Решить систему уравнений онлайн методом обратной матрицы: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Решение систем линейных уравнений матричным методом

Содержание статьи

1. Матричный способ решения систем линейных уравнений

2. Примеры решения системы с помощью обратной матрицы

Матричный способ решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений следующего вида:

$\left\{\begin{array}{c} {a_{11} x_{1} +a_{12} x_{2} +…+a_{1n} x_{n} =b_{1} } \\ {a_{21} x_{1} +a_{22} x_{2} +…+a_{2n} x_{n} =b_{2} } \\ {…} \\ {a_{n1} x_{1} +a_{n2} x_{2} +…+a_{nn} x_{n} =b_{n} } \end{array}\right. .$

Числа $a_{ij} (i=1..n,j=1..n)$ — коэффициенты системы, числа $b_{i} (i=1..n)$ — свободные члены.

Определение 1

В случае, когда все свободные члены равны нулю, система называется однородной, в противном случае — неоднородной.

Каждой СЛАУ можно поставить в соответствие несколько матриц и записать систему в так называемом матричном виде.

Определение 2

Матрица коэффициентов системы называется матрицей системы и обозначается, как правило, буквой $A$.

Столбец свободных членов образует вектор-столбец, который, как правило, обозначается буквой $B$ и называется матрицей свободных членов.

Неизвестные переменные образуют вектор-столбец, который, как правило, обозначается буквой $X$ и называется матрицей неизвестных.

Описанные выше матрицы имеют вид:

$A=\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {…} & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {…} & {a_{2n} } \\ {…} & {…} & {…} & {…} \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {…} & {a_{nn} } \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {b_{1} } \\ {b_{2} } \\ {…} \\ {b_{n} } \end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {…} \\ {x_{n} } \end{array}\right).$

Используя матрицы, СЛАУ можно переписать в виде $A\cdot X=B$. Такую запись часто называют матричным уравнением.

Вообще говоря, в матричном виде записать можно любую СЛАУ.

Примеры решения системы с помощью обратной матрицы

Пример 1

Дана СЛАУ: $\left\{\begin{array}{c} {3x_{1} -2x_{2} +x_{3} -x_{4} =3} \\ {x_{1} -12x_{2} -x_{3} -x_{4} =7} \\ {2x_{1} -3x_{2} +x_{3} -3x_{4} =5} \end{array}\right. {-1} \cdot B$.

Если матрица системы имеет определитель, не равный нулю, то данная система имеет единственное решение, которое можно найти матричным способом.

Если матрица системы имеет определитель, равный нулю, то данную систему нельзя решить матричным способом.

Пример 2

Дана СЛАУ: $\left\{\begin{array}{c} {x_{1} +3x_{3} =26} \\ {-x_{1} +2x_{2} +x_{3} =52} \\ {3x_{1} +2x_{2} =52} \end{array}\right. $. Решить СЛАУ методом обратной матрицы, если это возможно.

Решение:

$A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right). $

Нахождение определителя матрицы системы:

$\begin{array}{l} {\det A=\left|\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right|=1\cdot 2\cdot 0+0\cdot 1\cdot 3+2\cdot (-1)\cdot 3-3\cdot 2\cdot 3-2\cdot 1\cdot 1-0\cdot (-1)\cdot 0=0+0-6-18-2-0=-26\ne 0} \end{array}$ Так как определитель не равен нулю, то матрица системы имеет обратную матрицу и, следовательно, система уравнений может быть решена методом обратной матрицы. {-1} =\frac{1}{-26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {-2} & {6} & {-6} \\ {3} & {-9} & {-4} \\ {-8} & {-2} & {2} \end{array}\right)=\frac{1}{26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {2} & {-6} & {6} \\ {-3} & {9} & {4} \\ {8} & {2} & {-2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{2}{26} } & {\frac{-6}{26} } & {\frac{6}{26} } \\ {\frac{-3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{4}{26} } \\ {\frac{8}{26} } & {\frac{2}{26} } & {\frac{-2}{26} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right).$

Найдем решение системы:

$X=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {\frac{1}{13} \cdot 26-\frac{3}{13} \cdot 52+\frac{3}{13} \cdot 52} \\ {-\frac{3}{26} \cdot 26+\frac{9}{26} \cdot 52+\frac{2}{13} \cdot 52} \\ {\frac{4}{13} \cdot 26+\frac{1}{13} \cdot 52-\frac{1}{13} \cdot 52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2-12+12} \\ {-3+18+8} \\ {8+4-4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$ — искомое решение системы уравнений.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи
Дата последнего обновления статьи: 18.11.2021

Выполнение любых типов работ по
математике

Решение задач по комбинаторике на заказ

Решение задачи Коши онлайн

Математика для заочников

Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства

Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел

Контрольная работа на тему действия с рациональными числами

Дипломная работа на тему числа

Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения

Контрольная работа на тему приближенные вычисления

Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы
Курсовые работы
Выпускные квалификационные работы
Рефераты
Сочинения
Доклады
Эссе
Отчеты по практике
Решения задач
Контрольные работы

Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы).

Пусть
система линейных алгебраических
уравнений задана в матричной форме
,
где матрицаAимеет размерностьnнаnи ее определитель отличен от
нуля.

Так
как
,
то матрицаА– обратима, то есть,
существует обратная матрица.
Если умножить обе части равенстванаслева,
то получим формулу для нахождения
матрицы-столбца неизвестных переменных.
Так мы получили решение системы линейных
алгебраических уравнений матричным
методом.

Пример.

Решите
систему линейных уравнений
матричным
методом.

Решение.

Перепишем
систему уравнений в матричной форме:

Так
как
то
СЛАУ можно решать матричным методом. С
помощью обратной матрицы решение этой
системы может быть найдено как.

Построим
обратную матрицу
с
помощью матрицы из алгебраических
дополнений элементов матрицыА(при
необходимости смотрите статьюметоды
нахождения обратной матрицы):

Осталось
вычислить

матрицу неизвестных переменных, умножив
обратную матрицуна
матрицу-столбец свободных членов(при
необходимости смотрите статьюоперации
над матрицами):

Ответ:

или
в другой записи x1 = 4, x2
= 0, x
3 = -1.

Основная
проблема при нахождении решения систем
линейных алгебраических уравнений
матричным методом заключается в
трудоемкости нахождения обратной
матрицы, особенно для квадратных матриц
порядка выше третьего.

Более
подробное описание теории и дополнительные
примеры смотрите в статье матричный
метод решения систем линейных уравнений.

К
началу страницы

Пусть
нам требуется найти решение системы из
nлинейных уравнений сnнеизвестными
переменнымиопределитель
основной матрицы которой отличен от
нуля.

Суть
метода Гаусса
состоит в последовательном
исключении неизвестных переменных:
сначала исключаетсяx1из
всех уравнений системы, начиная со
второго, далее исключаетсяx2из всех уравнений, начиная с третьего,
и так далее, пока в последнем уравнении
останется только неизвестная переменнаяxn. Такой процесс преобразования
уравнений системы для последовательного
исключения неизвестных переменных
называетсяпрямым ходом метода Гаусса.
После завершения прямого хода метода
Гаусса из последнего уравнения находитсяxn, с помощью этого значения
из предпоследнего уравнения вычисляетсяxn-1, и так далее, из первого
уравнения находитсяx1.
Процесс вычисления неизвестных переменных
при движении от последнего уравнения
системы к первому называетсяобратным
ходом метода Гаусса
.

Кратко
опишем алгоритм исключения неизвестных
переменных.

Будем
считать, что
,
так как мы всегда можем этого добиться
перестановкой местами уравнений системы.
Исключим неизвестную переменнуюx1из всех уравнений системы, начиная со
второго. Для этого ко второму уравнению
системы прибавим первое, умноженное на,
к третьему уравнению прибавим первое,
умноженное на,
и так далее, кn-омууравнению прибавим
первое, умноженное на.
Система уравнений после таких
преобразований примет видгде,
а.

К
такому же результату мы бы пришли, если
бы выразили x1через другие
неизвестные переменные в первом уравнении
системы и полученное выражение подставили
во все остальные уравнения. Таким
образом, переменнаяx1исключена из всех уравнений, начиная
со второго.

Далее
действуем аналогично, но лишь с частью
полученной системы, которая отмечена
на рисунке

Будем
считать, что

противном случае мы переставим местами
вторую строку сk-ой, где).
Приступаем к исключению неизвестной
переменнойx2из всех
уравнений, начиная с третьего.

Для
этого к третьему уравнению системы
прибавим второе, умноженное на
,
к четвертому уравнению прибавим второе,
умноженное на,
и так далее, кn-омууравнению прибавим
второе, умноженное на.
Система уравнений после таких
преобразований примет видгде,
а.
Таким образом, переменнаяx2исключена из всех уравнений, начиная с
третьего.

Далее
приступаем к исключению неизвестной
x3, при этом действуем
аналогично с отмеченной на рисунке
частью системы

Так
продолжаем прямой ход метода Гаусса
пока система не примет вид

С
этого момента начинаем обратный ход
метода Гаусса: вычисляем xnиз последнего уравнения как,
с помощью полученного значенияxnнаходимxn-1из предпоследнего
уравнения, и так далее, находимx1из первого уравнения.

Пример.

Решите
систему линейных уравнений
методом
Гаусса.

Решение.

Исключим
неизвестную переменную x1из второго и третьего уравнения системы.
Для этого к обеим частям второго и
третьего уравнений прибавим соответствующие
части первого уравнения, умноженные наи
насоответственно:

Теперь
из третьего уравнения исключим x2,
прибавив к его левой и правой частям
левую и правую части второго уравнения,
умноженные на:

На
этом прямой ход метода Гаусса закончен,
начинаем обратный ход.

Из
последнего уравнения полученной системы
уравнений находим x3:

Из
второго уравнения получаем
.

Из
первого уравнения находим оставшуюся
неизвестную переменную и этим завершаем
обратный ход метода Гаусса
.

Ответ:

x1
= 4, x
2 = 0, x3 =
-1
.

Более
детальную информацию и дополнительные
примеры смотрите в разделе решение
элементарных систем линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса.

К
началу страницы

Как решить систему уравнений, используя обратную матрицу

Если у вас есть коэффициент, привязанный к переменной на одной стороне матричного уравнения, вы можете умножить на обратный коэффициент, чтобы убрать этот коэффициент и оставить только переменная. Например, если 3 x = 12, как бы вы решили уравнение? Вы должны разделить обе части на 3, что равносильно умножению на 1/3, чтобы получить x = 4. То же самое и с матрицами.

В форме переменной обратная функция записывается как f –1 ( x ), где f –1 – обратная функция f. Аналогичным образом вы называете обратную матрицу; обратная матрица A равна A –1 . Если A, B и C являются матрицами в матричном уравнении AB = C, и вы хотите решить для B, как вы это делаете? Просто умножьте на обратную матрицу А (если обратная существует), которую вы пишете так:

A –1 [AB] = A –1 C

Таким образом, упрощенная версия B = A –1 C.

Теперь, когда вы упростили основное уравнение, вам нужно вычислить обратную матрицу, чтобы вычислить ответ на задачу.

Прежде всего необходимо установить, что только квадратные матрицы имеют обратные — другими словами, количество строк должно быть равно количеству столбцов. И даже тогда не каждая квадратная матрица имеет обратную. Если определитель матрицы не равен 0, то матрица имеет обратную.

Как найти обратную матрицу

Когда матрица имеет обратную, у вас есть несколько способов найти ее, в зависимости от того, насколько велика матрица. Если матрица представляет собой матрицу 2×2, то вы можете использовать простую формулу, чтобы найти обратную. Однако для чего-то большего, чем 2 x 2, вы должны использовать графический калькулятор или компьютерную программу (многие веб-сайты могут найти для вас обратную матрицу).

Если вы не пользуетесь графическим калькулятором, вы можете дополнить исходную обратимую матрицу единичной матрицей и использовать элементарные операции со строками, чтобы получить единичную матрицу там, где когда-то была исходная матрица. Эти вычисления оставляют обратную матрицу, где у вас была идентичность изначально. Однако этот процесс сложнее.

С учетом сказанного, вот как найти обратную матрицу 2-x-2:

Если матрица A является матрицей 2-x-2

, ее обратная сторона выглядит следующим образом:

Просто следуйте этому формату с любым Матрица 2×2, которую вас просят найти.

Как решать уравнения

Вооружившись системой уравнений и знанием того, как использовать обратные матрицы, вы можете выполнить ряд простых шагов, чтобы прийти к решению системы, опять же используя проверенную старую матрицу. Например, вы можете решить следующую систему, используя обратные матрицы:

Эти шаги показывают вам путь:

  1. Запишите систему в виде матричного уравнения.

    Если записать матричное уравнение, получится

    .

  2. Создайте обратную матрицу коэффициентов из матричного уравнения.

    Вы можете использовать эту обратную формулу:

    В этом случае a = 4, b = 3, c = –10 и d = –2. Следовательно, ad – bc = 22. Следовательно, обратная матрица равна

    .

  3. Умножьте обратную матрицу коэффициентов в начале с обеих сторон уравнения.

    Теперь у вас есть следующее уравнение:

  4. Отменить матрицу слева и перемножить матрицы справа.

    Обратная матрица, умноженная на матрицу, уравновешивается. У вас осталось

  5. Умножьте скаляр, чтобы решить систему.

    Вы закончите со значениями x и y :

Обратите внимание, что умножение скаляра обычно проще после умножения двух матриц.

Об этой статье

Эта статья взята из книги:

  • Предварительное исчисление для чайников,

Об авторе книги:

Мэри Джейн Стерлинг изучала алгебру, деловое исчисление, геометрию и конечную математику в Университете Брэдли в г. Пеория, Иллинойс, более 30 лет. Она является автором нескольких книг серии для чайников, в том числе .0002 Рабочая тетрадь по алгебре для чайников, Алгебра II для чайников, и Рабочая тетрадь по алгебре II для чайников.

Эту статью можно найти в категории:

  • Предварительное вычисление,

Метод обратной матрицы — Бесплатная помощь по математике

« Правило Крамерса

Решение системы линейных уравнений: (урок 5 из 5)

Предположим, вам дано уравнение с одной переменной, например, $4x = 10$. затем
вы найдете значение $x$, которое решает это уравнение, умножив
уравнение, обратное 4: $\color{blue}{\frac14} \cdot 4x = \color{blue}{\frac14} \cdot 10$,
поэтому решение будет $x = 2,5$.

Иногда мы можем делать что-то очень похожее на решение систем линейных
уравнения; в этом случае мы будем использовать обратную матрицу коэффициентов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *