Что такое обратная пропорция: Прямая и обратная пропорциональность

Содержание

Обратная пропорциональность в математике и в жизни

Сегодня мы рассмотрим, какие величины называются обратно пропорциональными, как выглядит график обратной пропорциональности и как все это может вам пригодится не только на уроках математики, но и вне школьных стен.

Такие разные пропорциональности

Пропорциональностью называют две  величины, которые взаимно зависимы друг от друга.

Зависимость может быть прямой и обратной. Следовательно, отношения между величинами описывают прямая и обратная пропорциональность.

Прямая пропорциональность – это такая зависимость двух величин, при которой увеличение либо уменьшение одной из них ведет к увеличению либо уменьшению другой. Т.е. их отношение не изменяется.

Например, чем больше усилий вы прилагаете для подготовки к экзаменам, тем выше ваши оценки.  Или чем больше вещей вы берете с собой в поход, тем тяжелее нести ваш рюкзак. Т.е. количество затраченных на подготовку к экзаменам усилий прямо пропорционально полученным оценкам. И количество запакованных в рюкзак вещей прямо пропорционально его весу.

Обратная пропорциональность – это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (ее называют аргументом) вызывает пропорциональное (т.е. во столько же раз) увеличение либо уменьшение зависимой величины (ее называют функцией).

Проиллюстрируем простым примером. Вы хотите купить на рынке яблок. Яблоки на прилавке и количество денег в вашем кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е. чем больше вы купите яблок, тем меньше денег у вас останется.

Функция и ее график

Функцию обратной пропорциональности можно описать как y = k/x. В котором x ≠ 0 и k ≠ 0.

Эта функция обладает следующими свойствами:

  1. Областью ее определения является множество всех действительных чисел, кроме x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
  2. Областью значений являются все действительные числа, кроме y = 0. Е(у): (-∞; 0) U (0; +∞).
  3. Не имеет наибольших и наименьших значений.
  4. Является нечетной и ее график симметричен относительно начала координат.
  5. Непериодическая.
  6. Ее график не пересекает оси координат.
  7. Не имеет нулей.
  8. Если k > 0 (т.е. аргумент возрастает), функция пропорционально убывает на каждом из своих промежутков. Если k < 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
  9. При возрастании аргумента (k > 0) отрицательные значения функции находятся в промежутке (-∞; 0), а положительные – (0; +∞). При убывании аргумента (k < 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

График функции обратной пропорциональности называется гиперболой. Изображается следующим образом:

Задачи на обратную пропорциональность

Чтобы стало понятнее, давайте разберем несколько задач. Они не слишком сложные, а их решение поможет вам наглядно представить, что такое обратная пропорциональность и как эти знания могут пригодиться в вашей обычной жизни.

Задача №1. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Чтобы доехать до места назначения, ему потребовалось 6 часов. Сколько времени ему потребуется, чтобы преодолеть такое же расстояние, если он будет двигаться со скоростью в 2 раза выше?

Можем начать с того, что запишем формулу, которая описывает отношения времени, расстояния и скорости: t = S/V. Согласитесь, она очень напоминает нам функцию обратной пропорциональности. И свидетельствует о том, что время, которое автомобиль проводит в пути, и скорость, с которой он движется, находятся в обратной пропорциональности.

Чтобы убедиться в этом, давайте найдем V2, которая по условию выше в 2 раза: V2 = 60 * 2 = 120 км/ч. Затем рассчитаем расстояние по формуле S = V * t = 60 * 6 = 360 км. Теперь совсем несложно узнать время t2, которое требуется от нас по условию задачи: t2 = 360/120 = 3 ч.

Как видите время в пути и скорость движения действительно обратно пропорциональны: со скоростью в 2 раза выше изначальной автомобиль потратит в 2 раза меньше времени на дорогу.

Решение этой задачи можно записать и в виде пропорции. Для чего сначала составим такую схему:

↓ 60 км/ч – 6 ч ↑

↓120 км/ч – х ч ↑

Стрелки обозначают обратно пропорциональную зависимость. А также подсказывают, что при составлении пропорции правую часть записи надо перевернуть: 60/120 = х/6. Откуда получаем х = 60 * 6/120 = 3 ч.

Задача №2. В мастерской трудятся 6 рабочих, которые с заданным объемом работы справляются за 4 часа. Если количество рабочих сократить в 2 раза, сколько времени потребуется оставшимся, чтобы выполнить тот же объем работы?

Запишем условия задачи в виде наглядной схемы:

↓ 6 рабочих – 4 ч ↑

↓ 3 рабочих – х ч ↑

Запишем это в виде пропорции: 6/3 = х/4. И получим х = 6 * 4/3 = 8 ч. Если рабочих станет в 2 раза меньше, оставшиеся затратят на выполнение всей работы в 2 раза больше времени.

Задача №3. В бассейн ведут две трубы. Через одну трубу вода поступает со скоростью 2 л/с и наполняет бассейн за 45 минут. Через другую трубу бассейн наполнится за 75 минут. С какой скоростью вода поступает в бассейн через эту трубу?

Для начала приведем все данные нам по условию задачи величины к одинаковым единицам измерения. Для этого выразим скорость наполнения бассейна в литрах в минуту: 2 л/с = 2 * 60 = 120 л/мин.

Поскольку из условия следует, что через вторую трубу бассейн заполняется медленнее, значит, и скорость поступления воды ниже. На лицо обратная пропорциональность. Неизвестную нам скорость выразим через х и составим такую схему:

↓ 120 л/мин – 45 мин ↑

↓ х л/мин – 75 мин ↑

А затем составим пропорцию: 120/х = 75/45, откуда х = 120 * 45/75 = 72 л/мин.

В задаче скорость наполнения бассейна выражена в литрах в секунду, приведем полученный нами ответ к такому же виду: 72/60 = 1,2 л/с.

Задача №4. В небольшой частной типографии печатают визитки. Сотрудник типографии работает со скоростью 42 визитки в час и трудится полный рабочий день – 8 часов. Если бы он работал быстрее и печатал 48 визиток за час, насколько раньше он смог бы уйти домой?

Идем проверенным путем и составляем по условию задачи схему, обозначив искомую величину как х:

↓ 42 визитки/ч – 8 ч ↑

↓ 48 визитки/ч – х ч ↑

Перед нами обратно пропорциональная зависимость: во сколько раз больше визиток в час напечатает сотрудник типографии, во столько же раз меньше времени ему потребуется на выполнение одной и той же работы. Зная это, составим пропорцию:

42/48 = х/8, х = 42 * 8/48 = 7ч.

Таким образом, справившись с работой за 7 часов, сотрудник типографии смогу бы уйти домой на час раньше.

Заключение

Нам кажется, что эти задачи на обратную пропорциональность действительно несложные. Надеемся, что теперь вы тоже считаете их такими. А главное, что знание об обратно пропорциональной зависимости величин действительно может оказаться для вас полезным еще не раз.

Не только на уроках математики и экзаменах. Но и тогда, когда вы соберетесь отправиться в путешествие, пойдете за покупками, решите немного подработать в каникулы и т.п.

Расскажите нам в комментариях, какие примеры обратной и прямой пропорциональной зависимости вы замечаете вокруг себя. Пускай это будет такая игра. Вот увидите, как это увлекательно. Не забудьте «расшарить» эту статью в социальных сетях, чтобы ваши друзья и одноклассники тоже смогли поиграть.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Прямая и обратная пропорциональность. Математика, 6 класс: уроки, тесты, задания.











1.

Пропорциональные и непропорциональные величины


Сложность:
лёгкое

1


2.

Зависимость между величинами


Сложность:
лёгкое

1


3.

Величины


Сложность:
лёгкое

2


4.

Формулы. Прямая пропорциональность


Сложность:
среднее

3


5.

Формулы. Обратная пропорциональность


Сложность:
среднее

3


6.

Лишняя формула


Сложность:
среднее

2


7.

Прямо пропорциональные величины, таблица


Сложность:
среднее

4


8.

Таблица и формула (десятичные дроби)


Сложность:
среднее

4


9.

Таблица, формула (целые числа)


Сложность:
среднее

5

Презентация «Прямая и обратная пропорциональность»

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

№ 53 (а, б), 54 (а, б),57. Проверка домашней работы:

Номер слайда 2

№ 53 (а, б)а) х=𝟐·𝟑𝟕, х=𝟔𝟕. б) х=𝟐·𝟑𝟓, х=𝟔𝟓. 

Номер слайда 3

№ 54 (а, б)а) х=𝟕·𝟔𝟖, х=𝟐𝟏𝟒.  б) х=𝟏𝟎·𝟏𝟑𝟏𝟓, х=𝟐𝟔𝟑. 

Номер слайда 4

№ 57а) х=𝟏𝟐·𝟑𝟓, х=𝟑𝟏𝟎. б) х=𝟐𝟑·𝟑𝟒, х=𝟏𝟐. 

Номер слайда 5

№ 57в) х=𝟓·𝟕𝟏𝟐, х=𝟕𝟎.  г) х=𝟏𝟑·𝟔𝟖, х=𝟏𝟒. 

Номер слайда 6

Математический диктант: Верно ли, что:1) Отношение двух чисел — это произведение одного из них на другое?2)Верное равенство двух отношений называют пропорцией?3)Произведение крайних членов пропорции равно сумме её средних членов? 4)Найти неизвестный член пропорции – это значит решить пропорцию?618.09.2019

Номер слайда 7

Верно ли, что:5)В пропорции m:n=p:q числа m и q называют средними, а числа n и p называют крайними членами пропорции?6)Является пропорцией данное равенство: 8:10=4:5?7)Можно составить пропорцию из чисел 4, 9, 12 и 27?8)Пройденный путь пропорционален времени движения когда скорость постоянна?9)Рост человека пропорционален его возрасту? Математический диктант:

Номер слайда 8

Проверь себя : 1 2 3 4 5 6 7 8 9- + — + — + + + -89 правильных ответов – «5»7 – 8 правильных ответов – «4»4 – 5 правильных ответов – «3»

Номер слайда 9

Устно: Что называется отношением двух чисел?Что называется отношением двух величин?Что такое пропорция?Что показывает отношение двух чисел? Что значит решить пропорцию?Основное свойство пропорции.

Номер слайда 10

1. Если нам известно,что скорость автомобиля составляет 60 км/ч,то мы можем рассчитать пройденноеим расстояние за любой отрезок времени:{3 B4 B98 B0-60 AC-42 C2-AFA5-B58 CD77 FA1 E5}Время, ч123456 Путь, км{3 B4 B98 B0-60 AC-42 C2-AFA5-B58 CD77 FA1 E5}Время, ч123456 Путь, км60{3 B4 B98 B0-60 AC-42 C2-AFA5-B58 CD77 FA1 E5}Время, ч123456 Путь, км60120{3 B4 B98 B0-60 AC-42 C2-AFA5-B58 CD77 FA1 E5}Время, ч123456 Путь, км60120180{3 B4 B98 B0-60 AC-42 C2-AFA5-B58 CD77 FA1 E5}Время, ч123456 Путь, км60120180240{3 B4 B98 B0-60 AC-42 C2-AFA5-B58 CD77 FA1 E5}Время, ч123456 Путь, км60120180240300{3 B4 B98 B0-60 AC-42 C2-AFA5-B58 CD77 FA1 E5}Время, ч123456 Путь, км60120180240300360 Какой вывод можно сделать по данным этой таблицы?Если время увеличить (уменьшить)в некоторое число раз,то и расстояние увеличится (уменьшится)в это же число раз.

Номер слайда 11

2. На 120 р. необходимо купить несколько одинаковых книг. Сколько книг можно купить, если цена каждой 10 р., 20 р., 30 р., 40 р.?Решение: С=10 р., к=12 книг;С=20 р., к=6 книг;С=30 р., к=4 книги;С=40 р., к=3 книги. Какой вывод можно сделать из данного решения?Если стоимость увеличить (уменьшить)в некоторое число раз,то и количество книг уменьшится (увеличится) в это же число раз.

Номер слайда 12

Прямая и обратная пропорциональность18. 09.2019«Всякая задача кажется очень простой, после того, как вам ее растолкуют» Шерлок Холмс.

Номер слайда 13

Цель урока:ввести новые понятия прямой и обратной пропорциональных зависимостей; научиться решать задачи, с использованием прямой и обратной пропорциональными зависимостями.

Номер слайда 14

Определение прямой и обратной пропорциональности. Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается(уменьшается) во столько же раз. Вел. 1 — Вел 2 Вел 1. — Вел 2. Вел. 1 — Вел 2 Вел 1. — Вел 2.

Номер слайда 15

Определение прямой и обратной пропорциональности. Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Вел. 1 — Вел 2 Вел 1. — Вел 2.

Номер слайда 16

Работа по учебнику: стр. 21№72 Время Расстояние Пусть x км расстояние. 6 ч 480 км 2 ч x км. Решение: x = x = 160 (км) Ответ: 160 км. =

Номер слайда 17

Работа по учебнику: стр. 22№82(а) Время Скорость Пусть x ч время. 8 ч 60 км/ч x ч 80 км/ч. Решение:=x =X = 6 (ч) Ответ: 6 ч.

Номер слайда 18

Алгоритм решения задач:1. Записать краткое условие задачи. (одноименные величины ставятся одна под другой).2. Определить к какому виду относится пропорция.3. Составить пропорцию.3а) При прямой пропорциональности, величины записываются не меняя порядка.3б) При обратной пропорциональности, величины меняют местами (у одной величины).4. Найти неизвестный член пропорции.5. Ответить на вопрос задачи.6. Записать ответ.

Номер слайда 19

Учебник: стр. 20№62, 63, 65. Устно:

Номер слайда 20

Работа в парах:№74 Вишня Сахарный Пусть x кг масса вишни. песок 6кг 4 кг x кг 12 кг = x = x = 18 (кг). Ответ: 18 кг.

Номер слайда 21

Работа в парах№77(а)Количество Количество Пусть x дней работа маляров дней 10 маляров. 5 8 10 x = x = x = 4 (дн). Ответ: 4 дня.

Номер слайда 22

Рефлексия. Урок понравился, я работал (ла) активно, отвечал (ла) на все вопросы правильно. Остались вопросы, я стеснялся (ась) отвечать на уроке, был (а) не уверен (а) в ответе. Урок не понравился, было много не понятного.

Номер слайда 23

Домашнее задание:1)п.1.5 (правила), №74, №76.2)Дополнительное задание: №79, №80.3)Творческое задание: Найдите в учебнике, справочной литературе или Интернете, как решали задачи на прямую и обратную пропорциональности во времена Л. Ф. Магницкого. Придумайте задачу и решите её этим способом.

Номер слайда 24

Вы можете использовать данное оформление для создания своих презентаций, но в своей презентации вы должны указать источник шаблона: Ранько Елена Алексеевна учитель начальных классов МАОУ лицей №21 г. Иваново. Сайт: http://elenaranko.ucoz.ru/

Номер слайда 25

Интернет – ресурсы:http://www.mamusik.ru//upload/userimages/kpwoktwyzvbpodhaalxho.jpeg фонhttp://s1.pic4you.ru/allimage/y2012/10-26/12216/2601759.png книгиhttp://mosaica.ru/sites/default/files/news/preview/2009/07/27/1_sent.jpg колокольчикhttp://img-fotki.yandex.ru/get/6409/131624064.235/0_906e7_8c51635e_XLосенний букетhttp://s3.uploads.ru/5o8gm.pngрамка

Гипербола.

Обратная пропорциональность 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

114. Функция у = k/x и ее график

Обратная пропорциональность – это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (аргумента) вызывает пропорциональное увеличение, либо уменьшение зависимой величины (функции).

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx, где х – независимая переменная, а k – любое число, k≠0.

Допустим, мы пришли в магазин за тетрадями. Тетради на прилавке и деньги в кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е. чем больше мы купим тетрадей, тем меньше денег у нас останется.

Графиком функции является гипербола.

График функции при k>0:

 

 

Гипербола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения X и Y положительные, а вторая часть – в III четверти, где значения X и Y отрицательные.

y(x)>0 при x∈(0;+∞)

y(x)<0 при x∈(-∞;0)

Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция убывает. Следовательно, функция y=kx, где k>0, убывает.

График функции при k<0:

 

 

Гипербола состоит из 2 частей: одна находится во 2 четверти, где значения X отрицательные, а значения Y положительные, а вторая часть – в 4 четверти, где значения X положительные, а значения Y отрицательные.

y(x)<0 при x∈(0;+∞)

y(x)>0 при x∈(-∞;0)

Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция возрастает. Следовательно, функция y=kx, где k<0, возрастает.

Свойства функции:

  1. Область определения функции:


    D(f) = (-∞;0)∪(0;+∞).

  2. Область значения функции:


    E(f) = (-∞;0)∪(0;+∞).

  3. Наибольшего и наименьшего значения функция y=kx не имеет.

  4. y=kx нечетная функция, то есть график симметричен относительно начала координат (0;0).

  5. Функция не ограничена.

  6. Функция не пересекает координатные оси (OX и OY).

Если добавить константу а (где a любое число) в знаменатель в качестве слагаемого к X, то произойдет перемещение гиперболы по оси OX (вместе с вертикальной асимптотой).

В таком случае уравнением функции станет y=kx+a.

Если перед а стоит знак «+» (y=kx+a), a>0, то график функции передвигается по оси OX влево.

Для примера возьмем уравнение y=1x+2:

 

 

Гипербола смещена на 2 влево.

Если перед а стоит знак «–» (y=kx-a), a>0, то график функции передвигается по оси OX вправо.

Для примера возьмем уравнение y=1x-2:

 

 

Гипербола смещена на 2 вправо.

Если добавить константу b (где b любое число) к дроби в качестве слагаемого, то произойдет перемещение гиперболы по оси OY (вместе с горизонтальной асимптотой). В таком случае уравнением функции станет y=kx+b.

Если перед b стоит знак «+» (y=kx+b), b>0, то график функции передвигается по оси OY вверх.

Для примера возьмем уравнение y=1x+2:

 

 

Гипербола смещена на 2 вверх.

Если перед b стоит знак «-» (y=kx-b), b>0, то график функции передвигается по оси OY вниз.

Для примера возьмем уравнение y=1x-2

 

 

Гипербола смещена на 2 единицы вниз.

От коэффициента k зависит, как будут вести себя ветви гиперболы относительно начала координат.

Например, сравним y=10x и y=1x:

 

 

Мы видим, что график функции y=1x значительно уже графика функции y=10x. {2}}-25}=\frac{x-5}{\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)}=\frac{1}{x+5},\text{ }x\ne 5\).

Действительно, мы получили обратную зависимость, но с оговоркой: \( x\ne 5\).

Почему так? А потому, что выражение \( \left( x-5 \right)\) было в исходном выражении в знаменателе, поэтому если мы возьмём значение \( x=5\) и подставим его в исходную функцию (а ведь именно её нам нужно исследовать), то что мы получим?

Ноль, делённый на ноль. Но ведь на ноль нельзя делить ничего, даже другой ноль. Поэтому \( x\) никак не может быть равен \( 5\).

Но почему тогда мы также не пишем \( x=-5\)? Оно ведь тоже в знаменателе!

А всё потому, что оно как было в знаменателе, так там и осталось, следовательно мы и так видим, что такое значение икса невозможно.

А поэтому — зачем лишний раз писать? Да-да, математики — народ ленивый, без надобности напрягаться не станут:)

Вот еще пример: \( \displaystyle y=\frac{x+2}{x-3}\).

Тут сложнее: ведь числитель и знаменатель теперь уж точно не сокращаются. Но все-же мы можем попробовать:

\( \displaystyle y=\frac{x+2}{x-3}=\frac{x-3+3+2}{x-3}=\frac{\left( x-3 \right)+5}{x-3}\)

Ты понял, что я сделал? В числителе я добавил и вычел одно и то же число (\( 3\)), таким образом я вроде бы ничего не изменил, но теперь в числителе есть часть, равная знаменателю.

Теперь я почленно поделю, то есть разобью эту дробь на сумму двух дробей:

\( \displaystyle y=\frac{\left( x-3 \right)+5}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}+\frac{5}{x-3}\)

(и правда, если привести то что у меня получилось к общему знаменателю, получится как-раз наша начальная дробь):

\( \displaystyle y=\underbrace{\left( \frac{x-3}{x-3} \right)}_{=1}+\frac{5}{x-3}=1+\frac{5}{x-3}.\)

Ух ты! Снова получается обратная зависимость, только теперь к ней еще прибавляется число \( \displaystyle 1\).

Этот метод нам очень пригодится позже при построении графиков.

А теперь самостоятельно приведи выражения к виду обратной зависимости:

Внеклассный урок — Пропорции. Основное свойство пропорции. Прямая и обратная пропорциональность.

Пропорции. Основное свойство пропорции. Прямая и обратная пропорциональность.

Пропорция – это равенство двух отношений.

 

Примеры пропорции:

10 : 2 = 25 : 5

 

1        3
— =  —
 2       6

 

В пропорции первое и четвертое числа называют крайними членами, второе и третье – средними членами.

В нашем первом примере 10 и 5 являются крайними членами, а 2 и 25 – средними.

Во втором примере 1 и 6 – крайние члены, 2 и 3 – средние.

 

Если пропорция верна, то произведение крайних членов равно произведению средних.

В нашем первом примере 10 · 5 = 2 · 25.

В нашем втором примере 1 · 6 = 2 · 3

 

Основное свойство пропорции:

Если произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов, то пропорция верна.

Пропорция 10 : 2 = 25 : 5 верна, так как 10 · 5 = 2 · 25.

 

Прямая пропорциональность:

Две величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной из них увеличивается и вторая, или при уменьшении одной уменьшается и вторая.

 

Пример прямой пропорциональности: чем выше скорость автомобиля, тем выше сопротивление воздуха.

 

Обратная пропорциональность:

Две величины обратно пропорциональны, если при увеличении одной из них вторая уменьшается, или при уменьшении одной вторая увеличивается.

 

Пример обратной пропорциональности: чем выше в горы, тем ниже температура воздуха.

 

Урок «Прямая и обратная пропорциональность»

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

Предмет: математика

Тема: Прямая и обратная пропорциональность.

Место урока в учебном плане: урок № по теме: «Отношения и пропорции»

Класс: 6

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: мультимедийная приставка, экран

Программное обеспечение: MS PowerPoint

Цифровые ресурсы: презентация

План урока

1.Организационный момент.

2.Актуализация знаний по теме «Пропорции».

3. Развитие вычислительных навыков.

4.Решение задач: «Прямая и обратная пропорциональность».

5.Физ. минутка.

6.Обсуждение задач.

7.Тест №5 — № 1.№ 2, №3(1 вариант стр.7, 2 вариант-стр.35)

8.Сообщения учащихся : «Золотое сечение».

9.Презентация: «Золотое сечение».

10. Домашнее задание.

11.Рефлексия.

Конспект урока

Цели урока:

Обучающие:

обобщение и систематизация знаний учащихся по данной теме;

усиление прикладной и практической направленности изученной темы;

установление внутри-предметных и мета-предметных связей с другими темами курса математики

Развивающие:

расширение кругозора учащихся,

пополнение словарного запаса;

Воспитательные:

воспитание интереса к предмету и смежным дисциплинам,

воспитывать чувство прекрасного, чувство патриотизма.

1. Организационный момент:

1) сообщение темы урока

2) целеполагание

2.Актуализация знаний по теме «Пропорции»:

Учащиеся задают вопросы по теории:

Что называют пропорцией?

Как формулируется основное свойство пропорции?

Какие две величины называют прямо пропорциональными?

Какие две величины называют обратно пропорциональными?

    3.Развитие вычислительных навыков:

    Раздаточный материал.

    (Дети первого варианта каждого ряда решают на доске.

    Дети второго варианта выходят к доске проверять решение соседа по парте.)

     

    1 ряд 2 ряд 3 ряд

    1) = 1) : = 1) : =2

    2) == 1 2) : = =2 2) : =

    3) 8 : =10 3) 2 : = 3) : 2 =

    4)1 = 4) 3: = 6 4)2: 5 =

     

    Вопросы:

    Можно ли составить пропорцию из отношений?

    Назовите крайние и средние члены пропорции.

    Как проверить верно ли составлена пропорция?

    4.Решение задач : «Прямая и обратная пропорциональность»

    Русский язык богат разными поговорками ,например:

    Чем выше пень, тем дальше тень.

    Чем больше народа (в помещении), тем меньше кислорода.

    Как эти поговорки связаны с темой нашего урока?

    Приведите примеры величин являющихся прямо пропорциональными, обратно пропорциональными.

    Работа в группах:

    1 группа.

    Имеющегося запаса кормов хватило бы для 120 коров на 4 месяца. На сколько месяцев хватит этого запаса кормов, если хозяйство продаст 24 коровы?

    2 группа.

    В 4кг раствора содержится 80 г соли. Сколько соли содержится в 200 г этого раствора?

    3 группа.

    На 24 м забора израсходовали 7 кг краски. Сколько краски израсходуют на 36 м этого забора?

    4 группа.

    Самолет пролетел расстояние между аэродромами за 6 часов со скоростью 850 . За сколько времени пролетит это расстояние другой самолет, скорость которого на 150 больше скорости первого?

    5группа.

    Задание. Разрезать нить в отношении 2:3

    5.Физ. минутка.

    6.Обсуждение задач.

    7.Тест.

    8.Сообщения учащихся : «Золотое сечение».

    9.Презентация: «Золотое сечение».

    10. Домашнее задание.

    11.Рефлексия.

    Я (узнал, получил, приобрел; смог придумать, представить, изобразить, показать, вообразить) … и захотелось … 

    Мне удалось (понять, постигнуть, осмыслить, разобраться, уяснить, осознать, систематизировать разрозненные сведения) …, теперь я … 

    Самым интересным (познавательным, удивительным, невероятным, необыкновенным, странным, чудным, невообразимым, немыслимым, исключительным, выдающимся, незаурядным, феноменальным, редчайшим) сегодня было (стало) …

    Труднее всего мне сегодня показалось, когда …, и все-таки (все же, тем не менее, однако, при всем том, поэтому, оттого, отчего, благодаря этому, посему, потому что, оттого что, благодаря тому что, потому как) …Само слово «пропорция» (от латинского proportio) означает «соразмерность», определенное соотношение частей между собой.

    Учение о пропорциях особенно успешно развивалось в IV в до н.э. в Древней Греции, славившейся произведениями искусства, архитектуры, развитыми ремеслами. С пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке. Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета .

    «Золотым сечением» и даже «божественной пропорцией» называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей и это отношение равно например отношения 8:5. «Золотое сечение» чаще всего применяется в произведениях искусства, архитектуры, также взято из законов природы.

    Говоря о примерах «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи . Его личность одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды». Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения.

    2. Пропорции в природе.

    Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения.

     

    Биологи на своих уроках, когда рассматривают, допустим, клетки кожицы луковицы, увеличивают с помощью микроскопа его размеры. Микроскопом также пользуются лаборанты, определяющие состав крови и т.д. Действие лупы (демонстрируется лупа)аналогичное, например, ею пользуются часовщики в ремонтной мастерской. Тогда это отношение выражается неправильной дробью. Когда начнете изучать черчение, при выполнении чертежей тоже нужно соблюдать масштаб, значит, и здесь присутствует пропорция.

    А о химиках и говорить нечего, больше всех они сталкиваются с пропорциями при решении задач на концентрации растворов (процентное содержание вещества в растворе).

    А летом, в период заготовки продуктов впрок, ваши мамы тоже пользуются пропорциональными соотношениями.

    1 группа.

    Имеющегося запаса кормов хватило бы для 120 коров на 4 месяца. На сколько месяцев хватит этого запаса кормов, если хозяйство продаст 24 коровы?

    3 группа.

    На 24 м забора израсходовали 7 кг краски. Сколько краски израсходуют на 36 м этого забора?

     2 группа.

    В 4кг раствора содержится 80 г соли. Сколько соли содержится в 200 г этого раствора?

    4 группа.

    Самолет пролетел расстояние между аэродромами за 6 часов со скоростью 850 . За сколько времени пролетит это расстояние другой самолет, скорость которого на 150 больше скорости первого?
    5группа.

    Задание. Разрезать нить в отношении 2:3

    Пропорции золотого сечения
    PPT / 1.84 Мб

    Прямая и обратная пропорция — Прямая и обратная пропорция — Edexcel — GCSE Maths Revision — Edexcel

    Прямая пропорция

    Существует прямая пропорция между двумя значениями, когда одно кратно другому. Например, \ (1 \: \ text {cm} = 10 \: \ text {mm} \). При переводе сантиметров в миллиметры множитель всегда равен 10. Прямая пропорция используется для расчета стоимости бензина или обменных курсов иностранных денег.

    Символ прямой пропорции — \ (\ propto \).

    Утверждение ‘t прямо пропорционально r’ можно записать с помощью символа пропорциональности:

    \ [t \ propto r \]

    Если \ (y = 2p \), то \ (y \) пропорционально \ (p \) и \ (y \) могут быть вычислены для \ (p = 7 \):

    \ [y = 2 \ times 7 = 14 \]

    Аналогично, если \ (y = 60 \), то \ (p \) можно вычислить:

    \ [60 = 2p \]

    Чтобы найти \ (p \), разделите 60 на 2:

    \ [60 \ div 2 = 30 \]

    Прямая пропорция — выше

    Пропорциональность можно использовать для создания уравнения.

    Для этого есть четыре шага:

    1. запишите пропорциональную зависимость
    2. преобразовать в уравнение с использованием константы пропорциональности
    3. использовать данную информацию для нахождения константы пропорциональности
    4. подставить константу пропорциональности в уравнение

    Пример

    Значение \ (e \) прямо пропорционально \ (п\). Когда \ (e = 20 \), \ (p = 10 \). Найдите уравнение, связывающее \ (e \) и \ (p \).

    1. \ [e \ propto p \]
    2. \ [e = kp \]
    3. \ (20 = 10k \), поэтому \ (k = 20 \ div 10 = 2 \)
    4. \ [e = 2p \ ]

    Это уравнение теперь можно использовать для вычисления других значений \ (e \) и \ (p \).

    Если \ (p = 6 \), то \ (e = 2 \ times 6 = 12 \).

    Обратная пропорция

    Если одно значение обратно пропорционально другому, то оно записывается с использованием символа пропорциональности \ (\ propto \) по-другому. Обратная пропорция возникает, когда одно значение увеличивается, а другое уменьшается. Например, большее количество рабочих сократит время на выполнение задачи. Они обратно пропорциональны.

    Утверждение «b обратно пропорционально m» записано:

    \ [b \ propto \ frac {1} {m} \]

    Уравнения, содержащие обратные пропорции, могут использоваться для вычисления других значений.

    Использование: \ (g = \ frac {36} {w} \) (поэтому \ (g \) обратно пропорционально \ (w \)).

    Если \ (g = 8 \), найти \ (w \).

    \ [8 = \ frac {36} {w} \]

    \ [w = \ frac {36} {8} = 4.5 \]

    Аналогично, если \ (w = 6 \), найти \ ( грамм\).

    \ [g = \ frac {36} {6} \]

    \ [g = 6 \]

    Обратная пропорция — выше

    Пропорциональность может использоваться для создания уравнения.

    Для этого есть четыре шага:

    1. запишите пропорциональную зависимость
    2. преобразовать в уравнение с использованием константы пропорциональности
    3. использовать данную информацию для нахождения константы пропорциональности
    4. подставить константу пропорциональности в уравнение

    Пример

    Если \ (g \) обратно пропорционально w и когда \ (g = 4 \), \ (w = 9 \), то сформируйте уравнение, связывающее \ (g \) с \ (w \).

    1. \ [g \ propto \ frac {1} {w} \]
    2. \ [g = k \ times \ frac {1} {w} = \ frac {k} {w} \]
    3. \ ( 4 = \ frac {k} {9} \), поэтому \ (k = 4 \ times 9 = 36 \)
    4. \ [g = \ frac {36} {w} \]

    Это уравнение можно использовать для вычислить новые значения \ (g \) и \ (w \).

    Если \ (g = 8 \), найти \ (w \).

    \ [8 = \ frac {36} {w} \]

    \ [w = \ frac {36} {8} = 4.5 \]

    Аналогично, если \ (w = 6 \), найти \ ( грамм\).

    \ [g = \ frac {36} {6} \]

    \ [g = 6 \]

    Обратная пропорциональность: правило трех обратных

    В публикации этой недели мы собираемся посмотреть, что правило из три инверсия и как его использовать для решения проблем.

    Правило трех — способ решить проблемы соразмерности. Если мы имеем дело с прямой пропорциональностью, то применяем прямое правило трех. Если мы имеем дело с обратной пропорциональностью, мы применяем правило трех обратных.

    Давайте посмотрим, что такое обратная пропорциональность, чтобы узнать, как ее применять позже в этом посте.

    Обратная пропорциональность

    У нас есть 2 величины (A и B), и нам нужно наблюдать взаимосвязь, которая существует между ними:

    Чем больше A, тем меньше B .Это означает, что соотношение между двумя величинами обратное.

    Например, в следующей таблице вы можете увидеть звездные величины A и B:

    Это обратная пропорциональность, потому что, пока A становится больше, B становится меньше.

    Как мы можем использовать правило трех обратных?

    Правило трех обратных используется в задачах, где известны три из четырех пропорциональных чисел, а четвертое число — это то, что необходимо решить.

    Во-первых, нам нужно связать A с B.Затем мы записываем следующую пару чисел, которые нам нужно связать.

    C — это значение величины A, а X, значение, которое мы вычисляем, — это значение величины B.

    Как решить задачу с обратным правилом трех?

    На ферме 20 уткам требуется 10 дней, чтобы съесть оставшуюся для них пищу. Сколько времени потребуется 40 уткам, чтобы съесть одну и ту же пищу?

    Во-первых, мы должны определить, является ли пропорциональность прямой или обратной:

    Для 20 уток требуется 10 дней.40 уток… потребуется ли им больше или меньше времени, чтобы съесть еду?

    Больше уток означает, что еда закончится быстрее, поэтому им потребуется меньше времени, чтобы ее съесть.

    Если количество уток увеличивается, количество дней уменьшается. Мы смотрим на обратную пропорциональность.

    Теперь применим правило трех обратных:

    Это займет 5 дней , чтобы 40 уток съели всю пищу.

    3 маляра красят дом за 12 дней.Сколько времени потребуется 9 малярам, ​​чтобы выполнить одну и ту же работу?

    Во-первых, нам нужно определить, какая это пропорциональность.

    На 3 маляров уходит 12 дней. 9 художников … будет ли у них больше или меньше времени на работу?

    Больше маляров означает, что им понадобится меньше времени, чтобы закончить работу. Итак, мы имеем дело с обратной пропорциональностью.

    Теперь нам просто нужно применить правило трех обратных:

    На покраску дома у 9 маляров уходит 4 дня .

    Если вы хотите продолжать изучать и практиковать элементарную математику, зарегистрируйтесь в Smartick.

    Подробнее:

    Команда создания контента.
    Многопрофильная и многонациональная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
    Они стремятся создать максимально возможное математическое содержание.

    Задачи

    Word: обратная вариация

    Пока

    прямая вариация

    описывает линейную связь между двумя переменными,

    обратная вариация

    описывает другой вид отношений.Для двух величин с обратным изменением, когда одна величина увеличивается, другая величина уменьшается.

    Например, когда вы путешествуете в определенное место, по мере увеличения вашей скорости время, необходимое для прибытия в это место, уменьшается. Когда вы уменьшаете скорость, время, необходимое для прибытия в это место, увеличивается. Итак, количества обратно пропорциональны.

    Обратную вариацию можно выразить уравнением

    Икс

    у

    знак равно

    k

    или же

    у

    знак равно

    k

    Икс

    .

    Это,

    у

    изменяется обратно пропорционально

    Икс

    если есть некоторая ненулевая константа

    k

    такой, что,

    Икс

    у

    знак равно

    k

    или же

    у

    знак равно

    k

    Икс

    где

    Икс

    0

    а также

    у

    0

    .

    Некоторые задачи со словами требуют использования обратной вариации. Вот способы решения задач с обратными вариациями слов.

    1. Разберитесь в проблеме.
    2. Напишите формулу.
    3. Определите известные значения и замените их в формуле.
    4. Решайте неизвестное.


    Пример 1:

    Громкость

    V

    газа изменяется обратно пропорционально давлению

    п

    в теме. Если объем

    240

    см

    3

    под давлением

    30

    кг

    /

    см

    2

    , какое давление необходимо приложить, чтобы получить объем

    160

    см

    3

    ?

    Громкость

    V

    изменяется обратно пропорционально давлению

    п

    означает, что когда объем увеличивается, давление уменьшается, а когда объем уменьшается, давление увеличивается.

    Теперь напишите формулу обратной вариации.

    PV

    знак равно

    k

    Заменять

    240

    для

    V

    30

    для

    п

    в формуле и найти постоянную

    (

    240

    )

    (

    30

    )

    знак равно

    k

    7200

    знак равно

    k

    Теперь напишите уравнение и решите неизвестное.

    Мы должны найти давление, когда объем

    160

    см

    3

    .

    Так,

    (

    160

    )

    (

    п

    )

    знак равно

    7200

    .

    Решить для

    п

    .

    п

    знак равно

    7200

    160

    знак равно

    45

    Следовательно, давление

    45

    кг

    /

    см

    2

    применяться, чтобы иметь объем

    160

    см

    3

    .


    Пример 2:

    Длина струны скрипки обратно пропорциональна частоте ее колебаний. Струна для скрипки

    14

    дюймов в длину вибрирует с частотой

    450

    циклов в секунду. Найдите частоту

    12

    -дюймовая струна для скрипки.

    Длина(

    л

    ) изменяется обратно пропорционально частоте (

    ж

    ), при увеличении длины частота уменьшается, а при уменьшении длины частота увеличивается.

    Теперь напишите формулу обратной вариации.

    л

    ж

    знак равно

    k

    .

    Заменять

    450

    для

    ж

    14

    для

    л

    в формуле и найдите константу.

    (

    450

    )

    (

    14

    )

    знак равно

    k

    6300

    знак равно

    k

    Теперь напишите уравнение и решите неизвестное.

    Мы должны найти частоту

    12

    -дюймовая струна для скрипки.

    Так,

    (

    12

    )

    (

    ж

    )

    знак равно

    6300

    .

    Решить для

    ж

    .

    ж

    знак равно

    6300

    12

    знак равно

    525

    Следовательно,

    12

    -дюймовая струна скрипки колеблется с частотой

    525

    циклов в секунду.

    Обратная вариация — ChiliMath

    Концепция обратной вариации резюмируется приведенным ниже уравнением.


    Ключевые идеи обратной вариации

    • Мы говорим, что y изменяется обратно пропорционально x, если y выражается как произведение некоторого постоянного числа k и обратной величины x.
    • Однако значение для k не может равняться нулю , то есть k \ ne 0.
    • Если изолировать k с одной стороны, становится ясно, что k является фиксированным произведением x и y.Это означает, что умножение x и y всегда дает постоянный результат k.

    k также известен как постоянная вариации или константа пропорциональности.


    Примеры обратной вариации

    Пример 1: Укажите, изменяется ли y обратно пропорционально x в таблице ниже. Если да, напишите уравнение для обратной вариации.

    Решение :

    Чтобы таблица имела характеристику обратной вариации, произведение для всех пар x и y в наборе данных должно быть одинаковым.

    Произведение переменных x и y постоянно для всех пар данных. Можно утверждать, что k = 24 — постоянная вариации. Написание уравнения обратной пропорциональности,

    Вот график уравнения y = {{24} \ over x} с точками из таблицы.


    Пример 2: Укажите, изменяется ли y обратно пропорционально x в таблице ниже. Если да, напишите уравнение для обратной вариации.

    Решение :

    Если данные в таблице представляют собой обратное изменение, произведение x и y должно быть постоянным числом.

    Очевидно, что умножение x и y вместе дает фиксированное число. Это становится нашей постоянной вариации, таким образом, k = — \, 3. Уравнение обратной вариации записывается как,

    Это график y = {{- \, 3} \ over x} с точками из таблицы.


    Пример 3: При условии, что y изменяется обратно пропорционально x. Если x = — \, 2, то y = 14.

    a) Напишите уравнение обратной вариации, которое связывает x и y.

    b) Какое значение y при x = 4?

    Часть a) Напишите уравнение обратной вариации, которое связывает x и y.

    • Начните с написания общей формулы обратной вариации, которая равна y = {k \ over x}. Это дает нам представление о том, что мы можем решить для k, поскольку значения x и y заданы.
    • Теперь мы можем написать уравнение обратной вариации, которое связывает x и y.

    Часть b) Какое значение y при x = 4?

    • Чтобы найти y, подставьте x = 4 в уравнение, найденное в части a).

    Пример 4: Если y изменяется обратно пропорционально x, найдите недостающее значение y в

    Решение :

    Используйте первую точку \ left ({4, — \, 2} \ right) \, чтобы определить значение k по формуле y = {k \ over x}.

    Написание уравнения обратной вариации, которое связывает x и y,

    Чтобы найти пропущенное значение y в точке \ left ({- \, 8, y} \ right), просто вставьте значение x в формулу, найденную выше, а затем упростите.


    Пример 5: Чтобы уравновесить рычаг (качели), вес изменяется обратно пропорционально расстоянию от объекта до точки опоры. Если Джон, весом 140 фунтов, сидит в 7 футах от точки опоры, где должен сесть его брат Лео, который весит 98 фунтов, чтобы уравновесить качели?

    Решение :

    Важно нарисовать набросок сценария, чтобы мы имели представление о том, что происходит.

    Нам говорят, что вес изменяется обратно пропорционально расстоянию. Это означает, что наша формула обратной зависимости веса и расстояния:

    Мы можем найти значение k, используя информацию о Джоне, потому что в задаче четко указаны его вес и расстояние от точки опоры.

    Ниже приведено уравнение обратной зависимости веса и расстояния.

    Помните, что мы пытаемся найти, как далеко должен сидеть Лев, весом 98 фунтов, от точки опоры, чтобы уравновесить качели.Для этого подставьте вес Льва в приведенную выше формулу и найдите «d».

    Следовательно, Лев должен сидеть в 10 футах на расстоянии от точки опоры, чтобы уравновесить качели!


    Возможно, вас заинтересует:

    Прямое изменение

    Объяснение прямой и обратной пропорции

    Введение

    По крайней мере, один из моих постов Как расстояние уменьшает мощность радиоволн (еще не опубликовано) требует понимания математической пропорциональности.В частности, требуется понимание Обратной пропорции . Итак, я написал эту статью, чтобы попытаться прояснить ее. Он дает объяснение двух типов пропорции , иначе известной как вариант , а именно:

    1. Прямая пропорция ,
    2. Обратная пропорция , также известная как Непрямая пропорция .

    Символ, используемый для обозначения пропорции

    В математике есть символ пропорциональности, например:

    Итак, если y пропорционально x , это отображается как:

    y ∝ x

    1.Прямая пропорция

    Все, что находится в , прямо пропорционально чему-то еще, поднимается и опускается вместе с ним, то есть если одно увеличивается в размере вдвое, то же самое и другое.

    Итак, если y ∝ x , то 2y ∝ 2x и y / 2 ∝ x / 2 .

    На графиках ниже y ∝ x (линейная функция)

    Рис. 1. Диаграмма с тремя графиками, каждый из которых использует линейную функцию для демонстрации пропорциональности.

    На рис. 1 выше показана диаграмма с тремя графиками, где значения на оси y идут вверх и вниз в прямой пропорции к значениям на оси x .

    т.е. y ∝ x

    или y = kx , где k — постоянная.

    Примеры прямой пропорции

    Мои первые три примера взяты из каждого из графиков в рис. 1 . Я использовал одно и то же значение для x , т. Е. x = 3 , повсюду. Каждый использует свою константу k , таким образом:

    • Пример 1: Пусть в этом примере k = 1 , в результате чего y = 1x .Итак, y = (1 × 3) = 3 .
    • Пример 2: Пусть в этом примере k = 3 , то есть y = 3x . Итак, y = (3 × 3) = 9 .
    • Пример 3: Пусть в этом примере k = 6 , то есть y = 6x . Итак, y = (6 × 3) = 18 .

    Мои следующие три примера, от 4 до 6 , предполагают, что значение x удваивается до 6 . y , будучи в пропорции, тоже удваивается:

    • Пример 4: Когда k = 1 , y = (1 × 6) = 6 .(Ранее в примере 1 , y было 3 .)
    • Пример 5: Когда k = 3 , y = (3 × 6) = 18 . (Ранее в примере 2 , y было 9 .)
    • Пример 6: Когда k = 6 , y = (6 × 6) = 36 . (Ранее в примере 3 , y было 18 .)

    В приведенных выше примерах y возрастает и падает в соответствии с x и, таким образом, увеличилось в прямо пропорционально до х .

    Так как y = kx , x и y имеют постоянное отношение k , таким образом: y / x = k


    На графике ниже y ∝ x

    2 (нелинейная функция)

    Рис. 2. График, демонстрирующий нелинейную функцию x 2 .

    На рис. 2 выше показан график, на котором значения по оси y идут вверх и вниз по прямо пропорционально квадратам значений по оси x .

    т.е. y ∝ x 2 (x в квадрате)

    или y = kx 2 , где k — постоянная.

    k = 1 в этом примере получается y = 1x 2 .

    Итак, если x = 5 , то y = 1 × (5 × 5) = 25 .

    Тогда, если x удвоится с 5 до 10 , y будет четырехкратно от 25 до 100 ,

    и.е. y = 1 × (5 × 2) × (5 × 2) .

    Таким образом, y теперь поднимается и опускается синхронно с x 2 и больше не в прямо пропорционально только до x , но теперь находится в прямо пропорционально до x 2 .

    См. Объяснения других людей:


    2. Обратная или косвенная пропорция

    Все, что обратно пропорционально (или косвенно) чему-то другому, упадет, когда другая вещь поднимется, и поднимется, когда она упадет, т.е.е. если один вдвое больше других половин.

    Итак, если y ∝ 1 / x , то 2y ∝ 2 / x и y / 2 ∝ 1 / (2x) .

    На графике ниже y ∝ 1 / x (нелинейная функция)

    Рис. 3. График, использующий линейную функцию для демонстрации обратной пропорциональности.

    На рис. 3 выше показан график, на котором значения на оси y идут вверх и вниз в , обратно пропорционально значениям на оси x .

    т.е. y ∝ 1 / x

    или y = k / x , где k — постоянная.

    k = 1 , в этом примере y = 1 / x .

    Итак, если x = 5 , y = 1/5 = 0,2

    Затем, если x удваивается до 10 , y уменьшается вдвое до 0,1 ,

    т.е. y = 1 / (2 × 5) = 1/10 = 0,1

    Таким образом, y падает синхронно с ростом x и возрастает синхронно с падением x , поскольку y находится в в обратной пропорции от до x .


    На графике ниже y ∝ 1 / x

    2 (нелинейная функция)

    Рис. 4. График, демонстрирующий обратную пропорциональность квадратичной функции.

    На рис. 4 выше показан график, на котором значения на оси y идут вниз в в обратной пропорции к квадратам значений на оси x .

    т.е. y ∝ 1 / x 2

    или y = k / x 2 , где k — постоянная.

    k = 1 в этом примере получается y = 1 / x 2 .

    Итак, если x = 5 , y = 1 / (5 × 5) = 1/25 = 0,04 .

    Тогда, если x удвоится до 10 , y будет четвертовал до 0,01 ,

    , т.е. y = 1 / (2 × 5) × (2 × 5) = 1 / (10 × 10) = 1/100 = 0,01 .

    Таким образом, y падает синхронно с x 2 возрастает и растет синхронно с x 2 падает, так как y больше не находится в в обратной пропорции до x , но теперь в обратная пропорция до x 2 .

    См. Объяснения других людей:


    Сравнение обратной пропорции 1 / x с 1 / x

    2

    Это то же самое, что и сравнение изменения видимого размера объектов, видимых на выбранном расстоянии, с их областями обзора на этих расстояниях.

    Если бы я сказал, что видимый размер объекта (высота и ширина) равен , обратно пропорционален его расстоянию от него (x) , я бы имел в виду, что чем дальше он становится, тем меньше он будет выглядеть как по высоте, так и по ширине ( 1 / х) .Таким образом, если расстояние было удвоено, его видимый размер уменьшился бы вдвое: (1 / 2x) , а если расстояние снова удвоить, его видимый размер снова уменьшился бы вдвое: (1 / 4x) . Тогда он будет составлять четверть своего первоначального размера, потому что расстояние до него будет в четыре раза больше исходного расстояния.

    Эта обратная пропорциональность , связывающая видимый размер с расстоянием, поддерживается Кейси Правилом , программистом и композитором, в его цитате ниже.

    Видимый размер объекта в поле зрения линейно уменьшается по мере увеличения расстояния от зрителя. Таким образом, круг диаметром 1 дюйм на расстоянии 5 метров от камеры будет выглядеть как 5 дюймов на расстоянии 1 метра от камеры.

    Кейси Правило re Взаимосвязь между размером объекта и расстоянием до камеры

    Я проверил, что 1 / x или x -1 является нелинейной функцией. Единственная линейная степень x — это x 1 .Я цитирую Инес Уолстон из Brainly. Я проверил это, потому что правило Кейси гласит: Видимый размер объекта в поле зрения линейно уменьшается по мере увеличения расстояния от зрителя. И его использование слова «линейно» может сбивать с толку. Я думаю, что диаграмма ниже может показать, что он имеет в виду.

    Теперь, вспоминая все эти формулы для вычисления площадей различных форм, таких как: прямоугольники, круги, треугольники, параллелограммы и т. Д., Станет очевидным, что площади этих фигур не обратно пропорциональны расстоянию от них наблюдателя, поскольку их размеры ( высота и ширина) есть.Эти площади фактически обратно пропорциональны квадрату расстояния от наблюдателя (1 / x 2 ) .

    Сравнение графиков обратной пропорции на рис. 3 и 4.

    Рис. 5. Сравнение графиков для y = 1 / x и y = 1 / x 2 .

    Рис. 5 сравнивает { y , когда он обратно пропорционален x } с { y , когда он обратно пропорционален x 2 }.

    , то есть сравнивает y = k / x с y = k / x 2 , когда k = 1 .

    Из этих графиков ясно видно, что график 1 / x 2 быстро падает при малых значениях x по сравнению с графиком 1 / x . Это хорошая новость для всех, кого беспокоит излучаемая мощность, поскольку обычно принимаемая мощность в любой момент оказывается меньше ожидаемой.

    ПРИМЕЧАНИЕ: Графики в Рис.5 основаны на концепции, согласно которой уровни мощности на реальном графике y = (k / x 2 ) и предполагаемом графике y = (k / x) одинаковы, когда единица измерения расстояния от источник — 1 , согласно единицам, используемым для x , например:

    • 1 метр , если x измеряется в метрах,
    • 1 ярд , когда x измеряется в ярдах,
    • 1 фут , когда x измеряется в футах.

    ПРИМЕЧАНИЕ: Во всех приведенных здесь примерах и обсуждениях x, y и k могут иметь отрицательные значения с математической точки зрения. Однако я пытаюсь направить дискуссию на излучение положительной силы и энергии, где отрицательные значения обычно не играют роли.


    Примечание: Раздел ниже может быть удален из этого сообщения и вставлен в мой будущий пост Как расстояние уменьшает мощность радиоволн .

    Как эти наблюдения относятся к излучению энергии

    В физике мощность излучаемых сигналов, содержащих энергию, таких как радиоволны, свет и звук, уменьшается так же, как видимая площадь удаленного объекта. Их мощность уменьшается на обратно пропорционально квадрату расстояния, на которое они передаются. Это означает, что удвоение расстояния снижает мощность не только до половины, но и до , половина от половины, что составляет четверть от того, что было, а удвоение снова снижает ее до на четверть четверти, что составляет четверть. шестнадцатая какая то была.

    Этот «квадратичный закон» полностью определяет мощность получаемой энергии. Это снижает его до более низкого уровня, чем вы могли ожидать.


    Если вы были отправлены на этот пост во время чтения Как расстояние уменьшает мощность радиоволн (еще не опубликовано), вам следует вернуться к нему и продолжить чтение.


    КОНЕЦ ЗАПИСИ

    Просмотры сообщений:
    528

    Похожие сообщения

    Автор: Helpful Colin

    У меня есть опыт работы в сфере телекоммуникаций и увлекаюсь всем, что связано с наукой и техникой — от физики до электроники, от вычислений до DIY.Просмотреть все сообщения Helpful Colin

    Обратная пропорция | eMathZone

    Предположим, что 20 человек построят дом за 6 дней. Если количество мужчин увеличится до 30, им потребуется 4 дня, чтобы построить такой же дом. Если количество мужчин становится 40, они строят дом за 2 дня; то есть
    \ [\ begin {array} {* {20} {c}} {{\ text {No}} {\ text {. мужчин}}} & {} & {{\ text {No}} {\ text {. дней}}} \\ {{\ text {20}}} & {} & {\ text {6}} \\ {{\ text {30}}} & {} & {\ text {4}} \ \ {{\ text {40}}} & {} & {\ text {3}} \ end {array} \]

    Видно, что по мере увеличения количества людей время, необходимое для постройки дома, уменьшается в той же пропорции.
    Другими словами, , если увеличение одного количества вызывает уменьшение другого количества или уменьшение одного количества вызывает увеличение другого количества, то мы говорим, что оба количества обратно связаны.
    Более точно, если две величины $$ x $$ и $$ y $$ находятся в обратной пропорции, то их произведение будет постоянным.
    т.е. $$ xy = c $$, где $$ c $$ = константа

    В приведенном выше примере мы видим, что
    20 x 6 = 120
    30 x 4 = 120
    40 x 3 = 120

    Это показывает, что каждый продукт постоянен или одинаков.Следовательно, если мы имеем дело с величинами, которые связаны обратно пропорционально, то мы можем использовать следующее правило:
    \ [\ begin {array} {* {20} {c}} {{\ text {No}} {\ text { . мужчин}}} & {} & {{\ text {No}} {\ text {. дней}}} \\ {{\ text {20}}} & \ leftrightarrow & {\ text {6}} \\ {} & {\ text {=}} & {} \\ {{\ text {30 }}} & \ leftrightarrow & {\ text {4}} \ end {array} \]
    20 x 6 = 30 x 4

    В общем случае
    \ [\ boxed {\ begin {array} {* {20} {c}} {{\ text {No}} {\ text {. мужчин}}} & {} & {{\ text {No}} {\ text {.дней}}} \\ {\ text {a}} & \ leftrightarrow & {\ text {c}} \\ {\ text {b}} & \ leftrightarrow & {\ text {d}} \\ {{\ текст {ac = bd}}} & {{\ text {или}}} & {\ frac {{\ text {a}}} {{\ text {d}}} = \ frac {{\ text {b} }} {{\ text {c}}}} \ end {array}} \]

    Пример:
    Четыре трубы могут заполнить резервуар за 70 минут. Сколько времени потребуется, чтобы заполнить бак с 7 трубками?

    Решение:
    \ [\ begin {array} {* {20} {c}} {{\ text {No}} {\ text {. of Pipes}}} & {} & {{\ text {Time Taken}}} \\ {{\ text {Increase}} \ downarrow \ begin {array} {* {20} {c}} {\ text {4 }} \\ {\ text {7}} \ end {array}} & {} & {\ begin {array} {* {20} {c}} {{\ text {70}}} \\ x \ end {array} \ downarrow {\ text {Decrease}}} \ end {array} \]
    По принципу обратной пропорции имеем
    4 x 70 = 7 x $$ x $$
    $$ x = \ frac { {4 {\ text {x 70}}}} {{\ text {7}}} $$ = 40 минут

    Пример:
    Тридцать пять рабочих могут построить дом за 16 дней.Сколько дней потребуется 28 рабочим, работающим с одинаковой скоростью, чтобы построить один и тот же дом?

    Решение:
    \ [\ begin {array} {* {20} {c}} {{\ text {No}} {\ text {. of Workers}}} & {} & {{\ text {No}} {\ text {. дней}}} \\ {{\ text {Decrease}} \ downarrow \ begin {array} {* {20} {c}} {{\ text {35}}} \\ {{\ text {28}} } \ end {array}} & {} & {\ begin {array} {* {20} {c}} {{\ text {16}}} \\ x \ end {array} \ downarrow {\ text {Увеличить }}} \ end {array} \]
    По принципу обратной пропорции имеем
    28 x $$ x $$ = 35 x 16
    $$ x = \ frac {{{\ text {35 x 16}} }} {{{\ text {28}}}} $$ = 20 дней

    ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИЯ | Определение ОБРАТНОЙ ПРОПОРЦИИ в Оксфордском словаре лексики.com также значение INVERSE

    обратная пропорция

    (также обратная пропорция )

    Произношение / invərs prəˈpôrSHən / / nvərs prəˈpɔrʃən / / nˈˌvərs prəˈpnrnn / / nəvərs prəˈpʃən326 nrn43 два

    9014 90 так что одно увеличивается пропорционально уменьшению другого.

    «популяция диких коз была уменьшена обратно пропорционально численности змей»

    Другие примеры предложений

    • «Обратное соотношение качества и количества никогда не было более ярко проиллюстрировано.«
    • » Но с вином количество и качество находятся в обратных пропорциях, поэтому чем более опустошен виноград, тем лучше вино ».
    • « Массовое соотношение двух тел — это » отрицательное обратное соотношение взаимно индуцированных ускорений этих тел, а «сила» является «произведением массы и ускорения».
    • «Изучаются прямая пропорция, обратная пропорция и сложная пропорция».
    • «И наоборот, мы предполагаем, что другие семьи обладают повышенной устойчивостью к раку груди и имеют обратное соотношение этих аллелей.’
    • ‘ Возможно, он ничего не знал о дробях и обратных соотношениях в школе, но он знал все о гармониках и теноровой панели. ‘
    • ‘ Итак, чисто анекдотично и ненаучно, здесь обратное соотношение , где мужчины с большей вероятностью напишут, но с меньшей вероятностью найдут что-нибудь стоящее. ‘
    • ‘ Шведский экономист Фредрик Эриксон отметил обратное соотношение между помощью и ростом и показал, как помощь отвлекает деньги от производственной деятельности на неэффективные статистические проекты.’
    • ‘ Одно из них могло быть связано, а могло и не быть связано со снижением мотивации группы обратно пропорционально их умеренно растущей популярности. ‘
    • ‘ Обратно пропорционально динамизму Стива, я становлюсь все более расслабленным. ‘
    • ‘ По мере роста талантов и денег, вкладываемых в рекламу, кажется, что существует обратное соотношение того, что они вкладывают в создание программ. ‘
    • ‘ Карьера Сами развивалась обратно пропорционально шумихе вокруг его, но теперь, когда скептицизм начал укореняться, его выступления выросли.’
    • ‘ Основываясь на ее словах, я заметил, что существует обратная пропорция между тем, насколько я люблю себя, и тем, сколько времени я трачу на размышления о своем парне. ‘
    • ‘ Пожертвования от государств-членов будут равны основанный на режиме обратной пропорции, в котором те государства-члены, которые получают больше, также будут платить больше, но те, кто получает меньшую выгоду от фонда, платят меньше ».
    • деньги в фондах облигаций упали на 11 триллионов вон, поскольку доходность облигаций, которая движется обратно пропорционально ценам облигаций, стала расти.«
    • » Достижение этого потенциала связано с законом обратной пропорции: чем более захватывающим и романтичным является вызов, тем более приземленным и практичным должен быть подход ».
    • « Я думаю о мелких диктаторах с экстравагантными титулами наоборот. пропорционально значимости своей страны на мировой арене. ‘
    • ‘ Действительно, ЕС имеет отношение, обратно пропорциональное его способности действовать в соответствии с ними. ‘
    • ‘ Обычно в таких спорах происходит насилие партизанских страстей обратно пропорциональна глубине реальных разногласий.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.