Что такое точки экстремума: Экстремумы функции: признаки существования, примеры решений

Содержание

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.


Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.


Минимумы и максимумы вместе именуют

экстремумами функции.


Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.


Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.


Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т. е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?


Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:



У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\). Количество точек экстремума функции – \(5\).


Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).


         

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?


Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.



— Производная отрицательна там, где функция убывает.


С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.



Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).


Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.



Начнем с \(-13\): до \(-13\) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что \(-13\) – точка максимума.


\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.


\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.


\(-7\): минимум.


\(3\): максимум.


Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.


— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?


Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

  1. Найдите производную функции \(f'(x)\). 
  2. Найдите корни уравнения \(f'(x)=0\). 
  3. Нарисуйте ось \(x\) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью \(f'(x)\), а под осью \(f(x)\).
  4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
  5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
  6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:

    — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(+\)» на «\(-\)», то \(x_1\) – точка максимума;

    — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(-\)» на «\(+\)», то \(x_3\) – точка минимума;

    — если \(f’(x)\) не изменила знак, то \(x_2\) – может быть точкой перегиба.


Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.


Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.


Пример(ЕГЭ). 2-4=0\)

               \(x=±2\)


3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:



Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).


Ответ. \(-2\).


Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке

Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы

База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи
из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны

Содержание статьи

1. Экстремумы функции

2. Правило исследования на экстремум

3. Понятие наибольшего и наименьшего значений

4. Примеры задач

Экстремумы функции

Для того чтобы ввести понятие наибольшего и наименьшего значения функций, вначале познакомимся с таким понятием, как экстремумы функций. Это понятие нам будет необходимо не для самого определения значений таких функций, а для построения схемы нахождения таких промежутков для конкретно заданных функций.

Определение 1

Точка $x’$ входящая в область определения функции называется точкой экстремума, если она либо будет точкой максимума, либо будет точкой минимума для функции $f(x)$.

Определение 2

Точка $x’$ будет называться точкой максимума для введенной функции $f(x)$, если у она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)\le f(x'{\rm \ })$.

Определение 3

Точка $x_0$ будет называться точкой минимума для введенной функции $f(x)$, если она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)\ge f(x'{\rm \ })$.

Чтобы полностью разобраться в данном понятии, далее введем понятие критической точки функции.

Определение 4

Точка $x’$ будет называться критической точкой для данной функции $f(x)$, если выполняются два следующих условия:

  1. Точка $x’$ является внутренней точкой для области определения данной функции;
  2. $f’\left(x'{\rm \ }\right)=0$ или не существует.

Сформулируем без доказательства теоремы о необходимом (теорема 1) и достаточном (теорема 2) условии для существования точки экстремума.

Теорема 1

Если $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то либо её производная в ней равняется нулю, либо производная в ней не существует.

Теорема 2

Пусть точка $x’$ будет критической для $y=f(x)$ и принадлежит интервалу $(a,b)$, причем на каждом интервале $\left(a,x'{\rm \ }\right)\ и\ (x'{\rm \ },b)$ производная $f'(x)$ существует и сохраняет один и тот же знак. В этом случае:

  1. Если в $(a,x'{\rm \ })$ $f’\left(x\right) >0$, а в $(x'{\rm \ },b)$ $f’\left(x\right)
  2. Если в $(a,x'{\rm \ })$ $f’\left(x\right)0$, то $x’$ —будет точкой минимума для этой функции.
  3. Если и в $(a,x'{\rm \ })$, и в $(x'{\rm \ },b)$ производная $имеет\ один\ и\ тот\ же\ постоянный\ знак$, то $x’$ не будет точкой экстремума для этой функции.

На рисунке 1 мы можем наглядно увидеть смысл теоремы 2.

Рисунок 1.

Примеры точек экстремумов вы можете видеть на рисунке 2.

Рисунок 2.

Правило исследования на экстремум

  1. Найти $D(f)$;
  2. Найти $f'(x)$;
  3. Найти точки, где $f’\left(x\right)=0$;
  4. Найти точки, где $f'(x)$ не будет существовать;
  5. Отметить на координатной прямой $D(f)$ и все найденные в 3 и 4 пункте точки;
  6. Определить знак $f'(x)$ на полученных промежутках;
  7. Используя теорему 2, сделать заключение по поводу всех найденных точек.

Понятие наибольшего и наименьшего значений

Определение 5

Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наибольшее значение в точке $x’\in X$, если выполняется

\[f\left(x\right)\le f(x’)\]

Определение 6

Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наименьшее значение в точке $x’\in X$, если выполняется

\[f\left(x\right)\ge f(x’)\]

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение заданной функции на каком либо отрезке необходимо произвести следующие действия:

  1. Найти $f'(x)$;
  2. Найти точки, в которых $f’\left(x\right)=0$;
  3. Найти точки, в которых $f'(x)$ не будет существовать;
  4. Выкинуть из точек, найденных в пунктах 2 и 3 те, которые не лежат в отрезке $[a,b]$;
  5. Вычислить значения в оставшихся точках и на концах $[a,b]$;
  6. Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее. 2}{x-2}=x-2,\ x\ne 2\]

    1. $f’\left(x\right)=(x-2)’=1$;

      Точек экстремума нет.

    2. Значения:

      \[f\left(-1\right)=-3\] \[f\left(1\right)=-1\]

    Ответ: $max=-1,\ min=-3$.

    Сообщество экспертов Автор24

    Автор этой статьи
    Дата последнего обновления статьи: 13.07.2022

    Выполнение любых типов работ по
    математике

    Решение задач по комбинаторике на заказ

    Решение задачи Коши онлайн

    Математика для заочников

    Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства

    Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел

    Контрольная работа на тему действия с рациональными числами

    Дипломная работа на тему числа

    Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения

    Контрольная работа на тему приближенные вычисления

    Решение задач с инвариантами

    Подбор готовых материалов по теме

    Дипломные работы
    Курсовые работы
    Выпускные квалификационные работы
    Рефераты
    Сочинения
    Доклады
    Эссе
    Отчеты по практике
    Решения задач
    Контрольные работы

    относительных экстремумов — определение, производные тесты, графики, примеры Точки относительных экстремумов можно получить с помощью критерия второй производной, проверяя знак второй производной в критических точках, или с помощью критерия первой производной, проверяя изменение знака первой производной функции в ближайшей окрестности критической точка.

    Тест первой производной и Тест второй производной — два наиболее часто используемых метода для определения относительных экстремумов.

    В этой статье мы узнаем, как находить относительные экстремумы функции, используя тесты производных и графики. Мы также будем решать различные примеры, чтобы понять шаги по нахождению относительных экстремумов и для ясности концепции.

    1. Что такое относительные экстремумы?
    2. Определение относительного экстремума
    3. Поиск относительных экстремумов
    4. Тест первой производной относительных экстремумов
    5. Тест второй производной относительного экстремума
    6. Относительный экстремум на графике
    7. Часто задаваемые вопросы об относительных экстремумах

    Что такое относительные экстремумы?

    Относительные экстремумы — это входные значения функции f(x), где f(x) имеет минимальное или максимальное значение. Они могут быть двух типов — относительные максимумы и относительные минимумы. Графически относительные экстремумы — это пики и впадины графика функции, причем пики — это точки относительных максимумов, а долины — точки относительных минимумов. Сочетание относительных максимумов и минимумов называется относительными экстремумами.

    Определение относительного экстремума

    Относительные экстремумы функции — это точки на графике функции, в которых получаются минимальные или максимальные значения функции на некотором интервале области определения функции. Пройдемся по определениям относительных максимумов и относительных по отдельности:

    • Относительные максимумы — Говорят, что точка x = b является точкой относительных максимумов для f(x), если она находится в 𝛿-окрестности b, т.е. (b−𝛿, b+𝛿), где 𝛿 можно сделать сколь угодно малым, f(x) < f(b) для всех x ∈ (b−𝛿, b+𝛿)∖{b}. Другими словами, если мы рассмотрим небольшую область (интервал) вокруг x = b, f(b) должно быть максимальным в этом интервале.
    • Относительные минимумы — Точка x = a называется точкой относительных минимумов для f(x), если она находится в окрестности точки a, т. е. в (a−𝛿,a+𝛿), где 𝛿 можно сделать сколь угодно малым , f(x) > f(a) для всех x ∈ (a−𝛿,a+𝛿)∖{a}. Проще говоря, если мы рассмотрим небольшой интервал вокруг x = a, f(a) должно быть минимумом в этом интервале.

    Обратите внимание, что функция f(x) может иметь более одного относительного экстремума. С другой стороны, может быть только один абсолютный экстремум (один абсолютный максимум и один абсолютный минимум) функции во всей области.

    Поиск относительных экстремумов

    Мы можем оценить относительные экстремумы функции, используя тесты производных. Есть два теста, а именно:

    • Первый производный тест
    • Тест второй производной

    Мы подробно изучим два теста с помощью примеров, чтобы понять их применение. В тесте первой производной мы проверяем знак первой производной при движении через критические точки, а в тесте второй производной мы проверяем знак второй производной в критических точках. Давайте подробно рассмотрим эти два теста в следующих разделах.

    Тест первой производной относительного экстремума

    Теперь, чтобы найти относительные экстремумы с помощью критерия первой производной, мы проверим изменение знака первой производной функции при движении через критические точки. Наклон графика функции определяется первой производной. Рассмотрим непрерывную дифференцируемую функцию f(x) с критической точкой при x = c, такую, что f'(c) = 0. Тогда имеем следующие условия для точек относительных экстремумов:0005

    • Относительный максимум: если знак f'(x) меняется с положительного на отрицательный при движении слева направо через точку x = c, т. е. если f'(x) > 0 для значений x слева 𝛿-окрестности c и f'(x) < 0 для значений x в правой 𝛿-окрестности c, где 𝛿 может быть сколь угодно малым, то x = c является точкой относительных максимумов.
    • Относительные минимумы: если знак f'(x) меняется с отрицательного на положительный при движении слева направо через точку x = c, т. е. если f'(x) < 0 для значений x слева 𝛿- окрестность c и f'(x) > 0 для значений x в правой 𝛿-окрестности c, где 𝛿 может быть сколь угодно малым, то x = c является точкой относительных минимумов.
    • Тест не пройден: если знак первой производной f(x) не меняется при движении через точку c, то x = c называется точкой перегиба.

    Рассмотрим пример, чтобы понять, как найти точки относительных экстремумов с помощью теста первой производной пошагово. Для этого рассмотрим функцию f(x) = 2x 3 — 3x 2 + 6. Теперь выполните указанные шаги, чтобы найти ее точки относительных экстремумов:

    Шаг 1: Определите производную от f(x)

    f'(x) = 6x 2 — 6x

    Шаг 2: Приравняйте производную к 0, т. е. f'(x) = 0, чтобы найти критические точки.

    f'(x) = 0

    ⇒ 6x 2 — 6x = 0

    ⇒ 6x(x — 1) = 0

    ⇒ x = 0, или x = 1

    и, следовательно, x = 1 — критические точки.

    Теперь для определения точек относительных экстремумов рассмотрим точки слева и справа от этих критических точек.

    Шаг 3: Найдите точки слева и справа от критических точек и проверьте значение производной в этих точках.

    Рассмотрим x = -1 слева и x = 1/2 справа от критической точки x = 0 и проверьте значение f'(x) в этих точках.

    f'(-1) = 6(-1) 2 — 6(-1) = 6 + 6 = 12 > 0

    f'(1/2) = 6(1/2) 2 — 6(1/2) = 6/4 — 6/2 = 3/2 — 3 = -3/2 < 0

    Поскольку значение f'(x) меняется с положительного на отрицательное, поэтому x = 0 точка относительных максимумов.

    Аналогично рассмотрим x = 1/2 слева и x = 2 справа от критической точки x = 1 и проверьте значение f'(x) в этих точках.

    f'(1/2) = 6(1/2) 2 — 6(1/2) = 6/4 — 6/2 = 3/2 — 3 = -3/2 < 0

    f ‘(2) = 6(2) 2 — 6(2) = 24 — 12 = 12 > 0

    Поскольку значение f'(x) меняется с отрицательного на положительное, поэтому x = 1 является точкой относительные минимумы.

    Чтобы определить относительное максимальное и минимальное значения, мы можем найти значения f(0) и f(1) соответственно.

    Тест второй производной относительного экстремума

    Далее, чтобы найти точки относительных экстремумов с помощью критерия второй производной, мы проверяем знак второй производной функции в критических точках. Как правило, если первая проверка производной не проходит, мы используем вторую проверку производной, чтобы найти точки относительных экстремумов. Рассмотрим функцию f(x), дважды дифференцируемую, и критическую точку x = c в области определения f(x), такую, что f'(c) = 0, тогда выполняются следующие условия:

    • Если f»(c) < 0, то x = c является точкой относительных максимумов.
    • Если f»(c) > 0, то x = c является точкой относительных минимумов.
    • Тест не пройден, если f»(c) = 0. В этом случае x = c называется точкой перегиба.

    Рассмотрим пример, чтобы понять, как пошагово находить точки относительных экстремумов с помощью теста второй производной. Для этого рассмотрим функцию f(x) = 2x 3 + 3x 2 — 12x + 5. Теперь выполните указанные шаги, чтобы найти ее точки относительных экстремумов:

    Шаг 1: Определите производную f(x)

    f'(x) = 6x 2 + 6x — 12

    Шаг 2: Приравняйте производную к 0, т. е. f'(x) = от 0 до найти критические точки.

    f'(x) = 0

    ⇒ 6x 2 + 6x — 12 = 0

    ⇒ 6(x 2 + x — 2) = 0

    ⇒ -2 x 90 =

    + 1 2 90 0

    ⇒ х 2 + 2х — х — 2 = 0

    ⇒ х(х + 2) — 1(х + 2) = 0

    ⇒ (х — 1) (х + 2) = 0

    ⇒ х = 1 или х = -2

    Следовательно, x = -2 и x = 1 являются критическими точками.

    Шаг 3: Определите вторую производную f(x).

    f»(x) = 12 x + 6

    Шаг 4: Подставьте критические точки в f»(x) и проверьте знак второй производной.

    f»(-2) = 12(-2) + 6 = -24 + 6 = -18 < 0 ⇒ x = -2 — точка относительных максимумов.

    f»(1) = 12(1) + 6 = 12 + 6 = 18 > 0 ⇒ x = 1 — точка относительных минимумов.

    Относительный экстремум на графике

    Мы научились определять точки относительных экстремумов алгебраически, используя тесты производных. Далее мы научимся определять относительные экстремумы функции с помощью графика. Пики и впадины на графике указывают на относительные экстремумы функции. Как мы видим на графике ниже, в точках x = a и x = c есть долины, и функция имеет минимальные значения в этих точках, следовательно, x = a и x = c являются точками относительных минимумов. Точно так же мы видим пики при x = b и x = d на графике. В этих точках функция имеет максимальные значения, поэтому x = b и x = d являются точками относительных максимумов.

    Важные примечания относительно относительных экстремумов

    • Функция может иметь несколько относительных экстремумов, но может быть только одна точка абсолютного максимума и абсолютного минимума.
    • Значение x в области определения f(x), которое не является ни локальным максимумом, ни локальным минимумом, называется точкой перегиба.

    Темы, связанные с относительными экстремумами

    • Относительные максимумы
    • Первый производный тест
    • Тест второй производной
    • Применение деривативов

    Часто задаваемые вопросы об относительных экстремумах

    Что такое относительный экстремум в исчислении?

    Относительные экстремумы — это входные значения функции f(x), где f(x) имеет минимальное или максимальное значение. Они могут быть двух типов — относительные максимумы и относительные минимумы.

    Что такое относительные экстремумы на графике?

    Пики и впадины на графике обозначают относительные экстремумы функции, пики — это точки относительных максимумов, а впадины — точки относительных минимумов.

    Когда нет относительных экстремумов?

    Относительные экстремумы не встречаются на концах области определения функции.

    Как найти относительные экстремумы?

    Мы можем найти относительные экстремумы, используя график. Их также можно определить алгебраически, используя критерии первой и второй производной.

    Как найти относительные экстремумы с помощью теста второй производной?

    Рассмотрим функцию f(x), дважды дифференцируемую, и критическую точку x = c в области определения f(x), такую, что f'(c) = 0, тогда выполняются следующие условия:

    • Если f»(c) < 0, то x = c является точкой относительных максимумов.
    • Если f»(c) > 0, то x = c является точкой относительных минимумов.
    • Тест не пройден, если f»(c) = 0. В этом случае x = c называется точкой перегиба.

    Что такое тест первой производной для относительных экстремумов?

    Для теста первой производной для нахождения относительных экстремумов рассмотрим непрерывную дифференцируемую функцию f(x) с критической точкой при x = c, такой что f'(c) = 0. Тогда у нас есть следующие условия для точек относительных экстремумы:

    • Относительный максимум: если знак f'(x) меняется с положительного на отрицательный при движении слева направо через точку x = c, т. е. если f'(x) > 0 для значений x слева 𝛿-окрестности c и f'(x) < 0 для значений x в правой 𝛿-окрестности c, где 𝛿 может быть сколь угодно малым, то x = c является точкой относительных максимумов.
    • Относительные минимумы: если знак f'(x) меняется с отрицательного на положительный при движении слева направо через точку x = c, т. е. если f'(x) < 0 для значений x слева 𝛿- окрестность c и f'(x) > 0 для значений x в правой 𝛿-окрестности c, где 𝛿 может быть сколь угодно малым, то x = c является точкой относительных минимумов.
    • Тест не пройден: если знак первой производной f(x) не меняется при движении через точку c, то x = c называется точкой перегиба.

    В чем разница между абсолютным и относительным экстремумами?

    Функция может иметь один абсолютный экстремум (один абсолютный максимум и один абсолютный минимум). С другой стороны, функция может иметь как можно больше относительных экстремумов. Кроме того, абсолютные экстремумы являются только одним из относительных экстремумов.

    Является ли точка перегиба относительным экстремумом?

    Точка перегиба может быть или не быть относительным экстремумом. Например, рассмотрим (x) = x 2 для x ≤ 0. Здесь x = 0 является точкой перегиба с использованием теста первой производной, но x = 0 также является точкой относительного минимума.

    Как найти локальные экстремумы с помощью теста первой производной0004 Предварительное вычисление для чайников

    Предварительное вычисление для чайников

    Исследуйте книгу Купить на Amazon

    Все локальные максимумы и минимумы на графике функции, называемые локальными экстремумами, встречаются в критических точках функции (где производная равна нулю или не определена). ). Не забывайте, однако, что не все критические точки обязательно являются локальными экстремумами.

    Первым шагом в поиске локальных экстремумов функции является нахождение ее критических чисел ( x -значений критических точек). Затем вы используете тест первой производной. Этот тест основан на идеях уровня Нобелевской премии, согласно которым, когда вы преодолеваете вершину холма, вы сначала поднимаетесь, а затем спускаетесь, и что когда вы въезжаете в долину и выезжаете из нее, вы спускаетесь, а затем вверх. Этот математический материал довольно удивителен, а?

    На рисунке показан график

    Чтобы найти критические числа этой функции, выполните следующие действия:

    1. Найдите первую производную от f , используя степенное правило.

    2. Установите производную равной нулю и найдите x.

      x = 0, –2 или 2.

      Эти три значения x- являются критическими числами f. Дополнительные критические числа могли бы существовать, если бы первая производная была неопределенной при некоторых x -значения, а потому что производная

      определено для всех входных значений, приведенный выше набор решений, 0, –2 и 2, представляет собой полный список критических чисел. Поскольку производная (и наклон) 90 335 f 90 336 равна нулю при этих трех критических числах, кривая имеет горизонтальные касательные при этих числах.

    Теперь, когда у вас есть список критических чисел, вам нужно определить, возникают ли пики или впадины или ни то, ни другое при этих значениях x . Вы можете сделать это с помощью теста первой производной. Вот как:

    1. Возьмите числовую прямую и запишите найденные критические числа: 0, –2 и 2.

      Вы делите эту числовую прямую на четыре области: слева от –2, от –2 до 0, от 0 до 2 и справа от 2.

    2. Выберите значение из каждой области, подставьте его в первую производную и отметьте, будет ли ваш результат положительным или отрицательным.

      В этом примере вы можете использовать числа –3, –1, 1 и 3 для проверки областей.

      Эти четыре результата являются соответственно положительными, отрицательными, отрицательными и положительными.

    3. Возьмите свою числовую прямую, отметьте каждую область соответствующим положительным или отрицательным знаком и укажите, где функция увеличивается и уменьшается.

      Увеличивается, когда производная положительна, и уменьшается, когда производная отрицательна. В результате получается так называемый знаковый график функции.

      Эта цифра просто говорит вам то, что вы уже знаете, если смотрели на график f — что функция идет вверх до –2, вниз от –2 до 0, далее вниз от 0 до 2 и снова вверх от 2 на.

      А вот и ракетостроение. Функция переключается с возрастания на убывание при –2; другими словами, вы поднимаетесь до -2, а затем падаете. Итак, при –2 у вас есть холм или локальный максимум. И наоборот, поскольку функция переключается с убывания на возрастание в 2, у вас есть впадина или локальный минимум. И поскольку знак первой производной не меняется при нуле, в этом значении x нет ни минимума, ни максимума.

    4. Получите значения функций (другими словами, высоты) этих двух локальных экстремумов, вставив x- значений в исходную функцию.

      Таким образом, локальный максимум находится в точке (–2, 64), а локальный минимум – в точке (2, –64).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *