Что говорил гаусс об арифметике: Что говорил об арифметике великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс

Содержание

Математика — царица наук, а теория чисел — царица математики.
Карл Фридрих Гаусс 30 апреля исполнилось 236 (2*3=6) лет со дня рождения великого математика Карла Фридриха Гаусса.
асоциальная сеть

Математика — царица наук, а теория чисел — царица математики.
Карл Фридрих Гаусс

30 апреля исполнилось 236 (2*3=6) лет со дня рождения великого математика Карла Фридриха Гаусса.

Википедия
Иоганн Карл Фридрих Гаусс (нем. Johann Carl Friedrich Gauß; 30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855, Гёттинген) — немецкий математик, механик, физик и астроном. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Лауреат медали Копли (1838), иностранный член Шведской (1821) и Российской (1824) Академий наук, английского Королевского общества.

Биография
Всю биографию сюда копировать не буду. Она длинна и разделена на три периода. Ограничусь только хрестоматийной историей про вычисление суммы арифметической прогрессии.
Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 50*101=5050.
До самой старости он привык большую часть вычислений производить в уме.
Ну и еще одна выдержка:
1839 год: 62-летний Гаусс овладевает русским языком и в письмах в Петербургскую Академию просил прислать ему русские журналы и книги, в частности «Капитанскую дочку» Пушкина. Предполагают, что это связано с интересом Гаусса к работам Лобачевского, который в 1842 году по рекомендации Гаусса был избран иностранным членом-корреспондентом Гёттингенского королевского общества.


Не знаю, кому как, но мне до сего момента казалось, что Пушкин и Гаусс находятся в каких-то параллельных Вселенных… Точнее, я никогда не думала одновременно об обоих… Однако, вот…
Всем рекомендую почитать биографию полностью. Такая насыщенная жизнь, что иному человеку и нескольких веков оказалось бы мало, чтобы всё это совершить.


Научная деятельность
читать дальшеС именем Гаусса связаны фундаментальные исследования почти во всех основных областях математики: в алгебре, теории чисел, дифференциальной и неевклидовой геометрии, математическом анализе, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей, а также в аналитической и небесной механике, астрономии, физике и геодезии. «В каждой области глубина проникновения в материал, смелость мысли и значительность результата были поражающими. Гаусса называли „королём математиков“» (лат. Princeps mathematicorum).
Гаусс чрезвычайно строго относился к своим печатным трудам и никогда не публиковал даже выдающиеся результаты, если считал свою работу над этой темой незавершённой. На его личной печати было изображено дерево с несколькими плодами, под девизом: «Pauca sed matura» (немного, но спелые). Изучение архива Гаусса показало, что он медлил с публикацией ряда своих открытий, и в результате его опередили другие математики. Вот неполный перечень упущенных им приоритетов.

  • Неевклидова геометрия, где его опередили Лобачевский и Бойяи.
  • Эллиптические функции, где он также далеко продвинулся, но не успел ничего напечатать, а после работ Якоби и Абеля надобность в публикации отпала.
  • Содержательный набросок теории кватернионов, 20 лет спустя независимо открытых Гамильтоном.
  • Метод наименьших квадратов, переоткрытый позднее Лежандром.
  • Закон распределения простых чисел, с которым его также опередила публикация Лежандра.

Несколько студентов, учеников Гаусса, стали выдающимися математиками, например: Риман, Дедекинд, Бессель, Мёбиус.

О достижениях Гаусса в алгебре, геометрии, математическом анализе, аналитической механике и астрономии я тоже писать не буду. В Википедии каждой области посвящен отдельный раздел. Процитирую только чуть-чуть из «геометрии».

<…> Сохранилось письмо Гаусса к Лобачевскому, в котором ясно выражено его чувство солидарности, а в личных письмах, опубликованных после его смерти, Гаусс восхищается работами Лобачевского. В 1817 году он писал астроному В. Ольберсу:

Я прихожу всё более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка. Может быть, в другой жизни мы придем к взглядам на природу пространства, которые нам теперь недоступны. До сих пор геометрию приходится ставить не в один ранг с арифметикой, существующей чисто a priori, а скорее с механикой.

Здорово, правда?


С именем Гаусса связано множество теорем и научных терминов в математике, астрономии и физике.
читать дальше

  • Алгоритм Гаусса вычисления даты Пасхи
  • Дискриминанты Гаусса
  • Гауссова кривизна
  • Гауссовы целые числа
  • Интерполяционная формула Гаусса
  • Лента Гаусса
  • Метод Гаусса (решения систем линейных уравнений)
  • Метод Гаусса — Жордана
  • Метод Гаусса — Зейделя
  • Нормальное или Гауссово распределение
  • Прямая Гаусса
  • Пушка Гаусса
  • Ряд Гаусса
  • Теорема Гаусса — Ванцеля
  • Фильтр Гаусса
  • Формула Гаусса — Бонне

На некоторых пунктах этого списка я остановлюсь. Их очень много, и поэтому всё достаточно бегло.
К некоторым пунктам будут только иллюстрации. С них мы и начнем.
читать дальше
1. Пушка Гаусса
Пушка Гаусса (англ. Gauss gun, Coil gun, Gauss cannon) — одна из разновидностей электромагнитного ускорителя масс. Названа по имени немецкого учёного Карла Гаусса, заложившего основы математической теории электромагнетизма.

2. Кривизна Гаусса
Гауссова кривизна — мера искривления поверхности в окрестности какой-либо её точки.

3. Прямая Гаусса
Если никакие стороны четырёхугольника не параллельны, то середина отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей. Эта прямая называется прямой Гаусса.

4. Гауссовы целые числа
Гауссовы целые числа (гауссовы числа, целые комплексные числа) — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа. Введены Гауссом в 1825 году.
Смотрите, какая красота:

Это распределение гауссовых простых чисел на комплексной плоскости (простые числа выделены красным цветом)

5. Гаусс (единица измерения)
Гаусс (русское обозначение Гс, международное — G) — единица измерения магнитной индукции в системе СГС.
Названа в честь немецкого физика и математика Карла Фридриха Гаусса.
1 Гс = 100 мкТл;
1 Тл = 104 Гс.

И, наконец,
6. Нормальное распределение или распределение Гаусса
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности распределения:

где параметр μ — математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр σ — стандартное отклонение (σ² — дисперсия) распределения.
Плотность вероятности:

Зеленая линия соответствует стандартному нормальному распределению

Функция распределения

Цвета на этом графике соответствуют графику наверху


И напоследок вставлю одну из трех марок, представленных в Википедии с увековеченной памятью Гаусса. Уж очень она замечательная (с)

И другие марки, но тоже марки.


Видеоролик о Гауссе
На этом я, пожалуй, закруглюсь (с положительной кривизной). Хочу вслед за Гауссом пожелать, чтобы всё у вас было нормально!

КОРОЛЬ МАТЕМАТИКОВ. Часть 1 — статьи об истории

К 240–ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ К.Ф.ГАУССА

„Не считать ничего сделанным,

если ещё кое-что осталось сделать”.

К.Ф.Гаусс

Карл Фридрих Гаусс родился в Брауншвейге 30 апреля 1777 года. Он был единственным сыном Гебхарда Гаусса и Доротеи Бенце (у его отца от предыдущего брака был ещё один сын).

Его дед был крестьянином. Отец Карла сначала работал слесарем, а потом стал садовником, совмещая это занятие с обязанностями счетовода в торговой конторе некоего купца. Мать Карла была дочерью каменщика; от природы она была женщиной умной, рассудительной, доброй и веселой. Карл был её единственным ребёнком, и она бесконечно и искренне любила его. Сын отвечал ей такой же горячей любовью. От матери он унаследовал рассудительность и мягкую натуру.

По словам биографов, Карл унаследовал от родных отца крепкое здоровье, а от родных матери яркий интеллект.

Однажды весной разлив резко поднял воду в канале, и игравший на его берегу Гаусс был смыт водой. Лишь благодаря счастливой случайности он не утонул.

Если составлять тройку великих математиков всех времён и народов, то это будут Архимед, Ньютон и Гаусс, которого называли «королём математиков».

Во всей истории математики нет никого, кого можно было бы сравнить с ним по ранней одарённости. Рассказывают такой случай. Однажды к отцу Карла собрались сослуживцы, чтобы распределить заработанные за неделю деньги. Здесь же был и трёхлетний Карл. Когда отец закончил расчеты, которые он проводил вслух, чтобы все слышали их, и объявил последствия, Карл воскликнул: «Папа, ты ошибся!» Присутствующие были поражены заявлением маленького ребёнка, но отец подсчитал всё сначала. Когда он назвал новую цифру (а раньше он действительно совершил ошибку), Карл воскликнул: «Теперь правильно!»

Позже он сам в шутку говорил: «Я научился считать раньше, чем разговаривать». Необыкновенные способности вычислять в уме были присущи ему всю жизнь. О десятилетнем Гауссе его школьный учитель говорил: «Он превзошёл меня, я ничему больше не могу его научить».

В 1784 г. Карла отдали в народную школу. Первые два года учебы он ничем не отличался среди товарищей, его исключительные способности к арифметике проявились в третьем классе. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: .

Истории о юных годах Гаусса рассказаны им самим уже в зрелом возрасте, поэтому есть основания полагать, что он был склонен несколько преувеличивать своё раннее развитие.

Молодой помощник учителя Мартин Бартельс обратил внимание герцога Брауншвейгского на одарённого мальчика и тот материально помог Гауссу. В 1791 году Карла в качестве одарённого молодого горожанина представили государю — герцогу Брауншвейгскому — и он стал бывать во дворе и развлекать придворных искусством счёта. Видимо, юноша произвёл впечатление на герцога: тот для начала пожаловал Гауссу стипендию в 10 талеров в год.

Судьба распорядилась так, что Бартельс в начале 19-го века приехал в Казань, и его учеником в Казанском университете был Н.И.Лобачевский.

Отец Гаусса был прямым, честным, грубоватым человеком. Резкость в общении с сыновьями у него иногда граничила с жестокостью. Карл был послушным и почтительным ребёнком. Он никогда не порицал отца, но никогда не питал к нему привязанности. Счастливая случайность спасла Гаусса от удела садовника или каменщика.

Карл был гордостью матери с его рождения (она родила его в 35 лет) до её смерти в 97 лет. Мать не разделяла намерения упрямого мужа оставить сына таким же невежественным, как он сам. Последние 22 года своей жизни мать провела в доме Карла. Гаусса мало беспокоила его слава, его успехами жила мать.

Гаусс был очень увлечён филологией, самостоятельно изучил классические языки, но влечение к математике победило.

Ещё в Collegium Carolinum, куда он поступил в 1792г., Гаусс начал те исследования по высшей арифметике, которые обессмертили его имя. Благодаря своим необыкновенным вычислительным способностям Гаусс переоткрыл «жемчужину арифметики» — «золотую теорему», к которой Л.Эйлер также пришёл индуктивно и которая известна как закон взаимности квадратичных вычетов. Гаусс первым доказал эту теорему, ему было тогда только 19 лет. Произошло это более 200 лет тому назад.

В 1795-1798г.г. он учился в Гёттингенском университете, находящемся в государстве Ганновер, которым тогда управлял король Англии Георг ΙΙΙ, получая стипендию герцога Брауншвейгского. В качестве основания для переезда в Гёттинген Гаусс называл хорошую университетскую библиотеку.

О своих исследованиях построения правильного n-угольника, вписанного в круг, Гаусс сделал сообщение в печати: «Каждому, кто начинал изучать геометрию, известно, что возможно геометрическое построение различных правильных многоугольников, а именно треугольника, пятиугольника, пятнадцати угольника, а также таких, которые получаются из них путём удвоения числа сторон. Всё это было известно еще во времена Евклида; насколько я знаю, расширить этот перечень с тех пор не удавалось. Тем более заслуживает внимания сообщение, что возможно построение и других правильных многоугольников, например, семнадцатиугольника. Это открытие является частью ещё не законченной обширной теории, которая после её завершения будет опубликована.

К. Ф. Гаусс, студент-математик в Гёттингене».

Далее следовало примечание:

«Заслуживает внимания, что г-ну Гауссу всего 18 лет и что он занимается философией и классическим языкознанием с таким же успехом, как и математикой.

Э. А. В. Циммерман, профессор».

Это было признанием. Гаусс стал гордостью университета,- профессора и студенты превозносили его способности и успехи.

В 1796 году Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного семнадцатиугольника. Более того, он разрешил проблему построения правильных многоугольников до конца и нашёл критерий возможности построения правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки: если n — простое число, то оно должно быть вида (числом Ферма).

«Математический век» Карла Гаусса — менее десяти лет. С 1796 года Гаусс ведёт краткий дневник своих открытий. Многое он, подобно Ньютону, не публиковал, хотя это были результаты исключительной важности (эллиптические функции, неевклидова геометрия и др.). Своим друзьям он пояснял, что публикует только те результаты, которыми доволен и считает завершёнными. Многие отложенные или заброшенные им идеи позже воскресли в трудах Абеля, Якоби, Коши, Лобачевского и др. Кватернионы он тоже открыл за 30 лет до Гамильтона (назвав их «мутациями»).

Все многочисленные опубликованные труды Гаусса содержат значительные результаты, сырых и проходных работ не было ни одной.

В 1799 году Гаусс впервые строго доказал основную теорему классической алгебры — возможность разложения любого многочлена с целыми коэффициентами на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами (дальнейшее разложение квадратного трёхчлена с комплексными корнями считалось в те годы нецелесообразным). За это открытие Хельмштедский университет заочно присвоил Гауссу докторскую степень и предложил доцентуру.

Герцог Брауншвейгский продолжал опекать молодого гения. Он оплатил печатание его докторской диссертации (1799) и пожаловал неплохую стипендию. В своей докторской Гаусс впервые доказал основную теорему алгебры: всякое алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет корень. До Гаусса было много попыток это сделать, наиболее близко к цели подошёл Д’Аламбер. Гаусс неоднократно возвращался к этой теореме и дал 4 различных её доказательства.

В Брауншвейг Гаусс вернулся в 1798 году и жил там до 1807 года. С наступлением нового века научные интересы Гаусса решительно сместились в сторону от чистой математики. Он много раз эпизодически будет обращаться к ней, и каждый раз получать результаты, достойные гения. В 1812 году он опубликовал работу о гипергеометрической функции. Широко известна заслуга Гаусса в геометрической интерпретации комплексных чисел.

С 1801г. Гаусс состоял приват-доцентом Брауншвейгского университета с месячным окладом в 8 талеров, что было явно недостаточно для безбедного существования. Академик Н.И. Фусс, ученик и друг Л. Эйлера, предложил Гауссу переехать в Петербург, пообещав ему избрание в академики. Гаусс принял предложение, но, как человек добросовестный, сказал, что сначала изучит русский язык, и начал им усиленно заниматься.

Через год Фусс повторил приглашение, но об этом узнал эрцгерцог Брауншвейгский и назначил Гауссу оклад в 400 талеров в год и повелел построить для ученого обсерваторию в Брауншвейге. Возникшая арифметическая задача оказалась для «короля математиков» совсем не простой. Он решает не ехать. В своём ответе Фуссу в 1802 г. он писал: «Однако я не вполне свободен. У меня есть обязанности, большие обязанности к нашему благородному государю».

В 1806 году герцог Брауншвейгский был ранен в бою и вскоре умер. Недостроенная обсерватория в ходе военных действий была разрушена. Гаусс с женой и маленьким ребенком остался без службы. Он написал несколько писем в Санкт-Петербург, но из-за военных действий в Европе они не дошли. Лишь письмо, отправленное в конце 1807 года через ехавшего в Россию М. Бартельса, дошло до академии. Но в нём Гаусс уже сообщал, что принял приглашение Гёттингенского университета.

Выше других Гаусс ставил Ньютона, называя его «высочайший». Для Эйлера, Лапласа, Лагранжа, Лежандра у него был эпитет «яснейший».

Девизом Гаусса были строки из «Короля Лира» Шекспира:

„Ты, природа, моя богиня,

И я служу твоим законам …”

Гаусс женился в 28 лет на дочери дубильщика Иоганне Остгоф. В 1804 году в письме своему другу Фаркашу Бойяи он писал о ней: «Прекрасное лицо мадонны, отражение спокойствия духа и здоровья, нежные, отчасти причудливые глаза, безупречная фигура – это одна сторона, яркий ум и развитой язык, это – другая, но спокойная, безмятежная, скромная и чистая душа ангела, который не может причинить вреда ни одному существу, — это лучшее». Осенью 1809г. Иоганна скончалась от послеродовых осложнений и через месяц умер новорожденный сын. Жена умерла, оставив ему троих детей. Это потрясение опустошило Гаусса, и он никогда уже не восстановил равновесия. Спустя год, ради своих маленьких детей Гаусс женится во второй раз, на дочери профессора Мине Вальдек. От этого брака у него было два сына и дочь.

По рекомендации Александра фон Гумбольдта Гаусса назначают профессором в Гёттингене и директором Гёттингенской обсерватории. Эту должность он занимал до самой смерти.

В 1807 году наполеоновские войска занимают Гёттинген. Все граждане облагаются контрибуцией, в том числе огромную сумму — 2000 франков — требуется заплатить Гауссу. Это превосходило его возможности. Ольберс и Лаплас тут же приходят ему на помощь, считая для себя честью снять с плеч друга незаслуженное бремя. Но не в привычках Гаусса было принимать помощь, он отклоняет их деньги. Тогда неизвестный из Франкфурта присылает ему 1000 гульденов, и этот дар приходится принять. Только много позднее узнали, что неизвестным был курфюрст Майнцский, друг Гёте.

Первыми учениками Гаусса в Гёттингене были ставшие потом знаменитыми учёными и директорами обсерваторий Шумахер, Герлин, Николаи, Мёбиус, Струве, Энке.

Хотя Гаусс и считал преподавание потерей столь необходимого для научной работы времени, все отмечали высокое качество его лекций.

Гаусс был добрым, внимательным и отзывчивым человеком. Ученики боготворили его, преклонялись перед ним, относились к нему с почтением и любовью Для исследований Гаусса характерна глубокая связь теоретических и прикладных вопросов, необычайная широта проблематики. Его работы оказали большое влияние на развитие высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории притяжения, классической теории электричества, геодезии, теоретической астрономии.

Первое крупное сочинение Гаусса по теории чисел и высшей алгебре — «Арифметические исследования» (1801) — во многом определило развитие этих дисциплин. Эту книгу называют первым величайшим шедевром Гаусса (ему было в это время 24 года). Арифметика была его первой любовью, в дальнейшем он всю жизнь сожалел, что не нашёл времени написать второй том этой книги, как замышлял в юности. Это сочинение поставило Гаусса в один ряд с Ферма, Эйлером, Лагранжем.

Книга «Арифметические исследования» содержала более 500 страниц большого формата, она была издана на средства герцога и ему посвящена. За пределами этой книги теорией чисел Гаусс, по существу, больше не занимался. С наступлением нового века его научные интересы сместились в сторону от чистой математики.

Книга состоит из семи глав, написанных столь сжато, что её называли «книгой за семью печатями». Лежен Дирихле был первым, кто вскрыл «семь печатей». Книга была быстро раскуплена, и даже любимый ученик Гаусса Эйзенштейн не имел своего экземпляра. А вот Дирихле повезло, экземпляр книги сопровождал его во всех путешествиях, он спал, положив книгу под подушку.

В этой книге Гаусс даёт обстоятельную теорию квадратичных вычетов, первое доказательство квадратичного закона взаимности — одной из центральных теорем теории чисел, даёт новое подробное изложение арифметической теории квадратичных форм, до того построенной Ж.Лагранжем. В конце книги, в 7-ой части, излагается теория уравнений деления круга (т.е. уравнений xn – 1 = 0), которая во многом была прообразом теории Галуа. Помимо общих методов решения этих уравнений, Гаусс установил связь между ними и построением правильных многоугольников. Он нашёл все те значения n, для которых правильный n — угольник можно построить циркулем и линейкой. В частности, решив это уравнение при n=17, он дал построение правильного 17-угольника при помощи циркуля и линейки. Гаусс придавал этому достижению очень большое значение и завещал выгравировать правильный 17-угольник, вписанный в круг, на своём надгробном памятнике, что и было исполнено.

По другим источникам на могильном камне Гаусса этого рисунка нет, но воздвигнутый ему в Брауншвейге памятник стоит на семнадцатиугольном постаменте.

Ещё Евклид решил задачи построения циркулем и линейкой правильных многоугольников с числом сторон 3, 4, 5, 6, 10 и 15. И было вообще не ясно: можно ли решить эту задачу для многоугольников с другим числом сторон, чем у Евклида? Результат Гаусса произвёл — сенсацию. Основываясь на результатах Гаусса, Абель и Галуа смогли пойти дальше.

Следующие пять лет называют героическим периодом в творчестве Гаусса: на это время выпадает большая часть его величайших открытий в теории чисел, алгебре, математическом анализе. Тогда же он пришёл к идеям о неевклидовой геометрии.

Одна из самых удивительных сторон творчества Гаусса заключается в том, что он в своих первых работах практически не опирался на достижения предшественников, переоткрыв за короткий срок то, что было сделано в теории чисел за полтора века трудами крупнейших математиков.

Фундаментальные работы Гаусса по астрономии относятся к решению проблемы определения орбит малых планет, исследованию их возмущений. Как астроном, Гаусс получил широкую известность после разработки метода вычисления эллиптических орбит планет по трём наблюдениям, успешно применённого им к первым открытым малым планетам Церера (1801г.) и Паллада (1802г.). В связи с астрономическими исследованиями Гаусс изучал вопросы сходимости бесконечных рядов.

С открытием малой планеты Цереры связана такая история. Эту планету открыл Д. Пиацци. Но она была скрыта за плотными облаками, поэтому определить её точное местоположение не удалось. Гаусс за письменным столом (как говорят, «на кончике пера») вновь открыл Цереру. В письме к Пиацци Гаусс указал, где и когда можно наблюдать планету. Когда астрономы направили в указанную точку свои телескопы, они увидели Цереру.

«Слава Гаусса вполне заслуженна, и молодой 25 — летний человек идёт уже впереди всех современных математиков …», — писали о нём.

Гаусс обладал железным характером. Выдающиеся способности сочетались у него с детской скромностью. В домашней обстановке он был строгим консерватором, не терпел никаких нововведений, был глубоко религиозным человеком, верил в загробную жизнь.

На протяжении всей жизни Гаусса обстановка его маленького кабинета свидетельствовала о скромных запросах хозяина. В кабинете были небольшой рабочий стол, конторка белого цвета, узкая софа и единственное кресло. В комнате была весьма умеренная температура, тускло горела свеча. Одет он был всегда в теплый халат и шапочку, был преимущественно спокойный и веселый. После напряженного труда Гаусс любил отдыхать: совершал прогулки, читал художественную литературу на немецком, английском и русском языках. Гаусс высоко оценивал русскую культуру и уважал талантливый русский народ. В России образованные круги, в свою очередь, высоко ценили Гаусса как ученого. Петербургская академия наук первой в мире выбрала Гаусса своим членом-корреспондентом.

В 1807г. он написал капитальный труд «Теория движения небесных тел». В книге был изложен метод наименьших квадратов, остающийся по сей день одним из самых распространённых методов обработки результатов наблюдений.

С этого периода он начинает читать в университете лекции по астрономии и становится директором обсерватории. Лишь в 30 лет Гаусс получил должность, которая позволяла ему содержать семью (жену и сына). Чтобы убедиться в силе своего метода вычисления орбит, Гаусс повторил вычисления орбиты кометы 1769 года, которую в своё время за три дня напряжённого труда вычислил Л. Эйлер, потерявший после этого зрение. Гауссу на это потребовался один час.

В 1810 году Гаусс получает премию Парижской академии наук и золотую медаль Лондонского королевского общества.

В письме к своему близкому другу Ф.В. Бесселю (1810) Гаусс писал: «Этой зимой я читал два курса лекций трём студентам, из которых один обладает средними знаниями, другой – менее чем средний, а третий лишён и знаний и способностей. Таковы тяготы профессии математика».

Имя Фридриха Вильгельма Бесселя достойно упоминания не только в связи с тем, что он был другом Гаусса.

Он родился 22 июля 1784 года в городе Миндене в Вестфалии (Германия) в семье мелкого чиновника. Гимназию Бессель бросил в 13 лет

из-за ненависти к зубрёжке латыни и продолжал образование дома под руководством отца. Обладая исключительно острым зрением, Бессель в 14 лет открыл визуально двойственность ε Лиры.

В 15 лет Бессель встал на самостоятельный трудовой путь: в 1799 г. он становится учеником конторщика в Бремене. Когда ему в 1805 г. предложили выгодную работу с хорошей зарплатой, он, по словам известного историка астрономии Агнессы Кларк, «предпочёл бедность и звёзды» и поступил ассистентом в обсерваторию.

Бессель обладал прирождённым математическим талантом и огромной работоспособностью. В письме брату он писал, что «математика — самая увлекательная наука из всех наук. Вместе с астрономией она заменяет мне … развлечения, которые я знаю только по имени».

Труднейшую «Небесную механику» Лапласа и высшую математику он изучал лишь в свободные от работы утренние и ночные часы.

В 1804 г. Бессель вычислил элементы орбиты кометы Галлея и стал известен в научном мире. С этого времени ведёт отсчёт и его дружба с К. Гауссом.

В 1809 году Бесселю было предложено создать и возглавить вторую в Германии обсерваторию в Кёнигсберге (первая была открыта в 1705 г. в Берлине). С 1810 г. он — профессор математики и астрономии в Кёнигсбергском университете. Здесь он проработал до конца жизни.

Полная реорганизация Бесселем астрономических наблюдений позволила повысить их точность в 10 раз. Помимо астрономии он внёс значительный вклад в геодезию. В историю науки он вошёл как один из крупных математиков. «Функции Бесселя» и дифференциальное «уравнение Бесселя» нашли широкое применение в теоретической физике.

Умер Ф.В. Бессель 17 марта 1846 года в Кёнигсберге и был похоронен близ обсерватории. Его именем назван кратер на видимой стороне Луны.

Гаусса привлекала английская литература. Он читал романы Вальтера Скотта, как только они выходили в свет. Особое удовольствие доставляли ему исторические труды на английском языке. К Байрону же он питал почти неприязнь. Его любимым немецким поэтом был Жан Поль, а вот Гёте и Шиллера он ценил не очень высоко.

Занявшись геодезией (Гауссу было поручено провести геодезическую съёмку и составить карту Ганноверского королевства), он создал новую для того времени область геометрии — общую теорию поверхностей. Специально выделенные офицеры (и среди них сын К. Ф. Гаусса — Иозеф) вели измерения на местности с помощью сконструированного Гауссом гелиотропа. Сам Гаусс выполнял многочисленные вычисления.

Первоначально измерения делались с большими погрешностями, однако Гаусс настоял на уточнении триангуляции и добился небывалой по тем временам точности: сумма углов любого треугольника могла отличаться от 180 градусов не более чем на 2 угловых секунды! Титаническая работа закончилась лишь в 1848 году — географические координаты всех 2578 тригонометрических пунктов Ганноверского королевства были определены весьма точно.

«Я прихожу к убеждению, что геометрия не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка,— писал Гаусс в 1817 году.— Может быть, в другой жизни мы придем к другим взглядам на природу пространства, которые нам теперь недоступны…»

Гаусс с удовлетворением воспринял открытие Лобачевского, которое соответствовало его внутренним убеждениям. Он высоко оценил достижение русского ученого и добился избрания его в члены-корреспонденты Гёттингенского учёного Королевского общества. Однако сам Гаусс никогда не выступал официально, а тем более в печати с признанием неевклидовой геометрии или со своими соображениями о ней.

Отрывки из писем Гаусса позволяют понять причины, по которым он не считал возможным объявлять не только о своих идеях (эти идеи Гаусс так и не разработал с достаточной чёткостью), но и о своем отношении к возможности «новой» геометрии. «Осы, гнездо которых вы разрушаете, подымутся над вашей головой»,— писал Гаусс в 1818 году ученику и другу, который собирался в новом издании своей книги выразить сомнение в справедливости пятого постулата.

«Если бы неевклидова геометрия была истинной…, мы имели бы a priori абсолютную меру длины,— писал он в 1824 году.— Но вы должны смотреть на это как на частное сообщение, которое не должно быть опубликовано».

«Вероятно, я еще не скоро смогу обработать свои исследования, чтобы их можно было опубликовать. Возможно даже, что я не решусь на это всю свою жизнь, потому что боюсь крика беотийцев»,— писал Гаусс в 1829 году, через 3 года после того, как Лобачевский публично объявил о своём открытии.

Гаусс боялся быть не понятым современниками. Он колебался между желанием поддержать научную истину и опасностью растревожить осиное гнездо непонимающих.

В 20-ые годы велись переговоры о переезде Гаусса в Берлин, где ему предлагали должность директора института. Переговоры затянулись на четыре года. Разногласия сводились к тому, должен ли будет Гаусс читать лекции, и сколько ему должны платить: 1200 или 2000 талеров в год. Переговоры провалились, но в Гёттингене Гауссу стали платить жалованье, на которое он претендовал в Берлине.

Непреходящее значение для всех наук, имеющих дело с обработкой наблюдений, имеют разработанные Гауссом методы получения наиболее вероятных значений измеряемых величин. Особенно широкую известность получил созданный Гауссом в 1821-1823 гг. метод наименьших квадратов. Гауссом заложены также и основы теории ошибок.

В 1824 году Гаусс был избран иностранным почётным членом Петербургской Академии наук. Современники отмечали тот факт, что Гаусс, став знаменитым, никогда не читал трудов других математиков: обычно он знакомился с концепцией и сам старался ее либо доказать, либо опровергнуть. Труд Лобачевского стал исключением.

Гаусс заложил основы теории построения изображения в системах линз.

Материалы дневника Гаусса позволяют утверждать, что он пришёл к мысли о возможности построения наряду с евклидовой геометрией и геометрии неевклидовой в 1818г., но из опасений быть непонятым не опубликовал эти результаты.

Гаусс свободно владел латынью, французским, английским. Он с удовольствием читал в оригинале произведения Диккенса, Свифта, Ричардсона, Мильтона и особенно Вальтера Скотта, великих французских просветителей — Монтеня, Руссо, Кондорсе, Вольтера. Два младших сына Гаусса эмигрировали в США — и Гаусс заинтересовался американской литературой. Гаусс читал по-датски, шведски, испански, итальянски. В юности немного изучал русский, в 63-летнем возрасте, желая более подробно ознакомиться с работами Лобачевского, начал интенсивно заниматься русским языком. «Стал бегло читать по-русски и получал от этого большое удовольствие», — писал он одному из своих учеников. В личной библиотеке Гаусса впоследствии было обнаружено 57 книг на русском языке, и в том числе восьмитомник Пушкина.

«Гаусс носил лёгкую чёрную шапочку, длинный коричневый сюртук и серые брюки,— рассказывал один из последних учеников Гаусса, Рихард Дедекинд.— Он большей частью сидел в удобной позе, слегка склонившись вперёд. Говорил свободно, очень просто и отчетливо. Когда хотел подчеркнуть свою точку зрения и употреблял специальные термины, склонялся к собеседнику и смотрел прямо на него пронзительным взглядом своих красивых голубых глаз… Для числовых примеров, которым он всегда придавал большое значение, он имел небольшие листочки с нужными цифрами».

Отсутствие у Гаусса личного честолюбия было причиной споров из-за приоритета открытий. Так, Лежандр с возмущением написал Гауссу письмо, обвиняя его в нечестности, выражая недовольство тем, что Гаусс, столь богатый в открытиях, мог бы быть настолько порядочным, чтобы не присваивать себе метод наименьших квадратов, который Лежандр считал своим открытием. Лежандр стал врагом Гаусса на всю жизнь.

Современники говорили, что Гаусс был жизнерадостным человеком. Он интересовался литературой, философией, экономикой, политикой, ежедневно просматривал газеты основных европейских государств.

Гаусс обладал острым чувством юмора и грубоватым реализмом своих предков-крестьян. Он никогда не печатал тривиальных вещей, обладал научной скромностью.

Гаусс обладал колоссальной работоспособностью, но не спешил с публикацией своих работ. Многие результаты, полученные позже Бесселем, Гамильтоном, Абелем, Якоби, Коши, были обнаружены в рукописях Гаусса при подготовке его 12–томного полного собрания сочинений.

Для Гаусса математика была единой. Как и Эйлер, он не проводил резкой границы между чистой и прикладной математикой. Но, в отличие от Эйлера, его работы написаны так, что от читателя ускользает идея доказательства. Гаусса интересовало более всего решение проблемы. Вопросы обоснования, разрабатываемые в это время О.Коши, его мало беспокоили.

В письме к Софи Жермен он признавался в любви к теории чисел: «… чарующее обаяние этой возвышенной науки открывается только тем, кто имеет смелость войти в неё глубоко». Высшую арифметику Гаусс называл царицей математики.

«Существуют проблемы,- сказал однажды Гаусс,- решению которых я придал бы неизмеримо большее значение, чем решению проблем математики, например, касающиеся этики или нашего отношения к Богу, нашей судьбы и нашего будущего; но их решение нам не по силам, и оно полностью лежит за пределами естествознания».

(Окончание следует)

Зачем нужна математика

На уроках метематики, особенно при изучении более сложных тем, можно услышать вопрос: «Зачем же нужна математика?» 

Тяжело представить, но когда-то люди совсем не умели считать!

Факты убедительно свидетельствуют о том, что счет возник раньше, чем названия чисел. Человек пользовался окружавшими его однотипными предметами: пальцы, камешки, узелки, нарисованные на стене черточки, зарубки на палках и на деревьях, кучки камней и т.п. При возникновении языка слова связываются только с теми понятиями, которые уже существуют, т. е. распознаются. Слова «один», «два» и, возможно, «три» появляются независимо от счета. Счисление (нумерация) — совокупность приёмов наименования и обозначения чисел. Когда счет становится распространенным и привычным делом, для наиболее часто встречающихся (т. е. небольших) групп стандартных предметов возникают и словесные обозначения.

С усложнением хозяйственной деятельности людей понадобилось вести счет в более обширных пределах, что потребовало создания более сложных счётных устройств. Это различные счёты (абак, соробан, суан-пан и т.п.) и позднее в средние века появляются механические счётные.

Во многом благодаря математике цивилизация стала такой, какая она есть сейчас: развитой, высокотехнологичной, образованной и обеспеченной. Математическая наука позволила развиться цивилизации во всех ее аспектах.

Значение понятия математика

Название «математика» происходит от греческого слова «матейн» (mathein) — учиться, познавать. Древние греки вообще считали, что понятия «математика» (mathematike) и «наука», «познание» (mathema) — синонимы. Им было свойственно такое понимание универсализма этой отрасли знания, которое два тысячелетия спустя выразил Рене Декарт, писавший: «К области математики относят науки, в которых рассматриваются либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое…; таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая все, относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов…»

Другое объяснение происхождения слова «математика» связано с греческим словом «матема» (mathema), что означает урожай, сбор урожая. Разметка земельных участков (геометрия), определение сроков полевых работ (на основе астрономических наблюдений и вычислений), подготовка необходимого количества посевных материалов и подсчет собранного урожая требовали серьезных математических знаний.

Роль математики в науке

Роль математики в современной науке постоянно возрастает. Это связано с тем, что, во-первых, без математического описания целого ряда явлений действительно трудно надеяться на их более глубокое понимание и освоение, а, во-вторых, развитие физики, лингвистики, технических и некоторых других наук предполагает широкое использование математического аппарата. Более того, без разработки и использования последнего было бы, например, невозможно ни освоение космоса, ни создание электронно-вычислительных машин, нашедших применение в самых различных областях человеческой деятельности.

Математика — наука точная, которая не терпит ошибок. Именно благодаря этой ее черте математические законы легли в основу всех изобретений, начиная примитивными в виде рычагов и маятников и заканчивая суперкомпьютерами.

Математический язык

Выводимые в математике законы и закономерности являются объективными и применимыми во всех остальных областях человеческого знания. На ее законы опирается физика, химия, география, геология и многие другие области научного знания, в которых просто невозможно обойтись без математики. Сейчас мы привыкли, что все мгновенно устаревает, для компьютера год — уже приговор. А Вы представьте, что все то, что было заложено еще две тысячи лет назад по математике до сих пор актуально, что все те математические законы и теоремы, которые были сформулированы знаменитыми математиками тех времен, до сих пор верны. Почти ни что не изменилось с того времени.

Математика — страна без границ

Несмотря на свою банальность, фраза о математике имеет под собой очень веские основания. Математика в жизни человека занимает особое место. Мы настолько срослись с ней, что попросту не замечаем её.

А ведь с математики начинается всё. Ребёнок только родился, а первые цифры в его жизни уже звучат: рост, вес.

Малыш растет, не может выговорить слова «математика», а уже занимается ею, решает небольшие задачи по подсчету игрушек, кубиков. Да и родители о математике и задачах не забывают. Готовя ребенку пищу, взвешивая его, им приходится использовать математику. 

Строители делают планировку квартир, оптимальную планировку квартир, длину и ширину коридора, размеры комнат помогают найти из простых функции. У Вас есть площадь, основные параметры дома (длина и ширина), примерный размер коридора, на основании этого составляется система элементарных функций, в которых неизвестными остаются только параметры комнат, того, что Вас интересует. Затем данная система сводиться в одно уравнение, дифференцируется, исследуется на монотонность, и находятся ее точки экстремума. Именно точки экстремума и являются оптимальными, тема, которые выгоднее всего использовать. Значения неизвестных, полученные в точках экстремума, и используются строителями.

Математика в древности

Древние Египтяне никогда бы не построили свои Великие пирамиды без простых законов математики. Кажется, что может быть проще, чем провести прямую линию?! А ведь чтобы сделать сторону пирамиды, необходима прямая линия длиною в несколько километров! Египтянам удалось додуматься, как решить задачу. Многие правила из школьных учебников арифметики и геометрии были известны древним грекам две с лишним тысячи лет назад. Другие древние народы — египтяне, вавилоняне, китайцы, народы Индии — в третьем тысячелетии до нашего летосчисления имели сведения по геометрии и арифметике, которых не хватает некоторым ученикам пятого или шестого класса. Ведь всюду, где надо что-то считать, измерять, сравнивать, без математики не обойтись. А чем дальше, тем больше и точнее нужно было считать. С каждым десятилетием математика становилась всё нужнее людям. Теперь расчётами и вычислениями приходиться заниматься не только самим математикам: и инженеры, и моряки, и строители на каждом шагу сталкивались с вычислениями.

Кому ещё помогает математика

Также математика помогает астрономам, в определении путей далеких звезд.

Инженерам в расчете реактивных самолетов, кораблей.

Физику открывает законы атомного ядра.

Моряку указывает путь корабля в океане.

В наше время появляется всё больше и больше вычислительных машин, сложных станков, различных автоматов, поэтому математика нужна не только инженерам и физикам, но и обычным мастерам и рабочим на заводе.

Однако ещё несколько десятков лет назад встречалось немало таких задач, решить которые было практически невозможно, хотя математики и знали, как их нужно решать. Бывало, что для решения одной единственной задачи десятки людей работали несколько лет. Вычисления шли медленно. Главные «инструменты» математика были те же, что во времена древних греков — собственная голова и чистый лист бумаги с карандашом.

И вот у математики появился новый могучий помощник, который называется электронно-вычислительной машиной.

С изобретением электронно-вычислительных машин началась новая эпоха в математике и многих других науках.

Нам нужно сложить тысячу больших чисел. Если складывать числа на бумаге столбиком, то это, вероятно, займет часа четыре. Опытный бухгалтер на счётах сложит тысячу чисел примерно за час. А электронно-вычислительной машине понадобится для этой работы… доля секунды. К тому же для проверки она проделает вычисление несколько раз. Существующие быстродействующие компьютеры работают в сотни тысяч раз быстрее человека.

Для предсказания завтрашней погоды требовалось проделать тысячи арифметических действий. При ручном счёте два специалиста потратили бы на эти вычисления пять лет, а машина выполнила работу за час.

Например, во многих больших аэропортах компьютер вместо человека-диспетчера управляет взлётом и посадкой самолётов. Машина оказывается гораздо лучшим диспетчером, чем человек: она быстрее «думает», никогда не волнуется, не устаёт и почти никогда не ошибается. Выходит, что «с помощью» электронно-вычислительной машины математика может управлять самолётами!

Вычислительные машины управляют поездами, метро, искусственными спутниками Земли, заводами и даже переводят книги с одного языка на другой. Каждая такая машина работает по законам математики.

Известные высказывания о математике

«Математику только зачем учить надо, что она ум в порядок приводит» — это слова нашего знаменитого и гениального Михаила Ломоносова.

Недаром гениалный ученый Карл Фридрих Гаусс говорил, что математика — царица наук

«Математика — гимнастика ума» — говорил великий полководец Суворов.

Великая книга природы написана математическими символами — говорил Г. Галилей.

«Человек, не знающий математики, не способен ни к каким другим наукам» — говорил Р. Бэкон

Философия математики — Высказывания великих людей о математике

1. Математик, который не является в известной мере поэтом, никогда не будет настоящим математиком. (К. Вейерштрасс)

2. Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом. (К. Вейерштрасс)

3. Математика — это язык, на котором написана книга природы. (Г. Галилей)

4. Великая книга природы написана математическими символами. (Галилей)

5. Математика – царица наук, арифметика – царица математики. (К.Ф. Гаусс)

6. Математики похожи на французов: что бы вы ни сказали, они все переведут на собственный язык. Получится нечто противоположное. (Иоганн Вольфганг Гете)

7. Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется. (И. Гете)

8. Астрономия (как наука) стала существовать с тех пор, как она соединилась с математикой. (А.И. Герцен)

9. Математика является учением об отношениях между формулами, лишенными какого бы то ни было содержания. (Давид Гильберт)

10. «Числа управляют миром», – говорили пифагорейцы. Но числа дают возможность человеку управлять миром, и в этом нас убеждает весь ход развития науки и техники наших дней. (А. Дородницын)

11. Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой.

(Евклид)

12. В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. (Н.Е. Жуковский)

13. Доказательство называется строгим, если таковым его считает большинство математиков. (Моррис Клайн)

14. Всякий знает, что такое кривая, пока не выучится математике настолько, что вконец запутается в бесконечных исключениях. (Феликс Клейн)

15. Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. (А.Н. Крылов)

16. Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. (М.И. Калинин)

17. В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики. (И. Кант)

18. …Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение. (В.Ф. Каган)

19. Математике должно учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни (Л. Карно).

20. Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым. (А.П. Конфорович)

21. Математические науки, естественные науки и гуманитарные науки могут быть названы, соответственно, науками сверхъестественными, естественными и неестественными. (Лев Давидович Ландау)

22. Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание бытия с небытием. (Готфрид Вильгельм Лейбниц)

23. Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, — это быть точным, второе — быть ясным и, насколько можно, простым.(Г. Лейбниц)

24. Химия – правая рука физики, математика – ее глаз. (М.В. Ломоносов)

25. Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит. (М.В. Ломоносов)

26. Все, что до этого было в науках: гидравлика, аэрометрия, оп­тика и других темно, сомнительно и недостоверно, математика сделала ясным, верным и очевидным. (М.В. Ломоносов)

27. Стремящийся к ближайшему изучению химии должен быть сведущ и в математике. (М.В. Ломоносов)

28. Слеп физик без математики. (М.В. Ломоносов)

29. Математика — это язык, на котором говорят все точные науки. (Н.И. Лобачевский)

30. Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. (Н.И. Лобачевский)

31. Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое. (И.Л. Лобачевский)

32. Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает на­стойчивость и упорство в достижении цели. (А. Маркушевич)

33. Легче найти квадратуру круга, чем перехитрить математика. (Огастес де Морган)

34. Задача заключается не в том, чтобы учить математике, а в том, чтобы при посредстве математике дисциплинировать ум. (М.В. Остроградский)

35. Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе? (Платон)

36. Было бы хорошо, если бы эти знания требовало само госу­дарство и если бы лиц, занимающих высшие государственные должности, приучали заниматься математикой и в нужных случаях к ней обращаться. (Платон)

37. Математическая истина, независимо от того, в Париже или в Тулузе, одна и та же.

(Блез Паскаль)

38. В математических вопросах нельзя пренебрегать даже с самыми малыми ошибками. (Б. Паскаль)

39. Величие человека — в его способности мыслить. (Б. Паскаль)

40. Предмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным. (Б. Паскаль)

41. В математике нет символов для неясных мыслей.(Анри Пуанкаре)

42. Математика — это искусство называть разные вещи одним и тем же именем.

(А. Пуанкаре)

43. Математика есть лучшее и даже единственное введение в изу­чение природы. (Д.И. Писарев)

44. Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива. (Р. Петер)

45. Лучший способ изучить что-либо — это открыть самому. (Д. Пойа)

46. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их! (Д. Пойа)

47. Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи. (Д. Пойа)

48. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. (Д.Пойа)

49. Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии. (А.С. Пушкин)

50. Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. (В. Произволов)

51. Счет и вычисления — основа порядка в голове. (Песталоцци)

52. Чистая математика — это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим. (Бертран Рассел)

53. Если бы я только имел теоремы! Тогда я бы мог бы достаточно легко найти доказательства. (Бернхард Риман)

54. Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. (Джордж Сантаяна)

55. Математика может открыть определенную последовательность даже в хаосе. (Гертруда Стайн)

56. Умственный труд на уроках математики — пробный камень мышления. (В.А. Сухомлинский)

57. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом. (А. Франц)

58. Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики». (Ж. Фурье)

59. Математики похожи на влюбленных — достаточно согласиться с простейшим утверждением математика, как он выведет следствие, с которым вновь придется согласиться, а из этого следствия — еще одно. (Бернар Ле Бовье де Фонтенель)

60. …Математика — это цепь понятий: выпадет одно звенышко — и не понятно будет дальнейшее. (Г. Цейтен)

61. Науки математические с самой глубокой древности обращали на себя особенное внимание, в настоящее время они полу­чили еще больше интереса по влиянию своему на искусство и промышленность. (П.Л. Чебышев)

62. Полет – это математика. (В. Чкалов)

63. Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах. (В. Шрадер)

64. Математика — самая надежная форма пророчества. (В. Швебель)

65. Из дома реальности легко забрести в лес математики, но лишь немногие способны вернуться обратно. (Хуго Штейнгаус)

66. Легкость математики основана на возможности чисто логического ее построения, трудность, отпугивающая многих, — на невозможности иного изложения. (Хуго Штейнгаус)

67. Между духом и материей посредничает математика. (Хуго Штейнгаус)

68. В математике ум исключительно занят собственными формами познавания — временем и пространством, следовательно, подобен кошке, играющей собственным хвостом. (А. Шопенгауэр)

69. Доказательство — это рассуждение, которое убеждает. (Ю.А. Шиханович)

70. Как и другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и их механики. (Ф. Энгельс)

71. Как бы машина хорошо ни работала, она может решать все требуемые от нее задачи, но она никогда не придумает ни од­ной. (А. Эйнштейн)

72. Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру. (Альберт Эйнштейн)

73. Математик уже кое-что может, но, разумеется, не то, что от него хотят получить в данный момент. (Альберт Эйнштейн)

74. Математика — это единственный совершенный метод водить самого себя за нос. (Альберт Эйнштейн)

75. С тех пор как за теорию относительности принялись математики, я ее уже сам больше не понимаю. (Альберт Эйнштейн)

76. Существует поразительная возможность овладеть предметом математически, не поняв существа дела. (Альберт Эйнштейн)

77. Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств. (Л. Эйлер)

Распределительный закон — online presentation

1. Распределительный закон

Германия. Столетье девятнадцатое
Потомки назовут эпохой …………….
Мальчонка с детства взрослых
удивлял,
Поскольку устно быстро он считал.
Назвал он арифметику царицей,
Ему ж при жизни также дали титул,
По праву говорили все о нем:
-Достоин называться королем!

3. Немецкий математик XVIII века Карл Фридрих Гаусс – «Король математики»: «Математика – царица всех наук, арифметика – царица

Гаусс Карл Фридрих 1777-1855
Немецкий
математик XVIII
века
Карл Фридрих
Гаусс –
«Король
математики»:
«Математика –
царица всех
наук,
арифметика –
царица
математики».
Законы
сложения
Законы
умножения
1. а • b = b
ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН
а
2. (а + b) + c = а + (b + c)
СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН
3. а + b = b +
а
4. (а • b) • c = а • (b • c)
Проверьте себя:
Математический
диктант
1 вариант
2 вариант
34 + 51 + 66 + 29
4 · 49 · 5 · 5
88 + 19 + 21 + 12
180
4900
140
47 + 56 + 44 + 53
5 · 38 · 4 · 5
56 + 24 + 38 + 62
23 · 45 – 23 · 35
32 · 35 – 32 · 25
57 · 24 + 57 · 76
71 · 52 + 71 · 48
200
3800
180

6. Карточка № 1 Вычислите

3 • 90 + 3 • 10 = 3 • ( 90 + 10 )
7 • 50 — 7 • 30 = 7 • ( 50 – 30 )
5 • 13 + 5 • 77 = 5 • ( 13 + 77 )
ab + ac = a(b + c)
ab — ac = a(b — c)
Быстро встали, улыбнулись,
Выше-выше подтянулись.
Ну-ка плечи распрямите,
Поднимите, опустите.
Вправо, влево повернитесь,
Рук коленями коснитесь.
Сели, встали, сели, встали,
И на месте побежали.
Дружно с вами мы считали и про числа
рассуждали,
А теперь мы дружно встали, свои косточки
размяли.
На счет раз кулак сожмем, на счет два в локтях
сожмем.
На счет три — прижмем к плечам, на 4 — к
небесам
Хорошо прогнулись, и друг другу улыбнулись
Про пятерку не забудем — добрыми всегда мы
будем.
На счет шесть прошу всех сесть.
Числа, я, и вы, друзья, вместе дружная 7-я.

11. ЗАКОН

4300
840
210
750
4300
800
8500
800
Р А С П Р Е Д Е
450
1020
300
800
450
23000
2500
60
6000
Л И Т Е Л Ь Н Ы Й
Закон
умножения
относительно
сложения
Закон
умножения
относительно
вычитания
ab + ac = a(b + c)
ab — ac = a(b — c)
РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН
Проверьте себя:
Математический
диктант
1 вариант
2 вариант
23 · 45 – 23 · 35
230
57 · 24 + 57 · 76
5700
32 · 35 – 32 · 25
71 · 52 + 71 · 48
320
7100
Сегодня я узнал…
Было интересно…
Я понял, что…
Теперь я могу…
Я научился…
У меня получилось…
Я попробую….
Меня удивило…
Мне захотелось…

15. «Лестница успеха»

«Математическая задача
иногда столь же
увлекательна, как
кроссворд, и напряженная
умственная работа
может быть столь же
желанным упражнением, как
стремительный теннис».

Гаусс, Карл Фридрих

Немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков».

Карл Гаусс родился 30 апреля 1777 года в немецком герцогстве Брауншвейг. Его отец был каменщик. Интересно, что мать не помнила дату точного появления сына на свет: говорила только, что это случилось в среду, за 8 дней до Пасхи. Уже в зрелом возрасте, производя по заказу церкви расчёт пасхального календаря, в качестве личного подарка из этих расчётов Гаусс узнал точную дату своего рождения. 

Уже в 2 года родственники мальчика признали его гением. В 3 года он читал, писал и исправлял счетные ошибки отца. Позже Гаусс вспоминал, что считать научился раньше, чем разговаривать.

В школе гениальность мальчика подметил его учитель Мартин Бартельс, который позже обучал Николая Лобачевского. Педагог направил ходатайство герцогу Брауншвейгскому и добился для юноши стипендии в крупнейшем техническом университете Германии.

С 1792 по 1795 год Карл Гаусс провел в стенах Брауншвейгского университета, где изучал труды Лагранжа, Ньютона, Эйлера. Следующие три года он проучился в Гёттингенском университете. Его учителем стал выдающийся немецкий математик Авраам Кестнер.

На втором году обучения ученый начинает вести дневник наблюдений. Позже биографы почерпнут из него много открытий, которые Гаусс не оглашал при жизни.

В 1798 году Карл возвращается на родину. Герцог оплачивает публикацию докторской диссертации ученого и жалует ему стипендию. В Брауншвейге Гаусс остается до 1807 года. В этот период он занимает должность приват-доцента местного университета.

В 1806 году на войне гибнет покровитель молодого ученого. Но Карл Гаусс уже сделал себе имя. Его наперебой приглашают в разные страны Европы. Математик переходит на работу в немецкий университетский город Гёттинген.

На новом месте он получает должность профессора и директора обсерватории. Здесь он остается вплоть до самой смерти.

Математические открытия Гаусса

Карл Гаусс сделал фундаментальные открытия почти во всех областях алгебры и геометрии. Самым плодотворным периодом считается время его обучения в Гёттингенском университете.

Находясь в коллегиальном колледже он доказал закон взаимности квадратичных вычетов. А в университете математик сумел построить правильный семнадцатиугольник с помощью линейки и циркуля и решил проблему построения правильных многоугольников. Этим достижением ученый дорожил больше всего. Настолько, что пожелал выгравировать на его посмертном памятнике круг, в котором бы находилась фигура с 17 углами.

В 1801 году Клаус издает труд «Арифметические исследования». Через 30 лет на свет появится очередной шедевр немецкого математика – «Теория биквадратичных вычетов». В нем приводятся доказательства важных арифметических теорем для вещественных и комплексных чисел.

Гаусс стал первым, кто представил доказательства основной теоремы алгебры и начал изучать внутреннюю геометрию поверхностей. Он также открыл кольцо целых комплексных гауссовых чисел, решил много математических проблем, вывел теорию сравнений, заложил основы римановой геометрии.

Достижения в других научных сферах

Настоящую известность Карлу Гауссу принесли вычисления, с помощью которых он определил положение планеты Цереры, открытой в 1801 году.

В последующем ученый не раз возвращается к астрономическим исследованиям. В 1811 году он рассчитывает орбиту новообнаруженной кометы, делает вычисления для определения расположения кометы «пожара Москвы» в 1812 году.

В 20-х годах 19 века Гаусс работает в сфере геодезии. Именно он создал новую науку – высшую геодезию. Также разрабатывает вычислительные методы для проведения геодезической съемки, издает цикл трудов по теории поверхностей, вошедших в публикацию «Исследования относительно кривых поверхностей» в 1822 году.

Обращается ученый и к физике. Он развивает теории капиллярности и системы линз, закладывает основы электромагнетизма. Совместно с Вильгельмом Вебером изобретает электрический телеграф.

Личность Карла Гаусса

Карл Гаусс был максималистом. Он никогда не публиковал сырые, даже гениальные труды, считая их несовершенными. Из-за этого в ряде многих открытий его опередили другие математики.

Ученый также был полиглотом. Он свободно разговаривал и писал на латыни, английском, французском. А в 62 года освоил русский, чтобы читать в оригинале труды Лобачевского.

Гаусс был дважды женат, стал отцом для шести детей. К сожалению, обе супруги умерли рано, а один из детей погиб в младенчестве.


Наш кинозал

Неевклидова геометрия. Гаусс, Бойяи, Лобаческий, Риман, Клейн

Карл Фридрих Гаусс: принц математики

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)

Биография

Иоганн Карл Фридрих Гаусс иногда называют « принцем математиков » и «величайшим математиком». со времен античности ». Он оказал заметное влияние во многих областях математики и науки и считается одним из самых влиятельных математиков в истории.

Гаусс был вундеркиндом. Есть много анекдотов о его раннем детстве, и он сделал свои первые революционные математические открытия еще подростком.

Всего в три года он исправил ошибку в расчетах заработной платы отца, и к пяти годам он регулярно следил за счетами своего отца. Сообщается, что в возрасте 7 лет он удивил своих учителей. суммируя целые числа от 1 до 100 почти мгновенно (быстро заметив, что на самом деле сумма составляет 50 пар чисел, каждая пара в сумме дает 101, всего 5050).К 12 годам он уже посещал гимназию и критиковал геометрию Евклида.

Хотя его семья была бедной и принадлежала к рабочему классу, интеллектуальные способности Гаусса привлекли внимание герцога Брауншвейгского, который отправил его в Коллегиум Каролинум в 15 лет, а затем в престижный Геттингенский университет (который он посещал с 1795 по 1798 год). ). Еще будучи подростком, посещающим университет, Гаусс открыл (или независимо переоткрыл) несколько важных теорем.

Графики плотности простых чисел

В 15 лет Гаусс был первым, кто обнаружил какую-либо закономерность в появлении простых чисел, и эта проблема решила проблему. умы лучших математиков с древних времен.Хотя появление простых чисел казалось почти полностью случайным, Гаусс подошел к проблеме с другой точки зрения, построив график частоты появления простых чисел по мере увеличения числа. Он заметил грубую закономерность или тенденцию: когда числа увеличиваются на 10, вероятность выпадения простых чисел уменьшается примерно в 2 раза (например, шанс получить простое число в числе от 1 до 100 составляет 1 из 4, 1 из 6 шансов выпадения простого числа от 1 до 1000, 1 из 8 шансов от 1 до 10 000, 1 из 10 от 1 до 100 000 и т. Д.).Однако он прекрасно понимал, что его метод просто дает приблизительное значение и, поскольку он не может окончательно доказать свои открытия, держал их в секрете до гораздо более поздних лет.

Семнадцатигранный семиугольник, построенный Гауссом

В annus mirabilis Гаусса 1796 года всего в 19 лет он построил неизвестную до сих пор правильную семнадцатигранную фигуру, используя только линейка и компас, крупный прогресс в этой области со времен греческой математики, сформулировал свою теорему о простых числах о распределении простых чисел среди целых чисел и доказал, что каждое положительное целое число можно представить в виде суммы не более трех треугольных чисел.

Теория Гаусса

Хотя он внес вклад почти во все области математики, теория чисел всегда была любимой областью Гаусса, и он утверждал, что «математика — королева наук, а теория чисел — королева математики». . Пример того, как Гаусс произвел революцию в теории чисел, можно увидеть в его работе с комплексными числами (комбинациями действительных и мнимых чисел).

Представление комплексных чисел

Гаусс дал первое четкое изложение комплексных чисел и исследования функций комплексных переменных в начале 19 века.Хотя мнимые числа, состоящие из и (мнимая единица, равная квадратному корню из -1), использовались еще в 16 веке для решения уравнений, которые нельзя было решить никаким другим способом, и несмотря на новаторский принцип Эйлера. Работая над мнимыми и комплексными числами в 18 веке, до начала 19 века не было четкой картины того, как мнимые числа связаны с действительными числами. Гаусс был не первым, кто интерпретировал комплексные числа графически (Жан-Робер Арган создал свои диаграммы Аргана в 1806 году, а датчанин Каспар Вессель описал аналогичные идеи еще до начала века), но Гаусс, безусловно, был ответственен за популяризацию этой практики и также официально введены стандартные обозначения a + b i для комплексных чисел.В результате теория комплексных чисел получила заметное развитие, и ее потенциал начал раскрываться в полной мере.

В возрасте всего 22 лет он доказал то, что теперь известно как основная теорема алгебры (хотя на самом деле это не касалось алгебры). Теорема утверждает, что каждый непостоянный многочлен от одной переменной над комплексными числами имеет по крайней мере один корень (хотя его первоначальное доказательство не было строгим, он улучшил его позже). Он также показал, что поле комплексных чисел алгебраически «замкнуто» (в отличие от действительных чисел, где решение многочлена с действительными коэффициентами может дать решение в поле комплексных чисел).

Затем, в 1801 году, в возрасте 24 лет, он опубликовал свою книгу «Disquisitiones Arithmeticae», которая сегодня считается одной из самых влиятельных когда-либо написанных математических книг и заложила основы современной теории чисел. Среди прочего, книга содержала ясное изложение метода модулярной арифметики Гаусса и первое доказательство закона квадратичной взаимности (впервые высказанное Эйлером и Лежандром).

Линия наилучшего соответствия по методу наименьших квадратов Гаусса

На протяжении большей части своей жизни Гаусс также сохранял большой интерес к теоретической астрономии и занимал пост директора астрономическая обсерватория в Геттингене на протяжении многих лет.Когда планетоид Церера находился в процессе идентификации в конце 17 века, Гаусс сделал предсказание ее положения, которое сильно отличалось от предсказаний большинства других астрономов того времени. Но когда в 1801 году Церера была наконец открыта, это было почти точно так, как предсказывал Гаусс. Хотя он не объяснил свои методы в то время, это было одно из первых применений метода аппроксимации наименьших квадратов, обычно приписываемого Гауссу, хотя также заявленного французом Лежандром.Гаусс утверждал, что производил логарифмические вычисления в уме.

Однако по мере того, как слава Гаусса распространилась и он стал известен по всей Европе как человек, умеющий решать сложные математические вопросы, его характер ухудшался, и он становился все более высокомерным, горьким, пренебрежительным и неприятным, а не просто застенчивым. Существует множество историй о том, как Гаусс отверг идеи молодых математиков или, в некоторых случаях, объявил их своими собственными.

Гауссова, или нормальная, кривая вероятности

В области вероятности и статистики Гаусс ввел то, что теперь известно как распределение Гаусса, функцию Гаусса и кривую ошибки Гаусса.Он показал, как вероятность может быть представлена ​​колоколообразной или «нормальной» кривой, которая достигает пика около среднего или ожидаемого значения и быстро спадает в сторону плюс / минус бесконечности, что является основным для описания статистически распределенных данных.

Он также провел первое систематическое исследование модульной арифметики — с использованием целочисленного деления и модуля — которая теперь находит применение в теории чисел, абстрактной алгебре, информатике, криптографии и даже в визуальном и музыкальном искусстве.

Занимаясь довольно банальной геодезической работой для Королевского дома Ганновера в годы после 1818 года, Гаусс также изучал форму Земли и начал размышлять о революционных идеях, таких как форма самого пространства.Это заставило его усомниться в одном из центральных принципов всей математики, евклидовой геометрии, которая явно исходила из плоской, а не искривленной Вселенной. Позже он утверждал, что рассматривал неевклидову геометрию (к которой, например, не применима параллельная аксиома Евклида), которая была внутренне последовательной и свободной от противоречий еще в 1800 году. Однако, не желая оспаривать полемику, Гаусс решил не развивать и не публиковать какие-либо из его авангардных идей в этой области, оставив поле открытым для Бойяи и Лобачевского, хотя некоторые до сих пор считают его пионером неевклидовой геометрии.

Кривизна Гаусса

Ганноверские исследования также подогрели интерес Гаусса к дифференциальной геометрии (область математики, имеющая дело с кривыми и поверхностями) и к тому, что стало известно как гауссово кривизна (внутренняя мера кривизны, зависящая только от того, как измеряются расстояния на поверхности, а не от того, как она встроена в пространство). В целом, несмотря на довольно скучный характер его работы, обязанности по уходу за больной матерью и постоянные ссоры с его женой Минной (которая отчаянно хотела переехать в Берлин), это был очень плодотворный период его академической жизни. и он опубликовал более 70 статей между 1820 и 1830 годами.

Достижения Гаусса, однако, не ограничивались чистой математикой. В годы геодезии он изобрел гелиотроп, инструмент, который использует зеркало для отражения солнечного света на больших расстояниях, чтобы отмечать позиции при съемке местности. Позже он сотрудничал с Вильгельмом Вебером в измерениях магнитного поля Земли и изобрел первый электрический телеграф. В знак признания его вклада в теорию электромагнетизма международная единица магнитной индукции известна как гаусс.

Уловка Гаусса — семинар для сотрудников

Начало работы

Можете ли вы сложить первые 10 чисел в уме? А как насчет первых 100 или первой тысячи? В твоем воображении!

Карл Фридрих Гаусс был специальным математиком. История гласит, что в школе, в возрасте 8 лет, он очень быстро сумел сложить первые 100 чисел. Мне нравится думать, что учитель использовал этот трюк много раз, чтобы занять класс надолго, пока он вздремнул.Он знал, что его ждет долгий период затишья, пока класс не работает. Даже если один из них получил ответ, учитель мог попросить его проверить его, чтобы отнять больше времени. Но он не стал торговаться с этим не по годам развитым восьмилетним мальчиком.

В мгновение ока Гаусс получил 5050. Но он не только смог так быстро вычислить сумму первых 100 чисел, но и смог обосновать правильность своего ответа. И вы сделаете это до того, как проведете этот семинар для сотрудников.

Возможно, вы захотите прочитать о Карле Фридрихе на одном из многих веб-сайтов.Стоит кое-что записать о Гауссе. Например, где он жил, когда жил, какие бытовые проблемы у него были и тому подобное. Стоит достать карту современной Германии и показать, где находится Брауншвейг. Насколько я помню, это недалеко от Ганновера и старой границы между Восточной и Западной Германией.

Так в чем же секрет и как с его помощью впечатлить друзей и коллег?

Пример 1

Сначала я с трудом сложу целые числа от 1 до 10, чтобы вы могли увидеть, как все работает.Предположим, что сумма первых 10 чисел равна S. Тогда

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

Интересно то, что если мы сложим числа в обратном направлении, мы получим тот же ответ. Что ж, очевидно! Но давайте все равно сделаем это.

S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

И что? Что ж, я сделаю так, чтобы было легче увидеть, поместив эти два способа написания S друг под другом.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

S = 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Теперь просто добавьте S к S. Я знаю, что мы, кажется, уходим еще дальше от значения S, которое мы так стремимся получить, но терпите меня. Что ты видишь? Какие закономерности начинают проявляться?

К счастью для Гаусса и нас,

1 + 10 = 2 + 9 = 3 + 8 = 4 + 7 = 5 + 6 = 6 + 5 = 7 + 4 = 8 + 3 = 9 + 2 = 10 + 1 = 11.

Сумма всех этих пар чисел дает 11! Это означает, что

2S = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11 + 11.

Там , , , , десять 11, так что

2S = 10 × 11 = 110.

Итак, S = 5 × 11 = 55.

Но этот трюк нельзя повторять снова и снова. Так что мы его доим изо всех сил.

Пример 2

Давайте сложим числа Гаусса, все целые числа от 1 до 100. Пусть снова S будет этой суммой. Итак, S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 98 + 99 + 100.

Теперь вы видите, что я был довольно ленив и опустил все числа от 6 до 97.Но мы с вами знаем, что они действительно есть. Многоточие (…) говорит нам об этом.

О очередь!

S = 100 + 99 + 98 +… + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Теперь давайте объединим эти две вещи и посмотрим, что произойдет.

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + 98 + 99 + 100.

S = 100 + 99 + 98 +… + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Здесь магическая сумма равна 101. Каждая пара чисел, одна над другой, складывается до 101.Итак, 2S = 101 + 101 + 101 +… + 101 + 101 + 101.

Единственная проблема, которая у нас сейчас есть, — это подсчитать, сколько там 101. Но это не должно быть проблемой. В конце концов, мы начали со 100 чисел, поэтому у нас должно быть 100 сумм, которые складываются с 101. Итак, 2S = 100 × 101.

Это означает, что S = 50 × 101 = 5050.

И Гаусс опередил нас всего на столетие или два.

Теперь вы видите быстрый способ сложить первые 1000 целых чисел? Как насчет первых 10 000, первых 100 000 или первого миллиона?

Пример 3

Я приведу еще один последний пример, прежде чем мы сделаем то, что делает каждый хороший математик, а именно попытаемся обобщить то, что мы делали.Другими словами, мы попытаемся найти закономерность. А пока давайте сложим первые 67 целых чисел.

S = 1 + 2 + 3 +… + 65 + 66 + 67.

S = 67 + 66 + 65 +… + 3 + 2 + 1.

На этот раз ключ — 68. Ведь 1 + 67 = 68 = 2 + 66 = 3 + 65 =…

Итак, 2S = 68 + 68 + 68 +… + 68 + 68 + 68.

Затем мы снова сталкиваемся с попыткой вычислить, сколько всего этих сумм. Но мы начали с шестидесяти семи чисел, поэтому у нас должно быть шестьдесят семь 68.Итак, 2S = 67 × 68, или S = ​​67 × 34 = 2278.

Есть какие-нибудь предположения об общей картине здесь?

Обобщение

Я полагаю, что у нас должно быть достаточно информации, чтобы мы могли найти сумму первых n целых чисел, где n — любое значение, которое нам нравится. Давайте посмотрим, что нам нужно, чтобы увидеть, сможем ли мы сделать предположение, предположение о том, что происходит на самом деле.

Мы начали с n = 10 и получили S = ​​10 × 11 ÷ 2;

, тогда n = 100 дало нам S = 100 × 101 ÷ 2;

, то n = 67 дает нам S = 67 × 68 ÷ 2.

Похоже, нам нужно взять число, которое мы хотим суммировать, умножить на это число плюс 1, а затем разделить на 2. Итак, у нас есть

Гипотеза 1: Сумма S первых n чисел равна S = (n x (n +1)) / 2.

Можем ли мы это оправдать, доказать?

Хорошо, пусть S будет суммой чисел от 1 до n, независимо от n.

Если ваша алгебра немного заржавела, измените n ниже на «любое число», измените n — 1 на «любое число минус один», измените n + 1 на «любое число плюс один» и так далее.

Испытанным методом получаем

S = 1 + 2 + 3 +… + (n — 2) + (n — 1) + n.

S = n + (n — 1) + (n — 2) +… + 3 + 2 + 1.

Итак, делая то, что теперь естественно, получаем

2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) +… + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1).

Поскольку вначале было n чисел, теперь должно быть n партий (n + 1). Итак,

2S = n × (n + 1).

Итак, S = (n x (n + 1)) / 2.

Похоже, мы опровергли эту гипотезу. Прежде чем продолжить, вы можете подумать над следующими вопросами.

(i) Дает ли эта формула правильный ответ, если n = 15?

(ii) Конечно, S должно быть целым числом, поскольку мы складываем первые n целых чисел. Но мы делим на 2 в правой части уравнения. Может ли n × (n + 1) иногда быть нечетным и все портить?

(iii) О чем эта формула говорит словами?

Немного дальше

Но вам не обязательно прибавлять только первое такое количество чисел.Предположим, мы хотим сложить все числа от 8 до 93. Как мы могли это сделать?

Мне кажется, что мы могли бы сделать это по крайней мере тремя способами, но я не буду беспокоиться о том, когда вы складываете числа вместе по одному.

Метод 1: Мы могли бы записать числа от 8 до 93 в обычном порядке, а затем записать их в обратном порядке, как мы это делали в других примерах. Я предоставлю вам сделать это, чтобы посмотреть, что вы получите.

Method 2: С другой стороны, мы можем сначала прибавить 1 к 7, а затем 1 к 93, используя нашу формулу.Тогда мы сможем вычесть меньшее из большего. Как это:

В 1 + 2 +… + 6 + 7, «любое число», n равно 7, поэтому сумма этих чисел составляет (7 x 8) / 2 = 28.

В 1 + 2 +… + 92 + 93, «любое число», n равно 93, поэтому сумма этих чисел составляет (93 x 94) / 2 = 4371.

Итак, нам нужна сумма 4371 — 28 = 4343.

Прежде чем продолжить, вы можете подумать над следующими вопросами.

(iv) Существует ли формула для суммы чисел от любого числа, которое вы выберете (например, 8), до любого другого числа, которое вы выберете (например, 93)? Другими словами, можете ли вы обобщить гипотезу?

(v) Вы видите, как мы медленно попадаем в более сложные ситуации? Это путь, по которому математика всегда пытается расширить наши знания о мире.

(vi) В свете мысли в (v), куда мы должны двигаться дальше? Каким будет следующий способ расширить то, что мы делаем? Мы пробовали переходить от 1 к чему-то, а затем от чего-то к чему-то еще, но шаги от числа к числу всегда были единицами. Можем ли мы добиться прогресса, если ступеньки больше единицы?

(vii) В конце концов, существует ли только одна формула для ряда сложений, которые не просто складывают первое такое количество чисел? Что могла бы быть эта формула на словах?

Семинар

Еще раз вам придется подумать о том, как представить этот материал, который лучше всего подходит для ваших сотрудников, но как насчет следующего?

Установите их, задав им вопрос, который задал ему учитель Гаусса.Пусть они поработают немного. Затем дайте им понять, что 8-летний ребенок может сделать это в своей голове. Это должно привести к поиску некоторых закономерностей в числах от 1 до 100, которые могут облегчить быстрое суммирование. Например, некоторые группы видят, что 1 + 100 = 2 + 99 и так далее. Обычно они не думают о сложении двух сумм S. Но вы можете быстро сложить числа от 1 до 100 и другим способом.

Тогда попробуйте их с другими примерами. Если вы вооружитесь калькулятором, вы можете предложить им сложить числа от 1 ко всему, что они выберут, быстрее, чем вы.

Тогда они должны подумать, что вы знаете, чего они не знают? Попросите их привести несколько примеров и предположить, что это за образец.

В зависимости от того, насколько хорошо дела обстоят, вы можете нажать на некоторые арифметические прогрессии, где общая разница не равна 1 (см. Раздел 8). С заинтересованной группой вы могли бы даже провести доказательство.

Но вы должны сказать кое-что о Гауссе и его значении на математической сцене. Вы также должны найти несколько интересных историй о нем по ссылке, которую я дал выше.Немного истории никогда не заблудится.

Ответы на некоторые вопросы

В этом разделе мы завершаем работу, которую мы проделали в разделах со 2 по 6. Конечно, насколько далеко вы зайдете с этой проблемой, будет зависеть от алгебраической уверенности ваших сотрудников, хотя вы можете полностью обойти алгебру, если думаете, что она пойдет. как свинцовый шар. В любом случае, постарайтесь немного вытолкнуть их из зоны комфорта, но бросьте им спасательный круг, когда они тонут. Мы оставляем это решение на ваше усмотрение, но здесь должно быть достаточно материала для вашего семинара.

Сейчас я попытаюсь найти формулу для суммы строки чисел, в которой шаг вверх от одного числа к другому всегда одинаков. Приведу два примера, а затем решу задачу в целом.

Первый пример: Суммируйте числа 2 + 4 + 6 +… + 64 + 66 + 68.

Мы можем сделать это несколькими способами. Прямое сложение — это единица, равно как и деление всех чисел в сумме на 2 с использованием известной нам формулы. Однако я возвращаюсь к испытанному методу «сначала вперед, затем назад».Итак, пусть S будет суммой, которую мы ищем. Итак, вперед, затем назад, мы имеем

S = 2 + 4 + 6 +… + 64 + 66 + 68.

S = 68 + 66 + 64 +… + 6 + 4 + 2.

Это означает, что 2S = 70 + 70 + 70 +… + 70 + 70 + 70.

Единственная проблема сейчас в том, сколько там терминов? Что ж, если бы мы разделили все исходные числа на 2, мы получили бы 1 + 2 + 3 +… + 32 + 33 + 34. Поскольку здесь 34 члена, должно быть 34 члена в S. Итак, 2S = 34 × 70 и S = ​​(34 x 70) / 2 = 1190.

Вы можете проверить это одним из других методов, но это немного похоже на формулу, которую мы нашли в разделе 5.

Второй пример: Суммируйте числа 9 + 12 + 15 +… + 54 + 57 + 60.

Мы можем сделать это несколькими способами. Прямое сложение — это единица, как и деление всех чисел в сумме на 3 и использование известной нам формулы. Однако я возвращаюсь к испытанному методу «сначала вперед, затем назад». Итак, пусть S будет суммой, которую мы ищем.Итак, вперед, затем назад, мы имеем

S = 9 + 12 + 15 +… + 54 + 57 + 60.

S = 60 + 57 + 54 +… + 15 + 12 + 9.

Это означает, что 2S = 69 + 69 + 69 +… + 69 + 69 + 69.

Единственная проблема сейчас в том, сколько там терминов? Что ж, если бы мы разделили все исходные числа на 3, у нас было бы 3 + 4 + 5 +… + 18 + 19 + 20. Поскольку здесь 20 — 2 = 18 членов, должно быть 18 членов в S. Итак, 2S = 18 × 69 и S = ​​(18 x 69) / 2 = 621.

Вы можете проверить это одним из других методов.Здесь есть закономерность? Эти слова звучат знакомо?

Общий пример: Можем ли мы сначала угадать, что мы надеемся найти? Мы хотели бы найти формулу для суммы набора чисел, которые где-то начинаются и попадают в другое место, но при этом шаг между числами всегда одинаков. Исходя из имеющейся у нас информации, можем ли мы угадать, какой могла бы быть формула, прежде чем мы разберемся в беспорядке алгебры, с которым нам придется столкнуться, чтобы получить ответ? В каждом случае, какие два числа мы умножаем, чтобы получить S?

Хорошо, мы знаем, что когда мы добавили от 1 до n, числа были n и n + 1.Когда мы добавили от 2 до 68, их было 34 и 70; когда мы добавили от 9 до 60, их было 18 и 69.

Очевидно, что в каждом случае большее число — это общая сумма, которую мы получаем, складывая большие числа с меньшими числами. Эти большие числа представляют собой сумму наименьшего и наибольшего чисел.

А как насчет 34 и 18? И как они соотносятся с n, которое мы получили при сложении первых n чисел. Что у них общего? Разве это не просто количество складываемых чисел? Означает ли это, что формула, которую мы должны получить, содержится в следующей гипотезе?

Гипотеза 2: Если S — сумма любой из этих строк, где есть общая разница, S = ((количество членов) (сумма первого и последнего чисел)) / 2

Найдите в формуле другие наборы чисел, которые где-то начинаются и растут на постоянную величину.Другими словами, наборы чисел, в которых есть общая разница между последовательными числами.

На данном этапе у нас есть предположение относительно того, каким может быть ответ. Это довольно сильная гипотеза, потому что она работает на множестве примеров. Но можем ли мы доказать, что это работает для каждого набора чисел с общим свойством разности? Ну конечно можем. И сначала мы покажем это словесным методом, а затем посмотрим, насколько проще выразить то же самое с помощью алгебры.

Предположим, что набор чисел — это некоторое число, первое число; некоторое число плюс общая разница, второе число; некоторое число плюс общее различие плюс общее различие, третье число; до самого большого числа, последнего числа.

Тогда сумму S можно записать двумя обычными способами:

S = первое число + второе число +… + второе последнее число + последнее число

S = последнее число + второе последнее число +… + второе число + первое число.

Теперь первое число + последнее число = второе число + второе последнее число. Это потому, что мы поднимаемся на общую разницу, идущую от первого числа ко второму числу, и вниз на общую разницу, идущую от последнего числа ко второму последнему числу.Итак, как обычно, все отдельные суммы одинаковы. Итак,

2S = (первое число + последнее число) + (первое число + последнее число) +… + (первое число + последнее число) + (первое число + последнее число).

Но в скобках указана одна из сумм для каждого из слагаемых исходной суммы. Итак, 2S = (количество терминов) (первое число + последнее число), и поэтому S = (количество терминов) (первое число + последнее число) ÷ 2.

Это то, о чем мы догадывались выше. И теперь мы доказали гипотезу, и она верна для любого набора чисел, который увеличивается с одинаковыми шагами.Эти наборы называются Арифметические прогрессии .

Между прочим, математики работали во многом так же, как мы, до изобретения алгебры. Даже в работе Ньютона вы найдете уравнения со словами. Здесь это неплохо, но может стать очень громоздким. С появлением алгебры математическая жизнь значительно улучшилась.

Если вам нужна полная алгебраическая версия, вот она. Пусть первый член будет a, общая разница будет d, а количество членов будет n.Тогда

S = a + (a + d) + (a + 2d) +… + [a + (n — 3) d] + [a + (n — 2) d] + [a + (n — 1) d ]

S = [a + (n — 1) d] + [a + (n — 1) d] + [a + (n — 1) d] +… + (a + 2d) + (a + d) + а

Итак, 2S = [2a + (n — 1) d] + [2a + (n — 1) d] + [2a + (n — 1) d] +… + [2a + (n — 1) d] + [2a + (n — 1) d] + [2a + (n — 1) d]

или S = ​​n [2a + (n — 1) d] ÷ 2.

Одним из преимуществ этого метода является то, что легче увидеть, что сумма каждой пары соответствующих терминов одинакова.Другой заключается в том, что он записывает ответ в терминах первого члена, количества терминов и общей разницы. Единственный недостаток, по-видимому, заключается в том, что он скрывает тот факт, что формула включает «первое число плюс последнее число», записывая это выражение как [2a + (n — 1) d]. И форму, которую мы написали в Гипотезе 2, легче запомнить.

Гаусс

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) считается
величайший немецкий математик девятнадцатого века.Его открытия и сочинения повлияли и оставили прочный
отметка в области теории чисел, астрономии, геодезии,
и физика, особенно изучение электромагнетизма.

Гаусс родился в Брауншвейге, Германия, 30 апреля 1777 года.
бедным родителям из рабочего класса. Его отец работал
садовник и каменщик и считался вертикальным,
честный человек. Однако он был суровым родителем, который отговаривал
его маленький сын из школы, с ожиданиями
что он будет заниматься одним из семейных занятий.К счастью,
Мать и дядя Гаусса, Фридрих, узнали
гений с самого начала и знал, что он должен развивать этот одаренный
интеллект с образованием.

На уроке арифметики в возрасте десяти лет Гаусс
проявил свои способности вундеркинда, когда суровый
учитель дал следующее задание: «Запишите
все целые числа от 1 до 100 и сложите их сумму ».
Когда каждый студент закончил, он должен был принести свою доску.
вперед и положите на парту учителя, одну на
сверху другого.Учитель ожидал от новичка
класс, чтобы уделить время, чтобы закончить это упражнение. Но в
несколько секунд, к удивлению учителя, Карл продолжил
в переднюю часть комнаты и положил свой грифель на стол.
Гораздо позже другие студенты передали свои планшеты.

В конце урока результаты были проверены,
с большинством из них ошибаются. Но когда учитель посмотрел
на грифельной доске Карла он был поражен, увидев только одно число:
5050.Затем Карлу пришлось объяснить своему учителю, что он
нашел результат, потому что он мог видеть, что 1 + 100 = 101,
2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, так что он может найти 50 пар
числа, каждое из которых дает в сумме 101. Таким образом, если 50 умножить на 101,
равняется 5050.

В возрасте четырнадцати лет Гаусс смог продолжить свое
образование с помощью Карла Вильгельма Фердинанда, герцога
Брансуик. После встречи с Гауссом герцог был так впечатлен
одаренным студентом с фотографической памятью, которую он
пообещал финансовую поддержку, чтобы помочь ему продолжить его
учится в Кэролайн-колледже.В конце своего колледжа
лет Гаусс сделал потрясающее открытие, что до этого
время, как считали математики, было невозможно. Он нашел
что правильный многоугольник с 17 сторонами можно было нарисовать, используя
просто компас и линейка. Гаусс был так счастлив
и гордится своим открытием, что он отказался от своего намерения
изучал языки и обратился к математике.

Герцог Фердинанд продолжал оказывать финансовую поддержку
молодой друг, как Гаусс, продолжил учебу в
Геттингенский университет.Пока он представил доказательство
что каждое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень или
решение. Эта теорема бросила вызов математикам.
столетий и называется «основной теоремой
алгебра ».

Следующее открытие

Гаусса было в совершенно другой области
математика. В 1801 году астрономы открыли то, что они
Мысль была планетой, которую они назвали Церерой. Они
в конце концов потеряли Цереру из виду, но их наблюдения были
сообщил Гауссу.Затем он вычислил его точное
положение, так что его было легко открыть заново. Он также
работал над новым методом определения орбит новых
астероиды. В конце концов эти открытия привели к тому, что Гаусс
назначение профессором математики и директором
обсерваторию в Гёттингене, где он оставался в своей
официальное положение до его смерти 23 февраля 1855 года.

Карл Фридрих Гаусс, хотя он посвятил свою жизнь
математике, хранил свои идеи, проблемы и решения в
личные дневники.Он отказался публиковать теории, которые
не закончен и не совершенен. Тем не менее, он считается, наряду с
с Архимедом и Ньютоном, чтобы быть одним из трех
величайшие математики, которые когда-либо жили.

Суммирование по Гауссу | Давайте поговорим о науке

Суммирование по Гауссу

Суммирование Гаусса названо в честь Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Он был немецким математиком. Гаусс — один из самых влиятельных математических мыслителей в истории.Легенда гласит, что Гаусс придумал новый метод суммирования последовательностей в очень молодом возрасте. Легенда гласит, что его учитель математики попросил класс сложить числа от 1 до 100. Другими словами, учитель хотел, чтобы они сложили 1 + 2 + 3 + 4 + 5… до 100!

Учитель предположил, что это займет у учеников очень много времени. Подумайте, сколько времени вам понадобится, чтобы сложить все числа от 1 до 100 по одному. Однако Гаусс почти сразу ответил: 5050 .

Эта история может быть не совсем правдой. Но это напоминает нам, что самые молодые студенты иногда открывают новые математические закономерности. Теперь давайте подумаем о схеме, которую использовал Гаусс для быстрого решения этой проблемы.

Уловка, которую использовал Гаусс для решения этой проблемы, заключается в том, что не имеет значения, в каком порядке мы складываем числа. Независимо от того, в каком порядке мы будем следовать, мы получим тот же результат.

Например:

2 + 3 имеет тот же ответ, что и 3 + 2.

Мы можем умело переупорядочивать числа от 1 до 100. Это может помочь нам добавить их быстрее. Вот простой пример, который покажет вам, как работает эта стратегия группировки.

Допустим, вы хотите сложить числа от 1 до 10.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =?

Схема, показывающая сложение пар от одного до десяти (© 2021 Let’s Talk Science).

Теперь вы могли заметить кое-что странное. Каждая из этих пар в сумме дает 11.Итак, мы можем думать о нашей проблеме так:

(1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) =?

(11) + (11) + (11) + (11) + (11) =?

Так как у нас 5 пар, наш ответ —

11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 11 x 5 = 55

Ну, это уже кое-что!

Давайте посмотрим на это по-другому. Вместо того, чтобы выстраивать числа в один ряд. Выровняйте числа в два ряда. В первой строке цифры идут вверх.Во втором ряду цифры идут вниз. От 1 до 10 это будет выглядеть так.

Изображение — текстовая версия

Цифры от 1 до 10 выстроены в порядке возрастания в верхнем ряду. Цифры с 10 до 1 выстроены в порядке убывания в нижнем ряду.

Теперь просуммируйте каждый столбец.

Изображение — текстовая версия

Сумма каждого столбца — 11.

Сумма всех приведенных выше чисел — это количество пар , умноженное на сумму каждой пары .Но нам нужна только сумма одной строки, а не обеих строк. Итак, нам нужно разделить наш ответ на 2.

Мы можем записать это как:

Изображение — текстовая версия

Сумма — это количество пар, умноженное на сумму каждой пары, и эта сумма делится на 2. В нашем случае десять умножается на одиннадцать, а затем делится на два. Это дает окончательную сумму 55.

Мы можем использовать алгебру , чтобы помочь нам представить этот паттерн. Алгебра использует буквы и другие символы для представления чисел в уравнениях.Мы можем использовать букву n , чтобы обозначить, сколько чисел в нашем списке. Это самое большое число. В нашем примере n будет равно 10. Число пар будет делением этого числа на 2. Вы заметите, что размер пары равен количеству пар плюс 1. Итак, мы могли бы написать use n для записи

(количество пар) x (сумма каждой пары) = n / 2 x (n +1)

Но помните, как и раньше, нам нужна сумма только одной строки, а не обеих. Таким образом, мы разделим приведенную выше формулу на 2 и получим:

Изображение — текстовая версия

n вне скобки, за которым следует n плюс один внутри скобки.Это делится на 2.

Можем ли мы сделать то же самое для общего нечетного числа, скажем, 67? Попробуйте сами, прежде чем смотреть ответ ниже.

Вопрос:

1 + 2 + 3 + 4… .. 66 + 67 =?

(Ответ внизу страницы)

Схема, показывающая сложение пар от одного до десяти (© 2021 Let’s Talk Science).

Приложения реального мира

Эта задача является примером нахождения суммы арифметической последовательности .Последовательность — это набор упорядоченных чисел. В арифметической последовательности расстояние между любыми двумя последовательными числами одинаково. Мы можем использовать метод Гаусса, чтобы найти сумму любой арифметической последовательности.

Последовательность удаления кусочков пиццы (Источник: Lebazele через iStockphoto).

Нахождение суммы последовательности может помочь людям решить множество реальных проблем. Компании находят сумму последовательностей для оценки затрат или доходов. Даже расчет стоимости такси — это сумма арифметической последовательности.Вы начинаете с базового тарифа. Ваша общая стоимость увеличивается на ту же сумму каждую минуту.

Нахождение суммы последовательности также является распространенным вопросом информатики. Для этого компьютерные ученые используют метод Гаусса. Вопрос о пропущенном номере — это распространенный технический вопрос на собеседовании. Для ее решения нужен метод Гаусса. Многие из этих приложений используют сложные формулы. Однако на самом деле они просто используют метод Гаусса для нахождения суммы последовательности.

ОТВЕТ

1 + 2 + 3 + 4 …… 66 + 67 =?

п = 67, п + 1 = 68

п (п + 1) / 2

67 х 68/2

= 2 278

Карл Фридрих Гаусс — MagLab

Карл Фридрих Гаусс, хотя он больше всего известен как один из величайших математиков всех времен, был пионером в изучении магнетизма и электричества.

Для обширного исследования земного магнетизма он изобрел первый тип магнитометра, устройства, которое измеряет направление и силу магнитного поля. Гаусс также разработал последовательную систему магнитных единиц и вместе с Вильгельмом Вебером построил один из первых электромагнитных телеграфов. Законы Гаусса, описывающие магнитные и электрические потоки, послужили частью основы, на которой Джеймс Клерк Максвелл разработал свои знаменитые уравнения и электромагнитную теорию.

Иоганн Фридрих Карл Гаусс родился в 1777 году в бедной семье в Брауншвейге, Германия.Мальчик оказался вундеркиндом в математике. Удивительные вычислительные способности Гаусса вызвали интерес его учителей, и ребенок получил хорошее образование, несмотря на отсутствие денег. Его учителя дали ему продвинутые учебники и познакомили его с работами выдающихся математиков того времени. Навыки Гаусса в этой области, а также его способность к языкам в конечном итоге принесли ему покровительство герцога Брауншвейгского. Эти средства позволили Гауссу учиться в Brunswick Collegium Carolinum, а затем в Геттингенском университете в 1795 году.Там он продолжал свое математическое образование до 1798 года.

Еще учась в Геттингене, Гаусс внес несколько важных вкладов в математику. В 1796 году он продемонстрировал, что гептадекагон (17-сторонний многоугольник) геометрически сконструирован. Он считал свое открытие, которое ускользало от ученых и математиков на протяжении тысячелетий, настолько важным, что после своей смерти попросил начертать на его надгробии семиугольник. Однако в то время эта задача казалась каменщикам слишком сложной.Также в 1796 году он продвинул теорию чисел за счет развития модульной арифметики и формулировки закона квадратичной взаимности, продемонстрировал теорему о простых числах и обнаружил, что все целые числа могут быть представлены в виде суммы не более чем трех треугольных чисел. Вскоре последовали многие другие математические открытия, хотя, когда Гаусс покинул Геттинген, он еще не получил ученой степени. По просьбе своего покровителя Гаусс подал диссертацию на соискание докторской степени в Университет Хельмштедта, который предоставил ему степень за первоначальное доказательство фундаментальной теоремы алгебры (он улучшал это доказательство на протяжении всей своей жизни).

Имея докторскую степень, Гаусс был уверен в постоянном покровительстве герцога, что позволяло ему заниматься математикой и наукой, не заботясь о деньгах. В 1801 году он опубликовал две заметные работы. Один из них был Disquisitiones arithmeticae , трактат, который он начал несколько лет назад и который представлял собой всестороннее изложение теории чисел. В нем Гаусс рассказал о работе своих математических предшественников, но также исправил все обнаруженные им ошибки и недостатки и включил свои собственные новые вклады в эту тему.Трактат служил основополагающим текстом теории чисел на протяжении большей части XIX века.

Вторая крупная публикация

Гаусса, вышедшая в 1801 году, отразила его растущий интерес к астрономии. В 1800 году астероид Церера был открыт итальянским астрономом Джузеппе Пиацци. Открытие вызвало интерес научного сообщества, но Церера переместилась за Солнце прежде, чем кто-либо смог очень точно рассчитать ее орбиту. В результате никто не знал, где искать астероид, когда он снова появится, хотя многие ученые пытались это сделать.Гаусс был первым, кто преуспел в задаче, которая потребовала от него использования метода аппроксимации наименьших квадратов и улучшенной оценки формы орбиты. Когда Гаусс опубликовал свое открытие, он получил широкое признание и стал популярным благодаря своим навыкам в астрономии. Он отклонил несколько предложений руководить зарубежными обсерваториями из-за своей лояльности своему немецкому покровителю. В 1807 году Гаусс действительно получил должность в обсерватории в Геттингене, которую он значительно улучшил с годами. Его исследования там привели к написанию ряда других работ, касающихся астрономии.

Гаусс часто обращал свое внимание на проекты, которые он считал важными для общества, в дополнение к тем, которые просто вызывали его научный интерес. Одним из таких проектов была тщательная геодезическая съемка города Ганновер. Сложная и утомительная работа началась в 1818 году и не была завершена до 1832 года. Трудности, которые она представляла, подтолкнули Гаусса к разработке различных усовершенствований геодезической съемки. В частности, он изобрел гелиотроп (устройство, в котором использовалось зеркало для увеличения солнечных лучей с целью отправки сигналов удаленным наблюдателям), продвинул понимание искривленных поверхностей и предложил улучшенные методы картографии.

Ближе к концу своего исследовательского проекта Гаусс познакомился с Вильгельмом Вебером, профессором физики в Геттингенском университете. Двое ученых разделяли интерес к электричеству и магнетизму и быстро подружились. Их объединение привело к ряду достижений в этих областях. Вскоре после встречи Гаусс и Вебер начали работу, связанную с земным магнетизмом, а позже открыли законы Кирхгофа для электрических цепей. Чтобы ускорить общение друг с другом, Гаусс и Вебер также построили телеграфную систему, которая связала лабораторию Вебера с обсерваторией почти в миле от них.

И Гаусс, и Вебер признали, что точные измерения имеют решающее значение для получения согласованных результатов, необходимых для разработки и проверки научных законов. В результате они разработали новые системы единиц измерения электричества и магнетизма. В начале 1830-х годов Гаусс определил систему магнитных единиц, основанную на длине, массе и времени. Несколько лет спустя Вебер определил ряд электрических единиц. Эти системы послужили основой первой попытки стандартизации терминологии и определений, осуществленной Комитетом Британской ассоциации по электрическим стандартам в 1860-х годах.В конце концов гаусс был принят как термин, используемый в системе единиц cgs (сантиметр-грамм-секунда) для описания единицы плотности магнитного потока или магнитной индукции. Оба мужчины также разработали более чувствительные измерительные приборы. В 1833 году Гаусс опубликовал свое описание устройства, которое он назвал магнитометром , более известным сегодня как магнитометр. Позже Вебер разработал электродинамометр , в котором для измерения электрического тока и напряжения использовались взаимодействующие магнитные поля двух катушек.

После того, как Вебер был уволен со своей должности в 1837 году, исследования Гаусса начали сокращаться. Он действительно продолжал переписываться с другими учеными в течение многих лет, однако часто указывал на недостатки в их работе или намекал, что сделал то же открытие ранее. В душе перфекционист, нерешительность Гаусса опубликовать что-либо, что не было бы безупречным, помешала ему сделать многие из своих открытий публично известными. Многие из его взглядов и расчетов не были обнаружены до тех пор, пока его заметки и другие неопубликованные сочинения не были просмотрены после его смерти.

В личной жизни Гаусс сталкивался с проблемами, которые труднее решить, чем его математические задачи. Он пережил двух жен и двоих из шести своих детей и, как сообщается, временами страдал от депрессии. После смерти его второй жены в 1832 году его дочь от нее взяла на себя домашние обязанности. Она жила со своим отцом и заботилась о нем, пока он не скончался 23 февраля 1855 года.

Кем был Иоганн Карл Фридрих Гаусс? Цитаты и факты о «принце математики», отмеченном в сегодняшнем дудле Google

Google Doodle отмечает 241-й день рождения Иоганна Карла Фридриха Гаусса, немецкого математика, которого называют «принцем математики», которому приписывают сочетание теории и практики и продвижение технологических инноваций посредством его работа.

Легенда гласит, что Гаус проявил свой вычислительный талант в детстве, когда учитель поручил классу суммировать все числа от 1 до 100, и он нашел простое и элегантное решение проблемы, вспоминаемое в биографии 1955 года «Карл. Фридрих Гаусс: титан науки ».

Он понял, что проблему можно решить, записав числа в два столбца, чтобы получить 50 пар чисел, общее количество которых равно 101. Затем он вычислил окончательный ответ — 5 050 — в течение нескольких минут.Хотя анекдот может быть правдой, а может и нет, формула для вычисления суммы ряда с тех пор была приписана ему.

Талант вундеркинда был признан герцогом Брауншвейгским, который финансировал его изучение математики в Геттингенском университете. Первоначально его работа была сосредоточена на арифметике и геометрии. В конце концов он опубликовал свою первую книгу по алгебраической теории чисел в 1801 году под названием Disquisitiones Arithmeticae .

Его вторая публикация в 1809 году внесла вклад в область астрономии.Расчеты Гауса раскрыли тайну местонахождения астероида Церера, который был впервые обнаружен в 1801 году итальянским астрономом Джузеппе Пиацци, прежде чем он исчез из поля зрения астрономов, в результате чего они не смогли предсказать его орбиту. Новаторский метод Гаусса представил новый способ работы с ошибками наблюдения, который теперь известен как метод наименьших квадратов.

Проработав астрономом, Гаусс начал применять свои навыки в картографии, в которую он внес свой вклад в изобретение гелиотропа — инструмента, который с тех пор используется геодезистами для наблюдения за местоположениями и расстояниями, — и открытие формулы, выражающей концепцию земного шара. кривизна поверхности.

Позже он изучил земной магнетизм, изобрел магнитометр и вместе с физиком Вильгельмом Вебером изобрел первый электрический телеграф. Он умер в 1855 году от подозрения на сердечный приступ, его карьера длилась более пяти десятилетий.

Международный математический союз учредил награду в его честь в 2006 году в сотрудничестве с Немецким математическим обществом, чтобы подчеркнуть вклад математики в технологии.

Премия Карла Фридриха Гаусса присуждает золотую медаль в 14 карат и приз на сумму около 10 000 евро (14 000 долларов США) каждые четыре года за «выдающийся математический вклад, оказывающий значительное и продолжительное влияние на приложения, не относящиеся к математике.«

математиков (LR) Венделин Вернер, Андрей Окуньков, Теренс Тао, Джон Клейнберг позируют с Джунко, дочерью математика Киёси Ито из Японии, получившего премию Карла Фридриха Гаусса на Международном математическом конгрессе в Мадриде, 22 августа 2006 г. .
Андреа Комас / Reuters

Quotes

Gauß был также плодовитым писателем и мыслителем, чьи дневники и письма с тех пор цитировались в различных работах. Математика, естественно, становится его любимым предметом: «Математика — королева наук, а теория чисел — королева математики», — сказал он, как полагают.

В письме своему другу, венгерскому математику Яношу Бойяи, он писал о своем удовольствии постоянно углубляться в новые загадки.

«Величайшее наслаждение доставляет не знание, а акт познания, не владение, а процесс достижения цели», — писал он. «Когда я прояснил и исчерпал предмет, тогда я отворачиваюсь от него, чтобы снова погрузиться во тьму; никогда не удовлетворенный человек так странен, если он завершил структуру, то это не для того, чтобы пребывать в ней. мирно, но для того, чтобы начать другое.

Описанный как глубоко религиозный и консервативный человек, Гаус однажды заметил, что Бог тоже должен быть математиком: «Бог занимается арифметикой», — грустил он.

Он также признавал математический талант в других людях, включая женщин, в то время, когда женщинам отговаривали получать образование, особенно в области науки. Работа его современницы Софи Жермен произвела на Гаусс такое сильное впечатление, что он сожалел о ее смерти, прежде чем удостоился награды за почетную степень своего Геттингенского университета.«Софи Жермен доказала миру, что даже женщина может достичь чего-то в самых строгих и абстрактных науках», — сказал он однажды о ней.

Одно из наиболее известных замечаний Гаусса — это отход от его сосредоточенности на математике, когда он выражает свои чувства по поводу помолвки с его первой женой Йоханной Остхофф. «Жизнь стоит передо мной, как вечная весна с новыми яркими красками», — писал он, как сообщается. К сожалению, его счастье было недолгим, так как его жена умерла в 1809 году, через четыре года после их свадьбы (позже Гаус снова женился.)

Еще одна из его знаменитых цитат — его девиз «Немного, но зрелые», свидетельствующий о его стремлении к перфекционизму в его работе — и, возможно, причина, по которой, хотя он начал рассматривать существование неевклидовой геометрии, он так и не опубликовал сплоченное обсуждение предмета.

Карл Фридрих Гаусс — Хронология математики — Mathigon

c. 300 г. до н. Э .: Индийский математик Пингала пишет о нуле, двоичных числах, числах Фибоначчи и треугольнике Паскаля.

г. 260 г. до н. Э .: Архимед доказывает, что π находится между 3.1429 и 3.1408.

г. 235 г. до н.э.: Эратосфен использует алгоритм сита для быстрого поиска простых чисел.

г. 200 г. до н. Э .: «Суан шу шу» (Книга о числах и вычислениях) — один из старейших китайских текстов по математике.

г. 100 г. н. Э.: Никомах ставит старейшую нерешенную проблему в математике: существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа.

г. 250 г. н.э .: культура майя в Центральной Америке процветает, и в ней используется система счисления с основанием 20.

г.830 г. н.э .: Аль-Хорезми издает «Китаб аль-джабр ва аль-мукабала», первую книгу об алгебре и тезку по ней.

1202: Liber Abaci Фибоначчи вводит арабские цифры в Европу, а также простую алгебру и числа Фибоначчи.

1482: Первое печатное издание «Элементов» Евклида

1545: Кардано задумал идею комплексных чисел.

1609: Кеплер публикует «Astronomia nova», в которой объясняет, что планеты движутся по эллиптическим орбитам.

1618: Напье публикует первые упоминания числа е в книге по логарифмам.

1637: Ферма утверждает, что доказал Великую теорему Ферма.

1654: Паскаль и Ферма развивают теорию вероятностей.

1684: Лейбниц публикует первую статью по исчислению.

1687: Ньютон издает «Основы математики», содержащие законы гравитации и движения, а также свою версию исчисления.

1736: Эйлер решает проблему Кенигсбергских мостов, изобретая теорию графов.

1761: Ламберт доказывает, что π иррационально

1799: Гаусс доказывает основную теорему алгебры.

1829: Бойяи, Гаусс и Лобачевский изобретают гиперболическую неевклидову геометрию.

1832: Галуа находит общее условие для решения алгебраических уравнений, тем самым основывая теорию групп и теорию Галуа.

1858: Август Фердинанд Мебиус изобретает ленту Мебиуса.

1874: Кантор доказывает, что существуют разные «размеры» бесконечности и что действительные числа неисчислимы.

1895: Статья Пуанкаре «Analysis Situs» положила начало современной топологии.

1905: Эйнштейн объясняет фотоэлектрический эффект и броуновское движение, открывает специальную теорию относительности и E = mc².

1915: Нётер показывает, что каждый закон сохранения в физике соответствует симметрии Вселенной.

1931: Теорема Гёделя о неполноте устанавливает, что математика всегда будет неполной.

1939: Группа французских математиков издает свою первую книгу по теории множеств под псевдонимом Николя Бурбаки.

1961: Лоренц обнаруживает хаотическое поведение в моделировании погоды — эффект бабочки.

1976: Аппель и Хакен доказывают гипотезу четырех цветов с помощью компьютера.

1977: Адельман, Ривест и Шамир вводят криптографию с открытым ключом с использованием простых чисел.

1994: Эндрю Уайлс доказывает Великую теорему Ферма.

2000: Институт математики Клэя опубликовал семь задач, присуждаемых Премией тысячелетия.

2003: Перельман доказывает гипотезу Пуанкаре, единственную из семи решенных на сегодняшний день проблем тысячелетия.

г. 9100 г. до н.э .: старейшее известное сельскохозяйственное поселение на Кипре.

г. 2030 г. до н.э.: шумерский город Ур — самый большой город в мире.

г. 3500 г. до н. Э .: Первые колесные машины появляются в Месопотамии и Восточной Европе.

г. 3200 г. до н.э .: первые системы письма появляются в Месопотамии, Египте и долине Инда.

г. 3000 г. до н.э .: первые свидетельства плавки железной руды для производства кованого железа.

г. 2560 г. до н.э .: Великая пирамида Гизы построена в Древнем Египте для фараона Хуфу.

г. 1754 г. до н. Э .: Вавилонский царь Хаммурапи издает Кодекс Хаммурапи, один из первых юридических документов.

776 г. до н.э .: Первые Олимпийские игры проходят в Греции.

753 г. до н. Э .: Легендарная дата основания Рима.

г. 563 г. до н. Э .: Будда родился в Индии. Его учение стало основой буддизма.

г. 551 г. до н. Э .: Конфуций родился в Китае. Его учение стало основой конфуцианства.

490 г. до н. Э .: Греция остановила персидское вторжение в битве при Марафоне.Начинается классический период.

432 г. до н. Э .: Акрополь построен в Афинах в период своего расцвета при Перикле.

399 до н.э .: Сократ приговорен к смерти, отказывается бежать и выпивает чашу с ядом.

327 до н.э .: Александр Македонский вторгается в Индию, создав огромную империю по всей Азии.

г. 221 г. до н.э.: Цинь Шихуанди объединяет Китай и начинает строительство Великой стены.

146 г. до н. Э .: Римская армия разрушает Карфаген, положив конец Третьей Пунической войне.

44 г. до н. Э .: Юлий Цезарь убит.

4 г. до н. Э.: Иисус из Назарета родился в Вифлееме, утверждая христианство.

180 г. н. Э.: Смертью Марка Аврелия положен конец Pax Romana, 200-летнему периоду мира в Европе.

476 н.э .: падение Римской империи

570 н.э .: Мухаммад, основатель ислама, родился в Мекке.

г. 641 г. н.э .: Александрийская библиотека разрушена.

800 н.э .: Карл Великий коронован как первый император Священной Римской империи.

г. 870 г. н.э.: норвежские исследователи открывают и колонизируют Исландию.

1066: Вильгельм Завоеватель побеждает в битве при Гастингсе и становится королем Англии.

1088: Первый университет открыт в Болонье, Италия.

1096: Первый крестовый поход инициирован Папой Урбаном II.

1206: Чингисхан побеждает своих соперников и получает титул «Вселенский правитель монголов».

1215: Король Англии Иоанн вынужден подписать Великую хартию вольностей, ограничивая его полномочия.

1266: Марко Поло прибывает ко двору Хубилай-хана в Пекине.

г. 1347 год: Черная смерть убивает миллионы людей по всей Европе.

1439: Иоганнес Гутенберг изобретает печатный станок.

1453: Османские турки завоевывают Константинополь, отмечая падение Византийской империи.

1492: Христофор Колумб прибывает в Америку, начиная новую эру европейских завоеваний.

1517: Мартин Лютер публикует свои 95 тезисов, положив начало протестантской реформации.

1522: Экспедиция Фердинанда Магеллана облетает Землю.

1543: Польский ученый Николай Коперник пишет, что Земля вращается вокруг Солнца.

1588: При королеве Елизавете I Англия побеждает испанскую армаду.

1603: Впервые исполняется «Гамлет» Уильяма Шекспира.

1633: Католическая инквизиция судит Галилео Галилея за его научные труды.

1649: Король Карл I предан суду и обезглавлен во время Гражданской войны в Англии.

1756: Вольфганг Амадей Моцарт родился в Австрии.

г. 1765: Джеймс Ватт изобретает более эффективный паровой двигатель, который станет двигателем промышленной революции.

1776: Америка издает Декларацию независимости от Великобритании.

1789: Революционеры штурмуют Бастилию в Париже, начиная Французскую революцию.

1804: Наполеон коронован императором Франции.

1819: Симон Боливар побеждает Испанию в битве при Бояке, что приводит к независимости многих стран Южной Америки.

1837: Сэмюэл Морс и другие разрабатывают электрические телеграфы.

1859: Чарльз Дарвин публикует «Происхождение видов», вводя естественный отбор.

1865: Авраам Линкольн убит в конце Гражданской войны в США.

1876: Александр Белл изобретает телефон.

1903: Братья Райт создают первый самолет с двигателем тяжелее воздуха.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.