Целое выражение и дробное: Рациональные выражения: целые и дробные

Содержание

Основные виды выражений в алгебре

Уроки алгебры знакомят нас с различными видами выражений. По мере поступления нового материала выражения усложняются. При знакомстве со степенями они постепенно добавляются в выражение, усложняя его. Также происходит с дробями и другими выражениями.

Чтобы изучение материала было максимально удобным, это производится по определенным названиям для того, чтобы можно было их выделить. Данная статья даст полный обзор всех основных школьных алгебраических выражений.

Одночлены и многочлены

Выражения одночлены и многочлены изучаются в школьной программе, начиная с 7 класса. В учебники были даны определения такого вида.

Определение 1

Одночлены – это числа, переменные, их степени с натуральным показателем, любые произведения, сделанные с их помощью.

Определение 2

Многочленами называют сумму одночленов.

Если взять, к примеру число 5, переменную x, степень z7,тогда  произведения вида 5·x и 7·x·2·7·z7считаются одночленами. Когда берется сумма одночленов вида 5+x или z7+7+7·x·2·7·z7, тогда получаем многочлен.

Чтобы отличать одночлен от многочлена, обращают внимание на степени и их определения. Немаловажно понятие коэффициента. При приведении подобных слагаемых их разделяют на свободный член многочлена или старший коэффициент.

Над одночленами и многочленами чаще всего выполняются какие-то действия, после которых выражение приводится к вижу одночлена. Выполняется сложение, вычитание, умножение и деление, опираясь на алгоритм для выполнения действий с многочленами.

Когда имеется одна переменная, не исключено деление многочлена на многочлен, которые представляются в виде произведения. Такое действие получило название разложение многочлена на множители.

Рациональные (алгебраические) дроби

Понятие рациональные дроби изучаются в 8 классе средней школы. Некоторые авторы называют их алгебраическими дробями.

Определение 3

Рациональной алгебраической дробью называют дробь, в которой на месте числителя и знаменателя выступают многочлены или одночлены, числа.

Рассмотрим на примере записи рациональных дробей типа 3x+2, 2·a+3·b4, x2+1×2-2 и 22·x+-515·y3·xx2+4. Опираясь на определение, можно сказать, что каждая дробь считается рациональной дробью.

Алгебраические дроби можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень. Подробнее это рассматривается в разделе действий с алгебраическими дробями. Если необходимо преобразовать дробь, нередко пользуются свойством сокращения и приведения к общему знаменателю.

Рациональные выражения

В школьном курсе изучается понятие иррациональных дробей, так как необходима работа с рациональными выражениями.

Определение 4

Рациональные выражения считаются числовыми и буквенными выражениями, где используются рациональные числа и буквы со сложением, вычитанием, умножением, делением, возведением в целую степень.

Рациональные выражения могут не иметь знаков, принадлежащих функции, которые приводят к иррациональности. Рациональные выражения не содержат корней, степеней с дробными иррациональными показателями, степеней с переменными в показателе, логарифмических выражений, тригонометрических функций и так далее.

Основываясь на правиле, приведенном выше, приведем примеры рациональных выражений. Из выше сказанного определения имеем, что как числовое выражение вида 12+34 , так и 5,2+(-0,1)2·2-35-434+2:12·7-1+7-2233-21+0,3 считаются рациональными. Выражения, содержащие буквенные обозначения, также относят к рациональным a2+b23·a-0,5·b, с переменными вида a·x2+b·x+c и x2+xy-y212x-1.

Все рациональные выражения подразделяют на целые и дробные.

Целые рациональные выражения

Определение 5

Целые рациональные выражения – это такие выражения, не содержащие деления на выражения с переменными отрицательной степени.

Из определения имеем, что целое рациональное выражение – это и выражение, содержащее буквы, например, а+1, выражение, содержащее несколько переменных, например, x2·y3−z+32 и a+b3.

Выражения вида x:(y−1) и 2x+1×2-2x+7-4 не могут быть целыми рациональными, так как имеют деление на выражение с переменными.

Дробные рациональные выражения

Определение 6

Дробное рациональное выражение – это выражение, которое содержит деление на выражение с переменными отрицательной степени.

Из определения следует, что дробные рациональные выражения могу быть 1:x, 5×3-y3+x+x2 и 357-a-1+a2-(a+1)(a-2)2.

Если рассматривать выражения такого типа (2·x−x2):4 и a22-b33+c4+14,2, то дробными рациональными они не считаются, так как не имеют в знаменателе выражений с переменными.

Выражения со степенями

Определение 7

Выражения, которые содержат степени в любой части записи, называют выражениями со степенями или степенными выражениями.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Для понятия приведем пример такого выражения. В них могут отсутствовать переменные, например, 23, 32-15+1, 53,5·5-25-1,5. Также характерны степенные выражения вида 3·x3·x-1+3x, x·y213. Для того, чтобы решить их, необходимо выполнять некоторые преобразования.

Иррациональные выражения, выражения с корнями

Корень, имеющий место быть в выражении, дает ему иное название. Их называют иррациональными.

Определение 8

Иррациональными выражениями называют выражения, которые имеют в записи знаки корней.

Из определения видно, что это выражения вида 64, x-143+33, 2+12-1-2+32, a+1a12+2, x·y, 3x+1+6×2+5x и x+6+x-23+14×23+3-113. В каждом из них имеется хотя бы один значок корня. Корни и степени связаны, поэтому можно видеть такие записи выражений, как x73-25, n48·m35:4·m2n+3.

Тригонометрические выражения

Определение 9

Тригонометрическое выражение – это выражения с содержанием  sin, cos, tg и ctg и их обратные – arcsin, arccos, arctg и arcctg .

Примеры тригонометрических функций очевидны: sinπ4·cosπ6cos 6x-1 и 2sin x·tg2x+3, 43·tgπ-arcsin-35.

Для работы с такими функциями необходимо пользоваться свойствами, основными формулами прямых и обратных функций. Статья преобразование тригонометрических функций раскроет этот вопрос подробней.

Логарифмические выражения

После знакомства с логарифмами можно говорить о сложных логарифмических выражениях.

Определение 10

Выражения, которые имеют логарифмы, называют логарифмическими.

Примером таких функций могут быть log39+ln e, log2(4·a·b), log72(x·73)log32x-35+logx2+1(x4+2).

Можно встретить такие выражения, где  есть степени и логарифмы. Это итак понятно, так как из определения логарифма следует, что это является показателем степени. Тогда получаем выражения вида xlgx-10, log33x2+2x-3, logx+1(x2+2x+1)5x-2.

Для углубления изучения материала, следует обратиться к материалу о преобразовании логарифмических выражений.

Дроби

Существуют выражения особого вида, которые получили название дроби. Так как они имеют числитель и знаменатель, то они могут содержать не просто числовые значения, а также выражения любого типа. Рассмотрим определение дроби.

Определение 11

Дробью называют такое выражение, имеющее числитель и знаменатель, в которых имеются как числовые, так и буквенные обозначения или выражения.

Примеры дробей, которые имеют числа в числителе и знаменателе, выглядят так 14, 2,2-627, π2, -eπ, (−15)(−2). Числитель и знаменатель может содержать как численные, так и буквенные выражения вида (a+1)3, (a+b+c)(a2+b2), 13+1-13-111+11+15, cos2α-sin2α1+3tg α, 2+ln 5ln x.

Хотя такие выражения, как  25−37, xx2+1:5 не являются дробями, однако, имеют дробь в своей записи.

Выражение общего вида

Старшие классы рассматривают задачи повышенной трудности, где собраны все комбинированные задания группы С по ЕГЭ. Эти выражения отличаются особой сложностью и различными комбинациями корней, логарифмов, степеней, тригонометрических функций. Это задания типа x2-1·sinx+π3 или sinarctg x-a·x1+x2.

Их вид говорит о том, что можно отнести к любому из вышеперечисленных видов. Чаще всего их не относят ни к какому, так как они имеют специфичное комбинированное решение. Их рассматривают как выражения общего вида, причем для описания не используются дополнительные уточнения или выражения.

При решении такого алгебраического выражения всегда необходимо обращать внимание на его запись, наличие дроби, степеней или дополнительных выражений. Это нужно для того, чтобы точно определиться со способом его решения. Если нет уверенности в его названии, то рекомендуется называть его выражением общего типа и решать, согласно выше написанному алгоритму.

Целые рациональные выражения. Дробные рациональные выражения. Основное свойство рациональной дроби

Целые рациональные выражения

Целыми рациональными выражениями называются все числовые выражения, а также выражения с переменными, которые могут содержать действия сложения, вычитания, умножения, возведения переменных в натуральную степень. Если рассматривать выражения от одной переменной, то простейшим примером целого рационального выражения является многочлен степени n ∈ N:

Другие примеры целых рациональных выражений:

Выражения

не являются целыми рациональными, поскольку содержат операции возведения в целую отрицательную степень и деления на переменные.

Дробные рациональные выражения. Основное свойство рациональной дроби

Дробными рациональными выражениями (дробно-рациональными выражениями) называются выражения с переменными, которые могут содержать действия сложения, вычитания, умножения, возведения переменных в натуральную степень и деления на выражения с переменными. Если рассматривать выражения от одной переменной, то примером дробно-рационального выражения является отношение двух многочленов:

Другие примеры дробных рациональных выражений:

Рациональной дробью называется выражение

где Р и Q — рациональные выражения, причем Q обязательно содержит переменные. Примеры рациональных дробей:

Основное свойство дроби заключается в том, что числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен,

если R≠0;

если R — целое рациональное выражение.
Приведем примеры на использование основного свойства дроби.
Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Основное свойство дроби может быть использовано для перемены знаков у членов дроби. Если числитель и знаменатель дроби

умножить на (-1), то получим

Отсюда значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у
числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:

Также можно записать:

Пример 4.

Пример 5.

Сокращение рациональных дробей

Сократить дробь — это значит разделить числитель и знаменатель дроби на общий множитель. Возможность подобного рода сокращения обусловлена основным свойством дроби.
Для того чтобы сократить рациональную дробь, нужно попытаться разложить на множители числитель и знаменатель. Если числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то преобразование дроби посредством сокращения невозможно.
Пример 1. Сократить дробь

Решение.

Ответ:

Пример 2. Сократить дробь

Решение.

Ответ:

Алгебра 7-9 классы. 13. Дробные рациональные выражения. Действия с рациональными дробями

Алгебра 7-9 классы. 13. Дробные рациональные выражения. Действия с рациональными дробями

Подробности
Категория: Алгебра 7-9 классы

 

 

Рациональные дроби и их свойства

 

 

1. Рациональные выражения

В курсе алгебры 7 класса мы занимались преобразованиями целых выражений, т. е. выражений, составленных из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Так, целыми являются выражения


В отличие от них выражения

помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными выражениями.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.

Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение не имеет смысла

при а = 0. При всех остальных значениях а это выражение имеет

смысл. Выражение имеет смысл при тех значениях х и у, x ≠ y.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Выражение вида называется, как известно, дробью.

Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью.

Примерами рациональных дробей служат дроби

В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.

Пример 1. Найдем допустимые значения переменной в дроби

Чтобы найти, при каких значениях а знаменатель дроби обращается в нуль, нужно решить уравнение а(а — 9) = 0.

Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 0 и 9.

 

 

Пример 2. При каком значении х значение дроби равно нулю ?

 Дробь  равна нулю тогда и только тогда, когда a = 0 и b ≠ 0.

Числители дроби равен нулю, если , т.е.

или . Итак, числитель дроби равен нулю при x = 7 и  x= -3. Знаменатель данной дроби не равен нулю, если x ≠ -3. Значит,  данная дробь равна нулю при x = 7.

 

 

2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей

 

Мы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следующее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Иначе говоря, при любых натуральных значениях а, b и с верно paвенство

 Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях а, b и с, при которых знаменатель отличен от нуля, т. е. при b ≠ О и с ≠ О.

Пусть Тогда по определению частного а = bm. Умножим обе части этого равенства на с :

На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем:


Так как bс ≠ 0, то по определению частного

Значит,

Мы показали, что для любых числовых значений переменных b и с, где b ≠ О и с ≠ 0, верно равенство

Равенство (1) сохраняет силу и в том случае, когда под буквами а, b и с понимают многочлены, причем b и сненулевые многочлены, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю.

Равенство (1) выражает основное свойство рациональной дроби:

если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Например,

 

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тождествами мы называли равенства, верные при всех значениях переменных. Теперь мы расширяем понятие тождества.

 

Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей. Приведем примеры.

Пример 1. Приведем дробь к знаменателю

Так как то, умножив числитель и знаменатель дроби на , получим:

 

Множитель называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби

 

Пример 2. Приведем дробь  к знаменателю

Для этого числитель и знаменатель данной дроби умножим на -1:

 

Дробь можно заменить тождественно равным выражением , поставив знак «минус» перед дробью и заменив  знак в числителе:

Вообще

 

если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.

 

Пример 3. Сократим  дробь

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:

Сократим полученную дробь на общий множитель a + 3:

Итак,

 

 

Пример 4. Построим график функции

Область определения функции -множество всех чисел, кроме числа 4. Сократим дробь

Графиком функции является прямая, а графиком функции но с «выколотой» точкой (4 ; 4) (рис. 1.)




Одночлен и многочлен

, или 1,25x.

Выражение

также является целым; его можно представить в виде

Наконец, третье выражение содержит деление на число, записанное буквой. (Говорят также, что это выражение имеет буквенный делитель.) Такие выражения называются дробными.
Еще примеры дробных выражений:

Определение 2. Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит деления на буквенное выражение.

Определение 3. Рациональное выражение называется дробным, если оно содержит деление на буквенное выражение.

Можно короче сказать: рациональное алгебраическое выражение называется целым или дробным, смотря по тому, имеет или не имеет оно буквенного делителя.

3. Одночлен. Из целых выражений наиболее простыми считаются такие, которые содержат только действия умножения и возведения в степень, например:

Такие выражения называются одночленами.

Определение 4. Алгебраическое выражение, которое содержит только действия умножения и возведения в степень, называется одночленом.

Таким образом, одночлен представляет собой произведение числового множителя и букв, каждая из которых взята в определенной степени.

Примечание. Так как возведение в степень есть частный случай умножения (мы можем, например, a3 записать в виде aaa), то можно сказать, что одночлен содержит только одно действие — умножение.

Выражение, состоящее только из одной буквы, также считается одночленом.

Одночленом считается и всякое отдельное число, записанное цифрами.

Выражение вида также считается одночленом, так как хотя оно и содержит деление, но делитель 4 мы можем отнести к числовому множителю и записать выражение так:

, или 0,75a2b.

4. Многочлен. Несколько одночленов, соединенных знаками сложения и вычитания, образуют новое алгебраическое выражение, которое называется многочленом.
Например: 3x2 – 5xy + 6y2 – 8.

Мы уже знаем, что всегда вычитание можно заменить сложением, и всякое выражение, в которое входят сложение и вычитание, представляет собой алгебраическую сумму. Например, приведенное выше выражение можно записать так:

3x2 + (–5xy) + 6y2 + (–8).

Определение 5. Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется многочленом.

Каждый одночлен, входящий в состав многочлена, называется его членом.

Многочлен, состоящий из двух членов, называется также двучленом; многочлен, состоящий из трех членов, называется трехчленом и т. д.

Примеры двучленов:

x2 + 1; a + b; 3a2b – 4b2c.

Примеры трехчленов:

x2 + x + 1; 3y3 – 4ay2 + 4.

Одночлен считается частным случаем многочлена: это многочлен, состоящий из одного члена.

Примечание. Изучив действия над одночленами и многочленами, мы сможем любое целое алгебраическое выражение представить в виде алгебраической суммы одночленов (в частности, может получиться одночлен). Поэтому всякое целое выражение, как например

(x + y)b; 2(a2 + 3b2) – 6b2; m(m + n) – m2,

считается многочленом. Алгебраическая сумма одночленов есть так называемый нормальный (обычный), простейший вид целого алгебраического выражения. С этого простейшего вида мы и начнем изучать многочлены.
Дробные рациональные выражения, как например

не являются целыми, поэтому из нельзя считать многочленами, в частности их нельзя считать одночленами.

Презентация «Рациональные выражения» — алгебра, презентации

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

Рациональные выражения

Номер слайда 2

По этому учебнику мы будем изучать алгебру в 8 классе«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит»М. В. Ломоносов

Номер слайда 3

№1. Разделите данные выражения на две группы. Целые выражения. Дробные выражения. Какие из данных выражений являются рациональными дробями?

Номер слайда 4

Алгебраическим выражением называется выражение, составленное из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и с помощью скобок. 𝟕𝒂𝟐𝒃, 𝒎𝟑+𝒏𝟑, 𝒙−𝒚𝒙𝟐+𝒚𝟐, 𝒃𝟏𝟎−𝒃𝟑𝒃+𝒄𝟕, 𝒂+𝟓𝟖, 𝟐𝒙:𝟗 Целые выражения составлены из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Дробные выражения помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными

Номер слайда 5

𝟕𝒂𝟐𝒃, 𝒎𝟑+𝒏𝟑, (𝒙−𝒚)(𝒙𝟐+𝒚𝟐) 𝒃𝟏𝟎−𝒃𝟑𝒃+𝒄𝟕, 𝒂+𝟓𝟖, 𝟐𝒙:𝟗 ВЫРАЖЕНИЯцелыедробныерациональныевыражения. Рациональными называются целые и дробные выражения.

Номер слайда 6

Переместите выражения в соответствующие столбцы {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Дробные выражения. Целые выражения

Номер слайда 7

Упражнения1) Учебник № 2, № 3, № 5

Номер слайда 8

Упражнения. О б р а з е ц о ф о р м л е н и я:№ 5 (а).; а = –3, b = –1.1,5.1) Учебник № 2, № 3, № 5

Номер слайда 9

Упражнения. Учебник 2) № 7 (а), № 83) № 9, № 16.

Номер слайда 10

Урок № 2

Номер слайда 11

Допустимые значения переменных,входящих в дробное выражение

Номер слайда 12

Устно:– Какое выражение называется целым? дробным?– Как называются целые и дробные выражения?– Как найти значение рациональной дроби при заданных значениях входящих в неё переменных?

Номер слайда 13

З а д а н и е. Найдите значение дроби при указанных значениях переменной: при х = 4; 0; 1.

Номер слайда 14

при х = 1 невозможно найти значение дроби. Это позволяет сделать следующий вывод: в рациональную дробь нельзя подставлять числа, которые обращают её знаменатель в нуль. Все значения переменных, при которых рациональное выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.!

Номер слайда 15

Назовите допустимые значения переменной: Все числа, кроме y=0 Все числа, кроме X=-9 Все числа, кроме x₁=8, x₂=1 Все числа, кроме x₁=-2, x₂=10

Номер слайда 16

Как находить допустимые значения переменных?1) Если выражение является целым, то все значения входящих в него переменных будут допустимыми. 2) Чтобы найти допустимые значения переменных дробного выражения, нужно проверить, при каких значениях знаменатель обращается в нуль. Найденные числа не будут являться допустимыми значениями.

Номер слайда 17

Итог урока:– Какие значения называются допустимыми значениями переменных, входящих в выражение?– Каковы допустимые значения переменных целого выражения?– Как найти допустимые значения переменных дробного выражения?– Существуют ли рациональные дроби, для которых все значения переменных являются допустимыми? Приведите примеры таких дробей.

Номер слайда 18

№ 2, № 5 (б), № 6, № 7 (б). № 12, № 14 (б, г), № 212. Д о п о л н и т е л ь н о: № 19. Задание на самоподготовку:

Номер слайда 19

Алгебpа. 8 класс. Учебник. ФГОС. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Под ред. С. А. Теляковского. 2013г. Алгебра, 8 класс, Поурочные планы, Дюмина Т. Ю., Махонина А. А., 2012: CD;http://www.arms-expo.ru/049049052052124049051054055.htmlhttp://s4.goodfon.ru/wallpaper/previews-middle/219776.jp. Литература и Интернет–ресурсы :

Допустимые значения переменных, входящих в дробное выражение

У р о к 2
Допустимые значения переменных,
входящих в дробное выражение

Цели: формировать умение находить допустимые значения переменных, входящих в дробные выражения.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

– Подставьте вместо * какое-нибудь число и назовите полученную дробь:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

III. Объяснение нового материала.

Объяснение нового материала происходит в т р и э т а п а:

1. Актуализация знаний учащихся.

2. Рассмотрение вопроса о том, всегда ли рациональная дробь имеет смысл.

3. Вывод правила нахождения допустимых значений переменных, входящих в рациональную дробь.

При актуализации знаний учащимся можно задать следующие
в о п р о с ы:

– Какую дробь называют рациональной?

– Всякая ли дробь является дробным выражением?

– Как найти значение рациональной дроби при заданных значениях входящих в неё переменных?

Для выяснения вопроса о допустимых значениях переменных, входящих в рациональную дробь, можно предложить учащимся выполнить задание.

З а д а н и е. Найдите значение дроби при указанных значениях переменной:

при х = 4; 0; 1.

Выполняя данное задание, учащиеся понимают, что при х = 1 невозможно найти значение дроби. Это позволяет им сделать следующий в ы в о д: в рациональную дробь нельзя подставлять числа, которые обращают её знаменатель в нуль (этот вывод должен быть сформулирован и произнесён вслух самими учащимися).

После этого учитель сообщает учащимися, что все значения переменных, при которых рациональное выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Далее ставится вопрос: как находить допустимые значения переменных? При поиске ответа на этот вопрос учащиеся должны сформулировать р я д в о п р о с о в:

1) Если выражение является целым, то все значения входящих в него переменных будут допустимыми.

2) Чтобы найти допустимые значения переменных дробного выражения, нужно проверить, при каких значениях знаменатель обращается в нуль. Найденные числа не будут являться допустимыми значениями.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 10, № 11.

Ответ на вопрос о допустимых значениях переменных, входящих в дробное выражение, может звучать по-разному. Например, рассматривая рациональную дробь , можно сказать, что допустимыми значениями переменной являются все числа, кроме х = 4, или что в допустимые значения переменной не входит число 4, то есть х ≠ 4.

И та и другая формулировки являются верными, главное – следить за правильностью оформления.

2. № 13.

3. № 14 (а, в), № 15.

При выполнении этих заданий следует обратить внимание учащихся на необходимость учёта допустимых значений переменных.

№ 15.

г)

х (х + 3) = 0

х = 0 или

2х + 6 ≠ 0

х = –3 х ≠ –3

О т в е т: х = 0.

4. № 17.

Следить за обоснованием всех рассуждений.

В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить № 18 и № 20.

№ 18.

Р е ш е н и е

а) .

Из всех дробей с одинаковым положительным числителем большей будет та, у которой знаменатель является наименьшим. То есть необходимо найти, при каком значении а выражение а2 + 5 принимает наименьшее значение.

Поскольку выражение а2 не может быть отрицательным ни при каких значениях а, то выражение а2 + 5 будет принимать наименьшее значение при а = 0.

О т в е т: а = 0.

б) .

Рассуждая аналогично, получим, что необходимо найти то значение а, при котором выражение (а – 3)2 + 1 принимает наименьшее значение.

О т в е т: а = 3.

№ 20.

Р е ш е н и е

.

Для ответа на вопрос предварительно нужно преобразовать выражение, стоящее в знаменателе дроби.

.

Дробь будет принимать наибольшее значение, если выражение (2х +
+ у)2 + 9 принимает наименьшее значение. Поскольку (2х + у)2 не может принимать отрицательные значения, то наименьшее значение выражения (2х + у)2 + 9 равно 9.

Тогда значение исходной дроби равно = 2.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие значения называются допустимыми значениями переменных, входящих в выражение?

– Каковы допустимые значения переменных целого выражения?

– Как найти допустимые значения переменных дробного выражения?

– Существуют ли рациональные дроби, для которых все значения переменных являются допустимыми? Приведите примеры таких дробей.

Домашнее задание: № 12, № 14 (б, г), № 212.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 19.

Рациональные уравнения (ЕГЭ — 2021)

А вот еще одно уравнение \( \displaystyle \frac{5}{x+1}+\frac{4{x}-6}{(x+1)\cdot (x+3)}=3\). Это уравнение целое? НЕТ!!! Тут есть деление на переменную \( \displaystyle x\), а это говорит о том, что уравнение не целое. Тогда какое же оно? Это дробно рациональное уравнение.

Дробно-рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

На первый взгляд особой разницы не видно, ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.

Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет \( \displaystyle (x+1)\cdot (x+3)\).

Важный момент!

В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член \( \displaystyle 13\) приводить к знаменателю, т. {2}}+3x=0.\end{array}\)

Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было?

Выносим за скобку общий множитель: \( \displaystyle 3x\cdot (x+1)=0\)

У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\). 

Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\) в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок. Сначала подставим \( \displaystyle 0\), получается \( \displaystyle 3=3\) –нет претензий?

С ним все нормально. А теперь \( \displaystyle -1\), и тут же видим в знаменателе первого члена \( \displaystyle -1+1\)!

Но ведь это же будет ноль!

На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело???

Дело в ОДЗ! (если забыл что это, повтори тему «ОДЗ»!) Области Допустимых Значений.

Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть переменные (\( \displaystyle x,y\) и т.д.) в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ, найти какие значения может принимать икс, хотя удобнее в ОДЗ написать, чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.

Просто запомни, что на ноль делить нельзя! И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:

ОДЗ: \( \displaystyle x+1\ne 0\) и \( \displaystyle x+3\ne 0\) \( \displaystyle \Rightarrow x\ne -1\) и \( \displaystyle x\ne -3\).

Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить и так, из полученных нами \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=-1\) мы смело исключаем \( \displaystyle x=-1\), т.к. он противоречит ОДЗ.

Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?

В ответ стоит написать только один корень, \( \displaystyle x=0\).

Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе, возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.

Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,

ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

фракций_and_index_law_in_algebra

Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES)

вернуться к индексу

Дроби и индексы в алгебре

Число и алгебра: Модуль 32 лет: 8-9

июнь 2011

PDF Версия модуля

ПРИНУДИТЕЛЬНЫЕ ЗНАНИЯ

Арифметика целых и дробных чисел.

  • Основные методы ментальной арифметики.
  • HCF и LCM в арифметике.
  • Алгебраические выражения с целыми числами и минусами.
  • Законы индексов в арифметике с ненулевыми целочисленными индексами.
  • Три закона индекса, включающие произведения в алгебре.
  • Линейные уравнения

МОТИВАЦИЯ

Различные применения алгебры требуют систематических навыков работы с алгебраическими выражениями. Этот модуль является третьим из четырех модулей, которые обеспечивают систематическое введение в базовые алгебраические навыки.

В модуле «Алгебраические выражения» мы ввели алгебру, используя только целые числа и случайные дроби для местоимений. Затем в модуле «Негативы» и «Индексные законы в алгебре» мы расширили методы этого модуля на выражения, содержащие негативы.

Данный модуль расширяет методы алгебры, так что все отрицательные дроби и десятичные числа также могут быть заменены в алгебраические выражения и могут появляться как решения алгебраических уравнений.

Хотя в более ранних модулях иногда использовались отрицательные дроби, этот модуль обеспечивает их первое систематическое рассмотрение и начинается с представления четырех операций арифметики и степеней в контексте отрицательных дробей и десятичных знаков. Получившаяся система счисления называется рациональными числами. Этой системы достаточно для всех обычных вычислений в любой жизни, потому что сложение, вычитание, умножение и деление рациональных чисел (кроме деления на ноль) и взятие целых степеней рациональных чисел всегда дает другие рациональные числа.В частности, научные расчеты часто включают манипулирование уравнениями с десятичными знаками.

Модуль также начинает обсуждение алгебраических дробей, которые обычно вызывают проблемы у студентов. В этом модуле обсуждение быстро ограничивается путем исключения числителей и знаменателей с более чем одним термином. Эти более сложные алгебраические дроби более подробно рассматриваются в четвертом модуле «Специальные разложения и алгебраические дроби».

После того, как дроби были введены в алгебру, два закона индекса, касающиеся частных, могут быть сформулированы в более систематической форме, а затем объединены с алгеброй.На этом мы завершаем обсуждение законов индекса в арифметике и алгебре в том, что касается ненулевых целочисленных индексов.

СОДЕРЖАНИЕ

Рациональные числа

Наша арифметика началась с целых чисел

0, 1, 2, 3, 4,…

Затем мы построили продолжение целых чисел в двух разных направлениях. Во-первых, в модуле Дроби мы добавили положительные дроби, такие как и = 4, которые можно записать как отношение целого числа к ненулевому целому числу, и мы показали, как складывать, вычитать, умножать и делить фракции.Это дало систему чисел, состоящую из нуля и всех положительных дробей. В этой системе каждое ненулевое число имеет обратное, и всегда возможно деление без остатка (кроме нуля). Однако только ноль имеет противоположное значение, и вычитание a — b возможно только при b ≤ a.

Во-вторых, в модуле «Целые числа» мы снова начали с целых чисел и добавили противоположности целых чисел. Это дало систему чисел, называемую целыми числами, состоящую из всех целых чисел и их противоположностей,

…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,…

, и мы показали, как складывать, вычитать, умножать и делить целые числа.В этой системе целых чисел у каждого числа есть противоположность, и всегда возможно вычитание. Однако только 1 и -1 имеют обратные значения, и деление без остатка возможно только в таких ситуациях, как 21 ÷ 7, когда делимое является целым числом, кратным делителю.

Арифметика должна выполняться в системе без таких ограничений — мы хотим, чтобы и вычитание, и деление были возможны постоянно (кроме деления на ноль). Чтобы добиться этого, мы начнем с уже имеющихся целых чисел и положительных дробей.Затем мы складываем противоположности положительных дробей, так что теперь наша система счисления содержит все числа, такие как

.

— и — = −4

Все эти числа вместе называются рациональными числами — слово «рациональный» является прилагательным от «соотношение». Мы действительно какое-то время использовали в этих заметках отрицательные дроби. Эти замечания призваны формализовать ситуацию. Обычные законы знаков применяются к умножению и делению в этой более крупной системе, так что дробь с отрицательными целыми числами в числителе или знаменателе, или в обоих, может быть записана как положительная или отрицательная дробь,

и = — и =

Из-за этих тождеств рациональное число обычно определяется как отношение целого числа и ненулевого целого числа:

«Рациональное число — это число, которое можно записать в виде дроби, где a — целое число, а b — ненулевое целое число».

Таким образом, положительные и отрицательные смешанные числа, завершающие десятичные дроби и повторяющиеся десятичные дроби являются рациональными числами, потому что их можно записать как дроби целых чисел. Например,

9 =, -23,917 =, -1. =

В последующих модулях по таким темам, как сурды, круги, тригонометрия и логарифмы, нам нужно будет ввести дополнительные числа, называемые иррациональными числами, которые нельзя записать в виде дробей. Вот несколько примеров таких номеров:

.

, π, sin 22 °, log2 5.

В модуле «Действительные числа» рассматривается получившаяся более общая система арифметики.

ПРИМЕР

Покажите, что каждое число ниже рационально, записав его в виде дроби, где a и b — целые числа с b b 0.

Решение

Построение рациональных чисел

Есть два способа построить рациональные числа. Первый способ — сначала построить положительные дроби, а затем отрицательные, что примерно так и произошло исторически.Это включает трехэтапную процедуру:

1
Сначала постройте целые числа 0, 1, 2, 3, 4,…

2
Затем постройте неотрицательные дроби, такие как и, как отношение двух целых чисел, где второе не равно нулю. Этот процесс включает в себя определение дроби, например, где два целых числа имеют общий множитель, в его простейшей форме, и определение дроби, например, где знаменатель 1, с целым числом 5.

3
Наконец, постройте рациональные числа, построив противоположности каждой положительной дроби и целого числа.

Другой метод состоит в построении сначала целых чисел, а затем дробей. Теперь три шага:

1
Сначала постройте целые числа 0, 1, 2, 3, 4, ..

2
Затем постройте целые числа, построив противоположности…, −4, −3, −2, −1 всех ненулевых целых чисел.

3
Наконец, постройте рациональные числа, построив все дроби, такие как и отношение двух целых чисел, где второе не равно нулю. Этот процесс снова включает в себя определение эквивалентных дробей и определение дробей со знаминателем 1 как целых чисел.

Эти две процедуры одинаково приемлемы математически, и их окончательные результаты
идентичны по структуре. Однако учащиеся узнают о рациональных числах, работая с
с их примерами в арифметике и алгебре, и
таких объяснений мало что дадут.

Сложение и вычитание отрицательных дробей и десятичных знаков

При сложении и вычитании дробей и десятичных знаков, которые могут быть положительными или отрицательными, правила представляют собой комбинацию правил для целых чисел и правил сложения и вычитания положительных дробей и десятичных знаков:

  • Чтобы вычесть отрицательное число, сложите его противоположное число.
  • Выполните сложение и вычитание слева направо.
  • При работе со смешанными числами обычно легче отделить целую часть от дроби.

Следующие ниже примеры демонстрируют такие вычисления сначала в арифметических примерах, затем в подстановках и уравнениях.

Умножение отрицательных дробей и десятичных знаков

Как и в случае со сложением и вычитанием, нам нужно объединить уже обсужденные правила:

  • Сначала определите знак товара, затем разберитесь с цифрами. Результат двух положительных или двух отрицательных результатов является положительным. Произведение положительного и отрицательного — отрицательное.
  • При отсутствии скобок порядок операций:

1 Пауэрс,

2 Умножение и деление слева направо,

3 Сложение и вычитание слева направо.

  • При умножении дробей сначала преобразуйте их в неправильные дроби.
  • При умножении десятичных знаков преобразуйте их в дроби, знаменатели которых являются степенями 10.

(Некоторые люди предпочитают использовать правило «Прежде чем отбрасывать конечные нули, количество десятичных знаков в ответе равно общему количеству десятичных знаков в вопросе.’)

Следующие ниже примеры демонстрируют эти процедуры сначала в арифметических примерах, затем с заменами и уравнениями.

УПРАЖНЕНИЕ 2

Сколько факторов должно быть взято в произведении (−0,8) × 0,9 × (−1,0) ×…, чтобы произведение превысило 1?

Разделение дробей и десятичных дробей

С порядком работы мы уже ознакомились. Остальные необходимые правила:

  • При делении на дробь умножьте на обратную величину.Неподходящая дробь сначала должна быть преобразована в неправильную дробь.
  • Чтобы разделить на десятичную дробь, запишите вычисление в виде дроби, затем умножьте верхнюю и нижнюю на степень 10, достаточно большую, чтобы делитель стал целым числом.
  • (Некоторые люди предпочитают заменять десятичные дроби на дроби, а затем использовать методы дроби.)

Обратное

Мы видели, что величина, обратная положительной дроби, такая как дробь, образованная заменой числителя и знаменателя, потому что

× = 1

Точно так же обратная величина отрицательной дроби, такой как — есть -, потому что

— × — = 1

  • Для образования обратной величины поменяйте местами числитель и знаменатель, не меняя знака.

Взаимное соотношение положительных и отрицательных дробей важно в различных более поздних приложениях, особенно при перпендикулярных градиентах.

Составные фракции

Существует очень простой способ упростить составную дробь, например

  • Чтобы упростить составную дробь, умножьте верхнюю и нижнюю части на наименьший общий знаменатель всех дробей.

В приведенном выше примере наименьший общий знаменатель всех дробей равен 12, поэтому умножение верхней и нижней части на 12

= =

Также можно переписать дробь как деление + ÷ 2 +, но такой подход требует большего количества шагов.

Решение уравнений с дробями

Уравнение с несколькими дробями может быть решено стандартным методом: «Переместите каждый член в x в одну сторону, а все константы в другую». Однако итоговые вычисления дробей могут быть довольно сложными. Существует гораздо более быстрый подход, позволяющий избавиться от всех фракций за один шаг,

  • Если в уравнении используются дроби, умножьте на наименьший общий знаменатель.
  • Аналогичным образом, если в уравнении используются десятичные дроби, умножьте их на подходящую степень 10.

В следующем примере сначала используется этот более быстрый подход, а затем стандартный метод для решения двух уравнений. Сравните подходы и решайте сами.

УПРАЖНЕНИЕ 3

Используйте эффективный метод, чтобы найти среднее значение чисел 1, 0,9, 0,8,…, −2.

Система рациональных чисел

Мы по очереди ввели четыре системы счисления.

Сначала мы ввели целые числа 0, 1, 2, 3, 4,… Множество целых чисел замкнуто при сложении и умножении, что означает, что когда мы складываем или умножаем два целых числа, мы получаем еще одно целое число.Однако целые числа не закрываются ни при вычитании, ни при делении, потому что, например,

7–10 не является целым числом, а 7–10 не является целым числом.

Затем мы добавили положительные дроби к целым числам, так что наша система счисления теперь содержала все неотрицательные рациональные числа, включая такие числа, как 4, и 5. Эта система замкнута при делении (кроме нуля), но до сих пор не закрывается на вычитание.

Затем мы ввели целые числа…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,…, состоящие из всех целых чисел и их противоположностей.Эта система закрывается на вычитание, но не на деление.

Теперь, когда мы работаем с рациональными числами — целыми числами вместе со всеми положительными и отрицательными дробями — у нас наконец есть система, которая замкнута для всех четырех операций сложения, вычитания, умножения и деления (кроме нуля). Они также закрываются при операции взятия целых степеней.

Таким образом, этот набор рациональных чисел является очень удовлетворительной системой для выполнения арифметических операций и вполне достаточен для всех повседневных нужд.Когда мы переходим к еще большей системе действительных чисел, каждое действительное число может быть аппроксимировано рациональными числами настолько близко, насколько мы хотим (действительно, завершая десятичные дроби), так что рациональные числа останутся чрезвычайно важными.

Сокращение, умножение и деление алгебраических дробей

Алгебраическая дробь — это дробь, содержащая местоимения,

,,, -.

Местоимение в дроби обозначает числа, поэтому мы имеем дело с алгебраическими дробями, используя те же самые процедуры, что и в арифметике.

Подстановка в алгебраические дроби

Мы видели в арифметике, что знаменатель дроби не может быть равен нулю. Это означает, что:

В выражение нельзя подставлять x = 0.

В выражение нельзя подставлять c = 0.

В выражении — мы не можем заменить s и t одним и тем же значением.

Помимо этого уточнения, подстановка в алгебраические дроби работает точно так же, как подстановка в любом алгебраическом выражении.Например, если r = 5, s = 7 и t = 4, то

— = = 5

Замена отрицательных чисел требует обычной осторожности со знаками. Если r = −2, s = −7 и
t = 5,

— = = =

Остальная часть этого модуля будет исключать знаменатели, такие как s — t и a — 3, которые содержат два или более членов. Такие выражения будут рассмотрены в следующем модуле «Специальные разложения и алгебраические дроби».

Сокращение алгебраических дробей

Поскольку местоимения — это просто числа, мы можем исключить как местоимения, так и числа в алгебраической дроби.Например,

= и = а.

Мы не можем отменить ноль, поэтому мы должны строго исключать нулевые значения местоимения при отмене. Это означало бы написать

= при условии x ≠ 0 и = a при условии a ≠ 0 и b ≠ 0.

Такие квалификации становятся важными в математике гораздо позже. Однако на данном этапе неуместно поднимать этот вопрос, если только студенты не настаивают.

ПРИМЕР

Упростите каждую алгебраическую дробь, отбросив общие множители:

Деление алгебраических выражений

Когда мы делим, законы знаков такие же, как и законы умножения:

  • Отношение двух отрицательных или двух положительных результатов положительное.
  • Частное положительного и отрицательного отрицательного.

Следующие примеры иллюстрируют все возможности:

= 3x = −3x = −3x = 3x

Как и в случае с умножением, обработка более сложных выражений состоит из трех шагов:

  • Сначала разбираемся со знаками.
  • Тогда займемся цифрами.
  • Затем по очереди обработайте каждое местоимение.

= и (21abc2) ÷ (−7b2c) = —

Последний ответ также можно записать как или даже как, но лучший способ записать ответ — поставить знак минус перед дробью.

Дробное обозначение обычно используется для частных, но можно также использовать знак деления, как во втором примере выше.

ПРИМЕР

Упростите каждое частное:

Умножение алгебраических дробей

Мы видели, как умножать дроби в арифметике,

  • Сначала разбираемся со знаками.
  • Затем вычеркните все общие множители из числителя и знаменателя.
  • Затем умножьте числители и знаменатели.

Точно такой же метод применяется к умножению алгебраических дробей. Например,

Деление на алгебраическую дробь

Мы знаем закон знаков деления и умеем делить на дробь. Чтобы разделить на алгебраическую дробь, мы последовательно применяем те же законы

  1. Сначала определите знак частного.
  2. Чтобы разделить на дробь, умножьте на обратную

Например,

ПРИМЕР

Упростите каждое частное:

Решение

Величина, обратная алгебраической дроби

Обратные значения алгебраических дробей формируются точно так же, как это было сделано в
в арифметике.

Обратное значение равно, потому что × = 1.

Обратное значение −a3 равно -, потому что (−a3) × — = 1.

Обратное значение — равно -, потому что — × — = 1.

  • Для образования обратной величины поменяйте местами числитель и знаменатель, не меняя знака.

ПРИМЕР

Запишите обратную величину каждой алгебраической дроби:

Индекс законов для дробей

Предыдущий модуль алгебры Негативы и законы индекса в алгебре рассматривал законы индекса для произведения степеней одного и того же основания, для степени степени и для
степени произведения:

  • Чтобы умножить степени одного основания, сложите индексы:
  • am × an = am + n.
  • Чтобы возвести степень в степень, сложите индексы:
  • (am) n = amn.
  • Мощность продукта — произведение мощностей:
  • (ab) n = anbn.

В этих идентификаторах a и b — любые числа, а m и n — любые ненулевые целые числа
.

Теперь обратимся к оставшимся двум законам индекса, которые включают частные.

Индексный закон для степени частного

Чтобы увидеть, что происходит, когда мы берем степень дроби, мы просто записываем степень.

Таким образом, общую ситуацию можно выразить как:

  • Степень частного — это частное между степенями:

n = где a и b ≠ 0 — числа, а n — ненулевое целое число.

Следующие примеры иллюстрируют использование закона в арифметике и алгебре.

ПРИМЕР

Упростить:

Решение

При применении к алгебраической дроби также часто требуются законы, ранее введенные для мощности произведения и для мощности степени.Например,

3 = и 2 =

Индексный закон для отношения степеней одного основания

Остающийся в арифметике индексный закон имеет дело с делительными степенями одного и того же основания. В модуле «Множители, факторы и полномочия» закон был разработан в форме: «Чтобы разделить полномочия одного и того же основания, вычтите индексы». Например,

75 ÷ 73 = (7 × 7 × 7 × 7 × 7) ÷ (7 × 7 × 7) = 72.

Дроби, однако, не были введены на этом этапе, поэтому делитель не мог быть большей степенью, чем дивиденд.Теперь, когда у нас есть дроби, мы можем выразить закон в дробной форме и снять ограничение:

Основание также может быть местоимением, и теперь закон может быть записан как:

  • Чтобы разделить степени одного основания, вычтите индексы.

Например,

= a2 и = 1 и =.

Позже, когда в модуле The Index Laws будут введены нулевые и отрицательные индексы, мы сможем сформулировать этот закон в его обычной, более сжатой форме:

= am − n.

ПРИМЕР

Упростите каждое выражение:

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Когда набор алгебраических дробей имеет общий знаменатель, их легко сложить. Как всегда, собираем похожие термины,

+ — + = — (возможно, записывается как)

ПРИМЕР

Упростите каждое выражение:

Использование общего знаменателя

Когда дроби не имеют общего знаменателя, нам нужно найти наименьший общий знаменатель, как мы это делали для арифметических дробей.На этом этапе мы ограничимся обсуждением числовых знаменателей, а знаменатели с местоимениями оставим модулю Специальные разложения и алгебраические дроби.

ПРИМЕР

Упростите каждое выражение:

ПЕРЕАДРЕСАЦИЯ ССЫЛКИ

Как упоминалось в разделе «Мотивация», этот модуль является третьим из четырех модулей, касающихся основных операций с алгебраическими выражениями. Четыре модуля:

Алгебраические дроби были введены в этот модуль, но алгебра алгебраических дробей может вызвать значительные трудности, если она будет введена в полную силу до того, как будут усвоены более фундаментальные навыки.Поэтому более подробно алгебраические дроби будут рассмотрены в четвертом модуле «Специальные разложения и алгебраические дроби».

Сфера применения законов об индексах будет значительно расширена после того, как в модуль «Индексы» будут введены отрицательные и дробные индексы. Одна часть неуклюжести в данном модуле связана с коэффициентом разности мощностей, где нам нужно было записать три разных примера

= x2 и = 1 и =.

Как только нулевой индекс и отрицательные индексы введены в алгебру, все это можно заменить единым законом

= xm — n, где m и n — целые числа.

Квадратные корни и кубические корни также могут быть представлены с использованием дробных индексов — например, записывается как 5 и записывается как 5 — и все же пять законов индекса все еще остаются в силе, даже когда индекс представляет собой любое рациональное число. В модуле «Индексы и логарифмы» вводятся отрицательные и дробные индексы. Позже в исчислении индексом может быть любое действительное число.

ОТВЕТЫ НА УПРАЖНЕНИЯ

УПРАЖНЕНИЕ 1

Наименьший общий знаменатель — 60. Группирование чисел в пары перед их сложением уменьшает размер числителя.

УПРАЖНЕНИЕ 2

Мы можем игнорировать все отрицательные продукты. Поскольку (−0,8) × 0,9 × (−1,0) × 1,1 меньше 1, первые

произведение больше 1 равно (−0,8) × 0,9 × (−1,0) × 1,1 × (−1,2) × 1,3 × (−1,4).

УПРАЖНЕНИЕ 3

Один из подходов состоит в том, чтобы заметить, что при добавлении 31 числа первые 21 число отменяются. Остальные 10 номеров можно добавить, сгруппировав их попарно:

1 + 0,9 + 0.8 +… + (-2) = -1,1 — 1,2 — 1,3 -… −2.
= (-1,1 — 2) + (- 1,2 — 1,9) + (- 1,3 — 1,8) + (- 1,4 — 1,7) + (- 1,5 — 1,6)
= −3,1 × 5
= -15,5.

Следовательно, среднее значение = = = -0,5.

Лучше понять, что -0,5 является средним числом, а остальные 30 чисел попадают в пары, расположенные с равным интервалом один слева и один справа от −0.5. Следовательно, среднее значение равно −0,5.

Проект «Улучшение математического образования в школах» (TIMES) на 2009–2011 годы финансировался Министерством образования, занятости и трудовых отношений правительства Австралии.

Мнения, выраженные здесь, принадлежат автору и не обязательно отражают точку зрения Департамента образования, занятости и трудовых отношений австралийского правительства.

© Мельбурнский университет от имени Международного центра передового опыта в области образования в области математики (ICE-EM), образовательного подразделения Австралийского института математических наук (AMSI), 2010 г. (если не указано иное).Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License.
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/

Уравнения с дробями — Полный курс алгебры

24

Очистка фракций

2-й уровень

Чтобы решить уравнение с дробями, мы преобразуем его в уравнение без дробей, которое мы умеем решать.Методика называется очисткой от фракций.

Пример 1. Решите относительно x :

x
3
+ x -2
5
= 6.

Решение . Очистить следующие дроби:

Умножьте обе части уравнения — каждый член — на НОК знаменателей.Тогда каждый знаменатель разделит на кратное. Тогда у нас будет уравнение без дробей.

НОК 3 и 5 равно 15. Следовательно, умножьте обе части уравнения на 15.

15 · x
3
+ 15 · x -2
5
= 15 · 6

Слева распределите по 15 на каждый член.Теперь каждый знаменатель разделится на 15 — вот в чем суть — и мы получим следующее простое уравнение, «очищенное» от дробей:

5 x + 3 ( x -2) = 90.
Легко решается следующим образом:
5 x + 3 x — 6 = 90
8 x = 90 + 6
x = 96
8
= 12.

Мы говорим «умножить» обе части уравнения, но мы пользуемся преимуществом того факта, что порядок, в котором мы умножаем или делим, не имеет значения. (Урок 1.) Поэтому мы сначала разделим НОК на каждый знаменатель, и таким образом очистим дроби.

Мы выбираем кратных каждого знаменателя, потому что каждый знаменатель будет тогда его делителем.

Пример 2. Очистите дроби и решите относительно x :

.

x
2
5 x
6
= 1
9

Решение .НОК 2, 6 и 9 равно 18. (Урок 23 по арифметике). Умножьте обе части на 18 — и отмените.

9 x -15 x = 2.

На самом деле нет необходимости писать 18. Ученик должен просто взглянуть на и увидеть, что 2 перейдет в 18 девять (9) раз. Таким образом, этот член становится 9 x .

Затем посмотрите и увидите, что 6 переходит в 18 три раза по (3).Таким образом, этот член становится 3 · −5 x = −15 x .

Наконец, посмотрите и увидите, что 9 превратится в 18 два раза по (2). Таким образом, этот член становится 2 · 1 = 2.

Вот очищенное уравнение и его решение:

9 x -15 x = 2
−6 x = 2
x = 2
−6
x = 1
3

Пример 3.Решить относительно x :

½ (5 x — 2) = 2 x + 4.

Решение . Это уравнение с дробью. Удаление дробей путем умножения обеих сторон на 2:

5 x -2 = 4 х + 8
5 x — 4 x = 8 + 2
x = 10.

В следующих задачах очистить дроби и решить для x :

Чтобы увидеть каждый ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

Задача 1. x
2
x
5
= 3
LCM — это
10.Вот очищенное уравнение и его решение:
5 х 2 x = 30
3 х = 30
х = 10.

При решении любого уравнения с дробями в следующей строке вы пишете —

5 x -2 x = 30

— должно иметь без дробей.

Задача 2. x
6
= 1
12
+ x
8
LCM — это
24.Вот очищенное уравнение и его решение:
4 х = 2 + 3 х
4 x — 3 x = 2
х = 2
Задача 3. x -2
5
+ x
3
= x
2
LCM — это
30. Вот очищенное уравнение и его решение:
6 (x -2) + 10 x = 15 х
6 x — 12 + 10 x = 15 х
16 x -15 x = 12
х = 12.

Задача 4. Дробь равна дроби.

x — 1
4
= x
7
LCM — это
28. Вот очищенное уравнение и его решение:
7 ( x — 1) = 4 х
7 x — 7 = 4 х
7 x -4 x = 7
3 х = 7
х = 7
3

Мы видим, что когда единственная дробь равна единственной дроби, тогда уравнение может быть очищено «перекрестным умножением».«

Если
a
b
= c
d
,
, затем
ad = г. до н. Э. .
Задача 5. x — 3
3
= x -5
2
Вот очищенное уравнение и его решение:
2 ( x — 3) = 3 ( x -5)
2 x — 6 = 3 x -15
2 x -3 x = — 15 + 6
х = −9
х = 9
Задача 6. x — 3
x — 1
= x + 1
x + 2
Вот очищенное уравнение и его решение:
( x — 3) ( x + 2) = ( x — 1) ( x + 1)
x ² — x — 6 = x ² — 1
х = −1 + 6
х = 5
х = −5.
Задача 7. 2 x -3
9
+ x + 1
2
= x -4
LCM — это
18. Вот очищенное уравнение и его решение:
4 x -6 + 9 x + 9 = 18 x — 72
13 х + 3 = 18 x — 72
13 x -18 x = — 72 — 3
−5 х = −75
х = 15.
Задача 8. 2
x
3
8 x
= 1
4
LCM — это
8 х . Вот очищенное уравнение и его решение:
16–3 = 2 х
2 х = 13
х = 13
2

2-й уровень

Следующий урок: Задачи со словами

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Дробные экспоненты — объяснения и примеры

Показатели — это степени или индексы. Экспоненциальное выражение состоит из двух частей: основания, обозначаемого как b, и показателя степени, обозначаемого как n. Общая форма экспоненциального выражения: b n .Например, 3 x 3 x 3 x 3 можно записать в экспоненциальной форме как 3 4 , где 3 — основание, а 4 — показатель степени. Они широко используются в алгебраических задачах, и по этой причине важно изучить их, чтобы облегчить изучение алгебры.

Правила решения дробных показателей становятся сложной задачей для многих студентов. Они будут тратить свое драгоценное время, пытаясь понять дробные показатели, но это, конечно, огромная путаница в их умах. Не волнуйся.В этой статье разобраны, что вам нужно делать, чтобы понять и решить проблемы, связанные с дробными показателями

Первый шаг к пониманию того, как решать дробные показатели, — это краткое описание того, что именно они есть и как обращаться с показателями, когда они объединяются либо делением, либо умножением.

Что такое дробная экспонента?

Дробная экспонента — это метод выражения степеней и корней вместе. Общая форма дробного показателя:

b n / m = ( m b ) n = m (b n ), let us определите некоторые термины этого выражения.

Подкоренное выражение находится под знаком корня √. В данном случае подкоренное выражение — b n

  • Порядок / индекс радикала

Индекс или порядок радикала — это число, обозначающее извлекаемый корень. В выражении: b n / m = ( m b ) n = m (b n ) порядком или индексом радикала является число м.

Это число, корень которого вычисляется. База обозначается буквой b.

Степень определяет, сколько раз значение корня умножается само на себя, чтобы получить основание. Обычно обозначается буквой n.

Как найти дробные экспоненты?

Давайте узнаем, как решить дробные показатели с помощью приведенных ниже примеров.

Примеры

= (3 2 ) 1/2

= 3

= 2.828

4 3/2 = 4 3 × (1/2)

= √ (4 3 ) = √ (4 × 4 × 4)

= √ (64) = 8

Альтернативно;

4 3/2 = 4 (1/2) × 3

= (√4) 3 = (2) 3 =

27 4/3 = 27 4 × (1/3)

= ∛ (27 4 ) = 3 (531441) = 81

Альтернативно;

27 4/3 = 27 (1/3) × 4

= ∛ (27) 4 = (3) 4 = 81

  • Упростить: 125 1/3
    125 1/3 = ∛125
    = [(5) 3 ] 1/3
    = (5) 1
    = 5
  • Вычислить: (8/27) 4/3
    (8/27) 4/3
    8 = 2 3 и 27 = 3 3
    Итак, (8/27) 4/3 = (2 3 /3 3 ) 4/3
    = [(2/3) 3 ] 4/3
    = (2/3) 4
    = 2/3 × 2/3 × 2/3 × 2/3
    = 16/81

Как умножить дробные экспоненты с одинаковым основанием

Умножение членов с одинаковым основанием и дробными показателями равносильно сложению показателей.Например:

x 1/3 × x 1/3 × x 1/3 = x (1/3 + 1/3 + 1/3)

= x 1 = x

Поскольку x 1/3 подразумевает «кубический корень из x », он показывает, что если x умножить 3 раза, произведение будет x.

Рассмотрим другой случай, когда;

x 1/3 × x 1/3 = x (1/3 + 1/3)

= x 2/3 , это можно выразить as ∛x 2

Пример 2

Тренировка: 8 1/3 x 8 1/3

Решение 96261

x 8 1/3 = 8 1/3 + 1/3 = 8 2/3

= ∛8 2

И поскольку кубический корень из 8 можно легко найти,

Следовательно , ∛8 2 = 2 2 = 4

Также можно встретить умножение дробных показателей, имеющих разные числа в знаменателях, в этом случае показатели складываются так же, как и дроби.

Пример 3

x 1/4 × 1/2 = x (1/4 + 1/2)

= x (1 / 4 + 2/4)

= x 3/4

Как разделить дробные экспоненты

При делении дробной степени с тем же основанием мы вычитаем показатели степени. Например:

x 1/2 ÷ x 1/2 = x (1/2 — 1/2)

= x 0 = 1

Это означает, что любое число деление на себя эквивалентно единице, и это имеет смысл с правилом нулевой экспоненты, согласно которому любое число, возведенное в степень 0, равно единице.

Пример 4

16 1/2 ÷ 16 1/4 = 16 (1/2 — 1/4)

= 16 (2 / 4 — 1/4)

= 16 1/4

= 2

Вы можете заметить, что 16 1/2 = 4 и 16 1/4 = 2.

Отрицательное дробное число показатели степени

Если n / m — положительное дробное число и x> 0;
Тогда x -n / m = 1 / x n / m = (1 / x) n / m , и это означает, что x -n / m является обратной величиной x n / м .

В целом; если основание x = a / b,

Тогда (a / b) -n / m = (b / a) n / m .

Пример 5

Рассчитать: 9 -1/2

Решение
9 -1/2
= 1/9 4 1/2 (1/9) 1/2
= [(1/3) 2 ] 1/2
= (1/3) 1
= 1/3

Пример 6

Решить: (27/125) -4/3

Решение
(27/125) -4/3
= (125/27) 4/3
= (5 3 /3 3 ) 4/3
= [(5/3) 3 ] 4/3
= (5/3) 4
= (5 × 5 × 5 × 5) / (3 × 3 × 3 × 3)
= 625/81

Практические вопросы

  1. Оценить 8 2/3
  2. Составьте выражение (8a 2 б 4 ) 1/3
  3. Решить: a 3/4 a 4/5
  4. [(4 -3/2 x 2/3 y -7/4 ) / (2 3/2 x — 1/3 y 3/4 )] 2/3
  5. Вычислить: 5 1/2 5 3/2
  6. Вычислить: (1000 1/3 ) / (400 — 1/2 )

Ответы

  1. 4.
  2. 2a 2/3 b 4/3 .
  3. а 31/20 .
  4. x 2/3 / 8y 5/3
  5. 25.
  6. 200.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Сокращение простых и сложных дробей с помощью пошагового решения математических задач

ИЗДЕЛИЙ ФРАКЦИЙ

Произведение двух дробей определяется следующим образом.

Произведение двух дробей — это дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель — произведением знаменателей данных дробей.

в символах,

Любой общий множитель, встречающийся как в числителе, так и в знаменателе любой дроби, может быть разделен до или после умножения.

Пример 1 Найдите произведение

Решение

Те же процедуры применяются к дробям, содержащим переменные.

Пример 2 Найдите произведение

Решение Сначала мы разделим числитель и знаменатель на общие множители, чтобы получить

.

Теперь, умножая оставшиеся множители числителей и знаменателей, получаем

.

Если к какому-либо из факторов добавлен отрицательный знак, рекомендуется действовать так, как если бы все факторы были положительными, а затем прикрепить соответствующий знак к результату.Положительный знак прилагается, если на факторах нет отрицательных знаков или четного количества отрицательных знаков; отрицательный знак ставится, если у факторов нечетное количество отрицательных знаков.

Пример 3

Когда дроби содержат алгебраические выражения, необходимо по возможности разложить множители и разделить общие множители перед умножением.

Пример 4 Найдите произведение.

Решение Во-первых, мы должны разложить числители и знаменатели на множители, чтобы получить

.

Теперь, разделив общие множители, получим

.

Теперь умножим оставшиеся множители числителей и знаменателей, чтобы получить

Обратите внимание, что при написании дробных ответов мы умножаем числитель и оставляем знаменатель в факторизованном виде.Очень часто в таком виде более полезны дроби.

В алгебре мы часто переписываем выражение, например, как эквивалентное выражение. Используйте ту форму, которая наиболее удобна для конкретной задачи.

Пример 5

Распространенные ошибки: помните, что мы можем разделять только общие факторы, а не общие термины! Например,

, потому что x — это термин, который нельзя разделить. Аналогично

, потому что 3 не является множителем всего числителя 3y + 2.

ЧИСЛЕННОСТЬ ФРАКЦИЙ

При делении одной дроби на другую мы ищем число, умножение которого на делитель дает делимое. Это в точности то же самое понятие, что и деление одного целого числа на другое; a ÷ b — это число q, частное, такое, что bq = a.

Чтобы найти, ищем такое число q, что. Чтобы решить это уравнение относительно q, мы умножаем каждый член уравнения на. Таким образом,

В приведенном выше примере мы называем номер обратной величиной числа.В общем, дробь является обратной величиной. То есть, мы получаем обратную дробь, «инвертируя» дробь. В целом

Частное двух дробей равно произведению дивиденда на обратную величину делителя.

То есть, чтобы разделить одну дробь на другую, мы инвертируем делитель и умножаем. В символах,

Пример 1

Как и при умножении, когда дроби в частном имеют знаки, рекомендуется продолжить решение проблемы, как если бы все факторы были положительными, а затем прикрепить соответствующий знак к решению.

Пример 2

Некоторые частные встречаются так часто, что полезно распознать эквивалентные формы напрямую. Один футляр

В целом

Пример 3

Когда дроби в частном включают алгебраические выражения, необходимо по возможности разложить на множители и разделить общие множители перед умножением.

Пример 4

СУММЫ И РАЗЛИЧИЯ ДОБРОВ С ПОДОБНЫМИ ДЕНОМИНАТОРАМИ

Сумма двух или более арифметических или алгебраических дробей определяется следующим образом:
Сумма двух или более дробей с общими знаменателями — это дробь с одинаковым знаменателем и числителем, равная сумме числителей исходных дробей.

В целом

Пример 1

Когда используется вычитание, перед сложением полезно перейти к стандартной форме.

Пример 2

Мы должны быть особенно осторожны с биномиальными числителями. Например, мы должны переписать

, где весь числитель заключен в круглые скобки.

СУММ ДОРОЖЕК С НЕПОДХОДЯЩИМИ ЗНАМЕНИТОРАМИ

В разделе 6.3 мы добавили дроби с одинаковыми знаменателями. В этом разделе мы добавим дроби с разными знаменателями.

НАИМЕНЕЕ ОБЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ

В общем, наименьшее натуральное число, кратное каждому знаменателю набора дробей, называется наименьшим общим знаменателем (ЖКД) набора дробей. Иногда мы можем получить ЖК-дисплей путем осмотра. Если ЖК-дисплей не виден сразу, мы можем использовать специальную процедуру, чтобы найти его.

Чтобы найти ЖК-дисплей:

  1. Полностью разложите каждый знаменатель на множители, по возможности выровняв общие множители.
  2. Включите в ЖК-дисплей каждый из этих факторов, максимальное количество раз, которое он встречается в любом единственном знаменателе.

Пример 1 Найдите наименьший общий знаменатель дробей

Решение Наименьший общий знаменатель для содержит среди своих факторов множители 12, 10 и 6.

Таким образом, на ЖК-дисплее 60. (Это наименьшее натуральное число, которое делится на 12, 10 и 6.)

ЖК-дисплей набора алгебраических дробей — это простейшее алгебраическое выражение, кратное каждому знаменателю в наборе.Таким образом, ЖКД дробей

, потому что это простейшее выражение, кратное каждому знаменателю.

Пример 2 Найдите ЖКИ дробей

Решение Следуя методике из Примера 1, получаем

Таким образом, ЖК-дисплей равен x 2 (x + l) (x — 1).

Мы можем складывать дроби с разными знаменателями, сначала преобразовывая дроби в эквивалентные дроби с одинаковыми знаменателями, а затем складывая.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями:

  1. Найдите ЖК-дисплей набора дробей.
  2. Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь, используя ЖК-дисплей в качестве знаменателя.
  3. Сложите дроби, используя свойство

Пример 3 Запишите суммы и как отдельные члены.

Решение В каждом случае на ЖК-дисплее отображается 10. Мы строим каждую дробь до дроби со знаменателем 10. Таким образом,

эквивалентно

, откуда получаем

Иногда знаменатели дробей являются двучленами.

Пример 4 Запишите сумму в виде одного члена.

Решение На ЖК-дисплее (x + 2) (x — 1). Строим каждую дробь до дроби со знаменателем (x + 2) (x — 1), вставляя круглые скобки по мере необходимости, и получаем

Теперь, когда у нас есть одинаковые знаменатели, мы можем сложить числители, упростить и получить

Пример 5 Запишите сумму в виде одного члена.

Решение Сначала мы разложим знаменатели на множители, чтобы получить ЖК-дисплей.

Теперь построим каждую дробь до дробей с этим знаменателем и получим

Теперь мы можем сложить числители, упростить и получить

Распространенные ошибки Обратите внимание, что мы можем складывать только дроби с одинаковыми знаменателями.Таким образом,

Кроме того, мы добавляем только числители дробей с одинаковыми знаменателями. Таким образом,

РАЗЛИЧИЯ ФРАКЦИЙ С НЕДОСТАТОЧНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

Мы вычитаем дроби с разными знаменателями аналогично сложению дробей. Однако сначала запишем каждую дробь в стандартном виде. Таким образом, любая дробь в виде

сначала записывается как

Теперь мы можем складывать дроби.

Пример 1 Запишите разницу в виде одного члена.

Решение Начнем с записи в стандартной форме как. ЖК-дисплей 12x. Мы строим каждую дробь до эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь, сложив числители, получаем

Опять же, следует проявлять особую осторожность с биномиальными числителями.

Пример 2 Запишите разницу в виде одного члена.

Решение сначала следует записать как

, где весь числитель заключен в круглые скобки.Затем мы получаем ЖК-дисплей 6 и строим каждую дробь до дробей со знаминателем 6, складываем числители и упрощаем.

В следующих примерах используются биномиальные знаменатели.

Пример 3 Запишите разницу в виде одного члена.

Решение Начнем с записи в стандартной форме как. ЖК-дисплей равен (x — l) (x + 2), и мы строим каждую дробь до эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь добавляем числители и упрощаем результаты

Пример 4 Запишите разницу

как единый термин

Решение Мы сначала разложим знаменатели на множители и запишем дроби в стандартной форме, чтобы получить

.

Мы находим ЖК-дисплей (x + 7) (x — 3) (x + 3) и строим каждую дробь до эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь добавляем числители и упрощаем yield

КОМПЛЕКСНЫЕ ФРАКЦИИ

Дробь, содержащая одну или несколько дробей либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих, называется комплексной дробью.Например,

— сложные дроби. Как и простые дроби, сложные дроби представляют собой частные. Например,

В случаях, подобных уравнению (1), в котором числитель и знаменатель комплексной дроби не содержат сумм или разностей, мы можем просто инвертировать делитель и умножить. То есть

В случаях, подобных уравнению (2), в котором числитель или знаменатель комплексной дроби содержит суммы или разности, мы не можем просто инвертировать делитель и умножить.Однако мы можем использовать фундаментальный принцип дробей для упрощения сложных дробей. Фактически, мы также можем использовать фундаментальный принцип для упрощения сложных дробей приведенной выше формы (1).

Пример 1 Упростите, используя фундаментальный принцип дробей.

Решение Умножаем числитель и знаменатель на ЖК-дисплей всех дробей в числителе и знаменателе; в этом случае на ЖК-дисплее отображается 4. Результат — простая дробь, эквивалентная данной сложной дроби.

В следующем примере показано упрощение уравнения (2) на стр. 255.

Пример 2 Упростить

Решение Умножаем числитель и знаменатель на ЖК-дисплей всех дробей в числителе и знаменателе; в данном случае LCD 6. Получаем

ДРОБНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Чтобы решить уравнение, содержащее дроби, обычно проще всего сначала найти эквивалентное уравнение, не содержащее дробей. Мы делаем это, умножая каждый член уравнения на наименьший общий знаменатель дробей.

Хотя мы можем применять изученные нами алгебраические свойства в любом порядке, следующие шаги показывают порядок, наиболее полезный при решении уравнения, когда решение неочевидно. Конечно, не всегда все шаги необходимы.

Чтобы решить уравнение:

  1. Очистите дроби, «если они есть, умножив каждый член уравнения на ЖК-дисплей.
  2. Запишите любое выражение, содержащее круглые скобки, как выражение без скобок.
  3. Объедините любые одинаковые термины в любом элементе.
  4. Получить все термины, содержащие переменную в одном члене, и все термины, не содержащие переменную в другом члене.
  5. Разделите каждый член на коэффициент переменной, если он отличается от 1.
  6. Проверьте ответ, был ли каждый член уравнения умножен на выражение, содержащее переменную.

Пример 1 Решить.

Решение Мы умножаем каждый член на ЖК-дисплей 15, чтобы получить эквивалентное уравнение, не содержащее дроби.

Свойство умножения равенства (раздел 3.4) позволяет нам умножить каждый член уравнения на ненулевое значение, чтобы получить эквивалентное уравнение. Таким образом, для решения уравнения

, мы умножим каждый член на ЖКД 4 (x — 5). Отметим, что x не может равняться 5, поскольку 4 (x — 5) равно 0, если x = 5. Полное решение показано в следующем примере.

Пример 2 Решить.

Решение Мы умножаем каждый член на ЖКД 4 (x — 5), чтобы получить

Применяя распределительное свойство, получаем

Решение относительно x дает

-21x = -189; х = 9

Обратите внимание, что 4 (x — 5) не равно нулю для a = 9.Таким образом, a = 9 является допустимым решением уравнения.

Когда уравнения содержат более одной переменной, иногда желательно решить одну переменную в терминах другой переменной (переменных).

Пример 3 Решите относительно a через a, b и c.

Решение Мы умножаем каждый член на LDC 3xc, чтобы получить

Теперь, разделив каждый член на 2x, мы получим

ПРИЛОЖЕНИЯ

Проблемы со словами в следующих упражнениях приводят к уравнениям с дробями.В это время вы можете просмотреть шаги, предлагаемые для решения задач со словами, и шаги, предлагаемые на странице 260, для решения уравнений, содержащих дроби.

Пример 1 Если к числу прибавить определенное число, то получится 11. Найдите число.

Решение

Шаги 1-2 Сначала мы записываем то, что мы хотим найти (число), в виде словосочетания. Затем мы представляем число в виде переменной.
Число: х

Шаг 3 Эскиз не применим.

Шаг 4 Теперь мы можем написать уравнение. Помните, что «of» означает умножение.

Шаг 5 Решение уравнения дает

Шаг 6 Число 12.

Уравнения для задач, связанных с движением, иногда включают дроби. Основная идея задач движения состоит в том, что пройденное расстояние d равно произведению скорости движения r и времени путешествия t. Таким образом, d = rt. Мы можем решить эту формулу относительно r или t, чтобы получить:

Таблица, подобная показанной в следующем примере, полезна при решении проблем с движением.

Пример 2 Экспресс проходит 180 миль за то же время, что и грузовой поезд — 120 миль. Если экспресс идет на 20 миль в час быстрее, чем груз, найдите скорость каждого из них.

Шаги решения 1-2. Мы представляем две неизвестные величины, которые мы хотим найти, в виде словосочетаний. Затем мы представляем словосочетания в терминах одной переменной.

Скорость грузового поезда: r

Скорость экспресса: r + 20

Шаг 3 Затем мы составляем таблицу, в которой указаны расстояния, скорости и время.

Шаг 4 Поскольку времена обоих поездов одинаковы, мы можем приравнять выражения для времени, чтобы получить

Шаг 5 Теперь мы можем решить для r, сначала умножив каждый член на ЖК-дисплей r (r + 120), и мы получим

Шаг 6 Скорость грузового поезда составляет 40 миль в час, а скорость экспресса — 40 + 20, или 60 миль в час.

СООТНОШЕНИЕ И ПРОПОРЦИЯ

Частное двух чисел a ÷ b или иногда называют отношением и читают как «отношение a к b».»Это удобный способ сравнить два числа.

Пример 1 Выразите в виде отношения.

а. От 3 до 5 дюймов
b. От 8 до 12 метров
c. С 6 по 10

Решения

Утверждение, что два отношения равны, например

называется пропорцией и читается как «2 равно 3, как 4 равно 6» и «a соответствует b, как c соответствует d». Числа a, b, c и d называются первым, вторым, третьим и четвертым членами пропорции соответственно. Первый и четвертый члены называются крайними точками пропорции, а второй и третий члены называются средними значениями пропорции.

Пример 2 Выразите как пропорцию.

Если каждое соотношение в пропорции

умножаем на bd, получаем

Таким образом,

В любой пропорции произведение крайностей равно произведению средних.

Доля — это особый тип дробного уравнения. Приведенное выше правило получения эквивалентного уравнения без знаменателей является частным случаем нашего общего подхода.

Пример 3 Решите пропорцию.

Решение Применяя свойство (1) выше, мы получаем

КОНВЕРСИИ

Мы можем использовать пропорции для преобразования английских единиц измерения в метрические единицы и наоборот. Следующие ниже базовые отношения будут полезны при настройке соответствующих пропорций для конверсий.

1 метр (м) = 39,37 дюйма (дюйм)

1 килограмм (кг) = 2,2 фунта (фунта)

1 километр (км) = 0,62 мили (миль)

1 литр (1) = 1,06 кварты (кварты)

1 фунт (фунт) = 454 грамма (г)

1 дюйм (дюйм.) = 2,54 см (см)

При преобразовании единиц проще всего выполнить шесть описанных шагов.

Пример 4 Измените 8 дюймов на сантиметры.

Решение

Шаги 1-2 Представьте, что нужно найти (в сантиметрах), в словосочетании и в терминах переменной.
Сантиметра: x

Шаг 3 Составьте таблицу, показывающую основные отношения между дюймами и сантиметрами.

Шаг 4 Используя таблицу из шага 3, запишите соотношение дюймов к сантиметрам.

Шаг 5 Решите относительно x, приравняв произведение средних к произведению крайних значений.

8 (2,54) = 1 · x
20,32 = x

Шаг 6 Восемь дюймов равны 20,32 сантиметра.

РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ

  1. Следующие свойства используются для перезаписи произведений и частных дробей.

  2. Наименьшее натуральное число, кратное каждому знаменателю набора дробей, называется наименьшим общим знаменателем (ЖКД) дробей.Следующие свойства используются для перезаписи сумм и разностей дробей.

  3. Дробь, содержащая одну или несколько дробей либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих, называется комплексной дробью . Мы можем упростить сложную дробь, умножив числитель и знаменатель на ЖК-дисплей всех дробей в числителе и знаменателе.

  4. Мы можем решить уравнение, содержащее дроби, получив эквивалентное уравнение, в котором решение очевидно при осмотре.Как правило, лучше всего получить эквивалентное уравнение, не содержащее дробей, путем умножения каждого члена уравнения на ЖКД дробей.

  5. Частное двух чисел называется отношением ; утверждение, что два соотношения равны, называется соотношением . В пропорции

    a и d называются крайностями пропорции, а b и c называются средними . В любой пропорции этой формы

    ad = bc

Алгебра — рациональные выражения

Показать общее уведомление

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Это немного заранее, но я хотел сообщить всем, что мои серверы будут проходить техническое обслуживание 17 и 18 мая с 8:00 AM CST до 14:00 PM CST.Будем надеяться, что единственное неудобство будет заключаться в периодическом «потерянном / разорванном» соединении, которое следует исправить, просто перезагрузив страницу. В остальном обслуживание (скрестив пальцы) должно быть «невидимым» для всех.

Пол
6 мая 2021 г.

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-6: Рациональные выражения

Теперь нам нужно взглянуть на рациональные выражения. Рациональное выражение — это не что иное, как дробь, в которой числитель и / или знаменатель являются полиномами.2} + 6x — 10 \). Однако важно отметить, что полиномы можно рассматривать как рациональные выражения, если нам это нужно, хотя это случается редко.

Существует негласное правило, когда мы имеем дело с рациональными выражениями, и теперь нам нужно обратиться к нему. Имея дело с числами, мы знаем, что деление на ноль недопустимо. То же самое и с рациональными выражениями. Итак, имея дело с рациональными выражениями, мы всегда будем предполагать, что каким бы ни было \ (x \), оно не дает деления на ноль.Мы редко записываем эти ограничения, но всегда должны помнить о них.

Для первого из перечисленных нам нужно избегать \ (x = 1 \). Второе рациональное выражение никогда не равно нулю в знаменателе, поэтому нам не нужно беспокоиться о каких-либо ограничениях. Также обратите внимание, что числитель второго рационального выражения будет равен нулю. Ничего страшного, нам просто нужно избегать деления на ноль. Для третьего рационального выражения нам нужно будет избегать \ (m = 3 \) и \ (m = — 2 \).Последнее рациональное выражение, указанное выше, никогда не будет равно нулю в знаменателе, поэтому мы снова не нуждаемся в каких-либо ограничениях.

Первая тема, которую нам нужно обсудить здесь, — это сокращение рационального выражения до наименьших терминов. Рациональное выражение было бы сокращено до наименьших членов , если бы все общие множители числителя и знаменателя были исключены. Мы уже знаем, как это сделать с числовыми дробями, поэтому давайте быстро рассмотрим пример.

\ [{\ mbox {не сводится к младшим членам}} \ Rightarrow {\ mbox {}} \ frac {{12}} {8} = \ frac {{\ require {cancel} \ cancel {{\ left (4 \ right)}} \ left (3 \ right)}} {{\ require {cancel} \ cancel {{\ left (4 \ right)}} \ left (2 \ right)}} = \ frac {3} {2 } \, {\ mbox {}} \ Leftarrow {\ mbox {сокращено до наименьших значений}} \]

С рациональным выражением все работает точно так же.

\ [{\ mbox {не сводится к младшим членам}} \ Rightarrow {\ mbox {}} \ frac {{\ require {cancel} \ cancel {{\ left ({x + 3} \ right)}} \ left ( {x — 1} \ right)}} {{x \ require {cancel} \ cancel {{\ left ({x + 3} \ right)}}}} = \ frac {{x — 1}} {x} \, {\ mbox {}} \ Leftarrow {\ mbox {сокращено до наименьшего числа}} \]

Однако мы должны быть осторожны с отменой. Студенты часто совершают несколько типичных ошибок, решая эти задачи. Напомним, что для отмены множителя необходимо умножить весь числитель и весь знаменатель.Таким образом, приведенное выше x + 3 может быть отменено, поскольку оно умножает весь числитель и весь знаменатель. Однако \ (x \) в сокращенной форме не могут быть отменены, так как \ (x \) в числителе не умножается на весь числитель.

Чтобы понять, почему \ (x \) не отменяется в приведенной выше сокращенной форме, введите число и посмотрите, что произойдет. Подключим \ (x = 4 \).

\ [\ frac {{4 — 1}} {4} = \ frac {3} {4} \ hspace {0,5 дюйма} \ frac {{\ require {cancel} \ cancel {4} — 1}} {{\ require {cancel} \ cancel {4}}} = — 1 \]

Очевидно, это не одно и то же число!

Так что будьте осторожны с отменой.8}}} \)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

При сокращении рационального выражения до наименьших членов первое, что мы сделаем, — это как можно больше множим числитель и знаменатель. Это всегда должно быть первым шагом к решению этих проблем.

Кроме того, факторинг в этом разделе и во всех последующих разделах будет выполняться без объяснения причин. Предполагается, что вы способны самостоятельно проводить и / или проверять факторинг.2}}} = \ frac {{\ left ({x — 5} \ right) \ left ({x + 5} \ right)}} {{x \ left ({5 — x} \ right)}} \ ]

На первый взгляд кажется, что нет ничего, что могло бы отменить. Обратите внимание, однако, что в знаменателе есть член, который почти такой же, как член в числителе, за исключением того, что все знаки противоположны.

Мы можем использовать следующий факт относительно второго члена в знаменателе.

\ [a — b = — \ left ({b — a} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OR}} \ hspace {0.25in} \, \, \, \, — a + b = — \ left ({a — b} \ right) \]

Обычно это называется с учетом знака минус , потому что это именно то, что мы сделали. Здесь есть две формы, охватывающие обе возможности, с которыми мы можем столкнуться. Однако в нашем случае нам нужна первая форма.

Из-за некоторых проблем с обозначениями давайте немного поработаем со знаменателем.

\ [\ begin {align *} x \ left ({5 — x} \ right) & = x \ left [{- \ left ({x — 5} \ right)} \ right] \\ & = x \ left [{\ left ({- 1} \ right) \ left ({x — 5} \ right)} \ right] \\ & = x \ left ({- 1} \ right) \ left ({x — 5} \ right) \\ & = \ left ({- 1} \ right) \ left (x \ right) \ left ({x — 5} \ right) \\ & = — x \ left ({x — 5} \ вправо) \ end {align *} \]

Обратите внимание на шаги, использованные здесь.На первом этапе мы исключили знак минус, но мы все еще умножаем члены, поэтому мы заключили дополнительный набор скобок, чтобы убедиться, что мы не забыли об этом. На втором этапе мы признали, что знак минус впереди — это то же самое, что умножение на «-1». Как только мы это сделали, нам больше не понадобился дополнительный набор скобок, поэтому мы отказались от них на третьем шаге. Затем мы вспомнили, что при необходимости меняем порядок умножения, поэтому мы перевернули \ (x \) и «-1».6}}} \]

Прежде чем двигаться дальше, давайте кратко обсудим ответ во второй части этого примера. Обратите внимание, что мы переместили знак минус из знаменателя в начало рационального выражения в окончательной форме. Это всегда можно сделать, когда нам нужно. Напомним, что все следующие варианты эквивалентны.

\ [- \ frac {a} {b} = \ frac {{- a}} {b} = \ frac {a} {{- b}} \]

Другими словами, знак минус перед рациональным выражением можно перенести на весь числитель или весь знаменатель, если это удобно.Однако мы должны быть осторожны с этим. Рассмотрим следующее рациональное выражение.

\ [\ frac {{- x + 3}} {{x + 1}} \]

В этом случае знак «-» на \ (x \) нельзя переместить в начало рационального выражения, так как он находится только на \ (x \). Чтобы переместить знак минус в начало рационального выражения, его нужно умножить на весь числитель или знаменатель. Итак, если мы вычленим минус из числителя, мы могли бы затем переместить его в начало рационального выражения следующим образом:

\ [\ frac {{- x + 3}} {{x + 1}} = \ frac {{- \ left ({x — 3} \ right)}} {{x + 1}} = — \ frac { {х — 3}} {{х + 1}} \]

Мораль здесь заключается в том, что мы должны быть осторожны с перемещением знаков минус в рациональных выражениях.

Теперь нам нужно перейти к сложению, вычитанию, умножению и делению рациональных выражений.

Начнем с умножения и деления рациональных выражений. Общие формулы следующие:

\ [\ frac {a} {b} \ cdot \ frac {c} {d} = \ frac {{ac}} {{bd}} \]

\ [\ frac {{\, \, \ frac {a} {b} \, \,}} {{\ frac {c} {d}}} = \ frac {a} {b} \ div \ frac { c} {d} = \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {d} {c} \]

Обратите внимание на две разные формы обозначения деления.Мы будем использовать любой из них по мере необходимости, поэтому убедитесь, что вы знакомы с обоими. Также обратите внимание, что для деления рациональных выражений все, что нам нужно сделать, это умножить числитель на величину, обратную знаменателю (, т.е. дробь с переключением числителя и знаменателя).

Прежде чем приступить к рассмотрению пары примеров, мы должны рассмотреть несколько особых случаев деления на . В приведенном выше общем случае числитель и знаменатель рационального выражения являются дробями, однако, что, если одно из них не является дробью.Итак, давайте рассмотрим следующие случаи.

\ [\ frac {a} {{\, \, \ frac {c} {d} \, \,}} \ hspace {0,5 дюйма} \ frac {{\, \, \ frac {a} {b} \ , \,}} {c} \]

Вначале учащиеся часто делают ошибки с ними. Чтобы правильно с ними справиться, мы превратим числитель (первый случай) или знаменатель (второй случай) в дробь, а затем произведем общее деление на них.

\ [\ begin {align *} \ frac {a} {{\, \, \ frac {c} {d} \, \,}} = \ frac {{\, \, \ frac {a} {1} \, \,}} {{\ frac {c} {d}}} & = \ frac {a} {1} \ cdot \ frac {d} {c} = \ frac {{ad}} {c} \ \ & \\ \ frac {{\, \, \ frac {a} {b} \, \,}} {c} = \ frac {{\, \, \ frac {a} {b} \, \, }} {{\ frac {c} {1}}} = \ frac {a} {b} \ cdot \ frac {1} {c} & = \ frac {a} {{bc}} \ end {align * } \]

Будьте осторожны с этими случаями. 2} + 5m + 6}} \ div \ frac {{3 — m}} {{m + 2}} = \ frac { {\ left ({m — 3} \ right)}} {1} \ cdot \ frac {1} {{- \ left ({m — 3} \ right)}} = \ frac {{\ left ({m — 3} \ right)}} {{- \ left ({m — 3} \ right)}} \]

Помните, что когда мы удаляем все члены из числителя или знаменателя, фактически остается «1»! Итак, мы не закончили отмену, чтобы подчеркнуть важность.Напомним, что в начале этого обсуждения мы сказали, что, как правило, мы можем отменять термины только в том случае, если с обеих сторон нет «+» или «-», за одним исключением для «-». Сейчас мы находимся в этом исключении. Если перед целым числителем или знаменателем стоит «-», как здесь, то мы все равно можем отменить член. В этом случае «-» действует как «-1», который умножается на весь знаменатель и, таким образом, является множителем вместо сложения или вычитания. Вот окончательный ответ на эту часть.2} — 1}} \\ & = \ frac {{\ left ({y + 1} \ right) \ left ({y + 4} \ right) \ left ({y + 5} \ right)}} { {\ left ({y + 1} \ right) \ left ({y — 1} \ right)}} = \ frac {{\ left ({y + 4} \ right) \ left ({y + 5} \ right)}} {{y — 1}} \ end {align *} \]

Хорошо, пора перейти к сложению и вычитанию рациональных выражений. Вот общие формулы.

\ [\ frac {a} {c} + \ frac {b} {c} = \ frac {{a + b}} {c} \ hspace {0,5 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ frac {a} { c} — \ frac {b} {c} = \ frac {{a — b}} {c} \]

Как было показано, мы должны помнить, что для сложения или вычитания рационального выражения или дробей мы ДОЛЖНЫ иметь общие знаменатели.Если у нас нет общих знаменателей, нам нужно сначала получить общие знаменатели.

Давайте вспомним, как это сделать, на примере быстрого числа.

\ [\ frac {5} {6} — \ frac {3} {4} \]

В этом случае нам нужен общий знаменатель и напомним, что обычно лучше использовать наименьший общий знаменатель , часто обозначаемый lcd . В этом случае наименьший общий знаменатель равен 12. Итак, нам нужно привести знаменатели этих двух дробей к 12.Это легко сделать. В первом случае нам нужно умножить знаменатель на 2, чтобы получить 12, поэтому мы умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2. Помните, что нам нужно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, поскольку мы не Фактически невозможно изменить проблему, и это эквивалентно умножению дроби на 1, поскольку \ (\ frac {a} {a} = 1 \).
Для второго члена нам нужно будет умножить числитель и знаменатель на 3.

\ [\ frac {5} {6} — \ frac {3} {4} = \ frac {{5 \ left (2 \ right)}} {{6 \ left (2 \ right)}} — \ frac { {3 \ left (3 \ right)}} {{4 \ left (3 \ right)}} = \ frac {{10}} {{12}} — \ frac {9} {{12}} = \ frac {{10–9}} {{12}} = \ frac {1} {{12}} \]

Теперь процесс создания рациональных выражений идентичен.Основная трудность — найти наименьший общий знаменатель. Однако существует действительно простой процесс поиска наименьшего общего знаменателя для рациональных выражений. Вот.

  1. Разложите все знаменатели на множители.
  2. Запишите каждый фактор, который хотя бы один раз встречается в любом знаменателе. НЕ записывайте мощность каждого фактора, запишите только коэффициент
  3. Теперь для каждого множителя, записанного на предыдущем шаге, запишите наибольшую степень, которая встречается во всех знаменателях, содержащих этот множитель. 5} \]

    Итак, нам просто нужно умножить каждый член на соответствующую величину, чтобы получить его в знаменателе, а затем выполнить сложение и вычитание.5}}} \ end {выровнять *} \]

    b \ (\ displaystyle \ frac {2} {{z + 1}} — \ frac {{z — 1}} {{z + 2}} \) Показать решение

    В этом случае есть только два множителя, и оба они встречаются в первой степени, поэтому имеет наименьший общий знаменатель.

    \ [{\ mbox {lcd:}} \ left ({z + 1} \ right) \ left ({z + 2} \ right) \]

    Теперь, чтобы определить, на что умножить каждую часть, просто сравните текущий знаменатель с наименьшим общим знаменателем и умножьте верхнюю и нижнюю части на все, что «отсутствует».В первом члене нам «не хватает» \ (z + 2 \), поэтому на него мы умножаем числитель и знаменатель. Во втором члене нам «не хватает» \ (z + 1 \), поэтому мы умножим его на него.

    Вот работа для этой проблемы.

    \ [\ frac {2} {{z + 1}} — \ frac {{z — 1}} {{z + 2}} = \ frac {{2 \ left ({z + 2} \ right)}} {{\ left ({z + 1} \ right) \ left ({z + 2} \ right)}} — \ frac {{\ left ({z — 1} \ right) \ left ({z + 1} \ right)}} {{\ left ({z + 2} \ right) \ left ({z + 1} \ right)}} = \ frac {{2 \ left ({z + 2} \ right) — \ left ({z — 1} \ right) \ left ({z + 1} \ right)}} {{\ left ({z + 1} \ right) \ left ({z + 2} \ right)}} \ ]

    Последний шаг — произвести любое умножение в числителе и максимально упростить его.2} — 9}} — \ frac {1} {{x + 3}} — \ frac {2} {{x — 3}} \) Показать решение

    Снова разложите знаменатели на множители и получите наименьший общий знаменатель.

    \ [\ frac {{2x}} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} — \ frac {1} {{x + 3}} — \ гидроразрыв {2} {{x — 3}} \]

    Наименьший общий знаменатель:

    .

    \ [{\ mbox {lcd:}} \ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right) \]

    Обратите внимание, что первое рациональное выражение уже содержит это в знаменателе, но это нормально.2} — 9}} — \ frac {1} {{x + 3}} — \ frac {2} {{x — 3}} & = \ frac {{2x}} {{\ left ({x — 3 } \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} — \ frac {{1 \ left ({x — 3} \ right)}} {{\ left ({x + 3} \ right) \ left ({x — 3} \ right)}} — \ frac {{2 \ left ({x + 3} \ right)}} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} \\ & = \ frac {{2x — \ left ({x — 3} \ right) — 2 \ left ({x + 3} \ right)}} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} \\ & = \ frac {{2x — x + 3 — 2x — 6}} {{\ left ({x — 3} \ right ) \ left ({x + 3} \ right)}} \\ & = \ frac {{- x — 3}} {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} \ end {align *} \]

    Обратите внимание, что здесь мы можем пойти еще дальше.2} — 9}} — \ frac {1} {{x + 3}} — \ frac {2} {{x — 3}} = \ frac {{- \ left ({x + 3} \ right)} } {{\ left ({x — 3} \ right) \ left ({x + 3} \ right)}} = \ frac {{- 1}} {{x — 3}} \]

    Иногда такая отмена происходит после сложения / вычитания, так что будьте начеку.

    e \ (\ displaystyle \ frac {4} {{y + 2}} — \ frac {1} {y} + 1 \) Показать решение

    Суть этой проблемы в том, что за всем стоит «1». На самом деле проблема не в этом.Давайте сначала немного перепишем здесь.

    \ [\ frac {4} {{y + 2}} — \ frac {1} {y} + \ frac {1} {1} \]

    Таким образом, мы видим, что здесь действительно три дроби. Знаменатель одного из них просто равен единице. Наименьший общий знаменатель для этой части:

    .

    \ [{\ mbox {lcd:}} y \ left ({y + 2} \ right) \]

    Вот сложение и вычитание для этой задачи.

    \ [\ begin {align *} \ frac {4} {{y + 2}} — \ frac {1} {y} + \ frac {1} {1} & = \ frac {{4y}} {{\ left ({y + 2} \ right) \ left (y \ right)}} — \ frac {{y + 2}} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} + \ frac {{ y \ left ({y + 2} \ right)}} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} \\ & = \ frac {{4y — \ left ({y + 2} \ right) ) + y \ left ({y + 2} \ right)}} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} \ end {align *} \]

    Обратите внимание на скобки, которые мы добавили ко второму числителю при вычитании.2} + 5y — 2}} {{y \ left ({y + 2} \ right)}} \]

    Дробей по алгебре

    Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить дроби в алгебре так же, как и в простой арифметике.

    Сложение дробей

    Для сложения дробей существует простое правило:

    (Узнайте, почему это работает, на странице общего знаменателя).

    Пример:

    х
    2
    +
    y
    5
    знак равно
    (х) (5) + (2) (у)
    (2) (5)

    =
    5x + 2 года
    10

    Пример:

    х + 4
    3
    +
    х — 3
    4
    знак равно
    (х + 4) (4) + (3) (x − 3)
    (3) (4)

    =
    4x + 16 + 3x − 9
    12

    =
    7x + 7
    12

    Вычитание дробей

    Вычитание дробей очень похоже, за исключением того, что + теперь —

    Пример:

    х + 2
    x

    х
    х — 2
    знак равно
    (х + 2) (x − 2) — (x) (x)
    х (х − 2)

    =
    (x 2 -2 2 ) — x 2
    x 2 — 2x

    =
    −4
    x 2 — 2x

    Умножение дробей

    Умножение дробей — самый простой из всех, просто перемножьте верхнюю часть вместе, а нижнюю — вместе:

    Пример:

    3x
    х − 2
    ×
    х
    3
    знак равно
    (3x) (x)
    3 (х − 2)

    =
    3x 2
    3 (х − 2)

    =
    x 2
    х − 2

    На дроби

    Чтобы разделить дроби, сначала «переверните» дробь, на которую мы хотим разделить, затем используйте тот же метод, что и для умножения:

    Пример:

    3 года 2
    х + 1
    ÷
    y
    2
    знак равно
    3 года 2
    х + 1
    ×
    2
    год

    =
    (3 года 2 ) (2)
    (х + 1) (у)

    =
    6лет 2
    (х + 1) (у)

    =
    6лет
    х + 1


    Жесткий:

    Упрощение выражения с помощью дроби

    Результаты обучения

    • Определить эквивалентные отрицательные дроби, учитывая, что их отрицательный знак находится в другом месте
    • Упростите выражения, содержащие дробные черты, используя порядок операций

    Где идет знак минус в дроби? Обычно перед дробью ставится знак минус, но иногда можно увидеть дробь с отрицательным числителем или знаменателем.Помните, что дроби представляют собой деление. Дробь [латекс] — \ frac {1} {3} [/ latex] может быть результатом деления [latex] \ frac {-1} {3} [/ latex], отрицательного на положительный или деления [latex] \ frac {1} {- 3} [/ latex], положительное за отрицательным. Когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, частное отрицательное.

    Если и числитель, и знаменатель отрицательны, тогда сама дробь положительна, потому что мы делим отрицательное на отрицательное.

    [латекс] \ frac {-1} {- 3} = \ frac {1} {3} \ frac {\ text {negative}} {\ text {negative}} = \ text {positive} [/ latex]

    Размещение отрицательного знака в дроби

    Для любых положительных чисел [латекс] a \ text {и} b [/ latex],

    [латекс] \ frac {-a} {b} = \ frac {a} {- b} = — \ frac {a} {b} [/ latex]

    Пример

    Какая из следующих фракций эквивалентна [латексу] \ frac {7} {- 8}? [/ Latex]

    [латекс] \ frac {-7} {- 8}, \ frac {-7} {8}, \ frac {7} {8}, — \ frac {7} {8} [/ latex]

    Решение:
    Частное положительного и отрицательного отрицательного, поэтому [latex] \ frac {7} {- 8} [/ latex] отрицательное.Из перечисленных фракций [latex] \ frac {-7} {8} \ text {и} — \ frac {7} {8} [/ latex] также отрицательны.

    Упрощение выражения с помощью дроби

    Полоски дроби действуют как символы группировки. Выражения над и под дробной чертой следует рассматривать так, как если бы они были заключены в круглые скобки. Например, [латекс] \ frac {4 + 8} {5 — 3} [/ latex] означает [латекс] \ left (4 + 8 \ right) \ div \ left (5 — 3 \ right) [/ latex] . Порядок операций говорит нам сначала упростить числитель и знаменатель — как если бы были круглые скобки — перед тем, как делить.
    Мы добавим дробные черты к нашему набору символов группировки из раздела «Использование языка алгебры», чтобы получить здесь более полный набор.

    Группировка символов

    Упростите выражение с помощью дробной линейки

    1. Упростим числитель.
    2. Упростим знаменатель.
    3. Упростим дробь.

    Пример

    Упростить: [латекс] \ frac {4 + 8} {5 — 3} [/ латекс]

    Показать решение

    Решение:

    Пример

    Упростить: [латекс] \ frac {4 \ left (-3 \ right) +6 \ left (-2 \ right)} {- 3 \ left (2 \ right) -2} [/ latex]

    Показать решение

    Решение:

    [латекс] \ frac {4 \ left (-3 \ right) +6 \ left (-2 \ right)} {- 3 \ left (2 \ right) -2} [/ латекс]
    Умножить. [латекс] \ frac {-12+ \ left (-12 \ right)} {- 6 — 2} [/ латекс]
    Упростить. [латекс] \ frac {-24} {- 8} [/ латекс]
    Разделить. [латекс] 3 [/ латекс]

    Посмотрите это видео, чтобы увидеть еще один пример того, как упростить выражение с помощью дробной линейки, которая содержит несколько различных операций.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.