Что такое обратно пропорциональные величины: Обратно пропорциональные величины — урок. Математика, 6 класс.

Содержание

Урок 7. прямая и обратная пропорциональность. решение задач — Математика — 6 класс

Математика

6 класс

Урок № 7

Прямая и обратная пропорциональность. Решение задач

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Понятия прямой и обратной пропорциональной зависимости.
  • Краткая запись условия задачи.
  • Составление и решение пропорций по условию задачи.
  • Решение задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

Тезаурус

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Основная литература

  1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

  1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
  2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Прямая пропорциональность.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Обратная пропорциональность.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Для решения задач на пропорциональную зависимость, удобно составить таблицу или сделать краткую запись условия.

Столбцы таблицы соответствуют наименованиям зависимых величин.

Строки таблицы соответствуют значениям величин при первом и втором измерении.

Одинаково направленные стрелки показывают прямо пропорциональную зависимость, противоположно направленные – обратно пропорциональную.

Задача.

Поезд, скорость которого 55 км/ч, был в пути 5 часов. За сколько часов пройдёт этот же участок пути товарный поезд, скорость которого 45 км/ч?

Решение.

При постоянном пути скорость и время движения обратно пропорциональны.

Допустим, товарный поезд пройдёт этот же путь со скоростью 45 км/ч за x ч.

Сделаем краткую запись условия.

Задача.

Двигаясь с постоянной скоростью, велогонщик проезжает 40 метров за 3 с. Какой путь проедет велогонщик за 45 с?

Решение.

При постоянной скорости путь прямо пропорционален времени движения.

Пусть х м проедет велогонщик за 45 с.

Сделаем краткую запись условия.

Задача.

Усилие при восхождении на высоту 600 м равно усилию, требуемому для перехода 25 км по равнине. Турист поднялся в горы на 792 м. Какому расстоянию на равнине соответствует этот подъём?

Решение:

Решение.

Задача.

Четыре программиста могут написать игру за 12 месяцев. За сколько месяцев эту работу могут выполнить три программиста?

Решение.

Количество программистов и скорость написания игры – это обратно пропорциональная зависимость.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Подстановка элементов в пропуски в тексте.

Подставьте нужные элементы в пропуски.

Пешеход шёл 3 часа со скоростью 8 км/ч. За сколько часов он пройдёт то же расстояние со скоростью 6 км/ч?

Решение:

При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – ______ пропорциональны.

Пусть _____ часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.

Составим пропорцию:

_________

х=_______

х=_______(ч).

Правильный ответ.

Решение:

При фиксированном расстоянии время в пути и скорость – обратно пропорциональны.

Пусть х часов – пешеход идёт со скоростью 6 км/ч.

№ 2. Подстановка элементов в пропуски в таблице.

Заполните таблицу.

Поезд движется со скоростью 45 км/ч. Какое расстояние он пройдёт, если будет в пути 3 ч; 4 ч; 5 ч; 6 ч.

Варианты ответов:

135 км;

180 км;

225 км;

270 км.

Решение.

При постоянной скорости пройденный путь и время прямо пропорциональны. Скорость движения поезда 45 км/ч означает, что за 1 час поезд преодолевает расстояние в 45 км. Обозначим за x км – расстояние, которое поезд пройдёт за 3, 4, 5 и 6 часов.

Таким же способом находим расстояние, которое пройдёт поезд за 4, 5 и 6 часов, и подставляем соответствующие варианты в таблицу.

Ответ:

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Арифметика

      Две величины   y   и   x ,   связанные зависимостью

y = kx ,

где   k   – некоторое число, называются прямо пропорциональными. Число   k   называется коэффициентом прямой пропорциональности.

      Графиком прямо пропорциональной зависимости величин является прямая линия. Например, при   k = 2   график прямо пропорциональной зависимости имеет следующий вид

      Отношение прямо пропорциональных величин является постоянным числом и равно   k :

      Две величины   y   и   x ,   связанные зависимостью

где   k   – некоторое число, называются обратно пропорциональными. Число   k   называется коэффициентом обратной пропорциональности.

      Графиком обратно пропорциональной зависимости величин является гипербола. Например, при   k = 2   график обратно пропорциональной зависимости имеет следующий вид

      Произведение обратно пропорциональных величин является постоянным числом и равно   k :

yx = k .

      Пример 1. Число   110   разделить на три слагаемых прямо пропорционально числам   1, 3   и   7 .

      Решение. Если обозначить слагаемые буквами   a , b   и   c ,   а коэффициент прямой пропорциональности буквой   k   и воспользоваться тем, что отношение прямо пропорциональных величин является числом постоянным, то будут выполнены соотношения:

      Следовательно,

b = 3a ,       c = 7a .

      Поэтому

      Таким образом,

b = 3a = 30,       c = 7a = 70.

      Итак, первое слагаемое равно   10 ,   второе слагаемое равно   30 ,   а третье слагаемое равно   70 .   Их сумма равна   110 .

      Ответ:   10 , 30 , 70 .

      Пример 2. Число   40   разделить на два слагаемых обратно пропорционально числам   1   и .

      Решение. Если обозначить слагаемые буквами   a   и   b ,   а коэффициент обратной пропорциональности буквой   k ,   и воспользоваться тем, что произведение обратно пропорциональных величин является числом постоянным, то будут выполнены соотношения:

      Следовательно:

b = 3a ,     a + b = 40,    
a + 3a = 40,    
4a = 40,    
a = 10,    b = 30.

      Итак, первое слагаемое равно   10 ,   а второе слагаемое равно   30 .   Их сумма равна   40 .

      Ответ:   10 , 30 .

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

6.1.5. Обратно пропорциональные величины.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 378 Опубликовано

I. Обратно пропорциональные величины.

Пусть величина у зависит от величины х. Если при увеличении х в несколько раз величина у уменьшается во столько же раз, то такие величины х и у называются обратно пропорциональными.

Примеры.

1. Скорость и время при одинаковой длине пути. Если от А до В 200 км, то при скорости 50 км/ч понадобится 4 часа, а при скорости 40 км/ч понадобится 5 часов, т.е. если скорость уменьшается, то время увеличивается, а если скорость увеличивается, то время уменьшается. Это изобразится так:

2. Количество рабочих и время при определенном объеме работ. Если шести рабочим нужно на выполнение определенной работы 4 часа, то трем рабочим на выполнение той же работы потребуется 8 часов, т. е. чем меньше работников, тем больше нужно времени, чтобы выполнить определенную работу.

Смысл: во сколько раз стало меньше рабочих (в 2 раза), во столько же раз больше (в 2 раза) времени потребуется.

 

3) Длина и ширина прямоугольника при постоянной площади прямоугольника. Если площадь участка прямоугольной формы с длиной 8 м, равна 48 м², то его ширина будет равна (48:8=6)м. Если же длину взять больше в 2 раза (16 м), то ширина уменьшится тоже в 2 раза (48:16=3)м.

II. Свойство обратной пропорциональности величин.

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Задача 1. Изготавливая по 42 детали в час, рабочий трудился 8 часов. Сколько времени ему понадобилось бы на эту же работу, если бы он делал в час по 48 деталей?

Решение. Составим схему по условию задачи:

42 детали в час ——— 8 часов.

48 деталей в час ——-  х часов.

Имеем обратно пропорциональную зависимостьво сколько раз больше деталей в час рабочий будет изготавливать, во столько же раз меньше ему потребуется времени на одну и ту же работу. Используя свойство обратной пропорциональности, запишем:

Ответ: рабочий выполнит ту же работу за 7 часов.

Задача 2. Бассейн можно наполнять через одну из двух труб.Через первую трубу, со скоростью 2 литра в 1 секунду, бассейн наполняется за 45 минут. Какова  скорость наполнения бассейна  через вторую трубу, если весь бассейн наполняется через вторую трубу за 1 час 15 минут.

Решение. 

По условию задачи через первую трубу в бассейн вытекает 2 литра за 1 секунду или 2·60=120 литров за 1 минуту (1 минута=60 секунд), и бассейн наполняется за 45 минут.

Через вторую трубу бассейн наполняется за 1 час 15 минут. Времени требуется больше, значит, скорость наполнения меньше. Имеем обратно пропорциональные величины: скорость наполнения и время наполнения бассейна. Обозначим скорость наполнения бассейна через вторую трубу через х.

120 литров в минуту ——— 45 минут;

х литров в минуту ——— 75 минут.   (1 час 15 минут = 60 минут + 15 минут = 75 минут).

Во сколько раз скорость наполнения меньше, во столько раз больше потребуется времени для заполнения бассейна.

Мы нашли скорость наполнения бассейна через вторую трубу в литрах в минуту. Итак, через вторую трубу бассейн наполняется со скоростью 72 литра в минуту или 72:60=1,2 литров в секунду.

Ответ: через вторую трубу в бассейн вливается 1,2 литра в 1 секунду.  

Прямая и обратная пропорциональность. Коэффициент и формулы

Пропорциональность — это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.

Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.

Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:

s = vt,

где  s  — это путь,  v  — скорость, а  t  — время.

При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость  v  равной  5 км/ч,  то пройденный путь  s  будет зависеть только от времени движения  t:

Скорость v = 5 км/ч
Время t (ч) 1 2 4 8 16
Путь s (км) 5 10 20 40 80

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения  t,  во столько же раз увеличивается пройденное расстояние  s.  В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.

В данном случае скорость  (v = 5 км/ч)  является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:

следовательно,

5  =  10  =  20  =  40  =  80  = 5.
1 2 4 8 16

Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:

Время  t = 2 ч
Скорость  v (км/ч) 5 15 45 90
Расстояние  s (км) 10 30 90 180

В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время  (t = 2 ч):

следовательно,

10  =  30  =  90  =  180  = 2.
5 15 45 90

Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Формула прямой пропорциональности

Формула прямой пропорциональности:

y = kx,

где  y  и  x  — это переменные величины, а  k  — это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных  y  и  x  равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.

Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:

s = vt,

где  s  — это путь,  v  — скорость, а  t  — время.

При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь  s  равным  120 км,  то потраченное на преодоление этого пути время  t  будет зависеть только от скорости движения  v:

Путь  s = 120 км
Скорость  v (км/ч) 10 20 40 80
Время  t (ч) 12 6 3 1,5

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения  v,  во столько же раз уменьшается время  t.  В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.

В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:

s = vt,

следовательно,

10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120.

Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Формула обратной пропорциональности

Формула обратной пропорциональности:

где  y  и  x  — это переменные величины, а  k  — это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных  y  и  x,  равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

xy = k.

Обратно пропорциональная зависимость | Математика

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз. Соответственно, при уменьшении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

Зависимость между такими величинами — обратно пропорциональная зависимость. Примеры обратной пропорциональной зависимости:

1)  время, затраченное на прохождение определенного пути, и скорость, с которой этот путь был пройден — обратно пропорциональные величины;

2) при одинаковой производительности труда количество рабочих, выполняющих определенную работу, обратно пропорционально  времени выполнения этой работы;

3) количество товара, купленного на определенную сумму денег,  обратно пропорционально его цене.

Чтобы отличить обратно пропорциональную зависимость от прямой, можно использовать пословицу: «Тише едешь — дальше будешь».

Задачи на обратно пропорциональные величины удобно решать с помощью пропорции.

Рассмотрим примеры задач на обратно пропорциональную зависимость.

1) 24 человека за 5 дней пропололи участок. За сколько дней выполнит ту же работу 30 человек, если будут работать с той же производительностью?

(Рассуждаем так:

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы. Значит, это — обратно пропорциональная зависимость.

3. Поэтому вторая стрелка имеет противоположное направление).

Решение:

Пусть за х дней могут прополоть участок 30 человек. Составляем пропорцию (в направлении от начала стрелки к ее концу):

   

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, надо произведение средних членов разделить на известный крайний член:

   

24 и 30  сокращаем на 6, 5 и 5 — на 5:

   

Значит, 30 человек выполнят эту работу за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

2) Для перевозки груза автомашине грузоподъемностью 7,5 тонн пришлось сделать 12 рейсов. Сколько рейсов понадобится сделать автомашине грузоподъемностью 9 тонн для перевозки этого же груза?

(1. В заполненном столбце ставим стрелку в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше грузоподъемность машины, тем меньше рейсов ей нужно сделать, чтобы перевезти груз. Значит, это — обратно пропорциональная зависимость.

3. Поэтому вторая стрелка имеет противоположное направление).

Решение:

Пусть х рейсов потребуется машине грузоподъемностью 9 тонн, чтобы перевезти груз. Составляем пропорцию (от начала стрелки к ее концу):

   

   

   

Значит, понадобится 10 рейсов.

Ответ: 10 рейсов.

ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ — это… Что такое ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ?

ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ — см. Пропорциональность.

Большой Энциклопедический словарь.
2000.

  • ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
  • ОБРАТНОЕ ТРЕБОВАНИЕ

Смотреть что такое «ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ» в других словарях:

  • обратно пропорциональные величины — см.  Пропорциональность. * * * ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, см. Пропорциональность (см. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ) …   Энциклопедический словарь

  • Обратно пропорциональные величины —         две величины, связанные между собой так, что с увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. О. п. в. х и у связаны соотношением ху = k (то есть х = и у = , где k постоянно) …   Большая советская энциклопедия

  • ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ — см. Пропорциональность …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ — (лат. proportionalis от proportio отношение, сходство, пропорция). Соразмерный, правомерный. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ лат. propotiornalis, от proportio, пропорция.… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • пропорциона́льный — ая, ое; лен, льна, льно. 1. Обладающий пропорцией, находящийся в соразмерном соотношении частей. Пропорциональное сложение. □ [У Пушкина] было небольшое лицо и прекрасная, пропорциональная лицу, голова, с негустыми, кудрявыми волосами. И.… …   Малый академический словарь

  • ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ — ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЙ, пропорциональная, пропорциональное; пропорционален, пропорциональна, пропорционально (лат. proporcionalis соразмерный) (книжн.). 1. Обладающий соразмерностью частей. Пропорциональное телосложение. 2. Такой, который с увеличением …   Толковый словарь Ушакова

  • Растворы* — Содержание: Понятие о Р. Однородность Р. Растворимость. Насыщение и пересыщение Р. Замерзание Р. Криогидраты. Упругость пара Р. Удельные веca слабых Р. солей. Осмотическое давление и физико механическая теория Р. Цвет водных Р. солей. Химизм Р.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Растворы — Понятие о Р. Однородность Р. Растворимость. Насыщение и пересыщение Р. Замерзание Р. Криогидраты. Упругость пара Р. Удельные веса слабых Р. солей. Осмотическое давление и физико механическая теория Р. Цвет водных Р. солей. Химизм Р. Физико… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Методы лесоустройства — М. лесоустройства были разновременно предложены разными авторами или вырабатывались на практике, преследуя во всех случаях одну и ту же цель: составление плана хозяйства, выполнение которого могло бы привести устроенную лесную дачу в нормальное… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Резистор — Иное название этого понятия  «Сопротивление»; см. также другие значения. Шесть резисторов разных номиналов и точности, промаркированные с помощью цветовой схемы Резистор …   Википедия

Прямая и обратная пропорциональная зависимость — Kid-mama

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Проще всего понять прямо пропорциональную зависимость на примере станка, изготавливающего детали с постоянной скоростью. Если за два часа он делает 25 деталей, то за 4 часа он изготовит деталей вдвое больше — 50. Во сколько раз дольше времени он будет работать, во столько же раз больше деталей он изготовит.

Математически это выглядит так:                      

  4 : 2 = 50 : 25    или так:         2 : 4 = 25 : 50

Прямо пропорциональными величинами тут являются  время работы станка и число изготовленных деталей. 

Говорят: Число деталей прямо пропорционально времени работы станка.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих величин равны. (В нашем примере — это отношение времени 1 к времени 2 = отношению количества деталей за время 1 к количеству деталей за время 2)

 Обратная пропорциональность

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Обратно пропорциональная зависимость часто встречается в задачах на скорость. Скорость и время являются обратно пропорциональными величинами. Действительно, чем быстрее движется объект, тем меньше времени у него уйдет на путь.

Например:

Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины (скорости в нашем примере) равно обратному отношению другой величины ( времени в нашем примере). ( В нашем примере — отношение первой скорости к второй скорости равно отношению второго времени к первому времени.

Задача 1:

Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?

Решение:

Запишем краткое условие задачи:


Задача 2:

Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузоподъемностью 7,5 тонн. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз?

Решение: 

Краткая запись:

обратно пропорционально — определение, формула и примеры

Говорят, что две величины обратно пропорциональны, когда значение одной величины увеличивается по сравнению с уменьшением другой, или наоборот. Это означает, что эти две величины ведут себя противоположно по своей природе. Например, время, необходимое для выполнения задачи, уменьшается с увеличением количества рабочих, выполняющих ее, и увеличивается с уменьшением количества рабочих. Здесь время и количество рабочих обратно пропорциональны друг другу.

Другие термины, которые могут использоваться здесь для этого типа пропорции, — это обратная пропорция или обратное изменение, или обратное изменение, или обратная пропорция. Две переменные говорят x и y, которые в обратной пропорции представлены как x ∝ 1 / y или x ∝ y -1 . Прямая пропорция и обратная пропорция противоположны друг другу отношениями.

Что обратно пропорционально?

В математике и физике мы узнаем о величинах, которые зависят друг от друга, и такие величины называются пропорциональными друг другу.Другими словами, две переменные или величины пропорциональны друг другу, если одна изменяется, то другая также изменяется на фиксированную величину. Это свойство переменных называется пропорциональностью, а символ, используемый для представления пропорциональности, — «∝». Есть два типа пропорциональности переменных. Их:

  • Прямо пропорциональный
  • обратно пропорционально

Когда две величины связаны друг с другом обратно пропорционально, т. Е. Когда увеличение одной величины приводит к уменьшению другой и наоборот, то говорят, что они обратно пропорциональны.В обратной пропорции, если одна переменная уменьшается, другая увеличивается в той же пропорции. Это противоположно прямой пропорции. Или говорят, что две величины обратно пропорциональны , когда одна величина прямо пропорциональна обратной величине других. Например, соотношение между скоростью и временем. Скорость и время в пути обратно пропорциональны, потому что чем быстрее мы путешествуем, то есть чем больше скорость, тем короче время.

  • По мере увеличения скорости время в пути уменьшается
  • И с уменьшением скорости время в пути увеличивается

Общая формула обратно пропорциональной

Символ «∝» обозначает пропорциональную зависимость между двумя величинами. Пусть x и y — две величины. Тогда y обратно пропорционален x — это то же самое, что y прямо пропорционален 1 / x. Тогда говорят, что y обратно пропорционален x, и математически записывается как y ∝ 1 / x

.

Общее уравнение обратной вариации y = k / x, где k — постоянная пропорциональности.

Мы также можем записать это как y × x = k, y × x = Constant

Если x и y находятся в обратной вариации и x имеет два значения x 1 и x 2 , соответствующие y, который также имеет два значения y 1 и y 2 соответственно, то по определению обратной вариации , имеем x 1 y 1 = x 2 y 2 = (k)

В этом случае это становится x 1 / x 2 = y 2 / y 1 = k

Графическое представление обратной пропорциональности

График обратной пропорциональности выглядит следующим образом.

Например, графики уравнений y = 1 / x и y = -1 / x имеют обратно пропорциональные отношения.

Применение обратно пропорционального коэффициента

Концепция обратной пропорциональности широко используется в повседневной жизни, а также при решении многих задач в области науки, статистики и т. Д. В физике существует множество формул, выведенных с использованием концепции обратной пропорциональности. Закон Ома, соотношение скорости и времени, длина волны звука и его частота — это несколько.

Важные замечания по обратно пропорциональной системе

Для обратной пропорциональности необходимо помнить следующие моменты:

  • Если одно количество увеличивается, другое уменьшается.
  • x ∝ 1 / y или y ∝ 1 / x
  • x × y = k, где k называется константой пропорциональности.


Часто задаваемые вопросы об обратном пропорциональном распределении

Что такое прямо пропорционально?

Прямо пропорциональные переменные или величины — это переменные, в которых, если одна переменная увеличивается, другая также увеличивается. Это означает, что когда увеличение одного количества приводит к увеличению другого, и наоборот, говорят, что они прямо пропорциональны.

Например, заработок человека прямо пропорционален количеству часов или дней, которые он работает.

Как узнать, пропорционально оно прямо или обратно?

Обратную пропорциональную зависимость между двумя величинами можно понять, как показано ниже,

  • Укажите две величины, которые различаются в данной проблеме.
  • Если x / y постоянный, то он прямо пропорционален.
  • Если x × y постоянно, то обратно пропорционально.

Какова формула обратно пропорциональной зависимости?

Формула обратной связи помогает математически представить обратно пропорциональную зависимость. Формула обратной вариации: x × y = k или y = k / x

.

Что обратное 1?

Обратное значение любой переменной, например x, можно вычислить как 1 / x.Следовательно, величина, обратная 1, будет 1/1, что равно 1.

.

Что это значит, если две вещи обратно пропорциональны?

Говорят, что две величины обратно пропорциональны, когда значение одной величины увеличивается по сравнению с уменьшением другой, или наоборот. Это означает, что эти две величины ведут себя противоположно по своей природе. Например, соотношение скорости и времени. Скорость и время в пути обратно пропорциональны, потому что чем быстрее мы путешествуем, то есть чем больше скорость, тем короче время.

Что означает символ обратной пропорциональности?

Для обозначения пропорциональности используется символ «∝». Обратная пропорциональность относится к одному количеству, которое прямо пропорционально обратному значению другого количества. Мы представляем любые две величины в обратной пропорции как, x ∝ 1 / y или x ∝ y -1 .

Что такое пример обратной пропорции?

Обратно пропорциональная зависимость возникает, когда одно значение увеличивается, а другое уменьшается. Например, большее количество рабочих сокращает время, необходимое для выполнения задачи. Таким образом, они обратно пропорциональны.

Обратно пропорционально — объяснение и примеры

Что означает «обратно пропорциональная величина»?

В нашей повседневной жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда на изменение значений одной величины влияет изменение значений другой величины.

Например, , сирена приближающейся пожарной машины или машины скорой помощи становится громче по мере приближения к вам автомобиля и тише по мере удаления.Вы заметили, что чем меньше расстояние между вами и автомобилем, тем громче сирена и чем больше расстояние, тем тише становится сирена. Этот тип ситуации называется обратной пропорцией, а иногда и косвенной пропорцией.

Прямая и косвенная пропорция — это два понятия, с которыми мы все знакомы, но, возможно, не на математическом уровне. И прямая, и обратная пропорция используются, чтобы показать, как две величины связаны друг с другом.

В этой статье мы узнаем об обратной и косвенной пропорции и о том, как эти концепции важны в реальных жизненных ситуациях.но прежде чем мы начнем, давайте напомним себе о концепции прямой пропорции.

Прямая пропорция

Две переменные a и b считаются прямо пропорциональными, если увеличение одной переменной вызывает увеличение другой переменной, и наоборот. Это означает, что прямо пропорционально соотношение соответствующих значений переменных остается постоянным. В этом случае, если значения b; b 1 , b 2 соответствует значениям a; a 1 , a 2 соответственно, тогда их соотношение будет постоянным;

a 1/ / b 1 = a 2 / b 2

Прямая пропорция представлена ​​знаком пропорциональности ‘’ как a ∝ b.Формула прямого изменения имеет следующий вид:

a / b = k

, где k называется константой пропорциональности.

Обратная пропорция

В отличие от прямой пропорции, когда одно количество изменяется прямо пропорционально изменениям другого количества, в обратной пропорции, увеличение одной переменной вызывает уменьшение другой переменной, и наоборот. Говорят, что две переменные a и b обратно пропорциональны, если; а∝1 / б. В этом случае увеличение переменной b вызывает уменьшение значения переменной a.Точно так же уменьшение переменной b вызывает увеличение значения переменной a.

Формула косвенной пропорциональности

Если переменная a обратно пропорциональна переменной b, то это можно представить формулой:

a∝1 / b

ab = k; где k — пропорциональная постоянная.

Чтобы создать обратное пропорциональное уравнение, необходимо выполнить следующие шаги:

  • Запишите пропорциональное соотношение
  • Напишите уравнение, используя константу пропорциональности
  • Теперь найдите значение константы, используя заданные значения
  • Замените значение константы в уравнении.

Примеры из реальной жизни концепции обратной пропорции

  • Время, необходимое определенному количеству рабочих для выполнения части работы, обратно пропорционально количеству рабочих на работе. Это означает, что чем меньше рабочих, тем больше времени требуется для завершения работы, и наоборот.
  • Скорость движущегося судна, такого как поезд, транспортное средство или корабль, обратно пропорциональна времени, необходимому для преодоления определенного расстояния. Чем выше скорость, тем меньше времени требуется на преодоление дистанции.

Пример 1

35 рабочих собирают урожай кофе на плантации за 8 дней. Сколько времени потребуется 20 рабочим, чтобы собрать урожай кофе на одной и той же плантации.

Решение

  • 35 рабочих собирают кофе за 8 дней

Продолжительность, занятая одним рабочим = (35 × 8) дней

  • Теперь вычислите продолжительность, затраченную на 20 рабочих

= (35 × 8) / 20

= 14 дней
Следовательно, на 20 рабочих потребуется 14 дней.

Пример 2

6 коз или 8 овец пасутся на поле в течение 28 дней. Сколько времени понадобится 9 козам и 2 овцам, чтобы пасти одно и то же поле.
Решение
6 коз = 8 овец
⇒ 1 коза = 8/6 овец
⇒ 9 коз ≡ (8/6 × 9) овец = 12 овец
⇒ (9 коз + 2 овцы) ≡ (12 овец + 2 овец) = 14 овец

Итак, 8 овец => 28 дней

Одна овца будет пасти (28 × 8) дней

⇒ 14 овец займет (28 × 8) / 14 дней
= 16 дней
Следовательно, 9 коз и 2 овцы будут пасти поле 16 дней.

Пример 3

Девять кранов могут заполнить бак за четыре часа. Сколько времени потребуется двенадцать кранов с одинаковым расходом, чтобы заполнить один и тот же резервуар?

Решение

Пусть отношения;

x 1 / x 2 = y 2/ y 1

⇒ 9 / x = 12/4

x = 3

Таким образом, 12 кранов заполнят бак за 3 часа .

Практические вопросы

  1. В армейской казарме достаточно еды, чтобы прокормить 80 солдат в течение 60 дней. Подсчитайте, на сколько хватит еды, когда через 15 дней в казарму войдут еще 20 солдат.
  2. 8 кранов с одинаковым расходом могут заполнить резервуар за 27 минут. Если не открывать два крана, сколько времени потребуется для заполнения бака оставшимися трубами?
  3. Общая недельная заработная плата для 6 рабочих, работающих по 8 часов в день, составляет 8400 долларов США. Какова будет недельная заработная плата 9 рабочих, работающих по 6 часов в день?
  4. 1350 литров молока могут выпить 70 студентов за 30 дней. Сколько учеников потребят 1710 литров молока за 28 дней?
  5. 15 женщин или 12 мужчин могут выполнить определенную задачу за 66 дней.Сколько времени потребуется 3 и 24 женщинам и мужчинам соответственно, чтобы выполнить одну и ту же задачу?

Ответы

  1. 51 день
  2. 36 минут
  3. $ 9450
  4. 95 студентов
  5. 30 дней

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Обратно пропорционально — определение, пример и методы решения

Прежде чем узнать, что является обратно пропорциональным, разве вы не хотите знать, что означает пропорция? Пропорция — это утверждение, которое показывает, как две величины или переменные связаны друг с другом. Эти переменные могут быть двух типов: прямо пропорциональные и обратно пропорциональные. Когда одно количество увеличивается вместе с другим, это называется прямо пропорциональным, тогда как если одно увеличивается, а другое уменьшается, то оно обратно пропорционально. Например, если на работе больше рабочих, то выполнение работы не займет много времени. Так что же здесь происходит на самом деле? По мере увеличения количества рабочих время, необходимое для выполнения работы, уменьшается. Это то, что мы называем обратно пропорциональным.Вот как может быть представлено обратно пропорциональное значение. Мы скажем, что рабочие и время обратно пропорциональны друг другу. Обратно пропорционально — это, по сути, отношение между двумя переменными, когда их произведение равно постоянному значению. Есть символ, обозначающий обратно пропорциональную величину. Следовательно, обратно пропорциональный символ можно представить как ∝. Обратно пропорциональный символ очень похож на символ бесконечности.

Пример обратной пропорциональности

  1. Пример скорости и времени является основным и подходящим примером обратно пропорциональной зависимости.По мере увеличения скорости время на завершение поездки будет уменьшаться.

  2. Другой обратно пропорциональный пример — это объем и давление идеального газа. Оба они пропорциональны друг другу (закон Бойля).

  3. Электрический ток обратно пропорционален сопротивлению.

  4. Чем больше расстояние между вами и источником света, тем меньше будет яркость.

Методы решения обратной пропорциональности

Есть два способа решить проблему с обратно пропорциональными переменными.

Метод 1) В обратной пропорции, x1 y1 = x2 y2 = x2 y2 = x2 y2

Следовательно, для решения этой проблемы мы можем использовать уравнение для поиска неизвестных членов, поскольку всегда будет задана одна пара.

Метод 2) Мы также знаем, что в обратной пропорции уравнение x + y = k становится x = k / y. Таким образом, чтобы найти значение k, мы можем использовать известные значения, чтобы найти неизвестные с помощью описанного выше.

Для вычисления сумм также можно использовать обратно пропорциональную формулу.

Создание уравнения

Вы можете настроить уравнение, используя следующие четыре простых шага:

Шаг 1) Сначала запишите пропорциональную зависимость.

Шаг 2) Второй шаг — преобразование в уравнение с использованием константы пропорциональности.

Шаг 3) На третьем шаге используйте данную информацию, чтобы найти константу пропорциональности.

Шаг 4) Последний и последний шаг — подставить константу пропорциональности в уравнение.

Решенные примеры обратной пропорции

Вопрос 1) Время, необходимое (t секунд) для кипячения воды водонагревателем, обратно пропорционально мощности (p ватт), потребляемой водонагревателем. Если p = 2000 Вт, t = 252 с. Найдите время, необходимое для кипячения воды при p = 800 Вт.

Решение 1) t ∝ \ [\ frac {1} {p} \]

t = \ [\ frac {k} {p} \]

252 = \ [\ frac {k} {2000} \ ]

k = 504000

t = \ [\ frac {504000} {p} \]

t = \ [\ frac {504000} {800} \]

t = 630 секунд.

Вопрос 2) Сила (F ньютонов), прилагаемая магнитом к металлическому объекту, обычно обратно пропорциональна квадрату расстояния (d см). Если d = 2 см и F = 50 Н, то выразите:

  1. F через d.

  2. Найдите силу, когда расстояние между металлическим предметом и магнитом равно 10 см.

  3. Найдите расстояние между ними, когда сила равна 8N.

  4. Также объясните, что происходит с F, когда d уменьшается вдвое. {2} \] = 144

    Следовательно, A = 12

    Вопрос 4) Время (t), необходимое пассажирам для регистрации на рейс, обратно пропорционально квадрату количества работающих сотрудников.{2} \] = 50

    с = 7,071

    Следовательно, необходимо 8 сотрудников.

    Вопрос 5) Количество дней (d) для завершения исследования обратно пропорционально количеству работающих исследователей. Если исследователям потребуется 125 дней, чтобы завершить работу 16 человек, то сколько человек потребуется для завершения исследования за 40 дней?

    Решение 5) D ∝ \ [\ frac {1} {R} \]

    D = \ [\ frac {F} {R} \]

    125 = \ [\ frac {F} {16} \ ]

    2000 = F

    D = \ [\ frac {2000} {R} \]

    40 = \ [\ frac {2000} {R} \]

    40R = 2000

    R = 50

    Следовательно, для завершения исследования за 40 дней потребуется 50 человек. {-1} $]]).

  5. Изучите свойства уравнения прямой линии, используя приведенное ниже моделирование. Вы можете использовать линейную игру, чтобы проверить свое понимание уклонов и перехватов y .

    Используя программное обеспечение GeoGebra по адресу https://www.geogebra.org/graphing, нарисуйте график

    1. [[$ y = x, y = 2x, $]] и [[$ y = -3x $]]. В каждом случае указывайте наклон линии. Выберите по три точки из каждой строки. Рассчитайте соотношение [[$ y / x $]] для каждой точки. Вы можете выбрать, например, координаты x [[$ x = -3, x = 1, $]] и [[$ x = 2 $]], вычислить значение y для каждого x , а затем вычислить отношение y / x ). y прямо пропорционален или обратно пропорционален x ? Объяснять.
    2. [[$ y = x + 1, y = x-2, $]] и [[$ y = -2x + 1 $]]. Укажите наклон линии и точку пересечения y- в каждом случае. Покажите, что y не прямо пропорционально x ([[$ y \ propto x $]]) на любом из графиков (Подсказка: рассчитайте соотношение [[$ y / x $]]) для двух точек на строка в каждом случае).
    3. [[$ y = \ frac {1} {x}, y = \ frac {2} {x}, $]] и [[$ y = — \ frac {1} {x} $]]. Выберите три точки из графиков.{-1} $]])?

    Ответы на вопросы:

    1. Наклоны равны, [[$ m = 1, m = 2, m = -3 $]] соответственно. Отношение любых точек, взятых из линии, равно ее наклону. Поскольку отношение [[$ y / x $]] постоянно, y, и x прямо пропорциональны друг другу во всех трех случаях .
    2. Углы наклона равны [[$ m = 1, m = 1, m = -2 $]], а точки пересечения y равны [[$ m = 1, m = -2, m = -1 $]] , соответственно. Если мы используем значения [[x_1 = 1]] и [[x_2 = 3]], отношения для первой линии будут [[$ \ frac {y_1} {x_1} = \ frac {2} {1} = 2 $]] и [[$ \ frac {y_2} {x_2} = \ frac {4} {3} $]]. Поскольку соотношение не является постоянным, y, и x не прямо пропорциональны друг другу. Проделав то же самое для двух других случаев, вы увидите, что y и x не прямо пропорциональны друг другу в остальных случаях либо . Если вы нарисуете графики линий, вы увидите, что линии не проходят через начало координат. В результате y, и x не прямо пропорциональны друг другу.
    3. Произведение любых точек на графиках равно константе пропорциональности ([[$ xy = 1, xy = 2, xy = -1 $]] соответственно). В результате во всех случаях y обратно пропорционально x . Просто взглянув на график, мы можем увидеть, что y нелинейно уменьшается по мере увеличения x . y кажется обратно пропорциональным x. Однако без дальнейших расчетов мы не можем быть уверены в этом.

    Завершите упражнения 2–25–2–36 на страницах 63–66 книги в качестве домашнего задания.

    Иллюстративная математика

    Задача

    Учебник дает следующее определение двух величин как прямо пропорциональных:

    Мы говорим, что $ y $ прямо пропорционально $ x $, если $ y = kx $ для некоторой константы $ k $.

    В качестве домашнего задания учащихся попросили переформулировать определение своими словами и привести пример концепции. Ниже приведены некоторые из их ответов.Обсудите каждое утверждение и пример. Переведите утверждения и примеры в уравнения, чтобы помочь вам решить, верны ли они.

    • Маркус:

      Это означает, что оба количества одинаковы. Когда одно увеличивается, другое увеличивается на ту же величину. Примером этого может быть количество воздуха в воздушном шаре и объем воздушного шара.

    • Сэди:

      Две величины пропорциональны, если одно изменение сопровождается изменением другого. Например, радиус круга пропорционален площади.

    • Бен:

      Когда два количества прямо пропорциональны, это означает, что если одно количество увеличивается на определенный процент, другое количество также увеличивается на тот же процент. Примером может служить рост цен на газ и рост цен на продукты питания.

    • Джессика:

      Когда две величины пропорциональны, это означает, что по мере увеличения одной величины другая будет также увеличиваться, и соотношение количеств одинаково для всех значений. Примером может быть длина окружности и ее диаметр, отношение значений будет равно $ \ pi.$

    IM Комментарий

    Задача преследует две основные цели. (1) Учащиеся понимают смысл определения прямой пропорциональности. (2) Они участвуют в SMP 3 «Приведите жизнеспособный аргумент и критикуйте рассуждения других» и SMP 6 «Заботьтесь о точности».

    Когда учеников просят прочитать объяснения того или иного определения, это заставляет учащихся более глубоко изучить определение. Чтобы помочь учащимся решить, правильно ли объяснение, учителя могут посоветовать им перевести слова в уравнения и попытаться «сломать» новые формулировки.Это естественным образом приводит к необходимости уделять внимание точности языка. Многие из приведенных объяснений частично верны, но недостаточно точны. Объяснение «Две величины пропорциональны, если одно изменение сопровождается изменением другого». верно, но неполно. Объяснение: «Когда две величины прямо пропорциональны, это означает, что если одно количество увеличивается на определенный процент, другое количество также увеличивается на тот же процент». на самом деле правильно, но не очевидно.

    Студенты также должны решить, иллюстрирует ли данный пример определение.Сделайте это, студентов снова следует побуждать переводить слова в уравнения.

    Чувство меры | Математика

    Две переменные считаются пропорциональными, если изменение одной можно предсказать по изменению другой. Есть два различных типа пропорциональных отношений, относящихся к химикам средней школы: прямая и обратная пропорция. Прямая пропорция концептуально проще — например, если мы удвоим объем твердого тела, мы также удвоим его массу.

    Эту идею, конечно, можно перевести в математическую нотацию. Предположим, что когда переменная x равна 1, соответствующая переменная y имеет значение 3; и когда x удваивается, так что его значение равно 2, y также удваивается, поэтому его значение равно 6. Мы могли бы тогда предположить, что, когда x равно 3, y будет иметь значение 9. Это действительно будет случай, если x прямо пропорционален y .

    Следовательно, отношение y к x является постоянным:

    , и это постоянное отношение известно как «константа пропорциональности».Действительно, проверка того, находятся ли две переменные в прямой зависимости, заключается в том, имеют ли они постоянное соотношение. Другими словами, если мы разделим значение одной переменной на другую, получим ли мы каждый раз одно и то же значение? Если ответ положительный, переменные изменяются прямо пропорционально друг другу, что мы можем записать как

    .

    y x

    Если обозначить эту константу пропорциональности как k , то получим

    Умножение обеих сторон на x дает

    y = kx

    Это можно сравнить с общим уравнением прямой

    y = м x + c

    с уклоном м = k и пересечением c = 0.Следовательно, если две величины прямо пропорциональны, график зависимости одной от другой будет прямой линией, проходящей через начало координат (fig1) .

    Прямая доля в химии

    Интересным примером этого является закон Бера-Ламберта, который позволяет нам вычислить степень поглощения света при прохождении через раствор. Это поглощение, A, определяется уравнением

    .

    A = ε класс

    Обратите внимание, что теперь мы используем c для представления концентрации раствора, а l представляет длину пути, то есть расстояние, которое свет проходит через раствор.Другой член в уравнении, ε , представляет собой молярный коэффициент поглощения и является константой. Для данного спектрометра, измеряющего разные растворы одного и того же вещества, длина пути и молярные коэффициенты поглощения будут постоянными, поэтому их умножение также дает постоянную величину εl . Разделив обе части уравнения на c , получим

    , и поскольку это отношение является постоянным, A прямо пропорционально c .

    Например: поглощение 0,01 моль-дм раствора -3 брома в тетрахлорметане составляет 0,55. 1 Таким образом, поглощение 0,02 моль-дм раствора –3 составляет 1,1; если мы удвоим концентрацию, абсорбция удвоится благодаря прямо пропорциональному соотношению между двумя переменными.

    Обратная пропорция

    Если две переменные находятся в обратной пропорции, когда мы удваиваем одну, другая уменьшается вдвое. Если x = 4, когда y = 12, и удвоение x до 8 приводит к уменьшению y вдвое до 6, мы можем ожидать, что x обратно пропорционален y .Если это так, то повторное удвоение x до 16 должно привести к тому, что y снова уменьшится вдвое до 3. В этом случае произведение двух переменных остается постоянным

    xy = 4 x 12 = 8 x 6 = 16 x 3 = 48

    и мы можем написать

    Графическое представление двух обратно пропорциональных переменных менее полезно, чем для прямой пропорциональности, в результате получается кривая (рис. 2).

    Обратная пропорция в химии

    Эта идея имеет фундаментальное значение в лаборатории, когда мы разбавляем концентрированные растворы.Концентрация, c, раствора равна

    .

    , где n — количество растворенного вещества, а V — объем раствора. Если мы умножим обе части этого уравнения на V , мы получим

    n = cV

    Рассмотрим на мгновение процесс разбавления раствора. Начинаем с определенного объема раствора, а затем добавляем еще растворителя. Таким образом, количество вещества n, останется постоянным, в то время как объем, V, и концентрация, c, изменятся обратно пропорционально друг другу.

    Если мы начнем с объема V 1 при концентрации c 1 и разбавим до объема V 2 при концентрации c 2, , значение n останется постоянным, поэтому у нас

    c 1 V 1 = c 2 V 2

    Если мы разделим обе части этого уравнения на V 2, , мы получим

    , чтобы мы могли рассчитать концентрацию любого разбавленного раствора с учетом начальной концентрации, а также начального и конечного объемов.С другой стороны, если мы разделим обе части на c 2, , мы получим

    , чтобы мы могли определить конечный объем, необходимый для получения раствора заданной концентрации c 2 .

    Предположим, что 6,7 см 3 серной кислоты 2 начальной концентрации 0,15 моль дм -3 было разбавлено до 16,5 см 3 . У нас

    В 1 = 6,7 см 3

    В 2 = 16.5 см 3

    с 1 = 0,15 моль-дм -3

    Таким образом, мы можем рассчитать конечную концентрацию из

    Здесь следует отметить два момента. Во-первых, единицы V 1 и V 2 отменяются, оставляя нам c 1 и c 2 с теми же единицами. Во-вторых, можно ожидать, что концентрация разбавленного раствора будет меньше исходной, что и есть.Можно стать достаточно опытным в этих вычислениях, чтобы их можно было выполнять интуитивно, а не используя формальное производное уравнение.

    Предположим, что мы хотим получить раствор аммиака 0,2 моль дм -3 , 2 , исходя из 500 см 3 раствора 0,5 моль дм -3 . Мы можем рассчитать требуемый окончательный объем от

    с

    с 1 = 0,5 моль дм -3

    с 2 = 0.2 моль дм -3

    В 1 = 500 см 3

    , так что

    На этот раз мы, конечно, ожидаем получить больший объем разбавленного раствора. Важно помнить, что это конечный объем раствора, поэтому количество воды, которое необходимо добавить, получается путем вычитания начального объема раствора из окончательного общего количества

    .

    1250 см 3 — 500 см 3 = 750 см 3

    Линда Фишер из Университета штата Флорида, США, исследовала стратегии, используемые учителями средней математики для решения задач пропорций, 3 и обнаружила, что большинство из них склонны использовать алгебраический подход (как описано здесь), а не менее формальные методы.Сьюзен Леймон отмечает, что термин «пропорциональное мышление» неправильно определен, 4 и что его мастерство остается нечетко определенным побочным продуктом обучения дробям. Она также заявляет, что, хотя для этого требуется понимание относительно элементарных математических идей, он обеспечивает основу для понимания гораздо более сложных тем. Джейн-Джейн Ло, Джинфа Кай и Тад Ватанабе представили интересное сравнение того, как эта тема трактуется в учебниках из трех азиатских регионов и США. 5 Учебники различаются по определению термина «соотношение», способу введения равных соотношений и типу включенных прикладных задач.

    Пол Йейтс — советник по стратегическому академическому развитию в Честерском университете, Великобритания

    Обратная пропорциональность: что это такое?

    Сегодня мы узнаем об обратной пропорциональности между величинами.

    Для начала нам нужно напомнить себе, что величина — это все, что можно измерить.

    Если это вас не волнует, просмотрите наш предыдущий пост, в котором мы говорим о прямой пропорциональности и объясняем концепцию величины: Прямая пропорциональность

    Многие величины связаны с другими, например:

    • Количество игрушек, которые у вас есть, с размером места, которое они занимают.
    • Скорость автомобиля и время, необходимое для преодоления расстояния.
    • Размер вашей комнаты и время, необходимое для ее уборки.
    • Время, в течение которого блюдо находится в горячей духовке, в зависимости от того, насколько оно горячее.

    Мы уже видели во введении прямой пропорциональности , что существуют отношения, в которых, как бы сильно ни растет одна величина, растет и другая.

    Но когда одна величина растет, а другая пропорционально уменьшается, это называется обратной пропорциональностью.

    Две величины обратно пропорциональны, когда одна величина умножается (или делится) на число, а другая величина делится (или умножается) на то же число.

    Чем быстрее гоночный автомобиль…

    … тем меньше времени потребуется на прохождение круга!

    Представим, что для прохождения круга со скоростью 100 миль / час автомобилю требуется 12 минут. В этом примере, зная, что существует обратная пропорциональная зависимость, мы можем сказать, что если мы умножим скорость на 2 (200 миль / час), на финиш круга уйдет половина времени ( 6 минут ).

    С другой стороны, если бы скорость была уменьшена вдвое (100 миль / час ÷ 2 = 50 миль / час), время круга было бы удвоено (12 мин x 2 = 24 мин )

    Если гоночной машине потребовалось 4 минуты, чтобы финишировать на последнем круге, что бы произошло со скоростью машины на последнем круге?

    (12 мин ÷ 4 мин = 3)

    Время равно , деленному на на 3, поэтому скорость должна быть , умноженной на на 3 (3 x 100 миль / час = 300 миль / час).То есть гоночный автомобиль на последнем круге двигался со скоростью 300 миль / час.

    Обратная пропорциональность

    На этих примерах мы видим, что этот тип пропорциональности называется INVERSE . Что происходит с одной из величин, так это с ОБРАТНОЙ и другой величины; когда одно увеличивается, другое уменьшается, и наоборот.

    Чтобы вычислить пропорциональное рассуждение, нам нужно умножить величины каждой величины друг на друга.

    • 100 миль / час x 12 мин = 1200
    • 200 миль / час x 6 мин = 1200
    • 50 миль / час x 24 мин = 1200
    • 300 миль / час x 4 мин = 1200

    Глядя на это, мы напоминаем, что пропорциональное рассуждение — это константа ; это всегда одно и то же для каждой пары чисел, представляющих сравниваемые величины. В этом примере пропорциональное рассуждение — 1200 .

    Помните, что в Smartick у вас есть множество упражнений и задач с обратной и прямой пропорцией, которые вы можете практиковать.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.