1 cos2x tgx: Все формулы по тригонометрии

4x= \frac{3+4cos2x+cos4x}{8}$$

Формулы сложения аргументов

$$sin(\alpha + \beta) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta$$


$$cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta — sin \alpha sin \beta$$


$$tg(\alpha + \beta)= \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 — tg \alpha tg \beta}$$


$$ctg(\alpha + \beta)= \frac{ctg \alpha ctg \beta -1}{ctg \alpha + ctg \beta}$$


$$sin(\alpha — \beta) = sin \alpha cos \beta — cos \alpha sin \beta$$


$$cos(\alpha — \beta) = cos \alpha cos \beta + sin \alpha sin \beta$$


$$tg(\alpha — \beta)= \frac{tg \alpha — tg \beta}{1 + tg \alpha tg \beta}$$


$$ctg(\alpha — \beta)= \frac{ctg \alpha ctg \beta +1}{ctg \alpha — ctg \beta}$$

Формулы суммы тригонометрических функций

$$sin\alpha + sin\beta = 2sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha — \beta }{2}$$


$$cos\alpha + cos\beta = 2cos \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha — \beta }{2}$$


$$tg\alpha + tg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta) }{cos \alpha cos \beta}$$


$$ctg\alpha + ctg\beta = \frac{sin(\alpha + \beta) }{cos \alpha cos \beta}$$


$$(sin\alpha + cos\alpha)^2= 1+sin2\alpha$$

Формулы разности тригонометрических функций

$$sin\alpha — sin\beta = 2sin \frac{\alpha — \beta }{2} \cdot cos \frac{\alpha + \beta }{2}$$


$$cos\alpha — cos\beta = -2sin \frac{\alpha + \beta }{2} \cdot sin \frac{\alpha — \beta }{2}$$


$$tg\alpha — tg\beta = \frac{sin(\alpha — \beta) }{cos \alpha cos \beta}$$


$$ctg\alpha — ctg\beta = — \frac{sin(\alpha — \beta) }{sin \alpha sin \beta}$$


$$(sin\alpha + cos\alpha)^2= 1-sin2\alpha$$

Формулы произведения тригонометрических функций

$$sin\alpha \cdot sin\beta = \frac{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}{2}$$


$$sin\alpha \cdot cos\beta = \frac{sin(\alpha — \beta)+sin(\alpha + \beta)}{2}$$


$$cos\alpha \cdot cos\beta = \frac{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}{2}$$


\begin{align}
tg\alpha \cdot tg\beta & = \frac{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}\\
&= \frac{tg\alpha + tg\beta}{ctg\alpha + ctg\beta}
\end{align}


\begin{align}
ctg\alpha \cdot ctg\beta & = \frac{cos(\alpha — \beta)+cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha — \beta)-cos(\alpha + \beta)}\\
&= \frac{ctg\alpha + ctg\beta}{tg\alpha + tg\beta}
\end{align}


$$tg\alpha \cdot ctg\beta = \frac{sin(\alpha — \beta)+sin(\alpha + \beta)}{sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha — \beta)}$$

Все формулы по тригонометрии

Все
формулы по тригонометрии

Основные
тригонометрические тождества

sin2x +
cos2x =
1

tgx ctgx =
1

tg2x +
1

  =  

1

cos2x

ctg2x +
1

  =  

1

sin2x

Формулы
двойного аргумента

sin2x =
2sinx cosx

sin2x

  =  

2tgx

  = 

2ctgx

  = 

2

1
+ tg2x

1
+ ctg2x

tgx +
ctgx

cos2x =
cos2 —
sin2x =
2cos2x —
1 = 1 — 2sin2x

cos2x

  =  

1
— tg2x

  = 

ctg2x —
1

  = 

ctgx —
tgx

1
+ tg2x

ctg2x +
1

ctgx +
tgx

tg2x

  =  

2tgx

  = 

2ctgx

  = 

2

1
— tg2x

ctg2x —
1

ctgx —
tgx

ctg2x

  =  

ctg2x —
1

  = 

ctgx —
tgx

2ctgx

2

Формулы
тройного аргумента

sin3x =
3sinx —
4sin3x
cos3x =
4cos3x —
3cosx

tg3x

  =  

3tgx —
tg3x

1
— 3tg2x

ctg3x

  =  

ctg3x —
3ctgx

3ctg2x —
1

Формулы
половинного аргумента

sin2

x

  =  

1
— cosx

2

2

cos2

x

  =  

1
+ cosx

2

2

tg2

x

  =  

1
— cosx

2

1
+ cosx

ctg2

x

  =  

1
+ cosx

2

1
— cosx

tg

x

  =  

1
— cosx

  =  

sinx

2

sinx

1
+ cosx

ctg

x

  =  

1
+ cosx

  =  

sinx

2

sinx

1
— cosx

Формулы
квадратов тригонометрических функций

sin2x

  =  

1
— cos2x

2

cos2x

  =  

1
+ cos2x

2

tg2x

  =  

1
— cos2x

1
+ cos2x

ctg2x

  =  

1
+ cos2x

1
— cos2x

sin2

x

  =  

1
— cosx

2

2

cos2

x

  =  

1
+ cosx

2

2

tg2

x

  =  

1
— cosx

2

1
+ cosx

ctg2

x

  =  

1
+ cosx

2

1
— cosx

Формулы
кубов тригонометрических функций

sin3x

  =  

3sinx —
sin3x

4

cos3x

  =  

3cosx +
cos3x

4

tg3x

  =  

3sinx —
sin3x

3cosx +
cos3x

ctg3x

  =  

3cosx +
cos3x

3sinx —
sin3x

Формулы
тригонометрических функций в четвертой
степени

sin4x

  =  

3
— 4cos2x +
cos4x

8

cos4x

  =  

3
+ 4cos2x +
cos4x

8

Формулы
сложения аргументов

sin(α
+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α
+ β) = cosα cosβ — sinα sinβ

tg(α
+ β)

  =  

tgα
+ tgβ

1
— tgα tgβ

ctg(α
+ β)

  =  

ctgα
ctgβ — 1

ctgα
+ ctgβ

sin(α
— β) = sinα cosβ — cosα sinβ
cos(α
— β) = cosα cosβ + sinα sinβ

tg(α
— β)

  =  

tgα
— tgβ

1
+ tgα tgβ

ctg(α
— β)

  =  

ctgα
ctgβ + 1

ctgα
— ctgβ

Формулы
суммы тригонометрических функций

sinα
+ sinβ

  =  2sin

α
+ β

 ∙ cos

α
— β

2

2

cosα
+ cosβ

  =  2cos

α
+ β

 ∙ cos

α
— β

2

2

(sinα
+ cosα)2 =
1 + sin2α

tgα
+ tgβ

  =  

sin(α
+ β)

cosα
cosβ

ctgα
+ ctgβ

  =  

sin(α
+ β)

sinα
sinβ

Формулы
разности тригонометрических функций

sinα
— sinβ

  =  2sin

α
— β

 ∙ cos

α
+ β

2

2

cosα
— cosβ

  =  -2sin

α
+ β

 ∙ sin

α
— β

2

2

(sinα
— cosα)2 =
1 — sin2α

tgα
— tgβ

  =  

sin(α
— β)

cosα
cosβ

ctgα
— ctgβ

  =  – 

sin(α
— β)

sinα
sinβ

Формулы
произведения тригонометрических функций

sinα
∙ sinβ

  =  

cos(α
— β) — cos(α + β)

2

sinα
∙ cosβ

  =  

sin(α
— β) + sin(α + β)

2

cosα
∙ cosβ

  =  

cos(α
— β) + cos(α + β)

2

tgα
∙ tgβ

  =  

cos(α
— β) — cos(α + β)

  =  

tgα
+ tgβ

cos(α
— β) + cos(α + β)

ctgα
+ ctgβ

ctgα
∙ ctgβ

  =  

cos(α
— β) + cos(α + β)

  =  

ctgα
+ ctgβ

cos(α
— β) — cos(α + β)

tgα
+ tgβ

tgα
∙ ctgβ

  =  

sin(α
— β) + sin(α + β)

sin(α
+ β) — sin(α — β)

Mathway | Популярные задачи

1 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм x
2 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма x по x
3 Trovare la Derivata — d/dx e^x
4 Вычислим интеграл интеграл e^(2x) относительно x
5 Trovare la Derivata — d/dx 1/x
6 Trovare la Derivata — d/dx x^2
7 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^2)
8 Trovare la Derivata — d/dx sin(x)^2
9 Trovare la Derivata — d/dx sec(x)
10 Вычислим интеграл интеграл e^x относительно x
11 Вычислим интеграл интеграл x^2 относительно x
12 Вычислим интеграл интеграл квадратного корня x по x
13 Trovare la Derivata — d/dx cos(x)^2
14 Вычислим интеграл интеграл 1/x относительно x
15 Вычислим интеграл интеграл sin(x)^2 относительно x
16 Trovare la Derivata — d/dx x^3
17 Trovare la Derivata — d/dx sec(x)^2
18 Вычислим интеграл интеграл cos(x)^2 относительно x
19 Вычислим интеграл интеграл sec(x)^2 относительно x
20 Trovare la Derivata — d/dx e^(x^2)
21 Вычислим интеграл интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
22 Trovare la Derivata — d/dx sin(2x)
23 Trovare la Derivata — d/dx tan(x)^2
24 Вычислим интеграл интеграл 1/(x^2) относительно x
25 Trovare la Derivata — d/dx 2^x
26 График натуральный логарифм a
27 Trovare la Derivata — d/dx cos(2x)
28 Trovare la Derivata — d/dx xe^x
29 Вычислим интеграл интеграл 2x относительно x
30 Trovare la Derivata — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
31 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм (x)^2
32 Trovare la Derivata — d/dx 3x^2
33 Вычислим интеграл интеграл xe^(2x) относительно x
34 Trovare la Derivata — d/dx 2e^x
35 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм 2x
36 Trovare la Derivata — d/dx -sin(x)
37 Trovare la Derivata — d/dx 4x^2-x+5
38 Trovare la Derivata — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
39 Trovare la Derivata — d/dx 2x^2
40 Вычислим интеграл интеграл e^(3x) относительно x
41 Вычислим интеграл интеграл cos(2x) относительно x
42 Trovare la Derivata — d/dx 1/( квадратный корень x)
43 Вычислим интеграл интеграл e^(x^2) относительно x
44 Вычислить e^infinity
45 Trovare la Derivata — d/dx x/2
46 Trovare la Derivata — d/dx -cos(x)
47 Trovare la Derivata — d/dx sin(3x)
48 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^3)
49 Вычислим интеграл интеграл tan(x)^2 относительно x
50 Вычислим интеграл интеграл 1 относительно x
51 Trovare la Derivata — d/dx x^x
52 Trovare la Derivata — d/dx x натуральный логарифм x
53 Trovare la Derivata — d/dx x^4
54 Оценить предел предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
55 Вычислим интеграл интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
56 Trovare la Derivata — d/dx f(x) = square root of x
57 Trovare la Derivata — d/dx x^2sin(x)
58 Вычислим интеграл интеграл sin(2x) относительно x
59 Trovare la Derivata — d/dx 3e^x
60 Вычислим интеграл интеграл xe^x относительно x
61 Trovare la Derivata — d/dx y=x^2
62 Trovare la Derivata — d/dx квадратный корень x^2+1
63 Trovare la Derivata — d/dx sin(x^2)
64 Вычислим интеграл интеграл e^(-2x) относительно x
65 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
66 Trovare la Derivata — d/dx e^2
67 Trovare la Derivata — d/dx x^2+1
68 Вычислим интеграл интеграл sin(x) относительно x
69 Trovare la Derivata — d/dx arcsin(x)
70 Оценить предел предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
71 Вычислим интеграл интеграл e^(-x) относительно x
72 Trovare la Derivata — d/dx x^5
73 Trovare la Derivata — d/dx 2/x
74 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм 3x
75 Trovare la Derivata — d/dx x^(1/2)
76 Trovare la Derivata — d/[email protected] f(x) = square root of x
77 Trovare la Derivata — d/dx cos(x^2)
78 Trovare la Derivata — d/dx 1/(x^5)
79 Trovare la Derivata — d/dx кубический корень x^2
80 Вычислим интеграл интеграл cos(x) относительно x
81 Вычислим интеграл интеграл e^(-x^2) относительно x
82 Trovare la Derivata — d/[email protected] f(x)=x^3
83 Вычислим интеграл интеграл 4x^2+7 от 0 до 10 относительно x
84 Вычислим интеграл интеграл от ( натуральный логарифм x)^2 по x
85 Trovare la Derivata — d/dx логарифм x
86 Trovare la Derivata — d/dx arctan(x)
87 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм 5x
88 Trovare la Derivata — d/dx 5e^x
89 Trovare la Derivata — d/dx cos(3x)
90 Вычислим интеграл интеграл x^3 относительно x
91 Вычислим интеграл интеграл x^2e^x относительно x
92 Trovare la Derivata — d/dx 16 корень четвертой степени 4x^4+4
93 Trovare la Derivata — d/dx x/(e^x)
94 Оценить предел предел arctan(e^x), если x стремится к 3
95 Вычислим интеграл интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) относительно x
96 Trovare la Derivata — d/dx 3^x
97 Вычислим интеграл интеграл xe^(x^2) относительно x
98 Trovare la Derivata — d/dx 2sin(x)
99 Вычислить sec(0)^2
100 Trovare la Derivata — d/dx натуральный логарифм x^2

Внеклассный урок — Формулы двойного аргумента

Формулы двойного аргумента (двойного угла)

Выражения sin 2x, cos 2x, tg 2x можно выразить через sin x, cos x, tg x. Эти преобразующие формулы называются формулами двойного аргумента (или двойного угла).

Логику преобразования можно понять на примере выражения sin 2x.

Представим это выражение в виде sin (x + x).

Тогда мы легко можем применить формулу синуса суммы аргументов:

sin (x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x.

Мы получили первую из формул двойного аргумента. А вот все формулы:

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos2x – sin2x

cos 2x = 1 – 2 sin2x

                                                                                      2 tg x
                                                                       tg 2x = ————
                                                                                    1 – tg2x

 

В первых строках мы показали, как была получена первая формула из таблицы. Вычислим остальные три.

2) cos 2x = cos2x – sin2x.

Здесь так же представляем 2х в виде х + х и применяем формулу косинуса сложения аргументов:

cos 2x = cos (x + x) = cos x cos x – sin x sin x = cos2x – sin2x.

 

3) cos 2x = 1 – 2 sin2x.

Здесь мы просто продолжим преобразовывать предыдущую формулу.
Используем для этого основное тригонометрическое тождество cos2x + sin2x = 1.
Из этого тождества следует, что cos2x = 1 – sin2x. Итак, выпишем предыдущую формулу, вставим значение cos2x, сведем подобные члены и получим результат:

cos 2x = cos2x – sin2x = 1 – sin2x – sin2x = 1 – 2sin2x.

                    2 tg x
4) tg 2x = ————
                   1 – tg2x

Способов, как прийти к такому тождеству, два.

Первый способ. Здесь нам поможет формула тангенса сложения аргументов. Для этого представим tg 2x в виде tg (x + х). Итак:

                                   tg х + tg х             2 tg х
tg 2x = tg (x + х) = —————— = —————
                                  1 – tg х tg х          1 – tg2х

Второй способ. Он сложнее. Сначала применяем формулы синуса и косинуса сложения аргументов:

                                     sin (x + х)           sin x cos х + cos x sin х
tg 2x =  tg (x + х) = —————— = ———————————
                                     cos (x + х)           cos x cos х – sin x sin х

Теперь, чтобы упростить выражение, делим все его части на cos x cos х, сокращаем подобные члены и приходим к решению:

   sin x cos х         cos x sin х               2 sin х
 ————— + —————          —————
  cos x cos х        cos x cos х               2 cos х                  2 tg x
———————————— = ——————— = —————
cos x cos x         sin x sin х                      sin2x               1 – tg2x
————— – —————           1 – ————     
 cos x cos x       cos x cos х                     cos2x

 

ПРИМЕЧАНИЕ:

При решении конкретных задач важно помнить, что задача имеет смысл лишь в том случае, если в процессе решения знаменатели нигде не оказываются равны нулю.

Теперь для наглядности решим несколько примеров по теме.

Пример 1. Упростить выражение:

 sin 2α
———
  sin α

Решение:

 sin 2α          2 sin α cos α
———  =  ——————  =  2 cos α
  sin α                sin α

 

Пример 2. Пусть tg α = 3/4  и 180º < α < 270º.

Найти sin 2α.

Решение.

В первую очередь, отмечаем, что угол находится в третьей четверти. Значит, синус будет со знаком минус.

                                                                                                                       1
1) Значение синуса мы могли бы найти через формулу 1 + ctg2 α =  ———.
                                                                                                                     sin2 α

Значит, нам надо сначала вычислить значение котангенса. Мы знаем, что tg α · ctg α = 1. Следовательно:

               1            1            4
ctg α = ——  =  ——  =  ——
             tg α         3/4          3

2) Теперь находим значение синуса:

                        1                        1                      1                 1            9
sin2 α  =  —————  =  —————  =  ————  =  ——  =  ——
                 1 + ctg2 α           1 + (4/3)2          1 + 16/9         25/9        25

 

                  3
sin α = – ——
                  5

3) Мы знаем, что sin 2α = 2 sin α cos α. Значит, находим еще косинус (по формуле cos2 α + sin2 α = 1). При этом опять не забываем, что угол – в третьей четверти и косинус должен быть со знаком минус. Итак:

                                            9            16
cos2 α = 1 – sin2 α  =  1 – ——  =  ——
                                           25           25

                  4
cos α = – ——
                  5

4) Осталось применить формулу двойного угла:

                          3               4          2 · 3 · 4        24
sin 2α = 2 · (– ——) · (– ——) = ———— = ——  =  0,96.
                          5               5             5 · 5          25

Пример решен.

 

Пример 3: Вычислить

         π             π
cos2 — – sin2
         8             8

Решение.

Это выражение соответствует правой части формулы косинуса двойного
аргумента (cos 2x = cos2xsin2x). Значит, просто приравняем его к левой части. Для этого замечаем, что

         π
х  =  —
         8

Остается ввести в формулу это значение х и решить уравнение:

            π                π                     π                 2π                 π          √2
cos2 —— – sin2 —— = cos 2 ∙ —— = cos ——  =  cos ——  =  —— .
           8                8                     8                   8                  4           2

Пример решен.

alimov-11-2003-gdz- (Алгебра — 10-11 класс

Ответ: x = (− 1)l+ , l∈Z .312 424) 4 sin x cos x cos 2 x = cos 4 x , 2 sin 2 x cos 2 x = cos 4 x , sin 4 x = cos 4 x ,ππ nππ nπ4 x = + nπ, n ∈ Z , x =+, n ∈ Z . Ответ: x =+, n∈Z .416 416 4sin 4 x =№ 11911) sin4x–cos4x + 2cos2x = cos2x, (sin2x–cos2x)(sin2x+cos2x)+cos2x+sin2x= 0,-cos2x + 1=0, cos2x = 1, 2х = 2πn, x=πn, n∈Z. Ответ: х = 2nπ, n ∈ Z.2) 2sin2x–cos4x=1–sin4x, cos4x–sin4x=2sin2x–1, cos2x–sin2x = sin2x – cos2x,2cos2x – 2sin2x = 0, cos2x = 0, 2 x =Ответ: x =ππ πn+ πn, n ∈ Z , x = +, n∈Z .24 2π nπ+, n∈Z .4 2№ 11921) sin3x cos x + cos3x sin x = cos2x, sin x cos x(sin2x+cos2x)=cos2x – sin2x,sin2x – cos2x + sin x ⋅ cos x = 0,sin 2 x2cos xa1 =2+sin x− 1 = 0 , tg2x + tg x – 1 = 0, tg x = a, a2 + a – 1 = 0,cos x−1± 1+ 4 −1± 5=,221)tgx =−1+ 5−1+ 5+ nπ, n ∈ Z ;, x = arctg222)tgx =−1− 51− 5+ lπ, l ∈ Z ., x = − arctg22−1 + 51− 5+ nπ, n ∈ Z , x = − arctg+ lπ, l ∈ Z ;222) 2 + cos2x + 3sinx ⋅ cosx = sin2x, cos2x – sin2x + 3sinx ⋅ cosx = -2,2cos2x+2sin2x+cos2x–sin2x+3sinx⋅cosx = 0, 3cos2x+sin2x+3sinx cosx = 0,3 + tg2x+3tgx=0, tgx=a, a2+3a+3 = 0, D < 0, следовательно, решений нет.Ответ: решений нет.Ответ: x = arctg№ 11931) 4sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 10cos2x = 3,4sin2x – 3sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 10cos2x – 3cos2x = 0,sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 7cos2x = 0, tg2x – 8tgx + 7 = 0, a2 – 8a + 7 = 0,183a1 = 1, a2 = 7, tgx = 1, x =π+ nπ, n ∈ Z , tgx = 7, x = arctg7 + lπ, l ∈ Z.4π+ nπ, n ∈ Z , x = arctg7 + lπ, l ∈ Z;42) 3sin2x – 2sinx ⋅ cosx = 1, 3sin2x – 2sinx ⋅ cosx – sin2x – cos2x = 0,2sin2x – 2sinx ⋅ cosx – cos2x = 0, 2tg2x – 2tgx – 1 = 0, tgx = a, 2a2–2a–1=0,Ответ: x =a1 =21± 31± 1+ 2 1± 31± 3+ nπ, n ∈ Z .=, tgx =, x = arctg2222Ответ: x = arctg1± 3+ nπ, n ∈ Z .2№ 11941) sin5x = sin3x, sin5x – sin3x = 0, 2sinx ⋅ cos4x = 0,⎡ x = nπ, n ∈ Zπ lπ⎡sin x = 0 ; ⎢.

Ответ: x=nπ, n∈Z, x = + , l ∈ Z ;π lπ⎢⎣cos 4 x = 0 ⎢ x = + , l ∈ Z8 48 4⎣2) cos6x + cos2x = 0, 2cos4x ⋅ cos2x = 0π nπ⎡⎢x = 8 + 4 , n ∈ Z⎡cos 4 x = 0⎢⎣cos 2 x = 0 ; ⎢⎢ x = π + lπ , l ∈ Z4 2⎣⎢π nππ lπОтвет: x = +, n∈Z , x = + , l∈Z ;8 44 2⎛π⎞3) sin3x + cos7x = 0, sin 3 x + sin ⎜ + 7 x ⎟ = 0 ,⎝2⎠⎛π⎞⎛π⎞2 sin ⎜ + 5 x ⎟ ⋅ cos⎜ + 2 x ⎟ = 0 ,44⎝⎠⎝⎠⎡ ⎛π⎞⎢sin ⎜ + 5 x ⎟ = 0⎠⎢ ⎝4;⎢ ⎛π⎞cos+2×0=⎜⎟⎢⎠⎣ ⎝4π nπ⎡⎡π⎢ x = − 20 + 5 , n ∈ Z⎢ 4 + 5 x = nπ, n ∈ Z; ⎢⎢π⎢ + 2 x = π + lπ, l ∈ Z ⎢ x = π + lπ , l ∈ Z⎢⎣ 4⎢⎣28 2π lπ+ , l∈Z ;8 2⎛π⎞4) sinx = cos5x, sinx – cos5x = 0, sin x − sin ⎜ − 5 x ⎟ = 0 ,⎝2⎠Ответ: x = −π nπ+, n∈Z ,20 5π⎞⎛π⎞⎛2 sin ⎜ 3x − ⎟ ⋅ cos⎜ − 2 x ⎟ = 04⎠⎝⎝4⎠184x=⎡ ⎛π⎞π nππ⎡⎡x=+, n∈Z⎢sin ⎜ 3 x − ⎟ = 0 ⎢3 x − = nπ, n ∈ Z⎢4⎝⎠12 34⎢; ⎢; ⎢π lππ⎢ ⎛π⎞⎢⎢π⎢cos⎜ 4 − 2 x ⎟ = 0 ⎣⎢ 4 − 2 x = 2 + lπ, l ∈ Z ⎣⎢ x = − 8 + 2 , l ∈ Z⎠⎣ ⎝π nππ lπОтвет: x =+, n∈Z , x = − + , l ∈Z .12 38 2№ 11951) sinx + sin5x = sin3x, 2sin3x ⋅ cos2x – sin5x = 0, sin3x(2cos2x – 1) = 0,nπ⎡⎢x = 3 , n ∈ Znππ lπОтвет: x =, n∈Z , x = ± + , l∈Z ;⎢πlπ36 2⎢x = ± + , l ∈ Z6 2⎣⎢2) cos7x – cos3x = 3sin5x, -2sin5x⋅sin2x–3sin5x=0, sin5x(2sin2x + 3) = 0,⎡sin 5 x = 0nπ⎢, n∈Z .3; x=⎢sin 2 x = −52⎣⎡sin 3 x = 0⎢1⎢cos 2 x =2⎣№ 11961(sin 8 x + sin 10 x ) = 1 (sin 4 x + sin 10 x ) ,22sin8x – sin4x = 0, 2sin2x ⋅ cos6x = 0,nπ⎡x=, n∈Znππ lπ⎡sin 2 x = 0 ⎢2Ответ: x =;, n∈Z , x =+ , l∈Z ;⎢⎢⎣cos 6 x = 0πlπ2126⎢x =+ , l∈Z12 6⎣⎢12) sinxcos5x = sin9x ⋅ cos3x,(− sin 4 x + sin 6 x ) = 1 (sin 6 x + sin 12 x ) ,22sin12x + sin4x = 0, 2sin8x ⋅ cos4x = 0,1) cosx ⋅ sin9x = cos3x ⋅ sin7x,⎡x=⎡sin 8 x = 0 ⎢⎢⎣cos 4 x = 0 ; ⎢⎢x =⎢⎣nπ, n∈Znππ lπ8Ответ: x =, n∈Z , x = + , l ∈Z .π lπ88 4+ , l∈Z8 4№ 11971) 5 + sin2x = 5(sinx + cosx), 4 + (sinx + cosx)2 = 5(sinx + cosx),⎛ ⎛π ⎞⎞cosx + sinx = t 2 ⎜⎜ cos⎜ x − ⎟ ⎟⎟ = t , t2 – 5t + 4 = 0, D = 25 – 16 = 9,4 ⎠⎠⎝⎝π⎞t45+3⎛= 4 , cos⎜ x − ⎟ === 2 2 > 1 — нет решений,24⎠22⎝π⎞t15−3⎛=,t2 == 1 , cos⎜ x − ⎟ =4⎠222⎝t1 =185π π⎡⎢ x − 4 = 4 + 2πn ⎡ x = π + 2πn, n ∈ Z⎢;⎢2⎢ x − π = − π + 2πn ⎢⎣ x = 2πn, n ∈ Z44⎣⎢2) 2 + 2cosx = 3sinx ⋅ cosx + 2sinx,1 3+ cos 2 x − 2 sin x cos x + sin 2 x + 2(cos x − sin x ) = 0 ,2 23(cosx – sinx)2 + 4(cosx – sinx) + 1 = 0, cosx – sinx = 0,⎛ ⎛π ⎞⎞2 ⎜⎜ cos⎜ x + ⎟ ⎟⎟ = t , 3t2 + 4t + 1 = 0, D = 4 – 3 = 1,4 ⎠⎠⎝⎝()⎡π3πt1 ⎢ x + 4 = 4 + 2πnπ⎞−2 − 1⎛, ⎢=−t1 == −1 , cos⎜ x + ⎟ =34⎠⎝22 ⎢ x + π = − 3π + 2πn⎢⎣44π⎡⎢ x = 2 + 2πn, n ∈ Z t2 = −2 + 1 = − 1 , cos⎛⎜ x + π ⎞⎟ = −1 ,⎢ x = -π + 2πn, n ∈ Z334⎠ 3 2⎝⎣x+⎛ 1 ⎞⎛π1 ⎞π⎟⎟ + 2πn, n ∈ Z , x = − + arccos⎜= ± arccos⎜⎜ −⎟⎜ 3 3 ⎟ + 2πn, n ∈ Z .44⎝ 3 2⎠⎠⎝Ответ: x =x=−π+ 2πn; x = π + 2πn; n ∈ Z ,2⎛ 1 ⎞π⎟ + 2πn, n ∈ Z .+ ar cos⎜⎜⎟4⎝3 3 ⎠№ 11985x53x ⋅ cos + 2 sin x ⋅ cos x = 0 ,22225 ⎛x3 ⎞5 ⎛x⎞sin x⎜ cos + cos x ⎟ = 0 , sin x⎜ 2 cos x ⋅ cos ⎟ = 0 ,2 ⎝22 ⎠2 ⎝2⎠1) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0, 2 sin2⎡⎢ x = 5 nπ, n ∈ Z⎢⎢ x = π + lπ, l ∈ Z⎢2⎢ x = π + 2mπ, m ∈ Z⎢⎣2πОтвет: nπ, n ∈ Z , x = + lπ, l ∈ Z , x = π + 2mπ, m ∈ Z;525×532) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0, 2 cos x ⋅ cos + 2 cos x ⋅ cos x = 0 ,22225 ⎛x3 ⎞5xcos x⎜ cos + cos x ⎟ = 0 , 2 cos x ⋅ cos x ⋅ cos = 0 ,222 ⎝22 ⎠⎡ 5⎢sin 2 x = 0⎢cos x = 0 ;⎢⎢cos x = 0⎢⎣2186π 2⎡⎢ x = 5 + 5 nπ, n ∈ Z⎢⎢ x = π + lπ, l ∈ Z⎢2⎢ x = π + 2mπ, m ∈ Z⎢⎣π 2πОтвет: x = + nπ, n ∈ Z , x = + lπ, l ∈ Z .5 525⎡⎢cos 2 x = 0⎢cos x = 0 ;⎢⎢cos x = 0⎢⎣2№ 1199sin 2 3 x− 4 sin 2 3 x = 0 , cos3x ≠ 0,cos 2 3xsin23x – 4sin23x ⋅ cos23x = 0, sin23x – 4sin23x(1 – sin23x) = 0,4sin43x – 3sin23x = 0, sin23x(4sin23x – 3) = 0,nπ⎡⎡sin 3 x = 0⎢x = 3 , n ∈ Z⎢; ⎢⎢sin 3 x = ± 3 ⎢l⎛ π ⎞2 ⎢3 x = (− 1) ⎜ ± 3 ⎟ + lπ, l ∈ Z⎣⎢⎝⎠⎣nππ lππ lπОтвет: x =, n ∈ Z , x = (− 1)l + , l ∈ Z , x = (− 1)l +1 + , l ∈ Z39 39 31) tg23x – 4sin23x = 0,2) sinxtgx = cosx + tgx,sin x sin 2 x − cos 2 x − sin xsin 2 x= cos x +,=0,cos xcos xcos x⎡sin 2 x − 1 + sin 2 x − sin x = 0 ⎡ 2 sin 2 x − sin x − 1 = 0⎢cos x ≠ 0⎢cos x ≠ 0⎣⎣⎧⎡π⎧⎡sin x = 1⎪⎢ x = + 2πl , l ∈ Z2⎪⎢1⎪⎢π⎪⎢sin x = −⎪⎢(x=− 1)m +1 + mπ, m ∈ Z⎨⎨⎣2⎢6⎣⎪⎪ππ⎪ x ≠ + nπ, n ∈ Z ⎪2⎩⎪⎩ x ≠ 2 + nπ, n ∈ ZπОтвет: x = (− 1)m +1 + mπ, m ∈ Z .61 ⎞cos x ⎛ cos x + 1 ⎞cos 2 x + cos x⎛3) ctgx⎜ ctgx +=1,⎟ =1,⎜⎟ = 1,sin x ⎠sin x ⎝ sin x ⎠sin 2 x⎝⎧⎡cos 2 x + cos x − sin 2 x = 0⎪⎢ 2⎨⎣⎢sin x ≠ 0⎪2⎩2 cos x + cos x − 1 = 0⎡cos x = −1⎢1⎢cos x = +2⎣⎡ x = π + 2nπ , n ∈ Zπ⎢⎢⎣ x = ± 3 + 2lπ , l ∈ Z187⎧⎡ x = π + 2nπ, n ∈ Zπ⎪⎪⎢⎨⎢ x = ± + 2lπ, l ∈ Z3⎪⎣⎪⎩ x ≠ mπ, m ∈ Z4) 4ctg 2 x = 5 −Ответ: x = ±π+ 2lπ, l ∈ Z .394 cos 2 x 5 sin x − 9 ⎧4 cos2 x − 5 sin 2 x + 9 sin x = 0,, ⎨=sin x sin 2 xsin x⎩sin x ≠ 0⎧4 − 9 sin 2 x + 9 sin x = 0 ⎧9 sin 2 x − 9 sin x − 4 = 0, 9sin2x — 9sinx – 4 = 0,⎨⎨⎩sin x ≠ 0⎩sin x ≠ 049 ± 81 + 144 9 ± 151, sin x = , x ≠ φ, sin x = − ,=3318181⎧1⎪ x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Zx = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z , ⎨33⎪⎩ x ≠ mπ, m ∈ Z1Ответ:x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z .39a2–9a–4 = 0, a 1 =2№ 12001) tg2x = 3tgx()sin 2 x 3 sin x 2 sin x ⋅ cos 2 x − 3 sin x cos 2 x − sin 2 x,=0,=cos 2 xcos xcos 2 x − sin 2 x cos x()⎧⎪2 sin x ⋅ cos x − 3 sin x ⋅ cos x + 3 sin x = 0,⎨⎪⎩cos x cos 2 x − sin 2 x ≠ 02(2)233– sinxcos x + 3sin x = 0, – sinx (1 – sin2 x) + 3sin3x = 0, 4sin3 x – sinx = 0,sinx(4sin2x – 1) = 0⎧⎡⎪⎢ x = mπ, m ∈ Z⎪⎢⎡⎪⎢ x = (− 1)l π + lπ, l ∈ Z⎢ x = mπ, m ∈ Z⎪⎢6⎡sin x = 0⎢⎪⎪⎢πl+1πl⎢+ lπ, l ∈ Z1 ⎢ x = (− 1) + lπ, l ∈ Z ⎨⎢ x = (− 1)6⎣⎢sin x = ±6⎢⎪2⎣⎢πl +1 π⎪⎧⎢ x = (- 1) 6 + lπ, l ∈ Z ⎪⎪⎪ x ≠ + nπ, n ∈ Z⎣2⎪⎨π kπ⎪⎪ x ≠ + , k ∈ Z4 2⎩⎪⎪⎩Ответ: x = mπ, m ∈ Z , x = (− 1)l2) ctg2x = 2ctgx,188ππ+ lπ, l ∈ Z , x = (− 1)l +1 + lπ, l ∈ Z ;66cos 2 x 2 cos xcos 2 x4 cos 2 x=,−=0sin 2 xsin x2 sin x ⋅ cos x 2 sin x ⋅ cos x⎧cos 2 x − sin 2 x − 4 cos 2 x = 0⎪, cos2x – sin2x – 4cos2x=0, 3cos2x+sin2x = 0,⎨⎧sin 2 x ≠ 0⎪⎨sin x ≠ 0⎩⎩1.

Ответ: решений нет.2πtgx − tg4 =2,+π1 + tgx ⋅ tg43cos2x + 1 – cos2x = 0, 2cos2x + 1 = 0, cos 2 x = −πtgx + tgπ⎞π⎞⎛⎛43) tg ⎜ x + ⎟ + tg ⎜ x − ⎟ = 2 ,π4⎠4⎠⎝⎝1 − tgxtg4tg + 1 tgx − 11 + 2tgx + tg 2 x + tgx − tg 2 x − 1 + tgx − 2 + 2tg 2 x+−2 = 0,=01 − tgx 1 + tgx1 − tg 2 x2tg 2 x + 4tgx1 − tg 2 x⎧⎪2tg 2 x + 4tgx = 0= 0, ⎨, 2tg2x + 4tgx = 0,⎪⎩1 − tg 2 x ≠ 0⎧⎡ x = nπ, n ∈ Z⎡tgx = 0 ⎪⎢ x = − arctg 2 + πl , l ∈ Z⎢⎣tgx = −2 ⎨⎣⎪1 − tg 2 x ≠ 0⎩Ответ:x = nπ, n ∈ Z,x = -arctg2 + πl, l ∈ Z.4) tg(2x + 1)ctg(x + 1) = 1, tg(2x + 1) = tg(x + 1), tg(2x + 1) – tg(x + 1) = 0,sin(2 x + 1 − x − 1)sin x⎧ x = πn, n ∈ Z= 0,= 0, ⎨cos(2 x + 1)cos(x + 1)cos(2x + 1)cos(x + 1)⎩cos(2 x + 1)cos(x + 1) ≠ 0Ответ:х = πn, n ∈ Z.№ 12011) cosx = 3x – 1Построим графики функцийу = cosx и y = 3x – 1:x≈122) sinx = 0,5x3x ≈ ±1; x = 01893) cos x = xy = cosx, y = xx≈124) cosx = x2y = cosx, y = x2x ≈ ±0,8№ 12021) x + 8 > 4 – 3x, 4x > -4, x > -1;2) 3x + 1 – 2(3 + x) < 4x + 1, 3x + 1 – 6 – 2x – 4x – 1 < 0, -3x < 6, x > -2.№ 12034 − 3x 5 − 2 x−< 2 , 3(4–3х)–2(5–2х)–2⋅24<0, 12–9x–10+4x–48 < 0,812-5x – 46 < 0, x > -46/5;5x − 7 x + 22)−≥ 2 б 7(5x – 7) – 6(x + 2) – 42 ⋅ 2 ≥ 0,6735x – 49 – 6x – 12 – 84 ≥ 0, 29x ≥ 145, x ≥ 5.1)№ 12041)5x − 4>07x + 5⎧x>⎧5 x − 4 > 0 ⎪⎪а) ⎨⎨⎩7 x + 5 > 0 ⎪ x >⎩⎪⎧5 x − 4 < 0б) ⎨⎩7 x + 5 < 0Ответ:19045 x > 4/5−5744⎡⎧⎪⎪ x < 5⎢x > 5x < -5/7 ⎢⎨⎢x < − 5⎪x < − 5⎪⎩⎢⎣775⎞ ⎛4⎛⎞x ∈ ⎜ − ∞;− ⎟ U ⎜ ;+∞ ⎟ ;7⎠ ⎝5⎝⎠2)3 x + 10>040 − x10⎧⎛ 10⎞⎧3 x + 10 > 0 ⎪ x > −а) ⎨⎨3 x ∈ ⎜ − ;40 ⎟⎩40 − x > 0 ⎪ x < 40⎝ 3⎠⎩10⎧⎧3 x + 10 < 0 ⎪ x < −б) ⎨⎨3 х∈φ⎩40 − x < 0 ⎪ x > 40⎩⎛ 10⎞Ответ: x ∈ ⎜ − ;40 ⎟ .⎝ 3⎠x+23)>05 − 4x⎧ x > −2⎧x + 2 > 0 ⎪а) ⎨5⎨⎩5 − 4 x > 0 ⎪ x <4⎩⎡⎛ 10⎞⎢ x ∈ ⎜ − ;40 ⎟ .3⎝⎠⎢⎣⎢ x ∈ φ−2< x <⎧ x < −2⎧x + 2 < 0 ⎪б) ⎨5 х∈φ⎨⎩5 − 4 x < 0 ⎪ x >4⎩5Ответ: − 2 < x < .48− x4)>06 + 3×545⎡⎢− 2 < x < 4⎢x ∈ φ⎣⎧8 − x > 0 ⎧ x < 8а) ⎨-2 < x < 8⎨⎩6 + 3 x > 0 ⎩ x > −2⎧8 − x < 0 ⎧ x > 8б) ⎨х∈φ⎨⎩6 + 3x < 0 ⎩ x < −2Ответ: -2 < x < 8.№ 12051)3 − 2x<03x − 23⎧⎪⎪ x > 23⎧3 − 2 x > 0; x > ; б) ⎨⎨22⎩3 x − 2 > 0⎪x >⎪⎩32⎞ ⎛3⎛⎞Ответ: x ∈ ⎜ − ∞; ⎟ U ⎜ ;+∞ ⎟ .3⎠ ⎝2⎝⎠⎧3 − 2 x < 0а) ⎨⎩3 x − 2 < 0⎧⎪⎪ x <⎨⎪x <⎪⎩32; x< 22331915⎧x>10 − 4 x⎧10 − 4 x < 0 ⎪⎪2 ; x> 52)< 0 ; а) ⎨⎨9x + 22⎩9 x + 2 < 0 ⎪ x > − 2⎪⎩955⎧⎡x<x>⎢2⎧10 − 4 x > 0 ⎪⎪2 ; x<−2б) ⎨⎢⎨9 ⎢x < − 2⎩9 x + 2 > 0 ⎪ x < − 2⎪⎩99⎣⎢2⎞ ⎛5⎛⎞Ответ: x ∈ ⎜ − ∞;− ⎟ U ⎜ ;+∞ ⎟ .9⎠ ⎝2⎝⎠18 − 7 x18 − 7 x<0;>03)− 4×2 − 14×2 + 1181818 – 7x > 0; x <(4×2 + 1 > 0 при любых значениях х).

Ответ: x <.77№ 12061)5x + 45 x + 4 − 4( x − 3)x + 16< 4;<0;<0;x−3x−3x −3⎧ x + 16 > 0⎧ x + 16 < 0 ⎧ x > −16⎧ x < −16или ⎨; -16 < x < 3;⎨ x − 3 < 0 или ⎨ x − 3 > 0 ; ⎨ x < 3⎩⎩⎩⎩x > 322 − 1(x − 4)6− x2)<1;<0;<0;x−4x−4x−4⎧6 − x < 0⎧6 − x > 0 ⎧ x > 6⎧x < 6⎨ x − 4 > 0 или ⎨ x − 4 < 0 ; ⎨ x > 4 или ⎨ x < 4 x > 6 или x < 4;⎩⎩⎩⎩−4 x − 1022 − 4( x + 3)≤0,3)≤ 4,≤0,x+3x+3x+3⎧− 4 x − 10 ≤ 0 или ⎧− 4 x − 10 ≥ 0 ; ⎧ x ≥ −2,5 или ⎧ x ≤ −2,5⎨ x > −3⎨ x < −3⎨x + 3 > 0⎨x + 3 < 0⎩⎩⎩⎩x ≥ -2,5 или x < -3.№ 12071 ⎞⎛1⎞11⎛1) 8х2 – 2х – 1 < 0, ⎜ x + ⎟⎜ x − ⎟ < 0 , − < x <4 ⎠⎝2⎠42⎝++−142) 5×2 + 7x ≤ 0,–12+7− ≤x≤0.5192+−75–0№ 12081)⎧ (x − 3)(x + 3)< 0 (x − 3)(x + 3)⎪<0равносильно<0,⎨ (x − 2 )(x + 2 )(x − 2)(x + 2)x2 − 4⎪⎩ x ≠ ±2×2 − 9++–-3+-2–23x ∈ (−3;−2) U (2;3) ;2) (2х2 + 3)(х + 4)3 > 0, 2×2 + 3 > 0 при любых х;(x + 4)3 > 0 равносильно x + 4 > 0; x > -4.№ 1209()⎧⎪(3 x − 15) x 2 + 5 x − 14 ≥ 0≥0, ⎨ 2,⎪⎩ x + 5 x − 14 ≠ 0x 2 + 5 x − 14(3х – 15)(х – 2)(х + 7) ≥ 0, (х – 5)(х – 2)(х + 7) ≥ 0,3 x − 151)+–+-72x ∈ (−7;2 ) U [5;+∞ ) ;2)x −1<0,x + 4x + 22(+−2− 2()(x − 1)(x − (2 +−2+ 2) ())()2 x+2− 2 < 0,+)x ∈ − ∞;−2 − 2 U − 2 + 2 ;1–1()()⎧⎪ x 2 + 2 x − 8 x 2 − 2 x − 3 > 0x + 2x − 8> 0 равносильно ⎨ 22⎪⎩ x − 2 x − 3 ≠ 0x − 2x − 323)5⎧⎪(x − 1) x 2 + 4 x + 2 < 0,⎨ 2⎪⎩ x + 4 x + 2 ≠ 0(х – 1)(х2 + 4х + 2) < 0,––(x – 2)(x + 4)(x + 1)(x –3) > 0++–-4-1x ∈ (−∞;−4 ) U (−1;2 ) U (3;+∞ ) .+2–3№ 1210lg(x2 + 8x + 15).

Урок алгебры в 10-м классе по теме «Формулы двойного аргумента»

Цели урока:



Образовательные – вывести формулы
тригонометрии, позволяющие выразить sin 2x, cos 2x, tg 2x
через sinx, cosx, tgx, показать многообразие их
применения.



Развивающие – вырабатывать навыки и
умения использовать полученные формулы в
тригонометрических преобразованиях, развивать
математическое мышление учащихся, умение видеть
и применить изученные тождества, развивать
умения самостоятельной учебно-познавательной
деятельности, развивать культуру речи и
любознательность.



Воспитательные – побуждать учащихся к
преодолению трудностей в процессе умственной
деятельности, к самоконтролю и самоанализу.

Ожидаемый результат: Каждый учащийся
должен знать вывод формул двойного аргумента и
уметь применять их для преобразований
тригонометрических выражений на уровне
обязательных результатов обучения.

Тип урока: Урок ознакомления с новым
материалом.

План урока:

  1. Организационно-мотивационный этап.
  2. Актуализация имеющихся знаний и личного опыта
    учащихся (устная работа).
  3. Изучение нового материала.
  4. Домашнее задание.
  5. Итог урока.
  6. Закрепление изученного материала (контрольный
    срез).

Ход урока

Презентация.

1. Организационно-мотивационный этап.

Сегодня на уроке мы выведем формулы
тригонометрии – формулы двойного аргумента и
рассмотрим многообразие их применения.
Эпиграфом нашего урока будут слова Бернардо
Больцано “Формула подчас кажется более мудрой,
чем выдумавший ее человек”.

2. Актуализация имеющихся знаний и личного
опыта учащихся (устная работа).

Вспомним формулу синус суммы, косинус суммы и
тангенс суммы аргументов. Вызываются 3 учащихся,
которые на 3 досках записывают отдельно эти
формулы:

sin(x +y) = sinxcosy + cosxsiny;

cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny;

tg(x+y) = .

Далее учащиеся устно работают с места.



№1 Упростить:

а)

б)

в)

г)



№2 Вычислить:

а)

б)

в)

г)

д)

3. Изучение нового материала.

Сейчас мы выведем с вами тригонометрические
формулы двойного аргумента и рассмотрим
многообразие их применения.

Если положить в формулах, записанных вами в
начале урока на доске x= y, то получаем:

1)

sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny

sin2x = sinxcosx + sinxcosx = 2sinxcosx

2)

cos(x+y) = cosxcosy – sinxsiny

cos2x = cosxcox – sinxsinx = cos2x – sin2x

3)

tg(x+y) =

tg2x =

Каждую из 3-х формул выводит 1 ученик.

Рассмотреть варианты применения данных формул.

  • sin10x = 2sin5x*cos5x
  • sin
  • cos(8x – 14y) = cos2(4x – 7y) – sin2(4x – 7y)
  • tg
  • 2sin7xcos7x = sin14x
  • cos23,5t — sin23,5t = cos7t

А теперь докажем два тождества, используя
доказанную в начале урока формулу cos 2x = cos 2x
– sin2x

1. Доказать тождество:

cos2x = 1 – 2sin2x

cos2x = cos2x – sin2x = (1 — sin2x) — sin2x
= 1 — 2 sin2x

cos2x = 1 — 2 sin2x

2. Доказать тождество:

cos2x = 2cos2x – 1

cos2x = cos2x – sin2x = cos2x – (1 — cos2x)
= 2cos2x – 1

cos2x = 2cos2x – 1

3. Выразить sin2x из равенства:

cos2x = 1 — 2sin2x

2 sin2x = 1 – cos2x

sin2x =

4. Выразить cos2x из равенства:

cos2x = 2cos2x – 1

cos2x+1 = 2cos2x

2cos2x = cos2x+1

cos2x =

Итак, выполняя №1 и №2, мы получили еще два
варианта формулы двойного аргумента, а выполняя
№3 и №4, вывели формулы понижения степени.

4. Домашнее задание.

  • §21
  • №21.1 – 21.6 (а)
  • №21.9 (а)

5. Итог урока.

  1. Что нового узнали на уроке?
  2. Довольны ли вы своей работой на уроке?

6. Закрепление изученного материала.
Контрольный срез.

Учащиеся выполняют работу на карточках с
дифференцированными заданиями по теме урока
(самопроверка).

1 вариант.



№1 Упростите, продолжив решение, и выберите
правильный ответ:

а)

Ответ:

1) 4/3;

2) 4/3cosx;

3) 2/3;

4) 4/3ctgx.

б)



Ответ:

1) cos20;

2) 2cos20;

3) ctg20;

4) другой ответ.



№2 Упростите и выберите правильный ответ:

а)



Ответ:

1) 3tgx;

2) 3sinx;

3) 1.5sinx;

4) 3tg2x.

б) cos2t – cos2t =



Ответ:

1) sin2t;

2) -sin2 t;

3) 2cos2 t+sin2 t;

4) другой ответ.

2 вариант.



№1 Упростите, продолжив решение, и выберите
правильный ответ:

а)

Ответ:

1) -3tg2x;

2) 3sin2 x;

3) 6 tgx;

4) 3tg2 x.

б)



Ответ:

1) 3/2;

2) 2/3;

3) 2/3sin2x;

4) другой ответ.



№2 Упростите и выберите правильный ответ:

а)



Ответ:

1) tg2x;

2) 2sinx;

3) 1/2sinx;

4) 1/2 + tgx.

б) cos2t + sin2t =



Ответ:

1) cos2t;

2) 2sint;

3) cost-sint;

4) другой ответ.

Проверяются верные ответы.

1 вариант:

№1 а) 1; б) 2.

№2 а) 2;б) 1.

2 вариант:

№1 а) 4; б) 2.

№2 а) 3; б) 1.

Учащиеся поднимают руку, кто при выполнении
работы сделал 2 ошибки, затем – кто одну ошибку и,
наконец, кто не сделал ни одной ошибки, выполнил
всё полностью и верно.

Молодцы ребята, отлично поработали.

Ученики сдают карточки на проверку учителю.

На следующих двух уроках мы с вами продолжим
изучение применения формул двойного аргумента в
тригонометрических преобразованиях.

Спасибо всем за урок!

Контрольное тестирование по теме «Тригонометрические формулы»

Фамилия____________________________________
ВЕРНЫЙ ОТВЕТ ОБВЕДИТЕ КРУЖОЧКОМ (БУКВУ) или ЗАПИШИТЕ. 
В ЗАДАНИЯХ БЕЗ ВАРИАНТОВ ОТВЕТОВ РАСПИШИТЕ РЕШЕНИЕ
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ: 0­13 баллов – «2», 14­27 баллов – «3», 28­40 баллов – «4», 41­64 балла – «5»
1. (1 балл) Среди предложенных формул, выберите верные. В этих равенствах  0≤t≤90° .
А
Г
sin(π
2 +t)=cost Б
cos(π
2−t)=sint
cos(π
2−t)=−sint
2. (2 балла) Составьте верные формулы приведения. ОТВЕТ:
1
А
2 +t)=−cost В
sin(π
2 +t)=¿
sin(π
2 +t)=¿
cos(π
sin(π−t)=¿
Б
В
Г
?
2
3
cos(π+t)=¿
4
3. (3 балла) Чему равно значение выражения  cos 38π
3
А
В
1
2
4. (4 балла) Чему равно значение выражения   sin(−600°) ?
ОТВЕТ:
−√3
2
√3
2
Б
sint
−sint
cost
−cost
Г
−1
2
420°
5. (5 баллов) Укажите углы, косинус которых равен 0,5.
А
В
6. (6 баллов) Чему равно значение выражения  8sin(−30°)⋅cos 60°⋅tg(−240°)⋅ctg210° ?
ОТВЕТ:
300°
60°
30°
Б
Г
7. (1 балл) Среди предложенных формул, выберите верные.
А
Б
tgx= sinx
cosx
В ctgx=cosx
sinx
tgx=cosx
sinx
tgx⋅ctgx=0
8. (2 балла) Среди предложенных формул, выберите верные.
А
9. (3 балла) Среди предложенных формул, выберите верные.
А
tgx⋅ctgx=1
Б
Б
В
В
1+tg2x= 1
cos2x
sin2x+cos2x=0
1+ctg2x= 1
cos2x
1+tg2x= 1
sin2x
( sinx
ctgx)2
tgx+cosx
10. (4 балла) Упростите выражение 
ОТВЕТ:
11. (5 баллов) Найти  tgx , если  ctgx=0,2 .
ОТВЕТ:
12. (1 балл) Составьте верные формулы. ОТВЕТ:
1
2
sin2x=¿
cos2x=¿
3
4
tg2x=¿
sin2x=¿
.
А
Б
В
Г
Г ctgx= sinx
cosx
Г
Г
sin2x+cos2x=1
1+ctg2x= 1
sin2x
cos2x−sin2x
2tgx
1−tg2x
2sin x⋅cosx
1+cos 2x
2 5
cos2x=¿
Д
13. (3 балла) Найдите значение выражения 
ОТВЕТ:
14. (4 балла) Найдите значение выражения  √2
ОТВЕТ:
2tg90°
1−tg290° .
2 −(cos π
8)2
8 +sin π
1−cos2x
2
.
15. (1 балл) Составьте верные формулы. ОТВЕТ:
1
2
sin(x+y)=¿
sin(x−y)=¿
3
4
5
cos(x+y)=¿
cos(x−y)=¿
tg(x+y)=¿
А
Б
В
Г
Д
6
16. (2 балла) Найдите значение выражения  2(sin18°⋅cos 12°+cos18°⋅sin 12°)
ОТВЕТ:
tg(x−y)=¿
Е
.
cosx⋅cosy−sinx⋅siny
tgx+tgy
1−tgx⋅tgy
sinx⋅cosy+cosx⋅sin y
sinx⋅cosy−cosx⋅siny
tgx−tgy
1+tgx⋅tgy
cosx⋅cosy+sinx⋅sin y
17. (3 балла) Упростите выражение  sin(x−y)+sin(x+y)
ОТВЕТ:
.
18. (4 балла) Найдите значение выражения 
ОТВЕТ:
tg25°+tg20°
1−tg25°⋅tg20° .
sinx−siny=¿
19. (1 балл) Составьте верные формулы. ОТВЕТ:
1
sinx+sin y=¿
⋅sin x−y
2
⋅cos x−y
⋅cos x+y
2
⋅cos x−y
20. (2 балла) Преобразуйте выражение  sin 45°+sin 15°  с помощью формулы суммы синусов.
ОТВЕТ:
−2sin x+y
2
2sin x+y
2sin x−y
2cos x+y
2
cosx−cosy=¿
cosx+cosy=¿
2
2
2
3
4
2
2
А
Б
В
Г
21. (3 балла) Упростите выражение 
тригонометрических функций в произведения.
cos2x−cos4x
cos2x+cos4x  с помощью формул преобразования сумм ОТВЕТ:
22. (4 балла) Найдите значение выражения  cos 11π
ОТВЕТ:
12 −cos 5π
12 .

тригонометрических отступов

тригонометрических отступов

sin (тета) = а /
c
csc (тета) = 1 / sin (тета) = c /
a
cos (тета) = b / c сек (тета) = 1 /
cos (theta) = c / b
tan (theta) = sin (theta) /
cos (theta) = a / b
cot (theta) = 1 / tan (theta) = b /
a

sin (-x) = -sin (x)
csc (-x) =
-csc (x)
cos (-x) = cos (x)
сек (-x) = sec (x)
tan (-x) =
-tan (x)
кроватка (-x) = -cot (x)

sin 2 (x) + cos 2 (x) =
1
коричневый 2 (x) + 1 =
сек 2 (x)
детская кроватка 2 (x) + 1 =
csc 2 (x)
sin (x y) = sin x cos y
cos x sin
y
cos (x y) = cos x cosy sin x sin
y

tan (x y) = (tan x tan y) / (1 tan x tan y)

sin (2x) = 2 sin x cos
x

cos (2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x) = 2
cos 2 (x) — 1 = 1-2 sin 2 (x)

tan (2x) = 2
tan (x) / (1 — tan 2 (x))

sin 2 (x) = 1/2 — 1/2
cos (2x)

cos 2 (x) = 1/2 + 1/2 cos (2x)

sin x — sin y = 2
sin ((x — y) / 2) cos ((x + y) / 2)

cos x — cos y = -2 sin ((x-y) / 2)
sin ((x + y) / 2)

Таблица триггеров
общих углов
угол 0 30 45 60 90
sin 2 (а) 0/4 1/4 2/4 3/4 4/4
cos 2 (а) 4/4 3/4 2/4 1/4 0/4
желто-коричневый 2 (а) 0/4 1/3 2/2 3/1 4/0

Дано
Треугольник abc с углами A, B, C; a противоположно A, b противоположно B, c
напротив C:

a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C) (Закон синуса)

c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos (C)

b 2 = a 2 + c 2 — 2ac cos (B)

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos (A)

(Закон косинусов)

(a — b) / (a ​​+ b) = tan 1/2 (A-B) / tan 1/2 (A + B) (Закон касательных)

Rozwiąż równanie a) 1-cos2x = tgx b) sin ^ 2 2x — cos ^ 2 2x = cos2x c) 2cos ^ 2 2x — 3sin 2x = 0 Proszę o

Proszę o pomoc z tymi zad daje naj

4.Ile wynosi stosunek pól prostokątów podobnych o wymiarach 3 x 8 oraz 9 x 24? Wybierz właściwą odpowiedź.
А. 1/3; B.3; С. 9; Д. 5
5. Jeden z bokó

w prostokąta ma długość 20 см. Wyznacz długość другого boku tego prostokąta tak, aby był on podobny do prostokąta o wymiarach 36 см x 40 см. Podaj stosunek pola większego prostokąta do mniejszego. Rozpatrz wszystkie możliwości.
6. Prostokąt o bokach długości 16 cm i 20 cm jest podobny do prostokąta o obwodzie równym 18 cm.Oblicz pole mniejszego prostokąta.

Proszę o odpowiedzi i przesłanie do mnie z góry dziękuję

помое ктоś пильние ???

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 400 3, a jego wysokość wynosi 12 cm.Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Запис

z obliczenia i podaj odpowiedź.

rownanko dla was dziesiejsze !!!
(4x — 7) / 2 = 0

Задание 2
W trójkąt ABC wpisano okrag.Punkty styczności tego okręgu z bokami AB, BC, CA oznaczo-
no odpowiednio K, L, M. Oblicz kąty trójkąta ABC, wi

edząc, że ZKLM = 80 °, ZLMK = 60 °,
ЗМКЛ = 40 °

. Dany jest prostokąt o wymiarach 4 x 7. Oblicz pole prostokąta o bokach 3 razy dłuższych.
2.Oblicz pole простокąта подобного w skali k = 1/6 do pro

stokąta o polu równym 180.
3. Wybierz właściwe dokończenie zdania.
Skala podobieństwa dwóch trapezów o polach równych 169 i 144 wynosi
A.12 / 13; B169 / 144. ; С. 144/169; Д. 25

plis na dziś daje dużo punktów plis pomóżcie

Определить последовательный идентификатор.sen2x / 1 + cos2x. cosx / 1 + cosx = tg x / 2

определить доблесть × na proporção b) 83 = × 3 =? Mim Ajudem Por Favor Urgente

Sabendo que A = -3 + 8x 7 B = 2 + 10 c = 4 + x-14 вычисление a) A + B = B) A-C = C) A + B + C = D) B + C-A

5. Escreva em pedaços iguais de papel os números de1 a 13. Dobre-os igualmente de modo que qualquerum deles tenha a mesma chance de ser retirado deuma

caixa. Qual é a probabilidade de que o númeroretirado seja: a) par? B) divisível por 37c) um número primo? D) maior do que 87e) menor do que 10? F) um número entre 5 e 10? G) múltiplo de 47 Взаимодействие с другими людьми

10) Alguns veículos de Passageiros, em um município tem vida útil que varia entre 6 e 8 anos.Соблюдайте графические данные о процессе десвалоризации 3 дня.

esses veículos ao longo dos anos, a partir de sua compra na fábrica, com base nos gráficos, o veículo que mais desvalorizou por ano foi?

Quais as seguintes questões das progressão aritmética a, 16,1 11,16 B1 / 3,1, cinco / 3,74, — 1,1 — 6,0 — 11 de 9, 12, 16,1 / 2,1 / 3,14 7,9 + 3,11 + 6,1

Admita que, em dezembro de 2014, uma filha tinha 20 anos e seu pai, 50. Em dezembro de 2034, a razão entre as idades da filha e do pai será de:

05-03- Qual das seguintes expressões é um monômio? A) x + 4b) -9x 2 y 3zc) a + 2xd) 3 x + 5 y06-0 monômio 3x? y é semelhante ao monômio: a) 5xyb) -5xy? o)

-5x²yd) 5xy? @ Paulloh2 essas questões Precisa de cálculos?

3.Você percebeu que a teoria econômica de Adam Smith, o LIBERALISMO, ainda está presente nos dias oshoje? Uma de suas ideias é a LEIDA OFERTA E DA PRO

CURA, que define o preço dos produtos de acordocom o equilíbrio entre a oferta deste produto no mercado e a requirea por ele pelos consumidores. Marqueabaixo todos as alternativas que example essa ideia 🙂 Quando Você Congue comprar um ovo de páscoa pela metade do preço na semana seguinte aoferiado de Páscoa.) Quando или preço do álcool estaissa de páscoa.() Quando tem Promoção de bananas maduras no supermercado.) Quando começa a chover eo ambulante aumenta o preço do guarda-chuvas para mais de $ 10 reais. pessoas terão que ficar em casa.

Рассмотрим функцию f: A → B,
Com A = {-3, -1, 0, 2} e B = {-7, -5, -3, -1, 2, 3), que associa cada
elemento x de A ao seu dobro subtraído de uma unidade

em B, pois
функция для определения пела леев формы f (x) = 2x — 1.Вамос
детерминировать образ m y de cada elemento x de A. Desse modo, a
imagem da função f temos: (faça os cálculos e o diagrama).
Nessa função f temos:
а) D (F) =
б) CDF) =
в) Im (f) =

Todo número natural é número inteiro verdadeiro ou falso

Wolfram | Примеры альфа: тригонометрия


Тригонометрические расчеты

Оцените тригонометрические функции или более крупные выражения, включающие тригонометрические функции с разными входными значениями.

Вычислить значения тригонометрических функций:

Вычислить значения обратных тригонометрических функций:

Другие примеры


Тригонометрические функции

Изучать и выполнять вычисления с использованием тригонометрических функций и их обратных функций над действительными или комплексными числами.

Вычислить свойства тригонометрической функции:

Вычислить свойства обратной тригонометрической функции:

Постройте тригонометрическую функцию:

Проанализируйте тригонометрическую функцию комплексной переменной:

Проанализируйте тригонометрический полином:

Сгенерируйте таблицу специальных значений функции:

Вычислить среднеквадратическое значение периодической функции:

Другие примеры


Тригонометрические идентичности

Узнайте и примените известные тригонометрические тождества.

Найдите формулы для нескольких углов:

Найдите другие триггерные идентичности:

Другие примеры


Тригонометрические уравнения

Решите уравнения, содержащие тригонометрические функции.

Решите тригонометрическое уравнение:

Другие примеры


Тригонометрические теоремы

Узнайте и примените известные тригонометрические теоремы.

Примените тригонометрическую теорему:

Примените теорему Пифагора:

Другие примеры


Сферическая тригонометрия

Изучите отношения между длинами сторон и углами треугольников, когда эти треугольники нарисованы на сферической поверхности.

Примените теорему сферической тригонометрии:

Другие примеры

Identidades Trigonométricas — ПРОФ.REGIS CORTÊS MATEMÁTICA-FÍSICA-QUÍMICA

O que são identify trigonométricas?

Identidades trigonométricas, dentro do capítulo de trigonometria, são equações que envolvem funções trigonométricas, и эта тема по объекту, идентифицирующая формулировку функции, действующей на директиве, является основным функционалом тригонометрической функции. Essas equações são usadas для простых выражений envolvendo как funções Seno, Cosseno, Tangente, Cotangente, Secante e cossecante.

Serão válidas as identify trigonométricas, desde que ambos os lados da igualdade sejam iguais, respeitando o domínio das funções envolvidas.

O curso Gênio da Matemática tem um capítulo inteiro de Trigonometria para Você aprofundar esse e os demais assuntos da Matemática!

Como resolver identify trigonométrica?

Как идентифицирует тригонометрические данные são resolvidas por meio de демонстрации usando as fórmulas conhecidas da trigonometria.

Será considerada umaidentidade quando, nesse desenvolvimento, obtivermos o mesmo valor ou a mesma função nos dois lados da igualdade.

Usamos algumas técnicas bem simples que irão облегчить muito os cálculos.

Primeira delas é transformar todas as funções para seno e cosseno. Dessa forma poderemos упрощенно как expressões.

Também poderemos optar por trabalhar somente um lado da igualdade até que apareça a identdade trigonométrica.

O quadro abaixo tem todas as transformações que Precisaremos executar nesse tipo de проблема.

Procure transformar as expressões que estão em azul nas que estão em vermelho. Após esse passo simpleifique ao máximo e identifique se há identify trigonométrica

Função Secante — inversa da função cosseno

сек (x) = 1
cos (x)

Função Cossecante — inversa da função Seno

cossec (x) = 1/ sen (x)

A função Cotangente — inversa da função Tangente

cotg (x) = 1 / tg (x) ou cotg (x ) = cos (x) / sen (x)

A partir das relações foundationais, podemos gerar novas relações de que serão foundationais para o nosso estudo de Trigonometria.

Vamos a elas:

1 номер декора:

Соответствует фундаментальному значению sen² (x) + cos² (x) = 1 .

Quando dividos a função inteira por cos² (x) temos:

sen² (x) + cos² (x) = 1
cos² (x) 90²157 x х)

Логотип:

tg² (x) + 1 = sec² (x)
ou
sec² (x) = 1+ tg² (x)

Двухуровневый декор:

Com a mesma relação basic da trigonometria sen² (x) + cos² (x) = 1 , dividos toda relação por sen² (x) .

sen² (x) + cos² (x) = 1
sen² (x) 90²157 sen² (x) 90²157 х)

1 + cotg² (x) = cossec² (x)
ou
cossec² (x) = 1 + cotg² (x)

Usamos as funções trigonométricas, as relações foundationais da trigonometria, as relações decorrentes e as funções do arco duplo para solucionar as equações de identify trigonométricas.

Exemplo de funções com arco duplo

сен (2x) = 2. сен (х). cos (x)
cos (2x) = cos² (x) — sen² (x)
tg (2x) = 2. tg (x)
1 — tg² x

Примеры

Exercícios de Identidades trigonométricas — Trigonometria :

1) 4.sen2a / sena.cosa = 8

4.сен (а + а) /sena.cosa=8

4.2sena.cosa / sena.cosa = 8

8 = 8

_____________________________________________________________

2) cos2a / (sena-cosa) (sena + cosa) = -1

(cos 2 x — сен 2 x) / (сен 2 x — cos 2 x) = -1

— (- cos 2 x + сен 2 x) / (сен 2 x — cos 2 x) = -1

-1 = -1

_____________________________________________________________

3) cossc 2 х.tgx = cotgx.sec 2 x

Transformando para seno e cosseno

(1 / сен 2 x). (Senx / cosx) = (cosx / senx). (1 / cos 2 x)

Simplificando na divisão

1 / senx.cosx = 1 / senx.cosx

Veja aqui como aprender Trigonometria

Faça aqui mais тренинг по тригонометрии

Agora tente encontrar as duas identtidades trigonométricas:

Exercícios de Trigonometria — Identidades trigonométricas

1) (senx + tanx) / (cotgx + cosscx) = senx.танкс

2) сек 2 x.cossec 2 x = сек 2 x + cossec 2 x

3) sen2x cos x⋅tg x = sen x

Aulas no nosso canal do YouTube

01) сен 2 x + cos 2 x = 1 02) 1 + tg 2 x = сек 2 x = 1 / cos 2 x
03) 1 + cotg 2 x = cosec 2 x = 1 / sen 2 x 04) сен (-x) = -сен x
05) cos (-x) = cos x 06) tg (-x) = -tg x = -senx / cosx
07) cosecx = 1 / senx 08) сек x = 1 / cosx
09) cotgx = cosx / senx 10) tgx = senx / cosx
11) сен (a ± b) = сен.cosb ± cosa.senb 12) cos (a-b) = cosa.cosb + sena.senb
13) тг (a + b) = (tga + tgb) / (1 + tga.tgb) 14) тг (a-b) = (tga-tgb) / (1 + tga.tgb)
15) 1-cos 2 x = сен 2 x 16) 1-sen 2 x = cos 2 x
17) сен 2x = 2 сен x.cos x 18) cos 2x = cos 2 x — sen 2 x = 1-2 sen 2 x
19) cos 2 x = (1 + cos2x) / 2 * идент 18 20) сен 2 x = (1-cos2x) / 2 * идент 18
21) tg2x = 2tgx / (1-tg 2 x) 22) tgx / 2 = (1-cosx) / senx = senx / (1 + cosx)

Venha conhecer o curso online Gênio da Matemática ! A maneira mais fácil e prática de aprender Matemática!

Sbírka řešených příkladů z matematické analysis I

% PDF-1.6
%
4000 0 объект
>
эндобдж
3999 0 объект
>
эндобдж
3778 0 объект
>
эндобдж
4011 0 объект
> поток
2012-04-24T18: 47: 36 + 02: 00LaTeX с пакетом гиперссылок2012-04-24T19: 01: 53 + 02: 002012-04-24T19: 01: 53 + 02: 00application / pdf

  • Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, stav математики и статистика, Брно 2010
  • Петр Земанек а Петр Хасил
  • Sbírka řešených příkladů z matematické analýzy I
  • differenciální počet funkcí jedné proměnné, integrální počet funkcí jedné proměnné, řešené příkladypdfTeX-1.40.12FalseЭто MiKTeX-pdfTeX 2.9.4307 (1.40.12) uuid: ad82e1c1-f4f8-492e-87d1-1ac275482365uuid: 437d672d-84ca-4b8c-807d-6d58138a4370

    конечный поток
    эндобдж
    4002 0 объект
    > / Кодировка >>>>>
    эндобдж
    3777 0 объект
    >
    эндобдж
    4010 0 объект
    >
    эндобдж
    1668 0 объект
    >
    эндобдж
    1647 0 объект
    >
    эндобдж
    1669 0 объект
    > поток
    x [Is8Wp.2x
    о. cos2x / 1 + sin2x = cosx-sinx / sinx + cosx
    стр. 1-cos2x / sin2x = tgx

    Zadanie jest zamknięte.
    Автор задания wybrał już najlepsze rozwiązanie lub straciło ono ważność.

    Podobne materiały

    POSIADAM JESZCZE INNE MATERIAŁY Z BANKOWOŚCI I NIE TYLKO

    Promy kosmiczne, zwane też wahadłowcami lub samolotami kosmicznymi, są pierwszymi pojazdami wielokrotnego użytku przeznaczonymi do podróży poza naszą planetę. Startują z powierzchni Ziemi na podobieństwo rakiety kosmicznej, po wejściu na orbitę stają się sztucznymi satelitami, a gdy kończą zadanie, lądują z powrotem na ziemskim globanty niczymzkim.Джу сама …

    Задания секретариату
    Głównym zadaniem sekretariatu jest odciążenie kierownika z uciążliwych administracyjno — biurowych i techniczno? usługowych spraw które są bardzo drobne. Wstrukturze firmy sekretariat nie ma charakteru merytorycznego lecz usługowy. W sekretariacie może być zatrudnionych kilka osób ale najczęściej jest to komórka jednoosobowa (zatrudniony to sekretarka lub …

    Задания спедитора:
    — Spedytor zobowiązany jest wykonywać swoje czynności zgodnie z przyjętym zleceniem.- Spedytor jest zobowiązany do odbioru przesyłki w przypadku gdy brakuje właściwych dokumentów.
    — Spedytor odbierając przesyłkę jest zobowiązany sprawdzić czy przesyłka dostarczona została w stanie nienaruszonym.
    — Spedytor nie ma obowiązku sprawdzać zgodność …

    Istnieje wiele teorii, dotyczących zadań, jakie spełniają środki masowego przekazu. Wynika to ze zróżnicowanego Definiowania tego pojęcia. W ujęciu funkcjonalistycznym, które uznaje media za autonomiczne instytucje, mają one następujące funkcje:
    1.Информация:
    — informowanie o wydarzeniach i sytuacji w społeczeństwie, kraju i na świecie,
    — powiadamianie o rozkładzie sił мы …

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.