Arccos y: Элементарная математика

Обратные тригонометрические функции и их графики

Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Сначала дадим определения.

Арксинусом числа а называется число , такое, что Или, можно сказать, что это такой угол , принадлежащий отрезку , синус которого равен числу а.

Арккосинусом числа а называется число , такое, что

Арктангенсом числа а называется число , такое, что

Арккотангенсом числа а называется число , такое, что

Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях — обратных тригонометрических.

Помните, мы уже встречались с обратными функциями.

Например, арифметический квадратный корень из числа а — такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Логарифм числа b по основанию a — такое число с, что

При этом

Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения — это и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.

Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: Решение этого уравнения — иррациональное число Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение

Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.

Угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен — это арксинус одной четвертой. И значит, серия решений нашего уравнения, соответствующая правой точке на тригонометрическом круге, — это

А вторая серия решений нашего уравнения — это

Подробнее о решении тригонометрических уравнений — здесь.

Осталось выяснить — зачем в определении арксинуса указывается, что это угол, принадлежащий отрезку ?

Дело в том, что углов, синус которых равен, например, , бесконечно много. Нам нужно выбрать какой-то один из них. Мы выбираем тот, который лежит на отрезке .

Взгляните на тригонометрический круг. Вы увидите, что на отрезке каждому углу соответствует определенное значение синуса, причем только одно. И наоборот, любому значению синуса из отрезка отвечает одно-единственное значение угла на отрезке . Это значит, что на отрезке можно задать функцию принимающую значения от до

Повторим определение еще раз:

Арксинусом числа a называется число , такое, что

Обозначение: Область определения арксинуса — отрезок Область значений — отрезок .

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забываем только, что не просто справа, но ещё и на отрезке .

Мы готовы построить график функции

Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у — по вертикальной.

Поскольку , следовательно, х лежит в пределах от -1 до 1.

Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок

Мы сказали, что у принадлежит отрезку . Это значит, что областью значений функции y = arcsin x является отрезок .

Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями и

Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.

По определению, арксинус нуля — это такое число из отрезка , синус которого равен нулю. Что это за число? — Понятно, что это ноль.

Аналогично, арксинус единицы — это такое число из отрезка , синус которого равен единице. Очевидно, это

Продолжаем: — это такое число из отрезка , синус которого равен . Да, это

Строим график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. , то есть эта функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Функция монотонно возрастает. Ее наименьшее значение, равное — , достигается при , а наибольшее значение, равное , при

5. Что общего у графиков функций и ? Не кажется ли вам, что они «сделаны по одному шаблону» — так же, как правая ветвь функции и график функции , или как графики показательной и логарифмической функций?

Представьте себе, что мы из обычной синусоиды вырезали небольшой фрагмент от до , а затем развернули его вертикально — и мы получим график арксинуса.

То, что для функции на этом промежутке — значения аргумента, то для арксинуса будут значения функции. Так и должно быть! Ведь синус и арксинус — взаимно-обратные функции. Другие примеры пар взаимно обратных функций — это при и , а также показательная и логарифмическая функции.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок

Арккосинусом числа a называется число , такое, что 

Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке

Обозначение: Область определения арккосинуса — отрезок Область значений — отрезок

Очевидно, отрезок выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно-единственное значение угла из промежутка

Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:

Построим график функции

Нам нужен такой участок функции , на котором она монотонна, то есть принимает каждое свое значение ровно один раз.

Выберем отрезок . На этом отрезке функция монотонно убывает, то есть соответствие между множествами и взаимно однозначно. Каждому значению х соответствует свое значение у. На этом отрезке существует функция, обратная к косинусу, то есть функция у = arccosx.

Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.

Арккосинусом числа х, принадлежащего промежутку , будет такое число y, принадлежащее промежутку , что

Значит, , поскольку ;

, так как ;

, так как ,

, так как ,

Вот график арккосинуса:

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3.

Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция является строго убывающей. Наибольшее значение, равное , функция у = arccosx принимает при , а наименьшее значение, равное нулю, принимает при

5. Функции и являются взаимно обратными.

Следующие — арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсом числа a называется число , такое, что

Обозначение: . Область определения арктангенса — промежуток Область значений — интервал .

Почему в определении арктангенса исключены концы промежутка — точки ? Конечно, потому, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа a, равного тангенсу какого-либо из этих углов.

Построим график арктангенса. Согласно определению, арктангенсом числа х называется число у, принадлежащее интервалу , такое, что

Как строить график — уже понятно. Поскольку арктангенс — функция обратная тангенсу, мы поступаем следующим образом:

— Выбираем такой участок графика функции , где соответствие между х и у взаимно однозначное. Это интервал Ц На этом участке функция принимает значения от до

Тогда у обратной функции, то есть у функции , область, определения будет вся числовая прямая, от до а областью значений — интервал

Дальше рассуждаем так же, как при построении графиков арксинуса и арккосинуса.

, значит,

, значит,

, значит,

А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?

Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала значение тангенса стремится к бесконечности? — Очевидно, это

А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

На рисунке — график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция нечетная.

4. Функция является строго возрастающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными — конечно, когда функция рассматривается на промежутке

Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.

Арккотангенсом числа a называется число , такое, что

График функции :

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция — общего вида, то есть ни четная, ни нечетная.

4. Функция является строго убывающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке

Открытая Математика. Функции и Графики. Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции


График функции y = arcsin x.

График функции y = arccos x




Арксинусом x называют такое число -π2≤t≤π2, что sin t = x.

Из определения следует, что

|arcsinx|≤π2.

При помощи арксинуса решение уравнения sin x = t записывается следующим образом:

t={arcsinx+2kπ, k∈ℤπ-arcsinx+2kπ, k∈ℤ
  или t = (–1)n arcsin x + πn, n∈ℤ.

Функция y = arcsin x определена и непрерывна на отрезке [–1; 1]. Ее областью значений является отрезок

[-π2;  π2].

Она обратна функции y = sin x, рассматриваемой на отрезке
[-π2; π2]
и поэтому монотонно возрастает. Функция y = arcsin x является нечетной.


Арккосинусом x называют такое число 0 ≤ t ≤ π, что cos t = x. Из определения следует, что

0≤arccosx≤π.

При помощи арккосинуса решение уравнения cos x = t записывается следующим образом:

t = ±arccos x + 2πn
n∈ℤ.

Функция y = arccos x определена и непрерывна на отрезке [–1; 1]. Ее областью значений является отрезок [0; π]. Она обратна функции y = cos x, рассматриваемой на отрезке [0; π], и поэтому монотонно убывает на области определения. Функция y = arccos x не является ни четной, ни нечетной.

Арктангенсом x называют такое число -π2≤t≤π2, что tg t = x.

При помощи арктангенса решение уравнения tg x = t записывается следующим образом:

t = arctg x + πn
n∈ℤ.

Функция y = arctg x является нечетной.

График функции y = arctg x

График функции y = arcctg x

.

Арккотангенсом x называют такое число 0 ≤ t ≤ π, что ctg t = x. При помощи арккотангенса решение уравнения ctg x = t записывается следующим образом:

t = arcctg x + πn
n∈ℤ.
Функция y = arcctg x не является ни четной, ни нечетной.

Функции y = arctg x и y = arcctg x определены и непрерывны на всей числовой оси. Их областями значений являются, соответственно, интервалы

-π2;  π2

и (0; π). Арктангенс монотонно возрастает, а арккотангенс монотонно убывает на всей области определения. Функциями, обратными к данным, являются соответственно tg x на
(-π2; π2)
и ctg x на (0; π).

Простейшие тригонометрические уравнения

Из определения обратных тригонометрических функций следуют некоторые тождества.







 



Смотрите также:
Математика,
Английский язык,
Химия,
Биология,
Физика,
География,
Астрономия.

А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ «Облако знаний».

В чем разница между y = arccos x и y = cos-1 x?

Тригонометрия — это раздел математики, который устанавливает связь между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Это помогает найти неизвестные стороны неизвестных углов треугольника. Углы измеряются либо в радианах, либо в градусах. Тригонометрическими отношениями или тригонометрическими функциями являются синус, косинус, тангенс и их обратные значения sec, cosec и cot. Тригонометрические функции вычисляются с помощью прямоугольного треугольника. Самая длинная сторона треугольника — гипотенуза, а противолежащие стороны — основание и высота. Тригонометрические функции используются для получения неизвестных углов и расстояний.

  1. Синус — отношение основания к гипотенузе
  2. Косинус — отношение высоты к гипотенузе
  3. Тангенс — отношение высоты к основанию

Обратная тригонометрическая функция получить углы из соотношений. Они также известны как «функции дуги». Инверсия применима к синусу, косинусу, тангенсу, косекансу, секансу и котангенсу. В этом домен и диапазон также инвертируются. Он представлен cos

-1 , sin -1 ,tan -1 и т. д. Они часто представляются как arccos, arcsin, arctan и т. д. Обратная функция также известна как антитригонометрическая функция. Эти функции полезны в инженерии, физике, математике и т. д. Ниже приведены некоторые формулы: ) = π/2

  • arcsec(x) + arccosec(x) = π/2
  • В чем разница между y = arccos x и y = cos

    -1 х?

    Ответ:

    Как мы все знаем, cos любого угла определяется как отношение основания к гипотенузе. cos -1 в основном является обратным cos x. Обратный cos обозначается как cos -1 (основание/гипотенуза). Следует отметить, что величина, обратная косинусу, не является обратной величиной косинуса. Обратная эта функция также известна как арккосинус или записывается как acos. Эта функция возвращает угол на основе значения. Домен — [-1,1], а диапазон — [0, π]. Поэтому acos и cos -1 совпадают. Следовательно, определение cos -1 или acos дается следующим образом:

    Пусть y = cos x

    Следовательно, cos -1 (y) = acos (y) = x

    Пример: Найдите cos -1 (√3/2)

    cos x= √3/2

    cos x = cos π/6

    x = π/6

    Другие формулы,

    • arc cos(1/x) = сек -1 (x)
    • cos -1 (-x) = π -cos -1 (x)
    • cos(cos -1 x) = x
    • cos -1 x + cos -1 y= cos -1 (xy – √(1 – x 2 )√(1 – y 6 2) )
    • cos -1 x – cos -1 y= cos -1 (xy + √(1-x 2 )√(1-y 2 )) 90 Аналогичные вопросы 6 90

      Вопрос 1. Найдите арккосинус, если0040

      1. Пусть y = cos x = 0

      cos x = 0

      x = arc cos(0)

      x = π/2

      1 cos = 4 0 2. Пусть

      cos x = 1

      x = arc cos (1)

      x = 0

      Вопрос 2: Найдите Arc Cos x, если sinx — 0,5

      Решение:

      . (x) + arcsin(x) = π/2

      Следовательно, arccos(x) = π/2 – arcsin(0,5)

      arccos(x) = π/3

      Вопрос 3: Найдите домен и диапазон значений arccos(x). Отсюда найдите значение cos -1 (2)

      Решение:

      Диапазон arccos(x) равен [0,π], а область определения arccos(x) равна [-1,1 ].

      Поскольку область определения арккосинуса равна [-1,1], следовательно, арккосинус не существует

      Вопрос 4: Найдите значение cos(cos -1 0,5) и найдите значение cos -1 (-1/√2)

      Решение:

      Как мы все знаем, cos(cos -1 x) = x

      Следовательно, значение равно 0,5

      Как мы все знаем, диапазон равен [0,π] и cos -1 (-x) = π -cos -1 (x)

      cos -1 (1/√2) =  π/4

      Значение  π – π/4 = 3π/4, которое лежит в диапазон [0,π]

      Вопрос 5: Найдите значение cos -1 (3/5) + cos -1 (7/25) через cos.

      Решение:

      Пусть A = cos-1 (3/5) 

      B= cos-1 (7/25)

      Пусть

      A + B = C 

       => cos( A + B ) = cos C

      => cosAcosB – sinAsinB = cos C

      => 3/5 × 7/25 – 4/5 × 24/25 = cos C

      =>cos C = -75/125

      = >cos C = -3/5

      Вопрос 6. Найдите значение cos -1 x – cos -1 y, если x = 3/5 y = 4/5

      Решение:

      Дано, x = 3/5 y = 4/5

      Как известно, cos -1 x – cos -1 y = cos -1 (xy + √(1 – x 2) ) √(1 – y 2 ))

      cos -1 ( 0,6 × 0,8 + 0,6 × 0,8) = cos -1 ( 0,96 )

      901 обратные тривиальные функции

      Подход

      к

      C A L C U L U S

      Содержание | Дом

      13

      Производная от y = arcsin x

      Производная от y = arccos x

      Производная от y = arctan x

      Производная от y = arccot ​​ x

      Производная от y = угловая секунда x

      Производная от y = arccsc х

      НЕ НУЖНО запоминать производные этого Урока. Скорее, ученик должен знать, как их вывести.

      В теме 19 тригонометрии мы ввели обратные тригонометрические функции. По обратным соотношениям:

      y = arcsin x   подразумевает  sin y = x .

      И аналогично для каждой из обратных тригонометрических функций.

      Задача 1.   Если   y = arcsin x , покажите:

      Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
      Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).
      Сначала решай задачу сам!

      Начало:

        у = угловых углов x
      подразумевает       
        1)   sin y = х .
       
       Поэтому согласно тождеству Пифагора а’ :
       
       

      потому что у =
       
      =
        согласно строке 1).

      Мы берем положительный знак, потому что cos y положительно для всех значений y в диапазоне y = arcsin x , то есть в 1-м и 4-м квадрантах. (Тема 19 тригонометрии.)

      Задача 2.   Если   y = угловая секунда x , показать:

      Начало:

        у = угловых секунд x
      подразумевает       
        сек г = х .
       
       Значит, согласно тождеству Пифагора b :
       
       

      желтовато-коричневый у = ±
       
          = ±

      Производная от y = arcsin x

      Производная арксинуса по его аргументу
      равна 1 на квадратный корень
      из 1 минус квадрат аргумента.

      Вот доказательство:

        у   = arcsin x
        подразумевает  
        грех у   = х .
       
       Поэтому, взяв производную по x :
       
      8 90

      = 1;
        =
        =

      по Задаче 1.

      Именно это мы и хотели доказать.

      Примечание:  Мы могли бы напрямую использовать теорему урока 8:

      Мы будем использовать эту теорему в следующих доказательствах.

      Задача 3.   Вычислите эти производные. [В частях а) и б) используйте цепное правило.]

        а)     д  
      дх
      arcsin x 2 =
        б)     д  
      дх
      =
        в)     д  
      дх
      x 2 arcsin x =

      Производная от y = arccos x

      Производная arccos x  является отрицательным значением производной
      arcsin x . Это будет верно для обратной каждой пары кофункций.

      Производная arccot ​​ x  будет минусом
      производной arctan x .

      Производная от arcscsc x  будет отрицательным значением
      производной от arcsec x .

      Для, начиная с arccos x :

      Угол, косинус которого равен x , является дополнением
      угла, синус которого равен x .

      arccos x  = 
      2
       − угловой угол x .
      Поскольку производная 
      2
       равно 0, результат следующий.

      Задача 4.   Вычислите эти производные.

        а)     д  
      дх
      арккос x
      и
       = 
        б)     д  
      дх
      x arccos 2 x  = 

      Производная от y = arctan x

        д  
      дх
        арктический x  =       1    
      1 + x 2

      Первый,

      y = арктангенс x подразумевает тангенс y = x .

      Следовательно, по теореме урока 8:

       
        Урок 12.
       
        , согласно пифагорейскому тождеству
      b ,
       
       

      Что мы и хотели доказать.

      Следовательно, производная от arccot ​​ x  является отрицательным:

        д  
      дх
        арккот x  = −      1    
      1 + x 2

      Задача 5.   Вычислите эти производные.

        а)      д  
      дх
      арктан ( a x 2 )  =      2 ax     
      1 + a 2 x 4
        б)      д  
      дх
      арккот x
      и
       =     − a    
      a 2 + x 2
        в)      д  
      дх
      арктан 2
      х
       =     −2   
      x 2 + 4
        г)      д  
      дх
      арккот 2 x  =     −2   
      4 x 2 + 1

      *

      Остальные производные редко встречаются в исчислении. Тем не менее, вот доказательства.

      Производная от y = угловая секунда x

      Еще раз,

      y = угловые секунды x   подразумевает   секунд y = x .

      Следовательно, по теореме урока 8:

       
        ,   Урок 12.

      Теперь, согласно теореме из темы 19 тригонометрии: это произведение никогда не бывает отрицательным. Поэтому, чтобы гарантировать, что вместо замены sec y на x мы заменим его на | х |. А в задаче 2 возьмем только положительный корень из тангенса и .

      Следовательно,

      Что мы и хотели доказать.

      Если мы возьмем диапазон угловых секунд x в качестве угла третьего квадранта между −π и −π/2, когда x отрицательно, то нам не нужно будет записывать абсолютное значение, и доказательство будет простым. . Мы просто заменим sec y на x и возьмем положительный корень из tan y , потому что тангенс y положителен в первом и третьем квадрантах. На графике y = arcsec x с этим диапазоном наклон для отрицательных x отрицательный. Недостатком выбора этого диапазона является то, что, когда x является отрицательным, arcsec x не будет равняться arccos 1/ x , потому что arccos 1/ x будет углом 2-го квадранта. Но тогда в доказательстве мы должны написать абсолютное значение.

      Следовательно, производная от arccc x  это его минус:

        д  
      дх
        arccsc x  = − 

      Следующий урок: Производные экспоненциальной и логарифмической функций

      Содержание | Дом


      Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *