Что означает нод в математике: Как найти наибольший общий делитель (НОД) + Свойства, Формулы

Содержание

Как найти наибольший общий делитель (НОД) + Свойства, Формулы

Понятие наибольшего общего делителя

Начнем с самого начала и вспомним, что такое общий делитель. У целого числа может быть несколько делителей. А сейчас нам особенно интересно, как обращаться с делителями сразу нескольких целых чисел.

Делитель натурального числа — это такое натуральное число, которое делит данное число без остатка. Если у натурального числа больше двух делителей, его называют составным.

Общий делитель нескольких целых чисел — это такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества. Например, у чисел 12 и 8 общим делителем будет четверка. Чтобы это проверить, напишем верные равенства: 8 = 4 * 2 и 12 = 3 * 4. Но у этой пары чисел есть и другие общие делители: 1, -1 и -4.

Любое число можно разделить на 1, -1 и на само себя. Значит у любого набора целых чисел будет как минимум три общих делителя. Если общий делитель больше 0 — противоположное ему значение со знаком минус также является общим делителем.

Если b — делитель целого числа a, которое не равно нулю, то модуль числа b не может быть больше модуля числа a. Значит любое число, не равное 0, имеет конечное число делителей.

Разобраться во всех правилах и быстро щелкать задачки помогут внимательные учителя детской школы Skysmart. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой, увлекательные математические комиксы и даже онлайн-доска, на которой можно чертить вместе с учителем.

Запишите вашего ребенка на бесплатный вводный урок математики: покажем, как все устроено и вдохновим на учебу.

 

Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка. Для записи может использоваться аббревиатура НОД. Для двух чисел можно записать вот так: НОД (a, b).

Например, для 4 и -16 НОД будет 4. Как мы к этому пришли:

 

  1. Зафиксируем все делители четырех: ±4, ±2, ±1.
  2. А теперь все делители шестнадцати: ±16, ±8, ±4, ±3 и ±1.
  3. Выбираем общие: это -4, -2, -1, 1, 2 и 4. Самое большое общее число: 4. Вот и ответ.

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Найдем наибольший общий делитель нескольких целых чисел: 10, 6, 44, -18. Он будет равен трем. Ответ можно записать так: НОД (12, 6, 42, -18) = 3. А чтобы проверить правильность ответа, нужно записать все делители и выбрать из них самые большие.

Взаимно простые числа — это натуральные числа, у которых только один общий делитель — единица. Их НОД равен 1.

Помимо НОД есть еще и НОК, что расшифровывается, как наименьшее общее кратное и означает наименьшее число, которое делится на каждое из исходных чисел без остатка.

Еще один пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.

Как находим:

 

  1. Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые

    Д (28) = 2 * 2 * 7

    Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

  2. Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ

    НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4

Ответ: НОД (28; 64) = 4

Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.

Свойства наибольшего общего делителя

У наибольшего общего делителя есть ряд определенных свойств. Опишем их в виде теорем и сразу приведем доказательства.

Важно! Все свойства НОД будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать делители только больше нуля.

Свойство 1. Наибольший общий делитель чисел а и b равен наибольшему общему делителю чисел b и а, то есть НОД (a, b) = НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Доказывать свойство не имеет смысла, так как оно напрямую исходит из самого определения НОД.

Свойство 2. Если а делится на b, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством делителей числа b, поэтому НОД (a, b) = b.

Доказательство

 

Любой общий делитель чисел а и b является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b. Так как а кратно b, то любой делитель числа b является делителем и числа а, благодаря свойствам делимости. Из этого следует, что любой делитель числа b является общим делителем чисел а и b.

 

Значит, если а делится на b, то совокупность делителей чисел а и b совпадает с совокупностью делителей одного числа b. А так как наибольшим делителем числа b является само число b, то наибольший общий делитель чисела и b также равен b, то есть НОД (а, b) = b.

 

В частности, если a = b, то НОД (a, b) = НОД (a, a) = НОД (b, b) = a = b.

  • Например, НОД (25, 25) = 25.

Доказанное свойство наибольшего делителя можно использовать, чтобы найти НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число.

  • Например, НОД (4, 40) = 4, так как 40 кратно 4.

Свойство 3. Если a = bq + c, где а, b, с и q — целые числа, то множество общих делителей чисел а и b совпадает со множеством общих делителей чисел b и с. Равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) справедливо.

Доказательство

 

Существует равенство a = bq + c, значит всякий общий делитель чисел а и b делит также и с, исходя из свойств делимости. По этой же причине, всякий общий делитель чисел b и с делит а. Поэтому совокупность общих делителей чисел а и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c.

 

Поэтому должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, и равенство НОД (a, b) = НОД (b, c) можно считать справедливым.

Свойство 4. Если m — любое натуральное число, то НОД (mа, mb) = m * НОД(а, b).

Доказательство

Если умножить на m обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД (mа, mb)= mr, где r — это НОД (а, b). На этом свойстве наибольшего общего делителя основан поиск НОД с помощью разложения на простые множители.

Свойство 5. Пусть р — любой общий делитель чисел а и b, тогда НОД (а : p, b : p) = НОД (а, b) : p. А именно, если p = НОД (a, b) имеем НОД (a : НОД (a, b), b: НОД (a, b)) = 1, то есть, числа a : НОД (a, b) и b : НОД (a, b) — взаимно простые.

Так как a = p(a : p) и b = p(b : p), и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД (a, b) = НОД (p(a : p), p(b : p)) = p * НОД (a : p, b : p), откуда и следует доказываемое равенство.

Способы нахождения наибольшего общего делителя

Найти наибольший общий делитель можно тремя способами. Рассмотрим все три, чтобы при решении задач выбирать самую оптимальную последовательность действий.

1. Разложение на множители

Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно разложить их на простые множители и перемножить между собой общие множители для всех чисел.

Пример 1. Найти НОД (84, 90).

Как решаем:

 

  1. Разложим числа 84 и 90 на простые множители:

     

  2. Подчеркнем все общие множители и перемножим их между собой:

    2 * 3 = 6.

 

Ответ: НОД (84, 90) = 6.

Пример 2. Найти НОД (15, 28).

Как решаем:

 

  1. Разложим 15 и 28 на простые множители:

     

  2. Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.

 

Ответ: НОД (15, 28) = 1.

2. Разложение двух чисел на простые множители

С последующим перемножением общих из них.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 18.

Как решаем:

 

  1. Разложим оба числа на простые множители:

     

  2. Найдем общие множители чисел 24 и 18: 2 и 3. Для удобства общие множители можно подчеркнуть.

     

  3. Перемножим общие множители:

    НОД (24, 18) =2 * 3 = 6

 

Ответ: НОД (24, 18) = 6

3. Алгоритм Евклида

Способ Евклида помогает найти НОД через последовательное деление. Сначала посмотрим, как работает этот способ с двумя числами, а затем применим его к трем и более.

Алгоритм Евклида заключается в следующем: если большее из двух чисел делится на меньшее — наименьшее число и будет их наибольшим общим делителем. Использовать метод Евклида можно легко по формуле нахождения наибольшего общего делителя.

Формула НОД: НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.

Пример 1. Найти НОД для 24 и 8.

Как рассуждаем:

Так как 24 делится на 8 и 8 тоже делится на 8, значит, 8 — общий делитель этих чисел. Этот делитель является наибольшим, потому что 8 не может делиться ни на какое число, большее его самого. Поэтому: НОД (24, 8) = 8.

В остальных случаях для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел нужно соблюдать такой порядок действий:

 

  1. Большее число поделить на меньшее.
  2. Меньшее число поделить на остаток, который получается после деления.
  3. Первый остаток поделить на второй остаток.
  4. Второй остаток поделить на третий и т. д.
  5. Деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и есть наибольший общий делитель.

Пример 2. Найти наибольший общий делитель чисел 140 и 96:

Как решаем:

 

  1. 140 : 96 = 1 (остаток 44)
  2. 96 : 44 = 2 (остаток 8)
  3. 44 : 8 = 5 (остаток 4)
  4. 8 : 4 = 2

Последний делитель равен 4 — это значит: НОД (140, 96) = 4.

Ответ: НОД (140, 96) = 4

Пошаговое деление можно записать столбиком:

Чтобы найти наибольший общий делитель трех и более чисел, делаем в такой последовательности:

 

  1. Найти наибольший общий делитель любых двух чисел из данных.
  2. Найти НОД найденного делителя и третьего числа.
  3. Найти НОД последнего найденного делителя и четвёртого числа и т. д.

Знакомство с темой наибольшего общего делителя начинается в 5 классе с теории и закрепляется в 6 классе на практике. В этой статье мы узнали все основные определения, свойства и их доказательства, а также как найти НОД.

НОД и НОК

Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК.

НОД — это наибольший общий делитель.

НОК — это наименьшее общее кратное.

Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.

Наибольший общий делитель

Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.

Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b — число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:

Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.

Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9. Причем делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.

Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.

Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.

Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9.

Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.

12 : 1 = 12
(12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)

12 : 2 = 6
(12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)

12 : 3 = 4
(12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)

12 : 4 = 3
(12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)

12 : 5 = 2 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)

12 : 6 = 2
(12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)

12 : 7 = 1 (5 в остатке)
(12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)

12 : 8 = 1 (4 в остатке)
(12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)

12 : 9 = 1 (3 в остатке)
(12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)

12 : 10 = 1 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)

12 : 11 = 1 (1 в остатке)
(12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)

12 : 12 = 1
(12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)

Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9

9 : 1 = 9
(9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)

9 : 2 = 4 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)

9 : 3 = 3
(9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)

9 : 4 = 2 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)

9 : 5 = 1 (4 в остатке)
(9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)

9 : 6 = 1 (3 в остатке)
(9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)

9 : 7 = 1 (2 в остатке)
(9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)

9 : 8 = 1 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)

9 : 9 = 1
(9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)

Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:

Выписав делители, можно сразу определить какой является наибольшим и общим.

Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3

И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:

12 : 3 = 4

9  : 3 = 3

Значит НОД (12 и 9) = 3


Второй способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.

Пример 1. Найти НОД чисел 24 и 18

Сначала разложим оба числа на простые множители:

Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.

Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:

Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.

Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.

Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:

Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:

2 × 3 = 6

Значит НОД (24 и 18) = 6


Третий способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.

Пример 1. Найти НОД чисел 28 и 16.

В первую очередь, раскладываем числа 28 и 16 на простые множители:

Получили два разложения:  и 

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семёрка. Её и вычеркнем из первого разложения:

Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:

Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:

28 : 4 = 7

16 : 4 = 4

 НОД (28 и 16) = 4


Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40

Раскладываем на множители число 100

Раскладываем на множители число 40

Получили два разложения: 2 × 2 × 5 × 5 и 2 × 2 × 2 × 5

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

Перемножим оставшиеся числа:

Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:

100 : 20 = 5

40 : 20 = 2

 НОД (100 и 40) = 20.


Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128

Раскладываем на множители число 72

Раскладываем на множители число 128

Получили два разложения: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 и 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

Перемножим оставшиеся числа:

Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

72 : 8 = 9

128 : 8 = 16

 НОД (72 и 128) = 8


Нахождение НОД для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.

Например, найдём НОД для чисел 18,  24  и  36

Разложим на множители число 18

Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

Получили три разложения:

Теперь найдём и подчеркнём общие множители:

Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Эти множители входят во все три разложения. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

2 × 3 = 6

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:

18 : 6 = 3

24 : 6 = 4

36 : 6 = 6

 НОД (18, 24 и 36) = 6


Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42

Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих простых множителей.

Разложим на множители число 12

Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

 

Разложим на множители число 42

Получили четыре разложения:

Теперь найдём и подчеркнём общие множители:

Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

2 × 3 = 6

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:

12 : 6 = 2

24 : 6 = 4

36 : 6 = 6

42 : 6 = 7

 НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6


Наименьшее общее кратное

Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.

Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, причем оно должно быть максимально маленьким.

Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.

Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.

Из определения понятно, что наименьшее общее кратное это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Это наименьшее общее кратное требуется найти.

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться тремя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.

В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9.

Итак, начнём. Кратные будем выделять синим цветом:

Теперь находим кратные для числа 12. Для этого поочерёдно умножим число 12 на все числа 1 до 12:

Теперь выпишем кратные обоих чисел:

 

Теперь найдём общие кратные обоих чисел. Найдя, сразу подчеркнём их:

Общими кратными для чисел 9 и 12 являются кратные 36 и 72. Наименьшим же из них является 36.

Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36


Второй способ нахождения НОК

Второй способ заключается в том, что числа для которых ищется наименьшее общее кратное раскладываются на простые множители. Затем выписываются множители, входящие в первое разложение, и добавляют недостающие множители из второго разложения. Полученные множители перемножают и получают НОК.

Применим данный способ для предыдущей задачи. Найдём НОК для чисел 9 и 12.

Разложим на множители число 9

Разложим на множители число 12

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет в первом разложении. В первом разложении нет двух двоек. Их и допишем:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 36. Значит наименьшее общее кратное чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36

Говоря простым языком, всё сводится к тому, чтобы организовать новое разложение куда входят оба разложения сразу. Разложением первого числа 9 являлись множители 3 и 3, а разложением второго числа 12 являлись множители 2, 2 и 3.

Наша задача состояла в том, чтобы организовать новое разложение куда входило бы разложение числа 9 и разложение числа 12 одновременно. Для этого мы выписали разложение первого числа и дописали туда множители из второго разложения, которых не было в первом разложении. В результате получили новое разложение 3 × 3 × 2 × 2. Нетрудно увидеть воочию, что в него одновременно входят разложение числа 9 и разложение числа 12


Пример 2. Найти НОК чисел 50 и 180

Разложим на множители число 50

Разложим на множители число 180

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет ещё одной двойки и двух троек. Их и допишем:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 900. Значит наименьшее общее кратное чисел 50 и 180 это число 900. Данное число делится на 50 и 180 без остатка:

900 : 50 = 18

900 : 180 = 5

НОК (50 и 180) = 900


Пример 3. Найти НОК чисел 8, 15 и 33

Разложим на множители число 8

Разложим на множители число 15

Разложим на множители число 33

Выпишем первое разложение:

Теперь допишем множители из второго и третьего разложения, которых нет первом разложении. Допишем множители 3 и 5 из второго разложения, и множитель 11 из третьего разложения:

Теперь перемножаем эти множители:

Получили ответ 1320. Значит наименьшее общее кратное чисел 8, 15 и 33 это число 1320. Данное число делится на 8, 15 и 33 без остатка:

1320 : 8 = 165

1320 : 15 = 88

1320 : 33 = 40

НОК (8, 15 и 33) = 1320


Третий способ нахождения НОК

Есть и третий способ нахождения наименьшего общего кратного. Он работает при условии, что его ищут для двух чисел и при условии, что уже найден наибольший общий делитель этих чисел.

Данный способ разумнее использовать, когда одновременно нужно найти НОД и НОК двух чисел.

К примеру, пусть требуется найти НОД и НОК чисел 24 и 12. Сначала найдем НОД этих чисел:

Теперь для нахождения наименьшего общего кратного чисел 24 и 12, нужно перемножить эти два числа и полученный результат разделить на их наибольший общий делитель.

Итак, перемножим числа 24 и 12

Разделим полученное число 288 на НОД чисел 24 и 12

Получили ответ 24. Значит наименьшее общее кратное чисел 24 и 12 равно 24

НОК (24 и 12) = 24


Пример 2. Найти НОД и НОК чисел 36 и 48

Найдем НОД чисел 36 и 48

Перемножим числа 36 и 48

Разделим 1728 на НОД чисел 36 и 48

Получили 144. Значит наименьшее общее кратное чисел 36 и 48 равно 144

НОК (36 и 48) = 144

Для проверки можно найти НОК обычным вторым способом, которым мы пользовались ранее. Если мы всё сделали правильно, то должны получить 144

Не расстраивайтесь, если сразу не научитесь находить НОД и НОК. Главное понимать, что это такое и как оно работает. А ошибки вполне естественны на первых порах. Как говорят: «На ошибках учимся».


Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите НОД чисел 12 и 16

Решение:

Задание 2. Найдите НОК чисел 12 и 16

Решение:

Задание 3. Найдите НОД чисел 40 и 32

Решение:

Задание 4. Найдите НОК чисел 40 и 32

Решение:

Задание 5. Найдите НОД чисел 54 и 86

Решение:

Задание 6. Найдите НОК чисел 54 и 86

Решение:

Задание 7. Найдите НОД чисел 98 и 35

Решение:

Задание 8. Найдите НОК чисел 98 и 35

Решение:

Задание 9. Найдите НОД чисел 112 и 82

Решение:

Задание 10. Найдите НОК чисел 112 и 82

Решение:

Задание 11. Найдите НОД чисел 24, 48, 64

Решение:

Задание 12. Найдите НОК чисел 24, 48, 64

Решение:

Задание 13. Найдите НОД чисел 18, 48, 96

Решение:

Задание 14. Найдите НОК чисел 18, 48, 96

Решение:

Задание 15. Найдите НОД чисел 28, 24, 76

Решение:

Задание 16. Найдите НОК чисел 28, 24, 76

Решение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

НОД и НОК (Тамаркова)

НОД, НОД

НОД — это наибольший общий делитель.

НОК — это наименьшее общее кратное.

Определения:

  1. Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.
  2. Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n есть наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка

Способы нахождения НОД двух чисел:

1 способ (следует из определения): Метод полного перебора для нахождения наибольшего общего делителя (НОД)  натуральных чисел.

  1. Выписываем все делители числа а;
  2. Выписываем все делители числа b;
  3. Выбираем среди них общие делители;
  4. Среди общих делителей выбираем самое большое число – это и есть НОД(a, b).

2 способ : Метод перебора делителей меньшего числа для нахождения наибольшего общего делителя (НОД)  натуральных чисел.

  1. Найти делители меньшего из данных чисел.
  2. Найти, начиная с большего, тот из выписанных делителей, который является также делителем другого числа.
  3. Записать найденное число – НОД.

3 способ; Метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел с помощью разложения на множители.

  1. Находим разложение чисел на простые множители.
  2. Подчеркиваем общие числа.
  3. Находим произведение подчеркнутых чисел у одного числа.
  4. Записываем ответ.

4 способ: Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя (НОД)  двух натуральных чисел вычитанием.

  1. Из большего числа вычитается меньшее.
  2. Если получается 0, то числа равны друг другу и являются наибольшим общим делителем.
  3. Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяется на результат вычитания.
  4. Переход к пункту 1.

Способы нахождения НОК двух чисел:

1 способ: Метод перебора
1.    Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.

2 способ; Метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел с помощью разложения на множители

  1.  Разложить данные числа на простые множители.
  2.  Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним — разложение остальных чисел.
  3.  Подчеркнуть в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа и добавить эти множители в разложение большего числа. 
  4.  Полученное произведение записать в ответ. 

     Свойства наибольшего общего делителя:

  1. НОД(a, b) = НОД(b, a)
  2. НОД(a, b) = НОД(-a, b)
  3. НОД(a, b) = НОД(|a|,|b|)
  4. НОД(a, 0) = |a|
  5. НОД(a, к • a) = |a|, при любом к ∈ Z
  6. НОД(a, НОД(b, с)) = НОД(НОД(a, b), c)

Свойства наименьшего общего кратного:

  1. НОК(a, b) = НОК(b, a)
  2. НОД(a, b) = НОД(-a, b)
  3. НОД(a, b) = НОД(|a|,|b|)
  4. НОК(a, НОК(b, с)) = НОК(НОК(a, b), c)

 

 

Наибольший общий делитель (НОД): определение, примеры и свойства

Эта статья посвящена такому вопросу, как нахождение наибольшего общего делителя. Сначала мы объясним, что это такое, и приведем несколько примеров, введем определения наибольшего общего делителя 2, 3 и более чисел, после чего остановимся на общих свойствах данного понятия и докажем их.

Что такое общие делители

Чтобы понять, что из себя представляет наибольший общий делитель, сначала сформулируем, что вообще такое общий делитель для целых чисел.

В статье о кратных и делителях мы говорили, что у целого числа всегда есть несколько делителей. Здесь же нас интересуют делители сразу некоторого количества целых чисел, особенно общие (одинаковые) для всех. Запишем основное определение.

Определение 1

Общим делителем нескольких целых чисел будет такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества.

Пример 1

Вот примеры такого делителя: тройка будет общим делителем для чисел -12 и 9, поскольку верны равенства 9=3·3 и −12=3·(−4). У чисел 3 и -12 есть и другие общие делители, такие, как 1, −1 и −3. Возьмем другой пример. У четырех целых чисел 3, −11, −8 и 19 будет два общих делителя: 1 и -1.

Зная свойства делимости, мы можем утверждать, что любое целое число можно разделить на единицу и минус единицу, значит, у любого набора целых чисел уже будет как минимум два общих делителя.

Также отметим, что если у нас есть общий для нескольких чисел делитель b, то те же числа можно разделить и на противоположное число, то есть на -b.  В принципе, мы можем взять лишь положительные делители, тогда все общие делители также будут больше 0. Такой подход также можно использовать, однако совсем игнорировать отрицательные числа не следует.

Что такое наибольший общий делитель (НОД)

Согласно свойствам делимости, если b является делителем целого числа a, которое не равно 0, то модуль числа b не может быть больше, чем модуль a, следовательно, любое число, не равное 0, имеет конечное число делителей. Значит, число общих делителей нескольких целых чисел, хотя бы одно из которых отличается от нуля, также будет конечным, и из всего их множества мы всегда можем выделить самое большое число (ранее мы уже говорили о понятии наибольшего и наименьшего целого числа, советуем вам повторить данный материал).

В дальнейших рассуждениях мы будем считать, что хотя бы одно из множества чисел, для которых нужно найти наибольший общий делитель, будет отлично от 0. Если они все равны 0, то их делителем может быть любое целое число, а поскольку их бесконечно много, выбрать наибольшее мы не сможем. Иначе говоря, найти наибольший общий делитель для множества чисел, равных 0, нельзя.

Переходим к формулировке основного определения.

Определение 2

Наибольшим общим делителем нескольких чисел является самое большое целое число, которое делит все эти числа.

На письме наибольший общий делитель чаще всего обозначается аббревиатурой НОД. Для двух чисел его можно записать как НОД (a, b).

Пример 2

Какой можно привести пример НОД для двух целых чисел? Например, для 6 и -15 это будет 3. Обоснуем это. Сначала запишем все делители шести: ±6, ±3, ±1, а потом все делители пятнадцати: ±15, ±5, ±3 и ±1. После этого мы выбираем общие: это −3, −1, 1 и 3. Из них надо выбрать самое большое число. Это и будет 3.

Для трех и более чисел определение наибольшего общего делителя будет почти таким же.

Определение 3

Наибольшим общим делителем трех чисел и более будет самое большое целое число, которое будет делить все эти числа одновременно.

Для чисел a1, a2, …, an делитель удобно обозначать как НОД (a1, a2, …, an). Само значение делителя записывается как НОД (a1, a2, …, an) =b.

Пример 3

Приведем примеры наибольшего общего делителя нескольких целых чисел: 12, -8, 52, 16. Он будет равен четырем, значит, мы можем записать, что НОД (12, -8, 52, 16) =4.

Проверить правильность данного утверждения можно с помощью записи всех делителей этих чисел и последующего выбора наибольшего из них.

На практике часто встречаются случаи, когда наибольший общий делитель равен одному из чисел. Это происходит тогда, когда на данное число можно разделить все остальные числа (в первом пункте статьи мы привели доказательство этого утверждения).

Пример 4

Так, наибольший общий делитель чисел 60, 15 и -45 равен 15, поскольку пятнадцать делится не только на 60 и -45, но и на само себя, и большего делителя для всех этих чисел не существует.

Особый случай составляют взаимно простые числа. Они представляют собой целые числа с наибольшим общим делителем, равным 1.

Основные свойства НОД и алгоритм Евклида

У наибольшего общего делителя есть некоторые характерные свойства. Сформулируем их в виде теорем и докажем каждое из них.

Отметим, что данные свойства сформулированы для целых чисел больше нуля, а делители мы рассмотрим только положительные.

Определение 4

Числа a и b имеют наибольший общий делитель, равный НОД для b и a, то есть НОД (a, b)=НОД (b, a). Перемена мест чисел не влияет на конечный результат.

Данное свойство следует из самого определения НОД и не нуждается в доказательствах.

Определение 5

Если число a можно разделить на число b, то множество общих делителей этих двух чисел будет аналогично множеству делителей числа b, то есть НОД (a, b)=b.

Докажем это утверждение.

Доказательство 1

Если у чисел a и b есть общие делители, то на них можно разделить любое из них. В то же время если a будет кратным b, то любой делитель b будет делителем и для a, поскольку у делимости есть такое свойство, как транзитивность. Значит, любой делитель b будет общим для чисел a и b. Это доказывает, что если мы можем разделить a на b, то множество всех делителей обоих чисел совпадет с множеством делителей одного числа b. А поскольку наибольший делитель любого числа есть само это число, то наибольший общий делитель чисел a и b будет также равен b, т.е. НОД (a, b)=b. Если a=b, то НОД (a, b)=НОД (a, a)=НОД (b, b) =a=b, например, НОД (132, 132) =132.

Используя это свойство, мы можем найти наибольший общий делитель двух чисел, если одно из них можно разделить на другое. Такой делитель равен одному из этих двух чисел, на которое можно разделить второе число. К примеру, НОД (8, 24) =8, так как 24 есть число, кратное восьми.

Определение 6

Если верно равенство a=b·q+c (здесь все переменные являются целыми числами), то все общие делители двух чисел a и b будут такими же, как и у чисел b и c, то есть НОД (a, b)=НОД (b, c).

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Доказательство 2

Попробуем доказать данное свойство. У нас изначально есть равенство a=b·q+c, и любой общий делитель a и b будет делить и c, что объясняется соответствующим свойством делимости. Поэтому любой общий делитель b и c будет делить a. Значит, множество общих делителей a и b совпадет с множеством делителей b и c, в том числе и наибольшие из них, значит, равенство НОД (a, b)=НОД (b, c) справедливо.

Определение 7

Следующее свойство получило название алгоритма Евклида. С его помощью можно вычислить наибольший общий делитель двух чисел, а также доказать другие свойства НОД.

Перед тем, как сформулировать свойство, советуем вам повторить теорему, которую мы доказывали в статье о делении с остатком. Согласно ей, делимое число a можно представить в виде b·q+r, причем b здесь является делителем, q – некоторым целым числом (его также называют неполным частным), а r – остатком, который удовлетворяет условию 0≤r≤b.

Допустим, у нас есть два целых числа больше 0, для которых будут справедливы следующие равенства:

a=b·q1+r1, 0<r1<bb=r1·q2+r2, 0<r2<r1r1=r2·q3+r3, 0<r3<r2r2=r3·q4+r4, 0<r4<r3⋮rk-2=rk-1·qk+rk, 0<rk<rk-1rk-1=rk·qk+1

Эти равенства заканчиваются тогда, когда rk+1становится равен 0. Это случится обязательно, поскольку последовательность b> r1> r2> r3, … представляет собой ряд убывающих целых чисел, который может включать в себя только конечное их количество. Значит, rk является наибольшим общим делителем a и b, то есть, rk=НОД (a, b).

В первую очередь нам надо доказать, что rk– это общий делитель чисел a и b, а после этого – то, что rk является не просто делителем, а именно наибольшим общим делителем двух данных чисел.

Просмотрим список равенств, приведенный выше, снизу вверх. Согласно последнему равенству,
rk−1 можно разделить на rk. Исходя из этого факта, а также предыдущего доказанного свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что rk−2 можно разделить на rk, так как
rk−1 делится на rk и rkделится на rk.

Третье снизу равенство позволяет нам сделать вывод, что rk−3 можно разделить на rk, и т.д. Второе снизу – что b делится на rk, а первое – что a делится на rk. Из всего этого заключаем, что rk– общий делитель a и b.

Теперь докажем, что rk=НОД (a, b). Что для этого нужно сделать? Показать, что любой общий делитель a и b будет делить rk. Обозначим его r0.

Просмотрим тот же список равенств, но уже сверху вниз. Исходя из предыдущего свойства, можно заключить, что r1 делится на r0, значит, согласно второму равенству r2 делится на r0. Идем по всем равенствам вниз и из последнего делаем вывод, что rk делится на r0. Следовательно, rk=НОД (a, b).

Рассмотрев данное свойство, заключаем, что множество общих делителей a и b аналогично множеству делителей НОД этих чисел. Это утверждение, которое является следствием из алгоритма Евклида, позволит нам вычислить все общие делители двух заданных чисел.

Перейдем к другим свойствам.

Определение 8

Если a и b являются целыми числами, не равными 0, то должны существовать два других целых числа u0 и v0, при которых будет справедливым равенство НОД (a, b) =a·u0+b·v0.

Равенство, приведенное в формулировке свойства, является линейным представлением наибольшего общего делителя a и b. Оно носит название соотношения Безу, а числа u0 и v0 называются коэффициентами Безу.

Доказательство 3

Докажем данное свойство. Запишем последовательность равенств по алгоритму Евклида:

a=b·q1+r1, 0<r1<bb=r1·q2+r2, 0<r2<r1r1=r2·q3+r3, 0<r3<r2r2=r3·q4+r4, 0<r4<r3⋮rk-2=rk-1·qk+rk, 0<rk<rk-1rk-1=rk·qk+1

Первое равенство говорит нам о том, что r1=a−b·q1. Обозначим 1=s1 и −q1=t1 и перепишем данное равенство в виде r1=s1·a+t1·b. Здесь числа s1 и t1 будут целыми. Второе равенство позволяет сделать вывод, что r2=b−r1·q2=b−(s1·a+t1·b) ·q2=−s1·q2·a+(1−t1·q2) ·b. Обозначим −s1·q2=s2 и 1−t1·q2=t2 и перепишем равенство как r2=s2·a+t2·b, где s2 и t2 также будут целыми. Это объясняется тем, что сумма целых чисел, их произведение и разность также представляют собой целые числа. Точно таким же образом получаем из третьего равенства r3=s3·a+t3·b, из следующего r4=s4·a+t4·b и т.д. В конце заключаем, что rk=sk·a+tk·b при целых sk и tk. Поскольку rk=НОД (a, b), обозначим sk=u0 и tk=v0, В итоге мы можем получить линейное представление НОД в требуемом виде: НОД (a, b) =a·u0+b·v0.

Определение 9

НОД (m·a, m·b) =m·НОД(a, b) при любом натуральном значении m.

Доказательство 4

Обосновать это свойство можно так. Умножим на число m обе стороны каждого равенства в алгоритме Евклида и получим, что НОД (m·a, m·b) =m·rk, а rk – это НОД (a, b). Значит, НОД (m·a, m·b) =m·НОД(a, b). Именно это свойство наибольшего общего делителя используется при нахождении НОД методом разложения на простые множители.

Определение 10

Если у чисел a и b есть общий делитель p, то НОД (a:p, b:p)=НОД(a, b):p. В случае, когда p=НОД (a, b) получим НОД (a:НОД(a, b), b:НОД (a, b)=1, следовательно, числа a:НОД(a, b) и b:НОД (a, b) являются взаимно простыми.

Поскольку a=p·(a:p) и b=p·(b:p), то, основываясь на предыдущем свойстве, можно создать равенства вида НОД(a, b)=НОД(p·(a:p), p·(b:p))=p·НОД(a:p, b:p), среди которых и будет доказательство данного свойства. Это утверждение мы используем, когда приводим обыкновенные дроби к несократимому виду.

Определение 11

Наибольшим общим делителем a1, a2, …, ak будет число dk, которое можно найти, последовательно вычисляя НОД (a1, a2)=d2, НОД (d2, a3) =d3, НОД (d3, a4) =d4, …, НОД (dk-1, ak) =dk.

Это свойство полезно при нахождении наибольшего общего делителя трех и более чисел. С помощью него можно свести это действие к операциям с двумя числами. Его основой является следствие из алгоритма Евклида: если множество общих делителей a1, a2 и a3 совпадает с множеством d2 и a3, то оно совпадет и с делителями d3. Делители чисел a1, a2, a3 и a4 совпадут с делителями d3, значит, они совпадут и с делителями d4, и т.д. В конце мы получим, что общие делители чисел a1, a2, …, akсовпадут с делителями dk, а поскольку наибольшим делителем числа dkбудет само это число, то НОД (a1, a2, …, ak) =dk.

Это все, что мы хотели бы рассказать о свойствах наибольшего общего делителя.

Как найти наибольший общий делитель чисел: двух, нескольких

В данной статье мы рассмотрим определение наибольшего общего делителя, научимся его находить для двух или нескольких чисел, а также разберем практические примеры для закрепления изложенного материала.

Определение наибольшего общего делителя

Делитель натурального числа a – это такое натуральное число b, которое делит a нацело (без остатка). Обозначается буквой Д. Например Д(6) означает “делитель числа 6”.

Если у числа больше двух делителей, его называют составным.

Примеры делителей:

  • Число 12 имеет следующие делители: 1, 2, 3, 4, 6.
  • Число 15 имеет следующие делители: 1, 3, 5.

В отличие от кратных, количество делителей числа ограничено.

Общий делитель двух натуральных чисел – это такое число, на которое оба этих числа делятся без остатка.

Наибольший общий делитель двух натуральных чисел – наибольшее число из общих делителей данных чисел. Обозначается как НОД.

Например, НОД (12, 24) – это наибольший общий делитель чисел 12 и 24.

Нахождение НОД

Чтобы найти наибольший общий делитель, можно применить один из способов ниже.

Для двух (или небольших) чисел

  1. Записываем в ряд все делители для каждого числа (по возрастанию).
  2. Находим наибольшее значение, встречающееся в обоих рядах. Это и есть НОД.

Пример
Найдем наибольший делитель чисел 18 и 30.

Решение
Д(18): 1, 2, 3, 6, 9.
Д(30): 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15.

Таким образом, НОД (18, 30) = 6.

Для нескольких (или больших) чисел

Этот метод обычно применяется, если приходится иметь дело с большим числами, или нужно найти НОД для нескольких чисел.

  1. Для начала раскладываем числа на простые множители – простые числа, которые делят число без остатка.
  2. Отмечаем одинаковые простые множители, встречающиеся в обоих раскладках.
  3. Произведение найденных простых множителей и есть НОД.

Пример
Найдем НОД (16, 24, 40).

Решение
Разложим эти числа на простые множители.

Для всех трех чисел одинаковыми являются три множителя – это три двойки.

Следовательно, НОД (16, 24, 40) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8.

6 класс. Математика. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида — Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида

Комментарии преподавателя

Да­вай­те раз­бе­рем­ся, что озна­ча­ет по­ня­тие наи­боль­ший общий де­ли­тель. По­про­бу­ем объ­яс­нить в нестро­гой форме.

До­пу­стим, у нас есть два числа, у этих двух чисел есть число, на ко­то­рое они оба де­лят­ся. Мак­си­маль­но боль­шое такое число и есть наи­боль­шим общим де­ли­те­лем. Т.е. наи­боль­ший общий де­ли­тель – наи­боль­шее число, на ко­то­рое можно раз­де­лить несколь­ко чисел без остат­ка. Стро­гое опре­де­ле­ние мы рас­смот­рим чуть позже.

Сей­час рас­смот­рим при­мер, ко­то­рый ил­лю­стри­ру­ет дан­ную идею.

У нас есть 48 шо­ко­ла­док и 36 кон­фет. Мы хотим из этого на­бо­ра со­ста­вить неко­то­рые ком­плек­ты, ко­то­рые мы по­да­рим детям на Новый год. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство ком­плек­тов мы можем сде­лать так, чтобы всем детям до­ста­лось по­ров­ну?

Ре­ше­ние

Чтобы по­де­лить шо­ко­лад­ки и кон­фе­ты по­ров­ну, нам нужно раз­де­лить и шо­ко­лад­ки, и кон­фе­ты на­це­ло на ко­ли­че­ство по­дар­ков. На­при­мер, если по­де­лить их на два по­дар­ка, то в каж­дом по­дар­ке будет по 24 шо­ко­лад­ки и 18 кон­фет. То есть ко­ли­че­ство шо­ко­ла­док или кон­фет нужно по­де­лить на ко­ли­че­ство по­дар­ков, и оно будет де­ли­те­лем ко­ли­че­ства шо­ко­ла­док или кон­фет.

Да­вай­те най­дем наи­боль­ший общий де­ли­тель чисел 48 и 36. Вы­пи­шем все де­ли­те­ли для обоих чисел:

— 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48,

— 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Да­вай­те вы­де­лим из них общие де­ли­те­ли: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Наи­боль­ший из общих де­ли­те­лей – 12.

Зна­чит, мы можем сде­лать 12 по­дар­ков, и неслож­но по­счи­тать, что в каж­дом из них будет по 4 шо­ко­лад­ки и по 3 кон­фе­ты.

Ответ: 12 ком­плек­тов.

Да­вай­те дадим точ­ное опре­де­ле­ние наи­боль­ше­му об­ще­му де­ли­те­лю.

 

Опре­де­ле­ние наи­боль­ше­го об­ще­го де­ли­те­ля: наи­боль­ший общий де­ли­тель (НОД) двух и более на­ту­раль­ных чисел – это наи­боль­шее из на­ту­раль­ных чисел, на ко­то­рое де­лит­ся каж­дое из дан­ных чисел.

Есть два числа , , их наи­боль­ший де­ли­тель будет за­пи­сан так: . На­при­мер, .

Числа в скоб­ках на­пи­са­ны через точку с за­пя­той, чтобы не пу­тать числа с де­ся­тич­ной дро­бью. Су­ще­ству­ет еще такая форма за­пи­си НОД: . Но чаще ис­поль­зу­ют пер­вый ва­ри­ант.

Да­вай­те по­ду­ма­ем, в каких гра­ни­цах может на­хо­дить­ся НОД двух чисел.

Пер­вое свой­ство: у любых двух чисел есть хотя бы один общий де­ли­тель, и это число 1.

И здесь мы вве­дем по­ня­тие вза­им­но про­стых чисел. Два числа на­зы­ва­ют­ся вза­им­но про­сты­ми, если их наи­боль­ший общий де­ли­тель равен еди­ни­це. Что это зна­чит? Это зна­чит, что на самом деле у них нет дру­гих общих де­ли­те­лей, кроме еди­ни­цы. Какие при­ме­ры вза­им­но про­стых чисел мы можем при­ве­сти? На­при­мер, числа 2 и 3, ко­то­рые мы рас­смат­ри­ва­ли выше. Числа 3 и 7 также вза­им­но про­стые.

Очень важно не пу­тать по­ня­тия вза­им­но про­стых чисел и про­стых чисел.

Из того, что числа вза­им­но про­стые, еще не сле­ду­ет, что они про­стые. На­при­мер, . Тем не менее, ни 9, ни 10 не яв­ля­ют­ся про­сты­ми чис­ла­ми, но они вза­им­но про­стые.

Вто­рое свой­ство: как вы ду­ма­е­те, если даны два числа  и , при­чем  на­це­ло де­лит­ся на  (), чему тогда равен ?

 – такое наи­боль­шее число, на ко­то­рое де­лят­ся и , и . Ло­гич­но, что наи­боль­шее число, на ко­то­рое де­лит­ся  – , а  – по усло­вию.

Зна­чит, .

На­при­мер, .

Ана­ло­гич­но .

, по­то­му что , и боль­ше 1 ре­зуль­тат быть не может.

Те­перь да­вай­те най­дем удоб­ный спо­соб на­хож­де­ния НОД.

В пер­вом при­ме­ре мы про­сто вы­пи­сы­ва­ли все числа, но такой спо­соб не особо удо­бен при рас­смот­ре­нии боль­ших чисел. Да­вай­те рас­смот­рим метод раз­ло­же­ния на мно­жи­те­ли.

Рас­смот­рим все те же числа 36 и 48: 

источник конспекта — http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/delimost-chisel/naibolshiy-obschiy-delitel-algoritm-evklida

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=2GbwMHxORHI

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=83_vCSky_jg

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=cn2geFx5xAI

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=0Jo_BQFzvFc

источник презентации — http://ppt4web.ru/matematika/algoritm-evklida.html

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель (ЕГЭ — 2021)

Как ты уже понял, это числа, противоположные натуральным, то есть:

\( \displaystyle  -1;\ -2;\ -3;\ -4\) и т.д.

Отрицательные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить – все как в натуральных.

Казалось бы, что в них такого особенного?

А дело в том, что отрицательные числа «отвоевывали» себе законное место в математике аж до XIX века (до этого момента было огромное количество споров, существуют они или нет).

Само отрицательное число возникло из-за такой операции с натуральными числами, как «вычитание».

Действительно, из \( \displaystyle  3\) вычесть \( \displaystyle  11\) – вот и получается отрицательное число. Именно поэтому, множество отрицательных чисел часто называют «расширением множества натуральных чисел».

Отрицательные числа долго не признавались людьми.

Так, Древний Египет, Вавилон и Древняя Греция – светочи своего времени, не признавали отрицательных чисел, а в случае получения отрицательных корней в уравнении (например, как у нас \( \displaystyle  3-11\)), корни отвергались как невозможные.

Впервые отрицательные числа получили свое право на существование в Китае, а затем в VII веке в Индии.

Как ты думаешь, с чем связано это признание?

Правильно, отрицательными числами стали обозначать долги (иначе — недостачу).

Считалось, что отрицательные числа – это временное значение, которое в результате изменится на положительное (то есть, деньги кредитору все же вернут). Однако, индийский математик Брахмагупта уже тогда рассматривал отрицательные числа наравне с положительными.

В Европе к полезности отрицательных чисел, а также к тому, что они могут обозначать долги, пришли значительно позже, эдак, на тысячелетие.

Первое упоминание замечено в 1202 году в «Книге абака» Леонарда Пизанского (сразу говорю — к Пизанской башне автор книги отношения никакого не имеет, а вот числа Фибоначчи – это его рук дело (прозвище Леонардо Пизанского — Фибоначчи)).

Далее европейцы пришли к тому, что отрицательные числа могут обозначать не только долги, но и нехватку чего бы то ни было, правда, признавали это не все.

Так, в XVII веке Паскаль считал что \( \displaystyle  0-4=0\).

Как думаешь, чем он это обосновывал?

Верно, «ничто не может быть меньше НИЧЕГО».

Отголоском тех времен остается тот факт, что отрицательное число и операция вычитания обозначается одним и тем же символом – минусом «-». И правда: \( \displaystyle  6-8\). Число «\( \displaystyle  8\)» положительное, которое вычитается из \( \displaystyle  6\), или отрицательное, которое суммируется к \( \displaystyle  6\)?… Что-то из серии «что первое: курица или яйцо?» Вот такая вот, своеобразная эта математическая философия.

Что означает узел?

  • узел (существительное)

    Узел, выступ, выпуклость или вздутие.

    Этимология: От nodus, родственного английскому узлу.

  • узел (Существительное)

    Точка, в которой орбита планеты, если смотреть со стороны Солнца, пересекает эклиптику. Восходящие и нисходящие узлы относятся соответственно к точкам, в которых планета движется от S к N и N к S. Соответствующие символы — u260A и u260B.

    Этимология: От nodus, родственного английскому узлу.

  • узел (существительное)

    стержневой узел.

    Этимология: От nodus, родственного английскому узлу.

  • узел (существительное)

    Компьютер или другое устройство, подключенное к сети.

    Этимология: От nodus, родственного английскому узлу.

  • узел (существительное)

    Вершина или лист в графе сети или другой элемент в структуре данных.

    Этимология: От nodus, родственного английскому узлу.

  • узел (Существительное)

    Точка, в которой линии фуникулера пересекаются с разных угловых направлений; — назвал также узел.

    Этимология: От nodus, родственного английскому узлу.

  • узел (Существительное)

    Точка, в которой кривая пересекает себя, является двойной точкой кривой. См. Crunode и Acnode.

    Этимология: От nodus, родственного английскому узлу.

  • узел (существительное)

    Вершина графа.

    Этимология: От nodus, родственного английскому узлу.

  • узел (Существительное)

    Твердый конкремент или налет, образующийся на костях, пораженных ревматизмом, подагрой или сифилисом; иногда также припухлость в районе сустава.

    Этимология: От nodus, родственного английскому узлу.

  • узел (Существительное)

    Одна из неподвижных точек звучной струны, когда она вибрирует частями и производит гармонические тона; узловая линия или точка.

    Этимология: От nodus, родственного английскому узлу.

  • узел (существительное)

    опухоль.

    Этимология: От nodus, родственного английскому узлу.

  • узел (существительное)

    Узел, интрига или сюжет произведения.

    Этимология: От nodus, родственного английскому узлу.

  • узел (Существительное)

    Отверстие в гномоне солнечных часов, через которое проходит луч света, который отмечает час дня, параллели склонения Солнца, его место в эклиптике и т. Д.

    Этимология: От nodus, родственного английскому узлу.

  • 3.2 Строительные блоки графов: ребра и узлы

    Строительные блоки графов: ребра и узлы

    Существует математическое определение графика, которое является немного более техническим. График представляет собой набор , обычно обозначаемый заглавной буквой G . Из математики средней школы вы, возможно, помните, что математическое определение набора — это просто набор сущностей, некоторые из которых могут быть упорядочены, а некоторые из которых сами могут быть другими наборами (набор может иметь наборы в качестве своих членов).В случае графов сущностями внутри коллекции являются узлов и ребер Таким образом, граф представляет собой набор, содержащий два набора в качестве своих членов: набор узлов (обычно представленный заглавной буквой V ) и набор кромок (обычно обозначается заглавной буквой E ). В формальной записи:

    \ [\ begin {уравнение}
    G = {V, E}
    \ tag {2.1}
    \ end {Equation} \]

    Набор узлов обычно представляет участников реальной социальной сети. Точечные и линейные диаграммы (например, показанные на рисунке 1) используются для представления графиков, которые, в свою очередь, представляют реальную социальную сеть. На этих диаграммах узлы (представляющие актеров) изображены в виде круга. В анализе социальных сетей участниками часто являются либо отдельные лица, либо организации, но в более широких применениях сетевых изображений в физических и биологических науках (обычно идущих под знаменем сетевой науки ) узлы могут представлять все, что связано с другими аналогичные объекты в более крупной системе.К ним относятся электростанции и дома, серверы и компьютеры, животные в экосистеме, города, на самом деле все существенное, на что мы можем определить какие-то отношения или из которого можно обмениваться каким-то типом контента.

    Ребра обозначают наличие соединения или взаимосвязи между двумя узлами. При анализе социальных сетей это обычно какой-то тип социальной связи . Мы определим, что такое социальные связи, сколько их типов и каковы их свойства, в следующей главе.На данный момент мы можем сказать, что в анализе социальных сетей эти связи представляют собой отношения между узлами, а ребра в графе предназначены для их представления. В теории графов ребра лучше всего рассматривать как набор из пар, узлов, где два члена пары являются узлами, участвующими в фокальной взаимосвязи. Таким образом, если узел A связан с узлом B посредством некоторой связи R , тогда AB является ребром в соответствующем графе.

    Фигура 2.3: простая сеть.

    В случае электростанций и домов края могут представлять линии электропередач. Между тем, серверы и компьютеры соединены интернет-кабелями и Wi-Fi, а города соединены дорогами. Наличие границ сигнализирует о возможности распространения контента, будь то мощность, компьютерные данные или люди в машинах. В случае социальных сетей контент, передаваемый между двумя узлами, представляет собой отношения определенного типа.

    Рисунок 2.3 показан пример графа с тремя узлами и двумя ребрами. Узлы A , B и C представляют собой круги, представляющие актеров A , B и C , социальные отношения которых в реальном мире мы заинтересованы в изучении. Простые линии, проведенные между A и B , а также между B и C , представляют собой ребра, указывающие на наличие взаимосвязи, и ребра, AB и BC на графике.Отсутствие границы между узлами A и C отражает отсутствие взаимосвязи между субъектами с именами A и C в реальном мире.

    Хотя в этой книге в основном используются термины узел и ребро, когда речь идет о графах, это не единственные термины, используемые теми, кто использует методы сетевого анализа. Дополнительные имена узлов включают вершину или точку . Связи между двумя узлами, помимо того, что они называются ребрами, называются связями или связями .

    Математика Вершина Кромка
    Социометрия Узел Галстук / звено

    Определение узла по Merriam-Webster

    \ кивок

    \

    : патологическая припухлость или увеличение (как при ревматическом суставе)

    б

    : дискретная масса одного вида ткани, заключенная в ткань другого вида.

    2

    : запутанное осложнение (как в драме) : затруднительное положение

    3

    : либо из двух точек, где орбита планеты или кометы пересекает эклиптику.

    также

    : любая из точек, в которых орбита спутника Земли пересекает плоскость экватора.

    : точка, линия или поверхность вибрирующего тела или системы, которая свободна или относительно свободна от вибрационного движения.

    б

    : точка, в которой волна имеет нулевую амплитуду.

    : точка начала или центра вспомогательных частей.

    б

    : точка на стебле, в которую вставляется лист или листья.

    c

    : точка, в которой кривая пересекает себя таким образом, что ветви имеют разные касательные.

    Математика | Основы теории графов — Набор 1

    Математика | Основы теории графов — набор 1

    Граф — это структура данных, которая определяется двумя компонентами:

    1. Узлом или вершиной.
    2. Ребро E или упорядоченная пара — это соединение между двумя узлами u, v , которое идентифицируется уникальной парой (u, v). Пара (u, v) упорядочена, потому что (u, v) не то же самое, что (v, u) в случае ориентированного графа. Ребро может иметь вес или быть равным единице в случае невзвешенного графа.

    Рассмотрим приведенный ниже график,

    Чтобы узнать о «Графическом представлении», щелкните здесь

    Приложения:
    График — это структура данных, которая широко используется в нашей реальной жизни.

    1. Социальная сеть: Каждый пользователь представлен как узел, а все его действия, предложения и список друзей представлены как граница между узлами.
    2. Карты Google: Различные местоположения представлены как вершины или узлы, а дороги представлены как ребра, и теория графов используется для поиска кратчайшего пути между двумя узлами.
    3. Рекомендации на веб-сайтах электронной торговли: В разделе «Рекомендации для вас» на различных веб-сайтах электронной торговли используется теория графов, чтобы рекомендовать товары аналогичного типа по выбору пользователя.
    4. Теория графов также используется для изучения молекул в химии и физике.

    Для просмотра дополнительных приложений щелкните здесь

    Подробнее о графиках:
    Характеристики графиков:

    1. Соседний узел: Узел v считается смежным узлом узла u тогда и только тогда, когда существует ребро между u и v.
    2. Степень узла: В неориентированном графе количество узлов, инцидентных узлу, является степенью узла.
      В случае ориентированного графа, . Степень узла — это число прибывающих ребер к узлу.
      Исходящая степень узла — это число отходящих ребер к узлу.

    3. Путь: Путь длиной «n» от узла «u» к узлу «v» определяется как последовательность из n + 1 узлов.

      P (u, v) = (v0, v1, v2, v3 …… .vn)

      Путь является простым, если все узлы различны, исключение — источник и назначение одинаковы.

    4. Изолированный узел: Узел со степенью 0 называется изолированным узлом. Изолированный узел можно найти с помощью поиска в ширину (BFS). Он находит свое применение в сети LAN для определения, подключена ли система или нет.

    Типы графов:

    1. Направленный граф:
      Граф, в котором направление ребра определено к конкретному узлу, является ориентированным графом.
      • Направленный ациклический граф: Это ориентированный граф без цикла.Для вершины «v» в DAG нет направленного ребра, начинающегося и заканчивающегося вершиной «v».
        a) Применение: критический анализ игры, оценка дерева выражений, оценка игры.
      • Дерево: Дерево — это просто ограниченная форма графа, то есть DAG с ограничением, что у дочернего элемента может быть только один родитель.
    2. Ненаправленный граф:
      Граф, в котором направление ребра не определено. Таким образом, если ребро существует между узлами ‘u’ и ‘v’, то существует путь от узла ‘u’ к ‘v’ и наоборот.
      • Связанный граф: Граф связан, когда между каждой парой вершин существует путь . В связном графе нет недостижимых узлов.
      • Полный граф: Граф, в котором каждая пара вершин графа соединена ребром. Другими словами, каждый узел ‘u’ смежен со всеми остальными узлами ‘v’ в графе ‘G’. Полный граф будет иметь n (n-1) / 2 ребра. Доказательства см. Ниже.
      • Двусвязный граф: Связный граф, который не может быть разбит на какие-либо части путем удаления какой-либо вершины.Это график с без точки сочленения.

    Доказательство для полного графа:

    1. Рассмотрим полный граф с n узлами. Каждый узел связан с другими n-1 узлами. Таким образом, получается n * (n-1) ребер. Но это учитывает каждое ребро дважды, потому что это неориентированный граф, поэтому разделите его на 2.
    2. Таким образом, получится n (n-1) / 2.

    Рассмотрим данный граф,
    // Пропустить повторяющиеся ребра
    Ребра на узле A = (A, B), (A, C), (A, E), (A, C).
    Кромки на узле B = (B, C), (B, D), (B, E).
    Кромки на узле C = (C, D), (C, E).
    Кромки на узле D = (D, E).
    Ребра на узле E = ПУСТО. Https://en.wikipedia.org/wiki/Graph_theory
    Всего ребер = 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10 ребер.
    Количество узлов = 5.
    Таким образом, n (n-1) / 2 = 10 ребер.
    Таким образом доказано.


    Читать следующий набор — Основы теории графов

    Работа с математикой | NodeBox

    Обо всем по порядку.

    Перед тем, как начать этот раздел, вам необходимо:

    Математические операции.

    Nodebox позволяет выполнять ряд арифметических операций, таких как умножение, деление, сложение, вычитание. Узлы, представляющие эти функции, могут использоваться, например, для сложения чисел, но также могут использоваться в более сложных операциях. В следующем примере мы рассмотрим сеть, которая создаст набор волосков на фигуре.

    • Создайте узел эллипса и оставьте все параметры по умолчанию.
    • Создайте узел разброса и установите Amount на 1500

    Идея состоит в том, чтобы создать сеть, в которой растут волосы во всех этих точках.Чтобы задать ему место, из которого должны расти волосы, мы реализуем узел точки создания с X , установленным на 0,0 , и Y , также установленным на 0 . Этот узел позволит нам изменить направление каждого волоса позже в процессе.

    Поскольку узел разброса и узел точки создания содержат точечные элементы, нам понадобится узел для определения значений x и y в виде отдельного списка. Следовательно:

    • Создайте 4 узла поиска.Установите ключевой параметр для первого значения x , для второго — y , третьего снова x и, наконец, снова четвертого — y .
    • Подключите scatter1 к lookup1 и lookup2.
    • Подключите make point1 к lookup3 и lookup4.
    • Визуализируйте узел lookup1 и посмотрите на результат (список всех значений x для каждой точки в scatter1).

    Теперь мы вычтем значение x узла make point1 из каждого значения x узла scatter1.Мы сделаем то же самое для значений y.

    • Создайте два узла вычитания.
    • Соедините поиск1 с Value1 и lookup3 с value2 для первого узла вычитания.
    • Соедините lookup2 с Value1 и lookup4 со значением value2 для второго.

    Эти новые значения будут использоваться как длина каждого волоса. Чтобы можно было изменить эту длину:

    • Сложить два узла разделения
    • Послать вычитание 1 первому
    • Послать вычитание2 второму.
    • Измените Value2 на 2.0 , что означает, что мы возьмем половину исходного размера.

    Теперь мы добавим эти значения к исходным значениям x и y узла разброса и преобразуем их в набор новых точек.

    • Добавьте два узла добавления.
    • Соедините lookup1 с Value1 и разделите1 с Value2 .
    • Соедините lookup2 с Value1 и разделите2 с Value2 .
    • Создайте узел точки сборки.
    • Подключить add1 к X
    • Подключить add2 к Y

    Для создания волосков добавьте линейный узел

    • Соединить scatter1 с Point1 .
    • Соединить make point2 с Point2 .

    Должен быть результат:

    Попробовать:

    • Изменение исходного эллипса на другую форму, например прямоугольник или текстовую дорожку, для получения волосатого прямоугольника / текста.
    • Изменение значений x и y узла point1 для изменения имплантата волос.

    Используя угол и расстояние.

    Мы можем выполнять ту же функцию совершенно по-другому. Для этого мы будем использовать узел угла и расстояния.

    • Создайте узел текстового пути. Выберите шрифт и увеличьте его размер. Введите текст.
    • Создайте узел разброса и установите Amount на 2000 . Подключите textpath2 к Shape .

    Теперь мы вычислим угол и расстояние каждой из этих точек до центральной точки.

    • Создайте точечный узел. Позвоните в ИТ-центр.
    • Создайте узел угла. Переместите центр в Point1 и scatter1 на Point2 .
    • Создайте узел расстояния. Отправьте центр в Point1 и scatter1 на Point2 .

    Чтобы создать волосы, мы добавим определенное число к этому расстоянию, а затем преобразуем его обратно в точку, используя узел координат.

    • Создайте узел добавления. Соедините distance1 с Value1 и установите Value2 на 20.0 .
    • Создайте узел координат. Соедините angle1 с Angle , прибавьте 1 к Distance и отцентрируйте к Position .
    • Создайте линейный узел. Соедините scatter1 с Point1 и координаты1 с Point2 . Должны появиться волоски.

    Сравнения.

    Предположим, вы хотите создать набор прямоугольников, которые различаются по размерам, но имеют цвет, основанный на среднем значении всех размеров.Nodebox позволяет выполнять сравнения с помощью узла сравнения.

    Сначала создадим набор случайных чисел и вычислим их среднее значение. Мы будем использовать количество чисел в сетке, чтобы указать количество случайных чисел.

    • Создайте узел сетки. Оставьте настройки по умолчанию.
    • Создайте счетный узел. Подключите к нему grid1.
    • Создайте узел случайных чисел. Установите Start на 15.0 и End на 35.0 . Подключите счетчик к Amount .
    • Создайте средний узел. Подключите к нему random_numbers1.

    Мы будем использовать случайные числа в качестве размеров прямоугольника, размещенного в каждой точке сетки. Мы также сравним случайные числа со средним числом, чтобы мы могли использовать эту информацию (логическое значение True-False) для выбора цвета из набора цветов.

    • Создайте прямоугольный узел. Подключите grid1 к Position , подключите random_numbers1 к Width и Height .
    • Создайте узел раскраски. Соедините rect1 с Shape . Позже он будет использоваться для изменения цвета заливки.
    • Создайте узел сравнения. Соедините random_numbers1 с Value1 и average1 с Value2 . Установите Comparator на меньше, чем . Значения меньше среднего возвращают истину, все остальные возвращают ложь.

    Теперь о цветной части. Все прямоугольники меньше среднего должны быть одного цвета, остальные — другого цвета.

    • Создайте узел умножения. Подключите compare1 к Value1 . Установите Value2 на 1.0 . True / False будет равно 1/0.
    • Создайте два цветовых узла и создайте два разных цвета.
    • Создайте объединяющий узел и подключите два цветовых узла к List1 и List2 .
    • Создайте узел среза. Установите Size на 1 и подключите комбайн 1 к List . Подключите multiply1 к Start_index .
    • Подключите slice1 к Заполните colorize1.

    Попробуйте изменить его так, чтобы большие прямоугольники превратились в эллипс того же размера и цвета.

    Математика и пути.

    Nodebox позволяет создавать ряд различных путей и функций на основе синуса и косинуса. В следующем примере показано, как создать путь Лиссажу, основанный на параметрических уравнениях

    .

      x = A * sin (при + δ)
    y = B * sin (bt + γ)
      

    кривых Лиссажу можно увидеть на осциллографах, они являются результатом объединения двух тригонометрических кривых под прямым углом.

    Создайте образец узла, чтобы начать с набора чисел.

    • Установить Сумма от до 1000 .
    • Установить Конец на 15,00 .

    Создайте два узла умножения и отправьте образец узла каждому из них.

    • Установите Value2 на 10,84 для первого.
    • Установите Value2 на 10.00 для второго.

    Создайте два узла sin и отправьте узлы умножения соответственно первому и второму.

    Создайте еще два узла умножения и отправьте им узлы sin. Эти два узла умножения будут обрабатывать ширину и высоту пути Лиссажу. Вы можете переименовать их, щелкнув правой кнопкой мыши и выбрав опцию переименования.

    Создайте узел точки сборки.

    • Отправить первый узел умножения на порт x.
    • Отправить второй в порт y.

    Создайте узел соединения и отправьте ему узел точки создания. В конце создайте узел раскраски, чтобы придать контуру цвет заливки и обводки.

    Пишущие фильтры.

    Nodebox можно использовать для написания более сложных функций. В качестве первого примера в этом разделе мы описали фильтр для волос. Ниже мы опишем еще два из них.

    Webby.

    Первым назовем веб-фильтр. Идея состоит в том, чтобы создать подсеть, которая рисует линии между точками на основе их расстояния и вторичного выбора.

    Сначала нам нужна форма и точки ее повторной выборки.

    • Создайте узел текстового пути.Установите Text на Web , Fontsize to 120.0 и выберите шрифт.
    • Создайте узел resample и подключите к нему textpath2. Установите Length на 8.0 .
    • Создайте точечный узел и подключите к нему resample1.

    Идея состоит в том, чтобы построить сеть для каждой точки списка, которая вычисляет расстояние до точек друг друга. Позже мы выберем несколько из них, чтобы провести линию между точкой и каждой из этих выбранных точек.

    • Создайте узел среза. Установите Size на 1 . Это будет наша контрольная точка. Мы можем пролистать их, изменив Start Index .
    • Создайте узел сортировки. Помните, что вы выбрали правильный: в описании говорится: «Сортируйте точки или фигуры, используя разные методы сортировки».
    • Соедините точку 1 с Фигуры и срез1 с Позицией .
    • Создайте второй узел среза. Установите Size на 8 .Подключите к нему sort1.
    • Создайте узел выбора. Установите Amount на 5 и подключите к нему slice2.

    Предыдущая процедура сортирует все точки по удаленности от контрольной точки. Второй узел среза выбирает первые 8 и выбирает 5 из них. Теперь проведем линию между контрольной точкой и выбранными точками

    .

    • Создайте линейный узел. Подключите pick1 к Point1 и slice1 к Point2 .

    Теперь функция оценивается в 1 балл.Измените Start_index slice1, чтобы увидеть результат для другой точки. Мы создадим подсеть, чтобы сделать это по всем точкам.

    • Выберите slice1, sort1, slice2, pick1 и line1. Щелкните правой кнопкой мыши и Сгруппируйте в сеть .
    • Снова щелкните его правой кнопкой мыши и переименуйте в webby.
    • Щелкните его правой кнопкой мыши в последний раз и Редактировать дочерние элементы .
    • Опубликовать Start_index slice1 и slice2. Назовите их Start index и Size .Сеть должна выглядеть так, как показано ниже.
    • Вернуться в корень.

    Создание подсети теперь позволяет нам оценивать ее для каждой точки. Для этого мы увеличим число Start_index webby. Построим ассортимент.

    • Создайте счетный узел. Подключите к нему точку 1.
    • Создайте узел диапазона. Подключите count1 к End .
    • Подключите range1 к Start_index webby.
    • Визуализировать webby.

    Вы можете увеличить количество вторичного выбора на самом веб-сайте. Вы можете изменить количество точек, изменив Length resample1.

    Попробуйте применить к нему цвет.

    Веб-фильтр применен к этой SVG Обамы.

    Альтернативный Интернет.

    Процедура запроса, описанная выше, довольно сложна. Иногда это помогает переосмыслить результат. Чего я хочу достичь?

    Веб-фильтр также можно получить с помощью процедуры, менее интенсивной к процессору:

    • Создайте узел текстового пути.Установите web как Text и задайте для него шрифт и размер корпуса больше 180.
    • Создайте узел передискретизации. Conect textpath2 к Shape .
    • Создайте точечный узел и отправьте ему resample1.

    Идея состоит в том, что мы будем использовать сравнение, чтобы выяснить, находятся ли две произвольные точки на определенном расстоянии друг от друга. Поэтому мы перетасуем исходный список, чтобы мы могли выбирать точки из него. Мы сделаем это несколько раз, чтобы увеличить вероятность того, что нам придется указывать друг на друга.Для этого мы будем использовать повторяющийся узел.

    • Создайте повторяющийся узел. Установите Amount на 50 и подключите точку 1 к List .
    • Создайте узел тасования Подключите repeat1 к List .
    • Создайте узел расстояния. Подключите repeat1 к Point1 и shuffle1 к point2 .

    Теперь, когда мы знаем расстояние, мы можем выбрать несколько из них на основе процедуры сравнения.

    • Создайте узел сравнения.Подключите distance1 к Value1 . Установите Value2 на 40 и выберите меньше в качестве Comparator .
    • Создайте два узла отбраковки.
    • Подключите repeat1 к List и сравните 1 с Booleans для первого.
    • Подключите shuffle1 к List и сравните 1 с Booleans для второго.
    • Создайте линейный узел. Соедините cull1 с Point1 и cull2 с Point2 .
    • Линия рендеринга 1:

    Ближайшая точка.

    В качестве второго фильтра мы создадим подсеть, которая будет вычислять ближайшую точку для набора случайных точек. Мы будем визуализировать это, соединив обе точки друг с другом линией.

    • Создайте узел эллипса. Установите его размеры: 300,0 на 300,0 .
    • Создайте узел разброса. Подключите ellipse1 к Shape . Установите Amount на 40 .
    • Создайте узел сортировки. Отправьте scatter1 на Shapes .
    • Создайте узел среза. Отправьте scatter1 в список List и установите Size на 1 . Подключите его выход к Position sort1.
    • Создайте сменный узел. Установите Amount на 1 и подключите sort1 к List . Нам нужна точка с кратчайшим расстоянием, но не она сама.
    • Теперь мы выделим первую точку над первым узлом.Создайте его и отправьте ему shift1.
    • Создайте линейный узел. Подключите first1 к Point1 и нарезайте Point2 .
    • Сделайте это.

    Теперь мы превратим эту процедуру в подсеть, чтобы мы могли оценивать каждую точку, а не только одну.

    • Выберите все узлы, кроме ellipse1 и scatter1. Щелкните их правой кнопкой мыши и Сгруппируйте в сеть .
    • Снова щелкните его правой кнопкой мыши и переименуйте в closest_point.
    • Щелкните его правой кнопкой мыши в последний раз и Редактировать дочерние элементы .
    • Опубликовать Start_index slice1. Назовите его Начальный индекс .
    • Вернуться в корень.
    • Создайте узел подсчета и подключите к нему scatter1.
    • Создайте узел диапазона. Подключите count1 к End .
    • Подключить range1 к Start_index ближайшего точечного узла.
    • Визуализировать узел ближайшей точки.

    Тот же Обама, другой фильтр. Некоторые изменения в цвете и ширине обводки.

    Математика — JavaScript | MDN

    Math — это встроенный объект, который имеет свойства и методы для математических констант и функций. Это не функциональный объект.

    Math работает с типом Number . Не работает с BigInt .

    В отличие от многих других глобальных объектов, Math не является конструктором. Все свойства и методы класса Math статичны. Вы называете константу пи как Math.PI , и вы вызываете синусоидальную функцию как Math.sin ( x ) , где x — аргумент метода. Константы определены в JavaScript с полной точностью действительных чисел.

    Примечание: Многие функции Math имеют точность, которая зависит от реализации.

    Это означает, что разные браузеры могут давать разный результат. Даже один и тот же движок JavaScript в другой ОС или другой архитектуре может дать разные результаты!

    Math.E
    постоянная Эйлера и основание натурального логарифма; примерно 2,718 .
    Math.LN2
    Натуральный логарифм 2 ; приблизительно 0,693 .
    Math.LN10
    Натуральный логарифм 10 ; приблизительно 2.303 .
    Math.LOG2E
    Логарифм по основанию 2 из E ; приблизительно 1.443 .
    Math.LOG10E
    Логарифм по основанию 10 E ; приблизительно 0,434 .
    Math.PI
    Отношение длины окружности к ее диаметру; приблизительно 3,14159 .
    Math.SQRT1_2
    Корень квадратный из ½; примерно 0,707 .
    Math.SQRT2
    Корень квадратный из 2 ; примерно 1,414 .
    Math.абс ( x )
    Возвращает абсолютное значение x .
    Math.acos ( x )
    Возвращает арккосинус x .
    Math.acosh ( x )
    Возвращает гиперболический арккосинус x .
    Math.asin ( x )
    Возвращает арксинус x .
    Math.asinh ( x )
    Возвращает гиперболический арксинус числа.
    Math.atan ( x )
    Возвращает арктангенс x .
    Math.atanh ( x )
    Возвращает гиперболический арктангенс x .
    Math.atan2 ( y , x )
    Возвращает арктангенс частного аргументов.
    Math.cbrt ( x )
    Возвращает кубический корень из x .
    Math.ceil ( x )
    Возвращает наименьшее целое число, большее или равное x .
    Math.clz32 ( x )
    Возвращает количество ведущих нулевых битов 32-разрядного целого числа x .
    Math.cos ( x )
    Возвращает косинус x .x , где x — аргумент, а e — постоянная Эйлера ( 2,718 … основание натурального логарифма).
    Math.expm1 ( x )
    Возвращает вычитание 1 из exp ( x ) .
    Мат. Пол ( x )
    Возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное x .
    Математическое округление ( x )
    Возвращает ближайшее представление одинарной точности с плавающей запятой x .
    Math.hypot ([ x [, y [,…]]])
    Возвращает квадратный корень из суммы квадратов своих аргументов.
    Math.imul ( x , y )
    Возвращает результат 32-битного целочисленного умножения x и y .
    Math.log ( x )
    Возвращает натуральный логарифм (㏒ e ; также ㏑) x .
    Math.log1p ( x )
    Возвращает натуральный логарифм (㏒ e ; также ㏑) 1 + x для числа x .
    Math.log10 ( x )
    Возвращает десятичный логарифм x .
    Math.log2 ( x )
    Возвращает логарифм по основанию 2 x .
    Math.y ).
    Математическое случайное ()
    Возвращает псевдослучайное число от 0 до 1 .
    Математическое округление ( x )
    Возвращает значение числа x , округленное до ближайшего целого числа.
    Математический знак ( x )
    Возвращает знак числа x , указывающий, является ли x положительным, отрицательным или нулевым.
    Math.sin ( x )
    Возвращает синус x .
    Math.sinh ( x )
    Возвращает гиперболический синус x .
    Math.sqrt ( x )
    Возвращает положительный квадратный корень из x .
    Math.tan ( x )
    Возвращает тангенс x .
    Math.tanh ( x )
    Возвращает гиперболический тангенс x .
    Math.trunc ( x )
    Возвращает целую часть x , удаляя все дробные цифры.

    Преобразование между градусами и радианами

    Тригонометрические функции sin () , cos () , tan () , asin () , acos () , atan () и atan2 () ожидает (и возвращает) углы в радиан .

    Поскольку люди склонны мыслить градусами, а некоторые функции (например, преобразования CSS) могут принимать градусы, неплохо было бы держать под рукой функции, которые конвертируют между ними:

      function degToRad (градусы) {
      вернуть градусы * (Math.PI / 180);
    };
    
    function radToDeg (rad) {
      вернуть рад / (Math.PI / 180);
    };  

    Вычисление высоты равностороннего треугольника

    Если мы хотим вычислить высоту равностороннего треугольника и знаем, что длина его стороны равна 100, мы можем использовать формулу длины смежного треугольника, умноженной на тангенс угла. равно противоположному.

    В JavaScript мы можем сделать это следующим образом:

      50 * Math.tan (degToRad (60)).  

    Мы используем нашу функцию degToRad () для преобразования 60 градусов в радианы, поскольку Math.tan () ожидает входное значение в радианах.

    Возврат случайного целого числа между двумя границами

    Этого можно достичь с помощью комбинации Math.random () и Math.floor () :

      функция случайная (мин., Макс.) {
      const num = Математика.этаж (Math.random () * (max - min + 1)) + min;
      return num;
    }
    
    случайный (1, 10);  

    Таблицы BCD загружаются только в браузере

    a Математический узел DG — за углом

    Многие из вас, вероятно, знают о sineNode, доступном в Maya devkit, написанном на C ++ и / или Python. Этот пример очень полезен, если вам интересно запустить функцию sin (). Но есть несколько ограничений, которые делают этот пример немного сухим.

    Во-первых, это просто функция sin (), и при таком подходе это означает, что вам нужно будет создать столько «математических» узлов, сколько вам нужно математических функций.

    Во-вторых, он имеет только один входной и один выходной параметр, поэтому он ограничивает вас тем, что вам нужно объединить множество узлов для создания более сложных выражений, таких как sum (), градус в радиан и т. Д., Прежде чем переходить к греху (). И может быть еще несколько после …

    Так что вы быстро попадете в стену …

    с большим графиком DG для довольно простой работы.

    Какие есть решения?

    Очевидным является использование системы выражений Maya. Оценка выражений в Maya зависит от содержимого выражения — иногда вам нужно принудительно выполнить оценку — тогда как для узла Maya DG всегда сделает это за вас, когда это необходимо.Отладка Maya Expression также непроста (инструменты недоступны) и требует знания MEL. И он довольно медленный :(, поэтому я бы не рекомендовал использовать его везде.

    Другой — создать серию специализированных узлов (по одному для каждой возможной математической функции, которую вы хотите) и спроектировать так, чтобы они делали все, что вы хотите. Вы бы написали их как sineNode () и, вероятно, выбрали бы C ++ для достижения максимальной производительности. Здесь доступны очень полезные узлы, написанные moto @ cgdna (реализованные на C ++ и использующие Boost).Полное описание также доступно здесь.

    К счастью, поскольку они написаны на C ++, они работают быстро. К сожалению, это означает, что это библиотека узлов, которая требует обслуживания (перекомпилировать для каждой версии / платформы), и они не расширяемы.

    По-прежнему очень хорошее решение, но есть еще одно, которое делает одиночный узел лучшим выбором с небольшим снижением производительности. Это использует Python, и тот факт, что Python может оценивать выражение на лету, по сравнению с C ++, который не может.

    В этом примере мы будем использовать основы Python из лучших интерпретируемых языков. Для начала мы создадим 3 входных атрибута float и 1 выходной атрибут float. Но количество входов и выходов может быть больше, что не вызовет никаких проблем для Python и нашего узла. В будущей версии я сделаю количество входных атрибутов динамическим. Так что любой может решить, что ему нужно 5 против 3, и сделать то же самое для выходных данных. Входные атрибуты имеют тип float, но теоретически это могут быть и строки, поскольку интерпретатор Python легко справится с этим.Это еще одно преимущество использования Python против C ++, которое мы можем рассмотреть в другом посте. Но давайте пока будем простыми и будем использовать поплавки.

    Вот определение атрибута моего узла:

     # Ввод
    exprSt = OpenMaya.MFnStringData ()
    exprStCreator = exprSt.create ("а")
    tAttr = OpenMaya.MFnTypedAttribute ()
    asdkMathNode.expression = tAttr.create ("выражение", "выражение", OpenMaya.MFnStringData.kString, exprStCreator)
    tAttr.setStorable (1)
    tAttr.setKeyable (Ложь)
    
    nAttr = OpenMaya.MFnNumericAttribute ()
    asdkMathNode.aIn = nAttr.create («aIn», «a», OpenMaya.MFnNumericData.kFloat, 0,0)
    nAttr.setStorable (1)
    asdkMathNode.bIn = nAttr.create («bIn», «b», OpenMaya.MFnNumericData.kFloat, 0,0)
    nAttr.setStorable (1)
    asdkMathNode.cIn = nAttr.create («cIn», «c», OpenMaya.MFnNumericData.kFloat, 0,0)
    nAttr.setStorable (1)
    
    # Выход
    nAttr = OpenMaya.MFnNumericAttribute ()
    asdkMathNode.result = nAttr.create ("результат", "res", OpenMaya.MFnNumericData.kFloat, 0,0)
    nAttr.setStorable (1)
    nAttr.setWritable (1)
    
    # Настройка атрибутов узла
    asdkMathNode.addAttribute (asdkMathNode.expression)
    asdkMathNode.addAttribute (asdkMathNode.aIn)
    asdkMathNode.addAttribute (asdkMathNode.bIn)
    asdkMathNode.addAttribute (asdkMathNode.cIn)
    asdkMathNode.addAttribute (asdkMathNode.result)
    
    asdkMathNode.attributeAffects (asdkMathNode.expression, asdkMathNode.result)
    asdkMathNode.attributeAffects (asdkMathNode.aIn, asdkMathNode.result)
    asdkMathNode.attributeAffects (asdkMathNode.bIn, asdkMathNode.result)
    asdkMathNode.attributeAffects (asdkMathNode.cIn, asdkMathNode.result)
     

    В этой реализации, помимо атрибутов с плавающей запятой, мы создали строковый атрибут для обработки математического выражения. Но мы вернемся к этому. Здесь важно отметить, что каждый числовой атрибут имеет значение по умолчанию — иначе Python не будет доволен нами позже.

    Хорошо, пока ничего особенного, но давайте теперь поговорим о двух принципах Python, которые мы собираемся использовать.Символы, определенные в глобальном состоянии, всегда доступны для использования в выражении Python, а функция Python eval () оценивает форматированную строку выражения Python, как если бы это был код, написанный разработчиком. Аргумент выражения анализируется и оценивается как выражение Python (технически говоря, список условий) с использованием словарей глобальных переменных и locals в качестве глобального и локального пространства имен. Это просто означает, что строка может содержать любой допустимый код Python, который будет выполняться на лету.

    В этом случае, пока входные атрибуты a, b, c копируются в некоторые символы Python a, b, c в локальных или глобальных словарях, eval () просто использует их и анализирует / выполняет код, содержащийся в строке . Вот так! мы можем использовать не только математические выражения, но и простой код Python и пользовательские функции Python.

    Наш метод настраиваемого узла compute () становится:

     def compute (self, plug, dataBlock):
    если (plug == asdkMathNode.result):
    exprHandle = блок данных.inputValue (asdkMathNode.expression)
    exprStData = OpenMaya.MFnStringData (exprHandle.data ())
    exprSt = exprStData.string ()
    # Здесь атрибуты нашего узла Maya становятся символами Python
    aHandle = dataBlock.inputValue (asdkMathNode.aIn)
    a = aHandle.asFloat ()
    bHandle = dataBlock.inputValue (asdkMathNode.bIn)
    b = bHandle.asFloat ()
    cHandle = dataBlock.inputValue (asdkMathNode.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.