Что называется графиком функции: 1.Что называют графиком функции?2.Какие два условия должны выполняться , чтобы фигура была

Содержание

Урок 48. функции. свойства функций и их графики. исследование функций — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • функция, аргумент функции, значение функции
  • график функции, преобразование графика функции
  • свойства функции, исследование свойств функции

Глоссарий по теме урока

Определение

Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

х – независимая переменная, аргумент,

у — зависимая переменная, значение функции

Определение

Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).

Определение

Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).

Определение

Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:

  1. область определения этой функции симметрична относительно 0;
  2. для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=f(х).

Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:

  1. область определения этой функции симметрична относительно 0;

для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).

Определение

Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.

Определение

Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких, что х12, выполняется неравенство у12.

Функция у=f(x) убывает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких что, х12, выполняется неравенство у12.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307.

Дополнительная литература:

Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.

https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Исследование функции и построение графика

Схема исследования функции на примере функции

1) Область определения функции

Знаменатель дроби не равен нулю:

Получили область определения

D(y)=

  1. Множество значений функции

Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).

Получили

  1. Четность / нечетность функции

D(y)= — симметрична относительно нуля

,

следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ

  1. Нули функции

Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение

Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ

  1. Промежутки знакопостоянства

у>0 при

у<0 при

  1. Монотонность

Найдем производную

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует: х=0, х=-1, х=1.

Определим знаки производной в полученных промежутках.

точки -1, 1 – выколоты, 0 — закрашена

Производная положительна, а значит, функция возрастает при .

Производная отрицательна, а значит, функция убывает при

  1. Экстремум

х=0 – стационарная точка.

В ней производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, х=0 – точка максимума.

Значение функции в точке максимума

  1. Дополнительные точки

у(0,5)= у(-0,5)=-5/3; у(2)=у(-2)=5/3; у(3)= у(-3)=5/4

  1. Отразим найденные свойства графически, построим график функции

2. Решение задачи на оптимизацию

Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин решаются по определенному плану.

В решении таких задач выделяют 3 основных этапа:

1 этап. «Перевод» задачи на язык функций:

  1. вводят независимую переменную х
  2. выявляют оптимизируемую величину у, для которой надо найти наибольшее или наименьшее значение
  3. выражают у через х и другие известные величины
  4. устанавливают по условию задачи границы изменения переменной х

2 этап. Исследуют составленную функцию на наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от условия задачи) с помощью производной или элементарными средствами.

3 этап. Интерпретация найденного решения для поставленной задачи – «перевод» полученного математического результата на язык задачи.

Рассмотрим план решения на примере задачи.

Задача. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t2 у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Решение:

1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.

Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4x2 у.е.

Тогда на 2 объект направлено (24 — x) рабочих – суточная заработная плата (24 — x)2 (у.е.)

Всем рабочим нужно заплатить 4x2+(24 — x)2 = 5x2 -48x+576 (у.е.)

Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.

2 этап.

Рассмотрим функцию f(x)=5x2-48x+576.

Функция квадратичная, старший коэффициент положителен, следовательно, наименьшее значение в вершине при x0 = 4,8 .

3 этап. Перевод на язык задачи

Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.

24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.

Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.

Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.

Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Исследуйте функции на четность.

Функции

у=0

у=sin(x+5π/2)

у=lg(x+10)

Решение:

  1. у=0

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

у(-х)=0, что можно интерпретировать и как у(х), и как –у(х). К тому же график этой функции – прямая, совпадающая с осью ОХ, — симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.

Данная функция одновременно четна и нечетна.

  1. у=sin(x+5π/2)

область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля

преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x

у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная

  1. у=lg(x+10)

логарифмируемое выражение должно быть положительным

x+10>0; x>-10

D(y): x>-10

Область определения несимметрична относительно 0, значит, в проверке второго условия нет необходимости, — функция общего вида.

Найдем область определения D(f)

Проверим второе условие

Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.

Зайдем с другого конца, выразим -f(x):

домножим на сопряженное

Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная.

Ответ:

Функции

Четность / нечетность

у=0

и четная, и нечетная

у=sin(x+5π/2)

четная

у=lg(x+10)

общего вида

нечетная

2.

Решение:

Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений.

Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а.

В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х.

Первое уравнение содержит квадратные корни, что накладывает ограничения: х≥-4, у<7

Сгруппируем в скобках первое, третье и пятое слагаемые, второе и четвертое, получим:

Приравнивая каждый из множителей числителя к нулю, получаем прямые: у=4, у=х+3, х=-4, точнее, с учетом ограничений, части прямых.

Выполним построения выделенных функций.

Условию задачи удовлетворяют только такие прямые второго уравнения у=-х+а, которые пересекают графики первого уравнения только в одной точке.

Анализируя рисунок, получаем: а ≤ -5, а ≥11, а=5.

Ответ:

Функция, область определения, множество значений, четность, периодичность, график, монотонность: возрастание, убывание, нули. Тесты

Тестирование онлайн

Понятие функции

Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью. Зависимость переменной y от переменной x называется функцией, если каждому значению x соответствует единственное значение y.

Обозначение:

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y — зависимой. Говорят, что y является функцией от x. Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции.

Все значения, которые принимает x, образуют область определения функции; все значения, которые принимает y, образуют множество значений функции.

Обозначения:

D(f) — значения аргумента. E(f) — значения функции. Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции. Если некоторому значению x=x0 соответствуют несколько значений (а не одно) y, то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси Оу, пересекалась с графиком не более чем в одной точке.

Способы задания функции

1) Функция может быть задана аналитически в виде формулы. Например,

2) Функция может быть задана таблицей из множества пар (x; y).

3) Функция может быть задана графически. Пары значений (x; y) изображаются на координатной плоскости.

Монотонность функции

Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы «взбираться» вверх по графику.

Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы «скатываться» вниз по графику.

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Значения х, при которых y=0, называется нулями функции. Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

Такие промежутки значений x, на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.

Четные и нечетные функции

Четная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Нечетная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.

Периодические функции

Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T). T — это период функции.

Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.

График функции — Алгебра и геометрия

Для наглядного представления функции строят ее график.

Определение.

Графиком функции y-f(x) называется множество всех точек плоскости Oxy, для каждой из которых является значением аргумента, а y- соответствующим значением функции.2-4x=0; y=|x| , где |x|=(x,если x≥0 или -x,если <0)

Аналитический способ является наиболее совершенным, т.к. к нему могут быть применены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию.
Табличный способ предусматривает задание таблицы, в которой различным значениям аргумента поставлены соответствующие значения функции

:

Такие таблицы составляются, например, по данным эксперимента; для облегчения вычислений с часто встречающимися функциями (таблицы логарифмов, таблицы тригонометрических функций и т.д.).

Графический способ задания функции состоит в том, что в данной системе координат задается некоторая кривая. Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

Функции.ppt

Функции.ppt

Updating…

ć

Функции.ppt

(2595k)

Сайганов Александр,

26 янв. 2017 г., 11:02

Понятие функции. Способы задания функции

Понятие функции является одним из важнейших понятий математики и её
приложений. С помощью различных функций могут быть описаны многие процессы и явления
реального мира.

Пусть X и Y
какие-то множества. Имеет место функция, определённая на множестве X
со значениями на множестве Y, если в силу
некоторого закона f каждому элементу
xX ставится в соответствие один и
только один элемент yY.

Это записывается в виде

y = f(x).

Другими словами, с помощью функции y = f(x)
множество X отображается в множество
Y. Поэтому функцию называют также отображением.

Например, авиапассажиры сидят в креслах салона пассажирского самолёта.
Пусть X — множество пассажиров, а Y
множество кресел салона. Тогда возникает соответствие f :
каждому пассажиру xX сопоставляется
то кресло y = f(x),
в котором он сидит.

Наблюдается, таким образом, простой пример функции, областью
определения
которой является множество X пассажиров,
а областью значений — множество f(X)
занимаемых ими кресел. Если заполнены не все кресла Y,
то множество значений функции будет подмножеством Y,
не совпадающим со всем множеством Y.

Если, однако, какому-то пассажиру
удастся сесть сразу в два кресла и
, то
нарушится принцип однозначной определённости значений функции, поэтому такая ситуация
не является функциональной в смысле данного выше определения функций, поскольку требуется,
чтобы каждому значению x аргумента соответствовало
бы одно определённое значение y = f(x)
функции.

В математическом анализе часто X
обозначают как D (область определения функции), а Y
как E (область значений функции) и при этом
D и E называют
подмножествами R (множества действительных чисел).
На сайте есть урок Как найти область определения функции.

Как нетрудно догадаться по названию нашего сайта, он назван так в честь функции от
икса или f(x). И это неслучайно. Функции составляют бОльшую
часть предметов рассмотрения не только математического анализа, но и дискретной математики, а также
широко используются в программировании, где от профессионалов требуется выделять однотипные вычисления
в функции.

Пример 1. Даны множества A = {abcde} и
L = {lmn}.
Можно ли между элементами этих множеств установить такое соответствие, чтобы оно было
функцией? Если да, то записать это соответствие, указав стрелками, какой элемент какому
соответствует.

Решение. Итак, множество A содержит
5 элементов, а множество L — 3 элемента. Если мы
поставим стрелки, ведущие от каждого элемента множества L к
элементам множества A, то некоторым элементам L
будут соответствовать более одного элемента A. Такое
соответствие не является функцией по определению. Но если мы проведём стрелки от элементов
A к элементам L,
то некоторым элементам A будут соответствовать одни и те
же элементы L, но при этом каждому элементу A
будет соответствовать не более одного элемента L. Такое
соответствие не противоречит определение функции, следовательно, ответ на вопрос задания —
положительный.

Можно задать, например, такое соответствите между элементами данных
множеств, которое будет функцией:

Пример 2. Даны множества A = {70, 140, 30, 48} и
В = {35, 15, 12}. Установить
между элементами множеств соответствие, заданное правилом «элемент A
можно нацело поделить на элемент В«. Будет ли
такое соответствие функцией?

Решение. Между элементами множеств A и
В устанавливается следующее соответствие:

Это соответствие является функцией, так как каждому элементу из множества
A соответствует не более одного элемента из множества
В.

Аналитическое задание функции.

Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена
в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые
должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение
функции.

При аналитическом задании функции указывают область определения, либо
не указывают. В первом случае функция задаётся в виде
y = f(x), xD,
где D — область определения функции, во втором случае —
в виде y = f(x).
Во втором случае областью определения функции считается наибольшее множество, на котором
имеет смысл формула, которой задана функция, то есть наибольшее множество аргумента, которое
приводит к действительным значениям функции.

Важно, что функцию не следует отождествлять с формулой, с помощью
которой она задана. Например, функции y = x², x∈]-∞,+∞[ и
y = x², x∈[2, 4],
выраженные одной и той же формулой y = x²,
так как они имеют разные области определения.

Наоборот, одна и та же функция может быть задана разными формулами на
различных участках области определения. Пусть, например,

Здесь две формулы задают одну функцию, определённую на всей числовой
прямой. При x≤0 значения этой функции
определяются по первой формуле, а при x>0 — по
второй.

Аналитический способ задания функции удобен тем, что значения функции
можно вычислить при любых значениях аргумента. Недостатком этого способа задания функции
является его малая наглядность.

Графический способ задания функции

График функции даёт наглядное представление о её свойствах. Например,
график линейной функции y = kx + b
— прямая линия, график квадратичной функции y = ax² + bx + c —
парабола и т. д. При этом строятся графики функций, заданных геометрически, т. е. в виде
формул или уравнений. Таким образом, под графиком функции понимается множество точек
плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Графический способ задания функции помимо геометрического изображения
функции, заданной уравнением, удобен тогда, когда функцию трудно задать аналитически.
Задать функцию графически — это значит построить её график. Это часто делают самопишущие
приборы. Например, в медицине электрокардиограф строит электрокардиограмму — кривую
изменения электрических импульсов сердечной мышцы.

Графиком числовой функции y = f(x)
называется множество точек плоскости с координатами (xf(x)),
абсциссы которых — числа из области определения функции, а ординаты — соответствующие значения
функции.

Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия
может служить графиком функции. Линия только в том случае задаёт функцию, если любая прямая,
параллельная оси 0y, пересекает её не более чем в
одной точке.

Пример 4. На рисунке ниже — график параболы,
заданной уравнением y² = 2x.
Является ли этот график графиком функции?

Решение. График параболы, заданной уравнением y² = 2x,
не является графиком функции, поскольку прямая, параллельная оси 0y,
пересекает его в двух точках при всех значениях x,
кроме x = 0. Заданное уравнение
эквивалентно двум уравнениям ,
каждое из которых определяет функцию. Графиком функции
служит верхняя половина параболы, а графиком функции —
её нижняя половина.

Табличный способ задания функции

При табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента
записывается соответствующее значение функции. Широко известных таблицы квадратов и кубов
чисел, квадратных корней, то есть таблицы функций ,
,
.

Недостатком табличного способа задания функции является то, что в
таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности
изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.

Если функция y зависит от переменной u, то есть
y = f(u), а
u, в свою очередь, является какой-либо функцией от
независимой переменной x, то есть u = g(x),
то переменная y называется функцией от функции или
сложной функцией
от x.

Это записывается в виде

y = f(u), u = g(x)

или

y = f[g(x)].

Таким образом, сложной называется функция, аргументом которой является
не независимая переменная, а некоторая функция от неё.

Область определения сложной функции — это множество тех значений x
из X, для которых соответствующие значения
u принадлежат области определения U
функции y = f(u). Ни для
каких других значений x сложная функция не имеет смысла.

Из определения следует, что сложная функция y = f[g(x)]
может быть представлена в виде цепочки простых функций y = f(u), u = g(x).
Переменную u принято называть промежуточным аргументом
в отличие от независимой переменной x. Цепочка,
составляющая сложную функцию, может состоять не только из двух, но и из большего числа
звеньев.

Например, функция
состоит из трёх звеньев: ,
, .

Пример 5. Представить сложную функцию
в виде
звеньев — простых функций.

Решение. Цепочка, составляющая данную функцию, состоит из следующих
звеньев:

Пример 6. Представить сложную функцию
в виде
звеньев — простых функций.

Решение. Цепочка, составляющая данную функцию, состоит из следующих
звеньев:

Если функция y задана уравнением
вида f(xy) =0, не
разрешённым относительно y, то она называется
неявной функцией аргумента x (Что такое разрешить
уравнение относительно одной из переменных — в примере 8).

Пусть задана некоторая функция y = f(x),
т. е. некоторое соответствие между множествами D(f)
(область определения) и E(f)
(множество значений). Если обратное соответствие есть функция,
т. е. каждому значению yE(f)
соответствует одно единственное значение xE(f),
то её называют обратной функцией по отношению к функции f(x).

В этом случае уравнение y = f(x)
определяет x как неявную функцию от y.
Если это уравнение разрешимо относительно x, то
получим явное выражение обратной функции: x = g(y).

Пример 7. Будет ли функцией соответствие, обратное
функции
? А
соответствие, обратное функции ?

Решение. Соответствие, обратное функции, заданной в первом условии,
также является функцией:

.

Соответствие, обратное функции, заданной во втором условии,
не является функцией, так как ,
то есть значениям икса, кроме нуля, соответствуют два значения игрека.

Весь раздел «Исследование функций»

Построение графика функции онлайн | umath.ru

  • Обязательно писать все знаки умножения
  • Десятичные дроби нужно разделять точкой
  • Список функций и констант смотрите ниже

Как пользоваться программой:

  • Можно строить графики сразу нескольких функций. Для этого просто разделяйте функции точкой с запятой (;).
  • Масштаб изменяется с помощью кнопок «+» и «−». Кнопка «100%» меняет масштаб на стандартный.
  • Положение экрана можно менять, перетаскивая его мышью, а можно стрелками на панели слева.
  • Кнопка «·» в центре джойстика переносит начало координат в центр экрана.
  • Кнопка «↺» изменяет масштаб на стандартный и переносит начало координат в центр.
  • В форме под графиком можно выбрать точку, которую нужно расположить в центре экрана.

Режимы

Обычный. В этом режиме можно строить графики функций, заданных уравнением

Параметрический. Этот режим предназначен для построения графиков кривых, заданных
параметрически, то есть в виде

Полярные координаты. Режим позволяет построить график кривой, заданной в полярной системе
координат, то
есть уравнением где — радиальная координата, а — полярная координата.

Список констант

Константа Описание
pi Число =3,14159.3 дают x в третьей
степени
sqrt() Квадратный корень
sin() Синус
cos() Косинус
tg() Тангенс
ctg() Котангенс
arcsin() Арксинус
arccos() Арккосинус
arctg() Арктангенс
arcctg() Арккотангенс
ln() Натуральный логарифм числа
lg() Десятичный логарифм числа
log(a, b) Логарифм числа b по основанию a
exp() Степень числа e
sh() Гиперболический синус
ch() Гиперболический косинус
th() Гиперболический тангенс
cth() Гиперболический котангенс

График функции

Графиком функции называется множество точек плоскости таких, что абсциссы и ординаты
этих точек удовлетворяют уравнению .

Программа создана для школьников и студентов и позволяет строить графики функций онлайн. Во многих браузерах
(например, Google Chrome) картинку с графиком функции можно сохранить на компьютер.

Пожалуйста, все предложения и замечания по работе программы пишите в комментариях.

Кроме того мы планируем создать библиотеку функций с интересными и забавными графиками. Если вы открыли функцию
с таким графиком, то обязательно напишите об этом в комментариях! Ваше открытие будет опубликовано и станет
носить
ваше имя ;).

ее график и свойства при k0

 

Рассмотрим функцию y=k/y. Графиком этой функции является линия, называемая в математике гиперболой. Общий вид гиперболы, представлен на рисунке ниже. (На графике представлена функция y равно k разделить на x, у которой k равно единице.)

Видно, что график состоит из двух частей. Эти части называют ветвями гиперболы. Стоит отметить также, что каждая ветвь гиперболы подходит в одном из направлений все ближе и ближе к осям координат. Оси координат в таком случае называют асимптотами.

Вообще любые прямые линии, к которым бесконечно приближается график функции, но не достигает их, называются асимптотами. У гиперболы, как и у параболы, есть оси симметрии. Для гиперболы, представленной на рисунке выше, это прямая y=x.

Теперь разберемся с двумя общими случаями гипербол. Графиком функции y = k/x, при k ≠0, будет являться гипербола, ветви которой расположены либо в первом и третьем координатных углах, при k>0, либо во втором и четвертом координатных углах, при k<0.

Основные свойства функции y = k/x, при k>0

График функции y = k/x, при k>0

1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы.

2. Оси координат – асимптоты гиперболы.

3. Прямая y=x ось симметрии гиперболы.

4. Область определения функции все х, кроме х=0.

5. y>0 при x>0; y6. Функция убывает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.

10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).

Основные свойства функции y = k/x, при k<0

График функции y = k/x, при k<0

1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы.

2. Оси координат – асимптоты гиперболы.

3. Прямая y=-x ось симметрии гиперболы.

4. Область определения функции все х, кроме х=0.

5. y>0 при x0.

6. Функция возрастает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.

10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Преобразование рациональных выражений: способы преобразований и примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРациональные числа: определение, сумма, разность, умножение, деление

1)Определение функции двух переменных

Если
каждой паре (
x;y
) значений
двух независимых друг от друга переменных
величин х и
у
из некоторого множества D
соответствует
единственное значение величины,
то говорят,
что z
есть функция двух независимых переменных
x и
y, определенная
на множестве D.

Обозначается:
z
=f(x;y)
или z=z(x;y).

Например,
S=ab,
S=S(a;b)-
функции
двух переменных; V=abc,
V=V(a,b.c)

функция трех переменных;

2)Область определения ф-ии двух переменных

Область
определения функции z=f(x,y)
называется совокупность пар чисел
(x,y),
которым соответствуют действительные
значения функции. D={(x,y)}

Множество
Z={f(x,y)}
– множество значений функции.

3)График функции двух переменных. Линии уровня. Поверхности уровня.

Графиком
функции z=
f(x,y)
называется поверхность, представляющая
собой геометрическое место точек
функции, когда точка (x,y)
принимает все значения из области
определения.

Линией
уровня функции z=
f(x,y)
называется геометрическое место точек
(x,y)
плоскости, в которой функция принимает
одно и то же значение С. Линию уровня
можно построить, спроектировав на
плоскость XOY
множество точек пространства. Уравнение
линии уровня имеет вид f(x,y)=С.

Поверхностью
уровня u=с
функции u=
f(x,y,z)
называется поверхность f(x,y,z)=с,
в точках которой функция u=
f(x,y,z)
сохраняет значение, равное с.

4)Предел и непрерывность ф-ии нескольких переменных.

Введем
понятие D-окрестности
точки М0
(Х0 , у0)
на плоскости ОХу
как круга радиуса D
с центром в данной точке. Аналогично
можно определить D-окрестность
в трехмерном пространстве как шар
радиуса D
с центром в точке М0
(Х0 , у0 , Z0).
Для N-мерного
пространства будем называть D-окрестностью
точки М0
множество точек М
С координатами
,
удовлетворяющими условию

Координаты
точки М0.
Иногда это множество называют «шаром»
в N-мерном
пространстве.

Число
А называется
Пределом
функции нескольких переменных

В
точке
М0,
если

Такое,
что |
F(M)
– A
| < ε
для любой точки
М
из δ-окрестности
М0.

Обозначения:

Необходимо
учитывать, что при этом точка М
может приближаться к М0,
условно говоря, по любой траектории
внутри D-окрестности
точки М0.
Поэтому следует отличать предел функции
нескольких переменных в общем смысле
от так называемых Повторных
пределов
,
получаемых последовательными предельными
переходами по каждому аргу

Функция

Называется
Непрерывной
в точке

М0

Если

Если
ввести обозначения

То
это условие можно переписать в форме

Внутренняя
точка М0
Области
определения функции Z
= F (M)

называется Точкой
разрыва

функции, если в этой точке не выполняется
условие

Замечание.
Множество точек разрыва может образовывать
на плоскости или в пространстве Линии
Или Поверхности
разрыва
.

5)Определение частных производных

Частные
производные функции y=f(M)в
том случае, если они существуют не в
одной точке, а на некотором множестве
A’,
являются функциями, определенными на
этом множестве. Поэтому удобно ввести
следующие обозначения:

F’x1=g1(M),
f’x2=g2(M)….

Полученные
функции g1,
g2….gn,
определенные в A’,
могут быть непрерывными и иметь частные
производные в различных точках A’.Назовем
частные производные от функций g1,g2…gn.
частными
производными высшего порядка
от
функции f(M)
и примем для каждого j
(j=1,2,3…n)

(fx1)’xj=f’’x1xj
, (f’x2)’xj=f’’x2xj,…,
(f’xn)’xj=f’’xnxj
или (f’xi)’xj=f’’xixj,
где I
и j=
1,2,3…n.

Эти
производные разбиваются на две группы:
вторые частные производные от f
по переменным xi

f’’x²i=
(f’xi)’xj, i=1,2,…n, j=1,2,…n.

и
смешанные частные производные от f
по переменным xi
и xj
(i≠j)

f’’xixj=(f’xi)’xj,
i=1,2…n, j=1,2…n.

Число
вторых частных производных функции
f(M)равно
n,
а число смешанных частных производных
– разности n²-n=n(n-1).
При этом величина n²
определяет общее число всех старших
производных и совпадает с числом
элементов квадратной матрицы порядка
n.
Элементы такой матрицы имеют индексы
I
и j,
которые находятся во взаимно однозначном
соответствии с координатными индексами
xi,
xj,
определяющими порядок частной производной.

Отношения, графики и функции

Графики, отношения, домен и диапазон

Прямоугольная система координат Система с двумя числовыми линиями под прямым углом, определяющими точки на плоскости с помощью упорядоченных пар ( x , y ). состоит из двух вещественных числовых линий, пересекающихся под прямым углом. Горизонтальная числовая линия называется осью x Горизонтальная числовая линия, используемая в качестве опорной в прямоугольной системе координат, а вертикальная числовая линия называется осью y Вертикальная числовая линия, используемая в качестве опорной в прямоугольной системе координат.. Эти две числовые линии определяют плоскую поверхность, называемую плоскостью Плоская поверхность, определяемая осями x и y , и каждая точка на этой плоскости связана с упорядоченной парой ( x , y ), которые определяют положение относительно начала координат на прямоугольной координатной плоскости. действительных чисел ( x , y ). Первое число называется координатой x , а второе число называется координатой y . Пересечение двух осей известно как начало координат Точка пересечения осей x и y , обозначенная (0, 0)., что соответствует точке (0, 0).

Оси x и y разбивают плоскость на четыре области, называемые квадрантами Четыре области прямоугольной координатной плоскости, частично ограниченные осями x и y и пронумерованные римскими цифрами I, II , III и IV., Названные римскими цифрами I, II, III и IV, как показано на рисунке. Упорядоченная пара ( x , y ) представляет положение точек относительно начала координат.Например, упорядоченная пара (-4, 3) представляет позицию на 4 единицы слева от начала координат и на 3 единицы выше во втором квадранте.

Эту систему часто называют декартовой системой координат Термин, использованный в честь Рене Декарта при обращении к прямоугольной системе координат., Названной в честь французского математика Рене Декарта (1596–1650).

Рисунок 2.1

Рене Декарт Википедия

Затем мы определяем RelationshipAny набор упорядоченных пар.как любой набор упорядоченных пар. В контексте алгебры интересующие нас отношения представляют собой наборы упорядоченных пар ( x , y ) в прямоугольной координатной плоскости. Обычно координаты связаны правилом, выраженным с помощью алгебраического уравнения. Например, оба алгебраических уравнения y = | x | −2 и x = | y | +1 определяют отношения между x и y . Ниже приведены некоторые целые числа, удовлетворяющие обоим уравнениям:

Здесь получены два соотношения, состоящие из семи упорядоченных парных решений:

y = | x | −2 имеет решения {(−3,1), (- 2,0), (- 1, −1), (0, −2), (1, −1), (2, 0), (3,1)} и x = | y | +1 имеет решения {(4, −3), (3, −2), (2, −1), (1,0), (2,1 ), (3,2), (4,3)}

Мы можем визуально отобразить любое отношение этого типа на координатной плоскости, нанеся точки.

Наборы решений каждого уравнения образуют отношение, состоящее из бесконечного числа упорядоченных пар. Мы можем использовать данные решения для упорядоченных пар, чтобы оценить все другие упорядоченные пары, проведя линию через данные точки. Здесь мы помещаем стрелки на концах наших линий, чтобы указать, что этот набор упорядоченных пар продолжается без ограничений.

Представление отношения на прямоугольной координатной плоскости, как показано выше, называется графом. Визуальное представление отношения на прямоугольной координатной плоскости.. Любая кривая, построенная на прямоугольной координатной плоскости, представляет собой набор упорядоченных пар и, таким образом, определяет отношение.

Набор, состоящий из всех первых компонентов отношения, в данном случае значений x , называется доменом. Набор, состоящий из всех первых компонентов отношения. Для отношений, состоящих из точек на плоскости, доменом является набор всех x -значений .. И набор, состоящий из всех вторых компонентов отношения, в данном случае y -значений, называется диапазоном. состоящий из всех вторых компонентов отношения.Для отношений, состоящих из точек на плоскости, диапазон представляет собой набор всех y -значений. (или codomain Используется при ссылке на диапазон.). Часто мы можем определить область и диапазон отношения, если нам дан его график.

Здесь мы видим, что график y = | x | −2 имеет область, состоящую из всех действительных чисел, ℝ = (- ∞, ∞), и диапазон всех y -значений, больших или равных — 2, [−2, ∞). Область графика x = | y | +1 состоит из всех x -значений, больших или равных 1, [1, ∞), а диапазон состоит из всех действительных чисел, ℝ = (- ∞, ∞ ).

Пример 1

Определите область и диапазон следующего отношения:

Решение:

Минимальное значение x , представленное на графике, равно −8, все остальные больше. Следовательно, область состоит из всех x -значений в интервале [−8, ∞). Минимальное значение y , представленное на графике, равно 0; таким образом, диапазон равен [0, ∞).

Ответ: Домен: [−8, ∞); диапазон: [0, ∞)

Функции

Особый интерес представляют отношения, в которых каждое значение x соответствует ровно одному значению y .Отношение с этим свойством называется отношением functionA, где каждый элемент в домене соответствует ровно одному элементу в диапазоне ..

Пример 2

Определите область и диапазон следующего отношения и укажите, является ли оно функцией или нет: {(−1, 4), (0, 7), (2, 3), (3, 3), (4, — 2)}

Решение:

Здесь мы разделяем область ( значений x ) и диапазон ( значений y ) и изображаем соответствие между значениями стрелками.

Отношение является функцией, потому что каждое значение x соответствует ровно одному значению y .

Ответ: Домен {−1, 0, 2, 3, 4}, а диапазон — {−2, 3, 4, 7}. Отношение — это функция.

Пример 3

Определите область и диапазон следующего отношения и укажите, является ли оно функцией или нет: {(−4, −3), (−2, 6), (0, 3), (3, 5), (3 , 7)}

Решение:

Данное отношение не является функцией, поскольку значение 3 x соответствует двум значениям y .Мы также можем распознавать функции как отношения, в которых не повторяются значения x .

Ответ: Домен {−4, −2, 0, 3}, а диапазон — {−3, 3, 5, 6, 7}. Это отношение не является функцией.

Рассмотрим отношения, состоящие из семи упорядоченных парных решений y = | x | −2 и x = | y | +1. Соответствие между доменом и диапазоном каждого из них можно изобразить следующим образом:

Обратите внимание, что каждый элемент в области набора решений y = | x | −2 соответствует только одному элементу в диапазоне; это функция.С другой стороны, решения x = | y | +1 имеют значения в области, соответствующие двум элементам в диапазоне. В частности, значение 4 x соответствует двум значениям y −3 и 3. Следовательно, x = | y | +1 не определяет функцию.

Мы можем визуально идентифицировать функции по их графикам с помощью теста вертикальной линии. Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, тогда график не представляет функцию. Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, тогда график не представляют функцию.

Вертикальная линия представляет значение в домене, а количество пересечений с графиком представляет количество значений, которым оно соответствует. Как мы видим, любая вертикальная линия пересечет график y = | x | −2 только один раз; следовательно, это функция. Вертикальная линия может пересекать график x = | y | +1 более одного раза; следовательно, это не функция. Как показано на рисунке, значение 3 x соответствует более чем одному значению y .

Пример 4

Для данного графика укажите домен и диапазон и определите, представляет ли он функцию:

Решение:

Из графика видно, что минимальное значение x равно -1, а максимальное значение x равно 5.Следовательно, область состоит из всех действительных чисел из набора [−1,5]. Максимальное значение y равно 3, а минимальное –3; следовательно, диапазон состоит из y -значений в интервале [−3,3].

Кроме того, поскольку мы можем найти вертикальную линию, пересекающую график более одного раза, мы заключаем, что график не является функцией. В домене много значений x , которые соответствуют двум значениям y .

Ответ: Домен: [−1,5]; диапазон: [−3,3]; функция: нет

Попробуй! Учитывая график, определите домен и диапазон и укажите, является ли это функцией:

Ответ: Домен: (−∞, 15]; диапазон: ℝ; функция: нет

Обозначение функций

Определение функции сопровождается специальными обозначениями.Если мы рассматриваем каждое значение x как вход, который производит ровно один выход, то мы можем использовать обозначение функции Обозначение f (x) = y, которое читается как « f из x равно y . ” Для данной функции y и f (x) могут использоваться как взаимозаменяемые:

f (x) = y

Обозначение f (x) читается как « f из x », и его не следует путать с умножением. Алгебра часто включает в себя функции, поэтому обозначения становятся полезными при выполнении общих задач.Здесь f — это имя функции, а f (x) обозначает значение в диапазоне, связанном со значением x в домене. Функции часто называют разными буквами; некоторые общие названия функций: f , g , h , C и R . Мы определили, что множество решений y = | x | −2 является функцией; следовательно, используя обозначение функций, мы можем написать:

y = | x | −2 ↓ f (x) = | x | −2

Важно отметить, что y и f (x) используются как взаимозаменяемые.Это обозначение используется следующим образом:

f (x) = | х | −2 ↓ ↓ f (−5) = | −5 | −2 = 5−2 = 3

Здесь компактное обозначение f (−5) = 3 указывает, что где x = −5 ( на входе ), функция дает y = 3 ( на выходе ). Другими словами, замените переменную значением, указанным в скобках.

Функции компактно определяются алгебраическим уравнением, например f (x) = | x | −2. Учитывая значения x в домене, мы можем быстро вычислить соответствующие значения в диапазоне.Как мы видели, функции также выражаются с помощью графиков. В этом случае мы интерпретируем f (−5) = 3 следующим образом:

Функциональная нотация упрощает задачу оценки. Например, используйте функцию h , определенную как h (x) = 12x − 3, чтобы оценить x -значений в наборе {−2, 0, 7}.

h (−2) = 12 (−2) −3 = −1−3 = −4 h (0) = 12 (0) −3 = 0−3 = −3h (7) = 12 (7) −3 = 72−3 = 12

Для любой функции, определенной как h (x) = y, значение x называется аргументом функции Значение или алгебраическое выражение, используемое в качестве входных данных при использовании обозначения функции.. Аргументом может быть любое алгебраическое выражение. Например:

h (4a3) = 12 (4a3) −3 = 2a3−3h (2x − 1) = 12 (2x − 1) −3 = x − 12−3 = x − 72

Пример 5

Дано g (x) = x2, найти g (−2), g (12) и g (x + h).

Решение:

Напомним, что при оценке рекомендуется начинать с замены переменных скобками, а затем подставлять соответствующие значения. Это помогает упорядочить операции при упрощении выражений.

г (−2) = (- 2) 2 = 4g (12) = (12) 2 = 14g (x + h) = (x + h) 2 = x2 + 2xh + h3

Ответ: g (−2) = 4, g (12) = 14, g (x + h) = x2 + 2xh + h3

Здесь важно отметить, что в общем случае f (x + h) ≠ f (x) + f (h). Предыдущий пример, где g (x) = x2, прекрасно это иллюстрирует.

г (x + h) ≠ g (x) + g (h) (x + h) 2 ≠ x2 + h3

Пример 6

Дано f (x) = 2x + 4, найти f (−2), f (0) и f (12a2−2).

Решение:

f (−2) = 2 (−2) + 4 = −4 + ​​4 = 0 = 0f (0) = 2 (0) + 4 = 0 + 4 = 4 = 2f (12a2−2) = 2 (12a2 −2) + 4 = a2−4 + 4 = a2 = | a |

Ответ: f (−2) = 0, f (0) = 2, f (12a2−2) = | a |

Пример 7

Дан график функции g (x), найдите g (−8), g (0) и g (8).

Решение:

Используйте график, чтобы найти соответствующие значения y , где x = −8, 0 и 8.

Ответ: g (−8) = — 2, g (0) = 0, g (8) = 2

Иногда выдается результат, и нас просят найти вход.

Пример 8

Дано f (x) = 5x + 7, найдите x , где f (x) = 27.

Решение:

В этом примере дается выход, и нас просят найти вход. Заменим f (x) на 27 и решим.

f (x) = 5x + 7 ↓ 27 = 5x + 720 = 5×4 = x

Следовательно, f (4) = 27. В качестве проверки мы можем вычислить f (4) = 5 (4) + 7 = 27.

Ответ: x = 4

Пример 9

Учитывая график g, найдите x , где g (x) = 2.

Решение:

Здесь нас просят найти значение x для конкретного значения y .Мы начинаем с 2 на оси y и затем считываем соответствующее значение x .

Мы видим, что g (x) = 2, где x = −5; другими словами, g (−5) = 2.

Ответ: x = −5

Попробуй! По графику h найдите x , где h (x) = — 4.

Ответ: x = −5 и x = 15

Основные выводы

  • Отношение — это любой набор упорядоченных пар.Однако в этом курсе мы будем работать с наборами упорядоченных пар ( x , y ) в прямоугольной системе координат. Набор значений x определяет домен, а набор значений y определяет диапазон.
  • Особые отношения, в которых каждое значение x (вход) соответствует ровно одному значению y (выход), называются функциями.
  • Мы можем легко определить, представляет ли уравнение функцию, выполнив проверку вертикальной линии на его графике.Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, то график не представляет функцию.
  • Если алгебраическое уравнение определяет функцию, то мы можем использовать обозначение f (x) = y. Обозначение f (x) читается как « f из x », и его не следует путать с умножением. При работе с функциями важно помнить, что y и f (x) взаимозаменяемы.
  • Если вас попросят найти f (a), мы подставляем аргумент a in вместо переменной, а затем упрощаем.Аргумент может быть алгебраическим выражением.
  • Если вас попросят найти x, где f (x) = a, мы устанавливаем функцию равной a, а затем решаем относительно x.

Тематические упражнения

    Часть A: Взаимосвязи и функции

      Определите домен и диапазон и укажите, является ли отношение функцией или нет.

    1. {(3, 1), (5, 2), (7, 3), (9, 4), (12, 4)}

    2. {(2, 0), (4, 3), (6, 6), (8, 6), (10, 9)}

    3. {(7, 5), (8, 6), (10, 7), (10, 8), (15, 9)}

    4. {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1)}

    5. {(5, 0), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (5, 8)}

    6. {(−3, 1), (−2, 2), (−1, 3), (0, 4), (0, 5)}

    Часть B: Обозначение функций

      Оценить.

    1. г (x) = | x − 5 | найти g (−5), g (0) и g (5).

    2. г (х) = | х | −5; найти g (−5), g (0) и g (5).

    3. г (х) = | 2х − 3 |; найти g (−1), g (0) и g (32).

    4. г (х) = 3− | 2x |; найти g (−3), g (0) и g (3).

    5. f (x) = 2x − 3; найти f (−2), f (0) и f (x − 3).

    6. f (x) = 5x − 1; найти f (−2), f (0) и f (x + 1).

    7. г (х) = 23х + 1; найти g (−3), g (0) и f (9x + 6).

    8. г (x) = — 34x − 12; найти g (−4), g (0) и g (6x − 2).

    9. г (х) = х2; найти g (−5), g (3) и g (x − 5).

    10. г (х) = х2 + 1; найти g (−1), g (6) и g (2x − 1).

    11. f (x) = x2 − x − 2; найти f (0), f (2) и f (x + 2).

    12. f (x) = — 2×2 + x − 4; найти f (−2), f (12) и f (x − 3).

    13. ч (т) = — 16т2 + 32; найти h (14), h (12) и h (2a − 1).

    14. ч (т) = — 16т2 + 32; найти h (0), h (2), h (2a + 1).

    15. f (x) = x + 1−2 найти f (−1), f (0), f (x − 1).

    16. f (x) = x − 3 + 1; найти f (12), f (3), f (x + 3).

    17. г (х) = х + 8; найти g (0), g (−8) и g (x − 8).

    18. г (x) = 3x − 1; найти g (13), g (53) и g (13a2 + 13).

    19. f (x) = x3 + 1; найти f (−1), f (0), f (a2).

    20. f (x) = x3−8; найти f (2), f (0), f (a3).

      По заданной функции найти f (x + h).

      Найдите x по заданной функции.

    1. f (x) = 2x − 3; найти x , где f (x) = 25.

    2. f (x) = 7−3x; найти x , где f (x) = — 27.

    3. f (x) = 2x + 5; найти x , где f (x) = 0

    4. f (x) = — 2x + 1; найти x , где f (x) = 0

    5. г (х) = 6х + 2; найдите x , где g (x) = 5.

    6. г (х) = 4х + 5; найти x , где g (x) = 2.

    7. h (x) = 23x − 12; найдите x , где h (x) = 16.

    8. h (x) = 54x + 13; найдите x , где h (x) = 12.

    9. Стоимость нового автомобиля в долларах определяется функцией V (t) = — 1,800 т + 22,000, где т. — это возраст автомобиля в годах. Воспользуйтесь функцией, чтобы определить стоимость автомобиля, когда ему исполнилось 4 года. Сколько стоила новая машина?

    10. Ежемесячный доход продавца автомобилей в долларах определяется функцией I (n) = 350n + 1,450, где n представляет количество автомобилей, проданных за месяц.Используйте функцию, чтобы определить доход продавца, если он продаст 3 машины в этом месяце. Каков его доход, если он не продаст машины в течение одного месяца?

      По графику функции f найдите значения функции.

    1. Найдите f (0), f (2) и f (4).

    2. Найдите f (−1), f (0) и f (1).

    3. Найдите f (0), f (2) и f (4).

    4. Найдите f (−3), f (0) и f (3).

    5. Найдите f (−4), f (0) и f (2).

    6. Найдите f (−6), f (0) и f (6).

    7. Найдите f (−2), f (2) и f (7).

    8. Найдите f (0), f (5) и f (9).

    9. Найдите f (−8), f (0) и f (8).

    10. Найдите f (−12), f (0) и f (12).

      По графику функции g найдите x- значений.

    1. Найдите x , где g (x) = 3, g (x) = 0 и g (x) = — 2.

    2. Найдите x , где g (x) = 0, g (x) = 1 и g (x) = 4.

    3. Найдите x , где g (x) = — 5, g (x) = 0 и g (x) = 10.

    4. Найдите x , где g (x) = 0, g (x) = 10 и g (x) = 15.

    5. Найдите x , где g (x) = — 5, g (x) = — 4 и g (x) = 4.

    6. Найдите x , где g (x) = 1, g (x) = 0 и g (x) = — 3.

    7. Найдите x , где g (x) = — 4, g (x) = 3 и g (x) = 4.

    8. Найдите x , где g (x) = — 5, g (x) = — 4 и g (x) = 4.

    9. Найдите x , где g (x) = — 10 и g (x) = 5.

    10. Найдите x , где g (x) = 2.

      Стоимость определенного автомобиля в долларах зависит от количества лет, прошедших с момента его покупки в 1970 году, согласно следующей функции:

    1. Какова была стоимость автомобиля, когда он был новым в 1970 году?

    2. В каком году стоимость автомобиля была минимальной?

    3. Сколько стоила машина в 2005 году?

    4. В какие годы автомобиль оценивался в 4000 долларов?

      Учитывая линейную функцию, определяемую формулой f (x) = 2x − 5, , упростите следующее.

    1. f (x + h) −f (x)

    2. f (x + h) −f (x) h

    3. Упростим c (x + h) −c (x) h, учитывая c (x) = 3x + 1.

    4. Упростим p (x + h) −p (x) h, задав p (x) = 7x − 3.

    5. Упростим g (x + h) −g (x) h, задав g (x) = mx + b.

    6. Упростим q (x + h) −q (x) h, если q (x) = ax.

    Часть C: Обсуждение

    1. Кому приписывают введение обозначения y = f (x)? Кратко опишите его жизнь и достижения.

    2. Объясните начинающему студенту-алгебру, что такое тест по вертикальной линии и почему он работает.

    3. Исследуйте и обсудите жизнь и вклад Рене Декарта.

    4. Выполните поиск в Интернете по тесту вертикальной линии, функциям и оценочным функциям. Поделитесь ссылкой на страницу, которая, по вашему мнению, может оказаться полезной для других.

ответы

  1. Домен: {3, 5, 7, 9, 12}; диапазон: {1, 2, 3, 4}; функция: есть

  2. Домен: {7, 8, 10, 15}; диапазон: {5, 6, 7, 8, 9}; функция: нет

  3. Домен: {5}; диапазон: {0, 2, 4, 6, 8}; функция: нет

  4. Домен: {−4, −1, 0, 2, 3}; диапазон: {1, 2, 3}; функция: есть

  5. Домен: {−1, 0, 1, 2}; диапазон: {0, 1, 2, 3, 4}; функция: нет

  6. Домен: {−2}; диапазон: {−4, −2, 0, 2, 4}; функция: нет

  7. Домен: ℝ; диапазон: [−2, ∞); функция: есть

  8. Домен: (−∞, −1]; диапазон: ℝ; функция: нет

  9. Домен: (−∞, 0]; диапазон: [−1, ∞); функция: есть

  10. Домен: ℝ; диапазон: (−∞, 3]; функция: да

  11. Домен: ℝ; диапазон: ℝ; функция: есть

  12. Домен: [−5, −1]; диапазон: [−2,2]; функция: нет

  13. Домен: ℝ; диапазон: [0, ∞]; функция: есть

  14. Домен: ℝ; диапазон: ℝ; функция: есть

  15. Домен: ℝ; диапазон: [-1,1]; функция: есть

  16. Домен: [−8,8]; диапазон: [−3,3]; функция: нет

  17. Домен: ℝ; диапазон: [−8, ∞]; функция: есть

  1. г (−5) = 10, г (0) = 5, г (5) = 0

  2. г (-1) = 5, г (0) = 3, г (32) = 0

  3. f (−2) = — 7, f (0) = — 3, f (x − 3) = 2x − 9

  4. г (−3) = — 1, г (0) = 1, г (9x + 6) = 6x + 5

  5. г (−5) = 25, g (3) = 3, g (x − 5) = x2−10x + 25

  6. f (0) = — 2, f (2) = 0, f (x + 2) = x2 + 3x

  7. h (14) = 31, h (12) = 28, h (2a − 1) = — 64a2 + 64a + 16

  8. f (−1) = — 2, f (0) = — 1, f (x − 1) = x − 2

  9. g (0) = 22, g (−8) = 0, g (a2−8) = | a |

  10. f (-1) = 0, f (0) = 1, f (a2) = a6 + 1

  11. f (x + h) = x2 + 2xh + h3 + x + h + 1.

  12. f (x + h) = x3 + 3hx2 + 3h3x + h4

  13. х = 14

  14. х = -52

  15. х = 12

  16. х = 1

  17. Новый: 22 000 долларов; 4 года: 14 800 долларов США

  18. f (−4) = 3, f (0) = 3, f (2) = 3

  19. f (−2) = 1, f (2) = 3, f (7) = 4

  20. f (−8) = 10, f (0) = 0, f (8) = 10

  21. г (−4) = 3, g (2) = 0 и g (6) = — 2.

  22. г (10) = — 5, г (5) = 0 и г (15) = 0, г (-5) = 10 и г (25) = 10

  23. г (−2) = — 5, g (−3) = — 4 и g (−1) = — 4, g (−5) = 4 и g (1) = 4

  24. г (−2) = — 4, г (−1) = 3, г (0) = 4

  25. г (−10) = — 10 и г (5) = — 10; g (−5) = 5 и g (10) = 5

функций и их графиков

Функции: \ (f \), \ (g \), \ (y \), \ (u \)
Аргумент (независимая переменная): \ (x \)
Набор натуральных чисел: \ (\ mathbb {N} \)
Набор действительных чисел: \ (\ mathbb {R} \)
Основание натурального логарифма: \ (e \)

Натуральные числа: \ (n \)
Целые числа: \ (k \)
Действительные числа: \ (a \), \ (b \), \ (c \), \ (d \)
Угол: \ (\ alpha \)
Период функции: \ (T \)

  1. Понятие функции — одно из важнейших в математике.Это определяется следующим образом. Пусть даны два множества \ (X \) и \ (Y \). Если для каждого элемента \ (x \) в множестве \ (X \) есть ровно один элемент (изображение) \ (y = f \ left (x \ right) \) в множестве \ (Y \), то говорят, что функция \ (f \) определена на множестве \ (X \). Элемент \ (x \) называется независимой переменной, и, соответственно, выход \ (y \) функции называется зависимой переменной. Если мы рассмотрим наборы чисел \ (X \ subset \ mathbb {R} \), \ (Y \ subset \ mathbb {R} \) (где \ (\ mathbb {R} \) — множество действительных чисел), тогда функция \ (y = f \ left (x \ right) \) может быть представлена ​​в виде графика в декартовой системе координат \ (Oxy \).
  2. Четная функция
    \ (f \ left ({- x} \ right) = f \ left (x \ right) \)
  3. Нечетная функция
    \ (f \ left ({- x} \ right) = -f \ left (x \ right) \)
  4. Периодическая функция
    \ (f \ left ({x + kT} \ right) = f \ left (x \ right), \)
    где \ (k \) — целое число, \ (T \) — период функция.
  5. Обратная функция
    Дана функция \ (y = f \ left (x \ right) \). Чтобы найти обратную ему функцию, необходимо решить уравнение \ (y = f \ left (x \ right) \) для \ (x \), а затем поменять местами переменные \ (x \) и \ (y \) .{- 1}} \ left (x \ right) \). Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой \ (y = x \).
  6. Составная функция
    Предположим, что функция \ (y = f \ left (u \ right) \) зависит от промежуточной переменной \ (u \), которая, в свою очередь, является функцией независимой переменной \ (x \): \ (и = г \ влево (х \ вправо) \). В этом случае связь между \ (y \) и \ (x \) представляет собой «функцию функции» или составную функцию, которую можно записать как \ (y = f \ left ({g \ left (x \верно-верно)\).Двухслойные составные функции можно легко обобщить на произвольное количество «слоев».
  7. Линейная функция
    \ (y = ax + b, \) \ (x \ in \ mathbb {R} \).
    Здесь число \ (a \) называется наклоном прямой. Он равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси \ (x \): \ (a = \ tan \ alpha \). {- x}}}}} {2} \ normalsize}, \) \ (х \ в \ mathbb {R}.{- x}}}} \ normalsize}, \) \ (x \ in \ mathbb {R}, \) \ (x \ ne 0. \)
  8. Функция обратного гиперболического синуса
    \ (y = {\ mathop {\ rm arcsinh} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ mathbb {R}. \)
  9. Функция обратного гиперболического косинуса
    \ (y = {\ mathop {\ rm arccosh} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ left [{1, \ infty} \ right). \)
  10. Функция обратной гиперболической касательной
    \ (y = {\ mathop {\ rm arctanh} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ left ({-1,1} \ right). \)
  11. Обратная гиперболическая функция котангенса
    \ (y = {\ mathop {\ rm arccoth} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ left ({- \ infty, — 1} \ right) \ cup \ left ({1, \ infty} \ right).\)
  12. Обратная гиперболическая секущая функция
    \ (y = {\ mathop {\ rm arcsech} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ left ({0,1} \ right]. \)
  13. Обратная гиперболическая функция косеканса
    \ (y = {\ mathop {\ rm arccsch} \ nolimits} \, x, \) \ (x \ in \ mathbb {R}, \; x \ ne 0. \)

4. График функции

График функции — это набор всех точек, координаты которых ( x , y ) удовлетворяют функции `y
= f (x) `. Это означает, что для каждого значения x существует соответствующее значение y , которое получается, когда мы подставляем в выражение для `f (x)`.

Поскольку количество точек на графике функции не ограничено, сначала мы будем следовать этой процедуре:

  1. Выберите несколько значений x (не менее 5)
  2. Получить соответствующие значения функции и занести их в таблицу
  3. Постройте эти точки, соединив их плавной кривой

Тем не менее, вам предлагается изучить общие формы некоторых общих кривых (например, прямую линию,
парабола, тригонометрические и экспоненциальные кривые, с которыми вы встретитесь в следующих главах).Это намного проще, чем рисовать точки, и это пригодится нам позже!

Пример 1

Мужчина ростом «2 м» бросает мяч прямо вверх, и его высота в момент времени t с ) определяется как
ч = 2 + 9 т — 4,9 т 2 м.

Постройте график функции.

Ответ

Начнем с t = 0, поскольку отрицательные значения времени имеют
практического смысла здесь нет.

Выбираем значения `0.С интервалом 5` (если бы мы использовали интервалы `t = 1 \» s «`, мы не увидели бы достаточно деталей на графике).

т 0 0,5 1 1,5 2
ч 2 5,3 6,1 4,5 0,4

График снаряда (парабола).

Эта форма называется параболой и является общепринятой.
в приложениях математики.

ПРИМЕЧАНИЕ:

(1) На этом графике высота от времени. Мяч пошел прямо вверх, а не вперед. (На нашем графике может создаться впечатление, что мяч двигался в направлении x , а также вверх, но это было не так.)

(2) В этом примере мы могли бы написать функцию с h ( t ), а не просто h . Следующие два уравнения означают одно и то же.

ч = 2 +
9 т
4.9 т 2

ч ( т ) = 2 +
9 т
4,9 т 2

Пример 2

Скорость (в «м / с») мяча в Примере 1 во время
т (через с ) дается
по

v = 9 — 9,8 t

Нарисуйте график v t . Что это
скорость при ударе мяча о землю?

Ответ

Это прямая линия, так как она имеет форму

y = м x + c

Подробнее на Straight Line.

Поскольку мы определили, что это прямая линия, нам нужно только построить
2 очка и присоединяйтесь к ним. Но мы находим 3 точки, просто чтобы убедиться, что у нас правильная линия.

График зависимости `v` от` t` — прямой.

Наш график начинается с `t = 0` (поскольку отрицательные значения времени не имеют значения в этом примере).

В течение первых 0,918 «с» «мяч идет вверх (положительная скорость, то есть синяя линия находится выше оси t ), но замедляется.

После этого мяч приближается к земле и становится быстрее (участок, где синяя линия находится ниже оси t ).

Мяч падает на землю примерно за t = 2,04 с (мы можем
см. это из примера 1). Скорость , когда
мяч падает на землю с графика, который мы только что нарисовали, имеет значение `-11 \
«м / с» `. График останавливается на этом месте.

На нашем графике предполагается, что мяч приземляется в песок и не отскакивает.

Обычно, как мы сделали здесь, мы берем скорость до
направление быть положительным.

Пример 3

Постройте график функции y = x x 2 .

Ответ

(a) Определите значения y — для типичного набора значений x и запишите их в таблицу.

x -2 -1 0 1 2 3
y −6 -2 0 0 -2 −6

(b) Так как y = 0 как для x = 0, так и для x =
1`, проверьте, что происходит между ними.2`, парабола.

Обратите внимание, что кривая продолжается за пределы того, что показано на графике. Это просто общий вопрос, и практических ограничений для значений x или y нет.

Пример 4

Построить график функции `y = 1 + 1 / x`

Ответ

(a) Примечание: y не определено для x = 0 из-за
деление на `0`

Следовательно, `x = 0` не находится в области

(б) Составьте таблицу значений:

x `-4` `-3` `-2` `-1` `1` `2` `3` `4`
л `3/4` `2/3` `1/2` `0` `2` `3/2` `4/3` `5/4`

(c) Мы знаем, что что-то странное произойдет рядом с x = 0 (поскольку граф там не определен).Итак, мы проверяем, что происходит в некоторых типичных точках между `x = -1` и` x =
1`:

, когда `x = −0,5,` y = 1 + 1 / (- 0,5) = 1-2 = −1`

, когда `x = 0,5, \ y = 1 + 1 / (0,5) = 1 + 2 = 3`

(d) По мере приближения значения x к «0» точки становятся ближе к
y — ось, правда ее не трогают. Ось y
называется асимптотой кривой.

(Чтобы убедиться в этом, нанесите на график точки, где `x = 0.4, x = 0,3, x = 0,2, x = 0,1 и даже x = 0,01.)

График `y = 1 + 1 / x`, гипербола. Это прерывистая функция.

На этой кривой есть еще одна асимптота: y = 1, отмеченная пунктирной линией. Обратите внимание, что кривая не проходит через это значение.

Пример 5

Построить график функции `y = sqrt (x + 1)`

Ответ

(a) Примечание: y не определено для значений x минус
чем `-1`. (Попробуйте что-нибудь в своем калькуляторе, например, `x = −4`.)

(b) Мы определяем некоторые значения x и соответствующие значения y и записываем их в таблицу:

x –1 0 1 2 3 4 5
y 0 1 1,4 1,7 2 2.2`

Постройте зависимость мощности от сопротивления.

Ответ

(a) Отрицательные значения для R не имеют физического
значимость, поэтому P не отображается для отрицательных значений
из р.

(б) Составьте таблицу значений:

р 0 1 2 3 4 5
п. 0 44.2`.

Обратите внимание, что оси имеют маркировку R (сопротивление) и P (мощность).

(d) Выводы:

(i) Максимальная мощность 50 Вт достигается при сопротивлении R = 0,5 Вт

(ii) P уменьшается по мере увеличения R выше 0,5 \ «W» `

Упражнения

Построить график заданных функций

1 кв. y = x 3 x 2

Ответ

(a) Нет никаких ограничений на значения, которые x может принимать в этом примере, поскольку это общий вопрос, не имеющий практического значения.

(б) Составьте таблицу значений:

x –1 0 1 2 3
y -2 0 0 4 18

Поскольку `y = 0`, когда` x = 0` и `x = 1`, мы исследуем, что происходит между этими 2 значениями x :

Когда `x = 1/2, y = -1/8.`

Вот наш график:

График y = x 3 x 2 , куб.

2 кв. `y = sqrt (x)`

Ответ

Мы можем извлечь квадратный корень только из положительного числа, поэтому `x ≥ 0`. Квадратный корень из числа может быть только положительным, поэтому `y ≥ 0`.

Этот график представляет собой половину параболы с горизонтальной осью.

График `y = sqrt (x)`, половина параболы.

Конический резервуар для воды

3 кв. (Приложение ) Вода вытекает из резервуара в форме перевернутого конуса (т. Е. Вода течет
через заостренный конец конуса и самую широкую часть
конус находится наверху). Объем воды уменьшается с
постоянная скорость.

Нарисуйте эскизный график высоты воды в конусе.
против времени.

Ответ

Нам нужно смоделировать высоту в момент времени t на основе того, что мы знаем о конусах.(1 «/» 3) `.

AP Calculus: разница между графиком и функцией? — Magoosh Blog

Знаете ли вы, что график функции f не совпадает с самой функцией?

Может показаться, что разница есть, но иногда ее трудно сформулировать словами.

Мы говорили об определении функции. Проще говоря, это правило преобразования одного действительного числа в другое действительное число. Граф — это геометрическое представление этого правила.

График — это набор.

Если это правда, то согласно определению набора граф представляет собой неупорядоченный набор объектов. Для этого урока вам нужно немного больше узнать о наборах: декартово произведение двух наборов A и B снова является набором, обозначенным A x B и читаемым «A крест B.» Это набор всех элементов вида (а, б) с

Декартово произведение названо в честь известного французского философа Рене Декарта:

Точки на графике

Объекты на графике функции представляют собой упорядоченные по точкам пары действительных чисел в декартовом произведении набора действительных чисел на себя.Мы называем эти точки декартовыми координатами.

Мы представляем эти точки геометрически в так называемой декартовой плоскости , или просто плоскости :

Центр плоскости, точка (0, 0) называется исходной точкой , горизонтальная ось называется осью x , а вертикальная ось называется осью y. Две оси естественным образом делят плоскость на квадранта . Если точка (x, y) имеет положительные значения x, y , мы говорим, что (x, y) лежит в первом квадранте; если ( x, y) имеет x отрицательных и y положительных, то (x, y) лежит во втором квадранте и т. д.

График функции

Для функции f , область определения которой является набором действительных чисел, а область определения — набором действительных чисел, мы говорим, что график является набором всех точек в наборе формы (x, f (x) ) , где x — точка в домене f .

Следовательно, график — это набор, который является уникальным для данной функции, который геометрически представляет функцию. Мы часто можем использовать график функции, чтобы вывести свойства указанной функции.

Заключение

График функции и функция тесно связаны, но НЕ одинаковы. Поэтому, когда вы объясняете решение проблемы, убедитесь, что вы используете «функцию» и «график функции» в нужных местах, в зависимости от того, что вы действительно имеете в виду.

Гарантированно повысьте свой результат по SAT или ACT. Начните 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh SAT Prep или 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh ACT Prep уже сегодня!

Между прочим, Magoosh может помочь вам подготовиться к экзаменам SAT и ACT.Нажмите сюда, чтобы узнать больше!

О Кристофере Вирике

Помимо ведения блога об AP Calculus, житель Окленда Крис Вирик играл на гобое в Пекине и Берлине, изучал математику и когнитивные науки (другую CS) в Калифорнийском университете Беркли и не может перестать заниматься садоводством, готовить и есть новые продукты.

Функции

и тест вертикальной линии

Студент: Мне трудно решить, являются ли некоторые из более сложных графиков
функции или нет.

Наставник: Есть много способов узнать, является ли это функцией.

Студент: Что можно сделать, просто взглянув на график?

Наставник: На самом деле есть. Это называется тестом вертикальной линии.

Студент: Какое отношение имеет вертикальная линия к функциям?

Наставник: Посмотрите на один из графиков, по которому у вас есть вопрос. Затем возьмите вертикальную линию и разместите ее
на графике.Если график является функцией, то независимо от того, где на графике вы поместите
вертикальная линия, график должен пересекать вертикальную линию только один раз.

Студент: Правда? Это работает все время?

Наставник: Да, всегда. Давай попробуем.

Можете ли вы сказать мне, является ли это функцией в этом сюжете?

Студент: Да, это так. Я не могу провести вертикальную линию в любом месте этого графика, чтобы она коснулась
функционировать более одного раза.Это отлично работает, особенно если я вижу сетку.

Наставник: А как насчет обычных форм, таких как круги и квадраты?

Студент: Это не функции.

Наставник: Вы можете мне сказать, почему?

Студент: Они не пройдут тест на вертикальную линию.

Наставник: Почему они не проходят?

Ученик: Обе эти фигуры дважды проходят через вертикальную линию во многих местах! Смотри вот
только один пример:

Наставник: Да! Помните, что нажатие на вертикальную линию более одного раза будет означать, что их больше
чем одно значение y для определенных значений x.Это работает для формул, если вы не уверены,
они функции. Каждый раз, когда вы получаете более одного значения y при заполнении значения x, оно
означает, что формула не является функцией. Наличие не более одного значения y для каждого значения x означает
что существует четко определенная связь или, другими словами, функция.

Студент: Это означает, что графики, такие как x = 2, не являются функциями, а графики, такие как y = 2, являются.

Наставник: Вы правы.А теперь попробуем посложнее.

Студент: Что происходит при x = 7? Похоже, график скачет вниз?

Наставник: Верно. Он находится на плоской части при x = 7, но при x больше 7 он находится на изогнутой части.
часть. То, что окрашено в точку, говорит нам, что в 7 мы должны использовать значение y 9, точка без
затенение говорит нам, что изогнутая часть графика — это то, что нужно использовать для всего, что больше, чем x =
7, но не для самой 7.Мы называем это кусочным графом, и когда у нас есть такая ситуация, мы
нужно сказать, где находятся открытые и закрытые (закрашенные или нет) кружки.

Студент: Если вы так читаете, то это функция. Нигде на этом графике я не могу сделать
вертикальная линия касается функции более чем в одном месте. Это значительно упрощает работу и
имеет смысл.

Наставник: Можете ли вы нарисовать мне график, который не является функцией?

Студент: Конечно! Вот один из них:

Как они называются?

Наставник: Ну, каждый график, описывающий отношения между x и y, называется
отношение .Также графы, нарисованные на декартовой плоскости, называются
плоские кривые ,
2-мерные кривые или просто
кривые . Итак, функции — это все эти вещи, но, чтобы ответить на ваш вопрос, графики, которые не
функции могут вызываться любым из этих имен.

Индивидуальная функция — объяснение и примеры

Вы знаете, что изучаете функции, когда слышите «один к одному» чаще, чем когда-либо. Интересно, что делает индивидуальными функциями особенными? Эта статья поможет вам узнать об их свойствах и оценить эти функции.Давайте начнем с этого быстрого определения индивидуальных функций:

Индивидуальные функции — это функции, которые возвращают уникальный диапазон для каждого элемента в своем домене.

Поскольку индивидуальные функции — это особые типы функций, лучше всего проверить наши знания о функциях, их предметной области и их диапазоне.

Эта статья поможет нам понять свойства взаимно однозначной функции . Мы также узнаем, как определять индивидуальные функции на основе их выражений и графиков.

Давайте продолжим и начнем с определения и свойств взаимно однозначных функций.

Что такое функция «один к одному»?

Чтобы легко вспомнить, что такое взаимно однозначные функции, попробуйте вспомнить следующее утверждение: «для каждого y существует уникальный x». Следующие два раздела покажут вам, почему эта фраза помогает нам запомнить основную концепцию индивидуальных функций.

Индивидуальное определение функции

Функция f (x), является функцией один к одному, когда один уникальный элемент из ее домена будет возвращать каждый элемент своего диапазона.Это означает, что для каждого значения x будет уникальное значение y или f (x).

Почему бы нам не визуализировать это, отображая две пары значений для сравнения функций, которые не находятся в однозначном соответствии?

Давайте сначала посмотрим на g (x), g (4) и g (-4) имеют общее значение y, равное 16. Это также верно для g (-2) и g (2). Вы правильно угадали; g (x) — функция, не имеющая взаимно однозначного соответствия.

Теперь обратите внимание на f (x). Обратите внимание, как для каждого значения f (x) существует только одно уникальное значение x? Когда вы наблюдаете функции, имеющие это соответствие, мы вызываем эти функции один к одному.

График функции один к одному

Чтобы лучше понять концепцию функции один к одному, давайте изучим график функции один к одному. Помните, что для функций «один к одному» каждый x должен иметь уникальное значение y.

Поскольку каждый x будет иметь уникальное значение для y, функции один к одному никогда не будут иметь упорядоченных пар, которые имеют одну и ту же координату y.

Теперь, когда мы изучили определение взаимно однозначных функций, понимаете ли вы, почему выражение «для каждого y есть уникальный x» полезно запомнить?

Индивидуальные свойства функций

Какие еще важные свойства однозначных функций мы должны помнить? Вот некоторые свойства, которые могут помочь вам понять различные типы функций с взаимно однозначным соответствием:

  • Если две функции, f (x) и g (x), равны один к одному, то f ◦ g однозначно. функции.
  • Если функция является взаимно однозначной, ее график будет либо всегда увеличиваться, либо всегда уменьшаться.
  • Если g ◦ f взаимно однозначная функция, то f (x) также гарантированно будет взаимно однозначной функцией.

Попробуйте самостоятельно изучить две пары графиков и посмотреть, сможете ли вы подтвердить эти свойства. Конечно, прежде чем мы сможем применить эти свойства, нам будет важно узнать, как мы можем подтвердить, является ли данная функция функцией один к одному или нет.

Как определить взаимно однозначность функции?

Следующие два раздела покажут вам, как мы можем протестировать однозначное соответствие функций.Иногда нам дают выражение или график функции, поэтому мы должны научиться определять однозначные функции алгебраически и геометрически. Давайте начнем с последнего!

Однозначное геометрическое тестирование функций

Помните, что функции должны быть взаимно однозначными функциями. Каждая координата x должна иметь уникальную координату y? Мы можем проверить взаимно однозначные функции с помощью теста горизонтальной линии .

  • При задании функции рисует горизонтальные линии вместе с системой координат.
  • Проверьте, могут ли горизонтальные линии проходить через две точки.
  • Если горизонтальные линии проходят только через одну точку на графике, функция является взаимно однозначной функцией .

Что делать, если он проходит две или более точки функции? Тогда, как вы уже догадались, они не считаются однозначными функциями.

Чтобы лучше понять процесс, давайте продолжим и изучим эти два графика, показанные ниже.

Известно, что обратная функция f (x) = 1 / x является взаимно однозначной функцией.Мы также можем проверить это, проведя горизонтальные линии на его графике.

Посмотрите, как каждая горизонтальная линия каждый раз проходит через уникальную упорядоченную пару? Когда это происходит, мы можем подтвердить, что данная функция является функцией один к одному.

Что происходит, если функция не является взаимно однозначной? Например, квадратичная функция f (x) = x 2 не является взаимно однозначной функцией. Давайте посмотрим на его график, показанный ниже, чтобы увидеть, как тест горизонтальной линии применяется к таким функциям.

Как видите, каждая горизонтальная линия, проведенная через график f (x) = x 2 , проходит через две упорядоченные пары. Это еще раз подтверждает, что квадратичная функция не является взаимно однозначной функцией.

Алгебраическое тестирование индивидуальных функций

Давайте освежим нашу память о том, как мы определяем индивидуальные функции. Напомним, что функции являются взаимно однозначными функциями, когда:

  • f (x 1 ) = f (x 2 ) тогда и только тогда, когда x 1 = x 2
  • f (x 1 ) ≠ f (x 2 ) тогда и только тогда, когда x 1 ≠ x 2

Мы будем использовать это алгебраическое определение, чтобы проверить, является ли функция взаимно однозначной.Как же тогда это сделать?

  • Используйте заданную функцию и найдите выражение для f (x 1 ).
  • Примените тот же процесс и найдите выражение для f (x 2 ).
  • Приравняйте оба выражения и покажите, что x 1 = x 2 .

Почему бы нам не попробовать с помощью этого метода доказать, что f (x) = 1 / x является взаимно однозначной функцией?

Давайте сначала подставим x 1 и x 2 в выражение. У нас будет f (x 1 ) = 1 / x 1 и f (x 2 ) = 1 / x 2 .Чтобы подтвердить взаимно однозначное соответствие функции, приравняем f (x 1 ) и f (x 2 ).

1 / x 1 = 1 / x 2

Перемножьте обе части уравнения, чтобы упростить уравнение.

x 2 = x 1

x 1 = x 2

Мы только что показали, что x 1 = x 2 , когда f (x 1 ) = f ( x 2 ), следовательно, обратная функция является взаимно однозначной функцией.

Пример 1

Заполните пропуски иногда , всегда или никогда , чтобы следующие утверждения были верными.

  • Отношения могут _______________ быть взаимно однозначными функциями.
  • Индивидуальные функции — это ______________ функции.
  • Когда горизонтальная линия проходит через функцию, которая не является взаимно однозначной, она ____________ будет проходить через две упорядоченные пары.

Решение

Отвечая на подобные вопросы, всегда возвращайтесь к определениям и свойствам, которые мы только что изучили.

  • Отношения иногда могут быть функциями и, следовательно, иногда представлять функцию один к одному.
  • Поскольку взаимно однозначные функции являются функциями особого типа, они всегда будут, прежде всего, функциями.
  • В нашем примере горизонтальные линии могут проходить через график f (x) = x 2 дважды, но горизонтальные линии могут проходить через большее количество точек. Следовательно, иногда проходит через две упорядоченные пары.

Пример 2

Пусть A = {2, 4, 8, 10} и B = {w, x, y, z}. Какой из следующих наборов упорядоченных пар представляет собой функцию один к одному?

  • {(2, w), (2, x), (2, y), (2, z)}
  • {(4, w), (2, x), (10, z), ( 8, y)}
  • {(4, w), (2, x), (8, x), (10, y)}

Решение

Чтобы функция была взаимно однозначной функцией , каждый элемент из A должен объединяться с уникальным элементом из B.

  • Первый вариант имеет одно и то же значение x для каждого значения y, поэтому это не функция и, следовательно, не взаимно однозначная функция. .
  • Третий вариант имеет разные значения x для каждой упорядоченной пары, но 2 и 8 имеют один и тот же диапазон x. Следовательно, он не представляет собой функцию «один к одному».
  • Второй вариант использует уникальный элемент из A для каждого уникального элемента из B, представляя функцию «один к одному».

Это означает, что {(4, w), (2, x), (10, z), (8, y)} представляют собой взаимно однозначную функцию .

Пример 3

Какой из следующих наборов значений представляет функцию один к одному?

Решение

Всегда возвращайтесь к утверждению «для каждого y есть уникальный x.»Для каждого набора давайте проверим, сочетается ли каждый элемент справа с уникальным значением слева.

  • Для первого набора f (x) мы видим, что каждый элемент с правой стороны объединен в пару с уникальным элементом слева. Следовательно, , f (x) взаимно однозначная функция .
  • Набор g (x) показывает разное количество элементов с каждой стороны. Уже одно это скажет нам, что функция не является взаимно однозначной.
  • Некоторые значения с левой стороны соответствуют одному и тому же элементу справа, поэтому m (x) также не является взаимно однозначной функцией.
  • Каждый из элементов в первом наборе соответствует уникальному элементу в следующем, поэтому n (x) представляет собой взаимно однозначную функцию.

Пример 4

График f (x) = | x | + 1 и определить, является ли функция f (x) взаимно однозначной.

Решение

Создайте таблицу значений для f (x) и постройте сгенерированные упорядоченные пары. Соединил эти точки с графиком f (x).

Сама по себе таблица уже может дать вам представление о том, является ли f (x) взаимно однозначной функцией [ Подсказка: f (1) = 2 и f (-1) = 2 ].Но давайте продолжим и построим эти точки на плоскости xy и на графике f (x).

После того, как мы построили график f (x) = | x | +1, проведите горизонтальные линии поперек графика и посмотрите, проходит ли он через одну или несколько точек.

На графике мы видим, что построенные нами горизонтальные линии проходят через две точки каждая, поэтому функция не является взаимно однозначной функцией .

Пример 5

Определите, является ли f (x) = -2x 3 -1 функцией один к одному, используя алгебраический подход.

Решение

Напомним, что для того, чтобы функция была взаимно однозначной, f (x 1 ) = f (x 2 ) тогда и только тогда, когда x 1 = x 2 . Чтобы проверить, является ли функция f (x) взаимно однозначной, давайте сначала найдем соответствующие выражения для x 1 и x 2 .

f (x 1 ) = -2 x 1 3 — 1

f (x 2 ) = -2 x 2 3 — 1

Приравняйте оба выражения и посмотрите, он уменьшается до x 1 = x 2 .

-2 x 1 3 — 1 = -2 x 2 3 — 1

-2 x 1 3 = -2 x 2 3

(x 1 ) 3 = (x 2 ) 3

Извлечение кубического корня из обеих частей уравнения приведет нас к x 1 = x 2 . Следовательно, f (x) = -2x 3 — 1 является взаимно однозначной функцией.

Пример 6

Покажите, что f (x) = -5x 2 + 1 не является взаимно однозначной функцией.

Решение

Еще одно важное свойство взаимно однозначных функций состоит в том, что когда x 1 ≠ x 2 , f (x 1 ) не должно быть равно f (x 2 ).

Быстрый способ доказать, что f (x) не является взаимно однозначной функцией, — это подумать о контрпримере, показывающем два значения x, где они возвращают одно и то же значение для f (x).

Давайте посмотрим, что произойдет, если x 1 = -4 и x 2 = 4.

f (x 1 ) = -5 (-4) 2 + 1

= -80 + 1

= -79

f (x 2 ) = -5 (4) 2 + 1

= -80 + 1

= -79

ср. можно видеть, что даже когда x 1 не равно x 2 , он все равно возвращает то же значение для f (x).Это показывает, что функция f (x) = -5x 2 + 1 не является взаимно однозначной функцией.

Пример 7

Учитывая, что a и b не равны 0, показывают, что все линейные функции являются взаимно однозначными функциями.

Решение

Помните, что общий вид линейных функций может быть выражен как ax + b, где a и b ненулевые константы.

Мы применяем тот же процесс, подставляя x 1 и x 2 в общее выражение для линейных функций.

f (x 1 ) = ax 1 + b

f (x 2 ) = ax 2 + b

Приравняйте оба уравнения и посмотрите, можно ли их уменьшить до x 1 = х 2 . Поскольку b представляет собой константу, мы можем вычесть b из обеих частей уравнения.

ax 1 + b = ax 2 + b

ax 1 = ax 2

Разделите обе части уравнения на a, и мы получим x 1 = x 2 .Отсюда можно сделать вывод, что все линейные функции взаимно однозначны.

Практические вопросы

  1. Заполните пропуски иногда , всегда или никогда сделайте следующие утверждения верными.
  • Косинусные функции могут _______________ быть взаимно однозначными функциями.
  • Если функция f (x) взаимно однозначна, ее домен ______________ будет иметь то же количество элементов, что и диапазон.
  • Когда горизонтальная линия проходит через функцию, которая является функцией один к одному, она ____________ будет проходить через две упорядоченные пары.
  1. Пусть M = {3, 6, 9, 12} и N = {a, b, c, d}. Какой из следующих наборов упорядоченных пар представляет собой функцию один к одному?
  • {(6, a), (6, b), (6, c), (6, d)}
  • {(9, d), (12, b), (6, b), (3, c)}
  • {(6, d), (9, c), (12, b), (3, a)}
  1. Какой из следующих наборов значений представляет собой взаимно однозначную функцию ?
  2. Изобразите следующие функции и определите, являются ли они взаимно однозначными или нет.
  • f (x) = x 2 — 4
  • g (x) = -4x + 1
  • h (x) = e x
  1. Убедитесь, что следующие функции взаимно однозначны используя алгебраический подход.
  • f (x) = 2x — 1
  • g (x) = 1 / x 2
  • h (x) = | x | + 4
  1. Покажите, что g (x) = | x | — 4 не является однозначной функцией.
  2. Покажите, что все квадратичные выражения не являются взаимно однозначными функциями.

Изображения / математические рисунки создаются с помощью GeoGebra.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Графики функций

Графики функций

График функции состоит из всех точек с координатами (a, b) ,
где b — значение ответа (или зависимого)
переменная, соответствующая значению a из пояснительной
(или независимая) переменная.Во многих случаях значения независимой переменной
может принимать бесконечно много значений в заданном интервале, поэтому график будет
непрерывные, а не изолированные точки.

На графике функции, поскольку каждое значение независимой переменной
в паре с одной из переменных ответа, вертикальная линия, проведенная в любом месте
на графике будет пересекаться график не более чем в одной точке. Итак, вертикальный
линейный тест
помогает определить, представляет ли график функцию.

Функция — , увеличивающая , если значения переменной ответа
увеличиваются, когда соответствующие значения объясняющей переменной увеличиваются.

Функция: убывает , если значения переменной ответа
уменьшаются при увеличении соответствующих значений объясняющей переменной.

Укажите, где на графике функция увеличивается, а где
он уменьшается.

Наибольшее и наименьшее значения переменной ответа — наибольшее и наименьшее.
самые низкие точки на графике функции, и они называются (абсолютными)
максимум
и (абсолютный) минимум соответственно.

Укажите на приведенном выше графике функции (абсолютный) максимум и (абсолютный)
минимальный.

«Точки поворота» графика, где функция изменяется от
от увеличения к убыванию или наоборот. Функция
имеет относительный максимум , когда он изменяется от увеличения к уменьшению,
и относительный минимум , когда он изменяется от уменьшения к увеличению.
Обратите внимание, что правая конечная точка приведенного выше графика будет (абсолютным) минимумом
функции, но не относительный минимум, так как функция не меняется
от уменьшения к увеличению.

Укажите на приведенном выше графике функции все относительные максимумы и относительные
минимальный балл.

Средняя скорость изменения y на единицу изменения x равна

Если функция возрастающая, то
и оба положительны (когда
), поэтому скорость изменения положительная. В этом случае более крутой график будет
означает, что скорость изменения функции больше.

Если функция убывает, то
отрицательно, а положительно (когда
), поэтому скорость изменения равна
отрицательный.

Изогнутость графика, вверх или вниз, указывает, является ли скорость
изменения
функции
увеличивается или уменьшается. Когда кривая
«загнут вверх» функция вогнута вверх , а
когда он изогнут вниз, он вогнут вниз .

(а)

(б)

(в)

(г)

Для каждого из четырех приведенных выше графиков укажите, увеличивается ли функция.
или уменьшается, и является ли оно вогнутым вверх или вниз.

Следует помнить, что там
нужно задать два РАЗНЫХ вопроса:
1. Функция увеличивается или уменьшается?
2. Имеется функция вогнутого вверх или вогнутого вниз?

На эти два вопроса отвечают различные аспекты скорости изменения функции.

Пример 1:

В указанном интервале:
функция выше — это с уменьшением , что означает
что средняя скорость изменения функции составляет отрицательное значение на этом сегменте
функция выше — это вогнутый вниз , что означает
что средняя скорость изменения функции составляет с уменьшением на этом сегменте


Пример 2:

В указанном интервале:
функция выше — это с увеличением , что означает
что средняя скорость изменения функции равна положительному значению на этом сегменте
функция выше — это вогнутый вверх , что означает
что средняя скорость изменения функции составляет , увеличиваясь на этом сегменте

Пример 3:

В указанном интервале:
функция выше — это с увеличением , что означает
что средняя скорость изменения функции равна положительному значению на этом сегменте
функция выше — это вогнутый вниз , что означает
что средняя скорость изменения функции составляет с уменьшением на этом сегменте

Пример 4:

В указанном интервале:
функция выше — это с уменьшением , что означает
что средняя скорость изменения функции составляет отрицательное значение на этом сегменте
функция выше — это вогнутый вверх , что означает
что средняя скорость изменения функции составляет , увеличиваясь на этом сегменте

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *