Дать определение функции: Что такое функция — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Содержание

Что такое функция — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

 

Понятие функции – одно из основных в математике.

На уроках математики вы часто слышите это слово. Вы строите графики функций, занимаетесь исследованием функции, находите наибольшее или наименьшее значение функции. Но для понимания всех этих действий давайте определим, что такое функция.

Определение функции можно дать несколькими способами. Все они будут дополнять друг друга.

1. Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами.

Любой физический закон, любая формула отражает такую взаимосвязь величин. Например, формула – это зависимость давления жидкости от глубины .

Чем больше глубина, тем больше давление жидкости. Можно сказать, что давление жидкости является функцией от глубины, на которой его измеряют.

Знакомое вам обозначение как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины по определенному закону, или правилу, обозначаемому .

Другими словами: меняем (независимую переменную, или аргумент) – и по определенному правилу меняется .

Совсем необязательно обозначать переменные и . Например, – зависимость длины от температуры , то есть закон теплового расширения. Сама запись означает, что величина зависит от .

2. Можно дать и другое определение.

Функция – это определенное действие над переменной.

Это означает, что мы берем величину , делаем с ней определенное действие (например, возводим в квадрат или вычисляем ее логарифм) – и получаем величину .

В технической литературе встречается определение функции как устройства, на вход которого подается – а на выходе получается .

Итак, функция – это действие над переменной. В этом значении слово «функция» применяется и в областях, далеких от математики. Например, можно говорить о функциях мобильного телефона, о функциях головного мозга или функциях депутата. Во всех этих случаях речь идет именно о совершаемых действиях.

3. Дадим еще одно определение функции – то, что чаще всего встречается в учебниках.

Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Например, функция каждому действительному числу ставит в соответствие число в два раза большее, чем .

 

Повторим еще раз: каждому элементу множества по определенному правилу мы ставим в соответствие элемент множества . Множество называется областью определения функции. Множество – областью значений.

Но зачем здесь такое длинное уточнение: «каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго»? Оказывается, что соответствия между множествами тоже бывают разные.

Рассмотрим в качестве примера соответствие между двумя множествами – гражданами России, у которых есть паспорта, и номерами их паспортов. Ясно, что это соответствие взаимно-однозначное – у каждого гражданина только один российский паспорт. И наоборот – по номеру паспорта можно найти человека.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция . Каждому значению соответствует одно и только одно значение . И наоборот – зная , можно однозначно найти .

Могут быть и другие типы соответствий между множествами. Возьмем для примера компанию друзей и месяцы, в которые они родились:

Каждый человек родился в какой-то определенный месяц. Но данное соответствие не является взаимно-однозначным. Например, в июне родились Сергей и Олег.

Пример такого соответствия в математике – функция . Один и тот же элемент второго множества соответствует двум разным элементам первого множества: и .

А каким должно быть соответствие между двумя множествами, чтобы оно не являлось функцией? Очень просто! Возьмем ту же компанию друзей и их хобби:

Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества.

Очень сложно было бы описать такое соответствие математически, не правда ли?

Вот другой пример. На рисунках изображены кривые. Как вы думаете, какая из них является графиком функции, а какая – нет?

Ответ очевиден. Первая кривая – это график некоторой функции, а вторая – нет. Ведь на ней есть точки, где каждому значению соответствует не одно, а целых три значения .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Перечислим способы задания функции.

1. С помощью формулы. Это удобный и привычный для нас способ. Например:

,

,

,

.

Это примеры функций, заданных формулами.

2. Графический способ. Он является самым наглядным. На графике сразу видно все – возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума. В следующей статье будет рассказано об исследовании функции с помощью графика.

К тому же не всегда легко вывести точную формулу функции. Например, курс доллара (то есть зависимость стоимости доллара от времени) можно показать только на графике.

3. С помощью таблицы. С этого способа вы когда-то начинали изучение темы «Функция» — строили таблицу и только после этого – график. А при экспериментальном исследовании какой-либо новой закономерности, когда еще неизвестны ни формула, ни график, этот способ будет единственно возможным.

4. С помощью описания. Бывает, что на разных участках функция задается разными формулами. Известная вам функция задается описанием:

Читайте также: Чтение графика функции

Понятие функции | Алгебра

Понятие функции в математике — одно из основных. Выражает зависимость одних переменных величин от других.

Определение.

Функция — это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.

Пусть каждому числу x из множества значений D поставлено в соответствие число y из множества значений E.

«Поставлено в соответствие» — значит, указан определённый способ (правило), по которому для каждого x∈D  находят y∈E. (∈ — знак принадлежности. Запись x∈D читают «икс принадлежит дэ»).

Чаще всего этот способ обозначают как y=f(x). Для обозначения функции применяют и другие буквы: y=g(x), s=f(t) и т.д.

Если функция задана соответствием y=f(x), переменная x называется независимой переменной или аргументом, y — зависимой переменной или функцией.

Множество значений D, которые может принимать x, называется областью определения функции.

Множество значений E, которые может принимать y, называется областью значений функции.

Функцию можно задать несколькими способами:

— аналитическим (с помощью формулы),

— графическим,

— табличным,

— описанием с помощью словесной формулировки).

Функции, в которых значения аргумента и значения функции — числа, называются числовыми функциями. В курсе алгебры изучаются, в основном, числовые функции.

Примеры функций.

1) При движении автомобиля с постоянной скоростью пройденный путь является функцией от времени .

Например, если автомобиль движется с постоянной скоростью 60 км/ч, зависимость пути от времени можно задать формулой s=60t, где s — пройденный путь (в километрах), t — время (в часах).

2) Периметр квадрата является функцией от его стороны.

Зависимость периметра от стороны квадрата можно задать формулой P=4a, где P — периметр, a — длина стороны.

 

Определение функции

Определение функции

Функцией
y = f(x) называется закон (правило, отображение), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y.
Область определения функции
Множество X называется областью определения функции. Область определения иногда называют
множеством определения или множеством задания функции.
Множество значений функции
Множество элементов y ∈ Y, которые имеют прообразы во множестве X, называется множеством значений функции, или областью значений.
Аргумент функции
Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной.
Значение функции
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной.
Характеристика функции
Само отображение  f  называется характеристикой функции.

Характеристика  f  обладает тем свойством, что если два элемента и из множества определения имеют равные значения: , то .

Символ, обозначающий характеристику, может совпадать с символом элемента значения функции. То есть можно записать так: . При этом стоит помнить, что y – это элемент из множества значений функции, а – это правило, по которому для элемента x ставится в соответствие элемент y.

Сам процесс вычисления функции состоит из трех шагов. На первом шаге мы выбираем элемент x из множества X. Далее, с помощью правила , элементу x ставится в соответствие элемент множества Y. На третьем шаге этот элемент присваивается переменной y.

Частным значением функции
называют значение функции при выбранном (частном) значении ее аргумента.
Графиком функции
f  называется множество пар .

Сложные функции

Сложная функция
Пусть заданы функции и . Причем область определения функции f содержит множество значений функции g. Тогда каждому элементу t из области определения функции g соответствует элемент x, а этому x соответствует y. Такое соответствие называют сложной функцией:  . Сложную функцию также называют
композицией или суперпозицией функций и иногда обозначают так:  .

В математическом анализе принято считать, что если характеристика функции обозначена одной буквой или символом, то она задает одно и то же соответствие. Однако, в других дисциплинах, встречается и другой способ обозначений, согласно которому отображения с одной характеристикой, но разными аргументами, считаются различными. То есть отображения и считаются различными. Приведем пример из физики. Допустим мы рассматриваем зависимость импульса от координаты . И пусть мы имеем зависимость координаты от времени . Тогда зависимость импульса от времени является сложной функцией . Но ее, для краткости, обозначают так: . При таком подходе и – это различные функции. При одинаковых значениях аргументов они могут давать различные значения. В математике такое обозначение не принято. Если требуется сокращение, то следует ввести новую характеристику. Например . Тогда явно видно, что и – это разные функции.

Действительные функции

Область определения функции и множество ее значений могут быть любыми множествами.
Например, числовые последовательности – это функции, областью определения которых является множество натуральных чисел, а множеством значений – вещественные или комплексные числа.
Векторное произведение тоже функция, поскольку для двух векторов и имеется только одно значение вектора . Здесь областью определения является множество всех возможных пар векторов . Множеством значений является множество всех векторов.
Логическое выражение является функцией. Ее область определения – это множество действительных чисел (или любое множество, в котором определена операция сравнения с элементом “0”). Множество значений состоит из двух элементов – “истина” и “ложь”.

В математическом анализе большую роль играют числовые функции.

Числовая функция
– это функция, значениями которой являются действительные или комплексные числа.
Действительная или вещественная функция
– это функция, значениями которой являются действительные числа.

Максимум и минимум

Действительные числа имеют операцию сравнения. Поэтому множество значений действительной функции может быть ограниченным и иметь наибольшее и наименьшее значения.

Ограниченная сверху (снизу) функция
Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M, что для всех выполняется неравенство:
.
Ограниченная функция
Числовая функция называется ограниченной, если существует такое число M, что для всех :
.
Максимумом M (минимумом m) функции
f, на некотором множестве X, называют значение функции при некотором значении ее аргумента , при котором для всех ,
.

Верхняя и нижняя грани

Верхняя грань (точная верхняя граница) функции
Верхней гранью или точной верхней границей действительной, ограниченной сверху функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s, для которого:
1) для всех ;
2) для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′: .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.
Верхней гранью неограниченной сверху функции является бесконечно удаленная точка .
Нижняя грань (точная нижняя граница) функции
Нижней гранью или точной нижней границей действительной, ограниченной снизу функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i, для которого:
1) для всех ;
2) для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′: .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.
Нижней гранью неограниченной снизу функции является бесконечно удаленная точка .

Таким образом, любая действительная функция, на не пустом множестве X, имеет верхнюю и нижнюю грани. Но не всякая функция имеет максимум и минимум.

В качестве примера рассмотрим функцию , заданную на открытом интервале .
Она ограничена, на этом интервале, сверху значением 1 и снизу – значением 0:
для всех .
Эта функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но она не имеет максимума и минимума.

Если мы рассмотрим туже функцию на отрезке , то она на этом множестве ограничена сверху и снизу, имеет верхнюю и нижнюю грани и имеет максимум и минимум:
для всех ;
;
.

Монотонные функции

Возрастающая (убывающая) функция
Пусть функция определена на некотором множестве действительных чисел X. Функция называется строго возрастающей (строго убывающей), если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Функция называется неубывающей (невозрастающей), если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Монотонная функция
Функция называется монотонной, если она неубывающая или невозрастающая.

Многозначные функции

Пример многозначной функции. Различными цветами обозначены ее ветви. Каждая ветвь является функцией.

Как следует из определения функции, каждому элементу x из области определения, ставится в соответствие только один элемент из множества значений. Но существуют такие отображения, в которых элемент x имеет несколько или бесконечное число образов.

В качестве примера рассмотрим функцию арксинус: . Она является обратной к функции синус и определяется из уравнения:
(1)   .
При заданном значении независимой переменной x, принадлежащему интервалу , этому уравнению удовлетворяет бесконечно много значений y (см. рисунок).

Наложим на решения уравнения (1) ограничение. Пусть
(2)   .
При таком условии, заданному значению , соответствует только одно решение уравнения (1). То есть соответствие, определяемое уравнением (1) при условии (2) является функцией.

Вместо условия (2) можно наложить любое другое условие вида:
(2.n)   ,
где n – целое. В результате, для каждого значения n, мы получим свою функцию, отличную от других. Множество подобных функций является многозначной функцией. А функция, определяемая из (1) при условии (2.n) является ветвью многозначной функции.

Многозначная функция
– это совокупность функций, определенных на некотором множестве.
Ветвь многозначной функции
– это одна из функций, входящих в многозначную функцию.
Однозначная функция
– это функция.

Сужение и продолжение функции

Выше мы указали, что если область определения функции синус, , сузить до отрезка , то полученная в результате новая функция будет строго монотонной на этом отрезке и иметь обратную функцию. Такая операция называется сужением функции. В результате ее применения получается новая функция, которая в данном примере обозначается так: .

Сужение функции
Пусть функция определена на множестве X. И пусть множество M является его подмножеством: . Определим функцию так, чтобы ее областью определения было множество M. И пусть на этом множестве она принимает те же значения, что и функция :
.
Тогда функция называется сужением функции f на множество M. Сужение функции обозначают так:
,   или   .
Продолжение функции
Пусть функция определена на множестве X, а функция – на множестве M, которое является подмножеством X: . И пусть функция является сужением функции на множество M. Тогда функция называется продолжением функции g на множество X.

Выполнить операцию сужения функции на заданное множество можно только одним способом. А вот выполнить продолжение можно бесконечным числом способов. Особую роль продолжение играет в теории функций комплексного переменного. Там показывается, что если функция является аналитической (то есть имеет производную) на некотором множестве M, то существует только единственное ее аналитическое продолжение на множество X.

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

Функции: понятие функция и аргумент, функциональная зависимость

Если две переменные величины находятся между собой в такой зависимости, что каждому значению одной переменной соответствует строго определённое значение другой, то первая величина называется аргументом, а вторая его функцией.

Функция — это зависимая переменная величина. Аргумент — это независимая переменная. Зависимость функции от аргумента называется функциональной зависимостью.

Если нужно указать на тот факт, что  y  функция от  x,  не акцентируя внимания на то, в какой именно зависимости находится функция от аргумента, то пишут просто:

y = f(x),

где  f  (начальная буква слова function — функция) заменяет слово функцияy  — это функция, а  x  — аргумент.

Иногда, чтобы показать, что  y  зависит от  x,  пишут просто:

y(x).

Обратите внимание, что вместо  y  и  x  могут использоваться любые другие буквы.

Значение  y,  соответствующее заданному значению  x,  называют значением функции. Все значения, которые принимает аргумент, образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции. Для функции  f  приняты следующие обозначения:

D(f)  — область определения функции
(множество значений аргумента).

E(f)  — множество значений функции.

f(x0)  — значение функции в точке  x0.

Пример. Возьмём формулу нахождения расстояния по скорости и времени:

S = vt,

где  S  — это расстояние,  v  — скорость, а  t  — время. Если взять скорость, равную 50 км/ч, то каждому неотрицательному значению  t  будет соответствовать строго определённое значение  S:

t (ч) 1 1,5 2 2,5 3
S (км) 50 75 100 125 150

Следовательно,  S  является функцией от  t  —  S(t),  область определения функции —  D(S) ⩾ 0,  так как время не может быть отрицательным, но при этом можно не затратить времени вообще, если не двигаться, в этом случае  t = 0.   Значение этой функции в точке  t0  можно обозначить в виде  S(t0),  то есть записать таблицу со значениями в таком виде:

S(1) =  50,  S(1,5) = 75,  S(2) = 100,  S(2,5) = 125,  S(3) = 150.

область определения и область значений функций + ПРИМЕРЫ

Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.

Функция это правило, с помощью которого  по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.

Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).

НАПРИМЕР у=5+х 

1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3 

2. 2.          (наз. парабола)

3.у=3х+7.         (наз. прямая)

4. у= √ х.           (наз. ветвь параболы)

Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции. 

Область определения функции

Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается  D (f) или D (y).

 Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.

1. D (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

3. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

4. D (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

Зависимая переменная (кот. мы обозначаем у ) имеет название значение функции.

Область значения функции

Множество всех значений, которые может принять зависимая переменная, называется областью значения функции и обозначается E (f) или E (y).

Рассмотрим  Е (у) для 1.,2.,3.,4.

1. Е (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

3. Е (у)=( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел 

4. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

Рассмотрим примеры подробнее

1) Постановка задачи. Найти функции у= 4х/(3+х)

Решение.

1. Найдем D (у)//т.е. какие значения может принимать х. для этого найдем ОДЗ(область допустимых значений дроби)

3+х≠0

х≠-3

значит D (у) данной функции  ( ∞; 3) и (3;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 3.

2. Найдем  Е (у)//т.е. какие значения может принимать у, при всех возможных х

решаем уравнение вида 4х/(3+х)=А, где  А є Е (у)

(3+х)А=4х

3А=4х-хА

3А=х(4-А)

х=3А/(4-А)

значит Е (у) данной функции ( ∞; 4) и (4;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 4.

2) Постановка задачи. Найти  D (у)и Е (у) функции, изображенной на графике

 

Область определения(значения х) смотрим по оси х- это промежуток [ 4; 7], 

Областью значения(значения у) смотрим по оси у- это промежуток [ 4; 4]. {3}}=125\)

Вот и все!

Теперь попробуй самостоятельно найти значение следующих выражений:

  1. 1

    \( \displaystyle f\left( x-9 \right)+f\left( 16-x \right)\), если \( \displaystyle f\left( x \right)=3x+2\)

  2. 2

    \( \displaystyle 3f\left( x-4 \right)-f\left( 3x \right)\), если \( \displaystyle f\left( x \right)=x-5\)

Справился? Сравним наши ответы: 

  1. 1

    \( \displaystyle 25\)

  2. 2

    \( \displaystyle -22\)

Мы привыкли, что функция имеет вид \( \displaystyle y=f\left( x \right)\), даже в наших примерах мы задаем функцию именно таким образом, однако аналитически можно задать функцию в неявном виде, например \( \displaystyle 5x+2y-3=0\). Попробуй построить эту функцию самостоятельно.

Справился?

Вот как строила ее я.

\( \displaystyle 5x+2y-3=0\)

\( \displaystyle y=\frac{3-5x}{2}\)

\( \displaystyle y=1,5-2,5x\)

Какое уравнение мы в итоге вывели? Правильно! Линейное, а это значит, что графиком будет прямая линия. Сделаем табличку, чтобы определить, какие точки принадлежат нашей прямой:

\( \displaystyle x\)

\( \displaystyle 0\)

\( \displaystyle 1\)

\( \displaystyle -1\)

\( \displaystyle 2\)

\( \displaystyle -2\)

\( \displaystyle y\)

\( \displaystyle 1.5\)

\( \displaystyle -1\)

\( \displaystyle 4\)

\( \displaystyle -3.5\)

\( \displaystyle 6.5\)

А теперь строим по данным точкам график:

Функция. Область определения и область значений функции

Определение:

Зависимость
переменной y
от
переменной x,
при которой каждому значению переменной x соответствует единственное
значение y,
называют функцией.

В
определении сказано, что только та зависимость является функцией, у которой
каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.

Рассмотрим
первый график. Видим, что одному значению x может соответствовать несколько
значений y.
Значит, данная зависимость не является функцией.

Обратимся
ко второму случаю. Какие бы значения аргумента мы не брали, каждому из них
соответствует только одно значение функции. Можно сказать, что эта зависимость
является функцией.

В
общем виде любую функцию можно записать так:

Например:

Понятно,
что функция может принимать различные значения в зависимости от значения
аргумента. Найдём значение каждой функции при заданном значении аргумента.

Вы
заметили, что в этом задании функции названы разными буквами. Действительно,
функцию можно называть любой буквой латинского алфавита.

Ранее
вами были изучены несколько важных функций. Вспомним их.

Сейчас
попробуем выяснить, как же получается график функции, и дадим определение этому
понятию.

Можно
записать её в таком виде:

Это
линейная функция, графиком как вы помните, является прямая. Для изображения прямой достаточно двух точек.

Получаем
точки с координатами (1;3) и (-1;-11).

Проведём
прямую через полученные точки.

Мы
изобразили график функции.

Определение:

Множество
всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента,
а ординаты — значениям функции, называют графиком функции.

Все
значения аргумента, т.е. переменной x образуют область определения функции,
а все значения зависимой переменной, т.е. y, — область значений функции.

В
данном случае x и y могут быть любыми числами, т.е. областью определения и
областью значений является множество всех действительных чисел.

Потренируемся
находить область определения и область значений функции по её графику.

Область
определения можно находить не только по графику функции, но и по формуле, с
помощью которой задана функция.

Определение функции

Показать уведомление для мобильных устройств

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана. 2} — 4 \).Вот упорядоченные пары, которые мы использовали.

\ [\ left ({- 2,5} \ right) \, \, \, \, \ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({0, — 3 } \ right) \, \, \, \, \ left ({1, — 4} \ right) \, \, \, \, \ left ({2, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({3,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({4,5} \ right) \]

Любые из следующих отношений являются отношениями, потому что они состоят из набора упорядоченных пар.

\ [\ begin {align *} & \ left \ {{\ left ({- 2,5} \ right) \, \, \, \, \ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \, \ left ({2, — 3} \ right)} \ right \} \\ & \ left \ {{\ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({0, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({2, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({3,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({4,5} \ right)} \ right \} \\ & \ left \ {{\ left ({3,0} \ right) \, \, \, \ , \ left ({4,5} \ right)} \ right \} \\ & \ left \ {{\ left ({- 2,5} \ right) \, \, \, \, \ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({0, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({1, — 4} \ right) \, \ , \, \, \ left ({2, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({3,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({4, 5} \ right)} \ right \} \ end {align *} \]

Конечно, есть еще много отношений, которые мы могли бы сформировать из списка упорядоченных пар, приведенного выше, но мы просто хотели перечислить несколько возможных отношений, чтобы привести некоторые примеры. Также обратите внимание, что мы также можем получить другие упорядоченные пары из уравнения и добавить их в любое из приведенных выше отношений, если захотим.

Теперь вы, вероятно, спрашиваете, почему мы заботимся об отношениях, и это хороший вопрос. Некоторые отношения очень специфичны и используются почти на всех уровнях математики. Следующее определение говорит нам, какие отношения являются этими особыми отношениями.

Определение функции

Функция — это отношение, для которого каждое значение из набора первых компонентов упорядоченных пар связано ровно с одним значением из набора вторых компонентов упорядоченной пары.

Ладно, это полный рот. Посмотрим, сможем ли мы понять, что это значит. Давайте посмотрим на следующий пример, который, надеюсь, поможет нам во всем этом разобраться.

Пример 1 Следующее отношение является функцией.
\ [\ left \ {{\ left ({- 1,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({0, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ( {2, — 3} \ right) \, \, \, \, \ left ({3,0} \ right) \, \, \, \, \ left ({4,5} \ right)} \ right \} \]

Показать решение

Из этих упорядоченных пар мы получаем следующие наборы первых компонентов ( i. {{\ mbox {nd}}}} {\ mbox {компоненты:}} \ left \ {{0, — 3,0,5} \ right \} \]

Для набора вторых компонентов обратите внимание, что «-3» встречается в двух упорядоченных парах, но мы указали его только один раз.

Чтобы понять, почему это отношение является функцией, просто выберите любое значение из набора первых компонентов. Теперь вернитесь к отношению и найдите каждую упорядоченную пару, в которой это число является первым компонентом, и перечислите все вторые компоненты из этих упорядоченных пар.Список вторых компонентов будет состоять ровно из одного значения.

Например, давайте выберем 2 из набора первых компонентов. Из отношения мы видим, что существует ровно одна упорядоченная пара с 2 в качестве первой компоненты, \ (\ left ({2, — 3} \ right) \). Следовательно, список вторых компонентов (, т.е. список значений из набора вторых компонентов), связанный с 2, представляет собой ровно одно число -3.

Обратите внимание, что нас не волнует, что -3 является вторым компонентом второго упорядоченного номинала в отношении.Это вполне приемлемо. Мы просто не хотим, чтобы было больше одной упорядоченной пары с 2 в качестве первого компонента.

Мы рассмотрели одно значение из набора первых компонентов для нашего быстрого примера, но результат будет таким же для всех остальных вариантов. Независимо от выбора первых компонентов с ним будет связан ровно один второй компонент.

Следовательно, это отношение является функцией.

Для того, чтобы действительно почувствовать, что нам говорит определение функции, мы, вероятно, должны также проверить пример отношения, которое не является функцией.

Пример 2 Следующее отношение не является функцией.

\ [\ left \ {{\ left ({6,10} \ right) \, \, \, \, \ left ({- 7,3} \ right) \, \, \, \, \ left ({ 0,4} \ right) \, \, \, \, \ left ({6, — 4} \ right)} \ right \} \]

Показать решение

Не беспокойтесь о том, откуда взялось это отношение. {{\ mbox {st}}}} {\ mbox {components:}} \ left \ {{6, — 7,0} \ right \} \ hspace {0.{{\ mbox {nd}}}} {\ mbox {компоненты:}} \ left \ {{10,3,4, — 4} \ right \} \]

Из набора первых компонентов выберем 6. Теперь, если мы перейдем к соотношению, мы увидим, что есть две упорядоченные пары с 6 в качестве первого компонента: \ (\ left ({6,10} \ right) \ ) и \ (\ left ({6, — 4} \ right) \). Список вторых компонентов, связанных с 6, будет: 10, -4.

Список вторых компонентов, связанных с 6, имеет два значения, поэтому это отношение не является функцией.

Обратите внимание на тот факт, что если мы выбрали -7 или 0 из набора первых компонентов, то в списке вторых компонентов, связанных с каждым из них, будет только одно число. Это не имеет значения. Тот факт, что мы нашли даже одно значение в наборе первых компонентов с более чем одним вторым компонентом, связанным с ним, достаточно, чтобы сказать, что это отношение не является функцией.

В качестве последнего комментария к этому примеру отметим, что если мы удалим первую и / или четвертую упорядоченную пару из отношения, у нас будет функция!

Итак, надеюсь, у вас есть хоть какое-то представление о том, что нам говорит определение функции.

Теперь, когда мы заставили вас пройти собственно определение функции, давайте дадим еще одно «рабочее» определение функции, которое будет гораздо более полезным для того, что мы здесь делаем.

Фактическое определение работает с отношением. Однако, как мы видели с четырьмя отношениями, которые мы указали до определения функции, и с отношением, которое мы использовали в примере 1, мы часто получаем отношения из некоторого уравнения.

Важно отметить, что не все отношения основаны на уравнениях! Отношение из второго примера, например, было просто набором упорядоченных пар, которые мы записали для этого примера, и не было получено из какого-либо уравнения. Это также может быть верно для отношений, которые являются функциями. Они не обязательно должны исходить из уравнений.

Однако, как бы то ни было, все функции, которые мы собираемся использовать в этом курсе, основаны на уравнениях. Поэтому давайте напишем определение функции, которая признает этот факт.

Прежде чем мы дадим «рабочее» определение функции, мы должны указать, что это НЕ фактическое определение функции, данное выше. Это просто хорошее «рабочее определение» функции, которое связывает вещи с видами функций, с которыми мы будем работать в этом курсе.

«Рабочее определение» функции

Функция — это уравнение, для которого любой \ (x \), который можно вставить в уравнение, даст ровно один \ (y \) из уравнения.

Вот оно. Это определение функций, которые мы собираемся использовать, и, вероятно, будет легче понять, что оно означает.

Прежде чем мы рассмотрим это, обратите внимание, что мы использовали фразу «\ (x \), который может быть подключен» в определении. Это имеет тенденцию означать, что не все \ (x \) могут быть включены в уравнение, и это на самом деле правильно. Мы вернемся и обсудим это более подробно в конце этого раздела, однако на этом этапе просто помните, что мы не можем делить на ноль, и если мы хотим, чтобы действительные числа из уравнения, мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательное число. Итак, с этими двумя примерами ясно, что мы не всегда сможем подставить каждое \ (x \) в какое-либо уравнение.

Далее, имея дело с функциями, мы всегда будем предполагать, что и \ (x \), и \ (y \) будут действительными числами.Другими словами, мы на время забудем, что знаем что-либо о комплексных числах, пока будем заниматься этим разделом.

Хорошо, теперь давайте вернемся к определению функции и рассмотрим несколько примеров уравнений, которые являются функциями, и уравнений, которые не являются функциями.

Пример 3 Определите, какие из следующих уравнений являются функциями, а какие нет. 2} = 4 \)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

«Рабочее» определение функции гласит, что если мы возьмем все возможные значения \ (x \), подставим их в уравнение и решим для \ (y \), мы получим ровно одно значение для каждого значения \ ( Икс\).На этом этапе игры может быть довольно сложно на самом деле показать, что уравнение является функцией, поэтому в основном мы будем обсуждать его. С другой стороны, часто довольно легко показать, что уравнение не является функцией.

a \ (y = 5x + 1 \) Показать решение

Итак, нам нужно показать, что независимо от того, какое \ (x \) мы подставляем в уравнение и решаем для \ (y \), мы получим только одно значение \ (y \). Также обратите внимание, что значение \ (y \), вероятно, будет отличаться для каждого значения \ (x \), хотя это не обязательно.

Давайте начнем с того, что подставим некоторые значения \ (x \) и посмотрим, что произойдет.

\ [\ begin {align *} x & = — 4: \ hspace {0,25 дюйма} & y & = 5 \ left ({- 4} \ right) + 1 = — 20 + 1 = — 19 \\ x & = 0: \ hspace {0,25 дюйма} & y & = 5 \ left (0 \ right) + 1 = 0 + 1 = 1 \\ x & = 10: \ hspace {0,25 дюйма} & y & = 5 \ left ({ 10} \ right) + 1 = 50 + 1 = 51 \ end {align *} \]

Итак, для каждого из этих значений \ (x \) мы получили единственное значение \ (y \) из уравнения.Теперь этого недостаточно, чтобы утверждать, что это функция. Чтобы официально доказать, что это функция, нам нужно показать, что она будет работать независимо от того, какое значение \ (x \) мы подставляем в уравнение.

Конечно, мы не можем подставить в уравнение все возможные значения \ (x \). Это просто невозможно физически. Однако давайте вернемся и посмотрим на те, которые мы подключили. Для каждого \ (x \) после подключения мы сначала умножили \ (x \) на 5, а затем прибавили к нему 1.2} + 1 = 9 + 1 = 10 \ end {align *} \]

А теперь давайте немного подумаем о том, что мы делали с оценками. Сначала мы возводили в квадрат значение \ (x \), которое мы подключили. Когда мы возводим в квадрат число, будет только одно возможное значение. Затем мы добавляем к этому 1, но опять же, это даст одно значение.

Итак, похоже, что это уравнение также является функцией.

Обратите внимание, что получить одинаковое значение \ (y \) для разных \ (x \) — это нормально.2} & = 10 + 1 = 11 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} y = \ pm \ sqrt {11} \ end {align *} \]

Теперь помните, что мы решаем для \ (y \), и это означает, что в первом и последнем случаях выше мы фактически получим два разных значения \ (y \) из \ (x \), и поэтому это уравнение НЕ является функцией.

Обратите внимание, что у нас могут быть значения \ (x \), которые приведут к единственному \ (y \), как мы видели выше, но это не имеет значения. Если даже одно значение \ (x \) дает более одного значения \ (y \) при решении, уравнение не будет функцией. 2} = 4 \ hspace {0.2} = 4 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} y = \ pm \, 2 \]

Итак, это уравнение не является функцией. Напомним, что из предыдущего раздела это уравнение круга. Круги никогда не бывают функциями.

Надеюсь, эти примеры позволили вам лучше понять, что такое функция.

Теперь нам нужно перейти к так называемой нотации функции . Обозначения функций будут широко использоваться в большинстве оставшихся глав этого курса, поэтому их важно понимать.2} — 5x + 3 \]

Буква, которую мы используем, не имеет значения. Важна часть «\ (\ left (x \ right) \)». Буква в скобках должна соответствовать переменной, используемой справа от знака равенства.

Очень важно отметить, что \ (f \ left (x \ right) \) на самом деле не более чем действительно причудливый способ записи \ (y \). Если вы запомните это, вы можете обнаружить, что работать с обозначениями функций становится немного проще.

Кроме того, это НЕ умножение \ (f \) на \ (x \)! Это одна из наиболее распространенных ошибок, которые люди допускают, когда впервые сталкиваются с функциями.2} — 5x + 3 \]

и спросите, каково его значение для \ (x = 4 \). В терминах обозначений функций мы будем «спрашивать» об этом, используя обозначение \ (f \ left (4 \ right) \). Итак, когда в скобках есть что-то, кроме переменной, мы действительно спрашиваем, каково значение функции для этой конкретной величины.

Теперь, когда мы говорим значение функции, мы действительно спрашиваем, каково значение уравнения для этого конкретного значения \ (x \). Вот \ (f \ left (4 \ right) \).2} — 5} \ right) \)

Показать все решения Скрыть все решения

a \ (f \ left (3 \ right) \) и \ (g \ left (3 \ right) \) Показать решение

Хорошо, у нас есть две оценки функций, которые нужно выполнить, и у нас также есть две функции, поэтому нам нужно будет решить, какую функцию использовать для оценок. Главное здесь — обратить внимание на букву перед круглой скобкой. Для \ (f \ left (3 \ right) \) мы будем использовать функцию \ (f \ left (x \ right) \), а для \ (g \ left (3 \ right) \) мы будем использовать \ (g \ влево (х \ вправо) \).2} — 2 \ влево ({- 10} \ вправо) + 8 = 100 + 20 + 8 = 128 \]

Убедитесь, что здесь вы правильно разбираетесь с негативными знаками. Теперь второй.

\ [g \ left ({- 10} \ right) = \ sqrt {- 10 + 6} = \ sqrt {- 4} \]

Мы достигли разницы. Напомним, когда мы впервые начали говорить об определении функций, мы заявили, что будем иметь дело только с действительными числами. Другими словами, мы подставляем только действительные числа и хотим, чтобы в качестве ответов возвращались только реальные числа.2} — 2 \ влево (0 \ вправо) + 8 = 8 \]

Опять же, не забывайте, что это не умножение! По какой-то причине ученикам нравится думать об этом как об умножении и получать нулевой ответ. Будь осторожен.

d \ (f \ left (t \ right) \) Показать решение

Остальные оценки теперь будут немного другими. Как видно из этого, нам не нужно просто указывать числа в скобках. Однако оценка работает точно так же. Мы вставляем \ (x \) справа от знака равенства в скобки.2} — 2t + 8 \]

Обратите внимание, что в этом случае это почти то же самое, что и наша исходная функция, за исключением того, что на этот раз мы используем \ (t \) в качестве переменной.

e \ (f \ left ({t + 1} \ right) \) и \ (f \ left ({x + 1} \ right) \) Показать решение

Теперь давайте немного посложнее, или, по крайней мере, они кажутся более сложными. Однако все не так плохо, как может показаться. Сначала мы оценим \ (f \ left ({t + 1} \ right) \). Этот работает точно так же, как и предыдущая часть.2} + 1} \ end {выровнять *} \]

Оценка функций — это то, чем мы будем много заниматься в следующих разделах и главах, поэтому убедитесь, что вы можете это сделать. Вы обнаружите, что несколько последующих разделов будет очень трудным для понимания и / или выполнения работы, если вы не имеете хорошего представления о том, как работает оценка функций.

Пока мы говорим об оценке функций, мы должны теперь поговорить о кусочных функциях . На самом деле мы уже видели пример кусочной функции, даже если в то время мы не называли его функцией (или кусочной функцией).Вспомните математическое определение абсолютной величины.

\ [\ left | х \ право | = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} x & {{\ mbox {if}} x \ ge 0} \\ {- x} & {{\ mbox {if}} x

Это функция, и если мы используем обозначение функции, мы можем записать ее следующим образом:

\ [f \ left (x \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} x & {{\ mbox {if}} x \ ge 0} \\ {- x} & {{\ mbox {if}} x

Это также пример кусочной функции. Кусочная функция — это не что иное, как функция, которая разбита на части, и какой фрагмент вы используете, зависит от значения \ (x \).2} + 4} & {{\ mbox {if}} t \ le — 4} \\ {10} & {{\ mbox {if}} — 4 15} \ end {array}} \ right. \]

оценивают каждое из следующих действий.

  1. \ (g \ left ({- 6} \ right) \)
  2. \ (g \ left ({- 4} \ right) \)
  3. \ (г \ влево (1 \ вправо) \)
  4. \ (g \ left ({15} \ right) \)
  5. \ (g \ left ({21} \ right) \)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

Прежде чем приступить к оценкам, обратите внимание, что мы используем разные буквы для функции и переменной, чем те, которые мы использовали до этого момента.Это не повлияет на работу оценки. Не зацикливайтесь на том, чтобы видеть \ (f \) для функции и \ (x \) для переменной, что вы не сможете решить любую проблему, в которой нет этих букв.

Теперь, чтобы выполнить каждую из этих оценок, первое, что нам нужно сделать, это определить, какому неравенству удовлетворяет число, и оно будет удовлетворять только одному неравенству. Когда мы определяем, какому неравенству удовлетворяет число, мы используем уравнение, связанное с этим неравенством.2} + 4 = 52 \]

c \ (g \ left (1 \ right) \) Показать решение

В этом случае число 1 удовлетворяет среднему неравенству, поэтому мы будем использовать среднее уравнение для оценки. Эта оценка часто вызывает проблемы у студентов, несмотря на то, что на самом деле это одна из самых простых оценок, которые мы когда-либо проводим. Мы знаем, что оцениваем функции / уравнения, подставляя номер переменной. В этом случае нет переменных. Это не проблема. Поскольку здесь нет никаких переменных, это просто означает, что мы на самом деле ничего не подключаем, и получаем следующее:

\ [g \ left (1 \ right) = 10 \]

d \ (g \ left ({15} \ right) \) Показать решение

Опять же, как и со второй частью, нам нужно быть немного осторожнее с этой.В этом случае число удовлетворяет среднему неравенству, так как это число со знаком равенства в нем. Затем, как и в предыдущей части, мы получаем

\ [g \ left ({15} \ right) = 10 \]

Не радуйтесь тому факту, что предыдущие две оценки имели одинаковое значение. Иногда это будет происходить.

e \ (g \ left ({21} \ right) \) Показать решение

Для окончательной оценки в этом примере число удовлетворяет нижнему неравенству, поэтому мы будем использовать нижнее уравнение для оценки.

\ [g \ left ({21} \ right) = 1 — 6 \ left ({21} \ right) = — 125 \]

Кусочные функции не так часто возникают в классе алгебры, однако они возникают в нескольких местах в более поздних классах, поэтому вам важно понимать их, если вы собираетесь перейти к большему количеству математических классов.

В качестве последней темы нам нужно вернуться и коснуться того факта, что мы не всегда можем подключить каждый \ (x \) к каждой функции. Мы кратко говорили об этом, когда давали определение функции, и мы видели пример этого, когда оценивали функции.Теперь нам нужно взглянуть на это немного подробнее.

Во-первых, нам нужно избавиться от пары определений.

Домен и диапазон

Область уравнения — это набор всех \ (x \), которые мы можем вставить в уравнение и получить действительное число для \ (y \). Диапазон уравнения — это набор всех \ (y \), которые мы когда-либо можем получить из уравнения.

Обратите внимание, что мы действительно имели в виду использовать уравнение в определениях выше вместо функций.Это действительно определения уравнений. Однако, поскольку функции также являются уравнениями, мы можем также использовать определения функций.

Определение диапазона уравнения / функции для многих функций может быть довольно трудным, поэтому мы не будем вдаваться в подробности. Здесь нас гораздо больше интересует определение областей функций. Согласно определению, домен — это набор всех \ (x \), которые мы можем подключить к функции и получить действительное число. На данный момент это означает, что нам нужно избегать деления на ноль и извлечения квадратных корней из отрицательных чисел.2} + 3x — 10 = \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 2} \ right) = 0 \ hspace {0,25in} x = — 5, \, \, x = 2 \ ]

Итак, мы получим деление на ноль, если подставим \ (x = — 5 \) или \ (x = 2 \). Это означает, что нам нужно избегать этих двух чисел. Однако все остальные значения \ (x \) будут работать, поскольку они не дают деления на ноль. Тогда домен

\ [{\ mbox {Домен: все действительные числа, кроме}} x = — 5 {\ mbox {и}} x = 2 \]

b \ (f \ left (x \ right) = \ sqrt {5 — 3x} \) Показать решение

В этом случае у нас не будет задач деления на ноль, так как у нас нет дробей.У нас действительно есть квадратный корень в задаче, поэтому нам нужно позаботиться о том, чтобы извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Эта часть будет работать немного иначе, чем предыдущая. В этой части мы определили значение (я) \ (x \), которого следует избегать. В этом случае напрямую получить домен будет так же просто. Чтобы избежать квадратного корня из отрицательных чисел, все, что нам нужно сделать, это потребовать, чтобы

\ [5 — 3x \ ge 0 \]

Это довольно простое линейное неравенство, которое мы должны решить на данный момент.2} + 4}} \) Показать решение

В этом случае у нас есть дробь, но обратите внимание, что знаменатель никогда не будет равен нулю для любого действительного числа, поскольку x 2 гарантированно будет положительным или нулевым, и добавление 4 к этому будет означать, что знаменатель всегда будет минимум 4. Другими словами, знаменатель никогда не будет равен нулю. Итак, все, что нам нужно сделать, это позаботиться о квадратном корне в числителе.

Для этого нам потребуется

\ [\ begin {align *} 7x + 8 & \ ge 0 \\ 7x & \ ge — 8 \\ x & \ ge — \ frac {8} {7} \ end {align *} \]

Теперь мы можем фактически подставить любое значение \ (x \) в знаменатель, однако, поскольку у нас есть квадратный корень в числителе, мы должны убедиться, что все \ (x \) удовлетворяют неравенство выше, чтобы избежать проблем.2} — 16}} \) Показать решение

В этой заключительной части нам нужно беспокоиться как о квадратном корне, так и о делении на ноль. Давайте сначала позаботимся о квадратном корне, поскольку это, вероятно, наложит наибольшее ограничение на значения \ (x \). Итак, чтобы квадратный корень оставался счастливым (, то есть без квадратного корня из отрицательных чисел), нам потребуется это,

\ [\ begin {align *} 10x — 5 & \ ge 0 \\ 10x & \ ge 5 \\ x & \ ge \ frac {1} {2} \ end {align *} \]

Итак, по крайней мере, нам нужно потребовать, чтобы \ (x \ ge \ frac {1} {2} \), чтобы избежать проблем с квадратным корнем.2} — 16 = \ left ({x — 4} \ right) \ left ({x + 4} \ right) = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = — 4, \, \, х = 4 \]

Теперь обратите внимание, что \ (x = — 4 \) не удовлетворяет неравенству, которое нам нужно для квадратного корня, и поэтому значение \ (x \) уже исключено квадратным корнем. С другой стороны, \ (x = 4 \) удовлетворяет неравенству. Это означает, что можно подставить \ (x = 4 \) в квадратный корень, однако, поскольку это даст деление на ноль, нам нужно будет избегать этого.

Тогда домен для этой функции —

.

\ [{\ mbox {Домен:}} x \ ge \ frac {1} {2} {\ mbox {except}} x = 4 \]

функций Python


Функция — это блок кода, который выполняется только при вызове.

В функцию можно передавать данные, называемые параметрами.

В результате функция может возвращать данные.


Создание функции

В Python функция определяется с использованием def
ключевое слово:

Пример

def my_function ():
print («Привет от функции»)


Вызов функции

Чтобы вызвать функцию, используйте имя функции, за которым следует скобка:

Пример

def my_function ():
print («Привет от функции»)

my_function ()

Попробуй сам »


Аргументы

Информация может передаваться в функции как аргументы.

Аргументы указываются после имени функции в круглых скобках.
Вы можете добавить сколько угодно аргументов, просто разделив их запятыми.

В следующем примере есть функция с одним аргументом (fname).
Когда функция вызывается, мы передаем имя,
который используется внутри функции для вывода полного имени:

Пример

def my_function ( fname ):
print (fname + «Refsnes»)

my_function ( «Emil» )
my_function ( «Tobias» )
my_function ( «Linus» )

Попробуй сам »

Аргументы часто сокращаются до аргументов в документации Python.



Параметры или аргументы?

Термины параметр и аргумент могут использоваться для одного и того же: информации, которая передается в функцию.

С точки зрения функции:

Параметр — это переменная, указанная в скобках в определении функции.

Аргумент — это значение, которое отправляется функции при ее вызове.


Количество аргументов

По умолчанию функция должна вызываться с правильным количеством аргументов.Это означает, что если ваша функция ожидает 2 аргумента, вы должны вызвать функцию
с 2 аргументами, не больше и не меньше.

Пример

Эта функция ожидает 2 аргумента и получает 2 аргумента:

def my_function (fname, lname):
print (fname + «» + lname)

my_function («Emil», «Refsnes»)

Попробуй сам »

Если вы попытаетесь вызвать функцию с 1 или 3 аргументами, вы получите ошибку:

Пример

Эта функция ожидает 2 аргумента, но получает только 1:

def my_function (fname, lname):
print (fname + «» + lname)

my_function («Emil»)

Попробуй сам »


Произвольные аргументы, * args

Если вы не знаете, сколько аргументов будет передано вашей функции,
добавьте * перед именем параметра в определении функции.

Таким образом, функция получит кортеж из аргументов и сможет получить доступ к элементам соответственно:

Пример

Если количество аргументов неизвестно, добавьте * перед именем параметра:

def my_function (* kids):
print («Самый младший ребенок
is «+ kids [2])

my_function (» Эмиль «,» Тобиас «,» Линус «)

Попробуй сам »

Произвольные аргументы часто сокращается до * args в документации Python.


Аргументы ключевого слова

Вы также можете отправлять аргументы с синтаксисом ключ = значение .

Таким образом, порядок аргументов не имеет значения.

Пример

def my_function (child3, child2, child1):
print («Самый младший ребенок
is «+ child3)

my_function (child1 =» Emil «, child2 =» Tobias «, child3 =» Linus «)

Попробуй сам »

Фраза Аргументы ключевого слова часто сокращается до kwargs в документации Python.


Аргументы произвольного ключевого слова, ** kwargs

Если вы не знаете, сколько аргументов ключевого слова будет передано вашей функции,
добавьте две звездочки: ** перед именем параметра в определении функции.

Таким образом, функция получит словарь аргументов и сможет получить доступ к элементам соответственно:

Пример

Если количество аргументов ключевого слова неизвестно, добавьте двойной
** перед именем параметра:

def my_function (** kid):
print («Его фамилия» + kid [«lname»])

my_function (fname = «Tobias», lname = «Refsnes»)

Попробуй сам »

Произвольные аргументы Kword часто сокращается до ** kwargs в документации Python.


Значение параметра по умолчанию

В следующем примере показано, как использовать значение параметра по умолчанию.

Если мы вызываем функцию без аргументов, она использует значение по умолчанию:

Пример

def my_function ( country = «Норвегия» ):
print («Я из» +
страна)

my_function («Швеция»)
my_function («Индия»)
my_function ()
my_function («Бразилия»)

Попробуй сам »


Передача списка в качестве аргумента

Вы можете отправлять аргументы любых типов данных функции (строка, число, список, словарь и т. Д.).),
и это будет
обрабатываться как один и тот же тип данных внутри функции.

Например, если вы отправите список в качестве аргумента, он все равно будет списком, когда он
достигает функции:

Пример

def my_function (food):
для x в food:
print (x)

fruit = [«яблоко», «банан», «вишня»]

my_function (fruit)

Попробуй сам »


Возвращаемые значения

Чтобы функция возвращала значение, используйте возврат
выписка:

Пример

def my_function (x):
return 5 * x

print (my_function (3))
print (my_function (5))
печать (моя_функция (9))

Попробуй сам »


Пропуск Заявление

определение функции не может быть пустым, но если
у вас по какой-то причине есть определение функции без содержимого, введите оператор pass , чтобы избежать ошибки.


Рекурсия

Python также принимает рекурсию функций, что означает, что определенная функция может вызывать сама себя.

Рекурсия — это общая математическая и программная концепция. Это означает, что функция вызывает сама себя. Это имеет то преимущество, что вы можете перебирать данные для достижения результата.

Разработчику следует быть очень осторожным с рекурсией, поскольку довольно легко ускользнуть от написания функции, которая никогда не завершается, или функции, которая использует избыточные объемы памяти или мощности процессора.Однако при правильном написании рекурсия может быть очень эффективным и математически элегантным подходом к программированию.

В этом примере tri_recursion () — это функция, которую мы определили для вызова самой себя («рекурсивная»). Мы используем переменную k в качестве данных, которая уменьшается на (-1) каждый раз, когда мы выполняем рекурсию. Рекурсия заканчивается, когда условие не больше 0 (т.е. когда оно равно 0).

Новому разработчику может потребоваться некоторое время, чтобы понять, как именно это работает, лучший способ выяснить это — протестировать и изменить его.

Пример

Пример рекурсии

def tri_recursion (k):

если (k> 0):

результат = k + tri_recursion (k — 1)

print (результат)

еще:

результат = 0

вернуть результат

print («\ n \ nРезультаты примера рекурсии»)
tri_recursion (6)

Попробуй сам »



Определение функции Merriam-Webster

функция

| \ ˈFəŋ (k) -shən

\

1

: профессиональная или служебная должность : род занятий

Его работа совмещает в себе функции менеджера и рабочего.2

: действие, для которого человек или вещь специально приспособлены или используются или для которых вещь существует : цель

3

: любое из группы связанных действий, вносящих вклад в более крупное действие.

особенно

: нормальный и особый вклад части тела в экономику живого организма.

Функция сердца — перекачивать кровь по телу.

4

: официальная или формальная церемония или общественное мероприятие.

Во время уик-энда, посвященного воссоединению колледжа, они посетили несколько мероприятий.

: математическое соответствие, которое присваивает ровно один элемент одного набора каждому элементу того же или другого набора.

б

: переменная (например, качество, характеристика или измерение), которая зависит от другого

рост зависит от возраста

также

: результат

болезни, вызванные стрессом

6

: характерное поведение химического соединения из-за определенного реактивного элемента.

также

: функциональная группа

7

: компьютерная подпрограмма

конкретно

: тот, который выполняет вычисление с переменными (см. Запись переменной 2, смысл 1a), предоставленными программой, и предоставляет программе единственный результат

функционировал; функционирование \
ˈFəŋ (k) — ш (ə-) niŋ

\

непереходный глагол

1

: , чтобы иметь функцию : служить

атрибутивное существительное функционирует как прилагательное

2

: выполнять функцию или действовать : работать

функций — JavaScript | MDN

Функции — один из основных строительных блоков JavaScript.Функция в JavaScript похожа на процедуру — набор операторов, выполняющих задачу или вычисляющих значение, но для того, чтобы процедура квалифицировалась как функция, она должна принимать некоторые входные данные и возвращать выходные данные, где существует очевидная связь между вход и выход. Чтобы использовать функцию, вы должны определить ее где-нибудь в области видимости, из которой вы хотите ее вызвать.

См. Также исчерпывающую справочную главу о функциях JavaScript, чтобы узнать подробности.

Объявления функций

Определение функции (также называемое объявлением функции или оператором функции ) состоит из ключевого слова функции , за которым следует:

  • Имя функции.
  • Список параметров функции, заключенный в круглые скобки и разделенный запятыми.
  • Операторы JavaScript, определяющие функцию, заключенные в фигурные скобки, {...} .

Например, следующий код определяет простую функцию с именем квадрат :

  квадрат функции (число) {
  номер возврата * номер;
}
  

Функция квадрат принимает один параметр, который называется числом .Функция состоит из одного оператора, который говорит, что нужно вернуть параметр функции (то есть число ), умноженный на самого себя. Оператор return указывает значение, возвращаемое функцией:

  номер возврата * номер;
  

Примитивные параметры (например, число) передаются в функции по значению ; значение передается в функцию, но если функция изменяет значение параметра , это изменение не отражается глобально или в вызывающей функции .

Если вы передаете объект (т. Е. Не примитивное значение, такое как Array или определяемый пользователем объект) в качестве параметра, и функция изменяет свойства объекта, это изменение будет видно вне функции, как показано ниже пример:

  function myFunc (theObject) {
  theObject.make = 'Тойота';
}

var mycar = {марка: 'Honda', модель: 'Accord', год: 1998};
var x, y;

x = mycar.make;

myFunc (mycar);
y = mycar.make;
                
  

Выражения функций

Хотя приведенное выше объявление функции синтаксически является оператором, функции также могут быть созданы с помощью выражения функции.

Такой функцией может быть анонимный ; у него не обязательно должно быть имя. Например, функция квадрат могла быть определена как:

  const square = функция (число) {возвращаемое число * число}
var x = квадрат (4)  

Однако имя может содержать выражение функции. Указание имени позволяет функции ссылаться на себя, а также упрощает идентификацию функции в трассировках стека отладчика:

  const factorial = function fac (n) {return n <2? 1: n * fac (n - 1)}

приставка.журнал (факториал (3))
  

Функциональные выражения удобны при передаче функции в качестве аргумента другой функции. В следующем примере показана функция map , которая должна получать функцию в качестве первого аргумента и массив в качестве второго аргумента.

  function map (f, a) {
  пусть результат = [];
  дайте я;
  для (i = 0; i! = a.length; i ++)
    результат [i] = f (a [i]);
  вернуть результат;
}
  

В следующем коде функция получает функцию, определенную выражением функции, и выполняет ее для каждого элемента массива, полученного в качестве второго аргумента.

  function map (f, a) {
  пусть результат = [];
  дайте я;
  для (i = 0; i! = a.length; i ++)
    результат [i] = f (a [i]);
  вернуть результат;
}
const f = function (x) {
   вернуть х * х * х;
}
пусть числа = [0, 1, 2, 5, 10];
пусть куб = карта (е, числа);
console.log (куб);  

Функция возвращает: [0, 1, 8, 125, 1000] .

В JavaScript функция может быть определена на основе условия. Например, следующее определение функции определяет myFunc , только если num равно 0 :

  var myFunc;
if (num === 0) {
  myFunc = function (theObject) {
    объект.make = 'Toyota';
  }
}  

Помимо определения функций, как описано здесь, вы также можете использовать конструктор Function для создания функций из строки во время выполнения, как и eval () .

Метод - это функция, которая является свойством объекта. Подробнее об объектах и ​​методах читайте в разделе Работа с объектами.

Определение функции не выполнение ее. Его определение дает имя функции и указывает, что делать при вызове функции.

При вызове функция фактически выполняет указанные действия с указанными параметрами. Например, если вы определяете функцию квадрат , вы можете вызвать ее следующим образом:

  квадрат (5);
  

Предыдущий оператор вызывает функцию с аргументом 5 . Функция выполняет свои операторы и возвращает значение 25 .

Функции должны быть в области , когда они вызываются, но объявление функции может быть поднято (отображается под вызовом в коде), как в этом примере:

  консоль.бревно (квадрат (5));

функция square (n) {return n * n}
  

Область видимости функции - это функция, в которой она объявлена ​​(или вся программа, если она объявлена ​​на верхнем уровне).

Примечание: Это работает только при определении функции с использованием указанного выше синтаксиса (например, function funcName () {} ). Приведенный ниже код работать не будет.

Это означает, что подъем функции работает только с объявлениями функции - но не с выражениями функции .

  console.log (квадрат)
console.log (квадрат (5))
const square = function (n) {
  вернуть n * n;
}
  

Аргументы функции не ограничиваются строками и числами. Вы можете передавать в функцию целые объекты. Функция showProps () (определенная в разделе Работа с объектами) является примером функции, которая принимает объект в качестве аргумента.

Функция может вызывать сама себя. Например, вот функция, рекурсивно вычисляющая факториалы:

  function factorial (n) {
  если ((n === 0) || (n === 1))
    возврат 1;
  еще
    return (n * факториал (n - 1));
}
  

Затем вы можете вычислить факториалы от 1 до 5 следующим образом:

  var a, b, c, d, e;
а = факториал (1);
b = факториал (2);
c = факториал (3);
d = факториал (4);
е = факториал (5);
  

Есть и другие способы вызова функций.Часто бывают случаи, когда функцию необходимо вызывать динамически, или количество аргументов функции меняется, или когда контекст вызова функции должен быть установлен на конкретный объект, определенный во время выполнения.

Оказывается, функций сами являются объектами - и, в свою очередь, эти объекты имеют методы. (См. Объект Function .) Один из них, метод apply () , может использоваться для достижения этой цели.

Переменные, определенные внутри функции, не могут быть доступны из любого места за пределами функции, потому что переменная определяется только в области видимости функции.Однако функция может получить доступ ко всем переменным и функциям, определенным внутри области, в которой она определена.

Другими словами, функция, определенная в глобальной области видимости, может обращаться ко всем переменным, определенным в глобальной области видимости. Функция, определенная внутри другой функции, также может обращаться ко всем переменным, определенным в ее родительской функции, и к любым другим переменным, к которым родительская функция имеет доступ.

 
var num1 = 20,
    число2 = 3,
    name = 'Чамах';


function multiply () {
  return num1 * num2;
}

умножить ();


function getScore () {
  var num1 = 2,
      число2 = 3;

  function add () {
    вернуть имя + 'забил' + (num1 + num2);
  }

  return add ();
}

getScore ();
  

Рекурсия

Функция может ссылаться и вызывать сама себя.Функция может ссылаться на себя тремя способами:

  1. Имя функции
  2. arguments.callee
  3. Переменная в области видимости, которая ссылается на функцию

Например, рассмотрим следующее определение функции:

  var foo = function bar () {
   
}
  

В теле функции все следующие эквиваленты:

  1. бар ()
  2. arguments.callee ()
  3. foo ()

Функция, которая вызывает саму себя, называется рекурсивной функцией .В некотором смысле рекурсия аналогична циклу. Оба выполняют один и тот же код несколько раз, и для обоих требуется условие (чтобы избежать бесконечного цикла или, скорее, бесконечной рекурсии в этом случае).

Например, следующий цикл ...

  var x = 0;
while (x <10) {
   
   x ++;
}
  

... можно преобразовать в объявление рекурсивной функции с последующим вызовом этой функции:

  function loop (x) {
  если (x> = 10)
    возвращаться;
  
  петля (х + 1);
}
петля (0);
  

Однако некоторые алгоритмы не могут быть простыми итерационными циклами.Например, получить все узлы древовидной структуры (такой как DOM) проще с помощью рекурсии:

  function walkTree (node) {
  если (узел == нуль)
    возвращаться;
  
  for (var i = 0; i  

По сравнению с циклом функции , каждый рекурсивный вызов сам по себе делает здесь много рекурсивных вызовов.

Можно преобразовать любой рекурсивный алгоритм в нерекурсивный, но логика часто намного сложнее, и для этого требуется использование стека.

Фактически, сама рекурсия использует стек: стек функций. Поведение в виде стека можно увидеть в следующем примере:

  function foo (i) {
  если (я <0)
    возвращаться;
  console.log ('начало:' + я);
  foo (я - 1);
  console.log ('конец:' + я);
}
foo (3);










  

Вложенные функции и замыкания

Вы можете вложить функцию в другую функцию. Вложенная (внутренняя) функция является частной для своей содержащей (внешней) функции.

Он также образует закрытие .Замыкание - это выражение (чаще всего функция), которое может иметь свободные переменные вместе со средой, которая связывает эти переменные (которая «закрывает» выражение).

Поскольку вложенная функция является замыканием, это означает, что вложенная функция может «наследовать» аргументы и переменные содержащейся в ней функции. Другими словами, внутренняя функция содержит область действия внешней функции.

Суммируем:

  • Доступ к внутренней функции можно получить только из операторов внешней функции.
  • Внутренняя функция образует замыкание: внутренняя функция может использовать аргументы и переменные внешней функции, в то время как внешняя функция не может использовать аргументы и переменные внутренней функции.

В следующем примере показаны вложенные функции:

  function addSquares (a, b) {
  function square (x) {
    вернуть х * х;
  }
  вернуть квадрат (а) + квадрат (б);
}
а = addSquares (2, 3);
b = addSquares (3, 4);
c = addSquares (4, 5);
  

Поскольку внутренняя функция образует замыкание, вы можете вызвать внешнюю функцию и указать аргументы как для внешней, так и для внутренней функции:

  функция за пределами (x) {
  function inside (y) {
    вернуть x + y;
  }
  вернуться внутрь;
}
fn_inside = снаружи (3);
                        
результат = fn_inside (5);

результат1 = снаружи (3) (5);
  

Сохранение переменных

Обратите внимание, как x сохраняется, когда возвращается внутри .Замыкание должно сохранять аргументы и переменные во всех областях, на которые оно ссылается. Поскольку каждый вызов предоставляет потенциально разные аргументы, для каждого вызова за пределами создается новое закрытие. Память может быть освобождена только тогда, когда возвращенный внутри больше не доступен.

Это не отличается от хранения ссылок в других объектах, но часто менее очевидно, потому что ссылки не устанавливаются напрямую и невозможно их проверить.

Множественно-вложенные функции

Функции могут быть множественно-вложенными.Например:

  • Функция ( A ) содержит функцию ( B ), которая сама содержит функцию ( C ).
  • Обе функции B и C образуют здесь закрытие. Итак, B может получить доступ к A , а C может получить доступ к B .
  • Кроме того, поскольку C может получить доступ к B , который может получить доступ к A , C также может получить доступ к A .

Таким образом, укупорочные средства могут содержать несколько областей действия; они рекурсивно содержат объем функций, содержащих его.Это называется цепочкой . (Причина, по которой это называется «сцеплением», объясняется позже.)

Рассмотрим следующий пример:

  функция A (x) {
  функция B (y) {
    функция C (z) {
      console.log (x + y + z);
    }
    С (3);
  }
  БИ 2);
}
А (1);
  

В этом примере C обращается к B y и A x .

Это можно сделать, потому что:

  1. B образует укупорочное средство, включая A (т.е.е. B может получить доступ к аргументам и переменным A ).
  2. C образует укупорочное средство, включая B .
  3. Поскольку закрытие B включает A , закрытие C включает A , C может получить доступ к и аргументам и переменным B и A . Другими словами, C объединяет в области B и A , в таком порядке .

Обратное, однако, неверно. A не может получить доступ к C , потому что A не может получить доступ к любому аргументу или переменной B , переменной которой является C . Таким образом, C остается частным только для B .

Конфликты имен

Когда два аргумента или переменных в области действия закрытия имеют одинаковое имя, возникает конфликт имен . Более вложенные области имеют приоритет. Таким образом, самая внутренняя область имеет наивысший приоритет, а самая внешняя область имеет наименьший приоритет.Это цепочка областей видимости. Первая в цепочке - это самая внутренняя область видимости, а последняя - самая внешняя. Рассмотрим следующее:

  function outside () {
  var x = 5;
  function inside (x) {
    вернуть x * 2;
  }
  вернуться внутрь;
}

снаружи () (10);
  

Конфликт имен происходит в инструкции return x * 2 и находится между внутри параметра x и вне переменной x . Цепочка областей видимости здесь { внутри , вне , глобальный объект}.Следовательно, внутри x имеет приоритет перед за пределами x , и 20 ( внутри x ) возвращается вместо 10 ( снаружи ). х ).

Замыкания - одна из самых мощных функций JavaScript. JavaScript позволяет вложение функций и предоставляет внутренней функции полный доступ ко всем переменным и функциям, определенным внутри внешней функции (и ко всем другим переменным и функциям, к которым внешняя функция имеет доступ).

Однако внешняя функция не имеет доступа к переменным и функциям, определенным внутри внутренней функции. Это обеспечивает своего рода инкапсуляцию для переменных внутренней функции.

Кроме того, поскольку внутренняя функция имеет доступ к области действия внешней функции, переменные и функции, определенные во внешней функции, будут жить дольше, чем продолжительность выполнения внешней функции, если внутренней функции удастся выжить после срока службы внешняя функция.Замыкание создается, когда внутренняя функция каким-то образом становится доступной для любой области вне внешней функции.

  var pet = function (name) {
  var getName = function () {
    возвращаемое имя;
                             
  }
  return getName;
}
myPet = pet ('Виви');

мой питомец();
  

Это может быть намного сложнее, чем приведенный выше код. Может быть возвращен объект, содержащий методы для управления внутренними переменными внешней функции.

  var createPet = function (name) {
  var sex;

  возвращаться {
    setName: function (newName) {
      name = newName;
    },

    getName: function () {
      возвращаемое имя;
    },

    getSex: function () {
      ответный секс;
    },

    setSex: function (newSex) {
      if (typeof newSex === 'строка' && (newSex.toLowerCase () === 'мужской' ||
        newSex.toLowerCase () === 'female')) {
        sex = newSex;
      }
    }
  }
}

var pet = createPet ('Виви');
pet.getName ();

домашний питомец.setName ('Оливер');
pet.setSex ('мужчина');
pet.getSex ();
pet.getName ();
  

В приведенном выше коде переменная name внешней функции доступна для внутренних функций, и нет другого способа получить доступ к внутренним переменным, кроме как через внутренние функции. Внутренние переменные внутренних функций действуют как безопасные хранилища для внешних аргументов и переменных. Они содержат «постоянные» и «инкапсулированные» данные, с которыми могут работать внутренние функции.Функции даже не обязательно должны быть присвоены переменной или иметь имя.

  var getCode = (function () {
  var apiCode = '0] Eal (eh & 2';

  return function () {
    return apiCode;
  };
}) ();

получить код();
  

Примечание: При использовании замыканий следует остерегаться ряда ловушек!

Если закрытая функция определяет переменную с тем же именем, что и переменная во внешней области видимости, то нет возможности снова сослаться на переменную во внешней области.(Переменная внутренней области видимости "переопределяет" внешнюю, пока программа не выйдет из внутренней области видимости.)

  var createPet = function (name) {
  возвращаться {
    setName: function (name) {
      name = name;
    }
  }
}
  

Аргументы функции хранятся в объекте, подобном массиву. Внутри функции вы можете адресовать переданные ей аргументы следующим образом:

  аргументов [i]
  

, где i - порядковый номер аргумента, начиная с 0 .Итак, первым аргументом, переданным функции, будет arguments [0] . Общее количество аргументов указано аргументами. Длина .

Используя объект arguments , вы можете вызвать функцию с большим количеством аргументов, чем официально объявлено для принятия. Это часто бывает полезно, если вы заранее не знаете, сколько аргументов будет передано функции. Вы можете использовать arguments.length , чтобы определить количество аргументов, фактически переданных функции, а затем получить доступ к каждому аргументу с помощью объекта arguments .

Например, рассмотрим функцию, которая объединяет несколько строк. Единственным формальным аргументом функции является строка, в которой указаны символы, разделяющие элементы для объединения. Функция определяется следующим образом:

  function myConcat (separator) {
   var result = '';
   var i;
   
   for (i = 1; i  

Этой функции можно передать любое количество аргументов, и она объединит каждый аргумент в строку «список»:

 
myConcat (',', 'красный', 'оранжевый', 'синий');


myConcat (';', 'слон', 'жираф', 'лев', 'гепард');


myConcat ('.',' шалфей ',' базилик ',' душица ',' перец ',' петрушка ');
  

Примечание: Переменная arguments «похожа на массив», но не на массив. Он подобен массиву в том смысле, что имеет пронумерованный индекс и свойство длины . Однако , а не , обладает всеми методами работы с массивами.

См. Объект Function в справке по JavaScript для получения дополнительной информации.

Начиная с ECMAScript 2015, есть два новых вида параметров: параметров по умолчанию и остальных параметров .

Параметры по умолчанию

В JavaScript параметры функций по умолчанию равны undefined . Однако в некоторых ситуациях может быть полезно установить другое значение по умолчанию. Это именно то, что делают параметры по умолчанию.

Без параметров по умолчанию (до ECMAScript 2015)

В прошлом общая стратегия установки значений по умолчанию заключалась в проверке значений параметров в теле функции и присвоении значения, если они равны undefined .

В следующем примере, если для b не указано значение, его значение будет undefined при вычислении a * b , а вызов multiply обычно вернет NaN .Однако этому препятствует вторая строка в этом примере:

.

  функция multiply (a, b) {
  b = typeof b! == 'undefined'? б: 1;

  вернуть a * b;
}

умножить (5);
  
С параметрами по умолчанию (после ECMAScript 2015)

С параметрами по умолчанию ручная проверка в теле функции больше не требуется. Вы можете указать 1 как значение по умолчанию для b в заголовке функции:

  функция умножить (a, b = 1) {
  вернуть a * b;
}

умножить (5);  

Подробнее см. Параметры по умолчанию в справочнике.

Остальные параметры

Синтаксис остальных параметров позволяет нам представить неопределенное количество аргументов в виде массива.

В следующем примере функция умножить использует остальных параметров для сбора аргументов от второго до конца. Затем функция умножает их на первый аргумент.

  функция multiply (multiplier, ... theArgs) {
  вернуть theArgs.map (x => multiplier * x);
}

var arr = multiply (2, 1, 2, 3);
приставка.журнал (обр);  

Выражение стрелочной функции (ранее, а теперь ошибочно известное как жирная стрелочная функция ) имеет более короткий синтаксис по сравнению с функциональными выражениями и не имеет собственного this , arguments, super или new.target. Стрелочные функции всегда анонимны. См. Также сообщение в блоге hacks.mozilla.org: «Подробное описание ES6: стрелочные функции».

На введение стрелочных функций повлияли два фактора: более коротких функций, и необязательных из это .

Более короткие функции

В некоторых функциональных шаблонах приветствуются более короткие функции. Сравнить:

  var a = [
  «Водород»,
  'Гелий',
  "Литий",
  'Бериллий'
];

var a2 = a.map (функция (и) {return s.length;});

console.log (a2);

var a3 = a.map (s => s.length);

console.log (a3);
  

Нет отдельного

this

До стрелочных функций каждая новая функция определяла свое собственное значение this (новый объект в случае конструктора, не определен в вызовах функций в строгом режиме, базовый объект, если функция вызывается как «объектный метод» и т. д.). Это оказалось далеко не идеальным для объектно-ориентированного стиля программирования.

  function Person () {
  
  this.age = 0;

  setInterval (function growUp () {
    
    
    
    this.age ++;
  }, 1000);
}

var p = новый человек ();  

В ECMAScript 3/5 эта проблема была исправлена ​​путем присвоения значения в и переменной, которую можно было закрыть.

  function Person () {
  var self = this;
                   
  self.age = 0;

  setInterval (function growUp () {
    
    
    себя.age ++;
  }, 1000);
}  

В качестве альтернативы может быть создана связанная функция, чтобы правильное значение и это значение передавалось функции growUp () .

Стрелочная функция не имеет собственного , это ; используется значение окружающего контекста выполнения. Таким образом, в следующем коде , этот в функции, которая передается в setInterval , имеет то же значение, что и , этот во включающей функции:

  function Person () {
  это.возраст = 0;

  setInterval (() => {
    this.age ++;
  }, 1000);
}

var p = новый человек ();  

JavaScript имеет несколько встроенных функций верхнего уровня:

eval ()

Метод eval () оценивает код JavaScript, представленный в виде строки.

неравномерное ()

Метод uneval () создает строковое представление исходного кода объекта .

isFinite ()

Глобальная функция isFinite () определяет, является ли переданное значение конечным числом. При необходимости параметр сначала преобразуется в число.

isNaN ()

Функция isNaN () определяет, является ли значение NaN или нет. Примечание: приведение внутри функции isNaN имеет интересные правила; Вы также можете использовать номер .isNaN () , как определено в ECMAScript 2015, или вы можете использовать typeof , чтобы определить, является ли значение Not-A-Number.

parseFloat ()

Функция parseFloat () анализирует строковый аргумент и возвращает число с плавающей запятой.

parseInt ()

Функция parseInt () анализирует строковый аргумент и возвращает целое число указанного основания (основание в математической системе счисления).

decodeURI ()

Функция decodeURI () декодирует унифицированный идентификатор ресурса (URI), ранее созданный encodeURI или аналогичной программой.

decodeURIComponent ()

Метод decodeURIComponent () декодирует компонент унифицированного идентификатора ресурса (URI), ранее созданный encodeURIComponent или аналогичной процедурой.

encodeURI ()

Метод encodeURI () кодирует унифицированный идентификатор ресурса (URI), заменяя каждый экземпляр определенных символов одной, двумя, тремя или четырьмя escape-последовательностями, представляющими кодировку символа UTF-8 (будет только четыре escape-последовательности для символов, состоящих из двух «суррогатных» символов).

encodeURIComponent ()

Метод encodeURIComponent () кодирует компонент универсального идентификатора ресурса (URI), заменяя каждый экземпляр определенных символов одной, двумя, тремя или четырьмя escape-последовательностями, представляющими кодировку символа UTF-8 (будет только четыре escape-последовательности для символов, состоящих из двух «суррогатных» символов).

escape ()

Устаревший метод escape () вычисляет новую строку, в которой определенные символы были заменены шестнадцатеричной escape-последовательностью. Вместо этого используйте encodeURI или encodeURIComponent .

unescape ()

Устаревший метод unescape () вычисляет новую строку, в которой шестнадцатеричные escape-последовательности заменяются символом, который она представляет.Управляющие последовательности могут быть введены функцией типа escape . Поскольку unescape () устарел, используйте вместо него decodeURI () или decodeURIComponent .

Страница не найдена - Программирование с помощью R

Фактическое расписание может незначительно отличаться в зависимости от тем и упражнений, выбранных инструктором.

Настройка Скачать файлы, необходимые для урока
00:00

1. Анализ данных пациента

Как мне прочитать данные в R?

Как назначить переменные?

Что такое фрейм данных?

Как мне получить доступ к подмножествам фрейма данных?

Как рассчитать простую статистику, такую ​​как среднее и медианное значение?

Где я могу получить помощь?

Как я могу построить свои данные?

00:45

2.Создание функций

Как мне сделать функцию?

Как я могу проверить свои функции?

Как мне документировать свой код?

01:15

3. Анализ нескольких наборов данных

Как я могу сделать то же самое с несколькими наборами данных?

Как написать цикл for?

01:45

4.Делать выбор

Как сделать выбор, используя операторы if и else?

Как сравнить значения?

Как сохранить графики в файл PDF?

02:15

5. Программы командной строки

Как мне написать сценарий командной строки?

Как читать аргументы из командной строки?

02:45

6.Лучшие практики для написания кода R

Как я могу написать код R, понятный и понятный другим людям?

02:55

7. Динамические отчеты с knitr

Как я могу поместить свой текст, код и результаты в один документ?

Как пользоваться вязальным устройством?

Как писать в Markdown?

03:15

8.Создание пакетов в R

Как мне собрать свой код вместе, чтобы я мог повторно использовать его и делиться им?

Как мне создать свои собственные пакеты?

03:45

9. Введение в RStudio

Как использовать графический интерфейс пользователя RStudio?

04:00

10.Адресация данных

Каковы различные методы доступа к частям фрейма данных?

04:20

11. Чтение и запись файлов CSV

Как мне прочитать данные из файла CSV в R?

Как мне записать данные в файл CSV?

04:50

12.Понимание факторов

Как категориальные данные представлены в R?

Как мне работать с факторами?

05:10

13. Типы и структуры данных

Какие типы данных существуют в R?

Какие существуют структуры данных в R?

Как мне получить доступ к данным в различных структурах данных?

05:55

14.Стек вызовов

Что такое стек вызовов и как R узнает, в каком порядке выполнять действия?

Как осциллограф работает в R?

06:10

15. Петли в R

Как я могу делать одно и то же в несколько раз эффективнее в R?

Что такое векторизация?

Что следует использовать: цикл или оператор применения?

06:40 Отделка

Функции Python (def): определение с примерами

Что такое функция в Python?

В Python функция - это группа связанных операторов, выполняющих определенную задачу.

Функции помогают разбить нашу программу на более мелкие и модульные части. По мере того, как наша программа становится все больше и больше, функции делают ее более организованной и управляемой.

Кроме того, он позволяет избежать повторения и позволяет многократно использовать код.

Синтаксис функции

def имя_функции (параметры):
"" "строка документации" ""
заявление (а) 

Выше показано определение функции, состоящее из следующих компонентов.

  1. Ключевое слово def , которое отмечает начало заголовка функции.
  2. Имя функции, однозначно идентифицирующее функцию. Именование функций следует тем же правилам написания идентификаторов в Python.
  3. Параметры (аргументы), через которые мы передаем значения функции. Они не обязательны.
  4. Двоеточие (:) для обозначения конца заголовка функции.
  5. Необязательная строка документации (docstring), описывающая, что делает функция.
  6. Один или несколько допустимых операторов Python, составляющих тело функции.Заявления должны иметь одинаковый уровень отступа (обычно 4 пробела).
  7. Необязательный оператор return для возврата значения из функции.

Пример функции

  def greet (имя):
    "" "
    Эта функция приветствует
    человек прошел как
    параметр
    "" "
    print ("Привет," + имя + ". Доброе утро!")  

Как вызвать функцию в Python?

После того, как мы определили функцию, мы можем вызвать ее из другой функции, программы или даже из командной строки Python.Чтобы вызвать функцию, мы просто вводим имя функции с соответствующими параметрами.

  >>> привет ('Павел')
Привет, Пол. Доброе утро!  

Примечание: Попробуйте запустить приведенный выше код в программе Python с определением функции, чтобы увидеть результат.

  def greet (имя):
    "" "
    Эта функция приветствует
    человек прошел как
    параметр
    "" "
    print ("Привет," + имя + ". Доброе утро!")

привет ('Павел')  

Строки документации

Первая строка после заголовка функции называется строкой документации и является сокращением от строки документации.Он кратко используется для объяснения того, что делает функция.

Документация, хотя и необязательная, является хорошей практикой программирования. Если вы не помните, что ели на ужин на прошлой неделе, всегда документируйте свой код.

В приведенном выше примере у нас есть строка документации непосредственно под заголовком функции. Обычно мы используем тройные кавычки, чтобы строка документа могла занимать несколько строк. Эта строка доступна нам как атрибут функции __doc__ .

Например :

Попробуйте запустить в оболочке Python следующую команду, чтобы увидеть результат.

  >>> печать (привет .__ doc__)

    Эта функция приветствует
    человек прошел как
    параметр  

Чтобы узнать больше о строках документации в Python, посетите веб-сайт Python Docstrings.


Отчет о возврате

Оператор возврата используется для выхода из функции и возврата в то место, откуда она была вызвана.

Синтаксис возврата

возврат [список_выражений] 

Этот оператор может содержать выражение, которое оценивается и возвращается значение.Если в операторе нет выражения или сам оператор return отсутствует внутри функции, тогда функция вернет объект None .

Например:

  >>> print (привет («май»))
Привет, май. Доброе утро!
Нет  

Здесь None - это возвращаемое значение, поскольку greet () напрямую печатает имя, а оператор return не используется.


Пример возврата

  def absolute_value (число):
    "" "Эта функция возвращает абсолютное
    значение введенного числа "" "

    если число> = 0:
        вернуть номер
    еще:
        return -num


печать (абсолютное_значение (2))

печать (абсолютное_значение (-4))  

Выход

  2
4  

Как функция работает в Python?

Работа функций в Python


Объем и время жизни переменных

Область действия переменной - это часть программы, в которой эта переменная распознается.Параметры и переменные, определенные внутри функции, не видны снаружи функции. Следовательно, они имеют локальный охват.

Время жизни переменной - это период, в течение которого переменная находится в памяти. Время жизни переменных внутри функции - до тех пор, пока функция выполняется.

Они уничтожаются, когда мы возвращаемся из функции. Следовательно, функция не запоминает значение переменной из своих предыдущих вызовов.

Вот пример, иллюстрирующий область действия переменной внутри функции.

  def my_func ():
х = 10
print ("Значение внутри функции:", x)

х = 20
my_func ()
print ("Значение вне функции:", x)  

Выход

  Значение внутри функции: 10
Значение вне функции: 20  

Здесь мы видим, что значение x изначально равно 20. Несмотря на то, что функция my_func () изменила значение x на 10, это не повлияло на значение вне функции.

Это связано с тем, что переменная x внутри функции отличается (локальная для функции) от переменной снаружи.Хотя у них одинаковые имена, это две разные переменные с разными областями действия.

С другой стороны, переменные вне функции видны изнутри. У них глобальный размах.

Мы можем читать эти значения изнутри функции, но не можем их изменять (записывать). Чтобы изменить значение переменных вне функции, они должны быть объявлены как глобальные переменные с использованием ключевого слова global .


Типы функций

В принципе, мы можем разделить функции на следующие два типа:

  1. Встроенные функции - Функции, встроенные в Python.
  2. Пользовательские функции - Функции, определяемые самими пользователями.

Определение функции | Промежуточная алгебра

Результаты обучения

  • Определите функцию с помощью таблиц
  • Определить, создает ли набор упорядоченных пар функцию
  • Определите область и диапазон функции, представленной в виде таблицы или набора упорядоченных пар

Есть много видов отношений. Отношения - это просто соответствие между наборами значений или информации.Подумайте о членах вашей семьи и их возрасте. Пары каждого члена вашей семьи и их возраст являются отношениями. Каждого члена семьи можно сопоставить с возрастом из набора возрастов членов вашей семьи. Другой пример взаимоотношений - объединение штата и его сенаторов США. Каждый штат может быть сопоставлен с двумя людьми, каждый из которых был избран сенатором. В свою очередь, каждому сенатору можно сопоставить одно конкретное государство, которое он или она представляет. Оба эти примера реальных отношений.

Первое значение отношения - это входное значение, а второе значение - выходное значение. Функция - это особый тип отношения, в котором каждое входное значение имеет одно и только одно выходное значение. Вход - это независимое значение , а выход - это зависимое значение , так как оно зависит от значения входа.

Обратите внимание, что в первой таблице ниже, где вход - «имя», а выход - «возраст», каждый вход соответствует ровно одному выходу.Это пример функции.

Имя члена семьи (ввод) Возраст члена семьи (Выход)
Нелли [латекс] 13 [/ латекс]
Маркос [латекс] 11 [/ латекс]
Есфирь [латекс] 46 [/ латекс]
Самуэль [латекс] 47 [/ латекс]
Нина [латекс] 47 [/ латекс]
Пол [латекс] 47 [/ латекс]
Катрина [латекс] 21 [/ латекс]
Андрей [латекс] 16 [/ латекс]
Мария [латекс] 13 [/ латекс]
Ана [латекс] 81 [/ латекс]

Сравните это со следующей таблицей, где входными данными является «возраст», а выходными данными - «имя.«Некоторые входы приводят к более чем одному выходу. Это пример соответствия , а не функции.

Возраст члена семьи (ввод) Имя члена семьи (Выходные данные)
[латекс] 11 [/ латекс] Маркос
[латекс] 13 [/ латекс] Нелли, Мария
[латекс] 16 [/ латекс] Андрей
[латекс] 21 [/ латекс] Катрина
[латекс] 46 [/ латекс] Есфирь
[латекс] 47 [/ латекс] Самуэль, Нина, Пол
[латекс] 81 [/ латекс] Ана

Теперь давайте рассмотрим некоторые другие примеры, чтобы определить, являются ли отношения функциями или нет и при каких обстоятельствах.Помните, что отношение является функцией, если для каждого входа имеется только , один выход .

Пример

Заполните таблицу.

Ввод Выход Функция? Почему или почему нет?
Имя сенатора Название государства
Название государства Имя сенатора
Истекшее время Высота подброшенного мяча
Высота подброшенного мяча Истекшее время
Кол-во вагонов Кол-во шин
Кол-во шин Количество вагонов

Показать решение

Ввод Выход Функция? Почему или почему нет?
Имя сенатора Название государства Есть Для каждого входа будет только один выход, потому что сенатор представляет только одно состояние.
Название государства Имя сенатора Для каждого состояния, которое является входом, будет получено 2 имени сенаторов, потому что в каждом штате есть два сенатора.
Истекшее время Высота подброшенного мяча Есть В определенное время мяч имеет определенную высоту.
Высота подброшенного мяча Истекшее время Нет Помните, что мяч подбрасывался и упал.Таким образом, для данной высоты может быть два разных момента, когда мяч находился на этой высоте. Высота входа может привести к более чем одному выходу.
Кол-во вагонов Кол-во шин Есть Для любого ввода определенного количества автомобилей существует один конкретный результат, представляющий количество шин.
Кол-во шин Количество вагонов Есть Для любого ввода определенного количества шин существует один конкретный результат, представляющий количество автомобилей.

Отношения могут быть записаны как упорядоченные пары чисел или как числа в таблице значений. Изучая входы (координаты x ) и выходы (координаты y ), вы можете определить, является ли отношение функцией. Помните, что в функции каждый вход имеет только один выход.

Есть имя для набора входных значений и другое имя для набора выходных значений для функции. Набор входных значений называется областью функции .Набор выходных значений называется диапазоном функции .

Если у вас есть набор упорядоченных пар, вы можете найти домен, перечислив все входные значения, которые являются координатами x . Чтобы найти диапазон, перечислите все выходные значения, которые являются координатами y .

Рассмотрим следующий набор заказанных пар:

[латекс] \ {(- 2,0), (0,6), (2,12), (4,18) \} [/ латекс]

У вас есть:

[латекс] \ begin {array} {l} \ text {Domain:} \ {- 2,0,2,4 \} \\\ text {Range:} \ {0,6,12,18 \} \ конец {array} [/ latex]

А теперь попробуйте сами.

Пример

Укажите домен и диапазон для следующей таблицы значений, где x - это входные данные, а y - выходные.

x y
[латекс] -3 [/ латекс] [латекс] 4 [/ латекс]
[латекс] -2 [/ латекс] [латекс] 4 [/ латекс]
[латекс] -1 [/ латекс] [латекс] 4 [/ латекс]
[латекс] 2 [/ латекс] [латекс] 4 [/ латекс]
[латекс] 3 [/ латекс] [латекс] 4 [/ латекс]

Показать решение

Домен описывает все входные данные, и мы можем использовать обозначение набора с квадратными скобками {}, чтобы составить список.

[латекс] \ text {Домен}: \ {- 3, -2, -1,2,3 \} [/ латекс]

Диапазон описывает все выходы.

[латекс] \ text {Диапазон}: \ {4 \} [/ latex]

Мы указали [latex] 4 [/ latex] только один раз, потому что нет необходимости перечислять его каждый раз, когда он появляется в диапазоне.

В следующем видео мы приводим еще один пример определения того, представляет ли таблица значений функцию, а также определения домена и диапазона каждой из них.

Пример

Определите домен и диапазон для следующего набора упорядоченных пар и определите, является ли данное отношение функцией.

[латекс] \ {(- 3, −6), (- 2, −1), (1,0), (1,5), (2,0) \} [/ латекс]

Показать решение

Мы перечисляем все входные значения как домен. Входные значения представлены первыми в упорядоченной паре по соглашению.

Домен: {[latex] -3, -2,1,2 [/ latex]}

Обратите внимание на то, что мы не вводили повторяющиеся значения более одного раза; это не обязательно.

Диапазон - это список выходов для отношения; они вводятся вторыми в упорядоченной паре.

Диапазон: {[латекс] -6, -1, 0, 5 [/ латекс]}

Организация упорядоченных пар в таблице может помочь вам определить, является ли это отношение функцией.По определению, входы функции имеют только один выход.

x y
[латекс] -3 [/ латекс] [латекс] −6 [/ латекс]
[латекс] -2 [/ латекс] [латекс] -1 [/ латекс]
[латекс] 1 [/ латекс] [латекс] 0 [/ латекс]
[латекс] 1 [/ латекс] [латекс] 5 [/ латекс]
[латекс] 2 [/ латекс] [латекс] 0 [/ латекс]

Отношение не является функцией, потому что вход [latex] 1 [/ latex] имеет два выхода: [latex] 0 [/ latex] и [latex] 5 [/ latex].

В следующем видео мы покажем, как определить, является ли отношение функцией, и как найти домен и диапазон.

Пример

Найдите область и диапазон отношения и определите, является ли это функцией.

[латекс] \ {(- 3, 4), (- 2, 4), (-1, 4), (2, 4), (3, 4) \} [/ латекс]

Показать решение

Домен: {[latex] -3, -2, -1, 2, 3 [/ latex]}

Диапазон: {[латекс] 4 [/ латекс]}

Чтобы помочь вам определить, является ли это функцией, вы можете реорганизовать информацию, создав таблицу.

x y
[латекс] -3 [/ латекс] [латекс] 4 [/ латекс]
[латекс] -2 [/ латекс] [латекс] 4 [/ латекс]
[латекс] -1 [/ латекс] [латекс] 4 [/ латекс]
[латекс] 2 [/ латекс] [латекс] 4 [/ латекс]
[латекс] 3 [/ латекс] [латекс] 4 [/ латекс]

Каждый вход имеет только один выход, и тот факт, что это один и тот же выход (4), не имеет значения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *