2Х у 1 х у 4: {2х+у=1 {у-х=4 помогите плиз — Школьные Знания.com

Содержание

Формулы сокращенного умножения

У нас есть сумма (разница) двух чисел и нам необходимо избавиться от скобок, используя
формулы для сокращенного умножения:

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x — y)2 = x2 — 2xy + y2

Пример: если x = 10, y = 5a
(10 + 5a)2 = 102 + 2.10.5a + (5a)2 = 100 + 100a + 25a2
(10 — 4)2 = 102 — 2.10.4 + 42 = 100 — 80 + 16 = 36
Конечно, если мы имеем следующую ситуацию:
25 + 20a + 4a2 = 52 + 2.2.5 + (2a)2 = (5 + 2a)2

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x — y)3 = x3 — 3x2y + 3xy2 — y3

Пример: (1 + a2)3 = 13 + 3.12.a2 +
3.1.(a2)2 + (a2)3 = 1 + 3a2 + 3a4 + a6

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
(x — y — z)2 = x2 + y2 + z2 — 2xy — 2xz + 2yz


x2 — y2 = (x — y)(x + y)

x2 + y2 = (x + y)2 — 2xy
или
x2 + y2 = (x — y)2 + 2xy

Пример: 9a2 — 25b2 = (3a)2 — (5b)2 =
(3a — 5b)(3a + 5b)

x3 — y3 = (x — y)(x2 + xy + y2)
x3 + y3 = (x + y)(x2 — xy + y2)

Если n есть натуральное число

xn — yn = (x — y)(xn-1 + xn-2y +.2 + 20$


3) Решите уравнение: x2 — 25 = 0
Решение: x2 — 25 = (x — 5)(x + 5)
=> чтобы решить это уравнение мы должны решить 2 следующих выражения:
x — 5 = 0 или x + 5 = 0
и поэтому уравнение имеет два решения: x = 5 и x = -5

Больше

Тест — формулы сокращенного умножения

Действия с многочленами — задачи с решениями

Разложиние на множители — задачи с решениями

Формулы сокращенного умножения в математическом форуме

Урок 13. многочлены от нескольких переменных — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №13. Многочлены от нескольких переменных.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) определение многочлена от нескольких переменных;

2) понятие симметрических многочленов;

3) формулы сокращенного умножения для старших степеней;

4) бином Ньютона;

5) метод неопределенных коэффициентов.

Глоссарий по теме

Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.

Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называютсимметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен.

Треугольник Паскаля —бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. 

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Многочлены от нескольких переменных можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в натуральную степень, разлагать на множители — это вам известно из курса алгебры 7—9-го классов. Этот урок позволит нам несколько расширить знания о многочленах.

Пример 1. Разложить на множители многочлен: 2x2-5xy+2y2.

Воспользуемся методом группировки

2x2-5xy+2y2= 2x2-4xy-xy+2y2= 2x(x-2y) –y(x-2y)=

(x-2y)(2x+2y).

Пример 2. Выведем формулу сокращенного умножения для «квадрата суммы» (x+y+z+u)2.

(x+y+z+u)2=((x+y)+(z+u))2= (x+y)2+2(x+y)(z+u)+(z+u)2= x2+y2+z2+u2+2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Итак, мы получили (x+y+z+u)2= x2+y2+z2+u2+2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Среди многочленов от двух переменных выделяют однородные и симметрические многочлены.
 
Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.

Приведем примеры.

1) р(х; у)=2х+3у – однородный многочлен первой степени; соответственно 2х+3у=0 – однородное уравнение первой степени.

2) р(х; у)=3х2+5ху-7у2  — однородный многочлен второй степени; соответственно 3х2+5ху-7у2 =0 — однородное уравнение второй степени.

3) p(x; y)= x3+4xy2-5y3 — однородный многочлен третьей степени; x3+4xy2-5y3 =0 соответственно  — однородное уравнение третьей степени.

4) p(x; y)= anxn+an-1xn-1y+an-2xn-2y2+…+a1xyn-1+a0yn — общий вид однородного многочлена n-й степени.

Рассмотрим еще один метод разложения многочленов на множители-

метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения

  1. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
  2. Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
  3. Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Пример 3.  Разложить на множители многочлен

3 x 3 – x 2 – 3 x + 1.

Решение. Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax 2 + bx + c такие, что справедливо равенство 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = ( x – p )( ax 2+ bx + c ) = ax 3 + ( b – ap ) x 2 + ( c – bp ) x – pc . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов:

Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x 3 – x 2 – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x 2 + 2 x – 1).

Стоит отметить, что существует достаточно изящный способ решения однородных уравнений. Поясним его суть на примере.

Пример 4. Решим уравнение x3+4xy2-5y3 =0

Заметим, что если в заданном уравнении взять х=0, то получится у=0; это означает, что пара (0; 0) является решением однородного уравнения. Пусть теперь х. Разделим почленно обе части заданного однородного уравнения на х3, получим:

Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид 1+4z2-5z3=0.

Далее последовательно находим:

5z3-4z2-1=0

(5z3-5z2)+(z2-1)=0

5z2(z-1)+(z-1)(z+1)=0

(z-1)(5z2+z+1)=0

Из уравнения z-1=0 находим z=1, уравнение 5z3-4z2-1=0 действительных корней не имеет.

Если z=1, то , т.е. у=х. Это значит, что любая пара вида (t; t) является решением заданного однородного уравнения. Между прочим, и отмеченная нами ранее пара (0; 0) также входит в указанный перечень решений.

Ответ: (t; t), где t- любое действительное число.

Теперь поговорим о симметрических многочленах. Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х. Например, симметрическим является двучлен x2y+xy2. В самом деле, при одновременной замене х на у и у на х получится двучлен y2x+yx2, но это то же самое, что x2y+xy2 . Другие примеры симметрических многочленов: xy, x+y, x2+y2, x3+y3, x4+y4 и т.д. Первые два из записанных многочленов считаются основными в том смысле, что любые другие симметрические многочлены можно представить в виде некоторой комбинации многочленов х + у и ху.

Теорема. Любой симметрический многочлен Р(х;у) можно представить в виде многочлена от ху и х+у.

Например,

x2+y2=(x+y)2-2xy

x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)

x4+y4= 2xy(x2+y2)-(x4+y4)+3(xy)2 и т.д.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называют симметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен. Мы с вами рассматривали его на предыдущем уроке.

А теперь перейдем к такому понятию как бином Ньютона.

Слово бином означает «Два числа». В математике биномом называют «формулу для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных». Бином Ньютона — название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять.

Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином», по-русски – двучлен.

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах

(a+b)2=(a+b)(a+b)

(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)

Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?

Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а, она убывает от максимума до нуля):

(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(a+b)5=(a+b)4(a+b)=(a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4)(a+b)=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:

n=2 1,2,1

n=3 1,3,3,1

n=4 1,4,6,4,1

n=5 1,5,10,5,1

Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1):

n=0, (a+b)0=1

n=1, (a+b)1=a+b

Окончательно получим:

n=0 1

n=1 1,1

n=2 1,2,1

n=3 1,3,3,1

n=4 1,4,6,4,1

n=5 1,5,10,5,1

Общая формула бинома Ньютона:

.

Правая часть формулы называется разложением степени бинома.

 — называется биномиальными коэффициентами, а все слагаемые — членами бинома.

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. 

На самом деле, о треугольнике Паскаля было известно задолго до Паскаля — его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое, дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел   (биномиальных коэффициентов) до n=12 включительно.

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г.

В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.

Пример 5.

Доказать, что значение выражения 5n+28n-1, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Решение: представим первое слагаемое выражение как 5n= (4+1)n и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16. 

Бином Ньютона применяется при доказательстве Теоремы Ферма, в теории бесконечных рядов и выводе формулы Ньютона-Лейбница

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

№1.

Из данных многочленов выделите симметрические:

  1. 2-5ху+2у2-6
  2. 6x⁴-16xy²-6y3+19
  3. -3ху+6х²-5у²+8
  4. 16x4y²+16x²y4-x⁴-y⁴

Решение: к данному заданию применим определение симметрических многочленов (Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х). Получим, что нам подходят 1 и 4 пункты.

Верный ответ:

  1. 2-5ху+2у2-6
  2. 6x⁴-16xy²-6y3+19
  3. -3ху+6х²-5у²+8
  4. 16x4y²+16x²y4-x⁴-y⁴

№2.

(а+b)5= __a5 +___a4b+___a3b2+___a2b3+___ab4+__b5

Решение: для решения данного задания воспользуемся треугольником Паскаля

1    
1    1    
1    2    1    
1    3    3    1    
1    4    6    4    1    
1    5    10    10    5    1

Нас интересует последняя строчка.

Применив ее, получим ответ:

(а+b)5= 1a5 +5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5

Таблица производных простых функций

Пояснение:
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с

Пример:

(3x)´ = 3

(2x)´ = 2
Пояснение:

В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с.


Откуда следует, что
(cx + b)’ = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|’ = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение:

Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает  выражение x / |x| . Когда x 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
( xc )’= cxc-1, при условии, что xc и сxc-1,определены а с ≠ 0

Пример:

(x2 )’ = 2x

(x3)’  = 3x2
Для запоминания формулы:

Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x2  — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x3 — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x2 . Немного «не научно», но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х
(1/х)’ = — 1 / x2

Пример:

Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень

(1/x)’ = (x-1 )’ , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных

(x-1 )’ = -1x-2 = — 1 / х2

7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе
( 1 / xc )’ = — c / xc+1

Пример:

( 1 / x2 )’ = — 2 / x3

8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)  
( √x )’ = 1 / ( 2√x )   или 1/2 х-1/2

Пример:

( √x )’ = ( х1/2 )’   значит можно применить формулу из правила 5

( х1/2 )’ = 1/2 х-1/2 = 1 / (2√х)

9. Производная переменной под корнем произвольной степени
( n√x )’ = 1 / ( n n√xn-1 )

.


Приведенная здесь таблица производных простых функций содержит только основные преобразования, которые (по большому счету) следует запомнить наизусть. Нахождение более сложных производных приведены в соответствующих таблицах других уроков:

Микроскоп стерео Микромед МС-1 вар.1C (1х/2х/4х)

Микроскоп стерео Микромед МС-1 вар.1C (1x/2x/4x) предназначен для наблюдения как объемных объектов, так и тонких пленочных и прозрачных объектов, а также выполнения разнообразных тонких работ: препарирования  в биологии, изучения образцов горных пород в минералогии, выполнения различных технологических операций в полупроводниковой промышленности, а также в других областях науки и техники. Наблюдение может производиться как при искусственном, так и при естественном освещении в отраженном и проходящем свете.

Особенность версии «C» микроскопа: встроенные осветители отраженного света и проходящего света. Возможна доукомплектация микроскопа конденсором тёмного поля, который устанавливается в лючок нижнего осветителя. Микроскопы МС-1 и МС-2-ZOOM с основаниями B, C и CR несовместимы со съемными кольцевыми осветителями отраженного света (без внесения изменений в конструкцию). Если Вам необходимо наличие одновременно осветителя проходящего света и бестеневого верхнего освещения — обратите внимание на микроскопы старших серий: МС-3, МС-4, МС-5 (zoom).

Микроскоп укомплектован объективами 1, 2, 4 крата, установленными в револьверный механизм, обеспечивающий быструю смену рабочих объективов. С идущими в комплекте окулярами 10x/20 мм микроскоп даёт три увеличения: 10, 20, 40 крат, поле зрения микроскопа: 20, 10, 5 мм. При необходимости Вы можете приобрести дополнительные окуляры для получения других увеличений и изменения размера поля зрения. Также в продаже имеется окуляр со шкалой для проведения измерений.

Наблюдение может производиться как при искусственном, так и при естественном освещении в отраженном и проходящем свете. Конструкция визуальной насадки микроскопа позволяет выводить изображение в режиме реального времени на экран ПК с помощью видеоокуляра (видеоокуляр в стандартную комплектацию не входит). Видеоокуляр устанавливается в левый тубус микроскопа (тубус с диоптрийной подвижкой) вместо окуляра при помощи переходника 23,2 мм — 30,5 мм. Переходник идет в комплекте с видеоокуляром.

Комплектация

Составные части

  • Основание со встроенным осветителем отраженного и проходящего света, колонна с фокусировочным механизмом

  • Оптическая голова (объектив F=57 мм с бинокулярной насадкой)

Сменные части

  • Окуляры 10x — 2 шт., установлены в окулярных тубусах

  • Осветитель отраженного света, установлен на штативе

  • Осветитель проходящего света, встроен в основание 

Принадлежности и запасные части

  • Кабель сетевой

  • Плата черно-белая

  • Плата стеклянная, на микроскопе

  • Наглазники резиновые — 2 шт.

  • Лампа накаливания 12 В 10 Вт для отраженного света — 2 шт., одна в микроскопе

  • Лампа накаливания 12 В, 10 Вт для проходящего света, установлена в микроскопе

  • Вставка плавкая — 2 шт., одна в микроскопе

  • Чехол

  • Руководство по эксплуатации

Увеличение/поле зрения микроскопов МС-1 для разных окуляров и объективов































Объектив 1x Объектив 2x Объектив 3x Объектив 4x
Окуляр 5x/20 мм 5x/20 мм 10x/10 мм 15x/7.0 мм 20x/5.0 мм
Окуляр 10x/20 мм 10x/20 мм 20x/10 мм 30x/6.7 мм 40x/5.0 мм
Окуляр 15x/15.5 мм 15x/15 мм 30x/7.5 мм 45x/5.0 мм 60x/3.7 мм
Окуляр 20x/10.5 мм 20x/10 мм 40x/6.5 мм 60x/4.3 мм 80x/3.2 мм

Графические уравнения с программой «Пошаговое решение математических задач»

Язык математики особенно эффективен для представления отношений
между двумя или более переменными. В качестве примера рассмотрим пройденное расстояние
через определенный промежуток времени автомобилем, движущимся с постоянной скоростью 40 миль в час.
Мы можем представить это соотношение как

  1. 1. Словесное предложение:
    Пройденное расстояние в милях равно сороккратному количеству пройденных часов.
  2. 2.Уравнение:
    d = 40р.
  3. 3. Таблица значений.
  4. 4. График, показывающий зависимость между временем и расстоянием.

Мы уже использовали словесные предложения и уравнения для описания таких отношений;
В этой главе мы будем иметь дело с табличным и графическим представлениями.

7.1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

ЗАКАЗАННЫЕ ПАРЫ

Уравнение d = 40f объединяет расстояние d для каждого момента времени t. Например,

, если t = 1, то d = 40
, если t = 2, то d = 80
, если t = 3, то d = 120

и так далее.

Пара чисел 1 и 40, рассматриваемая вместе, называется решением
уравнение d = 40r, потому что когда мы подставляем 1 вместо t и 40 вместо d в уравнении,
мы получаем верное утверждение. Если мы согласны ссылаться на парные номера в указанном
порядок, в котором первое число относится ко времени, а второе число относится к
расстояния, мы можем сократить приведенные выше решения как (1, 40), (2, 80), (3, 120) и
скоро. Мы называем такие пары чисел упорядоченными парами и ссылаемся на первую и
вторые числа в парах как компоненты.В соответствии с этим соглашением решения
Уравнение d — 40t — это упорядоченные пары (t, d), компоненты которых удовлетворяют уравнению.
Некоторые упорядоченные пары для t, равного 0, 1, 2, 3, 4 и 5, равны

(0,0), (1,40), (2,80), (3,120), (4,160) и (5,200)

Такие пары иногда показаны в одной из следующих табличных форм.

В любом конкретном уравнении, включающем две переменные, когда мы присваиваем значение одной
переменных определяется значение другой переменной и, следовательно,
зависит от первого.Удобно говорить о переменной, связанной с
первый компонент упорядоченной пары как независимая переменная и переменная
связанный со вторым компонентом упорядоченной пары в качестве зависимой переменной. Если в уравнении используются переменные x и y, подразумевается, что заменить —
элементы для x являются первыми компонентами и, следовательно, x — независимая переменная и
замены y являются вторыми компонентами и, следовательно, y является зависимой переменной.
Например, мы можем получить пары для уравнения

, подставив конкретное значение одной переменной в уравнение (1) и решив для
другая переменная.

Пример 1

Найдите недостающий компонент, чтобы заказанная пара была решением для

2x + y = 4

а. (0 ,?)

г. (1 ,?)

г. (2 ,?)

Решение

, если x = 0, то 2 (0) + y = 4
y = 4

если x = 1, то 2 (1) + y = 4
y = 2

если x = 2, то 2 (2) + y = 4
y = 0

Три пары теперь могут отображаться как три упорядоченные пары

(0,4), (1,2) и (2,0)

или в табличной форме

ЯВНО ВЫРАЖАЮЩИЙ ПЕРЕМЕННУЮ

Мы можем добавить -2x к обоим членам 2x + y = 4, чтобы получить

-2x + 2x + y = -2x + 4
y = -2x + 4

В уравнении (2), где y есть само по себе, мы говорим, что y явно выражается через
из х.Часто бывает проще получить решения, если сначала выразить уравнения в такой форме
потому что зависимая переменная явно выражается через независимые
Переменная.

Например, в уравнении (2) выше

, если x = 0, то y = -2 (0) + 4 = 4
, если x = 1, то y = -2 (1) + 4 = 2
, если x = 2, то y = -2 (2) + 4 = 0

Мы получаем те же пары, которые мы получили с помощью уравнения (1)

(0,4), (1,2) и (2,0)

Мы получили уравнение (2) добавлением одинаковой величины -2x к каждому члену
уравнения (1), получая таким образом y само по себе.В общем, мы можем написать эквивалент
уравнения с двумя переменными, используя свойства, которые мы ввели в главе 3,
где мы решали уравнения первой степени с одной переменной.

Уравнения эквивалентны, если:

  1. Одно и то же количество прибавляется к равным количествам или вычитается из них.
  2. Равные количества умножаются или делятся на одинаковое ненулевое количество.

Пример 2

Решите 2y — 3x = 4 явно для y через x и получите решения для x = 0,
х = 1 и х = 2.

Решение
Во-первых, прибавив 3x к каждому члену, мы получим

2y — 3x + 3x = 4 + 3x
2y = 4 + 3x (продолжение)

Теперь, разделив каждый член на 2, получим

В этой форме мы получаем значения y для заданных значений x следующим образом:

В этом случае три решения: (0, 2), (1, 7/2) и (2, 5).

ОБОЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Иногда мы используем специальные обозначения для наименования второго компонента упорядоченного
пара, которая связана с указанным первым компонентом.Символ f (x), который часто бывает
используется для обозначения алгебраического выражения в переменной x, также может использоваться для обозначения
значение выражения для конкретных значений x. Например, если

f (x) = -2x + 4

, где f (x) играет ту же роль, что и y в уравнении (2) на странице 285, тогда f (1)
представляет значение выражения -2x + 4, когда x заменяется на 1

f (l) = -2 (1) + 4 = 2

Аналогично

f (0) = -2 (0) + 4 = 4

и

f (2) = -2 (2) + 4 = 0

Символ f (x) обычно называют обозначением функции.

Пример 3

Если f (x) = -3x + 2, найти f (-2) и f (2).

Решение

Замените x на -2, чтобы получить
f (-2) = -3 (-2) + 2 = 8

Замените x на 2, чтобы получить
f (2) = -3 (2) + 2 = -4

7.2 ГРАФИК ЗАКАЗАННЫХ ПАР

В разделе 1.1 мы видели, что каждое число соответствует точке в строке. Simi-
Как правило, каждая упорядоченная пара чисел (x, y) соответствует точке на плоскости. К
граф упорядоченной пары чисел, мы начинаем с построения пары перпендикулярных
числовые линии, называемые осями.Горизонтальная ось называется осью x, вертикальная ось
называется осью Y, а точка их пересечения называется началом координат. Эти топоры
разделите плоскость на четыре квадранта, как показано на рисунке 7.1.

Теперь мы можем присвоить упорядоченную пару чисел точке на плоскости, указав
на перпендикулярное расстояние точки от каждой из осей. Если первый
составляющая положительная, точка лежит правее вертикальной оси; если отрицательный, это
лежит слева.Если второй компонент положительный, точка находится выше
Горизонтальная ось; если отрицательный, он находится внизу.

Пример 1

График (3, 2), (-3, 2), (-3, -2) и (3, -2) в прямоугольной системе координат.

Решение
График (3, 2) находится на 3 единицы правее
ось y и на 2 единицы выше оси x;
график (-3,2) лежит на 3 единицы слева от
ось y и на 2 единицы выше оси x;
график (-3, -2) лежит на 3 единицы слева от
ось y и на 2 единицы ниже оси x;
график (3, -2) лежит на 3 единицы правее
ось y и на 2 единицы ниже оси x.

Расстояние y, на котором точка расположена от оси x, называется ординатой.
точки, а расстояние x, на котором точка расположена от оси y, называется
абсцисса точки. Абсцисса и ордината вместе называются прямоугольником.
Гулярные или декартовы координаты точки (см. рисунок 7.2).

7.3 ИЗОБРАЖЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

В разделе 7.1 мы увидели, что решение уравнения с двумя переменными является упорядоченным
пара.В разделе 7.2 мы видели, что компонентами упорядоченной пары являются
координаты точки на плоскости. Таким образом, чтобы построить график уравнения с двумя переменными, мы
Изобразите набор упорядоченных пар, которые являются решениями уравнения. Например, мы
может найти некоторые решения уравнения первой степени

у = х + 2

, положив x равным 0, -3, -2 и 3. Затем

для x = 0, y = 0 + 2 = 2
для x = 0, y = -3 + 2 = -1
для x = -2, y = -2 + 2-0
для x = 3, y = 3 + 2 = 5

и получаем решения

(0,2), (-3, -1), (-2,0) и (3,5)

, который может отображаться в табличной форме, как показано ниже.

Если мы изобразим точки, определенные этими
упорядоченные пары и проведите прямую через
их, мы получаем график всех решений
y = x + 2, как показано на рисунке 7.3. Это,
каждое решение y = x + 2 лежит на прямой,
и каждая точка на линии — это решение
у = х + 2.

Графики уравнений первой степени в двух
переменные всегда прямые; следовательно,
такие уравнения также называются линейными
уравнения.

В приведенном выше примере значения, которые мы использовали для
x были выбраны случайным образом; мы могли бы использовать
любые значения x, чтобы найти решения уравнения.Графики любых других упорядоченных пар, которые являются решениями уравнения, также будут
быть на линии, показанной на рисунке 7.3. Фактически, каждое линейное уравнение с двумя переменными
имеет бесконечное количество решений, график которых лежит на прямой. Однако мы только
нужно найти два решения, потому что для определения
прямая линия. Третий балл можно получить как проверку.

Чтобы изобразить уравнение первой степени:

  1. Постройте набор прямоугольных осей, показывающих масштаб и переменную, представляющую
    отправляется каждой осью.
  2. Найдите две упорядоченные пары, которые являются решениями уравнения для построения графика
    присвоение любого удобного значения одной переменной и определение соответствующего
    значение другой переменной.
  3. Изобразите эти упорядоченные пары.
  4. Проведите прямую линию через точки.
  5. Проверьте, построив график третьей упорядоченной пары, которая является решением уравнения и
    убедитесь, что он лежит на линии.

Пример 1

Изобразите уравнение y = 2x — 6.

Решение
Сначала мы выбираем любые два значения x, чтобы найти соответствующие значения y.
Мы будем использовать 1 и 4 для x.
Если x = 1, y = 2 (1) — 6 = -4
, если x = 4, y = 2 (4) — 6 = 2
Таким образом, два решения уравнения:
(1, -4) и (4, 2).
Затем мы строим график этих упорядоченных пар и проводим прямую линию через точки, как показано
на рисунке. Мы используем стрелки, чтобы показать, что
линия тянется бесконечно далеко в обоих направлениях.
Любая третья упорядоченная пара, удовлетворяющая
уравнение можно использовать в качестве проверки:
, если x = 5, y = 2 (5) -6 = 4
Затем отметим, что график (5, 4) также лежит на линии
. Чтобы найти решения уравнения, как мы уже отмечали, часто проще всего сначала решить
явно для y через x.

Пример 2

График x + 2y = 4.

Решение
Сначала решаем y через x, чтобы получить

Теперь мы выбираем любые два значения x, чтобы найти соответствующие значения y. Мы будем использовать
2 и 0 для x.

Таким образом, двумя решениями уравнения являются (2, 1) и (0, 2).

Затем мы графически отображаем эти упорядоченные пары и
проведите через точки прямую, как
показано на рисунке.

Любая третья упорядоченная пара, удовлетворяющая
уравнение можно использовать как проверку:

Затем отметим, что график (-2, 3) также
лежит на линии.

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Уравнение y = 2 можно записать как

0x + y = 2

и может рассматриваться как линейное уравнение в двух
переменные, у которых коэффициент при x равен 0. Некоторые
решения 0x + y = 2 равны

(1,2), (-1,2) и (4,2)

Фактически, любая упорядоченная пара вида (x, 2) является
решение (1). Графическое изображение решений
дает горизонтальную линию, как показано на рисунке
7.4.

Точно так же уравнение, такое как x = -3, может
можно записать как

х + 0у = -3

и может рассматриваться как линейное уравнение в двух
переменные, у которых коэффициент при y равен 0.

Некоторые решения x + 0y = -3 являются
(-3, 5), (-3, 1) и (-3, -2). Фактически любой
упорядоченная пара вида (-3, y) является решением
из (2). Построение графика решений дает вертикальную
линии, как показано на рисунке 7.5.

Пример 3

График

а. y = 3
б. х = 2

Решение
а. Мы можем записать y = 3 как Ox + y = 3.
Некоторые решения: (1, 3), (2,3) и (5, 3).

б. Мы можем записать x = 2 как x + Oy = 2.
Некоторые решения: (2, 4), (2, 1) и (2, -2).

7.4 МЕТОД ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКА

В разделе 7.3 мы присвоили значения x в уравнениях с двумя переменными, чтобы найти
соответствующие значения y. Решения уравнения с двумя переменными, равные
как правило, легче всего найти те, в которых первый или второй компонент
0. Например, если мы заменим 0 на x в уравнении

3x + 4y = 12

у нас

3 (0) + 4y = 12
y = 3

Таким образом, решением уравнения (1) является (0, 3).Мы также можем найти упорядоченные пары, которые
решения уравнений с двумя переменными путем присвоения значений y и определения
соответствующие значения x. В частности, если мы подставим 0 вместо y в уравнение (1), мы
получить

3x + 4 (0) = 12
x = 4

и второе решение уравнения (4, 0). Теперь мы можем использовать упорядоченные пары
(0, 3) и (4, 0) для построения графика уравнения (1). График представлен на рисунке 7.6. Уведомление
что линия пересекает ось x в точке 4 и ось y в точке 3. По этой причине число
4 называется пересечением по оси x графа, а число 3 — точкой пересечения по оси y.

Этот метод построения графика линейного уравнения называется пересечением.
метод построения графиков. Обратите внимание, что когда мы используем этот метод построения графиков линейного
уравнение, нет никакого преимущества в том, чтобы сначала явно выразить y через x.

Пример 1

График 2x — y = 6 методом пересечения.

Решение
Мы находим точку пересечения с x, подставляя 0 вместо y в уравнение, чтобы получить

2x — (0) = 6
2x = 6
x = 3

Теперь мы находим точку пересечения по оси Y, подставляя
для x в уравнении, чтобы получить

2 (0) — y = 6
-y = 6
y = -6

Упорядоченные пары (3, 0) и (0, -6) являются решениями 2x — y = 6.Графическое изображение этих
точки и соединив их прямой линией, получим график 2x — y = 6.
Если график пересекает оси в начале координат или рядом с ним, метод перехвата не работает.
удовлетворительно. Затем мы должны построить график упорядоченной пары, которая является решением уравнения
и чей график не является началом координат или не слишком близок к началу координат.

Пример 2

График y = 3x.

Решение
Мы можем заменить 0 на x и найти
y = 3 (0) = 0
Аналогичным образом, заменив 0 на y, мы получим
0 = 3.x, x = 0
Таким образом, 0 является и точкой пересечения по оси x, и точкой пересечения по оси y.

Так как одной точки недостаточно, чтобы получить = 3x, мы прибегаем к методам, описанным в
Раздел 7.3. Выбирая любое другое значение для x, скажем 2, мы получаем

у = 3 (2) = 6

Таким образом, (0, 0) и (2, 6) являются решениями
уравнение. График y = 3x показан на
верно.

7,5 НАКЛОН ЛИНИИ

ФОРМУЛА НАКЛОНА

В этом разделе мы изучим важное свойство линии.Мы назначим
число к линии, которую мы называем уклоном, что даст нам меру «крутизны»
или «направление» линии.

Часто бывает удобно использовать специальные обозначения для различения прямоугольников.
Гулярные координаты двух разных точек. Мы можем обозначить одну пару координат
на (x 1 , y 1 (читается «x sub one, y sub one»), связанный с точкой P 1 , и второй
пара координат по (x 2 , y 2 ), связанная со второй точкой P 2 , как показано на рисунке
7.7. Обратите внимание на рис. 7.7, что при переходе от P 1 к P 2 вертикальное изменение (или
расстояние по вертикали) между двумя точками составляет y 2 — y 1 , а изменение по горизонтали (или
расстояние по горизонтали) составляет x 2 — x 1 .

Отношение вертикального изменения к горизонтальному называется крутизной
линия, содержащая точки P 1 и P 2 . Это соотношение обычно обозначают m. Таким образом,

Пример 1

Найдите наклон прямой, содержащей два
точки с координатами (-4, 2) и (3, 5) как
показано на рисунке справа.

Решение
Обозначим (3, 5) как (x 2 , y 2 ) и (-4, 2)
как (x 1 , y 1 ). Подставляя в уравнение (1)
дает

Обратите внимание, что мы получим тот же результат, если подставим -4 и 2 вместо x 2 и y 2 и 3 и
5 для x 1 и y 1

Линии с различным уклоном показаны на Рисунке 7.8 ниже. Наклоны линий, которые
вверх вправо положительны (рисунок 7.8а) и наклоны спускающихся вниз
справа отрицательны (рис. 7.8b). Обратите внимание (рис. 7.8c), что, поскольку все
точки на горизонтальной линии имеют одинаковое значение y, y 2 — y 1 равно нулю для любых двух
точек и наклон линии просто

Также обратите внимание (рисунок 7.8c), что, поскольку все точки на вертикали имеют одинаковое значение x,
x 2 — x 1 равняется нулю для любых двух точек. Однако

не определено, поэтому вертикальная линия не имеет наклона.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ЛИНИИ

Рассмотрим линии, показанные на рисунке 7.9. Линия l 1 имеет наклон m 1 = 3, а линия l 2 имеет
уклон м 2 = 3. В данном случае

Эти линии никогда не пересекаются и называются параллельными линиями. Теперь рассмотрим строки
показано на рисунке 7.10. Линия l 1 имеет наклон m 1 = 1/2, а прямая l 2 имеет наклон m 2 = -2.
В данном случае

Эти линии пересекаются, образуя прямой угол, и называются перпендикулярными линиями.

Как правило, если две линии имеют уклон и м2:

    а. Линии параллельны, если они имеют одинаковый наклон, т. Е.
    если m 1 = m 2 .
    г. Линии перпендикулярны, если произведение их уклонов
    равно -1, то есть если m 1 * m 2 = -1.

7.6 УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

ОПОРНО-СКЛОННАЯ ФОРМА

В разделе 7.5 мы нашли наклон прямой по формуле

Допустим, мы знаем, что линия проходит через точку (2, 3) и имеет наклон 2.Если обозначить любую другую точку на прямой как P (x, y) (см. Рис. 7.1а), наклоном
формула

Таким образом, уравнение (1) — это уравнение прямой, проходящей через точку (2, 3), и
имеет уклон 2.

В общем, допустим, мы знаем, что линия проходит через точку P 1 (x 1 , y 1 и имеет
уклон м. Если мы обозначим любую другую точку на прямой как P (x, y) (см. Рис. 7.11 b), то через
формула наклона

Уравнение (2) называется формой точечного уклона для линейного уравнения.В уравнении (2),
m, x 1 и y 1 известны, а x и y — переменные, которые представляют координаты
любая точка на линии. Таким образом, всякий раз, когда мы знаем наклон линии и точки на
линии, мы можем найти уравнение линии, используя уравнение (2).

Пример 1

Прямая имеет наклон -2 и проходит через точку (2, 4). Найдите уравнение прямой.

Решение
Замените -2 вместо m и (2, 4) вместо (x 1 , y 1 ) в уравнении (2)

Таким образом, прямая с наклоном -2, проходящая через точку (2, 4), имеет уравнение
у = -2х + 8.Мы могли бы также записать уравнение в эквивалентной форме y + 2x = 8,
2x + y = 8 или 2x + y — 8 = 0.

ФОРМА НАКЛОНА

Теперь рассмотрим уравнение прямой с наклоном m и точкой пересечения оси y b, как показано на
Рисунок 7.12. Подставляя 0 вместо x 1 и b вместо y 1 в форме точечного наклона линейного
уравнение, имеем

y — b = m (x — 0)
y — b = mx

или

y = mx + b

Уравнение (3) называется формой пересечения наклона
для линейного уравнения.Наклон и пересечение по оси Y
можно получить непосредственно из уравнения в
эта форма.

Пример 2 Если линия имеет уравнение

, то наклон линии должен быть -2, а точка пересечения оси Y — 8. Аналогично,
график

г = -3x + 4

имеет наклон -3 и точку пересечения по оси Y 4; и график

имеет наклон 1/4 и точку пересечения по оси Y -2.

Если уравнение не записано в форме x = mx + b, и мы хотим знать наклон
и / или точку пересечения с y, мы переписываем уравнение, решая относительно y через x.

Пример 3

Найдите наклон и точку пересечения оси Y 2x — 3y = 6.

Решение
Сначала мы решаем y в терминах x, добавляя -2x к каждому члену.

2x — 3y — 2x = 6 — 2x
— 3y = 6 — 2x

Теперь, разделив каждого члена на -3, мы получим

Сравнивая это уравнение с формой y = mx + b, отметим, что наклон m (величина
коэффициент при x) равен 2/3, а точка пересечения оси y равна -2.

7.7 ПРЯМОЕ ИЗМЕНЕНИЕ

Частный случай уравнения первой степени с двумя переменными дается

y = kx (k — постоянная)

Такая связь называется прямой вариацией.Мы говорим, что переменная y изменяется
непосредственно как x.

Пример 1

Мы знаем, что давление P в жидкости прямо пропорционально глубине d ниже
поверхность жидкости. Мы можем обозначить это соотношение в символах как

P =

кД

В прямом варианте, если мы знаем набор условий для двух переменных, и если
мы также знаем другое значение для одной из переменных, мы можем найти значение
вторая переменная для этого нового набора условий.

В приведенном выше примере мы можем решить для константы k, чтобы получить

Поскольку отношение P / d постоянно для каждого набора условий, мы можем использовать соотношение
для решения задач, связанных с прямым изменением.

Пример 2

Если давление P напрямую зависит от глубины d и P = 40, когда d = 10, найдите P, когда
d = 15.

Решение
Поскольку отношение P / d является постоянным, мы можем подставить значения для P и d и получить
пропорция

Таким образом, P = 60 при d = 15.

7,8 НЕРАВЕНСТВА В ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

В разделах 7.3 и 7.4 мы построили уравнения с двумя переменными. В этом разделе мы
построит график неравенств по двум переменным. Например, рассмотрим неравенство

у ≤ -x + 6

Решения — это упорядоченные пары чисел, которые «удовлетворяют» неравенству.Это,
(a, b) является решением неравенства, если неравенство является истинным утверждением после того, как мы
заменим a на x и b на y.

Пример 1

Определите, является ли данная упорядоченная пара решением y = -x + 6.

а. (1, 1)
б. (2, 5)

Решение
Упорядоченная пара (1, 1) является решением, потому что, когда 1 заменяется на x, а 1
подставляем вместо y, получаем

(1) = — (1) + 6, или 1 = 5

, что является правдой. С другой стороны, (2, 5) не является решением, потому что когда
2 заменяется на x и 5 заменяется на y, мы получаем

(5) = — (2) + 6, или 5 = 4

, что является ложным заявлением.

Чтобы изобразить неравенство y = -x + 6, сначала построим уравнение y = -x + 6
показано на рисунке 7.13. Обратите внимание, что (3, 3), (3, 2), (3, 1), (3, 0) и т. Д., Связанные
с точками, находящимися на линии или под ней, являются решениями неравенства
y = -x + 6, тогда как (3,4), (3, 5) и (3,6), связанные с точками над
линии не являются решениями неравенства. Фактически, все упорядоченные пары, связанные с
точки на линии или ниже являются решениями y = — x + 6. Таким образом, каждая точка на или
под чертой находится на графике.Мы представляем это, закрашивая область под
линия (см. рисунок 7.14).

В общем, чтобы построить график неравенства первой степени с двумя переменными в виде
Ax + By = C или Ax + By = C, сначала строим график уравнения Ax + By = C и
затем определите, какая полуплоскость (область выше или ниже линии) содержит
решения. Затем закрашиваем эту полуплоскость. Мы всегда можем определить, какая половина
плоскость заштриховать, выбрав точку (не на линии уравнения Ax + By = C)
и тестирование, чтобы увидеть, является ли упорядоченная пара, связанная с точкой, решением
учитывая неравенство.Если да, то закрашиваем полуплоскость, содержащую контрольную точку; иначе,
заштриховываем вторую полуплоскость. Часто (0, 0) — удобная контрольная точка.

Пример 2

График 2x + 3y = 6

Решение
Сначала построим линию 2x + 3y = 6 (см. График a). Используя начало координат как контрольную точку,
мы определяем, является ли (0, 0) решением 2x + 3y ≥ 6. Поскольку утверждение

2 (0) + 3 (0) = 6

ложно, (0, 0) не является решением и мы закрашиваем полуплоскость, не содержащую
начало координат (см. график b).

Когда линия Ax + By = C проходит через начало координат, (0, 0) не является допустимым тестом
точка, так как она находится на линии.

Пример 3

График y = 2x.

Решение
Начнем с построения линии y = 2x (см. График a). Поскольку линия проходит через
начало координат, мы должны выбрать другую точку не на линии в качестве нашей тестовой точки. Мы будем
используйте (0, 1). Поскольку выписка

(1) = 2 (0)

верно, (0, 1) — решение, и мы закрашиваем полуплоскость, содержащую (0, 1) (см.
график б).

Если символ неравенства — ‘, точки на графике Ax + By = C
не являются решениями неравенства. Затем мы используем пунктирную линию для графика
Ax + By = C.

РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ

  1. Решение уравнения с двумя переменными — это упорядоченная пара чисел. в
    упорядоченная пара (x, y), x называется первым компонентом, а y называется вторым
    составная часть. Для уравнения с двумя переменными переменная, связанная с первой
    компонент решения называется независимой переменной, а переменная
    связанный со вторым компонентом, называется зависимой переменной.Обозначение функции f (x) используется для обозначения алгебраического выражения в x. Когда х в
    символ f (x) заменяется определенным значением, символ представляет значение
    выражения для этого значения x.

  2. Пересечение двух перпендикулярных осей в системе координат называется
    происхождение системы, и каждая из четырех областей, на которые делится плоскость
    называется квадрантом. Компоненты упорядоченной пары (x, y), связанной с
    точки на плоскости называются координатами точки; x называется абсциссой
    точки, а y называется ординатой точки.

  3. График уравнения первой степени с двумя переменными представляет собой прямую линию. То есть каждый
    упорядоченная пара, которая является решением уравнения, имеет график, лежащий на линии, и
    каждая точка в строке связана с упорядоченной парой, которая является решением
    уравнение.

    Графики любых двух решений уравнения с двумя переменными могут быть использованы для
    получить график уравнения. Однако два решения уравнения в двух
    переменные, которые обычно легче всего найти, — это те, в которых либо первая, либо
    второй компонент равен 0.Координата x точки, в которой линия пересекает ось x.
    называется пересечением по оси x линии, а координата y точки, в которой линия
    пересекает ось ординат и называется пересечением линии. Использование точек пересечения для построения графика
    уравнение называется методом построения графика с пересечением.

  4. Наклон линии, содержащей точки P 1 (x 1 , y 1 ) и P 2 (x 2 , y 2 ), определяется как

    Две прямые параллельны, если они имеют одинаковый наклон (m 1 = m 2 ).

    Две прямые перпендикулярны, если произведение их наклонов равно — l (m 1 * m 2 = -1).

  5. Форма точки-наклона прямой с наклоном m, проходящей через точку (x 1 , y 1 )
    это

    y — y 1 — m (x — x 1 )

    Форма точки пересечения наклона линии с наклоном m и точкой пересечения оси y b равна

    y = mx + b

  6. Взаимосвязь, определяемая уравнением вида

    y = kx (k постоянная)

    называется прямой вариацией.

  7. Решением неравенства с двумя переменными является упорядоченная пара чисел, которая,
    при подстановке в неравенство делает неравенство истинным утверждением. В
    График линейного неравенства от двух переменных представляет собой полуплоскость.
    Символы, представленные в этой главе, появляются на внутренней стороне передней обложки.

Математика, часть I Решения для класса 10, математика, глава 1

Страница № 4:
Вопрос 1:

Выполните следующее действие, чтобы решить одновременные уравнения.
5 x + 3 y = 9 —— (I)
2 x + 3 y = 12 —— (II)

Ответ:

Отказ от ответственности: в Q есть ошибка. В (II) должно было быть 2 x — 3 y = 12
5 x + 3 y = 9 —— (I)
2 x — 3 y = 12 —— (II)
Сложить (I) и (II)
7 x = 21
x = 3
Положить значение x = 3 в (I) получаем
53 + 3y = 9⇒15 + 3y = 9⇒3y = 9-15 = -6⇒y = -2
Таким образом, ( x , y ) = (3, — 6).

Страница № 5:
Вопрос 2:

Решите следующие одновременные уравнения.
(1) 3 a + 5 b = 26; a + 5b = 22
(2) x + 7 y = 10; 3 x — 2 y = 7
(3) 2 x — 3 y = 9; 2 x + y = 13
(4) 5 м — 3 n = 19; м — 6 n = –7
(5) 5 x + 2 y = –3; x + 5 y = 4
(6) 13x + y = 103; 2x + 14y = 114
(7) 99 x + 101 y = 499; 101 x + 99 y = 501
(8) 49 x — 57 y = 172; 57 x — 49 y = 252

Ответ:

(1) 3 a + 5 b = 26; ….. (I)
a + 5b = 22 ….. (II)
Вычитание (II) из (I)
2 a = 4
a = 2
Подставление значения из a = 2 дюйма (II)
5b = 22-2 = 20
b = 205 = 4
Таким образом, a = 2 и b = 4.

(2) x + 7 y = 10; ….. (I)
3 x — 2 y = 7….. (II)
Умножение (I) на 3
3 x + 21 y = 30; ….. (III)
3 x — 2 y = 7 ….. (IV)
Вычитая (IV) из (III), получаем
23 y = 23
y = 1
Подставляя значение y в (IV), получаем
3 x — 2 = 7
⇒3 x = 7 + 2 = 9
⇒3 x = 9
x = 3
Таким образом, ( x, y ) = (3, 1)

(3) 2 x — 3 y = 9….. (I)
2 x + y = 13 ….. (II)
Вычитая (II) из (I), получаем
-3 y — y = 9-13
⇒-4y = -4⇒y = 1
Подставляя это значение в (I), получаем
2x-31 = 9⇒2x = 9 + 3 = 12⇒x = 122 = 6
Таким образом, ( x, y ) = (6, 1)

(4) 5 м — 3 n = 19 ….. (I)
м — 6 n = –7 ….. (II)
Умножая (I) на 2, получаем
10 m — 6 n = 38….. (III)
m — 6 n = –7 ….. (IV)
Вычитая (IV) из (III), получаем
10m-m-6n — 6n = 38- -7⇒9m = 45⇒m = 459 = 5
Подставляя значение m = 5 в (II), получаем
5-6n = -7⇒-6n = -7-5⇒-6n = -12⇒n = -12-6 = 2
Таким образом, (m, n) = (5, 2).

(5) 5 x + 2 y = –3 ….. (I)
x + 5 y = 4 ….. (II)
Умножение (II) на 5 получаем
5 x + 25 y = 20….. (III)
Вычитая (III) из (I), получаем
5x-5x + 2y-25y = -3-20⇒-23y = -23⇒y = -23-23 = 1
Подставляем значение из y = 1 в (II) получаем
x + 51 = 4⇒x + 5 = 4⇒x = 4-5 = -1
Таким образом, ( x, y ) = (−1, 1)

(6)
13x + y = 103 ….. I2x + 14y = 114 ….. (II)
Умножить (I) на 3 и (II) на 4
x + 3y = 10 .. … III8x + y = 11 ….. IV
Умножаем (IV) на 3
24 x + 3 y = 33….. (V)
Вычитание (V) из (III)
x-24x + 3y-3y = 10-33⇒-23x = -23⇒x = 1
Подставляем значение x = 1 дюйм ( III)
1 + 3y = 10⇒3y = 10-1 = 9⇒y = 93 = 3
Таким образом, ( x, y ) = (1, 3)

(7) 99 x + 101 y = 499 ….. (I)
101 x + 99 y = 501 ….. (II)
Сложение (I) и (II)
200x + 200y = 1000⇒x + y = 5 ….. (III)
Вычитание (II) из (I)
99x-101x + 101y-99y = 499-501⇒-2x + 2y = -2⇒-x + y = -1….. IV
Складываем (III) и (IV)
x + y = 5-x + y = -1⇒2y = 4⇒y = 2
Подставляя значение y = 2 в (III), мы получаем
x + 2 = 5⇒x = 5-2 = 3
Таким образом, ( x, y ) = (3, 2)

(8) 49 x — 57 y = 172 … .. (I)
57 x — 49 y = 252 ….. (II)
Сложение (I) и (II)
49x + 57x-57y-49y = 172 + 252⇒106x-106y = 424⇒xy = 4 ….. III
Вычитая (II) из (I), получаем
49x-57y-57y — 49y = 252-172⇒-8x-8y = -80⇒-xy = -10 ⇒x + y = 10….. IV
Складывая (III) и (IV)

xy = 4x + y = 10⇒2x = 14⇒x = 7
Подставляя значение x = 7 в ​​(IV), получаем
7+ y = 10⇒y = 10-7⇒y = 3
Таким образом, ( x, y ) = (7, 3).

Страница № 8:
Вопрос 1:

Заполните следующую таблицу, чтобы нарисовать график уравнений —
(I) x + y = 3 (II) x y = 4

x + y = 3
x 3 0 0
y 0 5 3
( x , y ) (3, 0) 0 (0, 3)
x y = 4
x 0 –1 0
y 0 0 –4
( x , y ) 0 0 (0, –4)
Ответ:
x + y = 3
x 3 -2 0
y 0 5 3
( x , y ) (3, 0) -2, 5 (0, 3)
x y = 4
x 4 –1 0
y 0 -5 –4
( x , y ) 4,0 -1, -5 (0, –4)

Страница № 8:
Вопрос 2:

Решите следующие одновременные уравнения графически.
(1) x + y = 6; x y = 4
(2) x + y = 5; x y = 3
(3) x + y = 0; 2 x y = 9
(4) 3 x y = 2; 2 x y = 3
(5) 3 x — 4 y = –7; 5 x — 2 y = 0
(6) 2 x — 3 y = 4; 3 y x = 4

Ответ:

(1) x + y = 6;

x y = 4

Точка пересечения двух линий — (5, 1).

(2) x + y = 5

x y = 3

Точка пересечения двух линий — (4, 1)
.
(3) x + y = 0

2 x y = 9

Точка пересечения двух прямых — (3, −3).

(4) 3 x y = 2

2 x y = 3

Точка пересечения двух прямых — (−1, −5).

(5) 3 x — 4 y = –7

x 1 0 -2,3
y 2,5 1,75 0

5 x -2 y = 0

Точка пересечения двух прямых — (1, 2.5).

(6) 2 x — 3 y = 4

3 y x = 4

Точка пересечения двух прямых — (8, 4).

Страница № 16:
Вопрос 1:

Заполните пропуски правильным номером

3 24 5 = 3 × — × 4 = –8 =

Ответ:

3 24 5 = 35-24 = 15-8 = 7
Таким образом, имеем
3 24 5 = 3 × 5 — 2 × 4 = 15 –8 = 7

Страница № 16:
Вопрос 2:

Найдите значения следующих определителей.

(1) -1 7 2 4

(2) 5 3-7 0

(3) 73533212

Ответ:

(1) -1 7 2 4

= -14-72 = -4-14 = -18

(2) 5 3-7 0 = 5 × 0-3 × -7 = 0 + 21 = 21

(3) 73533212 = 73 × 12-53 × 32 = 76-52 = 7-156 = -86 = -43

Страница № 16:
Вопрос 3:

Решите следующие одновременные уравнения, используя правило Крамера.
(1) 3 x — 4 y = 10; 4 x + 3 y = 5
(2) 4 x + 3 y — 4 = 0; 6 x = 8 — 5 y
(3) x + 2 y = –1; 2 x — 3 y = 12
(4) 6 x — 4 y = –12; 8 x — 3 y = –2
(5) 4 м + 6 n = 54; 3 м + 2 n = 28
(6) 2x + 3y = 2; х-у2 = 12

Ответ:

(1) 3 x — 4 y = 10
4 x + 3 y = 5
D = 3-443 = 3 × 3—4 × 4 = 9 + 16 = 25Dx = 10 -453 = 10 × 3—4 × 5 = 30 + 20 = 50Dy = 31045 = 3 × 5-10 × 4 = 15-40 = -25
x = DxD = 5025 = 2y = DyD = -2525 = -1x , y = 2, -1

(2) 4 x + 3 y — 4 = 0; 6 x = 8-5 y
D = 4365 = 4 × 5-6 × 3 = 20-18 = 2Dx = 4385 = 4 × 5-3 × 8 = 20-24 = -4Dy = 4468 = 4 × 8-6 × 4 = 32-24 = 8

x = DxD = -42 = -2y = DyD = 82 = 4x, y = -2,4

(3) x + 2 y = — 1; 2 x — 3 y = 12
D = 122-3 = 1 × -3-2 × 2 = -3-4 = -7Dx = -1212-3 = -1 × -3-2 × 12 = 3-24 = -21Dy = 1-1212 = 1 × 12—1 × 2 = 12 + 2 = 14
x = DxD = -21-7 = 3y = DyD = 14-7 = -2x, y = 3, -2

(4) 6 x — 4 y = –12; 8 x — 3 y = –2

D = 6-48-3 = 6 × -3-4 × 8 = -18 + 32 = 14Dx = -12-4-2-3 = — 12 × -3—4 × -2 = 36-8 = 28Dy = 6-128-2 = 6 × -2—12 × 8 = -12 + 96 = 84
x = DxD = 2814 = 2y = DyD = 8414 = 6x, y = 2,6

(5) 4 м + 6 n = 54; 3 м + 2 n = 28
D = 4632 = 4 × 2-6 × 3 = 8-18 = -10Dx = 546282 = 54 × 2-6 × 28 = 108-168 = -60Dy = 454328 = 4 × 28-54 × 3 = 112-162 = -50
x = DxD = -60-10 = 6y = DyD = -50-10 = 5x, y = 6,5

(6) 2x + 3y = 2; x-y2 = 12
D = 231-12 = 2 × -12-3 × 1 = -1-3 = -4Dx = 2312-12 = 2 × -12-3 × 12 = -1-32 = -52Dy = 22112 = 2 × 12-2 × 1 = 1-2 = -1
x = DxD = -52-4 = 58y = DyD = -1-4 = 14x, y = 58,14

Страница № 19:
Вопрос 1:

Решите следующие одновременные уравнения.

1 2x-3y = 15; 8x + 5y = 772 · 10x + y + 2x-y = 4; 15x + y-5x-y = -23 27x-2 + 31y + 3 = 85; 31x-2 + 27y + 3 = 894 13x + y + 23x-y = 34; 123x + y-123x-y = -18

Ответ:

1 2x-3y = 15; 8x + 5y = 77
Пусть 1x = u и 1y = v
Итак, уравнение принимает вид
2u-3v = 15 ….. I8u + 5v = 77 ….. II
Умножьте (I) на 4 we получаем
8u-12v = 60 ….. III
(II) — (III)
8u-8u + 5v — 12v = 77-60⇒17v = 17⇒v = 1 Подставляем значение v в I2u-31 = 15⇒2u = 15 + 3 = 18⇒u = 9
Таким образом,
1x = u = 9⇒x = 191y = v = 1⇒y = 1x, y = 19,1

2 10x + y + 2x- у = 4; 15x + y-5x-y = -2
Пусть 1x + y = u и 1x-y = v
Итак, уравнение принимает вид
10u + 2v = 4….. I15u-5v = -2 ….. II
Умножая (I) на 5 и (II) на 2, получаем
50u + 10v = 20 ….. III30u-10v = -4 .. … IV
Складывая (III) и (IV), получаем
u = 1680 = 15
Подставляя это значение в (I)
10 × 15 + 2v = 4⇒2 + 2v = 4⇒v = 1

1x + y = 15 и 1x-y = 1⇒x + y = 5 и xy = 1 Решая эти уравнения, мы получаем x = 3 и y = 2

3 27x-2 + 31y + 3 = 85; 31x-2 + 27y + 3 = 89
Пусть 1x-2 = u и 1y + 3 = v
27u + 31v = 85 ….. I31u + 27v = 89….. IIСложив I и II58u + 58v = 174u + v = 3 ….. III Вычтя II из I4u-4v = 4⇒uv = 1 ….. IV
Складывая (III) и (IV), получаем
2u = 4⇒u = 2
Подставляем значение u в III
2 + v = 3⇒v = 1
1x-2 = u = 2⇒x-2 = 12⇒x = 52
1y + 3 = 1⇒y + 3 = 1⇒y = -2
x, y = 52, -2

4 13x + y + 23x-y = 34; 123x + y-123x-y = -18
Пусть 13x + y = u и 13x-y = v
u + 2v = 34 и 12u-12v = -18
Итак, уравнения становятся
4u + 4v = 3 .. … I4u-4v = 1….. II
Складываем (I) и (II)
8u = 4⇒u = 12
Подставляем значение u в (I)
12 + 2v = 34⇒v = 14
13x + y = u и 13x-y = v⇒13x + y = 123x + y = 2 ….. III Также, 13x-y = 14⇒3x-y = 4 ….. IV
(III) + (IV) получаем
6x = 6⇒x = 1y = -1

Страница № 26:
Вопрос 1:

Два числа отличаются на 3. Сумма удвоенного меньшего числа и троекратного большего числа равна 19.Найдите числа.

Ответ:

Пусть меньшее число будет x , а большее число будет y .
Учитывая, что два числа отличаются на 3,
yx = 3 ….. (I)
Кроме того, сумма удвоенного меньшего числа и троекратного большего числа равна 19
Итак, 2x + 3y = 19 … … (II)
Два полученных уравнения:
yx = 3
2x + 3y = 19
Умножая (I) на 3, получаем
3y-3x = 9….. (III)
Складывая (III) и (II), получаем
4 y = 28
⇒y = 284 = 7
Подставляя значение y = 7 в (I), получаем
7 -x = 3⇒-x = 3-7⇒-x = -4⇒x = 4
Таким образом, два числа — 4 и 7.

Страница № 26:
Вопрос 2:

Выполните следующее.

Ответ:

Длина данного прямоугольника равна 2x + y + 8 и 4x-y
2x + y + 8 = 4x-y⇒y + y + 8 = 4x-2x⇒8 + 2y = 2x⇒2x-2y = 8 Делим на 2х-у = 4….. I
Ширина прямоугольника 2 y и x + 4.
2y = x + 4⇒x-2y = -4 ….. II
Вычитание (II) из (I)
xxy — 2y = 4—4⇒-y + 2y = 8⇒y = 8 Подставляя значение y = 8 в (I), мы получаем x-8 = 4⇒x = 4 + 8 = 12
Length = 4x- y = 412-8 = 40
Ширина = 2 × 8 = 16
Периметр = 2 длина + ширина = 240 + 16 = 112 единиц
Площадь = длина × ширина = 40 × 16 = 640 единиц2

Страница № 26:
Вопрос 3:

Сумма возраста отца и двойного возраста его сына составляет 70 лет.Если мы удвоим возраст отца и прибавим его к возрасту его сына, получится 95. Найдите их нынешний возраст.

Ответ:

Пусть возраст отца будет x лет, а возраст сына — y лет.
Сумма возраста отца и удвоенного возраста его сына равна 70, так что
x + 2y = 70 …… (I)
Удвоенный возраст отца, прибавленный к возрасту его сына, получится 95
2х + у = 95….. (II)
Складывая (I) и (II), получаем
3x + 3y = 165 Делим на 3x + y = 55 ….. III
Вычитая (I) из (II)
2x-x + y-2y = 95-70⇒xy = 25 ….. IV
Складывая (III) и (IV), получаем
2x = 80⇒x = 40 Подставляя значение x = 40 в III40 + y = 55⇒y = 55-40⇒y = 15
Таким образом, возраст отца — 40 лет, а возраст сына — 15 лет.

Страница № 26:
Вопрос 4:

Знаменатель дроби на 4 больше, чем ее числитель.Знаменатель становится в 12 раз больше числителя, если и числитель, и знаменатель уменьшаются на 6. Найдите дробь.

Ответ:

Пусть дробь будет xy.
Знаменатель дроби на 4 раза больше ее числителя.
Итак,
y = 4 + 2x⇒2x-y = -4 ….. I
Кроме того, знаменатель становится в 12 раз больше числителя, если и числитель, и знаменатель уменьшаются на 6.
Итак,
y-6 = 12x-6⇒y-6 = 12x-72⇒12x-y = 72-6 = 66⇒12x-y = 66 ….. II
Вычитание (I) из (II)
12x-2x-y — y = 66—4⇒10x = 70⇒x = 7010 = 7⇒x = 7
Подставляем значение x = 7 в (I)
27-y = -4⇒ 14-y = -4⇒y = 14 + 4 = 18
Таким образом, полученная дробь равна 718.

Страница № 26:
Вопрос 5:

Два типа ящиков A, B должны быть помещены в грузовик грузоподъемностью 10 тонн.Когда в грузовик загружается 150 ящиков типа А и 100 ящиков типа В, он весит 10 тонн. Но когда в грузовик загружено 260 ящиков типа A, он все еще может вместить 40 ящиков типа B, так что он полностью загружен. Найдите вес каждого типа коробки.

Ответ:

Пусть вес коробки A составляет x , а вес коробки B — y .
Когда 150 ящиков типа A и 100 ящиков типа B загружены в грузовик, он весит 10 тонн i.е 10000 кг.
Итак,
150x + 100y = 10000⇒15x + 10y = 1000⇒3x + 2y = 200 ….. I
Когда 260 ящиков типа A загружены в грузовик, он все еще может вместить 40 ящиков типа B, чтобы он был полностью загружен.
260x + 40y = 10000⇒26x + 4y = 1000⇒13x + 2y = 500 ….. II
Вычитая (I) из (II), получаем
13x-3x + 2y-2y = 500-200⇒10x = 300⇒x = 30 Подставляем значение x = 30 в I330 + 2y = 200⇒90 + 2y = 200⇒2y = 200-90 = 110⇒y = 1102 = 55
Таким образом, вес коробки A = 30 кг, а вес коробки ящик Б = 55 кг.

Страница № 26:
Вопрос 6:

Из 1900 км Вишал проехал какое-то расстояние на автобусе, а часть на самолете. Автобус движется со средней скоростью 60 км / час, а средняя скорость самолета составляет 700 км / час. Путешествие занимает 5 часов. Определив расстояние, Вишал ехал на автобусе.

Ответ:

Мы знаем скорость = расстояние и время
Средняя скорость автобуса = 60 км / ч.
Пусть время, проведенное в автобусе, составит x часов.
Средняя скорость автобуса = 700 км / ч.
Пусть время в автобусе составит y часов.
Общее пройденное расстояние = 1900 км
60x + 700y = 1900⇒6x + 70y = 190⇒3x + 35y = 95 ….. I
Путешествие занимает 5 часов, поэтому
x + y = 5 .. … II
Умножая (II) на 3
3x + 3y = 15 ….. III
Вычитая (III) из (I), получаем
3x-3x + 35y-3y = 95-15⇒32y = 80 ⇒y = 2,5
Положив значение y = 2.5 в (II) получаем
x + 2,5 = 5⇒x = 2,5
Расстояние, пройденное Vishal на автобусе = скорость × время = 60 × 2,5 = 150 км.

Страница № 27:
Вопрос 1:

Выберите правильный вариант для каждого из следующих вопросов
(1) Чтобы нарисовать график 4 x +5 y = 19, найдите y , когда x = 1.

A) 4 (В) 3 (К) 2 (Д) –3

(2) Для одновременных уравнений в переменных x и y , D x = 49, D y = –63, D = 7, тогда что будет x ?

A) 7 (В) –7 (К) 17 (Д) -17

(3) Найдите значение 53-7-4

A) –1 (В) –41 (К) 41 (Д) 1

(4) Решить x + y = 3; 3 x — 2 y — 4 = 0 методом определителя найти D.

A) 5 (В) 1 (К) –5 (Д) –1

(5) ax + на = c и mx + ny = d и an bm , тогда эти одновременные уравнения имеют —

(А) Только одно общее решение. (А) Нет решения.
(К) Бесконечное количество решений. (Д) Всего два решения.

Ответ:

(1) 4 x +5 y = 19
Когда x = 1, тогда y будет
41 + 5y = 19⇒4 + 5y = 19⇒5y = 19-4 = 15⇒ 5y = 15⇒y = 155 = 3
Следовательно, правильный ответ — вариант (B).

(2) x = DxD = 497 = 7
Следовательно, правильный ответ — вариант (A).

(3) 53-7-4 = 5 × -4-3 × -7 = -20 + 21 = 1
Следовательно, правильный ответ — вариант (D).

(4) x + y = 3; 3 x — 2 y — 4 = 0
D = 113-2 = 1 × -2-1 × 3 = -2-3 = -5
Следовательно, правильный ответ — вариант (C).

(5) ax + by = c и mx + ny = d
D = abmn = an-bm
an
bm
So, D ≠ 907 0.
Итак, данные уравнения имеют единственное решение или только одно общее решение.
Следовательно, правильный ответ — вариант А.

Страница № 27:
Вопрос 2:

Заполните следующую таблицу, чтобы построить график 2 x — 6 y = 3

x –5 х
y х 0
( x, y ) х х
Ответ:

2 x — 6 y = 3

x –5 32
y -136 0
( x, y ) -5, -136 32,0

Страница № 27:
Вопрос 3:

Решите следующие одновременные уравнения графически.
(1) 2 x + 3 y = 12; x y = 1
(2) x — 3 y = 1; 3 x — 2 y + 4 = 0
(3) 5 x — 6 y + 30 = 0; 5 x + 4 y — 20 = 0
(4) 3 x y — 2 = 0; 2 x + y = 8
(5) 3 x + y = 10; x y = 2

Ответ:

(1) 2 x + 3 y = 12

x y = 1

Решением данных уравнений является точка пересечения двух прямых i.е (3, 2).

(2) x — 3 y = 1

3 x — 2 y + 4 = 0

Решением данных уравнений является точка пересечения двух прямых, т.е. (-2, -1).

(3) 5 x — 6 y + 30 = 0

5 x + 4 y — 20 = 0

Решением данных уравнений является точка пересечения двух прямых, т.е. (0, 5).

(4) 3 x y — 2 = 0

2 x + y = 8

Решением данных уравнений является точка пересечения двух прямых, т.е. (2, 4).

(5) 3 x + y = 10

x y = 2

Решением данных уравнений является точка пересечения двух прямых, т.е. (3, 1).

Страница № 27:
Вопрос 4:

Найдите значения каждого из следующих определителей.

(1) 4327 (2) 5-2-31 (3) 3-114
Ответ:

(1) 4327 = 4 × 7-3 × 2 = 28-6 = 22

(2) 5-2-31 = 5 × 1-2 × -3 = 5-6 = -1

(3 ) 3-114 = 3 × 4—1 × 1 = 12 + 1 = 13

Страница № 28:
Вопрос 5:

Решите следующие уравнения методом Крамера.
(1) 6 x — 3 y = –10; 3 x + 5 y — 8 = 0
(2) 4 м — 2 n = –4; 4 м + 3 n = 16
(3) 3 x — 2 y = 52; 13x + 3y = -43
(4) 7 x + 3 y = 15; 12 y -5 x = 39
(5) x + y-82 = x + 2y-143 = 3x-y4

Ответ:

(1) 6 x — 3 y = –10; 3 x + 5 y — 8 = 0
D = 6-335 = 6 × 5—3 × 3 = 30 + 9 = 39Dx = -10-385 = -10 × 5—3 × 8 = -50 + 24 = -26Dy = 6-1038 = 6 × 8—10 × 3 = 48 + 30 = 78x = DxD = -2639 = -23y = DyD = 7839 = 2x, y = -23,2

( 2) 4 м — 2 n = –4; 4 м + 3 n = 16
D = 4-243 = 4 × 3—2 × 4 = 12 + 8 = 20Dx = -4-2163 = -4 × 3—2 × 16 = -12 + 32 = 20Dy = 4-4416 = 4 × 16—4 × 4 = 64 + 16 = 80x = DxD = 2020 = 1y = DyD = 8020 = 4x, y = 1,4
(3) 3 x — 2 y = 52; 13x + 3y = -43
D = 3-2133 = 9 + 23 = 293Dx = 52-2-433 = 152-83 = 296Dy = 35213-43 = -4-56 = -296x = DxD = 296293 = 12y = DyD = -296293 = -12x, y = 12, -12

(4) 7 x + 3 y = 15; 12 y — 5 x = 39
D = 73-512 = 7 × 12-5 × 3 = 84 + 15 = 99Dx = 1533912 = 15 × 12-39 × 3 = 180-117 = 63Dy = 715 -539 = 7 × 39—5 × 15 = 273 + 75 = 348x = DxD = 6399 = 711y = DyD = 34899 = 11633x, y = 711,11633

(5) x + y-82 = x + 2y- 143 = 3x-y4
x + y-82 = x + 2y-143⇒3x + 3y-24 = 2x + 4y-28⇒xy = -4….. Iи x + 2y-143 = 3x-y4⇒4x + 8y-56 = 9x-3y⇒5x-11y = -56 ….. II

Из (I) и (II)
D = 1-15-11 = -11 × 1—1 × 5 = -11 + 5 = -6Dx = -4-1-56-11 = -11 × -4—1 × -56 = 44-56 = — 12Dy = 1-45-56 = -56 × 1-4 × 5 = -56 + 20 = -36x = DxD = -12-6 = 2y = DyD = -36-6 = 6x, y = 2,6

Страница № 28:
Вопрос 6:

Решите следующие одновременные уравнения.
(1) 2х + 23у = 16; 3x + 2y = 0
(2) 72x + 1 + 13y + 2 = 27; 132x + 1 + 7y + 2 = 33
(3) 148x + 231y = 527xy; 231x + 148y = 610xy
(4) 7x-2yxy = 5; 8x + 7yxy = 15
(5) 123x + 4y + 152x-3y = 14; 53x + 4y-22x-3y = -32

Ответ:

(1) 2х + 23у = 16; 3x + 2y = 0
Пусть 1x = u и 1y = v
2u + 23v = 16 12u + 4v = 1….. I3u + 2v = 0 ….. II
Умножьте (II) на 2
6u + 4v = 0 ….. III
I-III
6u = 1⇒u = 16
Ввод значения из u во II.
3 × 16 + 2v = 0⇒12 + 2v = 0⇒v = -14
1x = u⇒x = 61y = v⇒y = -4x, y = 6, -4

(2) 72x + 1 + 13лет + 2 = 27; 132x + 1 + 7y + 2 = 33
Пусть 12x + 1 = u и 1y + 2 = v
7u + 13v = 27 ….. I13u + 7v = 33 ….. II
(I) + ( II)
20u + 20v = 60u + v = 3 ….. III
(II) — (I)
6u-6v = 6 uv = 1….. IV
(III) + (IV)
2u = 4⇒u = 2 Подставляем значение u в (IV) 2-v = 1⇒v = 1
12x + 1 = u = 2 ⇒2x + 1 = 12⇒x = -14 и 1y + 2 = v = 1⇒y + 2 = 1⇒y = -1x, y = -14, -1

(3) 148x + 231y = 527xy; 231x + 148y = 610xy
Умножить на xy
148y + 231x = 527 ….. I 231y + 148x = 610 ….. II Сложить I и II 379y + 379x = 1137⇒x + y = 3 … ..IIIII-I83y-83x = 83⇒yx = 1 ….. IVIII + IV2y = 4⇒y = 2

Подставляем значение y в (IV)
2-x = 1⇒x = 1x , y = 1,2

(4) 7x-2yxy = 5; 8x + 7yxy = 15
⇒ 7y-2x = 5 и 8y + 7x = 15
Пусть 1x = u, 1y = v
7v-2u = 5….. I8v + 7u = 15 ….. II
Умножьте (I) на 7 и (II) на 2
49v-14u = 35 ….. III16v + 14u = 30 ….. IV
Складываем (III) и (IV)
65v = 65⇒v = 1 и 1y = v = 1⇒y = 1
Подставляем значение v в (I)
71-2u = 5⇒u = 11x = u = 1⇒x = 1x, y = 1,1

(5) 123x + 4y + 152x-3y = 14; 53x + 4y-22x-3y = -32
13x + 4y = u, 12x-3y = v12u + 15v = 14 ⇒10u + 4v = 5 ….. I5u-2v = -32⇒10u-4v = -3 ….. II
(I) + (II)
20u = 2⇒u = 110
Подставляем значение u в (II)
10 × 110-4v = -3⇒1 + 3 = 4v⇒ v = 1
13x + 4y = u = 110⇒3x + 4y = 10….. III12x-3y = v = 1⇒2x-3y = 1 ….. IV
Умножаем (III) на 2 и (IV) на 3
6x + 8y = 20 ….. V6x-9y = 3 ….. VI
(V) — (VI)
17y = 17⇒y = 1
Подставляем значение y в (VI)
6x-9 = 3⇒6x = 12⇒x = 2x , у = 2,1

Страница № 28:
Вопрос 7:

Решите следующие задачи со словами.
(1) Двухзначное число и число с замененными цифрами в сумме дают 143.В данном номере цифра в разряде единиц на 3 больше, чем цифра в разряде десятков. Найдите исходный номер.
(2) Кантабай купил в магазине 112 кг чая и 5 кг сахара. Она заплатила 50 рупий в качестве обратного проезда на рикше. Общие расходы составили 700 рупий. Затем она поняла, что, заказывая товары в Интернете, товары можно купить с бесплатной доставкой на дом по той же цене. Поэтому в следующем месяце она разместила онлайн-заказ на 2 кг чая и 7 кг сахара. Она заплатила за это 880 рупий. Найдите норму сахара и чая на кг.
(3) Чтобы узнать количество записок, которые были у Анушки, выполните следующее задание.

(4) Сумма нынешних возрастов Маниша и Савиты составляет 31 год. Возраст Маниша 3 года назад был в 4 раза старше возраста Савиты. Найдите их нынешний возраст.
(5) На фабрике соотношение заработной платы квалифицированных и неквалифицированных рабочих составляет 5: 3. Общая заработная плата за один день для обоих составляет 720 рупий. Найдите дневную заработную плату квалифицированных и неквалифицированных рабочих.
(6) Пункты A и B находятся на расстоянии 30 км друг от друга и находятся на прямой дороге. Хамид едет из пункта А в пункт Б. на велосипеде. В то же время Джозеф стартует из точки B на велосипеде и едет в сторону A.Они встречаются через 20 минут. Если бы Джозеф стартовал из B в то же время, но в противоположном направлении (а не в направлении A), Хамид догнал бы его через 3 часа. Найдите скорость Хамида и Джозефа.

Ответ:

(1) Пусть число на месте единицы будет x , а цифра на месте десятки будет y.
Таким образом, число будет 10 y + x
После перестановки цифр число станет 10 x + y.
Учитывая, что двузначное число и число с переставленными цифрами дают в сумме 143.
Итак, 10 y + x + 10 x + y = 143
⇒11x + 11y = 143⇒x + y = 13. …. I
Также в данном номере цифра в месте единицы на 3 больше, чем цифра в разряде десятков.
Итак, xy = 3 ….. II
Складывая (I) и (II), получаем
2x = 16⇒x = 8
Подставляя значение x в (I), получаем
8 + y = 13⇒y = 13-8 = 5
Таким образом, число 58.

(2) Пусть ставка чая будет x рупий за кг, а сахар — y рупий за кг.
Когда Кантабай покупал товары в магазине,
32x + 5y + 50 = 700⇒3x + 10y = 1300 ….. I
Когда Кантабай покупал товары в Интернете, тогда
2x + 7y = 880 …. .II
Умножая (I) на 2 и (II) на 3, получаем
6x + 20y = 2600 ….. III6x + 21y = 2640 ….. IV
(IV) — (III)
y = 40
Подставляем значение y = 40 в (II)
2x + 740 = 880⇒2x = 880-280 = 600⇒x = 300
Таким образом, чай стоит 300 рупий за кг, а сахар — 40 рупий за кг. .

(3) Заявление об отказе от ответственности: В данном вопросе есть ошибка. Вместо банкнот по 10 рупий должны быть банкноты по 100 рупий.
Пусть количество банкнот 100 рупий будет x , а количество банкнот 50 рупий будет y .
100x + 50y = 2500⇒2x + y = 50 ….. I
Когда количество нот меняется местами,
50x + 100y = 2000⇒x + 2y = 40 ….. II
Умножение (I) с 2
4x + 2y = 100 ….. III
Вычитая (III) из (II), мы получаем
3x = 60⇒x = 203x = 60⇒x = 20
Подставляя значение x в (I ) получаем
y = 10
Таким образом, получается 20 банкнот по 100 рупий и 10 банкнот по 50 рупий.

(4) Пусть нынешний возраст Маниша будет x лет, а возраст Савиты — y лет.
Сумма их нынешнего возраста = 31
x + y = 31 ….. I
Их возраст 3 года назад был
Возраст Маниша = x-3
Возраст Савиты = y-3
Возраст Маниша 3 года назад был в 4 раза эпоха Савиты.
x-3 = 4y-3⇒x-3 = 4y-12⇒x-4y = -9 ….. II
(I) — (II) получаем
5y = 40⇒y = 8
. значение y в (I) получаем
x + 8 = 31⇒x = 23
Таким образом, возраст Маниша составляет 23 года, а возраст Савиты — 8 лет.

(5) Отношение заработной платы квалифицированного к неквалифицированному рабочему = 5: 3
Пусть дневная заработная плата квалифицированного специалиста составит x , а неквалифицированного — y.
Их общая дневная заработная плата 720
x + y = 720 ….. I
Кроме того,
xy = 53⇒3x = 5y⇒3x-5y = 0 ….. II
Умножение (I) на 3 получаем
3x + 3y = 2160 ….. III
(III) — (II)
8y = 2160⇒y = 270
Подставляя значение y в (I), получаем
x = 450
One дневная заработная плата квалифицированного специалиста 450 рупий, неквалифицированного человека 270 рупий.

(6) Пусть скорость Хамида будет x км / ч, а скорость Джозефа будет y км / ч.
Когда оба едут в одном направлении, расстояние, которое они преодолевают вместе, составит 30 км.
Мы знаем Скорость = DistanceTime
Они встречаются через 20 минут = 2060 = 13 часов
x3 + y3 = 30⇒x + y = 90 ….. I
Когда Джозеф стартовал из точки B, но двигался в противоположном направлении.
Расстояние, пройденное Хамидом — Расстояние, пройденное Джозефом = 30
⇒3x-3y = 30⇒x-y = 10….. II
Складывая (I) и (II), получаем
2x = 100⇒x = 50
Подставляя значение x в (II), получаем
50-y = 10⇒y = 40
Таким образом скорость Хамида — 50 км / ч, Иосифа — 40 км / ч.

Просмотреть решения NCERT для всех глав класса 10

Полиномиальные тождества

Когда у нас есть сумма (разность) двух или трех чисел в степени 2 или 3 и нам нужно снять скобки, мы используем полиномиальные тождества
(короткие формулы умножения) :

(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
(x — y) 2 = x 2 — 2xy + y 2

Пример 1: Если x = 10, y = 5a
(10 + 5a) 2 = 10 2 + 2 · 10 · 5a + (5a) 2 = 100 + 100a + 25a 2

Пример 2: если x = 10 и y равно 4
(10-4) 2 = 10 2 — 2 · 10 · 4 + 4 2 = 100 — 80 + 16 = 36

Верно и обратное:
25 + 20a + 4a 2 = 5 2 + 2 · 2 · 5 + (2a) 2 = (5 + 2a) 2

Последствия вышеуказанных формул:

(-x + y) 2 = (y — x) 2 = y 2 — 2xy + x 2
(-x — y) 2 = (- (x + y)) 2 = (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Формулы 3 степени:

(x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
(x — y) 3 = x 3 — 3x 2 y + 3xy 2 — y 3

Пример: (1 + 2 ) 3 = 1 3 + 3.1 2 .a 2 +
3.1. (A 2 ) 2 + (a 2 ) 3 = 1 + 3a 2 + 3a 4 + a 6

(x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz
(x — y — z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 — 2xy — 2xz + 2yz

Фактор Правила

x 2 — y 2 = (x — y) (x + y)

x 2 + y 2 = (x + y) 2 — 2xy
или
x 2 + y 2 = (x — y) 2 + 2xy

Пример: 9a 2 — 25b 2 = (3a) 2 — (5b) 2 =
(3a — 5b) (3a + 5b)

x 3 — y 3 = (x — y) (x 2 + xy + y 2 )
x 3 + y 3 3 = (x + y) (x 2 — ху + у 2 )


Если n натуральное число

x n — y n = (x — y) (x n-1 + x n-2 y +. 2 + 20 $


3) Решите уравнение: x 2 — 25 = 0
Решение: x 2 — 25 = (x — 5) (x + 5)
=> мы должны решить следующие 2 уравнения:
x — 5 = 0 или x + 5 = 0
, поэтому уравнение имеет два решения: x = 5 и x = -5.

Связанные ресурсы:

Викторина о полиномиальных тождествах

Упрощение полиномиальных выражений — проблемы с решениями

Факторинговые полиномы — проблемы с решениями

Полиномиальные тождества на форуме

Решенных проблем | PDF | Совместно непрерывные случайные переменные


5.{1-y} 3x + 1 \ hspace {5pt} dx \\
\ nonumber & = \ frac {1} {2} (1-y) (5–3y), \ hspace {10pt} \ textrm {for} y \ in [0,1].
\ end {align}
Таким образом, мы имеем
\ begin {уравнение}
\ nonumber f_Y (y) = \ left \ {
\ begin {array} {l l}
\ frac {1} {2} (1-год) (5–3 года) & \ quad 0 \ leq y \ leq 1 \\
& \ quad \\
0 & \ quad \ text {в противном случае}
\ end {array} \ right. {- (2x + 3y)} & \ quad x, y \ geq 0 \\
& \ quad \\
0 & \ quad \ text {в противном случае}
\ end {array} \ right.{-5y} dy \\
\ nonumber & = \ frac {3} {5}.
\ end {align}


Проблема
Пусть $ X $ — непрерывная случайная величина с PDF
\ begin {уравнение}
\ nonumber f_X (x) = \ left \ {
\ begin {array} {l l}
2x & \ quad 0 \ leq x \ leq 1 \\
& \ quad \\
0 & \ quad \ text {в противном случае}
\ end {array} \ right.
\ end {уравнение}
Мы знаем, что при $ X = x $ случайная величина $ Y $ равномерно распределена на $ [- x, ​​x] $.

  1. Найдите совместный PDF-файл $ f_ {XY} (x, y) $.3) $.
  • Решение
      1. Прежде всего отметим, что по предположению
        \ begin {уравнение}
        \ nonumber f_ {Y | X} (y | x) = \ left \ {
        \ begin {array} {l l}
        \ frac {1} {2x} & \ quad -x \ leq y \ leq x \\
        & \ quad \\
        0 & \ quad \ text {в противном случае}
        \ end {array} \ right.
        \ end {уравнение}
        Таким образом, мы имеем
        \ begin {уравнение}
        \ nonumber f_ {XY} (x, y) = f_ {Y | X} (y | x) f_X (x) = \ left \ {
        \ begin {array} {l l}
        1 & \ quad 0 \ leq x \ leq 1, -x \ leq y \ leq x \\
        & \ quad \\
        0 & \ quad \ text {в противном случае}
        \ end {array} \ right.3} {2x} \ right) 2x dx \ hspace {20pt} \ textrm {поскольку} Y | X = x \ hspace {5pt} \ sim \ hspace {5pt} Uniform (-x, x) \\
        \ nonumber & = \ frac {1} {2}.
        \ end {align}


Проблема
Пусть $ X $ и $ Y $ — две совместно непрерывные случайные величины с совместной PDF
\ begin {уравнение}
\ nonumber f_ {X, Y} (x, y) = \ left \ {
\ begin {array} {l l}
6xy & \ quad 0 \ leq x \ leq 1, 0 \ leq y \ leq \ sqrt {x} \\
& \ quad \\
0 & \ quad \ text {в противном случае}
\ end {array} \ right.\ end {уравнение}

  1. Показать $ R_ {XY} $ в плоскости $ x-y $.
  2. Найдите $ f_X (x) $ и $ f_Y (y) $.
  3. Независимы ли $ X $ и $ Y $?
  4. Найдите условную PDF $ X $ при $ Y = y $, $ f_ {X | Y} (x | y) $.
  5. Найдите $ E [X | Y = y] $ для $ 0 \ leq y \ leq 1 $.
  6. Найдите $ \ textrm {Var} (X | Y = y) $ для $ 0 \ leq y \ leq 1 $.
  • Решение
      1. Рисунок 5.9 показывает $ R_ {XY} $ в плоскости $ x-y $.

        Рисунок 5.2 \ leq 1 \}.
        \ end {align}
        Предположим, что мы выбираем точку $ (X, Y) $ равномерно случайным образом в $ D $. То есть совместная PDF $ X $ и $ Y $ задается формулой
        \ begin {уравнение}
        \ nonumber f_ {XY} (x, y) = \ left \ {
        \ begin {array} {l l}
        \ frac {1} {\ pi} & \ quad (x, y) \ in D \\
        & \ quad \\
        0 & \ quad \ text {в противном случае}
        \ end {array} \ right.
        \ end {уравнение}
        Пусть $ (R, \ Theta) $ — соответствующие полярные координаты, как показано на рисунке 5.10. Обратное преобразование дается формулой
        \ begin {уравнение}
        \ nonumber \ left \ {
        \ begin {array} {l}
        X = R \ cos \ Theta \\
        Y = R \ sin \ Theta
        \ end {array} \ right.\ end {уравнение}
        где $ R \ geq 0 $ и $ — \ pi

        Рисунок 5.10: Полярные координаты

        • Решение
          • Здесь $ (X, Y) $ совместно непрерывны и связаны с $ (R, \ Theta) $ взаимно однозначным соотношением. Воспользуемся методом преобразований (теорема 5.1). Функция $ h (r, \ theta) $ задается формулой
            \ begin {уравнение}
            \ nonumber \ left \ {
            \ begin {array} {l}
            х = h_1 (г, \ тета) = г \ соз \ тета \\
            у = ч_2 (г, \ тета) = г \ грех \ тета
            \ end {array} \ right.
            \ end {уравнение}
            Таким образом, мы имеем
            \ begin {align}
            \ nonumber f_ {R \ Theta} (r, \ theta) & = f_ {XY} (h_1 (r, \ theta), h_2 (r, \ theta)) | J | \\
            \ nonumber & = f_ {XY} (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta) | J |.\ end {align}
            где
            \ begin {align}
            \ nonumber J = \ det \ begin {bmatrix}
            \ frac {\ partial h_1} {\ partial r} & \ frac {\ partial h_1} {\ partial \ theta} \\
            & \\
            \ frac {\ partial h_2} {\ partial r} & \ frac {\ partial h_2} {\ partial \ theta} \\
            \ end {bmatrix}
            = \ det \ begin {bmatrix}
            \ cos \ theta & -r \ sin \ theta \\
            & \\
            \ sin \ theta & r \ cos \ theta \\
            \ end {bmatrix}
            = г \ соз ^ 2 \ тета + г \ грех ^ 2 \ тета = г.\ end {align}
            Мы делаем вывод, что
            \ begin {align}
            \ nonumber f_ {R \ Theta} (r, \ theta) & = f_ {XY} (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta) | J | \\
            \ nonumber & = \ left \ {
            \ begin {array} {l l}
            \ frac {r} {\ pi} & \ quad r \ in [0,1], \ theta \ in (- \ pi, \ pi] \\
            & \ quad \\
            0 & \ quad \ text {в противном случае}
            \ end {array} \ right.
            \ end {align}
            Обратите внимание, что сверху мы можем написать
            \ begin {align}
            \ nonumber f_ {R \ Theta} (r, \ theta) = f_R (r) f _ {\ Theta} (\ theta),
            \ end {align}
            где
            \ begin {уравнение}
            \ nonumber f_R (r) = \ left \ {
            \ begin {array} {l l}
            2r & \ quad r \ in [0,1] \\
            & \ quad \\
            0 & \ quad \ text {в противном случае}
            \ end {array} \ right.\ end {уравнение}
            \ begin {уравнение}
            \ nonumber f_ \ Theta (\ theta) = \ left \ {
            \ begin {array} {l l}
            \ frac {1} {2 \ pi} & \ quad \ theta \ in (- \ pi, \ pi] \\
            & \ quad \\
            0 & \ quad \ text {в противном случае}
            \ end {array} \ right.
            \ end {уравнение}
            Таким образом, мы заключаем, что $ R $ и $ \ Theta $ независимы.

        Как найти решение системы уравнений

        Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
        или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
        в
        информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
        ан
        Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
        средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

        Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
        в виде
        ChillingEffects.org.

        Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
        искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
        на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

        Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

        Вы должны включить следующее:

        Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
        Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
        Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
        достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
        а
        ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
        к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
        Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
        Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
        ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
        информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
        либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

        Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

        Чарльз Кон
        Varsity Tutors LLC
        101 S. Hanley Rd, Suite 300
        St. Louis, MO 63105

        Или заполните форму ниже:

        Метод изменения параметров

        Эта страница посвящена дифференциальным уравнениям второго порядка этого типа:

        d 2 y dx 2 + P (x) dy dx + Q (x) y
        = f (x)

        где P (x), Q (x) и f (x) — функции от x.

        Более простой случай, когда f (x) = 0:

        d 2 y dx 2 + P (x) dy dx + Q (x) y
        = 0

        является «однородным» и объясняется во введении в дифференциальные уравнения второго порядка. Пожалуйста, сначала изучите этот метод, чтобы помочь вам понять эту страницу.

        Два метода

        Существует два основных метода решения уравнений, например

        .

        d 2 y dx 2 + P (x) dy dx + Q (x) y
        = f (x)

        Undetermined Coefficients, который работает только тогда, когда f (x) является полиномом, экспонентой, синусом, косинусом или их линейной комбинацией.

        Варианты параметров (которые мы узнаем здесь), который работает с широким спектром функций, но немного беспорядок в использовании.

        Изменение параметров

        Для простоты рассмотрим только корпус:

        d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = f (x)

        где p и q — константы, а f (x) — ненулевая функция от x.

        Можно найти полное решение такого уравнения
        сочетая два типа решения:

        1. Общее решение
          однородное уравнение d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0
        2. Частные решения
          неоднородное уравнение d 2 y dx 2 + p dy dx + qy =
          f (x)

        Обратите внимание, что f (x) может быть одной функцией или суммой двух или более
        функции.

        Как только мы нашли общее решение и все частные
        решений, то окончательное полное решение находится путем добавления всех
        решения вместе.

        Этот метод основан на интеграции.

        Проблема с этим методом заключается в том, что, хотя он может дать решение,
        в некоторых случаях решение необходимо оставить в виде интеграла.

        Начните с общего решения

        При введении в дифференциальные уравнения второго порядка мы узнаем, как найти общее решение.

        В основном мы берем уравнение

        d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0

        и свести его к «характеристическому уравнению»:

        r 2 + пр + q = 0

        Это квадратное уравнение, которое имеет три возможных типа решения в зависимости от дискриминанта p 2 — 4q . Когда p 2 — 4q равно

        положительный получаем два действительных корня, и решение равно

        y = Ae r 1 x + Be r 2 x

        ноль получаем один действительный корень, а решение —

        y = Ae rx + Bxe rx

        отрицательное , получаем два комплексных корня r 1 = v + wi и r 2 = v — wi , и решение равно

        y = e vx (Ccos (wx) + iDsin (wx))

        Фундаментальные решения уравнения

        Во всех трех случаях «y» состоит из двух частей:

        • y = Ae r 1 x + Be r 2 x состоит из y 1 = Ae r 1 x и y = 2 = r 2 x
        • y = Ae rx + Bxe rx состоит из y 1 = Ae rx и y 2 = Bxe rx
        • y = e vx (Ccos (wx) + iDsin (wx)) состоит из y 1 = e vx Ccos (wx) и y 2 = e vx iDsin (шх)

        y 1 и y 2 известны как фундаментальные решения уравнения

        И y 1 и y 2 называются линейно
        независимый
        , потому что ни одна из функций не является постоянным кратным
        Другие.

        Вронскианец

        Когда y 1 и y 2 являются двумя фундаментальными решениями
        однородного уравнения

        d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = 0

        , то вронскиан W (y 1 , y 2 ) является определяющим
        матрицы

        Так

        W (y 1 , y 2 ) = y 1 y 2
        — y 2 y 1

        Вронскиан назван в честь польского математика и
        философ Юзеф Хене-Вронский (1776–1853).

        Поскольку y 1 и y 2 линейно независимы,
        значение вронскиана не может равняться нулю.

        Особое решение

        Используя вронскиан, мы можем теперь найти частное решение дифференциального уравнения

        d 2 y dx 2 + p dy dx + qy = f (x)

        по формуле:

        y p (x) = −y 1 (x) ∫ y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx
        + y 2 (x) ∫ y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        Пример 1: Решить

        d 2 y dx 2 — 3 dy dx + 2y =
        e 3x

        1.Найдите общее решение для d 2 y dx 2 -3 dy dx + 2y = 0

        Характеристическое уравнение: r 2 — 3r + 2 = 0

        Фактор: (r — 1) (r — 2) = 0

        r = 1 или 2

        Итак, общее решение дифференциального уравнения: y = Ae x + Be 2x

        Итак, в этом случае фундаментальные решения и их производные:

        y 1 (x) = e x

        y 1 ‘(x) = e x

        y 2 (x) = e 2x

        y 2 ‘(x) = 2e 2x

        2.Найди вронскианца:

        W (y 1 , y 2 ) = y 1 y 2
        — y 2 y 1 ‘= 2e 3x — e 3x = e 3x

        3. Найдите конкретное решение по формуле:

        y p (x) = −y 1 (x) ∫ y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx
        + y 2 (x) ∫ y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        4.Сначала решаем интегралы:

        y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        = ∫ e 2x e 3x e 3x dx

        = ∫e 2x dx

        = 1 2e 2x

        Итак:

        −y 1 (x) ∫ y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx
        = — (e x ) ( 1 2e 2x )
        = — 1 2e 3x

        А также:

        y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        = ∫ e x e 3x e 3x dx

        = ∫e x dx

        = e x

        Итак:

        y 2 (x) ∫ y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx
        = (e 2x ) (e x ) = e 3x

        Наконец:

        y p (x) = −y 1 (x) ∫ y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx
        + y 2 (x) ∫ y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        = — 1 2e 3x + e 3x

        = 1 2e 3x

        и полное решение дифференциального уравнения d 2 y dx 2 — 3 dy dx + 2y = e 3x is

        y = Ae x + Be 2x + 1 2e 3x

        Что выглядит следующим образом (примеры значений A и B):

        Пример 2: Решить

        d 2 y dx 2 — y = 2x 2 — x — 3

        1.Найдите общее решение для d 2 y dx 2 — y = 0

        Характеристическое уравнение: r 2 — 1 = 0

        Фактор: (r — 1) (r + 1) = 0

        r = 1 или −1

        Итак, общее решение дифференциального уравнения: y = Ae x + Be −x

        Итак, в этом случае фундаментальные решения и их производные:

        y 1 (x) = e x

        y 1 ‘(x) = e x

        y 2 (x) = e −x

        y 2 ‘(x) = −e −x

        2.Найди вронскианца:

        W (y 1 , y 2 ) = y 1 y 2
        — y 2 y 1 ‘= −e x e −x — e x e −x = −2

        3. Найдите конкретное решение по формуле:

        y p (x) = −y 1 (x) ∫ y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx
        + y 2 (x) ∫ y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        4.Решите интегралы:

        y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        = ∫ e −x (2x 2 −x − 3) −2 dx

        = — 1 2 ∫ (2x 2 −x − 3) e −x dx

        = — 1 2 [- (2x 2 −x − 3) e −x + ∫ (4x − 1) e −x dx]

        = — 1 2 [- (2x 2 −x − 3) e −x — (4x — 1) e −x + ∫4e −x dx
        ]

        = — 1 2 [- (2x 2 −x − 3) e −x — (4x — 1) e −x — 4e −x ]

        = e −x 2 [2x 2 — x — 3 + 4x −1 + 4]

        = e −x 2 [2x 2 + 3x]

        Итак:

        −y 1 (x) ∫ y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx
        = (−e x ) [ e −x 2 (
        2x 2 + 3x)] = — 1 2 (2x 2 + 3x)

        А этот:

        y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        = ∫ e x (2x 2 −x − 3) −2 dx

        = — 1 2 ∫ (2x 2 −x − 3) e x dx

        = — 1 2 [(2x 2 −x − 3) e x — ∫ (4x − 1) e x dx]

        = — 1 2 [(2x 2 −x − 3) e x — (4x — 1) e x + ∫4e x dx
        ]

        = — 1 2 [(2x 2 −x − 3) e x — (4x — 1) e x + 4e x ]

        = −e x 2 [2x 2 — x — 3 — 4x + 1 + 4]

        = −e x 2 [2x 2 — 5x + 2]

        Итак:

        y 2 (x) ∫ y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx
        = (e −x ) [ −e x 2 (
        2x 2 — 5x + 2)] = — 1 2 (
        2x 2 — 5x + 2)

        Наконец:

        y p (x) = −y 1 (x) ∫ y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx
        + y 2 (x) ∫ y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        = — 1 2 (2x 2 + 3x) — 1 2 (2x 2 — 5x + 2)

        = — 1 2 (4x 2 — 2x + 2)

        = −2x 2 + x — 1

        и полное решение дифференциального уравнения d 2 y dx 2 — y = 2x 2 — x — 3 равно

        y = Ae x + Be −x — 2x 2 + x — 1

        (Это тот же ответ, который мы получили в Примере 1 на странице Метод неопределенных коэффициентов.)

        Пример 3: Решить

        d 2 y dx 2 — 6 dy dx + 9y = 1 x

        1. Найдите общее решение для d 2 y dx 2 -6 dy dx + 9y = 0

        Характеристическое уравнение: r 2 — 6r + 9 = 0

        Фактор: (r — 3) (r — 3) = 0

        г = 3

        Итак, общее решение дифференциального уравнения: y = Ae 3x + Bxe 3x

        Итак, в этом случае фундаментальные решения и их производные:

        y 1 (x) = e 3x

        y 1 ‘(x) = 3e 3x

        y 2 (x) = xe 3x

        y 2 ‘(x) = (3x + 1) e 3x

        2.Найди вронскианца:

        W (y 1 , y 2 ) = y 1 y 2
        — y 2 y 1 ‘= (3x + 1) e 3x e 3x
        3xe 3x e 3x = e 6x

        3. Найдите конкретное решение по формуле:

        y p (x) = −y 1 (x) ∫ y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx
        + y 2 (x) ∫ y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        4.Решите интегралы:

        y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        = ∫ (xe 3x ) x −1 e 6x dx (Примечание: 1 x = x −1 )

        = ∫e −3x dx

        = — 1 3e −3x

        Итак:

        −y 1 (x) ∫ y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx
        = — (e 3x ) (- 1 3e −3x )
        = 1 3

        А этот:

        y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        = ∫ e 3x x −1 e 6x dx

        = ∫e −3x x −1 dx

        Это не может быть интегрировано, поэтому это пример, когда ответ
        оставить как интеграл.

        Итак:

        y 2 (x) ∫ y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx
        = (xe 3x ) (∫e −3x x −1 dx
        ) = xe 3x ∫e −3x x −1 dx

        Наконец:

        y p (x) = −y 1 (x) ∫ y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx
        + y 2 (x) ∫ y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        = 1 3 + xe 3x ∫e −3x x −1 dx

        Итак, полное решение дифференциального уравнения d 2 y dx 2 -6 dy dx + 9y = 1 x равно

        y = Ae 3x + Bxe 3x + 1 3 + xe 3x ∫e −3x x −1 dx

        Пример 4 (более сложный пример): Решить

        d 2 y dx 2 -6 dy dx + 13y =
        195cos (4x)

        В этом примере используются следующие тригонометрические
        удостоверения

        sin 2 (θ) + cos 2 (θ) = 1

        sin⁡ (θ ± φ) = sin (θ) cos (φ) ± cos (θ) sin (φ)

        cos⁡ (θ ± φ) = cos (θ) cos (φ) sin (θ) sin (φ)

        sin (θ) cos (φ) = 1 2 [sin⁡ (θ
        + φ) + sin⁡ (θ — φ)]
        cos (θ) cos (φ) = 1 2 [cos⁡ (θ
        — φ) + cos⁡ (θ + φ)]

        1.Найдите общее решение для d 2 y dx 2 -6 dy dx + 13y = 0

        Характеристическое уравнение: r 2 — 6r + 13 = 0

        Используйте квадратное уравнение
        формула

        x = −b ± √ (b 2
        4ac)
        2a

        с a = 1, b = −6 и c = 13

        Итак:

        r = — (- 6) ± √ [(- 6) 2 — 4 (1) (13)] 2 (1)

        = 6 ± √ [36−52] 2

        = 6 ± √ [−16] 2

        = 6 ± 4i 2

        = 3 ± 2i

        Итак, α = 3 и β = 2

        ⇒ y = e 3x [Acos (2x) +
        iBsin (2x)]

        Итак, в данном случае имеем:

        y 1 (x) = e 3x cos (2x)

        y 1 ‘(x) = e 3x [3cos (2x) — 2sin (2x)]

        y 2 (x) = e 3x sin (2x)

        y 2 ‘(x) = e 3x [3sin (2x) + 2cos (2x)]

        2.Найди вронскианца:

        W (y 1 , y 2 ) = y 1 y 2 ‘- y 2 y 1

        = e 6x cos (2x) [3sin (2x) + 2cos (2x)] — e 6x sin (2x) [3cos (2x)
        — 2син (2х)]

        = e 6x [3cos (2x) sin (2x) + 2cos 2 (2x) — 3sin (2x) cos (2x) + 2sin 2 (2x)]

        = 2e 6x

        3. Найдите конкретное решение по формуле:

        y p (x) = −y 1 (x) ∫ y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx
        + y 2 (x) ∫ y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        4.Решите интегралы:

        y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        = ∫ e 3x sin⁡ (2x) [195cos⁡ (4x)] 2e 6x dx

        = 195 2 ∫e −3x sin (2x) cos (4x) dx

        = 195 4 ∫e −3x [sin (6x)
        — грех (2x)] dx … (1)

        В этом случае мы еще не выполняем интеграцию по причинам, которые
        проясняется в мгновение ока.

        Другой интеграл:

        y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        = ∫ e 3x cos (2x) [195cos (4x)] 2e 6x dx

        = 195 2 ∫e −3x cos (2x) cos (4x) dx

        = 195 4 ∫e −3x [cos (6x)
        + cos (2x)] dx … (2)

        Из уравнений (1) и (2) мы видим, что есть четыре очень похожих
        интеграций, которые нам необходимо выполнить:

        I 1 = ∫e −3x sin (6x) dx
        I 2 = ∫e −3x sin (2x) dx
        I 3 = ∫e = ∫e 3x cos (6x) dx
        I 4 = ∫e −3x cos (2x) dx

        Каждый из них может быть получен путем двукратного использования интеграции по частям,
        но есть более простой способ:

        I 1 = ∫e −3x sin (6x) dx
        = — 1 6 e −3x cos (6x)
        3 6 ∫e −3x cos (6x) dx
        = — 1 6 e −3x cos (6x)
        1 2 I 3

        2 I 1 + I 3 = — 1 3e −3x cos (6x)
        … (3)

        I 2 = ∫e −3x sin (2x) dx
        = — 1 2 e −3x cos (2x)
        3 2∫e −3x cos (2x) dx
        = — 1 2e −3x cos (2x) — 3 2 I 4

        2 I 2 +
        3 I 4 = — e −3x cos (2x)
        … (4)

        I 3 = ∫e −3x cos (6x) dx
        = 1 6 e −3x sin (6x)
        + 3 6 ∫e −3x sin (6x) dx
        = 1 6 e −3x sin (6x)
        + 1 2 I 1
        2 I 3 I 1 = 1 3e −3x sin (6x)
        … (5)

        I 4 = ∫e −3x cos (2x) dx
        = 1 2 e −3x sin (2x)
        + 3 2∫e −3x sin (2x) dx
        = 1 2e −3x sin (2x) + 3 2 I 2

        2 I 4
        3 I 2 = e −3x sin (2x)
        … (6)

        Решите уравнения (3) и (5) одновременно:

        2 I 1 + I 3 = — 1 3e −3x cos (6x)
        … (3)

        2 I 3 I 1 = 1 3e −3x sin (6x)
        … (5)

        Умножьте уравнение (5) на 2 и сложите их вместе (член I 1 нейтрализует):

        ⇒ 5 I 3 =
        1 3e −3x cos (6x) + 2 3e −3x sin (6x)

        = 1 3e −3x [2sin (6x)
        — cos (6x)]

        I 3 = 1 15e −3x [2sin (6x)
        — cos (6x)]

        Умножьте уравнение (3) на 2 и вычтите (член I 3 нейтрализует):

        ⇒ 5 I 1 =
        2 3e −3x cos (6x) — 1 3e −3x sin (6x)

        = — 1 3e −3x [2cos (6x)
        + грех (6x)]

        I 1 = — 1 15e −3x [2cos (6x)
        + грех (6x)]

        Решите уравнения (4) и (6) одновременно:

        2 I 2 + 3 I 4 = — e −3x cos (2x)… (4)

        2 I 4 — 3 I 2 = e −3x sin (2x) … (6)

        Умножьте уравнение (4) на 3 и уравнение (6) на 2 и сложите (член I 2 нейтрализует):

        ⇒ 13 I 4 =
        — 3e −3x cos (2x) + 2e −3x sin (2x)

        = e −3x [2sin (2x)
        — 3 cos (2x)]

        I 4 = 1 13e −3x [2sin (2x)
        — 3cos (2x)]

        Умножьте уравнение (4) на 2 и уравнение (6) на 3 и вычтите (член I 4 нейтрализует):

        ⇒ 13 I 2 =
        — 2e −3x cos (2x) — 3e −3x sin (2x)

        = —
        e −3x [2cos (2x) + 3 sin (2x)]

        I 2 = — 1 13e −3x [2cos (2x)
        + 3sin (2x)]

        Заменить в (1) и (2):

        y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        = 195 4∫e −3x [sin (6x)
        — sin (2x)] dx… (1)

        = 195 4 [ 1 15e −3x [2cos (6x) + sin (6x)]
        — [- 1 13e −3x [2cos (2x) +
        3sin (2x)]]]

        = e −3x 4 [−13 (2cos (6x) + sin (6x)) + 15 (2
        cos⁡ (2x) + 3sin (2x))]

        y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        = 195 4 ∫e −3x [cos (6x)
        + cos (2x)] dx… (2)

        = 195 4 [ 1 15e −3x [2sin (6x)
        — cos (6x)] + 1 13e −3x [2sin (2x)
        — 3cos (2x)]]

        = e −3x 4 [13 (2sin (6x) —
        cos (6x)) + 15 (2sin⁡ (2x) — 3cos (2x))]

        Итак, y p (x) = −y 1 (x) ∫ y 2 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx
        + y 2 (x) ∫ y 1 (x) f (x) W (y 1 , y 2 ) dx

        = — e 3x cos (2x) e −3x 4 [−13 (2cos (6x) + sin (6x))
        + 15 (2 cos⁡ (2x) + 3sin (2x))] + e 3x sin (2x) e −3x 4 [13 (2sin (6x)
        — cos (6x)) + 15 (2sin⁡ (2x) — 3cos (2x))]

        = — 1 4cos (2x) [−13 (2cos (6x) —
        sin (6x)) + 15 (2 cos⁡ (2x) + 3sin (2x))] + 1 4 sin⁡ (2x) [13 (2sin (6x) — cos (6x)) + 15 (2 sin⁡ (2x) —
        3cos (2x))]

        = 1 4 [26cos (2x) cos (6x) +
        13cos (2x) sin (6x) — 30cos 2 (2x) — 45cos (2x) sin (2x) +
        26sin (2x) sin (6x) — 13sin (2x) cos (6x) + 30sin 2 (2x) —
        45sin (2x) cos (2x)]

        = 1 4 [26 [cos (2x) cos (6x) +
        sin (2x) sin (6x)] + 13 [cos (2x) sin (6x) — sin (2x) cos (6x)] — 30 [cos 2 (2x)
        — sin 2 (2x)] — 45 [cos (2x) sin (2x) + sin (2x) cos (2x)]]

        = 1 4 [26cos (4x) + 13sin (4x) —
        30cos (4x) — 45sin (4x)]

        = 1 4 [−4cos (4x) — 32sin (4x)]

        = −cos⁡ (4x) — 8 sin⁡ (4x)

        Итак, полное решение дифференциального уравнения d 2 y dx 2 — 6 dy dx + 13y =
        195cos (4x) равно

        y = e 3x (Acos ​​(2x) + iBsin (2x)) —
        cos (4x) — 8sin (4x)

        Перпендикулярные линии рабочий лист алгебра 1

        И обычно люди говорят о перпендикуляре.На самом деле я неправильно это пишу — перпендикулярные линии и идею параллельных линий. Итак, перпендикулярные линии — это две линии, пересекающиеся под прямым углом. Так о чем я говорю? Итак, предположим, что это одна линия прямо здесь, а это другая линия прямо здесь. Мы бы сказали …

        Алгебра 1. S.25 Уклоны параллельных и перпендикулярных линий. АБР. Делитесь навыками. поделитесь с Google. поделиться в facebook поделиться в twitter

        y = mx + b. Где m — наклон, а b — точка пересечения с y.Первым шагом в нахождении уравнения прямой, перпендикулярной другой, является понимание взаимосвязи их наклонов. Наклон одной перпендикулярной линии всегда обратен другой. Это означает, что произведение двух наклонов равно -1.

        Рабочие листы> Математика> 3 класс> Геометрия> Параллельные и перпендикулярные линии. Линии параллельны, перпендикулярны или пересекаются? Параллельные линии никогда не пересекаются. Линии, пересекающиеся под углом 90 градусов, перпендикулярны. На этих рабочих листах учащиеся определяют параллельные и перпендикулярные линии.Все рабочие листы являются файлами PDF для печати. Классифицируйте линии:

        Алгебра 1 Имя: _____ Per: _____ 2.2 Рабочий лист для # 1 — 6: Напишите уравнение прямой, которая проходит через данную точку и имеет наклон m. Для # 7-8: Напишите уравнение линии, показанной в форме (h, k). 7. 8. Для № 9 — 11.

        21 декабря 2015 г. · Глава 3: Параллельные и перпендикулярные линии. Параллельные и перпендикулярные линии 124 Глава 3 Параллельные и перпендикулярные линии Ричард Камминс / CORBIS 124 Глава 3 Уроки 3-1, 3-2 и 3-5 Определите угол.Вес файла: 5 238 КБ; Английский язык; Опубликовано: 25 ноября 2015 г .; Просмотров: 2401 раз

        Lines Game — онлайн-игра, в которой вы определяете отрезки прямых, лучи, а также перпендикулярные и параллельные линии. Углы — назовите этот угол: острый, тупой или прямой. Укажите роботу правильный ответ и стреляйте. Определите угол. На вас нападают инопланетяне, и вам нужно установить лазер под правильным углом в градусах, чтобы поразить его.

        .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.