Дифференциальные уравнения второго порядка примеры: Глава 88. Дифференциальные уравнения второго порядка

Содержание

Глава 88. Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение: Уравнение вида

,

(8.5.1)

Где – Независимая переменная, – Искомая функция, и – соответственно ее Первая и Вторая производные, называется Дифференциальным уравнением второго порядка.

Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:

, , .

Будем рассматривать уравнения, разрешенные относительно :

.

(8.5.2)

Уравнение (8.5.2) называется уравнением второго порядка, Разрешенным относительно второй производной. В дальнейшем мы будем рассматривать уравнения второго порядка именно такого вида.

Как и в случае уравнения первого порядка, Решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция , определенная на некотором интервале , которая при подстановке уравнение (8. 5.2) обращает его в тождество. График решения называется Интегральной кривой. Имеет место Теорема о существовании и единственности решения уравнения второго порядка.

Теорема (Теорема Коши).

Пусть дано дифференциальное уравнение (8.5.1). Если функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области пространства переменных , тогда для любой внутренней точки найдется Единственное решение уравнения (8.5.1), удовлетворяющее условиям , при .

Геометрический смысл Теоремы Коши заключается в том, что через заданную точку плоскости проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом касательной.

Условия, которые задают значение функции и ее первой производной в фиксированной точке , называются Начальными условиями (или Условиями Коши) и записываются в такой форме:

, .

(8.5.3)

Задача нахождения решения уравнения (8. 5.2), удовлетворяющего условию (8.5.3), называется Задачей Коши для уравнения второго порядка.

Определение: Общим решением уравнения (8.5.2) называется функция , удовлетворяющая этому уравнению при любых значениях констант и .

Определение

Частным решением уравнения (8.5.1) в области называется функция , полученная при фиксированных значениях постоянных .

Рассмотрим для Примера уравнение . Его общее решение получается при двукратном интегрировании уравнения . Это решение представляет собой семейство прямых в произвольных направлениях, причем через каждую точку области проходит бесконечное число таких прямых. Следовательно, для выделения частного решения, проходящего через заданную точку , необходимо задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающий в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

, ,

Т. е. нужно найти прямую, проходящую через точку с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка начальных условий в общее решение уравнения приводит к системе двух линейных уравнений относительно постоянных и :

.

Таким образом, искомое частное решение этого уравнения при заданных начальных условиях это прямая .

Уравнения, допускающие понижение порядка

Существуют три вида уравнения , которые путем замены переменной (искомой функции) сводятся к уравнениям первого порядка.

1. Уравнение вида

.

(8.5.4)

Ведем новую функцию путем замены . Тогда исходное уравнение второго порядка преобразуется в неполное уравнение первого порядка: , решением которого является функция. Так как , то повторным интегрированием находим общее решение уравнения (8.5.4):

,

(8.5.5)

Где и – произвольные постоянные.

2. Уравнение вида

,

(8. 5.6)

Т. е. уравнение не содержит в явном виде . Как и в предыдущем случае, положим . Тогда получаем уравнение первого порядка общего вида . Найдя общее решение этого уравнения , повторным интегрированием получим искомое общее решение уравнения (8.5.6):

.

(8.5.7)

3. Уравнение вида

,

(8.5.8)

Т. е. уравнение не содержит независимой переменной . Введем новую функцию, независящую от , полагая . Тогда (по правилу дифференцирования сложной функции)

.

Уравнение (8.5.8) преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции : .

Пусть общее решение этого уравнения . Тогда обратной заменой получаем неполное уравнение первого порядка относительно функции ,

Из которого методом разделения переменных получаем функциональное соотношение для определения общего решения уравнения (8. 5.8): .

Рассмотрим Примеры решения дифференциальных уравнений второго порядка.

Пример

Найти решение уравнения .

Решение

Это уравнение вида (8.5.6), поскольку оно не содержит в явном виде . Заменой приведем его к уравнению первого порядка , откуда или . Интегрируя это уравнение, получаем общее решение исходного уравнения: . В зависимости от выбора знака интеграл в правой части этого равенства может быть равен:  

Пример

Найти решение уравнения .

Решение:

Это уравнение вида (8.5.8), поскольку оно не содержит в явном виде . Заменой приведем его к уравнению первого порядка .

Первое решение этого уравнения или (). Сокращая обе части этого уравнения на , получим . Общее решение этого уравнения .

Наконец, обратная замена приводит к уравнению первого порядка . Общее решение этого уравнения есть функция .

Нетрудно видеть, что это решение включает в себя и решение (при ).

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Определение

Дифференциальное уравнение вида

.

(8.5.9)

Где , и – функции, непрерывные на некотором интервале называется Линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Если , то уравнение (8.5.9) называется Линейным однородным уравнением, если же , то уравнение (8.5.9) называется Линейным неоднородным уравнением.

Если разрешить уравнение (8.5.9) относительно второй производной, то легко увидеть, что оно является частным случаем уравнения (8.5.2) и удовлетворяет условиям теоремы Коши. Поэтому для любых начальных условий (8.5.3) при это уравнение имеет единственное решение задачи Коши.

Линейные однородные уравнения второго порядка

Рассмотрим свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка:

.

(8.5.10)

Теорема

Пусть функции и – решения уравнения (8.5.10). Тогда функция также является Решением этого уравнения при любых постоянных и .

Напомним, что линейной комбинацией функций и с коэффициентами и называется выражение вида .

Если линейная комбинация функций равна нулю тогда и только тогда, когда и равны нулю, то функции и являются линейно независимыми, в противном случае функции и – линейно зависимые.

Пример

Доказать, что следующие функции линейно независимы:

А) и , где ,

Б) и ;

В) и , где .

< Предыдущая   Следующая >

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Главная Справочник Дифференциальные уравнения Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Решение простых дифференциальных уравнений второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка вида

   

решаются двукратным интегрированием.

Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

   

Здесь коэффициенты – постоянные действительные числа. Решение этого уравнения будем искать в виде

   

Подставим эту функцию в уравнение (1):

   

   

Поскольку , то функция (2) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда будет выполняться равенство

   

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1). А многочлен n-й степени называется характеристическим многочленом этого уравнения.

Замечание. Корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами могут быть как действительными, так и комплексными (простыми и кратными) числами.

Утверждение 1. Если числа – различные действительные корни характеристического уравнения (3) линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1), то функции образуют фундаментальную систему решений этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид:

   

Утверждение 2. Если – действительный корень характеристического уравнения кратности два, то функции – фундаментальная система решений уравнения (1), общее решение этого уравнения имеет вид:

   

Утверждение 3. Если – комплексно сопряженные корни характеристического уравнения (3), которое соответствует однородному дифференциальному уравнению второго порядка (1), то функции образуют фундаментальную систему решений этого уравнение и общее решение записывается в виде:

   

Решение линейных неоднородных ДУ второго порядка

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

   

Коэффициенты – некоторые действительные числа, – непрерывная на отрезке функция, называемая правой частью неоднородного дифференциального уравнения (4).

Общее решение этого уравнения имеет вид

   

где – произвольные постоянные, – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (1), – частное решение неоднородного уравнения (4).

Частное решение можно найти методом подбора (или методом неопределенных коэффициентов) в случае, если правая часть уравнения есть одной из функций вида

   

или

   

Здесь – заданные многочлены степени n, – известный многочлен степени m, – некоторые действительные числа.

Метод подбора нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения (4) с функцией вида (5), (6) в правой части состоит в том, что частное решение уравнения ищут в виде

   

– многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, s=0 при , которое не является корнем характеристического многочлена, или s кратности , где — корень характеристического многочлена.

или

   

– многочлены степени k с неопределенными коэффициентами, s=0 ( не является корнем характеристического многочлена), или s кратности — корень характеристического многочлена.

соответственно.

Принцип суперпозиции. Если функция – решение линейного дифференциального уравнения

   

то тогда функция

   

есть решением уравнения

   

или

   



Понравился сайт? Расскажи друзьям!



Дифференциальное уравнение второго порядка. Решатель, типы, примеры, методы в уравнении. Он включает в себя такие термины, как y», d

2 y/dx 2 , y»(x) и т. д., которые указывают производную функции второго порядка. Обычно мы записываем дифференциальное уравнение второго порядка в виде y» + p(x)y’ + q(x)y = f(x), где p(x), q(x) и f(x) — функции х. Мы можем решить это дифференциальное уравнение, используя вспомогательное уравнение и различные методы, такие как метод неопределенных коэффициентов и варьирование параметров.

Дифференциальное уравнение y» + p(x)y’ + q(x)y = 0 называется дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, если функции p(x) и q(x) являются постоянными и оно называется дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами, если p(x) и q(x) непостоянны. В этой статье мы подробно разберем такие дифференциальные уравнения и их различные типы. Мы также изучим различные методы решения дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, используя различные методы с помощью решенных примеров и нахождения вспомогательного уравнения.

1. Что такое дифференциальное уравнение второго порядка?
2. Определение дифференциального уравнения второго порядка
3. Решение дифференциального уравнения второго порядка
4. Часто задаваемые вопросы о дифференциальном уравнении второго порядка

Что такое дифференциальное уравнение второго порядка?

Дифференциальное уравнение — это уравнение, состоящее из функции и ее производной. Дифференциальное уравнение, состоящее из функции и ее производной второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка. Математически это записывается как y» + p(x)y’ + q(x)y = f(x), что является неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, если f(x) не равно нулевой функции а p(x), q(x) — функции от x. Его также можно записать как F(x, y, y’, y») = 0. Далее, давайте изучим определения различных типов дифференциальных уравнений второго порядка.

Определение дифференциального уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка определяется как дифференциальное уравнение, которое включает функцию и ее производную второго порядка, и никакая другая производная функции более высокого порядка не может фигурировать в уравнении. Он может быть разных типов в зависимости от мощности производной и задействованных функций. Эти дифференциальные уравнения можно решить с помощью вспомогательного уравнения. Давайте рассмотрим некоторые специальные типы дифференциальных уравнений второго порядка, приведенные ниже:

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка записывается как y» + p(x)y’ + q(x)y = f(x), где степень второй производной y» равен единице, делающей уравнение линейным. Некоторые из его примеров: y» + 6x = 5, y» + xy’ + y = 0 и т. д.

Однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка y» + p(x)y’ + q(x)y = f(x) называется однородным дифференциальным уравнением второго порядка, если f(x) является нулевой функцией и, следовательно, математически имеет вид y» + p(x)y’ + q (x)y = 0. Некоторые из его примеров: y» + y’ — 6y = 0, y» — 9y’ + 20y = 0 и т. д.

Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

О дифференциальном уравнении вида y» + p(x)y’ + q(x)y = f(x) говорят, что быть неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, если f(x) не является нулевой функцией. Некоторые из его примеров: y» + y’ — 6y = x, y» — 9y’ + 20y = sin x и т. д.

Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение y» + p( x)y’ + q(x)y = f(x) называется дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, если функции p(x) и q(x) являются константами. Некоторые из его примеров: y» + y’ — 6y = x, y» — 9y’ + 20y = sin x и т. д.

Дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами

Дифференциальное уравнение y» + p(x)y’ + q(x)y = f(x) называется уравнением второго порядка дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, если функции p(x) и q(x) не являются постоянными функциями, а являются функциями от x. Некоторые из его примеров: y» + xy’ — y sinx = x, y» — 9x 2 y’ + 2e x y = 0 и т. д.

Решение дифференциального уравнения второго порядка

Теперь, когда мы поняли смысл дифференциальных уравнений второго порядка и их различных форм, мы приступим к изучению того, как их решать. Здесь мы сосредоточимся на том, чтобы научиться решать дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с использованием метода неопределенных коэффициентов. Во-первых, давайте разберемся, как решать однородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Решение однородного дифференциального уравнения второго порядка

Однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид y» + py’ + qy = 0, где p, q — константы. Чтобы решить эту проблему, мы предполагаем общее решение y = e rx данного дифференциального уравнения, где r — любая константа, и выполните указанные шаги:

  • Шаг 1: Дифференцируйте предполагаемое решение y = e rx и найдите y’ = re rx , y’ ‘ = r 2 e rx , где r — произвольная константа.
  • Шаг 2: Подставим производные в данное дифференциальное уравнение y» + py’ + qy = 0. Имеем r 2 e rx + pre rx + qe rx = 0 ⇒ e rx (r 2 + rp + q) = 0 ⇒ r 2 + rp + q = 0, что называется вспомогательным уравнением или уравнением характеристики.
  • Шаг 3: Решить вспомогательное уравнение r 2 + rp + q = 0 и найти его корни r 1 и r 2 .
    • Если r 1 и r 2 — действительные и различные корни, то общее решение имеет вид y = Ae r 1 x + Be r 2 x
    • 06

      6

    • Если r 1 = r 2 = r, то общее решение y = Ae rx + Bxe rx
    • Если r 1 = a + bi и r 2 = a — bi комплексные корни, то общее решение будет y = e ax (A sin bx + B cos bx)

Рассмотрим несколько примеров каждого типа, чтобы понять, как найти решение однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Пример 1: Решите дифференциальное уравнение 2-го порядка y» — 6y’ + 5y = 0

Решение: Примите y = e rx и найдите его первую и вторую производную: y’ = re rx , y» = r 2 e rx

Далее подставляем значения y, y’ и y» в y» — 6y’ + 5y = 0. Имеем

r 2 e rx — 6re rx + 5e rx = 0

⇒ e rx (r 2 — 6r + 5) = 0

⇒ r 2 — 6r + 5 = 0 → характеристическое уравнение

⇒ (r — 5) (r — 1) = 0

⇒ r = 1, 5

Поскольку корни характеристического уравнения различны и действительны, следовательно общее решение данного дифференциального уравнения: y = Ae x + Be 5x

y = e rx и найти его первую и вторую производные: y’ = re rx , y» = r 2 e rx

Затем подставьте значения y, y’ и y» в y» — 8y’ + 16y = 0. Имеем,

R 2 E RX — 8RE RX + 16E RX = 0

⇒ E RX (R 2 — 8R + 16) = 0

⇒ R 2 — 8R + 16 16) = 0

⇒ R 2 — 8R + 16) = 0

⇒ R 2 — 8R + 16) = 0

= 0 → Вспомогательное уравнение

⇒ (r — 4) (r — 4) = 0

⇒ r = 4, 4

Так как корни характеристического уравнения тождественны и вещественны, то общее решение данного дифференциала уравнение y = Ae 4x + Bxe 4x

Пример 3: Решить дифференциальное уравнение второго порядка 9y» + 12y’ + 29y = 0 производная: y’ = re rx , y» = r 2 e rx

Затем подставьте значения y, y’ и y» в 9y» + 12y’ + 29y = 0 Имеем,

9r 2 e rx + 12re rx + 29e rx = 0

⇒ E RX (9R 2 + 12R + 29) = 0

⇒ 9R 2 + 12R + 29 = 0 → Характерное уравнение

⇒ R = [-12 ± √ (12 2 6 — 4 × 9 × 29)]/(2 × 9)

⇒ r = (-2/3) ± (5/3)i

Так как корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, то общее решение уравнения данное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y = e (-2/3)x [A sin (5/3) x + B cos (5/3) x].

Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

Чтобы найти решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка y» + py’ + qy = f(x), общее решение имеет вид y = y c + y p , где y c — дополнительное решение однородного дифференциального уравнения второго порядка y» + py’ + qy = 0, а y p — частное решение неоднородного дифференциального уравнения y» + py’ + qy = f( Икс). Поскольку y c является решением однородного дифференциального уравнения, мы можем определить его значение, используя методы, которые мы обсуждали в предыдущем разделе. Теперь, чтобы найти частное решение y p , мы можем угадать решение в зависимости от значения f(x). В приведенной ниже таблице показано возможное частное решение y p , соответствующее каждому f(x).

ф(х) г р
быть топор Ае топор
ax n + (младшие степени x) C n x n + C n-1 x n-1 + . .. + C 0
P cos ax или Q sin ax А cos ось + B sin ось

В случае, если f(x) имеет вид, отличный от приведенного в таблице выше, то для решения неоднородного дифференциального уравнения второго порядка можно использовать метод вариации параметров. Кроме того, если f(x) представляет собой комбинацию суммы функций, приведенных в таблице, то мы можем определить частное решение для каждой функции в отдельности, а затем взять их сумму, чтобы найти окончательное частное решение данного уравнения. Рассмотрим теперь несколько примеров дифференциальных уравнений второго порядка и решим их методом неопределенных коэффициентов:

Пример 1: Найдите полное решение дифференциального уравнения второго порядка y» — 6y’ + 5y = e -3x .

Решение: Чтобы найти полное решение, сначала найдем общее решение однородного дифференциального уравнения y» — 6y’ + 5y = 0.

Мы решили это уравнение в предыдущем разделе в решенных примерах (Пример 1) и, следовательно, дополнительное решение y c = Ae x + Be 5x

Далее мы найдем частное решение y p . Так как f(x) = e -3x имеет форму be x , предположим, что y p = Ae -3x . Теперь, дифференцируя y p , мы имеем

y p ‘ = -3Ae -3x и y p » = 9Ae -3x . Подставив эти значения в данное дифференциальное уравнение второго порядка, получим0005 -3x

⇒ 9ae -3x -6 (-3ae -3x ) + 5ae -3x = E -3x

-3x (9 + 18 + 5) = = = e -3x

⇒ 32 A e -3x = e -3x

⇒ A = 1/32

Следовательно, частное решение y 0 p 1) e

Ответ: Следовательно, полное решение данного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка y» — 6y’ + 5y = e -3x is y = Ae x + Be 5x + (1/32) e -3x

Пример 2: Решите дифференциальное уравнение второго порядка y» — 6y’ + 5y = cos 2x + e -3x

Решение: Поскольку мы решили однородное дифференциальное уравнение y» — 6y’ + 5y = 0 в предыдущем разделе (пример 1), мы имеем дополнительное решение y c = Ae x + Be 5x

Далее найдем частное решение данного дифференциального уравнения отдельно для cos 2x и e -3x , то есть определить частное решение y» — 6y’ + 5y = cos 2x и y» — 6y’ + 5y = e -3x по отдельности. Из приведенного выше примера 1 мы имеем частное решение дифференциального уравнения y» — 6y’ + 5y = e -3x , соответствующее e -3x , как (1/32) e -3x . Теперь найдем частное решение уравнения y» — 6y’ + 5y = cos 2x с помощью таблицы. Предположим, что частное решение имеет вид Y p = A cos 2x + B sin 2x. Дифференцируя это, мы имеем Y p ‘ = -2A sin 2x + 2B cos 2x и Y p » = -4A cos 2x — 4B sin 2x. Подставив эти значения в дифференциальное уравнение y» — 6y’ + 5y = cos 2x, получим

-4A cos 2x — 4B sin 2x — 6(-2A sin 2x + 2B cos 2x) + 5(A cos 2x + B sin 2x) = cos 2x

⇒ -4A cos 2x — 4B sin 2x + 12A sin 2x — 12B cos 2x + 5A cos 2x + 5B sin 2x = cos 2x

⇒ (A — 12B) cos 2x + (B + 12A) sin 2x = cos 2x

⇒ A — 12B = 1 и B + 12A = 0

⇒ A = 1/145 и B = -12/145

⇒ Y p = (1/145) cos 2x — (12/145) sin 2x

Теперь, взяв сумму обоих частных решений, окончательное частное решение данного дифференциального уравнения второго порядка y» — 6y’ + 5y = cos 2x + e -3x is y p = (1/32) e -3x + (1/145) cos 2x — (12/145) sin 2x.

Ответ: Следовательно, полное решение дифференциального уравнения y» — 6y’ + 5y = cos 2x + e -3x равно y = y c + y p = Ae x + Be 5x + (1/32) e -3x + (1/145) cos 2x — (12/145) sin 2x

Важные замечания по дифференциальному уравнению второго порядка

  • Если y 1 и y 2 — два линейно независимых решения однородного дифференциального уравнения второго порядка y» + py’ + qy = 0, то частное решение соответствующего неоднородного дифференциального уравнения второго порядка уравнение y» + py’ + qy = f(x) можно определить по формуле y p = -y 1 ∫[y 2 f(x)/W(y 1 , y 2 )] dx + y 2 ∫[y 9×012 1 f(y 9×012 1 ) W (Y 1 , Y 2 )] DX, где W (Y 1 , Y 2 ) = Y 1 Y 2 ‘ — Y 2 Y 1 вронский. Такой метод нахождения решения называется методом вариации параметров.
  • Метод нахождения решения дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами сложен и основан на угадывании решения.

☛ Похожие темы:

  • Правила дифференциации
  • Формула дифференциации и интеграции
  • Формула правила продукта

Часто задаваемые вопросы о дифференциальном уравнении второго порядка

Что такое дифференциальное уравнение второго порядка в исчислении?

Дифференциальное уравнение второго порядка определяется как дифференциальное уравнение, которое включает функцию и ее производную второго порядка, и никакая другая производная функции более высокого порядка не может фигурировать в уравнении. Он включает такие термины, как y», d 2 y/dx 2 , y»(x) и т. д. Оно может быть разных типов, например, линейное дифференциальное уравнение второго порядка, однородное и неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка и дифференциальное уравнение второго порядка. с переменными и постоянными коэффициентами.

Как решить дифференциальное уравнение второго порядка?

Дифференциальные уравнения второго порядка могут быть решены с использованием различных методов, таких как метод неопределенных коэффициентов и метод вариации параметров. Решение неоднородного дифференциала второго порядка представляет собой сумму дополнительного и частного решения и задается как y = y с + у р .

Что такое дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами?

Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами — это дифференциальное уравнение вида y» + py’ + qy = f(x), где p, q — постоянные коэффициенты.

Что такое однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка?

Дифференциальное уравнение второго порядка вида y» + py’ + qy = f(x) является однородным, если f(x) является нулевой функцией, и неоднородным, если f(x) не является нулевой функцией и некоторая ненулевая функция от x.

Почему дифференциальное уравнение второго порядка имеет два решения?

Дифференциальное уравнение второго порядка может иметь бесконечно много решений, так как произвольные константы могут принимать любые значения. Мы находим два линейно независимых решения дифференциального уравнения второго порядка, так как их комбинация дает все возможные решения уравнения, и найти только одно решение недостаточно.

Как найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка?

Частное решение дифференциального уравнения второго порядка можно определить с помощью приведенной ниже таблицы:

ф(х) г р
быть топор Ае топор
ax n + (младшие степени x) C n x n + C n-1 x n-1 + … + C 0
P cos ax или Q sin ax А cos ось + B sin ось

Частное решение также можно найти по формуле y 2 ∫[y 1 f(x)/W(y 1 , y 2 )] dx, где y 1 и y 2 — два линейно независимых решения второго порядка однородного уравнения дифференциальное уравнение y» + py’ + qy = 0

Как определить, является ли дифференциальное уравнение второго порядка линейным?

Чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение второго порядка линейным, мы можем проверить степень второй производной в уравнении. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка записывается как y» + p(x)y’ + q(x)y = f(x), где степень второй производной y» равна единице, что делает уравнение линейным .

В чем разница между дифференциальным уравнением первого порядка и дифференциальным уравнением второго порядка?

Дифференциальное уравнение первого порядка состоит из первой производной функции, и никакая другая производная более высокого порядка не может фигурировать в уравнении. Это записывается как y’ + p(x)y = f(x). С другой стороны, дифференциальное уравнение второго порядка — это дифференциальное уравнение, которое состоит из производной функции порядка 2, и никакая другая производная функции более высокого порядка не появляется в уравнении. Записывается как y» + p(x)y’ + q(x)y = f(x).

Дифференциальные уравнения второго порядка

Здесь мы научимся решать уравнения такого типа:

d 2 y dx 2 + p dy dx + 900 = 9 0

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение — это уравнение с функцией и одной или несколькими ее производными:

Пример: уравнение с функцией y и ее
производная dy дх  

Заказ

Орден является высшей производной (это первая производная? вторая производная? и т. д.):

Пример:

dy dx + y 2 = 5x

Имеет только первую производную dy dx , поэтому «9009 первый порядок»

Пример:

d 2 y dx 2 + xy = sin(x)

Вторая производная d 2 y dx 2 , то есть «Второй порядок» или «Порядок 2»

Пример:

D 3 y DX 3 + x DY DX + Y = E x

Это третий дериватор D 9000 3 Y 4. 3 который превосходит dy dx , то есть «Третий порядок» или «Порядок 3»

Прежде чем приступать к дифференциальным уравнениям второго порядка, убедитесь, что вы знакомы с различными методами решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Мы можем решить дифференциальное уравнение второго порядка вида:

d 2 y dx 2 + P(x) dy dx + Q(x)y + Q(x)y
= f(x)

, где P(x), Q(x) и f(x) являются функциями от x, используя:

Неопределенные коэффициенты, которые работают только тогда, когда f(x) является полиномом, экспонентой, синусоидой, косинус или их линейная комбинация.

Изменение параметров, которое немного сложнее, но работает с более широким набором функций.

Но здесь мы начнем с изучения случая, когда f(x) = 0 (это делает его «однородным»):

d 2 y dx 2 + P(x) dy dx + Q(x)y
= 0

, а также где функции P(X) и Q(x) являются константами p и q :

d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0

Давайте научимся их решать!

 

e на помощь

Мы собираемся использовать специальное свойство производной экспоненциальной функции:

В любой точке наклон (производная) e x равен значению e x :

И когда мы вводим значение «r» вот так:

f(x) = e rx

Находим:

  • первая производная f'(x) = re rx
  • вторая производная равна f»(x) = r 2 e rx

Другими словами, первая и вторая производные f(x) кратны f(x)

Это нам очень поможет!

Пример 1: Решить

d 2 y dx 2 + dy dx − 6y = 0

0

9 Пусть0006 получаем:

  • dy dx = re rx
  • d 2 y dx 2 = r 2 e rx

Замените их в уравнение выше:

R 2 E RX + RE RX — 6E RX = 0

Упрощение:

E RX (R 2 + R — 60002 E RX (R 2 + R — 60002 E RX (R 2 + R — 60002 E RX (R 2 + R — ) = 0

r 2 + r − 6 = 0

Мы свели дифференциальное уравнение к обыкновенному квадратному уравнению!

Это квадратное уравнение получило специальное название характеристическое уравнение .

Мы можем разложить это на:

(r − 2)(r + 3) = 0

Итак, r = 2 или −3

Итак, у нас есть два решения:

y = e 2x

y = e −3x

Но это не окончательный ответ, потому что мы можем комбинировать разные умножить из этих двух ответов, чтобы получить более общее решение:

y = Ae 2x + Be −3x

Проверить

Давайте проверим этот ответ. Первые производные:

y = AE 2x + BE −3x

DY DX = 2ae 2x — 3BE −3x

D 2 y 9

D

2 2 40009

2 . = 4Ae 2x + 9Be −3x

Теперь подставим в исходное уравнение:

D 2 Y DX 2 + DY DX — 6y = 0

(4ae 2x + −3x ) + (2ae 2x + −3x ) + (2ae 2x + –3x ). 3x ) — 6 (AE 2x + BE −3x ) = 0

4ae 2x + 9be −3x + 2ae 2x — 3be −3x −6ae 2x — 3be −3x — 6. −3x = 0

4Ae 2x + 2Ae 2x − 6Ae 2x + 9Be −3x − 3Be −3x − 6Be −3x = 0

0 = 0

Сработало!

Так вообще этот метод работает?

Ну и да и нет. Ответ на этот вопрос зависит от констант p и q .

С y = e rx как решение дифференциального уравнения:

d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0

получаем:

r 2 e rx + pre rx + qe rx = 0

e rx (r 2 + pr + q) = 0

г 2 + пр + кв = 0

Это квадратное уравнение, и может быть три типа ответа:

  • два действительных корня
  • один действительный корень (т. е. оба действительных корня одинаковы)
  • два сложных корня

Как мы решаем это зависит от типа!

Мы можем легко определить тип, вычислив дискриминант p 2 − 4q . Когда будет

  • положительный получаем два действительных корня
  • ноль получаем один реальный корень
  • минус получаем два комплексных корня

Два действительных корня

Когда дискриминант p 2 − 4q равен положительному , мы можем перейти прямо к дифференциальному уравнению

д 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0

через «характеристическое уравнение»:

г 2 + пр + кв = 0

к общему решению с двумя действительными корнями r 1 и r 2 :

y = Ae r 1 x + Be r 2 x

Пример 2: Решить

d 2 y DX 2 — 9 DY DX + 20y = 0

Характерное уравнение:

R 2 — 903 + 20 = 0 0009

Фактор:

(R — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — r — + 20 = 00009

. 4)(r − 5) = 0

r = 4 или 5

Итак, общее решение нашего дифференциального уравнения:

y = Ae 4x + Be 5x

А вот некоторые примерные значения:

Пример 3: Решить

6 D 2 Y DX 2 + 5 DY DX — 6y = 0

. Характерное уравнение:

6r 2 9000 + 5R 4r 9000 3 9000 3R 9000 3R 4r 9000 3 9000 3 9000 3r 9000 3 9000 3 9000 3r 9000 3 9000 3 9000 3 9000 3r 9000 2 9000 3 9000 3r 9000 2 .

Фактор:

(3R — 2) (2R + 3) = 0

R = 2 3 или — 3 2

Таким образом у = Ае ( 2 3 х) + Be ( −3 2 х)

Пример 4: Решение

D 2 Y DX 2 — 6 DY DX — Y = 0

6r — 1 = 0

Это не просто факторизовать, поэтому мы используем формулу квадратного уравнения:0009

с a = 9, b = −6 и c = −1

x = −(−6) ± √((−6) 2 − 4×9×(−1)) 2× 9

x = 6 ± √(36+ 36) 18

x = 6 ± 6√2 18

x = 1 ± √2 3

So the общее решение дифференциального уравнения:

y = Ae ( 1 + √2 3 )x + Be ( 1 − √2 3 )x

Один реальный корень

Когда дискриминант p 2 − 4q равен нулю , мы получаем один действительный корень (т. е. оба действительных корня равны).

Вот несколько примеров:

Пример 5: Решение

D 2 Y DX 2 — 10 DY DX + 25Y = 0

. Характерное равное:
+ 25Y = 0

. + 25 = 0

Фактор:

(r — 5) (r — 5) = 0

r = 5

, поэтому мы имеем одно решение: y = E 5x

НО когда e 5x это решение, то xe 5x это тоже решение!

Почему? Я могу показать вам:

y = xe 5x

dy dx = e 5x + 5xe 5x

D 2 Y DX 2 = 5E 5x + 5E 5x + 25xE 5x

SO

D 2

9000 2

2

2 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2 9 2

2

2

2 9 2

2 9

2 9

10 DY DX + 25Y

= 5E 5x + 5E 5x + 25xe 5x — 10 (E 5x + 5xe 5x ) + 25x 5x

9999999999999999505 u. 5x + 5e 5x − 10e 5x ) + (25xe 5x — 50xe 5x + 25xe 5x ) = 0

Итак, в этом случае наше решение:

y = AE 5x + BXE 5x

 

Как это работает в общем случае?

При y = xe rx получаем производные:

  • dy dx = e rx + rxe rx
  • д 2 у дх 2 = re rx + re rx + r 2 xe rx

Так

d 2 y dx 2 + p dy dx + qy

= (re rx + re rx + r 2 xe rx ) + p( e rx + rxe rx ) + q( 0 0 0 x 90 0 90 6 0 0 9 0

= e rx (r + r + r 2 x + p + prx + qx)

= e rx (2r + p + x(r 2 + pr + q))

= e rx (2r + p), потому что мы уже знаем, что r 2 + pr + q = 0

 

А когда r 2 + pr + q имеет повторяющийся корень, то r = −p 2 и 2r + p = 0

Таким образом, если r является повторяющимся корнем характеристического уравнения, то общее решение равно

.

у = Ae rx + Bxe rx

Давайте попробуем другой пример, чтобы увидеть, как быстро мы можем получить решение:

Example 6: Solve

4 d 2 y dx 2 + 4 dy dx + y = 0

The characteristic equation is:

4r 2 + 4r + 1 = 0

Тогда:

(2r + 1) 2 = 0

r = − 1 2

Итак, решение дифференциального уравнения0009

y = Ae (−½)x + Bxe (−½)x

Сложные корни

Когда дискриминант p 2 − 4q равен отрицательному , мы получаем комплексные корни.

Давайте попробуем пример, который поможет нам понять, как сделать этот тип:

Пример 7: Решение

D 2 Y DX 2 — 4 DY DX + 13y = 0

. Характерное равное: DX + 13y = 0 0009

. Характерное равное:0739

r 2 − 4r + 13 = 0

Это не учитывается, поэтому мы используем формулу квадратного уравнения:

с a = 1, b = −4 и c = 13

x = −(−4) ± √((−4) 2 − 4×1×13) 2×1

x = 4 ± √(16− 52) 2

x = 4 ± √(−36) 2

x = 9 ± 6i0724 2

x = 2 ± 3i

Если мы будем следовать методу, используемому для двух действительных корней, то мы можем попробовать решить:

y = Ae (2+3i)x + Be (2− 3i)x

Мы можем упростить это, поскольку e 2x является общим делителем:

y = e 2x ( Ae 3ix + Be −3ix ) 9002 мы еще не закончили … !

Формула Эйлера говорит нам, что:

e ix = cos(x) + i sin(x)

Итак, теперь мы можем пойти по совершенно новому пути, чтобы (в конечном счете) сделать вещи проще.

Глядя только на часть «A плюс B»:

Ae 3ix + Be −3ix

A(cos(3x) + i sin(3x)) + B(cos(−3x) + i sin(−3x))

Acos(3x) + Bcos(−3x) + i(Asin(3x) + Bsin(−3x))

Теперь применим тригонометрические тождества: cos(−θ)=cos(θ) и sin(−θ)=−sin(θ):

Acos(3x) + Bcos(3x) + i(Asin(3x) − Bsin(3x)

(A+B)cos(3x) + i(A−B)sin(3x)

Заменить A+B на C и A−B на D:

Ccos(3x) + iDsin(3x)

И мы получаем решение:

y = e 2x ( Ccos(3x) + iDsin(3x) )

 

Check

У нас есть наш ответ, но, может быть, мы должны проверить, что он действительно удовлетворяет оригиналу уравнение:

y = e 2x ( Ccos(3x) + iDsin(3x) )

dy dx = e 2x ( −3Csin(9x)+2xiDcos)0005 2x ( Ccos(3x)+iDsin(3x))

d 2 y dx 2 = e 2x 6iD)cos(3x)) + 2e 2x (2C+3iD)cos(3x) + (−3C+2iD)sin(3x) )

Замена:

d 2 y 0dx9003 − 4 dy dx + 13y = e 2x ( −(6C+9iD)sin(3x) + (−9C+6iD)cos(3x)) + 2e 2x (2C+3iD) cos(3x) + (−3C+2iD)sin(3x)) − 4( e 2x (-3Csin(3x)+3iDcos(3x)) + 2e 2x (Ccos(3x)+iDsin(3x)) ) + 13( e 2x (Ccos(3x) + iDsin(3x)) )

. .. эй, почему бы ВАМ не попробовать сложить все члены, чтобы увидеть, равны ли они нулю … если нет, пожалуйста, дайте мне знать, хорошо?

Как это обобщить?

Обычно, когда мы решаем характеристическое уравнение с комплексными корнями, мы получаем два решения r 1 = v + wi и r 2 = v − wi

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения равно

.

y = e vx ( Ccos(wx) + iDsin(wx))

Пример 8: Решение

D 2 Y DX 2 — 6 DY DX + 25Y = 0

. Характерное равносильность:
+ 25Y = 0

. + 25 = 0

Используйте формулу квадратного уравнения:

x = −b ± √(b 2 − 4ac) 2a

с a = 1, b = −6 и c = 25

x = −(−6) ± √((−6) 2 − 4×1× 25) 2 × 1

x = 6 ± √ (36- 100) 2

x = 6 ± √ (-64) 2

x = 6 ± 9074 2

x = 6 ± 9074

x = 6 ±

X = 6. 2

x = 3 ± 4i

И получаем решение:

y = e 3x (Ccos(4x) + iDsin(4x))

Example 9: Solve

9 d 2 y dx 2 + 12 dy dx + 29y = 0

The characteristic equation is:

9r 2 + 12r + 29 = 0

Используйте формулу квадратного уравнения:

x = −b ± √(b 2 − 4ac) 2a

при a = 1 9 и c0 = 2 0 9, b0 = 2 9, b0 = 2 9, b

х = -12 ± √(12 2 — 4×9×29) 2×9

x = −12 ± √(144− 1044) 18

x = −12 ± √(−900) 18

x = −12 ± 30i 18

х = − 2 3
± 5 3 I

и мы получаем решение:

Y = E ( — 2 3 ) x (CCOS ( 5 3 x) + IDSIN ( 5 3 x) + IDS 3 х))

Резюме

Решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида

d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0

где p и q — константы, надо найти корни характеристического уравнения

г 2 + пр + кв = 0

Есть три случая, в зависимости от дискриминанта p 2 — 4q .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *