Алгебраические уравнения примеры: Урок 12. решение алгебраических уравнений разложением на множители — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Содержание

Урок 12. решение алгебраических уравнений разложением на множители — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №12. Решение алгебраических уравнений разложением на множители.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) типы алгебраических уравнений;

2) решение алгебраические уравнения методом разложения на множители;

3) методы решения алгебраических уравнений.

Глоссарий по теме

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x1, x2, …, xn)=0, где P — многочлен от переменных x1, x2, …, xn, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x1, x2, …, xn)=0 называется алгебраическим уравнение над множеством F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Значения переменных x1, x2, …, xn, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Биквадратными называются уравнения вида ах4 + bх2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида: ax3 + bx2 + bx + a = 0, где a, b –  заданные числа.

Уравнение вида anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. an-1=ak, при k=0, 1, …, n.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М. И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним, что такое алгебраическое уравнение?

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x1, x2, …, xn)=0, где P — многочлен от переменных x1, x2, …, xn, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля F, и тогда уравнение P(x1, x2, …, xn)=0 называется алгебраическим уравнение над полем F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Например, уравнение

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения. Значения переменных x1, x2, …, xn, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

  1. Алгебраические уравнения, решаемые разложением на множители:

Пример 1.

x3 – 3x – 2 = 0.

Решение: I способ

D(–2) : ,

Можно догадаться, что число х1 = –1 является корнем этого уравнения, так как –1 + 3 – 2 = 0.

(х + 1)( х2 –х–2) = 0;

х + 1 = 0 или х2 –х–2 = 0;

х1 = –1 х2,3 = ;

х2,3 = ;

х2 = –1, х3 = 2

Ответ: –1; 2.

II способ

x3 + х2 – х2 – х – 2x – 2 = 0;

(x3 + х2) – (х2 + х) – 2(x + 1) = 0;

х2(х + 1) – х(х + 1) – 2(х + 1) = 0;

(х + 1) (х2 –х–2) = 0;

(х + 1) (х + 1) (х –2) = 0;

(х –2) = 0;

х1 = –1, х2 = 2

Ответ: –1; 2.

  1. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
    1. Биквадратные уравнения

На прошлом уроке мы познакомились с данным видом уравнений

Определение. Биквадратными называются уравнения вида ах4 + bх2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Метод решения

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки у=х2.

Новое квадратное уравнение относительно переменной у: ay2+by+c=0.

Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения

y1 и y2.

Решая эти два уравнения (y1=x12 и y2=x12) относительно переменной x, мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

Порядок действий при решении биквадратных уравнений

  1. Ввести новую переменную у=х2
  2. Подставить данную переменную в исходное уравнение
  3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
  4. После нахождения корней (y1; y2) подставить их в нашу переменную у=х2 и найти исходные корни биквадратного уравнения

Пример 2.

х4 – 8х2 – 9 = 0.

Решение: Пусть у = х2, где у 0; у2 – 8у – 9 = 0;

По формулам Виета:

у1 = –1; у2 = 9;

Первое решение отбрасываем ( у 0),

а из второго находим х1 = –3; х2 = 3.

Ответ: х1 = –3; х2 = 3.

2 Симметрические уравнения

Решение симметрических уравнений рассмотрим на примере симметрических уравнений третьей степени.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида ax3 + bx2 + bx + a = 0, где ab –  заданные числа.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрических уравнений:

10.  У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т. е.

(х + 1)(ах2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому, 
х + 1 = 0 или ах2 + (b – а)x + а = 0,

первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

20.  У симметрического уравнения корней, равных нулю, нет.

30. При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом.

Пример 3.

х3 + 2x2 + 2х + 1 = 0.

Решение: У исходного уравнения обязательно есть корень х = –1.

Разлагая далее левую часть на множители, получим

(х + 1)(x2 + х + 1) = 0.

Квадратное уравнение

x2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

Ответ: –1.

2 Возвратные уравнения

Уравнение вида anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т. е. an-1=ak, при k=0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b и c — некоторые числа, причём a ≠ 0. Оно является частным случаем уравнения ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0 при k = 1.

Порядок действий при решении возвратных уравнений вида ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0:

  • разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения;
  • группировкой привести полученное уравнение к виду 
  • ввести новую переменную , тогда выполнено
    , то есть ; 

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at2 +bt+c–2a=0;

  • решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Пример 4

2x4 – 3x3 – 7x2 –15x + 50 = 0.

Решение: Разделим на x2, получим:

Введем замену:
Пусть

тогда 2t2 – 3t – 27 = 0

t=-3

x2+3x+5=0

D<0

2×2-9x+10=0

x=2; x=2,5

Ответ: .

3.1.6. Алгебраические уравнения






Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.1.



3.1.6.

Теорема Гаусса. Любое алгебраическое уравнение



(*)


имеет на множестве комплексных чисел хотя бы одно решение.

Эту теорему также называют основной теоремой алгебры. Согласно этой теореме, уравнение (*) имеет хотя бы один корень z = z0. Разделив многочлен, стоящий в левой части (*) на одночлен (z = z0), мы получим снова уравнение вида (*), которое согласно той же теореме Гаусса имеет хотя бы одно решение. Продолжая так n раз, получим следствие теоремы Гаусса: любое алгебраическое уравнение n-ной степени имеет ровно n, вообще говоря, комплексных, корней (разумеется, некоторые корни могут совпадать).


Пример 1

Решите уравнение z3 + z – 2 = 0.


Очевидно, z = 1 – корень этого уравнения. Разделив многочлен z3 + z – 2 на одночлен (z – 1), например, по схеме Горнера, получим разложение исходного многочлена на множители:


Корни квадратичной функции находим по формуле корней квадратного уравнения:


Ответ. 1,

 

Рациональные уравнения являются следующим по сложности типом стандартных уравнений.

Для решения дробно-рациональных уравнений существует алгоритм.

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Заменить данное уравнение уравнением с целыми коэффициентами, умножив его на общий знаменатель.

3. Попытаться решить полученное уравнение с целыми коэффициентами.

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

5. Записать ответ.


Пример 2

Решите уравнение


Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, есть (x – 1)(x + 2). Умножая на него обе части уравнения, получим 3x(x + 2) – 2x(x – 1) = 3x + 2. Последнее уравнение сводится к квадратному уравнению x2 + 5x + 6 = 0, корни которого x = –3 и x = –2. Подставляя эти числа в общий знаменатель дробей исходного уравнения, убеждаемся, что при x = –2 он обращается в нуль, при x = –3 знаменатель нулю не равен. Значит, x = –2 не является корнем уравнения.

Ответ. x = –3.

Стандартным методом их решения является возведение уравнения в подходящую степень. Однако, как следует из § 3.1.1, возведение уравнения в произвольную степень не всегда приводит к равносильному уравнению.

Действительно, уравнение



(6)

является лишь следствием уравнения f (x) = g (x), то есть содержит все корни этого уравнения, но может иметь и другие корни. Уравнение (6) среди своих корней содержит ещё и корни уравнения f (x) = –g (x) (если таковые существуют), следствием которого оно также является. Итак, у уравнения (6) «больше» корней, чем у уравнения f (x) = g (x), а это как раз и обозначает, что при возведении в чётную степень могут появиться посторонние корни. В этом случае проверка необходима, как составляющий элемент решения. Она необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться. В последнем случае иногда проще сделать проверку, чем доказать, что она не нужна. Именно поэтому проверка здесь является элементом решения.

К тому же, проверка может быть средством контроля правильности проделанных вычислений. Однако проверить полученные корни подстановкой не всегда легко. Лишние корни, которые могли появиться при возведении уравнения, например, в квадрат, могут быть отсеяны на основе следующего соображения.

Рассмотрим уравнение



(7)

Ясно, что если x = x0 − решение этого уравнения, то обе части этого равенства при x = x0 должны быть неотрицательны. Следовательно, потребовав дополнительно, чтобы g(x) ≥ 0, уравнение можно возвести в квадрат. Имеем следующее соотношение равносильности:



(8)

Система (8) действительно является равносильной уравнению (7). В самом деле, из системы (8) следует, что функция f (x) равна полному квадрату функции g (x), то есть для решения является неотрицательной.


Пример 3

Решите уравнение


Перейдём сразу к равносильной системе.



Ответ. 





Алгебраические уравнения степени n.

{n-1}+\dots+a_1x+a_0\). Таким образом, сокращенно уравнение \((1)\) можно записать в виде \(P_n(x)=0\).

 

Замечание

 

Заметим, что квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение, степень которого равна \(2\), а линейное — степень которого равна \(1\).
Таким образом, все свойства алгебраических уравнений верны и для квадратных уравнений, и для линейных.

 

Теорема

 

Если уравнение \((1)\) имеет корень \(x=x_0\), то оно равносильно уравнению

\[(x-x_0)\cdot P_{n-1}(x)=0\]

где \(P_{n-1}(x)\) – некоторый многочлен степени \(n-1\).

 

Для того, чтобы найти \(P_{n-1}(x)\), необходимо найти частное от деления многочлена \(P_n(x)\) на \((x-x_0)\)
(т.к. \(P_n(x)=(x-x_0)\cdot P_{n-1}(x)\)).

 

Следствие: количество корней уравнения

 

Любое алгебраическое уравнение степени \(n\) может иметь не более \(n\) корней.

 

Замечание

 

В частности, квадратное уравнение действительно имеет всегда не более двух корней: два, один (или два совпадающих) или ни одного корня. 2-5x-3=0\).

 

В данном случае \(a_0=-3, a_n=2\). Делители числа \(-3\) — это \(\pm 1,
\pm 3\). Делители числа \(2\) – это \(\pm 1, \pm 2\). Комбинируя из полученных делителей дроби, получаем все возможные варианты рациональных корней:

\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm 3, \ \pm\dfrac32\]

По предыдущим теоремам можно быстро понять, что \(\pm1\) не являются корнями. Подставив \(x=-\dfrac12\) в уравнение, получим:

\[2\cdot \dfrac1{16}+5\cdot \dfrac18-\dfrac 14+5\cdot \dfrac12-3=0
\quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Значит, число \(x=-\frac12\) является корнем уравнения.

 

Можно перебрать остальные варианты: таким образом мы найдем еще один рациональный корень уравнения \(x=3\). Значит, уравнение можно представить в виде

\[\left(x+\frac12\right)(x-3)\cdot Q_2(x)=0 \quad \text{или}\quad (2x+1)(x-3)\cdot P_2(x)=0\] (тогда \(P_2(x)=\frac12 Q_2(x)\)). Заметим, что второй вид записи уравнения более удобный, т.к. нам не придется при делении в столбик работать с дробями. 3 + 4*x — 8*x  = 16

Дано уравнение:


          3      2     
-8*x + 2*x  + 4*x  = 16

преобразуем


   3           2                    
2*x  - 16 + 4*x  - 16 - 8*x + 16 = 0

или


   3      3      2      2               
2*x  - 2*2  + 4*x  - 4*2  - 8*x + 16 = 0

  / 3    3\     / 2    2\                
2*\x  - 2 / + 4*\x  - 2 / - 8*(x - 2) = 0

          / 2          2\                                    
2*(x - 2)*\x  + 2*x + 2 / + 4*(x - 2)*(x + 2) - 8*(x - 2) = 0

Вынесем общий множитель -2 + x за скобки

получим:


        /  / 2          2\                \    
(x - 2)*\2*\x  + 2*x + 2 / + 4*(x + 2) - 8/ = 0

или


         /       2      \    
(-2 + x)*\8 + 2*x  + 8*x/ = 0

тогда:

и также

получаем ур-ние

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта. 2 — 16 = 0:

Методы решения целых алгебраических уравнений с примерами решения

Методы решения целых алгебраических уравнений

Разложение на множители

Часть целых алгебраических уравнений

(или аналогичных неравенств) степени n выше 2-й могут быть решены путём разложения многочлена в левой части уравнения (неравенства) на множители с помощью таких известных приёмов, как группировка и вынесение общего множителя за скобки. Иногда для достижения цели приходится прибавлять и одновременно вычитать одно и то же выражение. Отметим, что порой разложение на множители этим способом требует определённого искусства.

Если разложение на множители удалось выполнить, то решение алгебраического уравнения сводится к решению совокупности нескольких уравнений, но более низкой степени. Неравенство после разложения на множители можно решать методом интервалов.

Пример №176.

Решить уравнение

Решение:

Из 1-го уравнения находим корни

, а второе не имеет решений.

Пример №177.

Найти все положительные корни уравнения

Решение:

Покажем, что второе уравнение в совокупности не имеет положительных решений. Действительно, рассмотрим функцию

Её производная при всех действительных x, так как Следовательно, функция всюду монотонно возрастает, при этом y(0) = 5 . Отсюда следует, что при x > 0 её график не пересекает оси абсцисс.

Ответ:

Подбор корня с последующим понижением степени уравнения

При решении алгебраических уравнений и неравенств степени выше второй можно использовать общий принцип последовательного понижения степени уравнения (неравенства).

Пусть требуется решить уравнение n -й степени

где

целый рациональный алгебраический многочлен n -й степени. Если удалось подобрать (любым способом) какой-либо корень данного уравнения, то для нахождения остальных корней уравнения следует поделить многочлен на разность X — Х0 (или целенаправленной группировкой слагаемых, выделяя разность , разложить этот многочлен на множители). В результате деления образуется некоторый многочлен , степень которого на единицу меньше первоначальной. Таким образом, задача свелась к решению алгебраического уравнения степени n — 1 :

Пример №178.

Решить уравнение

Решение:

Заметим, что x = 2 является корнем данного уравнения. Найдём другие корни этого уравнения:

Решая уравнение

, находим ещё два корня

Эта ссылка возможно вам будет полезна:

Пример №179.

Решить уравнение

Решение:

Легко заметить, проанализировав структуру уравнения, что числа x = 0 и x = -10 являются решениями данного уравнения. С другой стороны, ясно, что это квадратное уравнение, а поэтому может иметь не более двух корней. Так как два корня уравнения уже подобраны, то других корней нет.

В некоторых случаях, для того чтобы не подбирать корень «вслепую», можно воспользоваться следующим методом.

Метод поиска рациональных корней у многочленов с целыми коэффициентами

Для решения такого рода уравнений и неравенств используется метод, в основе которого лежит Теорема 9 из предыдущего пункта. Рассмотрим подробнее суть этого метода. Пусть требуется найти рациональные корни уравнения n -й степени

причём все коэффициенты

алгебраического многочлена являются целыми числами. Поиск рациона-льных корней можно свести к перебору ограниченного количества вариантов. Для этого необходимо, во-первых, найти все целочислен-ные делители свободного члена (их конечное число, однако если этот коэффициент содержит слишком много делителей, то это затрудняет поиск корней в уравнении). Обозначим, например, эти делители через . Во-вторых, следует найти все натуральные делители старшего коэффициента уравнения . Обозначим эти делители через . В-третьих, надо составить всевозможные дроби вида . Наконец, перебирая по очереди все такие дроби, проверить, является ли в действительности каждая из них корнем данного уравнения. Найдя таким образом первый корень , вы или сразу понижаете степень уравнения делением многочлена на разность , (причём в силу следствия из теоремы Безу обязательно разделится нацело на этот линейный двучлен) и получаете некоторый многочлен степени на единицу меньшей, чем первоначальная. Или, перебирая все дроби, находите все рациональные корни и уже затем понижаете степень уравнения сразу на столько порядков, сколько рациональных корней удалось найти, и ищете оставшиеся иррациональные корни. В любом случае задача сводится к решению уравнения более низкой степени.

Пример №180.

При каких натуральных n уравнение

имеет рациональные корни?

Решение:

Воспользуемся приведённым выше методом. Свободный член имеет два целочисленных делителя: ± 1, а старший коэффициент — два натуральных делителя: 1,2. Поэтому рациональные корни следует искать среди чисел

Подставим их поочерёдно в уравнение.

Ответ:

Метод неопределённых коэффициентов

Иногда для решения целых алгебраических уравнений (неравенств) с одной или несколькими неизвестными используют метод неопределённых коэффициентов. Пусть, например, решается уравнение

Суть метода состоит в том, что многочлен

в левой части уравнения представляется в виде произведения линейных и(или) квадратичных сомножителей с неизвестными (неопределёнными) коэффициентами Чтобы найти эти коэффициенты, раскрывают скобки в указанном произведении и приводят образовавшийся при этом многочлен к стандарт-ному виду. Так как два многочлена и одной степени тождественно равны тогда и только тогда,

когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, то, приравнивая эти коэффициенты, получают систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Эту систему решают (или подбирают любое решение). Найденные таким способом коэффи-циенты

становятся определёнными и их значения подставляются в исходное разложение. К недостаткам метода можно отнести то, что получаемая система уравнений для нахождения коэффициентов может оказаться громоздкой и трудной даже в подборе решения.

Рассмотрим применение этого метода на примере решения кубического уравнения. Допустим, требуется решить уравнение

Известно, что многочлен третьей степени всегда можно представить в виде произведения многочленов первой и второй степеней. Таким образом, сразу для всех действительных значений переменной x должно выполняться равенство

где числа а,b,c являются в данном случае искомыми неопределён-ными коэффициентами. Найдём их значения. После этого останется подставить их в правую часть (1) и, приравняв её к нулю, решить уравнение

для нахождения всех корней уравнения.

Чтобы найти коэффициенты а,b,c, раскроем скобки в правой части тождества (1) и приведём образовавшийся при этом многочлен к стандартному виду

Многочлены третьей степени тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x . Приравнивая коэффициенты при

, и свободные члены, получаем систему трёх алгебраических уравнений относительно трёх неизвестных а,b,c :

решая которую (можно даже просто подобрать любое решение этой системы) находим коэффициенты.

Пример №181.

Решить уравнение

Решение:

Воспользуемся для решения методом неопределённых коэффициентов. Будем искать разложение многочлена, стоящего в левой части уравнения, в виде

Раскрыв скобки, приведём многочлен в правой части к стандартному виду

Приравнивая коэффициенты слева и справа при

,и свободные члены, получаем в итоге систему трёх уравнений с тремя неизвестными коэффициентами а,b,c:

Найдя подбором решение

подставим найденные коэффициенты в разложение (2). Таким образом, исходное уравнение приобретает вид Оно имеет три корня

Пример №182.

При каких значениях а все корни уравнения являются корнями уравнения

Решение:

Чтобы первое из уравнений имело корни, необходимо, чтобы его дискриминант был неотрицателен, т.е.

Далее, второй многочлен в силу теоремы Безу должен делиться нацело на первый многочлен. Иными словами, должно найтись такое b , что при всех действительных x справедливо тождество

Для нахождения неопределённых коэффициентов (в данном случае в их роли выступают а и b ) воспользуемся известным фактом, что два кубических многочлена, стоящие по разные стороны от знака равенства, тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x . Приравнивая эти коэффициенты, получаем систему уравнений

Метод умножения на функцию

Иногда, применяя приём умножения обеих частей уравнения (неравенства) на некоторую функцию, удаётся упростить уравнение (неравенство).

Пример №183.

Решить уравнение

Решение:

Заметим, что x = — 1 (и вообще никакое отрицательное число) не является корнем данного уравнения. Домножим обе части данного уравнения на выражение (х +1). Получаем уравнение-следствие

множество решений которого состоит из всех решений исходного уравнения и числа x = -1. Это число является посторонним корнем, возникшем как раз в результате умножения уравнения на функцию, имеющую действительный нуль. Применяя известную формулу сокращенного умножения, получаем существенно более простое уравнение

Поскольку уравнение не имеет других решений, кроме x = -1, то приходим к ответу.

Ответ: уравнение не имеет решений.

Рассмотрим некоторые виды целых алгебраических уравнений, решаемые в основном при помощи специально подобранных подстановок.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Способы решения алгебраических уравнений



Предисловие

Уравнения занимают значительное место в курсе
математики средней школы. Остановимся лишь на
алгебраических уравнениях, которые разобьем на
три группы:

  1. полиномиальные уравнения вида Pn(x) = 0,
    где Pn(x) — многочлен n-й степени
    относительно x;
  2. дробно-рациональные уравнения, т.е. содержащие в
    качестве двух компонент частные двух
    многочленов;
  3. иррациональные уравнения.

Для ряда приемов даны небольшие теоретические
обоснования. Приведено 30 приемов,
иллюстрированных более чем 36 примерами. Не надо
думать, что приведенный в конкретном примере
прием является наиболее рациональным для
решения данного примера. Просто надо принять к
сведению существование такого подхода к решению
уравнений.

Одни и те же подходы (применение тригонометрии,
использование однородности, разложение на
множители и др.) находят применение не только при
решении рациональных, дробно-рациональных,
иррациональных уравнений, но и при решении
трансцендентных уравнений, неравенств, систем.

При написании использовалась литература:

  1. Рывкин А. А. «Справочник по математике» –
    М.: Высшая школа, 1987.
  2. Цыпкин А. Г. «Справочник по методам решения
    задач по математике» – М.: Наука, 1989.
  3. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по
    математике – М.: Просвещение, 1989.
  4. Сборник задач по математике для поступающих во
    ВТУЗы / Под ред. Сканави М. И. – Мн.: Вышэйшая
    школы, 1990.

и др.

В этих пособиях можно найти достаточное
количество нужных уравнений, конечно, не
пренебрегая другими источниками.



Полиномиальные уравнения



1.  Докажем теорему: Если уравнение anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0 = 0
(*) с целыми коэффициентами имеет рациональный
корень, где p и q взаимно просты, то a0
делится на p, а an делится на q.

Доказательство: Заменим в (*) x на , получим
верное числовое равенство умножим обе части
равенства на qn:



anpn + an–1pn–1q + … + a1pqn–1 + a0qn = 0
(**)



anpn = – q (an–1pn–1 + … + a1pqn–2 + a0qn–1)

Правая часть делится на q, значит, и левая
должна делиться на q, но т.к. p и q
взаимно просты, то pn не делится на q,
но тогда an должно делиться на q,
иначе левая часть не будет кратна q.

Из (**) можно получить и другое равенство a0qn = –
p (anpn–1 + an–1pn–2q + … + a1qn–1)

Правая часть кратна p, значит, и левая кратна
p, но qn взаимно просты с p, значит a0
кратно p. Теорема доказана.

Теорема Безу. Остаток от деления
многочлена P(x) = anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0
  на двучлен (x – a) равен значению
многочлена P(x) при x = a.

Доказательство: Делимое равно делителю,
умноженному на частное, плюс остаток. Так как
делитель — многочлен первой степени, то остаток
будет многочленом, степень которого меньше
степени делителя, значит, остаток – const. Частное
будет многочленом степени n – 1. Тогда

P(x) = (x – a) (сn–1xn–1 + сn–2xn–2 + … + с1x + с0)
+ R (***)

При x = a это равенство имеет вид

P(a) = 0 ? (сn–1an–1 + сn–2an–2 + … + с1a + с0)
+ R,

из которого следует  P(a) = R.
Теорема доказана.

Следствие: Если x = a — корень
многочлена, то многочлен делится на x – a
без остатка.

Доказательство: При x = a равенство
(***) примет вид 0 = 0 + R, из которого
следует, что R = 0. А так как остаток от
деления равен нулю, то утверждение доказано.

Пример 1. Решить уравнение 30x4 + x3
– 30x2 + 3x + 4 = 0.

Составим различные несократимые дроби,
числители которых — делители свободного члена,
т.е. 4, а знаменатели — делители старшего
коэффициента, т.е. 30.

     

     

     

     

В левом столбике в знаменателях участвуют все
делители числа 30. Видно, что – 1 — корень
многочлена. По следствию из теоремы Безу делим
многочлен на x + 1

Для поиска корней многочлена 30x3 – 29x2 – x + 4
воспользуемся таблицей дробей. При многочлен
примет вид Значит, — корень многочлена.



2.  При решении алгебраических уравнений
может быть полезен метод неопределенных
коэффициентов
.

Пример 2. Решить уравнение x4 + 2x3
– 16x2 + 11x – 2 = 0.

Пусть многочлен представим в виде произведения

(a x2 + b x + g ) (ax2 + bx + c),

где a , b , g , a, b, c коэффициенты,
которые желательно подобрать так, чтобы после
раскрытия скобок и приведения подобных
слагаемых получился исходный многочлен.
Раскроем скобки, полагая, что a  = a = 1.

(x2 + b x + g ) (x2 + bx + c) = x4
+ (b  + b)x3 + (b b + g  +c)x2
+ (g b + b c)x + cg

Приравняем коэффициенты

b  + b = 2 b  = 2 – b

b b + g  +c = – 16 2bb2 +
g  +c = – 16

g b + b c = 11 g b + 2c – bc
= 11



cg  = – 2 cg  = – 2

Положим c = 1, g  = – 2 или c = 2,
g  = – 1 (подбираем коэффициенты).

– 2bb = 9



b = – 3, тогда b  = 5.

Убедимся, что b  = 5, g  = – 2, b = – 3, c = 1.
Такой набор удовлетворяет всем четырем
уравнениям, поэтому можем записать

x4 + 2x3 – 16x2 +
11x – 2 = (x2 – 3x + 1) (x2 + 5x
– 2)

Решив квадратные уравнения, получим корни
исходного уравнения.

Ответ:



3.  Решение возвратных уравнений

Уравнения вида ax2k + bx2k–1 + cx2k–2 + … + l
k–2cx2 + l k–1bx + l
a = 0 (k I  N, l  I  R)
называются возвратными.

После почленного деления на xk, они
решаются подстановкой

Пример 3. Решить уравнение 2x4 – 3x3
– 7x2 –15x + 50 = 0.

Разделим на x2, получим

Уравнение примет вид:


           


  

Если l  = 1, то уравнение вида ax2k + bx2k–1 + cx2k–2 + dx2k–3 + … + dx3 + cx2 + bx + a = 0
называется возвратным (или симметрическим)
уравнением степени 2k первого рода.

Пример 4. Решить уравнение 5x4 + 3x3
– 16x2 + 3x + 5 = 0.

Разделим почленно на x2. Имеем .

 


  

Ответ:

Если l  = – 1, то получим уравнение вида

ax2k + bx2k–1 + cx2k–2 + dx2k–3 + … + dx3 + cx2 – bx + a = 0,
которое называется возвратным (или
симметрическим) уравнением степени 2k второго
рода. Решается подстановкой

Пример 5. Решить уравнение 8x4 – 42x3 + 29x2
+ 42x + 8 = 0.

 


  

Ответ:

Возвратное уравнение нечетной степени имеет
корень – 1. Это объясняется тем, что уравнение
имеет четное число членов, которые при замене x на – 1 попарно уничтожаются.
Поэтому в начале делят многочлен на x + 1,
а частное приведет к возвратному уравнению
четной степени, решение которого уже
рассмотрено.

Пример 6. Решить уравнение 24x5 + 74x4 – 123x3 – 123x2
+ 74x + 24 = 0.

Имеем возвратное уравнение 5-й степени. Один из
его корней – 1. После деления на x + 1,
получим

24x4 + 50x3 – 173x2
+ 50x + 24 = 0

 


  

Ответ:

если ,
то

По биному Ньютона

Замечание 2. Определить по внешнему виду, что
уравнение является возвратным не всегда просто,
особенно, если . Поэтому в уравнении степени 2n
производим почленное деление на xn и,
если при этом получается сумма выражений вида ,
где n = 0, 1, 2 … m, то
дальнейшее решение ясно.

Приложение

Алгебраические уравнения. Схема Горнера.

Мы начинаем цикл занятий, посвященный уравнениям. В течение цикла разберем методы решения уравнений всех типов, изучаемых в рамках школьной программы. Начнем с алгебраических уравнений. Итак, тема первого занятия – Алгебраические уравнения.

В основном будем рассматривать алгебраические уравнения с одной неизвестной.

Алгебраическим уравнением с одной неизвестной называется уравнение вида $P(x)=0$, где $P(x)$ — многочлен одной переменной $x$. При этом степень многочлена $P(x)$ называется степенью уравнения.

Корнем уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. 2+x=1.
\end{array}
$

$
\Bigg\lbrack
\begin{array}{l}
x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \\
x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.
\end{array}
$

Ответ: $x=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$, $x=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

Следует отметить, что методы, описанные выше, не всегда позволяют решить алгебраические уравнения третьей или четвертой степени. С алгебраическими уравнениями третьей и четвертой степени дело обстоит следующим образом: Известно, что корни любого кубического уравнения можно выразить в радикалах с помощью формулы, называемой формулой Кардано. Аналогично, корни любого алгебраического уравнения четвертой степени можно выразить в радикалах по формуле, называемой формулой Феррари. Однако, применение этих формул предполагает знакомство с комплексными числами, что выходит за рамки стандартной школьной программы. В завершении отметим, что для общего алгебраического уравнения степени выше четвертой, невозможно выразить его корни в радикалах. Это утверждение носит название теоремы Абеля-Руфини. {2} -4x+3=0$

Интерактивные упражнения для самостоятельного решения

Решение уравнений

Что такое уравнение?

Уравнение говорит, что две вещи равны. Он будет иметь знак равенства «=», например:

.

Это уравнение говорит: то, что слева (x — 2) равно тому, что справа (4)

Итак, уравнение похоже на оператор : «, это равно , что »

.

Что такое решение?

Решение — это значение, которое мы можем подставить вместо переменной (например, x ), которая делает уравнение истинным .

Пример: x — 2 = 4

Когда мы ставим 6 вместо x, получаем:

6–2 = 4

, что соответствует истинным

Итак, x = 6 — решение.

Как насчет других значений x?

  • Для x = 5 мы получаем «5−2 = 4», что неверно , поэтому x = 5 не является решением .
  • Для x = 9 мы получаем «9−2 = 4», что является неверным , поэтому x = 9 не является решением .
  • и т. Д.

В этом случае x = 6 — единственное решение.

Вы можете попрактиковаться в решении некоторых анимированных уравнений.

Более одного решения

Может быть более одного решения .

Пример: (x − 3) (x − 2) = 0

Когда x равно 3, получаем:

(3−3) (3−2) = 0 × 1 = 0

, что соответствует истинным

И когда x равно 2, получаем:

(2−3) (2−2) = (−1) × 0 = 0

, что также соответствует истинным

Итак, решения:

x = 3 или x = 2

Когда мы собираем все решения вместе, он называется набором решений

Приведенный выше набор решений: {2, 3}

Решения везде!

Некоторые уравнения верны для всех допустимых значений и называются Identities

Пример:

sin (−θ) = −sin (θ) — одно из тригонометрических тождеств

Попробуем θ = 30 °:

sin (-30 °) = -0. 5 и

−sin (30 °) = −0,5

Так что истинно для θ = 30 °

Попробуем θ = 90 °:

sin (−90 °) = −1 и

−sin (90 °) = −1

Так же истинно для θ = 90 °

Верно ли для все значения θ ? Попробуйте сами!

Как решить уравнение

Не существует «единого идеального способа» решить все уравнения.

Полезная цель

Но мы часто добиваемся успеха, когда наша цель — получить:

Другими словами, мы хотим переместить все, кроме «x» (или любого другого имени переменной), в правую часть.

Пример: Решить 3x − 6 = 9

Начать с: 3x − 6 = 9

Добавьте 6 к обеим сторонам: 3x = 9 + 6

Разделить на 3: x = (9 + 6) / 3

Теперь у нас x = что-то ,

и короткий расчет показывает, что x = 5

Как головоломка

На самом деле решение уравнения похоже на решение головоломки. И, как и в случае с головоломками, есть вещи, которые мы можем (и не можем) делать.

Вот что мы можем сделать:

Пример: Решить √ (x / 2) = 3

Начать с: √ (x / 2) = 3

Квадрат с двух сторон: x / 2 = 3 2

Вычислить 3 2 = 9: x / 2 = 9

Умножьте обе стороны на 2: x = 18

И чем больше «трюков» и приемов вы изучите, тем лучше вы получите.

Специальные уравнения

Есть специальные способы решения некоторых типов уравнений.Узнайте, как …

Проверьте свои решения

Вы всегда должны проверять, что ваше «решение» действительно — это решение.

Как проверить

Возьмите решения и поместите их в исходное уравнение , чтобы увидеть, действительно ли они работают.

Пример: найти x:

2x x — 3 + 3 = 6 x — 3 (x ≠ 3)

Мы сказали x ≠ 3, чтобы избежать деления на ноль.

Умножим на (x — 3):

2x + 3 (x − 3) = 6

Переместите 6 влево:

2x + 3 (x − 3) — 6 = 0

Развернуть и решить:

2x + 3x — 9-6 = 0

5x — 15 = 0

5 (х — 3) = 0

х — 3 = 0

Это можно решить, если x = 3

Проверим:

2 × 3
3–3
+ 3 =
6
3–3

Держись!
Это означает деление на ноль!

И вообще, мы сказали вверху, что x ≠ 3, так что…

x = 3 на самом деле не работает, поэтому:

Есть Нет Решение!

Это было интересно … мы думали, что нашли решение, но когда мы оглянулись на вопрос, мы обнаружили, что это запрещено!

Это дает нам моральный урок:

«Решение» дает нам только возможные решения, их нужно проверять!

Подсказки

  • Запишите, где выражение не определено (из-за деления на ноль, квадратного корня из отрицательного числа или по какой-либо другой причине)
  • Покажите все шаги , чтобы их можно было проверить позже (вами или кем-то еще)

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

В этом разделе показан процесс решения уравнений различных форм. Здесь также показано, как проверить свой ответ тремя разными способами:
алгебраически, графически и с использованием концепции эквивалентности.
В следующей таблице приведены частичные списки типичных уравнений.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ — Решите относительно x в следующих уравнениях.

  1. x — 4 = 10
    Решение
  2. 2 x — 4 = 10
    Решение
  3. 5x — 6 = 3 x — 8
    Решение
  4. Решение

  5. Решение
  6. 2 (3 x -7) + 4 (3 x + 2) = 6 (5 x + 9) + 3
    Решение
  7. Решение

УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ РАДИКАЛ (S) — Решите для x следующим образом
уравнения.

  1. Решение

  2. Решение

  3. Решение

  4. Решение

  5. Решение

  6. Решение

  7. Решение

УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ — Решите для x в
следующие уравнения.

  1. Решение

  2. Решение

  3. Решение

  4. Решение

  5. Решение

КВАДРАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x следующим образом
уравнения.

  1. х
    Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение

УРАВНЕНИЯ, ВКЛЮЧАЮЩИЕ ДОБИ — Решите для x следующим образом
уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x следующим образом
уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение
  6. Решение
  7. Решение

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x следующим образом
уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение

  6. Решение

  7. Решение

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x следующим образом
уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение
  6. Решение
  7. Решение
  8. Решение
  9. Решение
  10. Решение
  11. Решение
  12. Решение

[Алгебра]
[Тригонометрия]

[Геометрия]
[Дифференциальные уравнения]

[Исчисление]
[Комплексные переменные]
[Матричная алгебра]

С.Домашняя страница O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем

S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси Маркус

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.

Свяжитесь с нами

Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США

пользователей онлайн за последний час

Решение алгебраических уравнений: определение и примеры — математический класс [видео 2021 года]

Немного базовой терминологии

Математика с буквами — это просто расширение математики без букв.Алгебра просто упрощает разговор о чем-то с неизвестной ценностью, и вам не нужно делать сумасшедшие утверждения, как мы только что сделали.

Математики согласились называть букву, которая используется для обозначения неизвестной величины, переменной . Чтобы сбить с толку, он называется переменной, даже если представляет собой одно конкретное число, как в случае с нашим примером уравнения. Пять — единственное число, которое делает равенство 3 x + 2 = 17 истинным. Но даже после того, как вы это узнаете, x по-прежнему называется переменной.

3 из 3 x + 2 = 17 называется коэффициентом, а 2 и 17 называются константами; мы можем называть их постоянными членами. Любые термины, умноженные на одну и ту же переменную или комбинацию переменных, подобны терминам. 3 y и 10 y являются одинаковыми терминами, как и 3 xy и 17,23 xy . Сравните их с 3 x и 7 y , которые не похожи на термины и не могут быть объединены.

Теперь, когда мы разобрались с этим, давайте разберемся с алгебраическими уравнениями.

Алгебраическое уравнение: определение

Есть несколько правил, которые мы должны соблюдать:

  • Алгебраическое уравнение должно содержать переменную.
  • Переменная должна быть умножена на коэффициент, отличный от нуля.
  • Должен быть знак равенства.

Является ли наше уравнение 3 x + 2 = 17 алгебраическим уравнением?

Да! Он имеет переменную, умноженную на ненулевой коэффициент (3), и имеет знак равенства, поэтому он соответствует нашим требованиям.

Решение уравнений с одной переменной

Решение алгебраического уравнения означает всего лишь манипулирование уравнением, так что переменная сама по себе находится на одной стороне уравнения, а все остальное — на другой стороне уравнения. Как только все остальное упростится, уравнение решено.

Самое простое алгебраическое уравнение, которое вы могли бы иметь, было бы что-то вроде x = 5, которое одновременно является алгебраическим уравнением и собственным решением.

Давайте попробуем что-нибудь посложнее: y + 5 = 10.

Как мы можем получить y отдельно? Да ну избавиться от 5 конечно! Только не все так просто. Стороны уравнения во многом похожи на братьев и сестер: если вы сделаете что-то для одного, а не для другого, кто-то начнет кричать: « Это несправедливо! » Чтобы избежать этой ситуации, что бы мы ни делали с одной стороной уравнения, нам нужно делать и с другим. Что нам нужно сделать с левой стороны, чтобы избавиться от этой надоедливой пятерки?

Вычтем 5 из обеих частей уравнения. В результате наше уравнение станет следующим:

y + 5-5 = 10-5

Это немного неуклюже, поэтому давайте объединим похожие термины:

y + (5-5) = (10-5) )

5-5 = 0 и 10-5 = 5, поэтому наше уравнение принимает следующий вид:

y = 5

Теперь это решено! По мере того, как вы ближе познакомитесь с этими типами операций, вы можете пропустить промежуточные шаги и просто перейти от y + 5 = 10 к y = 5 за один шаг.А пока вам следует записать каждый шаг. Это хорошая практика, которая также помогает вашим учителям понять, с какими шагами у вас возникают проблемы.

Еще один совет: не думайте, что вы знаете, сколько места вам понадобится для решения уравнения. Это часто приводит к беспорядку, поэтому избегайте этого! Оставьте много бумаги для выработки каждого решения, чтобы у вас никогда не закончилось место. Еще лучше не записывать ничего для следующей задачи, пока не закончите ту, над которой работаете.

Дополнительная практика

Тот же процесс, который мы видели ранее (перемещение, за исключением переменной, к другой стороне уравнения), работает независимо от того, какая операция требуется.

Давайте решим наше исходное уравнение: 3 x + 2 = 17. Как вы думаете, будет легче сначала избавиться от 3 или 2? Хорошая новость в том, что вы можете делать это в любом порядке. Начнем с 3:

(3 x + 2) / 3 = 17/3

Это сокращается до:

x + 2/3 = 17/3

Ой, наверное, было бы было лучше начать с 2. Ну, давайте продолжим:

x + 2/3 — 2/3 = 17/3 — 2/3

Теперь объедините похожие термины:

x = 15 / 3

И, наконец:

x = 5

Почему бы вам не попробовать ту же задачу, но начать с манипулирования 2 вместо 3.Посмотрим, сможете ли вы придумать такой же ответ! Возможно, вам будет легче, чем то, что мы только что сделали.

Когда мы начинаем говорить о переменных с показателями степени или уравнениях с несколькими переменными, решения могут стать немного более сложными. Однако вы должны быть рады узнать, что все правила и методы, описанные в этом уроке, по-прежнему применимы к этим более сложным задачам. Язык математики строится сам на себе. Разве математика не прекрасна?

Краткое содержание урока

Хорошо, давайте сделаем пару минут, чтобы повторить.Как мы узнали на этом уроке, алгебраическое уравнение состоит из переменной, ненулевого коэффициента и констант. И помните, что переменная — это просто буква, которая используется для обозначения неизвестной величины.

Решение этого типа уравнения включает в себя манипулирование им в соответствии с логическими математическими правилами, чтобы вы могли найти нужную переменную, выделив ее с одной стороны уравнения, а все остальное — с другой. Представьте, что каждая сторона равенства — это ребенок: что бы вы ни делали с одной стороной, вы должны сделать и с другой стороной.Как только вы усвоите эти концепции, решение алгебраических уравнений станет легким делом!

Введение в алгебру | SkillsYouNeed

Многие люди думают, что уравнений и алгебра им недоступны — мысль о необходимости работать с уравнениями наполняет их страхом. Однако не стоит бояться уравнений.

Хорошая новость заключается в том, что уравнения на самом деле являются относительно простыми концепциями, и с небольшой практикой и применением некоторых простых правил вы можете научиться управлять ими и решать их.

Эта страница призвана познакомить вас с основами алгебры и, надеюсь, позволит вам чувствовать себя более комфортно при решении простых уравнений.

Что такое уравнение?


Уравнение — это два выражения по обе стороны от символа, указывающего на их взаимосвязь.

Это отношение может быть равно (=), меньше (<) или больше (>) или может иметь некоторую комбинацию. Например, меньше или равно (≤) или даже не равно (≠) или приблизительно равно (≈). Это известно как равенство символов.

Таким образом, простые уравнения включают 2 + 2 = 4 и 5 + 3> 3 + 4.

Однако, когда большинство людей говорят об уравнениях, они имеют в виду алгебраические уравнения.

Это уравнения, в которых используются как буквы, так и числа. Буквы используются для замены некоторых чисел, если числовое выражение было бы слишком сложным или если вы хотите обобщить, а не использовать конкретные числа. Их также можно использовать, когда вы знаете значения в части уравнения, но другие значения неизвестны, и вам нужно их вычислить.

Алгебраические уравнения решаются путем определения чисел, которые обозначают буквы.

Мы можем превратить два простых уравнения выше в алгебраические, подставив \ (x \) вместо одного из чисел:

2 + 2 = \ (\ boldsymbol {x} \)

Мы знаем, что 2 + 2 = 4, что означает, что \ (x \) должно быть равно 4. Таким образом, решение уравнения: \ (\ boldsymbol {x} \) = 4 .

5 + 3> 3 + \ (\ boldsymbol {x} \)

Мы знаем, что 5 + 3 = 8.Уравнение говорит нам, что 8 больше, чем (>) 3 + \ (x \).

Нам нужно переставить уравнение так, чтобы \ (x \) находился с одной стороны, а все числа — с другой, иначе мы не сможем найти значение \ (x \). Правило перестановки уравнений: то, что вы делаете с одной стороной, вы должны делать и с другой . Подробнее об этом ниже.

Возьмите 3 с обеих сторон (8 — 3 = 5), тогда уравнение станет

5> \ (\ boldsymbol {x} \)

Мы видим, что \ (x \) должно быть меньше 5 ( \ (x \) <5 ).

Мы не можем сказать более точно, что такое \ (x \) с информацией, которую нам дают. Однако в исходном уравнении, которое мы использовали в качестве нашего примера, мы заменили 4 на \ (x \), что действительно меньше 5.

Нет никакого волшебства в использовании фигурной буквы «x» (\ ({x} \)). Вы можете использовать любую понравившуюся букву, хотя \ ({x} \) и \ ({y} \) обычно используются для обозначения неизвестных элементов уравнений.

Переменные и константы


Буква, используемая для замены числа в алгебре, называется переменной , потому что она означает разные числа каждый раз, когда вы ее используете.

Это отличается от конкретной буквы, которая всегда используется для замены одного и того же числа, например, \ (\ pi \) (pi), которое всегда равно 3,142. Такая буква называется константой .

В алгебраическом уравнении любые заданные числа также являются константами, потому что они всегда остаются неизменными.

Если вам нужно решить уравнение, содержащее константу, вам всегда сообщат ее значение.


Члены уравнения

Член — это часть уравнения, которая отделена от других частей, обычно символом сложения (+) или вычитания (-).

Группа терминов называется выражением, скорее как математическое предложение или описание. Некоторые математические выражения могут выглядеть довольно устрашающе, полные цифр и букв, некоторые из которых могут быть даже греческими. Однако главное — рассматривать каждый термин отдельно и разбивать его на вещи, которые вам известны или которые вы можете решить. Если вы сделаете это, вы начнете понимать, что это не всегда так сложно, как вы думали вначале.

Термины могут быть просто числами, буквами или комбинацией букв и цифр, например 2 \ (\ boldsymbol {x} \), 3 \ (\ boldsymbol {xy} \) или 4 \ (\ boldsymbol {x} \) 2 .

В термине, состоящем из букв и цифр, число известно как коэффициент , а буква — это переменная . Коэффициент — это просто «множитель» — он говорит вам, сколько чего-то (переменной) у вас есть в этом термине.

Термины, которые имеют точно такую ​​же переменную, называются , как и термины , и вы можете складывать, вычитать, умножать или делить их, как если бы они были простыми числами. Например:

Уравнение 2 \ (x \) + 3 \ (x \) равно 5 \ (x \), просто 2 лота \ (x \) плюс 3 лота \ (x \), чтобы получить 5 лотов \ (х \) (5 \ (х \)).2 $$

Вы, , не можете складывать или вычитать «непохожие термины». Однако вы можете умножить их, комбинируя переменные и умножая коэффициенты вместе.

Так, например, 3 \ (y \) × 2 \ (x \) = 6 \ (xy \) (потому что 6 \ (xy \) просто означает 6 раз \ (x \) раз \ (y \)) .

Вы можете разделить непохожие члены, превратив их в дроби и сократив их. Начните с цифр, затем с букв.

Так, например:

\ (\ large {6xy ÷ 3x} \)

$$ \ frac {6xy} {3x} $$ = $$ \ frac {2xy} {x} $$ = $$ \ frac {2y} {1} $$ = $$ 2г $$
Разделить верхний
и нижний
на 3
Разделите верхний
и нижний
на
1 можно игнорировать
, потому что
все, что делится на
на 1, само по себе

Перестановка и решение уравнений

Во многих случаях для решения уравнения вам, вероятно, потребуется переставить его .Это означает, что вам нужно переместить термины так, чтобы в итоге вы получили только термины, содержащие \ (x \) с одной стороны символа равенства (например, =,> или <), и все числа с другой.

Этот процесс иногда называют изолирующим \ (x \) .

Вы можете переставлять уравнения с помощью набора простых правил:

  1. Что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, вы, , должны сделать то же самое с другой. Таким образом вы сохраните отношения между ними.Неважно, что вы делаете, убираете ли вы 2, прибавляете 57, умножаете на 150 или делите на \ (x \). Пока вы делаете это с обеих сторон, уравнение остается правильным. Можно представить себе уравнение как набор весов или качелей, которые всегда должны балансировать.

  2. На нашей странице Дополнение объясняет, что не имеет значения, в каком порядке вы добавляете, ответ все тот же. Это означает, что вы можете переставить выражение, чтобы собрать подобных терминов вместе и упростить сложение.Это применимо и к вычитанию , если вы помните из нашей страницы, посвященной положительным и отрицательным числам , что вычитание то же самое, что добавление отрицательного числа . Так, например, 10-3 = 10 + (-3).

  3. Уравнения также работают в соответствии с BODMAS , поэтому не забывайте выполнять вычисления в правильном порядке.

  4. Всегда приводите уравнение в простейшей возможной форме: умножайте квадратные скобки, делите вниз, сокращайте дроби и складывайте / вычитайте все подобные члены.

Рабочих примеров:

Попытайтесь решить эти уравнения для \ (x \), щелкните поля, чтобы увидеть работу и ответы.

$$ \ large {x + 3 = 5 × 4} $$

  • Как и при любом вычислении, сначала выполните умножение. 5 × 4 = 20
  • Итак \ (x \) + 3 = 20
  • Следующий шаг — убрать по три с обеих сторон
  • \ (х \) + 3 — 3 = 20 — 3
  • 20 — 3 = 17.

Это оставляет вам ответ: \ (x \) = 17

$$ \ large {5 + x + 21 = 3 + 6 × 5} $$

  • Сначала выполните расчет с правой стороны, потому что он не включает никаких букв.Скобок нет, поэтому сначала умножение, затем сложение.
  • 6 × 5 = 30 и 30 + 3 = 33.
  • Вычисление слева является сложением, поэтому вы можете перемещать члены, пока не соберете все числа вместе:
    5 + \ (x \) + 21 = \ (x \) + 5 + 21
    и 5 + 21 = 26.
  • Итак, теперь у вас есть 26 + \ (x \) = 33
  • Теперь можно убрать 26 с обеих сторон
  • 26 + \ (х \) — 26 = \ (х \) = 33 — 26
  • И 33 — 26 = 7.2 + 5 = 13 — 4} $$
    • Переставьте так, чтобы все числа были на одной стороне, убрав по пять с каждой стороны.
    • Теперь у вас есть
      \ (x \) 2 = 13-4-5, поэтому
    • \ (х \) 2 = 4
    • Теперь вам нужно извлечь квадратный корень из обеих частей, потому что вы хотите найти значение \ (x \), а не \ (x \) 2 .
    • Вы знаете, что 2 × 2 = 4, что означает, что квадратный корень из 4 = 2

    \ (х \) = 2


    Уравнения и графики

    Любое уравнение, в котором существует связь только между двумя переменными, \ (x \) и \ (y \), можно нарисовать в виде линейного графика, где \ (x \) идет вдоль горизонтальной оси (иногда называемой x- ось) и \ (y \) по вертикальной оси (иногда называемой осью y).

    Вы можете вычислить точки на графике, решив уравнение для конкретных значений \ (x \).

    Примеры:

    \ (\ large {y = 2x + 3} \)

    \ (х \) 0 1 2 3 4 5 6
    расчет 2 (0) + 3 2 (1) + 3 2 (2) + 3 2 (3) + 3 2 (4) + 3 2 (5) + 3 2 (6) + 3
    \ (г \) 3 5 7 9 11 13 15

    Преимущество построения графика уравнения состоит в том, что затем вы можете использовать его для вычисления значения \ (y \) для любого заданного значения \ (x \) или, действительно, \ (x \) для любого заданного значения. \ (y \), глядя на график.2 + х + 4} \)

    Когда \ (x \) = 0, \ (y \) = 0 + 0 + 4 = 4
    , когда \ (x \) = 1, \ (y \) = 1 + 1 + 4 = 6
    , когда \ ( x \) = 2, \ (y \) = 4 + 2 + 4 = 10
    и так далее …

    \ (х \) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    \ (г \) 4 6 10 16 24 34 46 60 76 94 114

    Экстраполировать


    Еще одно преимущество построения уравнения на графике состоит в том, что вы можете экстраполировать свои данные (числовую информацию), чтобы получить большие значения \ (x \) или \ (y \).Экстраполяция означает, что вы расширяете свой график, продолжая линию, которую вы нарисовали из своих данных, для оценки значений \ (x \) и \ (y \) за пределами диапазона данных, которые у вас уже есть.

    В первом примере уравнение дает прямую линию, поэтому экстраполировать этот график несложно. Однако необходимо соблюдать осторожность при экстраполяции графика, который не является прямой линией, как во втором примере.


    Заключение

    На этой странице объясняется, как решать простые уравнения, а также взаимосвязь между уравнениями и графиками, что дает вам альтернативный способ решения уравнений.

    Теперь вы готовы перейти к более сложным уравнениям, включая одновременные уравнения и квадратные уравнения.


    Определение выражений и уравнений | Предалгебра

    Результаты обучения

    • Определять и записывать математические выражения, используя слова и символы
    • Определять и записывать математические уравнения, используя слова и символы
    • Определите разницу между выражением и уравнением
    • Используйте экспоненциальную запись для выражения многократного умножения
    • Записать экспоненциальное выражение в развернутом виде

    Определить выражения и уравнения

    В чем разница между фразой и предложением в английском языке? Фраза выражает отдельную мысль, которая сама по себе является неполной, а предложение — законченное утверждение.«Очень быстро бежал» — это фраза, а «Футболист бежал очень быстро» — это предложение. В предложении есть подлежащее и глагол.

    В алгебре у нас есть выражений и уравнений . Выражение похоже на фразу. Вот несколько примеров выражений и их соотношения со словосочетаниями:

    Выражение слов Фраза
    [латекс] 3 + 5 [/ латекс] [латекс] 3 \ text {plus} 5 [/ латекс] сумма трех и пяти
    [латекс] n — 1 [/ латекс] [латекс] н [/ латекс] минус один разница [латекс] н [/ латекс] и одна
    [латекс] 6 \ cdot 7 [/ латекс] [латекс] 6 \ text {times} 7 [/ латекс] произведение шести и семи
    [латекс] \ frac {x} {y} [/ латекс] [латекс] x [/ латекс] разделить на [латекс] y [/ латекс] частное [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс]

    Обратите внимание, что фразы не образуют законченное предложение, потому что во фразе нет глагола.Уравнение — это два выражения, соединенных знаком равенства. Когда вы читаете слова, которые символы представляют в уравнении, вы получаете полное предложение на английском языке. Знак равенства дает глагол. Вот несколько примеров уравнений:

    Уравнение Приговор
    [латекс] 3 + 5 = 8 [/ латекс] Сумма трех и пяти равна восьми.
    [латекс] n — 1 = 14 [/ латекс] [латекс] n [/ латекс] минус один равен четырнадцати.
    [латекс] 6 \ cdot 7 = 42 [/ латекс] Произведение шести и семи равно сорока двум.
    [латекс] x = 53 [/ латекс] [латекс] х [/ латекс] равен пятидесяти трем.
    [латекс] y + 9 = 2y — 3 [/ латекс] [латекс] y [/ latex] плюс девять равно двум [латексу] y [/ latex] минус три.

    Выражения и уравнения

    Выражение — это число, переменная или комбинация чисел, переменных и символов операций.
    Уравнение состоит из двух выражений, соединенных знаком равенства.

    , пример

    Определите, является ли каждое из них выражением или уравнением:

    1. [латекс] 16 — 6 = 10 [/ латекс]
    2. [латекс] 4 \ cdot 2 + 1 [/ латекс]
    3. [латекс] x \ div 25 [/ латекс]
    4. [латекс] y + 8 = 40 [/ латекс]

    Решение

    1. [латекс] 16 — 6 = 10 [/ латекс] Это уравнение — два выражения соединены знаком равенства.
    2. [латекс] 4 \ cdot 2 + 1 [/ латекс] Это выражение — без знака равенства.
    3. [латекс] x \ div 25 [/ латекс] Это выражение — без знака равенства.
    4. [латекс] y + 8 = 40 [/ латекс] Это уравнение — два выражения соединены знаком равенства.

    Упростите выражения с помощью экспонентов

    Упростить числовое выражение — значит сделать все возможное.Например, чтобы упростить [latex] 4 \ cdot 2 + 1 [/ latex], мы сначала умножим [latex] 4 \ cdot 2 [/ latex], чтобы получить [latex] 8 [/ latex], а затем добавить [latex ] 1 [/ latex], чтобы получить [latex] 9 [/ latex]. Хорошая привычка — работать со страницей вниз, записывая каждый шаг процесса под предыдущим. Только что описанный пример будет выглядеть так:

    [латекс] 4 \ cdot 2 + 1 [/ латекс]
    [латекс] 8 + 1 [/ латекс]
    [латекс] 9 [/ латекс]

    Предположим, у нас есть выражение [латекс] 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 [/ latex].{5} [/ латекс] [латекс] 12 [/ латекс] в пятой степени

    , пример

    Запишите каждое выражение в экспоненциальной форме:

    1. [латекс] 16 \ cdot 16 \ cdot 16 \ cdot 16 \ cdot 16 \ cdot 16 \ cdot 16 [/ латекс]
    2. [латекс] \ text {9} \ cdot \ text {9} \ cdot \ text {9} \ cdot \ text {9} \ cdot \ text {9} [/ latex]
    3. [латекс] x \ cdot x \ cdot x \ cdot x [/ латекс]
    4. [латекс] a \ cdot a \ cdot a \ cdot a \ cdot a \ cdot a \ cdot a \ cdot a [/ latex]

    Показать решение

    Решение

    1.{4} [/ латекс]
    Разверните выражение. [латекс] 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 [/ латекс]
    Умножение слева направо. [латекс] 9 \ cdot 3 \ cdot 3 [/ латекс]
    [латекс] 27 \ cdot 3 [/ латекс]
    Умножить. [латекс] 81 [/ латекс]

    Как решать алгебру

    г = 24 — 4x

    Пояснение:

    Как показано в приведенном выше примере, мы вычисляем значение переменной из одного уравнения и подставляем его в другое.

    Нам дано, что

    у = 24 — 4х —— (1)
    2x + y / 2 = 12 —— (2)

    Здесь мы выбираем уравнение (1) для вычисления значения x. Поскольку уравнение (1) уже находится в
    самая упрощенная форма:

    (Подставляя это значение y в уравнение (2), а затем решая для x
    дает)

    2x + (24-4x) / 2 = 12 —— (2) (∵ y = 24 — 4x)
    2x + 24 / 2- 4x / 2 = 12
    2x + 12 — 2x = 12
    12 = 12

    Вы можете подумать, что это тот же сценарий, что обсуждался выше (24 = 24).Но
    ждать! Вы слишком рано пытаетесь сделать вывод. В предыдущем сценарии
    результат 24 = 24 был получен потому, что мы поместили значение переменной в то же уравнение, что и
    используется для его вычисления. Здесь мы этого не сделали.

    Результат 12 = 12 имеет какое-то отношение к природе системы уравнений, которую мы
    дано.Независимо от того, какой метод решения вы можете использовать, решение системы линейных
    уравнения лежат в единственной точке, где их линии пересекаются. В этом сценарии две строки
    в основном одинаковы (одна линия над другой. На следующем рисунке показан этот сценарий.

    Такая система называется зависимой системой
    уравнения.И решение такой системы — это вся линия (каждая точка на линии — это точка
    пересечения двух линий)

    Следовательно, решением данной системы уравнений является вся

    строка: y = 24 — 4x

    Другой возможный сценарий:

    Подобно этому примеру, существует другой сценарий, в котором замена одной переменной
    в уравнение 2 nd приводит к результату, аналогичному показанному ниже:

    23 = –46

    или

    5 = 34

    Такой сценарий возникает, когда не существует решения данной системы уравнений.Т.е.,
    когда две линии вообще не пересекаются.

    Следовательно, в случае такого результата, когда кажется, что ваши основные математические правила не работают, простой вывод
    заключается в том, что решения данной системы не существует. Такая система уравнений называется системой Несогласованная .

    Алгебраические выражения — определение, примеры и формулы

    Алгебраические выражения — это уравнения, которые мы получаем при выполнении таких операций, как сложение, вычитание, умножение, деление и т. Д. С любой переменной. Например, предположим, что Джеймс и Натали играли спичками и думали о том, чтобы с их помощью сформировать числовые комбинации. Джеймс взял четыре спички и сформировал число 4.Натали добавила еще три спички, чтобы получился узор из двух четверок. Они поняли, что могут добавлять по 3 спички в каждом раунде, чтобы получить одну дополнительную «четверку». Из этого они пришли к выводу, что им нужно 4+ 3 (n-1) палочек, в общем, чтобы сделать узор с n числом 4. Здесь 4+ 3 (n-1) называется алгебраическим выражением.

    Что такое алгебраические выражения?

    Алгебраическое выражение (или) выражение переменной — это комбинация терминов с помощью таких операций, как сложение, вычитание, умножение, деление и т. Д.Например, давайте посмотрим на выражение 5x + 7. Таким образом, мы можем сказать, что 5x + 7 — это пример алгебраического выражения. Есть разные компоненты алгебраического выражения. Давайте посмотрим на изображение, приведенное ниже, чтобы понять концепцию переменных, констант, терминов и коэффициентов любого алгебраического выражения.

    Переменные, константы, члены и коэффициенты

    В математике символ, не имеющий фиксированного значения, называется переменной.Может принимать любое значение. В приведенном выше примере со спичками n — это переменная, и в этом случае она может принимать значения 1,2,3, … Некоторые примеры переменных в Math: a, b, x, y, z, m, и т.д. С другой стороны, символ, имеющий фиксированное числовое значение, называется константой. Все числа постоянные. Некоторые примеры констант: 3, 6, — (1/2), √5 и т. Д. Термин — это одна переменная (или) одна константа (или) это может быть комбинация переменных и констант посредством операции умножения. или деление.Некоторые примеры терминов: 3x 2 , — (2y / 3), √ (5x) и т. Д. Здесь числа, умножающие переменные, — 3, -2/3 и 5. Эти числа называются коэффициентами . .

    Как упростить алгебраические выражения?

    Чтобы упростить алгебраическое выражение, мы просто объединяем похожие термины. Следовательно, одинаковые переменные будут объединены вместе. Теперь из одинаковых переменных одни и те же полномочия будут объединены.Например, давайте возьмем алгебраическое выражение и попытаемся свести его к низшей форме, чтобы лучше понять концепцию. Пусть наше выражение будет:

    x 3 + 3x 2 — 2x 3 + 2x — x 2 + 3 — x

    = (x 3 — 2x 3 ) + (3x 2 — x 2 ) + (2x — x) + 3

    = −x 3 + 2x 2 + x + 3

    Следовательно, алгебраическое выражение x 3 + 3x 2 — 2x 3 + 2x — x 2 + 3 — x упрощается до −x 3 + 2x 2 + x + 3.

    Формулы алгебраических выражений

    Алгебраические формулы — это производные короткие формулы, которые помогают нам легко решать уравнения. Это просто перестановка данных терминов с целью создания лучшего выражения, которое легко запомнить. Ниже приведен список некоторых основных формул, которые широко используются. Взгляните на эту страницу, чтобы лучше понять алгебраические формулы.

    • (a + b) = a 2 + 2ab + b 2
    • (a — b) = a 2 — 2ab + b 2
    • (а + б) (а — б) = а 2 — б 2
    • (x + a) (x + b) = x 2 + x (a + b) + ab

    Типы алгебраических выражений

    Типы алгебраических выражений основаны на переменных, найденных в этом конкретном выражении, количестве членов этого выражения и значениях показателей степени переменных в каждом выражении.Ниже приведена таблица, в которой алгебраические выражения делятся на пять различных категорий. Посмотрим на таблицу.

    Типы Значение Примеры

    моном

    Выражение только с одним членом, в котором показатели всех переменных являются неотрицательными целыми числами

    3xy

    Биномиальное

    Выражение с двумя одночленами

    (3/4) x — 2 года 2

    Трехчлен

    Выражение с тремя одночленами

    3x-2y + z

    Полином

    Выражение с одним или несколькими одночленами

    — (2/3) x 3 + 7x 2 + 3x + 5

    Полиномиальный

    Выражение с одним или несколькими членами (показатели переменных могут быть как положительными, так и отрицательными)

    4x -1 + 2y + 3z


    Часто задаваемые вопросы по алгебраическим выражениям

    Как описать алгебраическое выражение?

    Алгебраическое выражение описывается с помощью его терминов и операций с ними.Например, x + 3 можно описать как «на 3 больше, чем x». В то время как a + b — 7 можно описать как «на 7 меньше суммы a и b».

    Сколько терминов в алгебраическом выражении?

    Термин — это одна переменная (или) одна константа (или) он может быть комбинацией переменных и констант посредством операции умножения или деления. Мы применяем это определение, чтобы идентифицировать термины в алгебраическом выражении. После того, как мы определим термины, мы можем просто их сосчитать.

    Почему алгебраические выражения полезны?

    В алгебраических выражениях используются переменные (которые принимают несколько значений) для описания реального сценария.Вместо того, чтобы говорить «Стоимость 3 ручек и 4 карандашей», просто сказать 3x + 4y, где x и y — стоимость каждой ручки и карандаша соответственно. Кроме того, написание реального сценария в виде выражения помогает выполнять математические вычисления.

    Как определить алгебраическое выражение?

    Алгебраическое выражение — это комбинация переменных и констант.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.