Арктангенс 2 5: Онлайн калькулятор: Тригонометрические функции

Содержание

Онлайн калькулятор: Тригонометрические функции

Простейшие тригонометрические функции

Тригонометрические функции — вид элементарных функций, к которым относятся следующие функции:
sin — синус
cos — косинус
tg — тангенс
ctg — котангенс
sec — секанс
cosec — косеканс
versin — версинус (синус-верзус)
vercos — коверсинус (косинус-верзус)
haversin — гаверсинус (половина от синус-верзус)
exsec — экссеканс
excsc — экскосеканс

Для того чтобы вычислить все эти тригонометрические функции сразу для заданного угла, введите значение угла в поле Угол и получите результат в виде таблицы значений всех функций для этого угла. Угол можно задать в градусах, радианах, градах, минутах и секундах, для выбора единицы измерения — просто щелкните на ее название.

Тригонометрические функции

Единицы измерения
Точность вычисления

Знаков после запятой: 10

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить
close

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Как известно из школы, синус угла (sin) — это отношение длины противоположного этому углу катета к гипотенузе, а косинус (cos) — это отношение прилежащего этому углу катета к гипотенузе.

Остальные тригонометрические функции можно выразить через синус и косинус:
Тангенс: (отношение длины противоположного углу катета к прилежащему катету)
Котангенс: (отношение длины прилежащего к углу катета к противоположному катету)
Секанс: (отношение длины гипотенузы к прилежащему к углу катету)
Косеканс: (отношение длины гипотенузы к противоположному катету)

Редко используемые тригонометрические функции:

Версинус:

Коверсинус:

Гаверсинус:

Экссеканс:

Экскосеканс:

определение, формула, таблица, график, свойства

Определение

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y:

arctg x = tg-1 x = y, причем -π/2<y<π/2

Примечание: tg-1x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg-1 1 = 45° = π/4 рад

График арктангенса

Функция арктангенса пишется как y = arctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом:

Свойства арктангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.

Таблица арктангенсов

arctg x (°)
arctg x (рад) x
-90° -π/2 -∞
-1.2490 -3
-63.435° -1.1071 -2
-60° -π/3 -√3
-45° -π/4 -1
-30° -π/6 -1/√3
-0.4636 -0.5
0 0
26. 565° 0.4636 0.5
30° π/6 1/√3
45° π/4 1
60° π/3 √3
1.1071 2
71.565° 1.2490 3
90° π/2

microexcel. ru

Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a, тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π3, то значение косинуса отсюда равно 12 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 12 получим π на 3. Такое тригонометрическое выражение записывается как arcos(12)=π3.

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 12 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид arccos12=60°

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin(-π2)=-1, sin(-π3)=-32, sin(-π4)=-22, sin(-π6)=-12,sin 0 =0, sinπ6=12, sinπ4=22, sinπ3=32, sinπ2=1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от -1 и заканчивая 1, также значения от –π2 до +π2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

α -1 -32 -22 -12 0 12 22 32
arcsin αкак угол

 

в радианах

 

-π2 -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3
в градусах -90° -60° -45° -30° 30° 45° 60°
arcsin α как число -π2 -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0=1, cos π6=32 , cos π4=22, cos π3=12, cosπ2=0,cos2π3=-12, cos3π4=-22, cos5π6=-32, cosπ=-1

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

arccos (-1)=π, arccos (-32)=5π6, arcocos (-22)=3π4, arccos-12=2π3, arccos 0 =π2, arccos 12=π3, arccos 22=π4, arccos32=π6, arccos 1 =0

Таблица арккосинусов.

α -1 -32 -22 -12 0 12 22 32 1
arccos αкак угол

 

в радианах

 

π 5π6 3π4 2π3 π2 π3 π4 π6 0
в градусах 180° 150° 135° 120° 90° 60° 45° 30°
arccos α как число π 5π6 3π4 2π3 π2 π3 π4 π6 0

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α -3 -1 -33 0 33 1 3
arctg aкак угол в радианах -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3
в градусах -60° -45° -30° 30° 45° 60°
arctg a как число -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

arcsin, arccos, arctg и arcctg

Для точного значения arcsin, arccos, arctg и arcctg числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения arcsin, arccos, arctg и arcctg отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(-α)=-arcsin α, arccos(-α)=π-arccos α, arctg(-α)=-arctg α, arcctg(-α)=π-arcctg α.

Рассмотрим решение нахождения значений  arcsin, arccos, arctg и arcctg с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0,2857, ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0,2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0,2863 используется та самая поправка в 0,0006, так как ближайшим числом будет 0,2857. Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Таким образом находятся значения arcsin, arccos, arctg и arcctg.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы arcsin α+arccos α=π2, arctg α+arcctg α=π2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном arcsin α= -π12 необходимо найти значение arccos α, тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

arccos α=π2−arcsin α=π2−(−π12)=7π12.

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π10, а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0,9511, после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

При поиске значения арктангенса 0,9511  определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Арктангенс, арккотангенс — свойства, графики, формулы

Арктангенс, arctg

Определение и обозначения

Арктангенс ( y = arctg x )
 – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ). Он имеет область определения    и множество значений  .
tg(arctg x) = x     ;
arctg(tg x) = x     .

Арктангенс обозначается так:
.

График функции арктангенс

График функции   y = arctg x.

График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.

Арккотангенс, arcctg

Определение и обозначения

Арккотангенс ( y = arcctg x )
 – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ). Он имеет область определения    и множество значений  .
ctg(arcctg x) = x     ;
arcctg(ctg x) = x     .

Арккотангенс обозначается так:
.

График функции арккотангенс

График функции   y = arcctg x.

График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.

Четность

Функция арктангенс является нечетной:
arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x

Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = π – arcctg x ≠ ± arcctg x.

Свойства – экстремумы, возрастание, убывание

Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x. (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.

  y = arctg x y = arcctg x
Область определения и непрерывность – ∞ < x < + ∞ – ∞ < x < + ∞
Множество значений
Возрастание, убывание монотонно возрастает монотонно убывает
Максимумы, минимумы нет нет
Нули, y = 0 x = 0 нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = π/2
π
0

Таблица арктангенсов и арккотангенсов

В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

 x arctg x arcctg x
град. рад. град. рад.
– ∞ – 90° 180° π
– 60° 150°
– 1 – 45° 135°
– 30° 120°
0 0 90°
30° 60°
1 45° 45°
60° 30°
+ ∞ 90° 0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Формулы

См. Вывод формул обратных тригонометрических функций

Формулы суммы и разности

     при

     при

     при

     при

     при

     при

Выражения через логарифм, комплексные числа

См. Вывод формул
,
.

Выражения через гиперболические функции

Производные

См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >

Производные высших порядков:
Пусть  . Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
;
.
Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >
Там же даны формулы производных первых пяти порядков.

Аналогично для арккотангенса. Пусть  . Тогда
;
.

Интегралы

Делаем подстановку   x = tg t   и интегрируем по частям:
;
;
;

Выразим арккотангенс через арктангенс:
.

Разложение в степенной ряд

При   |x| ≤ 1   имеет место следующее разложение:
;
.

Обратные функции

Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс, соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg x) = x    
ctg(arcctg x) = x    .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса:
arctg(tg x) = x     при
arcctg(ctg x) = x     при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

Арксинус, арккосинус, арктангенс числа. Корни тригонометрических уравнений.

←Тригонометрический круг
Тригонометрические уравнения→
 

        Решим уравнение  sin x = a. Здесь a — число. Решаем его графически, то есть решаем систему уравнений

   

Для этого рисуем графики   у = sin x    и    у = a

Как видно из графика, решений у этого уравнения — бесконечное множество. Функция  у = sin x   — периодическая, в одном периоде — два решения, а потом они оба повторяются через 2π, то есть необходимо просто прибавить или отнять от предыдущего значения корня ±2π.

        Строим те же графики на тригонометрическом круге. В этом случае мы график функции у = sin x заменяем на круг, а правая часть уравнения становится прямой, параллельной Ох. Смотрим     на круге: Точки пересечения круга с прямой дают нам два решения: α1 и α2 . Причем, (смотрите на круге): α2 = πα1 !  И тогда решениями уравнения будут точки

   

        Еще из курса геометрии мы знаем некоторые значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для конкретных углов, а именно: для углов в  0°,  30°,  45°,  60°,  90°. А что же делать с остальными? И тут нам поможет арк(функция). Арк(функция) является обратной функцией для тригонометрических функций.

        Рассмотрим конкретную функцию знакомого угла: sin 30° = 0,5. Тогда arcsin 0,5 = 30°. Собственно, эта формула  и читается, как пишется. Угол (arc — это угол), синус которого равен 0,5, равен 30°. Все верно! То есть, если мы не знаем значения угла для какого-то синуса, мы его, этот угол, можем записать через арксинус.

Решим простое уравнение для 

x ∈ [0; 2π].

sin x = 0,35

Первый угол определить через геометрию мы не сможем, ну, и не надо! Решениями этого уравнения будут значения:

   

Теперь рассмотрим уравнение для 

x ∈ [0; 2π]

с отрицательным значением:

sin x = — 0,35

Опить два корня, и первый по модулю (величине) будет таким же, как и в первом примере, но со знаком «минус». запишем результат:  

   

Получается, что нам нет нужды рассматривать весь круг, все возможные значения для арксинуса укладываются в интервал [-π/2; π/2 ], все остальные значения находим уже по кругу. другими словами:

-π/2  ≤  arcsin a  ≤  π/2

А модуль арксинусов вообще определяется первой четвертью круга, в четвертой просто появляется знак «минус».

Запишем теперь, как будет выглядеть полное решение  уравнения  sin x =  a

  ⇒   

Смотрите: Получется, что, если четное количество π (2πn), арксинус с плюсом, а если нечетное (π(2n+1)) — арксинус со знаком «плюс». Можно объединить запись коней!

x1,2 = arcsin a · (-1)n + πn,   n ∈ Z

Здесь, если n — четное число, «минус» пропадает, и арксинус с «плюсом», если n — нечетное, то арксинус с «минусом».

 

        Теперь по аналогии с арксинусом и помощью картинок определим остальные значения тригонометрических функций.

cos x = b

Так как косинус определяется координатой  х, то и пересекать круг будем прямыми, проходящими через соответствующие точки на оси Ох. На этом круге решаем уравнение положительного значения арккосинуса.  И в том случае можем смело утверждать, что  =   Получается:

cos x = 0,4 

Решение уравнения: 

    ⇒   

x = ± arccos 0,4 + 2πn,  n ∈ Z

Теперь рассмотрим урвнение

cos x = — 0,6

Здесь тоже очевидно, что = . 

  Решение уравнения 

    ⇒   

x = ± arccos (-0,6) + 2πn,  n ∈ Z

Общая формула для  cos x = b будет:

x1,2 = ± arccos b + 2πn,  n ∈ Z

Обратите внимание, что все значения арккосинуса находятся в первой и второй четвертях круга. То есть

≤   arccos b  ≤  π

Ну, и  дополнительное напоминание — у тупых углов косинус отрицательный.

 

Тангес угла определяется, как 

   

. Соответственно, ось со значениями у тангенса проходит там, где знаменатель дроби cos x =1. Там-то и появляется ось, все значения на которой будут соответствовать тангенсу угла φ, а прямая, проведенная через центр круга, покажет углы, тангенс которых равен числу на оси. Угол всегда определяется от нуля до проведенной линии. Соответственно, у отрицательных значений углы будут тупые.

В отличие от синуса и косинуса, у тангенса углы повторяются не через 2π,а через π Итак,

tg x = 1,5

Решение данного уравнения будет следующим:

x = arctg 1,5 + πn,     n ∈ Z

Все значения для арктангенса, как видно из рисунка, укладываются в интервал

-π/2  < arctg d < π/2

 Формула для определения корней уравнения

tg x = d

будет:   x = arctg d + πn,     n ∈ Z

 

Теперь про арккотангенс числа. Конечно же он существует, и им можно пользоваться. Но зачем? Ведь любое уравнение с котангенсом легко превращается в уравнение тангенсом, поскольку .

Подведем итоги:

 

уравнение корни уравнения
 
sin x =  a x1,2 = arcsin a · (-1)n + πn,   n ∈ Z -π/2 ≤ arcsin a ≤ π/2
cos x = b x1,2 = ± arccos b + 2πn,  n ∈ Z 0 ≤ arccos b ≤ π
tg x = d x = arctg d + πn,     n ∈ Z -π/2 < arctg d < π/2

 

 

Как найти углы прямоугольного треугольника

Чтобы найти углы прямоугольного треугольника воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Чтобы найти острые углы прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для угла α:
    • угол β
    • длины катетов a и b
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
  • для угла β:
    • угол α
    • длины катетов a и b
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти угол α зная угол β и наоборот

Формула

α = 90° — β

β = 90° — α

Найти углы прямоугольного треугольника зная катеты

Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?

Формулы

tg(α) = a/b

tg(β) = b/a

или так:

α = arctg(a/b)

β = arctg(b/a)

Пример

Для примера определим чему равны углы α и β в градусах если катет a = 5 см, а катет b = 2 см:

∠α = arctg(5/2) = arctg(2.5) ≈ 68.2°

∠β = arctg(2/5) = arctg(0.4) ≈ 21.8°

Найти углы прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Чему равны острые углы (α и β) прямоугольного треугольника если известны гипотенуза c и один из катетов (a или b)?

Формулы

sin(α) = a/c

sin(β) = b/c

cos(α) = b/c

cos(β) = a/c

или так:

α = arcsin(a/c) = arccos(b/c)

β = arcsin(b/c) = arccos(a/c)

Пример

Для примера определим чему равны углы α и β в градусах если гипотенуза c = 6 см, а катет b = 3 см:

∠α = arccos(3/6) = arccos(0. 5) = 60°

∠β = arcsin(3/6) = arcsin(0.5) = 30°

См. также

Arctan Calculator 📐 — вычисляет arctan (x) числа

Воспользуйтесь этим калькулятором arctan, чтобы легко вычислить arctan (x) заданного числа. Онлайн-инструмент вычисления арктангенса для вычисления функции тангенса дуги в градусах или радианах. Поддерживает ввод десятичных чисел (0,5, 6, -1 и т. Д.) И дробей (1/3, 3/4, 1/6, -4/3 и т. Д.).

Быстрая навигация:

  1. Функция Arctan
  2. Как рассчитать арктангенс числа?
  3. Пример использования arctan
  4. Расчет арктангенса дроби

Функция Arctan

Арктан (а.к.а. arcus tangens ) является одной из обратных тригонометрических функций (антитригонометрических функций) и является обратной функцией касательной. Иногда его пишут как tan -1 (x), но этого обозначения следует избегать, так как оно может вызвать путаницу с обозначением экспоненты. Арктангенс используется для получения угла из касательного тригонометрического отношения, которое представляет собой отношение между стороной, противоположной углу, и соседней стороной треугольника.

Функция охватывает все действительные числа (-∞ — + ∞), как и результаты нашего калькулятора.Диапазон значений угла обычно составляет от -90 ° до 90 °. Существует ряд правил арктангенса, например, tan (arctan (x)) = x или arctanα + arctanβ = arctan ((α + β) / (1-αβ)), а также синус арктангенса: sin (arctan (x)) = x / √ (1 + x 2 ), что может помочь вам в расчетах тригонометрии.

Как рассчитать арктанган числа?

Самый простой способ вычислить это значение — использовать наш калькулятор арктангенса выше, который выдаст результаты как в градусах, так и в радианах.Другие способы требуют предоставления дополнительной информации, такой как значения других тригонометрических функций для того же угла или для других углов в треугольнике (см. Пример ниже).

Вот таблица общих значений arctan:

Общие значения функции arctan
x arctan (x) (°) arctan (x) (рад.)
-∞ -90 ° -π / 2
-√3 -60 ° -π / 3
-1 -45 ° -π / 4
-1 / √3 -30 ° -π / 6
0 0 ° 0
1 / √3 30 ° π / 6
1 45 ° π / 4
√3 60 ° π / 3
+ ∞ 90 ° π / 2

π — это, конечно, математическая константа, примерно равная 3.14159.

Пример использования arctan

Учитывая приведенный ниже рисунок прямоугольного треугольника с известными длинами сторон a = 18 и b = 10 и прямым углом в точке C, как мы можем найти угол β в точке B, используя функцию обратной касательной?

Зная, что касательная к β равна противоположной стороне, деленной на соседнюю, получаем tan (β) = b / a = 10/18 = 0,555. Затем просто используйте обратную функцию, чтобы получить β = arctan (0,555) = 29.03 ° (или 0,507 в радианах).

Расчет арктангенса дроби

Часто значение тангенса задается или вычисляется как простая дробь, например 3/4. Хотя для преобразования дроби в десятичную дробь можно использовать преобразователь дроби в десятичную дробь, наш калькулятор арктангенса фактически поддерживает прямой ввод различных дробей, таких как 1/2, 1/3, 1/6, 3/4, 4/3, -2. / 3 и даже 0,3 / 0,5. Чтобы вычислить arctan (3/4), arctan (4/3) или другую дробь x / y, просто введите ее в поле ввода и нажмите «вычислить».

Для удобства, вот таблица общих значений арктангенса дробных тангенсов:

Общие значения тангенса угла наклона дробной части
x / y arctan (x / y) (°) arctan (x / y) (рад.)
1/2 26,56 5051 ° 0,463648 рад
1/3 18. 434949 ° 0,321751 рад
3/4 36.869898 ° 0,643501 рад
4/3 53.130102 ° 0,927295 рад
1/6 9,462322 ° 0,165149 рад

Используя инструмент выше, вы можете вычислить это для любой простой дроби.

std :: atan2, std :: atan2f, std :: atan2l — cppreference.com

(1)

float atan2 (float y, float x);

float atan2f (float y, float x);

(начиная с C ++ 11)

двойной atan2 (двойной y, двойной x);

(2)
(3)

длинный двойной атан2 (длинный двойной у, длинный двойной х);

длинный двойной atan2l (длинный двойной y, длинный двойной x);

(начиная с C ++ 11)

Повышенный atan2 (Arithmetic1 y, Arithmetic2 x);

(4) (начиная с C ++ 11)

1-3) Вычисляет арктангенс y / x , используя знаки аргументов для определения правильного квадранта.

4) Набор перегрузок или шаблон функции для всех комбинаций аргументов арифметического типа, не охваченных пп. 1-3). Если какой-либо аргумент имеет целочисленный тип, он приводится к удвоению. Если какой-либо аргумент имеет значение long double, то тип возвращаемого значения Promoted также является long double, в противном случае тип возвращаемого значения всегда двойной.

[править] Параметры

[править] Возвращаемое значение

Если ошибок не возникает, возвращается арктангенс y / x (arctan ()) в диапазоне [-π, + π] радиан.

Y аргумент

Возвращаемое значение

X аргумент

Если возникает ошибка домена, возвращается значение, определяемое реализацией (NaN, если поддерживается)

Если ошибка диапазона возникает из-за недостаточного заполнения, возвращается правильный результат (после округления).

[править] Обработка ошибок

Сообщается об ошибках, как указано в math_errhandling.

Ошибка домена может возникнуть, если x и y оба равны нулю.

Если реализация поддерживает арифметику с плавающей запятой IEEE (IEC 60559),

  • Если x и y оба равны нулю, ошибка домена не возникает.
  • Если x и y оба равны нулю, ошибка диапазона также не возникает
  • Если y равно нулю, ошибка полюса не возникает
  • Если y равно ± 0 и x отрицательно или -0 , возвращается ± π
  • Если y равно ± 0 и x положительно или +0 , возвращается ± 0
  • Если y равно ± ∞ и x конечно, возвращается ± π / 2
  • Если y равно ± ∞ и x равно -∞ , возвращается ± 3π / 4
  • Если y равно ± ∞ и x равно + ∞ , возвращается ± π / 4
  • Если x равно ± 0 и y отрицательно, возвращается -π / 2
  • Если x равно ± 0 и y положительно, возвращается + π / 2
  • Если x равно -∞ и y конечное и положительное значение, возвращается + π
  • Если x равно -∞ и y является конечным и отрицательным, возвращается
  • Если x равно + ∞ и y конечно и положительно, возвращается +0
  • Если x равно + ∞ и y является конечным и отрицательным, возвращается -0
  • Если либо x равно NaN, либо y равно NaN, возвращается NaN

[править] Примечания

std :: atan2 (y, x) эквивалентно std :: arg (std :: complex (x, y))

POSIX указывает, что в случае недостаточного заполнения возвращается значение y / x , а если оно не поддерживается, возвращается значение, определяемое реализацией, не более DBL_MIN, FLT_MIN и LDBL_MIN.

[править] Пример

 #include 
#include 

int main ()
{
    // нормальное использование: знаки двух аргументов определяют квадрант
    std :: cout << "(x: + 1, y: +1) декартово это (r:" << hypot (1,1)
              << ", phi:" << atan2 (1,1) << ") polar \ n" // atan2 (1,1) = + pi / 4, Quad I
              << "(x: -1, y: +1) декартово это (r:" << hypot (1, -1)
              << ", phi:" << atan2 (1, -1) << ") polar \ n" // atan2 (1, -1) = + 3pi / 4, Quad II
              << "(x: -1, y: -1) декартово это (r:" << hypot (-1, -1)
              << ", phi:" << atan2 (-1, -1) << ") polar \ n" // atan2 (-1, -1) = -3pi / 4, Quad III
              << "(x: + 1, y: -1) декартово это (r:" << гипотеза (-1,1)
              << ", phi:" << atan2 (-1,1) << ") полярный \ n"; // atan2 (-1, 1) = -pi / 4, Quad IV
    // специальные значения
    std :: cout << "atan2 (0, 0) =" << atan2 (0,0)
              << "atan2 (0, -0) =" << atan2 (0, -0.0) << '\ n'
              << "atan2 (7, 0) =" << atan2 (7,0)
              << "atan2 (7, -0) =" << atan2 (7, -0. 0) << '\ n';
} 

Выход:

 (x: + 1, y: +1) декартово является (r: 1.41421, phi: 0.785398) полярным
(x: -1, y: +1) декартово (r: 1.41421, phi: 2.35619) полярное
(x: -1, y: -1) декартово (r: 1.41421, phi: -2.35619) полярное
(x: + 1, y: -1) декартово является (r: 1.41421, phi: -0.785398) полярным
atan2 (0, 0) = 0 atan2 (0, -0) = 3,14159
atan2 (7, 0) = 1,5708 atan2 (7, -0) = 1,5708 

[править] См. Также

Арктангенс

Арктангенс, записанный как арктангенс или загар -1 (не путать с) - это функция арктангенса.Касательная имеет обратную функцию только в ограниченной области

Область должна быть ограничена, потому что для того, чтобы функция имела инверсию, функция должна быть взаимно однозначной, что означает, что ни одна горизонтальная линия не может пересекать график функции более одного раза. Поскольку касательная является периодической функцией, без ограничения области определения, горизонтальная линия будет периодически пересекать функцию бесконечно много раз.

Одно из свойств обратных функций состоит в том, что если точка (a, b) находится на графике функции f, точка (b, a) находится на графике обратной функции. Это фактически означает, что график обратной функции является отражением графика функции через линию y = x.

График y = arctan (x) показан ниже.

Как видно из рисунка, y = arctan (x) является отражением tan (x) в ограниченной области

Калькулятор Arctan

Ниже приведен калькулятор для определения значения арктангенса числа или значения тангенса угла.

Используя специальные углы, чтобы найти arctan

Хотя мы можем найти значение арктангенса для любого значения x в интервале [-∞, ∞], существуют определенные углы, которые часто используются в тригонометрии (0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 ° и их кратные и радианные эквиваленты), значения тангенса и арктангенса которых, возможно, стоит запомнить. Ниже приведена таблица, в которой показаны эти углы (θ) как в радианах, так и в градусах, а также их соответствующие значения тангенса, tan (θ).

θ -90 ° -60 ° -45 ° -30 ° 0 ° 30 ° 45 ° 60 ° 90 °
загар (θ) undefined -1 0 1 undefined

Чтобы найти tan (θ), нам нужно либо просто запомнить значения, либо запомнить, что tan (θ) =
и определите значение tan (θ) на основе значений синуса и косинуса, которые следуют шаблону, который может быть легче запомнить.Обратитесь к соответствующим страницам, чтобы просмотреть метод, который может помочь с запоминанием значений синуса и косинуса.

После того, как мы запомнили значения или если у нас есть какая-то ссылка, становится относительно просто распознать и определить значения тангенса или арктангенса для специальных углов.

Обратные свойства

Как правило, функции и их обратные показывают взаимосвязь

f (f -1 (x)) = x и f -1 (f (x)) = x

При условии, что x находится в области определения функции.То же самое верно для tan (x) и arctan (x) в их соответствующих ограниченных доменах:

tan (arctan (x)) = x, для всех x

и

arctan (tan (x)) = x, для всех x в (,)

Эти свойства позволяют нам оценивать состав тригонометрических функций.

Состав арктангенса и тангенса

Если x находится в пределах домена, оценить композицию arctan и tan относительно просто.

Примеры:

Состав других тригонометрических функций

Мы также можем составлять композиции, используя все другие тригонометрические функции: синус, косинус, косеканс, секанс и котангенс.

Тот же процесс можно использовать с выражением переменной.

Пример:

Найдите грех (arctan (3x)).

Учитывая arctan (3x) = θ, мы можем найти, что tan (θ) =, и построить следующий треугольник:

Чтобы найти синус, нам нужно найти гипотенузу, так как sin (θ) =. Пусть c - длина гипотенузы. Используя теорему Пифагора,

(3x) 2 + 1 2 = c 2

9x 2 + 1 = c 2

с =

и

sin (arctan (3x)) = sin (θ) =

Использование arctan для решения тригонометрических уравнений

Арктангенс также можно использовать для решения тригонометрических уравнений, включающих функцию тангенса.

Примеры:

Решите следующие тригонометрические уравнения относительно x, где 0≤x

1. 3tan (x) =

3tan (x) =

тангенс (x) =

x = arctan ()

Касательная положительна в двух квадрантах, I и III, поэтому есть два решения: x = и x =. Это единственные два угла в пределах 0≤x <2π, значение тангенса которых равно.

2. tan 2 (x) - tan (x) = 0

загар 2 (x) - загар (x) = 0

tan (x) (tan (x) -) = 0

tan (x) = 0 или tan (x) - = 0

tan (x) = 0 или tan (x) =

x = 0, π или x =

Функция тангенса дуги 2

По заданным координатам точки возвращает угол, связанный с точкой, в радианах.Если координата точки отрицательна, что означает, что точка находится в квадранте или, функция возвращает отрицательный угол.

Имя Описание
л Число, представляющее вертикальный компонент точки на декартовой плоскости
х Число, представляющее горизонтальный компонент точки на декартовой плоскости

Улучшенная функция арктангенса, которая принимает в качестве входных данных a и координату, возвращает угол, связанный с точкой. Например, учитывая точку в качестве входных данных, функция возвращает угол, как показано на рисунке ниже.

  = atan2 (1,1) = 0,785 ... // (1/8) * TAU
  

Многие языки программирования предоставляют как функцию ATAN2, так и функцию ATAN. Разница между двумя функциями заключается в диапазоне возможных возвращаемых значений для ввода вещественных чисел. Диапазон есть, а диапазон есть. Другими словами, функция ATAN возвращает углы на правой половине круга, а ATAN2 возвращает углы на всей окружности.

Ввод Поведение
Квадрант 1 То же
Квадрант 2 Другой
Квадрант 3 Другой
Квадрант 4 То же

Причина, по которой существуют обе функции, связана с системой комплексных чисел. При вводе комплексного числа с ATAN функция возвращает углы во всех координатах. Разница в том, что ATAN2 ожидает горизонтальные и вертикальные компоненты как отдельные значения, а ATAN ожидает ввода комплексного числа, в котором два разных компонента хранятся в одном числе.

Итак, если вы не используете комплексную систему счисления, эту функцию следует использовать в большинстве случаев. В противном случае другие функции дуги будут хорошо работать с комплексной системой счисления.

Дано число, представляющее отношение противоположной стороны прямоугольного треугольника к прилегающей стороне, возвращает соответствующий угол.

Комплексное число - это продолжение строки действительного числа, где помимо «действительной» части числа есть комплексная часть числа. Свойства комплексных чисел полезны в прикладной физике, поскольку они элегантно описывают вращение.

Как преобразовать касательные в градусы

Простое упоминание слова «тригонометрия» могло вызвать дрожь по позвоночнику, пробудив воспоминания о школьных уроках математики и таких загадочных терминах, как грех, косинус и загар, которые никогда не имели никакого смысла. Но правда в том, что тригонометрия имеет огромное количество применений, особенно если вы занимаетесь естественными науками или математикой в ​​рамках непрерывного образования. Если вы не знаете, что на самом деле означает касательная или как извлечь из нее полезную информацию, научитесь преобразовывать касательные в градусы, чтобы познакомить вас с наиболее важными понятиями.

TL; DR (слишком длинный; не читал)

Для стандартного прямоугольного треугольника загар угла ( θ ) говорит вам:

Желто-коричневый ( θ ) = напротив / рядом

С противоположной и соседней вставками по длине соответствующих сторон.

Преобразуйте касательные в градусы по формуле:

Угол в градусах = arctan (tan ( θ ))

Здесь arctan обращает функцию тангенса, и его можно найти на большинстве калькуляторов как tan - 1 .

Что такое касательная?

В тригонометрии тангенс угла можно найти, используя длины сторон прямоугольного треугольника, содержащего угол. Соседняя сторона находится горизонтально рядом с интересующим вас углом, а противоположная сторона стоит вертикально, напротив интересующего вас угла.Оставшаяся сторона, гипотенуза, играет роль в определениях cos и sin, но не tan.

Имея в виду этот общий треугольник, тангенс угла ( θ ) может быть найден по следующей формуле:

\ tan (θ) = \ frac {\ text {противоположный}} {\ text {смежный}}

Здесь напротив и рядом описаны длины сторон с этими именами. Думая о гипотенузе как о наклоне, тангенс угла наклона говорит вам о подъеме наклона (то есть вертикальном изменении), деленном на длину наклона (горизонтальное изменение).

Загар угла также можно определить как:

\ tan (θ) = \ frac {\ sin (θ)} {\ cos (θ)}

Что такое Arctan?

Тангенс угла технически говорит вам, что возвращает функция tan, когда вы применяете ее к определенному углу, который вы имеете в виду. Функция, называемая «arctan» или tan −1 , меняет на обратную функцию tan и возвращает исходный угол, когда вы применяете его к tan угла. Arcsin и arccos делают то же самое с функциями sin и cos соответственно.

Преобразование касательных в градусы

Преобразование касательных в градусы требует, чтобы вы применили функцию arctan к загару интересующего вас угла. Следующее выражение показывает, как преобразовать касательные в градусы:

\ text {Angle в градусах} = \ arctan (\ tan (θ))

Проще говоря, функция arctan обращает эффект функции tan. Итак, если вы знаете, что tan ( θ ) = √3, тогда:

\ begin {align} \ text {Угол в градусах} & = \ arctan (\ sqrt {3}) \\ & = 60 ° \ end {align}

На вашем калькуляторе нажмите кнопку «tan −1 », чтобы применить функцию арктангенса.Вы делаете это либо до того, как вводите значение, для которого вы хотите использовать арктангенс, либо после, в зависимости от вашей конкретной модели калькулятора.

Пример проблемы: направление движения лодки

Следующая задача иллюстрирует полезность функции загара. Представьте, что кто-то движется со скоростью 5 метров в секунду в восточном направлении (с запада) на лодке, но движется по течению, толкающему лодку на север со скоростью 2 метра в секунду. Под каким углом получается направление движения на восток?

Разбейте проблему на две части.Во-первых, движение на восток можно рассматривать как формирование смежной стороны треугольника (длиной 5 метров в секунду), а течение, движущееся на север, можно рассматривать как противоположную сторону этого треугольника (с длина 2 метра в секунду). Это имеет смысл, потому что окончательное направление движения (которое было бы гипотенузой на гипотетическом треугольнике) является результатом комбинации эффекта движения на восток и течения, толкающего на север. Физические задачи часто включают создание подобных треугольников, поэтому для решения можно использовать простые тригонометрические соотношения.

\ tan (θ) = \ frac {\ text {противоположный}} {\ text {смежный}}

Это означает, что загар угла конечного направления движения равен:

\ begin {align} \ tan (θ) & = \ frac {2 \ text {m / s}} {5 \ text {m / s}} \\ & = 0. , круглый, потолок, пол

по модулю, остаток, частное от

sin, cos, tan, asin, acos, atan

преобразовать радианы в градусы, преобразовать градусы в радианы

Базовый числовой блок

Может использоваться как любое положительное или отрицательное число.Щелкнув на «0» в блоке, вы сможете изменить число.

Блок поддерживает обычные десятичные числа (например, 2, 12 и 2.12), а также префиксы типа C для других числовых баз. Поддерживает:

  • Base-2 (двоичные) числа, например 0b10 (2 в десятичной системе)
  • восьмеричных чисел по основанию 8, например 0o14 (12 в десятичной системе)
  • Base-16 (шестнадцатеричные) числа, например 0xd4 (212 в десятичной системе)

Блок счисления с основанием системы счисления

Представляет десятичное число.Щелчок по «0» позволит вам изменить число.

Щелчок по раскрывающемуся списку позволит вам ввести число в другой системе счисления (также известной как основание системы счисления). Затем число будет «переведено» в десятичное (также известное как основание 10).

Например, эти три блока эквивалентны:

Раскрывающийся список поддерживает: десятичный (основание-10), двоичный (основание-2), восьмеричный (основание-8) и шестнадцатеричный (основание-16) форматы ввода.

Десятичный режим позволяет вводить любое положительное или отрицательное число (например.грамм. 2, -12, 2,12). В других режимах можно вводить только целое число (то есть любое положительное число или ноль).

= {# =}

Проверяет, равны ли два числа, и возвращает истину или ложь.

≠ {# not =}

Проверяет, не равны ли два числа, и возвращает истину или ложь.

>

Проверяет, больше ли первое число второго и возвращает истину или ложь.

Проверяет, больше ли первое число второму или равно ему, и возвращает истину или ложь.

<

Проверяет, меньше ли первое число второго и возвращает истину или ложь.

Проверяет, меньше ли первое число второму или равно ему, и возвращает истину или ложь.

+

Возвращает результат сложения любого количества блоков, имеющих числовое значение. Блоки с числовым значением включают основной числовой блок, длину списка или текста, переменные с числовым значением и т. Д.

Возвращает результат первого числа в степени второго.

случайное целое число

Возвращает случайное целое число между заданными значениями включительно. Порядок аргументов не имеет значения.

случайная дробь

Возвращает случайное значение от 0 до 1.

случайный набор начального числа на

Используйте этот блок для генерации повторяемых последовательностей случайных чисел.Вы можете сгенерировать ту же последовательность случайных чисел, сначала вызвав random set seed с тем же значением. Это полезно для тестирования программ, использующих случайные значения.

мин.

Возвращает наименьшее значение набора чисел. Если в блоке есть отключенные сокеты, min также будет считать 0 в своем наборе чисел. Этот блок представляет собой мутатор и раскрывающийся список.

макс

Возвращает наибольшее значение набора чисел. Если в блоке есть отключенные сокеты, max также будет считать 0 в своем наборе чисел.

Возвращает e (2,71828…) в степени данного числа.

круглый

Возвращает заданное число, округленное до ближайшего целого. Если дробная часть <0,5, она будет округлена в меньшую сторону. Если оно> 0,5, оно будет округлено в большую сторону. Если оно точно равно 0,5, числа с четной целой частью будут округлены в меньшую сторону, а числа с нечетной целой частью будут округлены в большую сторону. (Этот метод называется округлением до четного.)

потолок

Возвращает наименьшее целое число, которое больше или равно заданному числу.

этаж

Возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное заданному числу.

по модулю

По модулю (a, b) то же самое, что и остаток (a, b), когда a и b положительны. В более общем смысле, модуль (a, b) определяется для любых a и b так, что (floor (a / b) × b) + modulo (a, b) = a. Например, по модулю (11, 5) = 1, по модулю (-11, 5) = 4, по модулю (11, -5) = -4, по модулю (-11, -5) = -1. По модулю (a, b) всегда имеет тот же знак, что и b, а остаток (a, b) всегда имеет тот же знак, что и a.

остаток

Remainder (a, b) возвращает результат деления a на b и взятия остатка. Остаток - это дробная часть результата, умноженная на b.

Например, остаток (11,5) = 1, потому что

11/5 = 2 1 ⁄ 9 1074 5

В данном случае 1 5 - дробная часть. Мы умножаем это на b, в данном случае на 5, и получаем 1, наш остаток.

Другие примеры: остаток (-11, 5) = -1, остаток (11, -5) = 1 и остаток (-11, -5) = -1.

частное

Возвращает результат деления первого числа на второе и отбрасывания любой дробной части результата.

грех

Возвращает синус заданного числа в градусах.

cos

Возвращает косинус заданного числа в градусах.

загар

Возвращает тангенс заданного числа в градусах.

asin

Возвращает арксинус заданного числа в градусах.

acos

Возвращает арккосинус заданного числа в градусах.

атан

Возвращает арктангенс заданного числа в градусах.

atan2

Возвращает арктангенс y / x для заданных y и x.

преобразовать радианы в градусы

Возвращает значение заданного числа в градусах в радианах. Результатом будет угол в диапазоне [0, 360)

.

преобразовать градусы в радианы

Возвращает значение заданного числа в градусах в радианах. Результатом будет угол в диапазоне [-π, + π)

.

десятичный формат

Форматирует число как десятичное с заданным количеством знаков после запятой. Количество мест должно быть целым неотрицательным числом. Результат получается округлением числа (если мест слишком много) или добавлением нулей справа (если их слишком мало).

- это число?

Возвращает истину, если данный объект является числом, и ложь в противном случае.

преобразовать число

Принимает текстовую строку, представляющую положительное целое число с одной базой, и возвращает строку, которая представляет то же самое число с другой базой. Например, если входная строка равна 10, то преобразование из базы 10 в двоичное даст строку 1010; в то время как, если входная строка - это то же самое 10, тогда преобразование из двоичного в базовый 10 даст строку 2. Если входная строка такая же 10, то преобразование из базы 10 в шестнадцатеричное приведет к строке A.

побитовое и

Принимает два числа и сравнивает каждую пару битов. Каждый бит результата равен 1, только если соответствующие биты обоих операндов равны 1.

Пример:

Десятичное Двоичное (внутреннее представление)
6 0 1 1 0
3 0 0 1 1
Результат: 2 0 0 1 0

Побитовое ИЛИ (включительно)

Принимает два числа и сравнивает каждую пару битов.Каждый бит результата равен 1, если любой из соответствующих битов в каждом операнде равен 1.

Пример:

Десятичное Двоичное (внутреннее представление)
6 0 1 1 0
3 0 0 1 1
Результат: 7 0 1 1 1

побитовое ИЛИ (Исключительно)

Принимает два числа и сравнивает каждую пару битов. Каждый бит результата равен 1, только если один соответствующий бит в операндах равен 1, а другой равен 0.

Пример:

Десятичное Двоичное (внутреннее представление)
6 0 1 1 0
3 0 0 1 1
Результат: 5 0 1 0 1

Композиты

Обратные свойства тригнометрических функций

Пусть $ x $ будет областью (или входами) обратных тригнометрических функций, а $ y $ будет ее диапазоном (или выходами).

Если $ -1 \ le x \ le 1 $ и $ - \ pi / 2 \ le y \ le \ pi / 2 $, то $ \ sin (\ arcsin (x)) = x $ и $ \ arcsin ( \ sin (y)) = y $.

Если $ -1 \ le x \ le 1 $ и $ 0 \ le y \ le \ pi $, то $ \ cos (\ arccos (x)) = x $ и $ \ arccos (\ cos (y)) = y $

Если $ x $ - действительное число и $ - \ pi / 2

До сих пор мы видели примеры этого с использованием синуса, косинуса и тангенса внутри заданных ограничений для $ y $.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.