Дробно рациональное неравенство: Дробные рациональные неравенства

Содержание

Как решать неравенства методом интервалов

Как решать целые рациональные неравенства в предыдущей статье

Теория

Рассмотрим дробно-рациональное неравенство вида , где  один из знаков  и  рациональные выражения. Заметим, областью определения дробно-рационального выражения  является . Мы сведем решение дробно-рациональных неравенств к решению рациональных неравенств методом интервалов следующим образом: Неравенство  равносильно неравенству  Неравенство  равносильно неравенству  Неравенство  равносильно неравенству , при условии  Неравенство  равносильно неравенству , при условии 

Практика

Пример 1.

Решить неравенство: Решение:Неравенство  равносильно следующей системе:Решаем исходное неравенство как обычное рациональное неравенство, при этом обязательно «выкалываем» точку .Ответ: .

Пример 2.

Решить неравенство: Решение:Исходное неравенство равносильно следующему:Разложим на множители последнюю скобку неравенства:А вот  квадратный трехчлен  на множители не раскладывается, так как .Это означает, что выражение принимает только знак «-». Действительно, возьмите любое число, например, 0, подставьте в , –  получите -7. А сменить этот знак квадратному трехчлену на другой просто негде – нулей-то нет.Поэтому, мы можем сократить обе части исходного неравенства на отрицательную величину , при этом поменяв знак неравенства на .Итак, решаем следующее неравенство, равносильное исходному. Ответ: .

Пример 3.

Решить неравенство: Решение:Исходное неравенство равносильно следующей системе:Заметим,При этом  на R.То есть исходное неравенство равносильно следующему (сократили обе части на ): при условии, что . Поэтому Ответ:  .

Пример 4.

Решить неравенство: Решение:Первое, что необходимо сделать – перенести  влево и привести к общему знаменателю:Домножим обе части неравенства на -1, поменяв при этом знак неравенства: Исходное неравенство равносильно следующей системе: Далее, после разложения на множители, имеем: Ответ: .

Пример 5.

Решить неравенство: Решение:Первое, что необходимо сделать – перенести  влево и привести  все три дроби к общему знаменателю:Производим преобразования: Исходное неравенство равносильно следующей системе: После разложения на множители в первой строке системы имеем: Ответ: .Как решать целые рациональные неравенства в предыдущей статье

1,8_Рациональное неравенство_Краткосрочный план_5 урок

Актуализация
знаний:

Учащихся
в парах отвечают на следующие вопросы:

1.Какое
неравенство называют дробно-рациональным?

2.Сформулируйте
алгоритм решения дробно-рационального неравенства методом интервалов.

3.
Приведите примеры целых дробно-рациональных неравенств.

4.Объясните,
как решить уравнения вида и .

Изучение
нового материала:

Учитель
проводит проблемную беседу по теоретическому материалу, приведённому ниже,
учащиеся делают записи в тетрадях.

Остановимся теперь на решении нестрогих
неравенств вида   и .

Множеством решений неравенства  является объединение множеств
решений неравенства  и уравнения .

Множеством решений неравенства  является объединение множеств
решений неравенства   и уравнения .

 

Подробно
разберите с учащимися примеры 1-2, акцентируя внимание на том, что при
решении неравенств вида  или  нельзя допускать сокращения
дроби , так как это может привести к
нарушению равносильности.

Пример1Решите
неравенство .

Отметим на координатной прямой значения х,
обращающие в нуль числитель или знаменатель дроби, и определим знак дроби в
каждом из образовавшихся интервалов (рис.3).

Неравенству удовлетворяют все значения х,
при которых эта дробь принимает положительные значения, а также числа 2 и -3,
обращающие в нуль ее числитель.

 Значит, множество решений неравенства
состоит из промежутков  и числа 2.

 

Ответ: .

Пример 2 При каких
значениях х значения дроби   принадлежат
числовому промежутку ?

Решим
двойное неравенство .

Запишем
двойное неравенство в виде системы неравенств:

Используя 
метод интервалов, найдем, что множеством решений первого неравенства является
промежуток  а второго – объединение
промежутков . Множеством решений
системы, а значит, и рассматриваемого двойного неравенства, служит промежуток
 (рис.4).

Ответ:
.        

Для 
закрепления знаний по теме «Рациональное неравенство»

проведите
дидактическую игру  «Карусель».

Распределите
учащихся по трём группам. Каждой группе выдайте лист формата А3, в верхнем
поле которого записаны задания. Учащиеся работают в группах в рамках
установленного регламента (10 минут)  по написанию решений к заданиям. Каждой
группе выдается ручка определенного цвета, отличного от цвета ручки,
предназначенной для другой группы, чтобы в дальнейшем они смогли легко
распознать свои решения. По истечении отведенного для работы времени (10 минут)
учащиеся переходят к следующему листу А3. Знакомятся с решениями предыдущей
группы, обсуждают и выражают согласие/несогласие. «Карусель» продолжается до
тех пор, пока учащиеся не ознакомятся и не обсудят решения заданий всех
групп. Далее учащиеся оформляют решения своих заданий в тетради.

Дробно-рациональные неравенства — алгоритмы и примеры решения

Наибольшую трудность в алгебре 7 класса вызывают дробно-рациональные неравенства. Их решение выполняется по определенной методике. Чтобы ею воспользоваться, необходимы некоторые базовые знания, без которых применить алгоритм будет невозможно. С этой целью специалисты разработали пошаговую инструкцию, позволяющую за короткий промежуток времени освоить материал на профессиональном уровне.

Общие сведения

Дробно-рациональные неравенства — тождества, состоящие из числителя и знаменателя, которые представлены многочленами произвольной степени. Для их решения потребуются следующие знания:

  • Общие представления о неравенствах.
  • Понятие многочлена.
  • Формулы сокращенного умножения.
  • Определение диапазона при помощи метода интервалов.
  • Алгоритмы нахождения корней уравнений.
  • Работа с обыкновенными дробями.
  • Специалисты рекомендуют последовательно изучать каждый из пунктов, даже при условии, что тема является знакомой. Необходимо с самого начала пройти все необходимые темы, заполнив ими «пробелы». Начинать следует с общих понятий о неравенствах.

    Неравенства и их классификация

    Неравенство — это математическое выражение, состоящее из левой и правой частей, разделенных между собой символами логических операций, а именно: больше (>), меньше (<), больше или равно (>=) и меньше или равно (<=). Данные тождества классифицируются на 2 группы:

  • Рациональные.
  • Дробно-рациональные.
  • К первой группе относятся выражения, которые не содержат знаменателя с переменной. Если она присутствует, то оно относится ко второй. Примером является выражение вида: (t-4)/(t+4) > 0. Однако «(t-4)/4 > 0» относится к первой группе.

    Неравенства также классифицируются по степеням. Их можно разделить на 4 вида:

  • Линейные.
  • Квадратичные.
  • Кубические.
  • Высших степеней.
  • Линейные имеют степень при переменной, равной единице, квадратные — двойке, кубические — тройке, а высшие формы — от четверки и выше. Кроме того, при решении неравенств нужно знать специальные обозначения и положения:

  • (t;s) — величина находится в интервале от t до s не включительно (круглые скобки с двух сторон).
  • [t;s] — значение переменной принадлежит интервалу от t до s включительно (квадратные скобки).
  • Скобки можно группировать.
  • U — объединение решений.
  • ∈ — символ принадлежности.
  • -inf и inf: бесконечное отрицательное и положительное числа соответственно.
  • Перед и после бесконечностей всегда идут только круглые скобки, а не квадратные.
  • Кроме того, неравенства можно разделить на строгие и нестрогие. Вторые отличаются от первых только добавлением знака равенства.

    Примером простейшего строгого неравенства является выражение «t-4<0». Его решение записывается таким образом: t ∈ (-inf;4). Чтобы переделать его в нестрогое, нужно поменять знак «<» на «<=», т.3 = t 3 — 3t 2 * v + 3tv 2 + v 3 .

  • Разность кубов: t 3 — v 3 = (t — v)(t 2 + tv + v 2 ).

  • Очень часто сокращенное умножение применяется при решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Кроме того, их рекомендуется использовать при нахождении корней уравнений различных типов.

    Метод интервалов

    Метод интервалов основан на задании диапазона, на котором неравенство является истинным. Для нахождения решения нужно найти корни уравнения, а затем отметить их на числовой прямой. Однако это схематический способ. Его можно понять и при помощи логических отождествлений.

    Для примера нужно решить строгое неравенство «3-t > 0». Необходимо обратить внимание на само математическое выражение. В нем следует заменить знак «>» на «=», а затем найти корень уравнения, т. е. t=3. После этого нужно отметить на числовой прямой точку «3». По условию (если перенести переменную в одну сторону, а известную — в другую) t<3.

    Решение записывается в виде принадлежности переменной t такому интервалу, а именно: (-inf;3). Это означает, что неизвестная величина «t» может принимать значения от «минус бесконечности» до трех не включительно, поскольку тройка превращает неравенство в ложное тождество, т. е. 3−3<0 (нуль не может быть больше 0).

    Однако не все неравенства имеют такой простой вид. Существуют и более сложные выражения. Чтобы уметь решать рациональные неравенства, необходимо разобрать уравнения, а также способы нахождения их корней.

    Способы решения уравнений

    Для решения уравнения необходимо выполнить операцию идентификации на основании классификации. Равенства с переменными можно разделить на 4 распространенных вида, а именно:

  • Простые (линейные).
  • Квадратные.
  • Кубические.
  • Высших степеней.
  • Первые являются наиболее простыми соотношениями. Они имеют вид: Qt+C=0, где t — неизвестная величина. Решать их нужно по такому алгоритму:

  • Написать уравнение: Qt+C=0.
  • Перенести переменные в одну, а константы — в другую сторону: Qt=-С.
  • Поделить правую часть на левую, записав ответ: t=-C/Q.
  • Следует отметить, что корни тождеств, представленных в виде квадратичной функции «Qt 2 + Pt + C = 0», находятся по теореме Виета или через промежуточную величину. Последняя называется дискриминантом и обозначается литерой «D». Алгоритм решения уравнений выглядит таким образом:

  • Записать выражение: Qt 2 + Pt + C = 0.

  • Проверить возможность целочисленного сокращения (если получается, то перейти в третий пункт. В противном случае — перейти к пятому шагу, пропуская последующие 3 и 4).
  • Сократить его на Q при условии, что коэффициенты не будут дробными величинами: t 2 + P’t + C’ = 0.

  • Найти корни по теореме Виета методом подбора, используя формулы: t1 + t2 = -P’ и t1 * t2 = C’.2 + P (t2) + C = 0.
  • Существуют неполные квадратные уравнения, т. е. у них может отсутствовать константа «С» или Pt. В этом случае их решение сводится к математическим преобразованиям с вынесением общего множителя за скобки.

    Тождества с неизвестными в третьей и высших степенях решаются посредством понижения показателей до двойки или единицы. При этом можно применять замену, формулы сокращенного произведения, вынесение общего множителя и т. д.

    Кроме того, уравнения любого типа могут объединяться в системы, т. е. иметь общие корни. Все переменные в них взаимосвязаны. На основании такой особенности можно выражать одну неизвестную через другую.

    Для проверки результатов решения можно воспользоваться специальными сервисами. Они называются онлайн-калькуляторами.

    Обыкновенные дроби

    Обыкновенная дробь — число, состоящее из двух частей: числителя и знаменателя. Дробные выражения делятся на два вида: правильные и неправильные. У первых величина числителя меньше, чем значение знаменателя. У вторых — все наоборот.

    Дроби обыкновенного вида обладают определенными свойствами. К ним относятся:

  • Отнимание величины, а затем ее прибавление к числителю или знаменателю, т. е. (Q+t-t)/W=Q/W.
  • Умножение (деление) числителя и знаменателя на равные величины: (Q*t)/(W*t)=Q/W.
  • Вынесение общего множителя в числителе и знаменателе, а затем сокращение на него: N[Q+M]/N[Q-M]=[Q+M]/[Q-M].
  • При возведении в квадрат или другую степень, отличную от нуля, величина дроби изменяется.
  • Последнее утверждение доказывается очень просто. Для этого необходимо взять произвольное дробное выражение «2/5». Далее возвести в квадрат обе его части, т. е. 4/25. Затем необходимо сравнить величины, конвертировав их в десятичные дроби, т. е. 2/5=0,4 и 4/25=0,16.

    Из результатов вычислений видно, что величины отличаются между собой. На основании этого можно сделать вывод о правдивости четвертого утверждения.2>0.

  • Диапазон, который может принимать переменная: t ∈ (-inf;2) U (2;inf).
  • Величина «t» может принимать любые значения, кроме двойки, которая превращает неравенство в ложное. Такой широкий диапазон связан со свойствами выражения, возведенного во вторую степень (отрицательное и положительное число в квадрате является положительным).

    Таким образом, решение дробно-рациональных выражений в виде неравенств выполняется по определенной методике. Однако для ее применения нужно «обновить» знания в области таких направлений: метод интервалов, работа с обыкновенными дробями и вычисления корней уравнений.

    Предыдущая

    МатематикаИррациональность дроби — как правильно избавиться от знака корня в знаменателе?

    Следующая

    МатематикаДеление с остатком — алгоритмы и примеры решения для 5 класса

    МАТЕМАТИКА 11 класс Мендель Виктор Васильевич ДВГГУ Рациональные и дробно-рациональные неравенства П 1 Предварительные сведения о многочленах и их корнях

    МАТЕМАТИКА, 11 класс

    Мендель
    Виктор Васильевич, ДВГГУ

    Рациональные и
    дробно-рациональные неравенства

    П.1
    Предварительные сведения о многочленах
    и их корнях

    В этом пункте мы вспомним основные
    понятия, относящиеся к многочленам и
    их свойства.

    Определение 1.1
    Если

    — действительные числа,
    ,
    а

    — некоторая действительная переменная,
    то выражение вида

    называется многочленом степени

    от переменной
    .

    Пример 1.

    — многочлен третьей степени, где

    — его коэффициенты.

    Определение 1.2
    Корнем многочлена

    называется такое
    число
    ,
    что при подстановке его вместо переменной

    многочлен обращается в ноль.

    Пример 2. Для
    многочлена
    число

    является корнем:

    .

    Для многочленов и их корней
    справедлива следующая теорема.

    Теорема 1. Если

    — корень многочлена
    ,
    то многочлен можно представить в виде
    произведения
    ,
    где

    — многочлен степени
    .

    Замечание. Если

    является также корнем
    многочлена

    то его называют кратным
    корнем
    многочлена
    .
    Причем
    .

    Определение 3. Многочлен
    с действительными коэффициентами, не
    имеющий действительных корней, называется
    неприводимым
    над множеством действительных чисел.

    Примерами неприводимых многочленов
    служат все квадратные трехчлены
    ,
    у которых дискриминант отрицателен:
    .

    Стандартные примеры 3.
    ,
    .

    Замечание. Можно
    показать, что любой многочлен нечетной
    степени имеет хотя бы один корень.

    Далее мы сформулируем очень
    важную лемму.

    Лемма 1. Если
    многочлен

    неприводим над множеством действительных
    чисел и старший коэффициент
    ,
    то при любых значениях переменной

    многочлен принимает положительные
    (отрицательные) значения.

    Сформулируем теперь основную
    теорему данного пункта – теорему о
    разложении на неприводимые множители
    .
    Нам удобна следующая ее редакция.

    Теорема 2. Любой
    многочлен

    с действительными коэффициентами может
    быть представлен в виде:

    ,

    где все квадратные трехчлены

    — неприводимы.

    Замечание. Неприводимые
    трехчлены

    положительны при всех значениях
    .

    Пример 4. Многочлен

    раскладывается на неприводимые
    множители следующим образом:

    .

    П.2 Некоторые приемы
    разложения многочлена на неприводимые
    множители

    Если многочлен является квадратным
    трехчленом

    ,
    то он раскладывается в произведение
    ,
    где корни многочлена

    и

    находятся обычным образом с помощью
    дискриминанта.

    Для многочленов
    третьего и четвертого порядка

    также существуют универсальные методы
    вычисления корней, однако они громоздки
    и не изучаются в школьном курсе.

    Основными приемами разложения
    многочленов степени больше
    четырех
    являются: подбор
    корней, метод неопределенных коэффициентов
    и разложение на множители.

    Подбор корней удобно производить
    для многочленов, все коэффициенты
    которых рациональные (целые) числа. При
    этом помогает следующая теорема, лежащая
    в основе схемы Горнера.

    Теорема 3. Если
    все коэффициенты многочлена

    — целые числа, то возможные рациональные
    корни этого уравнения лежат среди
    рациональных дробей вида
    ,
    где

    и

    — целые числа, являющиеся делителями
    коэффициентов

    и
    .

    Пример 1. Возможные
    рациональные корни многочлена

    это дроби:

    и целые числа
    .

    Рассмотрим пример разложения
    многочлена в произведение.

    Пример 2. Разложить
    на множители многочлен

    .

    Решение. Будем
    искать возможные корни среди делителей
    свободного члена. Это могут быть следующие
    числа:
    .
    Непосредственная подстановка показывает,
    что корнями являются -1, 2 и 3. Таким
    образом, данный многочлен раскладывается
    на множители следующим образом:

    .

    Пример 3. Разложить
    на множители многочлен

    .

    Решение. Снова
    заметим, что целыми корнями могут быть
    только делители числа 17, это 1, -1, 17, -17.
    Непосредственно находим, что подходит
    только число 1. Таким образом,
    ,
    где

    — квадратный трехчлен. Его можно найти,
    разделив «уголком»

    на
    .
    Мы же для примера используем другой
    прием – группировку. Представим многочлен

    в виде:

    .

    Вычислив дискриминант квадратного
    трехчлена – второго множителя разложения,
    убеждаемся, что он отрицателен. Таким
    образом, мы разложили многочлен на
    неприводимые множители.

    Пример 4. Разложить
    на множители многочлен:

    .

    Решение. Сначала
    попробуем найти целые корни уравнения,
    это могут быть некоторые из следующих
    чисел: 1, -1, 13, -13. Нетрудно проверить, что
    ни одно из них не подходит. Тогда попробуем
    применить метод неопределенных
    коэффициентов
    . Суть его в
    следующем: мы попробуем представить
    многочлен в виде произведения двух
    квадратных трехчленов. Естественно
    предположить, что коэффициенты при
    квадратах у обоих трехчленов равны
    единице, а вот говорить о других
    коэффициентах трудно. Поэтому мы считаем
    их неопределенными и обозначаем буквами
    .
    Таким образом, мы ищем представление
    многочлена в виде:

    .

    Перемножим выражения в скобках
    и приведем подобные, получим:

    .

    Приравняем коэффициенты при
    соответствующих степенях у многочлена

    и его разложения, получим следующую
    алгебраическую систему уравнений:

    Очевидно, что числа b
    и d
    – целые и одного знака,
    то есть это 1 и 13 или -1 и
    .
    Если предположить, что
    ,
    то первое и второе уравнения системы
    сводятся к следующему виду:

    Поэтому либо
    ,
    либо
    .
    С учетом третьего уравнения получаем,
    что подходит вариант
    .

    Таким образом, искомое разложение
    имеет вид:

    .

    Замечание. Если
    бы ни одно, ни другое решение для
    a
    и
    c
    не подошли в третье уравнение, пришлось
    бы рассмотреть случай, когда
    b
    и
    d
    равны
    -1 и
    .

    П.3. Распределение знака
    многочлена на числовой оси. Решение
    рациональных неравенств методом
    «интервалов»

    Исследуем многочлен

    на знак его значения в разных точках
    числовой прямой. Для начала отметим,
    что все стоящие в начале разложения
    неприводимые
    квадратные трехчлены принимают
    положительные значения при любом
    значении x.
    Поэтому, если мы сократим рассматриваемое
    выражение на положительные выражения,
    знак нового многочлена

    будет совпадать со знаком многочлена
    .
    Далее будем считать, что числа

    упорядочены в порядке возрастания.

    Если
    ,
    то все одночлены

    положительны. Далее, если
    ,
    то все одночлены

    — отрицательны. Отметим еще один
    существенный момент: если
    ,
    то множители, лежащие правее одночлена

    — отрицательны, а множители, начиная с

    и левее – положительны. Таким образом,
    если перемещать x
    справа на лево, то при переходе через
    очередной корень

    ровно один одночлен меняет знак с плюса
    на минус.

    Пример 1. Решить
    неравенство
    .

    Решение. Отложим
    на числовой оси корни уравнения -1, 3 и
    7.

    При

    все сомножители положительны и
    .

    Если
    ,
    то первые два сомножителя положительны,
    а третий – отрицателен, следовательно,
    .

    Если
    ,
    то первый множитель все еще положителен,
    а два других – отрицательны. Следовательно,
    .

    Наконец, если
    ,
    то все три множителя отрицательны и
    .

    Таким образом, неравенство верно,
    если

    или
    .

    П
    роиллюстрируем
    сказанное рисунком:

    Таким образом, корни многочлена
    разбивают числовую ось на лучи и интервалы
    так, что на соседних участках многочлен
    имеет противоположные знаки. Именно по
    этому данный прием решения неравенств
    получил название «метод
    интервалов
    ».

    Усложним задачу. Пусть теперь
    одночлены в разложение многочлена
    входят в некоторых степенях.

    Пример 2. Решить
    неравенство

    .

    При

    все сомножители положительные так как
    сами одночлены положительны, и их степени
    также положительны. Следовательно
    .

    Если
    ,
    то первые два сомножителя положительны,
    а третий – отрицателен, так как одночлен

    отрицателен и его третья степень –
    также отрицательна, следовательно,
    .

    Если
    ,
    то первый множитель все еще положителен,
    третий – отрицателен, а вот на второй
    нужно посмотреть повнимательнее. С
    одной стороны, одночлен

    стал отрицательным, но
    он возведен в четную степень –
    следовательно множитель

    при

    обратился в ноль, а затем вновь стал
    положительным. Таким образом, первый и
    второй множители положительны а третий
    – отрицателен. Таким образом, многочлен
    не изменил знак:
    .

    Н
    аконец,
    если
    ,
    то первый множитель становится
    отрицательным (так как

    стал отрицательным и его нечетная третья
    степень – тоже отрицательна), второй
    множитель – положителен, а третий –
    отрицателен, значит
    .
    Изобразим результат на координатной
    прямой:

    Таким образом, неравенство
    верно, если

    или
    .

    Рассмотренные примеры позволяют
    нам сформулировать общий алгоритм
    решения рационального неравенства
    методом интервалов.

    1. Многочлен раскладываем на
      неприводимые множители (приводим к
      виду:
      ),

    2. Сокращаем неприводимые множители
      второго порядка – квадратные трехчлены,

    3. Откладываем на числовой оси
      корни многочлена,

    4. В зависимости от знака коэффициента

      определяем знаки
      многочлена на получившихся интервалах
      по правилу:

      1. На крайнем правом полуинтервале
        (когда x>xl)
        знак многочлена совпадает со знаком
        коэффициента
        ,

      2. Будем перемещаться по числовой
        оси влево. При прохождении очередного
        корня xi
        знак многочлена меняем на противоположный,
        если множитель

        имеет нечетную степень

        (в том числе – единицу), и оставляем
        прежний знак, если эта степень – четная.

      3. В зависимости от того, какой
        знак у рассматриваемого неравенства,
        выбираем для ответа «положительные»
        или «отрицательные» интервалы,

      4. В случае если неравенство
        нестрогое, в ответ включаем все
        корни многочлена.

    Поясним последний пункт на
    примере. Если бы мы решали нестрогое
    неравенство:
    ,

    то ответ выглядел бы так:
    ,
    или
    ,
    или
    .
    То есть неравенства в ответе стали
    нестрогими и к ним добавился корень
    .

    Замечание. Довольно
    часто школьники забывают, что нужно
    учитывать знак коэффициента
    .
    Поэтому рекомендуем сделать простое
    преобразование неравенства: разделите
    его на
    ,
    при этом, если


    положителен – получим эквивалентное
    неравенство, а если отрицателен – то
    необходимо изменить знак неравенства
    на противоположный.

    Пример к замечанию:
    Решим неравенство
    .

    Оно эквивалентно неравенству
    .
    Кратные корни -4 и 2 имеют нечетную
    кратность, поэтому решением неравенства
    является интервал:
    .

    П. 4 Дробно-рациональные
    неравенства

    Определение.
    Дробно-рациональным называют
    неравенство вида
    ,
    где

    и

    — многочлены.

    В отличие от рациональных
    неравенств, дробно-рациональные могут
    быть определены не для всех значений
    переменной. А именно, необходимо исключить
    из рассмотрения такие значения
    ,
    при которых многочлен

    обращается в ноль (так как
    на ноль делить нельзя
    !).

    С другой стороны очевидно, что
    на всех допустимых значениях
    дробно-рациональное выражение

    и многочлен – произведение

    имеют одинаковый знак.

    Опираясь на сказанное выше мы
    можем сформулировать метод интервалов
    для дробно-рациональных неравенств,
    который является модификацией одноименного
    метода для рациональных неравенств:

    1. Дробно-рациональное выражение


      преобразуем в многочлен – произведение

      ,

    2. Многочлен раскладываем на
      неприводимые множители:
      ),

    3. Сокращаем неприводимые множители
      второго порядка – квадратные трехчлены,

    4. Откладываем на числовой оси
      корни многочлена,

    5. В зависимости от знака коэффициента

      определяем знаки
      многочлена

      на получившихся интервалах по правилу:

      1. На крайнем правом полуинтервале
        (когда x>xl)
        знак многочлена совпадает со знаком
        коэффициента
        ,

      2. Перемещаемся по числовой оси
        влево. При прохождении очередного
        корня xi
        знак многочлена меняем на противоположный,
        если множитель

        имеет нечетную степень

        (в том числе – единицу), и сохраняем
        знак, если эта степень – четная,

      3. В зависимости от того, как
        распределился знак у рассматриваемого
        неравенства, выбираем в ответ
        «положительные» или «отрицательные»
        интервалы,

      4. В случае если неравенство
        нестрогое, в ответ включаем все
        корни многочлена
        ,

      5. Обязательно
        исключаем из ответа все корни многочлена
        .

    Рассмотрим примеры решения
    дробно-рациональных неравенств.

    Пример 1. Решить
    неравенство
    .

    Решение. 1. Сначала
    найдем область допустимых значений
    неравенства (далее сокращенно
    будем писать — ОДЗ
    ). Очевидно,
    что
    .

    2. Преобразуем дробно-рациональное
    неравенство в рациональное:

    .

    3. Разложим на множители левую
    часть полученного неравенства:

    .

    4
    .
    Заметим, что корни многочлена – числа
    -2, 1, 4 и 7, имеют кратность «единица»,
    отложим их на числовой оси и расставим
    на полученных интервалах знаки неравенств:

    5. Выписываем окончательный
    ответ, включая в него корни многочлена,
    стоявшего в числителе и исключая корни
    знаменателя.

    Ответ:
    .

    Внимание! Для
    записи ответа можно использовать как
    неравенства, так и промежутки. Например,
    данный ответ можно записать также в
    виде
    :
    .

    В следующем примере мы рассмотрим
    неравенства с кратными корнями.

    Пример 2. Решить
    неравенство
    :
    .

    Решение. Заметим
    сначала, что первое выражение в числителе
    и выражение в знаменателе являются
    полными квадратами. Далее: знаменатель
    обращается в ноль при
    ,
    поэтому ОДЗ:
    .

    Перейдем к рациональному
    неравенству, получаем:
    .

    О
    тложим
    на числовой оси корни многочлена из
    левой части полученного неравенства и
    определим знаки этого многочлена на
    полученных интервалах. С учетом кратности
    корней -2 и 2 получим:

    Обратите внимание на то, что знак
    меняется только в 9, а в 2 и -2 он сохраняется,
    так как это корни четной кратности.

    «Соберем» теперь ответ: к
    основному интервалу – лучу

    добавляем корни числителя 2 и 9, а корень
    знаменателя -2 исключаем. Ответ:

    .

    Рассмотрим еще один важный
    пример, так как именно в таких заданиях
    абитуриенты делают много ошибок.

    Пример 3. Решить
    неравенство

    .

    Решение. Это
    неравенство не похоже на каноническое
    дробно-рациональное, но оно сводится к
    таковому. Главное – сделать это правильно.
    Для этого перенесем дробь из правой
    части неравенства в левую и приведем
    полученную разность двух дробей к общему
    знаменателю:

    .

    Сократим числитель на -1, при этом
    знак неравенства изменится на
    противоположный:
    .
    Теперь перед нами каноническое
    дробно-рациональное неравенство,
    эквивалентное исходному. Решим его
    методом интервалов. Ответ:
    .

    Замечание. Часто
    такие задачи решают неправильно, а
    именно: просто умножают числитель левой
    части на знаменатель правой и наоборот.
    В результате получается совершенно
    другое неравенство:
    ,
    которое сводится к линейному неравенству

    ответ для которого:

    только частично совпадает с правильным.

    Задачи для самостоятельного
    решения

    Предлагаемые здесь задачи
    являются контрольной работой №1 для
    учащихся 11
    классов. Решите эти задачи, запишите
    решения в отдельную (от физики и
    информатики) тетрадь. Укажите на обложке
    следующую информацию о себе:

    1. Фамилия, имя, класс, профиль
    класса (например: Пупкин
    Василий,
    11
    кл., математический
    )

    2. Индекс, адрес места жительства,
    электронная почта (если есть), телефон
    (домашний или мобильный)

    3. Данные о школе (например: МБОУ
    №1 п. Бикин
    )

    4. Фамилия, И. О. учителя математики
    (например: учитель математики
    Петрова М.И.
    )

    Разложите на неприводимые
    множители следующие многочлены (5 баллов
    за каждый пример)

    1. ,

    2. ,

    3. ,

    4. .

    Решите рациональные неравенства
    (5 баллов за каждый пример)

    1. ,

    2. ,

    3. ,

    4. .

    Решите дробно-рациональные
    неравенства (5 баллов за каждый пример)

    1. ,

    2. ,

    3. ,

    4. .

    Хабаровск — 2011

    3.2.2. Рациональные неравенства






    Глава 3. Решение уравнений и неравенств

    3.2.



    3.2.2.

    Рассмотрим выражение вида:



    (1)


    (Вместо знака < могут стоять знаки >, ≤, ≥.)

    Основным методом решения неравенств вида (1) является метод интервалов. Начнём рассматривать его, прежде всего, для многочленов. Этот метод основан на том, что двучлен (x – a) положителен при x > a и отрицателен при x < a, то есть при переходе через точку x = a этот двучлен меняет знак.

    Отсюда следуют полезные замечания.

    • Многочлен
      то есть двучлен в нечётной степени, положителен и отрицателен на тех же интервалах, что и (x – a).

    • Многочлен
      то есть двучлен в чётной степени, не меняет знак при переходе через точку x = a, а в самой точке обращается в нуль.

      Вывод. Многочлены вида при решении строгих неравенств («<» или «>») можно опустить, так как они не влияют на знак неравенства. При этом из решения нужно исключить точки, в которых многочлен равен нулю:

    • Многочлен
      всегда положителен и потому при решении любого неравенства может быть опущен.

    • При переходе через точку x = a может изменить знак только двучлен (x – a), остальные двучлены не меняют знака.



    Модель 3.7.
    Метод интервалов


    Пример 1

    Решите неравенство


    Отметим на числовой оси нули многочлена, стоящего в левой части неравенства. При x > 4 все множители положительны. При переходе через точку x = 4 многочлен не меняет знак, так как двучлен (x – 4) входит в чётной степени. При переходе через точку x = 1 знак многочлена изменится, так как (x – 1) входит в нечётной степени. На промежутке (–5; –3) многочлен отрицателен, так как при переходе через точку x = –3 он не изменит знак (множитель (x + 3) в чётной степени). При переходе через точку x = –5 знак опять меняется, так как (x + 5) входит в первой степени.




    1

    Чередование знаков отразим на рисунке с помощью так называемой кривой знаков. Наиболее быстро это можно сделать следующим образом. Выясним, какой знак имеет многочлен на самом правом промежутке, для этого нужно лишь понять, какие знаки будут иметь все сомножители, если в этот многочлен подставить достаточно большое число (большее самого большого корня многочлена). После этого определяем знак всего многочлена на этом промежутке и начинаем рисовать кривую знаков справа налево, переходя через точки (меняя знак) или «отражаясь» от числовой оси (если степень двучлена, соответствующего данной точке, чётна). Теперь, двигаясь в обратном направлении, с рисунка считываем:

    Ответ. 

    Рассмотрим стандартный приём решения рациональных неравенств, основанный на сведении данного неравенства к неравенству для многочлена, метод решения которого (метод интервалов) нам уже известен. Итак, рассмотрим рациональное неравенство

    где f (x) и g (x) − рациональные функции, то есть функции, представимые в виде отношения многочленов. Перенося обе части рационального неравенства в левую часть, представим её в виде отношения двух многочленов:
    (Такой вид неравенства называется стандартным.) Заметим, что:


    • то есть отношение двух многочленов положительно тогда и только тогда, когда положительно их произведение.

    • то есть отношение двух многочленов отрицательно тогда и только тогда, когда отрицательно их произведение.

    Итак,



    Левая часть полученных неравенств есть произведение многочленов, то есть сама является многочленом. А поскольку его знак совпадает со знаком дроби
    то дробь меняет или не меняет знак при переходе через точку x = a в зависимости от того, входит в него двучлен (x – a) в чётной или нечётной степени.

    Если же двучлен (x – a) входит в многочлен P (x) в степени k, а в многочлен Q (x) − в степени l, то в многочлен P (x) · Q (x) этот двучлен войдёт в степени k + l, а в дробь
    − в степени k – l. Легко проверить, что для любых чисел k и l чётность чисел k + l и k – l одинакова. Следовательно, вывод о поведении дроби
    при переходе через точку x = a мы сделаем в точности такой же, как если бы наше неравенство было представлено в виде многочлена P (x) · Q (x).

    Таким образом, показан принципиальный метод решения рациональных неравенств. Имея в виду последнее замечание, метод интервалов для рациональных функций можно сформулировать в следующем виде.

    1. Привести неравенство к стандартному виду

    2. Разложить на множители многочлены P (x) и Q (x) (как мы знаем, для этого придётся решить уравнения P (x) = 0 и Q (x) = 0).

    3. Нули числителя, не совпадающие с нулями знаменателя, отметить на числовой оси точками, а нули знаменателя − кружочками (эти точки, очевидно, не входят в ОДЗ рациональной функции и потому они как будто «выколоты» из числовой оси).

    4. Подставить мысленно в неравенство очень большое число (большее самого большого из корней числителя и знаменателя) для того, чтобы определить, какой знак имеет рациональная функция на самом правом интервале. Провести кривую знаков, проходя через все точки, отмеченные на числовой прямой, меняя или не меняя знак в зависимости от суммарной степени двучлена, отвечающего данной точке.

    5. Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки, часть из которых может быть «выколота».

    Таким образом, для нестрогих рациональных неравенств имеем по определению


               

    Пример 2

    Решить неравенство


    Имеем

    Наносим на числовую ось нули числителя и знаменателя и, строя кривую знаков, по указанному алгоритму сразу получаем:




    2

    Ответ. 

    Заметим, что на двучлен (x – 2) можно спокойно сокращать; встретившись и в числителе и в знаменателе, он не будет влиять на знак неравенства. Надо лишь не забыть, что x ≠ 2, так как при x = 2 не определён знаменатель данной дроби.



    

    Рациональное неравенство. Метод интервалов – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

    Рациональным неравенством с одной переменной \(x\) называют неравенство вида \(f(x) – рациональные выражения, т. е. алгебраические выражения, составленные из чисел, переменной (x),>\(x\) и с помощью математических действий, т. е. операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень.(x),>

    Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств.2-5x+6}\ge0 \). Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, можно разложить на множители, тогда неравенство примет вид: \(\frac{(x-4)(x-1)}{(x-2)(x-3)}\ge0\).

    Далее по алгоритму решения неравенств методом интервалов находим корни уравнений \((x-4)(x-1)=0 \ и\ (x-2)(x-3)=0\). Из первого получаем: \(x_1=4,x_2=1\). Из второго получаем: \(x_3=2, x_4=3\). Наносим на числовую прямую получившиеся точки, причем точки \(x_1\) и \(x_2\) обозначаем закрашенными кружочками (для них неравенство выполняется), а точки \(x_3\) и \(x_4\) – светлыми (для них неравенство не выполняется, при этих значениях выражение, стоящее слева от знака неравенства, вообще не имеет смысла):

    Определяем теперь знаки выражения \(\frac{(x-4)(x-1)}{(x-2)(x-3)}\) на полученных промежутках (подставляем любое значение \(x\) из каждого полученного промежутка в данное выражение), изображаем кривую знаков, заштриховываем те промежутки, на которых исходное неравенство выполняется:

    Итак, исходному неравенству удовлетворяют следующие значения:

    \(x\in(-\infty;1]\cup(2;3)\cup[4;+\infty)\).

    Решение линейных, квадратных и дробно-рациональных неравенств

    Выполнил: учитель математики МБОУ СОШ №23
    Шибанова Наталья Николаева

    2. I. Алгоритм решения неравенств

    I. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ

    Этапы алгоритма
    Обоснование
    1
    Приведение неравенства к
    стандартному виду.
    Можно перейти к следующим
    этапам алгоритма.
    2
    Рассмотрение функции.
    Есть возможность перейти к
    геометрической модели неравенства
    в системе координат.
    3
    Нули функции. (ОДЗ, если
    неравенство дробное рациональное)
    Делят ось х на промежутки, на
    которых функция имеет разные
    знаки.
    4
    Работа с геометрической моделью.
    Используя метод коэффициентов,
    легко построить схематический
    график функции.
    Определить промежуток,
    удовлетворяющий знаку
    неравенства.(для линейных и
    квадратных неравенств)
    5
    Внести промежуток в ответ.
    Этого требует задание.
    Линейные
    Квадратные
    неравенства
    неравенства
    kx + b > 0 ( 0 (
    k ≠ 0, b – любое число. а ≠ 0, b и c -некоторые
    числа.
    Неравенства вида
    Решить неравенство:
    5х > 10
    1. 5х-10 > 0
    2. у = 5х-10
    3. 5х-10 = 0, то х=2
    4. k =5, то функция
    возрастает:
    Решить неравенство:
    (х+7)(х-3)(2-4х)/(3x – 18)
    ≥0
    1. (х+7)(х-3)(4х-2)/(3x –
    18) ≤ 0
    2. у = (х+7)(х-3)(4х-2)
    /(3x – 18).
    3. у=0 , то х=-7; х=0,5;
    х=3.
    4. ОДЗ: х ≠ 6.

    2
    +
    х
    Решить неравенство:
    х2 > 4
    1. х2 — 4 > 0
    2. у = х2 – 4.
    3. х2 — 4 = 0, то х = -2;
    х=2.
    4. а = 1, то ветви
    параболы вверх:
    х
    +

    -2
    5.Ответ: (2;+∞).
    (х -а)(х -в)…(х -с) 0
    (x-d)
    (
    +
    2
    +
    -7

    5.Ответ: (-∞;-2) (2;+∞) 5.Ответ:
    [-7;0,5]
    0,5
    +
    3
    [3;6).

    6
    х
    +
    Подготовка к решению
    квадратных неравенств.
    у=ах²+bх+с
    а>0
    D=0
    а>0
    D
    у
    а
    D>0
    а>0
    D>0
    х
    0
    а
    D=0
    а
    D
    Найдите корни квадратного трехчлена:
    Ι вариант.
    а) х2+х-12
    б) х2+6х+9.
    ΙΙ вариант.
    а) 2х2-7х+5;
    б) 4х2-4х+1.
    Найдите корни квадратного трехчлена:
    Ι вариант.
    а) х2+х-12;
    б) х2+6х+9;
    ΙΙ вариант.
    а) 2х2-7х+5;
    б) 4х2-4х+1;
    x1=-4; x2=3
    x1,2=-3
    x1=1; x2=2,5
    x1,2=0,5
    Решение квадратных
    неравенств.
    Квадратным называется неравенство, левая часть
    которого − квадратный трёхчлен, а правая часть
    равна нулю.
    ах²+bх+с>0
    ах²+bх+с
    ах²+bх+с≥0
    ах²+bх+с≤0
    Решением неравенства с одним неизвестным
    называется то значение неизвестного, при котором
    это неравенство обращается в верное числовое
    неравенство.
    Решить неравенство − это значит найти все его
    решения или установить, что их нет.
    v0 sin
    h h0
    2g
    2
    2
    v0 sin 60
    3
    2 9,8
    h- высота подъема тела над
    землей;
    v0- начальная скорость;
    g- ускорение свободного
    падения;
    h0- начальная высота
    α – угол наклона
    h=3м;
    α =60º
    Являются ли следующие неравенства
    квадратными?
    2×2 4x 6
    a)
    0;
    2
    г )4 y 2 5 y 7 0;
    б )4 x 2 x 0;
    д)5x 6 x 4 0;
    в )2 x 4 0;
    е)3 y 5 y 2 7 0.
    2
    2
    Решите неравенство
    х²+7х-8
    Алгоритм решения
    квадратных неравенств:
    1. Приведите неравенство к виду
    ах²+bх+с>0 (≥0) , ах²+bх+с>0 (≤0) .
    2. Рассмотрим функцию
    у=х²+7х-8 .
    2. Рассмотрите функцию
    у=ах²+bх+с .
    3. Определите направления
    ветвей.
    4. Найдите точки пересечения
    параболы с осью абсцисс (для них
    у=0; х1 и х2 найдите, решая
    уравнение ах²+bх+с=0 ).
    5. Схематически постройте
    график функции у=ах²+bх+с .
    6. Выделите часть параболы для
    которой у>0 (≥0) или у
    7. На оси абсцисс выделите те
    значения х, для которых у>0 (≥0)
    или у
    8. Запишите ответ.
    3. Графиком функции является
    парабола, ветви которой
    направлены вверх.
    4. х²+7х-8=0 .
    По теореме Виета
    х 1+х 2=-7
    х 1·х 2=-8
    5,6,7.
    −8
    х 1= -8
    х 2=1
    //////////////////////
    1
    .
    8. Ответ:
    8;1
    х
    Решите неравенство
    х2 – 3х 0
    у = х2 – 3х
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    о
    х2 – 3х = 0
    х(х-3)=0
    х=0 или х-3=0
    х=3
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    х
    Ответ : ( ;0] [3; )
    Решите неравенство
    – х2 – 3х > 0
    Ответ : ( 3; 0)
    у = – х2 – 3х
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    о
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    х
    .
    Решите неравенство
    – х2 – 3х 0
    Ответ :[ 3; 0]
    х
    Решите неравенство
    – х2 + 5х–9,6 > 0
    -х2 +5х-9,6 = 0
    х²-5х+9,6=0
    D=25-38,4=-13,4
    нет корней,
    парабола не
    пересекает ось х
    Ответ :
    Решите неравенство
    – х2 +5х–9,6
    у = – х2 + 5х –9,6
    Ответ : х R.
    Решите неравенство
    х2 – 6х+ 9
    х2 – 6х+ 9 = 0
    (х-3)²=0
    х-3=0
    х=3
    у = х2 – 6х +9
    Ответ :
    Решите неравенство
    х2 –6х + 9 0
    3
    х
    Ответ : х 3
    Решите неравенство
    х2 –6х + 9 > 0
    Ответ
    : х 3.
    .
    Решите неравенство
    х2 –6х + 9 0
    Ответ : х R.
    Решите неравенство
    х2 + 4х
    1
    [-4; 0]
    2
    (-4; 0)
    у
    ВЕРНО!
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    3
    ; 4 0;
    4
    ( ; 4] [0; )
    Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    х
    -1 1 2 3 4 5 6 7
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    у
    Решите неравенство
    х2 + 4х ≥ 0
    1
    [-4; 0]
    2
    (-4; 0)
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    ВЕРНО!
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    3
    ( ; 4] [0; )
    4
    ; 4 0;
    Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.
    х
    -1 1 2 3 4 5 6 7
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    у
    Решите неравенство
    – х2 + 4х–6 ≥ 0
    1
    2
    3
    4
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    x=2
    ; 2 ( 2; )
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    нет решений
    ;
    ВЕРНО!
    Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.
    х
    -1 1 2 3 4 5 6 7
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    у
    Решите неравенство
    – х2 + 6х–9
    1
    x=3
    2
    х R
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
    3
    нет решений
    4
    ; 3 (3; )
    ВЕРНО!
    Сделайте клик на прямоугольнике с цифрой.
    х
    -1 1 2 3 4 5 6 7
    -2
    -3
    -4
    -5
    -6
    -7
    Найдите все значения а, при которых
    неравенство х²+(2а+4)х+8а+1 ≤ 0 не имеет
    решений?
    Решение.
    f(x)= х²+(2а+4)х+8а+1
    Ветви параболы направлены вверх, т.к. старший
    коэффициент равен 1.
    D
    х
    D=b²-4ac
    D=(2a+4)² -4·1·(8a+1)=4a²+16a+16 -32a-4=
    =4a²-16a+12
    4a²-16a+12
    a²-4a+3
    g(a)= a²-4а+3
    g(a)= 0
    a²-4а+3=0
    По теореме Виета
    a 1+а 2=4
    а 1=1
    a 1·а 2=3
    а 2=3
    1
    //////////
    3
    а
    а 1; 3
    Ответ: при а 1; 3
    неравенство х²+(2а+4)х+8а+1 ≤ 0
    не имеет решений.

    Решение рациональных неравенств — ChiliMath

    Ключевой подход к решению рациональных неравенств основан на нахождении критических значений рационального выражения, которые делят числовую прямую на отдельные открытые интервалы.

    Критические значения — это просто нули числителя и знаменателя. Вы должны помнить, что нули знаменателя делают рациональное выражение неопределенным, поэтому их следует немедленно игнорировать или исключать как возможное решение.Однако нули числителя также нужно проверять на предмет его возможного включения в общее решение.

    В этом уроке я рассмотрю пять (5) рабочих примеров с разным уровнем сложности, чтобы проиллюстрировать как процедуры, так и концепции.


    Примеры решения рациональных неравенств

    Пример 1: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

    Я начинаю решать это рациональное неравенство с написания его в общем виде. Общая форма подразумевает, что рациональное выражение расположено слева от неравенства, а ноль остается справа.

    Общая форма имеет четыре (4) типа.

    Приятно знать, что эта проблема уже в общей форме. Мой следующий шаг — найти нулей числителя и знаменателя .

    Я могу найти нули числителя, полностью вычленив его, а затем отдельно установить каждый множитель равным нулю и решить относительно x. Точно так же поиск нулей знаменателя выполняется таким же образом.

    Теперь я буду использовать нули, чтобы разделить числовую строку на интервалы.Нули числителя и знаменателя также известны как критические числа . В этом случае два критических числа делят числовую прямую на три отдельных интервала.

    Следующий шаг — выбрать или выбрать число в каждом интервале и вычислить его обратно в исходное рациональное неравенство; чтобы определить, истинное это утверждение или ложное. Истинное утверждение означает, что интервал является частью решения, в противном случае это не так.

    Как видите, числа, которые я выбрал для каждого интервала, выделены желтым.

    Обратите внимание, что открытый интервал между -1 и 3, записанный как \ left ({- 1,3} \ right), дает истинное утверждение, которое подразумевает, что оно является частью решения.

    Итак, где еще нам искать возможные решения, чтобы покончить с этим?

    Проверяйте нули или критические числа числителей только в исходном уравнении. Если это верно, включите это критическое число как часть общего решения.

    Нулей в числителе 3. Сейчас проверю.

    Использование квадратной скобки указывает, что это часть решения, а открытая скобка (скобка) означает, что это не так. Я напишу свой окончательный ответ как \ left ({- 1, \ left. 3 \ right]} \ right ..


    Пример 2: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

    Во-первых, данное рациональное неравенство имеет общий вид, потому что рациональное выражение находится слева, а ноль — справа. Это хорошо!

    Далее я вынесу за скобки числитель и знаменатель.После этого у вас должно получиться что-то вроде этого.

    Теперь я могу найти нули числителя и знаменателя.

    Эти нули или критические числа делят числовую строку на отдельные интервалы или части.

    Выберите номер теста для каждого интервала и верните исходное рациональное неравенство.

    Используйте факторизованную форму исходного рационального неравенства , чтобы оценить числа тестов для упрощения вычислений.

    Цифры желтого цвета — это те числа, которые я выбрал для проверки достоверности каждого интервала.

    Интервалы, дающие истинные утверждения, равны

    .

    Чтобы найти остальную часть решения, проверьте правильность нулей числителя только в исходном рациональном неравенстве.

    Если вы сделали это правильно, вы должны согласиться с тем, что −4 и 2 — это недействительные ответы , потому что они не дают истинных утверждений после проверки.

    Окончательный ответ на эту проблему в интервальной записи:

    .


    Пример 3: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

    Я бы сначала вычленил числитель и знаменатель, чтобы найти их нули. В факторизованном виде я получил

    Затем определите нули рационального неравенства, установив каждый множитель равным нулю, а затем решив относительно x.

    • Нули числителя: –1 и 4
    • Нули знаменателя: 4

    Используйте нули как критические числа, чтобы разделить числовую строку на отдельные интервалы. Я начинаю проверять достоверность каждого интервала, выбирая тестовые значения и оценивая их в соответствии с исходным рациональным неравенством.Желтым — числа, которые я выбрал.

    Обратите внимание, что единственный интервал, дающий истинное утверждение, — это \ left ({- 1,4} \ right).

    Более того, нули числителя не совпадают с исходным рациональным неравенством, поэтому я должен их игнорировать.

    Окончательный ответ — \ left ({- 1,4} \ right).


    Пример 4: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

    Это рациональное неравенство не в общем виде . Правая часть должна быть равна нулю.Первый шаг — избавиться от константы на этой стороне путем вычитания обеих частей на 1. После этого сведите к одному рациональному выражению. У вас должен быть аналогичный предварительный шаг, вот так.

    Затем найдите нули числителя и знаменателя.

    • Нули в числителе: -7
    • Нули в знаменателе: -3

    Используйте нули как критические числа для разделения числовой прямой на участки или интервалы.

    Затем выберите номера тестов для каждого интервала и оцените их в общей форме, чтобы определить их истинностные значения.Желтым цветом обозначены выбранные значения. Вы можете выбрать другие числа, если они находятся в проверяемом интервале.

    Интервалы, дающие истинные утверждения, равны

    .

    Между тем, после проверки нуля числителя при x = — \, 7 это также приводит к истинному утверждению. Используйте квадратную скобку, чтобы указать, что он включен в качестве решения.

    Окончательный ответ в интервальной записи должен быть

    .


    Пример 5: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

    Мне нужно обнулить правую часть рационального неравенства. Для этого я буду одновременно прибавлять x и вычитать 5 с обеих сторон. Однако моя конечная цель — выразить это в едином рациональном выражении. Здесь вам пригодятся ваши навыки складывания и вычитания рациональных выражений. У вас должны быть аналогичные шаги ниже.

    Затем найдите нули числителя и знаменателя.

    • Нули числителя: -3 и 5
    • Нули знаменателя: 0

    Используйте нули, чтобы разделить числовую прямую на отдельные интервалы.Выберите номера тестов для каждого интервала, чтобы проверить, приводит ли он к верным утверждениям. Выбранные тестовые значения для x выделены желтым цветом.

    «Истинные» интервалы — это \ left ({- \, \ infty, — 3} \ right) и \ left ({0,5} \ right). Более того, нули числителя также сверяются с общим видом данного рационального неравенства. Следовательно, я должен включить -3 и 5 как часть решения с использованием квадратных скобок.

    Окончательный ответ теперь становится


    Практика с рабочими листами


    Возможно, вас заинтересует:

    Решение рациональных уравнений

    Сложение и вычитание рациональных выражений

    Умножение рациональных выражений

    Алгебра — рациональные неравенства

    Прежде чем мы перейдем к их решению, мы должны указать, что они НЕ решают так же, как мы решаем уравнения, содержащие рациональные выражения.С уравнениями первое, что мы всегда делали, это вычищали знаменатели, умножая их на наименьший общий знаменатель. Однако с ними это не сработает.

    Поскольку мы не знаем значение \ (x \), мы не можем умножить обе части на что-либо, содержащее \ (x \). Напомним, что если мы умножим обе части неравенства на отрицательное число, нам нужно будет изменить направление неравенства. Однако, поскольку мы не знаем значение \ (x \), мы не знаем, положительный или отрицательный знаменатель, и поэтому мы не знаем, нужно ли нам менять направление неравенства или нет.Фактически, что еще хуже, знаменатель будет как положительным, так и отрицательным для значений \ (x \) в решении, и это создаст реальные проблемы.

    Итак, нам нужно оставить рациональное выражение в неравенстве.

    Теперь основной процесс здесь тот же, что и с полиномиальными неравенствами. Первый шаг — получить ноль на одной стороне и записать другую сторону как единое рациональное неравенство. Здесь для нас это уже сделано.

    Следующим шагом будет максимально возможное разложение числителя и знаменателя. Опять же, в данном случае это уже было сделано для нас.

    Следующий шаг — определить, где числитель и знаменатель равны нулю. В данном случае это значения.

    \ [{\ mbox {числитель:}} x = — 1 \ hspace {0,5 дюйма} {\ mbox {знаменатель:}} x = 5 \]

    Эти числа нам нужны по нескольким причинам.Во-первых, как и в случае с полиномиальными неравенствами, это единственные числа, у которых рациональное выражение может изменить знак . Итак, мы построим числовую линию, используя эти точки, чтобы определить диапазоны, из которых нужно выбирать контрольные точки, как мы это делали с полиномиальными неравенствами.

    Однако есть еще одна причина, по которой требуется значение \ (x \), делающее знаменатель равным нулю. Независимо от того, что еще здесь происходит, у нас есть рациональное выражение, а это означает, что нам нужно избегать деления на ноль, и поэтому знание того, где знаменатель равен нулю, даст нам значения \ (x \), которых следует избегать для этого.

    Вот числовая прямая этого неравенства.

    Итак, нам нужны области, которые делают рациональное выражение отрицательным. Это означает средний регион. Кроме того, поскольку в неравенстве есть часть «или равно», нам также необходимо указать, где неравенство равно нулю, это означает, что мы включаем \ (x = — 1 \). Обратите внимание, что нам также нужно избегать \ (x = 5 \), поскольку это дает деление на ноль.

    Решение этого неравенства:

    \ [- 1 \ le x

    9.7. Решение рациональных неравенств — математика LibreTexts

    Решение рациональных неравенств

    Мы научились решать линейные неравенства после того, как научились решать линейные уравнения. Техники были почти такими же, за одним важным исключением. Когда мы умножали или делили на отрицательное число, знак неравенства менялся.

    Только что научившись решать рациональные уравнения, мы теперь готовы решать рациональные неравенства. Рациональное неравенство — это неравенство, содержащее рациональное выражение.{2}} \ leq \ dfrac {3} {x} \ quad \) являются рациональными неравенствами, поскольку каждое из них содержит рациональное выражение.

    Когда мы решаем рациональное неравенство, мы будем использовать многие методы, которые мы использовали для решения линейных неравенств. Мы особенно должны помнить, что когда мы умножаем или делим на отрицательное число, знак неравенства должен меняться.

    Еще одно отличие состоит в том, что мы должны тщательно обдумать, какое значение может сделать рациональное выражение неопределенным и поэтому должно быть исключено.

    Когда мы решаем уравнение и получаем \ (x = 3 \), мы знаем, что есть одно решение — 3.

    Когда мы решаем неравенство и получаем \ (x> 3 \), мы знаем, что есть много решений. Мы графически отображаем результат, чтобы лучше показать все решения, и начинаем с 3. Три становится критической точкой, и затем мы решаем, затенять ли слева или справа от нее. Цифры справа от 3 больше 3, поэтому заштриховываем правую часть.

    Чтобы решить рациональное неравенство, мы сначала должны записать неравенство только с одним частным слева и 0 справа.

    Затем мы определяем критические точки, которые нужно использовать для разделения числовой прямой на интервалы. Критическая точка — это число, которое делает рациональное выражение нулевым или неопределенным.

    Затем мы оценим множители числителя и знаменателя и найдем частное в каждом интервале. Это определит интервал или интервалы, которые содержат все решения рационального неравенства.

    Мы записываем решение в интервальной нотации, стараясь определить, включены ли конечные точки.

    Пример \ (\ PageIndex {1} \)

    Решите и запишите решение в интервальной записи: \ (\ dfrac {x-1} {x + 3} \ geq 0 \)

    Решение

    Шаг 1 . Запишите неравенство в виде одного частного слева и нуля справа.

    Наше неравенство находится в такой форме. \ [\ Dfrac {x-1} {x + 3} \ geq 0 \ nonumber \]

    Шаг 2 . Определите критические точки — точки, в которых рациональное выражение будет нулевым или неопределенным.

    Рациональное выражение будет равно нулю, когда числитель равен нулю. Поскольку \ (x-1 = 0 \) при \ (x = 1 \), то 1 является критической точкой.

    Рациональное выражение будет неопределенным, если знаменатель равен нулю. Поскольку \ (x + 3 = 0 \) при \ (x = -3 \), то -3 является критической точкой.

    Критические точки — 1 и -3.

    Шаг 3 . Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

    Числовая строка разделена на три интервала:

    \ [(- \ infty, -3) \ quad (-3,1) \ quad (1, \ infty) \ nonumber \]

    Шаг 4 .Проверяйте значение в каждом интервале. Над числовой линией показан знак каждого фактора рационального выражения в каждом интервале. Под числовой линией показан знак частного.

    Чтобы найти знак каждого фактора в интервале, мы выбираем любую точку в этом интервале и используем ее в качестве контрольной. Любая точка интервала будет давать выражению тот же знак, поэтому мы можем выбрать любую точку интервала.

    \ [\ text {Интервал} (- \ infty, -3) \ nonumber \]

    Число -4 находится в интервале \ ((- \ infty, -3) \).Проверить \ (x = -4 \) в выражении в числителе и знаменателе.

    Числитель:

    \ [\ begin {array} {l} {x-1} \\ {-4-1} \\ {-5} \\ {\ text {Negative}} \ end {array} \ nonumber \]

    Знаменатель:

    \ [\ begin {array} {l} {x + 3} \\ {-4 + 3} \\ {-1} \\ {\ text {Negative}} \ end {array} \ nonumber \]

    Над числовой линией отметьте множитель \ (x-1 \) отрицательным, а множитель \ (x + 3 \) отметьте отрицательным.

    Так как отрицательное, разделенное на отрицательное, является положительным, отметьте частное положительного в интервале \ ((- \ infty, -3) \).

    \ [\ text {Интервал} (-3,1) \ nonumber \]

    Число 0 находится в интервале \ ((- 3,1) \). Тест \ (x = 0 \).

    Числитель:

    \ [\ begin {array} {l} {x-1} \\ {0-1} \\ {-1} \\ {\ text {Negative}} \ end {array} \ nonumber \]

    Знаменатель:

    \ [\ begin {array} {l} {x + 3} \\ {0 + 3} \\ {3} \\ {\ text {Positive}} \ end {array} \ nonumber \]

    Над числовой линией отметьте множитель \ (x-1 \) отрицательным и отметьте \ (x + 3 \) положительным.

    Поскольку отрицательное, разделенное на положительное, является отрицательным, частное отмечается отрицательным в интервале \ ((- 3,1) \).

    \ [\ text {Интервал} (1, \ infty) \ nonumber \]

    Число 2 находится в интервале \ ((1, \ infty) \). Тест \ (x = 2 \).

    Числитель:

    \ [\ begin {array} {l} {x-1} \\ {2-1} \\ {1} \\ {\ text {Positive}} \ end {array} \ nonumber \]

    Знаменатель:

    \ [\ begin {array} {l} {x + 3} \\ {2 + 3} \\ {5} \\ {\ text {Positive}} \ end {array} \ nonumber \]

    Над числовой линией отметьте множитель \ (x-1 \) положительный и отметьте \ (x + 3 \) положительный.

    Поскольку положительное, деленное на положительное, является положительным, отметьте частное положительное в интервале \ ((1, \ infty) \).

    Шаг 5 . Определите интервалы, в которых неравенство верно. Запишите решение в интервальной записи.

    Мы хотим, чтобы частное было больше или равно нулю, чтобы числа в интервалах \ ((- \ infty, -3) \) и \ ((1, \ infty) \) были решениями.

    А как насчет критических точек?

    Критическая точка \ (x = -3 \) делает знаменатель 0, поэтому ее нужно исключить из решения, и мы отмечаем ее круглыми скобками.

    Критическая точка \ (x = 1 \) составляет все рациональное выражение 0. Неравенство требует, чтобы рациональное выражение было больше или равно. Итак, 1 — это часть решения, и мы обозначим его скобкой.

    Напомним, что когда у нас есть решение, состоящее из более чем одного интервала, мы используем символ объединения \ (\ cup \), чтобы соединить два интервала. Решение в обозначении интервала \ ((- \ infty, -3) \ cup [1, \ infty) \).

    Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

    Решите и запишите решение в интервальной записи: \ (\ dfrac {x-2} {x + 4} \ geq 0 \)

    Ответ

    \ ((- \ infty, -4) \ чашка [2, \ infty) \)

    Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

    Решите и запишите решение в интервальной записи: \ (\ dfrac {x + 2} {x-4} \ geq 0 \)

    Ответ

    \ ((- \ infty, -2] \ чашка (4, \ infty) \)

    Мы резюмируем шаги для удобства.

    Как решить рациональное неравенство

    Шаг 1. Запишите неравенство в виде одного частного слева и нуля справа.

    Шаг 2. Определите критические точки — точки, в которых рациональное выражение будет нулевым или неопределенным.

    Шаг 3. Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

    Шаг 4. Проверьте значение в каждом интервале. Над числовой линией показаны знаки каждого множителя числителя и знаменателя в каждом интервале.Под числовой линией показан знак частного.

    Шаг 5. Определите интервалы, в которых неравенство верно. Запишите решение в интервальной записи.

    Следующий пример требует, чтобы мы сначала привели рациональное неравенство в правильную форму.

    Пример \ (\ PageIndex {2} \)

    Решите и запишите решение в интервальной записи: \ (\ dfrac {4 x} {x-6} <1 \)

    Решение

    \ [\ dfrac {4 x} {x-6} <1 \ nonumber \]

    Вычтите 1, чтобы получить ноль справа.

    \ [\ dfrac {4 x} {x-6} -1 <0 \ nonumber \]

    Записываем 1 как дробь с помощью ЖК-дисплея.

    \ [\ dfrac {4 x} {x-6} — \ frac {x-6} {x-6} <0 \ nonumber \]

    Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.

    \ [\ dfrac {4 x- (x-6)} {x-6} <0 \ nonumber \]

    Упростить.

    \ [\ dfrac {3 x + 6} {x-6} <0 \ nonumber \]

    Разложите числитель на множители, чтобы отобразить все множители.

    \ [\ dfrac {3 (x + 2)} {x-6} <0 \ nonumber \]

    Найдите критические точки.

    Частное будет равно нулю, если числитель равен нулю. Частное не определено, если знаменатель равен нулю.

    \ [\ begin {array} {rlrl} {x + 2} & {= 0} & {x-6} & {= 0} \\ {x} & {= -2} & {x} & {= 6} \ end {array} \ nonumber \]

    Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

    Проверить значение в каждом интервале.

    \ ((- \ infty, -2) \) \ ((- 2,6) \) \ ((6, \ infty) \)
    \ (x + 2) \)

    х + 2

    -3 + 2

    –1

    х + 2

    0 + 2

    2

    +

    х + 2

    7 + 2

    9

    +

    \ (х-6 \)

    х-6

    -3-6

    -9

    х-6

    0-6

    -6

    х-6

    7-6

    1

    +

    Над числовой линией показан знак каждого фактора рационального выражения в каждом интервале.Под числовой линией показан знак частного.

    Определите интервалы, в которых неравенство верно. Мы хотим, чтобы частное было отрицательным, поэтому решение включает точки между −2 и 6. Поскольку неравенство строго меньше, конечные точки не включаются.

    Запишем решение в интервальной записи как (−2, 6).

    Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

    Решите и запишите решение в интервальной записи: \ (\ dfrac {3 x} {x-3} <1 \).

    Ответ

    \ (\ left (- \ dfrac {3} {2}, 3 \ right) \)

    Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

    Решите и запишите решение в интервальной записи: \ (\ dfrac {3 x} {x-4} <2 \).

    Ответ

    \ ((- 8,4) \)

    В следующем примере числитель всегда положительный, поэтому знак рационального выражения зависит от знака знаменателя.

    Пример \ (\ PageIndex {3} \)

    Решите и запишите решение в интервальной записи: \ (\ dfrac {5} {x ^ {2} -2 x-15}> 0 \).{2} -2 x-15}> 0 \ nonumber \]

    Разложите на множитель знаменатель.

    \ [\ dfrac {5} {(x + 3) (x-5)}> 0 \ nonumber \]

    Найдите критические точки. Частное равно 0, когда числитель равен 0. Поскольку числитель всегда равен 5, частное не может быть 0.

    Частное будет неопределенным, если знаменатель равен нулю.

    \ [\ begin {выровнено} & (x + 3) (x-5) = 0 \\ & x = -3, x = 5 \ end {align} \ nonumber \]

    Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.{2} = 0} && {x-6 = 0} && {x + 1 = 0} \\ {x = 0} && {x = 6} && {x = -1} \ end {array} \ nonumber \ ]

    Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

    Над числовой линией показан знак каждого фактора в каждом интервале. Под числовой линией укажите знак частного.

    Так как 0 исключен, решением являются два интервала \ ((- 1,0) \ cup (0,6) \), \ ((- 1,0) \) и \ ((0,6) \ ).

    Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

    Решите и запишите решение в интервальной записи: \ (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {4} {x ^ {2}} <\ dfrac {3} {x} \).{2}} <\ dfrac {3} {x} \).

    Ответ

    \ ((3,6) \)

    Решение неравенства с помощью рациональных функций

    При работе с рациональными функциями иногда полезно знать, когда функция больше или меньше определенного значения. Это приводит к рациональному неравенству.

    Пример \ (\ PageIndex {5} \)

    Учитывая функцию \ (R (x) = \ dfrac {x + 3} {x-5} \), найдите значения x, которые делают функцию меньше или равной 0.

    Решение

    Мы хотим, чтобы функция была меньше или равной 0.

    \ [R (x) \ leq 0 \ nonumber \]

    Заменить \ (R (x) \) рациональным выражением.

    \ [\ dfrac {x + 3} {x-5} \ leq 0 \ quad x \ neq 5 \ nonumber \]

    Найдите критические точки.

    \ [\ begin {array} {rlrl} {x + 3 = 0} && {x-5 = 0} \\ {x = -3} && {x = 5} \ end {array} \ nonumber \]

    Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

    Тестовые значения в каждом интервале. Над числовой линией укажите знак каждого фактора в каждом интервале. Под числовой линией укажите знак частного. Запишите решение в интервальной записи. Поскольку 5 исключено, мы не включаем его в интервал.

    \ [[- 3,5) \ nonumber \]

    Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

    Учитывая функцию \ (R (x) = \ dfrac {x-2} {x + 4} \), найдите значения \ (x \), которые делают функцию меньше или равной 0.

    Ответ

    \ ((- 4,2] \)

    Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

    Учитывая функцию \ (R (x) = \ dfrac {x + 1} {x-4} \), найдите значения \ (x \), которые делают функцию меньше или равной 0.

    Ответ

    \ ([- 1,4) \)

    В экономике функция \ (C (x) \) используется для представления стоимости производства \ (x \) единиц товара. Среднюю стоимость единицы можно найти, разделив \ (C (x) \) на количество товаров \ (x \). Тогда средняя стоимость единицы будет \ (c (x) = \ dfrac {C (x)} {x}).

    Пример \ (\ PageIndex {6} \)

    Функция \ (C (x) = 10 x + 3000 \) представляет стоимость производства \ (x \), количество элементов.Найти:

    1. Функция средней стоимости, \ (c (x) \)
    2. Сколько единиц должно быть произведено, чтобы средняя стоимость была меньше 40 долларов.

    Решение

    1. \ [C (x) = 10 x + 3000 \ nonumber \]

    Функция средней стоимости равна \ (c (x) = \ dfrac {C (x)} {x}) \). Чтобы найти функцию средней стоимости, разделите функцию стоимости на \ (x \).

    \ [\ begin {выравнивается} & c (x) = \ dfrac {C (x)} {x} \\ & c (x) = \ dfrac {10 x + 3000} {x} \ end {выравнивается} \ nonumber \ ]

    Функция средней стоимости равна \ (c (x) = \ dfrac {10 x + 3000} {x} \)

    1. Мы хотим, чтобы функция \ (c (x) \) была меньше 40.

    \ [c (x) <40 \ nonumber \]

    Подставьте вместо c (x) рациональное выражение.

    \ [\ dfrac {10 x + 3000} {x} <40, \ quad x \ neq 0 \ nonumber \]

    Вычтите 40, чтобы получить 0 справа.

    \ [\ dfrac {10 x + 3000} {x} -40 <0 \ nonumber \]

    Запишите левую часть как одно частное, найдя ЖК-дисплей и выполнив вычитание.

    \ [\ begin {align} \ dfrac {10 x + 3000} {x} -40 \ left (\ dfrac {x} {x} \ right) & <0 \\ \ dfrac {10 x + 3000} {x } - \ dfrac {40 x} {x} & <0 \\ \ dfrac {10 x + 3000-40 x} {x} & <0 \\ \ dfrac {-30 x + 3000} {x} & <0 \ конец {выровнено} \ nonumber \]

    Разложите числитель на множители, чтобы отобразить все множители.

    \ [\ begin {array} {ll} {\ dfrac {-30 (x-100)} {x} <0} \\ {-30 (x-100) = 0} && {x = 0} \ end {массив} \ nonumber \]

    Найдите критические точки.

    \ [\ begin {array} {rl} {-30 \ neq 0} & {x-100 = 0} \\ & {x = 100} \ end {array} \ nonumber \]

    Необходимо произвести более 100 наименований, чтобы средняя стоимость изделия не превышала 40 долларов США.

    Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

    Функция \ (C (x) = 20 x + 6000 \) представляет стоимость производства \ (x \), количество элементов.Найти:

    1. Функция средней стоимости, \ (c (x) \)
    2. Сколько единиц должно быть произведено, чтобы средняя стоимость была меньше 60 долларов.
    Ответ
    1. \ (c (x) = \ dfrac {20 x + 6000} {x} \)
    2. Необходимо произвести более 150 наименований, чтобы средняя стоимость изделия не превышала 60 долларов США.

    Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

    Функция \ (C (x) = 5 x + 900 \) представляет стоимость производства \ (x \), количество элементов.Найти:

    1. Функция средней стоимости, \ (c (x) \)
    2. Сколько единиц должно быть произведено, чтобы средняя стоимость была меньше 20 долларов.
    Ответ
    1. \ (c (x) = \ dfrac {5 x + 900} {x} \)
    2. Необходимо произвести более 60 наименований, чтобы средняя стоимость изделия не превышала 20 долларов США.

    Решение рациональных неравенств

    Rational

    Рациональное выражение выглядит так:

    Неравенства

    Иногда нам нужно решить такие рациональные неравенства:

    Обозначение

    Слова

    Пример

    >

    больше

    (x + 1) / (3 − x)> 2

    <

    менее

    х / (х + 7) <−3

    больше или равно

    (x − 1) / (5 − x) ≥ 0

    меньше или равно

    (3−2x) / (x − 1) ≤ 2

    Решение

    Решение неравенств очень похоже на решение уравнений… вы делаете почти то же самое.

    Когда мы решаем неравенства
    , мы пытаемся найти интервалов ,
    , например, отмеченные «<0» или «> 0»

    Вот шаги:

    • найти «достопримечательности»:
      • точки «= 0» (корни) и
      • «вертикальные асимптоты» (где функция не определена)
    • между «достопримечательностями», функция либо больше нуля (> 0), либо меньше нуля (<0)
    • затем выберите тестовое значение, чтобы узнать, какое оно (> 0 или <0)

    Вот пример:

    Пример:

    3x − 10 x − 4 > 2

    Первый , давайте упростим!

    Но вы не можете умножить на (x − 4)

    Потому что «x − 4» может быть положительным или отрицательным…. мы не знаем, следует ли нам менять направление неравенства или нет. Все это объясняется в разделе «Устранение неравенств».

    Вместо этого переместите «2» влево:

    3x − 10 x − 4 -2> 0

    Затем умножьте 2 на (x − 4) / (x − 4):

    3x − 10 x − 4 -2 x − 4 x − 4 > 0

    Теперь у нас есть общий знаменатель, давайте все вместе:

    3x − 10-2 (x − 4) x − 4 > 0

    Упростить:

    x − 2 x − 4 > 0

    Второй , давайте найдем «достопримечательности».

    При x = 2 имеем: (0) / (x − 4)> 0, что является точкой «= 0», или корень

    При x = 4 имеем: (x − 2) / (0)> 0, что составляет undefined

    Третий , сделайте контрольные точки, чтобы увидеть, что он делает между ними:

    При x = 0:

    • x − 2 = −2, что составляет отрицательное значение
    • x − 4 = −4, что также является отрицательным
    • Итак, (x − 2) / (x − 4) должно быть положительным

    Мы можем сделать то же самое для x = 3 и x = 5 и получить следующие результаты:

    х = 0 х = 2 х = 3 х = 4 х = 5
    х − 2 <0 х − 2> 0 х − 2> 0
    х − 4 <0 х − 4 <0 х − 4> 0
    (x − 2) / (x − 4) равно > 0 0 <0 undefined > 0

    Это дает нам полную картину!

    А где это> 0?

    Итак, наш результат:

    (−∞, 2) U (4, + ∞)

    Мы сделали все это без рисования сюжета!

    Но вот график (x − 2) / (x − 4), поэтому вы можете видеть:

    Решите рациональные неравенства — Промежуточная алгебра

    Шаг 1. Запишите неравенство в виде одного частного слева и нуля справа.

    Наше неравенство находится в такой форме.

    Шаг 2. Определите критические точки — точки, в которых рациональное выражение будет нулевым или неопределенным.

    Рациональное выражение будет равно нулю, когда числитель равен нулю. С каких это пор то критическая точка.

    Рациональное выражение будет неопределенным, если знаменатель равен нулю. С каких это пор то критическая точка.

    Критические точки: 1 и

    Шаг 3. Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

    Числовая строка разделена на три интервала:

    Шаг 4. Проверить значение в каждом интервале. Над числовой линией показан знак каждого фактора рационального выражения в каждом интервале. Под числовой линией показан знак частного.

    Чтобы найти знак каждого фактора в интервале, мы выбираем любую точку в этом интервале и используем ее в качестве контрольной.Любая точка интервала будет давать выражению тот же знак, поэтому мы можем выбрать любую точку интервала.

    Число находится в интервале Test в выражении в числителе и знаменателе.

    Над числовой линией отметьте множитель отрицательным, а множитель — отрицательным.

    Так как отрицательное, разделенное на отрицательное, является положительным, отметьте частное положительное в интервале

    .

    Число 0 находится в интервале Test

    Над числовой линией отметьте множитель отрицательным и отметьте положительный.

    Поскольку отрицательное, деленное на положительное, является отрицательным, частное отмечается отрицательным в интервале

    .

    Число 2 находится в интервале Test

    Над числовой линией отметьте множитель положительным и отметьте положительный.

    Так как положительное, деленное на положительное, является положительным, отметьте частное положительное в интервале

    Шаг 5. Определите интервалы, в которых неравенство является правильным. Запишите решение в интервальной записи.

    Мы хотим, чтобы частное было больше или равно нулю, чтобы числа в интервалах и были решениями.

    А как насчет критических точек?

    Критическая точка делает знаменатель 0, поэтому ее нужно исключить из решения, и мы отмечаем ее круглыми скобками.

    Критическая точка делает все рациональное выражение 0. Неравенство требует, чтобы рациональное выражение было больше или равно. Итак, 1 — это часть решения, и мы обозначим его скобкой.

    Напомним, что когда у нас есть решение, состоящее из более чем одного интервала, мы используем символ объединения, чтобы соединить два интервала. Решение в интервальной записи

    .

    Алгебра: решение рациональных неравенств

    Решение рациональных неравенств

    В конце «Квадратичных уравнений и неравенств» я показал вам, как решать и строить графики квадратичных неравенств с одной переменной. Вы помните процесс? По сути, вы разложили квадратичный коэффициент, нашли критические числа, разбили числовую строку на интервалы на основе этих критических чисел, а затем протестировали эти интервалы, чтобы увидеть, какие из них являются решениями неравенства.

    Вы будете использовать очень похожий процесс для решения рационального неравенства. На самом деле, если честно, процесс точно такой же, я просто не дал вам полностью точного определения того, какое критическое число было тогда. Дело не в том, что я не хотел вам говорить; Я только что обнаружил, что изучающие алгебру лучше всего работают по принципу «необходимо знать». Вам действительно не нужно было знать полное определение в квадратных уравнениях и неравенствах, но для решения рациональных неравенств вам нужно.

    Talk the Talk

    Критическое число либо заставляет функцию равняться 0, либо делает ее неопределенной.

    Я уже упоминал, что критическое число — это значение x , которое делает выражение равным 0. Однако есть другой способ, которым значения получают классификацию «критического числа», когда они приводят к неопределенности функции.

    Если вы выполните следующие действия, решение рационального неравенства будет простым:

    1. Измените неравенство так, чтобы с правой стороны остался только 0 . Это означает, что вы должны складывать и вычитать термины с обеих сторон, чтобы все сдвинулось влево.
    2. Создайте одну дробь слева, при необходимости . Используйте общие знаменатели, чтобы объединить любые члены в одну дробь.
    3. Разделите на множители числитель и знаменатель . Это упрощает поиск критических чисел.
    4. Установите каждый множитель в числителе равным 0 и решите . Отметьте эти критические числа на числовой прямой, используя открытую точку (если символ неравенства -) или закрытую точку (если символ неравенства — или).
    5. Установите каждый множитель в знаменателе равным 0 и решите .Это тоже критические числа, но их всегда следует отмечать открытой точкой на числовой прямой, поскольку они представляют значения, которые приводят к неопределенности рациональной функции. (Помните, что 0 в знаменателе — плохая новость, поскольку деление на 0 недопустимо.)
    6. Выберите контрольные точки, чтобы найти интервалы решения . Как только вы найдете критические числа, процесс будет идентичен шагам, которые вы выполнили в разделе «Квадратные уравнения и неравенства».

    Будьте особенно осторожны с точками, которые вы размещаете на числовой прямой.Если вы используете неправильную точку, вы получите неправильные знаки неравенства в своем окончательном ответе, не говоря уже о том, что график также будет неточным.

    Пример 5 : Решите неравенство и изобразите его решение в виде графика.

    Решение : Начните с перемещения этого — x в левую часть неравенства, добавив x с обеих сторон. Правая сторона должна быть полностью очищена от любых терминов, кроме 0.

    Теперь ваша цель — создать только одна дробь в левой части неравенства, если сложить все вместе.Наименьший общий знаменатель этих двух членов равен x + 4, поэтому умножьте числитель и знаменатель нового члена x 1 на это значение и сложите дроби.

    Разделите множитель на множители.

    Установите каждый множитель числителя равным 0 и решите, чтобы получить два критических числа.

    Рисунок 18.4 Критические точки, соответствующим образом отмеченные на числовой прямой.

    Рисунок 18.5 График решения 2x + 5 x + 4 -x.

    • x + 1 = 0 или x + 5 = 0
    • x = -1 или x = -5
    У вас есть проблемы

    Задача 5: Решить и построить график неравенство x + 7 x — 2

    Вы должны отметить x = -1 и x = -5 на числовой прямой сплошными точками, поскольку знак неравенства позволяет для равенства, как показано на рисунке 18.4. Окончательное критическое число генерируется установкой коэффициента знаменателя равным 0.

    Не забудьте использовать открытую точку для x = -4, поскольку ее значение берется из знаменателя.

    Теперь выберите контрольные точки из каждого интервала (я предлагаю x = -6, x = -4,5, x = -2 и x = 0). И x = -4,5, и x = 0 делают неравенство истинным, поэтому их интервалы составляют решение: -5 x x -1. Затемните эти интервалы на числовой прямой, чтобы построить график, показанный на рис. 18.5

    Выдержка из The Complete Idiot’s Guide to Algebra 2004, автор W.Майкл Келли. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

    Эту книгу можно приобрести на Amazon.com и Barnes & Noble.

    Как решить это рациональное неравенство?

    Решение неравенства

    $$ \ frac {(3x + 5) (x-1)} {x (2x + 5)} \ leq 0, $$

    Моя «стандартная» техника — использовать числовую прямую, контрольную точку и кратности нулей.

    $$ — \ underset {-5/2} {\ bullet} — \ underset {-5/3} {\ circ} — \ underset {0} {\ circ} — \ underset {1} {\ bullet} \ в \ underset {x} {\} $$

    (Обратите внимание, что здесь мы используем закрашенные кружки, $ \ bullet $, для значений $ x $, при которых функция определена (нули), и полые кружки, $ \ circ $, для нулей знаменателя, где функция не определена)

    Выбрав, например, $ x = -1 $ (контрольная точка), ваша дробь будет $ \ dfrac {2 \ cdot (-2)} {(- 1) \ cdot (3)}> 0 $. Поскольку кратности нулей числителя и знаменателя равны $ 1 $, то есть нечетны, мы знаем, что знак функции меняется между каждой нулевой / неопределенной точкой.Зная тогда, что наша функция положительна на интервале $ [- 5/3, 0) $, поскольку она положительна в $ x = -1 \ in [-5/3, 0) $ и меняет знаки на всех специальных $ x $ — значений, наша диаграмма знаков выглядит как

    $$ \ overset {+} {-} \ underset {-5/2} {\ bullet} \ overset {-} {-} \ underset {-5/3} {\ circ} \ overset {+} {- } \ underset {0} {\ circ} \ overset {-} {-} \ underset {1} {\ bullet} \ overset {+} {\ longrightarrow} \ underset {x} {\} $$

    и оттуда мы можем считать решение (обращая внимание на нули и неопределенные точки), $ x \ in [-5/2, -5/3) \ cup (0, 1] $.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *