Что такое y f x: Что означает в математике запись y=f(x). Видеоурок. Алгебра 7 Класс

Содержание

Урок 10. определение производной. физический смысл производной — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №10. Определение производной. Физический смысл производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Определение производной;

2) Физический смысл производной;

2) Приращение функции;

3) Скорость материальной точки в заданный момент времени по данному закону движения.

Глоссарий по теме

Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1−x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)-f(x0) называют приращением функции.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Изучая поведение функции y=f(x) около конкретной точки x0, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращений аргумента и функции.

Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1−x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)-f(x0) называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита «дельта»; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf.

Итак, x1-x0=Δx, значит, x1=x0+Δx.

f(x1)-f(x0)=Δy, значит, 

Δy=f(x0+Δx)-f(x0). (1)

Нельзя истолковывать термин «приращение» как «прирост».

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=1,9

Решение:

Δx= x1−x0=1,9-2=-0,1

Δf= f(1,9) –f(2)=1,92-22=-0,39

Ответ: Δx=-0,1; Δf =-0,39

Пример 2.

Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=2,1

Решение:

Δx= x1−x0=2,1-2=0,1

Δf= f(1,9) –f(2)=2,12-22=0,41

Ответ: Δx=0,1; Δf =0,41

Пример 3.

Найдем приращение Δf функции в точке x0,если приращение аргумента равно x0.

Решение:

по формуле (1) находим:

.

Ответ: .

С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t0; t0+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата x(t), то

Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t0+∆t; t0]).

Аналогично выражение называют средней скорость изменения функции на промежутке с концами х0 и х0+∆х.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение: y’ или f’(x)

Если функция f(x) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Схема вычисления производной функции

  1. Найти приращение функции на отрезке [x; x+Δx]:

∆y=y(x+∆x)-y(x)

  1. Разделить приращение функции на приращение аргумента:
  1. Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Пример 4.

Вычислить производную функции y=x2

Решение: Используем схему вычисления производной по действиям:

  1. ∆y=y(x+∆x)-y(x)= (х+∆х)²-х²= х²+2х·∆х+ ∆х²-х²= 2х·∆х+ ∆х²

Ответ: y’=2x.

Физический смысл производной: если положение точки при её движении задаётся функцией пути S(t), где t – время движения, то производная функции S есть мгновенная скорость движения в момент времени t: v(t)=S’(t).

Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени.

Пример 5.

Точка движется по закону s(t)=1-2t. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от t=0,8 до t=1.

Решение:

найдем ∆t= 1-0,8=0,2

S(0,8)= 1-2·0,8= -0,6=S(t)

S(1)= 1-2·1= -1=S(t+∆t)

.

Ответ: .

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е. dx ≡ Δx.

Монотонность функции — rajak.rs

Монотонность

Монотонная функция — это функция, которая всё время либо возрастает, либо убывает.

Функция $y = f\left( x \right)$ называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т. е.

\[f\left( x \right) \uparrow :{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\]

Функция $y = f\left( x \right)$ называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е.

\[f\left( x \right) \downarrow :{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\]

Функция $y = f\left( x \right)$ называется неубывающей на промежутке, если из неравенства ${x_1} < {x_2}$ следует неравенство $f\left( {{x_1}} \right) \leqslant f\left( {{x_2}} \right)$.

Функция $y = f\left( x \right)$ называется невозрастающей на промежутке, если из неравенства ${x_1} < {x_2}$ следует неравенство $f\left( {{x_1}} \right) \geqslant f\left( {{x_2}} \right)$.

Связь монотонности функции с ее производной

Если производная функции $f’\left( x \right) > 0$ на некотором промежутке $X$, то функция $y = f\left( x \right)$ возрастает на этом промежутке; если же $f’\left( x \right) < 0$ на промежутке $X$, то функция $y = f\left( x \right)$ убывает на этом промежутке.

Замечание

Обратное утверждение формулируется несколько иначе. Если функция возрастает на промежутке, то $f’\left( {{x_0}} \right) \geqslant 0$  или не существует.

Условия монотонности функции

Функција $f$, диференцијабилна на $\left[ {a,b} \right]$, расте (опада) на $\left( {a,b} \right)$ тада и само тада када је $f’\left( x \right) \geqslant 0{\text{    }}\left( {f’\left( x \right) \leqslant 0} \right)$ за све $x \in \left( {a,b} \right)$.

Ако при том не постоји интервал $\left( {\alpha ,\beta } \right) \subset \left( {a,b} \right)$, таква да је $f’\left( x \right) = 0,{\text{ }}x \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$, онда функција $f$ строго расте (опада).

 

 

Задача 7 — геометрический смысл производной

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

  1. Значение производной в некоторой точке x0,
  2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
  3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x0, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

  1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x1; y1) и B (x2; y2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
  2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x2 − x1 и приращение функции Δy = y2 − y1.
  3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:

Δx = x2 − x1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y2 − y1 = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:

Δx = x2 − x1 = 3 − 0 = 3; Δy = y2 − y1 = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:

Δx = x2 − x1 = 5 − 0 = 5; Δy = y2 − y1 = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

  1. Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x0) ≥ f(x).
  2. Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x0) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

  1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
  2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x0 известно, что f’(x0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x0) ≥ 0 или f’(x0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
  3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

  1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x1 и x2 из этого отрезка верно утверждение: x1 ≤ x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
  2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x1 и x2 из этого отрезка верно утверждение: x1 ≤ x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

  1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
  2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

  1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
  2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
  3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:

−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:

l1 = − 6 − (−8) = 2;

l2 = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l2 = 5.

Смотрите также:

  1. Задача 7: касательная к графику функции
  2. Задача 7: касательная к графику функции — 2
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №4
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 1 (без логарифмов)
  5. Так сокращать дроби нельзя!
  6. Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора

параллельный перенос (сдвиг), отображение, растяжение, сжатие, отражение. Курсы по математике

Тестирование онлайн

  • Преобразование графиков

Параллельный перенос

График функции y=f(x)+B получается параллельным переносом графика функции y=f(x) в положительном направлении вдоль оси Оу на расстояние В, если В>0 и в отрицательном направлении вдоль оси Оу, если B.

График функции y=f(x+b) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) в положительном направлении вдоль оси Оx на расстояние b, если b и в отрицательном направлении вдоль оси Оx, если b>0.

Отображение

График функции y=-f(x) получается симметричным отображением графика y=f(x) относительно оси Ох.

График функции y=f(-x) получается симметричным отображением графика y=f(x) относительно оси Оу.

Деформация (растяжение и сжатие) графика

График функции y=Af(x), получается растяжением графика y=f(x) вдоль оси Оу от оси Ох в A раз при A>1 или сжатием вдоль оси Оу к оси Ох в раз при A.

График функции y=f(ax), получается сжатием графика y=f(x) вдоль оси Ох к оси Оу в а раз при а>1 или растяжением вдоль оси Ох к оси Оу в раз при а.

Отражение

График функции получается из графика функции y=f(x) следующим образом: часть графика функции y=f(x), лежащая над осью Ох и на оси, остается без изменений, а часть графика, лежащая под осью Ох, отражается симметрично относительно оси Ох на верхнюю полуплоскость.

График функции получается из графика функции y=f(x) следующим образом: часть графика функции y=f(x), соответствующая неотрицательным значениям аргумента , остается без изменений, а отрицательным значениям аргумента будет соответствовать график, полученный путем симметричного относительно оси Оy отображения части графика, оставленной без изменений.

Примеры

Экстремумы функции (Лекция №9)

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке.

Значение функции в точке x1 будет больше значений
функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В
этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум. В точке x3 функция, очевидно,
также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2, то в ней значение функции
меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке
x2 минимум.
Аналогично для точки x4.

Функция y=f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее
значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т.е. если существует такая
окрестность точки x0, что для всех xx0,
принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)<f(x0).

Функция y=f(x) имеет минимум в точке x0, если существует такая окрестность
точки x0, что
для всех xx0, принадлежащих этой окрестности, имеет
место неравенство f(x)>f(x0.

Точки, в которых функция
достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения
функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то,
что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума
только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Отмети, что если функция
имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет
наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше,
функция в точке x1 имеет максимум, хотя
есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x1. В частности, f(x1) < f(x4)
т. е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только,
что это самое большое значение функции в точках, достаточно близкихк точке максимума.

Теорема 1. (Необходимое условие
существования экстремума.)
Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x0
экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Доказательство. Пусть для определенности в точке x0 функция имеет максимум. Тогда при достаточно
малых приращениях Δx имеем f(x0+ Δx)<f(x0), т.е. Но тогда

Переходя в этих
неравенствах к пределу при Δx→ 0 и учитывая, что производная f ‘(x0)
существует, а следовательно предел, стоящий слева, не
зависит от того как Δx → 0,
получаем: при Δx → 0
– 0 f’(x0)
≥ 0 а при Δx → 0
+ 0 f’(x0)
≤ 0. Так как f ‘(x0)
определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f ‘(x0) = 0.

Доказанная
теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только
среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль.

Мы рассмотрели случай,
когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же
обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Рассмотрим примеры.

Примеры.

  1. y=|x|.

    Функция не имеет
    производной в точке x=0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной),
    но в этой точке функция имеет минимум, так как y(0)=0,
    а при всех x≠ 0y > 0.

  2.  

    Функция не имеет производной
    при x=0, так как обращается в
    бесконечность приx=0. Но в этой точке функция имеет максимум.

  3.  

    Функция не имеет производной при x=0, так как при x→0. В
    этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, f(x)=0 и при x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0.

    Таким образом, из
    приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь
    экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна
    нулю; 2) в точке, где производная не существует.


    Однако, если в некоторой точке x0 мы знаем,
    что f ‘(x0)=0, то отсюда нельзя делать вывод, что в
    точке x0 функция
    имеет экстремум.

    Например. .

    Но точка x=0 не является
    точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены
    ниже оси Ox, а справа выше.

    Значения аргумента из
    области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль
    или не существует, называются критическими
    точками
    .

    Из всего вышесказанного
    следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и,
    однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы
    найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем
    каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого
    служит следующая теорема.

    Теорема 2. (Достаточное
    условие существования экстремума.)
    Пусть функция непрерывна на некотором
    интервале, содержащем критическую точку x0, и дифференцируема
    во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x0). Если при
    переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на
    минус, то в точке x = x0
    функция имеет максимум. Если же при переходе через x0
    слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой
    точке минимум.

    Таким образом, если

    1. f ‘(x)>0 при x<x0 и f ‘(x)<0 при x> x0, то x0 – точка максимума;
    2. при x<x0
      и f ‘(x)>0 при x> x0, то x0 – точка минимума.

    Доказательство. Предположим сначала, что при переходе
    через x0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е.
    при всех x, близких к точке x0f ‘(x)>0 для x< x0, f ‘(x)<0 для x> x0. Применим теорему
    Лагранжа к разности f(x) — f(x0) = f ‘(c)(x- x0), где c лежит между x и
    x0.

    1. Пусть x < x0. Тогда c< x0 и f ‘(c)>0. Поэтомуf ‘(c)(x- x0)<0и, следовательно,

      f(x) — f(x0)<0,т.е. f(x)< f(x0).

    2. Пусть x > x0. Тогда c> x0
      и f ‘(c)<0. Значитf ‘(c)(x- x0)<0. Поэтому f(x) — f(x0)<0,т.е.f(x) < f(x0).

    Таким образом, для всех
    значений x достаточно близких к x0f(x) < f(x0). А это значит, что в точке x0 функция
    имеет максимум.

    Аналогично доказывается
    вторая часть теоремы о минимуме.

    Проиллюстрируем
    смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f ‘(x1)=0 и для любых x, достаточно близких к x1, выполняются неравенства

    f ‘(x)<0 при x< x1, f ‘(x)>0 при x> x1.

    Тогда слева от точки x1 функция возрастает, а
    справа убывает, следовательно, при x = x1
    функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.

    Аналогично можно рассматривать
    точки x2 и x3.


    Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:

    Правило исследования
    функции y=f(x) на экстремум

    1. Найти область определения
      функции f(x).
    2. Найти первую
      производную функции f ‘(x).
    3. Определить критические
      точки, для этого:

      1. найти действительные корни уравнения f ‘(x)=0;
      2. найти все значения x при которых производная f ‘(x) не существует.
    4. Определить знак
      производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной
      остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить
      знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от
      критической точки.
    5. Вычислить значение
      функции в точках экстремума.

    Примеры. Исследовать функции на
    минимум и максимум.

    1. . Область определения функции D(y)=R.

      Найдем
      производную заданной функции

      Определим
      критические точки . Производная не существует при х2= 0. Следовательно,
      критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и определим знак
      производной на каждом из полученных промежутков.

    2.  

      Критическая точка функции x =3. Точка x= –1 не входит в область определения функции.

    НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

    Наибольшим значением функции на отрезке называется самое
    большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

    Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную
    на отрезке [a, b].
    Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего
    значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или
    наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это
    значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в
    критических точках.

    Таким образом,
    получаем следующее правило нахождения
    наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]
    :

    1. Найти все
      критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках.
    2. Вычислить
      значения функции на концах отрезка при x = a, x = b.
    3. Из всех полученных
      значений выбрать наибольшее и наименьшее.

    Примеры.

    1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [–2; –0,5].

      Найдем
      критические точки функции.

      Вычислим
      значения функции в найденной точке и на концах заданного отрезка.

      Итак,

    2. Найти
      наибольшее и наименьшее значения функцииy=x-2·ln x на [1; e].


    3. Чему равна наименьшая площадь боковой поверхности
      прямого кругового конуса объема 3π?

      По теореме Пифагора

      .

      Следовательно, .

      .

      Найдем
      критические точки функции S: S‘ = 0, т.е.

      Покажем, что при
      найденном значении h функция Sбок
      достигает минимума.

      .

    4. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.

      Пусть r – радиус основания цилиндра, h – высота.

      Нам нужно
      максимизировать объем цилиндра .

      Используя
      условие задачи, найдем связь между r и h. По теореме
      Пифагора из треугольника ABC следует,
      что . Отсюда .

      , по смыслу задачи 0≤h≤2R.

      .

      Покажем, что при
      найденном значении h
      функция V принимает наибольшее
      значение.

Атаг / Конфеты Конф.»Укус женщины» купол,прал слив.нач.и взрывной карам. Конфеты

Атаг / Конфеты Конф.»Укус женщины» купол,прал слив.нач.и взрывной карам. Конфеты

Вы выключили JavaScript. Для правильной работы сайта необходимо включить его в настройках браузера.

0.0080200616 c

318 р.

Защита покупателя

Нашли дешевле?

Артикул: Конф.»Укус женщины» купол,прал слив.нач.и взрывной карам.со

Конфеты куполообразной формы в кондитерской глазури с пралиновой сливочной начинкой и «взрывной» карамелью с натуральными вкусами: «Творожный крем», «Дюшес», «Пинаколада», «Ромовая вишня»

Цена за 347 гр, фасовка производителя

КФ Нева, Санкт-Петербург, Заводская упаковка 360 гр.

Заводская упаковка 200 гр.

Конфеты куполообразной формы в кондитерской глазури со сливочной комбинированной  (тёмной  и светло…

Цена за 0,5кг (500 гр). Конфеты куполообразной формы в тёмной кондитерской глазури с тёмной и све…

Ирина 16. 1

02.05.2020

Анастасия 11.4

26.02.2021

Оксана 11.7

18.01.2021

Елена 11. 4

22.12.2020

Елена 13.4

12.12.2020

Светлана 7.3

09. 04.2020

Анастасия 13.9

19.03.2020

Ирина 10.3

10.05.2021

Ольга 10. 3

04.04.2021

Екатерина 11.3

06.02.2021

Альбина 11.4

19.12.2020

Елена 13. 9

03.12.2020

Альбина 15.0

29.04.2020

Показать все отзывы

Альбина 14.6

28. 05.2021

Виктория 14.4

12.04.2021

Алёна 8.1

26.03.2021

Ольга 11. 3

12.03.2021

Гаянэ 2.1

10.02.2021

Оксана 6.6

12.01. 2021

Олеся 13.2

10.12.2020

Здравствуйте! При фасовке не обращала внимание какой вид конфет кладу. Теперь постараюсь это учитывать.
Что касается Вашего заказа: с «мужским законом» это сложно, фантики не сильно отличаются. Видимо в коробке был в основном один вид, поэтому так получилось…
Приношу свои извинения за неоправданные ожидания. Надеюсь в дальнейшем видеть Вас своим покупателем!

Перейти в категорию «Конфеты»

Александра 10. 0

06.12.2020

Анжела 14.6

16.07.2020

Наталья 14.2

04.05.2020

Наталья 12. 2

21.12.2019

Наталья 12.2

01.12.2019

Anastasiya 13.3

22.05. 2021

Галина 12.3

19.05.2021

Ирина 9.6

16.05.2021

Алёна 8. 1

10.05.2021

Светлана 14.3

10.05.2021

Марина 12.1

30.04.2021

НАДЕЖДА 14. 2

20.04.2021

Ольга 12.0

09.04.2021

Елена 7.8

23.03.2021

Олеся 14. 3

21.02.2021

ОЛЬГА 13.1

12.02.2021

Елена 12.3

12.02.2021

Елена 15. 4

30.01.2021

Валерия 14.1

24.01.2021

Елена 11.9

23.12.2020

Татьяна 11. 2

16.12.2020

Оксана 11.1

16.12.2020

Елена 12.6

15.12.2020

Ирина 16. 1

02.05.2020

Екатерина 8.8

29.04.2020

М_а_р_ь_я 15.1

23.04. 2020

Альбина 11.4

29.05.2021

Показать все отзывы

Смотрите также

181 р.

Конфеты куполообразной формы в кондитерской глазури с пралиновой сливочной начинкой и «взрывной» ка…

250гр

338 р.

Конфеты куполообразной формы в кондитерской глазури с пралиновой сливочной начинкой и «взрывной» ка…

0. 5 кг

372 р.

Конфеты куполообразной формы в кондитерской глазури с пралиновой сливочной начинкой и «взрывной» ка…

0.5кг

72 р.

Заводская упаковка 200 гр.

200 гр

66 р.

Цена за 347 гр, фасовка производителя

347 гр

150 р.

Цена за 0,5 кг

500 гр

126 р.

Цена за 500 гр, в прозрачном пакете

500 гр

70 р.

Г. Подольск, цена за 200 гр., заводская упаковка

200гр

60 р.

Азовская кондитерская фабрика, цена за 1 упаковку

120 р.

Азовская кондитерская фабрика

500 гр

114 р.

Цена за 400 гр. , вкуснющая печенько-суфлёвая-мармеладка.
Упаковка заводская

400 гр

138 р.

500 гр. на развес, в пакете. Очень вкусный рогалик (тонкое тесто и перекрученная курага). Вся моя с…

500 гр

126 р.

Цена за упаковку 380 гр., КФ Сибирь

108 р.

Цена за 0,5 кг

500 гр

306 р.

Под толстым слоем глазури с тёмной пралиновой начинкой и «взрывной» карамелью с натуральными вкусам…

0.5 кг

117 р.

КФ Нева, Санкт-Петербург, Заводская упаковка 360 гр.

360 гр

288 р.

Цена за 0,5кг (500 гр). Конфеты квадратной формы в кондитерской глазури с темной пралиновой начинко…

500 гр

138 р.

Рахат, Рассыпчатая молочно-ореховая начинка на основе арахиса и натурального кокосового масла и выс…

500 гр

276 р.

Конфеты куполообразной формы в кондитерской глазури со сливочной комбинированной  (тёмной  и светло…

0. 5 кг

252 р.

Цена за 500 гр. Конфеты куполообразной формы, с комбинированной начинкой, со вкусами черной смороди…

500 гр

276 р.

Цена за 0,5кг (500 гр). Конфеты куполообразной формы в тёмной кондитерской глазури с тёмной и све…

500 гр

132 р.

318 р.

Цена за 500 гр. Конфеты куполообразной формы в кондитерской глазури с нежной сливочно-фруктовой нач…

500 гр

120 р.

108 р.

52 р.

464 р.

Цена за 2 кг. Вкуснющая печенько-суфлёвая-мармеладка.

239 р.

Конфеты куполообразной формы в кондитерской глазури с густой йогуртовой  сливочной  начинкой с нату…

294 р.

Конфеты куполообразной формы в тёмной кондитерской глазури с тёмной и светлой пралиновой начинкой…

500 гр

318 р.

Цена за 500 гр. Конфеты куполообразной формы в кондитерской глазури со светлой комбинированной прал…

500 гр

Мы используем метаданные (cookie, данные об IP-адресе и местоположении) для функционирования сайта.
Продолжая пользоваться нашим сайтом, вы соглашаетесь с использованием метаданных
Закрыть

Задание №7. Производная. Поведение функции. Первообразная

Необходимая теория:

Производная функции

Таблица производных

Первообразная функции

Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной 

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

Ответ: 0,25.

2. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой
Найдите значение производной функции в точке

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла , смежного с углом .

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Поскольку , имеем:

Ответ: −0, 25.

Касательная к графику функции

3. Прямая является касательной к графику функции

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции и прямой в точке

При значения выражений и равны.

При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть .

Из второго уравнения находим или Первому уравнению удовлетворяет только .

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета:

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

В момент времени получим:

.

Ответ: 3

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если , то функция возрастает.

Если , то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

 

5. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Производная функции в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

6. На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке производная функции положительна.

Значит, функция возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3.

7. На рисунке изображён график функции , определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой

Прямая параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

Ответ: 7.

8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции на отрезке

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке такая точка всего одна! Это

Ответ: 1.

9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите точку экстремума функции на отрезке

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция , для которой является производной, называется первообразной функции Функции вида образуют множество первообразных функции

10. На рисунке изображён график — одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке

Функция для которой является производной, называется первообразной функции

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку , в которых производная функции равна нулю. Это точки максимума и минимума функции На отрезке таких точек 4.

Ответ: 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.

 

Что означает Y = f (x)? Как использовать эту мощную формулу «шесть сигм»

Некоторые люди смотрят на математику и закрываются. Менеджеры обычно не такие люди. Они знают, что есть формулы, которые необходимо использовать для решения определенных бизнес-задач и проблем процессов.

Но есть разные типы менеджеров, как и разные люди. Некоторые из них более искусны как лидеры, чем как математики. Конечно, требуется математика, но некоторые менеджеры по-прежнему могут быть озадачены определенными уравнениями, такими как обычно используемая формула шести сигм Y = f (x).

К счастью, не требуется ученого-ракетолога, чтобы понять и использовать Y = f (x), потому что это краеугольный камень методологии шести сигм и может быть очень полезным при применении аббревиатуры DMAIC (Определить, Измерить, Анализировать, Улучшить, Control) к вашему проекту. Мы покажем вам, как использовать эту формулу вместе с вашими инструментами и процессами управления проектами при управлении инициативами и результатами.

Оптимизируйте все свои процессы для достижения лучших результатов с помощью инструментов управления задачами ProjectManager.com.Попробуйте сами!

Что означает Y = f (x)?

Использование Y = f (x) может помочь определить причину и следствие в проекте, а также его можно использовать для измерения производительности и поиска областей для улучшений. В «Шести сигм» эта формула считается «уравнением прорыва».

Чтобы разбить его на компоненты, давайте определим каждую часть формулы:

  • Y: результат или результаты, результат или результаты, которые вы хотите
  • X: входные данные, факторы или все, что необходимо для получения результата (может быть несколько возможных x)
  • F: функция или процесс, который принимает входные данные и преобразует их в желаемый результат

Проще говоря, уравнение Y = f (x) вычисляет зависимый выход процесса при различных входных данных.

Вот пример некоторых возможных значений переменных в «уравнении прорыва». В контексте маркетинга результат (Y) может быть равен количеству продаж продукта, где функция (f) может быть электронным письмом, открываемым из информационной рассылки, а входными данными (x) может быть количество купонов в электронном письме. По мере увеличения количества купонов (x) функция открытия электронной почты (f) приводит к увеличению продаж продукта (Y).

Как Y = f (x) и DMAIC работают вместе

Если результаты являются результатами движущих сил внутри процесса, а DMAIC является средством определения переменных процесса и входных переменных, которые влияют на измерения выходных данных процесса, то вместе они могут предложить мощное партнерство.Итак, как каждое слово, составляющее аббревиатуру DMAIC, работает в направлении Y = f (x)?

  • D efine — это как понять Y, или результат, и как его измерить.
  • M Измерение помогает расставить приоритеты для потенциальных x и измерить x и Y.
  • Анализ — это проверка взаимосвязи между x и Y, а также проверка и / или количественная оценка важных x.
  • I mprove внедряет исправления, чтобы помочь Y и решить проблему x.
  • C ontrol отслеживает x и Y с течением времени.

Давайте рассмотрим этот процесс более подробно.

Определить

Для начала вы должны определить, есть ли у проекта конкретная и определенная проблема бизнеса или процесса. Иногда это ясно, а иногда нет. Если нет, получите четкое представление о Y, например о проблеме процесса в измеримых терминах в контексте целей проекта.

Начните с устава проекта, в котором определяется проблема, для решения которой был создан проект.Вам необходимо определить базовый уровень метрик проекта, чтобы измерить его прогресс. Получение данных от клиента помогает.

Экономическое обоснование поможет поместить Y проекта в более широкий контекст организационной стратегии, финансовых целей, удовлетворенности клиентов и других важных целей. Как только эти цели определены, часть процесса определения завершается.

Размер

Теперь вы собираетесь составить карту своего проекта, которая поможет определить потенциальные причины появления x в формуле.Вы увидите, какие x будут иметь наибольшее влияние на Y. Список x, вероятно, придется сократить до приемлемого числа путем приоритизации.

Это сокращение потенциальных x не будет определяться данными, так как проект еще не начат. Поэтому необходим мозговой штурм, чтобы выяснить, что является наиболее важным. Затем следующим шагом будет определение любых шаблонов для создания базовой производительности процесса проекта.

Анализировать

Проверьте и количественно определите соотношение x-Y.Существуют графические инструменты и статистические инструменты, которые можно применить для завершения этого этапа процесса. Это поможет вам лучше понять, какие именно x вносят наибольший вклад в проблему процесса Y.

Улучшить

Как вы можете улучшить то, что у вас есть на данном этапе процесса? Опять же, путем мозгового штурма и придумывания творческих решений. Затем вам нужно сократить все возможные решения, которые вы придумали, и сосредоточиться только на наиболее необходимых.

Для этого вам нужно будет оценить каждое отдельное решение по критерию, например, насколько решение способствует улучшению Y и насколько оно учитывает x. Однако есть и другие критерии, которые вы можете использовать, такие как простота, стоимость и т. Д. Вы также можете помочь уменьшить количество, выяснив, насколько эти решения могут потерпеть неудачу, и, следовательно, как их избежать.

К концу этого этапа процесса вы должны заметить улучшения в Y.

Контроль

Проделанная вами работа и внесенные вами улучшения не высечены из камня.Вы должны убедиться, что они устойчивы. Следовательно, вы хотите создать диаграмму управления процессами, чтобы визуализировать новую последовательность операций.

Теперь вы можете увидеть критические контрольные точки в процессе и настроить действия в случае отклонения процесса от плана.

Когда вы составляете диаграмму управления процессом, x называются опережающими индикаторами или контрольными точками в процессе, а Y — запаздывающим индикатором или последней контрольной точкой в ​​конце цикла процесса. По сути, вы имеете дело с приборной панелью проекта, настроенной для измерения конкретных показателей, которые вы хотите отслеживать, чтобы поддерживать проект в нужном русле.Это покажет эффективность Y с течением времени.

По завершении проекта вы можете оценить все эти данные. Эта информация не только поможет успешно направить ваш проект, но и создаст прецедент, который поможет оценить достоинства будущих проектных предложений и их наилучшую возможную реализацию. Если вы хотите узнать больше о внедрении «Шести сигм», прочтите наш блог о сертификации «Шесть сигм».

ProjectManager.com — идеальный инструмент для управления «Шесть сигм»

Знание формулы Y = f (x) — отличный первый шаг, но вам понадобится подходящий инструмент, чтобы применить его.ProjectManager.com — это отмеченное наградами программное обеспечение для управления проектами, в котором есть полезные инструменты, позволяющие поддерживать ваш проект в нужном русле. Например, наша диаграмма Ганта позволяет вам расположить все задачи вашего проекта на временной шкале, позволяя просматривать весь проект от начала до конца.

Или, если вы предпочитаете работать в более гибкой среде, вы можете переключиться на представление доски канбан. Каждая задача — это карточка, а различные этапы производства представлены в виде столбцов. По мере того, как вы перемещаете работу через разные этапы производства, вы перемещаете карточку из одного столбца в следующий, чтобы отобразить его статус.

По мере того, как вы и ваша команда проекта работаете над проектом, вы можете отслеживать ход выполнения и статус ваших задач на панели управления в реальном времени. Это полезный инструмент, который дает вам представление о ваших успехах с высоты птичьего полета в виде красочных диаграмм и графиков, отображающих ваши ключевые показатели эффективности.

Использование формулы типа Y = f (x) — всего лишь еще один инструмент в наборе инструментов менеджера проекта. ProjectManager.com — еще один инструмент и набор инструментов в одном лице. Это потому, что в нашем программном обеспечении для управления проектами в Интернете есть почти все функции, которые вам когда-либо понадобятся для управления вашим проектом, в том числе панель управления в режиме реального времени для лучшего отслеживания прогресса.Попробуйте сегодня с помощью этой бесплатной 30-дневной пробной версии.

Что на самом деле означает y = f (x)?

Привет, Джон,

Я считаю, что иногда полезно думать о функции как о машине, когда вы вводите число в качестве входных данных для машины и получаете число в качестве выходных данных. Имя функции $ f, $ вход $ x $ и выход $ f (x), $ read «$ f $ of $ x». $ Выход $ f (x) $ иногда получает дополнительное имя $ y $ на $ y = f (x). $

На ум приходит функция вычисления квадратного корня на вашем калькуляторе.2 — 4 = 9 — 4 = 5. $ Чтобы построить график этой функции, я бы начал с выбора некоторых значений $ x $, и, поскольку у меня есть возможность выбирать, я бы выбрал значения, которые упрощают арифметику. Например, $ x = 0, x = 1, x = -1 $ и так далее. Я собираюсь отслеживать, что я делаю, с помощью таблицы.

x

y = f (x)

0

-4

1

-3

-1

-3

2

0

3

5

Добавьте еще несколько строк в таблицу, выбрав собственные значения $ x.$ Изобразите значения в своей таблице $ (0, -4), (1, -3) $ и т. Д. На миллиметровой бумаге, а затем посмотрите, сможете ли вы нарисовать график, проходящий через эти точки.

Напишите ответ, если вам нужна дополнительная помощь,
Пенни

Функции задачи шести сигм: y = f (x): Intact Prolink

Поскольку «Шесть сигм» подходит к вещам со статистической точки зрения, она рассматривает все проблемы как функцию. Используя математические символы, это выглядит так:

Выражение y = f (x) можно использовать двумя способами.Во-первых, это общая карта для постановки проблемы. Y (проблема) возникает из-за некоторого X (входа или причины). На самом деле Y обычно возникает из-за некоторой группы причин или входов, что означает, что будет более одного X входов.

Эту идею также можно применить к конкретным процессам и результатам в рамках проблемы. По мере того, как вы становитесь все более и более детализированными, концепция y = f (x) становится все более математической; во многих случаях вы можете построить график зависимости между выходом (y) и входом (x).

Чтобы понять концепцию рассмотрения проблем как функции, давайте рассмотрим проблему, которая может возникнуть у крупного интернет-провайдера. Менеджер группы обслуживания обнаружил, что обращение в службу поддержки занимает гораздо больше времени, чем ожидалось; Фактически, пяти членам его команды требуется в среднем в 1,75 раза больше времени, чем другим представителям службы поддержки в компании, для обработки всех типов вызовов.

Чтобы выяснить, что может быть причиной ситуации, менеджер исследует проблему, разговаривая с представителями, разговаривая с клиентами и совершая случайные звонки со всеми пятью представителями.Он делает следующие наблюдения:

  • Один представитель является уроженцем той области, в которой работает команда, а это значит, что он или она знает многих клиентов лично. Это приводит к дружеской болтовне, которая продлевает время на работе.
  • Один представитель предоставляет клиентам очень подробные объяснения и обучение по проблемам Интернета, иногда сверх того, что клиентам когда-либо нужно знать об их интернет-услугах.
  • Один представитель является новичком в работе, и ему требуется больше времени на выполнение каждой задачи, потому что он или она не уверены в своей работе, вынуждены перепроверять работу или звонить другому представителю, чтобы задать вопросы о работе.
  • Остальные два представителя выполняют работу в срок, который соответствует средним показателям компании.

Менеджер сводит эти данные к двум общим причинам проблемы:

  • Слишком много разговоров (первое и второе представители)
  • Недостаточная подготовка

Теперь проблему можно сформулировать как функцию:

Дополнительное время — это результат слишком много разговоров и неподходящих тренировок.

У менеджера теперь есть две основные причины, которые необходимо устранить.Пример прост, но он иллюстрирует основную концепцию определения отношения y = f (x) для проблемы и ее причин. Не всегда так просто провести исследование и анализ, чтобы найти взаимосвязь, но взаимосвязь присутствует всегда.

Некоторые другие примеры отношений y = f (x) включают:

  • Низкая удовлетворенность клиентов вкусом гамбургеров — это функция некалиброванного гриля.
  • Низкий моральный дух сотрудников является следствием плохой системы утверждения отпусков.
  • Время ожидания клиентов зависит от отвлекающих сотрудников от технологий.

Отражение y = f (-x) — Концепция

Существуют различные типы преобразований и их графики, один из которых является математическим отражением по оси y. Если мы получим ту же функцию из математического отражения , это будет симметричная функция, в частности четная. Математическое отражение переворачивает график по оси y и имеет форму y = f (-x).Другие важные преобразования включают вертикальные сдвиги, горизонтальные сдвиги и горизонтальное сжатие.

Поговорим об отражениях. Теперь вспомним, как отразить график y = f x по оси x. Все, что вам нужно сделать, это поставить знак минус перед f или x, верно? Y = -f of x переворачивает график по оси x. Но как отразить его по оси Y? Что ж, вместо того, чтобы переворачивать значения y, вы хотите перевернуть значения x.Таким образом, вы заменяете x на минус x, и это отразит график по оси y.
Итак, давайте рассмотрим пример y = 2 с отрицательным x. Это отражение какой родительской функции? Ну, это y равно x, верно? Это будет отражение y, равного x. Теперь, чтобы увидеть это, давайте нарисуем их два вместе. Итак, я хочу, чтобы график y был равен 2 x, а y равен y равнялся 2 до -x вместе. Мы называем y равным 2, так как x — это одна из наших родительских функций, которая имеет такую ​​форму, как восходящая плавная кривая, проходящая через точку 0 1, и у нее есть горизонтальная асимптота на оси x y = 0.
Давайте обозначим несколько точек. У нас есть u и 2 на u. Я собираюсь изменить переменные, чтобы упростить преобразование, и я собираюсь выбрать простые значения u, такие как -1 0 и 1, чтобы оценить 2 для u. 2 к отрицательному 1 — половина, 2 к 0 — 1, 2 к 1 — 2. Так что это хорошо и легко, а затем, чтобы сделать преобразование, я собираюсь сделать замену переменных -x = u . Итак, если я позволю u равняться -x и x = -u, и все, что мне нужно сделать, это изменить знак этих значений. Таким образом, -1 становится 1, 0 остается неизменным, а 1 становится -1.Но если -x = u, тогда на самом деле у меня есть только значения от 2 до u, поэтому эти значения просто копируются. Итак, я просто собираюсь изобразить эти две функции. Первые 2 на х. -1 половина, 0 1 и 1 2, и у меня есть узнаваемые 2 на графике x, который выглядит так.
А как насчет y равно 2 до -x? Разрешите выбрать другой цвет. У меня 1 запятая на половину, у меня 0 1, поэтому проходит через эту точку и -1 2. Итак, это будет выглядеть так. Итак, как и предполагалось, это отражение, это отражение нашего родительского графа, y равняется 2 x.Это y равно 2 отрицательному x.
Просто помните, каждый раз, когда вы берете функцию и заменяете ее x на -x, вы отражаете график вокруг оси y. Вот и все.

Обозначение

— Есть ли разница между $ y (x) $ и $ f (x) $

Функции и координаты

Рассмотрим графики двух разных функций: $ f (x) $ и $ g (x) $ на одной плоскости $ xy $. Одна кривая будет обозначена как $ y = f (x) $, что означает «это набор точек $ (x, y) $, удовлетворяющих условию $ y = f (x) $».Другой будет обозначен как $ y = g (x) $.

Что из этого должно определять $ y (x) $? Оба? — конечно, нет, потому что $ f $ и $ g $ — разные функции. Я говорю: ни то, ни другое. Выражение $ y = f (x) $ — это просто условие для некоторого набора точек (то есть пар $ (x, y) $), а $ y = g (x) $ — другое условие для другого набора точек.

Явное определение в форме $ y (x) =… $ действительно определяет функцию (ну, да или нет, прочтите следующий абзац). В этом случае $ y $ — это просто произвольное имя, которое может заменить $ f $.Тот же символ $ y $ может быть координатой на плоскости $ xy $, которая была плоскостью $ xf $ до замены имени. (Это обычное дело — иметь плоскость $ xy $.) Это «объединение» имени функции и имени координаты может вызвать проблему, когда для построения графика требуется другая функция $ g (x) $.

Должно быть очевидно, что если $ y $ заменяет $ f $, он не может заменить $ g $, который отличается от $ f $.

По этой причине хорошо иметь координаты с символами, которые не являются именами функций.


Определения vs.{2n}} {(2n)!} $$
$$ sin (x) = \ frac {1} {2} $$

По опыту мы знаем, что ни одно из вышеперечисленных не определяет $ sin $. Тем не менее, эти уравнения можно решать либо отдельно, либо как систему (с решением с пустым множеством). Боб (не зная о $ sin $) может только предположить, что одно из уравнений является определением — это будет неверно, его набор решений не будет пустым.

Вот почему мне нравится обозначение $ f (x) \ Equiv… $, или слово «def» над знаком равенства, или явное выражение («давайте определим…») — просто чтобы исключить возможную двусмысленность.

У меня сложилось впечатление, что вы имели в виду $ y (x) \ Equiv 2x + 4 $, потому что в вашем примере нет другого выражения, которое вы могли бы определить как $ y (x) $.


Сводка

  1. Есть ли разница между $ y = 2x + 4 $ и $ y (x) = 2x + 4 $?

    • Отвечаю: в общем может быть. Вторая форма с большей вероятностью будет считаться определением функции, однако любая форма может или не может рассматриваться как определение.Оба могут быть уравнениями для решения, когда $ y (x) $ определено где-то в другом месте ($ y $ может быть заданным числом или параметром, не зависящим от $ x $, но формально его можно записать как $ y (x) $) . Вторая форма утверждает, что существует некоторая функция $ y (x) $; в первом можно упомянуть функцию или переменную (координату) $ y $. Интерпретация координат (не функции) позволяет первой форме быть условием для точек (то есть пар $ (x, y) $) — как это может быть в вашем примере — что оставляет место для других условий для других наборов точек.
  2. Есть ли разница между $ y = 2x + 4 $ и $ y (x) \ Equiv 2x + 4 $?

    • Да. Вторая форма точно определяет функцию. Первый может иметь другое значение (объяснено выше).
  3. Есть ли разница между $ y \ эквив 2x + 4 $ и $ y (x) \ эквив 2x + 4 $?

    • Есть одна тонкость: из второй формы мы знаем, что независимая переменная — это $ x $; это может быть $ x $ xor $ y $ в первом.
  4. Есть ли разница между $ y (x) $ и $ f (x) $?

    • В некотором смысле: вы можете назвать свою функцию любым неиспользуемым символом. Но если $ y $ уже используется (например, чтобы назвать другую функцию, координату, параметр), вы не можете свободно переименовать $ f $ в $ y $.

Применение формулы Y = f (x) в вашем проекте Lean Six Sigma

Недавно я встречался с одним из студентов, изучающих «черный пояс» по бережливому производству с использованием шести сигм в Институте Acuity.Ее рабочий проект приближался к фазе измерения, и она искала рекомендации, как к нему подойти. Наш разговор привел нас к формуле Y = f (x), которая является краеугольным камнем методологии Lean Six Sigma, и когда вы поймете применение этой формулы, она может быть очень полезной на каждом этапе вашего проекта Lean Six Sigma DMAIC.

Подробный взгляд на формулу

Начнем с разбивки формулы:

  • Y представляет желаемый результат.
  • X представляют различные исходные данные или факторы, необходимые для получения результата. (Может быть несколько возможных сертификатов X.)
  • F представляет функцию или процесс, который принимает входные данные и преобразует их в желаемый результат.

Простым способом объяснить эту формулу является то, что результаты являются результатом действия факторов в рамках процесса.

Применение формулы к этапам вашего проекта

Цель Lean Six Sigma — понять взаимосвязь между нашими различными входными данными (X) и желаемым выходом (Y), чтобы мы могли манипулировать X, чтобы результат процесса (Y) находился в правильном диапазоне и соответствовал требования заказчика.

Эта формула создает основу для вашего проекта. Давайте посмотрим, как работают вместе план DMAIC и формула Y = f (x).

Define — На этом этапе мы определяем Y или результат, которого нам нужно достичь, и желаемые ожидания клиентов или CTQ. Мы также определяем потенциальные X, которые влияют на Y. Инструменты, такие как SIPOC или карты процессов, могут помочь нам определить потенциальные X.

Мера — На этом этапе мы сужаем список потенциальных X и измеряем X и Y.

Анализируйте — На этом этапе мы проверяем взаимосвязь между каждым из X и Y, используя графический и статистический анализ данных. Это позволяет нам количественно определить, какие из X имеют самые сильные отношения, сделав их наиболее важными X и проверив, какие X следует принять в фазу улучшения.

Улучшение — На этом этапе мы определяем и, возможно, тестируем лучшие решения для реализации, которые позволят решить критические проблемы и улучшить Y.

Контроль — На этом этапе мы устанавливаем планы мониторинга и реагирования, чтобы гарантировать, что производительность Y сохраняется при переходе к владельцам процессов и продолжает поддерживаться в течение долгого времени.

В следующий раз, когда вы будете испытывать затруднения со следующими шагами для вашего проекта, я рекомендую вам вернуться к формуле Y = f (x) и посмотреть, поможет ли она вам определить ваши следующие шаги.

Если вы хотите начать свой путь в качестве руководителя проекта Lean Six Sigma, вы можете подумать, какой уровень пояса подходит вам. Вы можете посетить наш веб-сайт, чтобы узнать больше о сертификации «Зеленый пояс бережливого производства и шести сигм» или «Черный пояс бережливого производства».

Значение Y = f (X) в Lean Six Sigma

Если вы новичок в бережливом производстве и шести сигмах, то Y = f (X) — один из многих жаргонов, с которыми вам придется познакомиться.
Целью философии Lean Six Sigma и методологии улучшения DMAIC является выявление первопричин любой проблемы и контроль / управление ими, чтобы проблему можно было облегчить.
Six Sigma — это процессно-ориентированный подход, при котором каждая задача рассматривается как процесс. Даже самая простая задача, такая как утренняя тренировка или подготовка к работе, считается процессом. Смысл такой точки зрения состоит в том, чтобы определить, каков результат этого процесса, его желаемый уровень производительности и какие входные данные необходимы для получения желаемых результатов.
Y обычно используется для обозначения выхода, а X — для входов.
Y также известен как зависимая переменная, поскольку она зависит от Xs. Обычно Y обозначает симптомы или последствия какой-либо проблемы.
С другой стороны, X известен как независимая переменная, поскольку она не зависит от Y или любого другого X. Обычно Xs представляет собой саму проблему или причину.
Как вы согласитесь, любой процесс будет иметь хотя бы один выход, но, скорее всего, будет иметь несколько входов. Ожидается, что все мы, как менеджеры, добьемся результатов и выйдем на новый уровень производительности процесса, например уровни обслуживания, уровни производства, уровни качества и т. Д., или поддерживать текущий уровень производительности.
Для достижения этой цели мы сосредотачиваем наши усилия на показателе производительности. Однако умный менеджер процессов сосредоточится на выявлении X, которые влияют на показатель производительности, чтобы достичь желаемого уровня производительности.
Как определить показатели эффективности ввода или X?
Методология Six Sigma DMAIC направлена ​​на выявление входов (X), которые оказывают значительное влияние на выход (Y). После этого также устанавливается сила и характер отношений между Y и Xs.
Six Sigma использует различные качественные и количественные инструменты и методы, перечисленные ниже, для определения статистической проверки исходных данных (или основных причин), их силы и характера связи с Y:

  • Причинно-следственная диаграмма / Диаграмма для рыбьей кости
  • 5 Почему анализ
  • Карты процессов
  • Гистограмма
  • Описательная статистика
  • Диаграммы прогона
  • Графики нормального распределения
  • Коробчатые участки
  • Стеблевые и листовые делянки
  • Проверка гипотез
  • ANOVA (дисперсионный анализ)
  • Тест хи-квадрат
  • 1-т Испытание
  • 2-т Тест
  • Парный тест
  • Корреляция
  • Регрессия
  • Точечные диаграммы
  • Статистический контроль процессов (SPC) / Контрольные диаграммы

Что означает f в Y = f (X)?
«f» представляет характер и силу отношений, существующих между Y и X.С одной стороны, это уравнение можно использовать для общей интерпретации, которая символизирует тот факт, что на Y влияет X, и природа взаимосвязи может быть определена количественно. С другой стороны, такое математическое выражение может быть создано при условии, что у нас есть достаточно данных, с использованием вышеупомянутых аналитических инструментов, таких как регрессия и другие проверки гипотез.
Математическое выражение, которое мы получаем, представляет собой не что иное, как уравнение, например:
TAT = 13,3 — 7,4 * Время ожидания + 1,8 * Нет. счетчиков — 24 * Время утверждать
После того, как такое уравнение установлено, его можно легко использовать для упреждающего определения Y для различных значений X.Таким образом, Y = f (X) является основой для прогнозного моделирования. Все новые аналитические концепции, такие как большие данные и т. Д., Основаны на этих фундаментальных принципах.


Теги


Статьи по теме

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.