления с решением рассмотрим несколько распространенных задач.

    Примеры дробно рациональных уравнений

    Пример 1. Найти корни уравнения

    Решение: По методике переносим слагаемые и сводим к общему знаменателю

    Приравниваем числитель и знаменатель к нулю и находим корни. Первое уравнение можем решить по теореме Виета

    Второе раскладываем на множители

    Если от корней числителя отбросить нули знаменателя то получим только одно решение x=-7.

    Внимание: Всегда проверяйте совпадают ли корни числителя и знаменателя. Если такие есть то не учитывайте их в ответе.

    Ответ: х=-7.

    ————————————

    Пример 2. Решить уравнение

    Решение: Задано дробное рациональное уравнение. Находим сначала корни числителя, для этого решаем квадратное уравнение

    Вычисляем дискриминант

    и корни уравнения

    Получили три нуля числителя .
    Квадратное уравнение в знаменателе проще и можем решить по теореме Виета

    Числитель и знаменатель не имеют общих корней поэтому все три найденные значения будут решениями.

    ————————————

    Пример 3. Найти корни уравнения

    Решение: Переносим слагаемое за знак равенства

    и сводим к общему знаменателю

    Раскрываем в числителе скобки и сводим к квадратному уравнению

    Полученное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений

    Корни первого вычисляем через дискриминант

    Нули второго находим без проблем

    Исключаем из решений числителя значение и получим.

    Ответ: х=3.

    ————————————

    Задачи на движение

    Задача 4. Вертолет пролетел по ветру расстояние 120 км и обратно вернулся, потратив на весь путь 6 час. Найдите скорость ветра если скорость в штиль составляет 45 км/час.

    Решение:
    Обозначим скорость ветра через х км/час. Тогда за ветром скорость вертолета составит (45+х) км/час, и в обратном направлении (45-х) км/час. По условию задачи вертолет потратил 6 часов на дорогу.
    Разделив расстояние на скорость и просуммировав получим время

    Получили дробно рациональное уравнение схема решения которого неоднократно повторялась

    Решением второго уравнения будут значения x=-45; x=45.

    Корни числителя найдем после упрощений

    С физических соображений первое решение отвергаем.

    Ответ: скорость ветра 15 км/час.

    ————————————

    Задачи о совместной работе

    Задача 2. Два лесорубы работая вместе выполнили норму вырубки за 4 дня. Сколько дней нужно на выполнение этой работы каждому лесорубу отдельно если первому для вырубки нормы нужно на 6 дней меньше чем другому?

    Решение: Пусть первый лесоруб выполняет норму по х дней. Тогда второму необходимо (х+6) дней.
    Это означает что за один день первый выполнит , а второй — часть всей нормы. По условию выполняют норму за 4 дня, то есть оба в день могут выполнить нормы.
    Составляем и решаем уравнение

    Данное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений

    Одно решение не соответствует физической сути задачи. Время второго лесоруба
    х+6=6+6=12 (дней)

    Ответ: Работу первый лесоруб выполнит за 6 дней, а второй за 12.

    ————————————

    Подобных дробно рациональных уравнений можно рассмотреть множество, схема их решения неизменна. В теоретических задачах правильно составляйте уравнение и не заблуждайтесь при сведении к общему знаменателю. Все остальное сводится к решению преимущественно линейных или квадратных уравнений.

    Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

    Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений.

    Напомним, что рациональные уравнения – это уравнения, у которых левая и правая части являются рациональными выражениями. Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называют дробным.

    Очень часто решение задач сводится к решению дробных рациональных уравнений. Решим несколько задач, которые сводятся к решению таких уравнений.

    Задача 1. Числитель дроби на 3 меньше её знаменателя. Сумма дроби и обратной ей дроби в 7,25 раза больше исходной дроби. Найти исходную дробь.

    Решение: обозначим за хзнаменатель дроби. Тогда (х-3) – числитель этой дроби. Значит, исходная дробь имеет вид х-3х. Так как по условию задачи сумма дробих-3хи обратной ей дробихх-3 в 7,25 раза больше исходной дроби, то можем составить уравнение:

    x-3x+xx-3=7,25x-3x

    Представим 7,25 в виде неправильной дроби:

    x-3x+xx-3=29(x-3)4x

    Умножим обе части уравнения на 4x(x-3) при x≠0, x≠3, чтобы избавиться от знаменателей:

    4x-3x-3+4×2=29(x-3)(x-3)

    4×2-24x+36+4×2=29×2-174x+261

    21×2-150x+225=0

    D=(-150)2-4∙21∙225=3600

    D=60

    x1=—150-602∙21=9042=157 не соответствует условию задачи.

    x2=—150+602∙21=21042=5

    Значит, 5 – знаменатель, 5-3 = 2 – числитель.

    Ответ: 25 – исходная дробь.

    Задача 2. Велосипедисту надо проехать 30 км. Он выехал на полчаса позже намеченного срока и, чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 2 км/ч. С какой скоростью ехал велосипедист?

    Пусть х (км/ч) – скорость велосипедиста. Тогда расстояние в 30 км велосипедист проедет за 30х часов. Если бы велосипедист выехал вовремя, то его скорость была бы равна (х-2) км/ч. И тогда расстояние в 30 км он проехал бы за 30х-2 часов. По условию задачи, велосипедист выехал на 30 минут позже намеченного срока, или, что тоже самое, на 3060=12 часа позже. Составим уравнение:

    30x-2-30x=12

    Умножим обе части уравнения на 2x(x-2) при x≠0, x≠2, чтобы избавиться от знаменателей:

    30∙2x-30∙2x-2=x(x-2)

    60x-60x+120=x2-2x

    x2-2x-120=0

    D=(-2)2-4∙1∙-120=4+480=484

    D=484=22

    x1=—2-222=-10 не соответствует условию задачи.

    x2=—2+222=12

    Ответ: 12 км/ч.

    Задача 3. Лодка прошла вниз по реке 42 км, а затем 27 км против течения, затратив на весь путь 15 часов. Найти скорость течения реки, если скорость моторной лодки в стоячей воде равна 5 км/ч.

    Пусть х (км/ч) – скорость течения реки. Тогда (5+х) км/ч скорость моторной лодки по течению реки и (5-х) км/ч скорость моторной лодки против течения. Известно, что моторная лодка прошла по течению реки 42 км, а значит, затратила на это расстояние 425+х часов. Затем против течения лодка прошла 27 км, затратив на это расстояние 275-х часов. По условию известно, что на весь путь моторная лодка затратила 15 часов. Составим уравнение:

    425+x+275-x=15

    Умножим обе части уравнения на (5+x)(5-x) при x≠-5, x≠5, чтобы избавиться от знаменателей:

    425-x+275+x=15(5+x)(5-x)

    210-42x+135+27x=375-15×2

    5×2-5x-10=0

    x2-x-2=0

    По теореме Виета

    x1+x2=1×1∙x2=-2

    Следовательно, x1=-1; x2=2.

    Ответ: 2 км/ч

    Дробно-рациональные уравнения | Алгебра

    Дробн0-рациональные уравнения (дробные рациональные уравнения или просто дробные уравнения) — это уравнения c одной переменной вида

       

    где f(x) и g(x) — рациональные выражения, хотя бы одно из которых содержит алгебраическую дробь (то есть в таких уравнениях в знаменателе есть переменная).

    В общем виде дробно-рациональные уравнения решают  по следующей схеме:

    1) Все слагаемые переносим в одну сторону.

    2) Дроби приводим к НОЗ (наименьшему общему знаменателю).

    3) После упрощения решаем уравнение типа «дробь равна нулю«.

    В частных случаях дробно-рациональные уравнения могут быть решены с помощью замены переменной либо разложением на множители.

    Начнем с рассмотрения примеров общего случая.

    Решить дробно-рациональные уравнения:

       

    Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

       

       

       

       

    Пришли к уравнению типа «дробь равна нулю» Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:

       

    Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключаем их из области допустимых значений:

       

       

       

    Теперь находим значения переменных, при которых числитель обращается в нуль:

       

       

    Это — квадратное уравнение. Его корни

       

    Оба корня удовлетворяют условиям x≠2, x≠ -4.Ответ: 5; -6.

       

    Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

       

       

       

       

       

       

    — при этих значениях переменной знаменатель обращается в нуль, поэтому их исключаем из ОДЗ.

       

    Из двух корней квадратного уравнения

       

       

    — второй не входит в ОДЗ. Поэтому в ответ включаем лишь первый корень.

    Ответ: -4.

       

    Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к НОЗ:

       

       

       

       

    Значение переменной, при котором знаменатель обращается в нуль, исключаем из ОДЗ:

       

    Уравнение

       

    — частный случай линейного уравнения. Оно имеет бесконечное множество решений: какое бы число мы не подставили вместо x, получим верное числовое равенство. Единственное значение x, который не входит в множество решений данного уравнения — 3.

    Ответ: x — любое число, кроме 3.

       

    Переносим все слагаемые в левую часть и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

       

       

       

       

       

       

    — при этих значениях переменной дробь не имеет смысла, поскольку знаменатель обращается в нуль.

       

       

    Так как 2 не входит в ОДЗ, данное уравнение не имеет корней.

    Ответ: корней нет.

    Решение дробных рациональных уравнений

    Для начала давайте вспомним определения
    целых, дробных и рациональных выражений.

    Итак, целые выражения – это
    выражения, составленные из чисел и переменных, содержащие действия сложения,
    вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля.

    Например:

    В
    отличие от целых выражений, дробные выражения помимо действий
    сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными.

    Например:

    Целые
    и дробные выражения называют рациональными. Вообще, рациональными
    выражениями
    называют выражения, составленные из чисел,
    переменных, их степеней и знаков арифметических действий.

    До этого мы могли решить не любое
    рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований
    сводилось к линейному уравнению. Теперь же наши возможности стали гораздо шире:
    мы можем решить рациональное уравнение, которое сводится и к квадратному
    уравнению.

    Давайте рассмотрим уравнения:

    Заметим, что во всех этих уравнениях
    левая и правая части являются рациональными выражениями. Такие уравнения
    называют рациональными уравнениями.

    Рациональное уравнение, в котором
    и левая и правая части являются целыми выражениями, называют
    целым.

    Рациональное уравнение, в котором
    левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным
    .

    Возвращаясь к нашим уравнениям,
    видим, что первое уравнение является целым, а второе и третье – дробными
    рациональными.

    Пример 1. Решить
    уравнение.

    Пример 2. Решить уравнение.

    Если среди найденных корней окажется
    такое число, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, то такое число
    корнем уравнения быть не может, его называют посторонним корнем
    и в ответ не включают.

    Пример 3. Решить уравнение.

    Запишем алгоритм решения дробно
    рациональных уравнений
    . Чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо:

    1)    Разложить все
    знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители.

    2)    Найти
    общий знаменатель этих дробей.

    3)    Умножить
    все слагаемые данного уравнения на общий знаменатель.

    4)    Решить
    получившееся целое уравнение.

    5)    Из найденных
    корней исключить те, которые обращают в нуль общий знаменатель данного
    уравнения.

    Задание 1: при
    каких значениях х
    равны значения выражений?

    Задание 2: найти
    значение переменной х, при котором сумма дробей равна их произведению.

    Итоги:

    Уравнения, в которых в левой и
    правой частях записаны рациональные выражения, называют рациональными
    уравнениями.

    Рациональное уравнение, в котором и
    левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым.

    Рациональное уравнение, в котором
    левая или правая части являются дробными выражениями, называют дробным.

    Чтобы решить дробно рациональное
    уравнение, надо:

    1.     Разложить
    все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители.

    2.     Найти
    общий знаменатель этих дробей.

    3.     Умножить
    все слагаемые данного уравнения на общий знаменатель.

    4.     Решить
    получившееся целое уравнение.

    Из найденных корней исключить те,
    которые обращают в нуль общий знаменатель данного уравнения.

    Урок разноуровневого обобщающего повторения по теме «Решение дробных рациональных уравнений» по алгебре для учащихся 8 класса

    Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 17 села Краснопартизанского

    Урок разноуровневого обобщающего повторения

    по теме «Решение дробных рациональных уравнений »

    по алгебре

    для учащихся 8 класса

    Автор разработки Титенко Ольга Григорьевна

    С.Краснопартизанское

    2012 год

    Длительность урока 40 мин. Тема урока выбрана на основании анализа результатов предыдущей краевой контрольной работы в данном классе, которая выявила, что учащиеся класса не в полной мере усвоили тему : « Решение дробных рациональных уравнений». В классе 8 учеников. По результатам диагностической работы выявлено, что только 57 % учащихся справились с заданием по данной теме, при планируемой трудности 89 %.

    Перед началом урока учащиеся рассаживаются в соответствии с тремя уровнями подготовки на определенные учителем места ( ряды) для удобства организации работы. При этом учащиеся знают, что по мере усвоения материала или отставания, они могут переходить в другую по уровню подготовки группу.

    Цели урока: — обобщить теоретические знания по теме: «Решение дробных рациональных уравнений»,

    — применять теоретические знания для решения уравнений базового и повышенного уровня сложности,

    — организовать работу учащихся по указанным темам на уровне, соответствующем уровню уже сформированных у них знаний.

    Оборудование: 1. Мультимедийная установка. На уроке используется презентация-алгоритм решения дробных рациональных уравнений, презентация – ответы к решенным уравнениям.

    2.Раздаточный материал, подготовленный учителем для организации самостоятельной работы. Для каждой группы учащихся используются задания, напечатанные на карточках различных цветов: для первой группы- зеленые; для второй – голубые; для третьей — розовые

    1 этап урока – Организационный ( 1 минута).

    Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находиться у них на партах.

    2 этап урока – Повторение теоретического материала по теме ( 7минут).

    Учитель: Какие уравнения называются рациональными уравнениями?

    Ученик: Уравнения называются рациональными, если его левая и правая части являются рациональными выражениями.

    Учитель: Какие рациональные уравнения называются дробными?

    Ученик: Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называют дробным.

    Учитель вызывает к доске хорошо подготовленного учащегося и на конкретном примере напоминает алгоритм решения дробных рациональных уравнений. ( Пример )

    Учитель. Давайте сформулируем алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

    Ученик: Чтобы решить дробные рациональные уравнения нужно:

    1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

    2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

    3. Решить получившееся целое уравнение.

    4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

    ( На экране мультимедийной системы учитель демонстрирует алгоритм решения уравнений).

    3 этап урока – Устная работа по решению задач на изучаемую тему

    ( 5 мин.)

    Назовите общий знаменатель в уравнениях.

    Какие числа обращают в нуль общий знаменатель уравнений?

    4 этап урока – Работа в разноуровневых группах ( 10 мин)

    Со всеми учащимися класса рассматриваются решения уравнений у доски. Учащиеся выходят к доске и решают с объяснением уравнения, причем учитель вызывает работать сильных учеников, чтобы они объясняли слабым решение уравнений.

    Далее первая группа учащихся самостоятельно выполняет задания аналогичные тем, которые будут представлены в зеленой карточке самостоятельной работы, а в это время учитель с учащимися второй и третьей группы рассматривает задания повышенного уровня сложности.

    Задания для второй и третьей группы.

    Решить уравнение.

    ( Ответ: -1;)

    ( Ответ: )

    Задания для учащихся работающих самостоятельно: ( аналогичные заданиям в зеленой карточке, имеется в ввиду такого же уровня сложности).

    Далее, вторая и третья группы работают самостоятельно, выполняя задания, аналогичные тем, которые будут в самостоятельной работе в голубой и розовой карточке.

    Пока они работают, учитель проверяет решения уравнений учащихся первой группы, комментируя их при необходимости. После чего проверяются ответы у учащихся второй и третьей группы. Ответы учитель показывает на слайдах и учащиеся проверяют правильность выполнения заданий.

    Задания для учащихся второй группы.

    Задания для учащихся третьей группы.

    5 этап урока – Разноуровневая самостоятельная работа ( 15 минут).

    Учитель сообщает, что на самостоятельную работу отводится 15 минут. Учителем подготовлены карточки трех цветов для удобства ориентации по уровням сложности.

    Для учащихся первой группы учителем составлены зеленые карточки с заданиями базового уровня сложности. Учащиеся первой группы — это, как правило, учащиеся со слабой математической подготовкой , педагогически запущенные школьники, они будут выполнять задания под контролем учителя.

    Для учащихся второй группы учитель выдал голубые карточки с разнообразными заданиями базового уровня сложности.

    Для учащихся третьей группы учитель выдал розовые карточки с заданиями повышенного уровня сложности.

    Все варианты содержат два вычислительных задания и три задания на рассмотренную на уроке тему.

    Зеленая карточка.

    1. Вычислите

    1) 1 2) 3) 1 4) 2

    2. Вычислите

    1) 3 2) 4 3) 5 4)

    3. Решите уравнение.

    Ответ: _____________

    4.Решите уравнение.

    1) 5; -5 2) -6 ; 5 3) -5; 6 4) 4; 6

    5. Решите уравнение.

    Ответ: _____________

    Голубая карточка.

    1. Найдите значение выражения.при

    1)0,2 2) -1,5 3) – 0,2 4) 5

    2.Найдите значение выражения.

    при

    1) -1,5 2) 3) — 4) —

    3. Решите уравнение.

    Ответ: ______________

    4.Решите уравнение.

    Ответ:___________

    1. Решите уравнение.

    1) 0 2) 4; 0 3) -4 ; 0 4) 4,5; 0,2

    Розовая карточка.

    1. Найдите значение выражения.

    при а=0,5 b=-1

    1) 0 2) -1 3) -2 4)1

    2. Найдите значение выражения.

    , если y= x=

    1) -2 2) 7,5 3) 2 4) -7,5

    3) Решите уравнение.

    Ответ:_____________

    4) Решите уравнение.

    Ответ:______________

    5)Решите уравнение.

    1) 1,2: 5 2) -2 ; 3) 2; — 4) 4; -1,5

    6 этап урока- Подведение итогов. Комментарии по домашнему заданию (2минуты).

    Учитель обращает внимание учащихся на те теоретические факты и типы уравнений, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить алгоритм решения уравнений. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся , при необходимости выставляет оценки. В качестве домашнего задания учащиеся обмениваются вариантами самостоятельной работы и получают по варианту из предыдущей контрольной работы.

    Список использованной литературы:

    1. Макарычев Ю.Н. Алгебра.8 класс.- М.:«Просвещение»,2010

    2.Макарычев Ю.Н. Уроки алгебры в 8 классе.- М.:«Просвещение»,2010

    3.Жохов В.И. Дидактические материалы для 8 класса.-М.:«Просвещение»,2010

    1. Семенко Е.А. Технология разноуровневого обобщающего повторения по математике .- «Просвещение -Юг»,2008 год

    Как найти решение рационального уравнения с помощью LCD

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
    или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
    в
    информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
    ан
    Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
    средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
    в виде
    ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
    искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
    на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
    Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
    Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
    достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
    а
    ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
    к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
    Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
    Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
    ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
    информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
    либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон
    Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Решайте приложения с рациональными уравнениями — промежуточная алгебра

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Решить пропорции
    • Решите аналогичные фигуры приложений
    • Решение задач с равномерным движением
    • Решить рабочие приложения
    • Решение прямых вариационных задач
    • Решение обратных вариационных задач

    Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

    1. Решить:

      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

    2. Экспресс и чартерный автобус отправляются из Чикаго в Шампейн. Поезд-экспресс может добраться до города за два часа, а автобус — за пять часов. Скорость экспресса на 42 мили в час превышает скорость автобуса. Найдите скорость автобуса.

      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

    3. Решить

      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

    Решить пропорции

    Когда два рациональных выражения равны, уравнение, связывающее их, называется пропорцией.

    Доля

    Пропорция — это уравнение вида где

    Соотношение читается как « a b , а c d».

    Уравнение представляет собой пропорцию, потому что две дроби равны. Соотношение читается как «1 — 2, 4 — 8».”

    Поскольку пропорция — это уравнение с рациональными выражениями, мы будем решать пропорции так же, как мы решали рациональные уравнения. Мы умножим обе части уравнения на ЖК-дисплей, чтобы очистить дроби, а затем решим полученное уравнение.

    Решить:

    Решите пропорцию:

    Решите пропорцию:

    Обратите внимание, что в последнем примере, когда мы очищали дроби путем умножения на ЖК-дисплей, результат был таким же, как если бы мы перемножили дроби.

    Для любой пропорции мы получаем тот же результат, когда мы очищаем дроби путем умножения на ЖК-дисплей, как и при перекрестном умножении.

    Чтобы решать приложения с пропорциями, мы будем следовать нашей обычной стратегии решения приложений. Но когда мы устанавливаем пропорции, мы должны убедиться, что единицы измерения верны — единицы в числителях должны соответствовать друг другу, а единицы в знаменателях должны соответствовать друг другу. также соответствуют друг другу.

    Когда педиатры назначают детям парацетамол, они назначают 5 миллилитров (мл) парацетамола на каждые 25 фунтов веса ребенка.Если Зоя весит 80 фунтов, сколько миллилитров парацетамола пропишет ее врач?

    Определите, что нас просят найти,

    и выберите переменную для его представления.

    Сколько мл парацетамола будет

    врач пропишет?

    Пусть a = мл парацетамола.
    Напишите предложение, которое дает

    информации, чтобы найти его.

    Если прописано 5 мл на каждые

    25 фунтов, сколько будет

    прописали за 80 фунтов?

    Перевести в пропорции — быть

    осторожных единиц.

    Умножить обе стороны на ЖК-дисплей, 400.
    Удалите общие множители с каждой стороны.
    Слева упрощайте, но не умножайте. Уведомление

    какой будет следующий шаг.

    Решите относительно a .
    Проверить.

    Разумный ответ?

    Напишите полное предложение. Педиатр пропишет 16 мл

    парацетамол для Зои.

    Педиатры прописывают 5 миллилитров (мл) парацетамола на каждые 25 фунтов веса ребенка. Сколько миллилитров парацетамола врач пропишет Эмилии, которая весит 60 фунтов?

    Педиатр пропишет Эмилии 12 мл парацетамола.

    На каждый 1 килограмм (кг) веса ребенка педиатры назначают 15 миллиграммов (мг) жаропонижающего средства.Если Изабелла весит 12 кг, сколько миллиграммов жаропонижающего средства пропишет педиатр?

    Педиатр пропишет Изабелле 180 мг жаропонижающего средства.

    Решение аналогичных фигурных приложений

    Когда вы уменьшаете или увеличиваете фотографию на телефоне или планшете, определяете расстояние на карте или используете выкройку для создания книжного шкафа или шитья платья, вы работаете с похожими фигурами. Если две фигуры имеют одинаковую форму, но разные размеры, они считаются похожими.Один — это масштабная модель другого. Все соответствующие им углы имеют одинаковые размеры, и их соответствующие стороны имеют одинаковое соотношение.

    Подобные фигурки

    Две фигуры подобны, если размеры их соответствующих углов равны и их соответствующие стороны имеют одинаковое отношение.

    Например, два треугольника на (Рисунок) похожи. Каждая сторона в четыре раза длиннее соответствующей стороны

    .

    Это суммируется в свойстве подобных треугольников.

    Собственность подобных треугольников

    Если аналогично, то их соответствующие угловые меры равны и их соответствующие стороны имеют одинаковое отношение.

    Для решения приложений с похожими фигурами мы будем следовать стратегии решения проблем для геометрических приложений, которую мы использовали ранее.

    На карте Сан-Франциско, Лас-Вегас и Лос-Анджелес образуют треугольник. Расстояние между городами измеряется в дюймах. Фигура слева внизу представляет собой треугольник, образованный городами на карте.Если фактическое расстояние от Лос-Анджелеса до Лас-Вегаса составляет 270 миль, найдите расстояние от Лос-Анджелеса до Сан-Франциско.

    Поскольку треугольники подобны, соответствующие стороны пропорциональны.

    Прочтите проблему. Нарисуйте цифры и подпишите

    это с данной информацией.

    Рисунки показаны выше.
    Определите , что мы ищем. фактическое расстояние от Лос-Анджелеса

    в Сан-Франциско

    Назовите переменные. Пусть x = расстояние от Лос-Анджелеса

    в Сан-Франциско.

    Переведите в уравнение.

    Поскольку треугольники похожи,

    соответствующих сторон пропорциональны. Мы

    сделайте числители «миль» и

    .

    в знаменателе «дюймы».

    Решите уравнение.
    Проверить.

    На карте расстояние от Лос-Анджелеса

    в Сан-Франциско — это больше

    расстояние от Лос-Анджелеса до

    Лас-Вегас. Так как 351 это более 270

    ответ имеет смысл.

    Ответьте на вопрос. Расстояние от Лос-Анджелеса до

    Сан-Франциско находится в 351 милях.

    На карте Сиэтл, Портленд и Бойсе образуют треугольник.Расстояние между городами измеряется в дюймах. Фигура слева внизу представляет собой треугольник, образованный городами на карте. Фактическое расстояние от Сиэтла до Бойсе составляет 400 миль.

    Найдите фактическое расстояние от Сиэтла до Портленда.

    Расстояние 150 миль.

    Найдите фактическое расстояние от Портленда до Бойсе.

    Расстояние 350 миль.

    Мы можем использовать аналогичные цифры, чтобы найти высоты, которые мы не можем измерить напрямую.

    Рост Тайлера 6 футов. Однажды поздно вечером его тень была 8 футов в длину. В то же время тень от дерева была длиной 24 фута. Найдите высоту дерева.

    Телефонный столб отбрасывает тень длиной 50 футов. Рядом находится дорожный знак высотой 8 футов, отбрасывающий тень длиной 10 футов. Какой высоты у телефонного столба?

    Телефонный столб высотой 40 футов.

    Сосна отбрасывает тень высотой 80 футов рядом со зданием высотой 30 футов, которое отбрасывает тень высотой 40 футов.Насколько высока сосна?

    Сосна высотой 60 футов.

    Решение задач с равномерным движением

    Мы решили задачи равномерного движения, используя формулу из предыдущих глав. Мы использовали таблицу, подобную приведенной ниже, чтобы систематизировать информацию и привести нас к уравнению.

    Формула предполагает, что мы знаем r и t и используем их, чтобы найти D . Если мы знаем D и r и нам нужно найти t , мы решим уравнение для t и получим формулу

    Мы также объяснили, как полет с ветром или против него влияет на скорость самолета.Мы вернемся к этой идее в следующем примере.

    Самолет может пролететь 200 миль при встречном ветре 30 миль в час за то же время, что и 300 миль при попутном ветре 30 миль в час. Какая скорость у самолета?

    Это ситуация с равномерным движением. Диаграмма поможет нам визуализировать ситуацию.

    Заполняем таблицу, чтобы систематизировать информацию.
    Ищем скорость самолета. Пусть r = скорость самолета.
    Когда самолет летит по ветру,

    ветер увеличивает свою скорость, поэтому скорость составляет r + 30.

    Когда самолет летит против ветра,

    ветер снижает скорость и скорость составляет r — 30.

    Пишите в ставках.

    Запишите расстояния.

    Так как мы решаем и получаем

    Делим расстояние на коэффициент в каждой строке и помещаем выражение в столбец времени.

    Мы знаем, что времена равны, поэтому пишем

    наше уравнение.

    Умножаем обе стороны на ЖКИ.
    Упростить.
    Решить.
    Проверить.

    Является ли 150 миль в час разумной скоростью для самолета? Да.

    Если самолет движется со скоростью 150 миль в час, а ветер 30 миль в час,

    Времена равны, значит проверяет. Самолет двигался со скоростью 150 миль в час.

    Линк может проехать на своем байке 20 миль при встречном ветре 3 мили в час за то же время, что и 30 миль при попутном ветре 3 мили в час. Какая у Линка скорость езды на велосипеде?

    Link развивает велосипедную скорость 15 миль в час.

    Даника может проплыть на своей лодке 5 миль при встречном ветре 7 миль в час за то же время, что и 12 миль при попутном ветре 7 миль в час. Какова скорость лодки Даники без ветра?

    Скорость лодки Даники составляет 17 миль в час.

    В следующем примере мы узнаем общее время, полученное в результате путешествия на разные расстояния с разной скоростью.

    Джазмин тренировалась 3 часа в субботу. Она пробежала 8 миль, а затем проехала 24 мили на велосипеде. Ее скорость езды на велосипеде на 4 мили в час выше, чем скорость бега. Какая у нее скорость бега?

    Это ситуация с равномерным движением. Диаграмма поможет нам визуализировать ситуацию.

    Заполняем таблицу, чтобы систематизировать информацию.
    Нам нужна скорость бега Жазмин. Пусть r = скорость бега Джазмин.
    Её скорость на велосипеде на 4 мили быстрее, чем у неё

    ходовая скорость.

    r + 4 = ее скорость езды на велосипеде
    Расстояния указаны, введите их в таблицу.

    Так как мы решаем и получаем

    Делим расстояние на коэффициент в каждой строке и помещаем выражение в столбец времени.

    Напишите словесное предложение. Ее время плюс время езды на велосипеде — 3 часа.
    Переведите предложение, чтобы получить уравнение.
    Решить.
    Проверить.

    Отрицательная скорость в этой задаче не имеет смысла,

    так и есть решение.

    Является ли скорость 8 миль в час приемлемой? Да.

    Если у Жазмин скорость бега 4, то ее скорость езды на велосипеде

    .

    , что равно

    Всего 3 часа. Jazmine развивает скорость 8 миль в час.

    Деннис в субботу катался на беговых лыжах 6 часов. Он проехал на лыжах 20 миль в гору, а затем на 20 миль обратно под гору, вернувшись к своей исходной точке. Его скорость на подъеме была на 5 миль в час меньше, чем на спуске. С какой скоростью Деннис шел в гору и с какой скоростью он падал?

    Деннис двигался на подъеме со скоростью 10 миль в час, а на спуске со скоростью 5 миль в час.

    Джун ехал 4 часа до своего дома, проехав 208 миль по межгосударственным дорогам и 40 миль по проселочным дорогам. Если он ехал на 15 миль в час быстрее по межгосударственным дорогам, чем по проселочным дорогам, какова была его скорость на проселочных дорогах?

    Joon движется по проселочным дорогам со скоростью 50 миль в час.

    Еще раз воспользуемся формулой равномерного движения, решенной для переменной

    .

    Гамильтон проехал на своем велосипеде 12 миль по речной тропе от своего дома до океана, а затем поехал в гору, чтобы вернуться домой.Его скорость на подъеме была на 8 миль в час меньше, чем на спуске. Он добирался до дома на 2 часа дольше, чем до океана. Найдите скорость Гамильтона на спуске.

    Это ситуация с равномерным движением. Диаграмма поможет нам визуализировать ситуацию.

    Заполняем таблицу, чтобы систематизировать информацию.
    Нам нужна скорость Хэмилтона на спуске. Пусть ч. = скорость Гамильтона на спуске.
    Его скорость на подъеме на 8 миль в час меньше.

    Введите ставки в диаграмму.

    ч — 8 = скорость Гамильтона на подъеме
    Расстояние одинаковое в обоих направлениях.

    12 миль.

    Так как мы решаем и получаем

    Делим расстояние на коэффициент в каждой строке и помещаем выражение в столбец времени.

    Напишите предложение о строке. Он поднялся на 2 часа дольше, чем под гору.

    Время подъема на 2 раза больше, чем время спуска.

    Переведите предложение, чтобы получить уравнение.
    Решить.
    Проверить.

    Является ли скорость 12 миль в час разумной для езды на велосипеде под гору? Да.

    Время подъема на 2 часа больше, чем время спуска.
    Скорость спуска

    Hamilton составляет 12 миль в час.

    Однажды на выходных Кайла проехала на велосипеде 75 миль домой из колледжа, а затем поехала на автобусе обратно в колледж. Она ехала обратно в колледж на автобусе на 2 часа меньше, чем домой на велосипеде, а средняя скорость автобуса была на 10 миль в час выше, чем у Кайлы. Узнайте скорость езды Кайлы на велосипеде.

    Скорость езды Кайлы на велосипеде составляла 15 миль в час.

    Виктория пробегает 12 миль в парк по плоской тропе, а затем возвращается, бегая трусцой по 20-мильной холмистой тропе.Она бегает трусцой на 1 милю в час медленнее по холмистой тропе, чем по ровной, а обратный путь занимает у нее на два часа дольше. Узнайте, как она бегает трусцой по ровной тропе.

    Виктория бежала трусцой со скоростью 6 миль в час по ровной трассе.

    Решение рабочих приложений

    В еженедельном журнале сплетен есть большая история о ребенке принцессы, и редактор хочет, чтобы журнал был напечатан как можно скорее. Она попросила типографию запустить дополнительный печатный станок, чтобы печатать быстрее.Пресс №1 выполняет работу 6 часов, а Пресс № 2 выполняет работу 12 часов. Сколько времени потребуется принтеру, чтобы напечатать журнал, когда обе машины работают вместе?

    Это типичное «рабочее» приложение. Здесь задействованы три величины: время, которое потребуется каждой из двух печатных машин, чтобы выполнить работу в одиночку, и время, которое потребуется им, чтобы выполнить работу вместе.

    Если пресс №1 может завершить задание за 6 часов, он завершит задание за один час.

    Если Press # 2 может завершить задание за 12 часов, он завершит задание за один час.

    Допустим, что t — это количество часов, которое потребуется прессам для печати журналов при одновременной работе обоих прессов. Итак, за 1 час совместной работы они выполнили работу.

    Мы можем смоделировать это с помощью слова «уравнение», а затем преобразовать в рациональное уравнение. Чтобы определить время, которое потребуется прессам для завершения работы, если бы они работали вместе, мы решаем

    .

    Диаграмма поможет нам организовать информацию. Мы ищем, сколько часов потребуется, чтобы завершить работу с обоими прессами, работающими вместе.

    Пусть t = количество часов, необходимых для

    завершают работу вместе.

    Введите количество часов на задание для печатной машины №1,

    Нажмите # 2, а когда они работают вместе.

    Если задание на прессе №1 занимает 6 часов, то задание будет выполнено через 1 час.

    Аналогичным образом найдите часть выполненной работы / часы для Press # 2 и когда они оба вместе.

    Напишите словесное предложение.

    Часть, завершенная прессом №1, плюс часть, завершенная прессом №2, равна сумме, выполненной вместе.
    Переведите в уравнение.
    Решить.
    Многократно по ЖК-дисплею, 12 t
    Упростить.
    Когда оба пресса работают

    выполняет работу за 4 часа.

    Имейте в виду, что для совместной работы двух печатных машин требуется меньше времени, чем для работы любой печатной машины в одиночку.

    Предположим, Пит может покрасить комнату за 10 часов. Если он будет работать в стабильном темпе, то за 1 час покрасит комнату. Если Алисии нужно 8 часов, чтобы покрасить ту же комнату, то за 1 час она покрасит всю комнату. Сколько времени понадобилось бы Питу и Алисии, чтобы красить комнату, если бы они работали вместе (и не мешали друг другу)?

    Это «рабочее» приложение. Диаграмма поможет нам организовать информацию. Мы ищем, сколько часов они потратят на то, чтобы вместе покрасить комнату.

    За час Пит выполнил работу. Алисия выполнила свою работу. И вместе они сделали свою работу.

    Пусть t будет количество необходимых часов

    , чтобы вместе покрасить комнату.

    Введите часы работы Пита, Алисии и время совместной работы.

    За 1 час совместной работы они выполнили свою работу.

    Аналогично найдите часть задания

    завершено / час Питом, а затем Алисией.

    Напишите словесное предложение. Работа, выполненная Питом, плюс работа

    , выполненное Алисией, равно

    работы завершены.

    Работы выполнены:

    Умножить на ЖК-дисплей, 40 t .
    Распространить.
    Упростите и решите.
    Запишем смешанным числом

    , чтобы мы могли преобразовать его в часы

    и минут.

    Помните, 1 час = 60 минут.
    Умножьте, а затем округлите до

    ближайшая минута.

    Это займет у Пита и Алики

    4 часа 27 минут на покраску помещения.

    Один садовник может косить поле для гольфа за 4 часа, а другой садовник может косить такое же поле для гольфа за 6 часов. Сколько времени потребуется, если два садовника будут работать вместе, чтобы косить поле для гольфа?

    Когда два садовника работают вместе, это занимает 2 часа 24 минуты.

    Дарья может пропалывать сад за 7 часов, а ее мама — за 3. Сколько времени потребуется им вдвоем, работая вместе?

    Когда Дарья и ее мама работают вместе, это занимает 2 часа 6 минут.

    Рашон может убрать дом за 7 часов. Когда сестра помогает ему, это занимает 3 часа. Сколько времени требуется его сестре, когда она сама убирает дом?

    Это рабочая проблема. Диаграмма поможет нам организовать информацию.

    Мы ищем, сколько часов потребуется сестре Рашона, чтобы выполнить работу в одиночку.

    Пусть s будет количество часов Рашона

    сестра берет убирать в доме одна.

    Введите количество часов на работу для Рашона, его

    сестры, и когда они вместе работают.

    Если Рашон занимает 7 часов, то через 1 час

    задания выполнены.

    Если сестра Рашона берет с часов, то в

    1 час работы выполнен.

    Напишите словесное предложение. Деталь, выполненная Рашоном, плюс деталь

    его сестры равняется сумме, выполненной вместе.

    Переведите в уравнение.
    Решить.
    Умножить на ЖК-дисплей, 21 с .
    Упростить.
    Запишите смешанное число в

    преобразует его в часы и минуты.

    В 1 часе 60 минут.
    Сестре Рашона потребуется 5 часов и

    15 минут на уборку дома в одиночку.

    Алиса может покрасить комнату за 6 часов. Если Кристина помогает ей, они красят комнату за 4 часа. Сколько времени потребуется Кристине, чтобы покрасить комнату в одиночку?

    Кристина может покрасить комнату за 12 часов.

    Трейси может положить бетонную плиту за 3 часа, а с Джорданом — за 2 часа.Если Джордан будет работать один, сколько времени это займет?

    Это займет у Иордании 6 часов.

    Решение задач прямого изменения

    Когда две величины связаны пропорцией, мы говорим, что они пропорциональны друг другу. Еще один способ выразить это отношение — поговорить о вариации двух величин. В этом разделе мы обсудим прямое и обратное изменение.

    Линдси получает 15 фунтов в час на работе. Если мы допустим s как ее зарплату, а h как количество часов, которые она проработала, мы могли бы смоделировать эту ситуацию с помощью уравнения

    Заработная плата Линдси складывается из константы 15 и количества отработанных часов.Мы говорим, что зарплата Линдси напрямую зависит от количества отработанных часов на . Две переменные изменяются напрямую, если одна является произведением константы и другой.

    Прямое изменение

    Для любых двух переменных x и y , y напрямую изменяется с x , если

    Константа k называется постоянной вариации.

    В приложениях, использующих прямое изменение, обычно нам известны значения одной пары переменных, и нам будет предложено найти уравнение, которое связывает x и y. Затем мы можем использовать это уравнение, чтобы найти значения y для других значений x .

    Мы перечислим шаги здесь.

    Решает задачи прямого изменения.

    1. Напишите формулу прямого изменения.
    2. Подставьте заданные значения для переменных.
    3. Найдите постоянную вариации.
    4. Напишите уравнение, которое связывает x и y , используя постоянную вариации.

    Теперь мы решим приложение прямой вариации.

    Когда Рауль бежит на беговой дорожке в тренажерном зале, количество сжигаемых калорий, c , напрямую зависит от количества минут, m , он использует беговую дорожку. Он сжег 315 калорий, когда использовал беговую дорожку в течение 18 минут.

    ⓐ Напишите уравнение, связывающее c и m . Ⓑ Сколько калорий он сжег бы, если бы пробежал на беговой дорожке 25 минут?

    Количество сожженных калорий, c , напрямую зависит от количества времени, t , потраченного на упражнения.Арнольд сжег 312 калорий за 65 минут упражнений.

    ⓐ Напишите уравнение, связывающее c и t . Ⓑ Сколько калорий он сожжет, если будет заниматься 90 минут?

    ⓐⓑ Он бы сжег 432 калории.

    Расстояние, которое проходит движущееся тело, d , изменяется прямо во времени, t , оно перемещается. Поезд проходит 100 миль за 2 часа

    ⓐ Напишите уравнение, связывающее d и t . Ⓑ Сколько миль он проехал за 5 часов?

    ⓐⓑ Он пролетит 250 миль.

    Решите обратные вариационные задачи

    Во многих приложениях используются две переменные, значение которых изменяется обратно пропорционально . По мере увеличения одной переменной другая уменьшается. Уравнение, которое их связывает, —

    .

    Обратная вариация

    Для любых двух переменных x и y , y изменяется обратно пропорционально x , если

    Константа k называется постоянной вариации.

    Слово «обратная» в обратной вариации относится к мультипликативной обратной.Мультипликативная обратная величина x равна

    .

    Мы решаем обратные вариационные задачи так же, как решали прямые вариационные задачи. Изменился только общий вид уравнения. Мы скопируем здесь окно процедуры и просто заменим «прямой» на «обратный».

    Решать обратные вариационные задачи.

    1. Напишите формулу обратной вариации.
    2. Подставьте заданные значения для переменных.
    3. Найдите постоянную вариации.
    4. Напишите уравнение, которое связывает x и y , используя постоянную вариации.

    Частота гитарной струны обратно пропорциональна ее длине. Струна длиной 26 дюймов имеет частоту 440 колебаний в секунду.

    ⓐ Напишите уравнение вариации. Ⓑ Сколько будет колебаний в секунду, если длину струны уменьшить до 20 дюймов, приложив палец к ладу?

    Количество часов, необходимое для таяния льда, обратно пропорционально температуре воздуха.Предположим, глыба льда тает за 2 часа при температуре 65 градусов Цельсия.

    ⓐ Напишите уравнение вариации. Ⓑ Сколько часов потребуется, чтобы таял один и тот же кусок льда, если бы температура была 78 градусов?

    ⓐⓑ часов

    Новый бизнес

    Xander обнаружил, что ежедневный спрос на его продукт обратно пропорционален цене. Когда цена составляет 5 фунтов стерлингов, спрос составляет 700 единиц.

    ⓐ Напишите уравнение вариации. Ⓑ Какой будет спрос, если цена повысится до? 7?

    ⓐⓑ 500 шт.

    Практика ведет к совершенству

    Решить пропорции

    В следующих упражнениях решите каждую пропорцию.

    В следующих упражнениях решите.

    Кевин хочет поддерживать частоту пульса 160 ударов в минуту во время тренировки. Во время тренировки он считает 27 ударов за 10 секунд.

    ⓐ Сколько это ударов в минуту?

    ⓑ Достиг ли Кевин своей целевой частоты пульса?

    ⓐ 162 удара в минуту

    ⓑ да

    Машина Джесси расходует 30 миль на галлон бензина.

    ⓐ Если Лас-Вегас находится в 285 милях от отеля, сколько галлонов бензина нужно, чтобы добраться туда, а затем домой?

    ⓑ Если бензин стоит 3,09 евро за галлон, какова общая стоимость газа для поездки?

    Педиатры прописывают 5 миллилитров (мл) парацетамола на каждые 25 фунтов веса ребенка. Сколько миллилитров парацетамола врач пропишет Джоселин, которая весит 45 фунтов?

    мл

    Ветеринар прописал Санни, собаке весом 65 фунтов, антибактериальное лекарство на случай, если после чистки зубов появится инфекция.Если дозировка составляет 5 мг на каждый фунт, сколько лекарства было дано Санни?

    Новый энергетический напиток рекламирует 106 калорий на 8 унций. Сколько калорий в 12 унциях напитка?

    калорий

    Одна банка газировки объемом 12 унций содержит 150 калорий. Если Джозия выпьет большой стакан объемом 32 унции из местного мини-маркета, сколько калорий он получит?

    Кира отправляется в Канаду и обменяет 250 фунтов стерлингов на канадские доллары. По текущему обменному курсу 1 доллар США равен 1 фунту.3 канадских. Сколько канадских долларов она получит за поездку?

    канадских долларов

    Морис едет в Мексику и ему нужно обменять 450 фунтов стерлингов на мексиканские песо. Если каждый доллар стоит 12,29 песо, сколько песо он получит за поездку?

    Рональду нужен утренний завтрак, который даст ему не менее 390 калорий. В одной чашке апельсинового сока 130 калорий. Сколько чашек ему нужно выпить, чтобы достичь своей цели по калориям?

    стакана

    Соня выпивает энергетический напиток объемом 32 унции, содержащий 80 калорий на 12 унций.Сколько калорий она выпила?

    Фил хочет удобрить газон. Каждый мешок с удобрениями покрывает около 4000 квадратных футов газона. Лужайка Фила составляет примерно 13 500 квадратных футов. Сколько мешков удобрений ему придется купить?

    Рецепт овсяного печенья требует стакана масла, чтобы приготовить 4 дюжины печенья. Хильде нужно сделать 10 дюжин печенья для продажи. Сколько стаканов масла ей понадобится?

    Приложения для решения аналогичных фигур

    В следующих упражнениях треугольники похожи.Найдите длину указанной стороны.

    ⓐ сторона x

    ⓑ сторона b

    ⓐ 6

    ⓐ сторона d

    ⓑ сторона q

    В следующих упражнениях используйте показанную карту. На карте Нью-Йорк, Чикаго и Мемфис образуют треугольник. Фактическое расстояние от Нью-Йорка до Чикаго составляет 800 миль.

    Найдите фактическое расстояние от Нью-Йорка до Мемфиса.

    Найдите фактическое расстояние от Чикаго до Мемфиса.

    В следующих упражнениях используйте показанную карту. На карте Атланта, Майами и Новый Орлеан образуют треугольник. Фактическое расстояние от Атланты до Нового Орлеана составляет 420 миль.

    Найдите фактическое расстояние от Нового Орлеана до Майами.

    Найдите фактическое расстояние от Атланты до Майами.

    В следующих упражнениях ответьте на каждый вопрос.

    Собака двух футов высотой отбрасывает трехфутовую тень, в то время как кошка отбрасывает одну футовую тень.Какого роста кошка?

    фут (дюймы)

    Ларри и Том стояли рядом друг с другом на заднем дворе, когда Том предложил Ларри угадать, какого он роста. Ларри знал, что его собственный рост — 6,5 футов, и когда они измерили их тени, тень Ларри была 8 футов, а Тома — 7,75 футов в длину. Какой рост у Тома?

    Башня ветряной мельницы имеет высоту 212 футов. Человек шести футов ростом, стоящий рядом с башней, отбрасывает семифутовую тень. Какова длина тени мельницы?

    футов

    Высота Статуи Свободы 305 футов.Никиа, стоящая рядом со статуей, отбрасывает 6-футовую тень, а ее рост 5 футов. Какой длины должна быть тень статуи?

    Решение приложений с равномерным движением

    В следующих упражнениях решите указанную прикладную задачу.

    Мэри совершает обзорную экскурсию на вертолете, который может пролететь 450 миль против встречного ветра со скоростью 35 миль в час за то же время, что и 702 мили при попутном ветре со скоростью 35 миль в час. Найдите скорость вертолета.

    миль / ч

    Частный самолет может пролететь 1210 миль против встречного ветра 25 миль в час за то же время, что и 1694 мили при попутном ветре 25 миль в час.Найдите скорость струи.

    Лодка проходит 140 миль вниз по течению одновременно с 92 милями вверх по течению. Скорость течения — 6 миль в час. Какая скорость у лодки?

    миль / ч

    Даррин может кататься на скейтборде на 2 мили при скорости ветра 4 мили в час за то же время, что и на скейтборде на 6 миль при скорости ветра 4 мили в час. Найдите скоростные скейтборды Даррина без ветра.

    Джейн провела 2 часа, исследуя гору на мотоцикле. Сначала она проехала 40 миль в гору.Достигнув вершины, она проехала 12 миль по вершине. Поднимаясь в гору, она ехала на 5 миль в час медленнее, чем на вершине. Какова была ее скорость на вершине?

    миль / ч

    Лэйни хотела немного похудеть, поэтому запланировала день тренировок. В общей сложности она провела 2 часа, катаясь на велосипеде и бегая трусцой. Она проехала на велосипеде 12 миль и пробежала трусцой 6 миль. Ее скорость бега была на 10 миль в час меньше, чем скорость езды на велосипеде. Какой у нее был темп при пробежке?

    Байрон хотел опробовать другое плавсредство.Он прошел 62 мили вниз по течению на моторной лодке и 27 миль вниз по течению на гидроцикле. Его скорость на гидроцикле была на 10 миль в час быстрее, чем на моторной лодке. Билл провел на воде в общей сложности 4 часа. Какова была его скорость на моторной лодке?

    миль / ч

    Нэнси заняла 3 часа езды. Она прошла 50 миль, прежде чем попала в шторм. Затем она проехала 68 миль со скоростью на 9 миль в час меньше, чем в хорошую погоду. На какой скорости она ехала во время шторма?

    Честер проехал на своем байке 24 мили в гору, а затем спустился вниз со скоростью 2 мили в час быстрее, чем в гору.Если ему понадобилось на 2 часа больше времени, чтобы ехать в гору, чем на спуск, какова была его скорость подъема?

    миль / ч

    Мэтью пробежал трусцой до дома своего друга в 12 милях от отеля, а затем его отвезли домой. На пробежку там у него ушло на 2 часа больше времени, чем на обратный путь. Его скорость бега была на 25 миль в час ниже, чем при езде. Какая у него была скорость бега трусцой?

    Hudson преодолевает 1080 миль на самолете, а затем 240 миль на машине, чтобы добраться до деловой встречи. Самолет движется на 300 миль в час быстрее, чем скорость автомобиля, и поездка на автомобиле занимает на 1 час дольше, чем самолет.Какая скорость у машины?

    миль / ч

    Натан прошел 12 миль по асфальтированной дороге. Он прошел 12 миль обратно к своей машине по гравийной дороге через лес. По асфальту он шел на 2 мили в час быстрее, чем по гравию. Прогулка по гравию длилась на час дольше, чем по асфальту. Как быстро он шел по гравию.

    Джон может пролететь на своем самолете 2800 миль со скоростью ветра 50 миль в час, в то же время он может проехать 2400 миль против ветра.Если скорость ветра составляет 50 миль в час, найдите скорость его самолета.

    миль / ч

    Катер

    Джима может пройти 20 миль вверх по течению против течения 3 мили в час за то же время, что и 22 мили вниз по течению при скорости течения 3 мили в час. Найдите скорость лодки Джима.

    Хейзел нужно добраться до дома своей внучки на самолете и арендованной машине. Она преодолевает 900 миль на самолете и 250 миль на машине. Самолет движется на 250 миль в час быстрее, чем автомобиль.Если она управляет арендованным автомобилем на 2 часа больше, чем самолетом, найдите скорость автомобиля.

    миль / ч

    Стю вчера тренировался 3 часа. Он пробежал 14 миль, а затем проехал 40 миль на велосипеде. Его скорость езды на велосипеде на 6 миль в час выше, чем его скорость бега. Какая у него скорость бега?

    За 9-часовую поездку домой Шэрон проехала 390 миль по межгосударственным дорогам и 150 миль по проселочным дорогам. Ее скорость на шоссе была на 15 больше, чем на проселочных. Какая у нее скорость на проселочных дорогах?

    миль / ч

    Две сестры любят соревноваться на велосипедных прогулках.Тамара может разогнаться на 4 мили в час быстрее, чем ее сестра Саманта. Если Саманта преодолевает 80 миль на 1 час дольше, чем Тамара, как быстро Саманта сможет ездить на велосипеде?

    Дана любит гулять со своей собакой, но иногда ее собака ускользает, и ей приходится бежать за ним. Дана выгуливала свою собаку 7 миль, но затем ей пришлось пробежать 1 милю, проведя со своей собакой в ​​общей сложности 2,5 часа. Ее скорость бега была на 3 мили в час выше, чем скорость ходьбы. Найдите ее скорость ходьбы.

    Кен и Джо покидают свою квартиру, чтобы пойти на футбольный матч в 72 км.Кен едет на своей машине на 30 миль в час быстрее, Джо может ездить на велосипеде. Если Джо добирается до игры на 2 часа дольше, чем Кен, какова скорость Джо?

    Приложения для решения задач

    Майк, опытный каменщик, может построить стену за 3 часа, а его сын, который учится, может сделать эту работу за 6 часов. Сколько времени им нужно, чтобы вместе построить стену?

    часов

    Сэму требуется 4 часа, чтобы разгребать лужайку перед домом, в то время как его брат Дэйв может разгребать лужайку за 2 часа.Сколько времени им потребуется, чтобы вместе разгребать газон?

    Миа может убрать свою квартиру за 6 часов, а ее соседка может убрать квартиру за 5 часов. Если они будут работать вместе, сколько времени им потребуется, чтобы убрать квартиру?

    часы и минуты

    Брайан может положить бетонную плиту за 6 часов, а Грег — за 4 часа. Если Брайан и Грег будут работать вместе, сколько времени это займет?

    Жозефина может исправить контрольные работы своих учеников за 5 часов, но если помощник учителя поможет, им потребуется 3 часа.Сколько времени потребуется ассистенту, чтобы сделать это в одиночку?

    часы и минуты

    В одиночку мыть машину отца восьмилетнему Леви нужно 2,5 часа. Если ему помогает папа, то на это уходит 1 час. Сколько времени нужно отцу Леви, чтобы мыть машину в одиночку?

    В конце дня Доди может очистить свою парикмахерскую за 15 минут. Энн, которая с ней работает, может убрать салон за 30 минут. Сколько времени им потребуется, чтобы убрать в магазине, если они будут работать вместе?

    мин.

    Рональд может очистить подъездную дорожку за 4 часа, но если его брат Дональд поможет, это займет 2 часа.Сколько времени потребуется Дональду, чтобы в одиночку разгребать подъездную дорожку?

    Решение задач прямого изменения

    В следующих упражнениях решите.

    Джозеф отправляется в путешествие. Расстояние, которое он проходит до остановки на обед, напрямую зависит от скорости, на которой он движется. Он может проехать 120 миль со скоростью 60 миль в час.

    ⓐ Напишите уравнение, которое связывает и

    ⓑ Как далеко он сможет проехать до остановки на обед со скоростью 65 миль в час?

    Масса жидкости напрямую зависит от ее объема.Жидкость массой 16 килограммов имеет объем 2 литра.

    ⓐ Напишите уравнение, связывающее массу с объемом.

    ⓑ Каков объем этой жидкости, если ее масса равна 128 килограммам?

    ⓐⓑ литров

    Длина растяжения пружины напрямую зависит от веса, размещенного на конце пружины. Когда Сара поместила 10-фунтовый арбуз на подвесные весы, пружина растянулась на 5 дюймов.

    ⓐ Напишите уравнение, связывающее длину пружины с весом.

    ⓑ Какой вес арбуза растянет пружину на 6 дюймов?

    Максимальная нагрузка, которую может выдержать балка, напрямую зависит от квадрата диагонали поперечного сечения балки. Балка с диагональю 6 дюймов выдержит максимальную нагрузку в 108 фунтов.

    ⓐ Напишите уравнение, связывающее нагрузку с диагональю поперечного сечения.

    ⓑ Какую нагрузку будет иметь балка с опорой диагональю 10 дюймов?

    ⓐⓑ фунтов

    Площадь круга прямо пропорциональна квадрату радиуса.Круглая пицца радиусом 6 дюймов имеет площадь 113,04 квадратных дюйма.

    ⓐ Напишите уравнение, связывающее площадь с радиусом.

    ⓑ Какова площадь личной пиццы при радиусе 4 дюйма?

    Решить обратные вариационные задачи

    В следующих упражнениях решите.

    В следующих упражнениях напишите обратное уравнение вариации для решения следующих задач.

    Расход топлива (миль на галлон) автомобиля изменяется обратно пропорционально его массе.Toyota Corolla весит 2800 фунтов, получая 33 мили на галлон на шоссе.

    ⓐ Напишите уравнение, связывающее количество миль на галлон с массой автомобиля.

    ⓑ Каким будет расход топлива для Toyota Sequoia, которая весит 5500 фунтов?

    ⓐⓑ 16,8 миль на галлон

    Стоимость автомобиля обратно пропорциональна его возрасту. Джеки купил машину десятилетней давности за 2400 фунтов стерлингов.

    ⓐ Напишите уравнение, связывающее стоимость автомобиля с его возрастом.

    ⓑ Сколько будет стоить машина Джеки, когда ей исполнится 15 лет?

    Время, необходимое для опорожнения резервуара, обратно пропорционально скорости откачки.Аде потребовалось 5 часов, чтобы перекачать свой затопленный подвал с помощью насоса, рассчитанного на 200 галлонов в минуту.

    ⓐ Напишите уравнение, которое связывает количество часов с производительностью насоса.

    ⓑ Сколько времени понадобилось бы Аде, чтобы перекачивать свой подвал, если бы она использовала насос мощностью 400 галлонов в минуту?

    ⓐⓑ часов

    На струнном инструменте длина струны изменяется обратно пропорционально частоте ее колебаний. 11-дюймовая струна на скрипке имеет частоту 400 циклов в секунду.

    ⓐ Напишите уравнение, связывающее длину струны с ее частотой. Ⓑ Какова частота 10-дюймовой струны?

    Пол, дантист, определил, что количество кариесов, образующихся во рту его пациента каждый год, обратно пропорционально количеству минут, затрачиваемых на чистку зубов каждую ночь. У его пациентки Лори было четыре кариеса, когда она чистила зубы 30 секунд (0,5 минуты) каждую ночь.

    ⓐ Напишите уравнение, которое связывает количество полостей со временем, затраченным на чистку зубов.

    ⓑ Сколько кариесов ожидает Пол у Лори, если бы она чистила зубы по 2 минуты каждую ночь?

    ⓐⓑ гнездо

    Закон Бойля гласит, что если температура газа остается постоянной, то давление изменяется обратно пропорционально объему газа. У аквалангиста Брайдона есть баллон, вмещающий 6 литров воздуха под давлением 220 фунтов на квадратный дюйм.

    ⓐ Напишите уравнение, связывающее давление с объемом.

    ⓑ Если давление увеличится до 330 фунтов на квадратный дюйм, сколько воздуха сможет вместить баллон Брейдона?

    Стоимость поездки зависит от пройденного расстояния.Поездка из центра города в аэропорт, расположенный в 22,5 км, стоит 35 фунтов стерлингов.

    ⓐ Напишите уравнение, связывающее стоимость, c , с количеством миль,

    .

    ⓑ Сколько стоит проехать 22 мили с этой услугой?

    ⓐⓑ? 55

    Количество часов, которое требуется Джеку, чтобы добраться из Бостона до Бангора, обратно пропорционально его средней скорости движения. Когда он едет со средней скоростью 40 миль в час, поездка занимает у него 6 часов.

    ⓐ Напишите уравнение, связывающее количество часов со скоростью

    .

    ⓑ Сколько времени займет поездка, если его средняя скорость составляет 75 миль в час?

    Письменные упражнения

    Марисоль решает пропорцию «крестным умножением», поэтому ее первый шаг выглядит так: «Объясните, чем это отличается от метода решения, показанного на (Рисунок)».

    Паула и Юки — соседи по комнате. Паула убирается в квартире за 3 часа. Юки убирает квартиру за 4 часа.Уравнение можно использовать, чтобы найти t , количество часов, которое им потребовалось бы, работая вместе, чтобы убрать свою квартиру. Объясните, как это уравнение моделирует ситуацию.

    Объясните своими словами разницу между прямым и обратным изменением.

    Придумайте пример обратной вариации из своего жизненного опыта.

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

    ⓑ После просмотра контрольного списка, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?

    Глоссарий

    пропорция
    Когда два рациональных выражения равны, уравнение, связывающее их, называется пропорцией.
    аналогичные цифры
    Две фигуры подобны, если размеры их соответствующих углов равны и их соответствующие стороны имеют одинаковое отношение.

    Решите рациональные уравнения — элементарная алгебра

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Решите рациональные уравнения
    • Решите рациональное уравнение для конкретной переменной

    Определив термины , выражение, и , уравнение в начале работы «Основы», мы использовали их на протяжении всей книги.У нас упрощено, много видов выражений и решено много видов уравнений . До сих пор в этой главе мы упростили многие рациональные выражения. Теперь решим рациональные уравнения.

    Определение рационального уравнения аналогично определению уравнения, которое мы использовали в «Основах».

    Рациональное уравнение

    Рациональное уравнение — это два рациональных выражения, соединенных знаком равенства.

    Вы должны знать разницу между рациональными выражениями и рациональными уравнениями.Уравнение содержит знак равенства.

    Решите рациональные уравнения

    Мы уже решили линейные уравнения, содержащие дроби. Мы нашли ЖК-дисплей всех дробей в уравнении, а затем умножили обе части уравнения на ЖК-дисплей, чтобы «очистить» дроби.

    Вот пример, который мы сделали, когда работали с линейными уравнениями:

    Мы будем использовать ту же стратегию для решения рациональных уравнений. Мы умножим обе части уравнения на ЖК-дисплей.Тогда у нас будет уравнение, не содержащее рациональных выражений, и поэтому его намного легче решить.

    Но поскольку исходное уравнение может иметь переменную в знаменателе, мы должны быть осторожны, чтобы не получить решение, которое сделало бы знаменатель равным нулю.

    Итак, прежде чем мы начнем решать рациональное уравнение, мы сначала исследуем его, чтобы найти значения, которые сделали бы все знаменатели равными нулю. Таким образом, когда мы решаем рациональное уравнение, мы будем знать, есть ли какие-либо алгебраические решения, которые мы должны отбросить.

    Алгебраическое решение рационального уравнения, при котором любое из рациональных выражений может быть неопределенным, называется посторонним решением .

    Постороннее решение рационального уравнения

    Постороннее решение рационального уравнения — это алгебраическое решение, которое может привести к тому, что любое из выражений в исходном уравнении будет неопределенным.

    Отметим любые возможные посторонние решения, c , написав рядом с уравнением.

    Как решать уравнения с рациональными выражениями

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Шаги этого метода показаны ниже.

    Решайте уравнения с рациональными выражениями.

    1. Обратите внимание на любое значение переменной, при котором знаменатель будет равен нулю.
    2. Найдите наименьший общий знаменатель для всех знаменателей в уравнении.
    3. Очистите дроби, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплей.
    4. Решите полученное уравнение.
    5. Проверить.
      • Если какие-либо значения, найденные на шаге 1, являются алгебраическими решениями, отбросьте их.
      • Проверьте все оставшиеся решения в исходном уравнении.

    Мы всегда начинаем с отметки значений, при которых любые знаменатели будут равны нулю.

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Если один из знаменателей является квадратичным, не забудьте сначала разложить его на множители, чтобы найти ЖК-дисплей.

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Уравнение, которое мы решили на (рис.), Имело только одно алгебраическое решение, но это было постороннее решение. Это не оставило нам решения уравнения. Некоторые уравнения не имеют решения.

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Решить:

    Решение рационального уравнения для конкретной переменной

    Решая линейные уравнения, мы научились решать формулу для конкретной переменной. Многие формулы, используемые в бизнесе, науке, экономике и других областях, используют рациональные уравнения для моделирования отношений между двумя или более переменными.Теперь мы увидим, как решить рациональное уравнение для конкретной переменной.

    Начнем с формулы, связывающей расстояние, скорость и время. Мы использовали его много раз раньше, но обычно не в такой форме.

    Решить:

    (рисунок) использует формулу для наклона, которую мы использовали для получения формы точечного наклона уравнения прямой.

    Решить:

    Обязательно выполните все шаги, указанные на (Рисунок). Это может показаться очень простой формулой, но мы не можем решить ее мгновенно для любого знаменателя.

    Решить

    Решение

    Обратите внимание, что, хотя мы исключили из исходного уравнения, теперь мы должны указать и это.

    Ключевые понятия

    • Стратегия решения уравнений с рациональными выражениями
      1. Обратите внимание на любое значение переменной, при котором знаменатель будет равен нулю.
      2. Найдите наименьший общий знаменатель для всех знаменателей в уравнении.
      3. Очистите дроби, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплей.
      4. Решите полученное уравнение.
      5. Проверить.
      • Если какие-либо значения, найденные на шаге 1, являются алгебраическими решениями, отбросьте их.
      • Проверьте все оставшиеся решения в исходном уравнении.
    Практика ведет к совершенству

    Решите рациональные уравнения

    В следующих упражнениях решите.

    Решение рационального уравнения для конкретной переменной

    В следующих упражнениях решите.

    Повседневная математика

    Покраска дома Ален может покрасить дом за 4 дня.Спиро нужно было 7 дней, чтобы покрасить тот же дом. Решите уравнение для t , чтобы найти количество дней, которое им потребуется, чтобы покрасить дом, если они будут работать вместе.

    дней

    Катание на лодке Ари может проехать 18 миль по течению за то же время, которое требуется, чтобы проехать 10 миль против течения. Если скорость лодки 7 узлов, решите уравнение для c , чтобы найти скорость течения.

    Письменные упражнения

    Почему нет решения уравнения?

    Пит считает, что уравнение имеет два решения.Объясните, почему Пит ошибается.

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

    ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

    Глоссарий

    рациональное уравнение
    Рациональное уравнение — это два рациональных выражения, соединенных знаком равенства.
    Постороннее решение рационального уравнения
    Постороннее решение рационального уравнения — это алгебраическое решение, которое может привести к тому, что любое из выражений в исходном уравнении будет неопределенным.

    рациональных выражений

    Выражение, представляющее собой отношение двух многочленов:

    Это похоже на дробь, но с многочленами.

    Другие примеры:

    x 3 + 2x — 1 6x 2 2x + 9 x 4 — x 2

    Также

    1 2 — х 2 Верхний полином равен «1», и это нормально.
    2x 2 + 3 Да, это так! Как можно было бы также записать:
    2x 2 + 3 1

    Но не

    2 — √ (x) 4 — x верхняя часть не является многочленом (квадратный корень из переменной не допускается)
    1 / x не допускается в полиноме

    В целом

    Рациональная функция — это отношение двух многочленов P (x) и Q (x), как это

    f (x) = P (x) Q (x)

    За исключением того, что Q (x) не может быть нулем (и везде, где Q (x) = 0 не определено)

    Поиск корней рациональных выражений

    «Корень» (или «ноль») — это выражение , равное нулю :

    Чтобы найти корни рационального выражения , нам нужно только найти корни верхнего многочлена , если рациональное выражение находится в «наименьших членах».

    Итак, что означает «Самые низкие термины»?

    Самые низкие термины

    Ну, дробь находится в наименьшем значении, когда верхняя и нижняя части не имеют общих множителей.

    Пример: дроби

    2
    6
    это , а не в самом низком выражении,

    , поскольку 2 и 6 имеют общий множитель «2»

    Но:

    1
    3
    — это в самом низком выражении,

    , поскольку 1 и 3 не имеют общих множителей

    Точно так же рациональное выражение находится в наименьшем значении, когда верх и низ не имеют общих множителей.

    Пример: рациональные выражения

    x 3 + 3x 2 2x это , а не в самом низком выражении,

    как x 3 + 3x 2 и 2x
    имеют общий множитель «х»

    Но

    x 2 + 3x 2 — это в низком выражении,

    как x 2 + 3x и 2 не имеют общих множителей

    Итак, чтобы найти корни рационального выражения :

    • Сократите рациональное выражение до наименьших членов,
    • Затем найдите корни верхнего полинома

    Как нам найти корни? Прочтите «Решение многочленов», чтобы узнать, как это сделать.

    Правильное против неправильного

    Дроби могут быть правильными или неправильными:
    (В «Неправильном» нет ничего плохого, просто другой тип)

    И аналогично:

    Рациональное выражение также может быть правильным или неправильным !

    Но что делает многочлен больше или меньше?

    Степень!

    Для полинома с одной переменной Степень является наибольшим показателем этой переменной.

    Примеры степени:

    4x Степень: 1 (переменная без экспоненты

    фактически имеет показатель степени 1)
    4x 3 — x + 3 Степень 3 (наибольший показатель x)

    Итак, вот как узнать, является ли рациональное выражение правильным или неправильным :

    Правильный: степень верха меньше степени низа.

    Правильный: 1 х + 1 град (верх) <град (низ)

    Другой пример: x x 3 — 1

    Неправильно: степень верха больше или равна степени низа.

    Неправильно: x 2 — 1 x + 1 град (верх) ≥ град (низ)

    Другой пример: 4x 3 -3 5x 3 + 1

    Если полином неправильный, мы можем упростить его с помощью полиномиального деления в длину

    Асимптоты

    Рациональные выражения могут иметь асимптоты (линия , к которой кривая приближается по мере приближения к бесконечности):

    Рациональное выражение может иметь:

    • любое количество вертикальных асимптот,
    • только нулевая или одна горизонтальная асимптота,
    • только нулевая или одна наклонная (наклонная) асимптота

    Поиск горизонтальных или наклонных асимптот

    Найти их довольно просто…

    … но это зависит от степени полинома сверху и снизу .

    Тот, у кого больше диплома, будет расти быстрее всех.

    То же, что «Правильный» и «Неправильный», но на самом деле существует четырех возможных случаев, показано ниже.

    (я показываю тестовое значение x = 1000 для каждого случая, просто чтобы показать, что происходит)

    Давайте рассмотрим каждый из этих примеров по очереди:

    Степень верха

    Меньше Нижнего

    Нижний многочлен будет доминировать, а горизонтальная асимптота равна нулю.

    Пример: f (x) = (3x + 1) / (4x

    2 +1)

    Когда x равно 1000:

    f (1000) = 3001/4000001 = 0,00075 …

    И чем больше x, тем больше f (x) приближается к 0

    градус верха

    равен низу

    Ни один из них не доминирует … асимптота задается старшими членами каждого полинома.

    Пример: f (x) = (3x + 1) / (4x + 1)

    Когда x равен 1000:

    f (1000) = 3001/4001 = 0.750 …

    И чем больше x, тем больше f (x) приближается к 3/4

    Почему 3/4? Поскольку «3» и «4» являются «старшими коэффициентами» каждого полинома

    Члены отсортированы в порядке убывания степени

    (Технически 7 — это постоянная величина, но здесь их все легче представить как коэффициенты.)

    Метод простой:

    Разделите старший коэффициент верхнего многочлена на старший коэффициент нижнего многочлена.

    Вот еще один пример:

    Пример: f (x) = (8x

    3 + 2x 2 — 5x + 1) / (2x 3 + 15x + 2)

    Степени равны (обе имеют степень 3)

    Достаточно взглянуть на старшие коэффициенты каждого полинома:

    • Верхний 8 (из 8x 3 )
    • Снизу 2 (из 2x 3 )

    Итак, существует горизонтальная асимптота на 8/2 = 4

    Степень верха

    1 больше нижнего

    Это особый случай: существует наклонная асимптота , и нам нужно найти уравнение прямой.

    Чтобы решить эту проблему, используйте полиномиальное деление в столбик: разделите верхнюю часть на нижнюю, чтобы найти частное (остаток игнорируйте).

    Пример: f (x) = (3x

    2 +1) / (4x + 1)

    Степень вершины равна 2, а степень основания равна 1, поэтому будет наклонная асимптота

    Нам нужно разделить 3x 2 +1 на 4x + 1 , используя полиномиальное деление в столбик:

    Ответ: (3/4) x- (3/16) (без остатка):

    Асимптота «уравнение прямой»: (3/4) x- (3/16)

    Степень верха

    Больше чем 1 Нижнего

    Когда верхний многочлен на более чем на 1 градус выше нижнего многочлена, не существует горизонтальной или наклонной асимптоты .

    Пример: f (x) = (3x

    3 +1) / (4x + 1)

    Степень верха равна 3, а степень низа 1.

    Вершина находится более чем на 1 градус выше нижней части, поэтому нет горизонтальной или наклонной асимптоты .

    Нахождение вертикальных асимптот

    Есть еще один тип асимптоты, который вызван только нижним многочленом .

    Но сначала: убедитесь, что рациональное выражение выражено в минимальных терминах!

    Когда нижний многочлен равен нулю (любой из его корней), мы получаем вертикальную асимптоту.

    Прочтите раздел Решение многочленов, чтобы узнать, как найти корни

    Из нашего примера выше:

    Пример: (x

    2 -3x) / (2x-2)

    Нижний полином равен 2x-2 , который разлагается на:

    2 (х-1)

    А множитель (x-1) означает, что существует вертикальная асимптота при x = 1 (потому что 1-1 = 0)

    Полный пример

    Пример: эскиз (x − 1) / (x

    2 −9)

    Прежде всего, мы можем разложить на множители нижний многочлен (это разница двух квадратов):

    x − 1 (x + 3) (x − 3)

    Теперь мы видим:

    Корни верхнего многочлена: +1 (здесь пересекает ось x )

    Корни нижнего многочлена: −3 и +3 (это Вертикальные асимптоты )

    Это пересекает ось y , когда x = 0, поэтому давайте установим x равным 0:

    Пересекает ось Y в:
    0−1 (0 + 3) (0−3) = −1 −9 = 1 9

    Мы также знаем, что степень вершины меньше степени основания, поэтому существует горизонтальная асимптота по адресу 0

    .

    Итак, мы можем набросать всю эту информацию:

    И теперь мы можем набросать кривую:

    (Сравните это с графиком (x-1) / (x 2 -9))

    Иллюстративная математика

    Иллюстративная математика

    8 класс
      8.NS. 8 класс — Система счисления
        8.NS.A. Знайте, что есть числа, которые не являются рациональными, и аппроксимируйте их рациональными числами.
          8.NS.A.1. Знайте, что нерациональные числа называются иррациональными. Неформально поймите, что каждое число имеет десятичное расширение; для рациональных чисел показывают, что десятичное представление в конечном итоге повторяется, и преобразует десятичное представление, которое повторяется в конечном итоге, в рациональное число.
          8.2 $). Например, усекая десятичное представление $ \ sqrt {2} $, покажите, что $ \ sqrt {2} $ находится между $ 1 $ и $ 2 $, затем между $ 1,4 $ и $ 1,5 $, и объясните, как продолжить, чтобы получить лучшие приближения. 9 $ и определите, что население мира более чем в 20 $ раз больше.
          8.EE.A.4. Выполняйте операции с числами, выраженными в экспоненциальном представлении, включая задачи, в которых используются как десятичные, так и экспоненциальные представления. Используйте научную нотацию и выбирайте единицы подходящего размера для измерений очень больших или очень малых количеств (например, используйте миллиметры в год для растекания по морскому дну). Интерпретируйте научные обозначения, созданные с помощью технологий.
        8.EE.B. Поймите связи между пропорциональными отношениями, линиями и линейными уравнениями.
          8.EE.B.5. Изобразите пропорциональные отношения, интерпретируя удельную ставку как наклон графика. Сравните два разных пропорциональных отношения, представленных по-разному. Например, сравните график расстояние-время с уравнением расстояние-время, чтобы определить, какой из двух движущихся объектов имеет большую скорость.
          8.EE.B.6. Используйте похожие треугольники, чтобы объяснить, почему наклон $ m $ одинаковый между любыми двумя разными точками на невертикальной линии в координатной плоскости; выведите уравнение $ y = mx $ для линии, проходящей через начало координат, и уравнение $ y = mx + b $ для линии, пересекающей вертикальную ось в точке $ b $.
        8.EE.C. Анализируйте и решайте линейные уравнения и пары одновременных линейных уравнений.
          8.EE.C.7. Решите линейные уравнения с одной переменной.
            8.EE.C.7.a. Приведите примеры линейных уравнений от одной переменной с одним решением, бесконечным числом решений или без решений. Покажите, какая из этих возможностей верна, путем последовательного преобразования данного уравнения в более простые формы, пока не получится эквивалентное уравнение вида $ x = a $, $ a = a $ или $ a = b $ (где $ a $ и $ b $ — разные числа).

            • Пока нет задач, иллюстрирующих этот стандарт.
            8.EE.C.7.b. Решайте линейные уравнения с рациональными числовыми коэффициентами, включая уравнения, решения которых требуют расширения выражений с использованием свойства распределения и сбора похожих членов.

            • Пока нет задач, иллюстрирующих этот стандарт.
          8.EE.C.8. Анализируйте и решайте пары одновременных линейных уравнений.
            8.EE.C.8.a. Поймите, что решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными соответствуют точкам пересечения их графиков, потому что точки пересечения удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.
            8.EE.C.8.b. Решите системы двух линейных уравнений с двумя переменными алгебраически и оцените решения, построив уравнения. Решайте простые случаи путем осмотра. Например, $ 3x + 2y = 5 $ и $ 3x + 2y = 6 $ не имеют решения, потому что $ 3x + 2y $ не могут одновременно быть 5 $ и 6 $.

            • Пока нет задач, иллюстрирующих этот стандарт.
            8.EE.C.8.c. Решайте реальные и математические задачи, приводящие к двум линейным уравнениям с двумя переменными. Например, учитывая координаты двух пар точек, определите, пересекает ли линия, проходящая через первую пару точек, линию, проходящую через вторую пару.
      8.Ф. 8 класс — Функции
        8.Ф.А. Определите, оцените и сравните функции.
          8.F.A.1. Поймите, что функция — это правило, которое назначает каждому входу ровно один выход. График функции — это набор упорядоченных пар, состоящих из входа и соответствующего выхода.
          8.F.A.2. Сравните свойства двух функций, каждая из которых представлена ​​по-разному (алгебраическим, графическим, числовым в таблицах или словесным описанием). Например, для линейной функции, представленной таблицей значений, и линейной функции, представленной алгебраическим выражением, определите, какая функция имеет большую скорость изменения.2 $, дающая площадь квадрата как функцию длины его стороны, не является линейным, потому что его график содержит точки $ (1,1) $, $ (2,4) $ и $ (3,9) $, которые не по прямой.
        8.Ф. Используйте функции для моделирования отношений между количествами.
          8.F.B.4. Постройте функцию для моделирования линейной зависимости между двумя величинами. Определите скорость изменения и начальное значение функции из описания отношения или из двух значений $ (x, y) $, включая чтение их из таблицы или из графика.Интерпретируйте скорость изменения и начальное значение линейной функции в терминах моделируемой ситуации, а также в терминах ее графика или таблицы значений.
          8.F.B.5. Опишите качественно функциональную взаимосвязь между двумя величинами, анализируя график (например, где функция увеличивается или уменьшается, линейная или нелинейная). Нарисуйте график, демонстрирующий качественные характеристики функции, которая была описана устно.
      8.G. 8 класс — Геометрия
        8.Г.А. Поймите соответствие и сходство с помощью физических моделей, прозрачностей или программного обеспечения для работы с геометрией.
          8.G.A.1. Проверьте экспериментально свойства вращений, отражений и перемещений:
            8.G.A.1.a. Линии преобразуются в линии, а сегменты линий — в сегменты линии одинаковой длины.

            • Пока нет задач, иллюстрирующих этот стандарт.
            8.G.A.1.б. Углы принимаются к углам той же меры.

            • Пока нет задач, иллюстрирующих этот стандарт.
            8.G.A.1.c. Параллельные прямые переходят в параллельные.

            • Пока нет задач, иллюстрирующих этот стандарт.
          8.G.A.2. Поймите, что двухмерная фигура конгруэнтна другой, если вторая может быть получена из первой последовательностью поворотов, отражений и перемещений; учитывая две совпадающие фигуры, опишите последовательность, которая демонстрирует соответствие между ними.
          8.G.A.3. Опишите влияние расширений, перемещений, вращений и отражений на двумерные фигуры с помощью координат.
          8.G.A.4. Поймите, что двухмерная фигура похожа на другую, если вторая может быть получена из первой последовательностью поворотов, отражений, перемещений и растяжений; для двух одинаковых двумерных фигур опишите последовательность, демонстрирующую сходство между ними.
          8.G.A.5. Используйте неформальные аргументы, чтобы установить факты о сумме углов и внешнем угле треугольников, об углах, образующихся, когда параллельные прямые пересекаются трансверсалью, и о критерии подобия треугольников угол-угол. Например, расположите три копии одного и того же треугольника так, чтобы сумма трех углов составляла линию, и укажите, почему это так, в терминах трансверсалей.
        8. г. Поймите и примените теорему Пифагора.
          8.G.B.6. Объясните доказательство теоремы Пифагора и ее обращения.
          8.G.B.7. Примените теорему Пифагора для определения неизвестных длин сторон прямоугольных треугольников в реальных и математических задачах в двух и трех измерениях.
          8.G.B.8. Примените теорему Пифагора, чтобы найти расстояние между двумя точками в системе координат.
        8. г. Решайте реальные и математические задачи, связанные с объемом цилиндров, конусов и сфер.
          8.G.C.9. Знать формулы объемов конусов, цилиндров и сфер и использовать их для решения реальных и математических задач.
      8.SP. 8 класс — Статистика и вероятность
        8.SP.A. Изучите закономерности ассоциации в двумерных данных.
          8.SP.A.1. Постройте и интерпретируйте графики разброса для данных двумерных измерений, чтобы исследовать закономерности связи между двумя величинами. Опишите шаблоны, такие как кластеризация, выбросы, положительная или отрицательная ассоциация, линейная ассоциация и нелинейная ассоциация.
          8.SP.A.2. Знайте, что прямые линии широко используются для моделирования отношений между двумя количественными переменными. Для диаграмм рассеяния, которые предполагают линейную связь, неформально установите прямую линию и неформально оцените соответствие модели, судя о близости точек данных к линии.
          8.SP.A.3. Используйте уравнение линейной модели для решения проблем в контексте данных двумерных измерений, интерпретируя наклон и точку пересечения. Например, в линейной модели для биологического эксперимента интерпретируйте наклон 1.5 см / час, что означает, что дополнительный час солнечного света каждый день связан с дополнительными 1,5 см высоты зрелого растения.
          8.SP.A.4. Поймите, что закономерности ассоциации также можно увидеть в двумерных категориальных данных, отображая частоты и относительные частоты в двухсторонней таблице. Постройте и интерпретируйте двустороннюю таблицу, суммирующую данные по двум категориальным переменным, собранным от одних и тех же субъектов. Используйте относительные частоты, рассчитанные для строк или столбцов, чтобы описать возможную связь между двумя переменными.Например, соберите данные у учащихся вашего класса о том, установлен ли у них комендантский час по вечерам в школе и назначили ли они работу по дому. Есть ли доказательства того, что те, у кого установлен комендантский час, также склонны выполнять работу по дому?

    вопросов по алгебре с ответами и решениями для 8 класса


  7. A) -2x + 5 + 10x — 9: дано

    = (10x — 2x) + (5-9): сложить одинаковые термины вместе

    = 8x — 4: группа

    B) 3 (x + 7) + 2 (-x + 4) + 5x: дано

    = 3x + 21 — 2x + 8 + 5x: развернуть

    = (3x — 2x + 5x) + (21 + 8): сложите одинаковые термины вместе

    = 6x + 29: группа


  8. A) (2x — 6) / 2: дано

    = 2 (x — 3) / 2: множитель 2 в числителе

    = x — 3: разделите числитель и знаменатель на 2 для упрощения

    B) (-x — 2) / (x + 2): задано

    = -1 (x + 2) / (x + 2): множитель -1 в числителе

    = -1: разделите числитель и знаменатель на x + 2, чтобы упростить

    C) (5x — 5) / 10: дано

    = 5 (x — 1) / 10: множитель 5 в числителе

    = (x — 1) / 2: разделите числитель и знаменатель на 5 для упрощения


  9. A) -x = 6: дано

    x = -6: умножьте обе части уравнения на -1.

    B) 2x — 8 = -x + 4: задано

    2x — 8 + 8 = -x + 4 + 8: прибавить +8 к обеим частям уравнения

    2x = -x + 12: группировать похожие термины

    2x + x = -x + 12 + x: добавить + x к обеим сторонам

    3x = 12: группировать похожие термины

    x = 4: обе стороны одновременно на 1/3

    C) 2x + 1/2 = 2/3: дано

    2x + 1/2 — 1/2 = 2/3 — 1/2: вычесть 1/2 с обеих сторон

    2x = 1/6: группировать похожие термины

    x = 1/12: умножить обе стороны на 1/2

    D) x / 3 + 2 = 5: дано

    x / 3 + 2-2 = 5-2: вычесть 2 с обеих сторон

    x / 3 = 3: группировать похожие термины

    x = 9: умножить обе стороны на 1/2

    E) -5 / x = 2: задано

    -5 = 2x: умножить обе стороны на x и упростить

    -5/2 = x:: умножить обе стороны на 1/2


  10. A) x 2 — y 2 , x = 4, y = 5: задано

    4 2 — 5 2 : замените x и y заданными значениями

    = 16–25 = -9

    B) | 4x — 2y | , x = -2, y = 3: задано

    | 4 (-2) — 2 (3) | : заменить x и y заданными значениями

    = | -14 | = 14: оценить

    C) 3x 3 — 4y 4 , x = -1, y = -2: задано

    3 (-1) 3 — 4 (-2) 4 : заменить x и y заданными значениями

    = -3 — 64 = -67: оценить


  11. A) x + 6 <0: задано
    x + 6-6 <-6: вычесть 6 с обеих сторон
    x <-6: группировать похожие термины

    B) x + 1> 5: дано

    x + 1-1> 5-1: вычесть 1 с обеих сторон

    x> 4: группировать похожие термины

    C) 2 (x — 2) <12: задано
    x — 2 <6: одновременно обе стороны на 1/2
    x — 2 + 2 <6 + 2: прибавить 2 к обеим сторонам
    x <8: группировать похожие термины


  12. A) (-1) a = 1: определение: a — величина, обратная -1

    a = 1 / -1 = -1: решить относительно a; -1 является обратной величиной -1

    B) (0) b = 1: определение: b является обратной величиной 0

    b = undefined: ни одно значение b не удовлетворяет приведенному выше уравнению

    C) (3/4) c = 1: определение: c является обратной величиной 3/4

    c = 4/3: решить относительно c; c = 4/3 — величина, обратная 3/4

    D) (2 5/7) d = 1: определение: d — величина, обратная 2 5/7.
    (19/7) d = 1: преобразовать смешанное число 2 5/7 в дробь.

    d = 7/19:: решить относительно d; d = 7/19 является обратной величиной 2 (5/7)

    E) 0,02 d = 1: определение: d — величина, обратная 0,02.

    d = 1 / 0,02: решить относительно d; d = 50 — величина, обратная 0,02


  13. A) 3 3/4 + 6 1/7: дано

    = (3 + 6) + (3/4 + 1/7): сложите целые части и дробные части вместе.

    = 9 + (21/28 + 4/28): доп.

    = 9 25/28

    B) (1 3/5) (3 1/3) — 2 1/2: дано

    = (8/5) (10/3) — 2 1/2: преобразовать смешанные числа в дробные числа.
    = 80/15 — 2 1/2 = 5 1/3 — 2 1/2 = 4 4/3 — 2 1/2: дублируйте и запишите смешанное число, если это возможно

    = (4-2) + (4/3 — 1/2): вычесть

    = 2 5/6

    C) (5 2/3) (4 1/5): дано

    = (17/3) (21/5): преобразовать смешанные числа в дроби.

    = 85/63: разделить дроби

    = 1 22/63: написать смешанное число

    D) (3 4/7 — 1 1/2) (2 3/8 + 2 1/4): дано

    = [(3 — 1) + (4/7 — 1/2)] [(2 + 2) + (3/8 + 1/4)]: вычислить числитель и знаменатель как дроби.
    = (2 1/14) (4 5/8)

    = (29/14) (37/8)

    = 116/259


  14. A) — 4 2 = — (4 4) = -16: развернуть и вычислить

    B) (-2) 3 = (-2) (- 2) (- 2) = -8: развернуть и вычислить

    C) 1000 0 = 1: определение: любое ненулевое число в нулевой степени дает 1

    D) 566 1 = 566


  15. А) 0,02 = 1/50

    B) 12% = 3/25

    C) 0,5% = 1/200

    D) 1,12 = 28/25

  16. А) 1/5 = 0.2

    В) 120% = 1,2

    C) 0,2% = 0,002

    D) 4 8/5 = 5,6

  17. А) 3/10 = 30%

    В) 1,4 = 140%

    C) 123,45 = 12345%

    D) 2 4/5 = 280%

  18. A) 156312, делится на 3

    B) 176314, не делится на 3

  19. A) 3432, делится на 4

    B) 1257, не делится на 4

  20. A) 1233, не делится на 6

    B) 3432, делится на 6

  21. A) 2538, делится на 9

    B) 1451, не делится на 9

  22. Вычислите 8x + 7, учитывая, что x — 3 = 10.
    x — 3 = 10: данное уравнение

    x = 10 + 3 = 13: решить данное уравнение.

    8 (13) + 7 = 111 замените x на 3 в данном выражении и оцените.
  23. 8.1 Упростите рациональные выражения — элементарная алгебра 2e

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Определить значения, для которых рациональное выражение не определено
    • Вычислить рациональные выражения
    • Упростите рациональные выражения
    • Упростите рациональные выражения с помощью противоположных факторов

    Будьте готовы 8.1

    Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

    Если вы пропустили проблему, вернитесь в указанный раздел и просмотрите материал.

    Упростить: 90y15y2.90y15y2.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 6.66.

    Будьте готовы 8.2

    Фактор: 6×2−7x + 2,6×2−7x + 2.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 7.34.

    Будьте готовы 8,3

    Фактор: n3 + 8.n3 + 8.
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 7.54.

    В главе 1 мы рассмотрели свойства дробей и их действия. Мы ввели рациональные числа, которые представляют собой просто дроби, где числители и знаменатели являются целыми числами, а знаменатель не равен нулю.

    В этой главе мы будем работать с дробями, числители и знаменатели которых являются полиномами. Мы называем эти выражения рациональными.

    Рациональное выражение

    Рациональное выражение — это выражение вида p (x) q (x), p (x) q (x), где p и q — многочлены, а q ≠ 0.q ≠ 0.

    Помните, деление на 0 не определено.

    Вот несколько примеров рациональных выражений:

    −13427y8z5x + 2×2−74×2 + 3x − 12x − 8−13427y8z5x + 2×2−74×2 + 3x − 12x − 8

    Обратите внимание, что первое рациональное выражение, перечисленное выше, −1342, −1342, является всего лишь дробью. Поскольку константа является полиномом нулевой степени, отношение двух констант является рациональным выражением при условии, что знаменатель не равен нулю.

    Мы будем выполнять те же операции с рациональными выражениями, что и с дробями.Мы будем упрощать, складывать, вычитать, умножать, делить и использовать их в приложениях.

    Определите значения, для которых рациональное выражение не определено

    Когда мы работаем с числовой дробью, легко избежать деления на ноль, потому что мы можем видеть число в знаменателе. Чтобы избежать деления на ноль в рациональном выражении, мы не должны допускать значений переменной, которые сделают знаменатель равным нулю.

    Если знаменатель равен нулю, рациональное выражение не определено.Числитель рационального выражения может быть 0, но не знаменатель.

    Итак, прежде чем мы начнем какую-либо операцию с рациональным выражением, мы сначала исследуем его, чтобы найти значения, которые сделали бы знаменатель нулевым. Таким образом, когда мы решаем, например, рациональное уравнение, мы будем знать, допустимы ли найденные нами алгебраические решения.

    How To

    Определите значения, для которых рациональное выражение не определено.
    1. Шаг 1. Установите знаменатель равным нулю.
    2. Шаг 2. Решите уравнение в множестве действительных чисел, если возможно.

    Пример 8.1

    Определите значения, для которых рациональное выражение не определено:

    ⓐ 9yx9yx ⓑ 4b − 32b + 54b − 32b + 5 ⓒ x + 4×2 + 5x + 6x + 4×2 + 5x + 6

    Решение

    Выражение будет неопределенным, если знаменатель равен нулю.

    9yx9yx
    Установите знаменатель равным нулю.Найдите переменную. х = 0х = 0
    9yxis undefined forx = 0.9yxis undefined forx = 0.

    4b − 32b + 54b − 32b + 5
    Установите знаменатель равным нулю. Найдите переменную. 2b + 5 = 02b = −5b = −522b + 5 = 02b = −5b = −52
    4b − 32b + 54b − 32b + 5 не определено для b = −52.b = −52.

    х + 4х2 + 5х + 6х + 4х2 + 5х + 6
    Установите знаменатель равным нулю.Найдите переменную. x2 + 5x + 6 = 0 (x + 2) (x + 3) = 0x + 2 = 0orx + 3 = 0x = −2orx = −3×2 + 5x + 6 = 0 (x + 2) (x + 3) = 0x + 2 = 0 или x + 3 = 0x = −2или x = −3
    x + 4×2 + 5x + 6x + 4×2 + 5x + 6 не определено для x = −2orx = −3.x = −2orx = −3.

    Утверждение, что рациональное выражение x + 4×2 + 5x + 6x + 4×2 + 5x + 6 не определено для x = −2orx = −3x = −2orx = −3, аналогично написанию фразы «недействительно там, где запрещено» в правилах конкурса.

    Попробуйте 8.1

    Определите значения, для которых рациональное выражение не определено:

    ⓐ 3yx3yx ⓑ 8n − 53n + 18n − 53n + 1 ⓒ a + 10a2 + 4a + 3a + 10a2 + 4a + 3

    Попробовать 8.2

    Определите значения, для которых рациональное выражение не определено:

    ⓐ 4p5q4p5q ⓑ y − 13y + 2y − 13y + 2 ⓒ m − 5m2 + m − 6m − 5m2 + m − 6

    Оценить рациональные выражения

    Чтобы оценить рациональное выражение, мы подставляем значения переменных в выражение и упрощаем его, как и для многих других выражений в этой книге.

    Пример 8.2

    Вычислить 2x + 33x − 52x + 33x − 5 для каждого значения:

    ⓐ x = 0x = 0 ⓑ x = 2x = 2 ⓒ x = −3x = −3

    Попробовать 8.3

    Вычислить y + 12y − 3y + 12y − 3 для каждого значения:

    ⓐ y = 1y = 1 ⓑ y = −3y = −3 ⓒ y = 0y = 0

    Попробовать 8.4

    Вычислить 5x − 12x + 15x − 12x + 1 для каждого значения:

    ⓐ x = 1x = 1 ⓑ x = −1x = −1 ⓒ x = 0x = 0

    Пример 8.3

    Вычислить x2 + 8x + 7×2−4×2 + 8x + 7×2−4 для каждого значения:

    ⓐ x = 0x = 0 ⓑ x = 2x = 2 ⓒ x = −1x = −1

    Попробовать 8.5

    Вычислить x2 + 1×2−3x + 2×2 + 1×2−3x + 2 для каждого значения:

    ⓐ x = 0x = 0 ⓑ x = −1x = −1 ⓒ x = 3x = 3

    Попробовать 8.6

    Вычислить x2 + x − 6×2−9×2 + x − 6×2−9 для каждого значения:

    ⓐ x = 0x = 0 ⓑ x = −2x = −2 ⓒ x = 1x = 1

    Помните, что дробь упрощается, если у нее нет общих множителей, кроме 1, в числителе и знаменателе. Когда мы вычисляем рациональное выражение, мы стараемся упростить полученную дробь.

    Пример 8.4

    Вычислить a2 + 2ab + b23ab2a2 + 2ab + b23ab2 для каждого значения:

    ⓐ a = 1, b = 2a = 1, b = 2 ⓑ a = −2, b = −1a = −2, b = −1 ⓒ a = 13, b = 0a = 13, b = 0

    Решение

    a2 + 2ab + b23ab2a2 + 2ab + b23ab2, когда a = 13, b = 0a = 13, b = 0.
    Упростить.
    Выражение не определено.

    Попробовать 8,7

    Вычислить 2a3ba2 + 2ab + b22a3ba2 + 2ab + b2 для каждого значения:

    ⓐ a = −1, b = 2a = −1, b = 2 ⓑ a = 0, b = −1a = 0, b = −1 ⓒ a = 1, b = 12a = 1, b = 12

    Попробуйте 8.8

    Вычислить a2 − b28ab3a2 − b28ab3 для каждого значения:

    ⓐ a = 1, b = −1a = 1, b = −1 ⓑ a = 12, b = −1a = 12, b = −1 ⓒ a = −2, b = 1a = −2, b = 1

    Упростите рациональные выражения

    Точно так же, как дробь считается упрощенной, если в ее числителе и знаменателе нет общих множителей, кроме 1, рациональное выражение — это упрощенное , если у него нет общих множителей, кроме 1, в числителе и знаменателе.

    Упрощенное рациональное выражение

    Рациональное выражение считается упрощенным, если в его числителе и знаменателе нет общих множителей.

    Например:

    • 2323 упрощено, потому что нет общих множителей 2 и 3.
    • 2x3x2x3x не упрощается, потому что x является общим множителем 2 x и 3 x .

    Мы используем свойство эквивалентных дробей для упрощения числовых дробей.Мы повторяем это здесь, поскольку мы также будем использовать его для упрощения рациональных выражений.

    Свойство эквивалентных дробей

    Если a , b и c — числа, где b ≠ 0, c ≠ 0b ≠ 0, c ≠ 0, то ab = a · cb · cab = a · cb · c и a · cb · с = aba · cb · c = ab.

    Обратите внимание, что в свойстве «Эквивалентные дроби» значения, делающие знаменатели равными нулю, специально запрещены. Мы видим, что b ≠ 0, c ≠ 0b ≠ 0, c ≠ 0 четко сформулированы. Каждый раз, когда мы пишем рациональное выражение, мы должны делать аналогичное утверждение, запрещающее значения, при которых знаменатель будет равен нулю.Однако, чтобы мы могли сосредоточиться на текущей работе, мы не будем писать ее в примерах.

    Давайте начнем с обзора того, как мы упрощаем числовые дроби.

    Пример 8.5

    Упростить: −3663. − 3663.

    Решение
    Перепишите числитель и знаменатель, указав общие множители.
    Упростите, используя свойство «Эквивалентные дроби».

    Обратите внимание, что дробь −47−47 упрощена, поскольку больше нет общих множителей.

    Попробовать 8.9 ​​

    Упростить: -4581.-4581.

    Попробуйте 8.10

    Упростить: −4254. − 4254.

    На протяжении всей этой главы мы будем предполагать, что все числовые значения, которые делают знаменатель равным нулю, исключаются. Мы не будем писать ограничения для каждого рационального выражения, но имейте в виду, что знаменатель никогда не может быть нулевым.Итак, в следующем примере x ≠ 0x ≠ 0 и y ≠ 0y ≠ 0.

    Пример 8.6

    Упростить: 3xy18x2y2.3xy18x2y2.

    Решение
    Перепишите числитель и знаменатель, указав общие множители.
    Упростите, используя свойство «Эквивалентные дроби».

    Вы заметили, что это те же шаги, которые мы предприняли, когда разделили одночлены на многочлены?

    Попробовать 8.11

    Упростить: 4x2y12xy2.4x2y12xy2.

    Попробуйте 8.12

    Упростить: 16x2y2xy2.16x2y2xy2.

    Чтобы упростить рациональные выражения, сначала запишем числитель и знаменатель в факторизованной форме. Затем мы удаляем общие множители, используя свойство Equivalent Fractions Property.

    Будьте очень осторожны при удалении общих факторов. Факторы умножаются, чтобы сделать продукт. Вы можете удалить фактор из продукта. Вы не можете удалить член из суммы.

    Обратите внимание, что удаление x из x + 5xx + 5x было бы похоже на удаление двоек в дроби 2 + 522 + 52!

    Пример 8.7

    Как упростить рациональные биномы

    Упростить: 2x + 85x + 20,2x + 85x + 20.

    Решение

    Попробуйте 8.13

    Упростить: 3x − 62x − 4,3x − 62x − 4.

    Попробуйте 8.14

    Упростить: 7y + 355y + 25,7y + 355y + 25.

    Теперь мы суммируем шаги, которые вы должны выполнить, чтобы упростить рациональные выражения.

    How To

    Упростите рациональное выражение.
    1. Шаг 1. Полностью разложите числитель и знаменатель на множители.
    2. Шаг 2. Упростите, разделив общие множители.

    Обычно мы оставляем упрощенное рациональное выражение в факторизованном виде. Таким образом легко проверить, что мы удалили все общие факторы!

    Мы будем использовать методы, описанные в разделе Факторинг, чтобы разложить многочлены в числители и знаменатели в следующих примерах.

    Пример 8.8

    Упростить: x2 + 5x + 6×2 + 8x + 12.×2 + 5x + 6×2 + 8x + 12.

    Решение

    x2 + 5x + 6×2 + 8x + 12 Разложите числитель и знаменатель на множители.(x + 2) (x + 3) (x + 2) (x + 6) Удалите общий множитель x + 2 из числителя и знаменателя. (x + 2) (x + 3) (x + 2) (x + 6 ) x + 3x + 6×2 + 5x + 6×2 + 8x + 12 Разложите на множители числитель и знаменатель. (x + 2) (x + 3) (x + 2) (x + 6) Удалите общий множитель x + 2 из числителя и знаменателя. (x + 2) (x + 3) (x + 2) (x + 6) x + 3x + 6

    Можете ли вы сказать, какие значения x должны быть исключены в этом примере?

    Попробуйте 8.15

    Упростить: x2 − x − 2×2−3x + 2.×2 − x − 2×2−3x + 2.

    Попробуйте 8.16

    Упростить: x2−3x − 10×2 + x − 2.×2−3x − 10×2 + x − 2.

    Пример 8.9

    Упростим: y2 + y − 42y2−36.y2 + y − 42y2−36.

    Решение

    y2 + y − 42y2−36 Разложите числитель и знаменатель на множители. (Y + 7) (y − 6) (y + 6) (y − 6) Удалите из числителя и знаменателя общее factory − 6. (Y + 7) ( y − 6) (y + 6) (y − 6) y + 7y + 6y2 + y − 42y2−36 Разложите числитель и знаменатель на множители. (y + 7) (y − 6) (y + 6) (y − 6) Удалите из числителя и знаменателя общую фабрику −6. (Y + 7) (y − 6) (y + 6) (y − 6) y + 7y + 6

    Попробуйте 8.17

    Упростить: x2 + x − 6×2−4.х2 + х − 6×2−4.

    Попробуйте 8.18

    Упростить: x2 + 8x + 7×2−49.×2 + 8x + 7×2−49.

    Пример 8.10

    Упростим: p3−2p2 + 2p − 4p2−7p + 10.p3−2p2 + 2p − 4p2−7p + 10.

    Решение

    p3−2p2 + 2p − 4p2−7p + 10 Разложите числитель и знаменатель на множители, используя группировку для разложения числителя. P2 (p − 2) +2 (p − 2) (p − 5) (p − 2) (p2 + 2) (p − 2) (p − 5) (p − 2) Удалите общий множитель p − 2 из числителя и знаменателя. (P2 + 2) (p − 2) (p − 5) (p − 2) p2 + 2p − 5p3−2p2 + 2p − 4p2−7p + 10 Разложите числитель и знаменатель на множители, используя группировку, чтобы разложить числитель на множители.p2 (p − 2) +2 (p − 2) (p − 5) (p − 2) (p2 + 2) (p − 2) (p − 5) (p − 2) Удалите общий множитель p − 2 из числитель и знаменатель. (p2 + 2) (p − 2) (p − 5) (p − 2) p2 + 2p − 5

    Попробуйте 8.19

    Упростим: y3−3y2 + y − 3y2 − y − 6.y3−3y2 + y − 3y2 − y − 6.

    Попробуйте 8.20

    Упростим: p3 − p2 + 2p − 2p2 + 4p − 5.p3 − p2 + 2p − 2p2 + 4p − 5.

    Пример 8.11

    Упростить: 2n2−14n4n2−16n − 48.2n2−14n4n2−16n − 48.

    Решение

    2n2−14n4n2−16n − 48 Разложите на множитель числитель и знаменатель, предварительно вычленив GCF.2n (n − 7) 4 (n2−4n − 12) 2n (n − 7) 4 (n − 6) (n + 2) Удалите общий множитель, 2.2n (n − 7) 2 · 2 (n − 6 ) (n + 2) n (n − 7) 2 (n − 6) (n + 2) 2n2−14n4n2−16n − 48 Разложите числитель и знаменатель на множители, сначала вычитая GCF. 2n (n − 7) 4 (n2 −4n − 12) 2n (n − 7) 4 (n − 6) (n + 2) Удалите общий множитель, 2.2n (n − 7) 2 · 2 (n − 6) (n + 2) n (n −7) 2 (п − 6) (п + 2)

    Попробуйте 8.21

    Упростить: 2n2−10n4n2−16n − 20.2n2−10n4n2−16n − 20.

    Попробовать 8.22

    Упростить: 4×2−16x8x2−16x − 64,4×2−16x8x2−16x − 64.

    Пример 8.12

    Упростить: 3b2−12b + 126b2−24.3b2−12b + 126b2−24.

    Решение

    3b2−12b + 126b2−24 Разложите числитель и знаменатель на множители, сначала вычленив GCF. 3 (b2−4b + 4) 6 (b2−4) 3 (b − 2) (b − 2) 6 (b + 2) (b − 2) Удалите общие множители b − 2 и 3.3 (b − 2) (b − 2) 3 · 2 (b + 2) (b − 2) b − 22 (b + 2) 3b2−12b + 126b2. −24 Разложите на множитель числитель и знаменатель, сначала вычтя GCF. 3 (b2−4b + 4) 6 (b2−4) 3 (b − 2) (b − 2) 6 (b + 2) (b − 2) Удалить общие множители b − 2 и 3.3 (b − 2) (b − 2) 3 · 2 (b + 2) (b − 2) b − 22 (b + 2)

    Попробуйте 8.23 ​​

    Упростить: 2×2−12x + 183×2−27.2×2−12x + 183×2−27.

    Попробовать 8.24

    Упростить: 5y2−30y + 252y2−50. 5y2−30y + 252y2−50.

    Пример 8.13

    Упростить: m3 + 8m2−4.m3 + 8m2−4.

    Решение

    m3 + 8m2−4 Разложите числитель и знаменатель на множители, используя формулы для суммы кубов и разности квадратов. (M + 2) (m2−2m + 4) (m + 2) (m − 2) Удалите общий множитель m + 2. (m + 2) (m2−2m + 4) (m + 2) (m − 2) m2−2m + 4m − 2m3 + 8m2−4 Разложите числитель и знаменатель на множители, используя формулы для суммы кубов и разности квадратов. .(m + 2) (m2−2m + 4) (m + 2) (m − 2) Удалите общий множитель m + 2. (m + 2) (m2−2m + 4) (m + 2) (m− 2) м2−2м + 4м − 2

    Попробовать 8.25

    Упростить: p3−64p2−16.p3−64p2−16.

    Попробуйте 8.26

    Упростить: x3 + 8×2−4.×3 + 8×2−4.

    Упростите рациональные выражения с помощью противоположных факторов

    Теперь мы увидим, как упростить рациональное выражение, числитель и знаменатель которого имеют противоположные множители. Начнем с числовой дроби, скажем 7−77−7. Мы знаем, что эта дробь упрощается до −1−1.Мы также понимаем, что числитель и знаменатель противоположны.

    В Основах мы ввели противоположные обозначения: противоположность aa — это −a − a. Мы также помним, что −a = −1 · a − a = −1 · a.

    Мы упрощаем дробь a − aa − a, числитель и знаменатель которой противоположны, следующим образом:

    a − a Мы могли бы переписать это.1 · a − 1 · aУдалить общие множители.1−1Simplify. − 1a-aМы могли бы переписать это.1 · a − 1 · aУдалить общие множители.1−1Simplify. − 1

    Таким же образом мы можем упростить дробь x − 3− (x − 3) x − 3− (x − 3):

    Мы могли бы это переписать.1 · (x − 3) −1 · (x − 3) Удалите общие множители. 1−1Simplify. − 1 Мы могли бы переписать это: 1 · (x − 3) −1 · (x − 3) Удалите общие множители. 1−1Simplify. − 1

    Но противоположность x − 3x − 3 можно было бы записать иначе:

    — (x − 3) Распределить. − x + 3 Перепишите.3 − x− (x − 3) Распределите. − x + 3 Перепишите.3 − x

    Это означает, что дробь x − 33 − xx − 33 − x упрощается до −1−1.

    В общем, мы могли бы записать противоположность a-ba-b как b-ab-a. Таким образом, рациональное выражение a − bb − aa − bb − a упрощается до −1−1.

    Противоположности в рациональном выражении

    Противоположность a-ba-b есть b-ab-a.

    a − bb − a = −1a ≠ ba − bb − a = −1a ≠ b

    Выражение и противоположное ему выражение делятся на -1-1.

    Мы будем использовать это свойство для упрощения рациональных выражений, которые содержат противоположности в числителях и знаменателях.

    Пример 8.14

    Упростить: x − 88 − x.x − 88 − x.

    Решение

    x − 88 − x Распознать, что x − 8 и 8 − x — противоположности. − 1x − 88 − x Распознать, что x − 8 и 8 − x — противоположности. −1

    Попробовать 8.27

    Упростить: y − 22 − y.y − 22 − y.

    Попробовать 8.28

    Упростите: n − 99 − n.n − 99 − n.

    Помните, что первым шагом к упрощению рационального выражения является полное разложение числителя и знаменателя на множители.

    Пример 8.15

    Упростить: 14−2xx2−49.14−2xx2−49.

    Решение
    Разделите числитель и знаменатель на множители.
    Признайте, что 7 − xandx − 7 — противоположности, 7 − xandx − 7 — противоположности.
    Упростить.

    Попробуйте 8,29

    Упростить: 10−2yy2−25.10−2yy2−25.

    Попробовать 8.30

    Упростить: 3y − 2781 − y2.3y − 2781 − y2.

    Пример 8.16

    Упростить: x2−4x − 3264 − x2.x2−4x − 3264 − x2.

    Решение
    Разделите числитель и знаменатель на множители.
    Распознавайте противоположные факторы.
    Упростить.

    Попробуйте 8.31

    Упростить: x2−4x − 525 − x2.x2−4x − 525 − x2.

    Попробуйте 8.32

    Упростить: x2 + x − 21 − x2.x2 + x − 21 − x2.

    Раздел 8.1 Упражнения

    Практика ведет к совершенству

    В следующих упражнениях определите значения, для которых рациональное выражение не определено.

    1.

    ⓐ 2xz2xz
    Ⓑ 4п − 16п − 54п − 16п − 5
    Ⓒ n − 3n2 + 2n − 8n − 3n2 + 2n − 8

    2.

    ⓐ 10м11н10м11н
    Ⓑ 6y + 134y − 96y + 134y − 9
    Ⓒ б − 8b2−36b − 8b2−36

    3.

    ⓐ 4x2y3y4x2y3y
    Ⓑ 3x − 22x + 13x − 22x + 1
    Ⓒ u − 1u2−3u − 28u − 1u2−3u − 28

    4.

    ⓐ 5pq29q5pq29q
    Ⓑ 7a − 43a + 57a − 43a + 5
    Ⓒ 1×2−41×2−4

    Оценить рациональные выражения

    В следующих упражнениях оцените рациональное выражение для данных значений.

    5.

    2xx − 12xx − 1

    ⓐ х = 0х = 0
    Ⓑ х = 2х = 2
    Ⓒ х = -1 х = -1

    6.

    4y − 15y − 34y − 15y − 3

    ⓐ у = 0у = 0
    Ⓑ у = 2у = 2
    Ⓒ у = -1у = -1

    7.

    2к + 3п2 + 12п + 3п2 + 1

    ⓐ p = 0p = 0
    Ⓑ p = 1p = 1
    Ⓒ p = −2p = −2

    8.

    х + 32−3xx + 32−3x

    ⓐ х = 0х = 0
    Ⓑ х = 1х = 1
    Ⓒ х = −2x = −2

    9.

    y2 + 5y + 6y2−1y2 + 5y + 6y2−1

    ⓐ у = 0у = 0
    Ⓑ у = 2у = 2
    Ⓒ y = −2y = −2

    10.

    z2 + 3z − 10z2−1z2 + 3z − 10z2−1

    ⓐ z = 0z = 0
    Ⓑ z = 2z = 2
    Ⓒ z = −2z = −2

    11.

    a2−4a2 + 5a + 4a2−4a2 + 5a + 4

    ⓐ а = 0 а = 0
    Ⓑ а = 1а = 1
    Ⓒ a = −2a = −2

    12.

    b2 + 2b2−3b − 4b2 + 2b2−3b − 4

    ⓐ b = 0b = 0
    Ⓑ б = 2б = 2
    Ⓒ b = −2b = −2

    13.

    x2 + 3xy + 2y22x3yx2 + 3xy + 2y22x3y

    1. ⓐ x = 1, y = −1x = 1, y = −1
    2. ⓑ x = 2, y = 1x = 2, y = 1
    3. ⓒ x = −1, y = −2x = −1, y = −2

    14.

    c2 + cd − 2d2cd3c2 + cd − 2d2cd3

    1. ⓐ c = 2, d = −1c = 2, d = −1
    2. ⓑ c = 1, d = −1c = 1, d = −1
    3. ⓒ c = -1, d = 2c = -1, d = 2

    15.

    м2−4n25мн3м2−4n25мн3

    1. ⓐ m = 2, n = 1m = 2, n = 1
    2. ⓑ м = -1, п = -1 м = -1, п = -1
    3. ⓒ m = 3, n = 2m = 3, n = 2

    16.

    2с2ц2−9т22с2ц2−9т2

    1. ⓐ s = 4, t = 1s = 4, t = 1
    2. ⓑ s = -1, t = -1 s = -1, t = -1
    3. ⓒ s = 0, t = 2s = 0, t = 2

    Упростите рациональные выражения

    Упростите следующие упражнения.

    27.

    3c − 95c − 153c − 95c − 15

    30.

    8n − 963n − 368n − 963n − 36

    31.

    12п − 2405п − 10012п − 2405п − 100

    33.

    a2 − a − 12a2−8a + 16a2 − a − 12a2−8a + 16

    34.

    x2 + 4x − 5×2−2x + 1×2 + 4x − 5×2−2x + 1

    35.

    y2 + 3y − 4y2−6y + 5y2 + 3y − 4y2−6y + 5

    36.

    v2 + 8v + 15v2 − v − 12v2 + 8v + 15v2 − v − 12

    37.

    x2−25×2 + 2x − 15×2−25×2 + 2x − 15

    38.

    a2−4a2 + 6a − 16a2−4a2 + 6a − 16

    39.

    y2−2y − 3y2−9y2−2y − 3y2−9

    40.

    b2 + 9b + 18b2−36b2 + 9b + 18b2−36

    41.

    y3 + y2 + y + 1y2 + 2y + 1y3 + y2 + y + 1y2 + 2y + 1

    42.

    p3 + 3p2 + 4p + 12p2 + p − 6p3 + 3p2 + 4p + 12p2 + p − 6

    43.

    x3−2×2−25x + 50×2−25×3−2×2−25x + 50×2−25

    44.

    q3 + 3q2−4q − 12q2−4q3 + 3q2−4q − 12q2−4

    45.

    3a2 + 15a6a2 + 6a − 363a2 + 15a6a2 + 6a − 36

    46.

    8b2−32b2b2−6b − 808b2−32b2b2−6b − 80

    47.

    −5c2−10c − 10c2 + 30c + 100−5c2−10c − 10c2 + 30c + 100

    48.

    4d2−24d2d2−4d − 484d2−24d2d2−4d − 48

    49.

    3м2 + 30м + 754м2−1003м2 + 30м + 754м2−100

    50.

    5n2 + 30n + 452n2−185n2 + 30n + 452n2−18

    51.

    5r2 + 30r − 35r2−495r2 + 30r − 35r2−49

    52.

    3s2 + 30s + 723s2-483s2 + 30s + 723s2-48

    53.

    t3−27t2−9t3−27t2−9

    55.

    w3 + 216w2−36w3 + 216w2−36

    56.

    v3 + 125v2−25v3 + 125v2−25

    Упростите рациональные выражения с помощью противоположных факторов

    В следующих упражнениях упростите каждое рациональное выражение.

    61.

    12−2xx2−3612−2xx2−36

    62.

    20−5yy2−1620−5yy2−16

    63.

    4v − 3264 − v24v − 3264 − v2

    64.

    7w − 219 − w27w − 219 − w2

    65.

    y2−11y + 249 − y2y2−11y + 249 − y2

    66.

    z2−9z + 2016 − z2z2−9z + 2016 − z2

    67.

    a2−5a − 3681 − a2a2−5a − 3681 − a2

    68.

    b2 + b − 4236 − b2b2 + b − 4236 − b2

    Повседневная математика

    69.

    Налоговые ставки Для 2015 налогового года сумму налога, причитающуюся с одного человека, зарабатывающего от 37 450 до 90 750 долларов, можно найти, вычислив по формуле 0,25x-4206,25,0,25x-4206,25, где x — доход. Среднюю налоговую ставку для этого дохода можно найти, оценив формулу 0,25x-4206,25×0,25x-4206,25x. Какова будет средняя налоговая ставка для одного человека, зарабатывающего 50 000 долларов?

    70.

    Работа Время, необходимое двум людям для выполнения одной и той же задачи, если они работают вместе, можно определить, вычислив формулу xyx + y.xyx + y. Если Том может нарисовать логово за x = x = 45 минут, а его брат Бобби может нарисовать его за y = y = 60 минут, сколько минут им потребуется, если они будут работать вместе?

    Письменные упражнения

    71.

    Объясните, как вы находите значения x , для которых рациональное выражение x2 − x − 20×2−4×2 − x − 20×2−4 не определено.

    72.

    Объясните все шаги, которые вы предпринимаете, чтобы упростить рациональное выражение p2 + 4p − 219 − p2.p2 + 4p − 219 − p2.

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

    ⓑ Если бы большинство ваших чеков было:

    … уверенно. Поздравляем! Вы достигли своих целей в этом разделе! Поразмышляйте над своими учебными навыками, чтобы вы могли продолжать их использовать. Что вы сделали, чтобы убедиться в своей способности делать эти вещи? Быть конкретным!

    … с некоторой помощью. Это нужно решать как можно скорее, поскольку темы, которые вы не освоили, становятся ухабами на вашем пути к успеху. Математика последовательна — каждая тема основывается на предыдущей работе. Перед тем, как двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочный фундамент. К кому обратиться за помощью? Ваши одноклассники и инструктор — хорошие ресурсы. Есть ли в кампусе место, где доступны репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?

    … нет, не понимаю! Это очень важно, и вы не должны игнорировать это.Вам нужно немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро не справитесь. Как можно скорее обратитесь к своему инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию. Вместе вы сможете составить план оказания вам необходимой помощи.

    .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.