2 в степени x 3 в степени x: решить уравнение 2 в степени x+3 — 2 в степени x+1 =12

Содержание

1.2. Ко­рень n-й сте­пе­ни

1.2. Ко­рень n-й сте­пе­ни

В 8-м клас­се изу­ча­лись квад­рат­ные кор­ни из дей­стви­тель­ных чи­сел (их на­зы­ва­ют так­же
кор­ня­ми 2-й сте­пе­ни).

Пе­рей­дем к изу­че­нию кор­ней сте­пе­ни n для
про­из­воль­но­го на­ту­раль­но­го чис­ла n≥2.

Опре­де­ле­ние. Пусть n≥2 и n∈N.

Кор­нем

n-й сте­пе­ни

из чис­ла a
на­зы­ва­ет­ся та­кое чис­ло t, n-я сте­пень
ко­то­ро­го рав­на a

.

Та­ким об­ра­зом, утвер­жде­ние «t —
ко­рень n-й сте­пе­ни из a» озна­ча­ет, что
tn=a.

Ко­рень 3-й сте­пе­ни на­зы­ва­ет­ся так­же ку­би­че­ским.

На­при­мер, ку­би­че­ский ко­рень из чис­ла 125 — это чис­ло 5, так как 53=125. Ку­би­че­ский ко­рень из чис­ла −125 — это чис­ло −5, так как (−5)3=−125.

Ко­рень 7-й сте­пе­ни из чис­ла 128 — это чис­ло 2, так как 27=128. Ко­рень 7-й сте­пе­ни из чис­ла −128 — это чис­ло −2, так как (−2)7=−128. Ко­рень 7-й сте­пе­ни из чис­ла 0 — это 0, так как 07=0.

Во мно­же­стве дей­стви­тель­ных чи­сел су­ще­ству­ет един­ствен­ный
ко­рень не­чет­ной сте­пе­ни n из лю­бо­го чис­ла a. Этот ко­рень
обо­зна­ча­ет­ся

На­при­мер, 1253=5,−1287=−2,07=0.

Стр. 11

Утвер­жде­ние о су­ще­ство­ва­нии кор­ня не­чет­ной сте­пе­ни из лю­бо­го чис­ла мы
при­ни­ма­ем без до­ка­за­тель­ства.

Со­глас­но опре­де­ле­нию, ко­гда n не­чет­ное, то при лю­бом
зна­че­нии а вер­но ра­вен­ство

На­при­мер, ⎛⎝927⎞⎠7=92,⎛⎝1237⎞⎠7=123,⎛⎝−1237⎞⎠7=−123.

За­ме­тим, что 0 — это един­ствен­ное чис­ло, n-я сте­пень
ко­то­ро­го рав­на 0. По­это­му

при лю­бом на­ту­раль­ном n≥2 су­ще­ству­ет един­ствен­ный ко­рень n-й сте­пе­ни
из 0 — это чис­ло 0, т. е. 0n=0.

При­ме­ра­ми кор­ней чет­ной сте­пе­ни мо­гут слу­жить квад­рат­ные кор­ни: −7 и 7 —
квад­рат­ные кор­ни из 49, а −15 и 15 — из 225. Рас­смот­рим еще не­сколь­ко при­ме­ров.
Кор­ни 4-й сте­пе­ни из чис­ла 81 — это чис­ла 3 и −3, так как 34=81 и (−3)4=81. Кор­ни 6-й сте­пе­ни из чис­ла 64 — это чис­ла 2 и −2, так как 26=64 и (−2)6=64.

Во мно­же­стве дей­стви­тель­ных чи­сел су­ще­ству­ет ров­но два
кор­ня чет­ной сте­пе­ни n из лю­бо­го по­ло­жи­тель­но­го чис­ла а, их мо­ду­ли рав­ны, а
зна­ки про­ти­во­по­лож­ны. По­ло­жи­тель­ный ко­рень обо­зна­ча­ет­ся

На­при­мер, 814=3,646=2.

Утвер­жде­ние о су­ще­ство­ва­нии кор­ня чет­ной сте­пе­ни из лю­бо­го по­ло­жи­тель­но­го
чис­ла мы при­ни­ма­ем без до­ка­за­тель­ства. Со­глас­но опре­де­ле­нию, ко­гда n чет­ное, то при лю­бом по­ло­жи­тель­ном зна­че­нии а вер­но
ра­вен­ство

На­при­мер, ⎛⎝514⎞⎠4=51,⎛⎝874⎞⎠4=87.

Не су­ще­ству­ет та­ко­го чис­ла, 4-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на −81. По­это­му кор­ня 4-й
сте­пе­ни из чис­ла −81 не су­ще­ству­ет. И во­об­ще, по­сколь­ку не су­ще­ству­ет та­ко­го чис­ла,
чет­ная сте­пень ко­то­ро­го бы­ла бы от­ри­ца­тель­ной, то

Стр. 12

не су­ще­ству­ет кор­ня чет­ной сте­пе­ни из от­ри­ца­тель­но­го
чис­ла.

Опре­де­ле­ние.

Не­отри­ца­тель­ный ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла
a
на­зы­ва­ет­ся

ариф­ме­ти­че­ским кор­нем n-й сте­пе­ни из a
.

При чет­ном n сим­во­лом an обо­зна­ча­ет­ся толь­ко ариф­ме­ти­че­ский ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла a (при чте­нии
за­пи­си an сло­во «ариф­ме­ти­че­ский» обыч­но про­пус­ка­ют).

Вы­ра­же­ние, сто­я­щее под зна­ком кор­ня, на­зы­ва­ет­ся под­ко­рен­ным вы­ра­же­ни­ем.

Из­влечь ко­рень n-й сте­пе­ни
из чис­ла a — это зна­чит най­ти зна­че­ние вы­ра­же­ния an.

Так как кор­ня чет­ной сте­пе­ни из от­ри­ца­тель­но­го чис­ла не су­ще­ству­ет, то вы­ра­же­ние
an при чет­ном n и от­ри­ца­тель­ном а не име­ет смыс­ла.

На­при­мер, не име­ют смыс­ла вы­ра­же­ния −814 и −646.

Как мы уста­но­ви­ли, при лю­бом зна­че­нии а, при ко­то­ром
вы­ра­же­ние an име­ет смысл, вер­но ра­вен­ство

По­это­му ра­вен­ство
(1)
яв­ля­ет­ся тож­де­ством.

В кон­це XV в. ба­ка­лавр Па­риж­ско­го уни­вер­си­те­та Н. Шю­ке внес усо­вер­шен­ство­ва­ния
в ал­ге­бра­и­че­скую сим­во­ли­ку. В част­но­сти, зна­ком кор­ня слу­жил сим­вол Rx (от ла­тин­ско­го сло­ва radix — ко­рень). Так,
вы­ра­же­ние 24+374 в сим­во­ли­ке Шю­ке име­ло вид R¯x424p¯R¯x237.

Знак кор­ня     в со­вре­мен­ном ви­де был пред­ло­жен в 1525 г. чеш­ским ма­те­ма­ти­ком К.
Ру­доль­фом. Его учеб­ник ал­ге­бры пе­ре­из­да­вал­ся до 1615 г., и по не­му учил­ся
зна­ме­ни­тый ма­те­ма­тик Л. Эй­лер.

Знак     еще на­зы­ва­ют ра­ди­ка­лом.

Стр. 13

При­мер 1. Вер­но
ли, что:

а) (−2)44=−2;

б) (−2)77=−2?

Ре­ше­ние. а) По опре­де­ле­нию ариф­ме­ти­че­ский ко­рень
n-й сте­пе­ни из не­отри­ца­тель­но­го чис­ла a (n — чет­ное чис­ло) яв­ля­ет­ся
не­отри­ца­тель­ным чис­лом, n-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на
под­ко­рен­но­му вы­ра­же­нию a.

По­сколь­ку −2<0, то ра­вен­ство (−2)44=−2 не­вер­ное. Вер­но ра­вен­ство (−2)44=2.

б) По опре­де­ле­нию ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла
а (n — не­чет­ное
чис­ло) яв­ля­ет­ся чис­лом, n-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на
под­ко­рен­но­му вы­ра­же­нию а.

По­сколь­ку (−2)7=−27 — вер­ное ра­вен­ство, то ра­вен­ство (−2)77=−2 − вер­ное.

При­мер 2. Ре­шить
урав­не­ние:

а) x3=7;

б) x4=5.

Ре­ше­ние. а) Ре­ше­ни­ем это­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся та­кое
зна­че­ние х, 3-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на 7, т. е. по
опре­де­ле­нию ку­би­че­ско­го кор­ня име­ем:

б) Ре­ше­ни­ем это­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся та­кое зна­че­ние х, 4-я сте­пень ко­то­ро­го рав­на 5, т. е. (по опре­де­ле­нию) х — это ко­рень 4-й сте­пе­ни из чис­ла 5. Но из по­ло­жи­тель­но­го
чис­ла 5 су­ще­ству­ют два кор­ня чет­вер­той сте­пе­ни, ко­то­рые рав­ны по мо­ду­лю и име­ют
про­ти­во­по­лож­ные зна­ки. По­сколь­ку по­ло­жи­тель­ный ко­рень обо­зна­ча­ют 54, то вто­рой ко­рень ра­вен −54, т. е. x=±54.

От­вет: а) 73; б) ±54.

В тет­ра­ди ре­ше­ние урав­не­ния б) (ана­ло­гич­но и а)) мож­но за­пи­сать так:

Ре­ше­ние: x4=5 ⇔ x=±54.

От­вет: ±54.

При­мер 3. Ре­шить
урав­не­ние:

а) (x8)8=x;

б) (x13)13=x.

Стр. 14

Ре­ше­ние. а) Чис­ло 8 — чет­ное, зна­чит, дан­ное
ра­вен­ство яв­ля­ет­ся тож­де­ством при x≥0, по­это­му каж­дое не­отри­ца­тель­ное зна­че­ние х
яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем (кор­нем) урав­не­ния (x8)8=x.

б) Чис­ло 13 — не­чет­ное, зна­чит, дан­ное ра­вен­ство яв­ля­ет­ся тож­де­ством при лю­бом
зна­че­нии х, по­это­му ре­ше­ни­ем урав­не­ния (x13)13=x яв­ля­ет­ся лю­бое дей­стви­тель­ное чис­ло, а R —
мно­же­ство всех его кор­ней.

От­вет: а) [0;+∞); б) R.

При­мер 4. Ре­шить
урав­не­ние

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим x6=t, то­гда по­лу­чим урав­не­ние

Кор­ни это­го урав­не­ния

Та­ким об­ра­зом, име­ем

от­ку­да x=±2 (по­яс­ни­те, по­че­му урав­не­ние x6=−1 не име­ет кор­ней).

От­вет: ±2.

1

1Ка­кое чис­ло на­зы­ва­ет­ся кор­нем n-й сте­пе­ни из
чис­ла а?

1

2

2Сколь­ко су­ще­ству­ет кор­ней чет­ной сте­пе­ни n
из по­ло­жи­тель­но­го чис­ла а?

2

3

3Ко­рень ка­кой сте­пе­ни су­ще­ству­ет из лю­бо­го чис­ла а?

3

4

4Ка­кой ко­рень n-й сте­пе­ни из чис­ла а на­зы­ва­ет­ся ариф­ме­ти­че­ским?

4

5

5При ка­ких зна­че­ни­ях а вер­но ра­вен­ство (an)n=a, если:

а) n — не­чет­ное чис­ло;

б) n — чет­ное чис­ло?

5

Упраж­не­ния

1.24°

1.24°Ис­поль­зуя опре­де­ле­ние ариф­ме­ти­че­ско­го кор­ня n-й
сте­пе­ни, до­ка­жи­те, что:

1) 2564=4;

2) 102410=2;

3) 7296=3;

4) 65618=3;

5) 409612=2;

6) 14 6414=11.

1.24°

Стр. 15

1.25°

1.25°Вер­но ли, что:

1) чис­ло −4 яв­ля­ет­ся кор­нем чет­вер­той сте­пе­ни из чис­ла 256;

2) чис­ло −0,3 яв­ля­ет­ся кор­нем чет­вер­той сте­пе­ни из чис­ла −0,0081?

1.25°

1.26°

1.26°Вер­но ли, что:

1) −17283=−12;

2) −33753=15;

3) −16 8075=7;

4) −77765=−6?

1.26°

1.27°

1.27°Най­ди­те ариф­ме­ти­че­ский квад­рат­ный ко­рень из чис­ла:

1) 16;

2) 49;

3) 0;

4) 1;

5) 0,81;

6) 0,25;

7) 2,25;

8) 1,21;

9) 36169;

10) 144289;

11) 169100;

12) 81256.

1.27°

1.28°

1.28°Най­ди­те ку­би­че­ский ко­рень из чис­ла:

1) 1;

2) 0;

3) 343;

4) 8;

5) 127;

6) 0,027;

7) 0,001;

8) 64125.

1.28°

1.29°

1.29°Най­ди­те ариф­ме­ти­че­ский ко­рень чет­вер­той сте­пе­ни из чис­ла:

1) 0;

2) 1;

3) 16;

4) 0,0016;

5) 1681;

6) 256625;

7) 0,0001;

8) 0,1296.

1.29°

Вы­чис­ли­те (1.30—1.42).

1.30°

1.30°1) 9,16,25,49,81,100;

2) 0,16,0,09,0,01,0,04,0,0025,0,0001;

3) 273,643,−1253,0,0083,0,0002163,−1 000 0003;

4) 164,6254,10 0004,0,00814,0,000000164,24014;

5) 325,10245,2435,0,031255,100 0005,0,000015;

6) 646,7296,15 6256,40966,0,0466566,1 000 0006.

1.30°

1.31°

1.31°1) −10003;

2) −115;

3) −643;

4) −10245;

5) −1273;

6) −3433;

7) −272163;

8) −31255;

9) −0,000325.

1.31°

Стр. 16

1.32

1.321) ⎛⎝−33⎞⎠3;

2) ⎛⎝−145⎞⎠5;

3) ⎛⎝−307⎞⎠7;

4) ⎛⎝−1511⎞⎠11;

5) ⎛⎝−69⎞⎠9;

6) ⎛⎝−9915⎞⎠15.

1.32

1.33

1.331) ⎛⎝−22113⎞⎠3·⎛⎝−6195⎞⎠5·⎛⎝−9513⎞⎠13·⎛⎝−1134017⎞⎠17;

2) ⎛⎝−34159⎞⎠9·⎛⎝−1587⎞⎠7·⎛⎝−11145⎞⎠5·⎛⎝−125393⎞⎠3.

1.33

1.34

1.341) ⎛⎝53⎞⎠6;

2) ⎛⎝0,14⎞⎠12;

3) ⎛⎝1125⎞⎠10;

4) ⎛⎝2136⎞⎠18;

5) ⎛⎝567⎞⎠21;

6) ⎛⎝239⎞⎠36.

1.34

1.35

1.351) ⎛⎝35⎞⎠10;

2) ⎛⎝534⎞⎠48;

3) ⎛⎝7610⎞⎠120;

4) ⎛⎝643⎞⎠12;

5) ⎛⎝108⎞⎠16;

6) ⎛⎝1294⎞⎠36.

1.35

1.36°

1.36°1) ⎛⎝10⎞⎠2;

2) ⎛⎝53⎞⎠3;

3) ⎛⎝−124⎞⎠4;

4) −1244;

5) ⎛⎝−35⎞⎠5;

6) ⎛⎝323⎞⎠3;

7) ⎛⎝−444⎞⎠4;

8) ⎛⎝−157⎞⎠7;

9) −5555;

10) ⎛⎝−36⎞⎠6;

11) ⎛⎝−229⎞⎠9;

12) −488.

1.36°

1.37°

1.37°1) 325+−83;

2) 6254−−1253;

3) 12−60,1253;

4) 1+100,00814;

5) 3164−4273;

6) −3383+2,25;

7) 83−643;

8) 164−643.

1.37°

1.38°

1.38°1) 9+4;

2) 36−164;

3) 0,81+0,0013;

4) 0,0273−0,04;

5) 5−2564;

6) 7+83;

7) −325+164;

8) −273+814.

1.38°

1.39°

1.39°1) (1−2)⎛⎝1+2⎞⎠;

2) ⎛⎝3−2⎞⎠⎛⎝3+2⎞⎠;

3) ⎛⎝23+4⎞⎠⎛⎝23−4⎞⎠;

4) ⎛⎝35−2⎞⎠⎛⎝35+2⎞⎠;

5) ⎛⎝10−6⎞⎠⎛⎝6+10⎞⎠;

6) ⎛⎝7+3⎞⎠⎛⎝3−7⎞⎠.

1.39°

Стр. 17

1.40

1.401) 1225244⋅15−1382−2323;

2) 58+442−26235;

3) 90+31⎛⎝572−262⎞⎠83;

4) 2364+⎛⎝482−3225⎞⎠−13.

1.40

1.41

1.411) ⎛⎝⎜⎛⎝⎛⎝23⎞⎠33⎞⎠−3−⎛⎝⎛⎝43⎞⎠−55⎞⎠5⎞⎠⎟−1·⎛⎝−277⎞⎠7;

2) ⎛⎝⎜⎛⎝175⎞⎠−10+⎛⎝−409⎞⎠9·⎛⎝537⎞⎠0⎞⎠⎟−1:⎛⎝95⎞⎠−10;

3) ⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝34⎞⎠23⎞⎠⎟6+⎛⎝−4−27⎞⎠7⎞⎠⎟:⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝56⎞⎠05⎞⎠⎟10−⎛⎝−⎛⎝32⎞⎠−19⎞⎠9⎞⎠⎟;

4) ((((−45)3)3)0−(−0,111)−22):(((38)−15)5·((32)37)7+(−129)−9).

1.41

1.42

1.421) ⎛⎝a77⎞⎠7⎛⎝a55⎞⎠5;

2) ⎛⎝a33⎞⎠3⎛⎝a99⎞⎠9;

3) ⎛⎝⎜213⎛⎝a33⎞⎠3·⎛⎝b77⎞⎠7⎞⎠⎟2·⎛⎝⎜−127⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b1111⎞⎠11⎞⎠⎟;

4) 337⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b99⎞⎠9·⎛⎝⎜−213⎛⎝a77⎞⎠7·⎛⎝b1313⎞⎠13⎞⎠⎟2.

1.42

Най­ди­те есте­ствен­ную об­ласть опре­де­ле­ния вы­ра­же­ния (1.43—1.44).

1.43

1.431) x+4;

2) −9+2×4;

3) 5×2−6×10;

4) 8x−4×212;

5) x+33;

6) x−75;

7) x2−47;

8) 2×2−329.

1.43

1.44

1.441) 34x−112;

2) −48x−314;

3) 2−59−5×8;

4) 3−1016−7×6;

5) 2+x4−2(8−6x)3;

6) 12−6×2−7x+(3x−1)·25;

7) −x22(x−2)−5⎛⎝1−3x)−24;

8) 3(x+4)−6(2−x)+9×428.

1.44

Стр. 18

1.45

1.45Най­ди­те дли­ну ре­бра ку­ба, если его объ­ем ра­вен:

1) 27 см3;

2) 64 мм3;

3) 0,125 дм3;

4) 0,216 м3.

1.45

Ре­ши­те урав­не­ние (1.46—1.54).

1.46°

1.46°1) x2=0,49;

2) x2=121;

3) x3=0,008;

4) x3=1000;

5) x3=−64 000;

6) x3=216;

7) x4=0,0625;

8) x4=−16.

1.46°

1.47

1.471) x3=−27;

2) x5=−132;

3) x7=−1;

4) x9=−512;

5) x3=−0,027;

6) x11=0.

1.47

1.48°

1.48°1) x2=11;

2) x4=19;

3) x8=27;

4) x3=25;

5) x7=38;

6) x9=−2;

7) x15=−6;

8) x17=4;

9) x13=−13.

1.48°

1.49

1.491) x2=25 600;

2) x2=0,0196;

3) x2+1=1,0016;

4) 5×2−20=0;

5) x2+25=0;

6) x2+179=0;

7) x2·4=0;

8) −6×2=0;

9) 113×2−12=0;

10) 13×2−1=0.

1.49

1.50

1.501) 4×3+4125=0;

2) 8×3+27=0;

3) −0,1×4=−0,00001;

4) 16×4−81=0;

5) 12×5+16=0;

6) 132×6−2=0.

1.50

1.51

1.511) x4+2=7;

2) x5−3=30;

3) x6−7=19;

4) x3+5=5.

1.51

1.52

1.521) (x+1)4=16;

2) (x−2)6=64;

3) (2x+1)3=27;

4) (3x−1)5=32.

1.52

1.53

1.531) x10−31×5−32=0;

2) x8−15×4−16=0;

3) x4−12×2+27=0;

4) x6−7×3−8=0;

5) x8−82×4+81=0;

6) x4+2×2−15=0.

1.53

Стр. 19

1.54

1.541)° (x6)6=x;

2)° (x10)10=x;

3)° (x3)3=x;

4)° (x5)5=x;

5) ⎛⎝x−14⎞⎠4=x−1;

6) ⎛⎝x+212⎞⎠12=x+2;

7) ⎛⎝1×7⎞⎠7=1x;

8) ⎛⎝1x−211⎞⎠11=1x−2.

1.54

Перевод корней в степени и обратно: объяснение, примеры

Часто преобразование и упрощение математических выражений требует перехода от корней к степеням  и наоборот. Данная статья рассказывает о том, как осуществлять перевод корня в степень и обратно. Рассматривается теория, практические примеры и наиболее распространенные ошибки.

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Допустим, мы имеем число с показателем степени в виде обыкновенной дроби — amn. Как записать такое выражение в виде корня?

Ответ вытекает из самого определения степени! 

Определение

Положительное число a в степени mn — это корень степени n из числа am.

amn=amn.

При этом, обязательно должно выполнятся условие:

a>0; m∈ℤ; n∈ℕ.

Дробная степень числа нуль определяется аналогично, однако в этом случае число m принимается не целым, а натуральным, чтобы не возникло деления на 0:

0mn=0mn=0.

В соответствии с определением, степень amn можно представить в виде корня amn.

Например: 325=325, 123-34=123-34.

Однако, как уже было сказано, не следует забывать про условия: a > 0 ;   m ∈ ℤ ;   n ∈ ℕ .

Так, выражение -813 нельзя представить в виде -813, так как запись -813 попросту не имеет смысла — степень отрицательных чисел на определена.При этом, сам корень -813 имеет смысл.

Переход от  степеней с выражениями в основании и дробными показателями осуществляется аналогично на всей области допустимых значений (далее — ОДЗ) исходных выражений в основании степени. 

Например, выражение x2+2x+1-412 можно представить в виде квадратного корня x2+2x+1-4.Выражение в степени x2+x·y·z-z3-73 переходит в выражение x2+x·y·z-z3-73 для всех x, y, z из ОДЗ данного выражения.

Как представить корень в виде степени?

Обратная замена корней степенями, когда вместо выражения с корнем записывается выражения со степенью, также возможна. Просто перевернем равенство из предыдущего пункта и получим:

amn=amn

Опять же, переход очевиден для положительных чисел a. Например, 764=764, или27-53=27-53.

Для отрицательных a корни имеют смысл. Например -426, -23. Однако, представить эти корни в виде степеней  -426 и -213 нельзя.  

Можно ли вообще преобразовать такие выражения со степенями? Да, если произвести некоторые предварительные преобразования. Рассмотрим, какие.

Используя свойства степеней, можно выполнить преобразования  выражения -426.

-426=-12·426=426.

Так как 4>0, можно записать: 

426=426.

В случае с корнем нечетной степени из отрицательного числа, можно записать:

-a2m+1=-a2m+1.

Тогда выражение -23 примет вид:

-23=-23=-213.

Разберемся теперь, как корни, под которыми содержатся выражения, заменяются на степени, содержащие эти выражения в основании. 

Обозначим буквой A некоторое выражение. Однако не будем спешить с представлением Amn в виде Amn. Поясним, что здесь имеется в виду. Например, выражение х-323, основываясь на равенстве из первого пункта, хочется представить в виде x-323. Такая замена возможна только при x-3≥0, а для остальных икс из ОДЗ она не подходит, так как для отрицательных a формула amn=amn не имеет смысла.

Таким образом, в рассмотренном примере преобразование вида Amn=Amn является преобразованием, сужающим ОДЗ, а из-за неаккуратного применения формулы Amn=Amn нередко возникают ошибки. 

Чтобы правильно перейти от корня Amn к степени Amn, необходимо соблюдать несколько пунктов:

  • В случае, если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, то формула  Amn=Amn справедлива на всей ОДЗ переменных.
  • Если m — целое и нечетное, а n — натуральное и нечетное,то выражение Amn можно заменить:

     — на Amn для всех значений переменных, при которых A≥0;

     — на —Amn для  для всех значений переменных, при которых A<0;
  • Если  m — целое и четное, а n — любое натуральное число, то Amn можно заменить на Amn.

Сведем все эти правила в таблицу и приведем несколько примеров их использования.

Вернемся к выражению х-323. Здесь m=2 — целое и четное число, а n=3 — натуральное число. Значит, выражение х-323 правильно будет записать в виде:

х-323=x-323.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Приведем еще один пример с корнями и степенями.

Пример. Перевод корня в степень

x+5-35=x+5-35, x>-5—x-5-35, x<-5

Обоснуем результаты, приведенные в таблице. Если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, для всех переменных из ОДЗ в выражении Amn значение A положительно или неотрицательно (при m>0). Именно поэтому  Amn=Amn.

Во втором варианте, когда  m — целое, положительное и нечетное, а n — натуральное и нечетное, значения Amn разделяются. Для переменных из ОДЗ, при которых A неотрицательно, Amn=Amn=Amn. Для переменных, при которых A отрицательно, получаем Amn=-Amn=-1m·Amn=-Amn=-Amn=-Amn.

Аналогично рассмотрим и следующий случай, когда m — целое и четное, а n — любое натуральное число. Если значение Aположительно или неотрицательно, то для таких значений переменных из ОДЗ Amn=Amn=Amn. Для отрицательных A получаем Amn=-Amn=-1m·Amn=Amn=Amn.

Таким образом, в третьем случае для всех переменных из ОДЗ можно записать Amn=Amn.

Производная e в степени x и показательной функции

Основные формулы

Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1)   ( e x )′ = e x.

Производная показательной функции с основанием степени a равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a:
(2)   .

Экспонента – это показательная функция, у которой основание степени равно числу e, которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной экспоненты

Рассмотрим экспоненту, e в степени x:
y = e x.
Эта функция определена для всех . Найдем ее производную по переменной x. По определению, производная является следующим пределом:
(3)   .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
А) Свойство экспоненты:
(4)   ;
Б) Свойство логарифма:
(5)   ;
В) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6)   .
Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г) Значение второго замечательного предела:
(7)   .

Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.

Сделаем подстановку   . Тогда   ; .
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при , . В результате получаем:
.

Сделаем подстановку . Тогда . При , . И мы имеем:
.

Применим свойство логарифма (5):
. Тогда
.

Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.

Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной показательной функции

Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a. Мы считаем, что и . Тогда показательная функция
(8)  
Определена для всех .

Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма.
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.

Находим производную. Выносим постоянную за знак производной:
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Тем самым, мы нашли производную показательной функции с произвольным основанием степени:
.

Другие способы вывода производной экспоненты

Пусть нам известна формула производной натурального логарифма:
(9)   .
Тогда мы можем вывести формулу производной экспоненты, учитывая, что экспонента является обратной функцией к натуральному логарифму.

Перепишем формулу (9) в следующем виде:
,
где .
Переменные можно обозначать любыми буквами. Поменяем местами x и y:
(10)   ,
где .

Теперь рассмотрим экспоненту (e в степени x):
(11)   .
Применим формулу производной обратной функции:
(12)   .
Обратной функцией к экспоненте является натуральный логарифм. Подставим значение производной натурального логарифма (10):
.
И, наконец, выразим y через x по формуле (11):
.
Формула доказана.

Теперь докажем формулу производной экспоненты, применяя формулу производной сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то
.
Дифференцируем это уравнение по переменной x:
(13)   .
Производная от икса равна единице:
.
Применим формулу производной сложной функции:
.
Здесь . Подставим в (13):
.
Отсюда
.

Пример

Найти производные от e в степени 2x, e в степени 3x и e в степени nx. То есть найти производные функций
y = e 2x,   y = e 3x   и   y = e nx.

Решение

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции   y = e nx. Затем подставим n = 2 и n = 3. И из общей формулы найдем выражения для производных от e 2x, e 3x и e nx.

Итак, имеем исходную функцию
.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1)   Функции , зависящей от переменной : ;
2)   Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция составлена из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь мы подставили .

Итак, мы нашли:
.
Подставляем n = 2 и n = 3.

Ответ

;   ;   .

См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >

Производные высших порядков от e в степени x

Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14)   .
Мы нашли ее производную первого порядка:
(1)   .

Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.

Производные высших порядков показательной функции

Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a:
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15)   .

Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на . Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

Степени и возведение в степень, вторая, третья, четвёртая степени

Когда число умножается само на себя, произведение называется степенью.

Так      2.2 = 4, квадрат или вторая степень 2-х

     2.2.2 = 8, куб или третья степень.

     2.2.2.2 = 16, четвёртая степень.

Также,      10.10 = 100, вторая степень 10.

     10.10.10 = 1000, третья степень.

    10.10.10.10 = 10000 четвёртая степень.

И      a.a = aa, вторая степень a

     a.a.a = aaa, третья степень a

     a.a.a.a = aaaa, четвёртая степень a

Первоначальное число называется корнем степени этого числа, потому что это число, из которого были созданы степени.

Однако не совсем удобно, особенно в случае высоких степеней, записывать все множители, из которых состоят степени. Поэтому используется сокращенный метод обозначения.
Корень степени записывается только один раз, а справа и немного выше возле него, но чуть меньшим шрифтом записывается сколько раз выступает корень как множитель. Это число или буква называется показателем степени или степенью числа. Так, а2 равно a.a или aa, потому что корень a дважды должен быть умножен сам на себя, чтобы получилось степень aa. Также, a3 означает aaa, то есть здесь a повторяется три раза как множитель.

Показатель первой степени есть 1, но он обычно не записывается. Так, a1 записывается как a.

Вы не должны путать степени с коэффициентами. Коэффициент показывает, как часто величина берётся как часть целого. Степень показывает, как часто величина берётся как множитель в произведении.

Так, 4a = a + a + a + a.      Но a4 = a.a.a.a

Схема обозначения со степенями имеет своеобразное преимущество, позволяя нам выражать неизвестную степень. Для этой цели в показатель степени вместо числа записывается буква. В процессе решения задачи, мы можем получить величину, которая, как мы можем знать, есть некоторой степенью другой величины. Но пока что мы не знаем, это квадрат, куб или другая, более высокая степень. Так, в выражении ax, показатель степени означает, что это выражение имеет некоторую степень, хотя не определено какую степень. Так, bm и dn возводятся в степени m и n. Когда показатель степени найден, число подставляется вместо буквы. Так, если m=3, тогда bm = b3; но если m = 5, тогда bm=b5.

Метод записи значений с помощью степеней является также большим преимуществом в случае использования выражений . Tак, (a + b + d)3 есть (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), то есть куб трёхчлена (a + b + d). Но если записать это выражение после возведения в куб, оно будет иметь вид

a3 + 3a2b + 3a2d + 3ab2 + 6abd + 3ad2 + b3 + d3.

Если мы возьмем ряд степеней, чьи показатели увеличиваются или уменьшаются на 1, мы обнаружим, что произведение увеличивается на общий множитель или уменьшается на общий делитель, и этот множитель или делитель есть первоначальным числом, которое возводится в степень.

Так, в ряде      aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;

или        a5, a4, a3, a2, a1;

показатели , если считать справа налево, равны 1, 2, 3, 4, 5; и разница между их значениями равна 1. Если мы начнем справа умножатьна a, мы успешно получим несколько значений.

Tак a.a = a2, второй член. И a3.a = a4
     a2.a = a3, третий член. a4.a = a5.

Если мы начнем слева делить на a,

мы получим a5:a = a4      и a3:a = a2.

a4:a = a3       a2:a = a1

Но такой процесс деления может быть продолжен и далее, и мы получаем новый набор значений.

Так, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa

     1:a = 1/a      (1/aa):a = 1/aaa.

Полный ряд будет: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Или a5, a4, a3, a2, a, 1, 1/a, 1/a2, 1/a3.

Здесь значения справа от единицы есть обратными значениям слева от единицы. Поэтому эти степени могут быть названы обратными степенями a. Можно также сказать, что степени слева есть обратными к степеням справа.

Так, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. И 1:(1/a3) = a3.

Тот же самый план записи может применяться к многочленам. Так, для a + b, мы получим множество,

(a + b)3, (a + b)2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b)2, 1/(a + b)3.

Для удобства используется еще одна форма записи обратных степеней.

Согласно этой форме, 1/a или 1/a1 = a-1. И 1/aaa или 1/a3 = a-3.

1/aa или 1/a2 = a-2. 1/aaaa или 1/a4 = a-4.

А чтобы сделать с показателями законченный ряд с 1 как общая разница, a/a или 1, рассматривается как такое, что не имеет степени и записывается как a0.

Тогда, учитывая прямые и обратные степени

вместо aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa

можно записать      a4, a3, a2, a1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.

Или      a+4, a+3, a+2, a+1, a0, a-1, a-2, a-3, a-4.

А ряд только отдельно взятых степеней будет иметь вид:

     +4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Корень степени может выражен более чем одной буквой.

Так, aa.aa или (aa)2 есть второй степенью aa.

И aa.aa.aa или (aa)3 есть третьей степенью aa.

Все степени цифры 1 одинаковы: 1.1 или 1.1.1. будет равно 1.

Возведение в степень есть нахождение значения любого числа путем умножения этого числа само на себя. Правило возведения в степень:

Умножайте величину саму на себя столько раз, сколько указано в степени числа.

Это правило является общим для всех примеров, которые могут возникнуть в процессе возведения в степень. Но будет правильно дать объяснение, каким образом оно применяется к частным случаям.

Если в степень возводится только один член, то он умножается сам на себя столько раз, сколько указывает показатель степени.

Четвертая степень a есть a4 или aaaa. (Art. 195.)

Шестая степень y есть y6 или yyyyyy.

N-ая степень x есть xn или xxx….. n раз повторенное.

Если необходимо возвести в степень выражение из нескольких членов, применяется принцип, согласно которому степень произведения нескольких множителей равна произведению этих множителей, возведенных в степень.

Tак (ay)2 =a2y2; (ay)2 = ay.ay.

Но ay.ay = ayay = aayy = a2y2.

Так, (bmx)3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b3m3x3.

Поэтому, в нахождении степени произведения мы можем или оперировать со всем произведением сразу, или мы можем оперировать с каждым множителем отдельно, а потом умножить их значения со степенями.

Пример 1. Четвертая степень dhy есть (dhy)4, или d4h4y4.

Пример 2. Третья степень 4b, есть (4b)3, или 43b3, или 64b3.

Пример 3. N-ая степень 6ad есть (6ad)n или 6nandn.

Пример 4. Третья степень 3m.2y есть (3m.2y)3, или 27m3.8y3.

Степень двочлена, состоящего из членов, соединенных знаком + и -, вычисляется умножением его членов. Tак,

(a + b)1 = a + b, первая степень.

(a + b)1 = a2 + 2ab + b2, вторая степень (a + b).

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, третья степень.

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4, четвертая степень.

Квадрат a — b, есть a2 — 2ab + b2.

3 + 3a2 + 3a + 1.

Квадрат a + b + h есть a2 + 2ab + 2ah + b2 + 2bh + h2

Упражнение 1. Найдите куб a + 2d + 3

Упражнение 2. Найдите четвертую степень b + 2.

Упражнение 3. Найдите пятую степень x + 1.

Упражнение 4. Найдите шестую степень 1 — b.

Квадраты суммы суммы и разницы двочленов встречаются так часто в алгебре, что необходимо их знать очень хорошо.

Если мы умножаем a + h само на себя или a — h само на себя,

мы получаем: (a + h)(a + h) = a2 + 2ah + h2      также, (a — h)(a — h) = a2 — 2ah + h2.

Отсюда видно, что в каждом случае, первый и последний члены есть квадраты a и h, а средний член есть удвоеннное произведение a на h. Отсюда, квадрат суммы и разницы двочленов может быть найден, используя следующее правило.

Квадрат двочлена, оба члена которых положительны, равен квадрату первого члена + удвоенное произведение обоих членов, + квадрат последнего члена.

Квадрат разницы двочленов равен квадрату первого члена минус удвоенное произведение обоих членов плюс квадрат второго члена.

Пример 1. Квадрат 2a + b, есть 4a2 + 4ab + b2.

Пример 2. Квадрат ab + cd, есть a2b2 + 2abcd + c2d2.

Пример 3. Квадрат 3d — h, есть 9d2 + 6dh + h2.

Пример 4. Квадрат a — 1 есть a2 — 2a + 1.

Чтобы узнать метод нахождения более высоких степеней двочленов, смотрите следующие разделы.

Во многих случаях является эффективным записывать степени без умножения.

Так, квадрат a + b, есть (a + b)2.

N-ая степень bc + 8 + x есть (bc + 8 + x)n

В таких случаях, скобки охватывают все члены под степенью.

Но если корень степени состоит из нескольких множителей, скобки могут охватывать всё выражение, или могут применяться отдельно к множителям в зависимости от удобства.

Так, квадрат (a + b)(c + d) есть или [(a + b).(c + d)]2 или (a + b)2.(c + d)2.

Для первого из этих выражений результатом есть квадрат произведения двух множителей, а для второго — произведением их квадратов. Но они равны друг другу.

Куб a.(b + d), есть [a.(b + d)]3, или a3.(b + d)3.

Необходимо также учитывать и знак перед вовлеченными членами. Очень важно помнить, что когда корень степени положительный, все его положительные степени также положительны. Но когда корень отрицательный, значения с нечетными степенями отрицательны, в то время как значения чётных степеней есть положительными.


Вторая степень (- a) есть +a2
Третья степень (-a) есть -a3
Четвёртая степень (-a) есть +a4
Пятая степень (-a) есть -a5

Отсюда любая нечётная степень имеет тот же самый знак, что и число. Но чётная степень есть положительна вне зависимости от того, имеет число отрицательный или положительный знак.

Так, +a.+a = +a2
И -a.-a = +a2

Величина, уже возвёденная в степень, еще раз возводится в степень путем умножения показателей степеней.

Третья степень a2 есть a2.3 = a6.

Для a2 = aa; куб aa есть aa.aa.aa = aaaaaa = a6; что есть шестой степенью a, но третьей степенью a2.

Четвертая степень a3b2 есть a3.4b2.4 = a12b8

Третья степень 4a2x есть 64a6x3.

Пятая степень (a + b)2 есть (a + b)10.

N-ая степень a3 есть a3n

N-ая степень (x — y)m есть (x — y)mn

(a3.b3)2 = a6.b6

(a3b2h4)3 = a9b6h12

Правило одинаково применяется к отрицательным степеням.

Пример 1. Третья степень a-2 есть a-3.3=a-6.

Для a-2 = 1/aa, и третья степень этого

(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a6 = a-6

Четвертая степень a2b-3 есть a8b-12 или a8/b12.

Квадрат b3x-1, есть b6x-2.

N-ая cтепень ax-m есть x-mn или 1/x.

Однако, здесь надо помнить, что если знак, предшествующий степени есть «-«, то он должен быть изменен на «+» всегда, когда степень есть четным числом.

Пример 1. Квадрат -a3 есть +a6. Квадрат -a3 есть -a3.-a3, которое, согласно правилам знаков при умножении, есть +a6.

2. Но куб -a3 есть -a9. Для -a3.-a3.-a3 = -a9.

3. N-ая степень -a3 есть a3n.

Здесь результат может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, какое есть n — чётное или нечётное.

Если дробь возводится в степень, то возводятся в степень числитель и знаменатель.

Квадрат a/b есть a2/b2. Согласно правилу умножению дробей,
     (a/b)(a/b) = aa/bb = a2b2

Вторая, третья и n-ая степени 1/a есть 1/a2, 1/a3 и 1/an.

Примеры двочленов, в которых один из членов является дробью.

1. Найдите квадрат x + 1/2 и x — 1/2.

(x + 1/2)2 = x2 + 2.x.(1/2) + 1/22 = x2 + x + 1/4

(x — 1/2)2 = x2 — 2.x.(1/2) + 1/22 = x2 — x + 1/4

2. Квадрат a + 2/3 есть a2 + 4a/3 + 4/9.

3. Квадрат x + b/2 = x2 + bx + b2/4.

4 Квадрат x — b/m есть x2 — 2bx/m + b2/m2.

Ранее было показано, что дробный коэффициент может быть перемещен из числителя в знаменатель или из знаментеля в числитель. Используя схему записи обратных степеней, видно, что любой множитель также может быть перемещен, если будет изменен знак степени.

Так, в дроби ax-2/y, мы можем переместить x из числителя в знаменатель.

Тогда ax-2/y = (a/y).x-2 = (a/y).(1/x2 = a/yx2.

В дроби a/by3 мы можем переместить у из знаменателя в числитель.

Тогда a/by2 = (a/b).(1/y3) = (a/b).y-3 = ay-3/b.

Таким же образом мы можем переместить множитель, который имеет положительный показатель степени в числитель или множитель с отрицательной степенью в знаменатель.

Так, ax3/b = a/bx-3. Для x3 обратным есть x-3, что есть x3 = 1/x-3.

Следовательно, знаменатель любой дроби может быть полностью удален, или числитель может быть сокращен до единицы, что не изменит значение выражения.

Так, a/b = 1/ba-1, or ab-1.

Степенные или показательные уравнения.

Приветствую вас дорогие учащиеся!

Рекомендуем подписаться на канал на youtube нашего сайта TutoMath.ru, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=an

1. a0 = 1 (a ≠ 0)

2. a1 = a

3. an • am = an + m

4. (an)m = anm

5. anbn = (ab)n

6. a-n= 1/an

7. an/am= an — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

6x=36

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2x*5=10
16x — 4x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2х = 23

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2х = 23
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

2х+2 = 24

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 — 9х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

3 = 9х+8

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=32 . Воспользуемся формулой степеней (an)m = anm.

3 = (32)х+8

Получим 9х+8 =(32)х+8 =3 2х+16

3 = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

22х+4 — 10•4х = 24

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (an)m = anm.

4х = (22)х = 2

И еще используем одну формулу an • am = an + m:

22х+4 = 2•24

Добавляем в уравнение:

2•24 — 10•2 = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2,вот и ответ — 2 мы можем вынести за скобки:

2(24 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

24 — 10 = 16 — 10 = 6

6•2 = 24

Все уравнение делим на 6:

2= 4

Представим 4=22:

2 = 22 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9х – 12*3х +27= 0

Преобразуем:
9х = (32)х = 3

Получаем уравнение:
3 — 12•3х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:

3х = t

Тогда 3 = (3х)2 = t2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Возвращаемся к переменной x.

Берем t1:
t1 = 9 = 3х

Стало быть,

3х = 9
3х = 32
х1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t2:
t2 = 3 = 3х
3х = 31
х2 = 1
Ответ: х1 = 2; х2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу ВКОНТАКТЕ

3.1.2. Разложение выражений на множители






Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.1.



3.1.2.

Изучение приёмов преобразования уравнений начнём с обсуждения того, как можно разлагать на множители выражения, входящие в данное уравнение. Вообще представление уравнения f (x) = g (x) в виде



F1 (x) · F2 (x) · … · Fn (x) = 0,
(5)

где выражения Fk (x), k = 1, …, n «проще» функций f (x) и g (x), представляет собой несомненное продвижение в решении уравнения. В самом деле, представление вида (5) позволяет сразу приравнивать множители Fk (x) нулю и решать более простые уравнения. Представление уравнения (1) в виде (5) иногда называют факторизованным видом уравнения (1) (от английского слова «factor» – множитель).

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических функций, на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.


Пример 1

Разложить на множители многочлен x5 – 2x3 + x2.


Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель x2. Вынесем его за скобку и получим ответ: x5 – 2x3 + x2 = x2(x3 – 2x + 1).

2. Применение формул сокращённого умножения

Формулы сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:



Пример 2

Разложить на множители многочлен (x – 2)4 – (3x + 1)4.


Разложим разность четвёртых степеней по формуле, приведённой выше:



3. Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители. Суть его состоит в выделении полного квадрата и последующего применения формулы разности квадратов. Поясним сказанное на примере.


Пример 3

Разложить на множители многочлен x4 + 4x2 – 1.


Имеем

4. Группировка

Метод группировки слагаемых, как правило, применяется совместно с другими методами разложения на множители и чаще всего с методом вынесения за скобки. Суть метода состоит в том, что все слагаемые данного многочлена перегруппировываются таким образом, чтобы в каждой группе, возможно после вынесения общего множителя за скобки, образовалось бы одно и то же выражение. Это выражение можно также вынести за скобки как общий для всех групп множитель.

5. Метод неопределённых коэффициентов

Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Теоретической основой метода являются следующие утверждения.

  • Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
  • Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
  • Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Для доказательства второго утверждения вспомним, как выглядит график степенной функции с нечетной целой степенью (§ 2.2.5). Действительно, из его вида следует, что значение многочлена имеет разные знаки при x → +∞ и x → –∞. Многочлен степени n – непрерывная функция, значит, найдется хотя бы одна точка, в которой график этой функции пересечет ось Ox.


Пример 4

Разложить на множители многочлен 3x3 – x2 – 3x + 1.


Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax2 + bx  + c такие, что справедливо равенство


3x3 – x2 – 3x + 1 = (x – p)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b – ap)x2 + (c – bp)x – pc.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырёх уравнений для определения четырёх неизвестных коэффициентов:


Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1,  b = 2, c = –1.

Итак, многочлен 3x3 – x2 – 3x + 1 разлагается на множители:


3x3 – x2 – 3x + 1 = (x – 1)(3x2 + 2x – 1).

6. Теорема о корнях многочлена

Разложение многочлена на множители иногда удаётся провести, если один из его корней угадан с помощью теоремы о рациональных корнях, доказанной в § 2.1.4. После того, как корень x = α угадан, многочлен Pn (x) представим в виде Pn (x) = (x – α) · Pn – 1 (x), где Pn – 1 (x) − многочлен степени на 1 меньше, чем Pn (x).


Пример 5

Разложить на множители многочлен x3 – 5x2 – 2x + 16.


Данный многочлен имеет целые коэффициенты. По следствию теоремы о рациональных корнях (см. § 2.1.4) если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16, то есть если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1, ±2, ±4, ±8, ±16.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем этого многочлена, то есть


x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2) · Q (x),

где Q (x) − многочлен второй степени. Следовательно, исходный многочлен разлагается на множители, один из которых (x – 2).

7. Разложение относительно параметра

Суть этого метода легче всего понять на примере.


Пример 6

Разложить на множители многочлен x4 – 10x2 – x + 20.


Преобразуем данный многочлен:


x4 – 10x2 – x + 20 = x4 – 5 · 2x2 – x + 25 – 5 = 25 – 5(1 + 2x2) + x4 – x

Рассмотрим теперь многочлен a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x, который при a = 5 совпадает с данным. Полученный многочлен является квадратным, его корни легко найти по теореме Виета:


a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x = a2 – a(1 + 2x2) + x(x3 – 1) = a2 – a(1 + 2x2) + x(x – 1)(x2 + x + 1).

Следовательно, a1 = x(x – 1), a2 = x2 + x + 1. Значит, исходный многочлен разлагается на множители a2 – a(1 + 2x2) + x4 – x = (a – (x2 – x))(a – (x2 + x + 1)). Вернемся к многочлену, данному в условии задачи, подставив a = 5. Получим:


x4 – 10x2 + x + 20 = (5 – x2 + x)(5 – x2 – x – 1) = (x2 – x – 5)(x2 + x – 4).





Правила ввода функций в онлайн калькуляторах OnlineMSchool.

На данной странице описаны правила ввода функций, которых следует придерживаться в онлайн калькуляторах для решения производных и решения интегралов.

Не забывайте проверять правильность написания формул. Неточность и ошибки в написании, приводят к неверному ответу и ситуациям, при которых калькулятор отказывается проводить вычисления.





















Оператор

Описание

Простейшие математические операции

+ — * / ()

Сложение, вычитание, умножение, деление и группирующие символы.
Знак умножения * — необязателен: выражение 2sin(3

x

) эквивалентно 2*sin(3*

x

).
Cкобки используются для группирования выражений.

0.5

Десятичные дроби записываются через точку:

  • 0.5 — правильная запись;
  • 0,5 — неправильная запись.

    x

Тригонометрические функции

Синус от

x

Косинус от

x

Тангенс от

x

. Можно вводить tg(

x

) или tan(

x

)

Котангенс от

x

. Можно вводить ctg(

x

) или cot(

x

)

Секанс от

x

, определяется как 1/cos(

x

)

Косеканс от

x

, определяется как 1/sin(

x

)

Арксинус от

x

. Можно вводить arcsin(

x

) или asin(

x

)

Арккосинус от

x

. Можно вводить arccos(

x

) или acos(

x

)

Арктангенс от

x

. Можно вводить arctg(

x

) или atan(

x

)

Арккотангенс от

x

. Можно вводить arcctg(

x

) или acot(

x

)

Арксеканс от

x

Арккосеканс от

x

Некоторые константы

Число Эйлера

e

= 2.718281828459045…

Число

π

= 3.141592653589793…

Калькулятор экспоненты

Калькулятор экспоненты вычислит значение любого основания, возведенного в любую степень. На этой странице будут рассмотрены все связанные темы, включая отрицательный показатель степени. Начнем с основ.

Что такое показатель степени?

Показатель степени — это способ представить, сколько раз число, известное как основание, умножается само на себя. Он представлен в виде небольшого числа в правом верхнем углу основания. Например: означает, что вы умножаете x на себя два раза, что составляет x * x .Аналогично, 4² = 4 * 4 и т. Д. Если показатель степени равен 3, в примере , то результат будет 5 * 5 * 5 .

Это легко с маленькими числами, но для оснований, которые являются большими числами, десятичными знаками или когда они возведены в очень большую или отрицательную степень, используйте наш инструмент. Если вы хотите произвести возведение в степень вручную, сделайте следующее:

  1. Определите базу и мощность, до которой она повышена, например 3⁵ .
  2. Запишите основание столько же раз, сколько и экспоненту. 3 3 3 3 3
  3. Поместите символ умножения между каждым основанием. 3 * 3 * 3 * 3 * 3 .
  4. Умножить! 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243 .

Калькулятор отрицательной экспоненты

Идея довольно проста, когда экспонента положительна, но что происходит, когда экспонента отрицательна? По определению, если оно равно -2, мы умножим само основание на на отрицательные два раза. На самом деле, что здесь происходит, мы берем величину, обратную основанию, и меняем отрицательный показатель степени на положительный и действуем как обычно.Если вы хотите решить это вручную, сделайте следующее:

  1. Определите основание и показатель степени.
  2. Запишите величину, обратную основанию, и измените знак экспоненты на положительный
  3. Напишите обратную величину основания столько же раз, сколько экспоненту.
  4. Поместите между ними символ умножения.
  5. Умножаем и получаем результат.

Вот быстрый пример: 5⁻⁴ = (1/5) ⁴ = (1/5) * (1/5) * (1/5) * (1/5) = 1/625 = 0.0016

Возведение числа в квадрат (возведение числа в степень 2) и извлечение квадратного корня — схожие концепции, многие люди считают одно противоположным или отменяют другое. Если вы хотите возвести число 6 в квадрат, возьмите 6 * 6 = 36 . Теперь, если вы хотите найти, какие два одинаковых числа умножаются, чтобы получить 36, вы извлекаете квадратный корень из 36. Этот квадратный корень дает значение 6. Также можно отметить, что возведение квадратного корня в квадрат удаляет корень.

Если вам нужно вычислить кубический корень, вы можете использовать наш калькулятор кубического корня, который является отличным инструментом для вычисления кубического корня любого числа.

Кроме того, вы можете проверить наш калькулятор логарифмов, который является обратной функцией экспоненты.

Любое число, возведенное в степень 0, равно 1. Калькулятор отрицательной экспоненты полезен при работе с экспоненциальным убыванием, формула которого имеет отрицательный показатель степени.

Правила для экспонентов

Правила для экспонентов


При работе с производственными функциями и моделями роста нам часто приходится
работать с показателями степени, в том числе с дробными показателями.
Далее следует краткий обзор основ.

Экспоненты


Определения
x a = x умножить на x умножить на x … в сумме раз.

x -a = 1 / x a


Отрицательные показатели дают обратную величину положительной экспоненты.
Например
х -2 = 1 / х 2

Операции

Умножение переменных в степень включает
складывает своих экспонентов.

x a раз x b = x a + b

x 2 раз x 3 = x 5

Деление переменных в степени включает
за вычетом их показателей.


x a разделить на x b = x a — b

х 5 / х 3 = х 2

Возведение в степень переменных включает
, умножив на экспоненты.


x a в степени b = x a b

x 5 в квадрате = x 10

Примечание: Нет простых правил сложения и вычитания.
переменных в степени.


Логарифмы и процентные изменения


Логарифмы экспоненты
и, следовательно, следуйте правилам для показателей. В экономике
Чаще всего используются натуральные логарифмы .

Для натуральных логарифмов используется основание e = 2,71828 , так что
для числа e x натуральный логарифм
х . Например, e 3. 6888 — это
равно 40, так что натуральный логарифм 40 равен 3.6888.

Обычное обозначение натурального логарифма x — ln x ;
экономисты и другие, кто забыл, что логарифм с основанием 10
также существуют иногда пишут log x .

Правила работы

очень похожи на экспоненты.

ln ab = ln a + ln b

ln a / b = ln a — ln b

ln a b = b ln a

Существует очень полезная с экономической точки зрения приблизительная зависимость:


ln x 2 — ln x 1 = ПРОЦЕНТНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ в x

Важность натуральных логарифмов
в экономике исходит из того, что x = e r t
даст значение переменной x в момент времени
т если есть
непрерывно начисляется с темпом роста р

Таким образом, мы можем рассчитать приведенную стоимость
из суммы шиллингов к получению т лет в будущем как

S / e r t = Se -rt

поскольку отрицательная экспонента будет указывать на деление.{1.3}} $$.

Продолжайте практиковать задачи

Ошибка: Нажмите «Не робот», затем повторите попытку.

чисел — экспоненты — подробно

Показатель говорит
сколько раз базовое число используется в качестве множителя.База из пяти поднятых
во второй степени называется «пять в квадрате» и означает «пять».
умножить на пять ». Пять в третьей степени называют« пятью в кубе ».
и означает «пять раз по пять раз». База может быть любой
число — целое число, десятичное число или дробь могут быть возведены в
власть.

Здесь
это несколько простых правил для использования с показателями.

  1. а 1 =

    Любое число, возведенное в степень единицы, равно самому числу.
  2. Для любого
    число a, кроме 0, a 0 = 1

    Любое число, возведенное в степень нуля, кроме нуля, равно единице.
  3. Для любого
    числа a, b и c,
    a b x a c = a b + c

    Это правило умножения говорит нам, что мы можем просто сложить показатели, когда
    умножение двух степеней с одинаковым основанием.

ВНИМАНИЕ!
Это ошибки, которые студенты часто допускают при работе с экспонентами.

Ошибка!
Не умножайте основание и показатель степени. 2 6 не равно 12,
это 64!

Ошибка!
Правило умножения применяется только к выражениям с одинаковым основанием. Четыре
квадрат, умноженный на два в кубе — это не то же самое, что 8 в степени два плюс
три.

Ошибка!
Правило умножения применяется только к произведению, а не к сумме двух
числа.

Научный
Обозначение

Что происходит, когда вы используете калькулятор и ваш ответ слишком длинный, чтобы
влезть в окно? Воспользуйтесь калькулятором, чтобы умножить эти 2 числа:

60 000 000 000 000
х 20 000 000 000
Вы откроете для себя короткий способ написания очень длинных чисел. Это называется научным
обозначение или обозначение E на калькуляторе («E» означает «Exponent»).
Число, записанное в научных обозначениях, записывается как произведение числа
между 1 и 10 и степенью 10.

Например,
чтобы записать 127 680 000 в экспоненциальном представлении, замените число на число
от 1 до 10, переместив десятичную запятую на 8 разрядов влево. Затем умножьте
на 10 в степени количества знаков, на которое вы должны были переместить десятичную дробь
точка — то есть 108:

127 680 000
= 1,2768 x 10 8
В окне вашего калькулятора основание 10 не отображается; буква E означает «10»
возведен в следующую степень.«

Примеры

7 х 7 х 7 х 7 =? 7 4
2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2 =? 2 6
1 10 = 1
5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

Напишите следующее
числа в экспоненциальной записи. 90 345 565 000
= 5,65 х 10 5
7,325,000 = 7,325 x 10 6
91 247 000 000 = 9,1247 x 10 10

назад
наверх

Exponent Calculator — возведен в калькулятор мощности

Exponents Calculator или электронный калькулятор используется для решения экспоненциальных форм выражений.Он также известен как «поднятый на счетчик мощности».

Свойства калькулятора показателей:

Этот калькулятор решает базис с и отрицательными показателями степени и положительными показателями степени . Он также предоставляет пошаговый метод с точным ответом.

Что такое показатель степени?

Показатель степени — это небольшое число, расположенное в верхнем правом положении экспоненциального выражения (основание показателя степени), которое указывает степень возведения основания выражения.

Показатель числа показывает, сколько раз число должно использоваться при умножении. Показатели не обязательно должны быть числами или константами; они могут быть переменными.

Часто это положительные целые числа, но они могут быть отрицательными, дробными, иррациональными или комплексными числами. Оно записывается в виде небольшого числа справа и над основным числом.

Типы:

Существует два основных типа показателей степени.

Положительная экспонента указывает, сколько раз число необходимо умножить само на себя. Воспользуйтесь нашим калькулятором экспоненты для решения ваших вопросов.

Отрицательный показатель степени показывает, в какой части основания находится решение. Чтобы упростить показатель степени со степенью в виде дроби , используйте наш калькулятор степени .

Пример :

Вычислите показатель степени для числа 3 в степени 4 ( 3 в степени 4 ).

Это означает = 3 4

Решение:

3 * 3 * 3 * 3 = 81

4 в 3-й степени = 81

Следовательно, показатель степени равен 81

2 в повышении Калькулятор мощности .

Пример :

Каково значение экспонента для 2 повышения в степень 9 (2 в 9-й степени)

Это означает = 2 9

Решение:

2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 512

2 в 9-й степени = 512

Следовательно, показатель степени равен 512 .

Пример :

Как вычислить показатели 5,6,7 в степени 4?

Это означает = 5 4 , 6 4 , 7 4

Решение:

5 * 5 * 5 * 5 = 625

6 * 6 * 6 * 6 = 1296

7 * 7 * 7 * 7 = 2401

Следовательно, экспоненты равны 625, 1296, 2401.

Как вычислить n-ю степень числа?

Энная степень основания, скажем «у», означает, что у умножается на себя в энный раз.Если нам нужно найти пятую степень y, это будет y * y * y * y * y.

Некоторые другие решения для n-й вычислитель мощности приведены в следующей таблице.

1,2 в степени

мощность 3

9 0590 32768

0,1 в степени 3 0,00100
0,5 в степени 3 0,12500
0,5 в степени 4 0,06250
4 2,07360
1.02 в 10-й степени 1.21899
1,03 в 10-й степени 1,34392
1,2 в 5-й степени 2.48832
1,4 в 10-й степени 90.9254

до степени 5 1,27628
1,05 до 10 степени 1,62889
1,06 до 10 степени 1,79085
2 до 3 степени 2 2 8
2 в степени 4 16
2 в степени 6 64
2 в степени 7 128
2 в 9 степени 512
2 в десятой степени 1024
2 в 15 степени
2 в 10 степени 1024
2 в степени 28 268435456
3 в степени 2 9
9
27
3 в 4 степени 81
3 в 8 степени 6561
3 в 9 степени 19683
19683
3 до 14
3 в степени, равной 81 3 4
4 в степени 3 64
4 в степени 4 256
4 в степени из 7 16384
7 в степени 3 343
12 во второй степени 144
2.5 в степени 3 15,625
12 в степени 3 1728
10 степени 3 1000
24 во второй степени (24 2 ) 57

Правила экспоненты:

Изучение правил экспоненты вместе с правилами журнала может сделать математику действительно простой для понимания. Есть 7 правил экспоненты.

  • Ноль Свойство экспоненты:

Это означает, что если степень основания равна нулю, то значение решения будет равно 1.

Пример: Упростить 5 0 .

В этом вопросе степень основания равна нулю, тогда в соответствии с нулевым свойством экспоненты ответ ненулевого основания равен 1. Следовательно,

5 0 = 1

  • Отрицательное свойство экспоненты:

Это означает, что когда степень основания является отрицательным числом, то после умножения нам нужно будет найти обратную величину ответа.

Пример: Упростить 13 -2 .

Сначала сделаем силу положительной, взяв обратную.

1/3 -2 = 3 2

3 2 = 9

  • Продукт Свойство экспоненты:

Когда два экспоненциальных выражения с одинаковым ненулевым основанием и разными степенями умножаются, тогда их силы складываются на одной базе.

Пример : Решить (2 6 ) (2 2 ).

Как видно, базы такие же, поэтому силы надо добавлять.Теперь

(2 6 ) (2 2 ) = 2 6 +2

2 8 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

= 256

  • Факторное свойство показателя степени:

Оно противоположно свойству произведения экспоненты. Когда требуется разделить две одинаковые базы с разными показателями, их силы вычитаются.

Пример: Simplify 3 7 /3 2

3 7 /3 2 = 3 7-2

35 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3

= 243

  • Степень мощности Свойство:

Когда выражение экспоненты дополнительно имеет мощность, то сначала вам нужно умножить степени, а затем решить выражение.

Пример: Решить: (x 2 ) 3 .

Учитывая силу степенного свойства показателей, умножим степени.

(x 2 ) 3 = x 2 * 3

= x 6

  • Мощность свойства продукта:

Когда продукт баз повышается до некоторой степени, основания будет обладать властью отдельно.

Пример: Упростить (4 * 5) 2

4 2 * 5 2 = 16 * 25

= 400

  • Мощность частного свойства:

Это то же самое, что мощность свойства продукта.Степень принадлежит как числителю, так и знаменателю отдельно.

Пример: Решить (2/3) 2

(2/3) 2 = 2 2 /3 2

2 2 /3 2 = 4 / 9

Калькулятор экспоненты (степени) — Калькулятор капитана

Калькулятор экспонент

Обратите внимание: для работы этого калькулятора требуется JavaScript.

Определение — Что такое показатель степени?

Показатель степени — это количество раз, когда число умножается само на себя.

Запишите показатель степени в виде увеличенного числа. В числе 2 4 (2 в степени 4 или 2 в степени 4) цифра «4» является показателем степени. «2» — это число, которое нужно умножить на себя в 4 раза. В этом случае 2 x 2 x 2 x 2 = 16.

Формула

— как найти экспоненту

Найдите показатель степени числа, умножив это число на само число раз.

число 2 = число x число

число 3 = число x число x число

число 4 = число x число x число x число

Пример

3 2 = 3 x 3 = 9

9 5 = 9 x 9 x 9 x 9 x 9 = 59 049

5 10 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 9,765,625

Правила экспонент (законы экспонент)

Продукт с такой же базой

Чтобы умножить одинаковые основания, оставьте основание одинаковым и сложите экспоненты.

x a • x b = x (a + b)

Пример: 7 3 • 7 5 = 7 (3 + 5) = 7 8 = 5,764,801

Показатель экспоненты (или степени в степени)

Чтобы вычислить показатель степени, умножьте показатели вместе.

(x a ) b = x (a • b) = x ab

Пример: (4 3 ) 2 = 4 (3 • 2) = 4 6 = 4,096

Деление чисел на экспоненты (частные с одинаковым основанием)

Чтобы разделить два основания с одинаковым показателем, вычтите показатель знаменателя из показателя числителя.

x a ÷ x b = x (a — b)

Пример: 5 7 ÷ 5 3 = 5 (7 — 3) = 5 4 = 625

Умножение чисел на экспоненту

Оба числа, умноженные в степень, могут быть возведены в эту степень.

(xy) z = x z • y z

Пример: (9x) 5 = 9 5 x 5 = 59,049x 5

Деление на показатель

Чтобы разделить дробь, возведенную в степень, укажите степень как в числителе, так и в знаменателе.

(x ÷ y) z = x z ÷ y z

Пример: (7 ÷ 5) 4 = 7 4 ÷ 5 4 = 2,401 ÷ 625 = 3,8416

Показатель 0

Любое число в степени 0 равно 1.

х 0 = 1

Пример: 450 0 = 1

Отрицательные экспоненты

Отрицательные показатели могут быть преобразованы в 1, деленную на основание экспонент

x -a = 1 ÷ 1 a

Пример: 6 -4 = 1 ÷ 6 4 = 1 ÷ 1,296 = 0.0007716

Деление на отрицательную экспоненту

Числа с отрицательной степенью в качестве знаменателя можно заменить на числитель, а показатель степени сделать положительным.

1 ÷ x -a = x a

Пример: 1 ÷ 3 -4 = 3 4 = 81

Как набирать экспоненты

  • В Microsoft Word и других продуктах Office щелкните правой кнопкой мыши и выберите «Шрифт», чтобы открыть меню шрифтов. Выберите «Надстрочный индекс».
  • В Документах Google и других продуктах выделите текст, который вы хотите использовать в качестве показателя степени.символ перед экспонентой. Если в экспоненте более одного символа, заключите их в (скобки).

Таблица экспонент

Обратите внимание: для работы этой таблицы требуется JavaScript.

Часто задаваемые вопросы

Что такое показатель степени (в математике)?

Показатель — это количество раз, когда число умножается само на себя. Например, от 3 до 4 (написано 3) означает 3 x 3 x 3 x 3 = 81. Это не то же самое, что 3 x 4 (12).

В чем разница между «степенью» и «экспонентой»?

Это одно и то же.Большинство людей используют термины «в степени» и «в степени» как синонимы.
Мы находим, что при описании вещи «показатель степени» является более естественным термином. («Какой показатель у числа в этом уравнении?» Звучит лучше, чем «Какова степень у числа в этом уравнении?»).
При описании действия более естественным термином является «степень из» («вычислить пять в степени трех» звучит лучше, чем «вычислить пять в степени три»).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.