Арккосинус 4 3: Mathway | Популярные задачи

Содержание

Mathway | Популярные задачи

1 Найти точное значение sin(30)
2 Найти точное значение sin(45)
3 Найти точное значение sin(30 град. )
4 Найти точное значение sin(60 град. )
5 Найти точное значение tan(30 град. )
6 Найти точное значение arcsin(-1)
7 Найти точное значение sin(pi/6)
8 Найти точное значение cos(pi/4)
9 Найти точное значение sin(45 град. )
10 Найти точное значение sin(pi/3)
11 Найти точное значение arctan(-1)
12 Найти точное значение cos(45 град. )
13 Найти точное значение cos(30 град. )
14 Найти точное значение tan(60)
15 Найти точное значение csc(45 град. )
16 Найти точное значение tan(60 град. )
17 Найти точное значение sec(30 град. )
18 Найти точное значение cos(60 град. )
19 Найти точное значение cos(150)
20 Найти точное значение sin(60)
21 Найти точное значение cos(pi/2)
22 Найти точное значение tan(45 град. )
23 Найти точное значение arctan(- квадратный корень 3)
24 Найти точное значение csc(60 град. )
25 Найти точное значение sec(45 град. )
26 Найти точное значение csc(30 град. )
27 Найти точное значение sin(0)
28 Найти точное значение sin(120)
29 Найти точное значение cos(90)
30 Преобразовать из радианов в градусы pi/3
31 Найти точное значение tan(30)
32 Преобразовать из градусов в радианы 45
33 Найти точное значение cos(45)
34 Упростить sin(theta)^2+cos(theta)^2
35 Преобразовать из радианов в градусы pi/6
36 Найти точное значение cot(30 град. )
37 Найти точное значение arccos(-1)
38 Найти точное значение arctan(0)
39 Найти точное значение cot(60 град. )
40 Преобразовать из градусов в радианы 30
41 Преобразовать из радианов в градусы (2pi)/3
42 Найти точное значение sin((5pi)/3)
43 Найти точное значение sin((3pi)/4)
44 Найти точное значение tan(pi/2)
45 Найти точное значение sin(300)
46 Найти точное значение cos(30)
47 Найти точное значение cos(60)
48 Найти точное значение cos(0)
49 Найти точное значение cos(135)
50 Найти точное значение cos((5pi)/3)
51 Найти точное значение cos(210)
52 Найти точное значение sec(60 град. )
53 Найти точное значение sin(300 град. )
54 Преобразовать из градусов в радианы 135
55 Преобразовать из градусов в радианы 150
56 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/6
57 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/3
58 Преобразовать из градусов в радианы 89 град.
59 Преобразовать из градусов в радианы 60
60 Найти точное значение sin(135 град. )
61 Найти точное значение sin(150)
62 Найти точное значение sin(240 град. )
63 Найти точное значение cot(45 град. )
64 Преобразовать из радианов в градусы (5pi)/4
65 Найти точное значение sin(225)
66 Найти точное значение sin(240)
67 Найти точное значение cos(150 град. )
68 Найти точное значение tan(45)
69 Вычислить sin(30 град. )
70 Найти точное значение sec(0)
71 Найти точное значение cos((5pi)/6)
72 Найти точное значение csc(30)
73 Найти точное значение arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74 Найти точное значение tan((5pi)/3)
75 Найти точное значение tan(0)
76 Вычислить sin(60 град. )
77 Найти точное значение arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78 Преобразовать из радианов в градусы (3pi)/4
79 Найти точное значение sin((7pi)/4)
80 Найти точное значение arcsin(-1/2)
81 Найти точное значение sin((4pi)/3)
82 Найти точное значение csc(45)
83 Упростить arctan( квадратный корень 3)
84 Найти точное значение sin(135)
85 Найти точное значение sin(105)
86 Найти точное значение sin(150 град. )
87 Найти точное значение sin((2pi)/3)
88 Найти точное значение tan((2pi)/3)
89 Преобразовать из радианов в градусы pi/4
90 Найти точное значение sin(pi/2)
91 Найти точное значение sec(45)
92 Найти точное значение cos((5pi)/4)
93 Найти точное значение cos((7pi)/6)
94 Найти точное значение arcsin(0)
95 Найти точное значение sin(120 град.3
6 Risolvere per ? cos(x)=1/2
7 Risolvere per x sin(x)=-1/2
8 Преобразовать из градусов в радианы 225
9 Risolvere per ? cos(x)=( квадратный корень 2)/2
10 Risolvere per x cos(x)=( квадратный корень 3)/2
11 Risolvere per x sin(x)=( квадратный корень 3)/2
12 График g(x)=3/4* корень пятой степени x
13 Найти центр и радиус x^2+y^2=9
14 Преобразовать из градусов в радианы 120 град.2+n-72)=1/(n+9)

ACOS (функция ACOS) — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ACOS в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает арккосинус числа. Арккосинус числа — это угол, косинус которого равен числу. Угол определяется в радианах в интервале от 0 до «пи».

Синтаксис

ACOS(число)

Аргументы функции ACOS описаны ниже.

Замечания

Если нужно преобразовать результат из радиан в градусы, умножьте его на 180/ПИ() или используйте функцию ГРАДУСЫ.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.





Формула


Описание


Результат

=ACOS(-0,5)

Арккосинус числа -0,5 в радианах, 2*ПИ/3 (2,094395)

2,094395102

=ACOS(-0,5)*180/ПИ()

Арккосинус -0,5 в градусах

120

=ГРАДУСЫ(ACOS(-0,5))

Арккосинус -0,5 в градусах

120

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Тригонометрия

      Предположим, что число a удовлетворяет неравенству . Число x называют арксинусом числа a и обозначают   x = arcsin a, если выполнены два условия:

      Предположим, что число a удовлетворяет неравенству . Число x называют арккосинусом числа a и обозначают   x = arccos a, если выполнены два условия:

      Рассмотрим произвольное число a . Число x называют арктангенсом числа a и обозначают   x = arctg a, если выполнены два условия:

      Рассмотрим произвольное число a . Число x называют арккотангенсом числа a и обозначают   x = arcctg a, если выполнены два условия:

      Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс удовлетворяют, в частности, следующим соотношениям:

arcsin (– a) = – arcsin a ,
arccos (– a) =
= π – arccos a ,
arctg (– a) = – arctg a ,
arcctg (– a) =
= π – arcctg a .

      Обратными тригонометрическими функциями называют функции:

     Графики этих функций изображены на рисунках 1, 2, 3, 4.

      Рис. 1. График функции   y = arcsin x

      Таблица значений функции   y = arcsin x

      Рис. 2. График функции   y = arccos x

      Таблица значений функции   y = arccos x

      Рис. 3. График функции   y = arctg x

      Таблица значений функции   y = arctg x

      Рис. 4. График функции   y = arcctg x

      Таблица значений функции   y = arcctg x

      Пример. Решить уравнение

2 arcsin 2x = arccos 7x .

      Решение. Возьмём косинус от обеих частей уравнения. Тогда в левой части уравнения получим:

cos ( 2 arcsin 2x ) = 1 – 2sin2( arcsin 2x ) = 1 – 2 ( 2x )2 = 1 – 8x2 .

cos ( 2 arcsin 2x ) =
= 1 – 2sin2( arcsin 2x ) =
= 1 – 2 ( 2x )2 = 1 – 8x2 .

      В правой части уравнения получим:

cos ( arccos 7x ) = 7x.

      Следовательно, возникает квадратное уравнение:

      В силу того, что область определения обратных тригонометрических функций   y = arcsin x и   y = arccos x   имеет вид: , второй корень должен быть отброшен.

      Ответ:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Арксинус и арккосинус. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти арксинус и арккосинус от числа. Результат можно видеть как в градусах, так и в радианах. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Арксинус и арккосинус − теория, примеры и решения

Функция арксинус и ее график

Как известно, функция синус определена в интервале [−∞;+∞] и не является монотонной функцией (т.е. не является возрастающей или убывающей во всей области определения функции (Рис.1) (подробнее о функции синус смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Однако, функцию синус можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция sin x имеет обратную функцию. Отметим, что это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке . Обратную функцию обозначают x=arcsin y. Поменяв местами x и y, получим:

Функция (1) − это функция, обратная к функции

График функции арксинус можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.2).

Свойства функции арксинус.

  1. Область определения функции: .
  2. Область значений функции: .
  3. Функция является нечетной: .
  4. Функция возрастает.
  5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

При |a|>1 это уравнение не имеет решения, т.к. не существует такое число x, при котором sin x>1 (см. график функции синус (Рис.1). При |a|≤1, в отрезке (дуга DAB) уравнение (2) имеет одно решение (см. Рис.3):

В отрезке (дуга DCB) функция синус убывает и принимает значения от 1 до −1. Следовательно в этом отрезке уравнение (2) также имеет решение:

Действительно:

А из

следует

т.е.

Таким образом уравнение (3) имеет два решения в отрезке :

которые совпадают при |a|=1.

Поскольку функция синус периодичная с основным периодом , имеем

Тогда получим решение (2) в виде

Решения (3) и (4) удобно представить одним уравнением:

Действительно. При четных k (k=2n) из уравнения (5) получают все решения, представленные уравнением (3), а при нечетных k (k=2n+1) − все решения, представленные уравнением (4).

При a=1, arcsin a и π−arcsin a совпадают (т.к. ), следовательно решение уравнения sin t=1 имеет вид:

При |a|=−1, из (3) и (4) следует:

Но поворот эквивалентно повороту . То есть уравнения (6) и (7) эквивалентны. Тогда решение уравнения sin t=−1 запишем в виде:

При |a|=0, из (3) и (4) имеем следующее решение уравнения sin t=0:

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

Решение. Воспользуемся формулой (5):

т.е.

Пример 2. Решить тригонометрическое уравнение:

Решение. Воспользуемся формулой (5):

т.е.

Функция арккосинус и ее график

Как известно, функция косинус определена в интервале [−∞;+∞] и не является монотонной функцией (Рис.4) (подробнее о функции косинус смотрите на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор). А для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть монотонной.

Однако, функцию косинус можно разделить на интервалы, где она монотонна. Эти интервалы:

По теореме об обратной функции, на каждом из указанных отрезков функция cos x имеет обратную функцию. Это различные обратные функции. Однако, предпочтение отдается обратной функции в отрезке . Обратную функцию оброзначают x=arccos y. Поменяв местами x и y, получим:

Функция (8) − это функция, обратная к функции

График функции арксинус можно получить из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=x (Рис.5).

Свойства функции арксинус.

  1. Область определения функции: .
  2. Область значений функции: .
  3. Функция не является ни четной ни нечетной (так как функция не симметрична ни относительно начала координит, ни относительно оси Y).
  4. Функция убывает.
  5. Функция непрерывна.

Решим тригонометрическое уравнение

При |a|>1 это уравнение не имеет решения, т.к. не существует такое число x, при котором cos x>1 (см. график функции косинус (Рис.4). При |a|≤1, в отрезке [0; π] (дуга ABC) уравнение (9) имеет одно решение t1=arccos a. В отрезке [−π; 0] (дуга CDA) уравнение (9) имеет одно решение t2=−arccos a(см. Рис.6):

Таким образом, в интервале [−π; π] уравнение (9) имеет два решения y=± arccos a, которые совпадают при a=1.

Поскольку функция косинус периодичная с основным периодом :

то общее решение (9) имеет следующий вид:

При a=1, числа arccos a и −arccos a совпадают (они равны нулю), тогда решение уравнения cos t=1 можно записать так:

При a=−1, имеем cos t=−1,

При a=0, имеем cos t=0,

Решение тригонометрического уравнения cos t=0 можно записать одним уравнением:

Пример 1. Решить тригонометрическое уравнение:

Решение. Воcпользуемся формулой (10):

Так как , то

Пример 2. Решить следующее тригонометрическое уравнение:

Решение. Используя формулу (10), имеем

Так как (), то

Пример 3. Решить следующее тригонометрическое уравнение:

Решение. Используя формулу (10), имеем

С помощью онлайн калькулятора вычисляем : . Тогда решение можно записать так:

Урок 44. тождества с арккосинусом, арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №44. Тождества с арккосинусом, арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Тождества, связывающие обратные тригонометрические функции и тождества, связывающие тригонометрические и обратные тригонометрические функции
  • Применение тождеств на несложных примерах и для вычисления выражений, включающих арккосинус, арксинус, арктангенс и арккотангенс
  • Применение тождеств с арккосинусом, арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом для преобразования выражений.

Глоссарий по теме

Арккосинусом числа m называется такое число α, что: и . Арккосинус числа m обозначают: .

Арксинусом числа m называется такое число α, что: и . Арксинус числа m обозначают: .

Арктангенсом числа m называется такое число α, что: и . Арктангенс числа m обозначают:

Арккотангенсом числа n называется такое число α, что: и .

Арккотангенс числа n обозначают: .

Основная литература:

Фёдорова Н.Е., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Шабунин М.И. под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс. 310-322.

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс. сс. 286-321, 327-354.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На предыдущих уроках мы познакомились с понятиями арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса и с самыми простыми тождествами, которые связывают их с тригонометрическими функциями:

для любого значения m:;

для любого значения m;

  1. для любого α:
  2. для любого α: .
  3. для любого α: .
  4. для любого α:

Однако, эти тождества не позволяют вычислять значения более сложных выражений, например, таких:

1)

2)

3)

На этом уроке мы рассмотрим несколько тождеств, которые позволят нам вычислять значения выражений и преобразовывать достаточно сложные выражения с обратными тригонометрическими функциями.

Задание.

Попробуйте вычислить значение выражения:

Решение:

В этом случае мы не можем воспользоваться тождеством, так как . Но в этом случае мы имеем табличные значения:

Ответ:

Задание

Вычислим значение выражения

Решение:

В этом случае мы также имеем табличные значения:

Ответ:

1. Рассмотрим сначала задачи, связанные с вычислением табличных значений обратных тригонометрических функций.

Пример 1.

Найдите значение: .

Решение:

При решении данной задачи будем пользоваться табличными значениями аркфункций тождеством:

Ответ: .

Пример 2.

Вычислить:

Решение:

На первый взгляд, использование тождества приводит к получению ответа:. Но заметим, что аргумент синуса не удовлетворяет промежутку . Поэтому ответ является неверным. Таким образом, нужно найти такое значение a , что:. Таким значением является . Значит, ответом является число .

2 вариант. Найдем численное значение . Оно равно . Теперь найдем . Оно равно.

Заметим, что второй вариант решения возможен в том случае, когда мы имеем дело с табличными значениями тригонометрических функций.

Ответ: .

Пример 3.

Вычислить:

Решение:

В этом примере возможен только ход рассуждений по первому варианту, так как мы имеем дело не с табличными значениями косинуса. Очевидно, что число 10 не является правильным ответом, поскольку оно не принадлежит промежутку . Таким образом, нам нужно найти такое число a из промежутка , косинус которого равен косинусу 10. Таким значением a является число , так как значит, и, с учетом формул приведения: .

Ответ: 1

2. Рассмотрим некоторые тождества

С использованием тождеств, связывающих тригонометрические и обратные тригонометрические функции, рассмотрим решение некоторых примеров:

Пример 4.

Вычислите: .

Решение:

При решении этой задачи используется только знание табличных значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций:

.

Ответ: 0.

Пример 5.

Вычислить:

Решение:

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся тождеством (22):

Ответ: -3

Пример 6.

Вычислить:

Решение:

Сначала воспользуемся табличными значениями обратных тригонометрических функций и заменим . Теперь воспользуемся для преобразования формулой тангенса двух аргументов:

. Теперь, используя тождества для арктангенса и табличные значения тангенса, получим результат:

Ответ:

Решение задачи 2

Вычислить: .

Решение:

Данное выражение вообще не содержит табличных значений тригонометрических функций, поэтому при решении этой задачи будем использовать тождества второй группы. Но сначала воспользуемся формулой косинуса суммы аргументов. Таким образом, получим:

Ответ:.

Решение задачи 3

Вычислить

Решение:

Воспользуемся для начала формулой синуса двойного аргумента и получим:

.

Теперь, используя тождества и преобразуя полученное выражение, получим окончательный результат:

Ответ:

3. Рассмотрим более сложные задачи.

Пример 7

Вычислить: .

Решение:

Найдем . Для этого воспользуемся формулой тангенса суммы аргументов:

Поэтому сумма арктангенсов – это такое число, тангенс которого равен -1. Для того чтобы найти окончательно это число, определим, какому промежутку оно должно принадлежать. и принадлежат промежутку , поскольку в силу монотонности функции арктангенс (он монотонно возрастает) каждый из рассматриваемых арктангенсов больше чем , который равен . А в силу ее ограниченности каждый из них меньше чем . Поэтому сумма этих арктангенсов принадлежит промежутку . В этом промежутке содержится единственное число, тангенс которого равен -1. Это . Таким образом значение выражения равно: .

Ответ: 0,75

Пример 8

Найдите в виде целого числа, если .

Решение:

Сначала воспользуемся формулой, связывающей значения тангенса и котангенса одного аргумента:

. Это позволяет вычислить . Теперь, подставив найденное значение в выражение, значение которого нужно найти, получим искомый результат:

Ответ: 5.

Пример 9

Вычислить:

Решение:

При вычислении значения данного выражения прежде всего воспользуемся формулами синуса двойного аргумента, выражающего его через тангенс, и тангенса половинного аргумента:

.

Теперь воспользуемся тождеством (19) и получим окончательный результат:

Пример 10

Вычислить:

Решение:

Заметим, что при вычислении значения данного выражения можно использовать формулы котангенса суммы и разности аргументов, а затем формулы котангенса половинного аргумента. Но мы будем использовать другой путь. Один из аргументов и другой . Сумма и разность аргументов представляют собой очень привлекательные выражения: и . Попробуем это использовать. Преобразуем данное выражение, воспользовавшись формулой суммы котангенсов: . И далее используя в знаменателе формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов:. Таким образом получим:

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Упростить выражение: , где

Решение:

При выполнении преобразования данного выражения воспользуемся формулой синуса двойного аргумента, а также тождествами, позволяющими выразить и. В результате получим:

.

Ответ: 2.

2. Упростите выражение: .

Решение:

Воспользуемся формулой преобразования косинуса суммы аргументов, а затем тождествами:

Ответ: .

3. Найдите значение выражения:

Решение:

С одной стороны, можно попытаться воспользоваться тождеством: . Но в этом случае мы получим в качестве значения выражения: , значение которого вычислять не очень удобно. Поэтому мы будем действовать другим способом: сначала вычислим значение , а затем – значение косинуса в найденной точке.

Для вычисления воспользуемся выражением косинуса через котангенс половинного аргумента: . Используя этот результат, получим:

Теперь найдем , Ответ:

Арксинус, арккосинус, арктангенс. Значение числовых выражений.. Тест

Вопрос 1. На какой единичной окружности отмечены точки, для которых соответствующее значение х удовлетворяет равенству






A. 3
B. 4
C. 2
D. 1
E. 5

Вопрос 2. На какой единичной окружности отмечены точки, для которых соответствующее значение х удовлетворяет равенству






A. 3
B. 2
C. 4
D. 5
E. 1

Вопрос 3. На какой единичной окружности отмечены точки, для которых соответствующее значение х удовлетворяет равенству






A. 5
B. 6
C. 4
D. 3
E. 1

Вопрос 4. На какой единичной окружности отмечены точки, для которых соответствующее значение х удовлетворяет равенству






A. 4
B. 2
C. 6
D. 3
E. 5

Вопрос 5. На какой единичной окружности отмечены точки, для которых соответствующее значение х удовлетворяет равенству






A. 6
B. 1
C. 4
D. 3
E. 2

Вопрос 6. Имеет ли смысл выражение



A. нет
B. да

Вопрос 7. Имеет ли смысл выражение



A. нет
B. да

Вопрос 8. Имеет ли смысл выражение



A. нет
B. да

Вопрос 9. Имеет ли смысл выражение



A. да
B. нет

Вопрос 10. Вычислите





A.
B.
C.
D.

Вопрос 11. Вычислите





A.
B.
C.
D.

Вопрос 12. Вычислите





A.
B.
C.
D.

Вопрос 13. Вычислите





A. -450
B. -1350
C. 3150
D. 450

Вопрос 14. Вычислите





A. 0
B. -1800
C. 900
D. 1

Вопрос 15. Вычислите





A. 1200
B. -1200
C. 2400
D. -600

Вопрос 16. Вычислите





A.
B.
C.
D.

Вопрос 17. Вычислите





A.
B.
C.
D.

Вопрос 18. Вычислите





A.
B.
C.
D.

Вопрос 19. Вычислите





A.
B.
C.
D.

Вопрос 20. Вычислите





A.
B.
C.
D.

Вопрос 21. Вычислите





A.
B.
C.
D.

Вопрос 22. Найдите х, принадлежащий указанному промежутку






A. 2400
B. -600
C. 600
D. -1200
E. 1200

Вопрос 23. Найдите х, принадлежащий указанному промежутку






A. 2400
B. 600
C. -3000
D. 1200
E. -600

Вопрос 24. Найдите х, принадлежащий указанному промежутку





A.
B.
C.
D.

Вопрос 25. Найдите х, принадлежащий указанному промежутку





A.
B.
C.
D.



Калькулятор обратного косинуса

— Расчет arccos (x)

Найдите угол в градусах или радианах, используя обратный косинус с помощью калькулятора arccos ниже.

Как найти Arccos

Arccos — это тригонометрическая функция для вычисления обратного косинуса. Arccos также можно выразить как cos -1 (x).

Arccos используется для отмены или отмены функции косинуса. Если вы знаете косинус угла, вы можете использовать arccos для вычисления угла.

Поскольку arccos — это функция, обратная косинусу, а многие углы имеют одно и то же значение косинуса, arccos является периодической функцией. Каждое значение arccos может привести к нескольким значениям угла. Первичный результат для arccos известен как главное значение и представляет собой угол в диапазоне от 0 ° до 180 °.

Для вычисления arccos используйте научный калькулятор и функцию acos или просто воспользуйтесь калькулятором выше. В большинстве научных калькуляторов для вычисления cos требуется значение угла в радианах.

Формула обратного косинуса

Формула обратного косинуса:

y = cos (x) | х = arccos (у)

Таким образом, если y равно косинусу x , то x равно arccos y .

График обратного косинуса

Если вы построите график функции arccos для каждого возможного значения косинуса, он образует кривую от (-1, π) до (1, 0).

Поскольку значение косинуса всегда находится в диапазоне от -1 до 1, кривая обратного косинуса начинается с x = -1 и заканчивается в x = 1.Поскольку пик косинусоидальной волны находится в 0 радиан, а угол наклона волны равен π радиан, значение y заканчивается в этих точках.

Таблица обратных косинусов

В таблице ниже показаны общие значения косинуса и arccos или угла для каждого из них.

Таблица, показывающая общие значения косинуса и значения обратного косинуса для каждого в градусах и радианах
Косинус Угол (градусы) Угол (радианы)
-1 180 ° π
–√6 + √24 165 ° 11π12
–√32 150 ° 5π6
–√22 135 ° 3π4
–12 120 ° 2π3
–√6 — √24 105 ° 7π12
0 90 ° π2
√6 — √24 75 ° 5π12
12 60 ° π3
√22 45 ° π4
√32 30 ° π6
√6 + √24 15 ° π12
1 0 ° 0

Возможно, вас заинтересуют наши калькуляторы обратного синуса и арктангенса.

математических слов: обратный косинус

обратный
Косинус
cos -1
Cos -1
arccos
Arccos

функция, обратная косинусу.

Основная идея : Найти cos -1 (½),
мы спрашиваем «что
угол имеет косинус, равный ½? »
ответ 60 °. В результате мы говорим cos -1 (½)
= 60 °.В радианах это cos -1 (½).
= π / 3.

Подробнее : На самом деле существует много углов, у которых косинус равен ½.
Мы действительно спрашиваем, «какой самый простой, самый основной угол, который
косинус равен ½? »Как и прежде,
ответ 60 °. Таким образом, cos -1 (½)
= 60 ° или cos -1 (½) = π / 3.

Подробности : Что такое cos -1 (–½)?
Мы выбираем 120 °, –120 °, 240 °,
или под другим углом?
Ответ — 120 °.Обратным косинусом выбираем угол в верхней половине блока.
круг. Таким образом, cos -1 (–½)
= 120 ° или
cos -1 (–½) = 2π / 3.

В
другими словами, диапазон cos -1 равен
ограничивается [0, 180 °] или [0, π].

Примечание: arccos означает «арккосинус»,
или радианная мера дуги на окружности, соответствующая
заданное значение косинуса.

Техническое примечание : Поскольку ни одна из шести триггерных функций не синусоида,
косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс взаимно однозначны,
их инверсии не являются функциями.Каждая триггерная функция может иметь свой
домен ограничен, однако, чтобы сделать его инверсию функцией.
Некоторые математики пишут эти ограниченные триггерные функции и их
переворачивается с заглавной буквы (например, Cos или Cos -1 ).
Однако большинство математиков не следуют этой практике. Этот
веб-сайт не делает различий между заглавными и не заглавными буквами
триггерные функции.

См.
также

обратный
тригонометрия, обратная
триггерные функции, интервальное обозначение

Калькулятор Arccos.Поиск обратного косинуса

Добро пожаловать в калькулятор arccos, также известный как калькулятор обратного косинуса. Благодаря нашему инструменту вы можете быстро найти arccos — что, как ни удивительно, является основным применением этого калькулятора. Однако для тех из вас, кто хочет узнать больше, мы подготовили небольшую статью, объясняющую , что такое обратный косинус , сопровождаемую таблицей и графиком обратного косинуса . Кроме того, если вы немного неохотно или запутались, перейдите к разделу, посвященному приложениям arccos , чтобы узнать, что общего у обратного косинуса с физикой, химией или даже с эргономикой строительства и работы!

Что является обратным косинусу (arccos)?

Arccos — это функция, обратная тригонометрической функции, а именно обратная функция косинуса.Однако, поскольку тригонометрические функции являются периодическими, в строгом смысле, они не могут быть инвертированы . Мы можем решить эту проблему, выбрав интервал, в котором основная функция является монотонной. Вы можете выбрать много разных диапазонов, но для косинуса обычно выбирают [0, π] . Этот диапазон называется набором основных значений .

Аббревиатура Определение Домен arccos x
для реального результата
Диапазон обычных
основных значений
arccos (x)
cos -1 x,
acos
х = соз (у) -1 ≤ х ≤ 1 0 ≤ y ≤ π
0 ° ≤ y ≤ 180 °

Arccos (x) является наиболее часто используемым обозначением, поскольку cos -1 x может вводить в заблуждение — помните, что обратный косинус — это не то же самое, что обратная величина функции (другими словами, возведение в степень — 1):

cos -1 x ≠ 1 / cos (x)

График обратного косинуса

Функция f имеет обратную функцию тогда и только тогда, когда f является взаимно однозначной функцией.Вся функция косинуса не является взаимно однозначной, поскольку

cos (x) = cos (x + 2πn) , для каждого целого числа n

Что же тогда делать?

Как указано в предыдущем абзаце, нам нужно ограничить область определения базовой периодической косинусной функции. Таким образом, поскольку косинус всегда находится в диапазоне [-1,1], и мы выбираем область, [0, π], свойства функции обратного косинуса будут обратными:

  • Область обратного косинуса x для реального результата: [-1,1]

  • Диапазон обратного косинуса обычного главного значения: [0, π]

В таблице ниже вы найдете график обратного косинуса, а также некоторые часто используемые значения arccos:

х arccos (x) График
° рад
-1 180 ° π
-√3 / 2 150 ° 5π / 6
-√2 / 2 135 ° 3π / 4
-1/2 120 ° 2π / 3
0 90 ° π / 2
1/2 60 ° π / 3
√2 / 2 45 ° π / 4
√3 / 2 30 ° π / 6
1 0 ° 0

Хотите знать, откуда взялся этот график обратного косинуса? Он просто создается путем отражения графика cos x через линию y = x (не забывайте о наших доменных ограничениях!):

Обратный косинус — почему меня это должно волновать? Некоторые малоизвестные приложения arccos

Вы можете подумать, что arccos — еще один бесполезный термин из тригонометрии, но мы хотим убедить вас, что это не так! Функция обратного косинуса действительно полезна для решения многих научных и реальных задач (круто, не правда ли?):

I Наука

Математика:

  • 📐 Решаем треугольник по закону косинусов.Если вы знаете три стороны треугольника и хотите найти любой из углов треугольника, вам нужно использовать arccos.

Физика:

Химия:

  • 🧪 Arccos полезен для оценки оптимальных валентных углов многоатомных молекул, таких как, например, H 2 O или CH 4

II Примеры из жизни

  • 🏠 Расчет угла наклона крыши или угла наклона лестницы (хотя, в зависимости от того, какие размеры указаны, могут также пригодиться калькуляторы обратной синусоиды или арктангенса)
  • Проектирование пандуса для инвалидов или детских колясок.Обратный косинус будет чрезвычайно полезен, если вы знаете длину пандуса и доступное расстояние по горизонтали.
  • 🖥️ Даже выбирая эргономичное положение на работе ! Если вы хотите правильно настроить свою рабочую станцию, вам необходимо знать оптимальную высоту стола или высоту стоячего стола, но, что касается расположения монитора, с помощью этого калькулятора arccos гораздо проще определить угол наклона или угол обзора.

Теперь вы уверены? Не ждите больше, воспользуйтесь нашим калькулятором обратного косинуса, чтобы решить (почти все) ваши проблемы!

Функция обратного косинуса — концепция

Поскольку косинус не является взаимно однозначной функцией, диапазон должен быть ограничен значением от 0 до пи, что называется ограниченной косинусной функцией.-1 (x) или arccos (x). Обратные функции меняют местами значения x и y, поэтому диапазон обратного косинуса составляет от 0 до пи, а домен — от -1 до 1. При оценке проблем используйте тождества или начинайте с внутренней функции.

Я хочу поговорить об обратной косинусной функции. Мы начинаем с функции y, равной косинусу x. У меня есть график, и вы можете видеть, что y равно косинусу. X — это не функция 1 к 1, и мы можем найти только функции, обратные 1 к 1.Таким образом, мы должны ограничить область определения функции косинуса, и соглашение заключается в том, чтобы ограничить ее этим интервалом от 0 до пи, поэтому позвольте мне нарисовать ограниченную функцию косинуса. Просто эта часть косинусного графика до числа пи и до нуля включительно. Итак, y равен косинусу x для x между 0 и пи, это ограниченная функция косинуса, от 1 до 1, и поэтому мы можем инвертировать его.
И мы называем это обратным y, равным обратному косинусу x, как это читается, этот верхний индекс отрицательный 1 не является показателем, это означает обратный косинус, и эта функция также называется y, равным арккосинусу x.Теперь я хочу изобразить наш косинус или обратный косинус, поэтому я начну с ключевых точек кривой косинуса. У меня 0, 1 пи больше 2, 0 и пи отрицательное 1, это эти 3 ключевые точки, и помните, когда вы строите график обратной функции, вы просто меняете координаты x и y, так что точка 0, 1 становится 1, 0 точка пи больше 2, 0 становится 0 пи больше 2, а точка пи, отрицательная 1, становится отрицательной 1 пи, и это будет где-то здесь. Позвольте мне соединить их, сохраняя при этом, что график функции и обратная ей функция должны быть симметричными относительно линии y = x, так что это довольно хороший график.
Теперь очень важна область значений, я отмечу здесь отрицательную единицу, область значений функции обратного косинуса находится между отрицательными 1 и 1, что очень важно. И подумайте о том, что функция косинуса может выводить числа только между отрицательными 1 и 1, поэтому имеет смысл, что область определения функции обратного косинуса — это этот интервал, а диапазон будет между 0 и пи, потому что это была область ограниченной функция косинуса и все. Это график области обратного косинуса между отрицательными 1 и 1, диапазон от 0 до пи, и он имеет эти 3 ключевые точки.

тригонометрия — Как найти обратный косинус без калькулятора

Первый шаг — остановиться и подумать о самой проблеме. Что такое косинус? Если вы помните, формула для косинуса (помните SOHCAHTOA?) Смежна по гипотенузе. Итак, в вашем примере $ \ frac {1} {3} $ $ 1 $ представляет длину соседней стороны, а $ 3 $ представляет гипотенузу.

Другими словами, гипотенуза будет в 3 раза длиннее, чем прилегающая сторона.{-1} (x) $: $ \ sqrt {7 (1000-1000x)} — \ frac {1} {2} $

.

Выглядит плохо, но с практикой можно сделать мысленно. Используя ваш пример $ \ frac {1} {3} $, давайте проделаем этот шаг за раз.

Это лучше работает с десятичными знаками, поэтому мы переключимся с $ \ frac {1} {3} $ на $ 0. \ Overline {3} $.

Шаг 1: $ 1000 \ times0. \ Overline {3} = 333. \ Overline {3} $, которое мы округлим до 333 $.

Шаг 2: 1000-333 $ = 667 $. Вычесть из 1000 очень просто. Если вы еще не знакомы с мысленным методом для этого, это видео быстро освежит вас в памяти.{\ circ} $.


Благодаря опыту я нашел способ улучшить приведенную выше оценку Рональда Дёрфлера.

Перед шагом 1 запишите десятую цифру исходного $ x $. При $ 0. \ Overline {3} $ десятая цифра, очевидно, равна $ 3 $.

Если эта цифра меньше 6 (для значений от 6 до 9 регулировка не требуется), вы собираетесь прибавить 6 долларов за вычетом этой цифры к количеству градусов в качестве последнего шага.

Поскольку исходная цифра десятых долей в данном случае составляла 3 доллара, мы добавим 6–3 доллара = еще 3 доллара.{\ circ} $ совсем близко!

Тригонометрическая функция arccos () — обратный косинус — определение математического слова

Тригонометрическая функция arccos () — обратный косинус — определение математического слова — Math Open Reference

Функция arccos является обратной функцией косинуса.

Возвращает угол, косинус которого является заданным числом.

Попробуй это
Перетащите любой
вершине треугольника и посмотрите, как вычисляется угол C с помощью функции arccos ().

Для каждой тригонометрической функции существует обратная функция, которая работает в обратном порядке.Эти обратные функции имеют то же имя, но с дугой впереди.
(На некоторых калькуляторах кнопка arccos может быть обозначена как acos, а иногда и
cos -1 .)
Итак, косинус, обратный cos, равен arccos и т. Д. Когда мы видим «arccos x», мы понимаем его как «угол, косинус которого равен x».

cos30 = 0,866 Означает: косинус 30 градусов равен 0,866
arccos 0,866 = 30 Означает: угол, косинус которого равен 0,866, равен 30 градусам.

Используйте arccos, если вы знаете косинус угла и хотите узнать фактический угол.
См. Также Обратные функции — тригонометрия

Пример — использование arccos для нахождения угла

На рисунке выше нажмите «Сброс».
Нам известны длины сторон, но нам нужно найти величину угла C.

Мы знаем, что

поэтому нам нужно знать угол, косинус которого равен 0,866, или формально:

С помощью калькулятора находим arccos 0.866 равным 30 °.

Большие и отрицательные углы

Напомним, что мы можем применить
триггерные функции на любой угол, включая большие и отрицательные углы.Но когда мы
Рассмотрим обратную функцию, мы столкнемся с проблемой, потому что существует бесконечное количество углов, которые имеют один и тот же косинус.
Например, 45 ° и 360 + 45 ° будут иметь одинаковый косинус. Подробнее об этом см.
Обратные тригонометрические функции.

Чтобы решить эту проблему,
диапазон
обратных триггерных функций ограничены
таким образом, чтобы обратные функции были взаимно однозначными, то есть для каждого входного значения был только один результат.

Диапазон и область действия arccos

Напомним, что область определения функции — это набор допустимых входных данных для нее.Диапазон — это набор возможных выходов.

Для y = arccos x:

По соглашению диапазон arccos ограничен от 0 до + 180 °.
Итак, если вы используете калькулятор для решения, скажем, arccos 0,55, из бесконечного числа возможностей он вернет 56,63 °,
тот, который находится в диапазоне функции.

Что попробовать

  1. На рисунке выше нажмите «сбросить» и «скрыть детали».
  2. Отрегулируйте треугольник до нового размера
  3. Используя функцию arccos, вычислите значение угла C из длин сторон
  4. Щелкните «Показать подробности», чтобы проверить ответ.

Другие темы по тригонометрии

Уголки

Тригонометрические функции

Решение задач тригонометрии

Исчисление

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.

Все права защищены.

6.3 Обратные тригонометрические функции — предварительное вычисление

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Понимание и использование функций обратного синуса, косинуса и тангенса.
  • Найдите точное значение выражений, содержащих функции обратного синуса, косинуса и тангенса.
  • Используйте калькулятор для вычисления обратных тригонометрических функций.
  • Найдите точные значения составных функций с обратными тригонометрическими функциями.

Для любого прямоугольного треугольника, учитывая еще один угол и длину одной стороны, мы можем вычислить, каковы другие углы и стороны. Но что, если нам даны только две стороны прямоугольного треугольника? Нам нужна процедура, которая ведет нас от отношения сторон к углу.Здесь в игру вступает понятие обратной тригонометрической функции. В этом разделе мы исследуем обратные тригонометрические функции.

Понимание и использование функций обратного синуса, косинуса и тангенса

Чтобы использовать обратные тригонометрические функции, мы должны понимать, что обратная тригонометрическая функция «отменяет» то, что «делает» исходная тригонометрическая функция, как в случае с любая другая функция и ее обратная. Другими словами, область определения обратной функции — это диапазон исходной функции, и наоборот, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1

Например, если f (x) = sinx, f (x) = sinx, то мы должны написать f − 1 (x) = sin − 1x.f − 1 (x) = sin − 1x. Имейте в виду, что sin-1xsin-1x не означает 1sinx.1sinx. Следующие примеры иллюстрируют обратные тригонометрические функции:

  • Поскольку sin (π6) = 12, sin (π6) = 12, то π6 = sin − 1 (12) .π6 = sin − 1 (12).
  • Поскольку cos (π) = — 1, cos (π) = — 1, то π = cos − 1 (−1) .π = cos − 1 (−1).
  • Поскольку tan (π4) = 1, tan (π4) = 1, то π4 = tan − 1 (1) .π4 = tan − 1 (1).

В предыдущих разделах мы оценивали тригонометрические функции под разными углами, но иногда нам нужно знать, какой угол даст определенное значение синуса, косинуса или тангенса.Для этого нам потребуются обратные функции. Напомним, что для взаимно однозначной функции, если f (a) = b, f (a) = b, то обратная функция удовлетворяет условию f − 1 (b) = a.f − 1 (b) = a.

Имейте в виду, что функции синуса, косинуса и тангенса не взаимно однозначны. График каждой функции не прошел бы тест горизонтальной линии. Фактически, никакая периодическая функция не может быть взаимно однозначной, потому что каждый выход в ее диапазоне соответствует по крайней мере одному входу в каждом периоде, а количество периодов бесконечно. Как и в случае с другими функциями, которые не являются взаимно однозначными, нам нужно будет ограничить область определения каждой функции, чтобы получить новую функцию, которая является взаимно однозначной.Мы выбираем область для каждой функции, которая включает число 0. На рисунке 2 показан график синусоидальной функции, ограниченной [−π2, π2] [- π2, π2], и график косинусной функции, ограниченной [0, π] . [0, π].

Рис. 2 (a) Синусоидальная функция в ограниченной области [−π2, π2]; [- π2, π2]; (b) Косинусная функция в ограниченной области [0, π] [0, π]

На рисунке 3 показан график касательной функции, ограниченной (−π2, π2). (- π2, π2).

Рис. 3 Функция касания в ограниченной области (−π2, π2) (- π2, π2)

Эти обычные варианты выбора для ограниченной области в некоторой степени произвольны, но они имеют важные полезные характеристики.Каждый домен включает начало координат и некоторые положительные значения, и, что наиболее важно, каждый результат дает взаимно однозначную функцию, которая является обратимой. Традиционный выбор для ограниченной области касательной функции также имеет то полезное свойство, что он простирается от одной вертикальной асимптоты к другой вместо того, чтобы разделяться на две части асимптотой.

В этих ограниченных областях мы можем определить обратные тригонометрические функции.

  • Обратная функция синуса y = sin − 1xy = sin − 1x означает x = siny.х = синяя. Функция обратного синуса иногда называется функцией арксинуса и обозначается как arcsinx.arcsinx. y = sin − 1x имеет область [−1,1] и диапазон [−π2, π2] y = sin − 1x имеет область [−1,1] и диапазон [−π2, π2]
  • Функция обратного косинуса y = cos − 1xy = cos − 1x означает x = cosy.x = cosy. Функция обратного косинуса иногда называется функцией арккосинуса и обозначается как arccosx.arccosx. y = cos − 1x имеет область [−1,1] и диапазон [0, π] y = cos − 1x имеет область [−1,1] и диапазон [0, π]
  • Функция обратной тангенса y = tan − 1xy = tan − 1x означает x = tany.х = тани. Функция арктангенса иногда называется функцией арктангенса и обозначается как arctanx.arctanx. y = tan − 1x имеет область (−∞, ∞) и диапазон (−π2, π2) y = tan − 1x имеет область (−∞, ∞) и диапазон (−π2, π2)

Графики обратных функций показаны на рисунках 4, 5 и 6. Обратите внимание, что на выходе каждой из этих обратных функций получается число , — угол в радианах. Мы видим, что sin − 1xsin − 1x имеет область определения [−1,1] [- 1,1] и диапазон [−π2, π2], [- π2, π2], cos − 1xcos − 1x имеет область определения [−1,1 ] [- 1,1] и диапазон [0, π], [0, π], а tan − 1xtan − 1x имеет область определения всех действительных чисел и диапазон (−π2, π2).(−π2, π2). Чтобы найти домен и диапазон обратных тригонометрических функций, переключите домен и диапазон исходных функций. Каждый график обратной тригонометрической функции является отражением графика исходной функции относительно прямой y = x.y = x.

Рисунок 4 Функция синуса и функция обратного синуса (или арксинуса)

Рисунок 5 Функция косинуса и функция обратного косинуса (или арккосинуса)

Рисунок 6 Функция тангенса и функция арктангенса (или арктангенса)

Соотношения для функций обратного синуса, косинуса и тангенса

Для углов в интервале [−π2, π2], [- π2, π2], если siny = x, siny = x, то sin − 1x = y.грех-1x = у.

Для углов в интервале [0, π], [0, π], если cosy = x, cosy = x, то cos − 1x = y.cos − 1x = y.

Для углов в интервале (−π2, π2), (- π2, π2), если tany = x, tany = x, то tan − 1x = y.tan − 1x = y.

Пример 1

Запись отношения для обратной функции

Учитывая sin (5π12) ≈0.96593, sin (5π12) ≈0.96593, запишите соотношение, включающее обратный синус.

Решение

Используйте соотношение для обратного синуса.Если siny = x, siny = x, то sin − 1x = ysin − 1x = y.

В этой задаче x = 0,96593, x = 0,96593 и y = 5π12.y = 5π12.

sin − 1 (0,96593) ≈ 5π12 sin − 1 (0,96593) ≈5π12

Попробуй # 1

Для заданного cos (0,5) ≈0,8776, cos (0,5) ≈0,8776 запишите соотношение, включающее обратный косинус.

Нахождение точного значения выражений, содержащих функции обратного синуса, косинуса и тангенса

Теперь, когда мы можем идентифицировать обратные функции, мы научимся их оценивать.Для большинства значений в их областях мы должны оценивать обратные тригонометрические функции с помощью калькулятора, интерполяции из таблицы или других численных методов. Так же, как мы делали с исходными тригонометрическими функциями, мы можем дать точные значения для обратных функций, когда мы используем специальные углы, а именно π6π6 (30 °), π4π4 (45 °) и π3π3 (60 °), а также их отражения. в другие квадранты.

Как это сделать

Учитывая «особое» входное значение, вычислите обратную тригонометрическую функцию.

  1. Найдите угол xx, для которого исходная тригонометрическая функция имеет выход, равный заданному входу для обратной тригонометрической функции.
  2. Если xx не находится в заданном диапазоне обратной функции, найдите другой угол yy, который находится в заданном диапазоне и имеет тот же синус, косинус или тангенс, что и x, x, в зависимости от того, что соответствует данной обратной функции.

Пример 2

Вычисление обратных тригонометрических функций для специальных входных значений

Оцените каждое из следующих действий.

  1. ⓐ sin − 1 (12) sin − 1 (12)
  2. ⓑ грех-1 (-22) грех-1 (-22)
  3. ⓒ cos − 1 (−32) cos − 1 (−32)
  4. ⓓ tan − 1 (1) tan − 1 (1)
Решение
  1. ⓐ Вычисление sin − 1 (12) sin − 1 (12) аналогично определению угла, который имел бы значение синуса 12,12. Другими словами, какой угол xx удовлетворяет условию sin (x) = 12? Sin (x) = 12? Есть несколько значений, которые удовлетворяют этому соотношению, например π6π6 и 5π6,5π6, но мы знаем, что нам нужен угол в интервале [−π2, π2], [- π2, π2], поэтому ответ будет sin − 1. (12) = π6.sin − 1 (12) = π6. Помните, что обратное — это функция, поэтому для каждого ввода мы получим ровно один вывод.
  2. ⓑ Чтобы оценить sin − 1 (−22), sin − 1 (−22), мы знаем, что 5π45π4 и 7π47π4 оба имеют значение синуса −22, −22, но ни один из них не находится в интервале [−π2, π2] . [- π2, π2]. Для этого нам понадобится отрицательный угол, котерминал с 7π4: 7π4: sin − 1 (−22) = — π4.sin − 1 (−22) = — π4.
  3. ⓒЧтобы оценить cos − 1 (−32), cos − 1 (−32), мы ищем угол в интервале [0, π] [0, π] со значением косинуса −32. − 32.Угол, которому это удовлетворяет, равен cos − 1 (−32) = 5π6.cos − 1 (−32) = 5π6.
  4. ⓓ Вычисляя tan − 1 (1), tan − 1 (1), мы ищем угол в интервале (−π2, π2) (- π2, π2) со значением тангенса 1. Правильный угол — tan. −1 (1) = π4.tan − 1 (1) = π4.

Попробуй # 2

Оцените каждое из следующих действий.

  1. ⓐ sin − 1 (−1) sin − 1 (−1)
  2. ⓑ tan − 1 (−1) tan − 1 (−1)
  3. ⓒ cos − 1 (−1) cos − 1 (−1)
  4. ⓓ cos − 1 (12) cos − 1 (12)

Использование калькулятора для вычисления обратных тригонометрических функций

Чтобы оценить обратные тригонометрические функции, которые не используют специальные углы, обсуждавшиеся ранее, нам понадобится калькулятор или другой тип технологии.Большинство научных калькуляторов и приложений-эмуляторов калькуляторов имеют специальные клавиши или кнопки для функций обратного синуса, косинуса и тангенса. Они могут быть помечены, например, как SIN .
−1−1, ARCSIN или ASIN .

В предыдущей главе мы работали с тригонометрией на прямоугольном треугольнике, чтобы найти стороны треугольника с учетом одной стороны и дополнительного угла. Используя обратные тригонометрические функции, мы можем найти углы прямоугольного треугольника с двумя сторонами, и мы можем использовать калькулятор, чтобы найти значения с точностью до нескольких десятичных знаков.

В этих примерах и упражнениях ответы будут интерпретироваться как углы, и мы будем использовать θθ в качестве независимой переменной. Значение, отображаемое на калькуляторе, может быть в градусах или радианах, поэтому обязательно установите режим, соответствующий приложению.

Пример 3

Вычисление обратного синуса на калькуляторе

Вычислите sin − 1 (0,97) sin − 1 (0,97) с помощью калькулятора.

Решение

Поскольку выходом обратной функции является угол, калькулятор выдаст нам значение в градусах, если оно находится в режиме градусов, и значение в радианах, если в режиме радиан.Калькуляторы также используют те же доменные ограничения на углы, что и мы.

В режиме радиан sin − 1 (0,97) ≈1,3252. Sin − 1 (0,97) ≈1,3252. В градусном режиме sin − 1 (0,97) ≈75,93 °. Sin − 1 (0,97) ≈75,93 °. Обратите внимание, что в исчислении и за его пределами мы будем использовать радианы почти во всех случаях.

Попробуй # 3

Вычислите cos − 1 (−0,4) cos − 1 (−0,4) с помощью калькулятора.

Как к

Дайте две стороны прямоугольного треугольника, подобного изображенному на рисунке 7, найдите угол.

Рисунок 7

  1. Если одна заданная сторона представляет собой гипотенузу длины hh, а задана сторона длиной aa, примыкающая к желаемому углу, используйте уравнение θ = cos − 1 (ah) .θ = cos − 1 (ah).
  2. Если одна заданная сторона представляет собой гипотенузу длины hh, а задана сторона длиной pp, противоположная желаемому углу, используйте уравнение θ = sin − 1 (ph) .θ = sin − 1 (ph).
  3. Если даны две ветви (стороны, смежные с прямым углом), используйте уравнение θ = tan − 1 (pa).θ = tan − 1 (pa).

Пример 4

Применение обратного косинуса к прямоугольному треугольнику

Решите треугольник на рисунке 8 относительно угла θ.θ.

Рисунок 8

Решение

Поскольку мы знаем гипотенузу и сторону, примыкающую к углу, для нас имеет смысл использовать функцию косинуса.

cosθ = 912θ = cos − 1 (912) Применить определение обратного. θ≈0,7227 или около 41,4096 ° Evaluate.cosθ = 912θ = cos − 1 (912) Применить определение обратного.θ≈0,7227 или около 41,4096 ° Оценить.

Попробуй # 4

Решите треугольник на рисунке 9 относительно угла θ.θ.

Рисунок 9

Нахождение точных значений составных функций с обратными тригонометрическими функциями

Бывают случаи, когда нам нужно составить тригонометрическую функцию с обратной тригонометрической функцией. В этих случаях мы обычно можем найти точные значения для результирующих выражений, не прибегая к калькулятору. Даже если входом в составную функцию является переменная или выражение, мы часто можем найти выражение для выхода.Чтобы помочь разобраться в разных случаях, пусть f (x) f (x) и g (x) g (x) — две разные тригонометрические функции, принадлежащие множеству {sin (x), cos (x), tan (x)} {sin (x), cos (x), tan (x)}, и пусть f − 1 (y) f − 1 (y) и g − 1 (y) g − 1 (y) — обратные им.

Оценка составов формы

f ( f −1 ( y )) и f −1 ( f ( x ))

Для любой тригонометрической функции f ( f − 1 (y)) = yf (f − 1 (y)) = y для всех yy в соответствующей области для данной функции.Это следует из определения обратного и из того факта, что диапазон ff был определен как идентичный области f − 1.f − 1. Однако мы должны быть немного осторожнее с выражениями вида f − 1 (f (x)). F − 1 (f (x)).

Составы тригонометрической функции и ее обратной

sin (sin − 1x) = xдля − 1≤x≤1 cos (cos − 1x) = xfor − 1≤x≤1tan (tan − 1x) = xfor − ∞ Вопросы и ответы

Верно ли, что sin − 1 (sinx) = x? Sin − 1 (sinx) = x?

№Это уравнение верно, если xx принадлежит ограниченной области [−π2, π2], [- π2, π2], но синус определен для всех реальных входных значений, а для xx вне ограниченного интервала уравнение неверно, потому что его inverse всегда возвращает значение в [−π2, π2]. [- π2, π2]. Ситуация аналогична для косинуса, тангенса и их обратных значений. Например, sin − 1 (sin (3π4)) = π4.sin − 1 (sin (3π4)) = π4.

Как к

Для данного выражения вида f −1 (f (θ)), где f (θ) = sinθ, cosθ или tanθ, f (θ) = sinθ, cosθ или tanθ, вычислить.

  1. Если θθ находится в ограниченной области f, то f − 1 (f (θ)) = θ.f, тогда f − 1 (f (θ)) = θ.
  2. Если нет, то найдите угол ϕϕ в ограниченной области ff такой, что f (ϕ) = f (θ) .f (ϕ) = f (θ). Тогда f − 1 (f (θ)) = ϕ.f − 1 (f (θ)) = ϕ.

Пример 5

Использование обратных тригонометрических функций

Оцените следующее:

  1. ⓐ sin − 1 (sin (π3)) sin − 1 (sin (π3))
  2. ⓑ sin − 1 (sin (2π3)) sin − 1 (sin (2π3))
  3. ⓒ cos − 1 (cos (2π3)) cos − 1 (cos (2π3))
  4. ⓓ cos − 1 (cos (−π3)) cos − 1 (cos (−π3))
Решение
  1. ⓐ π3 находится в [−π2, π2], π3 находится в [−π2, π2], поэтому sin − 1 (sin (π3)) = π3.грех-1 (грех (π3)) = π3.
  2. ⓑ 2π3 не входит в [−π2, π2], 2π3 не входит в [−π2, π2], но sin (2π3) = sin (π3), sin (2π3) = sin (π3), поэтому sin − 1 ( sin (2π3)) = π3.sin − 1 (sin (2π3)) = π3.
  3. ⓒ 2π3 находится в [0, π], 2π3 находится в [0, π], поэтому cos − 1 (cos (2π3)) = 2π3.cos − 1 (cos (2π3)) = 2π3.
  4. ⓓ −π3 не находится в [0, π], — π3 не входит в [0, π], но cos (−π3) = cos (π3) cos (−π3) = cos (π3), потому что косинус является четным функция.
    π3 находится в [0, π], π3 находится в [0, π], поэтому cos − 1 (cos (−π3)) = π3.cos − 1 (cos (−π3)) = π3.

Попробуй # 5

Вычислить tan − 1 (tan (π8)) и tan − 1 (tan (11π9)).tan − 1 (tan (π8)) и tan − 1 (tan (11π9)).

Вычисление составов формы

f −1 ( g ( x ))

Теперь, когда мы можем составить тригонометрическую функцию с ее обратной величиной, мы можем изучить, как оценить композицию тригонометрической функции и инверсия другой тригонометрической функции. Начнем с композиций вида f − 1 (g (x)). F − 1 (g (x)). Для специальных значений x, x мы можем точно оценить внутреннюю функцию, а затем внешнюю обратную функцию.Однако мы можем найти более общий подход, рассмотрев соотношение между двумя острыми углами прямоугольного треугольника, где один из них равен θ, θ, что делает другой π2 − θ.π2 − θ. Рассмотрим синус и косинус каждого угла прямоугольного треугольника на рисунке 10.

Рисунок 10 Правый треугольник, иллюстрирующий взаимосвязь функций

Поскольку cosθ = bc = sin (π2 − θ), cosθ = bc = sin (π2 − θ), имеем sin − 1 (cosθ) = π2 − θsin − 1 (cosθ) = π2 − θ, если 0≤θ≤ π.0≤θ≤π. Если θθ не находится в этой области, то нам нужно найти другой угол, который имеет тот же косинус, что и θθ, и принадлежит ограниченной области; затем вычитаем этот угол из π2.π2. Аналогично sinθ = ac = cos (π2 − θ), sinθ = ac = cos (π2 − θ), поэтому cos − 1 (sinθ) = π2 − θcos − 1 (sinθ) = π2 − θ, если −π2≤θ≤ π2. − π2≤θ≤π2. Это просто отношения функций и функций, представленные по-другому.

Как это сделать

Даны функции вида sin − 1 (cosx) sin − 1 (cosx) и cos − 1 (sinx), cos − 1 (sinx), вычислите их.

  1. Если x находится в [0, π], x находится в [0, π], то sin − 1 (cosx) = π2 − x.sin − 1 (cosx) = π2 − x.
  2. Если x не находится в [0, π], x не находится в [0, π], тогда найдите другой угол y в [0, π] y в [0, π] такой, что cosy = cosx.уютный = cosx. sin − 1 (cosx) = π2 − ysin − 1 (cosx) = π2 − y
  3. Если x находится в [−π2, π2], x находится в [−π2, π2], то cos − 1 (sinx) = π2 − x.cos − 1 (sinx) = π2 − x.
  4. Если x не принадлежит [−π2, π2], x не принадлежит [−π2, π2], то найдите другой угол y в [−π2, π2] y в [−π2, π2] такой, что siny = sinx. siny = sinx. cos − 1 (sinx) = π2 − ycos − 1 (sinx) = π2 − y

Пример 6

Вычисление состава обратного синуса с косинусом

Вычислить sin − 1 (cos (13π6)) sin − 1 (cos (13π6))

  1. ⓐпо прямой оценке.
  2. ⓑ способом, описанным ранее.
Решение
  1. ⓐ Здесь мы можем непосредственно оценить внутреннюю часть композиции.
    cos (13π6) = cos (π6 + 2π) = cos (π6) = 32cos (13π6) = cos (π6 + 2π) = cos (π6) = 32

    Теперь мы можем вычислить обратную функцию, как делали ранее.

    sin − 1 (32) = π3sin − 1 (32) = π3

  2. ⓑ Имеем x = 13π6, y = π6, x = 13π6, y = π6 и
    sin − 1 (cos (13π6)) = π2 − π6 = π3 sin − 1 (cos (13π6)) = π2 − π6 = π3

Попробуй # 6

Вычислить cos − 1 (sin (−11π4)).cos − 1 (sin (−11π4)).

Оценка композиций формы

f ( g −1 ( x ))

Для оценки композиций формы f (g − 1 (x)), f (g − 1 (x)) , где ff и gg — любые две из функций синуса, косинуса или тангенса, а xx — любой вход в области определения g − 1, g − 1, у нас есть точные формулы, такие как sin (cos − 1x) = 1− x2.sin (cos − 1x) = 1 − x2. Когда нам нужно их использовать, мы можем вывести эти формулы, используя тригонометрические отношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника вместе с использованием отношения Пифагора между длинами сторон.Мы можем использовать тождество Пифагора, sin2x + cos2x = 1, sin2x + cos2x = 1, чтобы найти одно при задании другого. Мы также можем использовать обратные тригонометрические функции для поиска композиций, включающих алгебраические выражения.

Пример 7

Вычисление состава синуса с обратным косинусом

Найдите точное значение sin (cos − 1 (45)). Sin (cos − 1 (45)).

Решение

Начиная с внутренней стороны, мы можем сказать, что существует некоторый угол, такой что θ = cos − 1 (45), θ = cos − 1 (45), что означает cosθ = 45, cosθ = 45, и мы ищем sinθ.sinθ. Для этого мы можем использовать пифагорейскую идентичность.

sin2θ + cos2θ = 1 Используйте наше известное значение для косинуса. sin2θ + (45) 2 = 1 Решите для синуса. sin2θ = 1−1625sinθ = ± 925 = ± 35sin2θ + cos2θ = 1 Используйте наше известное значение для косинуса. sin2θ + (45) 2 = 1 Решите для sine.sin2θ = 1−1625sinθ = ± 925 = ± 35

Поскольку θ = cos − 1 (45) θ = cos − 1 (45) находится в квадранте I, sinθsinθ должен быть положительным, поэтому решение равно 35,35. См. Рисунок 11.

Рис. 11 Правый треугольник, иллюстрирующий, что если cosθ = 45, cosθ = 45, то sinθ = 35 sinθ = 35

Мы знаем, что обратный косинус всегда дает угол в интервале [0, π], [0, π], поэтому мы знаем, что что синус этого угла должен быть положительным; поэтому sin (cos − 1 (45)) = sinθ = 35.sin (cos − 1 (45)) = sinθ = 35.

Попробуй # 7

Вычислить cos (tan − 1 (512)). Cos (tan − 1 (512)).

Пример 8

Вычисление состава синуса с обратной касательной

Найдите точное значение sin (tan − 1 (74)). Sin (tan − 1 (74)).

Решение

Хотя мы можем использовать ту же технику, что и в примере 6, мы продемонстрируем здесь другую технику.Изнутри мы знаем, что существует такой угол, что tanθ = 74.tanθ = 74. Мы можем представить это как противоположные и смежные стороны прямоугольного треугольника, как показано на рисунке 12.

Рис. 12 Прямоугольный треугольник с двумя известными сторонами

Используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу этого треугольника.

42 + 72 = гипотенуза2гипотенуза = 65 42 + 72 = гипотенуза2гипотенуза = 65

Теперь мы можем вычислить синус угла как противоположную сторону, деленную на гипотенузу.

Это дает нам желаемую композицию.

sin (tan − 1 (74)) = sinθ = 765 = 76565 sin (tan − 1 (74)) = sinθ = 765 = 76565

Попробуй # 8

Вычислить cos (sin − 1 (79)). Cos (sin − 1 (79)).

Пример 9

Нахождение косинуса обратного синуса алгебраического выражения

Найдите упрощенное выражение для cos (sin − 1 (x3)) cos (sin − 1 (x3)) для −3≤x≤3.−3≤x≤3.

Решение

Мы знаем, что существует угол θθ такой, что sinθ = x3.sinθ = x3.

sin2θ + cos2θ = 1 Используйте теорему Пифагора. (x3) 2 + cos2θ = 1 Найдите косинус. cos2θ = 1 − x29cosθ = ± 9 − x29 = ± 9 − x23sin2θ + cos2θ = 1 Используйте теорему Пифагора. (x3) 2 + cos2θ = 1 Найдите косинус. Cos2θ = 1 − x29cosθ = ± 9 − x29 = ± 9 − x23

Поскольку мы знаем, что обратный синус должен давать угол в интервале [−π2, π2], [- π2, π2], мы можем сделать вывод, что косинус этого угла должен быть положительным.

cos (sin − 1 (x3)) = 9 − x23 cos (sin − 1 (x3)) = 9 − x23

Попробуй # 9

Найдите упрощенное выражение для sin (tan − 1 (4x)) sin (tan − 1 (4x)) для −14≤x≤14. − 14≤x≤14.

6.3 Упражнения по разделам

Устные

1.

Почему функции f (x) = sin − 1xf (x) = sin − 1x и g (x) = cos − 1xg (x) = cos − 1x имеют разные диапазоны?

2.

Поскольку функции y = cosxy = cosx и y = cos − 1xy = cos − 1x являются обратными функциями, почему cos − 1 (cos (−π6)) cos − 1 (cos (−π6)) не равен −π6? −π6?

3.

Объясните значение π6 = arcsin (0,5) .π6 = arcsin (0,5).

4.

У большинства калькуляторов нет ключа для вычисления sec − 1 (2) .sec − 1 (2). Объясните, как это можно сделать, используя функцию косинуса или функцию обратного косинуса.

5.

Почему область определения синусоидальной функции sinx, sinx должна быть ограничена [−π2, π2] [- π2, π2], чтобы существовала обратная синусоидальная функция?

6.

Обсудите, почему это утверждение неверно: arccos (cosx) = xarccos (cosx) = x для всех x.Икс.

7.

Определите, является ли следующее утверждение истинным или ложным, и объясните свой ответ: arccos (−x) = π − arccosx.arccos (−x) = π − arccosx.

Алгебраические

Для следующих упражнений оцените выражения.

9.

грех-1 (-12) грех-1 (-12)

11.

cos − 1 (−22) cos − 1 (−22)

13.

тангенс – 1 (–3) тангенс – 1 (–3)

14.

тангенс-1 (-1) тангенс-1 (-1)

16.

тангенс-1 (-13) тангенс-1 (-13)

В следующих упражнениях используйте калькулятор для вычисления каждого выражения. Экспресс ответы с точностью до сотых.

17.

cos − 1 (−0,4) cos − 1 (−0,4)

Для следующих упражнений найдите угол θθ в данном прямоугольном треугольнике. Округлите ответы до сотых.

22.

Для следующих упражнений найдите точное значение, если возможно, без калькулятора.Если это невозможно, объясните почему.

24.

sin − 1 (cos (π)) sin − 1 (cos (π))

25.

tan − 1 (sin (π)) tan − 1 (sin (π))

26.

cos − 1 (sin (π3)) cos − 1 (sin (π3))

27.

tan − 1 (sin (π3)) tan − 1 (sin (π3))

28.

sin − 1 (cos (−π2)) sin − 1 (cos (−π2))

29.

tan − 1 (sin (4π3)) tan − 1 (sin (4π3))

30.

sin − 1 (sin (5π6)) sin − 1 (sin (5π6))

31.

tan − 1 (sin (−5π2)) tan − 1 (sin (−5π2))

32.

cos (sin − 1 (45)) cos (sin − 1 (45))

33.

sin (cos − 1 (35)) sin (cos − 1 (35))

34.

sin (tan − 1 (43)) sin (tan − 1 (43))

35.

cos (tan − 1 (125)) cos (tan − 1 (125))

36.

cos (sin − 1 (12)) cos (sin − 1 (12))

Для следующих упражнений найдите точное значение выражения через xx
с помощью справочного треугольника.

37.

tan (sin − 1 (x − 1)) tan (sin − 1 (x − 1))

38.

sin (cos − 1 (1 − x)) sin (cos − 1 (1 − x))

39.

cos (sin − 1 (1x)) cos (sin − 1 (1x))

40.

cos (tan − 1 (3x − 1)) cos (tan − 1 (3x − 1))

41.

tan (sin − 1 (x + 12)) tan (sin − 1 (x + 12))

Расширения

Для следующих упражнений оцените выражение без использования калькулятора.Укажите точное значение.

42.

sin − 1 (12) −cos − 1 (22) + sin − 1 (32) −cos − 1 (1) cos − 1 (32) −sin − 1 (22) + cos − 1 (12) −sin −1 (0) sin − 1 (12) −cos − 1 (22) + sin − 1 (32) −cos − 1 (1) cos − 1 (32) −sin − 1 (22) + cos − 1 ( 12) −sin − 1 (0)

Для следующих упражнений найдите функцию if sint = xx + 1.sint = xx + 1.

46.

cos (sin − 1 (xx + 1)) cos (sin − 1 (xx + 1))

47.

загар − 1 (x2x + 1) загар − 1 (x2x + 1)

Графический

48.

График y = sin − 1xy = sin − 1x и укажите область определения и диапазон функции.

49.

График y = arccosxy = arccosx и укажите домен и диапазон функции.

50.

Изобразите один цикл y = tan − 1xy = tan − 1x и укажите домен и диапазон функции.

51.

Для какого значения xx sinx = sin − 1x? Sinx = sin − 1x? Используйте графический калькулятор, чтобы приблизиться к ответу.

52.

Для какого значения xx cosx = cos − 1x? Cosx = cos − 1x? Используйте графический калькулятор, чтобы приблизиться к ответу.

Реальные приложения

53.

Предположим, что к зданию прислонена 13-футовая лестница, достигающая дна окна второго этажа на высоте 12 футов над землей. Какой угол в радианах образует лестница со зданием?

54.

Предположим, вы проезжаете 0,6 мили по дороге, так что вертикальное расстояние изменяется от 0 до 150 футов. Какой угол подъема дороги?

55.

Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны длиной 9 дюймов.Оставшаяся сторона имеет длину 8 дюймов. Найдите угол между стороной 9 дюймов и стороной 8 дюймов.

56.

Без использования калькулятора приблизительно определите значение arctan (10,000) .arctan (10,000). Объясните, почему ваш ответ разумен.

57.

Ферма крыши дома состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. У каждого есть основание 12 футов и высота 4 фута. Найдите величину острого угла, примыкающего к 4-футовой стороне.

58.

Прямая y = 35xy = 35x проходит через начало координат на плоскости x , y . Каков угол между линией и положительной осью x ?

59.

Прямая y = −37xy = −37x ​​проходит через начало координат на плоскости x , y . Какова мера угла, который образует линия с отрицательной осью x ?

60.

Какой процентный уклон должен иметь дорога, если угол наклона дороги составляет 4 градуса? (Процентный уклон определяется как изменение высоты дороги на 100-футовом горизонтальном расстоянии.Например, уклон 5% означает, что дорога поднимается на 5 футов на каждые 100 футов горизонтального расстояния.)

61.

20-футовая лестница прислоняется к стене здания так, чтобы ее основание находилось на расстоянии 10 футов от основания здания. Если согласно спецификациям угол подъема лестницы должен составлять от 35 до 45 градусов, соответствует ли размещение этой лестницы требованиям безопасности?

62.

Предположим, что 15-футовая лестница прислонена к стене дома, так что угол подъема лестницы составляет 42 градуса.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.