Неравенства методом интервалов: Решение Неравенств через Метод Интервалов

Содержание

Решение Неравенств через Метод Интервалов

Определение квадратного неравенства

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:

где x — переменная,

a, b, c — числа,

при этом а ≠ 0.

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

  • графический метод;
  • метод интервалов.

Решение неравенства графическим методом

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. 2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в современную онлайн-школу Skysmart.

Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до неравенств — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, <, ≤, ≥.

Сейчас мы узнаем про интервалы в контексте решения квадратных неравенств.

Интервал — это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя числами — концами интервала. 2 + bx + c из левой части квадратного неравенства.

  • Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней.

    Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.

  • Определить, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге нашли нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет). И проставить над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.
  • Если квадратное неравенство со знаком > или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.

    Если неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −.

    В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества — это и есть решение неравенства.

    Либо вместо штриховки можно нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с +, проставить чередуя знаки + и −. 2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.

    • Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
    • Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.
    • Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D < 0), то знаки его значений на всей числовой прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента a, так и со знаком свободного члена c.

    Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. 2 — 5x + 6 ≥ 0.

    Как решаем:

    1. Разложим квадратный трехчлен на множители.

      Неравенство примет вид:

      (х — 3) * (х — 2) ≥ 0

    2. Проанализируем два сомножителя:

      Первый: х — 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х < 0 это выражение отрицательно: х — 3 < 0, а при х > 0 принимает положительные значения: х — 3 > 0.

      Второй: х — 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.

      Вывод: знак произведения (х — 3) * (х — 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.

      В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.

    3. Построим чертеж.
    4. Рассмотрим интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.

      х < 0 — на этом интервале ситуация не изменяется, значит, для того, чтобы определить ситуацию, можно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = -1. Подставляем:

      (-1 — 3) * (-1 — 2) = -4 * (-3) = 12

      12 > 0

      Вывод: при х < 0 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0.

      Отобразим эти данные на чертеже:

      2 < x < 3 — на этом интервале ситуация не меняется, значит, для того, чтобы определить ситуацию нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 2,5.

      Подставляем:

      • (2,5 — 3) (2,5 — 2) = -0,5 * 0,5 = — 0,25 < 0

      Вывод: при 2 < x < 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) < 0. Отметим на чертеже:

      х > 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.

      Подставляем:

      • (25 — 3) (25 — 2) = 22*23 = 506 > 0

      Вывод: при х > 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.

    5. Исходное неравенство: (х — 3) * (х — 2) ≥ 0.

      Если (х — 3) * (х — 2) > 0:

      (x — 3) * (x + 3/2) > 0.

      Если (х — 3) (х — 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.

      Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.

    Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.

    Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3 < 0.

    Как решить неравенство методом интервалов нам уже известно. Поэтому можем оформить решение кратко:

    Ответ: -3 < x < -2.

    Пример 3. Выполнить решение квадратного неравенства методом интервалов:

    Как решаем:

    1. Находим корни квадратного трехчлена, который находится в левой части:
    2. Так как мы решаем строгое неравенство, то на координатной прямой изображаем выколотую точку с координатой 7:
    3. Теперь определим знаки на двух полученных промежутках (−∞, 7) и (7, +∞).

      Это легко сделать, потому что дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент со знаком минус. {2}}+2\) обе части неравенства и тем самым убрать этот множитель, чтоб глаза не мозолил.

      Имеем:

      \( \frac{{x}-1}{{x}-4}\ge 0\)

      Пришло время интервалы рисовать, для этого нужно определить те пограничные значения, при отступлении \( x\) от которых множители \( ({x}-1)\) и \( ({x}-4)\) будут больше и меньше нуля.

      Но обрати внимание, что здесь знак \( \ge \), значит точку, в которой левая часть неравенства принимает нулевое значение, выкалывать не будем, она ведь входит в число решений, такая точка у нас одна, это точка, где икс равен одному.

      А точку, где знаменатель равен нулю, закрасим? – Конечно, нет!

      Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому интервал будет выглядеть так:

      Метод интервалов — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

      Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

      1. Рассмотрим, например, такое неравенство

      Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.

      В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.

      Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.

      Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

      Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. (Если вы не помните, что такое нули функции и знак функции на промежутке – смотрите статью «Исследование графика функции»).

      Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида  .

      , где  и  — корни квадратного уравнения .

      Получим:

      Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

      Нули знаменателя и  — выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя и  — закрашены, так как неравенство нестрогое. При  и  наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.

      Эти точки разбивают ось на промежутков.

      Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».

      И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
      . Возьмем, например, и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из «скобок» отрицательная. Левая часть имеет знак .

      Следующий промежуток: . Проверим знак при . Получаем, что левая часть поменяла знак на .

      . Возьмем . При выражение положительно — следовательно, оно положительно на всем промежутке от до .

      При  левая часть неравенства отрицательна. 

      И, наконец, . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая «скобочка» положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .

      Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:

      Ответ: .

      Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным.

      Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:

      , или , или , или .

      (в левой части — дробно-рациональная функция, в правой — нуль).

      Затем — отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
      Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
      Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
      Мы делаем это, проверяя знак выражения в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого — записываем ответ. Вот и всё.

      Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.

      Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

      2. Рассмотрим еще одно неравенство.

      Снова расставляем точки на оси . Точки и  — выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка  — тоже выколота, поскольку неравенство строгое.

      При числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, . Левая часть имеет знак :

      При числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак :

      При ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак :

      Наконец, при все множители положительны, и левая часть имеет знак :

      Ответ: .

      Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку «ответственный» за неё множитель не изменил знак. Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.

      Вывод: если линейный множитель  стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку  знак выражения в левой части не меняется. В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.

      3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:

      Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков:

      Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение Это происходит потому, что при и левая, и правая части неравенства равны нулю — следовательно, эта точка является решением.

      Ответ: .

      В задаче на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!

      4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:

      Квадратный трехчлен  на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения при всех одинаков, а конкретно — положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции.

      И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину , положительную при всех . Придём к равносильному неравенству:

      — которое легко решается методом интервалов.

      Обратите внимание — мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.

      5. Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:

      Так и хочется умножить его на . Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину — знак неравенства меняется.

      Мы поступим по другому — соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:

      И после этого — применим метод интервалов.


      Метод интервалов. Как решать неравенства с помощью метода интервалов


      Метод интервалов применяется при решении огромного количества самых разных неравенств – квадратных,  дробно-рациональных, показательных, логарифмических


      Примеры неравенств, которые удобно решать методом интервалов:






      \((2x-5)(x+3)≤0\)


      \(\frac{-14}{x^2+2x-15}\)\(≤0\)


      \(x^2<361\)


      \(\frac{x^2-6x+8}{x-1}\)\(-\)\(\frac{x-4}{x^2-3x+2}\)\(≤0\)


      \(\frac{x-2}{3-x}\)\(≤0\)


      \(\frac{2}{5^x-1}\)\(+\)\(\frac{5^x-2}{5^x-3}\)\(≥2\)


      \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)


      \(\frac{5\log^2_{2}⁡x-100}{\log^2_{2}⁡x-25}\)\(≥4\)

      Как решать неравенства методом интервалов (алгоритм с примерами)


      1. Равносильными преобразованиями
        приведите неравенство к виду: \(\frac{(x-x_1 )^n (x-x_2 )^k…}{(x-x_3 )^l (x-x_4 )^m…}\)\(∨0\) или \((x-x_1 )^n (x-x_2 )^k…∨0\) (\(∨\) — любой знак сравнения; \(n,k,l,m\) – любые натуральные числа большие нуля, в том числе и \(1\))


        Пример:


        \((2x+5)(x-2)>5\)

        \(2x^2-4x+5x-10-5>0\)

        \(2x^2+x-15>0\)

        \(D=1-4 \cdot 2 \cdot (-15)=121=11^2\)

        \(x_1=\frac{-1-11}{2 \cdot 2}=-3;\)      \(x_2=\frac{-1+11}{2 \cdot 2}=\frac{5}{2}\)

        \(2(x-\frac{5}{2})(x+3)>0\)          \(|:2\)

        \((x-\frac{5}{2})(x+3)>0\)                


        Отметим, что здесь применено разложение на множители квадратного трехчлена.



      2. Найдите корни числителя и знаменателя (т.е. такие значения икса, которые превратят их в ноль).


        \(x=\frac{5}{2}; x=-3\)



      3. Нанесите найденные значения на числовую ось.


        Если неравенство строгое, то корни числителя обозначьте «выколотой» точкой, если нет — закрашенной. Корни знаменателя «выколоты» всегда, независимо от строгости знака сравнения


      4. Расставьте знаки на интервалах числовой оси. Напомню правила расстановки знаков:


        — В крайнем правом интервале ставим знак плюс;


        — Дальше двигаемся влево;




        — Переходя через число:

        меняем знак, если скобка с этим числом была в нечетной степени (1, 3, 5…)


         


        не меняем знак, если скобка с этим числом была в четной степени (2, 4, 6…)


         


      5. Выделите нужные промежутки. 2+64\) – однозначно положительно при любом значении икса, то есть это выражение никак не влияет на знак левой части. Поэтому можно смело делить обе части неравенства на это выражение.

        Поделим неравенство так же на \(-1\) , чтобы избавиться от минуса.



        \((x-8)(x+8)≥0\)


        Теперь можно применять метод интервалов



        \(x=8;\)   \(x=-8\)


        Запишем ответ



        Ответ: \((-∞;-8]∪[8;∞)\)


        Смотрите также:
        Квадратные неравенства
        Дробно-рациональные неравенства

        Скачать статью

        Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

              Определение. Рациональным неравенством называют такое неравенство, которое при помощи равносильных преобразований сводится к одному из следующих неравенств

        где   P(x)   и   Q(x)   – многочлены.

             Для решения рациональных неравенств часто используют удобный способ, который получил название «метод интервалов». Продемонстрируем применение метода интервалов на примерах.

              Пример 1. Решить неравенство

        (1)

              Решение. Вводя обозначение

        (2)

        перепишем неравенство (1) в виде

        (3)

              Заметим, что и числитель, и знаменатель дроби из правой части формулы (2) являются произведением выражений типа

        где   a   – вещественное число, а   k   – натуральное число. Действительно, произведение выражений

        (5)

        равно числителю дроби (2), а произведение выражений

        (6)

        равно знаменателю дроби (2).

              В случае, когда показатель степени k   в формуле (4) является нечётным числом, выражение (4) отрицательно для всех значений   x,   лежащих на числовой оси слева от числа   a,   и положительно для всех значений   x,   лежащих на числовой оси справа от числа   a.

              В случае, когда показатель степени k   в формуле (4) является чётным числом, выражение (4) положительно для всех значений   x,   отличных от числа   a.

              Следовательно, если отметить на числовой оси числа

        (7)

        играющие роль числа   a   из формулы (4) в выражениях (5), а также отметить на числовой оси числа

        (8)

        играющие роль числа   a   из формулы (4) в выражениях (6), то внутри каждого из промежутков, полученных на числовой оси, функция (2) будет сохранять свой знак. Другими словами, внутри каждого из полученных промежутков числовой оси значения функции (2) будут или положительными, или отрицательными.

              Для того, чтобы воспользоваться этим рассуждением, отметим на числовой оси в нужном порядке числа (7) и (8), причём числа (7) изобразим закрашенными кружками, а числа (8) – незакрашенными кружками (рис.1).

              Перейдём от рисунка 1 к рисунку 2.

              На рисунке 2 подчёркнуты числа   3   и   4,   то есть те из чисел (7) и (8), которым соответствуют чётные показатели степени в выражениях (5) и (6). Действительно, числам   3   и   4   соответствуют чётные показатели степени в выражениях (5) и (6)подчёркнуто число   3,   то есть то из чисел (7) и (8), которому соответствует чётный показатель степени в выражениях (5) и (6). Действительно, числу   3   соответствует чётный показатель степени в выражении (6), поскольку числу   3   соответствует выражение

        (x – 3 )100

        с показателем степени   100,   а числу   4   соответствует выражение.

        (x – 4 )2

        с показателем степени   2 .

              Нанесем на рисунок 2 волновую линию, начиная от правого верхнего угла рисунка и двигаясь влево (рис.3) .

              Мы начинаем вести волновую линию от правого верхнего угла рисунка, поскольку справа от всех точек (7) и (8) функция (2) принимает положительные значения.

              Заметим, что волновая линия на рисунке (3) вблизи от подчёркнутых точек 3 и 4подчёркнутой точки 3 располагается по одну сторону от числовой оси, а в точках

        (9)

        которым соответствуют нечётные показатели степени в выражениях (5) и (6), пересекает числовую ось и вблизи от этих точек располагается по разные стороны от числовой оси.

              Важно отметить, что значения функции (2) внутри каждого из промежутков имеют один и тот же знак. При переходе от промежутка к соседнему промежутку через точки (9), которым соответствуют нечётные показатели степени в выражениях (5) и (6), значения функции (2) меняют знак на противоположный. При переходе от промежутка к соседнему промежутку через точки   3   и   4,   которым соответствуют чётные показателиточку   3,   которой соответствует чётный показатель степени в выражениях (5) и (6), значения функции (2) знак не изменяют.

              Нанесем на рисунок 3 знаки   « + »   и   « – »,   как показано на рисунке 4.

              На промежутках, отмеченных знаком   « + »,   функция (2) принимает положительные значения. На промежутках, отмеченных знаком   « – »,   функция (2) принимает отрицательные значения. Отсюда вытекает, что решением неравенства (1) является объединение промежутков, отмеченных знаком   « – »,   поскольку именно на этих промежутках функция (2) принимает отрицательные значения. Для завершения решения примера остаётся лишь добавить, что концы промежутков

        отмеченные на рисунках закрашенными кружками, входят в ответ задачи, а концы промежутков

        отмеченные на рисунках незакрашенными кружками, не входят в ответ задачи.

        Ответ:

              Пример 2. Решить неравенство

        (10)

              Решение. Преобразуем неравенство (10) к такому виду, чтобы можно было применить метод интервалов:

              Неравенство

        (11)

        имеет вид (1). Решим его методом интервалов. Для этого отметим незакрашенными кружками числа

              Проведём волну, начиная движение от правого верхнего угла, и отметим знаками   « + »   и   « – »   промежутки числовой оси (рис.6)

              Решением неравенства (11) являются промежутки, отмеченные знаком   « – » .   Концы промежутков в ответ не входят. 

              Ответ:

              Замечание. Рекомендуем ознакомиться с нашим учебным пособием «Решение рациональных неравенств», близко связанным с материалом данного раздела справочника.

              На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

        Неравенства методом интервалов

        Рассмотрим, как решать неравенства методом интервалов, на конкретных примерах.

           

        Используем алгоритм метода интервалов. Приравниваем к нулю левую часть:

           

           

           

        Полученные точки отмечаем на числовой прямой:

        Для проверки знака берем 0 (желательно на числовой прямой отметить взятую точку, чтобы потом не забыть, куда ставить знак). Подставляем 0 в последнее неравенство: (2∙0-14)(5∙0+25)= -14∙25, то есть (-)∙(+)= -. Таким образом, в промежуток, из которого взяли нуль, ставим знак «-«, остальные знаки чередуем в шахматном порядке. Поскольку решаем неравенство ≥0, выбираем промежутки со знаком «+» и записываем ответ.

        Ответ:

           

           

        Приравниваем к нулю левую часть:

           

           

        Полученные точки отмечаем на числовой прямой:

        Для проверки знака берем 0 и подставляем его в последнее неравенство. По знакам получаем:

           

        В промежуток, которому принадлежит 0, ставим «+», остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Поскольку решаем неравенство ≤0, в ответ выбираем промежутки со знаком «-«. (Не забываем, когда точки закрашенные, а когда — выколотые. Те точки, в которых знаменатель обращается в нуль, выколотые всегда).

        Ответ:

           

           

        Приравниваем к нулю левую часть:

           

        По теореме, обратной теореме Виета

           

        Полученные точки отмечаем на числовой прямой:

        Для определения знака берем 0 и подставляем его в последнее неравенство. Получает (-)/(-)=(+). Остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Поскольку решаем неравенство ≥0, выбираем промежутки со знаком «+» и записываем ответ.

        Ответ:

           

           

        Переносим все слагаемые в левую часть, приводим к наименьшему общему знаменателю и упрощаем: 

           

           

           

           

        После упрощения решаем неравенство методом интервалов.

        Приравниваем к нулю левую часть:

           

           

        Точек, в которых числитель обращается в нуль, нет. На числовой прямой отмечаем только одну точку:

        Для проверки берем нуль. Подставляя его в последнее неравенство, получаем «+». На другом интервале — «-«. Нам нужен интервал с «-«.

        Ответ:

           

        Как решать более сложные неравенства методом интервалов, рассмотрим в следующий раз.

        Метод интервалов

         

        Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f(x) > 0. Алгоритм состоит из 5 шагов:

         

        1. Решить уравнение f(x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
        2. Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
        3. Найти кратность корней. Если корни четной кратности, то над корнем рисуем петлю. (Корень считается кратным, если существует четное количество одинаковых решений)
        4. Выяснить знак (плюс или минус) функции f(x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f(x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
        5. Отметить знаки на остальных интервалах, чередуя их.

        После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f(x) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f(x) < 0.

        В случае с нестрогими неравенствами( ≤ , ≥) необходимо включить в интервалы точки, которые являются решением уравнения f(x) = 0;

         

        Пример 1:

         

        Решить неравенство:

        (x — 2)(x + 7) < 0

        Работаем по методу интервалов.

        Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:

        (x — 2)(x + 7) = 0

        Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

        x — 2 = 0 => x = 2

        x + 7 = 0 => x = -7

        Получили два корня.

         

        Шаг 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:

         

         

        Шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). 

        Получим:

        f(x) = (x — 2)(x + 7)

        x = 3

        f(3)=(3 — 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

        Получаем, что f(3) = 10 > 0 (10 – это положительное число), поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.

         

        Шаг 4:  нужно отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус. Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. 

         

         

        Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:

        (x — 2)(x + 7) < 0

        Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.

         

        Пример 2:

         

        Решить неравенство:

        (9x— 6x + 1)(x — 2) ≥ 0

        Решение: 

        Для начала необходимо найти корни уравнения 

        (9x— 6x + 1)(x — 2) = 0

        Свернем первую скобку, получим:

        (3x — 1)2(x — 2) = 0

        Отсюда:

        x — 2 = 0; (3x — 1)2 = 0

        Решив эти уравнения получим:

        x= 2; x= ; x3= ;

        Нанесем точки на числовую прямую:

        Т. к. xи x– кратные корни, то на прямой будет одна точка и над ней “петля”.

        Возьмем любое число меньшее самой левой точки   и подставим в исходное неравенство. Возьмем число -1.

        (9*(-1)— 6*(-1) + 1)(-1 — 2) = -12

        Т.к. решение уравнения при x = -1 отрицательное (-12), то на графике в крайнем левом интервале пишем -, и далее чередуя знак записываем его в следующие интервалы:

        Далее выбираем отрицательные интервалы, т.к. знак нашего неравенства ≤.

        Не забываем включать решение уравнения (найденные X), т.к. наше неравенство нестрогое.

        Ответ: {} U [2;+∞)

         

        Пример 3:

         

        Решить неравенство:

        (9x— 6x + 1)(x — 2) > 0

        Все, чем данное неравенство отличается от предыдущего – вместо нестрогого неравенства (≥) стоит строгое (>). Как ни странно, решение данного неравенства будет иным.

        Найдем корни уравнения (9x— 6x + 1)(x — 2) ≠ 0 (знак ≠ означает, что найденные корни не могут быть решениями нашего неравенства, т.к. оно строгое). Проделав все этапы, что и в предыдущем примере получим:

        x1= 2; x2,3 =;

        Вынесем наши решения на числовую прямую (обратите внимания, что данные точки не включены, т.к. неравенство строгое, т.е. левая часть неравенства не равна нулю)

        Обратите внимание, что корни x2 и x3 совпадают, корень “” является кратным. Соответственно, в данной точке на числовой прямой рисуем петлю.

        Возьмем число -1.

        (9*(-1)— 6*(-1) + 1)(-1 — 2) = -12

        Т.к. решение уравнения при x = -1 отрицательное (-12), то на графике в крайнем левом интервале пишем -, и далее чередуя знак записываем его в следующие интервалы:

        Далее выбираем отрицательные интервалы, т.к. знак нашего неравенства <.

        Найденные корни не включаем в ответ.

        Ответ: (2;+∞).

        Интервалы

        Интервал: все числа между двумя заданными числами.

        Пример: все числа от 1 до 6 представляют собой интервал

        Все числа?

        Да. Все действительные числа, лежащие между этими двумя значениями.

        Пример: интервал от 2 до 4 включает такие числа, как:

        2,1 2,1111 2.5 2,75 2,80001

        π

        7 / 2 3.7937

        И многое другое!

        Включая числа на каждом конце?

        Аа … может да, может нет … надо сказать!

        Пример: «Допускаются ящики массой до 20 кг»

        Если в вашем ящике ровно 20 кг … это будет разрешено или нет?

        Это не совсем понятно.

        Давайте посмотрим, как быть точным в каждом из трех популярных методов:

        • Неравенства
        • Числовая линия
        • Обозначение интервалов

        Неравенства

        С неравенствами мы используем:

        • > больше
        • ≥ больше или равно
        • <менее
        • ≤ меньше или равно

        Как это:

        Пример: x ≤ 20

        Говорит: «x меньше или равно 20»

        А означает: до включительно 20

        Интервальное обозначение

        В «Обозначении интервалов» мы просто записываем начальные и конечные числа интервала и используем:

        • [] квадратная скобка, если мы хотим, чтобы включал конечное значение или
        • () круглая скобка, когда мы не

        Как это:

        Пример: (5, 12]

        Означает от 5 до 12, не , не включает 5, но делает включает 12

        Номерная строка

        Числовой линией мы рисуем толстую линию, чтобы показать значения, которые мы включаем, и:

        • закрашенный кружок, когда мы хотим включить конечное значение, или
        • открытый круг, когда мы этого не делаем

        Как это:

        Пример:

        означает, что все числа от 0 до 20, не , не включают 0, но включают 20

        Все три метода вместе

        Вот удобная таблица, показывающая все 3 метода (интервал от 1 до 2):

        »

        »

        От 1 К 2
        в том числе 1 Не Включая 1 Не Включая 2 в том числе 2
        Неравенство: х ≥ 1

        «больше, чем

        или равно «
        х> 1

        «больше чем»
        х <2
        «меньше чем»
        х ≤ 2

        «меньше, чем

        или равно «
        Номер строки:
        Обозначение интервала: [1 (1 2) 2]

        Пример: до включать 1 , а не включать 2 :

        Неравенство:

        x ≥ 1 и x <2

        или вместе: 1 ≤ x <2

        Номер строки:
        Обозначение интервала: [1, 2)

        Другие примеры

        Пример 1: «Распродажа не более 10 долларов»

        Это означает от до 10 долларов включительно.

        И будет справедливо сказать, что все цены выше 0,00 $.

        В качестве неравенства мы показываем это как:

        Цена ≤ 10 и Цена> 0

        Фактически мы могли бы объединить это в:

        0 <Цена ≤ 10

        В строке номера это выглядит так:

        А с использованием обозначения интервала это просто:

        (0, 10]

        Пример 2: «Участники должны быть от 14 до 18 лет»

        Итак, 14 включено, а «быть 18» — до (но не включая) 19.

        В виде неравенства это выглядит так:

        14 ≤ Возраст <19

        В числовой строке это выглядит так:

        А с использованием обозначения интервалов это просто:

        [14, 19)

        Разве не забавно, что мы измеряем возраст совсем не так, как что-либо другое? Мы остаемся 18 лет до тех пор, пока нам не исполнится 19 лет. Мы не говорим, что нам 19 (с точностью до ближайшего года) с 18½ и далее .

        Открыто или закрыто

        Термины «Открытый» и «Закрытый» иногда используются, когда конечное значение включено или нет:

        (а, б) а <х <б открытый интервал
        [а, б) а ≤ х <б слева закрыто, справа открыто
        (а, б) а <х ≤ б слева открыто, справа закрыто
        [а, б] а ≤ х ≤ б закрытый интервал

        Это интервалы конечной длины.У нас также есть интервалы бесконечной длины.

        До бесконечности (но не дальше!)

        Мы часто используем бесконечность в обозначении интервалов.

        Infinity — это , а не действительное число , в данном случае это просто означает «продолжить …»

        Пример: x больше или равно 3:

        [3, + ∞)

        Обратите внимание, что мы используем круглую скобку с бесконечностью, потому что мы не достигаем ее!

        Есть 4 возможных «бесконечных конца»:

        Интервал Неравенство
        (а, + ∞) x> «больше»
        [а, + ∞) x ≥ «больше или равно»
        (-∞, а) x < «меньше»
        (-∞, а] х ≤ «меньше или равно»

        Мы могли бы даже показать без ограничений , используя это обозначение: (-∞, + ∞)

        Два интервала

        У нас может быть два (или более) интервала.

        Пример: x ≤ 2 или x> 3

        В числовой строке это выглядит так:

        А запись интервала выглядит так:

        (-∞, 2] U (3, + ∞)

        Мы использовали букву «U» для обозначения Союза (соединение двух множеств).

        Примечание: будьте осторожны с подобными неравенствами.
        Не пытайтесь объединить это в одно неравенство:

        2 ≥ x> 3 неверно!

        , что не имеет смысла (вы не можете быть меньше 2
        и больше 3 одновременно).

        Союз и перекресток

        Мы только что видели, как соединить два набора с помощью «Union» (и символа ).

        Также есть «Пересечение», что означает «должно быть в обоих». Подумайте, «где они пересекаются?».

        Символ пересечения представляет собой перевернутую букву «U», например:

        Пример: (-∞, 6] ∩ (1, ∞)

        Первый интервал до 6 (включительно)

        Второй интервал начинается с 1 (но не включая).

        Пересечение (или перекрытие) этих двух наборов идет от 1 до 6 (не включая 1, включая 6):

        (1, 6]

        Заключение

        • Интервал — это все числа между двумя заданными числами.
        • Отображение важности начального и конечного числа
        • Существует три основных способа отображения интервалов: неравенства, числовая линия и обозначение интервалов.

        Сноска: геометрия, алгебра и множества

        Возможно, вы этого не заметили … но на самом деле мы использовали:

        все в одной теме. Разве математика не прекрасна?

        Введение в неравенства и интервальную нотацию

        2.7 Введение в неравенства и интервальную нотацию

        Цели обучения

        1. Изобразите решения одного неравенства на числовой прямой и выразите решения, используя интервальную нотацию.
        2. Изобразите решения составного неравенства на числовой прямой и выразите решения, используя обозначения интервалов.

        Неограниченные интервалы

        Алгебраическое неравенство Выражения, связанные с символами ≤, <, ≥ и>., Например x≥2, читается как « x больше или равно 2». Это неравенство имеет бесконечно много решений для x . Некоторые из решений: 2, 3, 3.5, 5, 20 и 20.001.Поскольку невозможно перечислить все решения, необходима система, позволяющая четко передавать этот бесконечный набор. Два распространенных способа выражения решений неравенства — это их графическое представление на числовой прямой. Решения алгебраического неравенства, выраженные затенением решения на числовой прямой. и используя интервальную нотацию Текстовая система выражения решений алгебраического неравенства ..

        Чтобы выразить решение графически, нарисуйте числовую линию и заштрихуйте все значения, которые являются решениями неравенства.Обозначение интервалов является текстовым и использует следующие специальные обозначения:

        Определите обозначение интервала после построения графика решения, установленного на числовой прямой. Числа в обозначении интервалов следует записывать в том же порядке, в каком они появляются в числовой строке, при этом меньшие числа в наборе появляются первыми. В этом примере есть инклюзивное неравенство Неравенство, которое включает граничную точку, обозначенную «или равной» частью символов ≤ и ≥, и замкнутую точку на числовой прямой., что означает, что нижняя граница 2 входит в решение. Обозначьте это закрытой точкой на числовой прямой и квадратной скобкой в ​​обозначении интервалов. Символ (∞) читается как бесконечность. Символ (∞) указывает, что интервал неограничен вправо. и указывает, что набор неограничен справа на числовой прямой. Для обозначения интервалов необходимо, чтобы бесконечность заключалась в круглые скобки. Квадратная скобка указывает, что граница включена в решение. Скобки указывают, что граница не включена. Бесконечность — это верхняя граница действительных чисел, но сама по себе не является действительным числом: его нельзя включить в набор решений.

        Теперь сравните обозначение интервала в предыдущем примере с обозначением строгого или неисключающего неравенства, которое следует ниже:

        Строгое неравенство: Выразите отношения упорядочения с помощью символа <для «меньше чем» и> для «больше чем». подразумевают, что решения могут очень близко подходить к граничной точке, в данном случае 2, но фактически не включать ее.Обозначьте эту идею открытой точкой на числовой прямой и круглой скобкой в ​​обозначении интервалов.

        Пример 1: График и дайте эквивалент записи интервала: x <3.

        Решение: Используйте открытую точку в точке 3 и закрасьте все действительные числа строго меньше 3. Используйте отрицательную бесконечность. Символ (-∞) указывает, что интервал неограничен слева. (−∞), чтобы указать, что множество решений неограничено слева на числовой прямой.

        Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 3)

        Пример 2: График и дайте интервал, эквивалентный обозначению: x≤5.

        Решение: Используйте закрытую точку и заштрихуйте все числа меньше 5 включительно.

        Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 5]

        Важно видеть, что 5≥x то же самое, что x≤5. Оба требуют, чтобы значения x были меньше или равны 5.Чтобы избежать путаницы, рекомендуется переписать все неравенства с переменной слева. Кроме того, при использовании текста используйте «inf» как сокращенную форму бесконечности. Например, (−∞, 5] можно текстуально выразить как (−inf, 5].

        Сложное неравенство Два неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или». фактически представляет собой два или более неравенства в одном утверждении, соединенных словом «и» или словом «или». Сложные неравенства с логическим «или» требуют выполнения любого из условий.Следовательно, множество решений этого типа сложного неравенства состоит из всех элементов множеств решений каждого неравенства. Когда мы объединяем эти индивидуальные наборы решений, это называется объединением. Множество образовано путем объединения индивидуальных наборов решений, обозначенных логическим использованием слова «или» и обозначенных символом ∪., Обозначенным ∪. Например, решения составного неравенства x <3 или x≥6 можно изобразить следующим образом:

        Иногда встречаются сложные неравенства, когда отдельные наборы решений перекрываются.В случае, когда составное неравенство содержит слово «или», мы объединяем все элементы обоих наборов, чтобы создать один набор, содержащий все элементы каждого из них.

        Пример 3: График и дайте эквивалентную запись интервала: x≤ − 1 или x <3.

        Решение: Объедините все решения обоих неравенств. Решения каждого неравенства показаны над числовой линией как средство определения объединения, которое изображено на числовой прямой ниже.

        Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 3)

        Любое действительное число меньше 3 в заштрихованной области числовой прямой удовлетворяет по крайней мере одному из двух указанных неравенств.

        Пример 4: Изобразите график и дайте эквивалент записи интервала: x <3 или x≥ − 1.

        Решение: Оба набора решений изображены над объединением, которое показано ниже.

        Ответ: Обозначение интервала: R = (−∞, ∞)

        Когда вы объединяете оба набора решений и формируете объединение, вы можете видеть, что все действительные числа удовлетворяют исходному составному неравенству.

        Таким образом,

        и

        Ограниченные интервалы

        Неравенство, такое как

        читается как «-1 меньше или равно x , а x меньше трех.”Это сложное неравенство, потому что его можно разложить следующим образом:

        Логическое «и» требует, чтобы выполнялись оба условия. Оба неравенства удовлетворяются всеми элементами в пересечении Множество, образованное общими значениями отдельных наборов решений, что обозначено логическим использованием слова «и», обозначенного символом., Обозначенным, множеств решений. каждого.

        Пример 5: Изобразите график и дайте эквивалент записи интервала: x <3 и x≥ − 1.

        Решение: Определите пересечение или перекрытие двух наборов решений. Решения каждого неравенства показаны над числовой линией как средство определения пересечения, которое показано на числовой прямой ниже.

        Здесь x = 3 не является решением, поскольку решает только одно из неравенств.

        Ответ: Обозначение интервала: [−1, 3)

        В качестве альтернативы мы можем интерпретировать −1≤x <3 как все возможные значения для x между или ограниченные −1 и 3 на числовой прямой.Например, одно из таких решений — x = 1. Обратите внимание, что 1 находится между -1 и 3 на числовой прямой или что -1 <1 <3. Точно так же мы видим, что другие возможные решения - -1, -0,99, 0, 0,0056, 1,8 и 2,99. Поскольку существует бесконечно много действительных чисел между -1 и 3, мы должны выразить решение графически и / или в интервальной записи, в данном случае [-1, 3).

        Пример 6: График и дайте эквивалент записи интервала: −32

        Решение: Закрасьте все действительные числа, ограниченные или строго между −32 = −112 и 2.

        Ответ: Обозначение интервала: (−32, 2)

        Пример 7: Изобразите график и дайте эквивалент записи интервала: −5

        Решение: Заштрихуйте все действительные числа от −5 до 15 и укажите, что верхняя граница, 15, включена в набор решений, с помощью закрытой точки.

        Ответ: Обозначение интервала: (−5, 15]

        В предыдущих двух примерах мы не разбирали неравенства; вместо этого мы решили думать обо всех действительных числах между двумя заданными границами.

        Таким образом,

        Обозначение конструктора множеств

        В этом тексте мы используем обозначение интервалов. Однако другие ресурсы, с которыми вы, вероятно, столкнетесь, используют альтернативный метод описания множеств, называемый нотацией построителя множеств — системой для описания множеств с использованием знакомой математической нотации.. Мы использовали обозначение набора для перечисления элементов, таких как целые числа

        Фигурные скобки группируют элементы набора, а знаки многоточия указывают на то, что целые числа продолжаются бесконечно. В этом разделе мы хотим описать интервалы действительных чисел — например, действительные числа, большие или равные 2.

        Поскольку набор слишком велик для перечисления, нотация конструктора множеств позволяет нам описывать его, используя знакомые математические обозначения.Пример обозначения конструктора множеств:

        Здесь x R описывает тип числа, где символ (∈) читается как «элемент». Это означает, что переменная x представляет собой действительное число. Вертикальная черта (|) читается как «такая, что». Наконец, утверждение x≥2 — это условие, описывающее множество с использованием математической записи. На этом этапе нашего изучения алгебры предполагается, что все переменные представляют действительные числа.По этой причине вы можете опустить «∈ R » и написать {x | x≥2}, что читается как «набор всех действительных чисел x , таких, что x больше или равно 2. ”

        Чтобы описать сложные неравенства, такие как x <3 или x≥6, напишите {x | x <3 или x≥6}, что читается как «набор всех действительных чисел x , таких, что x меньше 3. или x больше или равно 6. »

        Запишите ограниченные интервалы, такие как −1≤x <3, как {x | −1≤x <3}, что читается как «набор всех действительных чисел x таких, что x больше или равно −1 и меньше 3.”

        Основные выводы

        • Неравенства обычно имеют бесконечно много решений, поэтому вместо того, чтобы представлять невероятно большой список, мы представляем такие наборы решений либо графически на числовой строке, либо текстуально с использованием интервальной нотации.
        • Включающие неравенства с компонентом «или равно» обозначаются закрытой точкой на числовой прямой и квадратной скобкой с использованием обозначения интервала.
        • Строгие неравенства без компонента «или равно» обозначаются открытой точкой в ​​числовой строке и круглыми скобками с использованием обозначения интервала.
        • Сложные неравенства, в которых используется логическое «или», разрешаются решениями любого неравенства. Набор решений — это объединение каждого отдельного набора решений.
        • Сложные неравенства, использующие логическое «и», требуют, чтобы все неравенства решались одним решением.Набор решений — это пересечение каждого отдельного набора решений.
        • Сложные неравенства вида n A ограничен между значениями n и m .

        Тематические упражнения

        Часть A: Простые неравенства

        Изобразите все решения на числовой прямой и укажите соответствующие интервалы.

        1. х≤10

        2. х> −5

        3. х> 0

        4. х≤0

        5. х≤ − 3

        6. x≥ − 1

        7. −4 <х

        8. 1≥x

        9. х <−12

        10. x≥ − 32

        11. x≥ − 134

        12. х <34

        Часть B: Сложные неравенства

        Изобразите все решения на числовой прямой и укажите соответствующие интервалы.

        13. -2 <х <5

        14. −5≤x≤ − 1

        15. −5

        16. 0≤x <15

        17. 10

        18. −40≤x <−10

        19. 0

        20. -30 <х <0

        21. -58 <х <18

        22. −34≤x≤12

        23. −1≤x <112

        24. -112 <х <-12

        25.x <−3 или x> 3

        26. x <−2 или x≥4

        27. x≤0 или x> 10

        28. x≤ − 20 или x≥ − 10

        29. x <−23 или x> 13

        30. x≤ − 43 или x> −13

        31. x> −5 или x <5

        32. x <12 или x> −6

        33. x <3 или x≥3

        34. x≤0 или x> 0

        35. x <−7 или x <2

        36.x≥ − 3 или x> 0

        37. x≥5 или x> 0

        38. x <15 или x≤10

        39. x> −2 и x <3

        40. x≥0 и x <5

        41. x≥ − 5 и x≤ − 1

        42. x <−4 и x> 2

        43. x≤3 и x> 3

        44. x≤5 и x≥5

        45. x≤0 и x≥0

        46. x <2 и x≤ − 1

        47.х> 0 и х≥ − 1

        48. x <5 и x <2

        Часть C: Обозначение интервалов

        Определите неравенство по ответам, выраженным в виде интервалов.

        49. (-∞, 7]

        50. (−4, ∞)

        51. [-12, ∞)

        52. (−∞, −3)

        53. (-8, 10]

        54. (-20, 0]

        55.(−14, −2)

        56. [23, 43]

        57. (−34, 12)

        58. (−∞, −8)

        59. (8, ∞)

        60. (−∞, 4) ∪ [8, ∞)

        61. (−∞, −2] ∪ [0, ∞)

        62. (−∞, −5] ∪ (5, ∞)

        63. (−∞, 0) ∪ (2, ∞)

        64. (−∞, −15) ∪ (−5, ∞)

        Напишите эквивалентное неравенство.

        65. Все действительные числа меньше 27.

        66. Все действительные числа меньше или равны нулю.

        67. Все действительные числа больше 5.

        68. Все действительные числа больше или равные −8.

        69. Все действительные числа строго между −6 и 6.

        70. Все действительные числа строго между -80 и 0.

        Часть D. Темы дискуссионной доски

        71. Сравните обозначение интервалов с обозначением создателя множеств.Поделитесь примером набора, описанного с использованием обеих систем.

        72. Объясните, почему мы не используем скобки в обозначении интервалов, когда бесконечность является конечной точкой.

        73. Изучите и обсудите различные сложные неравенства, особенно союзы и пересечения.

        74. Изучите и обсудите историю бесконечности.

        75. Изучите и обсудите вклад Георга Кантора.

        76. Что такое диаграмма Венна? Объясните и опубликуйте пример.

        ответов

        1: (−∞, 10]

        3: (0, ∞)

        5: (−∞, −3]

        7: (−4, ∞)

        9: (−∞, −12)

        11: [-134, ∞)

        13: (-2, 5)

        15: (−5, 20]

        17: (10, 40]

        19: (0, 50]

        21: (-58, 18)

        23: [-1, 112)

        25: (−∞, −3) ∪ (3, ∞)

        27: (−∞, 0] ∪ (10, ∞)

        29: (−∞, −23) ∪ (13, ∞)

        31: R

        33: R

        35: (−∞, 2)

        37: (0, ∞)

        39: (−2, 3)

        41: [−5, −1]

        43: ∅

        45: {0}

        47: (0, ∞)

        49: х≤7

        51: x≥ − 12

        53: −8

        55: −14

        57: -34

        59: x> 8

        61: x≤ − 2 или x≥0

        63: x <0 или x> 2

        65: х <27

        67: x> 5

        69: −6

        Преобразователь интервальной записи

        — Неравенство

        Поиск инструмента

        Интервальное обозначение

        Инструмент для преобразования интервалов в неравенства и наоборот.Обозначения интервалов / диапазонов представляют собой наборы чисел между двумя значениями.

        Результаты

        Интервальное обозначение — dCode

        Метка (и): Математика

        Поделиться

        dCode и другие

        dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
        Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

        Преобразователь интервала в неравенство

        Конвертер неравенства в интервал

        Конвертер нотации

        Ответы на вопросы (FAQ)

        Что такое интервал? (Определение

        Интервал — это обозначение, которое позволяет определить набор действительных чисел, включенных между нижним пределом (минимально допустимым значением) и верхним пределом (максимально допустимым значением).

        Есть 3 типа интервалов (принимая $ {a, b} \ in \ mathbb {R} $ с $ a

        — открытый интервал (или незакрытый интервал)

        Пример: $ a

        — закрытый интервал (или неоткрытый интервал)

        Пример: $ a \ leq x \ leq b = [a, b] $

        — полуоткрытый (или полузакрытый) интервал

        Пример: $ a

        Пример: $ a \ leq x

        Как преобразовать интервал в неравенство?

        Вот список различных типов интервалов и соответствующих неравенств:

        $] а; b [\ iff a x> a $)

        $ [а; б [\ iff a \ leq x x \ geq a $)

        $] а; b] \ если и только если a a $)

        $ [а; b] \ iff a \ leq x \ leq b \ quad $ (или $ b \ geq x \ geq a $)

        Укороченное написание неравенства возможно, если $ a $ или $ b $ имеют для значения $ \ infty $

        $] — \ infty; б [\ iff x x $)

        $] — \ infty; b] \ iff x \ leq b \ quad $ (или $ b \ geq x $)

        $] а; + \ infty [\ iff x> a \ quad $ (или $ a

        $ [a; + \ infty [\ iff x \ geq a \ quad $ (или $ a \ leq x $)

        Что такое европейская и американская нотации?

        Есть две школы, два способа письма, которые отличаются обозначением открытых интервалов.

        Европейская нотация, в которой везде используются квадратные скобки и открытые интервалы обозначаются внешней скобкой: $ [a; b [$

        Американская нотация, в которой для закрытых интервалов используются квадратные скобки, а открытые интервалы обозначаются круглыми скобками: $ [a; б) $

        Задайте новый вопрос

        Исходный код

        dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Интервальная нотация». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любого алгоритма, апплета или фрагмента «Interval Notation» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «Interval Notation» ‘функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанная на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.)) и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Интервальной нотации» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

        Нужна помощь?

        Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
        NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

        Вопросы / комментарии

        Сводка

        Похожие страницы

        Поддержка

        Форум / Справка

        Ключевые слова

        интервал, неравенство, набор, номер, скобка

        Ссылки

        Источник: https: // www.dcode.fr/interval-notation

        © 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

        Преобразователь интервальной записи

        — Неравенство

        Поиск инструмента

        Интервальное обозначение

        Инструмент для преобразования интервалов в неравенства и наоборот. Обозначения интервалов / диапазонов представляют собой наборы чисел между двумя значениями.

        Результаты

        Интервальное обозначение — dCode

        Метка (и): Математика

        Поделиться

        dCode и другие

        dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
        Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

        Преобразователь интервала в неравенство

        Конвертер неравенства в интервал

        Конвертер нотации

        Ответы на вопросы (FAQ)

        Что такое интервал? (Определение

        Интервал — это обозначение, которое позволяет определить набор действительных чисел, включенных между нижним пределом (минимально допустимым значением) и верхним пределом (максимально допустимым значением).

        Есть 3 типа интервалов (принимая $ {a, b} \ in \ mathbb {R} $ с $ a

        — открытый интервал (или незакрытый интервал)

        Пример: $ a

        — закрытый интервал (или неоткрытый интервал)

        Пример: $ a \ leq x \ leq b = [a, b] $

        — полуоткрытый (или полузакрытый) интервал

        Пример: $ a

        Пример: $ a \ leq x

        Как преобразовать интервал в неравенство?

        Вот список различных типов интервалов и соответствующих неравенств:

        $] а; b [\ iff a x> a $)

        $ [а; б [\ iff a \ leq x x \ geq a $)

        $] а; b] \ если и только если a a $)

        $ [а; b] \ iff a \ leq x \ leq b \ quad $ (или $ b \ geq x \ geq a $)

        Укороченное написание неравенства возможно, если $ a $ или $ b $ имеют для значения $ \ infty $

        $] — \ infty; б [\ iff x x $)

        $] — \ infty; b] \ iff x \ leq b \ quad $ (или $ b \ geq x $)

        $] а; + \ infty [\ iff x> a \ quad $ (или $ a

        $ [a; + \ infty [\ iff x \ geq a \ quad $ (или $ a \ leq x $)

        Что такое европейская и американская нотации?

        Есть две школы, два способа письма, которые отличаются обозначением открытых интервалов.

        Европейская нотация, в которой везде используются квадратные скобки и открытые интервалы обозначаются внешней скобкой: $ [a; b [$

        Американская нотация, в которой для закрытых интервалов используются квадратные скобки, а открытые интервалы обозначаются круглыми скобками: $ [a; б) $

        Задайте новый вопрос

        Исходный код

        dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Интервальная нотация». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любого алгоритма, апплета или фрагмента «Interval Notation» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «Interval Notation» ‘функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанная на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.)) и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Интервальной нотации» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

        Нужна помощь?

        Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
        NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

        Вопросы / комментарии

        Сводка

        Похожие страницы

        Поддержка

        Форум / Справка

        Ключевые слова

        интервал, неравенство, набор, номер, скобка

        Ссылки

        Источник: https: // www.dcode.fr/interval-notation

        © 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

        Преобразователь интервальной записи

        — Неравенство

        Поиск инструмента

        Интервальное обозначение

        Инструмент для преобразования интервалов в неравенства и наоборот. Обозначения интервалов / диапазонов представляют собой наборы чисел между двумя значениями.

        Результаты

        Интервальное обозначение — dCode

        Метка (и): Математика

        Поделиться

        dCode и другие

        dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
        Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

        Преобразователь интервала в неравенство

        Конвертер неравенства в интервал

        Конвертер нотации

        Ответы на вопросы (FAQ)

        Что такое интервал? (Определение

        Интервал — это обозначение, которое позволяет определить набор действительных чисел, включенных между нижним пределом (минимально допустимым значением) и верхним пределом (максимально допустимым значением).

        Есть 3 типа интервалов (принимая $ {a, b} \ in \ mathbb {R} $ с $ a

        — открытый интервал (или незакрытый интервал)

        Пример: $ a

        — закрытый интервал (или неоткрытый интервал)

        Пример: $ a \ leq x \ leq b = [a, b] $

        — полуоткрытый (или полузакрытый) интервал

        Пример: $ a

        Пример: $ a \ leq x

        Как преобразовать интервал в неравенство?

        Вот список различных типов интервалов и соответствующих неравенств:

        $] а; b [\ iff a x> a $)

        $ [а; б [\ iff a \ leq x x \ geq a $)

        $] а; b] \ если и только если a a $)

        $ [а; b] \ iff a \ leq x \ leq b \ quad $ (или $ b \ geq x \ geq a $)

        Укороченное написание неравенства возможно, если $ a $ или $ b $ имеют для значения $ \ infty $

        $] — \ infty; б [\ iff x x $)

        $] — \ infty; b] \ iff x \ leq b \ quad $ (или $ b \ geq x $)

        $] а; + \ infty [\ iff x> a \ quad $ (или $ a

        $ [a; + \ infty [\ iff x \ geq a \ quad $ (или $ a \ leq x $)

        Что такое европейская и американская нотации?

        Есть две школы, два способа письма, которые отличаются обозначением открытых интервалов.

        Европейская нотация, в которой везде используются квадратные скобки и открытые интервалы обозначаются внешней скобкой: $ [a; b [$

        Американская нотация, в которой для закрытых интервалов используются квадратные скобки, а открытые интервалы обозначаются круглыми скобками: $ [a; б) $

        Задайте новый вопрос

        Исходный код

        dCode сохраняет право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Интервальная нотация». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любого алгоритма, апплета или фрагмента «Interval Notation» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «Interval Notation» ‘функция (вычислить, преобразовать, решить, расшифровать / зашифровать, расшифровать / зашифровать, декодировать / закодировать, перевести), написанная на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. д.)) и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Интервальной нотации» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

        Нужна помощь?

        Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
        NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

        Вопросы / комментарии

        Сводка

        Похожие страницы

        Поддержка

        Форум / Справка

        Ключевые слова

        интервал, неравенство, набор, номер, скобка

        Ссылки

        Источник: https: // www.dcode.fr/interval-notation

        © 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

        Решить сложные неравенства | Начальная алгебра

        Поскольку это неравенство «больше чем», решение можно переписать в соответствии с правилом «больше чем».

        [латекс] \ Displaystyle х + 3 <-4 \, \, \, \, \, \, \, \ text {или} \, \, \, \, \, \, \, x + 3> 4 [/ латекс]

        Решите каждое неравенство.

        [латекс] \ begin {array} {r} x + 3 <-4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x + 3> 4 \\\ подчеркивание {\, \, \, \, — 3 \, \, \, \, \, — 3} \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \ underline {\, \, \, \, \, \, — 3 \, \, — 3} \\ x \, \, \, \, \, \, \, \, \, <- 7 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , x \, \, \, \, \, \, \, \, \,> 1 \\\\ x <-7 \, \, \, \, \, \, \, \ text {или} \ , \, \, \, \, \, x> 1 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

        Проверьте решения в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они работают.Проверьте конечную точку первого связанного уравнения [latex] −7 [/ latex] и конечную точку второго связанного уравнения 1.

        [латекс] \ Displaystyle \ begin {array} {r} \, \, \, \ left | x + 3 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | х + 3 \ вправо |> 4 \\\ влево | -7 + 3 \ right | = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | 1 + 3 \ право | = 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \ влево | -4 \ right | = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \ влево | 4 \ право | = 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 4 = 4 \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 4 = 4 \ конец {array} [/ latex]

        Попробуйте [latex] -10 [/ latex], значение меньше [latex] -7 [/ latex], и 5, значение больше 1, чтобы проверить неравенство.

        [латекс] \ Displaystyle \ begin {array} {r} \, \, \, \, \, \ left | x + 3 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | х + 3 \ вправо |> 4 \\\ влево | -10 + 3 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | 5 + 3 \ right |> 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | -7 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \ влево | 8 \ right |> 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 7> 4 \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 8> 4 \ end {array} [/ latex]

        Оба решения проверяют!

        Ответ

        Неравенство: [латекс] \ displaystyle x <-7 \, \, \, \, \, \ text {or} \, \, \, \, \, x> 1 [/ latex]

        Интервал: [латекс] \ left (- \ infty, -7 \ right) \ cup \ left (1, \ infty \ right) [/ latex]

        График:

        Представьте неравенство как интервал в числовой строке

        1. Последнее обновление
        2. Сохранить как PDF
        1. Рисование неравенства на числовой прямой, где возможные значения — действительные числа.
        2. Графическое представление дополнения

        Результаты обучения

        1. График и неравенство на числовой прямой.
        2. Изобразите дополнение на числовой прямой как для непрерывных, так и для дискретных переменных.

        Неравенства часто встречаются в статистике, и часто бывает полезно нанести неравенство на числовую линию, чтобы визуализировать неравенство. Это помогает как при неравенствах, связанных с действительными числами, так и при неравенствах, относящихся только к целочисленным значениям.В качестве расширения этой идеи мы часто хотим рассмотреть дополнение неравенства, то есть все числа, которые делают неравенство ложным. В этом разделе мы рассмотрим примеры, которые решают эту задачу.

        Рисование неравенства на числовой прямой, где возможные значения — действительные числа.

        Существует четыре различных неравенства: \ (<, \: \ le, \:>, \: \ ge \). Что делает это наиболее сложным, так это когда они выражаются словами. Вот несколько слов, которые используются для каждого:

        • \ (<\): «Меньше», «Меньше», «Ниже», «Младше»
        • \ (\ le \): «Меньше или равно», «Максимум», «Не более чем», «Не превышать»
        • \ (> \): «Больше, чем», «Больше», «Выше», «Больше», «Старше», «Больше чем»
        • \ (\ ge \): «Больше или равно», «По крайней мере», «Не менее»

        Это наиболее распространенные слова, которые соответствуют неравенству, но есть и другие, которые встречаются реже.

        Пример \ (\ PageIndex {1} \)

        Изобразите неравенство: \ (3

        Решение

        Сначала обратите внимание, что интервал не включает число 3, но включает число 5. Мы можем представить, не включая число с открытым кружком, а включая число с замкнутым кружком. Ниже показано числовое представление неравенства.

        Пример \ (\ PageIndex {2} \)

        В статистике мы часто хотим найти вероятность того, что событие будет не меньше или не больше заданного значения.Это помогает сначала построить интервал на числовой прямой. Предположим, вы хотите найти вероятность того, что вам придется простоять в очереди не менее 4 минут. Нарисуйте это неравенство на числовой прямой.

        Решение

        Во-первых, обратите внимание, что «По крайней мере» имеет символ \ (\ ge \). Таким образом, у нас есть замкнутая окружность на числе 4. Верхняя граница отсутствует, поэтому мы рисуем длинную стрелку от 4 вправо от 4. Решение показано ниже

          Пример \ (\ PageIndex {3} \)

          Еще одна основная тема, которая возникает в статистике, — это доверительные интервалы.Например, в недавнем опросе, посвященном проценту американцев, которые считают, что Конгресс делает хорошую работу, было обнаружено, что 95% доверительный интервал имеет нижнюю границу 0,18 и верхнюю границу 0,24. Это можно записать как [0,18,0,24]. Нарисуйте этот интервал на числовой прямой.

            Решение

            Первое, что нам нужно сделать, это решить, какие отметки поставить на числовой строке. Если бы мы считали по единицам, интересующий интервал был бы слишком мал, чтобы выделяться. Вместо этого мы будем считать по 0.1-е. Числовая строка показана ниже.

            Пример \ (\ PageIndex {4} \)

            Часто в статистике мы имеем дело с дискретными переменными. В большинстве случаев это будет означать, что могут встречаться только целочисленные значения. Например, вы хотите узнать вероятность того, что студент колледжа будет посещать не более трех классов. Изобразите это на числовой прямой.

              Решение

              Прежде всего обратите внимание, что результаты могут быть только целыми числами. Во-вторых, обратите внимание, что «максимум» означает \ (\ le \).Таким образом, возможные результаты: 0, 1, 2 и 3. Числовая линия ниже отображает эти результаты.

              График дополнения

              В статистике мы часто хотим графически отобразить дополнение интервала. Дополнение означает все, что не входит в интервал.

              Пример \ (\ PageIndex {5} \)

              Постройте график дополнения интервала [2,4).

              Решение

              Обратите внимание, что дополнение чисел внутри интервала от 2 до 4 — это числа вне этого интервала.Он будет состоять из чисел слева от 2 и справа от 4. Поскольку число 2 включено в исходный интервал, оно не будет включено в дополнение. Поскольку число 4 не входит в исходный интервал, оно будет включено в дополнение. Дополнение показано в числовой строке ниже.

              Пример \ (\ PageIndex {6} \)

              Некоторые калькуляторы могут находить вероятности только для значений меньше определенного числа. Если мы хотим, чтобы вероятность интервала больше числа, нам нужно использовать дополнение.Предположим, вы хотите найти вероятность того, что человек побывал более чем в двух зарубежных странах за последние двенадцать месяцев. Найдите его дополнение и начертите его на числовой прямой.

              Решение

              Сначала обратите внимание, что возможны только целые числа, поскольку нет смысла переходить к дробному числу стран. Во-вторых, обратите внимание, что наименьшее число, которое больше 2, равно 3. Если 3 включено в исходный список, то 3 не будут включены в дополнение.Таким образом, наибольшее число в дополнении «более 2» равно 2. В числовой строке ниже показано дополнение до «более 2».

              Упражнение

              Предположим, вы хотите найти вероятность того, что по крайней мере 4 человека в вашем классе имеют фамилию, содержащую букву «W». Чтобы произвести этот расчет, вам нужно сначала найти дополнение «минимум 4». Нарисуйте это дополнение на числовой прямой.

              .

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.