Деление чисел со степенями: Свойства степеней, действия со степенями

Содержание

Умножение степеней, деление, таблица

Что такое степень числа

Алгебра дает нам такое определение: 

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд»

  • an — степень, где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, an= a·a·a·a…·a

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) на само себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число — она решается довольно просто:

2 — основание степени

3 — показатель степени

Действия, конечно, можно выполнять и на калькуляторе — вот несколько подходящих:

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3). Неважно в какой класс перешел ребенок — таблица пригодится всегда.

Число

Вторая степень

Третья степень

1

1

1

2

4

8

3

9

27

4

16

64

5

25

125

6

36

216

7

49

343

8

64

512

9

81

729

10

100

1000

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук и ниже мы их рассмотрим.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

an · am = am+n

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

 

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в квадрат

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

(an)m = an· m 

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень возведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

(a · b)n = an · bn

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a : b)n = an : bn

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

Умножение чисел с одинаковыми степенями

Для того, чтобы произвести умножение степеней с одинаковыми показателями, нужно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным:

an · bn = (a · b)n , где

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

  • a5 · b5 = (a·a·a·a·a) ·(b·b·b·b·b) = (ab)·(ab)·(ab)·(ab)·(ab) = (ab)5
  • 35 · 45 = (3·4)5 = 125 = 248 832
  • 16a2 = 42·a2 = (4a)2

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Степени с одинаковыми основаниями умножаются путём сложения показателей степеней:

am · an= am+n, где

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа

  • 35 · 32 = 35+3 = 38 = 6561
  • 28 · 81= 28 · 23 = 211 = 2048 

Умножение чисел с разными степенями

Если степени разные, но основания одинаковые, то действия производим согласно правилу, описанному выше. А именно:

an · bn = (a · b)n

Если же разные и степени, и основания и одно из оснований не преобразуется в число с той же степенью, как у другого числа (как здесь: 28 · 81= 28 · 23 = 211 = 2048), то производим возведение в степень каждого числа и лишь затем умножаем:

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Деление степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Деление чисел с одинаковыми степенями

При делении степеней с одинаковыми показателями результат частного этих чисел возводится в степень:

an : bn = (a : b)n, где 

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

Деление чисел со степенями

Если степени разные, но основания одинаковые, то действия производим согласно правилу, описанному выше. А именно:



Если же разные и степени, и основания, то возводим в степень каждое число и только потом умножаем:

Умножение и деление чисел со степенями

Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться таблицей степеней натуральных чисел от 2 до 25 по алгебре. А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней.

Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.

Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.

Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.

А теперь используем правило возведения числа в степень. 16=42, или 24, 64=43, или 26, в то же время 1024=64=45, или 210.

Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 42х43=45 или 24х26=210, и каждый раз мы получаем 1024.

Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени, или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.

Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 24х22х214=220.

Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого. Таким образом, 25:23=22, что в обычных числах равно 32:8=4, то есть 22. Подведем итоги:

amх an=am+n, am: an=am-n, где m и n — целые числа.

С первого взгляда может показаться, что такое умножение и деление чисел со степенями не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 23 и 24, но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 23х32, и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 25 и ни 35 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.

Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огром­ные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.

Для того чтобы легче было двигаться дальше, давайте подробнее рассмотрим понятие экспоненты и попробуем дать ей более обобщенное толкование.

До сих пор мы считали, что экспонента – это количество одинаковых сомножителей. В этом случае минимальная величина экспоненты – это 2. Однако если мы производим операцию деления чисел, или вычитания экспонент, то можем получить также число меньше 2, значит, старое определение нас больше не может устроить. Подробнее читайте в следующей статье.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

правила вычисления степеней с разными основаниями или натуральными показателями по математике и порядок этого

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом: an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

  • 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8,
  • 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16,
  • 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625,
  • 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000,
  • 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло 2-ая ст-нь 3-я ст-нь
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
5 25 125
6 36 216
7 49 343
8 64 512
9 81 279
10 100 1000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

  • an * am = (a)(n+m),
  • an : am = (a)(n-m),
  • (ab ) m=(a)(b*m).

Проверим на примерах:

  • 23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично:

  • 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.
  • (23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

  • 33 + 24 = 27 + 16 = 43,
  • 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 3)2 = 22 = 4.
  • А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

  • при наличии скобок – начинать нужно с них,
  • затем возведение в степень,
  • потом выполнять действия умножения, деления,
  • после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

  1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
  2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
  3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
  4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
  5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
  6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

  • A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

И наоборот:

  • 1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.

А если дробь?

  • (A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

  • A0 = 1, 10 = 1, 20 = 1, 3.150 = 1, (-4)0 = 1… и т. д.
  • A1 = A, 11 = 1, 21 = 2, 31 = 3 … и т. д.

Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот. Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

  • А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице,
  • А˃1.
  • Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа.

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

  1. r1 – в этом случае равно 3,
  2. r2 – будет равно 4.
  3. Тогда, при А = 1, 1π = 1.
  4. А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.
  5. А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

Источник: https://tvercult.ru/nauka/stepen-svoystva-pravila-deystviya-i-formulyi

Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

  • Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−0,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3.
  • А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+52−3,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.
  • Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный  и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.
  • В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12).

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4.

Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ.

Ответ: 23·(42−12)=32.

Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7.

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/stepennye-vyrazhenija/

Возведение в степень

Возведение в степень — это арифметическая операция повторяющегося умножения. Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.

Основные действия со степенями

В первую очередь степень — это повторяющееся умножение. Число 134 — это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя. Если умножить 134 на 132, то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 136.

Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:

Если разделить 134 на 132, то нам потребуется вычислить дробь вида:

  • (13 × 13 × 13 × 13) / (13 × 13).

Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 132. Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей. Второе правило действий со степенями математически выглядит так: am / an = a(m – n).

Теперь давайте возведем 114 в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются. Третье правило записывается так: (am)n = a(m × n).

Это основные правила работы со степенными выражениями. Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую. Какой результат даст выражение 150? Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 154 на 154, что запишется как дробь: 154 / 154.

Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу. Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 150.

Следовательно: 154 / 154 = 150 = 1.

Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице. Выглядит это правило так: a0 = 1.

При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 82 на 84 и запишем выражение в виде дроби.

(8 × 8) / (8 × 8 × 8 × 8).

Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8-2. В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате. Таким образом:

При этом для значения -1 правило трансформируется в элегантную формулу:

И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях. Что мы можем сделать с выражением 7(1/2). Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка.

Степень 1/2 — это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число. Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3? Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат.

Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель — возведение в степень. Математически это выглядит как: a(m/n) есть корень n-ной степени из am. Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.

Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Депозит в банке

Если мы положим на банковский депозит $1 000 под годовую ставку в размере 9% годовых, то сколько денег на счету будет через 20 лет? Рост с течением времени рассчитываются по экспоненциальной формуле вида:

Рост = a × e(kt),

  • где a – начальное значение,
  •  e – константа, равная 2,718;
  • k – коэффициент роста;
  • t – время.

Для решения банковской задачи нам потребуется возвести 2,718 в степень, равную 20 × 0,09 = 1,8. Воспользуемся нашим калькулятором и введем в ячейку «Число, x =» значение 2,718, а в ячейку «Степень, n =» значение 1,8. Мы получим ответ, равный 6,049. Теперь, для подсчета суммы на банковском счету нам необходимо умножить начальное значение $1 000 на прирост в размере 6,049. В итоге, через 20 лет на депозите будет $6 049.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x2,5. Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции.

Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5. После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588. Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам.

Источник: https://BBF.ru/calculators/73/

Умножение и деление степеней, алгебра, 7 класс

Дата публикации: .

Урок на тему: «Правила умножения и деления степеней с одинаковыми и разными показателями. Примеры»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания.3=8$.

Лестницы. Входная группа. Материалы. Двери. Замки. Дизайн

Если числа складываются то степени. Правило умножение степеней с разными основаниями

Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться . А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней
.

Экспоненциальные числа
открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.

Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.

Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.

А теперь используем правило . 16=4 2 , или 2 4 , 64=4 3 , или 2 6 , в то же время 1024=6 4 =4 5 , или 2 10 .

Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 4 2 х4 3 =4 5 или 2 4 х2 6 =2 10 , и каждый раз мы получаем 1024.

Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени
, или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.

Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .

Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого
. Таким образом, 2 5:2 3 =2 2 , что в обычных числах равно 32:8=4, то есть 2 2 . Подведем итоги:

a m х a n =a m+n , a m: a n =a m-n , где m и n — целые числа.

С первого взгляда может показаться, что такое умножение и деление чисел со степенями
не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 2 3 и 2 4 , но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 2 3 х3 2 , и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 2 5 и ни 3 5 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.

Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огром­ные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.

Сложение и вычитание степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками
.

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных
могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных
и различные степени
одинаковых переменных
, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание
степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или:

2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

Или:

x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме
степеней слагаемых.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, a n .a m = a m+n .

Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:

4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .
Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные
.

1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат
, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой
степени.

Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac $. Но это равно a 2 . В ряде чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

Свойства степени

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней
с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1

Произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

  • Упростить выражение.
    b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  • Представить в виде степени.
    6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
  • Представить в виде степени.
    (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
  • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями
    . Оно не относится к их сложению.

    Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
    посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

    Свойство № 2

    Частное степеней

    При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

  • Записать частное в виде степени
    (2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
  • Вычислить.

11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8: t = 3 4

Ответ: t = 3 4 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

Пример. Упростить выражение.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

Свойство № 3

Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

(a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Как умножать степени

Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и сформулируем теорему о справедливости равенства
. Затем приведем примеры ее применения на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач.

Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

Урок: Умножение степеней с одинаковыми основаниями (формула )

1. Основные определения

Основные определения:

n
— показатель степени,

n
-ая степень числа.

2. Формулировка теоремы 1

Теорема 1.
Для любого числа а
и любых натуральных n
и k
справедливо равенство:

По-иному: если а
– любое число; n
и k
натуральные числа, то:

Отсюда правило 1:

3. Разъясняющие задачи

Вывод:
частные случаи подтвердили правильность теоремы №1. Докажем ее в общем случае, то есть для любого а
и любых натуральных n
и k.

4. Доказательство теоремы 1

Дано число а
– любое; числа n
и k –
натуральные. Доказать:

Доказательство основано на определении степени.

5. Решение примеров с помощью теоремы 1

Пример 1:
Представьте в виде степени.

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 1.

ж)

6. Обобщение теоремы 1

Здесь использовано обобщение:

7. Решение примеров с помощью обобщения теоремы 1

8. Решение различных задач с помощью теоремы 1

Пример 2:
Вычислите (можно использовать таблицу основных степеней).

а) (по таблице)

б)

Пример 3:
Запишите в виде степени с основанием 2.

а)

Пример 4:
Определите знак числа:

, а –
отрицательное, так как показатель степени при -13 нечетный.

Пример 5:
Замените (·) степенью числа с основанием r:

Имеем , то есть .

9. Подведение итогов

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

1. Школьный помощник (Источник).

1. Представьте в виде степени:

а) б) в) г) д)

3. Запишите в виде степени с основанием 2:

4. Определите знак числа:

а)

5. Замените (·) степенью числа с основанием r:

а) r 4 · (·) = r 15 ; б) (·) · r 5 = r 6

Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями

На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми показателями. Сначала вспомним основные определения и теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми основаниями и возведении степень в степень. Затем сформулируем и докажем теоремы об умножении и делении степеней с одинаковыми показателями. А затем с их помощью решим ряд типичных задач.

Напоминание основных определений и теорем

Здесь a
— основание степени,

n
-ая степень числа.

Теорема 1.
Для любого числа а
и любых натуральных n
иk
справедливо равенство:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Теорема 2.
Для любого числа а
и любых натуральных n
и k,
таких, что n
> k
справедливо равенство:

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

Теорема 3.
Для любого числа а
и любых натуральных n
иk
справедливо равенство:

Все перечисленные теоремы были о степенях с одинаковыми основаниями
, на этом уроке будут рассмотрены степени с одинаковыми показателями
.

Примеры на умножение степеней с одинаковыми показателями

Рассмотрим следующие примеры:

Распишем выражения по определению степени.

Вывод:
из примеров можно заметить, что , но это еще нужно доказать. Сформулируем теорему и докажем ее в общем случае, то есть для любых а
и b
и любого натурального n.

Формулировка и доказательство теоремы 4

Для любых чисел а
и b
и любого натурального n
справедливо равенство:

Доказательство
теоремы 4.

По определению степени:

Итак, мы доказали, что .

Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

Формулировка и доказательство теоремы 5

Сформулируем теорему для деления степеней с одинаковыми показателями.

Для любого числа а
и b ()
и любого натурального n
справедливо равенство:

Доказательство
теоремы 5.

Распишем и по определению степени:

Формулировка теорем словами

Итак, мы доказали, что .

Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.

Решение типичных задач с помощью теоремы 4

Пример 1:
Представить в виде произведения степеней.

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 4.

Для решения следующего примера вспомним формулы:

Обобщение теоремы 4

Обобщение теоремы 4:

Решение примеров с помощью обобщенной теоремы 4

Продолжение решения типичных задач

Пример 2:
Запишите в виде степени произведения.

Пример 3:
Запишите в виде степени с показателем 2.

Примеры на вычисление

Пример 4:
Вычислить самым рациональным способом.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

2. Школьный помощник (Источник).

1. Представить в виде произведения степеней:

а) ; б) ; в) ; г) ;

2. Запишите в виде степени произведения:

3. Запишите в виде степени с показателем 2:

4. Вычислить самым рациональным способом.

Урок математики по теме «Умножение и деление степеней»

Разделы:
Математика

Педагогическая цель
:

  • ученик научится
    различать свойства умножения и деления степеней с натуральным показателем; применять эти свойства в случае с одинаковыми основаниями;
  • ученик получит возможность
    уметь выполнять преобразования степеней с разными основаниями и уметь выполнять преобразования в комбинированных заданиях.
  • Задачи
    :

  • организовать работу учащихся посредством повторения ранее изученного материала;
  • обеспечить уровень воспроизведения посредством выполнения упражнений различного типа;
  • организовать проверку по самооценке учащихся посредством тестирования.
  • Деятельностные единицы учения:
    определение степени с натуральным показателем; компоненты степени; определение частного; сочетательный закон умножения.

    I. Организация демонстрации овладение учащимися имеющимися знаниями. (шаг 1)

    а) Актуализация знаний:

    2) Сформулировать определение степени с натуральным показателем.

    a n =a a a a … а (n раз)

    b k =b b b b a… b (k раз) Обосновать ответ.

    II. Организация самооценивания обучаемого степенью владения актуальным опытом.
    (шаг 2)

    Тест для самопроверки: (индивидуальная работа в двух вариантах.)

    А1) Представьте произведение 7 7 7 7 x x x в виде степени:

    А2) Представить в виде произведения степень (-3) 3 х 2

    A3) Вычислите: -2 3 2 + 4 5 3

    Количество заданий в тесте я подбираю в соответствии с подготовкой уровня класса.

    К тесту даю ключ для самопроверки. Критерии: зачёт – не зачёт.

    III. Учебно-практическая задача (шаг 3) + шаг 4. (сформулируют свойства сами ученики)

  • вычислите: 2 2 2 3 = ? 3 3 3 2 3 =?
  • Упростите: а 2 а 20 = ? b 30 b 10 b 15 = ?
  • В ходе решения задачи 1) и 2) учащиеся предлагают решение, а я, как учитель, организую класс на нахождение способа для упрощения степеней при умножении с одинаковыми основаниями.

    Учитель: придумать способ для упрощения степеней при умножении с одинаковыми основаниями.

    На кластере появляется запись:

    Формулируется тема урока. Умножение степеней.

    Учитель: придумайте правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

    Рассуждения: каким действием проверяется деление? а 5: а 3 = ? что а 2 а 3 = а 5

    Возвращаюсь к схеме – кластер и дополняем запись – ..при делении вычитаем и дописываем тему урока. …и деление степеней.

    IV. Сообщение учащимся пределов познания (как минимум и как максимум).

    Учитель: задачей минимума на сегодняшний урок является научиться применять свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями, а максимума: применять умножение и деление совместно.

    На доске записываем: а m а n = а m+n ; а m: а n = а m-n

    V. Организация изучения нового материала. (шаг 5)

    а) По учебнику: №403 (а, в, д) задания с разными формулировками

    №404 (а, д, е) самостоятельная работа, затем организую взаимопроверку, даю ключи.

    б) При каком значении m справедливо равенство? а 16 а m = а 32 ; х h х 14 = х 28 ; х 8 (*) = х 14

    Задание: придумать аналогичные примеры для деления.

    в) № 417(а), №418 (а) Ловушки для учеников
    : х 3 х n = х 3n ; 3 4 3 2 = 9 6 ; а 16: а 8 = а 2 .

    VI. Обобщение изученного, проведение диагностической работы (что побуждает учеников, а не учителя изучать данную тему)(шаг 6)

    Диагностическая работа.

    Тест
    (ключи поместить на обратной стороне теста).

    Варианты заданий: представьте в виде степени частное х 15: х 3 ; представьте в виде степени произведение (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; при каком m справедливо равенство а 16 а m = а 32 ; найдите значение выражения h 0: h 2 при h =0,2; вычислите значение выражения (5 2 5 0) : 5 2 .

    Итог урока. Рефлексия.
    Делю класс на две группы.

    Найдите аргументы I группа: в пользу знания свойств степени, а II группа – аргументы, которые будут говорить о том, что можно обойтись без свойств. Все ответы выслушиваем, делаем выводы. На последующих уроках можно предложить статистические данные и назвать рубрику «В голове не укладывается!»

  • Средний человек съедает 32 10 2 кг огурцов в течение жизни.
  • Оса способна совершить беспосадочный перелёт на 3,2 10 2 км.
  • Когда стекло трескается, трещина распространяется со скоростью около 5 10 3 км/ч.
  • Лягушка съедает за свою жизнь более 3 тонн комаров. Используя степень, запишите в кг.
  • Наиболее плодовитой считается океанская рыба – луна (Моlа mola), которая откладывает за один нерест до 300000000 икринок диаметром около 1,3 мм. Запишите это число, используя степень.
  • VII. Домашнее задание.

    Историческая справка. Какие числа называют числами Ферма.

    П.19. №403, №408, №417

    Используемая литература:

  • Учебник «Алгебра-7», авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.
  • Дидактический материал для 7 класса, Л.В. Кузнецова, Л.И. Звавич, С.Б. Суворова.
  • Энциклопедия по математике.
  • Журнал «Квант».
  • Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры.

    После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени
    . В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.

    Навигация по странице.

    Свойства степеней с натуральными показателями

    По определению степени с натуральным показателем степень a n представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a . Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел
    , можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем
    :

  • основное свойство степени a m ·a n =a m+n , его обобщение a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ;
  • свойство частного степеней с одинаковыми основаниями a m:a n =a m−n ;
  • свойство степени произведения (a·b) n =a n ·b n , его расширение (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ;
  • свойство частного в натуральной степени (a:b) n =a n:b n ;
  • возведение степени в степень (a m) n =a m·n , его обобщение (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k ;
  • сравнение степени с нулем:
    • если a>0 , то a n >0 для любого натурального n ;
    • если a=0 , то a n =0 ;
    • если a 2·m >0 , если a 2·m−1 n ;
    • если m и n такие натуральные числа, что m>n , то при 0m n , а при a>0 справедливо неравенство a m >a n .
    • Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными
      при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами. Например, основное свойство дроби a m ·a n =a m+n при упрощении выражений
      часто применяется в виде a m+n =a m ·a n .

      Теперь рассмотрим каждое из них подробно.

      Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени
      : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство a m ·a n =a m+n .

      Докажем основное свойство степени. По определению степени с натуральным показателем произведение степеней с одинаковыми основаниями вида a m ·a n можно записать как произведение . В силу свойств умножения полученное выражение можно записать как , а это произведение есть степень числа a с натуральным показателем m+n , то есть, a m+n . На этом доказательство завершено.

      Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Возьмем степени с одинаковыми основаниями 2 и натуральными степенями 2 и 3 , по основному свойству степени можно записать равенство 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Проверим его справедливость, для чего вычислим значения выражений 2 2 ·2 3 и 2 5 . Выполняя возведение в степень, имеем 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 2 5 =2·2·2·2·2=32 , так как получаются равные значения, то равенство 2 2 ·2 3 =2 5 — верное, и оно подтверждает основное свойство степени.

      Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Так для любого количества k натуральных чисел n 1 , n 2 , …, n k справедливо равенство a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k .

      Например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

      Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем – свойству частного степеней с одинаковыми основаниями
      : для любого отличного от нуля действительного числа a и произвольных натуральных чисел m и n , удовлетворяющих условию m>n , справедливо равенство a m:a n =a m−n .

      Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие a≠0 необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0 n =0 , а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при m>n показатель степени a m−n является натуральным числом, в противном случае он будет либо нулем (что происходит при m−n), либо отрицательным числом (что происходит при m m−n ·a n =a (m−n)+n =a m . Из полученного равенства a m−n ·a n =a m и из связи умножения с делением следует, что a m−n является частным степеней a m и a n . Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями.

      Приведем пример. Возьмем две степени с одинаковыми основаниями π и натуральными показателями 5 и 2 , рассмотренному свойству степени отвечает равенство π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 .

      Теперь рассмотрим свойство степени произведения
      : натуральная степень n произведения двух любых действительных чисел a и b равна произведению степеней a n и b n , то есть, (a·b) n =a n ·b n .

      Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем . Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как , что равно a n ·b n .

      Приведем пример: .

      Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .

      Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7 имеем .

      Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени
      : частное действительных чисел a и b , b≠0 в натуральной степени n равно частному степеней a n и b n , то есть, (a:b) n =a n:b n .

      Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Так (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n , а из равенства (a:b) n ·b n =a n следует, что (a:b) n является частным от деления a n на b n .

      Запишем это свойство на примере конкретных чисел: .

      Теперь озвучим свойство возведения степени в степень
      : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n степень a m в степени n равна степени числа a с показателем m·n , то есть, (a m) n =a m·n .

      Например, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6 .

      Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: .

      Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т.д. Например, для любых натуральных чисел p , q , r и s справедливо равенство . Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

      Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем.

      Начнем с доказательства свойства сравнения нуля и степени с натуральным показателем.

      Для начала обоснуем, что a n >0 при любом a>0 .

      Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a с натуральным показателем n по определению является произведением n множителей, каждый из которых равен a . Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a степень a n есть положительное число. В силу доказанного свойства 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 и .

      Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень a n есть нуль. Действительно, 0 n =0·0·…·0=0 . К примеру, 0 3 =0 и 0 762 =0 .

      Переходим к отрицательным основаниям степени.

      Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m , где m — натуральное. Тогда . По правилу умножения отрицательных чисел каждое из произведений вида a·a равно произведению модулей чисел a и a , значит, является положительным числом. Следовательно, положительным будет и произведение и степень a 2·m . Приведем примеры: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и .

      Наконец, когда основание степени a является отрицательным числом, а показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то . Все произведения a·a являются положительными числами, произведение этих положительных чисел также положительно, а его умножение на оставшееся отрицательное число a дает в итоге отрицательное число. В силу этого свойства (−5) 3 17 n n представляет собой произведение левых и правых частей n верных неравенств aсвойств неравенств справедливо и доказываемое неравенство вида a n n . Например, в силу этого свойства справедливы неравенства 3 7 7 и .

      Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями. Сформулируем его. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства.

      Докажем, что при m>n и 0m n . Для этого запишем разность a m −a n и сравним ее с нулем. Записанная разность после вынесения a n за скобки примет вид a n ·(a m−n −1) . Полученное произведение отрицательно как произведение положительного числа a n и отрицательного числа a m−n −1 (a n положительна как натуральная степень положительного числа, а разность a m−n −1 отрицательна, так как m−n>0 в силу исходного условия m>n , откуда следует, что при 0m−n меньше единицы). Следовательно, a m −a n m n , что и требовалось доказать. Для примера приведем верное неравенство .

      Осталось доказать вторую часть свойства. Докажем, что при m>n и a>1 справедливо a m >a n . Разность a m −a n после вынесения a n за скобки принимает вид a n ·(a m−n −1) . Это произведение положительно, так как при a>1 степень a n есть положительное число, и разность a m−n −1 есть положительное число, так как m−n>0 в силу начального условия, и при a>1 степень a m−n больше единицы. Следовательно, a m −a n >0 и a m >a n , что и требовалось доказать. Иллюстрацией этого свойства служит неравенство 3 7 >3 2 .

      Свойства степеней с целыми показателями

      Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте.

      Степень с целым отрицательным показателем, а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.

      Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b , а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями
      :

    • a m ·a n =a m+n ;
    • a m:a n =a m−n ;
    • (a·b) n =a n ·b n ;
    • (a:b) n =a n:b n ;
    • (a m) n =a m·n ;
    • если n – целое положительное число, a и b – положительные числа, причем an n и a −n >b −n ;
    • если m и n – целые числа, причем m>n , то при 0m n , а при a>1 выполняется неравенство a m >a n .
    • При a=0 степени a m и a n имеют смысл лишь когда и m , и n положительные целые числа, то есть, натуральные числа. Таким образом, только что записанные свойства также справедливы для случаев, когда a=0 , а числа m и n – целые положительные.

      Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства (a p) q =a p·q , (a −p) q =a (−p)·q , (a p) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Сделаем это.

      Для положительных p и q равенство (a p) q =a p·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0 , то имеем (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1 , откуда (a 0) q =a 0·q . Аналогично, если q=0 , то (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1 , откуда (a p) 0 =a p·0 . Если же и p=0 и q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1 , откуда (a 0) 0 =a 0·0 .

      Теперь докажем, что (a −p) q =a (−p)·q . По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда . По свойству частного в степени имеем . Так как 1 p =1·1·…·1=1 и , то . Последнее выражение по определению является степенью вида a −(p·q) , которую в силу правил умножения можно записать как a (−p)·q .

      Аналогично .

      И .

      По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств.

      В предпоследнем из записанных свойств стоит остановиться на доказательстве неравенства a −n >b −n , которое справедливо для любого целого отрицательного −n и любых положительных a и b , для которых выполняется условие a. Запишем и преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства: . Так как по условию an n , следовательно, b n −a n >0 . Произведение a n ·b n тоже положительно как произведение положительных чисел a n и b n . Тогда полученная дробь положительна как частное положительных чисел b n −a n и a n ·b n . Следовательно, откуда a −n >b −n , что и требовалось доказать.

      Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями.

      Свойства степеней с рациональными показателями

      Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:

    1. свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями при a>0 , а если и , то при a≥0 ;
    2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями при a>0 ;
    3. свойство произведения в дробной степени при a>0 и b>0 , а если и , то при a≥0 и (или) b≥0 ;
    4. свойство частного в дробной степени при a>0 и b>0 , а если , то при a≥0 и b>0 ;
    5. свойство степени в степени при a>0 , а если и , то при a≥0 ;
    6. свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями: для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p ;
    7. свойство сравнения степеней с рациональными показателями и равными основаниями: для рациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .
    8. Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня n-ой степени и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.

      По определению степени с дробным показателем и , тогда . Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем , а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено.

      Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:

      По схожим принципам доказываются и остальные равенства:

      Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p . Запишем рациональное число p как m/n , где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p 0 в этом случае будут эквивалентны условия m 0 соответственно. При m>0 и am m . Из этого неравенства по свойству корней имеем , а так как a и b – положительные числа, то на основе определения степени с дробным показателем полученное неравенство можно переписать как , то есть, a p p .

      Аналогично, при m m >b m , откуда , то есть, и a p >b p .

      Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q . Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q , пусть при этом мы получим обыкновенные дроби и , где m 1 и m 2 – целые числа, а n — натуральное. При этом условию p>q будет соответствовать условие m 1 >m 2 , что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Тогда по свойству сравнения степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями при 0m 1 m 2 , а при a>1 – неравенство a m 1 >a m 2 . Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и . А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q и 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .

      Свойства степеней с иррациональными показателями

      Из того, как определяется степень с иррациональным показателем, можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Так для любых a>0 , b>0 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями
      :

      1. a p ·a q =a p+q ;
      2. a p:a q =a p−q ;
      3. (a·b) p =a p ·b p ;
      4. (a:b) p =a p:b p ;
      5. (a p) q =a p·q ;
      6. для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p p , а при p p >b p ;
      7. для иррациональных чисел p и q , p>q при 0p q , а при a>0 – неравенство a p >a q .
      8. Отсюда можно сделать вывод, что степени с любыми действительными показателями p и q при a>0 обладают этими же свойствами.

    • Алгебра – 10 класс. Тригонометрические уравнения
      Урок и презентация на тему: «Решение простейших тригонометрических уравнений»
      Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы […]
    • Открыт конкурс на позицию «ПРОДАВЕЦ — КОНСУЛЬТАНТ»:
      Обязанности: продажа мобильных телефонов и аксессуаров для мобильной связи сервисное обслуживание абонентов Билайн, Теле2, МТС подключение тарифных планов и услуг Билайн и Теле2, МТС консультирование […]
    • Параллелепипед формулы
      Параллелепипед – это многогранник с 6 гранями, каждая из которых является параллелограммом.
      Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, каждая грань которого является прямоугольником.
      Любой параллелепипед характеризуется 3 […]
    • ПРАВОПИСАНИЕ Н И НН В РАЗНЫХ ЧАСТЯХ РЕЧИ
      С.Г.ЗЕЛИНСКАЯ
      ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
      Теоретическая зарядка
      1. Когда в прилагательных пишется нн? 2. Назовите исключения из этих правил. 3. Как отличить отглагольное прилагательное с суффиксом -н- от причастия с […]
    • ИНСПЕКЦИЯ ГОСТЕХНАДЗОРА БРЯНСКОЙ ОБЛАСТИ
      Квитанция об оплате госпошлины(Скачать-12,2 kb)
      Заявления на регистрацию для физ.лиц(Скачать-12 kb)
      Заявления на регистрацию для юр.лиц(Скачать-11,4 kb)
      1. При регистрации новой машины:
      1.заявление 2.паспорт […]
    • Общество защиты прав потребителя астана
      Для того, что бы получить pin-код для доступа к данному документу на нашем сайте, отправьте sms-сообщение с текстом zan на номер
      Абоненты GSM-операторов (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) отправив SMS на номер, […]
    • Принять закон о Родовых поместьях
      Принять федеральный закон о безвозмездном выделении каждому желающему гражданину Российской Федерации или семье граждан участка земли для обустройства на нем Родового Поместья на следующих условиях: 1. Участок выделяется для […]
    • Пивоев В.М. Философия и методология науки: учебное пособие для магистров и аспирантов
      Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2013. ― 320 с.ISBN 978-5-821-1647-0
      PDF 3 mb
      Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов, магистров и аспирантов социального и […]
  • Степень с отрицательным показателем. Деление степеней с одинаковым основанием. 4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю. Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. Следовательно, am−an>0 и am>an, что и требовалось доказать. Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями.

    Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке. То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным. Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).

    После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени. В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров. Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами.

    Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Основное свойство дроби позволяет записать равенство am−n·an=a(m−n)+n=am.

    Переход к новому основанию

    То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Для наглядности покажем это свойство на примере. Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Например, для любых натуральных чисел p, q, r и s справедливо равенство. Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

    Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень an есть нуль. Действительно, 0n=0·0·…·0=0. К примеру, 03=0 и 0762=0. Переходим к отрицательным основаниям степени. Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m, где m — натуральное.

    Переходим к доказательству этого свойства. Докажем, что при m>n и 0По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств. Условиям p 0 в этом случае будут эквивалентны условия m 0 соответственно. При этом условию p>q будет соответствовать условие m1>m2, что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

    Операции с корнями. Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем;нодействиясостепенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения. Если мы хотим, чтобы формула a m: a n=a m — nбыла справедлива при m = n,нам необходимо определение нулевой степени. Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать.

    Вынесение показателя степени из логарифма

    Если основания разные, эти правила не работают! Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

    Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств. Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами. Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию.

    Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры.

    Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма. Она так и называется: основное логарифмическое тождество. Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением. В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма.

    Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

    Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице. 1 = 0 — это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения. Вот и все свойства. Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

    Логарифмическая единица и логарифмический ноль

    2.a-4 есть a-2 первый числитель. В этом случае советуем поступать следующим образом. Это действие третьей ступени. Например, основное свойство дроби am·an=am+n при упрощении выражений часто применяется в виде am+n=am·an. Условие a≠0 необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0n=0, а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Из полученного равенства am−n·an=am и из связи умножения с делением следует, что am−n является частным степеней am и an. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями.

    Аналогично, если q=0, то (ap)0=1 и ap·0=a0=1, откуда (ap)0=ap·0. В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и. А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно.

    Деление степеней с одинаковым основанием. Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями.

    3.a-3 есть a0 = 1, второй числитель. В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.

    Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать. После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени.

    Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров. Например, основное свойство дроби am·an=am+n при упрощении выражений часто применяется в виде am+n=am·an. Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке.

    Свойства степеней с натуральными показателями

    Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Из полученного равенства am−n·an=am и из связи умножения с делением следует, что am−n является частным степеней am и an. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями. Для наглядности покажем это свойство на примере. Например, для любых натуральных чисел p, q, r и s справедливо равенство. Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

    Сложение и вычитание одночленов

    Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень an есть нуль. Действительно, 0n=0·0·…·0=0. К примеру, 03=0 и 0762=0. Переходим к отрицательным основаниям степени. Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m, где m — натуральное.

    Переходим к доказательству этого свойства. Докажем, что при m>n и 0Осталось доказать вторую часть свойства. Следовательно, am−an>0 и am>an, что и требовалось доказать. Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.

    Если p=0, то имеем (a0)q=1q=1 и a0·q=a0=1, откуда (a0)q=a0·q. По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств. Условиям p 0 в этом случае будут эквивалентны условия m 0 соответственно.

    При этом условию p>q будет соответствовать условие m1>m2, что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и. А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно.

    Основные свойства логарифмов

    Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).1. Если Вы теперь аккуратно воспользуетесь свойствами степеней (при возведении степени в степень показатели…

    То есть показатели степени действительно вычитаются, но, поскольку в знаменателе у степени показатель отрицательный, при вычитании минус на минус даёт плюс, и показатели складываются. Вспомним, что называется одночленом, и какие операции можно делать с одночленами. Напомним, что для приведения одночлена к стандартному виду необходимо вначале получить численный коэффициент, перемножив все численные множители, а после этого перемножить соответствующие степени.

    Переход к новому основанию

    То есть, мы должны научиться различать подобные и не подобные одночлены. Сделаем вывод: подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть, и такие одночлены можно складывать и вычитать.

    Спасибо Вам за отзыв. Если наш проект вам понравился и вы готовы помочь или принять участие в нём, перешлите информацию о проекте знакомым и коллегам. В предыдущем видео говорилось,что в примерах с одночленами может быть только умножение:»Найдем отличие этих выражений от предыдущих.

    Само понятие одночлена как математической единицы подразумевает только умножение чисел и переменных, если есть другие операции, выражение уже не будет одночленом. Но вместе с тем между собой одночлены можно складывать, вычитать, делить… Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

    Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают! Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

    То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует. Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. 4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю.

    В прошлом видеоуроке мы узнали, что степенью некоего основания называется такое выражение, которое представляет собой произведение основания на самого себя, взятого в количестве, равном показателю степени. Изучим теперь некоторые важнейшие свойства и операции степеней.

    Например, умножим две разные степени с одинаковым основанием:

    Представим это произведение в полном виде:

    (2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

    Вычислив значение этого выражения, мы получим число 32. С другой стороны, как видно из этого же примера, 32 можно представить в виде произведения одного и того же основания (двойки), взятого в количестве 5 раз. И действительно, если пересчитать, то:

    Таким образом, можно с уверенностью прийти к выводу, что:

    (2) 3 * (2) 2 = (2) 5

    Подобное правило успешно работает для любых показателей и любых оснований. Это свойство умножения степени вытекает из правила сохранности значения выражений при преобразованиях в произведении. При любом основании а произведение двух выражений (а)х и (а)у равно а(х + у). Иначе говоря, при произведении любых выражений с одинаковым основанием, итоговый одночлен имеет суммарную степень, образующуюся сложением степени первого и второго выражений.

    Представляемое правило прекрасно работает и при умножении нескольких выражений. Главное условие — что бы основания у всех были одинаковыми. Например:

    (2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

    Нельзя складывать степени, да и вообще проводить какие-либо степенные совместные действия с двумя элементами выражения, если основания у них являются разными.
    Как показывает наше видео, в силу схожести процессов умножения и деления правила сложения степеней при произведении прекрасно передаются и на процедуру деления. Рассмотрим такой пример:

    Произведем почленное преобразование выражения в полный вид и сократим одинаковые элементы в делимом и делителе:

    (2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

    Конечный результат этого примера не так интересен, ведь уже в ходе его решения ясно, что значение выражения равно квадрату двойки. И именно двойка получается при вычитании степени второго выражения из степени первого.

    Чтобы определить степень частного необходимо из степени делимого вычесть степень делителя. Правило работает при одинаковом основании для всех его значений и для всех натуральных степеней. В виде абстракции имеем:

    (а) х / (а) у = (а) х — у

    Из правила деления одинаковых оснований со степенями вытекает определение для нулевой степени. Очевидно, что следующее выражение имеет вид:

    (а) х / (а) х = (а) (х — х) = (а) 0

    С другой стороны, если мы произведем деление более наглядным способом, то получим:

    (а) 2 / (а) 2 = (а) (а) / (а) (а) = 1

    При сокращении всех видимых элементов дроби всегда получается выражение 1/1, то есть, единица. Поэтому принято считать, что любое основание, возведенное в нулевую степень, равно единице:

    Вне зависимости от значения а.

    Однако будет абсурдно, если 0 (при любых перемножениях дающий все равно 0) будет каким-то образом равен единице, поэтому выражение вида (0) 0 (ноль в нулевой степени) просто не имеет смысла, а к формуле (а) 0 = 1 добавляют условие: «если а не равно 0».

    Решим упражнение. Найдем значение выражения:

    (34) 7 * (34) 4 / (34) 11

    Так как основание везде одинаково и равно 34, то итоговое значение будет иметь такое же основание со степенью (согласно вышеуказанных правил):

    Иначе говоря:

    (34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

    Ответ: выражение равно единице.

    Отрицательная степень числа | Алгебра

    Степень с отрицательным показателем

    Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.

    d -c =  1 ;    7 -5 =  1 ;    a -5 =  1  .
    d c 7 5 a 5

    Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

    При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:

    a 5 : a 8 = a5 — 8 = a -3.

    Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:

    Значит:

    Пример 1. Замените дробь степенью с отрицательным показателем:

    Решение:

    Пример 2. Представьте в виде степени с отрицательным показателем:

    Решение:

    1   = (m + n) -2.
    (m + n) 2

    Действия над степенями с отрицательными показателями

    При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

    При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:

    Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

    Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

    При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:

    Калькулятор степеней онлайн: формула, примеры с решением

    Возведение в степень — это арифметическая операция повторяющегося умножения. Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.

    Основные действия со степенями

    В первую очередь степень — это повторяющееся умножение. Число 134 — это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя. Если умножить 134 на 132, то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 136. Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:

    am × an = a(m+n).

    Если разделить 134 на 132, то нам потребуется вычислить дробь вида:

    (13 × 13 × 13 × 13) / (13 × 13).

    Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 132. Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей. Второе правило действий со степенями математически выглядит так:

    am / an = a(m – n).

    Теперь давайте возведем 114 в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются. Третье правило записывается так:

    (am)n = a(m × n).

    Это основные правила работы со степенными выражениями. Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую. Какой результат даст выражение 150? Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 154 на 154, что запишется как дробь:

    154 / 154.

    Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу. Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 150. Следовательно:

    154 / 154 = 150 = 1.

    Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице. Выглядит это правило так:

    a0 = 1.

    При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 82 на 84 и запишем выражение в виде дроби.

    (8 × 8) / (8 × 8 × 8 × 8).

    Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8-2. В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате. Таким образом:

    a-m = 1 / am

    При этом для значения -1 правило трансформируется в элегантную формулу:

    a-1 = 1 / a.

    И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях. Что мы можем сделать с выражением 7(1/2). Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка. Степень 1/2 — это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число. Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3? Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат. Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель — возведение в степень. Математически это выглядит как:

    a(m/n) есть корень n-ной степени из am.

    Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.

    Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени. Рассмотрим пару примеров.

    Примеры из реальной жизни

    Депозит в банке

    Если мы положим на банковский депозит $1 000 под годовую ставку в размере 9% годовых, то сколько денег на счету будет через 20 лет? Рост с течением времени рассчитываются по экспоненциальной формуле вида:

    Рост = a × e(kt),

    где a – начальное значение, e – константа, равная 2,718; k – коэффициент роста; t – время.

    Для решения банковской задачи нам потребуется возвести 2,718 в степень, равную 20 × 0,09 = 1,8. Воспользуемся нашим калькулятором и введем в ячейку «Число, x =» значение 2,718, а в ячейку «Степень, n =» значение 1,8. Мы получим ответ, равный 6,049. Теперь, для подсчета суммы на банковском счету нам необходимо умножить начальное значение $1 000 на прирост в размере 6,049. В итоге, через 20 лет на депозите будет $6 049.

    Школьная задача

    Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x2,5. Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции. Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5. После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588. Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам.

    Заключение

    Возведение в степень — арифметическая операция последовательного умножения. Степени имеют больше значение в прикладных науках, так как большинство реальных процессов описываются при помощи степенных функций. Используйте наш калькулятор для расчетов любых практических или школьных задач.

    Как разделить экспоненты — ACT Math

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
    или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
    в
    информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
    ан
    Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
    средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
    в виде
    ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
    искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
    на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
    Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
    Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
    достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
    а
    ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
    к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
    Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и
    Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
    ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
    информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
    либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон
    Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Деление показателей — Как разделить показатели

    Как разделить экспоненты.

    Показатели деления с одинаковым основанием

    Для экспонент с одинаковым основанием следует вычесть экспоненты:

    a n / a m = a n-m

    Пример:

    2 6 /2 3 = 2 6-3 = 2 3 = 2⋅2⋅2 = 8

    Показатели степени с разными основаниями

    Когда основания разные и показатели a и b одинаковы, мы можем сначала разделить a и b:

    a n / b n = ( a / b ) n

    Пример:

    6 3 /2 3 = (6/2) 3 = 3 3 = 3⋅3⋅3 = 27

    Когда основания и показатели различаются, мы должны вычислить каждую экспоненту, а затем разделить:

    a n / b m

    Пример:

    6 2 /3 3 = 36/27 = 1.333

    Деление отрицательной степени

    Для показателей с одинаковым основанием можно вычесть показатели:

    a -n / a -m = a -n — (- m ) = a m-n

    Пример:

    2 3 /2 5 = 2 5 3 = 2 2 = 2⋅2 = 4

    Когда основания разные и показатели a и b одинаковы, мы можем сначала умножить a и b:

    a -n / b -n = ( a / b ) -n
    =
    1 / ( a / b ) n = ( b / a ) n

    Пример:

    3 2 /4 2 = (4/3) 2 = 1.7778

    Когда основания и показатели различаются, мы должны вычислить каждую экспоненту, а затем разделить:

    a n / b m = b m / a n

    Пример:

    3 2 /4 3 = 4 3 /3 2 = 64/9 = 7,111

    Деление дроби на показатель степени

    Разделение дробей на экспоненты с одинаковым основанием дробей:

    ( a / b ) n / ( a / b ) m = ( a / b ) n-m

    Пример:

    (4/3) 3 / (4/3) 2 = (4/3) 3-2 = (4/3) 1 = 4/3 = 1.333

    Деление дробей с показателями с одинаковым показателем:

    ( a / b ) n / ( c / d ) n = (( a
    / b
    ) / ( c / d )) n = (( a⋅d / b⋅c )) n

    Пример:

    (4/3) 3 / (3/5) 3 = ((4/3) / (3/5)) 3 = ((4⋅5) / (3⋅3)) 3 = (20/9) 3 = 10.97

    Деление дробей с показателями с разными основаниями и показателями:

    ( а / б ) н / ( с /
    д ) м

    Пример:

    (4/3) 3 / (1/2) 2 = 2,37 / 0,25
    = 9,481

    Деление дробной степени

    Деление дробных показателей на одинаковые дробные показатели:

    a н / м / b н / м = ( a
    / b ) н / м

    Пример:

    3 3/2
    / 2 3/2 = (3/2) 3/2
    = 1.5 3/2 = √
    ( 1,5 3 )
    = 3,375 = 1,837

    Деление дробных показателей с одинаковым основанием:

    a н / м / a к / дж =
    a (н / м) (к / дж)

    Пример:

    2 3/2 /2 4/3 = 2 ( 3/2) ( 4/3)
    =
    2 (1/6) = 6 2
    =
    1.122

    Деление дробных показателей с разными показателями и
    фракции:

    a н / м / b к / дж

    Пример:

    2 3/2 /2 4/3 = (2 3 )
    / 3 (2 4 ) = 2,828 / 2,52 =
    1,122

    Деление переменных с показателями

    Для показателей с одинаковым основанием можно вычесть показатели:

    x н / x м = x н-м

    Пример:

    x 5 / x 3 =
    ( x⋅x⋅x⋅x⋅x ) / ( x⋅x⋅x ) = x 5-3 = x 2


    См. Также

    Экспоненты умножения и деления | Правила | Примеры

    Показатели используются для выражения многих чисел в одном выражении.Когда два экспоненциальных члена с одинаковым основанием умножаются, их степени складываются, а основание остается прежним. Однако, когда два экспоненциальных члена с одинаковым основанием делятся, их степени вычитаются.

    Умножение экспоненциальных членов

    Умножение показателей с одной и той же базой и с разными базами включает в себя применение идентичностей. Мы обобщаем свойства показателей и приходим к тождествам.

    Умножение экспонент с одинаковым основанием

    Рассмотрим m × a n , где «a» — это общее основание, а «m» и «n» — степени.{\ left \ {{{p_1} + {p_2} + {p_3} + …} \ right \}}} \)

    Умножение экспонент с разным основанием и одинаковой степенью

    Рассмотрим умножение показателей степени с разными основаниями и одинаковым показателем, как в случае m × b m . Например, возьмем: 11 4 × 3 4

    11 4 = 11 × 11 × 11 × 11 и 3 4 = 3 × 3 × 3 × 3

    11 4 × 3 4 = (11 × 11 × 11 × 11) × (3 × 3 × 3 × 3)

    = 11 × 3 × 11 × 3 × 11 × 3 × 11 × 3

    = 33 × 33 × 33 × 33 = 33 4 .Это также можно записать и решить как: 11 4 × 3 4 = (11 × 3) 4 = 33 4 . Следовательно, когда мы умножаем показатели с разным основанием и одним и тем же показателем, мы применяем тождество:

    Деление экспоненциальных членов

    Показатели с одной и той же базой

    Рассмотрим m ÷ a n , где «a» — общее основание, а «m» и «n» — степени. Теперь разделим два экспоненциальных члена с одинаковым основанием: 3 7 ÷ 3 4 .
    3 7 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 и 3 4 = 3 × 3 × 3 × 3
    3 7 ÷ 3 4 = \ (\ dfrac {3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3} {3 × 3 × 3 × 3} \) = 3 3

    Это также можно записать и решить как: 3 7 ÷ 3 4 = 3 (7-4) = 3 3 . Обратите внимание, что при делении экспоненциальных членов, если основания совпадают, мы находим разницу показателей. Следовательно, здесь используется идентификатор:

    Разделение экспонент с разным основанием и одинаковой экспонентой

    Рассмотрим m ÷ b m , где показатели степени имеют разные основания и одинаковую степень.Например, решим: 12 3 ÷ 3 3 .

    12 3 = 12 × 12 × 12 и 3 3 = 3 × 3 × 3

    12 3 ÷ 3 3 = (12 ÷ 3) 3 = 4 3

    Это можно сделать как 12 3 ÷ 3 3 = (12 ÷ 3) 3 = 4 3 . Следовательно, при делении показателей с разным основанием и одинаковым показателем мы применяем тождество:

    Как умножить и разделить дробные показатели?

    Прежде чем понять, как умножать или делить дробные показатели с одинаковым основанием, давайте рассмотрим несколько примеров дробных показателей с одинаковым основанием.{(\ frac {3} {2} — \ frac {1} {2})} \) = 3 1 = 3. Здесь мы применили тождество a m ÷ a n = a мин

    Как умножить и разделить экспоненты с переменными?

    Идентификаторы, которые используются в числах, также используются в показателях с переменными. Вспомним их, а затем используем в следующих примерах:

    • a м × a n = a m + n
    • a м × b м = (a × b) м
    • a м ÷ a n = a m-n
    • a м ÷ b м = (a ÷ b) м

    Переменная как база

    Давайте посмотрим, как использовать тождества, когда база является переменной.Например, решите: y 2 × (2y) 3

    Применим тождество: a м × b м = (a × b) м , y 2 × (2y) 3 = y 2 × 2 3 × y 3 = 2 3 × y (2 + 3) = 8y 5

    Переменная как экспонента

    Давайте посмотрим, как использовать тождества, когда показатель степени является переменной.Например, решите: 5 (2x -1) ÷ 5 (x + 1)

    Применим тождество: a m ÷ a n = a mn , получаем 5 (2x -1 — x — 1) = 5 (x -2)

    Связанные темы

    Правила деления экспонент

    Обновлено 14 декабря 2020 г.

    Ли Джонсон

    Показатели часто встречаются в математике.Независимо от того, упрощаете ли вы алгебраические уравнения, переписываете уравнение или просто завершаете вычисления, рано или поздно вы обязательно столкнетесь с ними. Хорошая новость заключается в том, что есть несколько простых правил работы с экспонентами, и вы сможете легко справляться с проблемами, связанными с ними, как только вы их освоите. Основное правило деления показателей степени с одинаковым основанием — вычитание степени в знаменателе из числа в числителе. Есть еще чему поучиться, но это основное правило.

    TL; DR (слишком длинный; не читал)

    Чтобы разделить показатели с одинаковым основанием, вычтите показатель степени на втором основании (знаменатель в дроби) из единицы на первом (числитель в дроби). ).

    Общее правило: x a ÷ x b = x (a b)

    Вы можете использовать это правило, только если база одинакова. Если вы сталкиваетесь с выражениями с разными базами, единственный способ их упростить — использовать общее правило для частей с совпадающими базами.

    Экспоненты

    «Экспонента» — это название «степени», в которую возводится определенное число. В члене x b b является показателем степени. Вероятно, вы уже сталкивались с показателями в разных ситуациях — возможно, в формуле для площади круга: A = π r 2 , где показатель степени равен 2 или в виде квадратов чисел, таких как как 3 2 = 9.Последний пример поможет вам понять, что означают показатели: 3 × 3 = 3 2 = 9. Точно так же 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Это сокращенный способ сказать, сколько раз число или символ умножается сам на себя. При использовании общей версии, x b , имя для x будет «базовым». В 3 2 , 3 — база, а в r 2 , r — база.

    Правила для экспонент: умножение и деление в одном основании

    Умножение и деление чисел на показатели легко, если вы знаете два основных правила экспоненты.{(a — b)}

    Деление показателей в смешанном базисе

    Когда вы занимаетесь алгеброй с показателем, во многих ситуациях в уравнении используются разные основы. 1

    На самом деле y 1 — это просто y , но это показано здесь для ясности.2}

    Вы не можете упростить выражения больше, чем это, так что это все, что вам нужно сделать.

    Как разделить числа на экспоненты

    Джейсона Маршалла

    Понимание того, как работать с экспонентами, невероятно важно, поскольку они постоянно появляются как в абстрактном мире математики, так и в реальном мире науки и техники. Помня об этой цели, на прошлой неделе мы узнали, как умножать числа на показатели, что, естественно, ведет к дополнительной теме этой недели: как делить числа на показатели.т + п

    Это говорит о том, что некоторое базовое число (это может быть что угодно, но в данном случае это 2), возведенное в некоторую степень (в данном случае мы называем его m), умноженное на другое число с тем же основанием, возведенное в другую степень (в данном случае case, представленный буквой n), просто равен основанию, возведенному к сумме показателей. 3/2.2, все, что вам нужно сделать, чтобы найти показатель степени ответа, — вычесть показатель степени в знаменателе (который равен 1) из показателя степени в числителе (который равен 3), чтобы получить 3 — 1 = 2. И, как вы можете проверьте, остальные проблемы работают так же. По правде говоря, в этом нет ничего удивительного, поскольку деление на базовое число приводит к сокращению одного из основных чисел в числителе. Или, что то же самое, вычитая 1 из экспоненты в числителе.

    Так же, как мы сделали на прошлой неделе с правилом продукта, мы можем написать правило, чтобы резюмировать, как работает деление с показателем.2. Конечно, базовое число не обязательно должно быть 2 — правило работает и для любого другого базового числа.

    Предупреждение: базы должны быть одинаковыми!

    Как и в случае с правилом продукта прошлой недели, есть одно предупреждение, которое я хотел бы подчеркнуть в отношении правила частного. И это значит, что основания чисел, которые вы делите, должны быть одинаковыми, чтобы вы могли вычесть экспоненты. 2 =…?

    Вы можете найти ответы и объяснения в моем сообщении на этой неделе в блоге «Быстрый и грязный».

    Заключение

    Хорошо, это все математические вычисления, на которые у нас есть время. Не забудьте стать поклонником Math Dude на Facebook, где вы найдете новые популярные числа или математические головоломки, публикуемые каждый будний день. И если вы в Твиттере, подпишитесь на меня и там. Наконец, если у вас есть вопросы по математике, не стесняйтесь присылать их мне через Facebook, Twitter или по электронной почте [email protected]

    До следующего раза, это Джейсон Маршалл с Быстрые и грязные советы математика, которые помогут упростить математику .{3} $$

    переменных с показателями — как их умножить и разделить

    Как их умножить и разделить

    Что такое переменная с экспонентой?

    A Переменная — это символ числа, которое мы еще не знаем.
    Обычно это буква типа x или y.

    Показатель степени (например, 2 в x 2 ) говорит, сколько раз
    использовать переменную при умножении.

    Пример:

    y 2 = yy

    ( yy означает y , умноженное на y , потому что в алгебре поставить две буквы рядом друг с другом означает их умножить)

    Аналогично z 3 = zzz и x 5 = xxxxx

    Показатели 1 и 0

    Показатель 1

    Когда показатель степени равен 1, у нас есть только сама переменная (например, x 1 = x )

    Обычно мы не пишем «1», но иногда полезно помнить, что x — это также x 1

    Показатель 0

    Когда показатель степени равен 0, мы не умножаем ни на что, и ответ будет просто «1»
    (например, y 0 = 1 )

    Умножение переменных на экспоненты

    Итак, как нам умножить это:

    2 ) (г 3 )

    Мы знаем, что y 2 = yy и y 3 = yyy , поэтому давайте выпишем все умножения:

    y 2 y 3 = yy yyy

    Это 5 «y», умноженные вместе, поэтому новый показатель степени должен быть 5:

    y 2 y 3 = y 5

    Но почему считает «у», когда показатель степени уже говорит нам, сколько?

    Показатели говорят нам, что есть два «y», умноженные на 3 «y», в сумме получается 5 «y»:

    y 2 y 3 = y 2 + 3 = y 5

    Итак, самый простой способ — это всего лишь сложить экспоненты !

    (Примечание: это один из законов экспонент)

    Смешанные переменные

    Когда у нас есть набор переменных, просто сложите показатели для каждой, как это (нажмите кнопку воспроизведения):

    (Помните: переменная без показателя степени действительно имеет показатель степени 1, например: y равно y 1 )

    с константами

    Часто встречаются константы (числа вроде 3, 2.9, ½ и т. Д.).

    Не бойтесь! Просто умножьте константы по отдельности и поместите результат в ответ:

    (Примечание: «·» означает умножение, которое мы используем, когда «×» можно спутать с буквой «x»)

    Вот более сложный пример с константами и показателями:

    Отрицательные экспоненты

    Отрицательное деление на экспоненты!

    x -1 = 1 x x -2 = 1 x 2 x -3 = 1 x 3 и др…

    Ознакомьтесь с этой идеей, она очень важна и полезна!

    Разделение

    Итак, как нам это сделать? y 3 y 2

    Выпишем все умножения: ггг гг

    Теперь удалите все совпадающие «y», которые равны
    как сверху, так и снизу (потому что y y = 1)

    И у нас остается: y

    Таким образом, 3 «y» над линией уменьшаются на 2 «y» ниже линии, оставляя только 1 «y»:

    y 3 y 2 = yyy yy = y 3-2 = y 1 = y

    ИЛИ, мы могли бы сделать это так:

    y 3 y 2 = y 3 y -2 = y 3-2 = y 1 = y

    Итак… просто вычтите экспонент переменных, на которые мы делим!

    Вот более крупная демонстрация, включающая несколько переменных:

    Буквы «z» полностью исключены! (Что имеет смысл, потому что z 2 / z 2 = 1)

    Чтобы увидеть, что происходит, запишите все умножения, затем «вычеркните» верхние и нижние переменные:

    x 3 y z 2 x y 2 z 2
    знак равно
    xxx y zz x yy zz
    знак равно
    x xx y zz x y y zz
    знак равно
    х х у
    знак равно
    x 2 y

    Но еще раз, почему считает переменных, если показатель степени говорит вам, сколько ?

    Как только вы почувствуете себя уверенно, вы сможете сделать все довольно быстро «на месте», например:

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *