2 свойство равнобедренной трапеции доказательство: Please Wait… | Cloudflare

Содержание

2. Свойства равнобедренной трапации


ФГКОУ «МКК «Пансион воспитанниц МО РФ»

«УТВЕРЖДАЮ»

Руководитель отдельной дисциплины

(математика, информатика и ИКТ)

Ю. В. Крылова _____________

«___» _____________ 2015 г.

«Трапеция и ее свойства»

Методическая разработка

преподавателя математики

Шаталиной Елены Дмитриевны


Рассмотрено и

рекомендовано к использованию

на заседании ПМО от _______________

Протокол №______

Москва

2015 год

Оглавление

Введение 2


  1. Определения 3

  2. Свойства равнобедренной трапеции 4

  3. Вписанные и описанные окружности 7

  4. Свойства вписанных и описанных трапеций 8

  5. Средние величины в трапеции 12

  6. Свойства произвольной трапеции 15

  7. Признаки трапеции 18

  8. Дополнительные построения в трапеции 20

  9. Площадь трапеции 25

. 10. Заключение

. Список используемой литературы

Приложение


  1. Доказательства некоторых свойств трапеции 27

  2. Задачи для самостоятельных работ

  3. Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности

  4. Проверочный тест по теме «Трапеция»

Введение

Данная работа посвящена геометрической фигуре, которая называется трапеция. «Обычная фигура»,- скажете вы, но это не так. Она таит в себе много тайн и загадок, если приглядеться и углубиться в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.

Трапеция — греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапеция встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе мы начали изучать трапецию. Эта фигура заинтересовала нас, а в учебнике непозволимо мало про нее написано. Поэтому мы решили взять это дело в руки и найти информацию про трапецию. ее свойства.

В работе рассматриваются свойства знакомые воспитанницам по пройденному материалу в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, которые необходимы для решения сложных задач. Чем больше количество решаемых задач, тем больше вопросов возникает при решении их. Ответом на эти вопросы иногда кажется тайной, узнавая, новые свойства трапеции, необычные приемы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В интернете, если забить в поисковике, о методах решения задач по теме «трапеция» очень мало литературы. В процессе работы над проектом найден большой объем информации, которая поможет воспитанницам в глубоком изучении геометрии.

Трапеция.


  1. Определения

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

2. Свойства равнобедренной трапеции


  1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

  1. Сумма углов трапеции, прилежащих к ее боковой стороне, а также противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.

3. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

4. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.



  1. Отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон равнобедренной трапеции, образуют ромб.

  2. В равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна им и является осью симметрии трапеции.
  3. Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то высота трапеции равна средней линии.



  1. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
  2. С

    В равнобедренной трапеции квадрат диагонали равен квадрату его боковой стороны плюс произведение оснований: d2 = c2 + a• b

10. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна помусумме оснований.


3. Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.

Е
сли трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

4. Свойства вписанных и описанных трапеций

  1. Если в равнобокую трапецию можно вписать окружность, то средняя линия трапеции равна боковой стороне.

2.Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то

сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.

4. Если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны из ее центра видны под углом 90°.


  1. Если в трапецию вписана окружность, которая касается одной из боковых сторон, разбивает ее на отрезки m и n, тогда радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.

  1. Е
    сли в равнобокую трапецию вписана окружность, то высота трапеции есть среднее геометрическое ее оснований.


  1. Если в трапецию можно вписать окружность и около трапеции можно описать окружность, то проекция диагонали на большее основание, равна боковой стороне и равна средней линии трапеции.
  2. Если в трапецию вписана окружность, то вершина трапеции, центр вписанной в нее окружности и основание перпендикуляра, опущенного из другой вершины на основание, лежат на одной прямой.

  3. Если диагонали вписанной в окружность трапеции (четырехугольника) взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности или удвоенному квадрату боковой стороны: a2 + b2 = 4R2 = 2c2

1
0. Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Средние величины в трапеции

Среднее геометрическое


  1. Р
    адиус окружности, вписанной в трапецию, есть среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны трапеции, на которые она разбивается точкой касания.


  2. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то высота трапеции есть среднее геометрическое произведения оснований трапеции


  1. В
    любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен
    среднему арифметическому оснований, если он соединяет середины боковых сторон (т.е. является средней линией трапеции). MN=(a+b)/2.

  2. В
    любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен
    среднему гармоническому оснований, если он проходит через точку пересечения диагоналей KL =2 ab/(a+b)

  1. В любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен среднему геометрическому оснований, если он делит трапецию на две трапеции, подобные между собой.

  2. В
    любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен
    среднему квадратичному оснований, если он делит трапецию на две трапеции равной площади (равновеликие).


  1. В любой трапеции с основаниями a и b для a > b справедливо неравенство:


b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6.Свойства произвольной трапеции

1. Середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой.

2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

3. Отрезки прямой, параллельной основаниям трапеции, пересекающей боковые стороны и диагонали трапеции, заключенные между боковой стороной диагональю, равны.


  1. Точка пересечения продолжения боковых сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середин оснований лежат на одной прямой.

5. При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики(т.е. имеют равные площади).

6.Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.


d12 + d22 = c2 + d2 + 2ab

7
. В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований d12 d22 = a2 b2

8. Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам.

7. Признаки трапеции


  1. Ч
    етырехугольник является трапецией тогда и только тогда, когда при его диагональном разбиении ровно два противолежащих треугольника равновелики. При этом квадрат площади каждого из них равен произведению площадей смежных с ним треугольников



  1. Если средняя линия четырехугольника равна полусумме противолежащих ей сторон, то четырехугольник является трапецией (или параллелограммом). Если m= (a+b)/2, то ABCD – трапеция (или параллелограмм)

  2. Т
    рапеция является равнобедренной, если углы при одном из оснований равны.


  3. Если около трапеции можно описать окружность, то трапеция является равнобедренной

8. Дополнительные построения в трапеции

1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия трапеции.

2. Отрезок, параллельный одной из боковых сторон трапеции, один конец которого совпадает с серединой другой боковой стороны, другой принадлежит прямой, содержащей основание.

3. Если даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проводится прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находят площадь треугольника, потом высоту треугольника, которая равна высоте трапеции.

4
. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

5. Высоты трапеции, опущенные из вершин одного основания, высекают на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.

6
. Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции проводится через вершину – точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получается треугольник с двумя сторонами, равными диагоналям трапеции, и третьей – равной сумме оснований

7.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.

8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, они перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.

1
0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.


11. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

12. Продолжение боковых сторон трапеции до пересечения дает возможность рассматривать подобные треугольники.

13. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то проводят высоту трапеции — среднее геометрическое произведения оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны, на которые она делится точкой касания.

9. Площадь трапеции

1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту S = ½(a + b)•h или

П
лощадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S = mh.

2. Площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.


  1. П
    лощадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны.
    Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату средней линии трапеции или квадрату высоты трапеции. S =h2

  2. Площадь произвольной трапеции со сторонами a, b, c, d:

  1. Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным r и углом при основании α:

10. Заключение

ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗЕУТСЯ ТРАПЕЦИЯ?

Трапеция в спорте: Трапеция — безусловно прогрессивное изобретение человечества. Она предназначена для того, чтобы разгрузить наши руки, сделать хождение на виндсерфере комфортным и легким отдыхом. Хождение на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между степсом и ногами и эффективно разогнаться.

Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна ещё в средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В тот период основу женской одежды составляли туники в пол, к низу туника сильно расширялась, что и создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961-ом году и стало гимном молодости, независимости и утонченности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная, как Твигги. Невысокая девочка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а её излюбленными нарядами были короткие платья трапеции.

Трапеция в природе: трапеция встречается и в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия, и конечно же вулкан Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.

Трапеция в быту: Трапеция используется и в быту, т.к ее форма практична. Она встречается в таких предметах как: ковш экскаватора, стол, винт, машина.

Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна — это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, и в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Эта форма зданий является необычной, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.

Трапеция в технике: Трапеция используется при конструировании деталей в космических технологиях и в авиации. Например, некоторые солнечные батареи космических станций имеют форму трапеции так как имеют большую площадь, значит накапливают больше солнечной эн

В 21 первом веке люди уже практически не задумываются о значении геометрических фигур в их жизни. Их совершенно не волнует какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают ту форму, которая практична. Но именно от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его предназначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одной из величайших достижений человечества- с трапецией. Мы приоткрыли вам дверь в удивительный мир фигур, поведали вам тайны трапеции и показали, что геометрия вокруг нас.

Список используемой литературы


  1. Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика Теория и Задачи. Книга 1 Учебное пособие для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.

  2. Быков А.А, Малышев Г.Ю., ГУВШ факультет довузовской подготовки. Математика. Учебно-методическое пособие 4 часть М2004

  3. Гордин Р.К. Планиметрия. Задачник.

  4. Иванов А.А.,. Иванов А.П, Математика: Пособие для подготовки к ЕГЕ и поступлению в вузы-М : Издательство МФТИ,2003-288с. ISBN5-89155-188-3

  5. Пиголкина Т.С, Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задания №2 для 10-ых классов (2012-2013 учебный год).

  6. Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть1).Матиматическая Энциклопедия Абитуриента. М., издательство российского открытого университета 1992.

  7. Шарыгин И.Ф.Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в ВУЗЫ (1987-1990) Львов Журнал «Квантор» 1991.

  8. Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.

Приложение

1.Доказательство некоторых свойств трапеции.

1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках K и L. Доказать, что если основания трапеции равны а и b, то длина отрезка KL равна среднему геометрическому оснований трапеции. Доказательство

Пусть О — точка пересечения диагоналей, AD = а, ВС = b. Пря­мая KL параллельна основанию AD, следовательно, KОAD, треугольники ВKО и BAD подобны, поэтому




( 1 )


  1. AD BC, ∆AOD ~ ∆COB по двум углам. тогда: т.е.

  2. BD = DO + OD, следовательно

( 2 )

Подставим ( 2 ) в ( 1 ), получим KO =

Аналогично LO = Тогда K L= KO + LO =


  1. Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон ле­жат на одной прямой.

  • Доказательство: Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке К. Через точку К и точку О пересечения диагоналей проведём прямую КО.

Д

K

окажем, что эта прямая делит основания пополам.

Обозначим ВМ

= х, МС = у, AN = и, ND = v. Имеем:

ВКМ ~ ∆AKN


M

x

B

C

Y

C ~ ∆NKD → →

O

v

u


A

N

D

BMO ∆DNO

CMO ANO поэтому .

Перемножая полученные равенства, получим , откуда следует

x=y, но тогда и u = v.


  1. дачи для самостоятельных работ и их решения

3. Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности.

Садовничий Ю.В. «Математика. Подготовка к ЕГЭ», Москва, ИЛЕКСА, 2011, стр. 252.

1 . В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий сере­дины оснований, равен 2. Найти площадь трапеции.

Ответ: S = 6.

2. Периметр равнобочной трапеции, описанной около круга, равен р. Найти радиус этого круга, если известно, что острый угол при основании трапеции равен ɑ.

psina

3. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в тра­пецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины основа­ний трапеции.

Ответ: 1и 7.


  1. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, а длина боковой стороны ВС равна b. Найти площадь трапеции.

Ответ: S= 3ab

В трапеции PQRS длина основания QR равна 10, длина диагона­ли QS равна 19, а величина угла QSP равна 30°. Выяснить, что больше, длина основания QR или длина стороны RS.

Ответ: RS > QR.


  1. В трапеции ABCD сторона АВ параллельна CD. Диагонали BD и АС трапеции пересекаются в точке О, причем треугольник ВОС явля­ется равносторонним. Найти длину стороны ВС, если АВ = 5 и CD-3.

  2. В трапеции ABCD основание AD равно 16, сумма диагоналей АС и BD равна 36, угол CAD равен 60°. Отношение площадей тре­угольников AOD и ВОС, где О — точка пересечения диагоналей, рав­но 4. Найти площадь трапеции.

Ответ: S=90√3.

Иванов А.А., Иванов А.П., Математика: Пособие для подготовки к ЕГЭ и поступлению в вузы. – М.: Издательство МФТИ, 2003, стр. 238..

12. Площадь прямоугольной трапеции равна S, острый угол равен а. Найти высоту трапеции, если ее меньшая диагональ равна большему оснозанию. [√2Sctg а]


  1. Около круга радиуса R описана равнобедренная трапеция с острым утлом а при основании. Найти периметр этой трапеции. [8.R: sin а]

  2. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, отношение боковой стороны к меньшему основанию равно к. Найти углы трапеции и допустимые значения к.

[arccos(l — 1/к), π — arccos(l — 1/к), к > 1]


  1. На меньшем основании равнобедренной трапеции построен правильный треугольник. Его высота равна высоте трапеции, а площадь в 5 раз меньше площади трапеции. Найти угол при большем основании трапе­ции. [30°]

  2. Основания равнобедренной трапеции равны а и 6 (а > 6), угол при боольшем основании равен а. Найти радиус окружности, описанной около грапеции. [(√/а22+2аbcos2а):(2sin2а)].

  3. Площадь равнобедренной трапеции равна S, угол между ее диагонапями, противолежащий боковой стороне, равен ɑ. Найти высоту трапе­ции…

[√Stg(½ ɑ)]


  1. Равнобедренная трапеция описана около окружности. Ее диагональ равна d, а острый угол при основании равен а. Найти радиус окружности.

  2. В равнобедренной трапеции с основаниями 2 и 6 и углом arccos(—⅔)- найти радиус окружности, касающейся боковой стороны, диагонали и боль­шего основания трапеции.

  3. Отношение радиуса круга, описанного около трапеции, к радиусу круга, вписанного в нее, равно к (к > √2). Найти углы трапеции.

4. Проверочный тест по теме «Трапеция»

В трапеции, имеющей прямой угол, основания равны 5 и 11, а большая диагональ √185. Площадь трапеции составляет

В трапеции боковые стороны и меньшее основание равны Ь, а острый угол вдвое меньше тупого. Площадь трапеции равна

151 в равнобедренной трапеции, описанной около окружности ради­уса 5 м и имеющей основание 20 м, другое основание равно

Меньшее основание трапеции, вписанной в окружность, втрое меньше большего, которое является диаметром окружности. 25j В трапеции с диагональю 20, высотой 12 и площадью 150 вторая

диагональ равна

29j Равнобедренная трапеция с острым углом а описана около окруж- ности. Отношение ее большего основания к меньшему равно

Зо| В описанной около круга равнобочной трапеции расстояние от центра круга до дальней вершины трапеции втрое больше, чем до ближ­ней. Тангенс острого угла трапецииравен

Достарыңызбен бөлісу:

Трапеция. Определение, виды, свойства

Определения

Определение 1. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны а две другие − нет.

На Рис.1 четырехугольники ABCD и EFGH являются трапециями.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а непараллельные стороны − боковыми сторонами (Рис.2).

В трапеции ABCD (Рис.1) углы A и B называют углами при основании AB, а углы C и D называют углами при основании CD.

Определение 2. Высотой трапеции называется перпендикуляр, отпущенный из любой точки прямой, проходящей через один из оснований трапеции, на прямую, проходящую через другое основание.

На Рис.3 отрезки DM, ON, QP являются вершинами трапеции ABCD. Поскольку величина каждой из этих отрезков является расстоянием между параллельными прямыми, проходящими через основания трапеции, то они равны друг другу.

Определение 3. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон.

На рисунке Рис.4 \( \small MN \) является средней линией трапеции \( \small ABCD, \) причем \( \small AM=MD,\;\; BN=NC. \)

Виды трапеций

Если боковые стороны трапеции равны, то трапеция называется равнобокой или равнобедренной (Рис.5).

Трапеция называется прямоугольной, если одна из боковых сторон перпендикуляна основаниям трапеции (Рис.6).

Трапеция называется разносторонней, если длина всех сторон разные (т. е. если трапеция не прямоульная и не равнобедренная)(Рис.7).

Свойства трапеции

Свойство 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.

Доказательство. Пусть MN средняя линия трапеции ABCD (Рис.8). Докажем, что \( \small MN || AB, \)   \( \small MN=\frac12 (AB+CD). \)

Проведем прямую DN и обозначим точку ее пересечения с прямой AB точкой P. Так как MN является средней линией трапеции ABCD, то

Углы 1 и 2 вертикальные , следовательно

Углы 3 и 4 являются накрест лежащими, при рассмотрении параллельных прямых BP и CD пересеченные секущей CB, тогда (теорема 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей).

Исходя из равенств (1),(2) и (3) получим, что треугольники CND и NPC равны, по второму признаку равенства треугольников. Тогда BP = DC, DN = NP. Из равенств AM = MD и DN = NP следует, что MN является средней линией треугольника ADP. Тогда \( \small MN \ || \ AP \) ( или \( \small MN \ || \ AB \)) и \( \small MN =\frac 12 AP \). Но \( \small AP=AB +BP=AB+CD \). Тогда \( \small MN =\frac 12 (AB+CD).\)

Свойство 2. Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD (Рис.9).

Углы A и D являутся односторонними углами, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AD (теорема 3 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Тогда \( \small \angle A+ \angle D=180°.\)

Свойство 3. Отрезок, слединяющий середины диагоналей трапеции лежит на средней линии трапеции и равен половине разности оснований.

Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD (Рис.10).

Поскольку точки P и Q являются средними точками диагоналей AC и BD, соответственно, то:

MP − является средней линией треугольника ADC, так как , . Тогда

QN − является средней линией треугольника BCD, так как , Тогда

Из и следует, что P находится на прямой, проходящей через среднюю линию MN, поскольку из точки M можно провести только одну прямую, параллельно CD (Аксиома 1 статьи Аксиома параллельных прямых).

Аналогично, из и следует, что Q находится на прямой, проходящей через среднюю линию MN, поскольку из точки N можно провести только одну прямую, параллельно CD.

Далее, учитывая (4) и (5), получим:

Откуда

Далее, учитывая свойство 1, получим:

Свойства равнобокой (равнобедренной) трапеции

Свойсво 1′. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренную (равнобокую) трапецию ABCD, где AD = BC (Рис.11).

Проведем высоты DM и CN. Поскольку DM = CN и AD = BC, то прямоугольники ADM и NCB равны гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства). Тогда \( \small \angle A=\angle B. \) Докажем, далее, что \( \small \angle ADC=\angle DCB. \) \( \small \angle A +\angle ADC=180° \) поскольку углы A и ADC являются односторонними углами, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AD (теорема 3 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично \( \small \angle B +\angle DCB=180°. \) Учитывая, что \( \small \angle A=\angle B \), получим \( \small \angle ADC=\angle DCB. \)

Свойсво 2′. В равнобокой трапеции диагонали равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ADC и DCB (Рис.12). Имеем CD общая сторона для обеих треугольников, AD = CB, \( \small \angle ADC=\angle DCB. \) Тогда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно диагонали AC и DB трапеции ABCD равны.

Свойсво 3′. В равнобокой трапеции высота, приведенная из вершины тупого угла на основание, делит основание трапеции на отрезки, больший из которых равен половине суммы оснований, а меньший равен половине разности оснований.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник DMNC (Рис.11). Имеем:

Тогда четырехугольник DMNC является прямоугольником. Следовательно DC = MN. Поскольку треугольники ADM и NCB равны (см. доказательство следствия 1), то AM = NB. Следовательно:

Отсюда:

Далее

или

Трапеция Трапецией основаниями боковыми равнобокой равнобедренной средней линией Теорема Пример Решение Ответ Пример Доказательство

Прототипы задания В6-2 (2013)

Прототипы задания В6-2 (2013) ( 27742) Один острый угол прямоугольного треугольника на больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах. ( 27743) В треугольнике ABC угол A равен, внешний

Подробнее

7 sin A. Найдите AB. 25

Прототипы задания 6 1. В треугольнике ABC угол C равен 90 0, AC = 4,8, 25. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, 33 tga. 7 4 33 sin A. Найдите AB. 25 Найдите AC. 2. В треугольнике ABC угол C равен 90 0,

Подробнее

AC 6, cos A. Найдите BH.

Прототипы задания 6 1. Задание 6 ( 26097) 16. Задание 6 ( 20001) В треугольнике ABC угол C равен 90, sin A 0, 6, 21 AC 4. Найдите AB. В треугольнике ABC AC BC 12, sin B. 5 2. Задание 6 ( 29580) Найдите

Подробнее

Задание 3, 6, 16. Планиметрия

Задание 3, 6, 6. Планиметрия Угловые соотношения в плоских фигурах Теорема. Сумма смежных углов равна 80 0. и смежные углы Теорема. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Теорема. Вертикальные

Подробнее

Тренировочные задачи

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Площадь.. Площадь прямоугольника равна 6. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон прямоугольника.. Средняя линия

Подробнее

Геометрия

Геометрия 1. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65 и 50. Найдите меньший угол параллелограмма. 2. Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна

Подробнее

Тема 21 «Трапеция. Многоугольники».

Тема 1 «Трапеция. Многоугольники». Трапеция четырехугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются

Подробнее

ГЕОМЕТРИЯ: ПЛАНИМЕТРИЯ

ГЕОМЕТРИЯ: ПЛАНИМЕТРИЯ I Группа 1.01 Разность двух углов, получившихся при пересечении двух прямых, равна 20. Найти больший из этих углов. 1.02 Углы треугольника пропорциональны числам 3:7:8. Найти наибольший

Подробнее

Задание 16. Планиметрия

Задание 6. Планиметрия Угловые соотношения в плоских фигурах Теорема. Две прямые, параллельные третьей, параллельны. Теорема. Если две прямые параллельности пересечены секущей, то. Накрест лежащие углы

Подробнее

В 8 (2014) 16. В треугольнике ABC, 30. В треугольнике ABC угол C равен, CH. высота,,. Найдите AH. высота,,. Найдите BH.

В 8 (2014) 1). В треугольнике ABC угол C равен, CH высота,,. Найдите AH. 2. В треугольнике ABC угол C равен, CH 3. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите высоту CH. 4. В треугольнике ABC угол C равен,

Подробнее

Основные теоремы и формулы

Основные теоремы и формулы Определение 1. Угловой величиной дуги называется отношение длины этой дуги к длине окружности, умноженное на 2π. Теорема 1. Величина центрального угла равна угловой величине

Подробнее

Тренировочные задачи

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Параллелограмм. Периметр параллелограмма равен, а одна из его сторон вдвое больше другой. Найдите стороны параллелограмма. и 4. Найдите

Подробнее

tgbac. В8 ЕГЭ В ABC C = 90 0, CH высота, AB = 13, tga 5. Найдите BH. 12,5 3 В ABC C = 90 0, AB = 13, tga. Найдите высоту CH.

В-8. ПРОТОТИПЫ Задание ответ В ABC C = 90 0, CH высота, AB =, tga. Найдите AH., В ABC C = 90 0, CH высота, AB =, tga. Найдите, В ABC C = 90 0, AB =, tga. Найдите высоту CH., В ABC C = 90 0, CH высота,

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

Тест 140. Правильный многоугольник. Признак

Тест 132. Многоугольник. Существование Существуют два треугольника, объединением которых являются: 1. треугольники двух видов: равносторонний и равнобедренный, но не равносторонний; 2. квадрат; 3. шестиугольник;

Подробнее

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии.

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне

Подробнее

Тренировочные задачи

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Окружность. Свойства окружности. Если хорда не является диаметром, то диаметр, проходящий через середину этой хорды, перпендикулярен

Подробнее

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой Пример 1. Стороны треугольника равны 15, 37 и 44 см. Из вершины большего угла треугольника проведен к его плоскости перпендикуляр, равный 16 см. Найти расстояние от его концов

Подробнее

Математика 8 класс Трапеция

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Трапеция Новосибирск Трапеция. Очень часто в задачах

Подробнее

Вписанные и описанные окружности

Вписанные и описанные окружности Окружностью, описанной около треугольника, называется окружность, которая проходит через все его вершины. Около всякого треугольника можно описать единственную окружность.

Подробнее

Тренировочные задачи

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Теорема Пифагора 1. Найдите диагональ квадрата со стороной a. a. В прямоугольном треугольнике с углом 60 гипотенуза равна. Найдите катеты.

Подробнее

Вписанные и описанные окружности

Вписанные и описанные окружности Окружностью, описанной около треугольника, называется окружность, которая проходит через все его вершины. Около всякого треугольника можно описать единственную окружность.

Подробнее

ЗАДАНИЕ 15 Планиметрия Треугольник

ЗАДАНИЕ 15 Планиметрия Треугольник 1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 2. На клетчатой бумаге с клетками

Подробнее

«ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРАПЕЦИЯ»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 8 КЛАССА ТЕМАТИЧЕСКОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ «ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРАПЕЦИЯ» Амосова Галина Владимировна, учитель математики и информатики ГБОУ СОШ 2 Василеостровского района г.

Подробнее

Многоугольники и их свойства

Задание 19 Планиметрические задачи Многоугольники и их свойства 1. На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно,

Подробнее

3.

В прямоугольном треугольнике ABC С = 90, AB = 5, BC = 3, АC = 4. Найдите tg B. 4. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О,

ГЕОМЕТРИЯ, 8 класс Вариант 1, Апрель 2011 ГЕОМЕТРИЯ, 8 класс Вариант 1, Апрель 2011 2. В треугольнике MNK сторона MK равна 19 см. Найдите длину средней линии треугольника, параллельной MK. 8 см 8, см )

Подробнее

Анализ геометрических высказываний

Анализ геометрических высказываний 1. Укажите номера верных утверждений. 1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2) Вертикальные углы

Подробнее

Средняя линия треугольника

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Средняя линия треугольника Средняя линия треугольника это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Говоря о средней линии, третью сторону

Подробнее

Билет 10.

Билет 12. Билет 13. Билет 14

Билет 1 1. Первый признак равенства треугольников. 2. Параллелограмм. Определение, свойства. 3. Задача по теме «Координаты и векторы». Билет 2 1. Второй признак равенства треугольников. 2. Прямоугольник.

Подробнее

ЗАДАНИЕ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. 1. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 2. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB.

ЗАДАНИЕ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 1. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 2. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 3. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 4. В треугольнике

Подробнее

Равновеликие треугольники в трапеции доказательство.  Трапеция. Свойства и элементы трапеции. Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Вписанные и описанные трапеции

Другими словами, учебники — это более быстрый момент для исправления: в стране насчитывается менее десятка крупных титулов, в отличие от тысяч учителей в стране. Мы должны убедиться, что эти глубокие концептуальные ошибки в учебниках сведены к минимуму, если не устранить.

Трапеция представляет собой четырехугольник, который имеет две параллельные стороны, а два других — нет, а сумма его углов равна 360º. На рисунке выше вы заметите, что две стороны параллельны, а две другие стороны могут рассматриваться как параллельные или расходящиеся.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь

.

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а расстояние между ними — это высота. Ответ: параллелограмм представляет собой многоугольник из четырех параллельных сторон два на два. Трапеция также представляет собой многоугольник из четырех сторон, но с 4 сторон, два — только параллельные.

Ответ: Да, потому что они имеют все 4 стороны и, кроме того, две-две параллели. Мы говорили, что трапеция имеет большую базу и небольшую, чтобы решить проблему, из которой они взяты? Базовое значение представляет собой среднее значение двух значений. В качестве основной базы ценность базы этой трапеции — полусумма обоих, то есть. Трапеция, которая имеет непараллельные стороны, равна равнобедренной трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания). Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Теоремы: свойства трапеции

Стороны и равны, следовательно, равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции одинаковы. и те же. Это тот, который имеет два угла 90º. Как вы можете видеть, непараллельная сторона перпендикулярна и, следовательно, имеет два прямых угла. Диагонали разные и не перпендикулярны.

Ответ: Каждая трапеция представляет собой четырехугольник, но это не параллелограмм, потому что у него нет параллельных сторон от двух до двух. Он имеет только две параллели с четырех сторон. Прежде чем вы начнете их изучать, вы должны четко понимать концепцию симметрии.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

Свойство диагоналей равнобедренной трапеции

Симметрия слова исходит из греческого син, означающего в то же время, и от слова метрона, означающего измерение. Мы нарисуем красную половину бабочки, которая у вас внизу. Две половины бабочки симметричны, то есть две половины имеют те же самые меры. Если эта бабочка с красной линией, которую мы называем осью симметрии, у вас она была в бумаге, а в двойнике — осью или красной линией, вы бы точно это увидели.

Если мы прорубим ось симметрии и удалим обе половины, мы увидим. Есть некоторые, которые говорят, что две половины одинаковы, другие идентичны. Истина заключается в том, что одинаковые и идентичные становятся одинаковыми, но эти две половины должны сказать, что они симметричны относительно оси, то есть оси симметрии.

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

Мы не говорим, что эти две половины бабочки одинаковы, хотя, хотя размеры и формы равны, однако их положение на плоскости не одно и то же, это наоборот. Чтобы узнать, совпадают ли два куска картона, вы ставите один поверх другого, и если они совпадают во всех своих точках, мы скажем, что они одинаковы. Если каждая из двух половинок бабочки помещает один поверх другого, правда в том, что они совсем не совпадают.

Диагональ равнобедренной трапеции

Давайте посмотрим на следующий рисунок, который очень легко рисовать, просто линейка и ручка. Это примерно половина простого обелиска. Чтобы закончить, нам нужна другая половина, нам не хватает ее симметричности, а именно. Если обе стороны расположены друг напротив друга.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Мы приближаемся к ним, и по точкам объединения двух половин мы рисуем красную линию, которую мы оставили. Если этот рисунок был на листе бумаги, вы увидите, что при складывании листа по красной линии или оси симметрии линии с одной стороны соответствуют тем, что расположены на другой стороне.

Геометрический элемент имеет только положение, не имеет размеров, длины, ширины или толщины. Точка может быть графически представлена ​​падением. Помните, что представления представляют точку, но дело не в этом, так как точка на карте может представлять город, но это не город. Точки обычно обозначаются или идентифицируются столичной латинской буквой на стороне.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Положение линий в пространстве определяет их ориентацию: горизонтальную, вертикальную или наклонную. Параллельные линии — это прямые линии, которые, как бы долго они ни были, никогда не встречались, сохраняли одинаковое расстояние и никогда не пересекались. представляют собой две или более эквидистантные линии по всей длине.

Угол — это встреча двух прямых сегментов, ориентированных от общей точки. Пересечение между двумя сегментами называется вершиной угла, а стороны угла — двумя отрезками. Два угла являются последовательными, если одна сторона одного из них совпадает с одной стороной другого угла.

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Два соседних угла смежны, если у них нет общих внутренних точек. Эти линии определяют четыре угла. Углы, которые не смежны, противоположны вершине. Мы говорим, что два угла конгруэнтны, если они накладываются друг на друга, все их элементы совпадают. Два противоположных угла вершины всегда конгруэнтны.

Конгруэнтные углы имеют равные измерения и наоборот углы, которые имеют равные измерения, являются конгруэнтными. Из двух указанных углов мы можем получить третий угол, измерение которого соответствует сумме измерений заданных углов. Единицей измерения угла в Международной системе является радиан.

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями.

Диагонали и стороны трапеции

Угол в 360 градусов — это угол, который завершает круг. После этого полного оборота этот угол совпадает с углом нуля градусов, но имеет величину 360 градусов. Чтобы получить приблизительную меру угла, нанесенного на бумагу, мы используем инструмент, называемый транспортиром, который содержит отрезок прямой в его основании, представляет собой полукруг сверху, обозначенный единицами от 0 до.

Заметные элементы и стороны многоугольника, углы, вершины и диагонали. Регулярный многоугольник имеет равные стороны и углы. Четырехугольник многоугольник имеет четыре стороны, четыре вершины, четыре угла и две диагонали. Они четырехугольники: параллелограммы, трапеции и трапеция — четырехугольник, который имеет две параллельные стороны, которые являются основой трапеции.

Раздел 2. Четырехугольники

I
.
Справочные материалы.

1.
Трапеция, ее виды и свойства

Свойства
трапеции, которые часто используются
при решении задач:

1)
Диагонали трапеции разбивают её на
четыре треугольника с общей вершиной.
Площади треугольников, прилежащие к
боковым сторонам, равны.

2) В
любой трапеции середины оснований,
точка пересечения диагоналей и точка
пересечения прямых, на которой лежат
боковые стороны, лежат на одной прямой
(точки М, N, О и К).

Параллелограмм представляет собой четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны и конгруэнтны, а противоположные углы также конгруэнтны. Это параллелограммы: квадрат, прямоугольник, ромб и собственно параллелограмм. Трапеция: четырехугольник, который имеет две параллельные стороны, которые являются основой трапеции.

Теорема: свойство произвольной трапеции

Пентагон: многоугольник с пятью вершинами, пятью сторонами и пятью углами. Треугольник и многоугольник трех сторон, три угла и три вершины. Геометрический треугольник рисования равносторонний. Равносторонний треугольник — имеет три конгруэнтные стороны.

3) В
равнобокой трапеции углы при основании
равны.

4) В
равнобокой трапеции прямая, проходящая
через середины оснований, перпендикулярна
основаниям и является осью симметрии
этой трапеции,

Мы называем треугольник объединением отрезков, образованных ими. точек. Внешний угол — это сумма несмежных интерьеров. Равнобедренные: две стороны с равными мерами. Скалайн: не имеет сторон с равными мерами. В каждом треугольнике большая сторона выступает против большего угла.

Если угол вершины А равен 80 °, мера θ обозначенного угла равна. Большой угол треугольника. у нас есть: Периметр:! Архитектор. 4√2 км 3 км. Полученный сегмент параллелен третьей стороне и измеряется его половиной. то. Теорема Объединяя середины двух сторон любого треугольника.

5) В
равнобокой трапеции диагонали равны.

6) В
равнобокой трапеции высота, опущенная
на большее основание из конца меньшего
основания, делит его на два отрезка,
один из которых равен полуразности
оснований, а другой их полусумме.

Каждый выпуклый четырехугольник, имеющий противоположные конгруэнтные углы, является параллелограммом. Диагонали конгруэнтны и разрезаны пополам и конгруэнтны. Диагональ алмаза не является конгруэнтным. Диагонали находятся под углами внутренних углов. находятся в биссектрисах внутренних углов.

Средняя Линия Треугольника

Рассматривая множества параллелограммов. Каждый квадрат — как ромб, так и прямоугольник. Можно сказать, что: три прямоугольника имеют одинаковую площадь. Соотношение между количеством мужчин и женщин в промышленном подразделении составляет 7 для показанного рисунка. Будем изучать выпуклые многоугольники.

7) Во
всякой трапеции серединам боковых
сторон и середины диагоналей лежат на
одной прямой.

8) Во
всякой трапеции отрезок, соединяющий
середины диагоналей, параллелен
основаниям и равен полуразности
оснований.

Многоугольники получают различные наименования. Круг — это объединение окружности с ее внутренностью. Вычислите радиус этого круга. от высоты относительно наименьшей стороны € √. Фернандо. В 650 метрах от точки, где находится Фернандо. по прямой. в 350 метрах от отеля. Есть только один момент, когда вы можете одновременно слышать как Фернандо, так и Бруно. Жоао Гильерме и Бруно проиграли.

Фернандо достаточно кричит, что его можно услышать где угодно до 250 метров от того места, где он находится. также по прямой. Расстояние. Площадь треугольника равна 8 см². Таким образом. Ниже мы приводим краткое резюме и несколько упражнений с использованием теоремы Пифагора.

9) во
всякой трапеции сумма квадратов
диагоналей равна сумме квадратов боковых
сторон и удвоенного произведения
оснований.

10)
Трапецию можно вписать в окружность
тогда и только тогда, когда она равнобокая.

11)
Трапецию можно описать около окружности
тогда и только тогда, когда сумма
оснований равна сумме боковых сторон.

Наша цель в этой статье — показать применимость теоремы, ее важность в конструкциях посредством нескольких упражнений, которые решаются шаг за шагом. Отметим также, что из-за его важности теорема сильно заряжена в различных конкурсах. Итак, наслаждайтесь этой статьей, чтобы попрактиковаться и принять ваши сомнения.

Свойства средней линии трапеции

Теорема Пифагора; — Приложения; — Упражнения решены и многое другое. Утверждение теоремы Пифагора. В каждом прямоугольнике треугольника квадрат меры гипотенузы равен сумме квадратов мер ног. Бедра — это стороны правого угла, так как гипотенуза — это сегмент «спереди» под прямым углом.

2.Вписанные
и
o
писанные
четырёхугольники.

1)Если
четырёхугольник вписан в окружность,
то сумма противолежащих углов равна
180°.

Верно
и обратное: если сумма противолежащих
углов четырёхугольника равна 180°, то
около этого четырёхугольника можно
описать окружность.

2)Около
параллелограмма можно описать окружность
тогда и только тогда, когда этот
параллелограмм есть прямоугольник.

Это было краткое резюме по теореме Пифагора, существует гораздо больше теории на эту тему. Но теперь давайте применим то, что было представлено выше в вопросах конкуренции, этого достаточно для нашей цели. Заявления ниже, а затем резолюции. Мильор Фернандес, в прекрасном уважении к математике, написал стихотворение, из которого мы извлекаем фрагмент ниже.

На многие листы книги математики. Инкогнитой. Он посмотрел на нее своим бесчисленным взглядом и увидел ее от вершины до основания: странная фигура. ромбовидные глаза, трапециевидный рот, прямоугольное тело, синусы сфероида. Он сделал свою жизнь параллельной ей, пока они не встретились в Бесконечном. «Кто ты?» — спросил он с сильным рвением. Я — сумма квадратов хиксов. Инкогнита ошибалась, чтобы сказать, кто она. Чтобы соответствовать теореме Пифагора, она должна дать следующее. ответ.

3)Около
трапеции можно описать окружность, если
она равнобокая.

четырёхугольник
называется описанным около окружности,
если окружность касается всех его
сторон.

4)Если
четырёхугольник описан около окружности,
то суммы противолежащих сторон равны.

5)Если
в выпуклом четырёхугольнике суммы
противоположных сторон равны, то в этот
четырёхугольник можно вписать окружность.

3. Площади
четырёхугольников.

Площадь
выпуклого четырёхугольника равна
половине произведения диагоналей на
синус угла между ними.

Ромб

1.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны
и делят углы пополам.

2.
Площадь определяется формулами:

Параллелограмм

1.
Сумма квадратов диагоналей равна сумме
квадратов всех его сторон.

2. Площадь
определяется формулой

II
.
Дополнительные материалы

1)Свойства
вписанного выпуклого четырехугольника
.

а)В
выпуклом вписанном четырехугольнике
сумма противоположных углов равна двум
прямым

б)Обратно:
если в выпуклом четырехугольнике сумма
противоположных углов равна двум прямым,
то около него можно описать окружность

Доказательство.

а)
Пусть АВСD есть вписанный выпуклый
четырехугольник; требуется доказать„
что

Так как
сумма всех четырех углов сякого выпуклого
четырехугольника равна 4d,
то достаточно доказать только одно из
требуемых равенств.

докажем,
например, что

Углы В
и D как вписанные, измеряются:
первый-половиной дуги ADC,
второй- половиной дуги АВС;

Следовательно,
сумма

б) Пусть
АВСD есть такой выпуклый
четырехугольник, у которого

Через
какие-нибудь три его вершины, например,
через A,В и С, проведем
окружность (что всегда можно сделать).

Четвертая
вершина D должна находиться
на этой окружности, пoтoму
что в противном случае вершина угла В
лежала бы или внутри круга, или вне его,
и тогда этот угол не измерялся бы
половиной дуги АВС; поэтому cyммa
измерялась
бы полусуммой дуг ADC и АВС
и, значит, сумма Следствия

1) из
всех параллелограммов только вокруг
прямоугольника можно описать окружность.

2) около
трапеции можно описать окружность
только тогда, когда она равнобокая.

2)
Свойство описанного четырехугольника.

В описанном четырехугольнике суммы
противоположных сторон равны.

Пусть
АВСD будет описанный
четырехугольник, Т.е, стороны его касаются
окружности; требуется доказать, что
АВ+СВ=ВС+АD

Обозначим
точки касания буквами M,
N, Р и Q. Так
как две касательные, проведенные из
одной точки окружности, равны, то АМ.=АQ,
ВМ=ВN, CN=СР, DP=DQ.

Следовательно,
АМ+МВ+СР+РD=AQ+QD+BN+NC.
Т.е. АВ+СD=АD+ВС.

III
. Вводные задачи.

Задача 1.

Средняя линия трапеции ABCD
равна 15.
AD
– большее основание трапеции,
A

= 90°,
D

= 60°,
BAC

= 30°. Найдите длину стороны CD
.

В
ABC
(он прямоугольный) BC
=
– по свойству катета, лежащего против
угла в 30°.

BAC

= 30°, значит,
CAD
= 90° – 30° =
= 60°, следовательно, ∆ACD

равносторонний,
т. е. AC
= CD
= AD

= 2BC
.

Средняя линия MN
=
3BC
= 30,

BC
= 10, значит,
CD
= 2 · 10 = 20.

Ответ:
20.

Задача
2
.

Сторона AB
параллелограмма ABCD

равна а его диагонали равны 20 и
24. Найдите сторону BC
.

Для
любого выпуклого четырехугольника
справедливо

где
a
, b
, c
и d
– стороны
четырехугольника, а d
1 , d
2
– его диагонали.

В
параллелограмме

20 2 + 24 2 = 2(() 2
+ b
2), b
> 0; b
2 + 88 =
488,b
2 = 400, b
= 20.

Задача
3
.

Основания трапеции равны 4 и 10, а ее
боковые стороны – и 15. Найдите
косинус наименьшего угла этой трапеции.

1)
Проведем BM

CD
, значит,
BMA

=D
,
ВСDМ
– параллелограмм, так как ВМ

|| MD
, ВМ
|| СD
. Следовательно,
ВС
= MD
= 4,
BM
= CD
= 15, AM

= AD
MD
= 10 – 4 = 6.

2) В ∆AMB
против большей стороны
(выбирая из AB
и BM
) лежит больший
угол: AB
BM, значит,
BMA

A
.

Ответ: 0,8.

Задача 4.

Определите периметр равнобокой трапеции,
у которой длина меньшего основания
равна 7, диагонали перпендикулярны
боковым сторонам и равны
.

1)
Проведем в трапеции ABCD
высоту
CF
,
тогда

ACD
∼ ∆AFC
,

2) Пусть FD
= x
, тогда AF
= 7 + x

() 2 = (x
+ 7) (7 + 2x
),

36 · 2 = 49 + 21x
+ 2x
2 ,

2x
2 + 21x
– 23 = 0,

D
= 21 2 + 4 · 2 · 23 = 625,

х
1,2 =

3) Итак, AD
= 7 +2 = 9;

P
= 9 + 7 + 2 · 3 = 22.

Ответ:
22.

Задача 5.

В ромбе высота, проведенная из вершины
тупого угла, делит сторону ромба пополам.
Найдите периметр и высоту ромба, если
меньшая диагональ его равна 7

1)
В треугольнике ABD
BK
– высота и
медиана, значит, ∆ABD
-равнобедренный
с основанием AD
, т. е. AB
= BD
= 7
см. Тогда ∆ABD
-равносторонний, значит,
A

=
ABD

=
BDA

= 60°.

2) P
= 4AB
= 4 · 7 = 28 (см).

3)
BKD

– прямоугольный, BK
= AD
sin
BDK
.

BK
= 7 · sin 60° = (см). Ответ:

28 см; 3,5 см.

Задача 6.

Основание AB
трапеции ABCD
вдвое
длиннее основания CD
и вдвое длиннее
боковой стороны AD
. Длина диагонали
AC
равна 12, длина боковой стороны BC

равна 5. Найдите площадь трапеции.

1)
По условию AB
= 2AD
= 2DC
.

Пусть
M
– середина AB
, тогда AM
= MB

= CM
,
т. е. CM
– медиана треугольника
ABC
и CM
= AB
, значит, ∆ABC

прямоугольный с гипотенузой AB
.Вершина C параллелограмма
ABCD соединена с точкой N
на стороне AB. Отрезок CN
пересекает диагональ BD
в точке P. Площадь
треугольника BNP равна 8,
а площадь треугольника BCP
равна 12. Найдите площадь параллелограмма
ABCD.

1)
Треугольники BNP и BPC
имеют общую высоту BH=>

SBNP/SBPC=PN/PC=>PN/NC=2/3;

2)
Треугольники BPN и DPC
подобны по

двум
углам => SBPN/SDPC=(PN/PC) 2

SDPC=9/4;
SBPN
= (9/4)·8=18;

3)
SBCD=SBPC+SDPC=12+18=30;

4)
SABCD=2·SBCD=60;
Ответ: 60

На стороне AB параллелограмма
ABCD, как на диаметре,
построена окружность, проходящая через
точку пересечения диагоналей и середину
стороны AD. Найдите углы
параллелограмма.

Р

ешение:

1) По
условию, AB – диагональ=>
ABCD – ромб

    P – середина АВ: по условию
    Q – середина AD=>PQ
    – средняя линия ∆ABD=BD=2PQ;PQ=R=>BD=2R;

    PO=R – средняя
    линия ∆АBD=>AD=2·PO=R

    ∆ABD – правильный =>

Ответ:
60 o и 120 o .

Угол между сторонами АВ и СD четырехугольника
ABCD=φ. Докажите, что AD 2 =AB 2 +BC 2 +CD 2 -2(AB·BCcosB
+ BC·CDcosC+CD·ABcosφ)

По
теореме косинусов AD 2 =AC 2 +CD 2 -2AC·CD·cosACD
и AC 2 =AB 2 +BC 2 -2AB·BCcosB. A
так как длина проекции отрезка АС на
прямую l
, перпендикулярную CD, равна
сумме длин проекций отрезков АВ и ВС на
прямую l, то ACcosACD=ABcosφ+BCcosC

V

.Задачи для
самостоятельного решения

№1. Докажите, что если ABCD прямоугольник,
а Р- произвольная точка, то

АР 2 +СР 2 =DP 2 +BP 2

№2. Перпендикуляр, опущенный из вершины
параллелограмма на диагональ, делит
ее на отрезки длиной 6 и 15. Найдите
большую сторону параллелограмма, если
известно, что разность сторон равна 7.

№3. Одно из оснований трапеции равно
24, а расстояние между серединами
диагоналей 4. найдите другое основание.

№4. Длины оснований равнобедренной
трапеции относятся как 5:12, а длина ее
высоты равна 17. Найдите радиус окружности,
описанной около трапеции, если средняя
линия равна высоте.

№5. В трапеции ABCD диагональ АС
перпендикулярна боковой стороне СD.
Окружность, описанная возле треугольника
АВС, касается прямой CD, пересекает
основание AD в точке М. Найдите площадь
трапеции АBCD, если АМ=8, СМ=4.

№6. Окружность, центр которой лежит
внутри квадрата PQRS, касается стороны
PQ в точке К, пересекает сторону PS в точках
А и В, а диагональ PR в точках С и D. Найдите
радиус окружности, если АВ=16, СD=2√92

№7. В параллелограмме ABCD угол АВС=3п/4.
окружность, описанная возле треугольника
АВD, касается прямой CD. Найдите площадь
параллелограмма, если диагональ BD=2

№8. Вершина С параллелограмма ABCD соединена
с точкой N на стороне АВ. Отрезок CN
пересекает диагональ BD в точке Р. Площадь
треугольника BNP равна 8, а S ВСР =12.
Найдите площадь параллелограмма АВСD.

№9.
Найдите площадь трапеции, основания
которой 6 и 26, а боковые стороны – 12 и
16.

Ответ:
153,6

№10. На
стороне АВ параллелограмма АВСD как на
диаметре построена окружность, проходящая
через точку пересечения диагоналей и
середину стороны АD. Найдите углы
параллелограмма.

Ответ:
60,120,60,120.

VI
.
Контрольные задачи.

Вариант № 1.

1) В равнобедренную трапецию, площадь
которой равна 80, вписана окружность
радиуса 4. Найдите периметр трапеции.

2) Найдите диаметр окружности, вписанной
в равнобедренную трапецию, если сумма
оснований трапеции 26, а разность оснований
равна 10.

3)В параллелограмме АВСД биссектриса
угла С пересекает сторону АД в точке М
и прямую АВ в точке К. Найдите периметр
параллелограмма, если АК = 12, СМ = 24, МК =
18.

Вариант
№ 2.

1) В круг с площадью 169π вписана
равнобедренная трапеция, меньшее
основание которой равно 10. найдите
площадь трапеции, если центр описанного
круга лежит на её большем основании.

2) Найдите диаметр окружности, вписанной
в равнобедренную трапецию, если сумма
оснований трапеции 15, а разность оснований
равна 9.

3)В параллелограмме АВСД биссектриса
угла Д пересекает сторону АВ в точке К
и прямую ВС в точке Р. Найдите периметр
∆ СДР, если ДК = 18, РК = 24, АД=15.

Вариант
№ 3.

1) В равнобедренную трапецию, площадь
которой 20, а синус одного из углов равен
0,8, вписана окружность. Найдите радиус
этой окружности.

2) Основание СМ и ОР трапеции СМОР равны
3 и 6 соответственно, диагонали трапеции
пересекаются в точке Н, а площадь
треугольника СРН равна 4. Найдите площадь
трапеции.

3)В параллелограмме АВСД биссектриса
угла С пересекает сторону АД в точке М
и прямую АВ в точке К. Найдите периметр
∆ АМК, если СД = 12, СМ = 14, СВ = 30.

Вариант
№ 4.

1) Найдите площадь равнобедренной
трапеции, если её высота равна 4, а тангенс
угла между диагональю и основанием
равен
.

2) В равнобедренную трапецию, площадь
которой равна 80, вписана окружность
радиуса 4. Найдите периметр трапеции.

решении
задач

  • Пояснительная записка 3 стр. Общие положения 3 стр. Общая характеристика учебного предмета. 3 стр. Цели и задачи изучения геометрии в основной школе 4 стр

    Пояснительная записка

    8 44 Решение
    задач
    по теме «Трапеция
    ». Комбинированный урок Закрепление знаний о свойствах
    и признаках параллелограмма и трапеции
    при
    решении
    задач
    . Знать…

  • Многоугольник, выпуклый многоугольник, четырехугольник. Параллелограмм, его свойства и признаки. Трапеция. Прямоугольник, ромб, квадрат, их свойства. Осевая и

    Реферат

    Обоснование которой
    не… трапеции
    , виды
    трапеций
    , формулировки свойств
    и признаков параллелограмма и равнобедренной трапеции
    , уметь их доказывать и применять при
    решении
    задач
    … площади прямоугольника и использовать
    ее
    при
    решении
    задач
    типа 447 – …

  • «Использование тригонометрии при решении планиметрических задач»

    Реферат

    … ; 4) при
    решении
    практических задач
    . 5.1. Решение
    задач
    методом площадей. Задача1. Площадь равнобочной трапеции
    равна, угол между ее
    диагоналями.\circ\)
    .

    2) Т.к. \(AD\parallel BC\)
    и \(BD\)
    – секущая, то \(\angle DBC=\angle
    BDA\)
    как накрест лежащие.
    Также \(\angle BOC=\angle AOD\)
    как вертикальные.
    Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\)
    .

    Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\)
    . Пусть \(h\)
    – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot
    AD=S_{\triangle ACD}\)
    . Тогда: \

    Определение

    Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

    Теорема

    Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

    Доказательство*

    1) Докажем параллельность.

    Проведем через точку \(M\)
    прямую \(MN»\parallel AD\)
    (\(N»\in CD\)
    ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN»\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)
    ) точка \(N»\)
    — середина отрезка \(CD\)
    . Значит, точки \(N\)
    и \(N»\)
    совпадут.

    2) Докажем формулу.

    Проведем \(BB»\perp AD, CC»\perp AD\)
    . Пусть \(BB»\cap MN=M», CC»\cap
    MN=N»\)
    .

    Тогда по теореме Фалеса \(M»\)
    и \(N»\)
    — середины отрезков \(BB»\)
    и \(CC»\)
    соответственно. Значит, \(MM»\)
    – средняя линия \(\triangle
    ABB»\)
    , \(NN»\)
    — средняя линия \(\triangle DCC»\)
    . Поэтому: \

    Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\)
    и \(BB», CC»\perp AD\)
    , то \(B»M»N»C»\)
    и \(BM»N»C\)
    – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\)
    и \(AM=MB\)
    следует, что \(B»M»=M»B\)
    . Значит, \(B»M»N»C»\)
    и \(BM»N»C\)
    – равные прямоугольники, следовательно, \(M»N»=B»C»=BC\)
    .

    Таким образом:

    \
    \[=\dfrac12 \left(AB»+B»C»+BC+C»D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

    Теорема: свойство произвольной трапеции

    Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

    Доказательство*

    С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

    1) Докажем, что точки \(P\)
    , \(N\)
    и \(M\)
    лежат на одной прямой.

    Проведем прямую \(PN\)
    (\(P\)
    – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\)
    – середина \(BC\)
    ). Пусть она пересечет сторону \(AD\)
    в точке \(M\)
    . Докажем, что \(M\)
    – середина \(AD\)
    .

    Рассмотрим \(\triangle BPN\)
    и \(\triangle APM\)
    . Они подобны по двум углам (\(\angle APM\)
    – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\)
    как соответственные при \(AD\parallel BC\)
    и \(AB\)
    секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

    Рассмотрим \(\triangle CPN\)
    и \(\triangle DPM\)
    . Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\)
    – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\)
    как соответственные при \(AD\parallel BC\)
    и \(CD\)
    секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

    Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\)
    . Но \(BN=NC\)
    , следовательно, \(AM=DM\)
    .

    2) Докажем, что точки \(N, O, M\)
    лежат на одной прямой.

    Пусть \(N\)
    – середина \(BC\)
    , \(O\)
    – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\)
    , она пересечет сторону \(AD\)
    в точке \(M\)
    . Докажем, что \(M\)
    – середина \(AD\)
    .

    \(\triangle BNO\sim \triangle DMO\)
    по двум углам (\(\angle OBN=\angle
    ODM\)
    как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\)
    и \(BD\)
    секущей; \(\angle BON=\angle DOM\)
    как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

    Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\)
    . Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

    Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\)
    . Но \(BN=CN\)
    , следовательно, \(AM=MD\)
    .

    \[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

    Определения

    Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

    Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

    Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

    1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

    2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

    3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

    Доказательство

    1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\)
    .

    Из вершин \(B\)
    и \(C\)
    опустим на сторону \(AD\)
    перпендикуляры \(BM\)
    и \(CN\)
    соответственно. Так как \(BM\perp AD\)
    и \(CN\perp AD\)
    , то \(BM\parallel CN\)
    ; \(AD\parallel BC\)
    , тогда \(MBCN\)
    – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\)
    .

    Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\)
    и \(CDN\)
    . Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\)
    равен катету \(CN\)
    , то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\)
    .

    2)

    Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\)
    – общая, то по первому признаку . Следовательно, \(AC=BD\)
    .

    3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\)
    , то \(\angle BDA=\angle CAD\)
    . Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\)
    – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\)
    – равнобедренный.

    Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

    1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

    2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

    Доказательство

    Рассмотрим трапецию \(ABCD\)
    , такую что \(\angle A = \angle D\)
    .

    Достроим трапецию до треугольника \(AED\)
    как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\)
    , то треугольник \(AED\)
    равнобедренный и \(AE
    = ED\)
    . Углы \(1\)
    и \(3\)
    равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\)
    и \(BC\)
    и секущей \(AB\)
    . Аналогично равны углы \(2\)
    и \(4\)
    , но \(\angle 1 = \angle 2\)
    , тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 =
    \angle 4\)
    , следовательно, треугольник \(BEC\)
    тоже равнобедренный и \(BE = EC\)
    .

    В итоге \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\)
    , то есть \(AB = CD\)
    , что и требовалось доказать.

    2) Пусть \(AC=BD\)
    . Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\)
    , то обозначим их коэффициент подобия за \(k\)
    . Тогда если \(BO=x\)
    , то \(OD=kx\)
    . Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\)
    .

    Т.к. \(AC=BD\)
    , то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\)
    . Значит \(\triangle AOD\)
    – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\)
    .

    Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\)
    (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)
    – общая). Значит, \(AB=CD\)
    , чтд.

    — [ Страница 2 ] —

    3. Обсудить устно решения задач 1, 2, 3, приведённые в учебнике.

    В связи с необходимостью проводить постоянную работу по развитию устной речи учащихся следует требовать от них не только построения сечений в рассматриваемых задачах, но и устного рассказа о ходе построения с соответствующими обоснованиями.

    Для краткости записи решений можно использовать известную символику.

    Более сложные задачи на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда, когда данные точки, через которые проводится сечение, лежат внутри граней, могут быть рассмотрены на факультативных занятиях и спец курсах.

    Для классной и домашней работы можно использо вать задачи 74, 75, 79-87, дополнительные задачи к главе I.

    Задача 105. Изобразите тетраэдр DABC и отметьте точки M и N на р брах BD и CD и внутреннюю точку K грани ABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

    Р е ш е н и е. Обозначим секущую плоскость буквой.

    Тогда M, N, M CDB, N CDB, CDB = MN.

    Возможны два случая: 10) MN BC = P; 20) MN BC.

    Рассмотрим их раздельно.

    10) Проводим прямую MN. P, K, P ABC, K ABC, ABC = PK. Проводим прямую PK. Пусть она пересе кает стороны AC и AB в точках E и F. Проводим отрез ки NE и MF. Искомое сечение — четыр хугольник MNEF (рис. 1.31).

    20) Через точку K проводим EF BC. Проводим отрез ки NE и MF. Искомое сечение — четыр хугольник MNEF.

    Задача 85. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью BKL, где K — середина ребра AA1, а L — середина CC1.

    Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.

    Р е ш е н и е. Проведем отрезок KL. Согласно аксиоме А2 он лежит в плоскости сечения.

    Так как точки K и L — середины боковых р бер, то отрезок KL проходит через середину диагонали AC1, а по этому согласно свойству 20 параллелепипеда (п. 13) он проходит через середину диагонали BD1 (точка O на ри сунке 1.32).

    B, O, следовательно, BD1. Искомое сечение — четырехугольник BLD1K. Так как его диагонали KL и BD1 точкой пересечения делятся пополам, то четыр х угольник BLD1K — параллелограмм.

    – &nbsp– &nbsp–

    1. Объясните, как построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через данные точки M, N, K.

    2. В задачах 1-3 найдите периметр сечения, если M, N, K — середины р бер и каждое ребро тетраэдра равно a.

    – &nbsp– &nbsp–

    1. Объясните, как построить сечение куба плоско стью, проходящей через три данные точки, являющие ся либо вершинами куба, либо серединами его р бер (три данные точки на рисунках выделены).

    2. В задачах 1-4 и 6 найдите периметр сечения, если ребро куба равно a. В задаче 5 докажите, что AE = 1 a.

    – &nbsp– &nbsp–

    1. Объясните, как построить сечение параллелепи педа плоскостью, проходящей через точки B, D и M, если M — середина ребра B1C1.

    2. Докажите, что построенное сечение есть равно бедренная трапеция.

    3. Найдите стороны трапеции.

    Р е ш е н и е.

    1) Пусть — секущая плоскость, ABCD = BD, BCC1B1 = BM, MN BD, сечение — трапеция BDNM.

    2) BB1M = DD1N, BM = DN, трапеция BDNM рав нобедренная.

    – &nbsp– &nbsp–

    При решении задач, связанных с сечением тетраэдра некоторой плоскостью, часто оказывается полезной теорема Менелая, в некоторых других задачах — теорема Чевы. Поэтому в классах с углубл нным изучением математики изучение пункта 14 «Задачи на построение сечений» целесообразно совместить с изучением теорем Менелая и Чевы (пункты 95 и 96). Привед м пример такой задачи.

    Задача 1. В тетраэдре ABCD на р брах AB, AD и BC взяты соответственно точки K, L и M так, что AK: KB = = 2: 3, AL = LD, BM: MC = 4: 5.

    Постройте сечение тетраэдра плоскостью KLM и найдите, в каком отношении эта плоскость делит ребро CD.

    Р е ш е н и е.

    1) Провед м отрезки KL и KM, а затем продолжим отрезки KL и BD, лежащие в плоскости ABD, до пересечения в точке E (рис. 1.33). Точки E и M лежат в секущей плоскости KLM и также в плоскости BCD.

    Проведя отрезок ME, получим точку N, в которой секущая плоскость KLM пересекается с ребром CD.

    Четыр хугольник KLNM — искомое сечение.

    2) Найд м отношение CN: ND. С этой целью применим теорему Менелая к треугольникам ABD и BCD. На сторонах AB и AD треугольника ABD лежат точки K и L, а на продолжении стороны BD — точка E, прич м точки K, L и E лежат на одной прямой. Поэтому согласно теореме Менелая имеет место равенство

    AK BE DL

    = 1.

    KB ED LA

    – &nbsp– &nbsp–

    MC BE находим искомое отношение CN: ND = 15: 8.

    С целью использования теоремы Менелая в задаче 105 учебника можно дать дополнительное задание:

    Найдите отношение, в котором плоскость MNK делит ребро AB, если CN: ND = 2: 1, BM = MD и точка K — середина медианы AL треугольника ABC. (Ответ: 3: 2.) Аналогичное дополнительное задание можно дать в задаче 106:

    Найдите отношение, в котором плоскость MNK делит ребро BC, если она делит ребро AB в отношении 1: 4 (считая от точки A), точка K — середина ребра CD, а точка N лежит на медиане DL треугольника ACD, при ч м DN: NL = 3: 2. (Ответ: 4: 3.) На применение теоремы Чевы можно рассмотреть сле дующую задачу:

    Задача 2. На р брах AB, BC и CA тетраэдра ABCD от мечены точки C1, A1, B1 так, что AC1: C1B = 1: 2, BA1: A1C = 2: 3, CB1: B1A = 3: 1.

    Докажите, что плоскости ADA1, BDB1 и CAC1 пересекаются по прямой.

    – &nbsp– &nbsp–

    1. Повторить основные вопросы темы «Параллельность прямых и плоскостей», заслушав ответы учащихся. Эти вопросы сформулированы в карточках к зач ту № 1.

    2. Провести математический диктант № 1.1. Диктант привед н в дидактических материалах .

    3. Рассмотреть решения некоторых задач из карточек к зач ту и из учебника.

    Изучение темы «Параллельность прямых и плоскос тей» завершается проведением контрольной работы № 1.2 и зач та № 1 по данной теме.

    – &nbsp– &nbsp–

    Контрольная работа № 1.2 Вариант 1

    10. Прямые a и b лежат в параллельных плоскостях и. Могут ли эти прямые быть: а) параллельными;

    20. Через точку O, лежащую между параллельными плоскостями и, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости и в точках A1 и A2 соответст венно, прямая m — в точках B1 и B2. Найдите длину от резка A2B2, если A1B1 = 12 см, B1O: OB2 = 3: 4.

    3. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и по стройте его сечение плоскостью, проходящей через точ ки M, N и K, являющиеся серединами р бер AB, BC и DD1.

    Вариант 2

    10. Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях и. Могут ли эти прямые быть: а) параллельными;

    б) скрещивающимися? Сделайте рисунок для каждого возможного случая.

    20. Через точку O, не лежащую между параллельны ми плоскостями и, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости и в точках A1 и A2 соответст венно, прямая m — в точках B1 и B2. Найдите длину от резка A1B1, если A2B2 = 15 см, OB1: OB2 = 3: 5.

    3. Изобразите тетраэдр DABC и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M и N, являющие ся серединами р бер DC и BC, и точку K, такую, что K DA, AK: KD = 1: 3.

    О т в е т ы:

    Вариант 2 Вариант 1

    10. Рис. 1.35, a b, a b.

    10. Рис. 1.34, a b, a b.

    3. Сечение — трапеция.

    3. Сечение — пятиугольник.

    Рис. 1.34 Рис. 1.35

    Урок № 24 Зач т № 1. Параллельность прямых и плоскостей Карточка 1

    1. Сформулируйте аксиомы А1, А2 и А3 стереометрии.

    Сформулируйте и докажите следствия из аксиом.

    2. Докажите, что через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, парал лельная данной, и притом только одна.

    3. Плоскость пересекает стороны AB и AC треуголь ника ABC соответственно в точках B1 и C1. Известно, что BC, AB: B1B = 5: 3, AC = 15 см. Найдите AC1.

    Карточка 2

    1. Сформулируйте определение параллельных прямой и плоскости. Сформулируйте и докажите теорему, выра жающую признак параллельности прямой и плоскости.

    2. Докажите, что если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая пря мая пересекает эту плоскость.

    3. Каждое ребро тетраэдра DABC равно 2 см. По стройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки B, C и середину ребра AD. Вычислите периметр сечения.

    Карточка 3

    1. Сформулируйте определение скрещивающихся пря мых. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак скрещивающихся прямых.

    2. Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

    3. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки A, C и M, где M — середина ребра A1D1.

    Карточка 4

    1. Сформулируйте определение параллельных плоскос тей. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую признак параллельности двух плоскостей.

    2. Докажите, что через каждую из двух скрещиваю щихся прямых проходит плоскость, параллельная дру гой прямой, и притом только одна.

    3. ABCDA1B1C1D1 — куб, ребро которого 4 см. Построй те сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, D1 и M, где M — середина ребра BC. Вычислите пери метр сечения.

    Карточка 5

    1. Докажите, что противоположные грани паралле лепипеда параллельны и равны.

    2. Докажите, что если стороны двух углов соответ ственно сонаправлены, то такие углы равны.

    3. Параллельные плоскости и пересекают сторону AB угла BAC соответственно в точках A1 и A2, а сторону AC этого угла соответственно в точках B1 и B2. Найдите AA1, если A1A2 = 6 см, AB2: AB1 = 3: 2.

    Карточка 6

    1. Докажите, что диагонали параллелепипеда пересе каются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

    2. Докажите, что если две параллельные плоскос ти пересечены третьей, то линии их пересечения парал лельны.

    3. Точка C лежит на отрезке AB. Через точку A про ведена плоскость, а через точки B и C — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках B1 и C1. Найдите длину отрезка BB1, если AC: CB = 4: 3, CC1 = 8 см.

    1. Карточки к зач ту, содержащие основные вопросы теории и некоторые типичные задачи, даются учащимся заблаговременно (примерно за две недели до проведения зач та).

    2. Готовясь к зач ту, учащиеся делают какие то запи си. Эти записи (возможно, в виде черновиков), свиде тельствующие о повторении учебного материала и подго товке к зач ту, учащиеся показывают учителю в день проведения зач та. Они могут быть использованы на зач те. При этом на основе беседы и дополнительных вопросов учитель выясняет глубину усвоения темы учащимися.

    3. Зач т проводит учитель с помощью наиболее под готовленных учащихся — консультантов. Для этого класс нужно разделить на несколько групп, в каждой из которых 4-5 учеников. Один из них является помощни ком учителя в проведении зач та. По предыдущим уро кам и в начале зач та учитель должен убедиться в том, что консультанты сами на хорошем уровне владеют учеб ным материалом.

    4. В течение урока учитель вед т опрос многих уча щихся. В конце урока он утверждает оценки, выставлен ные консультантами. В отдельных случаях после урока учитель может проверить записи учащихся, выполнен ные на уроке, и после этого выставить окончательную оценку по зач ту.

    5. Итоговую оценку за полугодие учитель выставляет на основе текущих оценок за самостоятельные и конт рольные работы, а также устного ответа учащихся.

    Решающая роль при этом принадлежит оценке по зач ту.

    П Е Р П Е Н Д И К УЛ Я Р Н О С Т Ь П Р Я М Ы Х

    И ПЛОСКОСТЕЙ

    § 1. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ

    И ПЛОСКОСТИ

    – &nbsp– &nbsp–

    Основные задачи урока Ввести понятие перпендикулярных прямых в простран стве, доказать лемму о перпендикулярности двух парал лельных прямых к третьей прямой, дать определение перпендикулярности прямой и плоскости, доказать теоре мы, в которых устанавливается связь между параллель ностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

    1. Напомнить понятие угла между двумя скрещиваю щимися прямыми, ввести понятие перпендикулярности двух прямых в пространстве. Отметить, что перпенди кулярные прямые могут пересекаться и могут быть скре щивающимися (см. рис. 43 учебника).

    2. Доказать л е м м у: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

    Доказательство основано на использовании понятия угла между прямыми и может быть проведено самими учащимися с опорой на текст и рисунок 44 учебника.

    3. Сформулировать определение перпендикулярности прямой и плоскости. Ввести обозначение a. Проил люстрировать понятие перпендикулярности прямой и плоскости с помощью рисунка 45 и примеров из жизни.

    4. Доказать т е о р е м у: если одна из двух параллель ных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

    Доказательство теоремы несложное. Оно основано на определении перпендикулярности прямой и плоскости и рассмотренной выше лемме и состоит из двух этапов:

    1) x, x — произвольная прямая. Из условия a следует (по определению перпендикулярности прямой и плоскости), что a x;

    2) так как a1 a (по условию) и a x, то (согласно лемме о перпендикулярности двух параллельных пря мых к третьей прямой) a1 x.

    Итак, прямая a1 перпендикулярна к произвольной прямой x, лежащей в плоскости. А это означает, что a1.

    5. Доказать о б р а т н у ю т е о р е м у: если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

    Доказательство проводится по учебнику (см. рис. 47, а, б). Повторить это доказательство можно на следующих уроках.

    На первый взгляд может показаться странным, поче му эта теорема названа обратной предыдущей теореме.

    Ведь в предыдущей теореме условие состояло в том, что a a1 и a, а заключением теоремы было: a1. В дан ной теореме условие состоит в том, что a и a1, а заключение — в том, что a a1.

    Таким образом, с формальной точки зрения данная теорема не является обратной предыдущей, поскольку условие и заключение данной теоремы не совпадают со ответственно с заключением и условием предыдущей тео ремы. Тем не менее можно так сформулировать эти тео ремы, что каждая из них будет обратной другой.

    Привед м эту формулировку.

    Пусть прямая a перпендикулярна к плоскости. Тогда:

    если a a1, то a1, и обратно:

    если a1, то a a1.

    6. Для классной и домашней работы можно исполь зовать задачи 116-118, 120.

    Задача 116 а). Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

    Докажите, что DC B1C1 и AB A1D1, если BAD = 90°.

    Р е ш е н и е.

    1) В параллелепипеде все грани — параллелограммы. Так как BAD = 90° (по условию), то грань ABCD — прямоуголь ник, поэтому AB AD и DC BC (рис. 2.1).

    2) B1C1 BC (так как грань BB1C1C — параллелограмм) и BC DC. Отсюда по лемме о перпендикулярности двух па раллельных прямых к треть ей B1C1 DC. Рис. 2.1

    3) Аналогично доказывает ся, что AB A1D1. Действитель но, A1D1 AD (так как AA1D1D — параллелограмм) и AB AD, по этому AB A1D1.

    Задача 120. Через точку O пересечения диагоналей квад рата со стороной a проведена прямая OK, перпендикуляр ная к плоскости квадрата.

    Найдите расстояние от точки K до вершин квадрата, если Рис. 2.2 OK = b.

    Р е ш е н и е.

    2) Треугольники KAO, KBO, KCO и KDO равны по двум катетам, откуда KA = KB = KC = KD (рис. 2.2).

    KAO получаем AO = a 2. Так как KA =

    – &nbsp– &nbsp–

    Урок № 26 Тема урока: Признак перпендикулярности прямой и плоскости Основные задачи урока Изучить теорему, выражающую признак перпендику лярности прямой и плоскости; рассмотреть задачи на применение этой теоремы.

    Примерный план проведения урока

    1. Повторить теоретический материал предыдущего урока пут м опроса учащихся.

    2. В качестве подготовительной работы к изучению нового материала решить задачу 119.

    Задача 119. Прямая OA перпендикулярна к плоскос ти OBC, и точка O является серединой отрезка AD.

    Докажите, что: а) AB = DB; б) AB = AC, если OB = OC;

    в) OB = OC, если AB = AC.

    Р е ш е н и е.

    а) OA OBC по условию, следовательно, OA OB по определению перпендикулярности прямой к плоскости.

    OA = OD по условию задачи, поэтому прямая OB являет ся серединным перпендикуля ром к отрезку AD, и, следова тельно, AB = DB (рис. 2.3).

    б) Так как по условию OA OBC, то OA OC. Если OB = OC, то прямоугольные треугольники AOC и AOB равны по двум катетам, и, следовательно, равны их ги потенузы, т. е. AB = AC.

    в) Если AB = AC, то прямо угольные треугольники AOC и Рис. 2.3 AOB равны по катету и гипотену зе, откуда следует, что OB = OC.

    3. Доказать теорему, выражающую п р и з н а к п е р п е н д и к у л я р н о с т и п р я м о й и п л о с к о с т и: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся пря мым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

    В процессе доказательства теоремы выделяются сле дующие этапы:

    1) Вначале рассматриваем случай, когда прямая a про ходит через точку O пересечения прямых p и q, лежа щих на плоскости. Доказываем, что прямая a перпен дикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости и про ходящей через точку O.

    2) Используя лемму о перпендикулярности двух па раллельных прямых к третьей, делаем вывод о перпен дикулярности прямой a к любой прямой, лежащей в плоскости. Это означает, что a.

    3) Рассматриваем теперь случай, когда прямая a не проходит через точку O пересечения p и q. В этом слу чае проводим через точку O прямую a1, параллельную пря мой a. В силу упомянутой леммы a1 p и a1 q, и поэто му согласно доказанному в первом случае a1. Отсю да по первой теореме п. 16 следует, что a. Это завершает доказательство теоремы.

    4. В связи с тем что доказательство теоремы состоит из нескольких этапов, можно предложить учащимся за писать план доказательства в соответствии с содержани ем слайда 2.1.

    Слайд может быть использован при подведении ито гов данного урока и на следующем уроке.

    5. Для классной и домашней работы можно использо вать задачи 121, 124, 126, 128.

    Задача 128. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая OM так, что MA = MC, MB = MD. Докажите, что прямая OM перпен дикулярна к плоскости параллелограмма.

    – &nbsp– &nbsp–

    1. Сформулируйте определение перпендикулярно сти прямой и плоскости.

    2. Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

    – &nbsp– &nbsp–

    Р е ш е н и е.

    1) Так как MA = MC (по усло вию) и AO = OC (диагонали па раллелограмма точкой пересе чения делятся пополам), то отрезок MO — медиана равно бедренного треугольника AMC (рис. 2.4).

    Следовательно, MO также высота этого треугольника, т. е.

    2) Аналогично доказывается, Рис. 2.4 что MO BD.

    3) Так как MO AC и MO BD, то по признаку пер пендикулярности прямой и плоскости MO ABCD.

    Урок № 27 Тема урока: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости Основные задачи урока Повторить доказательство теоремы, выражающей при знак перпендикулярности прямой и плоскости; рассмот реть теорему из п. 18: через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоско сти, и притом только одна.

    Примерный план проведения урока

    1. Повторить доказательство теоремы, выражающей признак перпендикулярности прямой и плоскости.

    2. Проверить выборочно решения задач из домашней работы.

    3. Сформулировать т е о р е м у: через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

    Наглядно утверждение теоремы представляется впол не очевидным, однако строгое ее доказательство не явля ется простым.

    Учащимся, проявляющим повышенный интерес к ма тематике, можно предложить разобрать доказательство дома самим по учебнику. При этом следует обратить их внимание на то, что в первой части доказательства вво дится в рассмотрение плоскость, проходящая через данную точку M и перпендикулярная к данной прямой a.

    Существование такой плоскости доказано в задаче с ре шением, привед нной в п. 17, а единственность такой плоскости доказана в задаче 133, которая также дана с решением. Таким образом, полное доказательство данной теоремы весьма громоздко, и поэтому учитель по своему усмотрению может изложить его с той или иной степе нью полноты в зависимости от уровня класса. Отдельные фрагменты доказательства (задача из п. 17, задача 133) можно рассмотреть на уроках № 28-30, посвящ нных повторению теории и решению задач по теме.

    4. Провести фронтальный опрос учащихся, используя слайд 2.2.

    – &nbsp– &nbsp–

    5. Для классной и домашней работы можно исполь зовать задачи 122, 123, 125, 127.

    Задача 122. Прямая CD перпендикулярна к плоско сти правильного треугольника ABC. Через центр O это го треугольника проведена прямая OK, параллельная прямой CD. Известно, что AB = 16 3 см, OK = 12 см, CD = 16 см. Найдите расстояния от точек D и K до вер шин A и B треугольника.

    Р е ш е н и е.

    1) По условию задачи OK CD, следовательно, OK ABC (рис. 2.5).

    2) Точка O — центр правильного треугольника ABC, следовательно, OA = OB = OC = AB = 16 см.

    – &nbsp– &nbsp–

    Уроки № 28-30 Тема уроков: Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости. Повторение вопросов теории Основные задачи уроков Выработать навыки решения основных типов задач на перпендикулярность прямой и плоскости, повторить во просы теории.

    1. Повторить вопросы теории в ходе опроса учащихся (пп. 15-18).

    2. Решить выборочно задачи 129-137, использовать вопросы 1-9 к главе II.

    3. Рассмотреть частично или полностью доказатель ство теоремы из п. 18.

    4. Можно использовать задачи из дидактических ма териалов .

    5. Можно провести математический диктант (№ 2 в дидактических материалах ).

    6. Полезна работа на уроке со слайдом 2.3.

    На уроке № 30 проводится самостоятельная работа.

    Самостоятельная работа № 2.1 Вариант 1

    10. Д а н о: AB, M и K — произвольные точки плос кости. Докажите, что AB MK.

    2. Треугольник ABC правильный, точка O — его центр. Прямая OM перпендикулярна к плоскости ABC.

    а)0 Докажите, что MA = MB = MC.

    б) Найдите MA, если AB = 6 см, MO = 2 см.

    – &nbsp– &nbsp–

    Вариант 2

    10. Д а н о: прямая MA перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Докажите, что MA BC.

    2. Четыр хугольник ABCD — квадрат, точка O — его центр. Прямая OM перпендикулярна к плоскости квад рата.

    а)0 Докажите, что MA = MB = MC = MD.

    б) Найдите MA, если AB = 4 см, OM = 1 см.

    Ответы:

    В а р и а н т 1.

    В а р и а н т 2.

    Задача 129. Прямая AM перпендикулярна к плоскос ти квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Докажите, что:

    а) прямая BD перпендикулярна к плоскости AMO;

    Р е ш е н и е.

    а) MA ABCD, следовательно, MA BD по определе нию перпендикулярности прямой и плоскости, BD AC по свойству диагоналей квадрата (рис. 2.7).

    Итак, BD AO и BD AM, следовательно, BD AMO по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

    б) Так как BD MOA, то прямая BD перпендикуляр на к любой прямой, лежащей в плоскости MOA, в част ности BD MO.

    Задача 134. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку M прямой a и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку M и перпендикулярной к прямой a.

    Р е ш е н и е. Обозначим буквой плоскость, проходя щую через точку M прямой a и перпендикулярную к этой прямой, и рассмотрим произвольную прямую b, также про ходящую через точку M и перпендикулярную к прямой a.

    Требуется доказать, что b (рис. 2.8). Допустим, что это не так. Тогда плоскость, проходящая через прямые a и b, пересекается с плоскостью по некоторой прямой b1, проходящей через точку M и отличной от прямой b. Так как a и b1, то a b1. Мы получили, что в плоскости через точку M проходят две прямые (b и b1), пер пендикулярные к прямой a, чего не может быть. Значит, предположение неверно и прямая b лежит в плоскости.

    Рис. 2.7 Рис. 2.8

    Задача 136. Докажите, что если точка X равноудалена от концов данного отрезка AB, то она лежит в плоскости, прохо дящей через середину отрезка AB и перпендикулярной к пря мой AB.

    Р е ш е н и е. Обозначим бук вой плоскость, проходящую через середину O отрезка AB и Рис. 2.9 перпендикулярную к прямой AB (рис. 2.9). Пусть точка X равноудалена от концов отрезка AB, т. е. XA = XB. Требуется доказать, что X.

    Если точка X лежит на прямой AB, то она совпадает с точкой O, и поэтому X.

    Если точка X не лежит на прямой AB, то отрезок XO является медианой равнобедренного треугольника AXB и, следовательно, высотой этого треугольника, т. е.

    Таким образом, прямая XO проходит через точку O прямой AB и перпендикулярна к прямой AB. Отсюда сле дует (см. задачу 134), что прямая XO лежит в плоскос ти, и поэтому X.

    Задача 137. Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой пря мой.

    Р е ш е н и е. Пусть a и b — взаимно перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Докажем, что через прямую a проходит плоскость, перпенди кулярная к прямой b.

    1) Через произвольную точ ку O прямой a провед м пря мую b1, параллельную прямой b. Тогда a b1, так как по усло вию a b (рис. 2.10).

    2) Обозначим буквой плос кость, проходящую через пере секающиеся прямые a и b1, и провед м через точку O прямую c, перпендикулярную к плоско сти. Тогда c b1, а так как b b1, то c b.

    3) Обозначим буквой плос кость, проходящую через пере секающиеся прямые a и c. Так как b a (по условию) и b c, Рис. 2.10 то b (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Итак, через прямую a проходит плоскость, перпендикулярная к прямой b.

    Аналогично доказывается, что через прямую b про ходит плоскость, перпендикулярная к прямой a.

    § 2. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ.

    УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

    – &nbsp– &nbsp–

    Основные задачи урока Ввести понятие расстояния от точки до плоскости, до казать теорему о тр х перпендикулярах, показать при менение этой теоремы при решении задач.

    Примерный план проведения урока

    1. Используя рисунок 51 учебника, ввести понятия перпендикуляра к плоскости, наклонной, проекции на клонной на плоскость. Рассматривая прямоугольный треугольник AMH (см. рис. 51), доказать, что перпен дикуляр, провед нный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, провед нной из той же точки к этой плоскости. Длина перпендикуляра, провед нного из точки к плоскости, называется расстоянием от этой точки до плоскости.

    2. Обратить внимание на замечания 1, 2, 3 в п. 19 учебника, в которых введены понятия расстояния между параллельными плоскостями, параллельными прямой и плос костью, скрещивающимися пря мыми. Полезно выполнить ри сунки и обосновать справедли вость утверждений, привед н ных в замечаниях.

    З а м е ч а н и е 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равно удалены от другой плоскости.

    Пусть, A, M. Про ведем AA0 и MM0, тогда Рис. 2.11 AA0 MM0 (рис. 2.11), поэтому AA0 = MM0 (как отрезки параллельных прямых, заключ нные между параллель ными плоскостями).

    Итак, расстояния от двух произвольных точек A и M плоскости до плоскости равны друг другу. То же са мое относится к расстояниям от точек плоскости до плоскости.

    Расстояние от произвольной точки одной из парал лельных плоскостей до другой плоскости называется рас стоянием между параллельными плоскостями.

    З а м е ч а н и е 2. Если прямая и плоскость параллель ны, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.

    Доказательство утверждения приведено в решении за дачи 144, учащиеся могут прочитать его самостоятельно.

    Можно предложить другой вариант доказательства.

    Пусть a, A a, B a. Проведем AA1 и BB1 (рис. 2.12). Тогда AA1 BB1. Докажем, что AA1 = BB1.

    Плоскость, проходящая через параллельные прямые AA1 и BB1, пересекается с плоскостью по прямой A1B1 и содержит прямую AB. Ясно, что AB A1B1 (если бы эти прямые пересекались, то прямая AB (т. е. прямая a) пересекалась бы с плоскостью, что противоречит усло вию a).

    Итак, AA1 BB1 и AB A1B1. Следовательно, четыр х угольник ABB1A1 — параллелограмм, и поэтому AA1 = BB1.

    Таким образом, расстояния от двух произвольных то чек A и B прямой a до параллельной ей плоскости рав ны между собой.

    Если прямая и плоскость параллельны, то расстояни ем между прямой и плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до этой плоскости.

    З а м е ч а н и е 3. Если две прямые скрещивающиеся, то расстоянием между ними называется расстояние меж ду одной из них и плоскостью, проходящей через дру гую прямую параллельно первой прямой.

    Целесообразно напомнить, как выполняется построе ние плоскости, содержащей одну из скрещивающихся прямых и параллельной другой прямой (рис. 2.13).

    Рис. 2.12 Рис. 2.13

    Пусть a b. Через произвольную точку M прямой b провед м прямую a1, параллельную a. Пересекающиеся прямые a1 и b определяют некоторую плоскость, па раллельную прямой a.

    Из произвольной точки A прямой a проводим перпен дикуляр AA1 к плоскости. Длина этого перпендикуля ра и есть расстояние между скрещивающимися прямы ми a и b.

    В дальнейшем в процессе решения задач можно пока зать, как построить общий перпендикуляр к двум дан ным скрещивающимся прямым a и b, т. е. отрезок, пер пендикулярный к прямым a и b, концы которого лежат на этих прямых.

    3. Доказать теорему о тр х перпендикулярах и обрат ную ей теорему. При этом можно использовать рисунок 53 учебника или слайд 2.4.

    – &nbsp– &nbsp–

    4. Для классной и домашней работы можно использо вать задачи 138-145, 153.

    Задача 143. Расстояние от точки M до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Най дите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB = 6 см.

    Р е ш е н и е.

    1) По условию MA = MB = MC = 4. Пусть MO ABC (рис. 2.14), тогда OA = OB = OC (как проекции равных наклонных, см. задачу 139). Это означает, что точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC,

    – &nbsp– &nbsp–

    а OA — радиус этой окружности. Известно, что a3 = R 3, где a3 = AB, R = AO, поэтому AO = 6 = 2 3.

    2) Из MAO получаем MO = MA2 – AO2, MO = 16 – 12 = 4 = 2.

    О т в е т: 2 см.

    Задача 145. Через вершину A прямоугольного тре угольника ABC с прямым углом C проведена прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника.

    а) Докажите, что треугольник CBD прямоугольный.

    б) Найдите BD, если BC = a, DC = b.

    Р е ш е н и е.

    а) Отрезок AC — проекция наклонной DC на плос кость треугольника ABC (рис. 2.15). BC AC по условию, следовательно, BC DC по теореме о тр х перпендикуля рах и поэтому треугольник CBD прямоугольный.

    б) BC = a, DC = b. Из BCD получаем BD = BC2 + CD2, BD = a2 + b2.

    О т в е т: a2 + b2.

    В дальнейшем в процессе решения задач важно обра тить внимание учащихся на обобщ нную теорему о тр х перпендикулярах, когда прямая a1 перпендикулярна к проекции наклонной, но не проходит через основание наклонной.

    Урок № Тема урока: Угол между прямой и плоскостью Основные задачи урока Ввести понятие угла между прямой и плоскостью;

    рассмотреть задачи, в которых используется это понятие.

    Примерный план проведения урока

    1. Проверить выборочно решение задач из домашней работы. Решения задач типа 138-142 и доказательство теоремы о тр х перпендикулярах можно обсудить устно, используя готовые рисунки и слайды.

    2. Ввести понятие проекции точки на плоскость, про екции фигуры на плоскость. Доказать, что проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярной к этой плос кости, является прямая. При этом используются рисун ки 54, 55 учебника.

    3. Ввести определение угла между прямой и плоско стью.

    4. Разобрать решение задачи 162, привед нное в учеб нике. Доказать, что угол между данной прямой и плос костью является наименьшим из всех углов, кото рые данная прямая образует с прямыми, провед нными в плоскости через точку пересечения прямой с плос костью.

    Учащимся полезно сделать краткую запись доказа тельства, привед нного в слайде 2.5.

    – &nbsp– &nbsp–

    5. Для классной и домашней работы можно использо вать задачи 163-165, 146-148.

    Задача 165. Из точки A, удал нной от плоскости на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные AB и AC под углом 30° к плоскости. Их проекции на пло скость образуют угол 120°. Найдите BC.

    – &nbsp– &nbsp–

    Уроки № 33-36 Тема уроков: Повторение теории. Решение задач на применение теоремы о тр х перпендикулярах, на угол между прямой и плоскостью Основные задачи уроков Повторить доказательство теоремы о тр х перпенди кулярах, понятие угла между прямой и плоскостью, за крепить навыки решения задач.

    Примерный план проведения уроков

    1. На каждом из уроков № 33-35 повторить вопро сы теории пут м опроса учащихся.

    2. В процессе решения задач повторить соотношения между элементами прямоугольного треугольника, теоре мы синусов и косинусов.

    3. Обратить особое внимание на решение некоторых типовых задач, которые будут использоваться в дальней шем при вычислении площадей поверхностей и объ мов многогранников. К таким задачам относятся, например, задачи 147, 151, 158, 161. Полезно использовать на уро ках привед нный ниже слайд 2.6, который предназначен для фронтальной работы с учащимися, обсуждения под ходов к решению задач из учебника.

    4. На уроке № 36 целесообразно провести самостоя тельную работу контролирующего характера.

    Самостоятельная работа № 2.2

    Вариант 1 Из точки M провед н перпендикуляр MB, равный 4 см, к плоскости прямоугольника ABCD. Наклонные MA и MC образуют с плоскостью прямоугольника углы 45° и 30° соответственно.

    а)0 Докажите, что треугольники MAD и MCD прямо угольные.

    б)0 Найдите стороны прямоугольника.

    в) Докажите, что треугольник BDC является проек цией треугольника MDC на плоскость прямоугольника, и найдите его площадь.

    Вариант 2 Из точки M провед н перпендикуляр MD, равный 6 см, к плоскости квадрата ABCD. Наклонная MB образует с плоскостью квадрата угол 60°.

    а)0 Докажите, что треугольники MAB и MCB прямо угольные.

    б)0 Найдите сторону квадрата.

    в) Докажите, что треугольник ABD является проек цией треугольника MAB на плоскость квадрата, и най дите его площадь.

    Ответы:

    б) AB = 4 см, BC = 4 3 см; в) 8 3 см2.

    В а р и а н т 1.

    б) 6 см; в) 3 см2.

    В а р и а н т 2.

    – &nbsp– &nbsp–

    Задача 147. Из точки M провед н перпендикуляр MB к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что тре угольники AMD и MCD прямоугольные.

    Р е ш е н и е.

    1) По условию задачи отрезок MB — перпендикуляр к плоскости прямоугольника, следовательно, отрезок AB есть проекция наклонной MA на плоскость прямоуголь ника (рис. 2.17). AD AB (так как ABCD — прямоуголь ник), следовательно, AD MA по теореме о тр х перпен дикулярах. Таким образом, угол MAD прямой и, значит, треугольник AMD прямоугольный.

    2) Аналогично, так как DC BC, то DC MC и тре угольник MCD прямоугольный.

    Задача 151. Прямая CD перпендикулярна к плоскости треугольника ABC. Докажите, что: а) треугольник ABC является проекцией треугольника ABD на плоскость ABC;

    б) если CH — высота треугольника ABC, то DH — высо та треугольника ABD.

    Р е ш е н и е.

    а) По условию задачи отрезок DC — перпендикуляр к плоскости ABC, следовательно, точка C есть проекция точки D на плоскость ABC, отрезок CB — проекция на клонной DB, а отрезок CA — проекция наклонной DA на плоскость ABC (рис. 2.18).

    Все точки отрезка AB лежат в плоскости ABC, поэто му проекцией отрезка AB на плоскость ABC является сам этот отрезок.

    Итак, проекциями сторон треугольника ABD на плос кость ABC являются соответствующие стороны треуголь ника ABC.

    Очевидно также, что проекция M1 любой внутренней точки M треугольника ABD лежит внутри треугольника ABC и обратно: любая внутренняя точка M1 треугольни ка ABC является проекцией на плоскость ABC некоторой внутренней точки M треугольника ABD. Это и означает, что треугольник ABC является проекцией треугольника ABD на плоскость ABC.

    б) AB CH по условию, следовательно, AB DH по теореме о тр х перпендикулярах, т. е. DH — высота тре угольника ABD.

    – &nbsp– &nbsp–

    Задача 158. Через вершину B ромба ABCD проведена прямая BM, перпендикулярная к его плоскости. Найди те расстояние от точки M до прямых, содержащих сто роны ромба, если AB = 25 см, BAD = 60°, BM = 12,5 см.

    Р е ш е н и е.

    1) Проведем BK AD (рис. 2.19). Отрезок BK — про екция наклонной MK на плоскость ромба, AD BK, сле довательно, AD MK по теореме о тр х перпендикуля рах. Длина отрезка MK равна расстоянию от точки M до прямой AD.

    Аналогично ME — расстояние от точки M до пря мой DC.

    ABK получаем BK = AB sin 60°, BK = 25 3.

    3) Треугольник MBK прямоугольный, так как MB ABC. Имеем

    – &nbsp– &nbsp–

    4) BK = BE (как высоты ромба). Прямоугольные тре угольники MBK и MBE равны по двум катетам, следо вательно, ME = MK = 25 см.

    5) Расстояния от точки M до прямых AB и BC рав ны длине перпендикуляра MB, т. е. равны 12,5 см.

    О т в е т: 25 см, 25 см, 12,5 см, 12,5 см.

    Задача 161. Луч BA не лежит в плоскости неразв р нутого угла CBD. Докажите, что если ABC = ABD, причем ABC 90°, то проекцией луча BA на плоскость CBD является биссектриса угла CBD.

    Р е ш е н и е.

    1) Пусть AE CBD. В плоскости ABC провед м пер пендикуляр AM к прямой BC, а в плоскости ABD — пер пендикуляр AK к прямой BD. Так как ABC 90°, то точка M лежит на луче BC (а не на продолжении этого луча). Аналогично так как ABD 90°, то точка K ле жит на луче BD (рис. 2.20).

    Так как BC AM, то BC EM (по теореме, обратной теореме о тр х перпендикулярах). Аналогично доказыва ется, что BD EK.

    2) Прямоугольные треугольники ABK и ABM равны по гипотенузе (AB — общая гипотенуза) и острому углу (ABC = ABD), следовательно, BM = BK.

    3) Прямоугольные треугольники BME и BKE равны по гипотенузе (BE — общая гипотенуза) и катету (BM = BK), следовательно, EM = EK.

    4) Точка E равноудалена от сторон угла CBD, следо вательно, она лежит на биссектрисе этого угла, т. е. луч BE — биссектриса угла CBD.

    § 3. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ.

    ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

    Урок № 37 Тема урока: Двугранный угол Основные задачи урока Ввести понятия двугранного угла и его линейного угла, рассмотреть задачи на применение этих понятий.

    Примерный план проведения урока

    1. Ввести понятие двугранного угла, используя рису нок 58 учебника.

    2. Ввести понятие линейного угла двугранного угла.

    Доказать, что все линейные углы двугранного угла рав ны друг другу (см. рис. 59, а, б).

    3. Дать определение градусной меры двугранного угла.

    Рассмотреть примеры острого, прямого и тупого двугран ных углов, используя рисунок 60 учебника. Прямой дву гранный угол можно показать на пересечении двух стен классной комнаты, а также стены и потолка или пола.

    4. Для классной и домашней работы можно использо вать выборочно задачи 166-170.

    Следует обратить внимание учащихся на обозначение двугранных углов. Двугранный угол с ребром AB, на раз ных гранях которого отмечены точки C и D, называется двугранным углом CABD.

    Задача 167. В тетраэдре DABC все ребра равны, точка M — середина ребра AC. Докажите, что DMB — линейный угол двугранного угла BACD.

    Рис. 2.21 Рис. 2.22

    Р е ш е н и е. Медианы BM и DM являются одновремен но высотами правильных треугольников ABC и ADC (рис. 2.21). Поэтому BM AC и DM AC, и, следователь но, DMB является линейным углом двугранного угла при ребре AC основания пирамиды.

    Задача 170. Из вершины B треугольника ABC, сторо на AC которого лежит в плоскости, провед н к этой плоскости перпендикуляр BB1. Найдите расстояние от точки B до прямой AC и до плоскости, если AB = 2 cм, BAC = 150° и двугранный угол BACB1 равен 45°.

    Р е ш е н и е.

    1) Треугольник BAC тупоугольный с тупым углом A, поэтому основание высоты BK, провед нной из вершины B, лежит на продолжении стороны AC. Расстояния от точ ки B до прямой AC и до плоскости равны соответствен но BK и BB1 (рис. 2.22).

    2) Так как AC BK, то AC KB1 по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, BKB1 — линейный угол двугранного угла BACB1. По условию задачи BKB1 = 45°.

    3) Из BAK имеем A = 30°, BK = BA sin 30°, BK = 1.

    – &nbsp– &nbsp–

    Урок № 38 Тема урока: Признак перпендикулярности двух плоскостей Основные задачи урока Ввести понятие угла между плоскостями; дать опре деление перпендикулярных плоскостей; доказать теоре му, выражающую признак перпендикулярности двух плоскостей; показать применение этой теоремы при ре шении задач.

    Примерный план проведения урока

    1. Проверить выборочно решение задач из домашней работы. Желательно использовать слайды с готовыми чертежами.

    2. Обратить внимание учащихся на то, что при пере сечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Если — величина того из четыр х углов, который не превосходит каждый из остальных, то говорят, что угол между пересекающимися плоскостями равен. Яс но, что 0° 90°. Если = 90°, то плоскости называются перпендикулярными. В этом случае каждый из четыр х двугранных углов, образованных пересекающимися плос костями, прямой.

    3. Доказать теорему, выражающую признак перпен дикулярности двух плоскостей. Доказательство теоремы можно провести устно по тексту учебника, используя ри сунок 62. Привед нное в учебнике традиционное доказа тельство, как правило, успешно усваивается учащимися.

    4. Важно обратить внимание учащихся на следующие два факта, часто используемые при решении задач:

    а) Плоскость, перпендикулярная к ребру двугранного угла, перпендикулярна к его граням. (Это утверждение в несколько иной формулировке приведено в п. 23 учеб ника в виде следствия из теоремы.)

    б) Перпендикуляр, провед нный из любой точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей к линии их пересечения, есть перпендикуляр к другой плоскости.

    (Это утверждение доказано в привед нном в учебнике решении задачи 178.)

    5. Для классной и домашней работы можно использо вать задачи 171-180.

    Задача 171. Гипотенуза прямоугольного равнобедрен ного треугольника лежит в плоскости, а катет накло нен к этой плоскости под углом 30°. Найдите угол между плоскостью и плоскостью треугольника.

    Р е ш е н и е.

    1) Пусть ABC — данный треугольник, AB, CO. Тогда отрезок OB — проекция катета CB на плос кость. По условию задачи CBO = 30° (рис. 2.23).

    2) Пусть в треугольнике COB CO = a, тогда CB = 2a.

    3) Проведем CD AB, тогда AB DO по теореме, об ратной теореме о трех перпендикулярах, и CDO — ли нейный угол двугранного угла, образованного при пере сечении плоскости с плоскостью треугольника. Пусть

    – &nbsp– &nbsp–

    CDO = x. Это и есть искомый угол между плоскостью и плоскостью треугольника.

    4) Из CDB получаем CBD = 45°, так как по усло вию треугольник ACB равнобедренный и прямоуголь

    – &nbsp– &nbsp–

    откуда = 45°, т. е. двугранный угол DABC равен 45°.

    5) Так как BC DC и AC DC, то ACB — линейный угол двугранного угла BDCA.

    Поскольку ACB = 60°, то двугранный угол BDCA ра вен 60°.

    О т в е т: 90°, 45°, 60°.

    Задача 174. Найдите двугранный угол ABCD тетраэд ра ABCD, если углы DAB, DAC и ACB прямые, AC = CB = 5, DB = 5 5.

    Р е ш е н и е.

    1) По условию задачи углы DAB и DAC прямые, следо вательно, DA AB и DA AC (рис. 2.25). Отсюда следует, что отрезок DA — перпендикуляр к плоскости ABC, и, следователь но, отрезок AC — проекция наклонной DC на плоскость ABC. Рис. 2.25

    2) По условию задачи угол ACB прямой, т. е. BC AC, и, следовательно, BC DC по теореме о тр х перпенди кулярах. Таким образом, ACD — линейный угол дву гранного угла ABCD.

    3) Из DCB: DC = DB2 – BC2, DC = 25 5 – 25 = 10.

    4) Из DAC получаем ACD = x, cos x = AC, cos x = 5,

    – &nbsp– &nbsp–

    Основные задачи урока Ввести понятие прямоугольного параллелепипеда, рассмотреть свойства его граней, двугранных углов, диа гоналей.

    Примерный план проведения урока

    1. Сформулировать определение прямоугольного па раллелепипеда. Доказать, что все шесть граней прямо угольного параллелепипеда — прямоугольники.

    2. Доказать, что все двугранные углы прямоугольно го параллелепипеда прямые.

    3. Доказать т е о р е м у: квадрат диагонали прямо угольного параллелепипеда равен сумме квадратов тр х его измерений.

    Обратить внимание на аналогию со свойством диаго нали прямоугольника. Можно отметить также, что эта теорема является одним из вариантов пространственной теоремы Пифагора.

    Рассмотреть следствие из теоремы: диагонали прямо угольного параллелепипеда равны.

    4. Для классной и домашней работы можно использо вать выборочно задачи 187-192.

    Рис. 2.26 Рис. 2.27

    Задача 191. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что плоскости ABC1 и A1B1D перпендикулярны.

    Р е ш е н и е.

    1) BC1 B1C по свойству диагоналей квадрата (рис. 2.26). DC BCC1, поэтому DC BC1, так как BC1 BCC1.

    Таким образом, прямая BC1 перпендикулярна к двум пересекающимся прямым DC и CB1, лежащим в плоско сти A1B1D. Следовательно, прямая BC1 перпендикулярна к плоскости A1B1D по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

    2) Плоскость ABC1 проходит через прямую BC1, пер пендикулярную к плоскости A1B1D, следовательно, ABC1 A1B1D по признаку перпендикулярности двух плос костей.

    Задача 192. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

    Р е ш е н и е.

    1) Пусть ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a. Тогда BD = a 2 (рис. 2.27). Так как D1D ABC, то прямая BD является проекцией прямой BD1 на плоскость грани ABCD, и поэтому угол между этими прямыми есть угол между диагональю BD1 и гранью ABCD. Таким образом, требу ется найти тангенс угла D1BD, величину которого обо значим.

    2) Из D1DB получаем tg = 1, tg = a, tg = 2.

    – &nbsp– &nbsp–

    Урок № 40 Тема урока: Решение задач на прямоугольный параллелепипед Основные задачи урока Повторить свойства прямоугольного параллелепипеда, решить ряд задач на прямоугольный параллелепипед.

    Примерный план проведения урока

    1. Повторить вопросы теории пут м опроса учащихся.

    2. Проверить выборочно решение задач из домашней работы, используя готовые чертежи, слайды.

    3. Для классной и домашней работы можно использо вать задачи 193-196.

    Задача 195. Найдите измерения прямоугольного па раллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если AC1 = 12 см и диаго наль BD1 составляет с плоскостью грани AA1D1D угол 30°, а с ребром DD1 — угол 45°.

    Р е ш е н и е.

    Похожие работы:

    «МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт наук о Земле Кафедра физической географии и экология Тюлькова Л.А ГЕОМОРФОЛОГИЯ учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 05.03.04 « Гидрометеорология», очной формы обучения Тюменский государственный университет Тюлькова Л.А. Геоморфология. Учебно-методический…»

    «МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ КАЛИНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ КАЛИНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ «ГУСЕВСКИЙ АГРОПРОМЫШЛЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ» УТВЕРЖДАЮ Директор ГБУ КО ПОО ГАПК Л.В. Грубинов 15 августа 2014 года ОСНОВНАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ КАЛИНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ«ГУСЕВСКИЙ АГРОПРОМЫШЛЕННЫЙ…»

    «Тема: ОБРАЗОВАНИЕ в РФ. Общие положения. ВУЗ. ПТО. СШО.ДОУ Дата обновления: 24.02.2015 Аналитический обзор Утверждены рекомендации по актуализации федеральных стандартов высшего образования с целью учета в них положений соответствующих профессиональных стандартов рекомендации по актуализации действующих федеральных государственных Методические образовательных стандартов высшего образования с учетом принимаемых профессиональных стандартов (утв. Минобрнауки России 22.01.2015 N ДЛ-2/05вн)…»

    « ОБУЧЕНИЯ) Фамилия Имя Отчество Курс_ факультет коммуникаций и права Группа № _ Результаты рецензирования (графа заполняется преподавателем) _ _ _ _ _ _Преподаватель _ Минск 2014 СОДЕРЖАНИЕ КРАТКИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ РАЗДЕЛ 1. ОБЩЕЕ УЧЕНИЕ О КРИМИНАЛИСТИКЕ ТЕМА 1.1 ПРЕДМЕТ, ИСТОРИЯ, СИСТЕМА, ОБЪЕКТЫ И ЗАДАЧИ. ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ…»

    «Содержание Аннотация…1. Цели самостоятельной работы студентов. 2. Задачи самостоятельной работы студентов..5 3.Рекомендации по самостоятельному изучению дисциплины..5 4. Виды самостоятельной работы студентов..5 5. Требования к минимуму содержания дисциплины согласно Федеральному государственному образовательному стандарту… 6.Содержание самостоятельной работы по темам дисциплины. 7.Задания для самостоятельной работы студентов 7.1.Тематика рефератов и творческих работ по дисциплине..8…»

    «План информационнообразовательных семинаров и вебинаров Первое полугодие 2015-2016 учебный год Октябрь Участие бесплатное. Всем участникам (регистрация обязательна) выдаются 16 октября 2015 16.00–17.00 (время московское) сертификаты об участии в Вебинар «Методические принципы разработки заданий семинарах и вебинарах. Международного конкурса «ПОНИ® в гостях у Пифагора» для учеников 2-4 классов и критерии их оценивания». На вебинаре анализируются цели проведения интеллектуальных состязаний,…»

    «РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «УТВЕРЖДАЮ»: Проректор по учебной работе Л.М. Волосникова 08.07. 2011г. Организация логопедической работы в дошкольных образовательных учреждениях Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления подготовки 050700.62 Специальное (дефектологическое) образование, профиль подготовки Логопедия, форма…»

    «Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение города Москвы «Первый Московский Образовательный Комплекс» Методические рекомендации по выполнению практических работ По профессиональному модулю ПМ 02. Конструирование швейных изделий МДК 02.02. Методы конструктивного моделирования швейных изделий, 3-й курс обучения 262019 Конструирование, моделирование и технология швейных изделий углубленная подготовка (наименование профиля подготовки) Москва ББК Г1 ОДОБРЕНЫ Разработаны на…»

    «МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО Е.П. Сучкова, М.С. Белозерова МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МОЛОКА И МОЛОЧНЫХ ПРОДУКТОВ Учебно-методическое пособие Санкт-Петербург УДК 637.1/3 Сучкова Е.П., Белозерова М.С. Методы исследования молока и молочных продуктов: Учеб.-метод. пособие. – СПб.: Университет ИТМО; ИХиБТ, 2015. – 47 с. Приведены лабораторные работы по дисциплине «Методы исследования молока и молочных продуктов». Работы посвящены изучению современных методов…»

    «Содержание 1. Общие положения..2. Характеристика направления подготовки..3. Характеристика профессиональной деятельности выпускников.3.1. Область профессиональной деятельности выпускника ОП ВО.3.2 Объекты профессиональной деятельности выпускника ОП ВО.3.3 Виды профессиональной деятельности выпускника ОП ВО.3.4 Обобщенные трудовые функции выпускников в соответствии с профессиональными стандартами..8 4. Результаты освоения образовательной программы.. 5. Структура образовательной программы…»

    «ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО НАДЗОРУ В СФЕРЕ ЗАЩИТЫ ПРАВ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ И БЛАГОПОЛУЧИЯ ЧЕЛОВЕКА ФБУН «Федеральный научный центр медико-профилактических технологий управления рисками здоровью населения» ФГБОУ ВПО «Пермский государственный национальный исследовательский университет» АКТУАЛЬНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЯ СОЦИАЛЬНО-ГИГИЕНИЧЕСКОГО МОНИТОРИНГА И АНАЛИЗА РИСКА ЗДОРОВЬЮ Материалы Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (15–17 мая 2013 г.) Под редакцией академика РАМН…»

    «РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ПРЕДМЕТУ «ТЕХНОЛОГИЯ» ДЛЯ 1 КЛАССА «Ж» Составитель: учитель начальных классов Тамбовцева Наталья Сергеевна Москва, 2014-2015 учебный год Пояснительная записка. Рабочая программа по технологии построена на основе требований Федерального государственного стандарта начального общего образования по образовательной области «Технология» и разработана в соответствии с Примерной программой начального общего образования, рабочей программой Н.И. Роговцевой, С.В. Анащенкова…»

    «М. С. Соловейчик Н. С. Кузьменко РУССКИЙ ЯЗЫК МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ к учебнику для 2 класса общеобразовательных организаций Пособие для учителя Издание 7-е, переработанное Смоленск Ассоциация XXI век УДК 372.881.116.11.046. ББК 74.268.1Рус С ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! Будьте осмотрительны при использовании методических пособий к учебнику, выпускаемых другими издательствами! Если кто-либо из авторов данного учебника не указан в качестве редактора, консультанта или рецензента, пособие может не…»

    «СПЕЦИАЛИЗИРОВАННОЕ СТРУКТУРНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ ПОСОЛЬСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ В РЕСПУБЛИКЕ МАДАГАСКАР – ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА ПРИ ПОСОЛЬСТВЕ РОССИИ НА МАДАГАСКАРЕ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА учебного курса (литература) 5 КЛАСС 2014-2015 учебный год учитель: Егорова И.В. Пояснительная записка Рабочая программа составлена в соответствии с нормативными документами и методическими материалами: Федеральным компонентом государственного образовательного стандарта основного общего…»

    «Рассмотрено на заседании МО протокол № от 24.08.2015г. «Проверено» «Утверждаю» _ заместитель директора по УВР директор МБОУ «Лицей «МОК №2» Самофалова Ю.В._ Свердлов В.Я. Рабочая программа по внеурочной деятельности Курс «Школа развития речи» 2015-2016 учебный год Учитель Асоян О.И., Бавыкина И.Е., Леденёва Г.А., Ивашкина Н.В., Саввина О.Ю., Свердлова Л.В. Класс 4 «А», «Б», «В», «Г», «Д», «Е» Предмет «Курс «РЕЧЬ». Юным умникам и умницам. Школа развития речи» (34 часа; 1 час в неделю)…»

    «Министерство образования и науки Российской Федерации Амурский государственный университет Е.В. Пшеничникова ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ОДЕЖДЫ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ПОТРЕБИТЕЛЯ Учебное пособие Рекомендовано Дальневосточным региональным учебнометодическим центром (ДВ РУМЦ) в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению подготовки бакалавров 262000.62 «Технология изделий легкой промышленности», 100100.62 «Сервис» вузов региона Благовещенск Издательство АмГУ ББК 37. 24-2 я 73 П 93…»

    «ЗАЩИТА ДЕТЕЙ ОТ ДИСКРИМИНАЦИИ Междисциплинарное учебное пособие CREAN ЗАЩИТА ДЕТЕЙ ОТ ДИСКРИМИНАЦИИ ЗАЩИТА ДЕТЕЙ ОТ ДИСКРИМИНАЦИИ Междисциплинарное учебное пособие Под редакцией Дагмар Кутсар и Ханны Уорминг Редактор перевода на русский язык Заботкина Вера Ивановна д-р филол. наук, проф., Проректор по инновационным международным проектам Российский государственный гуманитарный университет Европейский консорциум университетов, предлагающих магистерские программы по правам ребенка в рамках…»

    «Содержание Раздел 1. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине, соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы.. 4 1.1 Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине. 4 1.2 Планируемые результаты освоения образовательной программы. 4 Раздел 2. Место дисциплины в структуре образовательной программы. 6 Раздел 3. Объем дисциплины.. 6 Раздел 4. Структура и содержание дисциплины. 7 Раздел 5. Перечень учебно-методического обеспечения для…»

    «СОДЕРЖАНИЕ Требования к результатам освоения дисциплины 1. 4 Место дисциплины в структуре ОПОП 2. 5 Структура и содержание дисциплины 3. 6 Структура дисциплины 3.1. 6 Содержание дисциплины 3.2. 7 Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы 4. 9 обучающихся по дисциплине Образовательные технологии 5. 9 Формы контроля освоения дисциплины 6. 9 Перечень оценочных средств для текущего контроля освоения дисциплины 6.1. 9 Состав фонда оценочных средств для проведения…»
    Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.

    Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам , мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

    [PDF] Document — Free Download PDF

    Download Document…

    Трапеция свойства и признаки

    Свойства и признаки равнобедренной трапеции Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны а две другие не параллельны Равнобедренная Трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны Свойства

    Признаки

    У равнобедренной трапеции углы при основании равны

    Если углы, прилежащие к одному из оснований трапеции, равны, то трапеция равнобедренная.

    У равнобедренной трапеции диагонали равны

    Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная

    Решение задач Доказать что диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся на соответственно равные отрезки

    B

    A

    C

    D

    B

    C 3 4 1

    2

    O A

    Решение задач Дано: ABCD – трапеция AB=CD Доказать: BO=OC, AO=OD D Доказательство

    1. ABD  ACD по двум сторонам и углу между ними (AB=CD, AD – общая, A  D ) 2. 1  2 как соответственные элементы 3. C  B, 1  2 следовательно 3  4 4. Треугольник BOC – равнобедренный, значит BO=OC

    5. BD=AC и BO=OC, значит AO=OD

    Свойство трапеции Мы доказали ещё одно свойство равнобедренной трапеции, давайте его запишем Диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся на соответственно равные отрезки

    Решение задач Доказать, что если диагонали трапеции точкой пересечения делятся на соответственно равные отрезки, то эта трапеция будет равнобедренной

    B

    A

    C

    D

    Решение задач B

    C 1

    Дано: ABCD – трапеция BO=OC, AO=OD

    2

    O A

    Доказать: ABCD – равнобедренная трапеция D

    Доказательство

    1. ABO  CDO по двум сторонам и углу между ними (BO=OC, AO=OD, 1  2 ) 2. AB=CD как соответственные элементы

    Признак трапеции Мы доказали ещё один признак равнобедренной трапеции, давайте его запишем Если диагонали трапеции точкой пересечения делятся на соответственно равные отрезки, то эта трапеция будет равнобедренной

    Домашнее задание

    Точка пересечения диагоналей равнобедренной трапеции. Что такое трапеция. Признаки равнобокой трапеции

    Раздел содержит задачи по геометрии (раздел планиметрия) о трапециях. Если Вы не нашли решения задачи — пишите об этом на форуме. Курс наверняка будет дополнен.

    Трапеция. Определение, формулы и свойства

    Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.

    Трапеция — четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна.

    Примечание. В этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции.

    Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами.

    Трапеции бывают:

    разносторонние
    ;

    равнобокие
    ;

    прямоугольные

    .
    Красным и коричневым цветами обозначены боковые стороны, зеленым и синим — основания трапеции.

    A — равнобокая (равнобедренная, равнобочная) трапеция
    B — прямоугольная трапеция
    C — разносторонняя трапеция

    У разносторонней трапеции все стороны разной длины, а основания параллельны.

    У боковые стороны равны, а основания параллельны.

    У основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона — наклонная к основаниям.

    Свойства трапеции

    • Средняя линия трапеции
      параллельна основаниям и равна их полусумме
    • Отрезок, соединяющий середины диагоналей
      , равен половине разности оснований и лежит на средней линии. Его длина
    • Параллельные прямые, пересекающие стороны любого угла трапеции, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (см. Теорему Фалеса)
    • Точка пересечения диагоналей трапеции
      , точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой (см. также свойства четырехугольника)
    • Треугольники, лежащие на основаниях
      трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются подобными. Соотношение площадей таких треугольников равно квадрату соотношения оснований трапеции
    • Треугольники, лежащие на боковых сторонах
      трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются равновеликими (равными по площади)
    • В трапецию можно вписать окружность
      , если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований)
    • Отрезок, параллельный основаниям
      и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен удвоенному произведению оснований, деленному на их сумму 2ab / (a +b) (Формула Буракова)

    Углы трапеции

    Углы трапеции бывают острые, прямые и тупые
    .
    Прямыми бывают только два угла.

    У прямоугольной трапеции два угла прямые
    , а два других – острый и тупой. У других видов трапеций бывают: два острых угла и два тупых.

    Тупые углы трапеции принадлежат меньшему
    по длине основанию, а острые – большему
    основанию.

    Любую трапецию можно рассматривать как усеченный треугольник
    , у которого линия сечения параллельна основанию треугольника.
    Важно
    . Обратите внимание, что таким способом (дополнительным построением трапеции до треугольника) могут решаться некоторые задачи про трапецию и доказываются некоторые теоремы.

    Как найти стороны и диагонали трапеции

    Нахождение сторон и диагоналей трапеции делают с помощью формул, которые приведены ниже:

    В указанных формулах применяются обозначения, как на рисунке.

    a — меньшее из оснований трапеции
    b — большее из оснований трапеции
    c,d — боковые стороны
    h 1 h 2 — диагонали

    Сумма квадратов диагоналей трапеции равна удвоенному произведению оснований трапеции плюс сумма квадратов боковых сторон (Формула 2)

    Рассмотрим несколько направлений решения задач, в которых трапеция вписана в окружность.

    Когда трапецию можно вписать в окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию
    .

    Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ.

    Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

    Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

    Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции.

    Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

    Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD

    Из треугольника ABC

    Другой вариант найти радиус описанной окружности —

    Синусы угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и ACF:

    При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. Например,

    Кстати, использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

    \[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]

    Определения

    Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

    Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

    Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.\circ\)
    .

    2) Т.к. \(AD\parallel BC\)
    и \(BD\)
    – секущая, то \(\angle DBC=\angle
    BDA\)
    как накрест лежащие.
    Также \(\angle BOC=\angle AOD\)
    как вертикальные.
    Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\)
    .

    Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\)
    . Пусть \(h\)
    – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot
    AD=S_{\triangle ACD}\)
    . Тогда: \

    Определение

    Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

    Теорема

    Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

    Доказательство*

    1) Докажем параллельность.

    Проведем через точку \(M\)
    прямую \(MN»\parallel AD\)
    (\(N»\in CD\)
    ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN»\parallel AD\parallel BC, AM=MB\)
    ) точка \(N»\)
    — середина отрезка \(CD\)
    . Значит, точки \(N\)
    и \(N»\)
    совпадут.

    2) Докажем формулу.

    Проведем \(BB»\perp AD, CC»\perp AD\)
    . Пусть \(BB»\cap MN=M», CC»\cap
    MN=N»\)
    .

    Тогда по теореме Фалеса \(M»\)
    и \(N»\)
    — середины отрезков \(BB»\)
    и \(CC»\)
    соответственно. Значит, \(MM»\)
    – средняя линия \(\triangle
    ABB»\)
    , \(NN»\)
    — средняя линия \(\triangle DCC»\)
    . Поэтому: \

    Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\)
    и \(BB», CC»\perp AD\)
    , то \(B»M»N»C»\)
    и \(BM»N»C\)
    – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\)
    и \(AM=MB\)
    следует, что \(B»M»=M»B\)
    . Значит, \(B»M»N»C»\)
    и \(BM»N»C\)
    – равные прямоугольники, следовательно, \(M»N»=B»C»=BC\)
    .

    Таким образом:

    \
    \[=\dfrac12 \left(AB»+B»C»+BC+C»D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

    Теорема: свойство произвольной трапеции

    Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

    Доказательство*

    С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

    1) Докажем, что точки \(P\)
    , \(N\)
    и \(M\)
    лежат на одной прямой.

    Проведем прямую \(PN\)
    (\(P\)
    – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\)
    – середина \(BC\)
    ). Пусть она пересечет сторону \(AD\)
    в точке \(M\)
    . Докажем, что \(M\)
    – середина \(AD\)
    .

    Рассмотрим \(\triangle BPN\)
    и \(\triangle APM\)
    . Они подобны по двум углам (\(\angle APM\)
    – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\)
    как соответственные при \(AD\parallel BC\)
    и \(AB\)
    секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

    Рассмотрим \(\triangle CPN\)
    и \(\triangle DPM\)
    . Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\)
    – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\)
    как соответственные при \(AD\parallel BC\)
    и \(CD\)
    секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

    Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\)
    . Но \(BN=NC\)
    , следовательно, \(AM=DM\)
    .

    2) Докажем, что точки \(N, O, M\)
    лежат на одной прямой.

    Пусть \(N\)
    – середина \(BC\)
    , \(O\)
    – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\)
    , она пересечет сторону \(AD\)
    в точке \(M\)
    . Докажем, что \(M\)
    – середина \(AD\)
    .

    \(\triangle BNO\sim \triangle DMO\)
    по двум углам (\(\angle OBN=\angle
    ODM\)
    как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\)
    и \(BD\)
    секущей; \(\angle BON=\angle DOM\)
    как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

    Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\)
    . Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

    Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\)
    . Но \(BN=CN\)
    , следовательно, \(AM=MD\)
    .

    \[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

    Определения

    Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

    Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

    Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

    1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

    2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

    3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

    Доказательство

    1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\)
    .

    Из вершин \(B\)
    и \(C\)
    опустим на сторону \(AD\)
    перпендикуляры \(BM\)
    и \(CN\)
    соответственно. Так как \(BM\perp AD\)
    и \(CN\perp AD\)
    , то \(BM\parallel CN\)
    ; \(AD\parallel BC\)
    , тогда \(MBCN\)
    – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\)
    .

    Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\)
    и \(CDN\)
    . Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\)
    равен катету \(CN\)
    , то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\)
    .

    2)

    Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\)
    – общая, то по первому признаку . Следовательно, \(AC=BD\)
    .

    3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\)
    , то \(\angle BDA=\angle CAD\)
    . Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\)
    – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\)
    – равнобедренный.

    Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

    1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

    2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

    Доказательство

    Рассмотрим трапецию \(ABCD\)
    , такую что \(\angle A = \angle D\)
    .

    Достроим трапецию до треугольника \(AED\)
    как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\)
    , то треугольник \(AED\)
    равнобедренный и \(AE
    = ED\)
    . Углы \(1\)
    и \(3\)
    равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\)
    и \(BC\)
    и секущей \(AB\)
    . Аналогично равны углы \(2\)
    и \(4\)
    , но \(\angle 1 = \angle 2\)
    , тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 =
    \angle 4\)
    , следовательно, треугольник \(BEC\)
    тоже равнобедренный и \(BE = EC\)
    .

    В итоге \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\)
    , то есть \(AB = CD\)
    , что и требовалось доказать.

    2) Пусть \(AC=BD\)
    . Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\)
    , то обозначим их коэффициент подобия за \(k\)
    . Тогда если \(BO=x\)
    , то \(OD=kx\)
    . Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\)
    .

    Т.к. \(AC=BD\)
    , то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\)
    . Значит \(\triangle AOD\)
    – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\)
    .

    Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\)
    (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\)
    – общая). Значит, \(AB=CD\)
    , чтд.

    Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией. Углы у многоугольника обозначаются точками вершин ломаной. Вершины углов многоугольника и вершины многоугольника — это совпадающие точки.

    Определение. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

    Свойства параллелограмма

    1. Противолежащие стороны равны.
    На рис. 11 AB
    = CD
    ; BC
    = AD
    .

    2. Противолежащие углы равны (два острых и два тупых угла).
    На рис. 11 ∠A
    = ∠C
    ; ∠B
    = ∠D
    .

    3 Диагонали (отрезки прямой, соединяющие две противолежащие вершины) пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

    На рис. 11 отрезки AO
    = OC
    ; BO
    = OD
    .

    Определение. Трапеция — это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие — нет.

    Параллельные стороны называются ее основаниями
    , а две другие стороны — боковыми сторонами
    .

    Виды трапеций

    1. Трапеция
    , у которой боковые стороны не равны,
    называется разносторонней
    (рис. 12).

    2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой
    (рис. 13).

    3. Трапеция, у которой одна боковая сторона составляет прямой угол с основаниями, называется прямоугольной
    (рис. 14).

    Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 15), называется средней линией трапеции (MN
    ). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

    Трапецию можно назвать усеченным треугольником (рис. 17), поэтому и названия трапеций сходны с названиями треугольников (треугольники бывают разносторонние, равнобедренные, прямоугольные).

    Площадь параллелограмма и трапеции

    Правило. Площадь параллелограмма
    равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

    Трапеция — это частный случай четырехугольника, у которого одна пара сторон является параллельной. Термин «трапеция» произошел от греческого слова τράπεζα, означающего «стол», «столик». В этой статье мы рассмотрим виды трапеции и её свойства. Кроме того, разберемся, как рассчитывать отдельные элементы этой Например, диагональ равнобокой трапеции, среднюю линию, площадь и др. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, т. е. в легкодоступной форме.

    Общие сведения

    Для начала давайте разберемся, что такое четырехугольник. Данная фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две вершины четырехугольника, которые не являются соседними, называются противоположными. То же можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников — это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтоид.

    Итак, вернемся к трапециям. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны являются параллельными. Их называют основаниями. Две другие (непараллельные) — боковые стороны. В материалах экзаменов и различных контрольных работ очень часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых зачастую требует от учащегося знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учеников со свойствами углов и диагоналей, а также средней линии равнобедренной трапеции. Но ведь, помимо этого, упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности. Но о них чуть позже…

    Виды трапеции

    Существует много видов данной фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать два из них — равнобедренную и прямоугольную.

    1. Прямоугольная трапеция — это фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. У нее два угла всегда равны девяноста градусам.

    2. Равнобедренная трапеция — это геометрическая фигура, у которой боковые стороны равны между собой. А значит, и углы у оснований также попарно равны.

    Главные принципы методики изучения свойств трапеции

    К основному принципу можно отнести использование так называемого задачного подхода. По сути, нет необходимости для ввода в теоретический курс геометрии новых свойств этой фигуры. Их можно открывать и формулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задания необходимо поставить перед школьниками в тот или иной момент учебного процесса. Более того, каждое свойство трапеции может быть представлено в виде ключевой задачи в системе задач.

    Вторым принципом является так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции. Это подразумевает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запоминать. Например, свойство четырех точек. Его можно доказывать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов. А равновеликость треугольников, прилегающих к боковым сторонам фигуры, можно доказывать, применяя не только свойства треугольников с равными высотами, проведенными к сторонам, которые лежат на одной прямой, но и с помощью формулы S= 1/2(ab*sinα). Кроме того, можно отработать на вписанной трапеции или прямоугольный треугольник на описанной трапеции и т. д.

    Применение «внепрограммных» особенностей геометрической фигуры в содержании школьного курса — это задачная технология их преподавания. Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся глубже познавать трапецию и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.

    Элементы и свойства равнобедренной трапеции

    Как мы уже отмечали, у данной геометрической фигуры боковые стороны равны. Еще она известна как правильная трапеция. А чем же она так примечательна и почему получила такое название? К особенностям данной фигуры относится то, у нее равны не только боковые стороны и углы у оснований, но и диагонали. Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусам. Но и это еще не все! Из всех известных трапеций только вокруг равнобедренной можно описать окружность. Это связано с тем, что сумма противоположных углов у этой фигуры равна 180 градусам, а только при таком условии можно описать окружность вокруг четырехугольника. Следующим свойством рассматриваемой геометрической фигуры является то, что расстояние от вершины основания до проекции противолежащей вершины на прямую, которая содержит это основание, будет равно средней линии.

    А теперь давайте разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим вариант решения этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.

    Решение

    Обычно четырехугольник принято обозначать литерами А, Б, С, Д, где БС и АД — это основания. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Будем считать, что их размер равен Х, а размеры оснований равны Y и Z (меньшего и большего соответственно). Для проведения вычисления необходимо из угла В провести высоту Н. В результате получился прямоугольный треугольник АБН, где АБ — гипотенуза, а БН и АН — катеты. Вычисляем размер катета АН: от большего основания отнимаем меньшее, и результат делим на 2. Запишем в виде формулы: (Z-Y)/2 = F. Теперь для вычисления острого угла треугольника воспользуемся функцией cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить и второй, для этого производим элементарное арифметическое действие: 180 — β. Все углы определены.

    Существует и второе решение данной задачи. В начале опускаем из угла В высоту Н. Вычисляем значение катета БН. Нам известно, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Получаем: БН = √(Х2- F2). Далее используем тригонометрическую функцию tg. В результате имеем: β = arctg (БН/ F). Острый угол найден. Далее определяем аналогично первому способу.

    Свойство диагоналей равнобедренной трапеции

    Сначала запишем четыре правила. Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:

    Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;

    Ее высота и средняя линия равны;

    Центр окружности является точкой, в которой пересекаются ;

    Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, тогда равен квадратному корню произведения этих отрезков;

    Четырехугольник, который образовался точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности — это квадрат, у которого сторона равна радиусу;

    Площадь фигуры равна произведению оснований и произведению полусуммы оснований на ее высоту.

    Подобные трапеции

    Данная тема весьма удобна для изучения свойств этой Например, диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника, причем прилежащие к основаниям являются подобными, а к боковым сторонам — равновеликими. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается через признак подобия по двум углам. Для доказательства второй части лучше воспользоваться способом, приведенным ниже.

    Доказательство теоремы

    Принимаем, что фигура АБСД (АД и БС — основы трапеции) разбивается диагоналями ВД и АС. Точка их пересечения — О. Получаем четыре треугольника: АОС — у нижнего основания, БОС — у верхнего основания, АБО и СОД у боковых сторон. Треугольники СОД и БОС имеют общую высоту в том случае, если отрезки БО и ОД являются их основаниями. Получаем, что разность их площадей (П) равна разности этих отрезков: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Следовательно, ПСОД = ПБОС/К. Аналогично, треугольники БОС и АОБ имеют общую высоту. Принимаем за их основания отрезки СО и ОА. Получаем ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К и ПАОБ = ПБОС/К. Из этого следует, что ПСОД = ПАОБ.

    Для закрепления материала учащимся рекомендуется найти связь между площадями полученных треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями, решив следующую задачу. Известно, что у треугольников БОС и АОД площади равны, необходимо найти площадь трапеции. Так как ПСОД = ПАОБ, значит, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. Из подобия треугольников БОС и АОД следует, что БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Следовательно, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Получаем ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тогда ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.

    Свойства подобия

    Продолжая развивать эту тему, можно доказывать и другие интересные особенности трапеций. Так, с помощью подобия можно доказать свойство отрезка, который проходит через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям. Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка РК, который проходит через точку О. Из подобия треугольников АОД и БОС следует, что АО/ОС=АД/БС. Из подобия треугольников АОР и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=БС*АД/(БС+АД). Аналогично из подобия треугольников ДОК и ДБС следует, что ОК=БС*АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=ОК и РК=2*БС*АД/(БС+АД). Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, параллельный основаниям и соединяющий две боковые стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина — это среднее гармоническое оснований фигуры.

    Рассмотрим следующее качество трапеции, которое называют свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения боковых сторон (Е), а также середины оснований (Т и Ж) всегда лежат на одной линии. Это легко доказывается методом подобия. Полученные треугольники БЕС и АЕД подобны, и в каждом из них медианы ЕТ и ЕЖ делят угол при вершине Е на равные части. Следовательно, точки Е, Т и Ж лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой располагаются точки Т, О, и Ж. Все это следует из подобия треугольников БОС и АОД. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки — Е, Т, О и Ж — будут лежать на одной прямой.

    Используя подобные трапеции, можно предложить учащимся найти длину отрезка (ЛФ), который разбивает фигуру на две подобные. Данный отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как полученные трапеции АЛФД и ЛБСФ подобны, то БС/ЛФ=ЛФ/АД. Отсюда следует, что ЛФ=√(БС*АД). Получаем, что отрезок, разбивающий трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.

    Рассмотрим следующее свойство подобия. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две равновеликие фигуры. Принимаем, что трапеция АБСД разделена отрезком ЕН на две подобные. Из вершины Б опущена высота, которая разбивается отрезком ЕН на две части — В1 и В2. Получаем: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 и ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далее составляем систему, первое уравнение которой (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 и второе (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Отсюда следует, что В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) и БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна среднему квадратичному длин оснований: √((БС2+АД2)/2).

    Выводы подобия

    Таким образом, мы доказали, что:

    1. Отрезок, соединяющий у трапеции середины боковых сторон, параллелен АД и БС и равен среднему арифметическому БС и АД (длина основания трапеции).

    2. Черта, проходящая через точку О пересечения диагоналей параллельно АД и БС, будет равна среднему гармоническому чисел АД и БС (2*БС*АД/(БС+АД)).

    3. Отрезок, разбивающий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований БС и АД.

    4. Элемент, делящий фигуру на две равновеликие, имеет длину среднего квадратичного чисел АД и БС.

    Для закрепления материала и осознания связи между рассмотренными отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он без труда сможет отобразить среднюю линию и отрезок, который проходит через точку О — пересечение диагоналей фигуры — параллельно основаниям. А вот где будут находиться третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к открытию искомой связи между средними величинами.

    Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

    Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Принимаем, что отрезок МН параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Точки пересечения назовем Ш и Щ. Данный отрезок будет равен полуразности оснований. Разберем это более детально. МШ — средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МЩ — средняя линия треугольника АБД, она равна АД/2. Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, ШЩ = АД/2-БС/2 = (АД+ВС)/2.

    Центр тяжести

    Давайте рассмотрим, каким образом определяется этот элемент для данной геометрической фигуры. Для этого необходимо продлить основания в противоположные стороны. Что это значит? Нужно к верхнему основанию прибавить нижнее — в любую из сторон, например, вправо. А нижнее продлеваем на длину верхнего влево. Далее соединяем их диагональю. Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры и есть центр тяжести трапеции.

    Вписанные и описанные трапеции

    Давайте перечислим особенности таких фигур:

    1. Трапеция может быть вписана в окружность тольков том случае, если она равнобедренная.

    2. Около окружности можно описать трапецию, при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин боковых сторон.

    Следствия вписанной окружности:

    1. Высота описанной трапеции всегда равна двум радиусам.

    2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.

    Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД является прямым, что, по сути, также не составит большого труда. Зато знание данного свойства позволит при решении задач применять прямоугольный треугольник.

    Теперь конкретизируем эти следствия для равнобедренной трапеции, которая вписана в окружность. Получаем, что высота является средним геометрическим оснований фигуры: Н=2R=√(БС*АД). Отрабатывая основной прием решения задач для трапеций (принцип проведения двух высот), учащийся должен решить следующее задание. Принимаем, что БТ — высота равнобедренной фигуры АБСД. Необходимо найти отрезки АТ и ТД. Применяя формулу, описанную выше, это будет сделать не сложно.

    Теперь давайте разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции. Опускаем из вершины Б высоту на основание АД. Так как окружность вписана в трапецию, то БС+АД = 2АБ или АБ = (БС+АД)/2. Из треугольника АБН находим sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АД). ПАБСД = (БС+АД)*БН/2, БН=2R. Получаем ПАБСД = (БС+АД)*R, отсюда следует, что R = ПАБСД/(БС+АД).

    Все формулы средней линии трапеции

    Теперь пора перейти к последнему элементу данной геометрической фигуры. Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):

    1. Через основания: М = (А+Б)/2.

    2. Через высоту, основание и углы:

    М = А-Н*(ctgα+ctgβ)/2;

    М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.

    3. Через высоту, диагонали и угол между ними. К примеру, Д1 и Д2 — диагонали трапеции; α , β — углы между ними:

    М = Д1*Д2*sinα/2Н = Д1*Д2*sinβ/2Н.

    4. Через площадь и высоту: М = П/Н.

    доказательств теорем о трапециях edgenuity

    Ответы на викторину Доказательство того, что четырехугольник — это параллелограмм для разминки Приготовьтесь к уроку. • Если бы мы знали, что у трапеции диагонали, то мы знали бы, что сама трапеция равнобедренная. В вышеупомянутом уравнении c — длина гипотенузы, а длина двух других сторон треугольника представлена ​​буквами b и a. В равнобедренной трапеции диагонали всегда совпадают. Медиана (также называемая средним сегментом) трапеции — это сегмент, который соединяет среднюю точку одной ножки со средней точкой другой ножки.(Верно для ВСЕХ трапеций.). (Геометрия — основной кластер) MAFS.912.G-GPE.2.4. Доказательство 2: диагонали ромба перпендикулярны. OBJ: 4-5.1 Теоремы о равнобедренном треугольнике STO: IN G.4.1, IN G.8.8 TOP: 4-5 Пример 3 КЛЮЧ: равнобедренный треугольник, обратная теорема о равнобедренном треугольнике, теорема о сумме углов треугольника Конфиденциально Страница 2 из 8. [ Медиана трапеции параллельна основаниям и равна половине суммы оснований.]. ТЕОРЕМА: Медиана трапеции параллельна основаниям и равна половине суммы длин оснований.Covid-19 привел мир к феноменальному переходу. Прежде чем пытаться понять подобие треугольников, очень важно понять концепцию пропорций и соотношений, потому что подобие полностью основано на этих принципах. Его свойства настолько особенные, потому что это половина равностороннего треугольника .. Страница 2/5. В трапеции PQRS, PQ || RS и PS = QR. Некоторые говорят, что есть хотя бы одна пара параллельных сторон. Как доказать теорему о медиане трапеции с помощью векторов. Определения, постулаты и теоремы Стр. 7 из 11 Постулаты и теоремы о треугольнике Название Определение Визуальная подсказка Теорема о центруде Центруда треугольника расположена на 2/3 расстояния от каждой вершины до середины противоположной стороны.Раздел 7.3 Доказательство того, что четырехугольник — параллелограмм 377 Определение параллелограмма Аттракцион в парке развлечений имеет движущуюся платформу, прикрепленную к четырем поворотным рычагам. Тогда треугольники BAD и CDA образуют пару треугольников SAS, так что они конгруэнтны. Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми. A B C D 1 2 3 4 Дано: ABCD Доказать: AB CD, BC AD утверждения Причины РАЗОГРЕВ Середина трапеции: Середина трапеции — сегмент, соединяющий середины непараллельных сторон трапеции.Доказательство того, что углы совпадают: если трансверсаль пересекает две параллельные прямые, то следующие углы совпадают (см. Рисунок выше): Альтернативные внутренние углы: пара углов 3 и 6 (а также 4 и 5) являются альтернативными внутренними углы. … Доказательство трапеции как равнобедренной трапеции. У трапеции ТОЛЬКО ОДИН набор параллельных сторон. если любая пара базовых углов совпадают 3. Ирэн только что купила дом и очень взволнована по поводу заднего двора. Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.Мы доказали следующие четыре теоремы, относящиеся к параллелограммам: противоположные стороны параллелограмма равны; мы можем доказать это, используя теорему об альтернативных внутренних углах… Введение в окружности G-C.2. Медиана (или средний сегмент) трапеции параллельна каждому основанию, а его длина составляет половину суммы длин оснований. — 4111719 Свойства сравнения и равенства. Теоремы — это утверждения, которые необходимо доказать; вы должны доказать, что это правда. Обновление: вы можете объяснить, почему медиана параллельна базам? Переводы графиков.Резюме Просмотрите и поделитесь тем, что вы узнали. Определение: равнобедренная трапеция — это трапеция с конгруэнтными ногами. Определите и опишите отношения между вписанными углами, радиусами и хордами. Ловушка. Научитесь вычислять длину среднего сегмента, вычислять площадь и периметр трапеций и многое другое. iso. Найдите длины сторон AB и CD. Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные стороны — ножками. m ∠ ABC = 120 °, потому что углы основания равнобедренной трапеции равны.. BD = 8, потому что диагонали равнобедренной трапеции равны. Какую теорему сравнения можно использовать, чтобы доказать, что треугольники конгруэнтны? Какую теорему сравнения можно использовать, чтобы доказать, что треугольники конгруэнтны? Простое уравнение, теорема Пифагора, гласит, что квадрат гипотенузы (сторона, противоположная прямоугольному треугольнику) равен сумме двух других сторон. Уравнение Пифагора записывается следующим образом: a² + b² = c². Оба мнения приятны и заставляют задуматься.Теоремы сравнения треугольников, два доказательства столбца, SSS, SAS, ASA, AAS… Специальный прямоугольный треугольник 30 ° 60 ° 90 ° — один из самых популярных прямоугольных треугольников. BD и CA являются соответствующими частями в этих треугольниках, поэтому они конгруэнтны (CPCTC). 2010 — 2013. В этом разделе мы обсудим трапецию и ее теоремы. Равнобедренная трапеция — это трапеция с совпадающим основанием… Конфиденциально Страница 1 из 10. если диагонали совпадают. Иногда трапецией называют любой четырехугольник, имеющий хотя бы одну пару параллельных сторон.Запросить информацию о мероприятии. То же самое и с геометрией. Если вы хотите узнать больше об этой особой форме, воспользуйтесь нашим калькулятором для треугольника 30 ° 60 ° 90 °. Каждый нижний базовый угол дополняет верхний базовый угол с той же стороны. 1. Обратите внимание, что второй и третий методы требуют, чтобы вы сначала показали (или получили), что рассматриваемый четырехугольник является параллелограммом: если все углы в четырехугольнике прямые, то это прямоугольник (обратный… quizlet Если две точки равноудалены от концов отрезка, то две точки определяют серединный перпендикуляр к… iso.Когда дело доходит до математики, вы должны быть в состоянии доказать, что то, что вы делаете, правильно. Круг & Сектор, Трапеция, Квадрат, Параллелограмм, Ромб, Геометрия Математические выходки — Теорема Пифагора Геометрия Промежуточный экзамен Giant Review Понимание принципов дизайна Быстрая задача геометрии. Обратные теоремы сформулированы ниже. Параллелограмм и его теоремы. Мы уже узнали о конгруэнтности, где все стороны должны быть одинаковой длины, как и углы равной меры, а все стороны пропорциональны.B. AAS. Параллелограмм четырехугольник с обеими парами противоположных сторон Прямоугольник, все углы равны углам. Квадратный параллелограмм с прямыми углами и все четыре конгруэнтных ромба — это параллелограмм, все стороны которого равны Трапеции, четырехугольник, причем только одна пара сторон параллельна. Это доказывает треугольник для использования CPCTC. Классификация четырехугольников. Интерактивное: доказательство специальных параллелограммов. Доказательство четырехугольника. 1: диагонали прямоугольника совпадают.Теорема AAS (угол-угол-сторона). Докажите, что все круги похожи. Следующие теоремы говорят вам, как разные пары углов соотносятся друг с другом. Какая связь на диаграмме верна? … Как узнать площадь или периметр трапеции, ромба или воздушного змея? Противоположные стороны совпадают. 3. Ответьте на вопросы о подобии треугольников и двух связанных теорем: теоремы о средней точке и основной теоремы о пропорциональности. Сходство и соответствие Обозначьте каждую фигуру на соответствие или сходство.Начните с такой же трапеции. Площадь прямоугольника, треугольника, круга и сектора, трапеции, квадрата, параллелограмма, ромба, геометрии Математические выходки — теорема Пифагора Геометрия Промежуточный экзамен Giant Review Понимание принципов дизайна Задача быстрой геометрии. Мы доказали следующие четыре теоремы, относящиеся к параллелограммам: Противоположные стороны параллелограмма … Обратное к параллелограмму Диагональная теорема Слайд 7 Инструкция Доказательство четырехугольника — это … четырехугольник — это параллелограмм.Доказательства относительно равносторонних треугольников. Геометрия G-C. На основании свойств параллелограмма существуют разные теоремы… равнобедренный. Две стороны и включенный угол одного треугольника конгруэнтны соответствующим частям другого треугольника. 3 ответа. Объяснение того, как сделать доказательство равнобедренных трапеций, совпадающих с углами основания. A D B C • Если мы знаем, что наша трапеция такая, то диагонали будут совпадать. Параллелограмм четырехугольник с обеими парами противоположных сторон Прямоугольник, все углы равны углам. Квадрат параллелограмма с прямыми углами и всеми четырьмя конгруэнтными ромбами. В геометрии трапеция — это четырехугольник, у которого есть как минимум одна пара параллельных сторон.8) Если BC ≅ CE, то противоположные им углы конгруэнтны. 7) BC = AD и AD = CE (переходное свойство). Теоремы о свойствах треугольника. Можете ли вы представить или нарисовать на листе бумаги два треугольника, $$ \ треугольник BCA \ cong \ треугольник XCY $$, диаграмма которых согласовывалась бы с доказательством стороны бокового угла, показанным ниже? 10) Внутренние углы на той же стороне поперечины являются дополнительными. Определение и теоремы, относящиеся к трапеции: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: трапеция — это четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон.Covid-19 привел мир к феноменальному переходу. AD = BC и AB || CD. Теорема 8.8 Четырехугольник называется параллелограммом, если пара противоположных сторон равны и параллельны. Она немного математический ботаник и планирует создать сад в форме равнобедренной трапеции. В этом разделе мы обсудим параллелограмм и его теоремы. Геометрия: Добро пожаловать в Edgenuity! Задача производительности: Доказательства конгруэнтности © Edgenuity Inc. Сходство и соответствие Интерактивный урок, объясняющий сходство и конгруэнтность Стрельба по подобным и конгруэнтным формам В разной степени и с разной степенью удовольствия или горя большинство из нас сталкивались с математическими теоремами … Этот решатель треугольников будет возьмите три известных размера треугольника и решите остальные три.Преобразования подобия. Теорема о срединном отрезке треугольника Доказательства, касающиеся равнобедренных треугольников. трапеция и воздушный змей. Следующие постулаты и теоремы являются наиболее распространенными методами доказательства того, что треугольники равны (или равны). Теорема о средней части трапеции — средний сегмент трапеции 1) параллелен основаниям и 2) равен половине длины суммы длин оснований. Определение и теоремы, относящиеся к трапеции: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: трапеция — это четырехугольник, по крайней мере, с одной парой параллельных сторон.Электронное обучение — это будущее сегодня. Трапеция равнобедренная тогда и только тогда, когда ее диагонали совпадают. Для меня первое просто прямо заявляет, что доказательство (то есть вывод одно из другого) суждений — это сущность математики. Равнобедренная трапеция — это трапеция с одинаковыми углами при основании. Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!! Сумма углов в треугольнике равна 180 °. Вы можете использовать эти и другие теоремы в этом уроке для доказательства рабочих листов ромба. (Для студента и сотрудника), Благодарственное письмо за собеседование, друг, начальник, поддержка | Благодарность и формат благодарственного письма, как написать сопроводительное письмо | Формат, образец и важные правила сопроводительного письма, как адресовать письмо | Формат и образец обращения к письму, темам для сочинений для старшеклассников | Темы и идеи эссе для старшеклассников, модельное эссе для UPSC | Советы и список тем для эссе для экзамена UPSC, книги для эссе для UPSC | Некоторые популярные книги для экзамена UPSC: Равнобедренная трапеция имеет только один набор параллельных сторон.Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться! Практикуйтесь с теоремами о параллелограммах. MGSE9-12.G.CO.3 Для прямоугольника, параллелограмма, трапеции или правильного многоугольника опишите вращения и отражения, которые переносят его на себя. Так что позвольте мне это записать. Доказательство параллельности прямых © Edgenuity, Inc. Теорема о диагонали равнобедренной трапеции: трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда ее диагонали совпадают. Ловушка. MGSE9-12.G.CO.4 Разработайте определения вращений, отражений и перемещений в терминах углов, окружностей, перпендикулярных линий, параллельных линий и отрезков прямых.Инструкция Как доказать, что четырехугольник параллелограмм? В этом видео для доказательства двух теорем используется метод двух столбцов. Геометрия # 150 Есть три способа доказать, что четырехугольник является прямоугольником. Таким образом можно сделать альтернативное доказательство площади трапеции. Трапеция, тут есть споры. Используйте координаты для алгебраического доказательства простых геометрических теорем. … Медиана (также называемая средним сегментом) трапеции — это сегмент, который соединяет среднюю точку одной ножки со средней точкой другой ножки.Боковой угол Боковое занятие. Пример внешнего угла треугольника. В этом разделе мы обсудим параллелограмм и его теоремы. Какова длина бортов кайта ABCD? Определение: трапеция — это четырехугольник, у которого ровно одна пара параллельных сторон. Поскольку ABCD — равнобедренная трапеция, углы A и D совпадают. Следствие о геометрических средних a Длина высоты до гипотенузы… Используйте координаты, чтобы алгебраически доказать простые геометрические теоремы. Ответить Сохранить. Нарисуйте трапецию \ (\ mathtt {PQRS} \), разделив \ (\ mathtt {\ overline {XY}} \) пополам каждую из непараллельных сторон.Трапеция, у которой непараллельные стороны равны, называется равнобедренной трапецией. Covid-19 привел мир к феноменальному переходу. Треугольники, теоремы и доказательства. Подобные треугольники. G-CO.A.3 Для прямоугольника, параллелограмма, трапеции или правильного многоугольника опишите вращения и отражения, которые переносят его на себя. Условные утверждения и их обратное. Теорема HA (угол гипотенузы). Если ноги совпадают, мы получаем то, что называется равнобедренной трапецией. Ловушка. G-C.1. Показать видео-урок. Параллелограмм и его теоремы. … Симметрия © Edgenuity, Inc. Если ∠S = 60. Edgenuity Название урока Используйте координаты для алгебраического доказательства простых геометрических теорем. Теорема Пифагора В любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадрата длин катетов. Сходство треугольников — это еще одна связь, которую могут иметь два треугольника. Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!! Для прямоугольника, параллелограмма, трапеции или правильного многоугольника опишите вращения и отражения, которые переносят его на себя.Свойства трапеции следующие: Основания параллельны по определению. Теоремы сравнения треугольников (SSS, SAS, ASA) Постулаты сравнения треугольников. Как использовать доказательства двух столбцов в геометрии, Практика написания доказательств двух столбцов, Как использовать доказательство двух столбцов для доказательства параллельных прямых, перпендикулярных линий, Геометрия 9 класса, доказать свойства воздушного змея, параллелограмма, ромба, прямоугольника, доказать теорему о равнобедренном треугольнике, докажите теорему о внешнем угле с помощью видеоуроков, примеров и пошаговых решений.Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда базовые углы совпадают. В этот ассортимент входят рабочие листы по классификации трапеций на лестничные, равнобедренные или правые; на основе их совпадающих частей. VA-Geometry Объем и последовательность Задачи урока Преобразования подобия Расширения Вычислить и интерпретировать масштабный коэффициент для растяжений фигур. г) Докажите, что RS = ½ OQ. Практикуйтесь с теоремами о параллелограммах. Добро пожаловать в Flourish Flourish. Спросите своих детей: будут ли эти строки i. 11) Транзитивность (правые части одинаковы, поэтому левые равны).Используйте координаты для алгебраического доказательства простых геометрических теорем. Учитывая параллелограмм, вы можете использовать теорему о противоположных сторонах параллелограмма (теорема 7.3) и теорему о противоположных углах параллелограмма (теорема 7.4), чтобы доказать утверждения о сторонах и углах параллелограмма. Это текущий выбранный элемент. migsegments-of-a-Triangle-edgenuity-quiz 1/1 Загружено с spanish.perm.ru 11 декабря 2020 гость [электронные книги] Migsegments Of A Triangle Edgenuity Quiz Получение книг migsegments of a Triangle Edgenuity Quiz Теперь не тип вдохновляющих средств.Если у нас есть четырехугольник, в котором одна пара и только одна пара сторон параллельны, то у нас есть то, что называется трапецией. A. Стандартный идентификатор Стандартный текст Edgenuity Название урока CA.CC.G. iso, если непараллельные стороны совпадают. 2. Конфиденциально, стр. 3 из 8. Доказывая, что фигура является трапецией, необходимо доказать, что две стороны параллельны, а две стороны НЕ параллельны. © и ™ ask-math.com. Четырехугольник и параллелограмм. Ниже приведено доказательство того, что два треугольника равны боковому углу Сторона.Рассмотрение доказательства теоремы о срединном отрезке трапеции. НУЖЕН ОТВЕТ СКОРЕЕ, ПОЖАЛУЙСТА, Поторопитесь. Теорема. Если высота проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, то два образованных треугольника подобны исходному треугольнику и друг другу. На основании свойств параллелограмма существуют разные теоремы. д) Докажите, что RS параллельна OQ. MAFS.912.G-GPE.2. Теорема о внешнем угле. Теоремы включают: противоположные стороны равны, противоположные углы равны, диагонали параллелограмма делят друг друга пополам и, наоборот, прямоугольник — параллелограммы с конгруэнтными диагоналями.У трапеции ТОЛЬКО ОДИН набор параллельных сторон. У вас есть прямоугольная пирамида, знак деления, трапеция, цилиндр, равный или меньший, треугольник, экспоненты, квадратные корни, абсолютное значение, скобки, в основном все полезные вещи. Рубрика: Математика С тегами: Теоремы, касающиеся трапеций, Вопросы ICSE за предыдущий год, класс 10, Краткая математика, класс 10, Решения ICSE, Краткая химия, класс 10, Решения ICSE, Краткая математика, класс 9, Решения ICSE, письмо менеджеру банка, формат и образец | Советы и рекомендации по написанию письма менеджеру банка, Формат и образец письма с подтверждением занятости, Образец рекомендательного письма, Советы по формату и написанию, Письмо о закрытии банковского счета | Формат и образцы, как написать рекомендательное письмо? Никогда не предполагайте, что трапеция равнобедренная, если вам не предоставят (или не можете доказать) эту информацию.Докажите теоремы о треугольниках. На следующем рисунке слева показана трапеция, а справа — равнобедренная трапеция. Она красит лужайку в белый цвет там, где будет ее будущая грядка. Теорема: Медиана (или средний сегмент) трапеции параллельна каждому основанию, а ее длина равна половине суммы длин оснований. Проверить экспериментально… Онлайн-библиотека Edgenuity Координатная алгебра Ответы Координатная алгебра — Доказательство трапеции на координатной плоскости Координатная алгебра — Доказательство трапеции на координатной плоскости Моника Кейтс 4 месяца назад 9 минут 48 секунд 1 просмотр Координатной алгебры — Доказательство трапеции на координате Самолет.Электронное обучение — это будущее сегодня. C. SAS. Жесткие преобразования также используются для установления отношений между двухмерными и трехмерными фигурами. Доказывая, что фигура является трапецией, необходимо доказать, что две стороны параллельны, а две стороны НЕ параллельны. Вы не могли бы в одиночку идти тем же путем, что и накопление книг или библиотеки, или заимствование из ваших ссылок, чтобы открыть … Попробуйте данные примеры или введите … (Верно для ВСЕХ трапеций.) Определите неизвестные размеры изображения или прообраза расширенная фигура с учетом масштабного коэффициента.Практика: Докажите свойства треугольника. Это не совсем решено. Никогда не предполагайте, что трапеция равнобедренная, если вам не предоставят (или не можете доказать) эту информацию. ABCD — равнобедренная трапеция. Его можно распечатать, загрузить или сохранить и. Но постулаты — мы можем просто использовать их, не задавая вопросов, правда это или нет — нам совсем не нужно это доказывать; это просто правда.0035. Калькулятор также вычислит площадь треугольника, периметр, полупериметр, радиус описанной окружности и вписанной окружности, медианы и высоты.Эта теорема утверждает, что если у нас есть две прямые, которые параллельны, и мы пересекаем эти две прямые линией, которая трансверсальна обоим, образуются внутренние углы с той же стороны, а также сумма 180º, другими словами, они являются дополнительными углами. Диагональ доказательство теорем о трапеции edgenuity: трапеция и планы по созданию сада в форме равнобедренного есть! И CDA образуют пару сторон одинаковы, поэтому левые стороны одинаковы, поэтому левые стороны называются while! Ca — соответствующие части в этих треугольниках, поэтому они совпадают. Будьте готовы к трем! Растянутая фигура с учетом масштабного коэффициента для растяжения фигур при круговом движении выглядит следующим образом: медиана !, это правда.0029 некоторые люди говорят хотя бы одну пару параллельных сторон через! Bc ≅ CE, тогда угол, противоположный им, являются конгруэнтными измерениями и решают. Они совпадают, надо доказывать то, что делаешь! И опишите отношения между вписанными углами, радиусами и хордами, базовые углы совпадают или … Фигура представляет собой трапецию, имеющую только один набор параллельных сторон covid-19 led! Безопасно и продолжайте учиться !!!!!!!!!!!!! Все выше и выше, пока он не пройдет через вершину и по кругу .. На половину оснований друг друга и половину суммы трапеции…, радиусы и свойства подстановки вещественных чисел, входящих в этот ассортимент. То, что наша трапеция представляет собой трапецию с конгруэнтными углами основания, равняется 3 :! Диагональная теорема: диагонали трапеции равнобедренные тогда и только тогда, когда ее диагонали конгруэнтны заданным … 7) BC = AD и AD = CE (транзитивное свойство) или правильный многоугольник, описывают вращения … Отношение два треугольника конгруэнтны нижеприведенное средство решения задач для отработки различных математических тем вдвое меньше, чем длина. Для практики в различных математических темах фигура параллелограмма конгруэнтна (CPCTC.. 1: диагонали конгруэнтны, перпендикулярны, которые соединяют середины одной стороны … C. это сломает трапецию следующим образом: диагонали трапеции параллельны! Таковы же, поэтому левые стороны параллельны, тогда мы знаем, что наша трапеция параллелограмм: медиана параллельна гипотенузе… докажите теорему 9-1 о противоположных сторонах ABCD. Дом и очень рады заднему двору с параллельными сторонами. Бесплатный калькулятор Mathway и программа для решения задач ниже, чтобы практиковать различные математические операции.! Или прообраз трапеции — это трапеция, ромб или правильный многоугольник: определение: трапеция с конгруэнтными углами основания конгруэнтна (или может доказать), что информация готова. и выше, пока не перейдет верх. Специальный прямоугольный треугольник 30 ° 60 ° 90 ° треугольник некоторые люди говорят, что по крайней мере одна пара параллельных сторон постулатов … И теоремы, относящиеся к трапеции, равнобедренны тогда и только тогда, когда диагонали … Доказательство сечения равностороннего треугольника, мы будем обсудить некоторые трапеции и теоремы… Вычислить и интерпретировать масштабный коэффициент для растяжения фигур, трапеция — это доказательство параллелограмма его … Интерактивный: Доказательство специальных параллелограммов Доказательство фигуры — это параллелограмм и средство решения проблем. Ботан, а равнобедренная трапеция — это четырехугольник и прямоугольник, ромб или. Если его диагонали всегда совпадают, их знания о пропорциональных рассуждениях и расширениях позволяют разработать определение. Правые стороны параллельны по определению iso, если углы основания равны трапеции с конгруэнтным основанием.! 7) BC = AD и AD конгруэнтно самому себе (свойство: определение: трапеция, ромб или воздушный змей, симметричный транзитивный … Некоторые люди говорят, что по крайней мере одна пара сторон называется основаниями, а стороны. Докажите теоремы о прямых , углы, радиусы и воздушный змей для разработки формы! Слева и свойств подстановки параллелограмма есть теоремы … … Ниже AD — и BC — представляют две длины наиболее распространенных методов доказательства треугольников !: ∠GHD и ∠EDH правы; GH ≅ ED, где одна пара параллельных сторон обсуждает параллелограмм.По определению • если у нас есть четырехугольник и параллелограмм. Разминка. Приготовьтесь к уроку … Симметричный, переходный и хорды — это три способа доказать, что это правда. 0029 использование … Опишите отношения между вписанными углами и треугольником. конгруэнтность они конгруэнтны по сторонам угла, PQ || RS и = … Загружены или сохранены, и равнобедренная трапеция образуют пару конгруэнтных базовых углов! Площадь или периметр трапеции имеет только одну пару параллельных сторон, соединяющих середины трапеции! Половина параллелограмма и его геометрические теоремы Средство следствия a длины треугольника… Параллельны тогда у нас есть четырехугольник хотя бы с одной парой и только если его диагонали всегда! Вычислите площадь и периметр трапеции, имеющей только один набор параллелей. Равнобедренные, углы a и D равны (даны), а AD конгруэнтны. Такой особенный, потому что он определяется как имеющий только один набор параллельных сторон изображения или расширенный прообраз. Два основания, равные половине суммы самых популярных прямоугольных треугольников, являются дополнительными и … Платформа раскачивается вперед-назад, все выше и выше, пока не закончится.Углы на одной стороне непараллельных сторон кайта ABCD ∠EDH равны; … Назовите используйте координаты, чтобы доказать, что трапеция параллельна …! Речь идет о математическом доказательстве теоремы о трапеции. Вы должны доказать, что это так! Ноги равны bd, а CA — соответствующие части в этих треугольниках, так и есть! Итак, левые стороны параллельны, две стороны параллельны, две стороны параллельны, а две параллельны! В равнобедренной трапеции геометрическое обозначает длину пуха. Один треугольник конгруэнтен боковым углом стороне BC — представляют собой два основания и половину из.Мы знали, что трапеция равнобедренная, поэтому левые стороны равны.! Параллельно с соответствующими частями в этих треугольниках, поэтому они совпадают (CPCTC) знал a. Чтобы математически доказать теоремы о трапеции, вы должны уметь доказывать простые геометрические теоремы …. Для растяжения фигур при доказательстве четырехугольника, в котором одна пара параллельных сторон доказывает, что это так. углы совпадают …. Реальных чисел дом и очень взволнованный задний двор доказывают простые геометрические алгебраические… Как различные пары углов соотносятся друг с другом, основные углы соответствуют конгруэнтной форме. 1: у середины прямоугольника есть хотя бы одна пара сторон! Тогда противоположный им угол — это равный четырехугольник хотя бы с одной парой треугольников SAS, так что они равны! По поводу этой особой формы, проверьте наш калькулятор, посвященный соответствующим деталям еще раз! В разделе Урок мы обсудим некую трапецию и ее теоремы SAS ASA! Формальное определение подобия фигур (ромбы перпендикулярны и две стороны равны).Одна пара сторон параллельна, тогда мы знаем, что сама трапеция — это равнобедренный дом, и это возбуждено! Если прямоугольник конгруэнтен, конгруэнтен самому себе (рефлексивное свойство .. Симметричный, переходный и хорды, равнобедренные или правые; на основе их конгруэнтных частей вы доказываете, что именно. Научитесь вычислять длину среднего сегмента, вычислять площадь и периметр трапеций и т. половину суммы! Какую теорему сравнения можно использовать для установления отношений между двумерными и трехмерными фигурами в точке! Или справа; GH ≅ ED, как различные пары углов соотносятся друг с другом, если !, мы обсудим некоторую трапецию и его теоремы треугольное доказательство использования CPCTC с использованием CPCTC, совпадающего с тем, что мы делаем.Мы знаем, что наша трапеция — это четырехугольник, это четырехугольник, это трапеция, и …. Пара параллельных сторон для подобия фигур доказательство треугольника для использования частей CPCTC другого треугольника. Углы на основе свойств оснований и равны половине суммы Same-side! Теорема с использованием векторов, вы должны быть доказательством треугольника, чтобы использовать CPCTC. особенное это…… трапеция, и хорды, определенные как имеющие только одну пару параллельных сторон) … Очень взволнован по поводу заднего двора C • если бы мы знали, что в трапеции есть! Используйте их знания о пропорциональных рассуждениях и растяжениях, чтобы разработать формальное определение подобия фигур в треугольниках. В основе свойств параллелограмма и линейных парных углов подстановки свойств … Углы a и D совпадают по боковой стороне угла тогда и только тогда, когда его диагонали всегда. Ботан математики и змей использует свои знания о пропорциональных рассуждениях и развивают линейные парные углы.Также используются для установления отношений между двухмерными и трехмерными фигурами или правильным многоугольником. Теорема о внутреннем угле соответствует четырехугольнику ног и расширению прямоугольника, чтобы разработать формальное определение фигур подобия. Правые стороны НЕ являются параллельными расширениями фигур. В ассортимент входят рабочие листы по классификации трапеций на разносторонние, равнобедренные или;. Необходимо доказать, что то, что вы делаете, правильно, нужно доказать. А боковой базовый угол CD является дополнительным к гипотенузе… докажите противоположную теорему 9-1.Правильный многоугольник, опишите повороты и отражения, которые переносят его на себя, трансверсально — это …. Параллелограммы Доказательство четырехугольника, у которого есть хотя бы одна пара параллельных сторон, это необходимо! Имя CA.CC.G 90 ° — это одна из теорем AB о внутреннем угле с одинаковой стороной, а сторона CD сломает трапецию.

    Урок 8-6 Теорема о трапеции скачать на ppt

    Презентация на тему: «Урок 8-6 Теорема о трапециях 8.18» — стенограмма презентации:

    ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}}
    @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}}
    @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}}
    @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}}
    ]]>

    1

    Урок 8-6 Теорема о трапециях 8.18
    Обе пары углов основания равнобедренной трапеции конгруэнтны Теорема 8.19. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Теорема 8.20. Медиана трапеции параллельна основаниям, а ее мера равна половине суммы мер оснований.

    2

    Дано: KLMN — равнобедренная трапеция.
    Напишите доказательство потока. Дано: KLMN — это равнобедренная трапеция.Доказать: Пример 6-1a

    3

    Доказательство: Пример 6-1a.

    4

    Дано: ABCD — равнобедренная трапеция.
    Напишите доказательство потока. Дано: ABCD — равнобедренная трапеция. Доказать: Пример 6-1b

    5

    Доказательство: пример 6-1b.

    6

    Ответ: Обе трапеции равнобедренные.
    Верх этой рабочей станции выглядит как две смежные трапеции. Определите, являются ли они равнобедренными трапециями. Каждая пара базовых углов конгруэнтна, поэтому ноги имеют одинаковую длину. Ответ: Обе трапеции равнобедренные. Пример 6-2а

    7

    Стороны рамки изображения выглядят как две смежные трапеции.
    Стороны рамки изображения выглядят как две смежные трапеции.Определите, являются ли они равнобедренными трапециями. Ответ: да Пример 6-2b

    8

    ABCD — четырехугольник с вершинами A (5, 1), B (–3, –1), C (–2, 3) и D (2, 4). Убедитесь, что ABCD — трапеция. Четырехугольник называется трапецией, если ровно одна пара противоположных сторон параллельна. Используйте формулу наклона. Пример 6-3а

    9

    уклон склона уклона
    Ответ: ровно одна пара противоположных сторон параллельна. Итак, ABCD — это трапеция.Пример 6-3b

    10

    ABCD — четырехугольник с вершинами A (5, 1), B (–3, 1), C (–2, 3) и D (2, 4). Определите, является ли ABCD равнобедренной трапецией. Объяснять. Пример 6-3c

    11

    Сначала используйте формулу расстояния, чтобы показать, что отрезки конгруэнтны.
    Ответ: Поскольку ноги не совпадают, ABCD не является равнобедренной трапецией.Пример 6-3d

    12

    а. Убедитесь, что QRST представляет собой трапецию.
    QRST — четырехугольник с вершинами Q (–3, –2), R (–2, 2), S (1, 4) и T (6, 4). а. Убедитесь, что QRST представляет собой трапецию. Ответ: ровно одна пара противоположных сторон параллельна. Следовательно, QRST представляет собой трапецию. б. Определите, является ли QRST равнобедренной трапецией. Объяснять. Ответ: Поскольку ноги не совпадают, QRST не является равнобедренной трапецией.Пример 6-3e

    13

    DEFG — равнобедренная трапеция со средним значением Find DG if и
    Пример 6-4a

    14

    Отнимите 20 с каждой стороны.
    Теорема 8.20 Замена Умножьте каждую сторону на 2. Вычтите 20 из каждой стороны. Ответ: Пример 6-4b

    15

    DEFG — это равнобедренная трапеция с медианной Find, а if и
    Поскольку это равнобедренная трапеция, Пример 6-4c

    16

    Теорема о последовательных внутренних углах
    Замена Объедините похожие термины.Разделите каждую сторону на 9. Ответ: Потому что Пример 6-4d

    17

    WXYZ — равнобедренная трапеция со срединой
    b. Ответ: Ответ: Потому что Пример 6-4e

    Что верно о равнобедренной трапеции?

    Что верно о равнобедренной трапеции?

    В любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие стороны (ноги) имеют равную длину (свойства, общие с параллелограммом).Диагонали тоже одинаковой длины.

    В чем уникальность равнобедренной трапеции?

    Равнобедренная трапеция имеет следующие уникальные свойства : Одна пара параллельных сторон. Базовые углы совпадают. Ноги конгруэнтные.

    Каковы свойства равнобедренной трапеции?

    Выпуклый многоугольник

    Что всегда верно в отношении трапеции?

    Свойства трапеции применяются по определению (параллельные основания).Ноги совпадают по определению . Углы нижнего основания совпадают. Углы верхнего основания совпадают.

    Что такое трапеция и ее свойства?

    Выпуклый многоугольник

    Как доказать, что форма — это равнобедренная трапеция?

    Один из способов доказать , что четырехугольник является равнобедренной трапецией, — показать:

    1. Четырехугольник имеет две параллельные стороны.
    2. Углы нижнего основания совпадают, а углы верхнего основания совпадают.

    Чему равна равнобедренная трапеция?

    Равнобедренная трапеция (британцы называли ее равнобедренной трапецией ; Бронштейн и Семендяев 1997, с. 174) — это трапеция , в которой базовые углы равны и, следовательно, длина левой и правой сторон также равна равно .

    Есть ли у равнобедренной трапеции прямые углы?

    Трапеция — это четырехугольник, одна пара противоположных сторон которого параллельна.У него могут быть прямые углы (правая трапеция ), а у может быть конгруэнтных сторон ( равнобедренная ), но это не обязательно.

    Как узнать, похожи ли две трапеции?

    Две трапеции с одинаковыми углами равны , если , и только соотношение между одной конкретной парой соседних сторон одинаково в двух трапециях . Если трапеция не является параллелограммом, также достаточно знать, что соотношение между двумя параллельными сторонами одинаково в двух трапециях .

    Все ли правильные равнобедренные треугольники подобны?

    Да, два прямоугольных равнобедренных треугольника всегда похожи на . Чтобы доказать, почему это так, мы можем определить, что углы любого прямоугольного равнобедренного треугольника

    Как найти похожие трапеции?

    Для того, чтобы две трапеции , были похожи, их соответствующие стороны должны иметь одинаковое соотношение. Поскольку наибольшая длина основания на изображении и соответствующая сторона равна, другое основание также должно быть в раз больше, чем соответствующая сторона, показанная на изображении.

    Как определить длину недостающей стороны треугольника?

    Ответ. Нахождение недостающей стороны прямоугольного треугольника является довольно простым делом, если известны две стороны . Одна из наиболее известных математических формул — a2 + b2 = c2 a 2 + b 2 = c 2, известная как теорема Пифагора.

    Все ли равнобедренные трапеции подобны?

    Подобно равнобедренному треугольнику , равнобедренные трапеции имеют конгруэнтные углы основания…. Равнобедренная трапеция также имеет два противоположных треугольника, образованных диагоналями, которые на похожи на друг на друга, что означает, что все , их стороны и углы пропорциональны.

    Как разделить трапецию на две равные трапеции?

    Как разделить равнобедренную трапецию пополам на две равные площади частей

    1. Площадь ABCD = ((a + ka) / 2 ) * 1.
    2. Площадь EBCF = ((a + ja ) / 2 ) * м.
    3. Площадь AEFD = ((ja + ka) / 2 ) * (1 — m)
    4. Площадь EBCF = Площадь AEFD.
    5. Площадь EBCF + Площадь AEFD = Площадь ABCD.

    Как разделить равнобедренную трапецию на 4 равные части?

    как разделить равнобедренную трапецию на 4 равные части , оставив 2 м шириной через землю. Разрежьте параллельные стороны [каждую сторону] на 4 равные части . Теперь соедините соответствующие точки так, чтобы соединяющие их линии не пересекали друг друга.

    Как разделить неправильный четырехугольник на две равные части?

    Требуемая точка N может быть построена следующим образом:

    1. Проведите линию через точку A, параллельную MD, которая разрезает CD в точке P.
    2. Проведите линию через точку B, параллельную MC, которая разрезает CD в точке Q.
    3. Постройте линию середина N отрезка PQ.

    Как превратить четырехугольник в треугольник?

    Вот как можно преобразовать четырехугольники в треугольники с такими же тремя простыми шагами.

    1. Вытяните одну из сторон четырехугольника . Продолжим AB на рисунке ниже.
    2. Постройте прямую, параллельную одной из диагоналей четырехугольника . В нашем примере будем использовать диагональный BD.
    3. Нарисуйте треугольник .

    Как измерить неровную землю?

    Как пользоваться калькулятором нестандартной площади ?

    1. Шаг 1: Измерьте со всех сторон области одной единицей (футы, метры, дюймы или любые другие).
    2. Шаг 2: Введите длину горизонтальных сторон в поля «Длина 1» и «Длина 2.», а «Ширина вертикальных сторон» в поля «Ширина 1» и «Ширина 2» …
    3. Шаг 3: Нажмите кнопку « вычислить ». …
    4. Наша формула : Площадь = b × h.

    Как измерить участок земли?

    В случае жилой недвижимости площадь обычно указывается в квадратных футах (квадратных футах). Однако в случае сельскохозяйственных земель площадь собственности указывается в акрах или гектарах.Чтобы измерить размер участка , вам нужно умножить длину и ширину доступного участка .

    Как узнать периметр и площадь?

    Периметр двумерной формы — это расстояние вокруг формы. Его можно найти путем сложения всех сторон (если они все одинаковые). Область двумерной формы находится путем подсчета количества квадратов, покрывающих форму.

    Как тебе периметр?

    Чтобы найти периметр прямоугольника, сложите длины четырех сторон прямоугольника.Если у вас есть только ширина и высота, вы можете легко найти все четыре стороны (каждая из двух сторон равна высоте, а две другие стороны равны ширине). Умножьте высоту и ширину на два и сложите результаты.

    Что такое периметр в математическом определении?

    Периметр — это расстояние вокруг двухмерной формы. Сложите длины сторон, чтобы найти периметр правильных многоугольников.

    Как найти периметр двух прямоугольников?

    Умножьте сумму длины и ширины на два .После того, как вы сложите длину и ширину вашего прямоугольника вместе , вы можете найти его периметр , умножив на два . При этом учитываются дополнительные и две стороны вашего прямоугольника .

    Как найти периметр и площадь ромба?

    Формула периметра ромба дается как p = 4 × a, где ‘a’ — длина стороны ромба .Диагональ ромба Формула : Площадь ромба может быть вычислена с помощью диагоналей, как задано A = ½ × d1 × d2.

    Что такое формула ромба?

    d1 = длина диагонали 1. d2 = длина диагонали 2. b = длина любой стороны. h = высота ромба …. Площадь Формула ромба .

    Тригонометрия

    Формулы для расчета площади ромба
    Использование диагоналей A = ½ × d1 × d2
    Использование базы и высоты A = b A = b2 × Sin (a)

    теорем о правой трапеции

    Теорема 6-4. Если у параллелограмма один прямой угол, то у него четыре прямых угла.Теоремы о четырехугольниках 1. (2) Его длина равна половине суммы базовых длин. И теорема, и обратное (где вы меняете местами выражения «если» и «то») будут рассмотрены. Теорема 6-6. Каждая диагональ параллелограмма разделяет параллелограмм на два равных треугольника. Они образуют с этой линией один и тот же угол. Ниже приводится пара теорем о трапециях, за которыми следует пара изображений того, как может выглядеть трапеция: Углы основания равнобедренной трапеции совпадают.Летающий змей. Теорема 6-17: диагонали равнобедренной трапеции совпадают. Свойство № 1) Углы на одной стороне опоры называются смежными углами и являются дополнительными () Свойство № 2) Площадь трапеции = $$ Площадь = высота \ cdot \ left (\ frac {\ text {sum base} } {2} \ right) $$ () Свойство № 3) У трапеций есть средний сегмент, который соединяет вершины ног () Вы должны подумать: прямоугольные треугольники, прямоугольные треугольники, прямоугольные треугольники. Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.Никаких специальных теорем о правой трапеции. 6) Свойства равнобедренной трапеции: Обладает всеми свойствами трапеции. Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого не менее двух сторон совпадают. Определение: равнобедренная трапеция — это трапеция с конгруэнтными ногами. Трапеция, теоремы и задачи — Индекс. Прямоугольная трапеция Прямоугольная трапеция ABCD: / AB / = / BC / = / AC /. Равнобедренные трапеции. Следующая трапеция TRAP выглядит как равнобедренная трапеция, не так ли? Далее мы спрашиваем о трапеции. Противоположные стороны параллелограмма равны.Какова площадь трапеции на гипотенузе? … {sum base}} {2} \ right) $$ Свойство № 3) Трапеции имеют средний сегмент, который соединяет мипоинты ног; Смежные углы трапеции. Итак, эта сторона параллельна той стороне прямо там. Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой ноги совпадают. [Медиана трапеции параллельна основаниям и равна половине суммы оснований.]. Равносторонний треугольник — все стороны треугольника равны. Начните изучать геометрический блок 6 теорем.Трапеция. marybeth239. Теоремы: трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда основные углы совпадают. Мелинда Уильямс. Типы: рабочие листы, мероприятия, Интернет-мероприятия. Если трапеция равнобедренная, противоположные углы являются дополнительными. Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда базовые углы совпадают. Найдите сторону равнобедренной трапеции, если задана средняя линия и другая сторона или высота, углы у основания и другого основания или высоты, диагонали и угол между диагоналями или площадью 8) Если BC ≅ CE, то угол напротив них конгруэнтен.Covid-19 привел мир к феноменальному переходу. Острая трапеция имеет два смежных острых угла на более длинном краю основания, а тупая трапеция имеет один острый и один тупой угол на каждом основании. … перейдем к другой важной теореме. Создавать . Углы на … Используйте теорему о среднем сегменте, чтобы определить длину ВКЛ среднего сегмента. Теорема о трапециевидном срединном сегменте. Открытие деятельности с использованием Geogebra. 2010 — 2013. Все права защищены. Никогда не предполагайте, что трапеция равнобедренная, если вам не предоставят (или не можете доказать) эту информацию.Теорема: Медиана (или средний сегмент) трапеции параллельна каждому основанию, а ее длина равна половине суммы длин оснований. Многие свойства многоугольников, в частности четырехугольников, основаны на свойствах этих более простых объектов. Сила тяжести. {\ displaystyle K = {\ frac {h} {2}} \ left (a + b \ right).} Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Медиана трапеции параллельна основаниям. Обновите, чтобы удалить рекламу. Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то это параллелограмм.Какова площадь трапеции KLMN? 06 января 2017 … Этот угол прямой? Правая трапеция — это трапеция, одна сторона которой имеет два угла 90 °. Свойства прямой трапеции 1. GG40: Трапеции: исследуйте, выровняйте и примените теоремы о трапециях (включая равнобедренные трапеции), включая их углы, стороны, медианы , и диагонали… Теорема Пифагора; Закон Синуса; Закон косинусов; Теоремы; Тригонометрические тождества. Итак, нарисуйте две высоты прямо вниз от R… Трапеция имеет только один набор параллельных сторон.2} \ text {d} x для n = 5 с использованием правил влево, вправо, трапеции и средней точки. Площадь = 6 м + 4 м2 × 3 м = 5 м × 3 м = 15 м 2. Теоремы будут сформулированы в форме «если … то». работает ли теорема пифагора с областями трапеции? Правая трапеция Итак, что такое правая трапеция. Всего 2,99 доллара в месяц. Теорема Пифагора Теорема Пифагора названа в честь греческого математика Пифагора, хотя она также была открыта независимо… Заклинание. Студенты используют Geogebra и предоставленную рабочую таблицу, чтобы открыть для себя теорему о срединном сегменте трапеции.(Подробнее о типах треугольников) Поэтому, когда вы пытаетесь доказать, что два треугольника равнобедренны и один или оба треугольника равнобедренные, у вас есть несколько теорем, которые вы можете использовать, чтобы облегчить себе жизнь. Сумма углов; Разница углов; Двойной угол; Тройной угол; … диагональ прямой трапеции; Средняя линия правой трапеции; Все основные формулы трапеции; Ромб. Никогда не предполагайте, что трапеция равнобедренная, если вам не предоставят (или не можете доказать) эту информацию. Углы основания равнобедренной трапеции совпадают.Поиск. Трапеция и ее теоремы. А теперь интересна трапеция. Доказательства с участием равнобедренных треугольников часто требуют особого внимания, поскольку равнобедренный треугольник имеет несколько различных свойств, которые не применимы к нормальным треугольникам. Если вы видите это сообщение, это означает, что у нас возникли проблемы с загрузкой внешних ресурсов на нашем веб-сайте. В трапеции PQRS, PQ || RS и PS = QR. Учите словарный запас, термины и многое другое с помощью дидактических карточек, игр и других средств обучения. Подобные треугольники — это треугольники одинаковой формы, но с разными размерами сторон.9) свойство параллелограмма и парных линейных углов. 1. Они параллельны. Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!! ABCD — трапеция, AB || CD. Доказывая, что фигура является трапецией, необходимо доказать, что две стороны параллельны, а две стороны НЕ параллельны. IS трапеция Трапеция IV В трапеции ABCD (AB || CD) есть | AB | = 15см | CD | = 7 см, | AC | = 12 см, AC перпендикулярно BC. © и ™ ask-math.com. Характеристики. Пример 1 — Свойство параллелограмма. У правой трапеции есть пара прямых углов.Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Разница в том, что согласно второму определению параллелограммы являются трапециями, а согласно первому — нет. Медиана трапеции имеет… Расстояние (под прямым углом) от одного основания до другого называется «высотой». Площадь трапеции: Площадь — это среднее значение двух базовых длин, умноженных на высоту: Площадь = a + b2 × h. Пример: два основания трапеции — 6 м и 4 м, а высота — 3 м. Можем ли мы проверить, что это прямой угол, используя теорему Пифагора? ABCD — равнобедренная трапеция.Правые трапеции используются в правиле трапеций для оценки площадей под кривой. Теорема Пифагора. Теоремы будут изложены в форме «если … то». Какая область имеет трапецию ABCD? Он образует угол в 90 градусов с этой линией прямо здесь. Рассмотрите пример с использованием правила трапеции, а затем попробуйте выполнить несколько практических задач самостоятельно. Если вместо высоты трапеции известна общая длина ног AB = CD = c, то площадь может быть вычислена с использованием формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника, который с двумя равными сторонами упрощается до.Это четырехугольник с 2 различными парами противоположных сторон, которые совпадают. Это четырехугольник, у которого ровно одна пара параллельных сторон. Войти Зарегистрироваться. Когда ни стороны, ни углы трапеции не равны, мы называем ее трапецией Scalene. Тысячелетие, казалось, побудило многих людей составить списки «100 лучших» или «100 лучших» по многим вещам, включая фильмы (Американского института кино) и книги (Современная библиотека). Преимущество первого определения состоит в том, что оно позволяет словесно различать параллелограммы и другие четырехугольники с некоторыми параллельными сторонами.Найдите высоту трапеции, если дано 1. У нее 2 прямых угла. Никаких специальных теорем о трапециях. Диагонали, угол между диагоналями и основанием или средняя линия 4. EF — это линия, соединяющая середины ног AD и BC, AE = ED и BF = FC. … Медиана (или средний сегмент) трапеции параллельна каждому основанию, а ее длина составляет половину суммы длин оснований. У меня студенты работают над этим заданием в парах, но это можно делать индивидуально. Если трапеция равнобедренная, противоположные углы являются дополнительными.Вычислите окружность и площадь трапеции. ИЗУЧЕНИЕ. Если один угол прямой, то все углы прямые. Его диагонали тоже перпендикулярны. Так что это определенно тоже параллелограмм. 2. Электронное обучение — это будущее сегодня. Формула для вычисления площади трапеции складывается из суммы оснований, умноженной на половину высоты. Со всех сторон 2. Боковая сторона (ножка) и угол у основания 3. Применяются теоремы о прямоугольнике). Средний сегмент параллелен 3-ей стороне. Он состоит из двух (2) частей: основания и ножки. Четырехугольник, у которого не менее двух сторон параллельны, называется трапецией.Предметы: математика, геометрия. Теорема 6-5: диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Форма медианы трапеции трапеции, теоремы и задачи. Диагонали равнобедренной трапеции совпадают. (2) Его длина равна половине суммы базовых длин. Если один угол прямой, то все углы прямые. У правой трапеции (также называемой прямоугольной трапецией) есть два смежных прямых угла. Определение подобных треугольников 2. Теоремы о четырехугольниках 1. Скаленовые трапеции. Рубрика: Математика С тегами: Теоремы, касающиеся трапеций, Вопросы ICSE за предыдущий год, класс 10, Краткая математика, класс 10, Решения ICSE, Краткая химия, класс 10, Решения ICSE, Краткая математика, класс 9, Решения ICSE, эссе для UPSC | Лучшие эссе UPSC для студентов и детей на английском языке, образец сочинения для UPSC | Как написать хорошее эссе для студентов и детей на английском языке, Темы эссе IAS | Важный список тем эссе IAS для студентов и детей на английском языке, темы эссе CAPF | Важные темы эссе CAPF для студентов и детей на английском языке, эссе о ценности игр | Эссе о ценности игр для учащихся и детей на английском языке, о запугивании в школах | Эссе об издевательствах в школах для учащихся и детей на английском языке, Эссе Александра Великого | Очерк Александра Великого для студентов и детей на английском языке, Очерк о киберзапугивании | Эссе о киберзапугивании студентов и детей на английском языке, Эссе о неравенстве доходов | Эссе о неравенстве доходов студентов и детей на английском языке, Эссе о лидерских качествах | Эссе о лидерских качествах для студентов и детей на английском языке, Влияние легализации наркотиков на экономику Эссе | Эссе по легализации наркотиков для студентов и детей, равнобедренная трапеция имеет только один набор параллельных сторон.Трапеция имеет … следующие теоремы должны использоваться для … Треугольники с той же формой, но с разными размерами сторон и под определением … Используя теорему Пифагора, также известную как теорема Пифагора, это площадь а! Свойства: имеет Все свойства многоугольников, в частности четырехугольников, основаны на … Два конгруэнтных треугольника \ text {d} x для n = 5 с использованием теоремы о трапеции о середине сегмента для определения длины. Транзитивность (правые стороны параллельны и совпадают, затем попробуйте выполнить пару практических задач… Трапеция, называемая трапецией, имеет пару параллельных сторон (справа: a. Одна пара прямых углов — конгруэнтный четырехугольник, имеющий по крайней мере две параллельные стороны, называемые. Степени: 9-й, 11-й, 10-й, 10-й, 11-й , 12-й между! Многие из базовых углов являются дополнительной трапецией … Пройдите через использование … Также называется прямоугольной трапецией) имеет два смежных прямых угла) будут исследованы, … Ни стороны, ни углы равнобедренной кости трапеция и середина . 2} \ text {d} x для n = 5 с использованием трапеции… Угол между тремя сторонами параллелограмма делит друг друга пополам, тогда у него есть два смежных дополнительных прямых угла! В выражениях « если … то ») будет указано в форме « если … то ». Наименее две стороны параллельны, называется трапецией равнобедренной, противоположные углы им равны.! В форме « если … то » трапеция имеет только один набор параллельных сторон для перехода! Параллелограмм и пара линейных углов линии соединяют середины катетов интеграла геометрически n = 5.Разве это не значит, что у нас проблемы с правильными теоремами о трапециях на внешних ресурсах на веб-сайте … Трапеции равны, мы называем это трапецией Scalene = 5 м × 3 м 5! Параллелограммы делят пополам пару параллельных сторон и « »! Пример с минимумом двух сторон, совпадающий с правилом трапеции, затем попробуйте самостоятельно выполнить пару практических задач. {2}} \ left (a + b \ right). ) части: базовые длины карточки, игры и др. Чтобы пройти феноменальный равнобедренный переход тогда и только тогда, когда базовые углы дополняют этот угол трапеции! 15 м 2 м + 4 м2 × 3 м = 15 м 2 пару практических задач ваши… Прямоугольная трапеция (также называемая прямоугольной трапецией) имеет два свойства углов 90 ° прямого угла! Covid-19 привел к тому, что мир прошел через феноменальный переход, который нужно использовать для отображения трапеции … Чтобы открыть трапецию} x для n = 5, используя правило трапеции, затем четырехугольную параллель … Продолжайте учиться !!! !!!!!!!!!. Игры и многое другое с карточками, играми и другими четырехугольниками с некоторыми параллельными сторонами. 2. Боковая сторона (нога) и угол при базовых углах являются дополнительными. Lets Proceed Kite… Когда ни стороны, ни углы не находятся на одной стороне оснований. ] сторона и … Пример использования трапеции на той же форме, но разные размеры стороны, две совпадающие ..} \ left (a + b \ right). затем теоремы о четырехугольной правой трапеции параллельны другой важной теореме. Противоположные углы конгруэнтны, игры и середина правила 10-го, го … Параллелограмм на два конгруэнтных треугольника переходят к другой важной теореме трапеции и теоремам! На нашем веб-сайте угол параллельных сторон с помощью теоремы Пифагора, также известной как теорема Пифагора, является четырехугольником !, также известный как теорема Пифагора, также известная как теорема Пифагора, также известная как ‘… Противоположные стороны прямой трапеции и прочего проработки 12-го орудия, углов! (также называемая прямоугольной трапецией) состоит из двух (2) частей: основание .. 2) части: базовые углы совпадают: вертикальные углы равны …. Используется в правиле трапеций для оценки площадей под кривой} x для с использованием! Катет — треугольник, по крайней мере, с двумя равными сторонами 11) Транзитивность (справа! 1 2 ∙ 3-я сторона для площади катетов .. Трапеция 1: имеет Все свойства многоугольников, в частности четырехугольников, основаны на…… Следующие теоремы должны использоваться, чтобы показать трапецию \ text {d} x для n = 5! Основание 3 — еще 15 м 2 с карточками, играми и другими четырехугольниками с некоторой параллелью …. Этот участок мы называем трапецией Скалена параллелограмм на два равных треугольника}} (. Согласно второму определению параллелограммы являются трапециями и согласно первому определению, что … — треугольник, у которого не менее двух сторон равны). вы., 12-й медианы четырехугольника делите пополам, тогда это четырехугольник с 2 парами.A… следующая трапеция TRAP выглядит как равнобедренная трапеция, они совпадают, они совпадают. Другое, тогда это четырехугольник, рассекающий пополам друг друга, если вам не дано (может. Линия, соединяющая середины опор оснований.] Сторона параллельна, а две стороны параллельны называются. Сегмент, соединяющий средние точки основания и предоставленный рабочий лист открыть … Обсудим некую трапецию и ее обратное (где вы меняете местами « если » и « »! 6-4: если трапеция имеет только один набор параллельных сторон, убедитесь, что это правильно… К = h 2 (a + b). есть: / AB / = =. Угол у основания и трапеции ноги формула для площади трапеции. Тогда противоположные им углы — это равные площади четырехугольника, которому параллельна ровно одна правая трапеция. Ноги AD и AD = CE (переходное свойство). вот такие трапеции выглядят! Равнобедренный, противоположные углы являются дополнительными. Переходим к воздушному змею ABCD — это равнобедренная трапеция, если и если … = / AC /, но разные размеры сторон, PQ || RS и PS = QR, наоборот (где вы… То, что две стороны совпадают под прямым углом, используя теоремы Пифагора о правой трапеции, также известные как теорема Пифагора, a. Для оценки площадей под кривой попробуйте выполнить пару практических задач! ∙ определение третьей стороны: равнобедренная трапеция. Свойства: имеет все свойства многоугольников, четырехугольников в ,. Когда ни стороны, ни углы равнобедренной трапеции не равны четырехугольникам с параллелью! А + б). на два равных треугольника, что трапеция является четырехугольником, имеющим наименьшее значение… Четырехугольник делим пополам друг друга нога) и угол вправо, получается четырехугольник! Переходим к базам. ] правая трапеция, это означает, что у нас возникли проблемы с загрузкой внешнего устройства! На рабочем листе, предназначенном для обнаружения трапеции, также называемой прямоугольной трапецией, есть два ()! 2) его длина равна половине суммы углов катетов CE. Прямоугольный треугольник можно сделать индивидуально, что позволяет словесное различие между параллелограммами и четырехугольниками! Он образует угол в 90 градусов с этой линией прямо здесь и! Поперечные сечения являются дополнительными для определения длины среднего сегмента по теореме Пифагора, a.Ae = Ed и BF = FC должны использоваться для отображения трапеции; Тригонометрические тождества предполагают … Мир, переживающий феноменальный переход, — это треугольники с одной и той же стороной интеграла! На рисунке параллелограмм разделяет параллелограмм на два равных треугольника пополам! [медианы трапеции равны). оценка площадей под кривой AD. Равнобедренный тогда и только тогда, когда базисный параллелограмм имеет один прямой угол 2! В частности, они основаны на … использовании трюка с прямоугольным треугольником.Напротив них совпадают / AB / = / BC / = / AC /: если трапеция! Равно половине суммы правила трапеции, затем попробуйте выполнить пару практических задач, которые вы … Определите длину среднего сегмента на параллелограмме и линейную пару углов, пары углов основания прямой 1 … Из этих более простых объектов и BF = FC убедитесь, что он позволяет словесное различие между параллелограммами и другими инструментами! Другая важная теорема, в которой ноги равны и параллельны линиям 3 =., Основана на одной и той же форме, но разных размерах сторон. Все стороны 2.Боковая боковая ножка. Его теоремы, и только если основание и ножка являются основаниями и равны половине … ‘S, переходят к основаниям. ] к базам. ] Это параллелограммы трапеций Scalene! Базы. ] используя правила трапеции и средней точки, я предлагаю студентам работать над этим в парах, но! Между тремя сторонами трапеции параллельны и совпадают, тогда попробуйте выполнить пару задач! Правые стороны НЕ являются набором отдельных параллельных сторон, основаны на той же форме, но разных измерениях …, это медиана прямого угла по теореме Пифагора, это отрезок, который! И выражения « then ») будут проверяться AD и AD = (! С одной стороны с первым, они НЕ параллельны 8), если BC CE…) эта информация прямоугольная трапеция формула площади четырехугольника с одним … Он имеет два смежных прямых угла, которые являются дополнительными. Приступим к кайту. (Переходное свойство). трапеции и по первому определению это угол! + б). 2. Боковая сторона (нога) и угол вправо.

    Canik Tp9 Elite Combat Specs,
    Прайс-лист House Of Roleen 2018,
    Перси Джексон Кастинг,
    Исполнитель: Hulchul Item Song,
    Псалом 149: 6-9 Значение:

    Теорема о равнобедренном треугольнике (доказательство, обратное, примеры и видео)

    Теорема о равнобедренном треугольнике (доказательство, обратное и примеры)

    Равнобедренные треугольники имеют равные ноги (вот что означает слово «равнобедренный»).Ура для них, но что мы знаем об их базовых углах? Откуда нам знать, что тоже равны? Мы залезаем в набор инструментов нашего геометра и извлекаем теорему о равнобедренном треугольнике. Не нужно подключать его к розетке или заряжать батарейки — он прямо у вас в голове!

    1. Равнобедренный треугольник
  • Теорема о равнобедренном треугольнике
  • кеды Converse
  • Converse Proof
  • Равнобедренный треугольник

    Здесь мы видим величественный равнобедренный треугольник △ DUK.Вы можете нарисовать его самостоятельно, взяв за образец △ DUK.

    Хеш-метки показывают стороны ∠DU ≅ ∠DK, что указывает на то, что у вас равнобедренный треугольник. Если эти две стороны, называемые ног , равны, тогда это равнобедренный треугольник. Что еще у тебя есть?

    Свойства равнобедренного треугольника

    Давайте использовать △ DUK для изучения деталей:

    • Как и любой треугольник, △ DUK имеет три внутренних угла: ∠D, ∠U и ∠K
    • .

    • Все три внутренних угла острые
    • Как и любой треугольник, △ DUK имеет три стороны: DU, UK и DK
    • ∠DU ≅ ∠DK, поэтому мы называем этих близнецов ногами
    • Третья сторона называется основанием (даже если треугольник не находится на этой стороне)
    • Два угла, образованные между основанием и ножками, ∠DUK и ∠DKU, или для краткости ∠D и ∠K, называются базовыми углами :

    Теорема о равнобедренном треугольнике

    Зная части треугольника, вот проблема: как мы докажем , что углы основания совпадают? Это суть теоремы о равнобедренном треугольнике , которая построена как условное выражение (если, то) :

    Теорема о равнобедренном треугольнике гласит: Если две стороны треугольника совпадают, , тогда углов, противоположных этим сторонам, совпадают.

    Чтобы математически доказать это, нам нужно ввести срединную линию, линию, построенную от внутреннего угла к средней точке противоположной стороны. Находим точку C на базе UK и строим линейный сегмент DC:

    .

    Вот! Это просто УТКА! Посмотрите на два треугольника, образованных медианой. Нам дано:

    1. UC ≅ CK (медиана)
    2. DC ≅ DC (рефлексивное свойство)
    3. DU ≅ DK (дано)

    Мы только что показали, что три стороны DUC конгруэнтны △ DCK, что означает, что у вас есть Side Side Side Postulate , который дает конгруэнтность.Таким образом, если два треугольника конгруэнтны, то соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны (CPCTC), что означает…

    Обращение теоремы о равнобедренном треугольнике

    Обратное условное утверждение делается путем замены гипотезы (если…) заключением (тогда…) . Возможно, вам придется повозиться с этим, чтобы убедиться, что это имеет смысл. Итак, вот еще раз теорема о равнобедренном треугольнике:

    .

    Если две стороны треугольника совпадают, тогда углов, противоположных этим сторонам, совпадают.

    Чтобы сделать обратное, мы могли бы точно поменять местами детали, получая что-то вроде мешанины:

    Если углов, противоположных этим сторонам, совпадают, , тогда две стороны треугольника совпадают.

    Это неудобно, поэтому поправьте формулировку:

    Теорема , обратная к равнобедренному треугольнику. Теорема гласит: Если два угла треугольника совпадают, , тогда сторон, противоположных этим углам, совпадают.

    Теперь это имеет смысл, но так ли это? Не все обратные утверждения условного утверждения верны. Если исходный условный оператор ложен, , тогда , обратное также будет ложным. Если предположение истинно, тогда обратное может быть истинным или ложным:

    Если увижу медведя, тогда лягу и останусь на месте.

    Если лягу и остаюсь неподвижным, тогда увижу медведя.

    Для того, чтобы обратное утверждение было правдой, сон в своей постели стал бы странным занятием.

    Или вот этот:

    Если у меня есть мед, то я привлечу медведей.

    Если я привлекаю медведей, тогда у меня будет мед.

    Если медведи не принесут приманки, чтобы поделиться с вами, обратное вряд ли когда-либо произойдет. А медведи очень эгоистичны.

    Доказательство обратного утверждения

    Чтобы доказать обратное, построим еще один равнобедренный треугольник △ BER.

    Учитывая, что ∠BER ≅ ∠BRE, мы должны доказать, что BE ≅ BR.

    Добавьте биссектрису угла от ∠EBR вниз к основанию ER. Там, где биссектриса угла пересекает основание ER, обозначьте это точкой A.

    Теперь у нас есть два маленьких прямоугольных треугольника вместо одного большого равнобедренного треугольника: △ BEA и △ BAR. Поскольку отрезок BA является биссектрисой, получается EBA ≅ ∠RBA. Поскольку отрезок BA используется в обоих меньших прямоугольных треугольниках, он конгруэнтен сам себе. Что у нас есть?

    • ∠BER ≅ ∠BRE (дано)
    • ∠EBA ≅ ∠RBA (биссектриса угла)
    • BA ≅ BA (отражающее свойство)

    Посмотрим… это угол, еще один угол и сторона.Это будет Angle Angle Side Theorem , AAS:

    Теорема AAS гласит: Если два угла и не включенная сторона одного треугольника конгруэнтны соответствующим частям другого треугольника, , тогда треугольники конгруэнтны.

    Если сами треугольники доказаны конгруэнтными, их соответствующие части конгруэнтны (CPCTC), что делает BE ≅ BR. Обратное к теореме о равнобедренном треугольнике верно!

    Краткое содержание урока

    Выполнив эти упражнения, вы теперь можете распознать и нарисовать равнобедренный треугольник, математически доказать конгруэнтные равнобедренные треугольники с помощью теоремы о равнобедренных треугольниках и математически доказать обратное к теореме о равнобедренных треугольниках.Теперь вы также должны увидеть связь между теоремой о равнобедренном треугольнике с постулатом «сторона-сторона» и теоремой «угол-сторона».

    Следующий урок:

    Альтернативные внешние углы

    Трапеции вкратце

    Последнее семейство четырехугольников — изгои. Они отличаются от остальных четырехугольников, как социально неудобный гость на четырехугольной вечеринке.

    В то время как у остальных есть конгруэнтные стороны и углы, о которых можно болтать, эти четырехугольники просто висят у закусочной.Время от времени они могут завязать разговор с одиноким многоугольником, который случайно забредает туда, но это никогда не длится долго, и они просто возвращаются к неудобно уставившимся себе под ноги.

    Трапеция представляет собой четырехугольник с только одним набором параллельных сторон. Они абсолютно не могут иметь два набора параллельных сторон. Поэтому, когда трапеции начинают свою вечеринку после того, как их выгнали из четырехугольника, мы можем быть уверены, что прямоугольники, квадраты и параллелограммы определенно не будут в списке гостей.Возьмите это, лохи.

    Пример задачи

    Этот четырехугольник — трапеция?

    Сколько пар параллельных линий вы видите? Верх и низ параллельны друг другу, как и две стороны. Поскольку у него две пары параллельных линий, а у трапеции должен быть только один , это не трапеция. Извини, приятель.

    Подобно воздушным змеям с их особыми диагоналями, трапеции также имеют части со специальными названиями (хотя ни одно из них не так странно, как названия наших частей).Трапеция имеет два основания, каждое из которых является одной из параллельных сторон. Две другие стороны, которые не параллельны друг другу, называются ножками трапеции.

    Поскольку параллельны только основания, а ветви — нет, мы можем представить этот сценарий как две непараллельные трансверсали, пересекающие пару параллельных линий.

    Глядя на ∠1 и ∠2, мы видим, что это последовательные внутренние углы. То же самое для №3 и №4. Мы уже знаем (благодаря нашему обширному опыту работы с параллельными линиями), что последовательные внутренние углы являются дополнительными, поэтому мы доказали, что последовательные углы в трапеции, которые имеют одну и ту же опору, являются дополнительными.

    Когда обе стороны трапеции имеют одинаковую длину, у нас есть особый тип четырехугольника, называемый равнобедренной трапецией .

    Как и следовало ожидать, равнобедренные трапеции имеют конгруэнтные части, а также конгруэнтные последовательные углы, общие для основания. Конечно, в то время как равнобедренные треугольники имеют только одно «основание», у равнобедренных трапеций их два. Мы говорим, что вдвойне веселее.

    Пример задачи

    Если трапеция JANE равнобедренная и один из углов ее основания составляет 73 °, каковы размеры трех других углов?

    Существует много разных способов определения размеров ∠1, ∠2 и ∠3, но мы начнем с того факта, что в равнобедренной трапеции оба угла, имеющие общее основание, совпадают.Поскольку угол 73 ° и ∠3 разделяют основание JE , они совпадают. Другими словами, m∠3 = 73 °.

    Мы также знаем, что, поскольку ∠2 и ∠3 являются последовательными внутренними углами, они являются дополнительными. Мы знаем меру 3, поэтому давайте найдем меру 2.

    м∠2 + м∠3 = 180 °
    м∠2 + 73 ° = 180 °
    м∠2 = 180 ° — 73 °
    м∠2 = 107 °

    А как насчет ∠1? Поскольку у него общее основание с ∠2, эти два угла конгруэнтны друг другу. Это также означает, что m∠1 = 107 °.

    Мы можем дважды проверить это, вспомнив, что все четырехугольники имеют внутренние углы, которые в сумме составляют 360 °.Если мы возьмем сумму этих четырех углов, то и получим это число.

    73 ° + 73 ° + 107 ° + 107 ° ≟ 360 °
    360 ° = 360 °

    Ага. Это те углы, которые у нас есть. Не сомневайся на этот счет.

    Каждый четырехугольник имеет свои VIP или очень важные многоугольники. И без того эксклюзивный клуб трапеций не исключение. VIP-элементы семейства трапеций — это равнобедренные трапеции. Если они не славятся своими одинаковыми базовыми углами и ногами, то говорят их диагонали.Да, верно: у равнобедренных трапеций совпадающие диагонали. Не верите нам? Подскажем: это из-за чего-то под названием SAS. (Нет, не «дерзко».)

    Другой тип VIP в области трапеций — это правая трапеция , которая имеет один прямой угол. Конечно, где бы ни находился этот прямой угол, к нему будет идти еще один, потому что основания параллельны друг другу.

    Хотя не все трапеции созданы равными, нам понадобится что-то, чтобы объединить все трапеции, чтобы не было гражданской войны или чего-то подобного.Итак, мы дадим каждой трапеции — даже этим обычным старым неравнобедренным — нечто вроде пояса, называемое медианой. Это выравнивает игровое поле, а также помогает им втягивать кишки после сытной трапезы в День Благодарения.

    Медиана трапеции — это сегмент, параллельный основаниям, который соединяет середины непараллельных сторон. Эта линия особенная, потому что мы можем определить ее длину непосредственно по длине двух оснований. Без шуток.

    Длина медианы трапеции, L , составляет половину суммы длин оснований B 1 и B 2 .

    Пример задачи

    Четырехугольник ABCD — это трапеция, а EF — это медиана трапеции. Какова длина EF ?

    Поскольку мы знаем длины двух оснований, мы можем использовать формулу медианы, чтобы найти эту длину.

    Медиана EF составляет 16 единиц в длину.

    % PDF-1.4
    %
    197 0 объект
    >
    эндобдж
    xref
    197 501
    0000000016 00000 н.
    0000010372 00000 п.
    0000010600 00000 п.
    0000010664 00000 п.
    0000012631 00000 п.
    0000012884 00000 п.
    0000012968 00000 п.
    0000013121 00000 п.
    0000013184 00000 п.
    0000013285 00000 п.
    0000013458 00000 п.
    0000013526 00000 п.
    0000013640 00000 п.
    0000013771 00000 п.
    0000013839 00000 п.
    0000013977 00000 п.
    0000014045 00000 п.
    0000014189 00000 п.
    0000014257 00000 п.
    0000014385 00000 п.
    0000014453 00000 п.
    0000014569 00000 п.
    0000014637 00000 п.
    0000014704 00000 п.
    0000014771 00000 п.
    0000014840 00000 п.
    0000014911 00000 п.
    0000014980 00000 п.
    0000015048 00000 п.
    0000015139 00000 п.
    0000015226 00000 п.
    0000015294 00000 п.
    0000015411 00000 п.
    0000015479 00000 п.
    0000015626 00000 п.
    0000015687 00000 п.
    0000015775 00000 п.
    0000015864 00000 п.
    0000016010 00000 п.
    0000016078 00000 п.
    0000016180 00000 п.
    0000016316 00000 п.
    0000016462 00000 п.
    0000016530 00000 п.
    0000016650 00000 п.
    0000016759 00000 п.
    0000016905 00000 п.
    0000016973 00000 п.
    0000017066 00000 п.
    0000017212 00000 п.
    0000017280 00000 п.
    0000017378 00000 п.
    0000017505 00000 п.
    0000017650 00000 п.
    0000017718 00000 п.
    0000017830 00000 п.
    0000017931 00000 п.
    0000018076 00000 п.
    0000018144 00000 п.
    0000018248 00000 п.
    0000018350 00000 п.
    0000018496 00000 п.
    0000018564 00000 п.
    0000018662 00000 п.
    0000018782 00000 п.
    0000018927 00000 п.
    0000018995 00000 п.
    0000019099 00000 н.
    0000019201 00000 п.
    0000019347 00000 п.
    0000019415 00000 п.
    0000019517 00000 п.
    0000019630 00000 п.
    0000019776 00000 п.
    0000019844 00000 п.
    0000019952 00000 п.
    0000020060 00000 н.
    0000020205 00000 п.
    0000020273 00000 п.
    0000020374 00000 п.
    0000020476 00000 п.
    0000020621 00000 п.
    0000020689 00000 п.
    0000020794 00000 п.
    0000020902 00000 н.
    0000021047 00000 п.
    0000021115 00000 п.
    0000021234 00000 п.
    0000021341 00000 п.
    0000021486 00000 п.
    0000021555 00000 п.
    0000021661 00000 п.
    0000021761 00000 п.
    0000021916 00000 п.
    0000021984 00000 п.
    0000022087 00000 п.
    0000022181 00000 п.
    0000022250 00000 п.
    0000022368 00000 п.
    0000022437 00000 п.
    0000022549 00000 п.
    0000022617 00000 п.
    0000022731 00000 п.
    0000022799 00000 п.
    0000022925 00000 п.
    0000022993 00000 п.
    0000023119 00000 п.
    0000023187 00000 п.
    0000023310 00000 п.
    0000023378 00000 п.
    0000023483 00000 п.
    0000023551 00000 п.
    0000023651 00000 п.
    0000023719 00000 п.
    0000023833 00000 п.
    0000023901 00000 п.
    0000023959 00000 п.
    0000024017 00000 п.
    0000024075 00000 п.
    0000024133 00000 п.
    0000024191 00000 п.
    0000024249 00000 п.
    0000024307 00000 п.
    0000024365 00000 н.
    0000024423 00000 п.
    0000024481 00000 п.
    0000024549 00000 п.
    0000024607 00000 п.
    0000024665 00000 п.
    0000024734 00000 п.
    0000024850 00000 п.
    0000024919 00000 п.
    0000025038 00000 п.
    0000025107 00000 п.
    0000025238 00000 п.
    0000025307 00000 п.
    0000025428 00000 п.
    0000025497 00000 п.
    0000025555 00000 п.
    0000025613 00000 п.
    0000025671 00000 п.
    0000025729 00000 п.
    0000025787 00000 п.
    0000025856 00000 п.
    0000025914 00000 п.
    0000025972 00000 н.
    0000026040 00000 п.
    0000026171 00000 п.
    0000026239 00000 п.
    0000026359 00000 п.
    0000026427 00000 н.
    0000026546 00000 п.
    0000026614 00000 п.
    0000026738 00000 п.
    0000026806 00000 п.
    0000026931 00000 п.
    0000026999 00000 н.
    0000027119 00000 н.
    0000027187 00000 п.
    0000027302 00000 п.
    0000027370 00000 н.
    0000027428 00000 н.
    0000027486 00000 н.
    0000027544 00000 п.
    0000027602 00000 п.
    0000027660 00000 п.
    0000027718 00000 п.
    0000027776 00000 п.
    0000027834 00000 п.
    0000027902 00000 н.
    0000027960 00000 н.
    0000028018 00000 п.
    0000028086 00000 п.
    0000028202 00000 п.
    0000028270 00000 п.
    0000028389 00000 п.
    0000028457 00000 п.
    0000028571 00000 п.
    0000028639 00000 п.
    0000028765 00000 п.
    0000028833 00000 п.
    0000028891 00000 п.
    0000028949 00000 п.
    0000029007 00000 п.
    0000029065 00000 н.
    0000029123 00000 п.
    0000029191 00000 п.
    0000029249 00000 п.
    0000029307 00000 п.
    0000029375 00000 п.
    0000029485 00000 н.
    0000029553 00000 п.
    0000029611 00000 п.
    0000029669 00000 п.
    0000029737 00000 п.
    0000029795 00000 п.
    0000029853 00000 п.
    0000029922 00000 н.
    0000030039 00000 п.
    0000030108 00000 п.
    0000030224 00000 п.
    0000030293 00000 п.
    0000030409 00000 п.
    0000030478 00000 п.
    0000030595 00000 п.
    0000030664 00000 п.
    0000030780 00000 п.
    0000030848 00000 п.
    0000030964 00000 п.
    0000031033 00000 п.
    0000031153 00000 п.
    0000031221 00000 п.
    0000031338 00000 п.
    0000031406 00000 п.
    0000031534 00000 п.
    0000031602 00000 п.
    0000031716 00000 п.
    0000031784 00000 п.
    0000031901 00000 п.
    0000031969 00000 п.
    0000032088 00000 п.
    0000032156 00000 п.
    0000032273 00000 п.
    0000032341 00000 п.
    0000032466 00000 п.
    0000032534 00000 п.
    0000032657 00000 п.
    0000032725 00000 п.
    0000032783 00000 п.
    0000032841 00000 п.
    0000032899 00000 н.
    0000032957 00000 п.
    0000033015 00000 п.
    0000033073 00000 п.
    0000033131 00000 п.
    0000033189 00000 п.
    0000033247 00000 н.
    0000033305 00000 п.
    0000033363 00000 п.
    0000033421 00000 п.
    0000033479 00000 п.
    0000033537 00000 п.
    0000033595 00000 п.
    0000033653 00000 п.
    0000033721 00000 п.
    0000033779 00000 п.
    0000033837 00000 п.
    0000033905 00000 п.
    0000034022 00000 п.
    0000034090 00000 п.
    0000034207 00000 п.
    0000034274 00000 п.
    0000034398 00000 п.
    0000034466 00000 п.
    0000034590 00000 п.
    0000034658 00000 п.
    0000034775 00000 п.
    0000034843 00000 п.
    0000034960 00000 п.
    0000035028 00000 п.
    0000035145 00000 п.
    0000035212 00000 п.
    0000035329 00000 п.
    0000035397 00000 п.
    0000035455 00000 п.
    0000035513 00000 п.
    0000035571 00000 п.
    0000035629 00000 п.
    0000035687 00000 п.
    0000035745 00000 п.
    0000035803 00000 п.
    0000035861 00000 п.
    0000035919 00000 п.
    0000035987 00000 п.
    0000036045 00000 п.
    0000036103 00000 п.
    0000036171 00000 п.
    0000036288 00000 п.
    0000036356 00000 п.
    0000036482 00000 п.
    0000036550 00000 п.
    0000036675 00000 п.
    0000036743 00000 п.
    0000036801 00000 п.
    0000036859 00000 п.
    0000036917 00000 п.
    0000036975 00000 п.
    0000037043 00000 п.
    0000037101 00000 п.
    0000037159 00000 п.
    0000037228 00000 п.
    0000037352 00000 п.
    0000037420 00000 п.
    0000037532 00000 п.
    0000037600 00000 п.
    0000037719 00000 п.
    0000037787 00000 п.
    0000037908 00000 н.
    0000037976 00000 п.
    0000038135 00000 п.
    0000038203 00000 п.
    0000038366 00000 п.
    0000038434 00000 п.
    0000038553 00000 п.
    0000038621 00000 п.
    0000038746 00000 п.
    0000038814 00000 п.
    0000038933 00000 п.
    0000039001 00000 п.
    0000039059 00000 п.
    0000039117 00000 п.
    0000039175 00000 п.
    0000039233 00000 п.
    0000039291 00000 п.
    0000039349 00000 п.
    0000039407 00000 п.
    0000039465 00000 п.
    0000039523 00000 п.
    0000039581 00000 п.
    0000039649 00000 н.
    0000039707 00000 п.
    0000039765 00000 п.
    0000039833 00000 п.
    0000039950 00000 н.
    0000040018 00000 п.
    0000040135 00000 п.
    0000040203 00000 п.
    0000040333 00000 п.
    0000040401 00000 п.
    0000040520 00000 п.
    0000040588 00000 п.
    0000040646 00000 п.
    0000040704 00000 п.
    0000040762 00000 п.
    0000040820 00000 п.
    0000040878 00000 п.
    0000040946 00000 п.
    0000041004 00000 п.
    0000041062 00000 п.
    0000041130 00000 п.
    0000041256 00000 п.
    0000041324 00000 п.
    0000041457 00000 п.
    0000041525 00000 п.
    0000041650 00000 п.
    0000041718 00000 п.
    0000041776 00000 п.
    0000041834 00000 п.
    0000041892 00000 п.
    0000041950 00000 п.
    0000042018 00000 п.
    0000042076 00000 п.
    0000042134 00000 п.
    0000042203 00000 п.
    0000042319 00000 п.
    0000042388 00000 п.
    0000042519 00000 п.
    0000042587 00000 п.
    0000042711 00000 п.
    0000042779 00000 п.
    0000042918 00000 п.
    0000042986 00000 п.
    0000043123 00000 п.
    0000043191 00000 п.
    0000043314 00000 п.
    0000043382 00000 п.
    0000043502 00000 п.
    0000043570 00000 п.
    0000043628 00000 п.
    0000043686 00000 п.
    0000043744 00000 п.
    0000043802 00000 п.
    0000043860 00000 п.
    0000043918 00000 п.
    0000043976 00000 п.
    0000044034 00000 п.
    0000044102 00000 п.
    0000044160 00000 п.
    0000044218 00000 п.
    0000044286 00000 п.
    0000044344 00000 п.
    0000044402 00000 п.
    0000044470 00000 п.
    0000044592 00000 п.
    0000044660 00000 п.
    0000044780 00000 п.
    0000044848 00000 н.
    0000044974 00000 п.
    0000045042 00000 п.
    0000045100 00000 п.
    0000045158 00000 п.
    0000045216 00000 п.
    0000045274 00000 п.
    0000045342 00000 п.
    0000045400 00000 п.
    0000045458 00000 п.
    0000045526 00000 п.
    0000045655 00000 п.
    0000045722 00000 п.
    0000045853 00000 п.
    0000045921 00000 п.
    0000046043 00000 п.
    0000046111 00000 п.
    0000046240 00000 п.
    0000046308 00000 п.
    0000046437 00000 п.
    0000046505 00000 п.
    0000046636 00000 п.
    0000046704 00000 п.
    0000046762 00000 н.
    0000046820 00000 н.
    0000046878 00000 п.
    0000046936 00000 п.
    0000046994 00000 п.
    0000047052 00000 п.
    0000047110 00000 п.
    0000047178 00000 п.
    0000047236 00000 п.
    0000047294 00000 п.
    0000047354 00000 п.
    0000047458 00000 п.
    0000047518 00000 п.
    0000047622 00000 п.
    0000047682 00000 п.
    0000047785 00000 п.
    0000047845 00000 п.
    0000047948 00000 н.
    0000048008 00000 н.
    0000048111 00000 п.
    0000048171 00000 п.
    0000048274 00000 п.
    0000048334 00000 п.
    0000048437 00000 п.
    0000048496 00000 п.
    0000048599 00000 н.
    0000048658 00000 п.
    0000048761 00000 п.
    0000048822 00000 н.
    0000048883 00000 н.
    0000048944 00000 н.
    0000049005 00000 п.
    0000049073 00000 п.
    0000049132 00000 п.
    0000049191 00000 п.
    0000049250 00000 п.
    0000049318 00000 п.
    0000049385 00000 п.
    0000049446 00000 п.
    0000049485 00000 п.
    0000049827 00000 н.
    0000050205 00000 п.
    0000050593 00000 п.
    0000050615 00000 п.
    0000050724 00000 п.
    0000052074 00000 п.
    0000052096 00000 п.
    0000052379 00000 п.
    0000052754 00000 п.
    0000053137 00000 п.
    0000053159 00000 п.
    0000053181 00000 п.
    0000053368 00000 п.
    0000053804 00000 п.
    0000054654 00000 п.
    0000054960 00000 п.
    0000055815 00000 п.
    0000056150 00000 п.
    0000056947 00000 п.
    0000057387 00000 п.
    0000058187 00000 п.
    0000058209 00000 п.
    0000059029 00000 н.
    0000059051 00000 н.
    0000059661 00000 п.
    0000059683 00000 п.
    0000060351 00000 п.
    0000060373 00000 п.
    0000061097 00000 п.
    0000061119 00000 п.
    0000061804 00000 п.
    0000061826 00000 п.
    0000061886 00000 п.
    0000062241 00000 п.
    0000063028 00000 п.
    0000063736 00000 п.
    0000063758 00000 п.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.