Решить систему уравнений методом обратной матрицы: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Содержание

Решение уравнений методом обратной матрицы

Метод обратной матрицы используется при решении систем линейных алгебраических уравнений, если число неизвестных равно числу уравнений.

Суть метода

Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными:

   

Эту систему можно записать в виде матричного уравнения ,

где – матрица системы,

– столбец неизвестных,

– столбец свободных коэффициентов.

Из полученного матричного уравнения необходимо выразить . Для этого умножим обе части матричного уравнения слева на , получим:

   

Так как , то или .

Далее находится обратная матрица и умножается на столбец свободных членов .

ЗАМЕЧАНИЕ

Обратная матрица к матрице существует только при условии, что . Поэтому при решении системы линейных уравнений методом обратной матрицы в первую очередь вычисляется . Если , то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы, если же , то методом обратной матрицы решить эту систему нельзя.

Пример решения методом обратной матрицы

ПРИМЕР 1




Задание Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы

   

Решение Данная система уравнений может быть записана матричным уравнением

   

где , , .

Выразив из этого уравнения , получим

   

Найдем определитель матрицы :

   


   

Так как , то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы.

Найдем обратную матрицу с помощью союзной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы :

   

   


   


   


   

Запишем союзную матрицу , составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы :

   

Далее запишем обратную матрицу согласно формуле . Будем иметь:

   

Умножая обратную матрицу на столбец свободных членов , получим искомое решение исходной системы:

   

Ответ

Читайте также:

Умножение матрицы на вектор

Ранг матрицы

Вычитание матриц

Перемножение матриц

Элементарные преобразования матриц

Операции над матрицами и их свойства

Практическая работа на тему «Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы, по формулам Крамера, методом исключения неизвестных Гаусса»

АН ПОО «Уральский промышленно-экономический техникум»

Практическая работа № 1

Дисциплина: Элементы высшей математики.

Тема: Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы, по формулам Крамера, методом исключения неизвестных Гаусса.

Цель занятия: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы, по формулам Крамера, методом исключения неизвестных Гаусса.

Норма времени: 2 часа

Методическое обеспечение: методические указания к практической работе.

Литература:

  1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1 / Дмитрий Письменный – М.: Айрис-пресс, 2008. – С. 22-30.

  2. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. [К.Н. Лунгу и др.]; под ред. С.Н. Федина. – М.: Айрис-пресс, 2007. – С. 37-41.

По указанной литературе и конспектам лекций повторить методы решения систем линейных уравнений: матричный метод, формулы Крамера, метод исключения неизвестных Гаусса

Решить систему линейных алгебраических уравнений, используя:

а) матричный способ;

б) метод Гаусса;

в) формулы Крамера.

Решение

Запишем исходную систему линейных алгебраических уравнений в матричном виде

Проверим совместность системы по теореме Кронекера-Капелли, найдя ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы системы. Проводим эквивалентные (элементарные) преобразования основной и расширенной матриц системы, приводя их к каноническому виду. Ранг будет равен количеству единиц на главной диагонали канонического вида матриц.

Ранги расширенной и основной матриц системы равны:

Таким образом система совместна, то есть имеет хотя бы одно решение.

Так как ранг основной матрицы системы совпадает с количеством неизвестных то исходная система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение.

а) Решаем методом обратной матрицы

Решаем исходную систему линейных алгебраических уравнений с помощью формулы

Найдем обратную матрицу к матрице системы по формуле

,

где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы А,

– определитель матрицы системы.

Вычислим определитель матрицы системы (с помощью формулы треугольников)

Определитель не равен нулю, следовательно, матрица системы является невырожденной. Поэтому обратная к ней матрица существует. Найдём её по формуле.

Сначала находим алгебраические дополнения к элементам матрицы.

Подставляем полученные значения в формулу для вычисления обратной матрицы. Таким образом, обратная матрица будет иметь следующий вид

Тогда решение исходной системы линейных алгебраических уравнений будет следующим.

б) решаем систему по формулам Крамера.

Определитель матрицы системы мы уже нашли

Далее ищем вспомогательные определители для формул Крамера, заменяя соответствующие столбцы матрицы системы на столбец свободных членов т применяя формулу треугольников.

Тогда решение исходной системы линейных уравнений будет

в) Решаем систему методом Гаусса (методом исключения неизвестных)

Прямой ход

Приведем с помощью эквивалентных (элементарных) преобразований над столбцами расширенную матрицу системы к треугольному виду с единицами на главной диагонали.

Обратный ход

Из полученной преобразованной системы находим значения неизвестных, начиная с .

Решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными следующими способами: а) с помощью формул Крамера; б) матричным способом; в) по методу Гаусса.

2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

  1. Что значит решить систему линейных алгебраических уравнений?

  2. Какая система линейных алгебраических уравнений называется совместной?

  3. В каком случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение?

  4. Какая система линейных алгебраических уравнений называется однородной?

  5. Какие методы решения систем линейных алгебраических уравнений вы знаете?

Элементы высшей математики ПР №1 Преподаватель Максимова О.Г.

23.

Решение слау методом обратной матрицы

Метод обратной матрицы
(Матричный метод) решения систем линейных
алгебраических уравнений с ненулевым
определителем основной матрицы состоит
в поиске матрицы, обратной к основной
матрице, и умножению ее на матрицу
свободных членов.

Обратная матрица

Пусть имеется
квадратная матрица n-го порядка

Матрица
А-1 называется обратной матрицей по
отношению к матрице А, если А*А-1 = Е, где
Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица —
такая квадратная матрица, у которой все
элементы по главной диагонали, проходящей
от левого верхнего угла к правому нижнему
углу, — единицы, а остальные — нули,
например:

Обратная матрица
может существовать только для квадратных
матриц т.е. для тех матриц, у которых
число строк и столбцов совпадают.

Теорема
условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица
имела обратную матрицу необходимо и
достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,…Аn)
называется невырожденной, если
векторы-столбцы являются линейно
независимыми. Число линейно независимых
векторов-столбцов матрицы называется
рангом матрицы . Поэтому можно сказать,
что для того, чтобы существовала обратная
матрица, необходимо и достаточно, чтобы
ранг матрицы равнялся ее размерности,
т.е. r = n.

Алгоритм нахождения
обратной матрицы

Записать в таблицу
для решения систем уравнений методом
Гаусса матрицу А и справа (на место
правых частей уравнений) приписать к
ней матрицу Е.

Используя преобразования
Жордана, привести матрицу А к матрице,
состоящей из единичных столбцов; при
этом необходимо одновременно преобразовать
матрицу Е.

Если необходимо, то
переставить строки (уравнения) последней
таблицы так, чтобы под матрицей А исходной
таблицы получилась единичная матрица
Е.

Записать обратную
матрицу А-1, которая находится в последней
таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример 1

Для матрицы А найти
обратную матрицу А-1

Решение: Записываем
матрицу А и справа приписываем единичную
матрицу Е. Используя преобразования
Жордана, приводим матрицу А к единичной
матрице Е. Вычисления приведены в таблице
31.1.

Проверим
правильность вычислений умножением
исходной матрицы А и обратной матрицы
А-1.

В результате умножения
матриц получилась единичная матрица.
Следовательно, вычисления произведены
правильно.

Ответ:

Решение матричных
уравнений

Матричные уравнения
могут иметь вид:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

где А,В,С — задаваемые
матрицы, Х- искомая матрица.

Матричные
уравнения решаются с помощью умножения
уравнения на обратные матрицы.

Например, чтобы найти
матрицу из уравнения , необходимо
умножить это уравнение на слева.

Тогда:

Следовательно, чтобы
найти решение уравнения , нужно найти
обратную матрицу и умножить ее на матрицу
, стоящие в правой части уравнения.

Аналогично решаются
другие уравнения.

Пример
2

Решить уравнение АХ
= В, если

Решение: Так как
обратная матрица равняется (см. пример
1)

24. Решение слау методом гаусса

Ме́тод
Га́усса[1] — классический метод решения
системы линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного
исключения переменных, когда с помощью
элементарных преобразований система
уравнений приводится к равносильной
системе ступенчатого (или треугольного)
вида, из которой последовательно, начиная
с последних (по номеру) переменных,
находятся все остальные переменные.

Описание метода

Пусть исходная система
выглядит следующим образом

Матрица
A называется основной матрицей системы,
b — столбцом свободных членов.

Тогда согласно
свойству элементарных преобразований
над строками основную матрицу этой
системы можно привести к ступенчатому
виду(эти же преобразования нужно
применять к столбцу свободных членов):

При этом
будем считать, что базисный минор
(ненулевой минор максимального порядка)
основной матрицы находится в верхнем
левом углу, то есть в него входят только
коэффициенты при переменных
.

Тогда
переменные
называются главными переменными. Все
остальные называются свободными.

Если хотя
бы одно число, где i > r, то рассматриваемая система
несовместна.

Пусть
для любых i > r.

Перенесём свободные
переменные за знаки равенств и поделим
каждое из уравнений системы на свой
коэффициент при самом левом (, где —
номер строки):

,

где

Если свободным
переменным системы (2) придавать все
возможные значения и решать новую
систему относительно главных неизвестных
снизу вверх (то есть от нижнего уравнения
к верхнему), то мы получим все решения
этой СЛАУ. Так как эта система получена
путём элементарных преобразований над
исходной системой (1), то по теореме об
эквивалентности при элементарных
преобразованиях системы (1) и (2)
эквивалентны, то есть множества их
решений совпадают.

Следствия:

1: Если в
совместной системе все переменные
главные, то такая система является
определённой.

2: Если количество
переменных в системе превосходит число
уравнений, то такая система является
либо неопределённой, либо несовместной.

Условие совместности

Упомянутое
выше условие
для всехможет быть сформулировано в качестве
необходимого и достаточного условия
совместности:

Напомним, что рангом
совместной системы называется ранг её
основной матрицы (либо расширенной, так
как они равны).

Теорема Кронекера-Капелли.

Система
совместна тогда и только тогда, когда
ранг её основной матрицы равен рангу
её расширенной матрицы.

Следствия:

Количество главных
переменных равно рангу системы и не
зависит от её решения.

Если ранг
совместной системы равен числу переменных
данной системы, то она определена.

Алгоритм

Описание

Алгоритм решения
СЛАУ методом Гаусса подразделяется на
два этапа.

На первом этапе
осуществляется так называемый прямой
ход, когда путём элементарных преобразований
над строками систему приводят к
ступенчатой или треугольной форме, либо
устанавливают, что система несовместна.
А именно, среди элементов первого столбца
матрицы выбирают ненулевой, перемещают
его на крайнее верхнее положение
перестановкой строк и вычитают
получившуюся после перестановки первую
строку из остальных строк, домножив её
на величину, равную отношению первого
элемента каждой из этих строк к первому
элементу первой строки, обнуляя тем
самым столбец под ним. После того, как
указанные преобразования были совершены,
первую строку и первый столбец мысленно
вычёркивают и продолжают пока не
останется матрица нулевого размера.
Если на какой-то из итераций среди
элементов первого столбца не нашёлся
ненулевой, то переходят к следующему
столбцу и проделывают аналогичную
операцию.

На втором
этапе осуществляется так называемый
обратный ход, суть которого заключается
в том, чтобы выразить все получившиеся
базисные переменные через небазисные
и построить фундаментальную систему
решений, либо, если все переменные
являются базисными, то выразить в
численном виде единственное решение
системы линейных уравнений. Эта процедура
начинается с последнего уравнения, из
которого выражают соответствующую
базисную переменную (а она там всего
одна) и подставляют в предыдущие
уравнения, и так далее, поднимаясь по
«ступенькам» наверх. Каждой строчке
соответствует ровно одна базисная
переменная, поэтому на каждом шаге,
кроме последнего (самого верхнего),
ситуация в точности повторяет случай
последней строки.

Метод Гаусса требует
порядка O(n3) действий.

Этот метод опирается
на: Теорема (о приведении матриц к
ступенчатому виду).

Любую матрицу путём
элементарных преобразований только
над строками можно привести к ступенчатому
виду.

Решение уравнений методом обратной матрицы онлайн

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве
сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только
возрастает. Метод обратной матрицы применяется в математике для решения систем линейных алгебраических
уравнений в том случае, когда число неизвестных равно количеству уравнений в системе.

Так же читайте нашу статью «Решить показательное уравнение
онлайн»

Допустим, дана следующая система линейных уравнений:

\[\left\{\begin{matrix} 2x_1-x_2+3x_3=1\\ -2x_2+2x_3=2\\ 3x_1+x_2+x_3=0 \end{matrix}\right. -1=1/4 \begin{pmatrix} -4 & 4 & 4\\ 6 & -7 & -4\\ 6 & -5 & -4 \end{pmatrix}\]

Найдем матрицу неизвестных:

\[x=\frac{1}{4} \begin{pmatrix} -4 & 4 & 4\\ 6 & -7 & -4\\ 6 & -5 & -4\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\
2\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\\ -2\\ -1 \end{pmatrix}\]

Решением систему методом обратной матрицы является:

\[x_1=1\]

\[x_2=2\]

\[x_3=-1\]

Проверить правильность ответа можно, подставив данные значения на место неизвестных в систему.

Где можно решить уравнение с помощью обратной матрицы онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель
позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это
просто вdести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию
и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей
групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда
рады помочь вам.

Решение СЛАУ и матрицы в Matlab

Доброго времени суток, читатели! Сегодня мы поговорим о матрицах в Matlab, об их применении в решении систем линейных алгебраических уравнений. Подробно разберем методы решения, и для этого необходимо знание нескольких базовых алгоритмов.

Также стоит отметить, что у каждого алгоритма, которым мы будем искать решение СЛАУ в Matlab, своя скорость нахождения этого решения, наличие или отсутствие условия выполнения алгоритма и т.д.

В традициях нашего сайта разберём на примере:

Решить систему линейных уравнений:

4*a + b - c = 6
a - b + c = 4
2*a - 3*b - 3*c = 4

Метод обратной матрицы в Matlab

Начнем с достаточно распространенного метода. Его суть состоит в том, что сначала необходимо выписать коэффициенты при a, b и c (то есть те коэффициенты, которые находятся слева) в одну матрицу, а свободный член (то есть то, что справа) в другую.

В итоге у нас получится 2 матрицы:

A=[4  1 -1; 1 -1  1; 2 -3 -3];   % коэффициенты
B=[6; 4; 4];

Для реализации этого метода (и следующих методов тоже) требуется одно условие: чтобы определитель матрицы, составленной из коэффициентов левой части не был равен нулю. Проверка на определитель:

det(A)

Вывод: 30

После проверки условия можем перейти к следующему шагу: нахождение обратной матрицы. В Matlab для этого используется оператор inv.
А само решение СЛАУ в Matlab находится как перемножение найденной обратной матрицы на матрицу свободных членов:

x=inv(A)*B

Вывод:
2
-1
1

Мы получили 3 значения, которые и соответствуют нашим коэффициентам: то есть a = 2, b = -1, c = 1. Можете проверить, подставив полученные ответы в исходную систему, и убедиться, что мы решили СЛАУ правильно.

Также следует отметить, что матрицы нужно перемножать именно, как сделали мы, то есть слева обратная матрица, справа матрица свободных членов.

Если вы не все поняли, то советую вам почитать нашу статью по основам Matlab.

Метод Гаусса

Метод Гаусса в Matlab реализуется достаточно просто: для этого нам нужно всего лишь изучить один новый оператор.
(\) - левое деление.
При следующей записи:

x = A\B

Вывод:
2
-1
1

Мы получим ответы на нашу исходную систему. Только заметьте, мы решили СЛАУ стандартным набором функций в Matlab, и желательно этот оператор использовать когда матрица коэффициентов квадратная, так как оператор приводит эту матрицу к треугольному виду. В других случаях могут возникнуть ошибки.

Метод разложения матрицы

Теперь поговорим о разложении матрицы. Нахождение решения через разложение матрицы очень эффективно. Эффективность обусловлена скоростью нахождения решения для данного вида систем и точностью полученных результатов.

Возможны следующие разложения:

  • разложение Холецкого
  • LU разложение
  • QR разложение

Разберём решение через LU и QR разложение, так как в задачах чаще всего встречается задание на решение именно через такие разложения.

Основное отличие этих двух разложений: LU разложение применимо только для квадратных матриц, QR — возможно и для прямоугольных.

LU разложение

Решим выше предложенную задачу через LU разложение:

[L, U] = lu(A);

Вывод:

L =
    1       0     0
    0.25    1     0
    0.5     2.8   1

U =
    4     1     -1
    0    -1.25   1.25
    0     0     -5

Затем:

y = L\B;
x = U\y

Вывод:

2
-1
1

QR разложение

И через QR разложение соответственно:

[Q, R] = qr(A);
x = R\(Q'*B)

Вывод:

2.0000
-1.0000
1.0000

Отметим, что апостроф (  '  ) после Q означает транспонирование.

Стандартные функции Matlab

Так же Matlab предлагает функцию linsolve, с помощью которой возможно решить систему линейных алгебраических уравнений. Выглядит это так:

x = linsolve(A,B)

Вывод:

2
-1
1

Как видите, ничего сложного тут нет, на то они и стандартные функции Matlab.

Повторение

Итак, сегодня мы с вами изучили несколько методов для решения СЛАУ в Matlab, как с помощью матриц, так и с помощью стандартных функций. Давайте их повторим на другом примере:

Решить систему линейных уравнений:
6*a - b - c = 0
a - 2*b + 3*d = 0
3*a - 4*b - 4*c = -1

A=[6 -1 -1; 1 -2 3; 3 -4 -4];
B=[0; 0; -1];
  • Методом обратной матрицы:
x=inv(A)*B

Вывод:
    0.0476
    0.1810
    0.1048
  • Методом Гаусса:
  • x = A\B
    
    Вывод:
        0.0476
        0.1810
        0.1048
    
  • LU разложение:
  • [L, U] = lu(A);
    y = L\B;
    x = U\y
    
    Вывод:
        0.0476
        0.1810
        0.1048
    
  • QR разложение:
  • [Q, R] = qr(A);
    x = R\(Q'*B)
    
    Вывод:
        0.0476
        0.1810
        0.1048
    

    На этом я с вами попрощаюсь, надеюсь, вы научились применять матрицы в Matlab для решения СЛАУ.

    Поделиться ссылкой:

    Похожее

    Матричные вычисления

    Mathсad имеет более 50 функций, предназначенных для работы с векторами и матрицами. Все функции можно разбить на группы по их функциональному назначению. Например, функции, предназначенные для создания матриц общего и специального вида, редактирования и преобразования матриц, функции, определяющие параметры матриц и т. д. Рассмотрим часть этих функций, которые имеют наибольшее прикладное значение.

    Среди функций, предназначенных для создания матриц, следует выделить функцию matrix(L,N,f), где L – число строк матрицы, N – число столбцов матрицы, f – функция f(l,n) при . Другая функция из этой группы identity(n). Функция предназначена для создания единичной матрицы размерности n. Следующая функция geninv(M) позволяет осуществить обращение матрицы M, аналогично операции M-1.

    Для определения размерности матрицы в Mathcad предназначены функция rows(M), определяющая число строк матрицы M, и функция cols(M), определяющая число колонок матрицы M.

    Сортировку элементов матрицы осуществляют две функции csort(M,i), rsort(M,j). Функция csort(M,i) обеспечивает сортировку по возрастанию элементов i – го столбца путем перестановки строк, а функция rsort(M,j) – сортировку по возрастанию элементов j –ой строки путем перестановки столбцов.

    Для определения минимального и максимального элемента матрицы используются функции min(M) и max(M).

    Выделить произвольную подматрицу из матрицы М в Mathcad можно посредством функции submatrix (M, r1, r2, c1, c2), где М – исходная матрица, r1 и r2 –нижний и верхний номер строки матрицы М, включаемых в результирующую подматрицу, а с1 и с2 – нижней и верхний номер столбца матрицы М, включаемых в результирующую подматрицу. Слияние матриц можно осуществить, используя функции augment(A,B,…) и stack(A,B,…). Функция augment(A,B,…) предназначена для слияния матриц А, В и т.д. слева направо. Причем количество строк в матрицах должно быть одинаково. Вторая функция stack(A,B,…) выполняет слияние матриц сверху вниз. Количество столбцов в матрицах должно быть также одинаково. Данные функции могут быть применены и к векторам. На листинге приведен пример использования рассмотренных матричных функций.

    Практическое занятие №4. Решение систем n линейных уравнений с n переменными методом обратной матрицы. | Методическая разработка по алгебре по теме:

    ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

    ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

    КОЛЛЕДЖ ГОРОДСКОЙ ИНФРАСТРУКТУРЫ И СТРОИТЕЛЬСТВА №1

    (ГБОУ КГИС №1)

    Методические рекомендации

    по проведению практического занятия по дисциплине «Математика»

    Практическое занятие №4. Решение систем n линейных уравнений с n переменными методом обратной матрицы.

    Автор-составитель:

    преподаватель Пархоменко Е.А.

    2012

    Практическое занятие №4.

    Тема: Решение систем n линейных уравнений с n переменными методом обратной матрицы.

    Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по решению  систем n линейных уравнений с n переменными методом обратной матрицы.  Повторить и систематизировать знания по данной теме.

    Задачи: 

    • развитие творческого профессионального мышления;

    • познавательная мотивация;

    • овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

    • овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

    • углубление теоретической и практической подготовки;

    • развитие инициативы и самостоятельности студентов.

    Обеспечение практической работы:

    Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

    Учебники: Богомолов Н. В. «Математика». – М.: Дрофа, 2009.

    Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. — Ростов-на-Дону «Феникс»,2008-380с.

    Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

    Ход практического занятия.

    1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

    2.Проверка готовности студентов к занятию;

    3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

    › Повторить теоретический материал по теме «Системы n линейных уравнений с n переменными».

    ›Изучить теоретический материал по теме «Решение систем n линейных уравнений с n переменными методом обратной матрицы».

    › Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

    › Выполнить самостоятельную работу по решению СЛАУ.

    › Ответить на контрольные вопросы.

    Теоретические сведения и методические рекомендации

     по решению задач.

    Матричный метод решения систем линейных уравнений.

    Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений  равно числу неизвестных.

    Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

    Метод основан на применении свойств умножения матриц.

            Пусть дана система уравнений:  

    Составим матрицы:   A = ;             B = ;           X = .

    Систему уравнений можно записать:

    AX = B.

    Сделаем следующее преобразование: A-1AX = A-1B,

    т.к.   А-1А = Е, то  ЕХ = А-1В

    Х = А-1В

            Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

            Пример. Решить систему уравнений:

    Х = , B = , A =

    Найдем обратную матрицу А-1.

     = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

    M11 =  = -5;                  M21 =  = 1;                   M31 =    = -1;

    M12 =                M22 =                     M32 =

    M13 =                  M23 =                     M33 =

                         A-1 = ;

    Cделаем проверку:

    AA-1 = =E.

    Находим матрицу Х.

    Х = = А-1В = = .

    Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

            

    Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

    › Выполнить самостоятельную работу по решению систем n линейных уравнений с n переменными методом обратной матрицы.

    Практическая работа №4.

    Вариант 1

    1.

    2.

    Практическая работа №4.

    Вариант 2

    1.

    2.

     

    ›Контрольные вопросы:

    1.Система из “m” линейных уравнений с “n” неизвестными.

    Векторно-матричная форма записи.

    2.Расширенная матрица системы.

    3.Однородные и неоднородные системы уравнений.

    4. Решение однородной и неоднородной систем методом Гаусса.

    5. Однородные системы и их свойства.

    6.Эквивалентные системы.

    7. Построение обратной матрицы с использованием алгебраических дополнений.

    8. Решение матричных уравнений.

    › Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.

    Метод обратной матрицы — Бесплатная справка по математике

    Решение системы линейных уравнений: (урок 5 из 5)

    Метод обратной матрицы

    Предположим, вам дано уравнение с одной переменной, например, $ 4x = 10 $. потом
    вы найдете значение $ x $, которое решает это уравнение, умножив
    уравнение, обратное 4: $ \ color {blue} {\ frac14} \ cdot 4x = \ color {blue} {\ frac14} \ cdot 10 $,
    так что решение будет $ x = 2.5 $.

    Иногда мы можем сделать что-то очень похожее, чтобы решить системы линейных
    уравнения; в этом случае мы будем использовать обратную матрицу коэффициентов. Но
    сначала мы должны проверить, что эта инверсия существует! Условия существования
    матрицы, обратной матрицы коэффициентов, такие же, как и для использования
    Правило Крамера, то есть

    1. В системе должно быть одинаковое количество
    уравнения как переменные, то есть матрица коэффициентов системы должна быть
    квадратный.

    2. Определитель
    матрица коэффициентов должна быть ненулевой. Причина, конечно, в том, что обратное
    матрицы существует именно тогда, когда ее определитель отличен от нуля.

    3. Чтобы использовать этот метод, следуйте
    шаги, продемонстрированные на следующей системе:

    $$
    \ begin {выровнено}
    -x + 3y + z & = 1 \\
    2х + 5у & = 3 \\
    3x + y — 2z & = -2
    \ end {выровнен}
    $$

    Шаг 1: Перепишите систему, используя умножение матриц:

    $$
    \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}}
    — 1 \\
    2 \\
    3
    \ конец {массив} \ begin {массив} {* {20} {c}}
    3 \\
    5 \\
    1
    \ конец {массив} \ begin {массив} {* {20} {c}}
    1 \\
    0 \\
    — 2
    \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}}
    Икс\\
    у \\
    z
    \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}}
    1 \\
    3 \\
    — 2
    \ end {array}} \ right)
    $$

    и записав матрицу коэффициентов как A, мы имеем

    $$
    A \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}}
    Икс\\
    у \\
    z
    \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}}
    1 \\
    3 \\
    — 2
    \ end {array}} \ right)
    $$

    Шаг 2: Найдите обратную матрицу коэффициентов A.{- 1}} \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}}
    1 \\
    3 \\
    {- 2}
    \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}}
    {- \ frac {{10}} {9}} \\
    {\ frac {4} {9}} \\
    {- \ frac {{13}} {9}}
    \ конец {массив} \ begin {массив} {* {20} {c}}
    {\ frac {7} {9}} \\
    {- \ frac {1} {9}} \\
    {\ frac {{10}} {9}}
    \ конец {массив} \ begin {массив} {* {20} {c}}
    {- \ frac {5} {9}} \\
    {\ frac {2} {9}} \\
    {- \ frac {{11}} {9}}
    \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}}
    1 \\
    3 \\
    {- 2}
    \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}}
    {21} \\
    {- 3} \\
    {39}
    \ end {array}} \ right)
    $$

    , поэтому решение —

    $$
    \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}}
    Икс\\
    у \\
    z
    \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}}
    {21} \\
    {- 3} \\
    {39}
    \ end {array}} \ right)
    $$

    Матричный обратный метод

    Матричный обратный метод

    Матричный обратный метод
    для решения системы уравнений

    См. Аналогичное обсуждение в нашем тексте, Рольф, на страницах 165-167 ;
    нижеследующее продолжает предыдущее обсуждение.

    Начнем с системы уравнений (справа):
    быть решенным. Количество переменных должно быть
    .
    количество уравнений, здесь оба равны 3:
    х y + 3z = 2
    2x + y + 2z = 2
    -2x 2 года + z = 3

    О проф.M c Фарланд тесты, вас спросят
    для решения вышеуказанной проблемы

    «методом обратной матрицы» в три отдельных этапа, как показано ниже :

    [1]
    Запишите данную систему (см. Выше) в виде единой матрицы
    уравнение :
    и nbsp
    Переменные с заглавной буквой представляют матрицы
    (не числа), которые находятся прямо над ними.Следовательно
    Вышеприведенное уравнение является матричным уравнением.
    Обратите внимание, как элементы матрицы соответствуют
    числа в исходной системе из 3-х уравнений
    [2]
    Решите матричное уравнение, полученное в
    шаг [1] выше; т.е. найти X.
    В МАТРИЧНОМ ОБРАТНОМ МЕТОДЕ
    (в отличие от Гаусса / Джордана),
    мы решаем матричную переменную X как
    левое умножение обеих сторон указанной выше матрицы
    уравнение (AX = B) по A -1 .Обычно A -1 рассчитывается как
    отдельное упражнение ;
    в противном случае мы должны остановиться здесь, чтобы вычислить A -1 .
    Левая часть (вверху) легко вычисляется
    потому что единичная матрица
    я
    Появляется 3 .
    Примечание: A -1 находится СЛЕВА.
    сторона обоих продуктов.
    Шаг [2] завершается поиском
    А -1. B ===>
    [3]
    Используя [2] выше, запишите решение в
    исходная система :
    оригинальная система
    x y + 3z = 2
    2x + y + 2z = 2
    -2x 2 года + z = 3
    решение исходной системы

    7.8: Решение систем с инверсиями

    Нэнси планирует инвестировать \ (10 ​​500 долларов США) в две разные облигации, чтобы распределить свой риск. Первая облигация имеет годовую доходность \ (10% \), а вторая облигация имеет годовую доходность \ (6% \). Сколько Нэнси должна инвестировать в каждую облигацию, чтобы получить доход в размере \ (8,5% \) от двух облигаций? Как лучше всего решить эту проблему? Есть несколько способов решить эту проблему. Как мы видели в предыдущих разделах, системы уравнений и матриц полезны при решении реальных проблем, связанных с финансами.{−1} \) равняется единичной матрице . Единичная матрица — это квадратная матрица, содержащая единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах. Мы идентифицируем единичные матрицы как \ (I_n \), где \ (n \) представляет размерность матрицы. Уравнения \ ref {eq1} и \ ref {eq2} являются единичными матрицами для матрицы \ (2 × 2 \) и матрицы \ (3 × 3 \) соответственно:

    \ [I_2 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ label {eq1} \]

    \ [I_3 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ label {eq2} \]

    Единичная матрица действует как \ (1 \) в матричной алгебре.{−1} \) уникален. Мы рассмотрим два метода поиска матрицы, обратной матрице \ (2 × 2 \), и третий метод, который можно использовать как для матриц \ (2 × 2 \), так и для \ (3 × 3 \).

    Определения: МАТРИЦА ИДЕНТИЧНОСТИ И МНОЖЕСТВЕННАЯ ИНВЕРСИЯ

    Единичная матрица , \ (I_n \), представляет собой квадратную матрицу, содержащую единицы по главной диагонали и нули во всех остальных местах.

    \ [I_2 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \]

    как для единичной матрицы \ (2 × 2 \)

    \ [I_3 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \]

    как для единичной матрицы \ (3 × 3 \)

    Если \ (A \) — матрица \ (n × n \), а \ (B \) — матрица \ (n × n \) такая, что \ (AB = BA = I_n \), то \ (B = A − 1 \), мультипликативная обратная () матрица \ (A \).

    Пример \ (\ PageIndex {1} \): показывает, что матрица идентичности действует как 1

    Для данной матрицы \ (A \) покажите, что \ (AI = IA = A \).

    \ [A = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \]

    Решение

    Используйте умножение матриц, чтобы показать, что произведение \ (A \) и единичной матрицы равно произведению единичной матрицы и \ (A \).

    \ [\ begin {align *} AI & = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt ] & = \ begin {bmatrix} 3⋅1 + 4⋅0 & 3⋅0 + 4⋅1 \ nonumber \\ −2⋅1 + 5⋅0 & −2⋅0 + 5⋅1 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

    \ [\ begin {align *} AI & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt ] & = \ begin {bmatrix} 1⋅3 + 0⋅ (−2) & 1⋅4 + 0⋅5 \ nonumber \\ 0⋅3 + 1⋅ (−2) & 0⋅4 + 1⋅5 \ end {bmatrix } \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ nonumber \\ −2 & 5 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

    Как сделать: даны две матрицы, покажите, что одна является мультипликативной обратной величиной другой

    • Даны матрица \ (A \) порядка \ (n × n \) и матрица \ (B \) порядка \ (n × n \) умножить \ (AB \).{−1} \).

    Пример \ (\ PageIndex {2} \): Показано, что матрица \ (A \) является мультипликативной обратной матрицей \ (B \)

    Покажите, что данные матрицы мультипликативно инвертируют друг друга.

    \ [A = \ begin {bmatrix} 1 & 5 \ nonumber \\ −2 & −9 \ end {bmatrix} \]

    и

    \ [B = \ begin {bmatrix} −9 & −5 \ nonumber \\ 2 & 1 \ end {bmatrix} \]

    Решение

    Умножить \ (AB \) и \ (BA \). Если оба продукта равны единице, то две матрицы являются обратными друг другу.

    \ [\ begin {align *} AB & = \ begin {bmatrix} 1 & 5 \ nonumber \\ −2 & −9 \ end {bmatrix} · \ begin {bmatrix} −9 & −5 \ nonumber \\ 2 & 1 \ end {bmatrix } \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 (−9) +5 (2) & 1 (−5) +5 (1) \ nonumber \\ −2 (−9) −9 (2) & −2 (−5) −9 (1) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

    и

    \ [\ begin {align *} BA & = \ begin {bmatrix} −9 & −5 \ nonumber \\ 2 & 1 \ end {bmatrix} · \ begin {bmatrix} 1 & 5 \ nonumber \\ −2 & −9 \ end {bmatrix } \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} −9 (1) −5 (−2) & — 9 (5) −5 (−9) \ nonumber \\ 2 (1) +1 (- 2) & 2 (−5) +1 (−9) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \ end {align *} \ ]

    \ (A \) и \ (B \) противоположны друг другу.

    Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

    Покажите, что следующие две матрицы инвертируют друг друга.

    \ [A = \ begin {bmatrix} 1 & 4 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 \ end {bmatrix} \]

    и

    \ [B = \ begin {bmatrix} −3 & −4 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 1 \ end {bmatrix} \]

    Ответ

    \ (\ begin {align *} AB & = \ begin {bmatrix} 1 & 4 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} −3 & −4 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 1 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 (−3) +4 (1) & 1 (−4) +4 (1) \ nonumber \\ [4pt] −1 (- 3) + — 3 (1) & — 1 (−4) + — 3 (1) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 \ конец {bmatrix} \ end {align *} \)

    \ (\ begin {align *} BA & = \ begin {bmatrix} −3 & −4 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & 4 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} −3 (1) + — 4 (−1) & — 3 (4) + — 4 (−3) \ nonumber \\ [4pt ] 1 (1) +1 (−1) & 1 (4) +1 (−3) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 \ конец {bmatrix} \ end {align *} \)

    Нахождение обратного умножения с помощью умножения матриц

    Теперь мы можем определить, являются ли две матрицы инверсными, но как мы можем найти инверсию данной матрицы? Поскольку мы знаем, что произведение матрицы на обратную матрицу является единичной матрицей, мы можем найти обратную матрицу, задав уравнение, используя умножение матрицы на .

    Пример \ (\ PageIndex {3} \): Нахождение обратного умножения с помощью умножения матрицы

    Используйте умножение матриц, чтобы найти обратную матрицу.

    \ [A = \ begin {bmatrix} 1 & −2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & −3 \ end {bmatrix} \]

    Решение

    Для этого метода мы умножаем \ (A \) на матрицу, содержащую неизвестные константы, и устанавливаем ее равной единице.

    \ (\ begin {bmatrix} 1 & −2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & −3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a & b \ nonumber \\ [4pt] c & d \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix } 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 \ end {bmatrix} \)

    Найдите произведение двух матриц, стоящих слева от знака равенства.

    \ [\ begin {bmatrix} 1 & −2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & −3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a & b \ nonumber \\ [4pt] c & d \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix } 1a − 2c & 1b − 2d \ nonumber \\ [4pt] 2a − 3c & 2b − 3d \ end {bmatrix} \]

    Затем создайте систему уравнений с записью в строке 1, столбце 1 новой матрицы, равной первой записи тождества, \ (1 \). Установите запись в строке 2, столбце 1 новой матрицы, равной соответствующей записи идентичности, которая равна \ (0 \).

    \ (1a − 2c = 1 \ пробел R_1 \)

    \ (2a − 3c = 0 \ пробел R_2 \)

    Используя операции со строками, умножьте и сложите следующим образом: \ ((- 2) R_1 + R_2 \ rightarrow R_2 \).Сложите уравнения и решите относительно \ (c \).

    \ [\ begin {align *} 1a − 2c & = 1 \ nonumber \\ [4pt] 0 + 1c & = — 2 \ nonumber \\ [4pt] c = −2 \ nonumber \ end {align *} \ nonumber \]

    Обратный заменитель для решения \ (a \).

    \ [\ begin {align *} a − 2 (−2) & = 1 \ nonumber \\ [4pt] a + 4 & = 1 \ nonumber \\ [4pt] a & = — 3 \ nonumber \ end {align *} \ nonumber \]

    Напишите другую систему уравнений, установив запись в строке 1, столбце 2 новой матрицы, равной соответствующей записи тождества, \ (0 \).Установите запись в строке 2, столбце 2, равной соответствующей записи идентификатора.

    \ (1b − 2d = 0 \ пробел R_1 \)

    \ (2b − 3d = 1 \ пробел R_2 \)

    Используя операции со строками, умножьте и сложите следующим образом: \ ((- 2) R_1 + R_2 = R_2 \). {- 1} = \ begin {bmatrix} −3 & 2 \ nonumber \\ [4pt] −2 & 1 \ end {bmatrix} \]

    Нахождение обратного мультипликативного числа при помощи тождества

    Другой способ найти мультипликативную инверсию — добавить тождество.{−1} \).

    Например, учитывая

    \ (A = \ begin {bmatrix} 2 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 5 & 3 \ end {bmatrix} \)

    Дополнение \ (A \) с тождеством

    \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

    Выполнение операций со строками с целью превращения A в удостоверение.

    1. Поменять местами ряд 1 и ряд 2.

      \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 5 & 3 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 1 & 1 & 0 \ end {array} \ right] \)

    2. Умножьте строку 2 на −2 и прибавьте к строке 1.{−1} = \ begin {bmatrix} 3 & −1 \ nonumber \\ [4pt] −5 & 2 \ end {bmatrix} \)

      Нахождение мультипликативной обратной матрицы для \ (2 × 2 \) матриц по формуле

      Когда нам нужно найти мультипликативную инверсию матрицы \ (2 × 2 \), мы можем использовать специальную формулу вместо умножения матриц или увеличения на единицу. {- 1} = \ dfrac {1} {ad − bc} \ begin {bmatrix} d & −b \ nonumber \\ [4pt] −c & a \ end {bmatrix} \)

      где \ (ad − bc ≠ 0 \).Если \ (ad − bc = 0 \), то \ (A \) не имеет обратного.

      Пример \ (\ PageIndex {4} \): Использование формулы для нахождения мультипликативной обратной матрицы \ (A \)

      Воспользуйтесь формулой, чтобы найти обратное умножение числа

      .

      \ [A = \ begin {bmatrix} 1 & −2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & −3 \ end {bmatrix} \]

      Решение

      Мы можем проверить, работает ли наша формула, используя один из других методов вычисления обратного. Пополним \ (A \) единицей.

      \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 1 & -2 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & -3 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

      Выполнение операций со строками с целью превращения \ (A \) в тождество.{−1} = \ begin {bmatrix} \ dfrac {3} {5} & \ dfrac {1} {5} \ nonumber \\ [4pt] — \ dfrac {2} {5} & \ dfrac {1} { 5} \ end {bmatrix} \)

      Пример \ (\ PageIndex {5} \): поиск обратной матрицы, если она существует

      Найдите обратную матрицу, если она существует.

      \ (A = \ begin {bmatrix} 3 & 6 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 2 \ end {bmatrix} \)

      Решение

      Мы будем использовать метод увеличения идентичности.

      \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 3 & 6 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 1 & 3 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

      1. Поменять местами ряд 1 и ряд 2.

        \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 1 & 3 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 6 & 1 & 0 \ end {array} \ right] \)

      2. Умножьте строку 1 на −3 и прибавьте ее к строке 2.

        \ (\ left [\ begin {array} {cc | cc} 1 & 2 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & -3 & 1 \ end {array} \ right] \)

      3. Мы больше ничего не можем сделать. Нули в строке 2 означают, что эта матрица не имеет инверсии.
      Нахождение мультипликативной обратной матрицы для \ (3 × 3 \) матриц

      К сожалению, у нас нет формулы, аналогичной формуле для матрицы \ (2 × 2 \), чтобы найти обратную матрицу \ (3 × 3 \).Вместо этого мы дополним исходную матрицу единичной матрицей и будем использовать операции со строками для получения обратного.

      Для матрицы \ (3 × 3 \)

      \ [A = \ begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 \ end {bmatrix} \]

      Дополнение \ (A \) с единичной матрицей

      \ [\ begin {array} {c | c} A&I \ end {array} = \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \]

      Для начала запишем расширенную матрицу с единицей справа и \ (A \) слева.Выполнив элементарные операции со строками так, чтобы единичная матрица появилась слева, мы получим обратную матрицу справа. Мы найдем инверсию этой матрицы в следующем примере.

      Как: по матрице \ (3 × 3 \) найти обратную

      1. Запишите исходную матрицу, дополненную единичной матрицей справа.
      2. Используйте элементарные операции со строками, чтобы идентификатор отображался слева.
      3. То, что получается справа, является обратной по отношению к исходной матрице.{−1} A = I \).

      Пример \ (\ PageIndex {6} \): поиск инверсии матрицы \ (3 × 3 \)

      Для матрицы \ (3 × 3 \) \ (A \) найдите обратное.

      \ (A = \ begin {bmatrix} 2 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 \ end {bmatrix} \)

      Решение

      Дополните \ (A \) единичной матрицей, а затем начните операции со строками, пока единичная матрица не заменит \ (A \). Матрица справа будет обратной для \ (A \).

      \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \ xrightarrow {Interchange \ space R_2 \ space и \ пробел R_1} \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 3 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

      \ (- R_2 + R_1 = R_1 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right ] \)

      \ (- R_2 + R_3 = R_3 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \ end {array} \ справа] \)

      \ (R_2 \ leftrightarrow R_3 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ end {array} \ right ] \)

      \ (- 2R_1 + R_3 = R_3 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 3 & 1 & 3 & -2 & 0 \ end { array} \ right] \)

      \ (- 3R_2 + R_3 = R_3 \ rightarrow \ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & 1 & 6 & -2 & -3 \ конец {массив} \ right] \)

      Таким образом,

      \ (A ^ {- 1} = B = \ begin {bmatrix} −1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 6 & −2 & −3 \ end {bmatrix} \)

      Анализ

      Чтобы доказать, что \ (B = A ^ {- 1} \), давайте умножим две матрицы вместе, чтобы увидеть, равно ли произведение единице, если \ (AA ^ {- 1} = I \) и \ (A ^ {−1} A = I \). {- 1} A & = \ begin {bmatrix} −1 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] — 1 & 0 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 6 & −2 & −3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} & 2 & 31 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 3 & 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & 1 \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [ 4pt] & = \ begin {bmatrix} −1 (2) +1 (3) +0 (2) & −1 (3) +1 (3) +0 (4) & −1 (1) +1 (1 ) +0 (1) \ nonumber \\ [4pt] −1 (2) +0 (3) +1 (2) & −1 (3) +0 (3) +1 (4) & −1 (1) +0 (1) +1 (1) \ nonumber \\ [4pt] 6 (2) + — 2 (3) + — 3 (2) & 6 (3) + — 2 (3) + — 3 (4) & 6 (1) + — 2 (1) + — 3 (1) \ end {bmatrix} \ nonumber \\ [4pt] & = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & 0 \ non номер \\ [4pt] 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

      Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

      Найдите матрицу, обратную матрице \ (3 × 3 \).{−1} = \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 2 \ nonumber \\ [4pt] 2 & 4 & −3 \ nonumber \\ [4pt] 3 & 6 & −5 \ end {bmatrix} \)

      Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы

      Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы требует определения двух новых матриц: \ (X \) — это матрица, представляющая переменные системы, и \ (B \) — это матрица, представляющая константы. Используя умножение матрицы на , мы можем определить систему уравнений с таким же количеством уравнений в качестве переменных, что и

      .

      \ (AX = B \)

      Чтобы решить систему линейных уравнений с использованием обратной матрицы, пусть \ (A \) будет матрицей коэффициентов, пусть \ (X \) будет переменной матрицей, и пусть \ (B \) будет постоянной матрицей.Таким образом, мы хотим решить систему \ (AX = B \). Например, посмотрите на следующую систему уравнений.

      \ (a_1x + b_1y = c_1 \)

      \ (a_2x + b_2y = c_2 \)

      Из этой системы матрица коэффициентов равна

      \ (A = \ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \ nonumber \\ [4pt] a_2 & b_2 \ end {bmatrix} \)

      Матрица переменных —

      \ (X = \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} \)

      А постоянная матрица

      \ (B = \ begin {bmatrix} c_1 \ nonumber \\ [4pt] c_2 \ end {bmatrix} \)

      Тогда \ (AX = B \) выглядит как

      \ (\ begin {bmatrix} a_1 & b_1 \ nonumber \\ [4pt] a_2 & b_2 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} c_1 \ nonumber \\ [4pt] c_2 \ end {bmatrix} \)

      Вспомните обсуждение ранее в этом разделе относительно умножения действительного числа на обратное, \ ((2 ^ {- 1}) 2 = \ left (\ dfrac {1} {2} \ right) 2 = 1 \).{-1} \ right) b \ end {align *} \]

      Единственное различие между решением линейного уравнения и системой уравнений, записанной в матричной форме, состоит в том, что поиск обратной матрицы более сложен, а умножение матриц — более длительный процесс. Однако цель та же — изолировать переменную.

      Мы рассмотрим эту идею подробно, но полезно начать с системы \ (2 × 2 \), а затем перейти к системе \ (3 × 3 \).

      РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

      Для данной системы уравнений запишите матрицу коэффициентов \ (A \), матрицу переменных \ (X \) и постоянную матрицу \ (B \).{-1} \ right) B \ end {align *} \]

      Q&A: Если матрица коэффициентов не имеет обратной, означает ли это, что у системы нет решения?

      Нет, если матрица коэффициентов необратима, система может быть несовместимой и не иметь решения, или быть зависимой и иметь бесконечно много решений.

      Пример \ (\ PageIndex {7} \): решение системы \ (2 × 2 \) с использованием обратной матрицы

      Решите данную систему уравнений, используя обратную матрицу. {- 1} \).{−1} \ right) B \\ [4pt] \ begin {bmatrix} 11 & −8 \ nonumber \\ [4pt] −4 & 3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 3 & 8 \ nonumber \\ [4pt] 4 & 11 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} 11 & −8 \ nonumber \\ [4pt] −4 & 3 \ end {bmatrix} \ begin { bmatrix} 5 \ nonumber \\ [4pt] 7 \ end {bmatrix} \\ [4pt] \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} 11 (5) + (- 8) 7 \ nonumber \\ [4pt] −4 (5) +3 (7) \ end {bmatrix} \\ [4pt] \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ end {bmatrix} & = \ begin {bmatrix} −1 \ nonumber \\ [4pt] 1 \ end {bmatrix} \ end {align *} \]

      Решение: \ ((- 1,1) \).{−1} \) находился слева от \ (A \) слева и слева от \ (B \) справа. Поскольку умножение матриц не коммутативно, порядок имеет значение.

      Пример \ (\ PageIndex {8} \): решение системы 3 × 3 с использованием обратной матрицы

      Решите следующую систему, используя обратную матрицу.

      Решение

      Напишите уравнение \ (AX = B \).

      \ (\ begin {bmatrix} 5 & 15 & 56 \ nonumber \\ [4pt] −4 & −11 & −41 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 & −11 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \ nonumber \\ [4pt] y \ nonumber \\ [4pt] z \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 35 \ nonumber \\ [4pt] −26 \ nonumber \\ [4pt] −7 \ end {bmatrix} \)

      Сначала мы найдем обратное к \ (A \), добавив тождество.

      \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 5 & 15 & 56 & 1 & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −4 & −11 & −41 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right ] \)

      Умножьте строку 1 на \ (\ dfrac {1} {5} \).

      \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & \ dfrac {56} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −4 & −11 & −41 & 0 & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

      Умножить строку 1 на \ (4 \) и прибавить к строке 2.

      \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & \ dfrac {56} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac {19} {5 } & \ dfrac {4} {5} & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] −1 & −3 & −11 & 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

      Добавить строку 1 к строке 3.

      \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 3 & \ dfrac {56} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac {19} {5 } & \ dfrac {4} {5} & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & \ dfrac {1} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 1 \ end {array} \ right] \)

      Умножить строку 2 на \ (- 3 \) и прибавить к строке 1.

      \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & — \ dfrac {1} {5} & — \ dfrac {11} {5} & — 3 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac { 19} {5} & \ dfrac {4} {5} & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & \ dfrac {1} {5} & \ dfrac {1} {5} & 0 & 1 \ end {array} \ right] \ )

      Умножить строку 3 на \ (5 \).

      \ (\ left [\ begin {array} {ccc | ccc} 1 & 0 & — \ dfrac {1} {5} & — \ dfrac {11} {5} & — 3 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 1 & \ dfrac { 19} {5} & \ dfrac {4} {5} & 1 & 0 \ nonumber \\ [4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 5 \ end {array} \ right] \)

      Умножить строку 3 на \ (\ dfrac {1} {5} \) и прибавить к строке 1. {- 1} B = \ begin {bmatrix} −70 + 78−7 \ nonumber \\ [4pt] −105−26 + 133 \ nonumber \\ [4pt] 35 + 0−35 \ end { bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 \ nonumber \\ [4pt] 2 \ nonumber \\ [4pt] 0 \ end {bmatrix} \)

      Решение: \ ((1,2,0) \).

      Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

      Решите систему, используя обратную матрицу коэффициентов.

      Ответ

      \ (X = \ begin {bmatrix} 4 \ nonumber \\ [4pt] 38 \ nonumber \\ [4pt] 58 \ end {bmatrix} \)

      Как: решить систему уравнений с обращенными матрицами с помощью калькулятора

      1. Сохраните матрицу коэффициентов и постоянную матрицу как матричные переменные \ ([A] \) и \ ([B] \).
      2. Введите умножение в калькулятор, вызывая при необходимости каждую матричную переменную.
      3. Если матрица коэффициентов обратима, калькулятор представит матрицу решения; если матрица коэффициентов необратима, калькулятор выдаст сообщение об ошибке.

      Пример \ (\ PageIndex {9} \): Использование калькулятора для решения системы уравнений с инверсной матрицей

      Решите систему уравнений с обратными матрицами с помощью калькулятора

      Решение

      На странице матриц калькулятора введите матрицу коэффициентов как матричную переменную \ ([A] \) и введите постоянную матрицу как матричную переменную \ ([B] \).{−1} × [B] \)

      Вычислите выражение.

      \ (\ begin {bmatrix} −59 \ nonumber \\ [4pt] −34 \ nonumber \\ [4pt] 252 \ end {bmatrix} \)

      Медиа

      Воспользуйтесь этими онлайн-ресурсами, чтобы получить дополнительные инструкции и попрактиковаться в решении систем с обратными числами.

      2.4: Обратные матрицы — математика LibreTexts

      Цели обучения

      В этом разделе вы узнаете:

      1. Найдите обратную матрицу, если она существует.{-1} \).

        Пример \ (\ PageIndex {1} \)

        Для заданных ниже матриц \ (A \) и \ (B \) убедитесь, что они инвертированы.

        \ [A = \ left [\ begin {array} {ll}
        4 & 1 \\
        3 & 1
        \ end {array} \ right] \ quad B = \ left [\ begin {array} {cc}
        1 и -1 \\
        -3 и 4
        \ end {array} \ right] \ nonumber \]

        Решение

        Матрицы являются обратными, если произведение \ (AB \) и \ (BA \) оба равны единичной матрице размерности \ (2 \ times 2 \): \ (I_2 \),

        \ [\ mathrm {AB} = \ left [\ begin {array} {ll}
        4 & 1 \\
        3 & 1
        \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {cc}
        1 & -1 \\
        -3 & 4
        \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {ll}
        1 & 0 \\
        0 & 1
        \ end {array} \ справа] = \ mathrm {I} _ {2} \ nonumber \]

        и

        \ [\ mathrm {BA} = \ left [\ begin {array} {cc}
        1 & -1 \\
        -3 & 4
        \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} { ll}
        4 & 1 \\
        3 & 1
        \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {ll}
        1 & 0 \\
        0 & 1
        \ end {array} \ справа] = \ mathrm {I} _ {2} \ nonumber \]

        Ясно, что это так; следовательно, матрицы A и B обратны друг другу.

        Пример \ (\ PageIndex {2} \)

        Найдите обратную матрицу \ (\ mathrm {A} = \ left [\ begin {array} {ll}
        3 & 1 \\
        5 & 2
        \ end {array} \ right] \).

        Решение

        Предположим, что \ (A \) имеет инверсию, и это

        \ [B = \ left [\ begin {array} {ll}
        a & b \\
        c & d
        \ end {array} \ right] \ nonumber \]

        Тогда \ (AB = I_2 \): \ (\ left [\ begin {array} {cc}
        3 & 1 \\
        5 & 2
        \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {ll}
        a & b \\
        c & d
        \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {ll}
        1 & 0 \\
        0 & 1
        \ end {array} \ right] = I_ {2} \)

        После перемножения двух матриц слева получаем

        \ [\ left [\ begin {array} {cc}
        3 a + c & 3 b + d \\
        5 a + 2 c & 5 b + 2 d
        \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {cc}
        1 & 0 \\
        0 & 1
        \ end {array} \ right] \ nonumber \]

        Приравнивая соответствующие записи, получаем четыре уравнения с четырьмя неизвестными:

        \ [\ begin {array} {ll}
        3 a + c = 1 & 3 b + d = 0 \\
        5 a + 2 c = 0 & 5 b + 2 d = 1
        \ end {array} \ nonumber \]

        Решая эту систему, мы получаем: \ (a = 2 \ quad b = -1 \ quad c = -5 \ quad d = 3 \)
        Следовательно, матрица, обратная матрице \ (A \), равна \ (B = \ left [\ begin {array} {cc}
        2 & -1 \\
        -5 & 3
        \ end {array} \ right] \ nonumber \)

        В этой задаче нахождение обратной матрицы \ (A \) сводилось к решению системы уравнений:

        \ [\ begin {array} {ll}
        3 a + c = 1 & 3 b + d = 0 \\
        5 a + 2 c = 0 & 5 b + 2 d = 1
        \ end {array} \ nonumber \]

        На самом деле, это можно записать как две системы, одну с переменными \ (a \) и \ (c \), а другую — с \ (b \) и \ (d \).Расширенные матрицы для обоих приведены ниже.

        \ [\ left [\ begin {array} {llll}
        3 & 1 & | & 1 \\
        5 & 2 & | & 0
        \ end {array} \ right] \ text {and} \ left [\ begin {array} {llll}
        3 & 1 & | & 0 \\
        5 & 2 & | & 1
        \ end {array} \ right] \ nonumber \]

        Когда мы смотрим на две расширенные матрицы, мы замечаем, что матрица коэффициентов для обеих матриц одинакова. Это означает, что строковые операции метода Гаусса-Жордана также будут такими же.{-1} \) матрица.

        То, что вы только что стали свидетелями, не случайно. Это метод, который часто используется при нахождении обратной матрицы. Мы перечисляем шаги следующим образом:

        Метод нахождения обратной матрицы

        1. Запишите расширенную матрицу \ ([A | I_n] \).

        2. Запишите расширенную матрицу на шаге 1 в виде уменьшенного ряда строк.

        3. Если приведенная форма эшелона строк в 2 равна \ ([I_n | B] \), то \ (B \) является обратным к \ (A \).

        4. Если левая часть сокращенного эшелона строки не является единичной матрицей, обратная матрица не существует.

        Пример \ (\ PageIndex {3} \)

        Для приведенной ниже матрицы A найдите ее обратную.

        \ [A = \ left [\ begin {array} {ccc}
        1 & -1 & 1 \\
        2 & 3 & 0 \\
        0 & -2 & 1
        \ end {array} \ right] \ nonumber \]

        Решение

        Запишем расширенную матрицу следующим образом.

        \ [\ left [\ begin {array} {ccccccc}
        1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\
        2 & 3 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\
        0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1
        \ end {array} \ right] \ nonumber \]

        Мы уменьшим эту матрицу, используя метод Гаусса-Жордана.

        Умножив первую строку на -2 и прибавив ее ко второй строке, мы получим

        \ [\ left [\ begin {array} {ccccccc}
        1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\
        0 & 5 & -2 & | & -2 & 1 & 0 \\
        0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1
        \ end {array} \ right] \ nonumber \]

        Если мы поменяем местами вторую и третью строки, мы получим

        \ [\ left [\ begin {array} {ccccccc}
        1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\
        0 & -2 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\
        0 & 5 & -2 & | & -2 & 1 & 0
        \ end {array} \ right] \ nonumber \]

        Разделите вторую строку на -2.Результат

        \ [\ left [\ begin {array} {ccccccc}
        1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\
        0 & 1 & -1 / 2 & | & 0 & 0 & -1 / 2 \\
        0 & 5 & -2 & | & -2 & 1 & 0
        \ end {array} \ right] \ nonumber \]

        Проделаем здесь две операции. 1) Добавьте второй ряд к первому, 2) Добавьте -5 раз второй ряд к третьему. И получаем

        \ [\ left [\ begin {array} {ccccccc}
        1 & 0 & 1/2 & | & 1 & 0 & -1 / 2 \\
        0 & 1 & -1 / 2 & | & 0 & 0 & -1 / 2 \\
        0 & 0 & 1/2 & | & -2 & 1 & 5/2
        \ end {array} \ right] \ nonumber \]

        Умножение третьей строки на 2 дает

        \ [\ left [\ begin {array} {ccccccc}
        1 & 0 & 1/2 & | & 1 & 0 & -1 / 2 \\
        0 & 1 & -1 / 2 & | & 0 & 0 & -1 / 2 \\
        0 & 0 & 1 & | & -4 & 2 & 5
        \ end {array} \ right] \ nonumber \]

        Умножьте третью строку на 1/2 и прибавьте ее ко второй.{-1} = \ left [\ begin {array} {rrr}
        3 & -1 & -3 \\
        -2 & 1 & 2 \\
        -4 & 2 & 5
        \ end {array} \ right ] \)

        Следует проверить результат, перемножив две матрицы, чтобы увидеть, действительно ли произведение равно единичной матрице.

        Теперь, когда мы знаем, как найти обратную матрицу, мы будем использовать обратную матрицу для решения систем уравнений. Этот метод аналогичен решению простого уравнения, подобного приведенному ниже. \ [\ frac {2} {3} x = 4 \ nonumber \]

        Пример \ (\ PageIndex {4} \)

        Решите следующее уравнение: \ (\ frac {2} {3} x = 4 \)

        Решение

        Чтобы решить указанное выше уравнение, мы умножаем обе части уравнения на мультипликативную обратную величину для \ (\ frac {2} {3} \), которая оказывается \ (\ frac {3} {2} \).Получаем

        \ [\ begin {array} {l}
        \ frac {3} {2} \ cdot \ frac {2} {3} x = 4 \ cdot \ frac {3} {2} \\
        x = 6
        \ конец {массив} \ nonumber \]

        Мы используем Пример \ (\ PageIndex {4} \) в качестве аналогии, чтобы показать, как решаются линейные системы вида \ (AX = B \).

        Чтобы решить линейную систему, мы сначала запишем систему в матричном уравнении \ (AX = B \), где \ (A \) — матрица коэффициентов, \ (X \) — матрица переменных и \ (B \ ) матрица постоянных членов. {- 1} \).{-1} \), получаем

        \ [\ begin {array} {c}
        {\ left [\ begin {array} {cc}
        2 & -1 \\
        -5 & 3
        \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {cc}
        3 & 1 \\
        5 & 2
        \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {c}
        x \\
        y
        \ end {array} \ right ] = \ left [\ begin {array} {cc}
        2 & -1 \\
        -5 & 3
        \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {c}
        3 \\
        4
        \ end {array} \ right]} \\
        {\ left [\ begin {array} {cc}
        1 & 0 \\
        0 & 1
        \ end {array} \ right] \ left [\ begin {массив} {c}
        x \\
        y
        \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {c}
        2 \\
        -3
        \ end {array} \ right]} \\
        {\ left [\ begin {array} {c}
        x \\
        y
        \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {c}
        2 \\
        -3
        \ end {array} \ right]}
        \ end {array} \ nonumber \]

        Следовательно, \ (x = 2 \) и \ (y = -3 \).

        Пример \ (\ PageIndex {6} \)

        Решите следующую систему:

        \ begin {align}
        x-y + z & = 6 \\
        2 x + 3 y & = 1 \\
        -2 y + z & = 5
        \ end {align}

        Решение

        Чтобы решить указанное выше уравнение, запишем систему в матричной форме \ (AX = B \) следующим образом:

        \ [\ left [\ begin {array} {rrr}
        1 & -1 & 1 \\
        2 & 3 & 0 \\
        0 & -2 & 1
        \ end {array} \ right] \ left [ \ begin {array} {l}
        x \\
        y \\
        z
        \ end {array} \ right] — \ left [\ begin {array} {l}
        6 \\
        1 \\
        5
        \ end {array} \ right] \ nonumber \]

        Чтобы решить эту систему, нам понадобится обратная к \ (A \).{-1} \), получаем

        \ [\ left [\ begin {array} {rrr}
        3 & -1 & -3 \\
        -2 & 1 & 2 \\
        -4 & 2 & 5
        \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {rrr}
        1 & 1 & 1 \\
        2 & 3 & 0 \\
        0 & 2 & 1
        \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} { l}
        x \\
        y \\
        z
        \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {rrr}
        3 & -1 & -3 \\
        -2 & 1 & 2 \\
        -4 & 2 & 5
        \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {l}
        6 \\
        1 \\
        5
        \ end {array} \ right] \ nonumber \]

        После перемножения матриц получаем

        \ begin {align}
        {\ left [\ begin {array} {lll}
        1 & 0 & 0 \\
        0 & 1 & 0 \\
        0 & 0 & 1
        \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {l}
        x \\
        y \\
        z
        \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {r}
        2 \\
        -1 \ \
        3
        \ end {array} \ right]} \\
        {\ left [\ begin {array} {l}
        x \\
        y \\
        z
        \ end {array} \ right] = \ left [\ begin {array} {r}
        2 \\
        -1 \\
        3
        \ end {array} \ right]}
        \ end {align}

        Напоминаем читателю, что не всякую систему уравнений можно решить матричным обратным методом.Хотя метод Гаусса-Жордана работает для любой ситуации, метод обратной матрицы работает только в тех случаях, когда существует обратная квадратная матрица. В таких случаях у системы есть уникальное решение.

        Метод нахождения обратной матрицы

        1. Запишите расширенную матрицу \ (\ left [\ mathrm {A} | \ mathrm {I} _ {\ mathrm {n}} \ right] \).
        2. Запишите расширенную матрицу на шаге 1 в виде уменьшенного ряда строк.
        3. Если сокращенная форма эшелона строки в 2 равна \ (\ left [\ mathrm {I} _ {\ mathrm {n}} | \ mathrm {B} \ right] \), то \ (B \) является обратным \ (А \).{-1} B \ text {где} I \ text {- единичная матрица} \ nonumber \]

          Использование обратной матрицы для решения системы линейных уравнений

          Матрицы

          Матрица — это прямоугольный массив чисел, заключенный в скобки. Чтобы решить систему уравнений с использованием матриц, нам нужно создать три различных вида матриц.

          Первая матрица, которую мы будем использовать, называется матрицей коэффициентов , которая представляет собой просто коэффициенты или числа перед каждой переменной в системе уравнений.Мы должны быть уверены, что наша система уравнений выстроена так, чтобы каждая переменная находилась в одном столбце.

          Если мы посмотрим на пример системы линейных уравнений, в первом уравнении коэффициенты равны 1 перед x и 2 перед y . Во втором уравнении у нас 3 перед x и 5 перед y . Поскольку у нас есть две x и 2 y , у нас будет матрица 2×2, то есть две строки и два столбца. Назовем эту матрицу A .

          Матрица коэффициентов

          Строки представляют различные уравнения, а столбцы — различные переменные. Первая строка — это коэффициенты первого уравнения, а вторая строка — коэффициенты второго уравнения. Первый столбец — это коэффициенты x , а второй столбец — коэффициенты y .

          Вторая необходимая нам матрица называется переменной матрицей .Матрица переменных всегда будет одним столбцом с переменными в каждой строке. В этом случае, поскольку у нас есть две переменные, у нас будет матрица 2×1, где у нас есть две строки и один столбец. Мы назовем эту матрицу X , используя заглавную букву, чтобы различать строчные x в задаче.

          Переменная матрица

          Если мы посмотрим на исходную систему уравнений, то увидим, что мы использовали коэффициенты и переменные.Остается только то, чему равны уравнения. Третья матрица называется постоянной матрицей , которая содержит константы системы уравнений. Назовем эту матрицу B . Опять же, это матрица 2×1, потому что у нее две строки и один столбец.

          Постоянная матрица

          Первое уравнение было равно 5, поэтому число идет в первой строке. Второе уравнение было равно 14, поэтому число идет во второй строке.

          После преобразования системы уравнений в матрицы, как решить эту систему, чтобы найти ответ?

          Использование обратных матриц для решения систем уравнений

          Теперь, когда мы знаем, какие матрицы нам нужны, мы можем сложить их все вместе, чтобы создать матричное уравнение. Матричное уравнение содержит матрицу коэффициентов, переменную матрицу и постоянную матрицу и может быть решено. Существенно, что мы знаем, что если мы умножим матрицу A на матрицу X , она будет равна матрице B .

          Матричное уравнение

          Чтобы решить матричное уравнение, представьте уравнение A ( X ) = B . Если бы мы хотели найти X , нам нужно было бы разделить B на A . Однако, работая с матрицами, мы не можем делить. Вместо этого мы умножим на обратную величину A . Мы показываем, что умножаем на обратное, используя отрицательную единицу в качестве показателя степени.

          Нахождение обратной матрицы 2×2

          Обратная формула

          Чтобы найти обратную матрицу 2×2, мы сначала меняем значения на и d , затем делаем b и c отрицательными, и, наконец, умножаем на определитель. Определитель матрицы является одним из различных из до и до .

          Для матрицы A , a = 1, b = 2, c = 3 и d = 5. Итак, мы подставляем эти значения в обратную формулу.

          Теперь упростим. Во-первых, упростим определитель. Один раз пять — пять, два раза три — шесть. Пять минус шесть — это минус. Один, разделенный на отрицательный, равен отрицательному.

          Затем мы умножаем все элементы матрицы на отрицательный, и получаем обратное значение A .

          Умножение матриц

          Теперь, когда у нас есть обратная матрица, нам нужно умножить обратную матрицу на постоянную матрицу. Обратная матрица — это матрица 2×2, а постоянная матрица — это матрица 2×1. Для умножения матриц количество столбцов в первой матрице должно соответствовать количеству строк во второй матрице. Результирующая матрица будет иметь такое же количество строк, что и первая матрица, и такое же количество столбцов, как вторая матрица.

          Красным обведено количество столбцов в первой матрице и количество строк во второй матрице, и они должны быть одинаковыми.

          Для умножения матриц мы умножаем строки на столбцы.

          В этом случае мы умножим первую строку обратного значения A на первый столбец B , а затем сложим элементы.

          Мы пять раз пять отрицаем, складываем это дважды по четырнадцать и получаем 3.

          Затем мы берем вторую строку A обратного и умножаем ее на первый столбец B , а затем складываем элементы.

          Мы умножаем пять на пять и прибавляем к отрицательному один раз четырнадцать, что дает 1.

          Поскольку первая строка нашей матрицы переменных имела размер x , а вторая — y , наши решения этой системы уравнений: x = 3 и y = 1.Мы обнаружили, что каждый взрослый билет стоит 3 доллара, а каждый детский билет — 1 доллар.

          Сводка урока

          Чтобы решить систему уравнений , где у нас есть два или более уравнений, содержащих две или более переменных, с использованием обратных матриц, мы можем выполнить следующие шаги.

          1. Создайте матрицу коэффициентов , A , которая содержит коэффициенты переменных из системы уравнений.
          2. Создайте матрицу переменных , X , которая содержит переменные из системы уравнений.
          3. Создайте матрицу констант , B , которая содержит константы из системы уравнений.
          4. Напишите матричное уравнение: AX = B .
          5. Найдите обратную матрицу A , переключив элементы a и d , изменив знаки элементов b и c , а затем умножив на определитель , который равен разнице и на единицу. и г. до н.э. .
          6. Умножьте A обратно на B на постоянную матрицу.

          Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы онлайн

          Одним из известных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является
          метод обратной матрицы .
          Предположим, у нас есть СЛАУ двух уравнений с двумя неизвестными.

          a11xa12yb1a21xa22yb2

          Введите обозначения:
          А
          — Матрица СЛАУ вида:

          Aa11a12a21a22

          Икс
          — вектор-столбец неизвестных, которые необходимо найти:

          Xxy

          B
          — векторный столбец свободных коэффициентов:

          Bb1b2

          Итак, исходную СЛАУ можно переписать в матричных обозначениях:

          AXB

          Чтобы решить это матричное уравнение, умножьте обе его части слева на
          Матрица -1 :

          A1AXA1B

          Здесь,
          А -1
          — обратная матрица матрицы
          А.Такая матрица существует для любой квадратной невырожденной матрицы (т.е. ее определитель не равен нулю).

          Приведенные выше условия показывают границы применения метода обратной матрицы для решения СЛАУ. Прежде всего: матрица СЛАУ
          А
          должен быть квадратным. Это означает, что количество уравнений должно быть равно количеству переменных. Во-вторых: определитель матрицы
          А
          не должно быть равно нулю:

          A0

          Кроме того, у обратной матрицы есть замечательная особенность: ее произведение на исходную матрицу коммутативно и
          равно единичной матрице:

          A1AAA1E

          Возвращаясь к решению нашего матричного уравнения, получаем:

          EXXA1B

          Итак, чтобы решить СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь нужно проверить, существует ли обратная матрица, а затем найти ее и умножить на вектор
          Б.

          Наш онлайн-калькулятор предназначен для
          решает СЛАУ методом обратной матрицы .
          Калькулятор находит пошаговое решение. Уравнения СЛАУ вводятся в их естественном виде. Коэффициент уравнения может быть не только числом и дробью, но и параметрами — в этом случае калькулятор дает решение общепринятого вида.

          Обратная квадратная матрица

          6.3 — Обратная квадратная матрица

          Реальные числа

          При работе с действительными числами уравнение ax = b может быть решено относительно x путем деления обоих
          стороны уравнения на a, чтобы получить x = b / a, пока a не было равным нулю.Поэтому казалось бы логичным
          что при работе с матрицами можно взять матричное уравнение AX = B и разделить оба
          сторон на A, чтобы получить X = B / A.

          Однако это не сработает, потому что …

          Нет матричного деления!

          Хорошо, скажете вы. Вычитание было определено в терминах сложения, а деление — в терминах
          умножение. Поэтому вместо деления я просто умножу на обратное. Так оно и есть
          должно быть сделано.

          Обратная матрица

          Итак, что есть инверсия матрицы?

          Ну, в реальных числах, обратное любому действительному числу a было числом a -1 , таким образом, a умноженное на a -1
          равняется 1.Мы знали, что для действительного числа обратное число было обратным
          число, если число не было нулем.

          Обратной квадратной матрице A, обозначенной A -1 , является матрица
          так что произведение A
          и A -1 — это матрица идентичности. Единичная матрица, которая дает
          будет того же размера, что и матрица A. Вау,
          есть
          а
          много общего между действительными числами и матрицами. Это хорошо, правда

          ты
          не хочу
          это быть
          что-то совсем другое.

          A (A -1 ) = I или A -1 (A) = I

          Но есть несколько исключений. Прежде всего, A -1 делает
          не означает 1 / A. Помните: «Матричного деления нет!» Во-вторых, A -1 делает
          не означает брать обратную величину каждого элемента
          в матрице А.

          Требования к инверсу

          1. Матрица должна быть квадратной (одинаковое количество строк и столбцов).
          2. Определитель матрицы не должен быть нулевым (определители рассматриваются в разделе 6.4).
            Это вместо того, чтобы действительное число не равнялось нулю, чтобы иметь обратное, определитель не должен
            равняться нулю, чтобы иметь обратное.

          Квадратная матрица, имеющая обратную, называется обратимой или невырожденной . Матрица, которая не
          у инверсии называется единственное число .

          Матрица не обязательно должна иметь обратную, но если она есть, то обратная матрица уникальна.

          Трудный путь в поисках обратного

          Матрица, обратная матрице A, будет удовлетворять уравнению A (A -1 ) = I.

          1. Присоедините единичную матрицу к правой части исходной матрицы, чтобы
            у вас есть A слева и единичная матрица справа. Это
            будет выглядеть так [A | I].
          2. Строка-уменьшить (предлагаю использовать поворот) матрицу
            пока в левой части не появится матрица идентичности. Когда левая сторона — это личность
            матрица
            правая сторона будет Обратной [I | A -1 ]. Если вы не можете
            чтобы получить единичную матрицу в левой части, тогда матрица сингулярна
            и не имеет обратного.
          3. Возьмите расширенную матрицу с правой стороны и назовите ее обратной.

          Ярлык для поиска обратной матрицы 2 × 2

          Матрица, обратная матрице 2 × 2, может быть найдена с помощью …

          1. Переключить элементы по главной диагонали
          2. Возьмите противоположность двух других элементов
          3. Делим все значения на определитель матрицы (так как мы
            не говорили о детерминанте, для системы 2 × 2 это
            произведение элементов на главной диагонали за вычетом произведения
            двух других элементов).

          Пример ярлыка

          Поехали с оригинальной матрицей

          Шаг 1, переключение элементов на главной диагонали повлечет за собой переключение
          5 и 7.

          Шаг 2, возьмите противоположность двух других элементов, но оставьте их там, где
          они есть.

          Шаг 3, найдите определитель и разделите на него каждый элемент. Определитель
          это произведение элементов на главной диагонали за вычетом произведения
          элементы от главной диагонали.Это означает, что определитель этой матрицы равен
          7 (5) — (-3) (2) = 35 + 6 = 41. Делим каждый элемент на 41.

          Матрица, обратная исходной матрице …

          5/41 2/41
          -3/41 7/41

          Теперь, вы говорите, подождите минутку — вы сказали, что не было матричного деления.
          Деления по матрице нет. Вы можете умножить или разделить матрицу на
          скаляр (действительное число) и определитель
          является скаляром.

          Использование калькулятора

          Теперь, когда вы знаете, как найти единичную матрицу вручную, поговорим о практичности. Калькулятор
          сделаю это за вас.

          Вход в матрицу

          1. Нажмите клавишу матрицы (справа под клавишей X). На TI-83 + вам понадобится
            чтобы поразить 2 и Матрица.
          2. Стрелка к подменю Правка.
          3. Выберите матрицу для работы. У вас есть пять вариантов на выбор с TI-82 и десять на выбор.
            выбирайте из с TI-83.Обычно вы будете использовать [A]. Старайтесь не использовать [E] для
            неуказанные причины, которые будут указаны, если вы изучаете конечную математику.
          4. Введите количество строк, нажмите клавишу ВВОД, а затем введите количество столбцов, а затем
            входить.
          5. Теперь вы вводите каждый элемент в матрицу, читая слева направо и сверху вниз. Нажмите
            введите после каждого числа. Вы можете использовать клавиши со стрелками для перемещения, если вы допустили ошибку.
          6. Закройте (2 nd Mode), когда закончите вводить все числа.

          Использование матриц

          Всякий раз, когда вам нужно получить доступ к созданной вами матрице, просто нажмите клавишу Matrix и выберите
          соответствующая матрица. Я бы посоветовал вам начать использовать Матрицу 1, Матрицу 2 и т. Д. Вместо
          Матрица, стрелка вниз, ввод. Это будет происходить быстрее, и вы будете много делать с этими матрицами.

          Нахождение обратной матрицы на калькуляторе

          Введите выражение [A] -1 , перейдя в Матрицу 1 и нажав клавишу x -1 .(-1).

          Возможно, вам придется использовать клавиши со стрелками вправо или влево, чтобы прокрутить всю матрицу, чтобы записать ее
          вниз. По возможности дайте точные ответы.

          Один из способов дать точный ответ — это заставить калькулятор переводить десятичные дроби в дроби для
          ты. В конце концов, дроби действительно ваши друзья (и я серьезно это имею в виду). Вы можете получить
          Калькулятор выполняет преобразование десятичной дроби в дробную, нажимая Math, Enter, Enter.

          Также, если вы получите ответ типа 1.2E-12, шансы
          действительно хорошо, что число равно нулю, и это из-за неточности в калькуляторе
          что вы получаете такой ответ. Преобразуйте число
          до нуля.

          Зачем понадобился инверс?

          Я так рад, что вы спросили об этом.

          Одно из основных применений обратных чисел — решение системы линейных уравнений.
          Вы можете записать систему в матричной форме как AX = B.

          Теперь предварительно умножьте обе части на обратную величину A. Убедитесь, что вы соблюдаете эти
          два условия.

          1. Вы должны разместить инверсную матрицу рядом с матрицей. Это
            потому что инверсии должны быть рядом друг с другом (математически очень расплывчато,
            но вернемся к функциям), чтобы уничтожить друг друга.
          2. Если
            вы умножаете, помещая что-то перед левой стороной (предварительное умножение),
            он должен идти впереди правой стороны. Если вы положите что-то позади
            (пост-умножение) левой стороны, она должна идти позади правой стороны.

          Умножение матриц НЕ является коммутативным!

          A -1 (AX) = A -1 (B)… предварительное умножение
          с обеих сторон по A -1

          (A -1 A) X = A -1 B … используйте ассоциативный
          свойство для перегруппировки факторов

          I X = A -1 B … при умножении на обратное
          вместе они становятся единичной матрицей

          X = A -1 B … единичная матрица похожа на
          умножение на 1.

          Если AX = B, то X = A -1 B

          Итак, вы обычно цинично спрашиваете: «Вы только что решили
          другое уравнение, что
          это имеет отношение к чему-нибудь? »

          Решение систем линейных уравнений

          Рассмотрим систему линейных уравнений

           3x + 2y - 5z = 12
           х - 3у + 2z = -13
          5x - y + 4z = 10 

          Запишите коэффициенты в матрицу A.

          x год z
          3 2 -5
          1 -3 2
          5 -1 4

          Запишите переменные в матрицу X.

          Запишите константы в матрицу B.

          12
          -13
          10

          Убедитесь, что AX = B

          Этот шаг на самом деле не нужен, но я хотел показать вам, что это действительно
          работает.

          AX будет (3 × 3) × (3 × 1) = 3 × 1
          матрица. Матрица B также является матрицей 3 × 1, поэтому, по крайней мере, размеры
          работать правильно.

          Вот A, умноженное на X.

          3 2 -5 х 3x + 2y — 5z
          1 -3 2 y = 1x — 3 года + 2z
          5 -1 4 z 5x — 1 год + 4z

          Обратите внимание, что это левая часть системы уравнений.В
          B — правая часть, значит, мы достигли равенства. Woohoo! Ты можешь написать
          система линейных уравнений в виде AX = B.

          Итак, если вы можете записать систему линейных уравнений в виде AX = B, где A — коэффициент
          матрица, X — переменная матрица, а B — правая часть, вы можете найти
          решение системы
          X = A -1 B.

          Поместите матрицу коэффициентов в [A] на калькуляторе и с правой стороны.
          стороной в [B].

          Если вы попросили калькулятор найти
          обратный коэффициент
          матрица, это даст вам это для A -1

          5/44 3/88 1/8
          -3/44 -37/88 1/8
          -7/44 -13/88 1/8

          Вы можете сделать это, а затем умножить это на B, но было бы проще
          поместить все выражение в калькулятор и сразу получить ответ.Даже то, что показано ниже, — это больше работы, чем необходимо.

          X = A -1 B = …

          х 5/44 3/88 1/8 12 191/88
          y = -3/44 -37/88 1/8 -13 = 519/88
          z -7/44 -13/88 1/8 10 111/88

          Итак, x = 191/88, y = 519/88 и z = 111/88.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.