1 y график: § Школьная математика. Математика 6 класс. Уроки по математике. Математика 5 класс

Содержание

Используя график функции y=x² и преобразования графиков, построить графики функций:
1)

Пешеход прошел 7 км за 3 часа, 6км за 2 часа и 5 км за 1 час. Найти среднюю скорость движения пешехода на всем пути.​

‼️СРОЧНО КТО ОТВЕТИТЬ СКИНУ НА КАСПИ 1К ТЕНГЕ ‼️средняя скорость лодки по течению реки 10,6 км/ч, а против течения реки — 8,7км/ч Найдите собственную

скорость лодки ​

знайдіть суму векторів а(-3;4;6) і b(9;-10;1)​

Рассмотри план, прочти описание и рассчитай, какова ширина окон в спальне, гостиной и кухне, без учёта балконов. Ответ дай в метрах. Длина стороны кле

тки на плане — 0,4 м. Ответ округли до десятых, если при расчёте не получается целое число.

За 3 кг огурцов и 2 кг помидоров заплатили 840 тг. Сколько стоит 1 кг огурцов и 1 кг помидоров, если 5кг огурцов дешевле 5 кг помидоров на 100 тг?160

и 180185 и 205140 и 185150 и 170220 n 250ПОЖАЛУЙСТА БЫСТРЕЕ​

Самолет летел из города А В город В. Когда он пробыл в пути 2ч 15 мин., то емуосталось лететь на 3ч 27 мин. больше, чем он летел. За какое время самол

етдолжен пролететь весь путь?​

1.[5 балл] 1.5×4 см2 тіктӛртбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы1,5 см.
радиус шеңбері жазылған. Тіктӛртбұрышқа кездейсоқ қойылған нүкте шеңберді

ң
ішінде болмауы ықтималдығы қандай? Жауапты мыңға дейін жуықтаңыз.
2.[3 балл] Жәшікте 90 шар,олар 1,2,…,90-ге дейін белгіленген.Жәшіктен кездейсоқ
бір шар алынды.Алынған шардың 6 сан болатын ықтималдығын табыңыз?
3.[3 балл] Бір уақытта екі ойын сүйегі лақтырылды. Сүйектердің жоғарғы жағында
шыққан сандардың қосындысы 8 болу ықтималдылығын табыңыз?
4.[2 балл] Фабрикада сӛмкелер шығарылады.100 сӛмкенің ішінде 8-сінде ақауы
кездеседі.Кездейсоқ алынған сӛмкенің ақауысыз болуының ықтималдығын
табыңыз.
5. [3 балл] Такси фирмасында кәзіргі уақытта 20 кӛлік бар:10 қара, 2 сары және
8жасыл. Шақыру тапсырыс берген адамға ең жақын кӛлік шықты. Кездейсоқ шыққан
кӛліктің жасыл болуының ықтималдығын табыңыз.

Помогите пожалуйстаДам 11 балловСРОЧНО У МЕНЯ С.Р​

Сумма двух чисел равна 70. Первое число на 24 больше второго. Найдите эти числа.

A А5:22. Яке з чисел не є спільним кратним чисел 18 і 45?А90Б180В240T​

линейная функция, квадратичная, кубическая и y=1/x

 

Степенной называется функция вида y=xn (читается как y равно х в степени n), где n – некоторое заданное число. Частными случаями степенных функций является функции вида y=x, y=x2, y=x3, y=1/x и многие другие. Расскажем подробнее о каждой из них.

Линейная функция y=x

1 (y=x)

График прямая линия, проходящая через точку (0;0) под углом 45 градусов к положительному направлению оси Ох.

График представлен ниже.

Основные свойства линейной функции:

  • Функция возрастающая и определена на всей числовой оси. 
  • Не имеет максимального и минимального значений. 

Квадратичная функция y=x

2

Графиком квадратичной функции является парабола. 

Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Основные свойства квадратичной функции:

  • 1.  При х =0, у=0, и у>0 при х0
  • 2. Минимальное значение  квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
  • 3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;+∞). 
  • 4. Противоположным значениям х соответствует одинаковые значения y. 

Кубическая функция y=x

3

Графиком кубической функции называется кубическая парабола.

Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.  

Основные свойства кубической функции:

  • 1. При х =0, у=0. у>0 при х>0 и y
  • 2. У кубической функции не существует не максимального ни минимального значения.
  • 3. Кубическая функция возрастает на всей числовой оси (-∞;+∞).
  • 4. Противоположным значениям х, соответствуют противоположные значения y.

Функция вида y=x

-1 (y=1/x)

Графиком функции y=1/x называется гипербола.

Общий вид гиперболы представлен на рисунке ниже.

Основные свойства функции y = 1/x:

  • 1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы. 
  • 2. Оси координат – асимптоты гиперболы.
  • 3. Прямая y=x ось симметрии гиперболы.
  • 4. Область определения функции все х, кроме х=0.
  • 5. y>0 при x>0; y
  • 6. Функция убывает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).
  • 7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
  • 8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
  • 9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.
  • 10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Четные и нечетные функции: графики и свойства
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspОпределение корня n-ой степени: извлечение корня

Функции y=|x|, y=[x],y={x}, y=sign(x) и их графики. Функция f(x)=|x|

Функция $f(x)=|x|$

$|x|$ — модуль. Он определяется следующим образом: Если действительное число будет неотрицательным, то значение модуля совпадает с самим числом. Если же отрицательно, то значение модуля совпадает с абсолютным значением данного числа.

Математически это можно записать следующим образом:

Пример 1

Исследуем и построим её график.

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. По определению модуля действительного числа, получим, что$E\left(f\right)=[0,\infty )$
  3. $f\left(-x\right)=|-x|=|x|=f(x)$. Значит, функция четна.
  4. При $x=0,\ y=0$. Точка $\left(0,0\right)$ — единственное пересечение с координатными осями.
  5. \[f’\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{c} {1,x >0,} \\ {-1,xФункция будет возрастать на промежутке $x\in (0,+\infty )$

    Функция будет убывать на промежутке $x\in (-\infty ,0)$

  6. Значения на концах области определения.

    \[{\mathop{\lim }_{x\to -\infty } y\ }=+\infty \] \[{\mathop{\lim }_{x\to +\infty } y\ }=+\infty \]

    Рисунок 1.

Функция $f(x)=[x]$

Функция $f\left(x\right)=[x]$ — функция целой части числа. Она находится округлением числа (если оно само не целое) «в меньшую сторону».

Пример: $[2,6]=2.$

Пример 2

Исследуем и построим её график.

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. Очевидно, что эта функция принимает только целые значения, то есть $\ E\left(f\right)=Z$
  3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Следовательно, эта функция будет общего вида.
  4. $(0,0)$ — единственная точка пересечения с осями координат.
  5. $f’\left(x\right)=0$
  6. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$.

Рисунок 2.

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$ — функция дробной части числа. Она находится «отбрасыванием» целой части этого числа.

$\{2,6\}=0,6$

Пример 3

Исследуем и построим график функции

  1. $D\left(f\right)=R$.

  2. Очевидно, что эта функция никогда не будет отрицательной и никогда не будет больше единицы, то есть $\ E\left(f\right)=[0,1)$

  3. $f\left(-x\right)=\{-x\}$. Следовательно, данная функция будет общего вида.

    Пересечение с осью $Ox$: $\left(z,0\right),\ z\in Z$

    Пересечение с осью $Oy$: $\left(0,0\right)$

  4. $f’\left(x\right)=0$

  5. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$

    Рисунок 3.

Функция $f(x)=sign(x)$

Функция $f\left(x\right)=sign(x)$ — сигнум-функция. Эта функция показывает, какой знак имеет действительное число. Если число отрицательно, то функция имеет значение $-1$. Если число положительно, то функция равняется единице. При нулевом значении числа, значение функции также будет принимать нулевое значение.

Математически это можно записать следующим образом:

Пример 4

Исследуем и построим график функции

  1. $D\left(f\right)=R$.
  2. Непосредственно из определения, получим
  3. \[\ E\left(f\right)=\left\{-1\right\}\cup \left\{0\right\}\cup \{1\}\]
  4. $f\left(-x\right)=sign\left(-x\right)=-sign(x)$.3+ 1$.

    1. Составим таблицу значений:

    2. Построим точки. Мы видим, что эти точки симметричны относительно точки с координатами (0,1). В итоге получаем кубическую параболу, смещенную вверх по оси OY (см. рис. 3).

    Построение графиков функций геометрическими методами / math5school.ru

     

    График функции y=f(x)+a

    График функции y=f(x–a)

    График функции y=kf(x), k>0

    График функции y=f(kx), k>0

    График функции y=–f(x)

    График функции y=f(–x)

    График функции y=|f(x)|

    График функции y=f(|x|)

     

    График функции

    y=f(x)+a

    Способ построения: параллельный перенос графика функции y=f(x) вдоль оси Oy на а единиц вверх, если a>0, и на |a| единиц вниз, если a<0.

     

           

           

     

     

    График функции

    y=f(x–a)

    Способ построения: параллельный перенос графика функции y=f(x) вдоль оси Ox на а единиц вправо, если a>0, и на |a| единиц влево, если a<0.

     

           

           

     

    График функции

    y=kf(x), k>0

    Способ построения: растяжение графика функции y=f(x) вдоль оси Oy относительно оси Ox в k раз, если k>1, и сжатие в 1/k раз, если 0<k<1.

     

           

           

           

      

     

    График функции

    y=f(kx), k>0

    Способ построения: сжатие графика функции y=f(x) вдоль оси Ox относительно оси Oy в k раз, если k>1, и растяжение в 1/k раз, если 0<k<1.

     

           

           

            

     

     

    График функции

    y=–f(x)

    Способ построения: симметричное отражение графика функции y=f(x) относительно оси Ox.

     

           

           

     

     

    График функции

    y=f(–x)

    Способ построения: симметричное отражение графика функции y=f(x) относительно оси Oy.

     

           

           

     

     

    График функции

    y=|f(x)|

    Способ построения: часть графика функции y=f(x), расположенная ниже оси Ox, симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остаётся без изменения.

     

           

           

     

     

    График функции

    y=f(|x|)

    Способ построения: часть графика функции y=f(x), расположенная правее оси Oy и на ней, остаётся без изменения, а остальная его часть заменяется симметричным отображением относительно оси Oy части графика, расположенной правее оси Oy.

     

           

           

     

          Смотрите также:

    Таблицы чисел

    Алгебраические тождества

    Степени

    Арифметический корень n-й степени

    Логарифмы 

    Графики элементарных функций

    Тригонометрия

    Таблицы значений тригонометрических функций

    Треугольники

    Четырёхугольники

    Многоугольники

    Окружность 

    Площади геометрических фигур

    Прямые и плоскости

    Многогранники 

    Тела вращения 

     

    Смещение графика квадратичной функции y = (x



    Цели урока:

    Образовательная: исследовать смещение
    графика квадратичной функции, определить
    положение графика в зависимости от значений
    коэффициентов b, c.

    Воспитательная: умение работать в группе,
    организованности.

    Развивающая: навыки исследовательской
    работы, умение выдвигать гипотезы, анализировать
    полученные результаты, систематизировать
    полученные данные.



    Структура урока

    1. Организационный момент – 3 минуты.
    2. Исследовательская работа – 20 минут.
    3. Закрепление изученного материала – 15 минут.
    4. Рефлексия – 2 минут.
    5. Итог урока – 3 минуты.
    6. Домашнее задание – 2 минуты.


    Ход урока


    1. Организационный момент.


    Цель урока провести исследовательскую работу.
    Объектом исследования будут квадратичные
    функции разного вида. Вам предстоит определить,
    как влияют коэффициенты b, cна график
    функций вида y=x2+с, y=(x-b)2, y=(x-b)2+c.

    Для выполнения задания необходимо разделиться
    на группы (4 группы по 5 человек, одна группа
    “эксперты” наиболее подготовленные ученики).

    Каждая группа получает план исследования
    <Приложение>, лист формата А3 для оформления
    результатов.


    2. Исследовательская работа

    .

    Две группы (уровень А) исследуют функции вида y= x2+с,
    одна группа (уровень В) исследует функцию вида
    y=(x-b)2, одна группа (уровень С) исследует
    функцию y=(x-b)2+c. Группа “Экспертов”
    исследует все функции.







      Функция Результат  
    1 группа у=x2+3; <Рисунок 10>
    2 группа у=x2-5; <Рисунок 11>
    3 группа у=(х-4)2; <Рисунок 12>
    4 группа у=(х-2)2+3. <Рисунок 13>



    План работы

    1. Для того чтобы выдвинуть гипотезу сделайте
      предположение, как может выглядеть ваша функция.
    2. Постройте график исследуемых функций
      (определите вершину параболы (х0, y0),
      задайте таблицей 4 точки).
    3. Сравните получившийся график с контрольным
      образцом y=x2.
    4. Сделайте вывод (как изменилось положение
      графика вашей функции относительно контрольного
      образца).
    5. Результаты оформите на листе формата А3 и
      представьте “экспертной” группе.

    “Экспертная” группа сверяет результаты свои с
    результатами остальных групп, систематизирует и
    обобщает результаты, выступает с выводами. В
    случае неточностей или ошибок учитель вносит
    коррекционные замечания.

    Сверка полученных результатов со слайдами
    №2-5.

    Любую квадратичную функцию y=ax2+bx+c, можно
    записать в виде y=a(x-x0)2+y0, где x0
    и y0 выражаются через коэффициенты a, b, c.
    Таким образом, ваши коэффициенты b=x0, c=y0
    являются координатами вершины параболы.


    3. Закрепление изученного материала.


    Фронтальная работа с классом.

    1. Найти ошибку в графиках функций (Слайды№6-9).










    y=(х+6)2

    у=х2-2

    Коэффициент b

    Нет ошибки

    Рисунок 1

    Рисунок 2

    у=(х+5)2-1 у=(х-2)2+2
    Коэффициент b и с Коэффициент b
    Рисунок 3 Рисунок 4

    Результаты

    <Рисунок 7>

    <Рисунок 2>

    <Рисунок 8>

    <Рисунок 9>

    Какой коэффициент вам помог найти ошибку?

    2. Соотнесите графики функций согласно цветам (слайд
    №10)
    .

    Рисунок 5





    y=(х-4)2-2 синий
    y=-x2+5 красный
    y=(x+1)2+3 зеленый
    y=(x-3)2 фиолетовый


    4. Рефлексия.


    Группа “Экспертов” отвечают на вопросы:

    – Какие ошибки допустили группы?

    – Достигнута ли цель занятия?

    – Соответствуют ли полученные результаты
    исследования поставленной гипотезе?


    5. Итог урока (слайд №11)

    :


    На положение графика функции y=(x-b)2+c
    влияют коэффициенты b и c,

    “+b” парабола сдвинута вправо по оси абсцисс на
    b единичных отрезков,

    “–b” парабола сдвинута влево по оси абсцисс на
    b единичных отрезков,

    “+с” парабола сдвинута вверх по оси ординат на
    с единичных отрезков,

    “-с” парабола сдвинута вниз по оси ординат на с
    единичных отрезков.


    6. Домашнее задание

    1. Построить график квадратичной функции, имеющую
      вершину в точке А(1;-2), коэффициент a=1.
    2. Подумайте, в какой области можно использовать
      знания по данной теме (практическое применение).

    Приложение

    Свойства функций y=sin x, y=cos x и их графики. Преобразование графиков на примере тригонометрических функций

    Тема урока:
    Свойства функций y=sin x, y=cos x и их графики.
    Преобразование графиков
    на примере тригонометрических функций

    (практическое занятие)

    Цели урока:

    Вспомнить тригонометрические функции, их графики; рассмотреть геометрические преобразования графиков функций
    Научится строить графики сложных функций с использованием параллельного переноса, растяжения, сжатия, симметрии относительно осей координат графиков известных функций, показать построение графиков, содержащих модуль, а также с последовательным применением нескольких способов.
    прививать интерес к математике;
    воспитывать графическую культуру, умение видеть красоту математики.

    0
    х
    у
    Параллельный перенос вдоль оси OX

    0
    1
    x
    y
    -1
    )
    3
    sin(
    p
    +
    =
    x
    y

    1
    -1
    y
    x
    )
    3
    tg(
    p
    -
    =
    x
    y

    0
    х
    у
    Параллельный перенос вдоль оси Oy

    0
    1
    x
    y
    -1

    0
    1
    -1
    y
    x

    0
    х
    у
    a > 1
    Растяжение (сжатие) в a раз вдоль оси OX
    0 < a < 1

    0
    1
    x
    y
    -1
    2
    cos

    =
    x
    y

    0
    1
    x
    y
    -1

    0
    х
    у
    0 < a < 1
    Растяжение (сжатие) в а раз вдоль оси Oy
    a> 1

    0
    1
    x
    y
    -1

    1
    -1
    y
    x

    0
    х
    у
    Преобразование симметрии относительно оси Оy

    у = sin (-x)
    у = sin x
    у = sin (-x)

    0
    х
    у
    Преобразование симметрии относительно оси Оx

    y= tg x
    y= — tg x
    y= — tg x

    0
    х
    у
    Cправа от оси Оу график без изменений, а слева – симметрично правому относительно оси Оу

    у = sin │x│
    у = sin x

    0
    х
    у
    Выше оси Ох график без изменений, а ниже – симметрично относительно оси Ох

    y= tg x
    y=│ tg x │

    0
    1
    x
    y
    -1
    sin
    =
    x
    y
    -2
    3
    sin

    =
    x
    y
    3
    sin

    =
    x
    y
    -2
    3
    sin

    =
    x
    y

    0
    1
    x
    y
    -1
    Y=cosx
    Y=cos2x
    Y=-cos2x
    Y=-cos2x+3
    Y=-cos2x+3

    Самостоятельная
    работа

    Критерий оценки С/Р
    3-5 баллов – 1 задание «построить»
    По1баллу за правильную формулу (1б.5) – 2 задание «определить формулу»
    По 2 балла (2б.4)– 3 задание «определить вид преобразования»
    max=18 баллов

    1в) y = 2sinx-1
    Построить самостоятельно:

    0
    1
    x
    y
    -1

    0
    1
    x
    y
    -1

    0
    х
    у
    4
    1
    2
    3
    5
    1
    -1
    Определите формулы, соответствующие графикам функций

    X
    Y
    1
    2
    -2
    -1
    -
    X
    Y
    1
    2
    -1
    -2
    X
    Y
    1
    2
    -1
    -2
    Определить вид преобразований.
    Назвать формулу функции по графику
    X
    Y
    1
    1
    2
    -2
    -1
    а)
    б)
    в)
    г)

    Критерий оценки С/Р
    3-5 баллов – 1 задание «построить»
    По1баллу за правильную формулу (1б.5) – 2 задание «определить формулу»
    По 2 балла (2б.4)– 3 задание «определить вид преобразования»
    max=18 баллов

    Проверка результатов работы
    Слайд 1
    Слайд 2
    — растяжение по оси ОУ в 2 раза
    — сжатие по оси ОУ в 2 раза
    — сжатие по оси ОХ в 2 раза
    — растяжение по оси ОХ в 2 раза

    Выставление оценок по критериям
    9-12 баллов – «3»
    13-16 баллов – «4»
    17-18 баллов – «5»

    Подведение итогов урока
    Графики функций широко используются в различных областях науки, поэтому умение строить, “читать”, прогнозировать их “поведение”, имеет огромную роль в практической деятельности разных специальностей.

    Домашнее задание
    Построить графики, найти D(y), E(y)

    Как построить линию с помощью y = mx + b — Задача 1

    Вот задача, в которой меня просят изобразить уравнение линии. И если эта линия находится в форме y, равной mx плюс b, я могу построить 10-секундный график. Но это еще не совсем в форме y равно mx plus b. Что мне нужно сделать, так это получить все само по себе.

    Итак, первое, что я собираюсь сделать, это отменить эту часть –x, добавив x к обеим сторонам знака равенства. Итак, теперь у меня 2y равно x плюс 7. Следующее, что я хочу сделать, это разделить все на 2, чтобы получить y отдельно.Y равно 1/2 умноженному на x плюс 7/2. Теперь я готов изобразить этого парня. Это будет немного сложно, потому что у меня есть эти дроби, но я все равно смогу поставить свою первую точку в 7/2 на оси Y, которая, кстати, 7/2 равна 3½, это смешанное число. . Оттуда я буду считать 1 квадрат больше 2, 1 больше 2, 1 больше 2, чтобы показать свой наклон.

    Итак, приступим. Первая точка находится на 3½ по оси y. Вот моя ось Y, помните, что это вертикальные 1, 2, 3 и ½, вот моя точка пересечения по оси Y. Оттуда я хочу посчитать наклон, который на 1 квадрат больше 2, но будьте осторожны.Поскольку я начинаю с середины прямоугольника по вертикали, я хочу перейти к следующему центру, вверх на 1 на 2, вверх на 1 на 2. Это сложно, потому что мои точки не попадают в углы прямоугольников, но они все еще точные точки для этой линии.

    Одна вещь, о которой нужно помнить при наклоне, вы также можете двигаться в этом направлении вместо того, чтобы подниматься на 1 и 2 справа, теперь я собираюсь спуститься на 1, пройти 2 слева. Эти точки тоже на кону. Помните, что линия бесконечна в обоих направлениях, используя постоянный коэффициент наклона.

    Обычно рекомендуется наносить на график более двух точек, чтобы убедиться, что он достаточно точный, особенно в таких ситуациях, когда у меня есть дроби, и я могу ошибиться. Пожалуйста, пожалуйста, убедитесь, что вы всегда используете линейку для соединения ваших точек, чтобы ваши графики были действительно точными.

    И, наконец, убедитесь, что вы поставили стрелки на концах, чтобы показать, что эта линия тянется вечно в обоих направлениях. Если вы, ребята, умеете рисовать линии в форме y равно mx плюс b, тогда уравнения, подобные этим, где это почти в форме y равно mx плюс b, могут быть очень быстрыми для вас.

    Когда вас просят построить линию, у вас всегда есть выбор, какой метод использовать. Мне больше всего нравится использовать стратегии y равно mx плюс b, и я собираюсь показать вам, как эта задача может занять у меня 10 секунд. Но повесьте один, прежде чем мы это сделаем, я хочу убедиться, что вы четко понимаете, в чем проблема.

    Нарисуйте прямую y равной 3 1 / 2x минус 4. Хорошо, ребята, вы готовы? Я собираюсь показать вам мой 10-секундный график. У меня под рукой есть линейка, позвольте мне перейти к графику, чтобы я был готов.Ладно, достаньте секундомеры, готово, ставьте, вперед. Подожди, подожди, подожди, прежде чем я сделаю это, я расскажу тебе после того, как сделаю это, что я сделал. Ладно, поехали, готово, поехали, у меня здесь, возьмите 4, отсюда я заполняю 1, 2, 3, устанавливаю свою линейку, я почти на месте 5, 4, 3, 2, 1. Это довольно хорошо Хм?

    Вы, ребята, рисование линий, когда они уже в форме y равно mx плюс b, — одно из моих любимых занятий. Вы действительно можете выявить своего внутреннего ботаника-математика в подобных задачах. Позвольте мне показать вам, что я сделал за эти удивительные 10 секунд.

    Первое, что я сделал, это нашел точку пересечения оси y. Перехват по оси Y в этой задаче равен -4, поэтому моя первая точка на графике оказалась равной -4. Отсюда я считал уклон. Позвольте мне показать вам на графике, что я имею в виду. Моя первая точка попала на точку пересечения оси Y, равную -4. Первое, что я сделал, это поставил эту точку прямо здесь на 4 вниз по оси y. Оттуда я посчитал номер наклона, который был 3 на 2, так что из этой точки я собираюсь подняться на 3 на 2 и поставить еще одну точку, вот откуда этот парень.Мой уклон был 3/2. Оттуда я просто взял линейку и соединил их, очень осторожно продлив линию и сделав стрелки на конце, чтобы показать, что она идет все дальше и дальше к бесконечности.

    Итак, вы, ребята, это как супер быстрые задачи, если вы умеете это делать. Позвольте мне еще раз прогнать это через вас. Первым делом поставьте точку на стреле с пересечением оси Y, отсчитайте оттуда наклонную стрелу, в-третьих, проведите линию, четвертое, нанесите на нее стрелки. Это действительно большие проблемы, ребята, я думаю, вы даже можете весело провести время, выполняя домашнее задание по математике.

    График y = 2x + 1

    Привет, Женева,

    Иногда, особенно после небольшого опыта, вы можете сказать по «форме» уравнения, какова «форма» графика. Если вы можете определить форму, это упрощает построение графика, но на данный момент давайте просто попробуем построить его, не зная заранее форму. Для этого я воспользуюсь таблицей значений. Я собираюсь выбрать некоторые значения для переменной x, вычислить соответствующее значение y и затем записать свои результаты в таблицу.Так, например, когда x = 1, тогда y = 2 1 + 1 = 3, а когда x = 2, тогда y = y = 2 2 + 1 = 5. Вот моя таблица, включающая эти два значения x и еще несколько.

    х л
    1 3
    2 5
    3 7
    0 1
    -1 –1
    -2 -3

    Теперь я нанес эти точки на свой график.

    Теперь вы можете увидеть «форму» графика. Если вы правильно нанесли эти точки и поместите линейку вдоль точек, вы увидите, что все они лежат на прямой линии.

    График y = 2x + 1

    Если бы вы знали в начале, из «формы» уравнения, что график представляет собой прямую линию, вы могли бы построить график быстрее. В этом случае вам нужно только рассчитать и построить две точки, а линия, соединяющая эти две точки, является графиком.

    Надеюсь, это поможет,
    Пенни

    Графические логарифмические функции

    Функция

    y

    знак равно

    бревно

    б

    Икс

    является обратной функцией

    экспоненциальная функция

    y

    знак равно

    б

    Икс

    .

    Рассмотрим функцию

    y

    знак равно

    3

    Икс

    .Это можно изобразить как:

    График обратной функции любой функции — это отражение графика функции относительно линии

    y

    знак равно

    Икс

    .

    Итак, график логарифмической функции

    y

    знак равно

    бревно

    3

    (

    Икс

    )

    которая является обратной функцией

    y

    знак равно

    3

    Икс

    является отражением приведенного выше графика относительно линии

    y

    знак равно

    Икс

    .

    Икс

    1

    9

    1

    3

    1

    3

    9

    27

    81 год

    y

    знак равно

    бревно

    3

    Икс

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    Область определения функции — это набор всех положительных действительных чисел.

    Если база не записана, предположим, что журнал является базовым.

    10

    .

    Икс

    1

    1000

    1

    100

    1

    10

    1

    10

    100

    1000

    y

    знак равно

    бревно

    Икс

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    Логарифмическая функция,

    y

    знак равно

    бревно

    б

    (

    Икс

    )

    ,

    можно сдвинуть

    k

    единиц по вертикали и

    час

    единиц по горизонтали с уравнением

    y

    знак равно

    бревно

    б

    (

    Икс

    +

    час

    )

    +

    k

    .


    Вертикальный сдвиг

    Если

    k

    >

    0

    , график сдвинется вверх.

    Если

    k

    < 0 , график сместится вниз.


    Горизонтальный сдвиг

    Если

    час

    >

    0

    , график сдвинется влево.

    Если

    час

    < 0 , график сдвинется вправо.

    Рассмотрим логарифмическую функцию

    y

    знак равно

    [

    бревно

    2

    (

    Икс

    +

    1

    )

    3

    ]

    .

    Это можно получить, переведя родительский граф

    y

    знак равно

    бревно

    2

    (

    Икс

    )

    Пару раз.

    Рассмотрим график функции

    y

    знак равно

    бревно

    2

    (

    Икс

    )

    .

    С

    час

    знак равно

    1

    ,

    y

    знак равно

    [

    бревно

    2

    (

    Икс

    +

    1

    )

    ]

    перевод

    y

    знак равно

    бревно

    2

    (

    Икс

    )

    на одну единицу влево.

    Сейчас,

    k

    знак равно

    3

    .График

    y

    знак равно

    [

    бревно

    2

    (

    Икс

    +

    1

    )

    ]

    будет перемещен

    3

    единицы вниз, чтобы получить

    y

    знак равно

    [

    бревно

    2

    (

    Икс

    +

    1

    )

    ]

    3

    .

    Вы можете вспомнить, что логарифмические функции определены только для положительных действительных чисел.Это связано с тем, что для отрицательных значений соответствующее экспоненциальное уравнение не имеет решения. Например,

    3

    Икс

    знак равно

    1

    не имеет реального решения, поэтому

    бревно

    3

    (

    1

    )

    не определено.

    Итак, как насчет такой функции, как

    y

    знак равно

    бревно

    4

    (

    Икс

    )

    ?

    Это определено только для отрицательных значений

    Икс

    .

    Найдите значения функции для нескольких отрицательных значений

    Икс

    . Для упрощения расчета вы можете использовать экспоненциальную форму уравнения,

    4

    y

    знак равно

    Икс

    .

    Икс

    1

    2

    4

    8

    16

    32

    y

    знак равно

    бревно

    4

    (

    Икс

    )

    или же

    4

    y

    знак равно

    Икс

    0

    1

    2

    1

    1

    1

    2

    2

    2

    1

    2

    Постройте точки и соедините их плавной кривой.

    Вы можете видеть, что график является отражением графика функции

    y

    знак равно

    бревно

    4

    (

    Икс

    )

    о

    y

    -ось.

    Нахождение точек пересечения по оси X и пересечения по оси Y | Колледж алгебры

    Точки пересечения графика — это точки, в которых график пересекает оси. Пересечение x- — это точка, в которой график пересекает ось x- .В этот момент координата y- равна нулю. Пересечение y- — это точка, в которой график пересекает ось y- . На данный момент координата x- равна нулю.

    Чтобы определить точку пересечения x- , мы устанавливаем y равным нулю и решаем относительно x . Точно так же, чтобы определить точку пересечения y- , мы устанавливаем x равным нулю и решаем относительно y . Например, давайте найдем точки пересечения уравнения [латекс] y = 3x — 1 [/ latex].

    Чтобы найти точку пересечения x- , установите [latex] y = 0 [/ latex].

    [латекс] \ begin {array} {ll} y = 3x — 1 \ hfill & \ hfill \\ 0 = 3x — 1 \ hfill & \ hfill \\ 1 = 3x \ hfill & \ hfill \\ \ frac {1 } {3} = x \ hfill & \ hfill \\ \ left (\ frac {1} {3}, 0 \ right) \ hfill & x \ text {-intercept} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Чтобы найти точку пересечения y- , установите [latex] x = 0 [/ latex].

    [латекс] \ begin {array} {l} y = 3x — 1 \ hfill \\ y = 3 \ left (0 \ right) -1 \ hfill \\ y = -1 \ hfill \\ \ left (0, -1 \ right) y \ text {-intercept} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Мы можем подтвердить, что наши результаты имеют смысл, наблюдая за графиком уравнения, показанным на рисунке 10.Обратите внимание, что график пересекает оси там, где мы и предполагали.

    Рисунок 12

    Как: по уравнению найдите точки пересечения.

    1. Найдите точку пересечения x , задав [latex] y = 0 [/ latex] и решив для [latex] x [/ latex].
    2. Найдите точку пересечения y- , установив [latex] x = 0 [/ latex] и решив для [latex] y [/ latex].

    Пример 4: Нахождение точек пересечения данного уравнения

    Найдите точки пересечения уравнения [латекс] y = -3x — 4 [/ latex].Затем нарисуйте график, используя только точки пересечения.

    Решение

    Установите [latex] y = 0 [/ latex], чтобы найти точку пересечения x- .

    [латекс] \ begin {array} {l} y = -3x — 4 \ hfill \\ 0 = -3x — 4 \ hfill \\ 4 = -3x \ hfill \\ — \ frac {4} {3} = x \ hfill \\ \ left (- \ frac {4} {3}, 0 \ right) x \ text {-intercept} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Установите [latex] x = 0 [/ latex], чтобы найти точку пересечения y- .

    [латекс] \ begin {array} {l} y = -3x — 4 \ hfill \\ y = -3 \ left (0 \ right) -4 \ hfill \\ y = -4 \ hfill \\ \ left ( 0, -4 \ right) y \ text {-intercept} \ hfill \ end {array} [/ latex]

    Постройте обе точки и проведите через них линию, как показано на рисунке 11.

    Рисунок 13

    Попробуй 1

    Найдите точки пересечения уравнения и нарисуйте график: [latex] y = — \ frac {3} {4} x + 3 [/ latex].

    Решение

    Уравнение прямой

    Уравнение прямой обычно записывают так:

    (или «y = mx + c» в Великобритании см.
    ниже)

    Что это означает?

    y = насколько выше

    x = расстояние от

    м = Наклон или градиент (насколько крутая линия)

    b = значение y , когда x = 0

    Как найти «м» и «б»?

    • b это просто: просто посмотрите, где линия пересекает ось Y.
    • м (Уклон) требует расчета:
    м =
    Изменение в Y
    Изменение X

    Зная это, мы можем составить уравнение прямой:

    Пример 1

    м =
    2
    1
    = 2

    b = 1 (значение y , когда x = 0)

    Итак: y = 2x + 1

    Теперь вы можете воспользоваться этим уравнением…

    … выберите любое значение для x и найдите соответствующее значение для y

    Например, если x равен 1:

    y = 2 × 1 + 1 = 3

    Убедитесь сами, что x = 1 и y = 3 действительно на линии.

    Или мы могли бы выбрать другое значение для x, например 7:

    y = 2 × 7 + 1 = 15

    Итак, когда x = 7, у вас будет y = 15

    Положительный или отрицательный наклон?

    Двигаясь слева направо, велосипедист должен пройти P на выезде P . Уклон:

    Пример 2

    м =
    −3
    1
    = −3

    b = 0

    Это дает нам y = −3x + 0

    Нам ноль не нужен!

    Итак: y = −3x

    Пример 3: Вертикальная линия

    Какое уравнение представляет собой вертикальная линия?
    Наклон undefined … а где он пересекает ось Y?

    Фактически, это частный случай , и вы используете другое уравнение, а не « y = …», а вместо этого вы используете « x = …».

    Как это:

    x = 1,5

    Каждая точка на линии имеет координату x 1,5 ,
    , поэтому ее уравнение составляет x = 1,5

    Взлетай и беги

    Иногда используются слова «взлетать» и «бегать».

    • Рост — насколько далеко вверх
    • Пробег — это расстояние

    Итак, наклон «м» равен:

    м = подъем пробег

    Возможно, вам будет легче запомнить.

    Другие формы

    Мы смотрели на форму «наклон-пересечение». Уравнение прямой можно записать многими другими способами .

    Другой популярной формой является уравнение прямой линии с наклоном.

    Сноска

    Страна
    Примечание:

    В разных странах учат разным «обозначениям» (прислал мне добрые читатели):

    В США, Австралии, Канаде, Эритрее, Иране, Мексике, Португалии, Филиппинах и Саудовской Аравии используется запись: y = mx + b
    В Великобритании, Австралии (также), Багамских островах, Бангладеш, Бельгии, Брунее, Болгарии, Кипре, Египте, Германии, Гане, Индии, Индонезии, Ирландии, Ямайке, Кении, Кувейте, Малайзии, Малави, Мальте, Непале , Новая Зеландия, Нигерия, Оман, Пакистан, Перу, Сингапур, Соломоновы Острова, Южная Африка, Шри-Ланка, Турция, ОАЭ, Замбия и Зимбабве г = mx + с
    В Афганистан, Албания, Алжир, Бразилия, Китай, Чешская Республика, Дания, Эфиопия, Франция, Ливан, Нидерланды, Косово, Кыргызстан, Норвегия, Польша, Румыния, Южная Корея, Суринам, Испания, Тунис и Вьетнам Нам: y = ax + b
    В Азербайджане, Китае, Финляндии, России и Украине : y = kx + b
    В Греция : ψ = αχ + β
    В Италия : y = mx + q
    В Япония : y = mx + d
    В Куба и Израиль : y = mx + n
    В Румыния : г = gA + C
    В Латвии и Швеции : y = kx + m
    В Сербии и Словении : y = kx + n
    В вашей стране: сообщите нам!

    … но все это означает одно и то же, только разные буквы.

    Построение графиков линейных уравнений — MathBootCamps

    Есть три способа построения графиков линейных уравнений: (1) вы можете найти две точки, (2) вы можете использовать точку пересечения по оси Y и наклон, или (3) вы можете использовать точки пересечения по оси x и y. В следующем руководстве мы рассмотрим все три. Построение графиков линейных уравнений не должно быть трудным и даже увлекательным, если у вас есть эти методы!

    реклама

    Метод 1: использование двух точек для построения линейного уравнения

    График любого линейного уравнения, такого как \ (y = 3x + 2 \) или \ (y = -x + 9 \), представляет собой линию, и для ее определения нужны только две точки.Идея этого метода состоит в том, чтобы найти две точки на линии, выбирая значения \ (x \).

    Пример

    Изобразите линейное уравнение:
    \ (y = \ dfrac {1} {3} x — 2 \)

    Решение

    Чтобы найти две точки на линии, выберите любые два значения \ (x \), с которыми будет легко работать, а затем найдите соответствующее значение \ (y \). Двумя простыми значениями здесь будут 0 и 3 (поскольку 3 заменяется на 3 в дроби.)

    Пусть \ (x = 0 \):

    \ (\ begin {align} y & = \ dfrac {1} {3} x — 2 \\ & = \ dfrac {1} {3} (0) — 2 \\ & = -2 \ end {align} \ )

    Итак, одна точка на прямой равна \ ((x, y) = (0, –2) \).

    Пусть \ (x = 3 \):

    \ (\ begin {align} y & = \ dfrac {1} {3} x — 2 \\ & = \ dfrac {1} {3} (3) — 2 \\ & = 1 — 2 \\ & = — 1 \ end {align} \)

    Итак, другая точка на прямой — это \ ((x, y) = (3, –1) \).

    Когда у вас есть две точки, вы можете построить их, а затем нарисовать линию. Лучше всего использовать линейку или что-то подобное, чтобы убедиться, что вы нарисовали график как можно лучше.

    СОВЕТ: Возможно, вам будет полезно найти три или четыре точки на графике, чтобы вы могли нарисовать его более точно.Для этого просто выберите больше значений x, чтобы найти точки!

    Метод 2: Используйте наклон и точку пересечения оси Y

    Линейное уравнение, записанное в форме \ (y = mx + b \), называется записанным в форме углового пересечения. Эта форма показывает наклон \ (m \) и точку пересечения оси y \ (b \) графика. Знание этих двух значений позволит вам быстро нарисовать график линейного уравнения, как вы можете видеть в примере ниже.

    Пример

    Изобразите линейное уравнение:
    \ (y = \ dfrac {2} {3} x + 4 \)

    Решение

    Поскольку это уравнение имеет форму \ (y = mx + b \), вы знаете, что:

    • Наклон:
      \ (m = \ dfrac {2} {3} \)
    • Перехват по оси Y:
      \ (b = 4 \)

    Давайте сначала посмотрим на точку пересечения по оси y.

    Пересечение оси y — это точка, в которой график пересекает ось y (вертикальная ось). Итак, вы можете изобразить эту точку как:

    Теперь рассмотрим наклон. Наклон можно рассматривать как скорость изменения: он представляет изменение \ (y \) по сравнению с изменением \ (x \). Иногда это называется «подъем за пробегом».

    \ (\ text {slope} = \ dfrac {\ text {rise}} {\ text {run}} = \ dfrac {\ text {изменение in} y} {\ text {изменение in} x} \)

    Для этого примера:

    \ (\ text {slope} = \ dfrac {2} {3} = \ dfrac {\ text {change in} y} {\ text {change in} x} \)

    Это можно перевести на:

    \ (\ dfrac {2} {3} = \ dfrac {\ text {до 2 единиц}} {\ text {на каждые 3 единицы справа}} \)

    Следовательно, чтобы найти другую точку на линии, начните с точки пересечения оси Y и пройдите на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх.Сделайте это еще раз, и вы найдете другую точку. Фактически, вы можете продолжать делать это, чтобы найти столько точек, сколько, по вашему мнению, вам понадобится для построения хорошего графика.

    Соедините точки, и у вас есть график вашей линейной функции!

    Этот метод построения графиков линейных уравнений может применяться, даже если наклон отрицательный или если наклон не дробный, даже если это не так. Следующий пример покажет вам, как это работает!

    Пример

    Изобразите линейное уравнение:
    \ (y = -2x + 1 \)

    Решение

    Отсечка по оси Y здесь равна 1, поэтому сначала постройте эту точку.

    Наклон –2. Хотя это не дробь, ее можно рассматривать как единицу, если принять знаменатель равным 1.

    \ (\ text {slope} = -2 = \ dfrac {-2} {1} \)

    Другими словами:

    \ (\ dfrac {-2} {1} = \ dfrac {\ text {на две единицы вниз}} {\ text {на каждую 1 единицу вправо}} \)

    Теперь это можно применить для поиска точек на графике.

    Наконец, соедините точки, чтобы нарисовать график линейного уравнения.

    СОВЕТ: Если наклон представлен в десятичной форме, посмотрите, можно ли преобразовать его в дробь, чтобы применить этот метод.В противном случае лучше всего подойдет способ 1.

    Метод 3. Использование пересечений по осям x и y

    При построении графиков линейных уравнений, представленных в форме \ (y = mx + b \), проще всего применить метод 2. Но иногда линейные уравнения задаются в стандартной форме: \ (Ax + By = C \) , где \ (A \), \ (B \) и \ (C \) — положительные или отрицательные целые числа. В этом случае использование точки пересечения по осям x и y может быть самым быстрым подходом.

    Пример

    Изобразите линейное уравнение:
    \ (- 3x + 2y = 6 \)

    Решение

    Чтобы найти точку пересечения с осью x, то есть точку, в которой график пересекает ось x, положим \ (y = 0 \) и решим относительно \ (x \):

    \ (\ begin {align} -3x + 2y & = 6 \\ -3x + 2 (0) & = 6 \\ — 3x & = 6 \\ x & = -2 \ end {align} \)

    Чтобы найти точку пересечения оси Y, то есть точку, в которой график пересекает ось Y, положим \ (x = 0 \) и решим относительно \ (y \):

    \ (\ begin {align} -3 (0) + 2y & = 6 \\ 2y & = 6 \\ y & = 3 \ end {align} \)

    Это дает вам две точки на линии, которые вы можете построить, а затем соединить, чтобы построить график линейного уравнения.

    Чтобы узнать больше о пересечениях по осям x и y, ознакомьтесь со статьями «Понимание перехватов по x» и «Перехват по оси y».

    объявление

    Резюме

    Есть много возможных подходов к построению графиков линейных уравнений. Три распространенных подхода:

    • Точки поиска:
      выберите простые значения \ (x \) и найдите соответствующие значения \ (y \). Постройте эти точки и используйте их, чтобы построить линию.
    • Использование наклона и точки пересечения по оси Y:
      использует концепцию «подъема над пробегом» и точку пересечения по оси Y для поиска точек на графике. Этот метод особенно полезен, если линия имеет форму пересечения наклона.
    • Использование пересечений по осям x и y:
      пусть \ (x = 0 \) и \ (y = 0 \) найдут точки пересечения на графике. Затем используйте эти точки для построения линии. Этот метод полезен, когда линейное уравнение имеет стандартную форму.

    Какой метод вы используете, зависит от формы имеющегося у вас линейного уравнения и от того, какой метод вам удобнее всего.Несмотря ни на что, вы всегда можете найти очки, если застрянете.

    Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

    Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

    Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

    Связанные

    Как построить график X через Y на калькуляторе TI-84

    Обновлено 15 декабря 2020 г.

    Джек Джерард

    Калькулятор TI-84 предлагает ряд встроенных функций для решения и построения графиков уравнений.К сожалению, его основные параметры построения графиков ограничены функциями и уравнениями, которые содержат Y в терминах X . Реже вам нужно построить график X с точки зрения Y , но если вы это сделаете, существующие параметры не совсем помогут. К счастью, TI-84 позволяет импортировать внешние приложения и использовать их почти так же, как и приложения, поставляемые с калькулятором. Репозиторий TI Calc, поддерживаемый сообществом, содержит ряд этих внешних приложений, в том числе приложение под названием XGraph от Джоэла Смита, которое позволяет построить график X с точки зрения Y .

    Что означает X в терминах Y?

    Для большинства уравнений вы строите график Y через X . Это означает, что ваше уравнение основано на значении Y и интерпретируется через значение X ; пример: y = x + 1. Значение Y зависит от того, каково значение X , поэтому для каждого X соответствующее значение Y равно значению X плюс 1.Построение графика X через Y меняет ситуацию. Вместо y = x + 1, вы должны создать график из x = y + 1. В этом случае ваше значение X зависит от для значения Y и для вычисления каждого X вы берете соответствующее ему значение Y и добавляете 1. К сожалению, это непросто построить график на калькуляторе TI-84, если вы не рассчитаете и нанесите отдельные точки вручную, поскольку TI-84 не имеет опции «X =» в функциях построения графиков.

    Установка XGraph

    Одна вещь, которая есть у TI-84, — это средство расширения его функций с помощью закодированных приложений и программ. Приложение XGraph позаботится об этом, позволяя вводить уравнения в форме X через Y и отображать их в виде графика. Файл загружается в виде файла .zip, который содержит XGRAPH.8XP и файл readme; извлеките файл XGRAPH.8XP в легкодоступное место. Подключите калькулятор TI-84 к компьютеру с помощью соединительного кабеля USB, поставляемого с калькулятором, а затем запустите программное обеспечение TI Connect от Texas Instruments (которое можно бесплатно загрузить с веб-сайта Texas Instruments, если оно еще не установлено. ).Выберите XGRAPH.8XP и подтвердите, что хотите отправить его на свой калькулятор, и подождите, пока TI Connect отправит и установит приложение.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.