Что является графиком функции: График функции | это… Что такое График функции?

2+cx+d\) выглядит, например, как \((3)\).

 

Факт 4.
\(\bullet\) Функция корня – функция \(f(x)=\sqrt x\).
\(\bullet\) График функции \(y=\sqrt x\):

\(\bullet\) Заметим, что \(y=\sqrt x\) определена при \(x\geqslant 0\) и принимает значения \(y\geqslant 0\).
 

Факт 5.
\(\bullet\) Графиком функции \(y=\sin x\) является синусоида

\(\bullet\) Графиком функции \(y=\cos x\) также является синусоида, но сдвинутая на \(\frac{\pi}2\) единиц влево по оси \(Ox\)

\(\bullet\) Обе функции \(y=\sin x\) и \(y=\cos x\) периодичны с периодом \(2\pi\). Обе функции могут принимать значения \(y\in [-1;1]\).
\(\bullet\) Функция \(y=\sin x\) – нечетная, функция \(y=\cos x\) – четная.
 

Факт 6.
\(\bullet\) График функции \(y=\mathrm{tg} \,x\)

Прямые \(x=k\cdot \frac{\pi}2\), где \(k\) – нечетное число, являются асимптотами графика (то есть график их не пересекает). x\in (0;+\infty)\):

Ее график всегда проходит через точку \((0;1)\).
 

Факт 8.
\(\bullet\) Логарифмическая функция \(y=\log_ax\) при \(a>1\) является возрастающей, ее область определения \(x>0\), ее область значений \((-\infty;+\infty)\):

Ее график всегда проходит через точку \((1;0)\).

 

\(\bullet\) Логарифмическая функция \(y=\log_ax\) при \(0<a<1\) является убывающей, ее область определения \(x>0\), ее область значений \((-\infty;+\infty)\):

Ее график всегда проходит через точку \((1;0)\).

 

Алгебра. Урок 5. Графики функций

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Декартова система координат
  • Функция

Прямая
Парабола
Гипербола
Квадратный корень

  • Возрастающая/убывающая функция
  • Наибольшее/наименьшее значение функции
  • Примеры решений заданий из ОГЭ

 

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

 

Функция – это отображение элементов множества X на множество Y. При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y.

 

Линейная функция – функция вида y=ax+b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b:

 

Если a>0, прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y.

 

Если a<0, прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y.

 

Если a=0, функция принимает вид y=b.

 

Отдельно выделим график уравнения x=a.

Важно: это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции (функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y. Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

 

Графиком функции y=ax2+bx+c является парабола.

Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a,b,c:

  1. Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.
  • Если a>0 , ветки параболы направлены вверх.
  • Если a<0 , ветки параболы направлены вниз.
  1. Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y.
  2. Коэффициент b помогает найти xв – координату вершины параболы.

xв=−b2a

  1. Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .
  • Если D>0 – две точки пересечения.
  • Если D=0 – одна точка пересечения.
  • Если D<0 – нет точек пересечения.

 

Графиком функции y=kx является гипербола.

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k>0, то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

Если k  <  0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y.

 

Функция y  =  x имеет следующий график:

 

Функция y = f(x)возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x) соответствует большее значение функции (большее значение y).

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Функция y = f(x)убывает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x) соответствует меньшее значение функции (большее значение y).

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y). Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y). Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

 

 

Скачать домашнее задание к уроку 5.

 

4. График функции

График функции представляет собой набор всех точек, координаты которых ( x , y ) удовлетворяют функции `y
= f(x)`. Это означает, что для каждого значения x существует соответствующее значение y , которое получается при подстановке в выражение для `f(x)`.

Так как нет ограничений на возможное количество точек для графика функции, мы сначала будем следовать этой процедуре:

  1. Выберите несколько значений x (не менее 5)
  2. Получите соответствующие значения функции и занесите их в таблицу
  3. Нанесите эти точки на график, соединив их плавной кривой

Тем не менее, вам рекомендуется изучить общие формы некоторых общих кривых (таких как прямая линия,
парабола, тригонометрические и экспоненциальные кривые, с которыми вы столкнетесь в следующих главах). Это намного проще, чем рисовать точки, и полезнее на потом!

Пример 1

Нужна миллиметровка?

Значок миллиметровки

Скачать миллиметровку

Человек ростом `2 м« бросает мяч прямо вверх, и его высота в момент времени t (через с ) определяется выражением
ч = 2 + 9 т — 4,9 т 2 м.

График функции.

Ответить

Мы начинаем с `t = 0`, так как отрицательные значения времени
здесь нет практического смысла.

Мы выбираем значения с интервалом `0,5` секунды (если бы мы использовали интервалы `t = 1\ «s», мы бы не увидели достаточно деталей на графике).

т 0 0,5 1 1,5 2
ч 2 5,3 6.1 4,5 0,4

0.511.521234567-1Открыть изображение на новой странице

График снаряда (парабола).

Эта форма называется параболой и является
в приложениях математики.

ПРИМЕЧАНИЕ:

(1) Этот график представляет собой высоту в зависимости от времени. Мяч пошел прямо вверх, а не вперед. (На нашем графике может показаться, что мяч двигался не только вверх, но и в направлении x , но это не так. )

(2) Мы могли бы написать функцию в этом примере с ч ( т ), а не просто ч . Следующие 2 уравнения означают одно и то же.

ч = 2 +
9 т
4,9 т 2

ч ( т ) = 2 +
9 т
4.9 т 2

Пример 2

Скорость (в м/с) мяча в примере 1 в момент времени
t s ) дано
по

v = 9 − 9,8 т

Нарисуйте график v t . Что это
скорость в момент удара мяча о землю?

Ответить

Это прямая линия, так как она представлена ​​в виде

y = m x + c

Подробнее о прямой линии.

Поскольку мы узнали, что это прямая линия, нам нужно только построить
2 точки и присоединяйтесь к ним. Но мы находим 3 точки, просто чтобы убедиться, что у нас правильная линия.

т 0 1 2
v 9 -0,8 -10,6

0.511.52246810-2-4-6-8-10-12tvОткрыть изображение на новой странице

График `v` против `t` — прямая линия.

Наш график начинается с `t = 0` (поскольку отрицательные значения времени в этом примере не имеют значения).

В течение первых `0,918\ «с»` мяч движется вверх (положительная скорость, то есть синяя линия находится выше t -ось), но тормозит.

После этого мяч падает на землю и становится быстрее (участок, где синяя линия находится ниже оси t ).

Мяч упал на землю примерно через `t = 2,04\ «с»` (мы можем
см. это из примера 1). Скорость , когда
удар мяча о землю на графике, который мы только что нарисовали, составляет около `-11\
«м/с»`. На этом график останавливается.

Наш график предполагает, что мяч приземляется на песок и не отскакивает.

Обычно, как мы сделали здесь, мы берем скорость от до
направление должно быть положительным.

Пример 3

Постройте график функции y = x x 2 .

Ответить

(a) Определите значения y- для типичного набора значений x и запишите их в таблицу.

х −2 −1 0 92`, парабола.

Обратите внимание, что кривая выходит за пределы, показанные на графике. Это всего лишь общий вопрос, и нет никаких практических ограничений ни для значений x , ни для y .

Пример 4

График функции `y=1+1/x`

Ответить

(a) Примечание: y не определено для `x = 0` из-за
деление на `0`

Следовательно, `x = 0` не находится в домене

(b) Составьте таблицу значений:

х `-4` `-3` `-2` `-1` `1` `2` `3` `4`
у `3/4` `2/3` `1/2` `0` `2` `3/2` `4/3` `5/4`

(c) Мы знаем, что около `x = 0` произойдет что-то странное (поскольку граф там не определен). Итак, мы проверяем, что происходит в некоторых типичных точках между `x = -1` и `x =
1`:

, когда `x = −0,5,` `y = 1 + 1/(−0,5) = 1 − 2 = −1`

, когда `x = 0,5, \ y = 1 + 1/(0,5) = 1 + 2 = 3`

(d) По мере приближения значения x к `0` точки приближаются к
и -ось, хотя они ее не трогают. Ось и
называется асимптота кривой.

(Чтобы убедиться в этом, нарисуйте точки, где `x = 0,4`, `x = 0,3`, `x = 0,2`, `x = 0,1` и даже `x = 0,01`.)

12345-1-2 -3-4-512345-1-2-3-4xyОткрыть изображение на новой странице

График `y=1+1/x`, гипербола. Это прерывистая функция.

На этой кривой есть еще одна асимптота: `y = 1`, отмеченная пунктирной линией. Обратите внимание, что кривая не проходит через это значение.

Пример 5

График функции `y=sqrt(x+1)`

Ответить

(a) Примечание: y не определено для значений x меньше
чем `-1`. (Попробуйте что-нибудь в своем калькуляторе, например `x = −4`. )

(b) Мы определяем некоторые значения x и соответствующие значения y и записываем их в таблицу:

х -1 0 1 2 3 4 5
г 0 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4

(c) Рисуем наш график следующим образом.

123456-1123-1xyОткрыть изображение на новой странице

График `y=sqrt(x+1)`. Это полупарабола.

Пример 6

Электрическая мощность P (в ваттах), отдаваемая
батареи в зависимости от сопротивления R (в омах) составляет: 92`

График зависимости мощности от сопротивления.

Ответить

(a) Отрицательные значения для R не имеют физического
значение, поэтому P не отображается для отрицательных значений
Р.

(б) Составьте таблицу значений:

92`.

Обратите внимание, что оси помечены R (сопротивление) и P (мощность).

(d) Выводы:

(i) Максимальная мощность «50 Ом» достигается, когда сопротивление R = 0,5 Ом `0,5\ «Ш»`

График заданных функций

Q1. y = х 3 х 2

Ответить

(a) Нет никаких ограничений на значения, которые может принимать x в этом примере, так как это общий вопрос, не имеющий практического значения.

(b) Составьте таблицу значений:

Р 0 1 2 3 4 5
x -1 0 1 2 3
г -2 0 0 4 18

Так как `y = 0`, когда `x = 0` и `x = 1`, мы исследуем, что происходит между этими 2 x -значениями:

Когда `x = 1/2, y = -1/ 8. `

Вот наш график:

12-11234-1-2xyОткрыть изображение на новой странице

Q2. `y=sqrt(x)`

Ответить

Мы можем извлечь квадратный корень только из положительного числа, поэтому `x ≥ 0`. Квадратный корень числа может быть только положительным, поэтому `y ≥ 0`.

Этот график на самом деле представляет собой половину параболы с горизонтальной осью.

123412xyОткрыть изображение на новой странице

График `y=sqrt(x)`, полупарабола.

Конический бак для воды

Q3. ( Заявка ) Вода вытекает из бака в форме перевернутого конуса (т.е. вода вытекает
через острый конец конуса и самую широкую часть
конус вверху). Объем воды уменьшается на
постоянная ставка.

Начертите эскизный график высоты воды в конусе
против времени.

Ответить

Нам нужно смоделировать высоту в момент времени t на основе того, что мы знаем о конусах. Мы также должны предположить несколько вещей. (Мы упрощаем себе жизнь по мере продвижения вперед. Нам разрешено это делать, поскольку нам просто нужно придумать базовый график высоты воды в момент времени t ).

Интуитивно мы ожидаем, что высота воды сначала будет медленно уменьшаться, а затем падать быстрее ближе к концу.

объем конуса 9(1″/»3)`.

5.2 — Справочник — Графики восьми основных типов функций

5.2 — Справочник — Графики восьми основных типов функций

5.2 — Справочник — Графики восьми основных типов функций

Цель этого справочного раздела — показать вам графики различных типов функций
для того, чтобы вы могли ознакомиться с типами. Вы обнаружите, что каждый тип
имеет свой характерный график. Показывая несколько графиков на одном графике, вы
уметь видеть их общие черты.
В этой галерее показаны примеры следующих типов функций:

  • линейный
  • квадратичный
  • мощность
  • многочлен
  • рациональный
  • экспоненциальный
  • логарифмический
  • синусоидальный

В каждом случае аргумент (вход) функции называется x , а значение (выход)
функции называется y .


Линейные функции.

Это функции вида:

у = м х + б ,

где м и б — константы. Типичное использование для
линейные функции преобразуют одну величину или набор единиц в другую.
Графики этих функций представляют собой прямых линий .
м — уклон, b — точка пересечения y .
Если м положительно, то линия поднимается вправо, а если
м отрицательно, то линия падает вправо.
Линейные функции подробно описаны здесь.


Квадратичные функции.

Это функции вида:

у = а х 2 + б х + с ,

где a , b и c — константы. Их графики называются
параболы . Это следующий простейший тип функции после линейной функции.
Падающие предметы движутся по параболическим траекториям.
Если a — положительное число, то парабола открывается вверх, а если
a — отрицательное число, тогда парабола открывается вниз.
Квадратичные функции подробно описаны здесь.


Силовые функции.

Это функции вида:

y = a x   b ,

где a и b — константы. Они получили свое название от факта
что переменная x возведена в некоторую степень.
Многие физические законы (например, гравитационная сила как функция расстояния
между двумя объектами или изгиб балки в зависимости от нагрузки на нее)
имеют вид степенных функций.
Будем считать, что a = 1 и посмотрите несколько случаев для b :

Степень b является положительным целым числом. См. график справа.
Когда x = 0, все эти функции равны нулю. Когда x большое и
положительные они все большие и положительные. Когда x большое и отрицательное
тогда те, у кого четные степени, большие и положительные, а
числа с нечетными степенями большие и отрицательные.

Мощность b — отрицательное целое число. См. график справа.
Когда x = 0, эти функции подвергаются делению на ноль и, следовательно,
все бесконечны. Когда x большое и
положительные они маленькие и положительные. Когда x большое и отрицательное
тогда те, у которых четные степени, малы и положительны, а те, у которых
нечетные степени малы и отрицательны.

Степень b — дробь от 0 до 1. См. график справа.
Когда x = 0, все эти функции равны нулю. Кривые вертикальны в
начала и по мере увеличения x они увеличиваются, но изгибаются к оси x .

Функция мощности подробно обсуждается здесь.


Полиномиальные функции.

Это функции вида:

y = a n  ·  x   п +
a n  -1  ·  x   n  -1
+  …  +
a 2  ·  x  2 +
а 1  ·  x + а 0 ,

где a n , a n  −1 ,  … ,
2 , 1 , 0 являются константами.
Допускаются только целые степени x .
Наивысшая степень x , которая встречается, называется степенью многочлена.
На графике показаны примеры полиномов степени 4 и степени 5.
Степень дает максимальное количество « подъемов и спадов», которые
многочлен может иметь, а также максимальное количество пересечений x
ось, которую он может иметь.

Полиномы полезны для создания гладких кривых в компьютерной графике.
приложений и для аппроксимации других типов функций.
Полиномы подробно описаны здесь.


Рациональные функции.

Эти функции являются отношением двух многочленов. Одна область исследования, где
они важны при анализе устойчивости механических и электрических систем.
(который использует преобразования Лапласа).

Когда полином в
знаменатель равен нулю, тогда рациональная функция становится бесконечной, как указано
вертикальной пунктирной линией (называемой асимптотой ) на его графике. Для
пример справа
это бывает когда x = -2 и когда x = 7.

Когда x становится очень большим, кривая может выровняться.
Кривая справа выходит на уровень y = 5.

На графике справа показан еще один пример рациональной функции.
У этого есть деление на ноль при x = 0.
Он не выравнивается, но приближается к прямой линии y = x , когда
x большое, на что указывает пунктирная линия (еще одна асимптота).


Экспоненциальные функции.

Это функции вида:

y = a b   x ,

где x в экспоненте
(не в базе, как в случае с силовыми функциями)
а a и b являются константами.
(Обратите внимание, что только b возводится в степень x , а не a .)
Если основание b больше 1, то результат
экспоненциальный рост. Многие физические величины растут экспоненциально (например, популяции животных и денежные потоки).
на процентном счете).

Если основание b меньше 1, то результат
экспоненциальный спад. Многие величины затухают экспоненциально
(например, солнечный свет, достигающий заданной глубины океана и
скорость тела, замедляющегося из-за трения).

Экспоненциальные функции подробно описаны здесь.


Логарифмические функции.

Существует много эквивалентных способов определения логарифмических функций. Мы будем
определить их в виде:

y = a  ln ( x ) +  b ,

где x в натуральном логарифме, a и b
константы. Они определены только для положительных x . Для малых x
они отрицательны, а для больших x они положительны, но остаются маленькими.
Логарифмические функции точно описывают реакцию человеческого уха на
звуки различной громкости и реакцию человеческого глаза на свет различной
яркость. Логарифмические функции подробно описаны здесь.


Синусоидальные функции.

Это функции вида:

y = a sin ( b x + c ),

где a , b и c — константы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *