Чему равна сумма трапеции: Сумма углов трапеции. Сумма углов при боковой стороне

Содержание

Контрольная работа № 6 по геометрии 8 класс УМК Мерзляк и др. (5 вариантов)

Контрольная работа № 6 по геометрии 8 кл УМК Мерзляк и др.

Составила: Щеголева Л. Ф., учитель высшей категории.

Вариант 1 Г8 КР №6

1. Чему равна сумма углов выпуклого 12-угольника?

2. Площадь параллелограмма равна 144 кв. см, а одна из его высот равна 16 см. Найти сторону параллелограмма, к которой проведена эта высота.

3. Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 13 см, а один из катетов – 12 см.

4. Найти площадь ромба, диагонали которого равны 48 см и 55 см.

5. Основания прямоугольной трапеции равны 18 см и 12 см, а большая боковая сторона равна 10 см. Найти площадь трапеции.

Вариант 2 Г8 КР №6

1. Чему равна сумма углов выпуклого 17-угольника?

2. Площадь параллелограмма равна 104 кв. см, а одна из его сторон равна 13 см. Найти высоту параллелограмма, проведенную к этой стороне.

3. Найти площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 30 см, а боковая сторона – 17 см.

4. Найти сторону квадрата, равновеликого прямоугольнику, стороны которого равны 20 см и 5 см.

5. Площадь трапеции равна 105 кв. см, а её высота – 5 см. Найти основания трапеции, если одно из них в 2 раза больше другого.

Вариант 3 Г8 КР №6

1. Чему равна сумма углов выпуклого 22-угольника?

2. Площадь ромба равна 54 кв. см, а периметр равен 36 см. Найти высоту ромба.

3. Найти площадь прямоугольного треугольника, стороны которого равна 37 см, 12 см и 35 см.

4. Одна из сторон прямоугольника равна 28 см, а диагональ равна 53 см. Найти площадь этого прямоугольника.

5. Основания равнобедренной трапеции равны 8 см и 18 см, а периметр равен 56 см. Найти площадь трапеции.

Вариант 4 Г8 КР №6

1. Чему равна сумма углов выпуклого 27-угольника?

2. Найти площадь прямоугольной трапеции, боковые стороны которой равна 5 см и 13 см, а основания – 16 см и 22 см.

3. Найти площадь ромба, диагонали которого равны 5 см и 12 см.

4. Найти высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, если его катеты равны 10 см и 24 см.

5.Стороны параллелограмма равны 9 см и 12 см, а сумма двух его неравных высот равна 14 см. Найти площадь параллелограмма.

Вариант 5 (облегченный) Г8 КР №6

1. Чему равна сумма углов выпуклого 25-угольника?

2. Найти площадь параллелограмма, сторона которого равна 14,4 см, а высота, проведенная к ней равна 16 см.

3. Найти площадь прямоугольного треугольника, стороны которого равна 10 см, 6см и 8 см.

4. Найти площадь ромба, диагонали которого равны 4см и 5 см.

5. Основания прямоугольной трапеции равны 48 см и 62 см, а меньшая боковая сторона равна 20 см. Найти площадь трапеции.

Четырёхугольники, виды и свойства / math5school.ru






















































Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

∠A+∠B+∠C+∠D=360°.

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

∠A < ∠B+∠C+∠D,   ∠B < ∠A+∠C+∠D,

∠C < ∠A+∠B+∠D,   ∠D < ∠A+∠B+∠D.

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

a < b+c+d,   b < a+c+d,

c < a+b+d,   d < a+b+c.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

Если M, N, P, Q – середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, а  R, S – середины его диагоналей, то четырёхугольники MNPQ, MRPS, NSQR являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона.

Форма и размеры параллелограммов Вариньона связаны с формой и размерами данного четырёхугольника ABCD. Так MNPQ – прямоугольник, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны;  MNPQ – ромб, если диагонали четырёхугольника ABCD равны;  MNPQ – квадрат, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны и равны;

SABCD = 2SMNPQ .

Отрезки  MP, NQ и RS называются первой, второй и третьей средними линиями выпуклого четырёхугольника.

В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

MG=GP,   NG=GQ,   RG=GS .

Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

MP2+ NQ2+ RS = ¼(AB2+BC2+CD2+AD2+AC2+BD2).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

SABCD = MP·NQ·sinβ.

 

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости. 


Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

a+c = b+d.

Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:

a+c ≥ 4r,   b+d ≥ 4r.

Площадь описанного четырёхугольника:

= pr,

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.

Площадь описанного четырёхугольника:

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:

AK=AN,   BK=BL,   CL=CM,   DM=DN.

Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то

∠AOB+∠COD=∠BOC+∠AOD=180°.

Для описанного четырёхугольника ABCD со сторонами AB=a, BC=b, CD=c и AD=d верны соотношения:


Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:

∠A+∠C=∠B+∠D=180°.

Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Площадь вписанного четырёхугольника:

 

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.

У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.

Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:

Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:


Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

AB||CD,   BC||AD.

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

AB=CD,   BC=AD;

∠A=∠C,   ∠B=∠D.

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠A+∠D=180°.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

AO=OC;   BO=OD.

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

∠ABC=∠CDA;   ∠ABD=∠CDB.

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

SΔABO=SΔBCO=SΔCDO=SΔADO.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e2+f= a2+b2+a2+b= 2(a2+b2). 

Признаки параллелограмма:

  • Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
  • Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам – параллелограмм.
  • Если  у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

h= b·sin γ;   h= a·sin γ.

Площадь параллелограмма можно определить:

  • через его сторону и высоту, проведённую к ней:

S = ahbhb;

  • через две его стороны и угол между ними:

S = ab·sin γ.


Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

AB=BC=CD=AD.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

AC⊥BD;

∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB;   ∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA.

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

  • через высоту ромба:

  • через диагонали ромба и сторону:

  • через отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания:

Площадь ромба можно определить:

  • через диагонали:

  • через сторону и угол ромба:

  • через сторону и высоту:

  • через сторону и радиус вписанной окружности:


 

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

AC=BD;

AO=BO=CO=DO.

Площадь прямоугольника можно определить:

  • через его стороны:

ab;

  • через диагонали и угол между ними:

= ½d²·sin γ.

 

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

BD = 2R.


 

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

∠A=∠B=∠C=∠D=90°,

AB=BC=CD=AD.

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

Площадь квадрата:

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности:


Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

AD||BC.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.  

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

AK=KB;   CL=LD.

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

KL||AD;   KL||BC;

KL = ½(AD+BC).

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

ΔAED∼ΔBEC,   k=AD/BC.

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

ΔAОD∼ΔCОВ,   k=AD/BC.

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

SΔABO = SΔCDO.

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

O∈KL;   E∈KL.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

RS||AD;   RS||BC;

RS = ½(AD–BC).

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

AD+BC=AB+CD.

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

∠AOB=∠COD=90°.

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

  • через отрезки, на которые делится боковая сторона точкой касания:

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

AB=CD. 

У равнобокой трапеции:

  • диагонали равны:

AC=BD;

  • углы при основании равны:

∠A=∠D,   ∠B=∠C;

  • сумма противолежащих углов равна 180?:

∠A+∠C=∠B+∠D=180°.

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

d² = ab+c².

 

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Площадь трапеции можно определить:

  • через полусумму оснований (первую среднюю линию) и высоту:

  • через диагонали и угол между ними:

 


                         

Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

  • через его диагонали:

  • через две соседние неравные стороны и угол между ними:

ab·sin α .

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.   

 

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

 


Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

  • для сторон четырёхугольника верно: a²+c² = b²+d²;
  • для площади четырёхугольника верно: = ½ef;
  • параллелограмм Вариньона с вершинами в серединах сторон четырёхугольника является прямоугольником.

 

 

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

a²+c² = b²+d² = 4.

Ортодиагональный четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда произведения его противолежащих сторон равны:

ac bd.

Если ABCD – ортодиагональный четырёхугольник, описанный около окружности с центром в точке О, то верны соотношения:

В равнобедренной трапеции суммы противоположных сторон равны. Трапеция

Раздел содержит задачи по геометрии (раздел планиметрия) о трапециях. Если Вы не нашли решения задачи — пишите об этом на форуме. Курс наверняка будет дополнен.

Трапеция. Определение, формулы и свойства

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.

Трапеция — четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна.

Примечание. В этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции.

Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами.

Трапеции бывают:

разносторонние
;

равнобокие
;

прямоугольные

.
Красным и коричневым цветами обозначены боковые стороны, зеленым и синим — основания трапеции.

A — равнобокая (равнобедренная, равнобочная) трапеция
B — прямоугольная трапеция
C — разносторонняя трапеция

У разносторонней трапеции все стороны разной длины, а основания параллельны.

У боковые стороны равны, а основания параллельны.

У основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона — наклонная к основаниям.

Свойства трапеции

  • Средняя линия трапеции
    параллельна основаниям и равна их полусумме
  • Отрезок, соединяющий середины диагоналей
    , равен половине разности оснований и лежит на средней линии. Его длина
  • Параллельные прямые, пересекающие стороны любого угла трапеции, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (см. Теорему Фалеса)
  • Точка пересечения диагоналей трапеции
    , точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой (см. также свойства четырехугольника)
  • Треугольники, лежащие на основаниях
    трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются подобными. Соотношение площадей таких треугольников равно квадрату соотношения оснований трапеции
  • Треугольники, лежащие на боковых сторонах
    трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются равновеликими (равными по площади)
  • В трапецию можно вписать окружность
    , если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований)
  • Отрезок, параллельный основаниям
    и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен удвоенному произведению оснований, деленному на их сумму 2ab / (a +b) (Формула Буракова)

Углы трапеции

Углы трапеции бывают острые, прямые и тупые
.
Прямыми бывают только два угла.

У прямоугольной трапеции два угла прямые
, а два других – острый и тупой. У других видов трапеций бывают: два острых угла и два тупых.

Тупые углы трапеции принадлежат меньшему
по длине основанию, а острые – большему
основанию.

Любую трапецию можно рассматривать как усеченный треугольник
, у которого линия сечения параллельна основанию треугольника.
Важно
. Обратите внимание, что таким способом (дополнительным построением трапеции до треугольника) могут решаться некоторые задачи про трапецию и доказываются некоторые теоремы.

Как найти стороны и диагонали трапеции

Нахождение сторон и диагоналей трапеции делают с помощью формул, которые приведены ниже:

В указанных формулах применяются обозначения, как на рисунке.

a — меньшее из оснований трапеции
b — большее из оснований трапеции
c,d — боковые стороны
h 1 h 2 — диагонали

Сумма квадратов диагоналей трапеции равна удвоенному произведению оснований трапеции плюс сумма квадратов боковых сторон (Формула 2)

Тема урока

Трапеция

Цели урока

Продолжать знакомить с новыми определениями в геометрии;
Закрепить знания об уже изученных геометрических фигурах;
Познакомить с формулировкой и доказательствами свойств трапеции;
Обучить применению свойств различных фигур при решении задач и выполнении заданий;
Продолжать развивать у школьников внимание, логическое мышление и математическую речь;
Воспитывать интерес к предмету.

Задачи урока

Вызвать интерес к знаниям по геометрии;
Продолжать упражнять школьников в решении задач;
Вызвать познавательный интерес к урокам математики.

План урока

1. Повторить материал, изученный ранее.
2. Знакомство с трапецией, ее свойствами и признаками.
3. Решение задач и выполнение заданий.

Повторение ранее изученного материала

На предыдущем уроке вы знакомились с такой фигурой, как четырехугольник. Давайте закрепим пройденный материал и ответим на поставленные вопросы:

1. Сколько углов и сторон имеет 4-х угольник?
2. Сформулируйте определение 4-х угольника?
3. Какое название носят противоположные стороны 4-х угольника?
4. Какие виды четырехугольников вам известны? Перечислите их и дайте определение каждого из них.
5. Изобразите пример выпуклого и невыпуклого четырехугольника.

Трапеция. Общие свойства и определение

Трапеция — это такая четырехугольная фигура, у которой только одна пара противолежащих сторон параллельна.

В геометрическом определении к трапеции относится такой 4-х угольник, который имеет две параллельные стороны, а две другие – нет.

Название такой необычной фигуры, как «трапеция» произошло от слова «трапезион», что в переводе с греческого языка, обозначает слово «столик», от которого произошли также слово «трапеза» и другие родственные слова.

В некоторых случаях в трапеции пара противоположных сторон параллельна, а другая его пара не является параллельной. В таком случае трапеция носит название криволинейной.

Элементы трапеции

Трапеция состоит из таких элементов, как основание, боковые линии, средняя линия и ее высота.

Основанием трапеции называют ее параллельные стороны;
Боковыми сторонами называют две другие стороны трапеции, которые не есть параллельными;
Средней линией трапеции называют отрезок, который соединяет середины его боковых сторон;
Высотой трапеции считается расстояние между ее основаниями.

Виды трапеций

Задание:

1. Сформулируйте определение равнобедренной трапеции.
2. Какая трапеция называется прямоугольной?
3. Что значит остроугольная трапеция?
4. Какая трапеция относится к тупоугольной?

Общие свойства трапеции

Во-первых, средняя линия трапеции находится параллельно основанию фигуры и равняется ее полусумме;

Во-вторых, отрезок, который соединяет середины диагоналей 4-х угольной фигуры, равняется полуразности ее оснований;

В-третьих, в трапеции параллельно лежащие прямые, которые пересекают стороны угла данной фигуры, отсекают пропорциональные отрезки от сторон угла.

В-четвертых, в любого из видов трапеции сумма углов, которые прилегают к ее боковой стороне, равны 180°.

Где еще присутствует трапеция

Слово «трапеция» присутствует не только в геометрии, она имеет более широкое применение в повседневной жизни.

Это необычное слово мы можем встретить, просматривая спортивные соревнования гимнастов, выполняющих акробатические упражнения на трапеции. В гимнастике трапецией называют спортивный снаряд, который состоит из перекладины, подвешенной на двух веревках.

Также это слово можно услышать, занимаясь в спортивном зале или в среде людей, которые занимаются бодибилдингом, так как трапеции — это не только геометрическая фигура или спортивный акробатический снаряд, но и мощные мышцы спины, которые расположены сзади за шеей.

На рисунке изображена воздушная трапеция, которую изобрел для цирковых акробатов артист Джулиус Леотард еще в девятнадцатом веке во Франции. Вначале создатель этого номера устанавливал свой снаряд на небольшой высоте, но в итоге он был перенесен под самый купол цирка.

Воздушные гимнасты в цирке выполняют трюки перелетов из трапеции на трапецию, исполняют перекрёстные полёты, проделывают в воздухе сальто-мортале.

В конном виде спорта, трапецией называют упражнение для растяжки или потягивание тела лошади, которое очень полезно и приятно для животного. Во время стойки лошади в положении трапеции работает растяжка ног животного или мышц его спины. Это красивое упражнение мы можем наблюдать во время поклона или так называемого «переднего кранча», когда лошадь глубоко прогибается.

Задание: Наведите свои примеры о том, где еще в повседневной жизни можно услышать слова «трапеция»?

А известно ли вам, что впервые в 1947 году известный французский модельер Кристиан Диор произвел показ мод, в котором присутствовал силуэт юбки-трапеции. И хотя уже прошло более шестидесяти лет, этот силуэт до сих пор в моде, и не теряет своей актуальности, и по сей день.

В гардеробе английской королевы юбка-трапеция стала непременным предметом и ее визитной карточкой.

Напоминающая геометрическую форму трапеции, юбка с одноименным названием прекрасно сочетается с любыми кофточками, блузами, топами и пиджаками. Классичность и демократичность этого популярного фасона позволяет ее носить и со строгими пиджаками и немного легкомысленными топами. В такой юбке будет уместно появляться как в офисе, так и на дискотеке.

Задачи с трапецией

Для облегчения решения задач с трапециями важно помнить несколько основных правил:

Во-первых, проведите две высоты: ВF и СК.

В одном из случаев, в результате вы получите прямоугольник – ВСFК из чего понятно, что FК=ВС.

АD=АF+FК+КD, отсюда АD=АF+ВС+КD.

К тому же сразу очевидно, что АВF и DСК – это прямоугольные треугольники.

Возможен еще такой вариант, когда трапеция не совсем стандартная, где

АD=АF+FD=АF+FК–DК=АF+ВС–DК.

Но самый простой вариант, если наша трапеция – равнобедренная. Тогда решать задачу становиться еще легче, потому что АВF и DСК – это прямоугольные треугольники, и они равны. АВ=СD, так как трапеция равнобедренная, а ВF=СК, как высоты трапеции. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон.

\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.\circ\)
.

2) Т.к. \(AD\parallel BC\)
и \(BD\)
– секущая, то \(\angle DBC=\angle
BDA\)
как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\)
как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\)
.

Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\)
. Пусть \(h\)
– высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot
AD=S_{\triangle ACD}\)
. Тогда: \

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство*

1) Докажем параллельность.

Проведем через точку \(M\)
прямую \(MN»\parallel AD\)
(\(N»\in CD\)
). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN»\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)
) точка \(N»\)
— середина отрезка \(CD\)
. Значит, точки \(N\)
и \(N»\)
совпадут.

2) Докажем формулу.

Проведем \(BB»\perp AD, CC»\perp AD\)
. Пусть \(BB»\cap MN=M», CC»\cap
MN=N»\)
.

Тогда по теореме Фалеса \(M»\)
и \(N»\)
— середины отрезков \(BB»\)
и \(CC»\)
соответственно. Значит, \(MM»\)
– средняя линия \(\triangle
ABB»\)
, \(NN»\)
— средняя линия \(\triangle DCC»\)
. Поэтому: \

Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\)
и \(BB», CC»\perp AD\)
, то \(B»M»N»C»\)
и \(BM»N»C\)
– прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\)
и \(AM=MB\)
следует, что \(B»M»=M»B\)
. Значит, \(B»M»N»C»\)
и \(BM»N»C\)
– равные прямоугольники, следовательно, \(M»N»=B»C»=BC\)
.

Таким образом:

\
\[=\dfrac12 \left(AB»+B»C»+BC+C»D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Доказательство*

С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем, что точки \(P\)
, \(N\)
и \(M\)
лежат на одной прямой.

Проведем прямую \(PN\)
(\(P\)
– точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\)
– середина \(BC\)
). Пусть она пересечет сторону \(AD\)
в точке \(M\)
. Докажем, что \(M\)
– середина \(AD\)
.

Рассмотрим \(\triangle BPN\)
и \(\triangle APM\)
. Они подобны по двум углам (\(\angle APM\)
– общий, \(\angle PAM=\angle PBN\)
как соответственные при \(AD\parallel BC\)
и \(AB\)
секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Рассмотрим \(\triangle CPN\)
и \(\triangle DPM\)
. Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\)
– общий, \(\angle PDM=\angle PCN\)
как соответственные при \(AD\parallel BC\)
и \(CD\)
секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\)
. Но \(BN=NC\)
, следовательно, \(AM=DM\)
.

2) Докажем, что точки \(N, O, M\)
лежат на одной прямой.

Пусть \(N\)
– середина \(BC\)
, \(O\)
– точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\)
, она пересечет сторону \(AD\)
в точке \(M\)
. Докажем, что \(M\)
– середина \(AD\)
.

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\)
по двум углам (\(\angle OBN=\angle
ODM\)
как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\)
и \(BD\)
секущей; \(\angle BON=\angle DOM\)
как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\)
. Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\)
. Но \(BN=CN\)
, следовательно, \(AM=MD\)
.

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\)
.

Из вершин \(B\)
и \(C\)
опустим на сторону \(AD\)
перпендикуляры \(BM\)
и \(CN\)
соответственно. Так как \(BM\perp AD\)
и \(CN\perp AD\)
, то \(BM\parallel CN\)
; \(AD\parallel BC\)
, тогда \(MBCN\)
– параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\)
.

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\)
и \(CDN\)
. Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\)
равен катету \(CN\)
, то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\)
.

2)

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\)
– общая, то по первому признаку . Следовательно, \(AC=BD\)
.

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\)
, то \(\angle BDA=\angle CAD\)
. Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\)
– равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\)
– равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\)
, такую что \(\angle A = \angle D\)
.

Достроим трапецию до треугольника \(AED\)
как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\)
, то треугольник \(AED\)
равнобедренный и \(AE
= ED\)
. Углы \(1\)
и \(3\)
равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\)
и \(BC\)
и секущей \(AB\)
. Аналогично равны углы \(2\)
и \(4\)
, но \(\angle 1 = \angle 2\)
, тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 =
\angle 4\)
, следовательно, треугольник \(BEC\)
тоже равнобедренный и \(BE = EC\)
.

В итоге \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\)
, то есть \(AB = CD\)
, что и требовалось доказать.

2) Пусть \(AC=BD\)
. Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\)
, то обозначим их коэффициент подобия за \(k\)
. Тогда если \(BO=x\)
, то \(OD=kx\)
. Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\)
.

Т.к. \(AC=BD\)
, то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\)
. Значит \(\triangle AOD\)
– равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\)
.

Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\)
(\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)
– общая). Значит, \(AB=CD\)
, чтд.

С такой формой как трапеция, мы встречаемся в жизни довольно часто. К примеру, любой мост который выполнен из бетонных блоков, является ярким примером. Более наглядным вариантом можно считать рулевое управление каждого транспортного средства и прочее. О свойствах фигуры было известно еще в Древней Греции
, которую более детально описал Аристотель в своем научном труде «Начала». И знания, выведенные тысячи лет назад актуальны и по сегодня. Поэтому ознакомимся с ними более детально.

Вконтакте

Основные понятия

Рисунок 1. Классическая форма трапеции.

Трапеция по своей сути является четырехугольником, состоящим из двух отрезков которые параллельны, и двух других, которые не параллельны. Говоря об этой фигуре всегда необходимо помнить о таких понятиях как: основания, высота и средняя линия. Два отрезка четырехугольника которые друг другу называются основаниями (отрезки AD и BC). Высотой называют отрезок перпендикулярный каждому из оснований (EH), т.е. пересекаются под углом 90° (как это показано на рис.1).

Если сложить все градусные меры внутренних , то сумма углов трапеции будет равна 2π (360°), как и у любого четырехугольника. Отрезок, концы которого являются серединами боковин (IF) именуют средней линей.
Длина этого отрезка составляет сумму оснований BC и AD деленную на 2.

Существует три вида геометрической фигуры: прямая, обычная и равнобокая. Если хоть один угол при вершинах основания будет прямой (например, если ABD=90°), то такой четырехугольник называют прямой трапецией. Если боковые отрезки равны (AB и CD), то она называется равнобедренной (соответственно углы при основаниях равны).

Как найти площадь

Для того, чтобы найти площадь четырехугольника
ABCD пользуются следующей формулой:

Рисунок 2. Решение задачи на поиск площади

Для более наглядного примера решим легкую задачу. К примеру, пускай верхнее и нижнее основания равны по 16 и 44 см соответственно, а боковые стороны – 17 и 25 см. Построим перпендикулярный отрезок из вершины D таким образом, чтобы DE II BC (как это изображено на рисунке 2). Отсюда получаем, что

Пускай DF – будет . Из ΔADE (который будет равнобоким), получим следующее:

Т.е., выражаясь простым языком, мы вначале нашли высоту ΔADE, которая по совместительству является и высотой трапеции. Отсюда вычислим по уже известной формуле площадь четырехугольника ABCD, с уже известным значением высоты DF.

Отсюда, искомая площадь ABCD равна 450 см³. То есть можно с уверенностью сказать, что для того, чтобы вычислить площадь трапеции потребуется только сумма оснований и длина высоты.

Важно!
При решении задача не обязательно найти значение длин по отдельности, вполне допускается, если будут применены и другие параметры фигуры, которые при соответствующем доказательстве будут равны сумме оснований.

Виды трапеций

В зависимости от того, какие стороны имеет фигура, какие углы образованы при основаниях, выделяют три вида четырехугольника: прямоугольная, разнобокая и равнобокая.

Разнобокая

Существует две формы: остроугольная и тупоугольная
. ABCD остроугольна только в том случае, когда углы при основании (AD) острые, а длины сторон разные. Если величина одного угла число Пи/2 более (градусная мера более 90°), то получим тупоугольную.

Если боковины по длине равны

Рисунок 3. Вид равнобокой трапеции

Если непараллельные стороны равны по длине, тогда ABCD называется равнобокой (правильной). При этом у такого четырехугольника градусная мера углов при основании одинакова, их угол будет всегда меньше прямого. Именно по этой причине равнобедренная никогда не делится на остроугольные и тупоугольные. Четырехугольник такой формы имеет свои специфические отличия, к числу которых относят:

  1. Отрезки соединяющие противоположные вершины равны.
  2. Острые углы при большем основании составляют 45° (наглядный пример на рисунке 3).
  3. Если сложить градусные меры противоположных углов, то в сумме они будут давать 180°.
  4. Вокруг любой правильной трапеции можно построить .
  5. Если сложить градусную меру противоположных углов, то она равна π.

Более того, в силу своего геометрического расположения точек существуют основные свойства равнобедренной трапеции
:

Значение угла при основании 90°

Перпендикулярность боковой стороны основания — емкая характеристика понятия «прямоугольная трапеция». Двух боковых сторон с углами при основании быть не может,
потому как в противном случае это будет уже прямоугольник. В четырехугольниках такого типа вторая боковая сторона всегда будет образовывать острый угол с большим основанием, а с меньшим — тупой. При этом, перпендикулярная сторона также будет являться и высотой.

Отрезок между серединами боковин

Если соединить середины боковых сторон, и полученный отрезок будет параллельный основаниям, и равен по длине половине их суммы, то образованная прямая будет средней линией.
Значение этого расстояния вычисляется по формуле:

Для более наглядного примера рассмотрим задачу с применением средней линии.

Задача. Средняя линия трапеции равна 7 см, известно, что одна из сторон больше другой на 4 см (рис.4). Найти длины оснований.

Рисунок 4. Решение задачи на поиск длин оснований

Решение. Пусть меньшее основание DC будет равно x см, тогда большее основание будет равняться соответственно (x+4) см. Отсюда, используя формулу средней линии трапеции получим:

Получается, что меньшее основание DC равно 5 см, а большее равняется 9 см.

Важно!
Понятие средней линии является ключевым при решении многих задач по геометрии. На основании её определения, строятся многие доказательства для других фигур. Используя понятие на практике, возможно более рациональное решение и поиск необходимой величины.

Определение высоты, и способы как её найти

Как уже отмечалось ранее, высота представляет собой отрезок, который пересекает основания под углом 2Пи/4 и является кратчайшим расстоянием между ними. Перед тем как найти высоту трапеции,
следует определиться какие даны входные значения. Для лучшего понимания рассмотрим задачу. Найти высоту трапеции при условии, что основания равны 8 и 28 см, боковые стороны 12 и 16 см соответственно.

Рисунок 5. Решение задачи на поиск высоты трапеции

Проведем отрезки DF и CH под прямыми углами к основанию AD.Согласно определению, каждый из них будет являться высотой заданной трапеции (рис.5). В таком случае, зная длину каждой боковины, при помощи теоремы Пифагора, найдем чему равна высота в треугольниках AFD и BHC.

Сумма отрезков AF и HB равна разности оснований, т.е.:

Пускай длина AF будет равняться x cм, тогда длина отрезка HB= (20 – x)см. Как было установлено, DF=CH , отсюда .

Тогда получим следующее уравнение:

Получается, что отрезок AF в треугольнике AFD равен 7,2 см, отсюда вычислим по той же теореме Пифагора высоту трапеции DF:

Т.е. высота трапеции ADCB будет равна 9,6 см. Как можно убедиться, что вычисление высоты — процесс больше механический, и основывается на вычислениях сторон и углов треугольников.
Но, в ряде задач по геометрии, могут быть известны только градусы углов, в таком случае вычисления будут производиться через соотношение сторон внутренних треугольников.

Важно!
В сущности трапецию часто рассматривают как два треугольника, или как комбинацию прямоугольника и треугольника. Для решения 90% всех задач, встречаемых в школьных учебниках, свойства и признаки этих фигур. Большинство формул, для этого ГМТ, выведены полагаясь на «механизмы» для указанных двух типов фигур.

Как быстро вычислить длину основания

Перед тем, как найти основание трапеции необходимо определить какие параметры уже даны, и как их рационально использовать. Практическим подходом является извлечение длины неизвестного основания из формулы средней линии. Для более ясного восприятия картинки покажем на примере задачи, как это можно сделать. Пускай известно, что средняя линия трапеции составляет 7 см, а одно из оснований 10 см. Найти длину второй основы.

Решение: Зная, что средняя линия равна половине суммы основ, можно утверждать, что их сумма равна 14 см.

(14 см = 7 см × 2). Из условия задачи, мы знаем, что одно из равно 10 см, отсюда меньшая сторона трапеции будет равна 4 см (4 см = 14 – 10).

Более того, для более комфортного решения задач подобного плана, рекомендуем хорошо выучить такие формулы из области трапеции как
:

  • средняя линия;
  • площадь;
  • высота;
  • диагонали.

Зная суть (именно суть) этих вычислений можно без особого труда узнать искомое значение.

Видео: трапеция и ее свойства

Видео: особенности трапеции

Вывод

Из рассмотренных примеров задач можно сделать нехитрый вывод, что трапеция, в плане вычисления задач, является одной из простейших фигур геометрии. Для успешного решения задач прежде всего не стоит определиться с тем, какая информация известна об описываем объекте, в каких формулах их можно применить, и определиться с тем, что требуется найти. Выполняя этот простой алгоритм, ни одна задача с применением этой геометрической фигуры не составит усилий.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Трапеция — это… Что такое Трапеция?

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Две параллельные стороны называются основанием трапеции, а две другие — это боковые стороны. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.

Связанные определения

Элементы трапеции

  • Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
  • Две другие стороны называются боковыми сторонами.
  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
  • Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция

Равнобедренная трапеция

  • Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.
  • Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Общие свойства

  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  • Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
  • (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
  • В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

  • Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
  • Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.
  • В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
  • В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
  • Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.
  • Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
  • Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность

Площадь

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
  • В случае, если и  — основания и  — высота, формула площади:
  • В случае, если  — средняя линия и  — высота, формула площади:

ɴʙ Эти формулы — одинаковы, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

  • Формула, где ,  — основания, и  — боковые стороны трапеции:
  • Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным , и углом при основании :
  • В частности, если угол при основании равен 30°, то:
.

См. также

Примечания

Все формулы диагоналей трапеции


Найти длину диагонали трапеции

зная все четыре стороны

или две стороны и угол

или высоту, сторону и угол

или площадь, другую диагональ и угол

и еще много других формул.

 

1. Формулы длины диагоналей трапеции по теореме косинусов или через четыре стороны

 

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

α, β — углы трапеции

d1 , d2 — диагонали трапеции

 

Формулы диагоналей трапеции по теореме косинусов:

 

 

Формулы диагоналей трапеции через четыре стороны:

 

 

2. Формула длины диагоналей трапеции через высоту

 

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

α, β — углы трапеции

h — высота трапеции

d1 , d2 — диагонали трапеции

 

Формулы диагоналей трапеции через высоту:

 


 

3. Формула длины диагонали трапеции через другую диагональ

 

a — нижнее основание

b — верхнее основание

α, β — углы между диагоналями

h — высота трапеции

m — средняя линия трапеции

S — площадь трапеции

d1 , d2 — диагонали трапеции

 

Формулы диагоналей трапеции :

Справедливо для данного случая :


 

4. Формулы длины диагонали трапеции через сумму квадратов диагоналей

 

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

d1 , d2 — диагонали трапеции

 

Формула суммы квадратов диагоналей :

 

Формулы диагоналей трапеции :



 

Формулы площади произвольной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции

Формула периметра трапеции

Все формулы по геометрии

Урок-практикум по решению задач по теме «Трапеция и параллелограмм»

Цели урока: 

  • коррекция  знаний учащихся по данной теме,
  • развитие гибкости математического  мышления,
  • привитие интереса к предмету.

ХОД   УРОКА

1. Устная работа

– Дать определение параллелограмма и трапеции,

– Перечислить свойства параллелограмма,

– Каким свойством обладает равнобедренная
трапеция,

– Верно ли, что если у четырехугольника две
стороны параллельны, то он   параллелограмм?
(Что еще надо добавить?)

– Сформулировать признаки параллелограмма,

– Чему равна сумма углов параллелограмма,
прилежащих к одной стороне?

– Два угла параллелограмма в сумме 
составляют 1340, как расположены эти углы, чему
равен каждый из них?

Учитель ведет фронтальный опрс класса, после
которого переходит к решению устных задач.

2. Устные задачи

3. Решение задач с записью в тетради

№ 1

В трапеции АВСД (основания ВС и АД) АВ = СД = АД.
Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Угол
АОД равен 800. Найти углы трапеции.

№ 2

В параллелограмме АВСД угол В равен 1200, ВК –
биссектриса угла АВД. АК= КД, диагональ ВД равна 5
см. Найти периметр АВСД.( обратить внимание на то,
что данный параллелограмм является ромбом)

№ 3

Диагонали равнобедренной трапеции АВСД
взаимно перпендикулярны. Доказать, что
расстояние между прямыми АД и ВС, содержащими
основания, равно полусумме оснований трапеции.

4. Самостоятельная работа  (по
вариантам, с последующей проверкой решения на
кодоскопе)

1 Вариант

В равнобедренной трапеции один из острых углов
равен 600, длина боковой стороны   16 см. Найти
основания трапеции, если их сумма равна 38 см.

2 Вариант

В равнобедренной трапеции АВСД боковая сторона
АВ равна 14 см,биссектриса угла В параллельна
стороне СД. Периметр трапеции равен 60 см. Найти ВС
и АД.

Ученики проверяют решение задач и сообщают
учителю о результате.

6. Итог урока

Учитель подводит итог урока, акцентируя
внимание учащихся на том, какие знания им
понадобились на уроке, и как важно уметь их
применять.

7. Домашнее задание

На дом дается задача самостоятельной работы
(меняются варианты).

Чему равна средняя линия трапеции формула. Средняя линия. Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
  4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции
.

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции
.

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD — BC)/2


или

LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными
.

Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.

Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.

Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны
, то есть треугольники являются равновеликими.

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований
.

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции
(BC/AD).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

  • Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
  • Длина отрезка
    , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

a, b

— основания трапеции

c, d

— боковые стороны трапеции

d1 d2

— диагонали трапеции

α β
— углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1.
Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований
. Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2
. Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3
. Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Примечание
. В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме
.

Задача
.

Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение
.

Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC

9 / 6 = 24 / BC

BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ
: 16 см

Задача
.

В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение
.

Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим
длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле
нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит

AD = AM+BC+KD

a + 8 + b = 24

a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2

и

h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении

h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425

h 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:

425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169

-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256

-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256

-64b = -768

b = 12

Таким образом, KD = 12

Откуда

h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25

h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований

, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции

S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ
: площадь трапеции равна 80 см 2 .

Средняя линия
фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Средняя линия треугольника

Свойства

  • средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
  • средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
  • три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.

Признаки

  • Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок – средняя линия.
  • Площадь и, соответственно, и объём отсекаемого средней линией треугольника равна 1/4 от площади и, соотвественно, объёму от всего данного треугольника.

Средняя линия четырёхугольника

Средняя линия четырёхугольника
— отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны.
Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны.
Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

  • Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
  • Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
  • Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма . Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона ;
  • Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода
    . Средние линии второго рода
    — четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода
    выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона .
  • Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
  • В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции
— отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Она рассчитывается по формуле:
E
F
=
A
D
+
B
C
2
{\displaystyle EF={\frac {AD+BC}{2}}}
, где AD
и BC
— основания трапеции.

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

  1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2
    .
  2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.

    Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
  4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
    Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
  5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ
    .
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b)
    .

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2
    .
  2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

  1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
  2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2
    .
  3. Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

  1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
  3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
  4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
  5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2
    .
  7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2
    . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2
    .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
  2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ
    .
  5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ
    . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ
    .

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2
    .
  2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ
    .
  3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
  4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab
    .
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2
    ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной
:

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение:
Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В решении планиметрических задач, помимо сторон и углов фигуры, нередко активное участие принимают и другие величины – медианы, высоты, диагонали, биссектрисы и прочие. К их числу относится и средняя линия.
Если исходный многоугольник – трапеция, то что представляет собой его средняя линия? Данный отрезок представляет собой часть прямой, которая пересекает боковые стороны фигуры посередине и располагается параллельно двум другим сторонам – основаниям.

Как найти среднюю линию трапеции через линию средины и основания

Если известны величина верхнего и нижнего оснований, то рассчитать неизвестное поможет выражение:

a, b – основания, l – средняя линия.

Как найти среднюю линию трапеции через площадь

Если в исходных данных присутствует значение площади фигуры, то с помощью данной величины также можно вычислить длину линии средины трапеции. Воспользуемся формулой S = (a+b)/2*h,
S – площадь,
h – высота,
a, b – основания.
Но, так как l = (a+b)/2, то S = l*h, а значит l=S/h.

Как найти среднюю линию трапеции через основание и углы при нем

При наличии длины большего основания фигуры, ее высоты, а также известных градусных мер углов при нем, выражение для нахождения линии средины трапеции будет иметь следующий вид:

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, при этом
l – искомая величина,
a – большее основание,
α, β – углы при нем,
h – высота фигуры.

Если известно значение меньшего основания (при тех же остальных данных), найти линию средины поможет соотношение:

l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

l – искомая величина,
b – меньшее основание,
α, β – углы при нем,
h – высота фигуры.

Найти среднюю линию трапеции через высоту, диагонали и углы

Рассмотрим ситуацию, когда в условиях задачи присутствуют значения диагоналей фигуры, углы, которые они образуют, пересекаясь друг с другом, а также высота. Рассчитать среднюю линию можно с помощью выражений:

l=(d1*d2)/2h*sinγ или l=(d1*d2)/2h*sinφ,

l – линия средины,
d1, d2 – диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры.

Как найти среднюю линию трапецииДля равнобедренной фигуры

В случае, если базовая фигура – трапеция равнобедренная, приведенные выше формулы будут иметь следующий вид.

  • При наличии значений оснований трапеции изменений в выражении не произойдет.

l = (a+b)/2, a, b – основания, l – средняя линия.

  • Если известны высота, основание и углы, к нему прилегающие, то:

l=a-h*ctgα,
l=b+h*ctgα,

l – линия средины,
a, b – основания (b
α – углы при нем,
h – высота фигуры.

  • Если известна боковая сторона трапеции и одно из оснований, то определить искомую величину можно, обратившись к выражению:

l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
l – линия средины,
a, b – основания (b
h – высота фигуры.

  • При известных значениях высоты, диагоналей (а они равны между собой) и углах, образованных в результате их пересечения, линию средины можно найти следующим образом:

l=(d*d)/2h*sinγ или l=(d*d)/2h*sinφ,

l – линия средины,
d – диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры.

  • Известны площадь и высота фигуры, тогда:

l=S/h,
S – площадь,
h – высота.

  • Если перпендикуляр-высота неизвестен, его можно определить с помощью определения тригонометрической функции.

h=c*sinα, поэтому
l=S/c*sinα,
l – линия средины,
S – площадь,
c – боковая сторона,
α- угол у основания.

Какова сумма внутренних углов трапеции? — Реабилитацияrobotics.net

Какова сумма внутренних углов трапеции?

360 °

Суммируются ли все углы трапеции в 360?

Пояснение: Сумма внутренних углов всех четырехугольников равна 360 °. У равнобедренных трапеций два верхних угла равны друг другу.

Каковы внутренние углы трапеции?

Сумма внутренних углов трапеции равна 360∘.

Суммируются ли трапеции 180?

В трапеции два угла, которые находятся на одной опоре (один на верхнем основании, один на нижнем основании), называются «смежными углами». Эти смежные углы являются дополнительными, что означает, что их размеры составляют в сумме 180 °, как мы сейчас покажем.

Равны ли смежные углы в трапеции?

Трапеция или трапеция — это четырехугольник с парой параллельных сторон. Два угла на одной стороне являются дополнительными, то есть сумма углов двух соседних сторон равна 180 °.Его диагонали пересекаются пополам.

Сколько углов в трапеции равно?

четыре угла

Какие два угла в трапеции равны?

Средний сегмент = (AB + CD) / 2

  • В равнобедренной трапеции ноги или непараллельные стороны совпадают.
  • Сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусам. т.е. A + ∠B + ∠C + ∠D = 360 °
  • Сумма двух смежных углов равна 180 °. Это означает, что два соседних угла являются дополнительными.

Какое определение для trapezium?

Трапеция, описывающая геометрическую форму, имеет два противоречивых значения: за пределами США и Канады: четырехугольник с как минимум одной парой параллельных сторон (известный в США как трапеция); в США и Канаде: четырехугольник без параллельных сторон. (известный в других местах как неправильный четырехугольник)

Что такое трапеция и ее формула?

Трапеция, также известная как трапеция, представляет собой четырехугольник, в котором пара сторон параллельна, а другая пара противоположных сторон не параллельна.Площадь трапеции вычисляется по следующей формуле: Площадь = 21 × Сумма параллельных сторон × Расстояние между ними.

Какие бывают виды трапеций?

Четырехугольник

Какой формы у трапеции?

трапеция

Может ли трапеция иметь 3 прямых угла?

У трапеции не может быть трех прямых углов. Сумма четырех внутренних углов любого четырехугольника всегда составляет 360 градусов. …

Определенные интегралы — сумма трапеций

Сумма трапеций — это хороший вариант, для которого можно сократить путь.Будем называть сумму трапеций с подинтервалом n TRAP ( n ).

Вот наш любимый ярлык: TRAP ( n ) — это среднее значение LHS, ( n ) и RHS ( n ).

Эти прямоугольники представляют собой сумму в левой и правой частях соответственно!

Помните, что сумма трапеций — это среднее значение левой и правой сумм. Однако есть еще более короткий способ получить на калькуляторе сумму трапеции.

Помните, что

LHS ( n ) = [ f ( x 0 ) + f ( x 1 ) + … + f ( x n — 1 )] Δ x

и

RHS ( n ) = [ f ( x 1 ) + … + f ( x n — 1 ) + f ( x n )] Δ x .

Сумма трапеции представляет собой среднее значение правой и левой сумм, поэтому

Это своего рода беспорядок. Будет лучше, если мы вычленим Δ x :

Теперь внимательно посмотрите на то, что у нас в скобках. Величины f ( x 0 ) и f ( x n ) отображаются только один раз каждое, потому что f ( x 0 ) используется только в левом — сумма и

f ( x n ) используется только в правой сумме:

Однако каждый член от f ( x 1 ) до f ( x n — 1 ) используется как в левой, так и в правой сумме, поэтому каждое из этих членов будет отображаться дважды.

Это означает

Если мы оцениваем площадь между f и осью x на [ a , b ] с помощью TRAP (n), то в первую очередь мы делаем разделить [ a , b ] на n равных подинтервалов и найти конечные точки.

Значение f ( x 0 ) используется только как высота самой левой трапеции. Аналогично, значение f ( x n ) используется только как высота самой правой трапеции.Однако значение f в каждой конечной точке между ними отображается в виде двух трапеций.

Когда мы сложим площади всех этих трапеций, мы получим

Вычтем на множители Δ x и получим

Теперь у нас есть гораздо лучший способ найти сумму трапеций:

Словами

  • Разделите интервал на подинтервалы.
  • Найдите значение f в каждой конечной точке.
  • Умножьте каждое значение на 2 , если только не является значением f в одной из исходных конечных точек.
  • Сложите все, разделите на 2 и умножьте на ширину подинтервала.

Сумма двух параллельных сторон трапеции составляет 22 см. Отрезок, соединяющий средние точки двух непараллельных сторон, делит площадь трапеции на две части,

РЕШЕНИЕ: Сумма двух параллельных сторон трапеции составляет 22 см.Отрезок, соединяющий средние точки двух непараллельных сторон, делит площадь трапеции на две части:

Алгебра ->
Пропорции
-> РЕШЕНИЕ: сумма двух параллельных сторон трапеции составляет 22 см. Отрезок, соединяющий средние точки двух непараллельных сторон, делит площадь трапеции на две части:

Войти в систему



Вопрос 1150160: Сумма двух параллельных сторон трапеции составляет 22 см.Отрезок, соединяющий средние точки двух непараллельных сторон, делит площадь трапеции на две части в соотношении 4: 7. Каково произведение длин двух параллельных сторон?

Ответ greenestamps (9304) (Показать источник):
Вы можете разместить это решение на ВАШЕМ сайте!

Пусть длина отрезка прямой, соединяющего середины двух непараллельных сторон, равна x. Тогда пусть длины двух оснований равны 11-x и 11 + x.

Трапеция разделена на две трапеции, в которых соотношение площадей составляет 4: 7.

Пусть высота каждой из этих двух трапеций будет h (таким образом, высота исходной трапеции была 2h).

Площадь трапеции — это высота, умноженная на среднее значение двух оснований. При соотношении площадей двух трапеций 4: 7 получаем

Длины двух параллельных сторон равны 11-x = 5 и 11 + x = 17; произведение длин двух параллельных сторон равно 5 * 17 = 85.

2.5: Числовое интегрирование — середина, трапеция, правило Симпсона

Первообразные многих функций либо не могут быть выражены, либо не могут быть легко выражены в замкнутой форме (то есть в терминах известных функций). Следовательно, вместо того, чтобы напрямую оценивать определенные интегралы этих функций, мы прибегаем к различным методам численного интегрирования для аппроксимации их значений. 2 \, dx \) с использованием четырех подинтервалов.Сравните результат с фактическим значением этого интеграла.

Решение: каждый подынтервал имеет длину \ (Δx = \ dfrac {1−0} {4} = \ dfrac {1} {4}. \) Следовательно, подынтервалы состоят из

\ [\ left [0, \ tfrac {1} {4} \ right], \, \ left [\ tfrac {1} {4}, \ tfrac {1} {2} \ right], \, \ left [\ tfrac {1} {2}, \ tfrac {3} {4} \ right], \, \ text {и} \, \ left [\ tfrac {3} {4}, 1 \ right]. \ nonumber \]

Середины этих подынтервалов: \ (\ left \ {\ frac {1} {8}, \, \ frac {3} {8}, \, \ frac {5} {8}, \, \ frac {7 } {8} \ right \}. \) Таким образом,

\ (M_4 = \ frac {1} {4} \ cdot f \ left (\ frac {1} {8} \ right) + \ frac {1} {4} \ cdot f \ left (\ frac {3} {8} \ right) + \ frac {1} {4} \ cdot f \ left (\ frac {5} {8} \ right) + \ frac {1} {4} \ cdot f \ left (\ frac { 7} {8} \ right) = \ frac {1} {4} ⋅ \ frac {1} {64} + \ frac {1} {4} ⋅ \ frac {9} {64} + \ frac {1} {4} ⋅ \ frac {25} {64} + \ frac {1} {4} ⋅ \ frac {21} {64} = \ frac {21} {64}. 2_1 \ frac {1} {x} \, dx.\)

Подсказка

\ (Δx = \ frac {1} {2}, \ quad m_1 = \ frac {5} {4}, \ quad \ text {и} \ quad m_2 = \ frac {7} {4}. \)

Ответ

\ (\ dfrac {24} {35} \)

Правило трапеции

Мы также можем приблизить значение определенного интеграла, используя трапеции, а не прямоугольники. На рисунке \ (\ PageIndex {2} \) область под кривой аппроксимирована трапециями, а не прямоугольниками.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Трапеции могут использоваться для аппроксимации площади под кривой, таким образом аппроксимируя определенный интеграл.

Правило трапеций для оценки определенных интегралов использует трапеции, а не прямоугольники для аппроксимации площади под кривой. Чтобы понять окончательную форму правила, рассмотрим трапеции, показанные на рисунке \ (\ PageIndex {2} \). Мы предполагаем, что длина каждого подынтервала равна \ (Δx \). b_af (x) \, dx≈ \ frac {1} {2} Δx \ big (f (x_0) + f (x_1) \ big) + \ frac {1} {2} Δx \ big ( f (x_1) + f (x_2) \ big) + \ frac {1} {2} Δx \ big (f (x_2) + f (x_3) \ big) + \ frac {1} {2} Δx \ big ( е (х_3) + е (х_4) \ большой).b_af (x) \, dx≈ \ frac {Δx} {2} \ big (f (x_0) +2 \, f (x_1) +2 \, f (x_2) +2 \, f (x_3) + f ( x_4) \ большой). \ nonumber \]

Обобщая, формально сформулируем следующее правило.

Правило трапеции

Предположим, что \ (f (x) \) непрерывно над \ ([a, b] \). Пусть \ (n \) — натуральное число и \ (Δx = \ dfrac {b − a} {n} \). Пусть \ ([a, b] \) разделен на \ (n \) подынтервалы, каждый длиной \ (Δx \), с конечными точками в \ (P = \ {x_0, x_1, x_2…, x_n \}. \ )

Набор

\ [T_n = \ frac {Δx} {2} \ big (f (x_0) +2 \, f (x_1) +2 \, f (x_2) + ⋯ + 2 \, f (x_ {n − 1}) ) + е (x_n) \ большой).nf (x_i) Δx. \)

То есть \ (L_n \) и \ (R_n \) аппроксимируют интеграл, используя левую и правую конечные точки каждого подинтервала, соответственно. Вдобавок внимательное изучение рисунка \ (\ PageIndex {3} \) приводит нас к следующим наблюдениям об использовании правил трапеции и правил средней точки для оценки определенного интеграла неотрицательной функции. Правило трапеции имеет тенденцию систематически переоценивать значение определенного интеграла на интервалах, где функция вогнута вверх, и систематически недооценивать значение определенного интеграла на интервалах, где функция вогнута вниз.С другой стороны, правило средней точки имеет тенденцию несколько усреднять эти ошибки, частично переоценивая и частично недооценивая значение определенного интеграла по тем же типам интервалов. Это заставляет нас предположить, что в целом правило средней точки имеет тенденцию быть более точным, чем правило трапеции.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Правило трапеции имеет тенденцию быть менее точным, чем правило средней точки.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): использование правила трапеции

Используйте правило трапеции для оценки \ (\ displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 \, dx \) с использованием четырех подинтервалов.2_1 \ frac {1} {x} \, dx. \)

Подсказка

Set \ (Δx = \ dfrac {1} {2}. \) Конечные точки подынтервалов являются элементами множества \ (P = \ left \ {1, \ frac {3} {2}, 2 \ right \}. \)

Ответ

\ (\ dfrac {17} {24} \)

Абсолютная и относительная погрешность

Важным аспектом использования этих правил численной аппроксимации является вычисление погрешности их использования для оценки значения определенного интеграла.Сначала нам нужно определить абсолютную ошибку и относительную ошибку.

Определение: абсолютная и относительная погрешность

Если \ (B \) — наша оценка некоторой величины, имеющей фактическое значение \ (A \), то абсолютная ошибка определяется как \ (| A-B | \).

Относительная ошибка — это ошибка в процентах от фактического значения, выражаемая как \ [\ left \ lvert \ frac {A-B} {A} \ right \ rvert⋅100 \%. 2 \, dx \), используя правило средней точки, найденное в примере \ (\ PageIndex {1} \).2_1 \ frac {1} {x} \, dx \) быть \ (\ frac {24} {35} \) с использованием \ (T_2 \). Фактическое значение этого интеграла \ (\ ln 2 \). Используя \ (\ frac {24} {35} ≈0.6857 \) и \ (\ ln 2≈0.6931, \) вычислите абсолютную ошибку и относительную ошибку.

Подсказка

Используйте предыдущие примеры в качестве руководства.

Ответ

абсолютная погрешность \ (\ примерно 0,0074, \) и относительная погрешность \ (\ примерно 1,1 \% \)

Границы ошибок на средней точке и трапециевидные правила

В двух предыдущих примерах мы смогли сравнить нашу оценку интеграла с фактическим значением интеграла; однако обычно у нас нет такой роскоши.В общем, если мы приближаем интеграл, мы делаем это, потому что мы не можем легко вычислить точное значение самого интеграла. Поэтому часто бывает полезно определить верхнюю границу ошибки при приближении интеграла. Следующая теорема предоставляет границы ошибок для средней точки и правил трапеции. Теорема формулируется без доказательства.

Границы ошибок для средней точки и трапецеидальные правила

Пусть \ (f (x) \) — непрерывная функция над \ ([a, b] \), имеющая вторую производную \ (f » (x) \) на этом интервале.2} \, dx − M_n \ right \ rvert <0,01. \ Nonumber \]

Анализ

У нас могло возникнуть искушение округлить \ (8.24 \) в меньшую сторону и выбрать \ (n = 8 \), но это было бы неверно, потому что у нас должно быть целое число больше или равное \ (8.24 \). Мы должны иметь в виду, что оценки ошибок дают верхнюю границу только для ошибки. Фактическая оценка на самом деле может быть гораздо лучшим приближением, чем указано в границах погрешности.

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Используйте уравнение, чтобы найти верхнюю границу ошибки при использовании \ (M_4 \) для оценки \ (\ displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 \, dx.\)

Подсказка

\ (f » (x) = 2, \) поэтому \ (M = 2. \)

Ответ

\ (\ dfrac {1} {192} \)

Правило Симпсона

С помощью правила средней точки мы оценили площади областей под кривыми с помощью прямоугольников. В некотором смысле мы аппроксимировали кривую кусочно-постоянными функциями. С помощью правила трапеции мы аппроксимировали кривую с помощью кусочно-линейных функций.{x_4} _ {x_2} f (x) \, dx \) с интегралом от другой квадратичной функции, проходящим через \ ((x_2, f (x_2)), \, (x_3, f (x_3)), \) и \ ((x_4, f (x_4)). \) Этот процесс продолжается с каждой последовательной парой подынтервалов.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): С помощью правила Симпсона мы приближаем определенный интеграл, интегрируя кусочно-квадратичную функцию.

Чтобы понять формулу, которую мы получаем для правила Симпсона, мы начнем с вывода формулы для этого приближения для первых двух подинтервалов.{x_4} _ {x_0} f (x) \, dx = \ frac {Δx} {3} (f (x_0) +4 \, f (x_1) +2 \, f (x_2) +4 \, f ( x_3) + f (x_4)). \ nonumber \]

Шаблон продолжается, когда мы добавляем пары подинтервалов к нашему приближению. Общее правило можно сформулировать следующим образом.

Правило Симпсона

Предположим, что \ (f (x) \) непрерывно над \ ([a, b] \). Пусть \ (n \) — положительное четное целое число и \ (Δx = \ dfrac {b − a} {n} \). Пусть \ ([a, b] \) разделен на \ (n \) подынтервалы, каждый длиной \ (Δx \), с конечными точками в \ (P = \ {x_0, x_1, x_2,…, x_n \}.b_af (x) \, dx. \ nonumber \]

Точно так же, как правило трапеций представляет собой среднее значение правил левой и правой руки для оценки определенных интегралов, правило Симпсона может быть получено из средней точки и правил трапеций с использованием средневзвешенного значения. Можно показать, что \ (S_ {2n} = (\ dfrac {2} {3}) M_n + (\ dfrac {1} {3}) T_n \).

Также возможно установить предел ошибки при использовании правила Симпсона для аппроксимации определенного интеграла. {(4)} (x) \) на этом интервале.2_1 \ frac {1} {x} \, dx. \)

Подсказка

\ [S_2 = (\ frac {1} {3} Δx (f (x_0) + 4f (x_1) + f (x_2)) \]

Ответ

\ (\ frac {25} {36} \)


Ключевые понятия

  • Мы можем использовать численное интегрирование для оценки значений определенных интегралов, когда замкнутая форма интеграла трудно найти или когда необходимо приближенное значение только определенного интеграла.
  • Наиболее часто используемые методы численного интегрирования — это правило средней точки, правило трапеции и правило Симпсона.
  • Правило средней точки приближает определенный интеграл с использованием прямоугольных областей, тогда как правило трапеции приближает определенный интеграл с использованием трапецеидальных приближений.
  • Правило Симпсона приближает определенный интеграл, сначала аппроксимируя исходную функцию с помощью кусочно-квадратичных функций. b_af (x) \, dx \) с использованием площади под кусочно-квадратичной функцией.b_af (x) \, dx \) задается выражением \ [T_n = \ frac {Δx} {2} \ big (f (x_0) +2 \, f (x_1) +2 \, f (x_2) + ⋯ + 2 \, f (x_ {n − 1}) + f (x_n) \ big). \ Nonumber \]

    Авторы

    • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами. Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

    • Отредактировал Пол Сибургер (Колледж Монро). Добавлены примечания к развертке области под параболой и исправлены опечатки в исходном тексте.

    Калькулятор трапеций

    : найдите A и P

    Добро пожаловать в калькулятор трапеций Omni , где мы узнаем все об этих четырехсторонних формах. Мы покажем вам , как вычислить площадь трапеции, , как найти высоту трапеции, или как выглядит формула периметра трапеции . Также мы уделим время описанию некоторых особых типов четырехугольника: равнобедренной трапеции и правой трапеции.И не волнуйтесь; мы не оставляем камня на камне — мы даже упоминаем в калькуляторе срединный и трапециевидный углы.

    Похоже, есть несколько вещей, которые нужно обсудить, так что приступим, ладно?

    Что такое трапеция?

    Трапеция — это четырехугольник (форма, имеющая четыре стороны), у которого есть по крайней мере одна пара противоположных сторон, параллельных друг другу. Обратите внимание, что мы сказали «, по крайней мере, одна пара сторон» — если фигура имеет две такие пары, это просто прямоугольник.И не заблуждайтесь — каждый прямоугольник представляет собой трапецию . Обратное, конечно, неверно.

    Две параллельные стороны обычно называются основаниями . Обычно мы рисуем трапеции так, как мы это делали выше, что может подсказывать, почему мы часто проводим различие между ними, говоря нижний и верхний нижний . Две другие непараллельные стороны называются ножками (аналогично двум сторонам прямоугольного треугольника).

    Есть несколько особых случаев трапеций, которые мы хотели бы здесь упомянуть.

    1. Прямоугольник
      Мы уже упоминали об этом в начале этого раздела — это трапеция, которая имеет две пары противоположных сторон, параллельных друг другу .

    2. Равнобедренная трапеция
      Трапеция, ног которой имеют одинаковую длину (аналогично тому, как мы определяем равнобедренные треугольники).

    3. Правая трапеция
      Трапеция, у которой одна нога перпендикулярна основанию .Во-первых, обратите внимание, что здесь нам требуется только одна из ног, чтобы удовлетворить этому условию — другая может или не может. Во-вторых, обратите внимание на то, что если нога перпендикулярна одному из оснований, то она автоматически перпендикулярна и другой, так как обе ноги параллельны.

    Имея в виду эти особые случаи, внимательный взгляд может заметить, что прямоугольников удовлетворяют условиям 2 и 3 . Действительно, если бы кто-то не знал, что такое прямоугольник, мы могли бы просто сказать, что это равнобедренная трапеция, которая также является правой трапецией.Довольно причудливое определение по сравнению с обычным, но оно определенно заставляет нас звучать утонченно, не так ли?

    Прежде чем мы перейдем к следующему разделу, позвольте нам упомянуть еще два линейных сегмента, которые есть у всех трапеций.

    Высота трапеции — это расстояние между основаниями, то есть длина линии, соединяющей два , которая перпендикулярна обоим. Фактически, это значение имеет решающее значение, когда мы обсуждаем, как вычислить площадь трапеции, и поэтому получает отдельный отдельный раздел.

    Середина трапеции — это линия, соединяющая середины ног. Другими словами, с учетом приведенного выше рисунка, это линия, разрезающая трапецию по горизонтали пополам . Он всегда параллелен основаниям и с обозначениями, как на рисунке, у нас median = (a + b) / 2 . Если вам интересно название, обязательно ознакомьтесь с калькулятором медианы Omni (примечание: он не касается трапеций).

    Хорошо, мы достаточно хорошо узнали нашу форму ; мы даже видели одну формулу трапеции! Давайте сделаем еще один шаг и попробуем еще лучше разобраться в теме.Мы начнем этот углубленный анализ с формулы периметра трапеции и ее внутренних углов .

    Формула периметра трапеции и углы трапеции

    Периметр многоугольника равен сумме его сторон . Для героя сегодняшней статьи история ничем не отличается. Используя обозначения, как на рисунке в первом разделе (и в калькуляторе трапеций), мы выводим формулу периметра трапеции как:

    P = a + b + c + d .

    Довольно просто, не правда ли?

    Далее, поговорим об углах .Как и в любом другом четырехугольнике, сумма углов трапеции составляет 360 градусов (или радиан). Однако условие того, чтобы быть трапецией (т.е. иметь пару параллельных сторон), накладывает дополнительных свойств на отдельные из них. Если быть точным, пара углов вдоль одной из ножек — это дополнительные углы. Это означает, что их сумма должна равняться 180 градусам (или π радиан), что в обозначениях из рисунка в первом разделе означает:

    α + 𝛾 = β + δ = 180 ° .

    Обратите внимание, что наш инструмент также упоминает углы в нижнем наборе переменных полей. Таким образом, он также может служить калькулятором угла трапеции, когда это числа, которые мы ищем. И действительно, они часто пригодятся — они играют важную роль , когда мы узнаем, как найти высоту трапеции, и это, в свою очередь, появляется при изучении того, как вычислить площадь трапеции. Однако начнем с последнего вопроса.

    Как рассчитать площадь трапеции

    Давайте снова возьмем картинку из первого раздела, чтобы вам не приходилось пролистывать всю статью всякий раз, когда вы хотите вспомнить обозначения.

    Площадь формулы трапеции составляет:

    A = (a + b) * h / 2 .

    Обратите внимание, что действительно, как мы уже упоминали несколько раз, очень важно знать, как найти высоту трапеции, чтобы вычислить ее площадь. Кроме того, ноги никогда не фигурируют в уравнении. Конечно, они определяют форму нашего четырехугольника, но их длина используется только в формуле периметра трапеции, которую мы обсуждали в предыдущем разделе.

    Наконец, давайте проясним, что по порядку операций не имеет значения, в какой момент мы делим на 2 в указанной выше области формулы трапеции.Мы можем либо сначала вычислить (a + b) * h , а затем разделить все на 2 , либо сначала найти h / 2 , и только затем умножить его на (a + b) . Фактически, зоркий глаз заметит, что (a + b) / 2 — это , медианное значение , которое мы упомянули в первом разделе. Другими словами, в качестве альтернативы мы можем использовать формулу A = median * h , чтобы найти A .

    Хорошо, мы научились рассчитывать площадь трапеции, и все кажется простым, если мы предоставим нам все данные на пластине. Но что, если они этого не сделают? Базы достаточно простые, но как насчет х ? Что ж, пора посмотреть , как найти высоту трапеции.

    Как найти высоту трапеции

    Решающий факт, который мы используем для определения высоты трапеции, заключается в том, что — это отрезок прямой, перпендикулярный основанию . Это дает нам прямой угол в обеих конечных точках, что позволяет нам использовать прямоугольные треугольники. И первое, что приходит в голову, когда мы слышим фразу прямоугольный треугольник , это, конечно же, теорема Пифагора.

    Давайте проведем линию от одной из верхних вершин , которая падает на нижнее основание и под углом 90 градусов. (Обратите внимание, как для тупых трапеций, подобных изображенной на правом рисунке выше, высота h выходит за пределы формы, то есть на линию, содержащую a , а не саму a . Тем не менее, то, что мы описываем ниже, все еще остается в силе для таких четырехугольников.) Длина этой линии равна высоте нашей трапеции, поэтому именно то, что мы ищем. Обратите внимание на то, как мы нарисовали линию , она образует прямоугольный треугольник с одной из сторон c или d (в зависимости от того, какую верхнюю вершину мы выбрали).

    Если у нас есть длина ноги трапеции и мы можем вычислить другую сторону прямоугольного треугольника (например, e или f на картинке выше), то мы знаем, как найти высоту трапеции — воспользуемся теоремой Пифагора .Однако есть еще один способ его вычисления.

    Если вы немного разбираетесь в тригонометрии, вы сможете найти высоту , используя внутренний угол трапеции . Чтобы быть точным, глядя на углы трапеции в нашем калькуляторе (то есть на обозначения на рисунке), мы можем использовать определение тригонометрических функций, чтобы написать:

    h = c * sin (α) = d * sin (δ) ,

    , где sin — синусоидальная функция. На самом деле, может случиться так, что угол будет равен 30 , 45 или 60 градусам, и в этом случае мы можем просто использовать свойства специальных прямоугольных треугольников с такими внутренними углами.

    Наконец, отметим, что весь этот поиск h очень прост в особом случае — когда у нас есть и правая трапеция . Тогда высота нашей трапеции — это просто нога, лежащая рядом с прямым углом. Обратите внимание, что в этом случае приведенная выше тригонометрическая формула все еще работает, поскольку sin (90 °) = 1 .

    Уф, это было много теории . Пришло время использовать эти формулы трапеций и посмотреть, как вычислить площадь и периметр трапеции на практике .

    Пример: использование калькулятора трапеций

    Давайте посмотрим на , как найти площадь и периметр трапеции со сторонами и углами, обозначенными как в калькуляторе трапеций, и следующими данными:

    a = 8 дюймов , b = 5 дюймов , d = 3 дюйма , α = 90 ° , δ = 45 ° .

    На вид не так много, но давайте посмотрим, что мы можем здесь сделать . Однако во-первых, давайте заметим, что наш калькулятор трапеций может легко справиться с нашей задачей даже с таким небольшим количеством информации.Действительно, если мы введем вышеуказанные числа в наш инструмент (обратите внимание, как мы можем переключиться на другие единицы, щелкнув по ним и выбрав подходящий из списка), он заполнит все остальные поля . Например, в качестве калькулятора угла трапеции он будет использовать идентификаторы, упомянутые во втором разделе, для вычисления β и 𝛾 . Также обратите внимание, что мы можем дополнительно перейти в расширенный режим и увидеть длину медианы.

    Если инструмент может это сделать, можем и мы! Давайте посмотрим, как вычислить площадь и периметр трапеции вручную.

    Прежде всего, обратите внимание, что мы имеем дело с правой трапецией , так как α = 90 ° (фактически, у нас также есть β = 90 ° ). Это означает, что сторона c перпендикулярна основаниям и, следовательно, равна высоте c = h . Однако мы не знаем c , поэтому нам еще нужно будет найти .

    Для этого нарисуйте высоту нашей трапеции , которая идет от вершины между b и d .Вместе с d и частью a , он образует прямоугольный треугольник . Более того, нам известен один из его углов — δ = 45 ° . Значит, это один из частных случаев — это половина квадрата. Следовательно, h равно нижней стороне треугольника, а d фактически является диагональю квадрата, что означает, что:

    h = d / √2 = 3 дюйма / √2 = 1,5√2 дюйма ≈ 2,1213 дюйма

    (последнее равенство получаем, рационализируя знаменатель).

    Теперь у нас есть все необходимое , чтобы найти A . Вспомните из специального раздела, как рассчитать площадь трапеции, и используйте эту информацию для получения

    A = (a + b) * h / 2 = (8 дюймов + 5 дюймов) * 1,5√2 дюйма / 2 = 9,75√2 дюйма² ≈ 13,789 дюйма² .

    Мы также собрали все данные, чтобы найти P , так как c = h = 1,5√2 в . По формуле периметра трапеции из второго сечения получаем

    P = a + b + c + d = 8 дюймов + 5 дюймов + 1.5√2 дюйма + 3 дюйма = 16 + 1,5√2 дюйма ≈ 18,12 дюйма .

    Неплохо, правда? Стороны и углы, которые мы получили вначале, казались довольно случайными, но нам удалось найти им хорошее применение. b {f \ left (x \ right) dx}.\)

    Суммы Римана используют прямоугольники для аппроксимации площади под кривой.

    Еще одно полезное правило интеграции — правило трапеции. Согласно этому правилу площадь под кривой оценивается путем деления общей площади на маленькие трапеции, а не на прямоугольники.

    Пусть \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно на \ (\ left [{a, b} \ right]. \). Разделим интервал \ (\ left [{a, b} \ right] \) на \ (n \) равные подынтервалы шириной

    каждый

    \ [{\ Delta x = \ frac {{b — a}} {n},} \]

    такое, что

    \ [a = {x_0} \ lt {x_1} \ lt {x_2} \ lt \ cdots \ lt {x_n} = б.2} xdx}. \)

    Пример 2

    Функция \ (f \ left (x \ right) \) задается таблицей значений. Приближаем площадь под кривой \ (y = f \ left (x \ right) \) между \ (x = 0 \) и \ (x = 8 \), используя правило трапеции с \ (n = 4 \) подинтервалами.

    Пример 3

    Функция \ (f \ left (x \ right) \) задается таблицей значений. Приближаем площадь под кривой \ (y = f \ left (x \ right) \) между \ (x = -4 \) и \ (x = 2 \), используя правило трапеции с \ (n = 6 \) подинтервалами. \ pi} = {\ frac {1 } {2} \ left [{\ left ({\ pi — 0} \ right) — 0} \ right]} = {\ frac {\ pi} {2}.} \]

    Итак, в этом конкретном примере трапецеидальная аппроксимация \ ({T_6} \) совпадает с точным значением интеграла.

    Пример 2.

    Функция \ (f \ left (x \ right) \) задается таблицей значений. Приближаем площадь под кривой \ (y = f \ left (x \ right) \) между \ (x = 0 \) и \ (x = 8 \), используя правило трапеции с \ (n = 4 \) подинтервалами.

    Решение.

    Формула правила трапеции для \ (n = 4 \) подынтервалов имеет вид

    \ [{{T_4} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right)} \верно.} + {\ left. {2f \ left ({{x_2}} \ right) + 2f \ left ({{x_3}} \ right)} \ right.} + {\ left. {f \ left ({{x_4 }} \ right)} \ right].} \]

    Ширина подынтервала \ (\ Delta x = 2. \)

    Подставляя значения функции из таблицы, находим примерную площадь под кривой:

    \ [{A \ приблизительно {T_4} \ text {=}} \ kern0pt {\ frac {2} {2} \ left [{3 + 2 \ cdot 7 + 2 \ cdot 11 + 2 \ cdot 9 + 3}] \ right]} = {3 + 14 + 22 + 18 + 3} = {60.} \]

    Пример 3.

    Функция \ (f \ left (x \ right) \) задается таблицей значений.Приближаем площадь под кривой \ (y = f \ left (x \ right) \) между \ (x = -4 \) и \ (x = 2 \), используя правило трапеции с \ (n = 6 \) подинтервалами. .

    Решение.

    Мы применяем формулу правила трапеции с \ (n = 6 \) подинтервалов, которая задается как

    \ [{{T_6} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right)} \ right.} + {\ left. {2f \ left ({{x_2}} \ right) + 2f \ left ({{x_3}} \ right)} \ right.} + {\ left. {2f \ left ( {{x_4}} \ right) + 2f \ left ({{x_5}} \ right)} \ right.} + {\ left. {f \ left ({{x_6}} \ right)} \ right].} \]

    Ширина каждого интервала равна \ (\ Delta x = 1. \)

    Значения функции известны из таблицы, поэтому мы легко можем рассчитать приблизительную стоимость площади:

    \ [{A \ приблизительно {T_6} \ text {=}} \ kern0pt {\ frac {1} {2} \ left [{0 + 2 \ cdot 4 + 2 \ cdot 5} \ right.} + {\ влево. {2 \ cdot 3 + 2 \ cdot 10} \ right.} + {\ left. {2 \ cdot 11 + 2} \ right]} = {\ frac {1} {2} \ left [{8 + 10 + 6} \ right.} + {\ Left. {20 + 22 + 2} \ right]} = {\ frac {{68}} {2}} = {34.} \]

    Пример 4.

    Приближаем площадь под кривой \ (y = f \ left (x \ right) \) между \ (x = 0 \) и \ (x = 10 \), используя правило трапеции с \ (n = 5 \) подинтервалами.

    Рисунок 2. Решение

    .

    Формула правила трапеции для \ (n = 5 \) интервалов определяется как

    \ [{{T_5} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right)} \ right.} + {\ left. {2f \ left ({{x_2}} \ right) + 2f \ left ({{x_3}} \ right)} \ right.} + {\ left.{2f \ left ({{x_4}} \ right) + f \ left ({{x_5}} \ right)} \ right].} \]

    Из рисунка следует, что \ (\ Delta x = 2. \) Значения функции на концах интервалов равны

    \ [f \ left ({{x_0}} \ right) = f \ left (0 \ right) = 4; \]

    \ [f \ left ({{x_1}} \ right) = f \ left (2 \ right) = 6; \]

    \ [f \ left ({{x_2}} \ right) = f \ left (4 \ right) = 6; \]

    \ [f \ left ({{x_3}} \ right) = f \ left (6 \ right) = 4; \]

    \ [f \ left ({{x_4}} \ right) = f \ left (8 \ right) = 4; \]

    \ [f \ left ({{x_5}} \ right) = f \ left ({10} \ right) = 5. 3} = 8.\]

    В качестве \ (\ Delta x = 1, \) получаем

    \ [{A \ приблизительно {T_4} \ text {=}} \ kern0pt {\ frac {1} {2} \ left [{\ frac {1} {2} + 2 \ cdot 1 + 2 \ cdot 2 + 2 \ cdot 4 + 8} \ right]} = {\ frac {1} {2} \ cdot 22 \ frac {1} {2}} = {11 \ frac {1} {4}.} \]

    Пример 6.

    Приблизьте площадь под кривой \ (y = \ large {\ frac {1} {x}} \ normalsize \) между \ (x = 1 \) и \ (x = 5 \), используя правило трапеции с \ (n = 4 \) подынтервалы.

    Решение.

    Рис. 4.

    Запишем формулу правила трапеции для \ (n = 4 \) подинтервалов:

    \ [{{T_4} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right)} \верно.} + {\ left. {2f \ left ({{x_2}} \ right) + 2f \ left ({{x_3}} \ right)} \ right.} + {\ left. {f \ left ({{x_4 }} \ right)} \ right].} \]

    Функция имеет следующие значения в точках \ ({x_i}: \)

    \ [{f \ left ({{x_0}} \ right) = f \ left (1 \ right)} = {\ frac {1} {1}} = {1;} \]

    \ [{f \ left ({{x_1}} \ right) = f \ left (2 \ right)} = {\ frac {1} {2};} \]

    \ [{f \ left ({{x_2}} \ right) = f \ left (3 \ right)} = {\ frac {1} {3};} \]

    \ [{f \ left ({{x_3}} \ right) = f \ left (4 \ right)} = {\ frac {1} {4};} \]

    \ [{f \ left ({{x_4}} \ right) = f \ left (5 \ right)} = {\ frac {1} {5}. 2}} = {4.2}}}} \ normalsize} \) и вычислите приблизительное значение \ (\ pi. \). Округлите ответ до \ (2 \) десятичных знаков.

    Решение.

    Рассчитаем данный интеграл по формуле

    \ [{{T_ {10}} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right) + \ cdots} \ right.} + {\ left. {2f \ left ({{x_9}} \ right) + f \ left ({{x_ {10}}} \ right)} \ right].} \]

    Ширина каждого подынтервала —

    \ [\ Delta x = \ frac {{b — a}} {n} = \ frac {{1 — 0}} {{10}} = 0.2} \) между \ (x = 0 \) и \ (x = 3. \) Оцените относительную погрешность аппроксимации в процентах.

    Решение.

    Правило трапеции с \ (n = 3 \) сегментами записывается в форме

    \ [{{T_3} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right)} \ right.} + {\ left. {2f \ left ({{x_2}} \ right) + f \ left ({{x_3}} \ right)} \ right].} \]

    Ширина подынтервала равна

    \ [\ Delta x = \ frac {{b — a}} {n} = \ frac {{3 — 0}} {3} = 1.3} = {\ frac {{27}} {2} — \ frac {{27}} {3} — 0} = {\ frac {9} {2}} = {4.5} \]

    Таким образом, относительная погрешность равна

    .

    \ [{\ left | \ varepsilon \ right | } = {\ frac {{4.5 — 4}} {{4.5}}} = {\ frac {{0.5}} {{4.5}}} = {\ frac {1} {9}} \ приблизительно {11.1 \% } \]

    Окончательный ответ:

    \ [{A \ приблизительно 4, \;} \ kern0pt {\ left | \ varepsilon \ right | = 11,1 \%} \]

    Пример 11.

    Используя правило трапеции с подинтервалом \ (n = 4 \), аппроксимируйте площадь под синусоидальной кривой \ (f \ left (x \ right) = \ sin x \) между \ (x = 0 \) и \ (x = \ пи \) до \ (3 \) десятичных знаков.Оцените относительную погрешность аппроксимации в процентах.

    Решение.

    Формула правила трапеции с \ (n = 4 \) сегментами равна

    \ [{{T_4} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right)} \ right.} + {\ left. {2f \ left ({{x_2}} \ right) + 2f \ left ({{x_3}} \ right)} \ right.} + {\ left. {f \ left ( {{x_4}} \ right)} \ right].} \]

    Определите ширину каждого подынтервала:

    \ [{\ Delta x = \ frac {{b — a}} {n}} = {\ frac {{\ pi — 0}} {4}} = {\ frac {\ pi} {4}.} \]

    Вычислить значения синусоидальной функции:

    \ [{f \ left ({{x_0}} \ right) = f \ left (0 \ right)} = {\ sin 0} = {0;} \]

    \ [{f \ left ({{x_1}} \ right) = f \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right)} = {\ sin \ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {{\ sqrt 2}} {2};} \]

    \ [{f \ left ({{x_2}} \ right) = f \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right)} = {\ sin \ frac {\ pi} {2}} = {1;} \]

    \ [{f \ left ({{x_3}} \ right) = f \ left ({\ frac {{3 \ pi}} {4}} \ right)} = {\ sin \ frac {{3 \ pi }} {4}} = {\ frac {{\ sqrt 2}} {2};} \]

    \ [{е \ left ({{x_4}} \ right) = f \ left (\ pi \ right)} = {\ sin \ pi} = {0.\ pi} = {- \ cos \ pi + \ cos 0} = {- \ left ({- 1} \ right) + 1} = {2.} \]

    Таким образом, относительная погрешность составляет

    .

    \ [{\ left | \ varepsilon \ right | = \ frac {{2 — 1,896}} {2}} = {0,052} = {5,2 \%} \]

    Ответ

    \ [{A \ приблизительно 1.896, \;} \ kern0pt {\ left | \ varepsilon \ right | = 5.2 \%} \]

    сумм Римана

    сумм Римана

    Math 122 — Исчисление для биологии II
    Осенний семестр 2004 г.
    Суммы Римана и численное интегрирование

    © 2000, Все права защищены, SDSU &
    Джозеф М.Махаффи
    Государственный университет Сан-Диего — Последнее обновление этой страницы 31 марта 2004 г.


    Суммы Римана и численное интегрирование

    Краткое содержание главы

    1. Salton Sea Пример
    2. Риман Сумс
    3. Обозначение суммирования
    4. Определение интеграла Римана
    5. Численные методы интегрирования
      1. Правило средней точки
      2. Правило трапеции
      3. Правило Симпсона
    6. Примеры
    7. Рабочие примеры

    В этом разделе дается правильное определение интеграла с использованием сумм Римана.Показано, что этот интеграл представляет собой площадь под кривой. Мы также вводим
    три метода приближения для решения интеграла, правило средней точки,
    правило трапеции и правило Симпсона.

    Salton
    Море

    Калифорния
    На сайте State Parks Солтон-Си описывается как «Один из мировых
    Самое большое внутреннее море, Солтон-Си, было образовано случайно, когда во время
    строительство Всеамериканского канала в 1905 году.Этот бассейн площадью 360 квадратных миль
    является популярным местом для яхтсменов, водных лыжников и рыболовов. Уловы включают океан
    корвина, горбыль, тилапия и сарго. 35 миль в длину с 110 милями береговой линии,
    море — одно из самых популярных мест для катания на лодках в южной Калифорнии. Пловцы,
    Орнитологи и другие посетители могут воспользоваться многочисленными возможностями для отдыха на этом месте.
    Из-за небольшой высоты моря (228 футов ниже уровня моря) атмосферные
    давление улучшает скорость и производительность двигателя лыжного катера »

    Для определения площади Солтон-Си воспользуемся
    следующие изображения с координатной сеткой и масштабированием.Площадь
    определяется путем подсчета количества квадратов, содержащих изображение
    Солтонского моря. для подсчета мы будем применять
    следующее правило%:

    Если ящик заполнен на 50%, мы его засчитаем. Если коробка меньше
    заполнено более чем на 50%, мы не будем это считать.

    Используя это правило, мы можем понять, что когда коробки становятся меньше и
    меньше мы можем получить более точную оценку площади Солтона
    Море.

    Это был один из распространенных методов оценки площадей в
    прошлое.Другой метод заключался в том, чтобы вырезать изображение и взвесить его.
    относительно стандартной измеренной площади. Теперь компьютеры продвинулись
    программное обеспечение, которое может достаточно точно измерить площадь простым
    сканирование или отслеживание, но в основе всех этих схем лежит
    процесс интеграции .

    На первом изображении мы насчитываем 8 полей, которые относятся к
    это правило. Каждая коробка эквивалентна площади в 36 квадратных миль.Итак, основываясь на этом графике, мы вычисляем приближение 288
    квадратные мили. Фактическая площадь бассейна составляет 360 кв.
    миль. Это дает нам ошибку в 20%. С
    Риманн
    суммы
    , мы можем получить более точное число
    когда мы уменьшаем размер наших квадратов.

    На следующем графике мы насчитываем 33 поля, которые относятся к нашему
    Правило 50%.Каждая коробка эквивалентна площади в 9 квадратных миль. Так
    основываясь на этом графике, мы вычисляем приближение 297
    квадратные мили. Фактическая площадь бассейна составляет 360 кв.
    миль. Это дает нам ошибку 17,5%. Поскольку мы можем получить больше
    точное число, когда мы уменьшаем размер наших квадратов, мы
    сделай это снова.

    На следующем графике мы насчитываем 137 квадратов, относящихся к
    наше правило 50%.Каждая коробка эквивалентна 2,25 квадратной миле.
    площадь. Итак, на основе этого графика мы вычисляем приближение
    308,25 квадратных миль. Фактическая площадь бассейна — 360
    квадратные мили. Это дает нам ошибку 14%.

    Риман
    Суммы

    Интеграл вычисляет площадь под произвольной кривой, заданной формулой
    функция.Когда фигура сложная, как в нашем примере Солтона
    Море, мы можем приблизить площадь, разбив ее на
    более мелкие детали, площади которых легко вычислить, например, квадраты или
    прямоугольники.

    Ниже мы находим площадь под кривой кубического многочлена. Один
    простая идея, разработанная Риманом, заключалась в том, чтобы разделить регион на
    набор прямоугольников, максимально приближенных к площади. В
    концепция состоит в том, чтобы сначала разделить сегмент под кривой на
    x — ось на некоторое количество равномерно расположенных интервалов. Затем используйте
    кривой, чтобы найти высоту прямоугольника, аппроксимирующую
    область под кривой. Поскольку площадь прямоугольника (длина
    x width) легко найти, мы можем
    просто сложите площади всех прямоугольников вместе, чтобы приблизительно
    площадь под кривой.Как видно из приведенного ниже примера,
    приближение улучшается по мере уменьшения ширины прямоугольников.
    Однако с вычислительной точки зрения это становится труднее, чем больше прямоугольников,
    сложить вместе.

    Мы исследуем, как процесс сумм Римана работает с
    следующая кубическая функция между x =
    0 и x = 5:

    f ( x ) =
    x 3 — 6 x 2 + 9 x +
    2

    Фактическая площадь под кривой 28.75. (Узнаем, как найти
    это значение в следующем разделе.)

    Щелкните Число, чтобы увидеть график

    5
    Прямоугольники под кривой

    Назад
    к выделению графика

    Сначала регион делится на
    пять прямоугольников шириной один и высотой, принимаемой за
    средняя точка в каждом интервале.Красная линия — это сюжет
    функции

    f ( x )
    = x 3 — 6 x 2 + 9 x + 2.

    Зеленые прямоугольники под кривой
    прямоугольники под кривой. Если суммировать
    площади каждого из этих прямоугольников, получаем
    представление области внизу. Заметь
    высота каждого прямоугольника определяется путем вычисления
    f
    ( x ) в середине каждого подынтервала.

    Здесь у нас 5 прямоугольников , ​​которые
    — довольно грубое представление общей площади под кривой.
    Некоторая площадь не включена, а некоторые коробки торчат в
    где на кривой не должно быть счетной площади. В каждом из регионов есть
    ширина 1 , ​​поэтому площадь приблизительная
    по

    ( f (1/2) + f (3/2) + f (5/2) +
    f (7/2) + f (9/2)) =

    По оценкам, это дает нам приблизительную площадь 28.125 .
    Это на на 2,17% меньше фактического на .
    площадь.

    10
    Прямоугольники под кривой

    Назад
    к выделению графика

    с 10 прямоугольниками площадь лучше
    рассчитывается по этому методу, но придется потрудиться чуть больше.Сейчас же
    ширина прямоугольников 0,5 ,
    поэтому площадь прямоугольников

    ( f (1/4) + f (3/4) + … + f (19/4)) 0,5
    =

    Оценка этого дает нам приблизительную площадь 28,59375 .
    Это на 0,543% на меньше фактического
    площадь.

    20
    Прямоугольники под кривой

    Назад
    к выделению графика

    С 20 прямоугольников , ​​аппроксимирующая
    прямоугольники еще лучше.Однако вычисление суммы очень утомительно.
    без помощи компьютера. Здесь ширина 1/4 ,
    итого сумма площадей

    ( f (1/8) + f (3/8) + … + f (39/8)) (1/4)
    =

    Теперь это дает приблизительную стоимость региона как
    28.7109375 . Это 0,135%
    меньше реальной площади.

    40
    Прямоугольники под кривой

    Назад
    к выделению графика

    С 40 прямоугольниками , ​​есть очень
    плотная сетка прямоугольников.На наш взгляд, это очень близко
    соответствовать фактическому значению площади под кривой. С
    с помощью компьютера сумма прямоугольников выполняется очень быстро
    чтобы дать это более точное приближение к области. В этом
    корпус, ширина прямоугольников 1/8 ,
    Таким образом, сумма Римана становится

    ( f (1/16) + f (3/16) +… + f (79/16)) (1/8)
    =

    Приблизительная площадь теперь определяется по 28.74023438 .
    Это на 0,034% на меньше фактического
    площадь.

    Этот процесс можно продолжить с шириной
    прямоугольники становятся «бесконечно малыми» по мере того, как
    математики любят это называть.В пределе эти римановы
    суммы, кажется, дают действительную стоимость площади под
    изгиб.

    Анимации
    прямоугольников под кривой

    Назад
    к выделению графика

    Анимация прямоугольников, сходящихся к ответу на
    интеграл.

    Щелкните здесь (для
    кленовый лист, на котором были созданы эти рисунки.)

    Обозначение суммирования

    Пример выше иллюстрирует идею сумм Римана, где
    площадь под кривой можно аппроксимировать, добавив набор
    прямоугольные области.По мере того, как ширина прямоугольников становится меньше,
    приближение площади лучше. В пределе с
    бесконечное количество этих прямоугольников бесконечно малой ширины,
    сумма Римана должна идти на фактическую площадь региона.

    Как показано в приведенном выше примере, хорошее приближение к нахождению области
    требует сложения большого количества тонких прямоугольников. Для удобства мы используем
    обозначение суммирования, чтобы облегчить написание и понимание этих выражений.Для студентов, которые не знакомы с обозначениями суммирования, это на самом деле довольно
    просто. Допустим, мы хотим сложить все целые числа от до 1 .
    на номер 10 , ​​можно было написать

    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 .

    Однако запись суммирования дает более простую форму:

    Это обозначение очень важно, когда вы работаете в статистике с
    большое количество точек данных.Предположим, у вас есть
    47 частей данных,
    х 1 , …,
    x 47 , и захотел найти среднее значение
    эти. Метод нахождения среднего состоит в сложении чисел и
    разделить на 47. Используя обозначение суммирования,
    мы можем написать среднее,
    x пр. , as

    Определение слова Riemann
    Интеграл

    Предположим, что мы хотим найти площадь под некоторой непрерывной функцией f ( x )
    между x = a и x
    = b
    .Как показано в нашем примере выше, мы хотим разделить
    интервал [ a , b ]
    на большое количество очень маленьких интервалов. Для простоты обсуждения мы
    разделит интервал на n даже
    интервалы (хотя суммы Римана не требуют этого ограничения). Также для простоты
    мы всегда будем оценивать функцию, f ( x ) ,
    в середине любого подынтервала.

    Пусть x 0 =
    и x n = b . Определить D x
    = ( b a ) / n
    и x i
    = a + i
    D x
    для i = 0, …, n .
    Мы видим, что числа x i
    равномерно распределены по интервалу [ a ,
    b ]
    .Это разметка
    интервал
    [ a , b ]
    в n подынтервалы [ x i- 1 ,
    x i ]
    каждая длиной D x .
    Середина каждого из этих интервалов дается формулой c i
    = ( x i + x i- 1 ) / 2

    в нашем примере выше, мы нашли высоту приближающего прямоугольника, вычислив
    функция в средней точке, c i .
    Таким образом, площадь прямоугольника, R i ,
    на интервале [ x i- 1 ,
    x i ]
    задается как высота, умноженная на ширину
    или

    R i
    = f ( c i ) D x .

    Рисунок, показывающий этот прямоугольник со ссылкой на полную
    регион, который мы изучаем, показан на схеме ниже.

    Чтобы найти площадь под нашей непрерывной функцией f ( x )
    между x = a и x
    = b
    , нам нужно сложить все площади всех прямоугольников,
    Р и . С обозначением суммирования
    развитая выше, мы имеем формулу

    Конкретная формула, которую мы разработали выше, известна как Средняя точка
    Правило интеграции
    .Это ценный численный метод
    для аппроксимации интегралов, которые невозможно вычислить точно. (Однако, как и
    Формула Эйлера для дифференциальных уравнений, есть гораздо лучшие числовые
    методов интеграции.) Ниже приведена диаграмма, показывающая правило средней точки, использующее
    площади прямоугольников, о которых говорилось выше.

    Правило средней точки, описанное выше, является специальной формой Римана.
    сумм
    . Более общий вид сумм Римана позволяет
    подынтервалы различной длины, D x i .Кроме того, выбор места оценки функции не обязательно должен
    средняя точка, как описано выше. Модель Riemann
    интеграл
    определяется с использованием процесса ограничения, аналогичного
    к описанному выше.

    Определение интеграла Римана:
    Пусть f ( x ) будет непрерывной функцией
    в интервале [ a , b ] .
    Разделить интервал [ a , b ]
    в n подынтервалы [ x i- 1 ,
    x i ]
    .Предположим, что D x k
    является самым большим из этих подынтервалов. Пусть c i
    быть какой-то точкой в ​​подынтервале [ x i- 1 ,
    x i ]
    . Модель n th
    Сумма Римана равна

    , а интеграл Римана определяется как

    Числовой
    Способы интеграции

    Как отмечалось в начале раздела, посвященного дифференциальным уравнениям, существует множество
    дифференциальные уравнения, которые не могут быть решены точно.Это тоже так
    для многих интегралов. Однако, когда интеграл определяется по определенному интервалу,
    как указано выше для интеграла Римана, то существует ряд методов
    для нахождения приближенных решений интеграла. Интеграл Римана, определенный
    выше было показано, что представляет собой область под функцией на заданном интервале.
    Этот интеграл называется определенным интегралом
    и написано:

    Численные методы аппроксимируют этот определенный интеграл несколькими способами.

    Правило средней точки: Как отмечалось выше, средняя точка
    Правило
    является частным случаем сумм Римана, где интервальное интегрирование
    [ a , b ] разделен
    n подынтервалы [ x i- 1 ,
    x i ]
    каждая длиной D x
    = ( b a ) / n
    .Конечные точки задаются
    x 0 = и
    x n = b . Середина
    каждый из этих интервалов указан c i
    = ( x i + x i- 1 ) / 2
    , ​​и
    функция оценивается в этой средней точке, чтобы получить высоту каждого аппроксимирующего
    прямоугольник, f ( c i ) .Правило средней точки приближает определенный интеграл путем добавления площадей
    прямоугольники n . Формула
    предоставлено

    Это формула, использованная выше для обоснования определения суммы Римана.
    и является просто частным случаем суммы Римана.

    Трапеция: Трапеция
    правило
    — это альтернативный метод численной аппроксимации
    область под кривой и может быть визуализирована на рисунке ниже.Техника
    начинается как правило средней точки, где интегрирование интервала [ a ,
    b ]
    делится n
    подынтервалы [ x i- 1 ,
    x i ]
    каждая длиной D x
    = ( b a ) / n
    и указаны конечные точки
    по x 0 =
    и x n = b .Однако вместо этого
    вычисления функции в середине подынтервалов функция
    оценивается на каждой из конечных точек подынтервалов, что делает это
    метод намного лучше, когда применяется к реальным данным. Линейный сегмент образуется между
    эти функции вычислений на каждом подынтервале, а площадь результирующего
    вычисляется трапеция. (Есть упражнение, чтобы напомнить вам, как найти область
    тразезоида на случай, если вы забыли.) Правило трапеции приближает
    определенный интеграл путем сложения площадей n
    трапеции. Формула дается

    Точность формулы аналогична правилу средней точки. это
    немного сложнее по форме, но имеет то преимущество, что выполняет функцию
    оценки в конечных точках интервалов.

    На рисунке ниже показано правило трапеции с использованием того же
    функционируют, как указано выше, и 5 подинтервалов.Функция отображается синим цветом, а значок
    аппроксимации трапеции — зеленые трапеции.

    На рисунке выше мы используем функцию

    f ( x )
    = x 3 — 6 x 2 + 9 x + 2

    , который был проиллюстрирован выше для правила средней точки при разработке
    суммы Римана. Для правила трапеции, делящего интервал [0,
    5]
    на 5 субинтервалов,
    интегральное приближение становится

    Сравнение с фактическим целым значением 28.75
    дает приближение, которое также составляет 4,3%
    high, что аналогично показанному выше правилу средней точки.

    Пример 1:
    Используйте правило средней точки и правило трапеции для приближения
    интеграл от

    f ( x )
    = х 2

    для x в интервале [0,2]
    с n = 2 и n
    = 4
    .

    Решение: Для n
    = 2
    , ​​два подинтервала равны [0,1]
    и [1,2] , ​​и значение D x
    это 1 .

    Для правила Midpoint , ​​средние точки равны c 1
    =
    1/2
    , ​​поэтому f (1/2) = 1/4 ,
    и c 2 = 3/2 ,
    поэтому f (3/2) = 9/4 .Середина
    правило дает

    Для линейки трапеций формула интегральной аппроксимации
    дает

    Для n = 4 , ​​четыре подинтервала
    являются [0,1 / 2] , ​​ [1 / 2,1] ,
    [1,3 / 2] и [3 / 2,2] ,
    и значение D x
    это 1/2 .

    Для правила Midpoint , ​​средние точки равны c 1
    =
    1/4
    , ​​поэтому f (1/4) = 1/16 ,
    c 2 = 3/4 ,
    поэтому f (3/4) = 9/16 , ​​ c 3
    =
    5/4
    , ​​поэтому f (5/4) = 25/16 ,
    и c 4 = 7/4 ,
    поэтому f (7/4) = 49/16 .Середина
    правило дает

    Для линейки трапеций формула интегральной аппроксимации
    дает

    Мы увидим в следующем разделе, что дано фактическое значение
    по

    В каждом из приведенных выше случаев мы видим, что правило средней точки
    при оценке интеграла и правила трапеций переоценивают
    стоимость.

    Правило Симпсона: Средняя точка и
    правила трапеции очень просты для концептуального понимания, и их формулы
    относительно просты. Однако ни одна из форм не является очень точной и требует
    довольно большое значение n для получения
    хорошее приближение к интегралу. Симпсона
    правило
    использовать более продвинутые математические идеи, чтобы получить много
    более точное приближение к интегралу без существенного
    более сложная формула для получения приближения.

    Правило Симпсона аппроксимирует функцию f ( x )
    по квадратам. Как и в предыдущих методах аппроксимации, интервальное интегрирование
    [ a , b ] разделен
    n подынтервалы [ x i- 1 ,
    x i ]
    каждая длиной D x
    = ( b a ) / n
    и указаны конечные точки
    по x 0 =
    и x n = b .Однако,
    в этом случае n должен быть четным
    целое число
    . Формула правила Симпсона —

    .

    Эта формула имеет значительно лучшую точность, чем
    правило средней точки или правило трапеции. Но это не намного сложнее
    в его формуле для вычисления приближенного интеграла.

    Пример 2: Использование
    правило Симпсона для аппроксимации интеграла

    f ( x )
    = х 2

    для x в интервале
    [0,2] с n
    = 2
    и n = 4 .Обратите внимание, что n даже в обоих случаях
    как требуется для этого приближения.

    Решение:
    Для n = 2 , ​​два подинтервала
    [0,1] и [1,2] ,
    и значение D x
    это 1 . Применяя правило Симпсона, получаем

    Для n = 4 ,
    четыре подынтервала: [0,1 / 2] ,
    [1 / 2,1] , ​​ [1,3 / 2] ,
    и [3/2,2] , ​​а значение
    D x
    это 1/2 .Применяя правило Симпсона, получаем

    Обратите внимание, что в обоих случаях правило Симпсона дает точное
    отвечать. Это потому, что приближение, которое делается, является квадратичным
    аппроксимация квадратичной функции f ( x )
    = x 2
    .

    Дополнительные примеры представлены в Рабочих примерах
    раздел.

    .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.