Диагонали трапеции и средняя линия: Диагональ трапеции делит среднюю линию на отрезки

Средняя линия трапеции

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а другие две — не параллельны, называется трапецией.

На чертеже 252 у четырёхугольника АВDС АВ || СD, AC ||BD. АВDС — трапеция.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями; АВ и СD — основания трапеции. Остальные две стороны называются боковыми сторонами трапеции; АС и ВD — боковые стороны трапеции.

Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной.

Трапеция АВОМ равнобедренная, так как АМ=ВО (рис. 253).

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна к основанию, называется прямоугольной (рис. 254).

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна каждому из ее оснований и равна их полусумме.

Дано: ОС — средняя линия трапеции АВDК, т. е. ОК = ОА и ВС = СD (рис. 255).

Надо доказать:

1) ОС || КD и ОС || АВ;

2) OC = \(\frac{KD + AB}{2}\)

Доказательство. Через точки А и С проведём прямую, пересекающую продолжение основания КD в некоторой точке Е.

В треугольниках АBС и DСЕ:

ВС = СD — по условию;

∠1 = ∠2, как вертикальные,

∠4 = ∠3, как внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и KЕ и секущей ВD. Следовательно, \(\Delta\)АBС = \(\Delta\)DСЕ.

Отсюда АС = СЕ, т.е. ОС является средней линией треугольника КАЕ. Следовательно:

1) ОС || КЕ и, значит, ОС || КD и ОС || AВ;

2) OC = \(\frac{KE}{2} = \frac{KD + DE}{2}\), но DЕ = АВ (из равенства треугольников АBС и DСЕ), поэтому отрезок DЕ можно заменить равным ему отрезком АВ. Тогда получим:

OC = \(\frac{KD + AB}{2}\)

Теорема доказана.

Свойства трапеции, которые часто используются при решении задач:

  1. Диагонали трапеции разбивают её начетыре треугольника с общей вершиной. Площади треугольников, прилежащие к боковым сторонам, равны.

  2. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения прямых, на которой лежат боковые стороны, лежат на одной прямой (точки М, N, О и К).

  3. В равнобокой трапеции углы при основании равны.

  4. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии этой трапеции

  5. В равнобокой трапеции диагонали равны.

  6. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой — их полусумме.

  7. Во всякой трапеции серединам боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой.
  8. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований.

  9. Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований.
  10. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.
  11. Трапецию можно описать около окружности тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Найдите среднюю линию трапеции

В этой статье для вас сделана очередная подборка задач с трапецией. Условия так или иначе связаны с её средней линией. Типы заданий взяты из открытого банка типовых задач. Если есть желание, то можете освежить свои теоретические знания связанные с трапецией. На блоге уже рассмотрены задачи условия которых связаны с площадью трапеции, а также с углами. Кратко о средней линии:

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Перед решением задач давайте рассмотрим теоретический пример.

Дана трапеция ABCD. Диагональ АС пересекаясь со средней линией образует точку К, диагональ BD точку L. Доказать, что отрезок KL равен половине разности оснований.

Давайте сначала отметим тот факт, что средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок концы которого лежат на её основаниях. Этот вывод напрашивается сам собой. Представьте отрезок соединяющий две точки оснований, он разобьёт данную трапецию на две других. Получится, что отрезок параллельный основаниям трапеции и проходящий через середину боковой стороны на другой боковой стороне пройдёт через её середину.

Так же это основывается на теореме Фалеса:

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

То есть в данном случае К середина АС и L середина BD. Следовательно EK есть средняя линия треугольника АВС, LF есть средняя линия треугольника DCB. По свойству средней линии треугольника:

Можем теперь выразить отрезок KL через основания:

Доказано!

Данный пример приведён не просто так. В задачах для самостоятельного решения имеется именно такая задача. Только в ней не сказано, что отрезок соединяющий середины диагоналей лежит на средней линии.  Рассмотрим задачи:

27819. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания равны 30 и 16.

Вычисляем по формуле:

Ответ: 23

27820. Средняя линия трапеции равна 28, а меньшее основание равно 18. Найдите большее основание трапеции.

Выразим большее основание:

Таким образом:

Ответ: 38

27836. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 10 и 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Для того, чтобы найти среднюю линию необходимо знать основания. Основание АВ найти просто: 10+4=14. Найдём DC.

Построим второй перпендикуляр DF:

Отрезки AF, FE и EB будут равны соответственно 4, 6 и 4. Почему?

В равнобедренной трапеции перпендикуляры опущенные к большему основанию разбивают его на три отрезка. Два из них, являющиеся катетами отсекаемых прямоугольных треугольников, равны друг другу. Третий отрезок равен меньшему основанию, так как при построении указанных высот образуется прямоугольник, а в прямоугольнике противолежащие стороны равны. В данной задаче:

Таким образом DC=6. Вычисляем:

Ответ: 10

27839. Основания трапеции относятся 2:3, а средняя линия равна 5. Найдите меньшее основание.

Введём коэффициент пропорциональности х. Тогда АВ=3х, DC=2х. Можем записать:

Следовательно меньшее основание равно 2∙2=4.

Ответ: 4

27840. Периметр равнобедренной трапеции равен 80, ее средняя линия равна боковой стороне. Найдите боковую сторону трапеции.

Исходя из условия можем записать:

Если обозначить среднюю линию через величину х, то получится:

Второе уравнение уже можно записать в виде:

Ответ: 20

27841. Средняя линия трапеции равна 7, а одно из ее оснований больше другого на 4. Найдите большее основание трапеции.

Обозначим меньшее основание (DC) как х, тогда большее (AB) будет равно х+4. Можем записать

Получили, что меньшее основание рано пяти, значит большее равно 9.

Ответ: 9

27842. Средняя линия трапеции равна 12. Одна из диагоналей делит ее на два отрезка, разность которых равна 2. Найдите большее основание трапеции.

Большее основание трапеции мы без труда найдём если вычислим отрезок ЕО. Он является средней линией в треугольнике ADB, и АВ=2∙ЕО.

Что имеем? Сказано что средняя линия равна 12 и разность отрезков ЕО и ОF равна 2. Можем записать два уравнения и решить систему:

Понятно, что в данном случае подобрать пару чисел можно без вычислений, это 5 и 7. Но, всё-таки, решим систему:

Значит ЕО=12–5=7. Таким образом, большее основание равно АВ=2∙ЕО=14.

Ответ: 14

27844. В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12. Найдите ее среднюю линию.

Сразу отметим, что высота проведённая через точку пересечения диагоналей в равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.

Казалось бы, для вычисления средней линии мы должны найти основания. Тут небольшой тупик возникает… Как зная высоту, в данном случае, вычислить основания? А ни как! Таких трапеций с фиксированной высотой и диагоналями пересекающимися по углом 90 градусов можно построить множество. Как быть?

Посмотрите на формулу средней линии трапеции. Ведь нам необязательно знать сами основания, достаточно узнать их сумму (или полусумму). Это мы сделать можем.

Так как диагонали пересекаются под прямым углом, то высотой EF образуются равнобедренные прямоугольные треугольники:

При чём:

Из выше сказанного следует, что FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Теперь запишем чему равна высота выраженная через отрезки DF и AE:

Таким образом, средняя линия равна 12.

*Вообще это задачка, как вы поняли, для устного счёта. Но, уверен, представленное подробное объяснение необходимо. А так… Если взглянуть на рисунок (при условии, что при построении соблюдён угол между диагоналями), сразу в глаза бросается равенство FO=DF=FC, а OE=AE=EB.

Ответ: 12

В составе прототипов имеется ещё типы заданий с трапециями. Построена она на листе в клетку и требуется найти среднюю линию, сторона клетки обычно равна 1, но может быть  другая величина.

27848. Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1.

Всё просто, вычисляем основания по клеткам и используем формулу: (2+4)/2=3

Ответ: 3

Если же основания построены под углом к клеточной сетке, то есть два способа. Например!

28854.Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны √2.

В данном случае видно, что средняя линия трапеции равна трём диагоналям клетки. Диагональ одной клетки по теореме Пифагора будет равна:

Значит средняя линия равна 2∙3=6.

Конечно, есть и другой путь решения.

Если допустить мысль, что основания трапеции могут лежать по отношению к сетке под углом не 45 градусов, а например 30, или другим, то вполне применим следующий метод (таких задач на ЕГЭ не предвидится):

Вычисляем основания используя теорему Пифагора, а далее используем формулу средней линии.

Основание AD при данных условиях это диагональ в прямоугольном треугольнике с катетами равными 4 сторонам клетки, вычисляем:

Основание BC это диагональ в прямоугольном треугольнике катетами равными  2 сторонам клетки, вычисляем:

Средняя линия будет равна  (8+4)/2=6.

*То есть при данном подходе, как бы ни была построена трапеция всегда можно вычислить основания.

Ответ: 6

27853. Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны √2.

Высота трапеции равна диагонали клетки. Вычисляем по теореме Пифагора:

Ответ: 2

27821. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

Посмотреть решение

27838.Периметр трапеции равен 50, а сумма непараллельных сторон равна 20. Найдите среднюю линию трапеции.

Посмотреть решение

27843. Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Посмотреть решение

На этом всё, успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P,S: Расскажите о сайте в социальных сетях.

Средняя линия трапеции не совпадает с диагоналями. Объяснить, почему.

РЕШЕНИЕ: Средняя линия трапеции не совпадает с диагоналями. Объяснить, почему.

Алгебра ->
Настраиваемые средства решения задач Word
-> Геометрия
-> РЕШЕНИЕ: Средняя линия трапеции не совпадает с диагоналями. Объяснить, почему.

Войти

Реклама: Более 600 задач по алгебре на сайте edhelper. com


Задачи Word: GeometryWord

РешателиРешатели

УрокиУроки

Архив ответовОтветы

   


  • Щелкните здесь, чтобы просмотреть ВСЕ задачи по геометрии Word Problems

Вопрос 1156832: Средняя линия трапеции не совпадает с диагоналями. Объяснить, почему.

Найдено 2 решения по greenestamps, ikleyn :



Вы можете разместить это решение на ВАШЕМ сайте!

Средняя линия проходит через трапецию параллельно обоим основаниям.

Каждая диагональ проходит через трапецию из точки на одном основании в точку на другом основании.

Итак, каждая диагональ пересекает среднюю линию; это означает, что ни один из них не совпадает со средней линией.

Ответ от ikleyn(46119)    (Показать источник):

Вы можете разместить это решение на ВАШЕМ сайте!
.

            Наставник @greenestamps неправильно интерпретирует понятие параллелизма для прямых линий.

            Поэтому его решение неверно.

            Я пришел принести правильное решение.

Позвольте мне начать напоминать вам два факта из геометрии.


   1) Трапеция – это четырехугольник, две противоположные стороны которого ПАРАЛЛЕЛЬНЫ и при этом НЕ ЯВЛЯЮТСЯ параллелограммом. 

   2) Три прямые на плоскости называются  параллельными , если они пересекаются в одной общей точке.


Итак, вопрос состоит в том, чтобы объяснить, почему две диагонали трапеции и ее средняя линия НЕ пересекаются в одной общей точке.


Я постараюсь сделать свое объяснение максимально простым.


Пусть трапеция ABCD с основаниями a = AB и b = CD.
Пусть О — точка пересечения диагоналей.

Тогда треугольники AOB и DOC подобны. Это элементарное утверждение, так что возьмем его без доказательств.

Основания этих треугольников, АВ и DC, пропорциональны = .


Далее, поскольку трапеция не является параллелограммом, a =/= b; поэтому не равно 1.

Это означает, что в треугольниках AOB и DOC высоты OE и OF, проведенные из точки O к их основаниям AB и CD,
бывают разной длины.


С другой стороны, средняя линия трапеции ABSD, делит высоту EF трапеции на две конгруэнтные части.

    (Это верно для любой трапеции (!) )


Это противоречие объясняет, почему основания трапеции и ее средняя линия не совпадают. 
 

Решено.

геометрия — Пусть длины оснований $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ равны $a$ и $b(a>b)$.

Спросил

Изменено
5 лет, 3 месяца назад

Просмотрено
531 раз

$\begingroup$

Пусть длины оснований $AD$ и $BC$ трапеции $ABCD$ равны $a$ и $b(a>b)$.

$(a)$ найти длину отрезка, пересекаемого диагональю на средней линии
$(b)$ найти длину отрезка $MN$, концы которого делят $AB$ и $CD$ в отношении $AM:MB = DN:NC = p:q$

Мне удалось решить $( a)$ части, обозначив $PQ$ срединным отрезком, тогда диагонали $AC$ и $BD$ пересекают $PQ$ в точках $K$ и $L$ соответственно, тогда

$PK = \frac {1} {2} б$ и
$PL = \frac {1} {2} a$ Отсюда

$KL = PL — PK = \frac {1}{2}(a-b)$

Но я не знаю, что делать с частью $(b)$.

  • геометрия

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Извините, я неправильно понял; Я думал, что проблема заключается в поиске длины с концами по диагоналям, а не катетов трапеции. Но моя идея выражения MN, когда M находится на DC, а N на AB, и AN:NB=DM:MC=p:q остается прежней.

Прежде всего, протяните DC и AB через C и B и отметьте E как пересечение этих двух линий. Пусть T — точка на AE такая, что MT параллельна DA. Для этой точки T по теореме о перехвате будет верно: AT:TE=DM:ME.

Поскольку AN:NE=DM:ME=p:q, мы заключаем, что AT:TE=AN:NE. Мы знаем, что и T, и N находятся на BA,
и, следовательно, коллинеарны. Логически T — единственная точка на AE такая, что
AT:TE=AN:NE, поэтому мы заключаем, что N есть T. Следовательно, NM параллелен DA.

Пусть P — пересечение MN и DB, а Q — пересечение MN и CA. По теореме о перехвате можно заключить, что MP — это pb/(p+q), а PN — это qa/(p+q), поэтому MN=MP+PN=(aq+bp)/(p+q).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *