3X x 12 решить уравнение: решите уравнение 3x-x=12 — Школьные Знания.com

Содержание

Равносильные уравнения. Преобразование уравнений | Математика

Два или более уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же корни. Например, уравнения:

x2 + 2 = 3x

и

x2 — 3x + 2 = 0

равносильные, потому что имеют одни и те же корни (2  и  1  — это можно проверить подстановкой).

Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

Преобразование уравнений

Если одно уравнение заменяется другим уравнением, равносильным данному, то такая замена называется преобразованием уравнения. Например, уравнение

x2 + 5 = 9

можно преобразовать в такое:

5 + x2 = 9.

Если одно уравнение заменяется другим, равносильным данному и при этом более простым, то такое преобразование называется упрощением уравнения. Например, упростим следующее уравнение:

2x + 3x = 15,

заменив его равносильным уравнением

5x = 15.

Все преобразования уравнений основаны на двух свойствах равенств, и следствиях, которые вытекают из данных свойств.

Если к обеим частям уравнения прибавить или отнять одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим уравнение  x — 5 = 7.  Прибавив к обеим частям уравнения число  5

x — 5 + 5 = 7 + 5,

получим уравнение  x = 12.  Если в уравнение  x — 5 = 7  вместо  x  подставить число  12,  то можно удостовериться, что, прибавив к обеим частям уравнения число  5,  мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.

Из данного свойства можно вывести три следствия:

  1. Если в обеих частях уравнения есть одинаковые члены с одинаковыми знаками, то эти члены можно опустить (сократить).

    Возьмём уравнение  x + 13 = 10 + 13.  Отняв от обеих частей по  13,  получим

    x = 10.


  2. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

    Рассмотрим уравнение  5x — 4 = 12 + x.  Прибавим к обеим частям уравнения по  4:

    5x — 4 + 4 = 12 + x + 4.

    Получим:

    5x = 12 + x + 4,

    то есть член  4  перешёл в другую часть с обратным знаком. Теперь вычтем из обеих частей уравнения  5x — 4 = 12 + x  по  x:

    5x — 4 — x = 12 + xx.

    Получим:

    5x — 4 — x = 12,

    то есть член  x  перешёл в другую часть с обратным знаком.


  3. Знаки всех членов уравнения можно заменить на противоположные.

    Перенесём все члены левой части уравнения  5x — 4 = 12 + x  в правую, а все члены правой в левую:

    -12 — x = -5x + 4.

    И, учитывая, что части любого равенства ( в том числе и любого уравнения) можно менять местами, то, поменяв левую часть с правой, получим:

    -5x + 4 = -12 — x,

    то есть получилось, что мы просто заменили знаки всех членов уравнения на противоположные.


    Данное преобразование можно также рассматривать как умножение обеих частей уравнения на  -1.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число или алгебраическое выражение, то получится уравнение, равносильное данному.

Рассмотрим уравнение  3x = 12.  Разделив обе части уравнения на число  3:

3x : 3 = 12 : 3,

получим уравнение  x = 4.  Если в уравнение  3x = 12  вместо  x  подставить число  4,  то можно удостовериться, что, разделив обе части уравнения на  3,  мы не только получили равносильное уравнение, но и нашли его корень.

Из данного свойства можно вывести два следствия:

  1. Если все члены уравнения имеют общий множитель, то можно разделить на него все члены уравнения, таким образом, упростив его.

    Возьмём уравнение  16x + 8 = 40.  Разделив все члены на общий множитель  8,  получим:

    2x + 1 = 5.


  2. Если в уравнении есть дробные члены, то от них можно освободить уравнение, приведя все члены к одному знаменателю и затем отбросить его.

    Возьмём уравнение:


    x 12 — x  =  26 — x  .
    4 2

    После приведения всех членов к общему знаменателю получим:


    4x  +  12 — x  =  2(26 — x)  .
    4 4 4

    Теперь, умножив все члены уравнения на  4,  или, что то же самое, просто отбросив знаменатель, получим:

    4x + 12 — x = 2(26 — x).

задача / Решить приблизительно (численно) уравнение $%3x^4+4x^3-12x^2-5=0$% / Математика

Для решения уравнений 4-й степени иногда можно с успехом применить метод Феррари, но здесь он не помогает. 2+x-2)=12x(x-1)(x+2)$%. Это значит, что у функции $%f(x)$% мы знаем все точки локального экстремума, а также промежутки возрастания и убывания (по знаку производной).

Прежде всего, $%f(-2)=-37$%, $%f(0)=-5$%, $%f(1)=-10$%. Это позволяет хорошо представить себе график функции $%f$%. Она сначала убывает при $%x < -2$%, принимая значения от $%+\infty$% до $%-37$%. На этом участке график один раз пересекает ось абсцисс, что даёт один из корней. Далее в точке $%x=-2$% у функции имеется локальный минимум, а потом она начинает возрастать при $%x\in(-2;0)$%. Значения принимаются от $%-37$% до $%-5$%, и корней здесь нет. В точке $%x=0$% имеется локальный максимум, потом идёт убывание при $%x\in(0;1)$%, и значения функции уменьшаются от $%-5$% до $%-10$%. В точке $%x=1$% наблюдается локальный минимум, а далее $%f$% монотонно возрастает, со значениями от $%-10$% до $%+\infty$%, и при этом она второй раз пересекает ось абсцисс, что даёт второй действительный корень.

Всего корней оказывается два, и теперь надо их локализовать, то есть указать промежутки, на которых они находятся. Для этого надо заметить, что $%f(-3)=22 > 0$%, $%f(-2)=-37 < 0$%, то есть на концах отрезка $%[-3;-2]$% функция имеет разные знаки. Это значит, что первый корень $%x_1$% принадлежит интервалу $%(-3;-2)$%. Можно при этом считать, что он приближённо равен $%-2,5$% (середина), и точность такого приближения равна $%0,5$%. Если нужно повысить уровень точности, то для этого можно применить метод половинного деления. Его идея проста: смотрим значение функции в середине, то есть $%f(-2,5)$%. Вычисление показывает, что значение там отрицательно, откуда вытекает, что $%f$% меняет знак между $%-3$% и $%-2,5$%, то есть корень следует искать там. Снова берём середину — это $%-2,75$%, и так до достижения нужной степени точности.

Для второго корня ситуация похожая: у нас $%f(1)=-10 < 0$%, $%f(2)=27 > 0$%. Значит, второй корень $%x_2$% принадлежит интервалу $%(1;2)$%, и приближённое значение можно положить равным $%1,5$%.

Вычисления на компьютере показывают, что $%x_1\approx-2. 823853083$%, $%x_2\approx1.592088065$%.

отвечен
22 Окт ’13 19:30

Как решать линейное уравнение с одной переменной?

Линейное уравнение с одной переменной имеет общий вид
ax + b = 0.
Здесь x — это переменная, a и b – коэффициенты. По-другому a называют «коэффициент при неизвестной», b – «свободный член».

Коэффициенты это какие-то числа, а решить уравнение — это значит найти значение x, при котором выражение ax + b = 0 верно. Например, имеем линейное уравнение 3x – 6 = 0. Решить его – это значит найти, чему должен быть равен x, чтобы 3x – 6 было равно 0. Выполняя преобразования, получим:
3x = 6
x = 2

Таким образом выражение 3x – 6 = 0 верно при x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 – это корень данного уравнения. Когда решают уравнение, то находят его корни.

Коэффициенты a и b могут быть любыми числами, однако бывают такие их значения, когда корень линейного уравнения с одной переменной не один.

Если a = 0, то ax + b = 0 превращается в b = 0. Здесь x «уничтожается». Само же выражение b = 0 может быть истинным только в том случае, если знание b – это 0. То есть уравнение 0*x + 3 = 0 неверно, т. к. 3 = 0 – это ложное утверждение. Однако 0*x + 0 = 0 верное выражение. Отсюда делается вывод, если a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение с одной переменной корней не имеет вообще, но если a = 0 и b = 0, то корней у уравнения бесконечное множество.

Если b = 0, а a ≠ 0, то уравнение примет вид ax = 0. Понятно, что если a ≠ 0, но в результате умножения получается 0, то значит x = 0. То есть корнем этого уравнения является 0.

Если же ни a, ни b не равны нулю, то уравнение ax + b = 0 преобразовывается к виду
x = –b / a.
Значение x в данном случае будет зависеть от значений a и b. При этом оно будет одним единственным. То есть нельзя при одних и тех же коэффициентах получить два или более разных значений x. Например,
–8.5x – 17 = 0
x = 17 / –8.5
x = –2
Никакое другое число, кроме –2 нельзя получить, деля 17 на –8.5.

Бывают уравнения, которые с первого взгляда непохожи на общий вид линейного уравнения с одной переменной, однако легко преобразуются к нему. Например,
–4.8 + 1.3x = 1.5x + 12

Если перенести все в левую часть, то в правой останется 0:
–4.8 + 1.3x – 1.5x – 12 = 0

Далее надо привести подобные члены:
–0.2x – 16.8 = 0

Теперь уравнение приведено к стандартному виду и можно его решить:
x = 16.8 / 0.2
x = 84

Калькулятор логарифмов и антилогарифмов онлайн

Логарифмирование — это операция, обратная возведению в степень. Если вы задаетесь вопросом, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 10, то вам на помощь придет логарифм.

Обратная операция для возведения в степень

Возведение в степень — это повторяющееся умножение. Для возведения двойки в третью степень нам потребуется вычислить выражение 2 × 2 × 2. Обратная операция для умножения — это деление. Если верно выражение, что a × b = c, то обратное выражение b = a / c так же верно. Но как обратить возведение в степень? Задача обращения умножения имеет элегантное решение благодаря простому свойству, что a × b = b × a. Однако ab не равно ba, за исключением единственного случая, когда 22 = 42. В выражении ab = с, мы можем выразить a как корень b-ой степени из c, но как выразить b? Вот тут на сцене и появляются логарифмы.

Понятие логарифма

Давайте попробуем решить простое уравнение вида 2x = 16. Это показательное уравнение, так как нам требуется отыскать показатель степени. Для более простого понимания поставим задачу так: сколько раз нужно умножить двойку на саму себя, чтобы в результате получить 16? Очевидно, что 4, поэтому корень данного уравнения x = 4.

Теперь попробуем решить 2x = 20. Сколько раз нужно умножить двойку на саму себя, что бы получить 20? Это сложно, ведь 24 = 16, а 25 = 32. Рассуждая логически, корень этого уравнения располагается между 4 и 5, причем ближе к 4, возможно 4,3? Математики не терпят приблизительных вычислений и хотят знать точный ответ. Для этого они и используют логарифмы, а корнем этого уравнения будет x = log2 20.

Выражение log2 20 читается как логарифм 20 по основанию 2. Это и есть ответ, которого строгим математикам достаточно. Если вы хотите выразить это число точно, то вычислите его при помощи инженерного калькулятора. В этом случае log2 20 = 4,32192809489. Это иррациональное бесконечное число, а log2 20 — его компактная запись.

Таким элегантным способом вы можете решить любое простое показательное уравнение. Например, для уравнений:

  • 4x = 125, x = log4 125;
  • 12x = 432, x = log12 432;
  • 5x = 25, x = log5 25.

Последний ответ x = log5 25 математикам не понравится. Все потому, что log5 25 легко вычисляется и является целым числом, поэтому вы обязаны его определить. Сколько раз требуется умножить 5 на само себя, чтобы получить 25? Элементарно, два раза. 5 × 5 = 52 = 25. Поэтому для уравнения вида 5x = 25, x = 2.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм — это функция по основанию 10. Это популярный математический инструмент, поэтому он записывается иначе. К примеру, в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить 30? Ответом был бы log10 30, однако математики сокращают запись десятичных логарифмов и записывают его как lg30. Точно также log10 50 и log10 360 записываются как lg50 и lg360 соответственно.

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм — это функция по основанию e. В нем нет ничего натурального, и многих неофитов такая функция попросту пугает. Число e = 2,718281828 представляет собой константу, которая естественным образом возникает при описании процессов непрерывного роста. Как важно число Пи для геометрии, число e играет важную роль в моделировании временных процессов.

В какую степень нужно возвести число e, чтобы получить 10? Ответом был бы loge 10, но математики обозначают натуральный логарифм как ln, поэтому ответ будет записан как ln10. Тоже самое с выражениями loge 35 и loge 40, верная форма записи которых – ln34 и ln40.

Антилогарифм

Антилогарифм — это число, которому соответствует значение выбранного логарифма. Простыми словами, в выражении loga b антилогарифмом считается число ba. Для десятичного логарифма lga, антилогарифм равен 10a, а для натурального lna антилогарифм равняется ea. По сути, это тоже возведение в степень и обратная операция для логарифмирования.

Физический смысл логарифма

Нахождение степеней — чисто математическая задача, но для чего нужны логарифмы в реальной жизни? В начале развития идеи логарифмирования данный математический инструмент использовался для сокращения объемных вычислений. Великий физик и астроном Пьер-Симон Лаплас говорил, что «изобретение логарифмов сократило труд астронома и удвоило его жизнь». С развитием математического инструмента были созданы целые логарифмические таблицы, при помощи которых ученые могли оперировать огромными числами, а свойства функций позволяют преобразовать выражения, оперирующие иррациональным числами в целочисленные выражения. Также логарифмическая запись позволяет представить слишком маленькие и слишком большие числа в компактном виде.

Логарифмы нашли применение и в сфере изображения графических процессов. Если требуется нарисовать график функции, которая принимает значения 1, 10, 1 000 и 100 000, то маленькие значения будут невидны и визуально они сольются в точку около нуля. Для решения подобной проблемы используются десятичный логарифм, которой позволяет построить график функции, адекватно отображающий все ее значения.

Физический же смысл логарифмирования — это описание временных процессов и изменений. Так, логарифм по основанию 2 позволяет определить, сколько требуется удвоений начального значения для достижения определенного результата. Десятичная функция используется для поиска количества необходимых удесятирений, а натуральная представляет собой время, которое необходимо для достижения заданного уровня.

Наша программа представляет собой сборник из четырех онлайн-калькуляторов, которые позволяют вычислить логарифм по любому основанию, десятичную и натуральную логарифмическую функцию, а также десятичный антилогарифм. Для проведения вычислений вам потребуется ввести основание и число, или только число для десятичного и натурального логарифма.

Примеры из реальной жизни

Школьная задача

Как было сказано выше, иррациональные значения по типу log2 345 не требуют дополнительных преобразований, и такой ответ полностью удовлетворит учителя математики. Однако если логарифм вычисляется, вы обязаны представить его в виде целого числа. Пусть вы решили 5 примеров по алгебре, и вам требуется проверить результаты на возможность целочисленного представления. Давайте проверим их при помощи калькулятора логарифма по любому основанию:

  • log7 65 — иррациональное число;
  • log3 243 — целое число 5;
  • log5 95 — иррациональное;
  • log8 512 — целое число 3;
  • log2 2046 — иррациональное.

Таким образом, значения log3 243 и log8 512 вам потребуется переписать как 5 и 3 соответственно.

Потенцирование

Потенцирование — это нахождение антилогарифма числа. Наш калькулятор позволяет найти антилогарифмы по десятичному основанию, что по смыслу означает возведение десятки в степень n. Давайте вычислим антилогарифмы для следующих значений n:

  • для n = 1 antlog = 10;
  • для n = 1,5 antlog = 31,623;
  • для n = 2,71 antlog = 512,861.

Непрерывный рост

Натуральный логарифм позволяет описывать процессы непрерывного роста. Представим, что ВВП страны Кракожия увеличилось с 5,5 миллиардов долларов до 7,8 за 10 лет. Давайте определим ежегодный прирост ВВП в процентах при помощи калькулятора натурального логарифма. Для этого нам надо подсчитать натуральный логарифм ln(7,8/5,5), что равнозначно ln(1,418). Введем это значение в ячейку калькулятора и получим результат 0,882 или 88,2% за все время. Так как ВВП рос в течение 10 лет, то ежегодный его прирост составит 88,2 / 10 = 8,82%.

Поиск количества удесятирений

Допустим, за 30 лет количество персональных компьютеров увеличилось с 250 000 до 1 миллиарда. Сколько раз количество ПК увеличивалось в 10 раз за все это время? Для подсчета такого интересного параметра нам потребуется вычислить десятичный логарифм lg(1 000 000 000 / 250 000) или lg(4 000). Выберем калькулятор десятичного логарифма и посчитаем его значение lg(4 000) = 3,60. Получается, что с течением времени количество персональных компьютеров возрастало в 10 раз каждые 8 лет и 4 месяца.

Заключение

Несмотря на сложность логарифмов и нелюбовь детей к ним в школьные годы, этот математический инструмент находит широкое применение в науке и статистике. Используйте наш сборник онлайн-калькуляторов для решения школьных заданий, а также задач из разных научных сфер.

Тригонометрические тождества и преобразования

Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

Простейшие тригонометрические тождества

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств. 

Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)

Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.

Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)

Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)

Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)


Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.



Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции.


Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).

Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.

Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)


Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:



Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:


Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла


Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла


Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица


Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла


Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.


Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки


Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем  α/2 .

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

Тригонометрические тождества преобразования половины угла


Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению.

Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.

Тригонометрические формулы сложения углов


cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β


sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α 


sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α 

cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β 


Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:


Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.


Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.


Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.


Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.


Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций


Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:

Формулы тройного угла — преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα


Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α.

В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций


Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:


В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.

Формулы приведения тригонометрических функций


Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце — угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90)  = cos α .


См. также Полный список формул приведения тригонометрических функций.








Угол

α + 90

α + π/2

α + 180

α + π

α + 270

α + 3π/2

90 — α

π/2- α

180 — α

π- α

270 — α

3π/2- α

360 — α

2π- α

sin

cos α

-sin α

-cos α

cos α

sin α

-cos α

-sin α

cos

-sin α

-cos α

sin α

sin α

-cos α

-sin α

cos α

tg

-ctg α

tg α

-ctg α

ctg α

-tg α

ctg α

-tg α

ctg

-tg α

ctg α

-tg α

tg α

-ctg α

tg α

-ctg α

Содержание главы:

 Синус, ко синус, тангенс угла 120 градусов (sin 120 cos 120 tg 120) |

Описание курса

| Пояснение (доказательство) простейших тригонометрических тождеств 

   

3 (x-12) = 8 решите уравнение

AnsweR-

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Процедура : —

  • Когда мы смотрим на вопрос, мы посмотрите, что есть скобка. В скобках написано x-12.
  • Итак, перед этой скобкой нам даны 3. Таким образом, после любой переменной или константы стоит скобка, что означает, что мы должны умножить ее на переменную или константу, указанную внутри скобки.
  • После его умножения мы получим решение как 3x-36 = 8. После этого мы транспонируем 36 в правую часть и соответственно изменим знак.
  • После этого, когда мы получим значение RHS, мы найдем значение x сделав это дробно.Если он будет отменен, отмените его или нет, тогда оставьте его дробным.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

3.

5: Решение уравнений с целыми числами II

Мы возвращаемся к решению уравнений с целыми числами, только на этот раз уравнения будут немного более продвинутыми, требующими использования свойства распределения и навыков комбинирования схожих членов. Давайте начнем.

Пример 1

Решить относительно x : 7 x — 11 x = 12.

Решение

Объедините похожие термины.

\ [\ begin {align} 7x-11x = 12 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ = 4x = 12 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Объедините похожие термины:} 7x-11x = -4x.} \ End {выровнены} \ nonumber \]

Чтобы отменить эффект умножения на −4, разделите обе части последнего уравнения на −4.

\ [\ begin {align} \ frac {-4x} {- 4} = \ frac {12} {- 4} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на} -4.} \\ x = -3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить:} 12 / (- 4) = -3.} \ end {align} \ nonumber \]

Чек

Заменим −3 вместо x в исходном уравнении.

\ [\ begin {align} 7x-11x = 12 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 7 (-3) -11 (-3) = 12 ~ & \ textcolor {красный } {\ text {Substitute} -3 \ text {for} x.} \\ -21 + 33 = 12 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева сначала умножьте.}} \\ 12 = 12 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева добавить.}} \ end {align} \ nonumber \]

Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, −3 является решением исходного уравнения.

Упражнение

Решите относительно x : −6 x -5 x = 22.

Ответ

х = −2

Пример 2

Решите относительно x : 12 = 5 x — (4 + x ).

Решение

Чтобы получить отрицательное значение в сумме, отрисуйте каждый член в сумме (замените каждый член на противоположный). Таким образом, — (4 + x ) = −4- x .

\ [\ begin {align} 12 = 5x — (4 + x) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 12 = 5x — 4 — x ~ & \ textcolor {red} {- (4 + x) = — 4-x.} \\ 12 = 4x-4 ~ & \ textcolor {red} {\ text { Объедините похожие термины:} 5x — x = 4x.} \ End {align} \ nonumber \]

Чтобы отменить эффект вычитания 4, прибавьте 4 к обеим частям последнего уравнения.

\ [\ begin {align} 12 + 4 = 4x-4 + 4 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Добавьте 4 с обеих сторон.}} \\ 16 = 4x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ end {Выровнено} \ nonumber \]

Чтобы отменить эффект умножения на 4, разделите обе части последнего уравнения на 4.

\ [\ begin {align} \ frac {16} {4} = \ frac {4x} {4} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 4.}} \\ 4 = x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить: 16/4 = 4.} \ end {align}]

Чек

Замените 4 на x в исходном уравнении.

\ [\ begin {align} 12 = 5x — (4 + x) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение. }} \\ 12 = 5 (4) — (4 + 4) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Заменить 4 на} x.} \\ 12 = 20 — 8 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Справа 5 (4) = 20 и оценить}} \\ ~ & \ textcolor {красный} {\ text {круглые скобки:} 4 + 4 = 8.} \\ 12 = 12 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить.}} \ End {align} \ nonumber \]

Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, 4 является решением исходного уравнения.

Упражнение

Решить относительно x : 11 = 3 x — (1- x )

Ответ

х = 3

Переменные на обеих сторонах

Переменные могут встречаться по обе стороны уравнения.

Цель

Выделите члены, содержащие переменную, которую вы решаете, на одной стороне уравнения.

Пример 3

Решите относительно x : 5 x = 3 x — 18.

Решение

Чтобы изолировать переменные на одной стороне уравнения, вычтите 3 x из обеих частей уравнения и упростите.

\ [\ begin {align} 5x = 3x-18 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 5x-3x = 3x-18-3x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract} 3x \ text {с обеих сторон.}} \\ 2x = -18 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Объедините похожие термины:} 5x — 3x = 2x} \\ ~ & \ textcolor {red} {\ text {и} 3x — 3x = 0.} \ end {align} \ nonumber \]

Обратите внимание, что теперь переменная изолирована в левой части уравнения. Чтобы отменить эффект умножения на 2, разделите обе части последнего уравнения на 2.

\ [\ begin {align} \ frac {2x} {2} = \ frac {-18} {2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 2.}} \\ x = -9 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Simplify:} -18/2 = = -9.} \ end {align} \ nonumber \]

Чек

Замените −9 на x в исходном уравнении.

\ [\ begin {align} 5x = 3x — 18 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 5 (-9) = 3 (-9) -18 ~ & \ textcolor {красный } {\ text {Substitute} -9 \ text {for} x.} \\ -45 = -27-18 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала умножьте с обеих сторон.}} \\ -45 = -45 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычесть справа:} -27 — 18 = -45.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, −9 является решением исходного уравнения.

Упражнение

Решить относительно x : 4 x — 3 = x

Ответ

х = 1

Пример 4

Решите относительно x : 5 x = 3 + 6 x .

Решение

Чтобы изолировать переменные на одной стороне уравнения, вычтите 6 x из обеих частей уравнения и упростите.

\ [\ begin {align} 5x = 3 + 6x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 5x — 6x = 3 + 6x — 6x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычесть} 6x \ text {с обеих сторон.}} \\ -x = 3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Объедините похожие термины:} 5x — 6x = -x} \\ ~ & \ textcolor {красный } {\ text {и} 6x — 6x = 0.} \ end {align} \ nonumber \]

Обратите внимание, что теперь переменная изолирована в левой части уравнения.

Есть несколько способов завершить это решение.Помните, что — x совпадает с (−1) x , поэтому мы могли бы отменить эффект умножения на −1, разделив обе части уравнения на −1. Умножение обеих частей уравнения на -1 будет работать одинаково хорошо. Но, возможно, самый простой способ продолжить — просто отрицать обе части уравнения.

\ [\ begin {align} — (- x) = -3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Обнулить обе стороны.}} \\ x = -3 ~ & \ textcolor {red} {\ text { Упростить:} — (- x) = x.} \ End {align} \ nonumber \]

Чек

Замените −3 на x в исходном уравнении.

\ [\ begin {align} 5x = 3 + 6x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 5 (-3) = 3 + 6 (-3) ~ & \ textcolor {красный } {\ text {Substitute} -3 \ text {for} x.} \\ -15 = 3-18 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала умножьте с обеих сторон.}} \\ -15 = — 15 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычесть справа:} 3-8 = -15.} \ End {align} \ nonumber \]

Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, −3 является решением исходного уравнения.

Упражнение

Решить относительно x : 7 x = 18 + 9 x

Ответ

х = −9

Работа с −x.

Если ваше уравнение имеет вид

х = с ,

, где c — некоторое целое число, обратите внимание, что это эквивалентно уравнению (-1) x = c . Следовательно, разделив обе части на −1, мы получим решение для x . Умножение обеих частей на -1 работает одинаково хорошо. Однако, возможно, самое простое — отрицать каждую сторону, получая

.

— (- x ) = — c , что эквивалентно x = — c .

Пример 5

Решите относительно x : 6x — 5 = 12x + 19.

Решение

Чтобы изолировать переменные на одной стороне уравнения, вычтите 12x из обеих частей уравнения и упростите.

\ [\ begin {align} 6x-5 = 12x + 19 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 6x-5-12x = 12x + 19 — 12x ~ & \ textcolor {красный } {\ text {Subtract} 12x \ text {с обеих сторон.}} \\ -6x — 5 = 19 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Объедините похожие термины:} 6x-12x = -6x} \\ ~ & \ textcolor {красный} {\ text {и} 12x-12x = 0.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Обратите внимание, что теперь переменная изолирована в левой части уравнения. Затем, чтобы «отменить» вычитание 5, прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

\ [\ begin {align} -6x -5 + 5 = 19 + 5 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Добавьте 5 с обеих сторон.}} \\ -6x = 24 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить:} -5 + 5 = 0 \ text {и} 19 + 5 = 24.} \ end {align} \ nonumber \]

Наконец, чтобы «отменить» умножение на −6, разделите обе части уравнения на −6.

\ [\ begin {align} \ frac {-6x} {- 6} = \ frac {24} {- 6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на} -6.} \\ x = -4 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Simplify:} 24 / (- 6) = — 4.} \ end {align} \ nonumber \]

Проверить. Подставляем −4 вместо x в исходное уравнение

\ [\ begin {align} 6x-5 = 12x + 19 ~ & \ textcolor {red} {Исходное уравнение.}} \\ 6 (-4) -5 = 12 (-4) +19 ~ & \ textcolor { red} {\ text {Substitute} -4 \ text {for} x.} \\ -24-5 = -48 + 19 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала умножьте с обеих сторон.}} \\ -29 = -29 ~ & \ textcolor {red} {Добавить:} -24 — 5 = -29 \ text {и} -48 + 19 = -29.} \ End {align} \ nonumber \]

Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, −4 является решением исходного уравнения.

Упражнение

Решить относительно x : 2 x + 3 = 18-3 x

Ответ

х = 3

Пример 6

Решите относительно x : 2 (3 x + 2) — 3 (4- x ) = x + 8.

Решение

Используйте свойство распределения, чтобы удалить скобки в левой части уравнения.

\ [\ begin {align} 2 (3x + 2) -3 (4-x) = x + 8 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 6x + 4 — 12 + 3x = x + 8 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Используйте свойство распределения.}} \\ 9x — 8 = x + 8 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Объедините похожие термины:} 6x + 3x = 9x} \\ ~ & \ textcolor {красный} {\ text {и} 4-12 = -8.} \ End {align} \ nonumber \]

Изолируйте переменные слева, вычтя x из обеих частей уравнения

\ [\ begin {align} 9x-8 -x = x + 8 — x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычесть} x \ text {с обеих сторон.}} \\ 8x — 8 = 8 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Объедините похожие термины:} 9x-x = 8x} \\ ~ & \ textcolor {red} {\ text {и} xx = 0. } \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Обратите внимание, что теперь переменная изолирована в левой части уравнения. Затем, чтобы «отменить» вычитание 8, прибавьте 8 к обеим частям уравнения.

\ [\ begin {align} 8x-8 + 8 = 8 + 8 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Добавьте 8 с обеих сторон.}} \\ 8x = 16 ~ & \ textcolor {red} {\ текст {Упростить:} -8 + 8 = 0 \ text {и} 8 + 8 = 16.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Наконец, чтобы «отменить» умножение на 8, разделите обе части уравнения на 8.

\ [\ begin {align} \ frac {8x} {8} = \ frac {16} {8} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 8.}} \\ x = 2 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Simplify:} 16/8 = 2.} \ end {align} \ nonumber \]

Проверить. Замените 2 на x в исходном уравнении.

\ [\ начало {выровнено} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Поскольку последняя строка проверки является истинным утверждением, 2 является решением исходного уравнения.

Упражнение

Решите относительно x : 3 (2 x — 4) — 2 (5 — x ) = 18

Ответ

х = 5

Упражнения

В упражнениях 1–16 решите уравнение.

1. −9x + x = −8

2. 4x — 5x = −3

3. −4 = 3x — 4x

4. −6 = −5x + 7x

5. 27x + 51 = −84

6. −20x + 46 = 26

7.9 = 5x + 9 — 6x

8. −6 = x + 3 — 4x

9. 0 = −18x + 18

10. 0 = −x + 71

11. 41 = 28x + 97

12. −65 = −x — 35

13. 8x — 8 — 9x = −3

14. 6x + 7 — 9x = 4

15. −85x + 85 = 0

16. 17x — 17 = 0


В упражнениях 17-34 решите уравнение.

17. −6x = −5x — 9

18. −5x = −3x — 2

19. 6x — 7 = 5x

20. 3x + 8 = −5x

21.4x — 3 = 5x — 1

22. x — 2 = 9x — 2

23. −3x + 5 = 3x — 1

24. −5x + 9 = −4x — 3

25. −5x = −3x + 6

26. 3x = 4x — 6

27. 2x — 2 = 4x

28. 6x — 4 = 2x

29. −6x + 8 = −2x

30. 4x — 9 = 3x

31. 6x = 4x — 4

32. −8x = −6x + 8

33. −8x + 2 = −6x + 6

34. −3x + 6 = −2x — 5


В упражнениях 35-52 решите уравнение.

35.1 — (х — 2) = −3

36. 1 — 8 (x — 8) = 17

37. −7x + 6 (x + 8) = −2

38. −8x + 4 (x + 7) = −12

39,8 (−6x — 1) = −8

40. −7 (−2x — 4) = −14

41. −7 (−4x — 6) = −14

42. −2 (2x + 8) = −8

43. 2 — 9 (x — 5) = −16

44. 7-2 (x + 4) = -1

45. 7x + 2 (x + 9) = −9

46. −8x + 7 (x — 2) = −14

47,2 (−x + 8) = 10

48,2 (−x — 2) = 10

49.8 + 2 (х — 5) = −4

50. −5 + 2 (x + 5) = −5

51. 9x — 2 (x + 5) = −10

52. −8x — 5 (x — 3) = 15


В упражнениях 53-68 решите уравнение.

53,4 (−7x + 5) + 8 = 3 (−9x — 1) — 2

54. −4 (−x + 9) + 5 = — (- 5x — 4) — 2

55. −8 (−2x — 6) = 7 (5x — 1) — 2

56,5 (−4x — 8) = −9 (−6x + 4) — 4

57. 2 (2x — 9) + 5 = −7 (−x — 8)

58. −6 (−4x — 9) + 4 = −2 (−9x — 8)

59.6 (−3x + 4) — 6 = −8 (2x + 2) — 8

60. −5 (5x — 9) — 3 = −4 (2x + 5) — 6

61. 2 (−2x — 3) = 3 (−x + 2)

62. −2 (7x + 1) = −2 (3x — 7)

63. −5 (−9x + 7) + 7 = — (- 9x — 8)

64,7 (−2x — 6) + 1 = 9 (−2x + 7)

65,5 (5x — 2) = 4 (8x + 1)

66,5 (−x — 4) = — (- x + 8)

67. −7 (9x — 6) = 7 (5x + 7) — 7

68. −8 (2x + 1) = 2 (−9x + 8) — 2


Ответы

1. 1

3.4

5. −5

7. 0

9. 1

11. −2

13. −5

15. 1

17. 9

19. 7

21. −2

23. 1

25. −3

27. −1

29. 2

31. −2

33. −2

35. 6

37. 50

39. 0

41. −2

43. 7

45. −3

47. 3

49. −1

51.0

53. 33

55. 3

57. −23

59. 21

61. −12

63. 1

65,2

67. 0

3 (x + 12) = — 3x (x-6)

Упрощение
3 (x + 12) = -3x (x + -6)

Измените порядок членов:
3 (12 + x) = -3x (x + -6)
(12 * 3 + x * 3) = -3x (x + -6)
(36 + 3x) = -3x (x + -6)

Измените порядок терминов:
36 + 3x = — 3x (-6 + x)
36 + 3x = (-6 * -3x + x * -3x)
36 + 3x = (18x + -3x 2 )

Решение
36 + 3x = 18x + -3x 2

Решение для переменной ‘x’.

Объединить похожие термины: 3x + -18x = -15x
36 + -15x + 3x 2 = 18x + -3x 2 + -18x + 3x 2

Изменить порядок терминов:
36 + -15x + 3x 2 = 18x + -18x + -3x 2 + 3x 2

Объедините похожие термины: 18x + -18x = 0
36 + -15x + 3x 2 = 0 + -3x 2 + 3x 2
36 + -15x + 3x 2 = -3x 2 + 3x 2

Объедините похожие термины: -3x 2 + 3x 2 = 0
36 + -15x + 3x 2 = 0

За вычетом наибольшего общего множителя (GCF), «3».
3 (12 + -5x + x 2 ) = 0

Игнорировать коэффициент 3.

Подзадача 1

Установите коэффициент ‘(12 + -5x + x 2 )’ равным нулю и попытайтесь решить:

Упрощение
12 + -5x + x 2 = 0

Решение
12 + -5x + x 2 = 0

Начать завершение квадрата.

Переместите постоянный член вправо:

Добавьте «-12» к каждой стороне уравнения.
12 + -5x + -12 + x 2 = 0 + -12

Измените порядок терминов:
12 + -12 + -5x + x 2 = 0 + -12

Объедините похожие термины: 12 + -12 = 0
0 + -5x + x 2 = 0 + -12
-5x + x 2 = 0 + -12

Объедините похожие термины: 0 + -12 = -12
-5x + x 2 = -12

Член x равен -5x.Возьмите половину его коэффициента (-2,5).
Выровняйте его (6,25) и сложите с обеих сторон.

Добавьте «6,25» в каждую часть уравнения.
-5x + 6,25 + x 2 = -12 + 6,25

Изменить порядок терминов:
6,25 + -5x + x 2 = -12 + 6,25

Объединить похожие термины: -12 + 6,25 = -5,75
6,25 + -5x + x 2 = -5,75

Разложите на множители полный квадрат слева:
(x + -2,5) (x + -2,5) = -5,75

Невозможно вычислить квадратный корень справа боковая сторона.

Не удалось найти решение этого уравнения.

Эта подзадача игнорируется, поскольку решение не может быть найдено.

Не удалось найти решение этого уравнения.

Решение экспоненциальных уравнений: в отличие от баз

Теперь, когда мы узнали об экспонентах и ​​их обратном логарифме, теперь мы можем решать экспоненциальные уравнения, основание которых не может быть легко изменено или невозможно сделать. Предпосылка вращается вокруг логарифма и правила мощности для логарифмов.

Давайте сразу перейдем к некоторым примерам.

Пример 1. Решите 2 x = 7

Мы не можем превратить 7 в экспоненциальное выражение с 2 в качестве основы, потому что оно не идет равномерно. Однако мы можем это решить. Начните с регистрации каждой стороны. Вот он в действии:

log 2 x = log 7

Между прочим, журналы, которые вы будете брать с каждой стороны, будут иметь основание 10.

Опустите x с помощью правила мощности. Звучит так глупо, правда?

x log 2 = log 7

Разделите каждую сторону на log 2:

x = log 7 / log 2

Оцените с помощью калькулятора, округляя окончательный ответ до трех десятичных знаков :

x = 2,807

Учитывая, что 2 2 равно 4 и 2 3 = 8, 2.807 звучит примерно правильно.

Выглядит просто, правда? Это не так уж и плохо, когда вы в этом разбираетесь. Однако некоторые проблемы сложнее других, и мы их решим!

Пример 2. Решите 3 x + 3 = 13

Это то же самое. Возьмите журнал каждой стороны:

журнал 3 x + 3 = журнал 13

Используя правило мощности, поместите этот тупой x + 3 перед журналом:

(x + 3) журнал 3 = log 13

Разделите каждую сторону на log 3:

x + 3 = log 13 / log 3

Вычислите эту правую часть с помощью калькулятора и округлите до трех знаков после запятой:

х + 3 = 2.335

Вычтите по 3 с каждой стороны:

x = -0,665

Проверьте это:

3 -.665 + 3 = 13

= 13000? Эх, достаточно близко, раз уж мы поймали.

Давайте сделаем еще один:

Пример 3. Решите 5 x-1 = 12.

Мы сделали это выше. Начните с регистрации каждой стороны:

log 5 x-1 = log 12

Используйте свойство Power Rule:

(x — 1) log 5 = log 12

Divide по log 5:

x — 1 = log 12 / log 5

Оцените log 12 / log 5 и прибавьте по 1 к каждой стороне для окончательного ответа:

x = 2.544 с округлением до трех десятичных знаков.

Теперь займемся более сложной задачей:

Пример 4. Решить 5 x = 12 x

Это непростая задача, поскольку в обеих частях уравнения есть переменные. Опытные специалисты по математике могут найти ответ очень легко и быстро. Начните с регистрации каждой стороны:

log 5 x = log 12 x

Используйте правило мощности:

x log 5 = x log 12

Это вот где становится сложно.Вычтем x log 12 с каждой стороны:

x log 5 — x log 12 = 0

Выносим множитель x из левой части уравнения:

x (log 5 — log 12) = 0

Разделите каждую сторону на log 5 — log 12:

x = 0 / (log 5 — log 12)

Посмотрите на это. Неужели нам действительно нужно определять, что такое log 5 — log 12? Неа. Поскольку в числителе стоит 0, мы знаем наш ответ:

x = 0

Это имеет смысл, если вы действительно задумаетесь.Есть ли на самом деле какие-то другие числа, которые могут сделать это уравнение истинным? Кроме 0? По принципу равенства нет ни одного. Если мы все же попробуем 0, мы получим следующее:

5 0 = 12 0

Какое значение возвести в степень 0? Это 1! Итак:

1 = 1, что подтверждает наш ответ.

Круто, а? Давайте сделаем еще один сложный, и на этот раз он будет действительно тяжелым.

Пр.5. Решите 5 x + 5 = 12 x — 12 .

Те же числа, но разные выражения в показателях степени.

Начните с регистрации каждой стороны:

log 5 x + 5 = log 12 x-12

Используйте правило мощности:

(x + 5 ) log 5 = (x — 12) log 12

Теперь становится сложно. Но выход есть. Нам придется использовать свойство распределенности в обеих частях уравнения.Начните с распределения журнала 5 на x-5:

x log 5 + 5 log 5 = (x — 12) log 12

Теперь распределите журнал 12 на x — 12:

x log 5 + 5 log 5 = x log 12 — 12 log 12

Вот загвоздка. Нам нужно поместить переменные в одну сторону уравнения, а «числа» — в другую. Добавьте 12 log 12 с каждой стороны:

x log 5 + 5 log 5 + 12 log 12 = x log 12

Вычтите x log 5 с каждой стороны:

5 log 5 + 12 log 12 = x log 12 — x log 5

Разложите на множители x из правой части уравнения:

5 log 5 + 12 log 12 = x (log 12 — log 5)

Разделите каждую сторону по журналу 12 — журнал 5:

x = (5 журнал 5 + 12 журнал 12) / (журнал 12 — журнал 5)

Используйте калькулятор, чтобы оценить эту глупую правую часть:

x = 37.555

Прежде чем мы перейдем к другим проблемам, мы должны остановиться на нескольких моментах. Во-первых, мы можем использовать натуральные логарифмы для решения вышеупомянутых проблем, но я бы придерживался использования обычных логарифмов для решения этих типов проблем. Однако второе, на что мы должны обратить внимание, это то, что есть некоторые задачи, в которых для решения проблемы требуется использование натурального логарифма. Нам нужно будет уметь работать с натуральными логарифмами на следующем уроке, где наш динамичный дуэт Ли и Эмма будет помогать нам решать задачи со словами «Экспоненциальный рост» и «Затухание».Вот как мы используем натуральные логарифмы для решения экспоненциальных уравнений:

Пример.6. Решите e 2x = 9

Это неплохо, но обратите внимание на e. Это означает одно: мы возьмем натуральный логарифм каждой части уравнения. Посмотрите, что происходит:

ln e 2x = ln 9

Используйте правило мощности:

2x ln e = ln 9

ln и e отменить:

2x = ln 9

Разделить на 2:

x = (ln 9) / 2

Воспользуйтесь калькулятором:

x = 1.099 с округлением до трех десятичных знаков.

Это было легко. Каждый раз, когда вы видите e в уравнении с переменной в показателе степени, вы должны немедленно использовать натуральный логарифм. Давайте решим еще одну простую задачу с натуральным логарифмом, прежде чем мы перейдем к настоящему бездельнику:

Пример.7. Решите 2e 3x = 18.

Это неплохо, но есть шаг, который мы должны сделать, прежде чем мы возьмем натуральный логарифм каждой стороны.Начните с деления каждой стороны на 2:

e 3x = 9

СЕЙЧАС возьмите натуральный логарифм каждой стороны:

ln e 3x = ln 9

Правило мощности в левой части уравнения:

3x ln e = ln 9

Натуральный логарифм и e отменяют:

3x = ln 9

Разделить на 3:

x = (ln 9) / 3

Используйте калькулятор, чтобы оценить правую сторону для решения задачи:

x =.732 с округлением до трех десятичных знаков.

Неплохо, а? (Это для моих канадских друзей.)

А теперь настоящий дурак. Докси хуже дурака. Да, это слово я придумал:

Пример 8. Решите e 2x + 2e x + 1 = 0.

Это действительно сложная задача. К счастью, мы видели это раньше. Если вы посмотрите на задачу, она выглядит как квадратное уравнение! Итак, нам придется использовать методы, которые мы использовали в «Решении уравнений в квадратичной форме», чтобы решить эту проблему.Сделаем это с помощью u-подстановки:

Пусть u 2 = e 2x

Тогда u = e x

Теперь имеем:

u 2 2u + 1 = 0

Решите квадратное уравнение:

(u + 1) (u + 1) = 0

(u + 1) 2 = 0

u + 1 = 0

u = -1

Готово? Конечно нет.Мы нашли тебя. Нам нужен x. Итак, установите -1 равным e x и решите для x:

e x = -1

У нас есть проблема. Поскольку мы должны взять натуральный логарифм каждой стороны, получаем:

x = ln -1,

, что не определено. Не существует решения уравнения.

Давайте сделаем то же уравнение, но изменим знак:

Пример 9. Решите e 2x — 2e x + 1 = 0.

Я изменил знак здесь, чтобы проблему можно было решить. Вернемся к u-замещающей части:

u 2 = e 2x

u = e x

u 2 — 2u + 1 = 0

u — 1) (u — 1) = 0

(u — 1) 2 = 0

u — 1 = 0

u = 1

СЕЙЧАС мы можем поставить это равно e x и решите его:

e x = 1

x ln e = ln 1

x = ln 1

x = 0

We 9000 можете проверить наш ответ:

e 2 (0) — 2e (0) + 1 = 0

e 0 — 2e 0 + 1 = 0

1 — 2 + 1 = 0

0 = 0? Ах, да.

Решение проверено. х = 0 .

Теперь вы попробуете несколько проблем. Не забудьте использовать соответствующий логарифм для решения каждого уравнения.

Набор задач

Решите каждое уравнение. Следите за посторонними решениями. Округлите ответы до трех знаков после запятой.

1. 6 x = 37

2. 7 x — 1 = 19

3. 10 5-x = 13 x + 12

4.e 2x = 18

5. e 2x — 100e x + 99 = 0 (Подсказка: есть два решения)

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1. Чтобы решить логарифмическое уравнение, перепишите уравнение в экспоненциальной форме и решите относительно переменной.

Пример 1: Решите относительно x в уравнении Ln ( x ) = 8.

Решение:

Шаг 1: Пусть обе стороны будут степенями основания e.Уравнение Ln ( x ) = 8 можно переписать.
Шаг 2: К настоящему моменту вы должны знать, что, когда основание экспоненты и основание логарифма одинаковы, в левой части можно записать x. Теперь уравнение можно записать
.
Шаг 3: Точный ответ:

и приблизительный ответ

Чек: Вы можете проверить свой ответ двумя способами.Вы можете построить график функции Ln ( x ) -8 и посмотреть, где она пересекает ось x. Если вы правы, график должен пересекать ось x в ответе, полученном вами алгебраически.
Вы также можете проверить свой ответ, подставив значение x в начальное
уравнение и определите, равна ли левая часть правой. Для
Например, если Ln (2,980.95798704) = 8, вы правы. Это так, и вы правы.

Пример 2: Решите относительно x в уравнении 7 Log (3 x ) = 15.

Решение:

Шаг 1: Выделите логарифмический член перед преобразованием логарифмического уравнения в экспоненциальное уравнение. Разделите обе части исходного уравнения на 7:

Шаг 2: Преобразуйте логарифмическое уравнение в экспоненциальное уравнение: если основание не указано, это означает, что основание логарифма равно 10. Напомним также, что логарифмы являются показателями степени, поэтому показатель степени равен
.Уравнение

теперь можно написать

Шаг 3: Разделите обе части приведенного выше уравнения на 3:

это точный ответ и приблизительный ответ.

Чек: Вы можете проверить свой ответ двумя способами: построив график функции

или подставив значение x в исходное уравнение. Если вы выберете построение графика, точка пересечения по оси x должна совпадать с ответом, который вы
полученный ( ).
Если вы выберете замену, значение левой части оригинала
уравнение должно равняться значению правой части уравнения после того, как вы
вычислили значение каждой стороны на основе вашего ответа на x.

Пример 3: Решите относительно x в уравнении

Решение:

Шаг 1: Обратите внимание, что первый член Ln ( x -3) действителен только тогда, когда x > 3; термин Ln ( x -2) действителен только тогда, когда x > 2; и термин Ln (2 x +24) действителен только тогда, когда x > -12.Если мы потребуем, чтобы x был любым действительным числом больше 3, все три члена будут действительными. Если все три члена верны, то уравнение действительно.
Шаг 2: Упростим левую часть приведенного выше уравнения: по свойствам логарифмов мы знаем, что

Шаг 3: Теперь уравнение можно записать

Шаг 4: Пусть каждая сторона приведенного выше уравнения будет показателем степени основания e:

Шаг 5: Упростите приведенное выше уравнение:

Другой способ взглянуть на уравнение на шаге 3 — понять, что если Ln ( a )
= Ln ( b ), тогда a должно быть равно b.В случае этой проблемы, тогда

Шаг 6: Упростите левую часть приведенного выше уравнения:

Шаг 7: Вычтем 2x + 24 с каждой стороны:

Шаг 8: Разложите на множители левую часть приведенного выше уравнения:

Шаг 9: Если произведение двух множителей равно нулю, по крайней мере один из множителей должен быть равен нулю.Если . Если
. x = 9 — наше единственное решение. Почему 9 — единственное решение? Мы определили наш домен как все действительные числа больше 3.

Чек: Вы можете проверить свой ответ, построив график функции

и определение того, равен ли отрезок оси x также 9. Если это так, вы
правильно сработали проблему.
Вы также можете проверить свой ответ, заменив 9 слева x и
правые части исходного уравнения. Если после подстановки левый
сторона уравнения имеет то же значение, что и правая часть уравнения,
вы правильно решили проблему.

Если вы хотите просмотреть другой пример, щелкните «Пример».

Решите следующие задачи. Если вы хотите просмотреть ответ и
решение, нажмите «Ответить».

Задача 1: Решите относительно x в уравнении

Ответ

Задача 2: Решите относительно x в уравнении

Ответ

Задача 3: Решите относительно x в уравнении

Ответ

Задача 4: Решите относительно x в уравнении

Ответ

Задача 5: Решите относительно x в уравнении

Ответ

Задача 6: Решите относительно x в уравнении

Ответ

[Назад к правилам логарифмов]
[Назад к экспоненциальным функциям]

[Алгебра]
[Тригонометрия]
[Сложный
Переменные] S.Домашняя страница O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем

S.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.