Решение уравнений методом: Методы решения уравнений

Содержание

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

  1. Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
  2. Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
  3. После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».



Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

  1. Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
  2. Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
  3. Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
  4. Умножим обратную матрицу Ах-1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
  5. Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (Dx / |A|).

Для расчета Х1: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х2: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

  1. Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
  2. Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
  3. Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
  4. Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: {=B12:E12/D12}.
  5. В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

Хn+1 = Xn– F (Xn) / M, n = 0, 1, 2, … .

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х3 – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Скачать решения уравнений в Excel

Корень на заданном промежутке один.

4.18. Приближенное решение уравнений методом половинного деления

Пусть требуется решить некоторое уравнение . Решить его – это значит найти все его корни. То есть найти те значения неизвестной X, которые удовлетворят уравнению. Корни уравнения имеют и наглядный геометрический смысл: это точки пересечения графика функции С осью Ох.

Пусть – непрерывная на заданном отрезке функция, то есть ее график – сплошная (непрерывная) линия для всех X этого отрезка. Тогда очевидно следующее: если на концах этого отрезка (в точках A и B) функция принимает значения разных знаков, то график этой функции непременно пересечет отрезок оси Ох хотя бы один раз. А значит, уравнение заведомо будет иметь на этом отрезке хотя бы один корень (один корень X1 на рис. 4.19 (А) и три корня (X1, X2, X3) на рис. 4.19 (Б)).

В частности, если на отрезке функция дифференцируема (это значит, что на отрезке в каждой его точке X существует производная ), и эта производная на всем отрезке сохраняет свой знак, то при знаке (+) этой производной функция на отрезке монотонно растет, а при знаке (–) монотонно убывает. В любом из этих вариантов график функции , имеющей на концах отрезка значения разных знаков, пересечет этот отрезок только один раз (как, например, на рис. 4.19 (А)). А значит, уравнение будет иметь на отрезке только один корень X1.

Простейшим и вместе с тем эффективным методом численного нахождения этого корня X1 является Метод половинного деления. Суть его в следующем:

1) Находим середину С1 отрезка и вычисляем . Искомый корень X1 окажется, очевидно, в той из половин или отрезка , на концах которой функция имеет разные знаки. Выбираем эту половину.

2) Находим середину С2 той половины отрезка , на которой находится искомый корень X1, и вычисляем . Выбираем ту половину найденной в пункте 1 половины, на концах которой функция имеет разные знаки. Именно на ней находится искомый корень X1 уравнения .

3) Потом полученный отрезок (четвертинку исходного отрезка ) опять делим пополам, и т. д.

В итоге, последовательно сужая промежуток оси Ох, на котором содержится искомый корень X1 уравнения , через несколько шагов получим достаточно узкий промежуток (например, через 10 шагов исходный промежуток уменьшится в раз, через 20 шагов – в миллион раз, и т. д.). Любая точка этого промежутка (например, его середина) может быть принята за приближенное значение искомого корня X1. И корень этот, очевидно, может быть найден с любой заданной точностью, что и делается с помощью соответствующей программы на ЭВМ.

Примечание. Если известно, что уравнение имеет несколько корней (X1, X2, …) – см. например, рис. 4.19 (Б), то отделяя каждый из них своим промежутком и используя для каждого такого промежутка изложенную выше схему половинного деления, можно найти все эти корни. А чтобы узнать, сколько корней имеется у данного уравнения , следует представлять себе, хотя бы в общих чертах, график функции . То есть нужно исследовать эту функцию. И в этом исследовании главное – это определение интервалов непрерывности и точек разрыва функции, исследование ее на четность-нечетность и периодичность, определение интервалов возрастания-убывания и точек экстремума.

Пример 1. Определить количество корней уравнения И отделить некоторым промежутком каждый из них.

Решение. Рассмотрим функцию . Эта функция определена (а следовательно, и непрерывна) для всех X, . Функция эта общего вида (ни четная и ни нечетная) и не периодическая.

Далее, исследуя ее на возрастание-убывание и точки экстремума (проделайте это по изложенной выше схеме самостоятельно), устанавливаем, что интервалы и являются интервалами возрастания функции, а интервал – интервал ее убывания; – точка максимума функции, а точка – вершина ее графика; – точка минимума функции, а точка – впадина ее графика. При функция , а при функция . По этим результатам можно уже схематично построить график функции (рис. 4.20). Из этого графика видим, что он пересекает ось Ох три раза – в точках (X1, X2, X3). То есть уравнение имеет три корня (X1, X2, X3). Корень X1 находится на промежутке ; корень X2 – на промежутке , корень X3 – на промежутке . Каждый из них с любой заданной точностью может быть найден изложенным выше методом половинного деления.

Впрочем, так как – точное значение второго корня, то можно точно найти и значения корней X1 и X3:

< Предыдущая   Следующая >

Решение линейных уравнений — 4 метода, пошаговые решения, примеры

Решение линейных уравнений означает нахождение значений переменных, заданных в линейных уравнениях. Линейное уравнение представляет собой комбинацию алгебраического выражения и символа равенства (=). Оно имеет степень 1 или его можно назвать уравнением первой степени. Например, x + y = 4 — это линейное уравнение. Иногда нам может понадобиться найти значения переменных, участвующих в линейном уравнении. Когда нам дано два или более таких линейных уравнения, мы можем найти значения каждой переменной, решая линейные уравнения. Существует несколько методов решения линейных уравнений. Остановимся подробно на каждом из этих методов.

1. Решение линейных уравнений с одной переменной
2. Решение линейных уравнений методом подстановки
3. Решение линейных уравнений методом исключения
4. Графический метод решения линейных уравнений
5. Метод перекрестного умножения
6. Часто задаваемые вопросы о решении линейных уравнений

Решение линейных уравнений с одной переменной

Линейное уравнение с одной переменной является уравнением первой степени и имеет только один переменный член. Он имеет вид «ax+b = 0», где «a» — ненулевое число, а «x» — переменная. Решая линейные уравнения с одной переменной, мы получаем только одно решение для данной переменной. Примером этого является 3x — 6 = 0. Переменная «x» имеет только одно решение, которое рассчитывается как 9.0049
3x — 6 = 0
3x = 6
х = 6/3
x = 2

Для решения линейных уравнений с одной переменной упростите уравнение так, чтобы все переменные члены переносились в одну сторону, а постоянное значение — в другую. Если есть какие-либо дробные члены, найдите LCM (наименьшее общее кратное) и упростите их так, чтобы переменные члены были с одной стороны, а постоянные члены — с другой. Давайте разработаем небольшой пример, чтобы понять это.

4x + 8 = 8x — 10. Чтобы найти значение «x», давайте упростим и перенесем члены «x» в одну сторону, а постоянные члены — в другую.

4x — 8x = -10 — 8
-4x = -18
4x = 18
х = 18/4
При упрощении получаем x = 9/2.

Решение линейных уравнений методом подстановки

Метод подстановки — один из методов решения линейных уравнений. В методе подстановки мы перестраиваем уравнение таким образом, что одно из значений подставляется во второе уравнение. Теперь, когда у нас осталось уравнение с одной переменной, мы можем решить его и найти значение этой переменной. В двух заданных уравнениях можно взять любое уравнение и найти значение переменной и подставить в другое уравнение. Для решения линейных уравнений методом подстановки выполните шаги, указанные ниже. Поясним это на примере решения следующей системы линейных уравнений.

х + у = 6 —————(1)
2x + 4y = 20 ————(2)

Шаг 1: Найдите значение одной из переменных, используя любое из уравнений. В этом случае найдем значение «х» из уравнения (1).
х + у = 6 ———(1)
x = 6 — y

Шаг 2: Подставьте значение переменной, найденное на шаге 1, во второе линейное уравнение. Теперь давайте подставим значение «x» во второе уравнение 2x + 4y = 20,9.0003

х = 6 — у
Подставляя значение ‘x’ в 2x + 4y = 20, получаем

2(6 — y) + 4y = 20
12 — 2г + 4г = 20
12 + 2г = 20
2г = 20 — 12
2г = 8
у = 8/2
y = 4

Шаг 3: Теперь подставьте значение ‘y’ в уравнение (1) или (2). Подставим значение ‘y’ в уравнение (1).

х + у = 6
х + 4 = 6
х = 6 — 4
х = 2

Следовательно, методом подстановки решаются линейные уравнения, и значение x равно 2, а y равно 4.

Решение линейных уравнений методом исключения

Метод исключения — еще один способ решения системы линейных уравнений. Здесь мы пытаемся умножить либо переменный член «x», либо переменный член «y» на постоянное значение, так что либо переменные члены «x», либо переменные члены «y» сокращаются и дают нам значение другая переменная. Давайте разберемся с этапами решения линейных уравнений методом исключения. Рассмотрим данные линейные уравнения:

2х + у = 11 ———— (1)
x + 3y = 18 ———- (2)

Шаг 1: Проверить, расположены ли термины таким образом, чтобы за термином «x» следовал термин «y» и знак равенства, а после знака равенства должен стоять постоянный член. Данный набор линейных уравнений уже устроен правильным образом: ax+by=c или ax+by-c=0.

Шаг 2: Следующим шагом является умножение одного или обоих уравнений на постоянное значение таким образом, чтобы сокращались либо члены «x», либо члены «y», что помогло бы нам найти значение другая переменная. Теперь в уравнении (2) давайте умножим каждый член на число 2, чтобы сделать коэффициенты x одинаковыми в обоих уравнениях.

x + 3y = 18 ———- (2)

Умножая все члены уравнения (2) на 2, получаем

2(x) + 2(3y) = 2 (18). Теперь уравнение (2) принимает вид

2x + 6y = 36 ————(2)

Шаг 3: Следующим шагом является упрощение этих двух уравнений путем сложения или вычитания их ( в зависимости от того, какая операция требуется для отмены x терминов). Теперь, вычитая два уравнения, мы можем сократить члены «x» в обоих уравнениях.

Следовательно, у = 5,

Шаг 4: Используя значение, полученное на шаге 3, найдите значение другой переменной, подставив значение в любое из уравнений. Подставим значение ‘y’ в уравнение (1). Получаем,

2х+у=11
2х + 5 = 11
2х = 11 — 5
2х = 6
х = 6/2
x = 3

Следовательно, решая линейные уравнения, мы получаем значение x = 3 и y = 5.

Графический метод решения линейных уравнений

Другой метод решения линейных уравнений — использование графика. Когда нам дана система линейных уравнений, мы графически рисуем оба уравнения, находя значения «y» для разных значений «x» в системе координат. Как только это будет сделано, мы найдем точку пересечения этих двух линий. Значения (x, y) в точке пересечения дают решение этих линейных уравнений. Возьмем два линейных уравнения и решим их графическим методом.

х + у = 8 ——-(1)

y = x + 2 ———(2)

Возьмем некоторые значения для ‘x’ и найдем значения ‘y’ для уравнения x + y = 8. Это также может быть переписывается как y = 8 — x.

х 0 1 2 3 4
у 8 7 6 5 4

Возьмем некоторые значения для «x» и найдем значения для «y» в уравнении y = x + 2.

x 0 1 2 3 4
у 2 3 4 5 6

Нанеся эти точки на координатную плоскость, получим вот такой график.

Теперь мы найдем точку пересечения этих линий, чтобы найти значения «x» и «y». Две прямые пересекаются в точке (3,5). Следовательно, x = 3 и y = 5 при использовании графического метода решения линейных уравнений.

Этот метод также используется для поиска оптимального решения задач линейного программирования. Рассмотрим еще один метод решения линейных уравнений — метод перекрестного умножения.

Метод перекрестного умножения для решения линейных уравнений

Метод перекрестного умножения позволяет нам решать линейные уравнения, выбирая коэффициенты всех членов («x», «y» и постоянных членов) в формате, показанном ниже, и применяя формулу для нахождения значений «x». и «у».

Темы, связанные с решением линейных уравнений

Просмотрите приведенные статьи, связанные с решением линейных уравнений.

  • Линейные уравнения
  • Применение линейных уравнений
  • Линейные уравнения с двумя переменными
  • Линейные уравнения и полуплоскости
  • Линейные уравнения и неравенства с одной переменной

Часто задаваемые вопросы о решении линейных уравнений

Что означает решение линейных уравнений?

Уравнение, имеющее степень 1, называется линейным уравнением. У нас могут быть линейные уравнения с одной переменной, линейные уравнения с двумя переменными, линейные уравнения с тремя переменными и многое другое в зависимости от количества переменных в нем. Решение линейных уравнений означает нахождение значений всех переменных, присутствующих в уравнении. Это можно сделать методом подстановки, методом исключения, графическим методом и методом перекрестного умножения. Все эти методы представляют собой разные способы нахождения значений переменных.

Как использовать метод подстановки для решения линейных уравнений?

Метод подстановки для решения уравнений гласит, что для данной системы линейных уравнений необходимо найти значение «x» или «y» из любого из заданных уравнений, а затем подставить найденное значение «x» или «y» в другом уравнении, чтобы можно было найти другое неизвестное значение.

Как использовать метод исключения для решения линейных уравнений?

В методе исключения для решения линейных уравнений мы умножаем константу или число на одно уравнение или на оба уравнения так, чтобы члены «x» или члены «y» были одинаковыми. Затем мы сокращаем один и тот же член в обоих уравнениях, добавляя или вычитая их, и находим значение одной переменной (либо «x», либо «y»). Найдя одно из значений, подставляем значение в одно из уравнений и находим другое неизвестное значение.

Что такое Графический метод решения линейных уравнений?

В графическом методе решения линейных уравнений мы находим значение ‘y’ из заданных уравнений, подставляя значения x как 0, 1, 2, 3 и т. д., и строим график в системе координат для линии для различных значений ‘x’ для обеих систем линейных уравнений. Мы увидим, что эти две прямые пересекаются в одной точке. Эта точка является решением данной системы линейных уравнений. Если между двумя прямыми нет точки пересечения, то мы рассматриваем их как параллельные прямые, а если мы обнаружили, что обе прямые лежат друг на друге, то они называются совпадающими прямыми и имеют бесконечно много решений.

Каковы этапы решения линейных уравнений с одной переменной?

Линейное уравнение — это уравнение степени 1. Чтобы решить линейное уравнение с одной переменной, мы подносим переменную к одной стороне, а постоянное значение — к другой. Затем к обеим частям уравнения можно добавить, вычесть, умножить или разделить ненулевое число. Например, линейное уравнение с одной переменной будет иметь вид «х — 4 = 2». Чтобы найти значение «x», мы добавляем постоянное значение «4» к обеим частям уравнения. Следовательно, значение ‘x = 6’.

Какие этапы решения линейных уравнений с тремя переменными?

Чтобы решить систему линейных уравнений с тремя переменными, возьмем любые два уравнения и две переменные. Затем мы берем другую пару линейных уравнений и также решаем для той же переменной. Теперь, когда у нас есть два линейных уравнения с двумя переменными, мы можем использовать метод подстановки, метод исключения или любой другой метод для решения значений двух неизвестных переменных. Найдя эти две переменные, мы подставляем их в любое из трех уравнений, чтобы найти третью неизвестную переменную.

Какие существуют 4 метода решения линейных уравнений?

Методы решения линейных уравнений приведены ниже:

  • Метод подстановки
  • Метод исключения
  • Метод перекрестного умножения
  • Графический метод

Решение уравнения. Методы, приемы и примеры

Решение уравнения включает в себя нахождение значений неизвестных переменных в заданном уравнении. Условие равенства двух выражений удовлетворяется значением переменной. Решение линейного уравнения с одной переменной дает единственное решение, решение линейного уравнения с двумя переменными дает два результата. Решение квадратного уравнения дает два корня. Существует множество методов и процедур, применяемых при решении уравнения. Давайте подробно обсудим методы решения уравнения по одному.

1. В чем смысл решения уравнений?
2. шагов решения уравнения
3. Решение уравнений с одной переменной
4. Решение квадратного уравнения
5. Решение рационального уравнения
6. Решение радикального уравнения
7. Часто задаваемые вопросы о решении уравнений

В чем смысл решения уравнений?

Решение уравнений вычисляет значение неизвестной переменной, все еще уравновешивая уравнение с обеих сторон. Уравнение — это условие для переменной, при котором два выражения в переменной имеют одинаковое значение. Значение переменной, для которой выполняется уравнение, называется решением уравнения. Уравнение остается тем же, если поменять местами левую и правую части. Выделяется переменная, для которой нужно найти значение, и получается решение. Решение уравнения зависит от того, с каким типом уравнения мы имеем дело. Уравнения могут быть линейными уравнениями, квадратными уравнениями, рациональными уравнениями или радикальными уравнениями.

шагов решения уравнения

Цель решения уравнения состоит в том, чтобы найти значение переменной, удовлетворяющее условию истинности уравнения. Чтобы изолировать переменную, выполняются следующие операции, все еще уравновешивающие уравнение с обеих сторон. Таким образом, левая сторона остается равной правой, и, в конце концов, баланс не нарушается.

  • Добавление свойства равенства: Добавьте одинаковое число к обеим сторонам. Если a = b, то a + c = b + c
  • Свойство равенства вычитания: вычитание одинакового числа с обеих сторон. Если а = b, то а — с = b — с
  • Свойство равенства умножения: умножить одно и то же число с обеих сторон. Если a = b, то ac = bc
  • Свойство равенства деления: Разделить на одно и то же число в обе стороны. Если a = b, то a/c = b/c (где c ≠ 0)

После выполнения этого систематического уравновешивающего метода решения уравнения с помощью серии идентичных арифметических операций с обеих сторон уравнения мы разделяем переменную на одной из сторон, и последним шагом является решение уравнения.

Решение уравнений с одной переменной

Линейное уравнение одной переменной имеет вид ax + b = 0, где a, b, c — действительные числа. При решении линейного уравнения выполняются следующие шаги.

  • Удалите скобки и при необходимости используйте свойство распределения.
  • Упростите обе части уравнения, объединив одинаковые члены.
  • Если есть дроби, умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей.
  • Если есть десятичные дроби, умножьте обе части уравнения на наименьшую степень 10, чтобы преобразовать их в целые числа.
  • Перенесите переменные члены в одну часть уравнения, а постоянные члены в другую, используя свойства равенства сложения и вычитания.
  • Сделайте коэффициент переменной равным 1, используя свойства равенства умножения или деления.
  • изолируйте переменную и получите решение.

Рассмотрим следующий пример: 3(x + 4) = 24 + x

Мы упрощаем LHS, используя свойство дистрибутивности.

3x + 12 = 24 + x

Сгруппируйте одинаковые термины вместе, используя метод транспонирования. Это становится 3x — x = 24-12

. Упрощаем дальше ⇒ 2x = 12

. Используйте свойство равенства деления, 2x/2 = 12/2

, изолируем переменную x. x = 6 является решением уравнения.

Используйте любой из следующих методов, чтобы упростить линейное уравнение и найти неизвестную переменную. Метод проб и ошибок, метод балансировки и метод транспонирования используются для выделения переменной.

Решение уравнения методом проб и ошибок

Предположим, что 12x = 60. Чтобы найти x, мы интуитивно пытаемся найти, что число, умноженное на 12, равно 60. Мы находим, что 5 — это искомое число. Решить уравнения методом проб и ошибок не всегда просто.

Решение уравнения методом уравновешивания

Нам нужно изолировать переменную x для решения уравнения. Для ее решения воспользуемся методом разделения переменных или методом балансировки. Рассмотрим уравнение 2x + 3 = 17,9.0003

Сначала мы исключаем 3 на первом шаге. Чтобы сохранить баланс при решении уравнения, мы вычитаем 3 из каждой части уравнения.

Таким образом, 2x + 3 — 3 = 17 — 3

У нас есть 2x = 14

Теперь, чтобы изолировать x, мы делим на 2 с обеих сторон. (Свойство равенства деления)

2x/2 = 14/2

x = 7

Таким образом, мы изолируем переменную, используя свойства равенства при решении уравнения в методе уравновешивания.

Решение уравнения методом транспонирования

Решая уравнение, мы меняем стороны чисел. Этот процесс называется транспонированием. При перестановке числа мы меняем его знак или выполняем обратную операцию. Рассмотрим 5y + 2 = 22.

Нам нужно найти y, поэтому изолируем его. Следовательно, мы переносим число 2 на другую сторону. Уравнение принимает следующий вид:

5y = 22-2

5y = 20

Теперь, переставив 5 на другую сторону, мы обратим операцию умножения на деление. у = 20/5 = 4

Решение квадратного уравнения

Существуют уравнения, которые дают более одного решения. Квадратные многочлены имеют степень два, а нули квадратного многочлена представляют собой квадратное уравнение.

Рассмотрим (x+3) (x+2)= 0. Это квадратично по своей природе. Мы просто приравниваем каждое из выражений в LHS к 0.

Либо x+3 = 0, либо x+2 =0.

Мы получаем x = -3 и x = -2.

Квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0. Решение квадратного уравнения дает два корня: α и β.

Шаги, необходимые для решения квадратного уравнения:

  • Путем выполнения метода квадратов
  • По методу факторизации
  • Методом формулы

Путем выполнения метода квадратов

Решить уравнение квадратного типа путем выполнения метода квадратов довольно просто, если применить наши знания об алгебраическом тождестве: (a+b) 2

  • Запишите уравнение в стандартной форме ax 2 + bx + c = 0.
  • Разделите обе части уравнения на a.
  • Переместить постоянный член на другую сторону
  • Добавьте квадрат половины коэффициента x с обеих сторон.
  • Завершите левую часть квадратом и упростите правую часть.
  • Извлеките квадратный корень из обеих сторон и найдите x.

Для получения дополнительной информации о решении уравнений (квадратичных) путем заполнения квадратов, нажмите здесь.

Методом факторизации

Решая уравнение квадратного типа методом факторизации, выполните шаги, описанные здесь. Запишите данное уравнение в стандартной форме и, разделив средние члены, разложите уравнение на множители. Перепишите полученное уравнение как произведение двух линейных множителей. Приравняйте каждый линейный множитель к нулю и найдите x. Рассмотрим 2x 2 + 19х + 30 = 0. Это стандартная форма: ax 2 + bx + c = 0.

Разделите средний член таким образом, чтобы произведение членов было равно произведению коэффициента x 2 и c и суммы из терминов должно быть b. Здесь произведение слагаемых должно быть 60, а сумма должна быть 19. Таким образом, разделите 19x на 4x и 15x (поскольку сумма 4 и 15 равна 19, а их произведение равно 60).

2x 2 + 4x + 15x + 30 = 0

Вычтите общий делитель из первых двух членов и общие делители из двух последних членов.

2x(x + 2) + 15(x + 2) = 0

Снова факторизуем (x+2), получаем

(x + 2)(2x + 15) = 0

x = — 2 и x = -15/2

Решение квадратного уравнения включает такие шаги при разделении средних членов при факторизации.

Формульным методом

Решение уравнения квадратного типа по формуле

x = [-b ± √[(b 2 -4ac)]/2a помогает найти корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Подставляя значения a, b и c в формулу, мы приходим к решению.

Рассмотрим пример: 9x 2 -12 x + 4 = 0

a= 9, b = -12 и c = 4

x = [-b ± √[(b 2 -4ac)] /2a

= [12 ± √[((-12) 2 -4×9×4)] / (2 × 9)

= [12 ± √(144 — 144)] / 18

= (12 ± 0)/18

х = 12/18 = 2/3

Решение рационального уравнения

Уравнение, в знаменателе которого есть хотя бы одно полиномиальное выражение, называется рациональным уравнением. Решение рационального уравнения включает следующие шаги. Приведите дроби к общему знаменателю, а затем решите уравнение числителей.

Рассмотрим x/(x-1) = 5/3

При перекрестном умножении получаем

3x = 5(x-1)

3x = 5x — 5

3x — 5x = — 5

-2x = -5

x = 5/2

Решение радикального уравнения

Уравнение, в котором переменная находится под радикалом, называется радикальным уравнением. Решение уравнения, которое является радикалом, включает несколько шагов. Выразите данное радикальное уравнение через индекс радикала и уравновесьте уравнение. Решите для переменной.

Рассмотрим √(x+1) = 4

Теперь возведите обе стороны в квадрат, чтобы сбалансировать. [ √(x+1)] 2 = 4 2

(x+1) = 16

Таким образом, x = 16-1 =15

Важные замечания по решению уравнений:

3 и

3 уравнение находит значение переменной в уравнении.
  • Решение уравнения удовлетворяет условию данного уравнения.
  • Решение уравнения линейного типа также можно выполнить графически.
  • Если правая часть уравнения равна нулю, то для решения уравнения просто начертите на графике левую часть уравнения, и точка пересечения x на графике будет решением(ями).
  • Статьи по теме:

    • Калькулятор решений уравнений
    • Синхронные линейные уравнения
    • Линейные уравнения и неравенства с одной переменной
    • Простые уравнения и их приложения

    Часто задаваемые вопросы о решении уравнений

    Что такое решение уравнения?

    Решение уравнения — это нахождение значений неизвестных переменных в данном уравнении. Процесс решения уравнения зависит от типа уравнения.

    Какие этапы решения уравнений?

    Определите тип уравнения: линейное, квадратичное, логарифмическое, показательное, радикальное или рациональное.

    • Удалите скобки, если они есть в данном уравнении. Примените распределительное свойство.
    • Добавьте одинаковое количество на обе стороны
    • Вычесть одинаковое число с обеих сторон
    • Умножить одинаковое число с обеих сторон
    • Разделить на одинаковое число с обеих сторон.

    Золотое правило решения уравнения?

    Определен тип уравнения. Если это линейное уравнение, используется метод разделения переменных или метод транспонирования. Если это квадратное уравнение, то используется достраивание квадратов, разбиение средних членов с помощью факторизации или по формульному методу.

    Как вы используете 3 шага в решении уравнения?

    3 шага в решении уравнения:

    • удалить скобки, если они есть, используя распределительное свойство,
    • упростить уравнение, добавляя или вычитая одинаковые члены,
    • выделение переменной и ее решение.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *