Арктангенс 2 5: Арктангенс — калькулятор онлайн

Содержание

Онлайн калькулятор: Тригонометрические функции

Простейшие тригонометрические функции

Тригонометрические функции — вид элементарных функций, к которым относятся следующие функции:
sin — синус
cos — косинус
tg — тангенс
ctg — котангенс
sec — секанс
cosec — косеканс
versin — версинус (синус-верзус)
vercos — коверсинус (косинус-верзус)
haversin — гаверсинус (половина от синус-верзус)
exsec — экссеканс
excsc — экскосеканс

Для того чтобы вычислить все эти тригонометрические функции сразу для заданного угла, введите значение угла в поле Угол и получите результат в виде таблицы значений всех функций для этого угла. Угол можно задать в градусах, радианах, градах, минутах и секундах, для выбора единицы измерения — просто щелкните на ее название.

Тригонометрические функции

Единицы измерения
Точность вычисления

Знаков после запятой: 10

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить
close

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Как известно из школы, синус угла (sin) — это отношение длины противоположного этому углу катета к гипотенузе, а косинус (cos) — это отношение прилежащего этому углу катета к гипотенузе.

Остальные тригонометрические функции можно выразить через синус и косинус:
Тангенс: (отношение длины противоположного углу катета к прилежащему катету)
Котангенс: (отношение длины прилежащего к углу катета к противоположному катету)
Секанс: (отношение длины гипотенузы к прилежащему к углу катету)
Косеканс: (отношение длины гипотенузы к противоположному катету)

Редко используемые тригонометрические функции:

Версинус:

Коверсинус:

Гаверсинус:

Экссеканс:

Экскосеканс:

3 arctg 0

Вы искали 3 arctg 0? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 4 arctg 1, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «3 arctg 0».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 3 arctg 0,4 arctg 1,4 арктангенс 1,6 arctg,arccos онлайн,arctg 0,arctg 0 1,arctg 0 2,arctg 0 25,arctg 0 3,arctg 0 4,arctg 0 5,arctg 0 6,arctg 0 arctg 1,arctg 0 равен,arctg 1 0,arctg 1 2 в градусах,arctg 1 4,arctg 1 5,arctg 1 6,arctg 1 arctg 0,arctg 1 в градусах,arctg 10,arctg 2 0,arctg 2 3 в градусах,arctg 2 5,arctg 2 в градусах,arctg 3 0,arctg 3 5,arctg 3 в градусах,arctg 4,arctg 4 1,arctg 4 3 в градусах,arctg 4 5,arctg 4 в градусах,arctg 5,arctg 5 2,arctg 5 3,arctg 5 4,arctg 6,arctg 7,arctg 8,arctg в градусах,arctg как вычислить,arctg как найти,arctg калькулятор,arctg калькулятор онлайн,arctg калькулятор онлайн в градусах,arctg онлайн,arctg онлайн калькулятор,arctg онлайн калькулятор в градусах,arctg таблица,arctg таблица значений,arctg4,online arctg,арккотангенс онлайн,арктангенс 0,арктангенс 0 1,арктангенс 0 25,арктангенс 0 4,арктангенс 0 5,арктангенс 0 75,арктангенс 0 чему равен,арктангенс 1 2,арктангенс 1 2 в градусах,арктангенс 1 3,арктангенс 1 3 в градусах,арктангенс 1 4,арктангенс 1 5,арктангенс 1 в градусах,арктангенс 1 в радианах,арктангенс 2 3,арктангенс 2 в градусах,арктангенс 3,арктангенс 3 2,арктангенс 3 4 в градусах,арктангенс 3 в градусах,арктангенс 4 в градусах,арктангенс 45,арктангенс 5,арктангенс 8,арктангенс в градусах,арктангенс в градусах калькулятор,арктангенс вычислить,арктангенс вычислить онлайн,арктангенс как вычислить,арктангенс как посчитать,арктангенс калькулятор,арктангенс калькулятор в градусах,арктангенс калькулятор онлайн,арктангенс калькулятор онлайн в градусах,арктангенс калькулятор онлайн в градусах и минутах,арктангенс на калькуляторе,арктангенс найти,арктангенс нуля,арктангенс онлайн,арктангенс онлайн калькулятор,арктангенс онлайн калькулятор в градусах,арктангенс онлайн калькулятор в градусах и минутах,арктангенс посчитать,арктангенс посчитать онлайн,арктангенс равен 1,арктангенс угла,арктангенс числа онлайн,арктангенсы таблица,вычисление арккосинуса онлайн,вычисление арктангенса,вычисление арктангенса онлайн,вычислить arctg онлайн калькулятор,вычислить арккосинус онлайн,вычислить арктангенс,вычислить арктангенс онлайн,инженерный онлайн калькулятор с арктангенсом,как вычислить arctg,как вычислить арктангенс,как найти арктангенс,как найти арктангенс числа,как посчитать арктангенс,как считать арктангенс,калькулятор arctg,калькулятор arctg онлайн,калькулятор arctg онлайн в градусах,калькулятор арккосинус в градусах онлайн,калькулятор арктангенс,калькулятор арктангенс в градусах,калькулятор арктангенса,калькулятор арктангенса онлайн,калькулятор арктангенсов,калькулятор арктангенсов в градусах онлайн,калькулятор арктангенсов онлайн,калькулятор арктангенсов онлайн в градусах,калькулятор онлайн arctg,калькулятор онлайн арктангенс,калькулятор онлайн арктангенс в градусах,калькулятор онлайн с арктангенсом,калькулятор онлайн с арктангенсом онлайн,калькулятор с арктангенсом,калькулятор с арктангенсом онлайн,на калькуляторе арктангенс,найти арктангенс,найти арктангенс онлайн,онлайн арктангенс числа,онлайн вычисление арктангенса,онлайн калькулятор arccos в градусах,онлайн калькулятор arctg,онлайн калькулятор arctg в градусах,онлайн калькулятор арктангенс,онлайн калькулятор арктангенса,онлайн калькулятор арктангенсов,онлайн калькулятор арктангенсов в градусах,онлайн калькулятор с арктангенсом,онлайн калькулятор с арктангенсом онлайн,онлайн расчет арктангенса,онлайн считать арктангенс,перевод арктангенса в градусы,перевод арктангенса в градусы онлайн,посчитать арккосинус онлайн,посчитать арктангенс,посчитать арктангенс в градусах онлайн,посчитать арктангенс онлайн,посчитать арктангенс онлайн в градусах,расчет арктангенса онлайн,таблица arctg,таблица арков,таблица брадиса arctg,таблица значений арктангенс,чему равен arctg,чему равен арктангенс 1. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 3 arctg 0. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 4 арктангенс 1).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 3 arctg 0 Онлайн?

Решить задачу 3 arctg 0 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a, тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π3, то значение косинуса отсюда равно 12 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 12 получим π на 3. Такое тригонометрическое выражение записывается как arcos(12)=π3.

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 12 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид arccos12=60°

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin(-π2)=-1, sin(-π3)=-32, sin(-π4)=-22, sin(-π6)=-12,sin 0 =0, sinπ6=12, sinπ4=22, sinπ3=32, sinπ2=1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от -1 и заканчивая 1, также значения от –π2 до +π2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

α -1 -32 -22 -12 0 12 22 32
arcsin αкак угол

 

в радианах

 

-π2 -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3
в градусах -90° -60° -45° -30° 30° 45° 60°
arcsin α как число -π2 -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0=1, cos π6=32 , cos π4=22, cos π3=12, cosπ2=0,cos2π3=-12, cos3π4=-22, cos5π6=-32, cosπ=-1

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

arccos (-1)=π, arccos (-32)=5π6, arcocos (-22)=3π4, arccos-12=2π3, arccos 0 =π2, arccos 12=π3, arccos 22=π4, arccos32=π6, arccos 1 =0

Таблица арккосинусов.

α -1 -32 -22 -12 0 12 22 32 1
arccos αкак угол

 

в радианах

 

π 5π6 3π4 2π3 π2 π3 π4 π6 0
в градусах 180° 150° 135° 120° 90° 60° 45° 30°
arccos α как число π 5π6 3π4 2π3 π2 π3 π4 π6 0

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α -3 -1 -33 0 33 1 3
arctg aкак угол в радианах -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3
в градусах -60° -45° -30° 30° 45° 60°
arctg a как число -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

arcsin, arccos, arctg и arcctg

Для точного значения arcsin, arccos, arctg и arcctg числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения arcsin, arccos, arctg и arcctg отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(-α)=-arcsin α, arccos(-α)=π-arccos α, arctg(-α)=-arctg α, arcctg(-α)=π-arcctg α.

Рассмотрим решение нахождения значений  arcsin, arccos, arctg и arcctg с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0,2857, ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0,2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0,2863 используется та самая поправка в 0,0006, так как ближайшим числом будет 0,2857. Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Таким образом находятся значения arcsin, arccos, arctg и arcctg.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы arcsin α+arccos α=π2, arctg α+arcctg α=π2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном arcsin α= -π12 необходимо найти значение arccos α, тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

arccos α=π2−arcsin α=π2−(−π12)=7π12.

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π10, а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0,9511, после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

При поиске значения арктангенса 0,9511  определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Arctg 2 чему равен. Арксинус, арккосинус

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin
и arcsin
, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x
зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

  1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
  2. ОДЗ для arccos — .
  3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. Y = 0 при x = 1.
  5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1.
Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ:
рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg
числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

  1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
  2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
  3. Y = 0 при x = 0.
  4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

  1. Интервал определения функции – бесконечность.
  2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
  3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
  4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2.
Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ:
рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α
, то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

Замечание 1

Таблица Брадиса
— это таблица, позволяющая высчитывать значения арктангенсов и других тригонометрических функций с высокой точностью.

Для того чтобы воспользоваться таблицей Брадиса, ищут угол в градусах в крайнем столбце слева для синуса (для косинуса в соответствующем столбце справа), а затем в верхней строке минуты. На пересечении строки со столбцом находится искомое значение.

При необходимости найти значения обратных тригонометрических функций — таблицу Брадиса используют наоборот. Например, ищут числовое значение в таблице арктангенсов и тангенсов и для него определяют, в какой строке градусов и столбце минут оно находится.

Таким образом, Таблицу Брадиса можно использовать не только для поиска обычных тригонометрических функций, но и как таблицу арккосинуса и арксинуса, арктангенсов и арккотангенсов.

Сверху в этой статье расположена таблица значений arcsin и arccos, ближе к концу — таблица значений arctg и arcctg.

Таблица Брадиса: таблица arcsin, arccos, cos и sin

Рисунок 1. Таблица Брадиса таблица значений arcsin и arccos. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Таблица значений арктангенсов и арккотангенсов, тангенсов и котангенсов

Рисунок 4. Таблица Брадиса: таблица значений арктангенсов arctg и арккотангенсов arctg. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Определение и обозначения

Арксинус (y = arcsin
x
) — это функция, обратная к синусу (x = sin
y
-1 ≤
x ≤ 1

и множество значений -π/2 ≤
y ≤ π/2

.

sin(arcsin
x)
= x
;

arcsin(sin
x)
= x
.

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График функции y = arcsin
x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Определение и обозначения

Арккосинус (y = arccos
x
) — это функция, обратная к косинусу (x = cos
y
). Он имеет область определения -1 ≤
x ≤ 1

и множество значений 0 ≤
y ≤ π
.

cos(arccos
x)
= x
;

arccos(cos
x)
= x
.

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус

График функции y = arccos
x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(-
x)
=
arcsin(-sin arcsin
x)
=
arcsin(sin(-arcsin
x))
=
— arcsin
x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(-
x)
=
arccos(-cos arccos
x)
=
arccos(cos(π-arccos
x))
=
π — arccos
x ≠ ± arccos
x

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

y = arcsin
x

y = arccos
x

Область определения и непрерывность — 1
≤ x ≤ 1

— 1
≤ x ≤ 1

Область значений
Возрастание, убывание монотонно возрастает монотонно убывает
Максимумы
Минимумы
Нули, y = 0

x = 0

x = 1

Точки пересечения с осью ординат, x = 0

y = 0

y = π/2

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

x

arcsin
x

arccos
x

град. рад. град. рад.
— 1 — 90° 180° π

— 60° 150°
— 45° 135°
— 30° 120°
0 0 90°
30° 60°
45° 45°
60° 30°
1 90° 0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формулы

См. также:
Вывод формул обратных тригонометрических функций

Формулы суммы и разности

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

См. также:
Вывод формул

Выражения через гиперболические функции

Производные

;

.

См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков
:
,

где — многочлен степени .
Он определяется по формулам:
;

;

.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку x = sin
t
.
Интегрируем по частям, учитывая что -π/2
≤ t ≤ π/2

,
cos
t ≥ 0

:

.

Выразим арккосинус через арксинус:
.

Разложение в ряд

При |x| 1

имеет место следующее разложение:
;

.

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус , соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin
x)
= x

cos(arccos
x)
= x
.

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin
x)
= x
при
arccos(cos
x)
= x
при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

См. также:

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов… Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы.
Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4.

Или arctg(-1,3).

Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс…

Что означает выражение

arcsin 0,4 ?

Это угол, синус которого равен 0,4
! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.

И всё.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:

arc
sin
0,4

угол,
синус которого
равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc
означает дуга
(слово арка
знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8… Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!!

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки.
Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная
расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных
заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам?
— слышу осторожный вопрос.)

Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку:
arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5.
Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов
. Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°.
Можно смело записать:

arcsin 0,5 = 30°

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус… Что такое арктангенс, арккотангенс…
То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да…) А сведущий вспомнит расшифровку:
арксинус — это угол, синус которого… Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов… Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1)
— это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё… Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные
значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)… Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного
значения внутри арккосинуса к положительному
по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное
значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Вот и всё.

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

С примерами 7 — 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.)

Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Если говорить просто, то это овощи, приготовленные в воде по специальному рецепту. Я буду рассматривать два исходных компонента (овощной салат и воду) и готовый результат — борщ. Геометрически это можно представить как прямоугольник, в котором одна сторона обозначает салат, вторая сторона обозначает воду. Сумма этих двух сторон будет обозначать борщ. Диагональ и площадь такого «борщевого» прямоугольника являются чисто математическими понятиями и никогда не используются в рецептах приготовления борща.

Как салат и вода превращаются в борщ с точки зрения математики? Как сумма двух отрезков может превратиться в тригонометрию? Чтобы понять это, нам понадобятся линейные угловые функции.


В учебниках математики вы ничего не найдете о линейных угловых функциях. А ведь без них не может быть математики. Законы математики, как и законы природы, работают независимо от того, знаем мы о их существовании или нет.

Линейные угловые функции — это законы сложения.
Посмотрите, как алгебра превращается в геометрию, а геометрия превращается в тригонометрию.

Можно ли обойтись без линейных угловых функций? Можно, ведь математики до сих пор без них обходятся. Хитрость математиков заключается в том, что они всегда рассказывают нам только о тех задачах, которые они сами умеют решать, и никогда не рассказывают о тех задачах, которые они решать не умеют. Смотрите. Если нам известен результат сложения и одно слагаемое, для поиска другого слагаемого мы используем вычитание. Всё. Других задач мы не знаем и решать не умеем. Что делать в том случае, если нам известен только результат сложения и не известны оба слагаемые? В этом случае результат сложения нужно разложить на два слагаемых при помощи линейных угловых функций. Дальше мы уже сами выбираем, каким может быть одно слагаемое, а линейные угловые функции показывают, каким должно быть второе слагаемое, чтобы результат сложения был именно таким, какой нам нужен. Таких пар слагаемых может быть бесконечное множество. В повседневной жизни мы прекрасно обходимся без разложения суммы, нам достаточно вычитания. А вот при научных исследованиях законов природы разложение суммы на слагаемые очень может пригодиться.

Ещё один закон сложения, о котором математики не любят говорить (ещё одна их хитрость), требует, чтобы слагаемые имели одинаковые единицы измерения. Для салата, воды и борща это могут быть единицы измерения веса, объема, стоимости или единицы измерения.

На рисунке показаны два уровня различий для математических . Первый уровень — это различия в области чисел, которые обозначены a
, b
, c
. Это то, чем занимаются математики. Второй уровень — это различия в области единиц измерения, которые показаны в квадратных скобках и обозначены буквой U
. Этим занимаются физики. Мы же можем понимать третий уровень — различия в области описываемых объектов. Разные объекты могут иметь одинаковое количество одинаковых единиц измерения. Насколько это важно, мы можем увидеть на примере тригонометрии борща. Если мы добавим нижние индексы к одинаковому обозначению единиц измерения разных объектов, мы сможем точно говорить, какая математическая величина описывает конкретный объект и как она изменяется с течением времени или в связи с нашими действиями. Буквой W
я обозначу воду, буквой S
обозначу салат и буквой B
— борщ. Вот как будут выглядеть линейные угловые функции для борща.

Если мы возьмем какую-то часть воды и какую-то часть салата, вместе они превратятся в одну порцию борща. Здесь я предлагаю вам немного отвлечься от борща и вспомнить далекое детство. Помните, как нас учили складывать вместе зайчиков и уточек? Нужно было найти, сколько всего зверушек получится. Что же нас тогда учили делать? Нас учили отрывать единицы измерения от чисел и складывать числа. Да, одно любое число можно сложить с другим любым числом. Это прямой путь к аутизму современной математики — мы делаем непонятно что, непонятно зачем и очень плохо понимаем, как это относится к реальности, ведь из трех уровней различия математики оперируют только одним. Более правильно будет научиться переходить от одних единиц измерения к другим.

И зайчиков, и уточек, и зверушек можно посчитать в штуках. Одна общая единица измерения для разных объектов позволяет нам сложить их вместе. Это детский вариант задачи. Давайте посмотрим на похожую задачу для взрослых. Что получится, если сложить зайчиков и деньги? Здесь можно предложить два варианта решения.

Первый вариант
. Определяем рыночную стоимость зайчиков и складываем её с имеющейся денежной суммой. Мы получили общую стоимость нашего богатства в денежном эквиваленте.

Второй вариант
. Можно количество зайчиков сложить с количеством имеющихся у нас денежных купюр. Мы получим количество движимого имущества в штуках.

Как видите, один и тот же закон сложения позволяет получить разные результаты. Всё зависит от того, что именно мы хотим знать.

Но вернемся к нашему борщу. Теперь мы можем посмотреть, что будет происходить при разных значениях угла линейных угловых функций.

Угол равен нулю. У нас есть салат, но нет воды. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща также равно нулю. Это совсем не значит, что ноль борща равен нулю воды. Ноль борща может быть и при нуле салата (прямой угол).

Лично для меня, это основное математическое доказательство того факта, что . Ноль не изменяет число при сложении. Это происходит потому, что само сложение невозможно, если есть только одно слагаемое и отсутствует второе слагаемое. Вы к этому можете относиться как угодно, но помните — все математические операции с нулем придумали сами математики, поэтому отбрасывайте свою логику и тупо зубрите определения, придуманные математиками: «деление на ноль невозможно», «любое число, умноженное на ноль, равняется нулю», «за выколом точки ноль» и прочий бред. Достаточно один раз запомнить, что ноль не является числом, и у вас уже никогда не возникнет вопрос, является ноль натуральным числом или нет, потому что такой вопрос вообще лишается всякого смысла: как можно считать числом то, что числом не является. Это всё равно, что спрашивать, к какому цвету отнести невидимый цвет. Прибавлять ноль к числу — это то же самое, что красить краской, которой нет. Сухой кисточкой помахали и говорим всем, что » мы покрасили». Но я немного отвлекся.

Угол больше нуля, но меньше сорока пяти градусов. У нас много салата, но мало воды. В результате мы получим густой борщ.

Угол равен сорок пять градусов. Мы имеем в равных количествах воду и салат. Это идеальный борщ (да простят меня повара, это просто математика).

Угол больше сорока пяти градусов, но меньше девяноста градусов. У нас много воды и мало салата. Получится жидкий борщ.

Прямой угол. У нас есть вода. От салата остались только воспоминания, поскольку угол мы продолжаем измерять от линии, которая когда-то обозначала салат. Мы не можем приготовить борщ. Количество борща равно нулю. В таком случае, держитесь и пейте воду, пока она есть)))

Вот. Как-то так. Я могу здесь рассказать и другие истории, которые будут здесь более чем уместны.

Два друга имели свои доли в общем бизнесе. После убийства одного из них, всё досталось другому.

Появление математики на нашей планете.

Все эти истории на языке математики рассказаны при помощи линейных угловых функций. Как-нибудь в другой раз я покажу вам реальное место этих функций в структуре математики. А пока, вернемся к тригонометрии борща и рассмотрим проекции.

суббота, 26 октября 2019 г.

среда, 7 августа 2019 г.

Завершая разговор о , нужно рассмотреть бесконечное множество. Дало в том, что понятие «бесконечность» действует на математиков, как удав на кролика. Трепетный ужас перед бесконечностью лишает математиков здравого смысла. Вот пример:

Первоисточник находится . Альфа обозначает действительное число. Знак равенства в приведенных выражениях свидетельствует о том, что если к бесконечности прибавить число или бесконечность, ничего не изменится, в результате получится такая же бесконечность. Если в качестве примера взять бесконечное множество натуральных чисел, то рассмотренные примеры можно представить в таком виде:

Для наглядного доказательства своей правоты математики придумали много разных методов . Лично я смотрю на все эти методы, как на пляски шаманов с бубнами. По существу, все они сводятся к тому, что либо часть номеров не занята и в них заселяются новые гости, либо к тому, что часть посетителей вышвыривают в коридор, чтобы освободить место для гостей (очень даже по-человечески). Свой взгляд на подобные решения я изложил в форме фантастического рассказа о Блондинке. На чем основываются мои рассуждения? Переселение бесконечного количества посетителей требует бесконечно много времени. После того, как мы освободили первую комнату для гостя, один из посетителей всегда будет идти по коридору из своего номера в соседний до скончания века. Конечно, фактор времени можно тупо игнорировать, но это уже будет из разряда «дуракам закон не писан». Всё зависит от того, чем мы занимаемся: подгоняем реальность под математические теории или наоборот.

Что же такое «бесконечная гостиница»? Бесконечная гостиница — это гостиница, в которой всегда есть любое количество свободных мест, независимо от того, сколько номеров занято. Если все номера в бесконечном коридоре «для посетителей» заняты, есть другой бесконечный коридор с номерами «для гостей». Таких коридоров будет бесконечное множество. При этом у «бесконечной гостиницы» бесконечное количество этажей в бесконечном количестве корпусов на бесконечном количестве планет в бесконечном количестве вселенных, созданных бесконечным количеством Богов. Математики же не способны отстраниться от банальных бытовых проблем: Бог-Аллах-Будда — всегда только один, гостиница — она одна, коридор — только один. Вот математики и пытаются подтасовывать порядковые номера гостиничных номеров, убеждая нас в том, что можно «впихнуть невпихуемое».

Логику своих рассуждений я вам продемонстрирую на примере бесконечного множества натуральных чисел. Для начала нужно ответить на очень простой вопрос: сколько множеств натуральных чисел существует — одно или много? Правильного ответа на это вопрос не существует, поскольку числа придумали мы сами, в Природе чисел не существует. Да, Природа отлично умеет считать, но для этого она использует другие математические инструменты, не привычные для нас. Как Природа считает, я вам расскажу в другой раз. Поскольку числа придумали мы, то мы сами будем решать, сколько множеств натуральных чисел существует. Рассмотрим оба варианта, как и подобает настоящим ученым.

Вариант первый. «Пусть нам дано» одно-единственное множество натуральных чисел, которое безмятежно лежит на полочке. Берем с полочки это множество. Всё, других натуральных чисел на полочке не осталось и взять их негде. Мы не можем к этому множеству прибавить единицу, поскольку она у нас уже есть. А если очень хочется? Без проблем. Мы можем взять единицу из уже взятого нами множества и вернуть её на полочку. После этого мы можем взять с полочки единицу и прибавить её к тому, что у нас осталось. В результате мы снова получим бесконечное множество натуральных чисел. Записать все наши манипуляции можно так:

Я записал действия в алгебраической системе обозначений и в системе обозначений, принятой в теории множеств, с детальным перечислением элементов множества. Нижний индекс указывает на то, что множество натуральных чисел у нас одно и единственное. Получается, что множество натуральных чисел останется неизменным только в том случае, если из него вычесть единицу и прибавить эту же единицу.

Вариант второй. У нас на полочке лежит много разных бесконечных множеств натуральных чисел. Подчеркиваю — РАЗНЫХ, не смотря на то, что они практически не отличимы. Берем одно из этих множеств. Потом из другого множества натуральных чисел берем единицу и прибавляем к уже взятому нами множеству. Мы можем даже сложить два множества натуральных чисел. Вот что у нас получится:

Нижние индексы «один» и «два» указывают на то, что эти элементы принадлежали разным множествам. Да, если к бесконечному множеству прибавить единицу, в результате получится тоже бесконечное множество, но оно не будет таким же, как первоначальное множество. Если к одному бесконечному множеству прибавить другое бесконечное множество, в результате получится новое бесконечное множество, состоящее из элементов первых двух множеств.

Множество натуральных чисел используется для счета так же, как линейка для измерений. Теперь представьте, что к линейке вы добавили один сантиметр. Это уже будет другая линейка, не равная первоначальной.

Вы можете принимать или не принимать мои рассуждения — это ваше личное дело. Но если когда-то вы столкнетесь с математическими проблемами, задумайтесь, не идете ли вы по тропе ложных рассуждений, протоптанной поколениями математиков. Ведь занятия математикой, прежде всего, формируют у нас устойчивый стереотип мышления, а уже потом добавляют нам умственных способностей (или наоборот, лишают нас свободомыслия).

pozg.ru

воскресенье, 4 августа 2019 г.

Дописывал постскриптум к статье о и увидел в Википедии этот замечательный текст:

Читаем: «… богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приемов, лишенных общей системы и доказательной базы.»

Вау! Какие мы умные и как хорошо можем видеть недостатки других. А слабо нам посмотреть на современную математику в таком же разрезе? Слегка перефразируя приведенный текст, лично у меня получилось следующее:

Богатая теоретическая основа современной математики не имеет целостного характера и сводится к набору разрозненных разделов, лишенных общей системы и доказательной базы.

За подтверждением своих слов я далеко ходить не буду — имеет язык и условные обозначения, отличные от языка и условных обозначений многих других разделов математики. Одни и те же названия в разных разделах математики могут иметь разный смысл. Наиболее очевидным ляпам современной математики я хочу посвятить целый цикл публикаций. До скорой встречи.

суббота, 3 августа 2019 г.

Как разделить множество на подмножества? Для этого необходимо ввести новую единицу измерения, присутствующую у части элементов выбранного множества. Рассмотрим пример.

Пусть у нас есть множество А
, состоящее из четырех человек. Сформировано это множество по признаку «люди» Обозначим элементы этого множества через букву а
, нижний индекс с цифрой будет указывать на порядковый номер каждого человека в этом множестве. Введем новую единицу измерения «половой признак» и обозначим её буквой b
. Поскольку половые признаки присущи всем людям, умножаем каждый элемент множества А
на половой признак b
. Обратите внимание, что теперь наше множество «люди» превратилось в множество «люди с половыми признаками». После этого мы можем разделить половые признаки на мужские bm
и женские bw
половые признаки. Вот теперь мы можем применить математический фильтр: выбираем один из этих половых признаков, безразлично какой — мужской или женский. Если он присутствует у человека, тогда умножаем его на единицу, если такого признака нет — умножаем его на ноль. А дальше применяем обычную школьную математику. Смотрите, что получилось.

После умножения, сокращений и перегруппировок, мы получили два подмножества: подмножество мужчин Bm
и подмножество женщин Bw
. Приблизительно так же рассуждают математики, когда применяют теорию множеств на практике. Но в детали они нас не посвящают, а выдают готовый результат — «множество людей состоит из подмножества мужчин и подмножества женщин». Естественно, у вас может возникнуть вопрос, насколько правильно применена математика в изложенных выше преобразованиях? Смею вас заверить, по сути преобразований сделано всё правильно, достаточно знать математическое обоснование арифметики, булевой алгебры и других разделов математики. Что это такое? Как-нибудь в другой раз я вам об этом расскажу.

Что касается надмножеств, то объединить два множества в одно надмножество можно, подобрав единицу измерения, присутствующую у элементов этих двух множеств.

Как видите, единицы измерения и обычная математика превращают теорию множеств в пережиток прошлого. Признаком того, что с теорией множеств не всё в порядке, является то, что для теории множеств математики придумали собственный язык и собственные обозначения. Математики поступили так, как когда-то поступали шаманы. Только шаманы знают, как «правильно» применять их «знания». Этим «знаниям» они обучают нас.

В заключение, я хочу показать вам, как математики манипулируют с .

понедельник, 7 января 2019 г.

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт… Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса…
» [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

Покажу процесс на примере. Отбираем «красное твердое в пупырышку» — это наше «целое». При этом мы видим, что эти штучки есть с бантиком, а есть без бантика. После этого мы отбираем часть «целого» и формируем множество «с бантиком». Вот так шаманы добывают себе корм, привязывая свою теорию множеств к реальности.

А теперь сделаем маленькую пакость. Возьмем «твердое в пупырышку с бантиком» и объединим эти «целые» по цветовому признаку, отобрав красные элементы. Мы получили множество «красное». Теперь вопрос на засыпку: полученные множества «с бантиком» и «красное» — это одно и то же множество или два разных множества? Ответ знают только шаманы. Точнее, сами они ничего не знают, но как скажут, так и будет.

Этот простой пример показывает, что теория множеств совершенно бесполезна, когда речь заходит о реальности. В чем секрет? Мы сформировали множество «красное твердое в пупырышку с бантиком». Формирование происходило по четырем разным единицам измерения: цвет (красное), прочность (твердое), шероховатость (в пупырышку), украшения (с бантиком). Только совокупность единиц измерения позволяет адекватно описывать реальные объекты на языке математики
. Вот как это выглядит.

Буква «а» с разными индексами обозначает разные единицы измерения. В скобках выделены единицы измерения, по которым выделяется «целое» на предварительном этапе. За скобки вынесена единица измерения, по которой формируется множество. Последняя строчка показывает окончательный результат — элемент множества. Как видите, если применять единицы измерения для формирования множества, тогда результат не зависит от порядка наших действий. А это уже математика, а не пляски шаманов с бубнами. Шаманы могут «интуитивно» придти к такому же результату, аргументируя его «очевидностью», ведь единицы измерения не входят в их «научный» арсенал.

При помощи единиц измерения очень легко разбить одно или объединить несколько множеств в одно надмножество. Давайте более внимательно рассмотрим алгебру этого процесса.

Открытая Математика. Алгебра. Тригонометрические уравнения

Найдём условие, при котором будут равны синусы двух углов. Пусть sin a = sin b. Тогда sin a – sin b = 0, и по известной формуле разности синусов имеем

2sina-b2cosa+b2=0.

Значит, либо sina-b2=0,
то есть a-b2=πn,
 n∈ℤ,
либо cosa+b2=0,
то есть a+b2=π2+πn,
 n∈ℤ.
Итак, sin a = sin b тогда и только тогда, когда либо a – b = 2πn, либо a + b = (2n + 1)π, n∈ℤ.

Рассмотрим решение простейшего уравнения sin x = a. Если |a| > 1, то решений нет, если |a| ≤ 1, то в силу периодичности синуса решений будет бесконечно много. По определению обратных тригонометрических функций, одно из решений − это arcsin a. Следовательно, наше уравнение можно переписать в виде sin x = sin (arcsin a). Тогда либо x – arcsin a = 2πn, n∈ℤ, либо x + arcsin a = 2(n + 1)π, n∈ℤ. Оба эти равенства могут быть объединены в одно:

x=(-1)narcsina+πn, n∈ℤ.

Это равенство называется формулой общего решения уравнения sin x = a, |a| ≤ 1.

Аналогично можно показать, что формула общего решения уравнения cos x = a при |a| ≤ 1 имеет вид

x=±arccos a+2πn, n∈ℤ.

Формула общего решения уравнения tg x = a при любом действительном a имеет вид

x = arctg a + πn, n∈ℤ.

Формула общего решения уравнения ctg x = a при любом действительном a имеет вид

x = arcctg a + πn, n∈ℤ.

Рассмотренные уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Простейшие тригонометрические уравнения

Решите уравнение sin 2x = cos 3x.


Воспользуемся формулой приведения sin2x=cos(π2-2x),
получаем

cos(π2-2x)-cos3x=0.

По формуле разности синусов имеем

2sinπ2-2x+3x2sin3x-π2+2×2=0.

Следовательно, либо π4+x2=πk,
то есть x=-π2+2πk, k∈ℤ,
либо 5×2-π4=πk,
то есть x=π10+2πk5, k∈ℤ.



Ответ. x=-π2+2πk, k∈ℤ, x=π10+2πk5, k∈ℤ.


Решите уравнение sin x – 2 cos x = 0.


Преобразуем уравнение sin x = 2 cos x. Рассмотрим те x, для которых cos x = 0. Для этих x sin x = ±1. Следовательно, эти x не являются корнями исходного уравнения, так как при их подстановке получается неверное числовое равенство 0 = ±1. Значит, cos x ≠ 0. Разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0, имеем tg x = 2, x = arctg 2 + πn, n∈ℤ.



Ответ.  x = arctg 2 + πn, n∈ℤ.


Решите уравнение sin2 x – 6 sin x cos x + 5 cos2 x = 0.




Те значения переменной x, для которых cos x = 0, не являются решениями, в чём можно убедиться непосредственной подстановкой. Разделим обе части уравнения на cos2 x, получим

tg2x – 6 tg x + 5 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно переменной t = tg x:

t2 – 6t + 5 = 0.


Корни этого уравнения: t1=1
и t2=5.
Уравнение tgx=1
имеет решения x=π4+πn, n∈ℤ.
Уравнение tg x = 5 имеет решения x=arctg 5+πn, n∈ℤ.



Ответ. x=π4+πn, x=arctg 5+πn, n∈ℤ.


Только что рассмотренные уравнения называются однородными уравнениями соответственно 1-го и 2-го порядка. Вспомним определение многочлена n-ной степени, данное в § 2.1.1. Однородным многочленом n-ного порядка относительно переменных u и v называется многочлен, у которого сумма степеней переменных постоянна у всех членов.

Аналогично, уравнения au + bu = 0 и au2 + bvu + cv2 = 0 также называются однородными уравнениями 1-го и 2-го порядка. В нашем случае было u = sin x и v = cos x.

Уравнение 1-го порядка делением на v сводится к линейному относительно новой переменной t=uv.
Уравнения 2-го порядка делением на v2
сводятся к квадратному относительно t=uv.

Уравнения с обратными тригонометрическими функциями, как правило, удаётся решить, применяя одну и ту же тригонометрическую функцию к обеим частям данного уравнения.

Решите уравнение arccos x = arctg x.


Применим функцию косинус к обеим частям данного уравнения. Имеем x=cos(arctg x).
Так как область определения данного уравнения − множество x∈[-1; 1],
то:

x∈[-1; 1]⇒{arccosx∈[0; π]arctgx∈[-π4; π4]⇒{arccosx∈[0; π4]arctgx∈[0; π4]⇒x>0⇒x=cos(arctg x)=11+tg2 (arctg x)=11+x2.


Значит, x > 0. Решаем полученное иррациональное уравнение:

x2=11+x2⇔x4+x2-1=0⇔x2=-1±52.
Так как x > 0, то x=5-12.


Ответ. 5-12.


Урок алгебры в 11-м классе «Обратные тригонометрические функции»

Тип урока: комбинированный, состоит из 7
учебно-воспитательных моментов: организационный
момент, повторение изученного, подготовка к
изучению материала, изучение и закрепление
нового материала, тестовая работа, итог урока.



Цели урока:

  • сформировать умение применять определения
    аркфункций для нахождения тригонометрических
    функций от аркфункций;
  • развивать познавательный интерес учащихся к
    предмету через систему нестандартных задач;
  • воспитывать нестандартно, логически мыслящую
    личность.



Оборудование: доска, таблицы, компьютер,
мультимедийная установка, экран, учебник.



Ход урока

I. Организационный момент.

Ребята, сегодня мы проводим урок — обобщение по
теме: «Обратные тригонометрические функции».
Материал этого параграфа в учебнике вынесен для
самостоятельного изучения, но поскольку задания
с аркфункциями стали включать в ЕГЭ, я решила не
только изучить новый материал на уроке, но
обобщить ваши знания по данной теме.



II. Актуализация опорных знаний:

1. Значения аркфункций:

Вспомните, для чего в 10 классе были введены
понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса? (Для
решения тригонометрических уравнений).

Давайте вспомним формулы, по которым решаются
простейшие тригонометрические уравнения.

Слайд1:

вопросы к классу: -формула нахождения корней
уравнения соs х=а;

-дать определение арккосинуса числа а ;

Слайд 2 :(вопросы аналогичные предыдущим)

Слайд 3

Слайд 4

Заполним таблицу значений аркфункций: Слайд 5

Пользуясь ей решим следующие упражнения:

655(из учебника)

2) arcsin(1/v2)-4 arcsin1=

4) arccos(-1)- arcsin(-1)=

6)4 arctg(-1)+3 arctg(v3)=

Из ЕГЭ:

1) arcsin(sin /3)+ arcsin (-v3/2)=

3)10cos(arctg(v3))=



Проверим получившиеся ответы: Слайд 6



2.Вспомним формулы, связывающие аркфункции с
тригонометрическими функциями:

Слайд 7



С помощью них вычислим устно:

sin(arcsin(-1/5))=

sin(+ arcsin 3/4)=

(из ЕГЭ) 5 sin(+ arcsin (-3/5)=

cos(arccos(-2/3))=

sin(/2+ arccos 1/3)=

tg(arctg(-3))=

сtg(/2+ arctg 6)=



3. Нахождение значения тригонометрической
функции от аркфункции.

1. Сильный ученик:

sin(arccos v3/4)=



2.(Из ЕГЭ) — сильный ученик

5v2 sin(/2- arctg(-1/7))=



б) Ребята, существует другой способ решения
подобных заданий. Я буду рада, если кто-нибудь
из вас его запомнит и будет его применять.

Посмотрите, во всех ранее решённых примерах — угол,
лежащий в первой четверти, а это значит, что — угол
острый. Вспомните, что называется
синусом(косинусом, тангенсом и котангенсом)
острого угла прямоугольного треугольника?

Решим следующий пример так:2v13 cos (arctg 2/3)=

tg 2/3-это значит, что отношение противолежащего
катета к прилежащему равно 2:3 

-А как найти гипотенузу?

-Гипотенуза по теореме Пифагора равна:

v4+9=v13

-Тогда cos
=3/v13, а 2v13 cos (arctg 2/3)=

2v133/v13=6

в) Решим вторым способом следующие примеры:

1) tg(arccos (-1/3))=

2) 3v5 tg(arcsin(2/7)=

3) по вариантам:

а) сtg(arccos (2/5))=

б) v15 tg(arcsin(1/4))

4) Средний ученик:

sin(2 arctg 5)=



III. Изучение нового материала:

В материалах для подготовки к ЕГЭ есть задания,
в которых необходимо знать свойства обратных
тригонометрических функций. Обратные
тригонометрические функции это математические
функции, являющиеся обратными к
тригонометрическим функциям. Название обратных
тригонометрических функций образуется от
названия соответствующей ей тригонометрической
функции добавлением приставки «арк-» (в
переводе с латинского — дуга).

Пусть дана функция у=sin х. На всей области
определения она являются кусочно-монотонной, и,
значит, обратное соответствие у=arcsin х функцией не
является.

Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она
возрастает и принимает все свои значения на [-|2;|2].
Так как для функции у=sin х на интервале

[-|2;|2] каждому значению аргумента
соответствует единственное значение функции, то
на этом отрезке существует обратная функция
у=arcsin х, график которой симметричен графику у=sin х
на отрезке [-1;1] относительно прямой у=х.

Пусть дана функция у=cos х. На всей области
определения она являются кусочно-монотонной, и,
значит, обратное соответствие у=arccos х функцией не
является.

Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она
убывает и принимает все значения на [0;?]. Так как
для функции у=cos х на интервале [0;?] каждому
значению аргумента соответствует единственное
значение функции, то на этом отрезке существует
обратная функция у=arccos х, график которой
симметричен графику у=cos х на отрезке [-1;1]
относительно прямой у=х.

 



2.Выполняем задания:

1. Найти число целых значений функции у= 12arccos
х. (Объясняю сама)

0<arccos х<, тогда
0<12arccos х<12

12=123,14=37,8, значит,
целых значений будет 38.

Ответ:38



2. Найти число целых значений функции у=5 arctg
х. — (сильный ученик).



3. Самостоятельно:

у=1,7 arсctg х.



4. Найти наибольшее целое число, входящее в
область значений функции у= 6 arcсtg(|sin х|).



5. Найти разность между наибольшим и
наименьшим значениями функции:

у=24/ arcsin(sin хcos х)



IV. Дом.задание:

Вычислите:

  • sin(2 arcsin 3/5)
  • sin(arccos 1/3+arccos 2/3)
  • sin( arccos
    5/13)



2*.Постройте графики функций:

а) у=arccos|х|;

б) у=arccos х +arcsin х;

в) |у|=arctg х.



3.* Найдите разность между наибольшим и
наименьшим значениями функции:

у=arccos
(sin х cos х)



4*. Найдите наименьшее целое число, входящее в
область значений функции:

у=40arcctg(cos х).

V. Рефлексия. Оценки учащихся за урок.

Приложение 1.

Инженерный калькулятор. Профессиональный онлайн-калькулятор по расчету тригонометрических функций.

Клавиша Обозначение Пояснение
удаление одного символа Удаляет последний символ
С сброс Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение «0»
Радианы радианы Выражение угла в радианах. Используется только для тригометрических функциях cos, sin, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg,arcctg.
Градусы градусы Выражение угла в градусах. Используется только для тригометрических функциях cos, sin, tg, ctg.
sin sin Тригонометрическая функция синус. Обозначается как «sin(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
cos cos Тригонометрическая функция косинус. Обозначается как «cos(x)». Угол (x) л может быть задан в радианах либо градусах.
tg tg Тригонометрическая функция тангенс. Обозначается как «tg(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
ctg ctg Тригонометрическая функция котангенс. Обозначается как «ctg(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
arcsin arcsin Обратная тригонометрическая функция арксинус. Обозначается как «arcsin(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
arccos arccos Обратная тригонометрическая функция арккосинус. Обозначается как «arccos(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
arctg arctg Обратная тригонометрическая функция арктангенс. Обозначается как «arctg(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
arcctg arcctg Обратная тригонометрическая функция арккотангенс. Обозначается как «arcctg(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
ln ln Натуральный логарифм. Обозначение ln(x).
log log Десятичный логарифм.
e e Число «e» — основание натурального логарифма. Число «e» называют числом Эйлера или числом Непера. Приблизительно равно 2,71828.
Pi число Пи Число «Пи» — математическая константа. Приблизительно равно 3,14.
корень Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку «корня» производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2
x2 возведение в квадрат Возведение числа в квадрат. 2

Калькулятор Arctan 📐 — вычисляет arctan (x) числа

Используйте этот калькулятор arctan, чтобы легко вычислить arctan заданного числа.Онлайн-инструмент вычисления арктангенса для вычисления функции тангенса дуги в градусах или радианах. Поддерживает ввод десятичных чисел (0,5, 6, -1 и т. Д.) И дробей (1/3, 3/4, 1/6, -4/3 и т. Д.).

Быстрая навигация:

  1. Функция Arctan
  2. Как вычислить арктангенс числа?
  3. Пример использования arctan
  4. Расчет арктангенса дроби

Функция Arctan

Арктан (а.к.а. arcus tangens ) является одной из обратных тригонометрических функций (антитригонометрических функций) и является обратной функцией касательной. Иногда его пишут как tan -1 (x), но этого обозначения следует избегать, так как оно может вызвать путаницу с обозначением экспоненты. Арктангенс используется для получения угла из касательного тригонометрического отношения, которое представляет собой отношение между стороной, противоположной углу, и соседней стороной треугольника.

Функция охватывает все действительные числа (-∞ — + ∞), как и результаты нашего калькулятора.Диапазон значений угла обычно составляет от -90 ° до 90 °. Существует ряд правил арктангенса, например, tan (arctan (x)) = x или arctanα + arctanβ = arctan ((α + β) / (1-αβ)), а также синус арктангенса: sin (arctan (x)) = x / √ (1 + x 2 ), что может помочь вам в расчетах тригонометрии.

Как вычислить арктанган числа?

Самый простой способ вычислить это значение — использовать наш калькулятор арктангенса выше, который будет выводить результаты как в градусах, так и в радианах.Другие способы требуют предоставления дополнительной информации, такой как значения других тригонометрических функций для того же угла или для других углов в треугольнике (см. Пример ниже).

Вот таблица общих значений арктана:

Общие значения функции arctan
x arctan (x) (°) arctan (x) (рад.)
-∞ -90 ° -π / 2
-√3 -60 ° -π / 3
-1 -45 ° -π / 4
-1 / √3 -30 ° -π / 6
0 0 ° 0
1 / √3 30 ° π / 6
1 45 ° π / 4
√3 60 ° π / 3
+ ∞ 90 ° π / 2

π — это, конечно, математическая константа, примерно равная 3.14159.

Пример использования arctan

Учитывая приведенный ниже рисунок прямоугольного треугольника с известными длинами сторон a = 18 и b = 10 и прямым углом в точке C, как мы можем найти угол β в точке B, используя функцию обратной касательной?

Зная, что касательная к β равна противоположной стороне, деленной на соседнюю, получаем tan (β) = b / a = 10/18 = 0,555. Затем просто используйте обратную функцию, чтобы получить β = arctan (0,555) = 29.03 ° (или 0,507 в радианах).

Вычисление арктангенса дроби

Часто значение тангенса задается или вычисляется как простая дробь, например 3/4. Хотя для преобразования дроби в десятичную дробь можно использовать преобразователь дроби в десятичную дробь, наш калькулятор арктангенса фактически поддерживает прямой ввод различных дробей, таких как 1/2, 1/3, 1/6, 3/4, 4/3, -2. / 3 и даже 0,3 / 0,5. Чтобы вычислить arctan (3/4) или arctan (4/3) или другую дробь x / y, просто введите ее в поле ввода и нажмите «вычислить».

Для удобства, вот таблица общих значений арктангенса дробных тангенсов:

Стандартные значения тангенса угла дробных частей
x / y arctan (x / y) (°) arctan (x / y) (рад.)
1/2 26.565051 ° 0,463648 рад
1/3 18.434949 ° 0,321751 рад
3/4 36.869898 ° 0,643501 рад
4/3 53.130102 ° 0,927295 рад
1/6 9.462322 ° 0,165149 рад

Используя инструмент выше, вы можете вычислить это для любой простой дроби.

Функции Acos, Acot, Asin, Atan, Atan2, Cos, Cot, Degrees, Pi, Radians, Sin и Tan в Power Apps — Power Apps

  • 2 минуты на чтение

В этой статье

Вычисляет тригонометрические значения.

Описание

Основные функции

Функция Cos возвращает косинус своего аргумента, угол, указанный в радианах.

Функция Cot возвращает котангенс своего аргумента, угол, указанный в радианах.

Функция Sin возвращает синус своего аргумента, угол, указанный в радианах.

Функция Tan возвращает тангенс своего аргумента, угол, указанный в радианах.

Обратные функции

Функция Acos возвращает арккосинус или обратный косинус своего аргумента. Арккосинус — это угол, косинус которого является аргументом. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от 0 (ноль) до π.

Функция Acot возвращает главное значение аркотангенса или обратного котангенса своего аргумента. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от 0 (ноль) до π.

Функция Asin возвращает арксинус или обратный синус своего аргумента.Арксинус — это угол, синус которого является аргументом. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от -π / 2 до π / 2.

Функция Atan возвращает арктангенс или арктангенс своего аргумента. Арктангенс — это угол, тангенс которого является аргументом. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от -π / 2 до π / 2.

Функция Atan2 возвращает арктангенс или арктангенс заданных координат x и y в качестве аргументов.Арктангенс — это угол от оси x до линии, которая содержит начало координат (0, 0) и точку с координатами ( x , y ). Угол указывается в радианах между -π и π, исключая -π. Положительный результат представляет собой угол против часовой стрелки от оси x ; отрицательный результат представляет собой угол по часовой стрелке. Atan2 ( a , b ) равно Atan ( b / a ) , за исключением того, что a может равняться 0 (нулю) с функцией Atan2 .

Вспомогательные функции

Градусы Функция преобразует радианы в градусы. π радиан равняется 180 градусам.

Функция Pi возвращает трансцендентное число π, которое начинается с 3,141592 …

Радианы Функция преобразует градусы в радианы.

Примечания

Если вы передадите в эти функции одно число, возвращаемое значение будет единственным результатом. Если вы передаете таблицу с одним столбцом, содержащую числа, возвращаемое значение представляет собой таблицу результатов с одним столбцом, по одному результату для каждой записи в таблице аргументов.Если у вас есть таблица с несколькими столбцами, вы можете преобразовать ее в таблицу с одним столбцом, как описано в работе с таблицами.

Если аргумент приведет к неопределенному значению, результатом будет пустое значение . Это может произойти, например, при использовании обратных функций с аргументами, выходящими за пределы допустимого диапазона.

Синтаксис

Основные функции

Cos ( радиан )
Детская кроватка ( радиан )
Sin ( радиан )
Tan ( радиан )

  • Radians — обязательно.Угол действия.

Cos ( SingleColumnTable )
Cot ( SingleColumnTable )
Sin ( SingleColumnTable )
Tan ( SingleColumnTable)

  • SingleColumnTable — Обязательно. Одноколоночная таблица углов для работы.

Обратные функции

Acos ( номер )
Acot ( номер )
Asin ( номер )
Atan ( номер )

  • Номер — Обязательно.Номер для работы.

Acos ( SingleColumnTable )
Acot ( SingleColumnTable )
Asin ( SingleColumnTable )
Atan (

27 SingleColumnTable)

  • SingleColumnTable — Обязательно. Таблица чисел, состоящая из одного столбца.

Атан2 ( X ​​, Y )

  • X ​​ — Обязательно. X ​​ — координата оси.
  • Y — Обязательно. Y — координата оси.

Вспомогательные функции

градусов ( радиан )

  • Radians — обязательно. Угол в радианах для преобразования в градусы.

Pi ()

Радианы ( градусов )

  • Градусов — Обязательно. Угол в градусах для преобразования в радианы.

Примеры

Единый номер

Формула Описание Результат
Cos (1.047197) Возвращает косинус 1,047197 радиан или 60 градусов. 0,5
Детская кроватка (Pi () / 4) Возвращает котангенс 0,785398 … радиан или 45 градусов. 1
Sin (Пи () / 2) Возвращает синус 1.570796 … радиан или 90 градусов. 1
Тан (радианы (60)) Возвращает тангенс 1,047197 … радиан или 60 градусов. 1.732050 …
Acos (0,5) Возвращает арккосинус 0,5 в радианах. 1.047197 …
Acot (1) Возвращает арккотангенс 1 в радианах. 0,785398 …
Асин (1) Возвращает арксинус 1 в радианах. 1,570796 …
Атан (1.732050) Возвращает арктангенс 1,732050 в радианах. 1.047197 …
Атан2 (5, 3) Возвращает арктангенс угла от оси x линии, содержащей начало координат (0,0) и координату (5,3), что составляет приблизительно 31 градус. 0,540419 …
Атан2 (4, 4) Возвращает арктангенс угла от оси x линии, содержащей начало координат (0,0) и координату (4,4), что равно π / 4 радиан или 45 градусов. 0,785398 …
Градусов (1.047197) Возвращает эквивалентное количество градусов для 1,047197 радиана. 60
Пи () Возвращает трансцендентное число π. 3,141592 …
Радианы (15) Возвращает эквивалентное количество радианов для 15 градусов. 0,261799 …

Одноколоночный стол

В примерах в этом разделе используется источник данных с именем ValueTable , который содержит следующие данные.Последняя запись в таблице — π / 2 радиан или 90 градусов.

Функция atan2 () в R с примером

Atan2 — это математическая функция, которая возвращает арктангенс двух чисел x и y. Это похоже на вычисление арктангенса y / x, за исключением того, что знаки обоих аргументов используются для определения квадранта результата.

Функция atan2 () в R

Atan2 (y, x) — это встроенная функция R, которая возвращает арктангенс в радианах между осью x и вектором от начала координат до (x, y).Атан2 — очевидная тригонометрическая функция. Тригонометрические функции вычисляют косинус , синус , тангенс , арккосинус , арк-синус , арктангенс и арктангенс с двумя аргументами.

Синтаксис

Параметры

y: Это растровый * объект.

x: Это растровый * объект.

Пример

Давайте вычислим для atan2 значение 1.

Выходные данные

Применение функции atan2 () к вектору

Чтобы создать вектор в R, используйте функцию c (). Затем передайте этот вектор функции atan2 ().

  у <- с (3, 4)
х <- с (1, 2)

atan2 (y, x)  

Выходные данные

Рассмотрим другой пример.

  х <- с (4, 5, 6)
dt <- atan2 (1, х)
print (dt)  

Выход

  [1] 0,2449787 0,1973956 0.1651487  

Передача числа "пи" в функцию atan2 ()

пи - это встроенная константа в программировании на языке R, и ее значение равно 3,141593 .

Давайте найдем значение atan2 () константы пи.

  х <- с (4, 5, 6)

dt <- atan2 (pi / 3, x)

print (dt)  

Вывод

  [1] 0,2560528 0,2064553 0,1727924  

Это все для функции atan2 () в R.

См. Также

R atanh ()

R tanh ()

R sinh ()

Просмотры сообщений:
124

Функция atan2 () в Python - GeeksforGeeks

atan2 (y, x) возвращает значение atan (y / x) в радианах. Метод atan2 () возвращает числовое значение между - и, представляющее угол точки (x, y) и положительной оси x.

Синтаксис:

 atan2 (y, x) 

Параметр:

  (y, x) -  Оба значения должны быть числовыми.

Возвращает:

 Возвращает атан (y / x) в радианах.
Двойное значение - это полярная координата (r, theta). 

TypeError:

 Возвращает TypeError, если передано что-либо, кроме float. 

Код # 1:

07 930 9000 9000

07 930 Выход:

atan2 (-0,5, -0,5): -2,3561944
345 atan2 (1,2, 1,5): 0,6747409422235526 atan2 (1,2, -1,5): 2,4668517113662407

Код # 2:

импорт математика

theta1 9160atan2 ( - 0,9 , - 0,9 )

печать ( "atan2 (-0,9, -0,9):" 902 902, 902

theta2 = math.atan2 ( 1,2 , 1,5 )

печать ( "atan2): " atan2 (1,2, 9160ta)

theta3 = math.atan2 ( 1,2 , 1,5 )

печать ( "atan2 (1,2, -1,5):" , theta3)

y = 1 1602 , 3 , 4 ]

x = [ 6 , 3 , 7 8602 , 7

для i в диапазоне ( len (x)):

theta = math602.atan2 (y [i], x [i])

печать (theta)

импорт математика

Выход:

0,16514867741462683
0,5880026035475675
0,404828508343
0,46364760061
 

Код # 3: Программа, демонстрирующая ошибку

y601, x 6

theta = math.atan2 ([y], [x])

print (theta)

импорт математика

Вывод:

 Traceback (последний звонок последний):
  Файл "/home/622586ab389561bcdbfff258aca01e65.py", строка 9, в
    theta = math.atan2 ([y], [x])
TypeError: требуется float
 

Практическое применение:
Эта функция используется для нахождения наклона в радианах, когда заданы координаты Y и X.

Код # 4:

импорт математика

X = = ; 2 Y = 2

theta1 = math.atan2 (Y, X)

печать (theta1)

Выход:

 0,7853981633974483
 

Внимание компьютерщик! Укрепите свои основы с помощью курса Python Programming Foundation и изучите основы.

Для начала подготовьтесь к собеседованию. Расширьте свои концепции структур данных с помощью курса Python DS . И чтобы начать свое путешествие по машинному обучению, присоединяйтесь к Машинное обучение - курс базового уровня

Калькулятор арктангенса онлайн - Расчет арктангенса - производная - первообразная

Описание:

Функция arctan позволяет вычислять арктангенс числа.Функция арктангенса - это функция, обратная функции касательной.

арктан


Описание:

Функция arctan является обратной функцией
касательная функция,
вычисляет арктангенс числа онлайн .

  1. Вычисление арктангенса
  2. Чтобы вычислить арктангенс числа, просто введите число и примените
    arctan функция.2) `.

  3. Пределы арктангенса
  4. Пределы арктангенса существуют в `-oo` (минус бесконечность) и` + oo` (плюс бесконечность):

  • Функция арктангенса имеет ограничение в `-oo`, которое равно` pi / 2`.
    • `lim_ (x -> - oo) arctan (x) = pi / 2`
  • Функция арктангенса имеет предел в` + oo`, который равен `-pi / 2`.
    • `lim_ (x -> + oo) arctan (x) = - pi / 2`

Функция arctan позволяет вычислять арктангенс числа. 2)`


Первообразный арктангенс:

Калькулятор первообразной функции арктангенса.2) `


Предельный арктангенс:

Калькулятор пределов позволяет вычислять пределы функции арктангенса.

Предел для arctan (x) - limit_calculator (`" arctan (x) `)


Арктангенс обратной функции:

Функция , обратная арктангенсу , - это функция тангенса, отмеченная как tan.



Графический арктангенс:

Графический калькулятор может строить функцию арктангенса в интервале ее определения.



Свойство арктангенса функции:

Функция арктангенса - это нечетная функция.


Расчет онлайн с арктангенсом (арктангенс)

std :: atan2, std :: atan2f, std :: atan2l - cppreference.com

(1)

float atan2 (float y, float x);

float atan2f (float y, float x);

(начиная с C ++ 11)

двойной atan2 (двойной y, двойной x);

(2)
(3)

длинный двойной атан2 (длинный двойной y, длинный двойной x);

длинный двойной атан2л (длинный двойной у, длинный двойной х);

(начиная с C ++ 11)

Повышенный atan2 (Arithmetic1 y, Arithmetic2 x);

(4) (начиная с C ++ 11)

1-3) Вычисляет арктангенс y / x , используя знаки аргументов для определения правильного квадранта.

4) Набор перегрузок или шаблон функции для всех комбинаций аргументов арифметического типа, не охваченных пп. 1-3). Если какой-либо аргумент имеет целочисленный тип, он приводится к удвоению. Если какой-либо аргумент имеет значение long double, то тип возврата Promoted также является long double, в противном случае тип возврата всегда двойной.

[править] Параметры

[править] Возвращаемое значение

Если ошибок не возникает, возвращается арктангенс y / x (arctan ()) в диапазоне [-π, + π] радиан.

Y аргумент

Возвращаемое значение

X аргумент

Если возникает ошибка домена, возвращается значение, определяемое реализацией (NaN, если поддерживается)

Если ошибка диапазона возникает из-за недостаточного заполнения, возвращается правильный результат (после округления).

[править] Обработка ошибок

Об ошибках сообщается, как указано в math_errhandling.

Ошибка домена может возникнуть, если x и y оба равны нулю.

Если реализация поддерживает арифметику с плавающей запятой IEEE (IEC 60559),

  • Если x и y оба равны нулю, ошибка домена не возникает.
  • Если x и y оба равны нулю, ошибка диапазона также не возникает
  • Если y равен нулю, ошибка полюса не возникает
  • Если y равно ± 0 и x отрицательно или -0 , возвращается ± π
  • Если y равно ± 0 и x положительно или +0 , возвращается ± 0
  • Если y равно ± ∞ и x конечно, возвращается ± π / 2
  • Если y равно ± ∞ и x равно -∞ , возвращается ± 3π / 4
  • Если y равно ± ∞ и x равно + ∞ , возвращается ± π / 4
  • Если x равно ± 0 и y отрицательно, возвращается -π / 2
  • Если x равно ± 0 и y положительно, возвращается + π / 2
  • Если x равно -∞ и y является конечным и положительным значением, возвращается + π
  • Если x равно -∞ и y является конечным и отрицательным, возвращается
  • Если x равно + ∞ и y конечно и положительно, возвращается +0
  • Если x равно + ∞ и y является конечным и отрицательным, возвращается -0
  • Если либо x равно NaN, либо y равно NaN, возвращается NaN

[править] Примечания

std :: atan2 (y, x) эквивалентно std :: arg (std :: complex (x, y))

POSIX указывает, что в случае недостаточного заполнения возвращается значение y / x , а если оно не поддерживается, возвращается значение, определяемое реализацией, не более DBL_MIN, FLT_MIN и LDBL_MIN.

[править] Пример

 #include 
#include

int main ()
{
// нормальное использование: знаки двух аргументов определяют квадрант
std :: cout << "(x: + 1, y: +1) декартово это (r:" << hypot (1,1) << ", phi:" << atan2 (1,1) << ") polar \ n" // atan2 (1,1) = + pi / 4, Quad I << "(x: -1, y: +1) декартово это (r:" << hypot (1, -1) << ", phi:" << atan2 (1, -1) << ") polar \ n" // atan2 (1, -1) = + 3pi / 4, Quad II << "(x: -1, y: -1) декартово это (r:" << hypot (-1, -1) << ", phi:" << atan2 (-1, -1) << ") polar \ n" // atan2 (-1, -1) = -3pi / 4, Quad III << "(x: + 1, y: -1) декартово это (r:" << гипотеза (-1,1) << ", phi:" << atan2 (-1,1) << ") полярный \ n"; // atan2 (-1, 1) = -pi / 4, Quad IV // специальные значения std :: cout << "atan2 (0, 0) =" << atan2 (0,0) << "atan2 (0, -0) =" << atan2 (0, -0.0) << '\ n' << "atan2 (7, 0) =" << atan2 (7,0) << "atan2 (7, -0) =" << atan2 (7, -0.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.