Как решить систему уравнений матричным методом: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

{3+3}\left|\begin{array}{rr}
2 & 1 \\
1 & -1
\end{array}\right|=-3$$

Таким образом,

$$\tilde{A}=\left(\begin{array}{rrr}
-2 & -2 & 2 \\
-3 & 1 & 5 \\
1 & 1 & -3
\end{array}\right)$$

Определитель матрицы $A$

$$\Delta=\left|\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
3 & -1 & 2
\end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 1+1 \cdot 0 \cdot 3-$$
$$-3 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-4 \neq 0$$

А тогда

$$\tilde{A}=-\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rrr}
-2 & -3 & 1 \\
-2 & 1 & 1 \\
2 & 5 & -3
\end{array}\right)$$

Отсюда искомая матрица

$$X=\left(\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{array}\right)=-\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rrr}
-2 & -3 & 1 \\
-2 & 1 & 1 \\
2 & 5 & -3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}
2 \\
-2 \\
2
\end{array}\right)=$$
$$=\left(\begin{array}{r}
-1 \\
1 \\
3
\end{array}\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=-1 \\
x_{2}=1 \\
x_{3}=3
\end{array}\right. $$
$$\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=-1 \\
x_{2}=1 \\
x_{3}=3
\end{array}\right.$$

Содержание

Матричный метод онлайн

Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить».


Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

(1)

Для решения системы линейных уравнений (1) матричным методом запишем ее матричном виде:

где

Мы будем предполагать, что матрица A имеет обратное, т. е. определитель матрицы A не равен нулю.

Умножим матричное уравнение (2) на обратную матрицу A−1. Тогда

Учитывая определение обратной матрицы, имеем A−1A=E, где E— единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:

или, учитывая, что Ex=x:

Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b.

Примеры решения системы линейных уравнений матричным методом

Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

.

Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:

.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 1. Для этого заменяем местами строки 1 и 2:

.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:

.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого заменяем местами строки 2 и 3:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:

.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строки 1, 2 со строкой 3, умноженной на 17/53, 85/159 соответственно:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:

.

Делим каждую строку матрицы на ведущий элемент соответствующей строки:

.

Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :

.

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда

.

Ответ:

Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

.

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

.

Найдем обратную к матрице A методом алгебраических дополнений. Вычислим определитель матрицы A :

.

Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A:

,
,
,
,
,
,
,
,
.

Обратная матрица вычисляется из следующего выражения:

где Aij − алгебраическое дополнение элемента матрицы A, находящиеся на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, а Δ − определитель матрицы A.

Используя формулу обратной матрицы, получим:

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда

Ответ:

Решение систем линейных уравнений матричным методом

Дана СЛАУ: $\left\{\begin{array}{c} {x_{1} +3x_{3} =26} \\ {-x_{1} +2x_{2} +x_{3} =52} \\ {3x_{1} +2x_{2} =52} \end{array}\right. $. Решить СЛАУ методом обратной матрицы, если это возможно.

Решение:

$A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-1} & {2} & {1} \\ {3} & {2} & {0} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right),X=\left(\begin{array}{c} {x_{1} } \\ {x_{2} } \\ {x_{3} } \end{array}\right). {-1} =\frac{1}{-26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {-2} & {6} & {-6} \\ {3} & {-9} & {-4} \\ {-8} & {-2} & {2} \end{array}\right)=\frac{1}{26} \cdot \left(\begin{array}{ccc} {2} & {-6} & {6} \\ {-3} & {9} & {4} \\ {8} & {2} & {-2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{2}{26} } & {\frac{-6}{26} } & {\frac{6}{26} } \\ {\frac{-3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{4}{26} } \\ {\frac{8}{26} } & {\frac{2}{26} } & {\frac{-2}{26} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right).$

Найдем решение системы:

$X=\left(\begin{array}{ccc} {\frac{1}{13} } & {-\frac{3}{13} } & {\frac{3}{13} } \\ {-\frac{3}{26} } & {\frac{9}{26} } & {\frac{2}{13} } \\ {\frac{4}{13} } & {\frac{1}{13} } & {-\frac{1}{13} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {26} \\ {52} \\ {52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {\frac{1}{13} \cdot 26-\frac{3}{13} \cdot 52+\frac{3}{13} \cdot 52} \\ {-\frac{3}{26} \cdot 26+\frac{9}{26} \cdot 52+\frac{2}{13} \cdot 52} \\ {\frac{4}{13} \cdot 26+\frac{1}{13} \cdot 52-\frac{1}{13} \cdot 52} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2-12+12} \\ {-3+18+8} \\ {8+4-4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{c} {2} \\ {23} \\ {8} \end{array}\right)$ — искомое решение системы уравнений.

Найти решение системы линейных уравнений третьего, четвертого порядка матричным методом

Для решения системы линейных алгебраических уравнений ее записывают в матричной форме

где -матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных; — столбец неизвестных; — столбец свободных членов. После того, если для матрицы существует обратная матрица ( ) то система линейных уравнений имеет единственное решение и он находится за формулой

Поскольку перемножить матрицу на вектор столбец не складывает особенных трудностей, то большая проблема при вычислениях — найти обратную матрицу

В нахождении решения за приведенной формулой и заключается суть матричного метода.

Рассмотрим несколько примеров из сборника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. «Высшая математика»

————————————

Задача.

Решить систему линейных алгебраических уравнений.

1) (1. 183)

2) (4. 182)

Решение.

1) Запишем систему трех линейных уравнений в матричной форме

Найдем обратную матрицу. Напомним, что

где — определитель матрицы , а — транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов определителя матрицы.

Вычислим определитель матрицы

Матрица алгебраических дополнений состоит из элементов , которые вычисляются через миноры по правилу

Миноры — это определители на порядок меньшие от определителя , которые образуются вычеркиванием в нем -й строки и — го столбца. На первый взгляд звучит слишком запутано, но при вычислениях все станет понятно и просто.

Найдем алгебраические дополнения к определителю

Запишем найденную матрицу алгебраических дополнений

и протранспонируем ее

Находим обратную матрицу

С помощью обратной матрицы находим решение системы линейных уравнений

На етом решения примера завешено. Как видите никаких сложных вычислений в етом задании мы не делали.

2) Запишем систему линейных уравнений четвертого порядка в матричной форме

Поскольку все коэффициенты ненулевые то вычислять ее будет трудно. Выполним над системой линейных уравнений элементарные превращения чтобы превратить в нуль некоторые из коэффициентов.

От второй строки отнимем первую и последнюю строки

От третьей строки отнимем сумму первой и четвертой строки начальной системы

От четвертой строки отнимем первый

Из последней строки уже можем сказать что но будем придерживаться правил чтобы научиться решать большие системы уравнений.

Поскольку матрица стала разреженной то вычисление определителя и матрицы алгебраических дополнений упростятся. Найдем определитель матрицы, разложив его за четвертой строкой

Найдем матрицу алгебраических дополнений, раскладывая искомые детерминанты за строками и столбцами которые содержат больше всего нулей. Для самопроверки выпишу Вам вычисление только первой строки. Остальные попробуйте вычислить самостоятельно

После нахождения всех значений получим следующую матрицу дополнений

Поскольку определитель равен единице то обратная матрица с транспонированной матрицей дополнений совпадают

Подставим в матричную запись и найдем решение

При вычислениях систем линейных алгебраических уравнений третьего, четвертого порядка матричным методом придется находить большое количество алгебраических дополнений , которые собой являют определители второго и третьего порядка соответственно. Именно ошибки при их вычислении чаще всего становятся причиной неверного решения. Для избежания таких ситуаций нужно хорошо знать правила нахождения определителей второго, третьего порядка, а также правила чередования знаков возле миноров.

Изучайте их и получайте лишь верные решения !

———————————————-

Посмотреть материалы:

записать систему в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы

Вы искали записать систему в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как решать матричным методом, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «записать систему в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как записать систему в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы,как решать матричным методом,как решать методом обратной матрицы,как решать систему уравнений матричным методом,как решить матричным способом систему уравнений,как решить систему матричным методом,как решить систему матричным способом,как решить систему уравнений матричным методом,как решить систему уравнений матричным способом,как решить систему уравнений с помощью обратной матрицы,как решить уравнение методом обратной матрицы,как с помощью обратной матрицы решить систему уравнений,калькулятор матричный метод решения систем линейных уравнений,матриц решение онлайн матричным методом,матрица система уравнений,матрица системы линейных уравнений,матрица способы решения,матрицы и системы линейных уравнений,матрицы матричный метод,матрицы метод,матрицы методы решения,матрицы решить методом обратной матрицы,матрицы с помощью обратной,матрицы системы линейных уравнений,матрицы способы решения,матричний метод,матричный метод,матричный метод матрицы,матричный метод онлайн калькулятор,матричный метод примеры с решением,матричный метод решения,матричный метод решения матриц,матричный метод решения систем,матричный метод решения систем линейных уравнений,матричный метод решения систем линейных уравнений калькулятор,матричный метод решения систем линейных уравнений онлайн,матричный метод решения системы,матричный метод решения слау,матричный метод решения уравнений,матричный метод это,матричный способ,матричный способ онлайн,матричный способ решения,матричный способ решения матриц,матричный способ решения систем,матричный способ решения систем линейных уравнений,матричный способ решения систем линейных уравнений онлайн с решением,матричный способ решения системы,матричный способ решения системы уравнений,матричным методом как решать,матричным методом решить,матричным методом решить систему,матричным методом решить систему уравнений,матричным способом решить систему,матричным способом решить систему линейных уравнений,матричным способом решить систему уравнений,метод матрицы,метод матричного исчисления,метод матричный примеры,метод матричный примеры с решением,метод обратной матрицы,метод обратной матрицы для решения систем линейных уравнений,метод обратных матриц,методом обратной матрицы решить,методом обратной матрицы решить систему,методом обратной матрицы решить систему линейных уравнений,методом обратной матрицы решить систему уравнений,методы решения матриц,методы решения матрицы,онлайн матричный метод решения систем линейных уравнений,онлайн метод матричного исчисления,онлайн решение матрицы матричным методом,онлайн решение систем линейных уравнений матричным методом,онлайн решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы,онлайн решение системы матричным методом,онлайн решение системы матричным способом,онлайн решение слау матричным методом,онлайн решение слау методом обратной матрицы,онлайн решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы,онлайн решить систему матричным методом,онлайн решить систему матричным способом,онлайн система уравнений матричным методом,решение линейных систем уравнений матричным методом,решение линейных систем уравнений матричным способом,решение линейных систем уравнений с помощью обратной матрицы,решение линейных уравнений матричным методом,решение линейных уравнений методом обратной матрицы,решение матриц 3 способами,решение матриц матричным методом,решение матриц методом матричным,решение матриц методом матричным онлайн,решение матриц методом матричным онлайн с решением,решение матриц методом обратной матрицы,решение матриц онлайн матричным методом,решение матриц онлайн матричным методом с решением,решение матрицы матричным методом,решение матрицы метод обратной матрицы,решение матрицы методом обратной,решение матрицы методом обратной матрицы,решение матрицы онлайн матричным методом,решение матрицы с помощью обратной,решение матричным методом,решение матричным методом системы линейных уравнений,решение матричным способом,решение матричным способом систем уравнений,решение матричным способом системы уравнений,решение матричным способом слау,решение матричных систем,решение матричных систем уравнений,решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы,решение методом матричным,решение методом матричным онлайн,решение методом обратной матрицы,решение обратной матрицы методом,решение онлайн матриц методом обратной матрицы,решение онлайн матричным методом,решение онлайн матричным способом,решение онлайн систем линейных уравнений матричным методом,решение онлайн слау матричным методом,решение с помощью обратной матрицы,решение с помощью обратной матрицы системы,решение систем линейных уравнений матричным методом,решение систем линейных уравнений матричным методом онлайн,решение систем линейных уравнений матричным способом,решение систем линейных уравнений методом матричным методом,решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы,решение систем линейных уравнений онлайн матричным методом,решение систем линейных уравнений с помощью матриц,решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы,решение систем матричным методом,решение систем матричным способом,решение систем матричным способом онлайн,решение систем матричных уравнений,решение систем методом матричным,решение систем методом обратной матрицы,решение систем онлайн матричным способом,решение систем с помощью обратной матрицы,решение систем уравнений матричным методом,решение систем уравнений матричным методом онлайн с подробным решением,решение систем уравнений матричным способом,решение систем уравнений матричным способом онлайн,решение систем уравнений методом обратной матрицы,решение систем уравнений онлайн матричным методом,решение систем уравнений онлайн матричным способом,решение систем уравнений онлайн методом обратной матрицы,решение систем уравнений с помощью матриц,решение систем уравнений с помощью обратной матрицы,решение систем уравнений через матрицы,решение системы линейных уравнений матричным методом,решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы,решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы,решение системы матричным методом,решение системы матричным методом онлайн,решение системы матричным способом,решение системы матричным способом решение онлайн,решение системы методом матричным,решение системы методом матричным онлайн,решение системы методом обратной матрицы,решение системы онлайн матричным методом,решение системы с помощью обратной матрицы,решение системы уравнений матричным методом,решение системы уравнений матричным методом онлайн с решением,решение системы уравнений матричным способом,решение системы уравнений методом обратной матрицы,решение системы уравнений обратной матрицей,решение системы уравнений с помощью матрицы,решение системы уравнений с помощью матрицы обратной,решение системы уравнений с помощью обратной матрицы,решение слау матричным методом,решение слау матричным методом онлайн с решением,решение слау матричным способом,решение слау методом матричным,решение слау методом обратной матрицы,решение слау методом обратной матрицы онлайн,решение слау онлайн матричным методом,решение слау онлайн методом обратной матрицы,решение слау с помощью обратной матрицы,решение слу с помощью обратной матрицы,решение уравнение матрицы,решение уравнений матрица,решение уравнений матричным методом,решение уравнений матричным способом,решение уравнений методом обратной матрицы,решение уравнений с помощью матриц,решение уравнений с помощью матрицы,решение уравнений с помощью обратной матрицы,решение уравнения методом обратной матрицы,решите матричным способом систему уравнений,решить матрицы методом обратной матрицы,решить матричным методом,решить матричным методом матрицу,решить матричным методом систему,решить матричным методом систему линейных уравнений,решить матричным методом систему уравнений,решить матричным методом слау,решить матричным методом уравнение,решить матричным способом систему,решить матричным способом систему линейных уравнений,решить матричным способом систему уравнений,решить методом матричным,решить методом обратной матрицы,решить методом обратной матрицы слау,решить онлайн систему линейных уравнений матричным методом,решить онлайн систему методом матричным,решить с помощью обратной матрицы,решить с помощью обратной матрицы систему,решить с помощью обратной матрицы систему уравнений,решить систему линейных уравнений матричным методом,решить систему линейных уравнений матричным методом онлайн с решением,решить систему линейных уравнений матричным способом,решить систему линейных уравнений методом матричным,решить систему линейных уравнений методом матричным онлайн с решением,решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы,решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы,решить систему матричным методом,решить систему матричным способом,решить систему методом матричным,решить систему методом обратной матрицы,решить систему онлайн матричным методом,решить систему с помощью обратной матрицы,решить систему уравнений матричным методом,решить систему уравнений матричным способом,решить систему уравнений методом матричным,решить систему уравнений методом матричным онлайн с подробным решением,решить систему уравнений методом обратной матрицы,решить систему уравнений с помощью обратной матрицы,решить слау матричным методом,решить слау методом обратной матрицы,решить слау методом обратной матрицы онлайн,решить слау онлайн матричным методом,решить слау онлайн методом обратной матрицы,с помощью обратной матрицы,с помощью обратной матрицы решить систему,с помощью обратной матрицы решить систему линейных уравнений,с помощью обратной матрицы решить систему линейных уравнений онлайн,с помощью обратной матрицы решить систему уравнений,система линейных уравнений матричным методом,система линейных уравнений методом матричным,система уравнений матрица,система уравнений матричным методом,система уравнений онлайн матричным методом,системы линейных уравнений матрица,системы линейных уравнений матрицы,способы решения матриц,способы решения матрицы,средства матричного исчисления,уравнения матриц,формула матричного способа решения системы ax b имеет вид. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и записать систему в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, как решать методом обратной матрицы).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же записать систему в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы Онлайн?

Решить задачу записать систему в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Решение уравнений в Excel методом итераций Крамера и Гаусса

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

  1. Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
  2. Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
  3. После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».



Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

  1. Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
  2. Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
  3. Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
  4. Умножим обратную матрицу Ах-1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
  5. Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (Dx / |A|).

Для расчета Х1: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х2: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

  1. Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
  2. Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
  3. Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
  4. Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: {=B12:E12/D12}.
  5. В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки ({=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11}). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты ({=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10}). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

Хn+1 = Xn– F (Xn) / M, n = 0, 1, 2, … .

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х3 – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Скачать решения уравнений в Excel

Корень на заданном промежутке один.

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом — справочник студента

Матричный метод может применяться в решении систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных.

Другое условие применимости матричного метода — невырожденность матрицы коэффициентов при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы.

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

Систему линейных уравнений, при выполнении вышеназванных условий, можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы.

Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица обозначается символом .

Пусть нужно решить систему линейных уравнений:

Запишем эту систему уравнений в матричном виде:

Обозначим отдельно как A матрицу коэффициентов при неизвестных и как B матрицу неизвестных и матрицу свободных членов

Тогда

Узнай стоимость своей работы

Бесплатная оценка заказа!

То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных и приравнять соответствующие элементы полученных матриц.

Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем примере системы линейных уравнений второго порядка.

  • Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
  • Решение состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

  1. Матрица коэффициентов при неизвестных:
  2. Матрица неизвестных:
  3. Матрица свободных членов:
  4. Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:

По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.

Но сначала проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной, то есть можем ли вообще применять матричный метод:

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Итак, получили решение:

Сделаем проверку:

Следовательно, ответ правильный.

Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.

Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

  • Матрица коэффициентов при неизвестных:
  • Матрица неизвестных:
  • Матрица свободных членов:
  • Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:
  • .
  • Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.
  • Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:
  • .
  • Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:
  • Итак, получили решение:
  • .
  • Сделаем проверку:
  • Следовательно, ответ правильный.

Решить систему уравнений матричным методом самостоятельно, а затем посмотреть решение

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Всё по теме «Системы уравнений и неравенств»

Решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения Решение систем линейных уравнений методом Крамера Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Условие совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли Решение систем линейных уравнений матричным методом (обратной матрицы) Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

Источник: https://function-x.ru/systems_matrix_method.html

Матричный метод онлайн

Данный онлайн калькулятор решает систему линейных уравнений матричным методом. Дается очень подробное решение. Для решения системы линейных уравнений выберите количество переменных. Выбирайте метод вычисления обратной матрицы. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить».

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

(1)

Для решения системы линейных уравнений (1) матричным методом запишем ее матричном виде:

где

(3)

Мы будем предполагать, что матрица A имеет обратное, т.е. определитель матрицы A не равен нулю.

  • Умножим матричное уравнение (2) на обратную матрицу A−1. Тогда
  • Учитывая определение обратной матрицы, имеем A−1A=E, где E— единичная матрица. Следовательно (4) можно записать так:
  • или, учитывая, что Ex=x:
  • Таким образом, для решения системы линейных уравнений (1) (или (2)), достаточно умножить обратную к A матрицу на вектор ограничений b.
  • Пример 1. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

.

Найдем обратную к матрице A методом Жордана-Гаусса. С правой стороны матрицы A запишем единичную матрицу:

.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 1. Для этого заменяем местами строки 1 и 2:

.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/3,-1/3 соответственно:

.

Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 2. Для этого заменяем местами строки 2 и 3:

.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -24/51:

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строки 1, 2 со строкой 3, умноженной на 17/53, 85/159 соответственно:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше главной диагонали. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на -3/17:

Делим каждую строку матрицы на ведущий элемент соответствующей строки:

Отделяем правую часть матрицы. Полученная матрица является обратной матрицей к A :

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда

Ответ:

Пример 2. Решить следующую систему линейных уравнений матричным методом:

Матричный вид записи системы линейных уравнений: Ax=b, где

Найдем обратную к матрице A методом алгебраических дополнений. Вычислим определитель матрицы A :

Вычислим все алгебраические дополнения матрицы A:

Обратная матрица вычисляется из следующего выражения:

где Aij − алгебраическое дополнение элемента матрицы A, находящиеся на пересечении i-ой строки и j-ого столбца, а Δ − определитель матрицы A.

Используя формулу обратной матрицы, получим:

Обратная матрица найдена. Решение системы линейных уравнений имеет вид x=A−1b. Тогда

Ответ:

Источник: https://matworld.ru/calculator/matrix-method-online.php

Глава 4. Матрицы и дифференциальные уравнения

где – постоянный коэффициент; – непрерывная функция времени, определенная на некотором интервале . Решением уравнения является функция , подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. При уравнение называется однородным и его общее решение выражается как , где – произвольная постоянная. Общее решение исходного неоднородного уравнения ( ) выражается формулой


.

Это решение представляет собой сумму общего решения однородного и частного решения неоднородного дифференциальных уравнений. Оно удовлетворяет начальному условию при , т. е.

  • .
  • Переходя к системам дифференциальных уравнений, рассмотрим их представление в нормальной форме:
  • ,
  • к которой, как известно, можно привести любую систему линейных дифференциальных уравнений. В матричной записи эта система представляется одним уравнением
  • ,
  • где – вектор (столбец) неизвестных функций ; – вектор (столбец) задающих функций и – квадратная матрица постоянных коэффициентов :
  • ; ; .

Задачу об отыскании решения системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным значениям скаляра и вектора , называют задачей Коши. По аналогии с дифференциальным уравнением первого порядка можно записать искомое решение для вектора неизвестных функций в виде: .

Необходимо установить допустимость такого представления решения, а также выяснить смысл и способы определения входящей в него матрицы .

В матричной форме нормальная однородная система дифференциальных уравнений ( ) имеет вид: . Будем искать ее решение в виде где вектор (столбец) произвольных постоянных. Подставляя в исходное уравнение, получаем или после сокращения на скаляр и перенесения в левую часть равенства: .

Заметим, что сокращать на вектор нельзя, так как операция деления на вектор в общем случае не имеет смысла. Вынося за скобки вектор , необходимо умножить предварительно на единичную матрицу . Уравнение имеет нетривиальные решения при условии, что определитель матрицы обращается в нуль, т. е.

или

.

Так как порядок матрицы равен , то является многочленом -й степени относительно , т. е. . Корни уравнения (нули многочлена ), число которых равно , дадут значения при которых исходная система имеет нетривиальные решения.

Рассмотрим наиболее простой случай, когда все корни уравнения простые (попарно различные). Тогда при имеем однородное уравнение , из которого можно определить вектор .Таким образом, решение нормальной системы дифференциальных уравнений, соответствующее корню , будет .

Всего получим таких решений, соответствующих корням .

Для любой квадратной матрицы по установившейся терминологии называется характеристической матрицей, а – характеристическим уравнением. Корни уравнения называются собственными значениями (характеристическими числами), а векторы собственными векторами матрицы . Совокупность собственных значений называется спектром матрицы .

  1. Множество всех решений однородной системы дифференциальных уравнений образует -мерное линейное пространство с базисом . Общее решение имеет следующий вид:
  2. .
  3. Это выражение может быть представлено в матричной форме
  4. .
  5. В свою очередь матрица выражается следующим образом
  6. .
  7. Здесь через обозначена матрица -го порядка, называемая модальной и состоящая из столбцов , а элементами диагональной матрицы являются экспоненциальные функции .

Итак, решение нормальной однородной системы линейных дифференциальных уравнений представляется в виде .

При матрица равна единичной матрице, следовательно, начальное условие , откуда . Подставляя это значение в общее решение, получаем . Матрица -го порядка называется фундаментальной матрицей. Ее вычисление сводится к определению собственных значений и собственных векторов матрицы системы дифференциальных уравнений.

  • Рассмотрим в качестве примера однородную систему дифференциальных уравнений:
  • .
  • Для этой системы
  • ; .
  • Поскольку для вычисления необходимы алгебраические дополнения какой-либо строки матрицы , то определитель этой матрицы удобно получать разложением по элементам той же строки.
  • Алгебраические дополнения элементов первой строки:
  • ;
  • ;
  • .
  • Характеристический многочлен и собственные значения:
  • ;
  • ; ; .
  • Собственные векторы : ; ; .
  • Принимая (эти значения произвольны и выбираются по соображениям удобства), получаем модальную матрицу, а также обратную к ней:
  • ;
  • Фундаментальная матрица
  • ,
  • что после перемножения матриц приводит к следующему результату
  • .
  • Таким образом, в соответствии с соотношением общее решение рассматриваемой однородной системы дифференциальных уравнений:
  • ,
  • где элементы вектора , равные начальным значениям соответствующих переменных при .
  • Выясним характер фундаментальной матрицы . Подставляя решение в однородное дифференциальное уравнение , получаем тождества:
  • ; .

Так как в этих тождествах – вектор начальных значений не зависящий от времени, то , т. е. – это такая матрица, производная которой по времени равна произведению матрицы на саму матрицу. Аналогичными свойствами обладает единственная скалярная функция , поэтому по аналогии можно записать следующие соотношения:

  1. .
  2. Через экспоненциальную функцию выражаются также другие функции от матриц:
  3. Следует иметь в виду, что , а соотношение имеет смысл только в случаях, когда и – перестановочные матрицы.
  4. Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений может быть записано в матричной форме , где – векторная функция времени, подлежащая определению. Подставляя выражение для и ее производной в исходное уравнение, имеем:
  5. или после очевидных упрощений
  6. .
  7. При начальных условиях начальное значение искомой функции . Интегрированием получаем
  8. .
  9. Используя это выражение, находим решение неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальному условию :
  10. ,

которое называется формулой Коши. Его можно рассматривать как сумму решения соответствующего однородного уравнения (при ) и решения неоднородного уравнения при нулевых начальных условиях ( ).

  • Пусть дана неоднородная система дифференциальных уравнений в нормальной форме:
  • .
  • Для этой системы:
  • ; ; ;
  • ;
  • .
  • Полагая для удобства , находим модальную матрицу и обратную к ней матрицу :
  • ,
  • после чего определяется фундаментальная матрица:
  • .
  • Решение задачи Коши для однородной системы:
  • .
  • Найдем интеграл в выражении для частного решения неоднородной системы при :
  • Частное решение неоднородной системы:
  • .
  • Таким образом, решение неоднородной системы, удовлетворяющей начальным условиям , запишется следующим образом:
  • .
  • Контрольные вопросы к лекции 12

12-1. Как записывается система уравнений в матричном виде?

12-2. Как решается матричное уравнение ?

12-3. Что представляет собой определитель матрицы?

12-4. Как вычисляется определитель второго порядка?

12-5. Как вычисляется определитель третьего порядка?

12-6. В чем состоит свойство антисимметрии определителя?

12-7. В каком случае определитель равен нулю?

12-8. Как изменяется определитель матрицы -го порядка при умножении ее на скаляр?

12-9. Как вычисляется алгебраическое дополнение?

12-10. Как вычисляется обратная матрица?

12-11. Опишите алгоритм вычисления обратной матрицы методом исключения.

12-12. Какие матрицы называются особенными?

12-13. Для каких матриц существуют обратные матрицы?

12-14. Какая матрица называется инволютивной?

12-15. Что называется рангом матрицы?

12-16. Что называется дефектом матрицы?

12-17. Какая система уравнений называется совместной?

12-18. В чем состоит суть теоремы Кронекера – Капелли?

12-19. Какая система уравнений называется неопределенной?

12-20. Опишите алгоритм Гаусса для решения неоднородных систем линейных уравнений -го порядка?

12-21. Опишите алгоритм Гаусса – Жордана для решения неоднородных систем линейных уравнений -го порядка?

12-22. Какая система уравнений называется однородной?

12-23. Как определяется характеристическая матрица для квадратной матрицы ?

12-24. Как определяется характеристическое уравнение?

12-25. Что называется характеристическими числами квадратной матрицы ?

12-26. Что называется спектром квадратной матрицы ?

12-27. Какая матрица называется модальной?

12-28. Какая матрица называется фундаментальной?

12-29. Что представляет собой решение неоднородного дифференциального уравнения в форме Коши?

Дата добавления: 2016-09-06; просмотров: 5982;

Источник: https://poznayka.org/s59823t1.html

Исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей (стр. 1 из 3)

  • Содержание
  • 1. Введение
  • 2. Постановка задачи

3. Нахождение собственных чисел и построение ФСР

6. Построение общего решения матричным методом

7. Задача Коши для матричного метода

8. Решение неоднородной системы

Графики

Заключение

1. Введение

Рассмотрим систему линейных уравнений первого порядка, записанную в нормальной форме:

(1)

где коэффициенты аij, i=1,2,…..,n, к=1,2,…,n, являются постоянными величинами;

  1. yi=yi(t), i=1,2,…,n — неизвестные функции переменной t.
  2. Если все bi(t) (i=1,2,…,n) положить равным нулю (bi(t)=0), то получится однородная система, соответствующая неоднородной системе (1).
  3. Обозначая матрицу системы через А(х), а вектор

через тогда систему (1) можем переписать в матричной форме (1а)

  • Если
  • Всякая совокупность n функций
  • определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a;b), называется решением системы (1) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (1) в тождества:

, то получаем соответствующую систему однородных уравнений . (2)

справедливые при всех значениях x из интервала (a, b). Общее решение неоднородной системы представляет собой сумму общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной.

2. Постановка задачи

Цель работы: исследование методов решения системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей:

; ;

1. Найти собственные числа и построить фундаментальную систему решений (ФСР).

2. Построить фундаментальную матрицу методом Эйлера.

3. Найти приближенное решение в виде матричного ряда.

4. Построить общее решение матричным методом. Исследовать зависимость Жордановой формы матрицы А от ее собственных чисел.

5. Решить задачу Коши.

  1. Начальные условия:
  2. Вектор начальных условий: [1, 2, 3, 4]
  3. t = 0

Однородной линейной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида:

(3)

Если в матрице системы

все =const, то данная система называется системой с постоянными коэффициентами или с постоянной матрицей.

Фундаментальной системой решений однородной линейной системы уравнений называется базис линейного пространства решений a, т.е. n линейно независимых решений этой системы.

Для построения фундаментальной системы решений дифференциального уравнения необходимо найти собственные числа характеристического полинома, так как в зависимости от их вида (характеристические числа могут быть действительными разными, кратными, комплексными) строится фундаментальная система решений.

Для того чтобы эта система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (вронскиан) был равен нулю:

(4)

Из этого уравнения степени n определяется значение k, при которых система имеет нетривиальные решения. Уравнение (4) называется характеристическим.

Запишем характеристический полином, для этого воспользуемся функцией CHARPOLY

  • Для нахождения собственных чисел воспользуемся функцией SOLVE(U, l), которая возвращает характеристические числа матрицы А в вектор l. Получим:
  • Получилось два действительно корня
  • Матрицу y(x), столбцами которой являются решения, образующие фундаментальную систему, называют фундаментальной матрицей.
  • И общее решение системы будет выглядеть следующим образом:
  • Найдем решение данной системы с помощью метода Эйлера.

и два комплексно-сопряженных корня . Следовательно, вектора, образующие фундаментальную матрицу, для данного типа корней будут находиться отдельно для и отдельно для . Запишем ФСР для данных для полученных характеристических чисел:

4. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера

  1. Метод Эйлера заключается в следующем.
  2. Решение системы (1) находится в виде:
  3. Функция (5) является решением системы (1), если

(5) – собственное значение матрицы А, а а – собственный вектор этой матрицы, соответствующей числу .

Если собственные значения 1, 2, … , n матрицы А попарно различны и a1, a2, …, anсоответствующие собственные векторы этой матрицы, то общее решение системы уравнений (1) определяется формулой :

  • где С1, С2, … , Сn – произвольные числа.
  • Для случая кратных корней решение системы принимает вид

(6)

где Pi(x)-полиномы степени не выше, чем (к-1), имеющих в совокупности к произвольных коэффициентов. Так что среди коэффициентов этих полиномов к коэффициентов являются произвольными, а оставшиеся к·n-k выражаются через них.

Для отыскания коэффициентов полиномов подставим решение (6) в исходную систему уравнений, приравняем коэффициенты при одинаковых функциях. Решим систему по отношению к (k·n-k) коэффициентов. Получим выражение всех коэффициентов через свободные.

  1. Если для кратного собственного значения
  2. Если для собственного значения
  3. Чтобы найти векторы
  4. Для данного задания были найдены следующие собственные значения:
  5. Построили фундаментальную систему решений:
  6. Найдем 1 строку фундаментальной матрицы решений для характеристического числа

матрицы А имеется столько линейно независимых собственных векторов , какова его кратность, то ему соответствует k независимых решений исходной системы: кратности k имеется только m (m

Источник: https://mirznanii.com/a/313656/issledovanie-metodov-resheniya-sistemy-differentsialnykh-uravneniy-s-postoyannoy-matritsey

Решение систем линейных уравнений с использованием матриц

Привет! Эта страница будет иметь смысл только тогда, когда вы немного знаете о системах линейных уравнений и матриц, поэтому, пожалуйста, пойдите и узнайте о них, если вы их еще не знаете!

Пример

Одним из последних примеров систем линейных уравнений был этот:

Пример: Решить

  • х + у + г = 6
  • 2y + 5z = −4
  • 2x + 5y — z = 27

Затем мы решили его, используя метод «исключения»… но мы можем решить это с помощью Матриц!

Использование матриц упрощает жизнь, потому что мы можем использовать компьютерную программу (например, Матричный калькулятор), чтобы выполнять всю «обработку чисел».

Но сначала нам нужно написать вопрос в матричной форме.

в матричной форме?

ОК. Матрица — это массив чисел, верно?

Матрица

Ну, подумайте об уравнениях:

х + л + z = 6
2 года + 5z = −4
2x + 5лет z = 27

Их можно было бы превратить в таблицу чисел вот так:

1 1 1 = 6
0 2 5 = −4
2 5 -1 = 27

Мы могли бы даже разделить числа до и после «=» на:

1 1 1 6
0 2 5 и −4
2 5 -1 27

Теперь похоже, что у нас есть 2 матрицы.

На самом деле у нас есть третий, это [x y z]:

Почему [x y z] идет туда? Потому что, когда мы умножаем матрицы, левая часть становится:

Это исходная левая часть приведенных выше уравнений (вы можете это проверить).

Матричное решение

Мы можем написать это:

как это:

AX = B

где

  • A — это матрица 3×3 коэффициентов x, y и z
  • X — это x, y и z, и
  • .

  • B — это 6, −4 и 27

Тогда (как показано на странице инверсии матрицы) решение таково:

X = A -1 B

Что это значит?

Это означает, что мы можем найти значения x, y и z (матрица X), умножив , инверсную матрицу A , на матрицу B .

Итак, давайте продолжим и сделаем это.

Во-первых, нам нужно найти , обратную матрице A (при условии, что она существует!)

Используя Матричный калькулятор, получаем:

(определитель 1 / я оставил за пределами матрицы, чтобы числа упростить)

Затем умножьте A -1 на B (мы снова можем использовать Матричный калькулятор):

И готово! Решение:

x = 5,
y = 3,
z = −2

Как и на странице Системы линейных уравнений.

Довольно изящный и элегантный, человек думает, а компьютер производит вычисления.

Просто для развлечения … Сделай это снова!

Для удовольствия (и для того, чтобы помочь вам учиться), давайте проделаем все это снова, но сначала поставим матрицу «X».

Я хочу показать вам этот путь, потому что многие люди думают, что решение, приведенное выше, настолько изящно, что это, должно быть, единственный способ.

Так что решим так:

XA = B

И из-за способа умножения матриц нам нужно настроить матрицы по-другому.Строки и столбцы необходимо поменять местами («транспонировать»):

И XA = B выглядит так:

Матричное решение

Тогда (также показано на странице инверсии матрицы) решение следующее:

X = BA -1

Это то, что мы получаем для A -1 :

Фактически, это то же самое, что и обратное, которое мы получили раньше, но транспонированное (строки и столбцы меняются местами).

Затем умножаем B на A -1 :

И решение то же:

x = 5, y = 3 и z = −2

Это выглядело не так красиво, как предыдущее решение, но оно показывает нам, что существует более одного способа составления и решения матричных уравнений.Только будьте осторожны со строками и столбцами!

Обращение матрицы

Пожалуйста, прочтите сначала наше Введение в матрицы.

Что такое обратная матрица?

Это обратное число :

Взаимное значение числа

Матрица , обратная матрице — это та же идея , но мы записываем ее A -1

Почему не 1 / A ? Потому что мы не делим по матрице! Да и вообще 1 / 8 тоже можно написать 8 -1

И есть другие сходства:

Когда мы умножаем число на его , обратное , мы получаем 1

Когда мы умножаем матрицу на ее инверсную матрицу , мы получаем Матрицу идентичности (которая похожа на «1» для матриц):

То же самое, когда сначала идет обратное:

Идентификационная матрица

Мы только что упомянули «Матрицу идентичности».Это матричный эквивалент числа «1»:

.

Матрица идентификации 3×3

  • Это «квадрат» (в нем столько же строк, что и столбцов),
  • Он имеет 1 с по диагонали и 0 с по всей остальной части.
  • Его символ — заглавная буква I .

Матрица идентичности может иметь размер 2 × 2 или 3 × 3, 4 × 4 и т. Д.

Определение

Вот определение:

Аргумент A равен A -1 , только если:

A × A -1 = A -1 × A = I

Иногда обратного нет вообще.

Матрица 2×2

Хорошо, как рассчитать обратное?

Ну, для матрицы 2×2 обратное значение:

Другими словами: меняет местами позиции a и d, помещает негативов перед b и c, и делит все на определитель (ad-bc).

Давайте попробуем пример:

Как мы узнаем, что это правильный ответ?

Помните, что должно быть правдой следующее: A × A -1 = I

Итак, давайте посмотрим, что произойдет, если мы умножим матрицу на ее обратную:

И, привет !, мы получили Матрицу идентичности! Так что это должно быть правильно.

Должно быть также верно, что: A -1 × A = I

Почему бы вам не попробовать их умножить? Посмотрите, получите ли вы также Identity Matrix:

Зачем нужен инверс?

Потому что с матрицами мы не делим ! А если серьезно, то нет понятия деления матрицей.

Но мы можем умножить на обратное , что даст то же самое.

Представьте, что мы не можем делить на числа…

… и кто-то спрашивает «Как мне поделиться 10 яблоками с 2 людьми?»

Но мы можем взять , обратное к 2 (что составляет 0,5), поэтому мы ответим:

10 × 0,5 = 5

Они получают по 5 яблок.

То же самое можно сделать и с матрицами:

Допустим, мы хотим найти матрицу X, и мы знаем матрицы A и B:

XA = B

Было бы неплохо разделить обе стороны на A (чтобы получить X = B / A), но помните, что мы не можем разделить .

Но что, если мы умножим обе стороны на A -1 ?

XAA -1 = BA -1

И мы знаем, что AA -1 = I, поэтому:

XI = BA -1

Мы можем удалить I (по той же причине мы можем удалить «1» из 1x = ab для чисел):

X = BA -1

И у нас есть ответ (при условии, что мы можем вычислить A -1 )

В этом примере мы очень внимательно следили за правильностью умножения, потому что в случае с матрицами порядок умножения имеет значение.AB почти никогда не совпадает с BA.

Пример из реальной жизни: автобус и поезд

Группа поехала на автобусе по цене 3 доллара за ребенка и 3,20 доллара за взрослого на общую сумму 118,40 доллара.

Они вернулись на поезд по цене 3,50 доллара на ребенка и 3,60 доллара на взрослого, итого 135,20 доллара.

Сколько детей и сколько взрослых?

Во-первых, давайте настроим матрицы (будьте осторожны, чтобы строки и столбцы были правильными!):

Это как в примере выше:

XA = B

Итак, чтобы решить эту проблему, нам нужна обратная величина к «A»:

Теперь у нас есть обратное, которое мы можем решить с помощью:

X = BA -1

Было 16 детей и 22 взрослых!

Ответ кажется почти волшебным.Но он основан на хорошей математике.

Подобные вычисления (но с использованием гораздо больших матриц) помогают инженерам проектировать здания, используются в видеоиграх и компьютерной анимации, чтобы вещи выглядели трехмерными, и во многих других местах.

Это также способ решения систем линейных уравнений.

Расчеты производятся компьютером, но люди должны понимать формулы.

Порядок важен

Скажем, в данном случае мы пытаемся найти «X»:

AX = B

Это отличается от приведенного выше примера! X теперь после A.

Для матриц порядок умножения обычно меняет ответ. Не предполагайте, что AB = BA, это почти никогда не верно.

Так как же решить эту проблему? Используя тот же метод, но впереди поставьте A -1 :

A -1 AX = A -1 B

И мы знаем, что A -1 A = I, поэтому:

IX = A -1 B

Мы можем удалить I:

X = A -1 B

И у нас есть ответ (при условии, что мы можем вычислить A -1 )

Почему бы нам не попробовать наш пример с автобусом и поездом, но с данными, настроенными таким образом.

Это можно сделать таким образом, но мы должны быть осторожны при настройке.

Вот как это выглядит как AX = B:

Выглядит так аккуратно! Я думаю, что предпочитаю это так.

Также обратите внимание, как строки и столбцы меняются местами в
(«транспонировано»)
по сравнению с предыдущим примером.

Чтобы решить эту проблему, нам понадобится обратное к «А»:

Это похоже на обратное, которое мы получили раньше, но
транспонировано (строки и столбцы меняются местами).

Теперь мы можем решить, используя:

X = A -1 B

Тот же ответ: 16 детей и 22 взрослых.

Итак, матрицы — это мощная вещь, но их нужно правильно настраивать!

Обратное может не существовать

Во-первых, для инверсии матрица должна быть «квадратной» (то же количество строк и столбцов).

Но также определитель не может быть нулем (или мы закончим делением на ноль). Как насчет этого:

24-24? Это равно 0, а 1/0 не определено .
Мы не можем идти дальше!
У этой Матрицы нет Инверсии.

Такая матрица называется «сингулярной», что происходит только тогда, когда определитель равен нулю.

И это имеет смысл … посмотрите на числа: вторая строка просто удваивает первую строку, и не добавляет никакой новой информации .

И определитель сообщает нам об этом факте.

(Представьте, что в нашем примере с автобусом и поездом цены на поезд были ровно на 50% выше, чем на автобусе: так что теперь мы не можем найти никаких различий между взрослыми и детьми.Должно быть что-то, что их отличало бы.)

Большие матрицы

Обратный к 2×2 равен easy … по сравнению с более крупными матрицами (такими как 3×3, 4×4 и т. Д.).

Для этих больших матриц есть три основных метода вычисления обратного:

Заключение

  • Аргумент A равен A -1 , только если A × A -1 = A -1 × A = I
  • Чтобы найти обратную матрицу 2×2: поменять местами позиции a и d, поставить негативов перед b и c и разделить все на определитель (ad-bc).
  • Иногда обратного нет вообще

Использование матриц для решения систем уравнений

Матричные уравнения

Матрицы

могут использоваться для компактного написания и работы с системами множественных линейных уравнений.

Цели обучения

Определить, как матрицы могут представлять систему уравнений

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Если [latex] A [/ latex] является матрицей [latex] m \ times n [/ latex], а [latex] x [/ latex] обозначает вектор-столбец (т.е.е. [латекс] n \ умножить на 1 [/ latex] матрицу) [latex] n [/ latex] переменных [latex] x_1, x_2,…, x_n [/ latex], а [latex] b [/ latex] — это [ latex] m \ times 1 [/ latex] вектор-столбец, тогда матричное уравнение будет: [latex] Ax = b [/ latex].
Ключевые термины
  • матрица : прямоугольное расположение чисел или членов, имеющее различное применение, например преобразование координат в геометрии, решение систем линейных уравнений в линейной алгебре и представление графиков в теории графов.

Матрицы можно использовать для компактного написания и работы с системами уравнений.Как мы узнали в предыдущих разделах, матрицами можно манипулировать так же, как и нормальным уравнением. Это очень полезно, когда мы начинаем работать с системами уравнений. Полезно понять, как организовать матрицы для решения этих систем.

Написание системы уравнений с матрицами

Можно решить эту систему, используя метод исключения или замены, но также можно сделать это с помощью матричной операции. Прежде чем приступить к настройке матриц, важно сделать следующее:

  • Убедитесь, что все уравнения написаны одинаково, то есть переменные должны быть в одном порядке.
  • Убедитесь, что одна часть уравнения — это только переменные и их коэффициенты, а другая сторона — просто константы.

Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы требует определения двух новых матриц: [latex] X [/ latex] — это матрица, представляющая переменные системы, а [latex] B [/ latex] — матрица, представляющая константы. Используя умножение матриц, мы можем определить систему уравнений с таким же количеством уравнений в качестве переменных, как:

[латекс] \ displaystyle A \ cdot X = B [/ латекс]

Чтобы решить систему линейных уравнений с использованием обратной матрицы, пусть [latex] A [/ latex] будет матрицей коэффициентов, пусть [latex] X [/ latex] будет переменной матрицей, и пусть [latex] B [/ latex ] — постоянная матрица.

Учитывая систему:

[латекс] \ displaystyle \ begin {align} x + 8y & = 7 \\ 2x-8y & = — 3 \ end {align} [/ latex]

Матрица коэффициентов:

[латекс] A = \ begin {bmatrix} 1 & 8 \\ 2 & -8 \ end {bmatrix} [/ latex]

Матрица переменных:

[латекс] \ displaystyle X = \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} [/ latex]

Постоянная матрица:

[латекс] \ displaystyle B = \ begin {bmatrix} 7 \\ -3 \ end {bmatrix} [/ latex]

Таким образом, чтобы решить систему [latex] AX = B [/ latex], для [latex] X [/ latex] умножьте обе стороны на обратную величину [latex] A [/ latex], и мы получим решение:

[латекс] \ Displaystyle X = (A ^ {- 1}) B [/ латекс]

Если существует обратный [латекс] \ left (A ^ {- 1} \ right) [/ latex], эта формула решит систему.

Если матрица коэффициентов необратима, система может быть несовместимой и не иметь решения, или быть зависимой и иметь бесконечно много решений.

Матрицы и операции со строками

Две матрицы эквивалентны строкам, если одна может быть заменена другой последовательностью элементарных операций со строками.

Цели обучения

Объясните, как использовать операции со строками и почему они создают эквивалентные матрицы

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Элементарная операция со строкой — это любое из следующих действий: переключение строк (перестановка двух строк матрицы), умножение строк (умножение строки матрицы на ненулевую константу) или сложение строк (добавление к одной строке матрицы до некоторого числа, кратного другой строке).
  • Если строки матрицы представляют систему линейных уравнений, то пространство строк состоит из всех линейных уравнений, которые могут быть выведены алгебраически из уравнений системы.
Ключевые термины
  • пространство строки : набор всех возможных линейных комбинаций его векторов-строк.
  • эквивалент строки : В линейной алгебре, когда одна матрица может быть заменена другой последовательностью элементарных операций со строками.

Элементарные операции со строками (ERO)

В линейной алгебре две матрицы эквивалентны строкам, если одна может быть заменена другой последовательностью элементарных операций со строками.В качестве альтернативы, две матрицы [latex] m \ times n [/ latex] эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое пространство строк. Пространство строки матрицы представляет собой набор всех возможных линейных комбинаций ее векторов-строк. Если строки матрицы представляют собой систему линейных уравнений, то пространство строк состоит из всех линейных уравнений, которые могут быть выведены алгебраически из уравнений системы. Две матрицы одинакового размера эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда соответствующие однородные системы имеют одинаковый набор решений или, что эквивалентно, матрицы имеют одно и то же нулевое пространство.Поскольку элементарные операции со строками обратимы, эквивалентность строк является отношением эквивалентности. Обычно обозначается тильдой (~).

Операция элементарной строки — это любой из следующих трех ходов:

  1. Переключение строк (перестановка): поменять местами две строки матрицы.
  2. Умножение строк (масштаб): умножение строки матрицы на ненулевую константу.
  3. Сложение строк (сводная): прибавить к одной строке матрицы несколько значений, кратных другой строке.

Создание эквивалентных матриц с использованием элементарных операций со строками

Поскольку матрица по существу является коэффициентами и константами линейной системы, три операции со строками сохраняют матрицу.Например, замена двух строк просто означает изменение их положения в матрице. Кроме того, при решении системы линейных уравнений методом исключения, умножение строк будет таким же, как умножение всего уравнения на число для получения аддитивных обратных величин, так что переменная сокращается. Наконец, добавление строк аналогично методу исключения, когда для получения переменной выбирается сложение или вычитание одинаковых членов уравнений. Следовательно, операции со строками сохраняют матрицу и могут использоваться как альтернативный метод для решения системы уравнений.

Пример 1: Покажите, что эти две матрицы эквивалентны строкам:

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \ end {pmatrix} \ quad B = \ begin {pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \ end {pmatrix} [/ латекс]

Начните с [latex] A [/ latex], добавьте вторую строку к первой:

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \ end {pmatrix} [/ latex]

Затем умножьте вторую строку на 3 и вычтите первую строку из второй:

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \ end {pmatrix} [/ latex]

Наконец, вычтите первую строку из второй:

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \ end {pmatrix} [/ latex]

Вы можете видеть, что [latex] A = B [/ latex], что мы достигли с помощью серии элементарных операций со строками.

Сокращение строк: решение системы линейных уравнений

В редукторе рядов, линейная система:

[латекс] \ displaystyle x + 3y-2z = 5 \\ 3x + 5y + 6z = 7 \ 2x + 4y + 3z = 8 [/ latex]

Представлен в виде расширенной матрицы:

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 1 & 3 & -2 & 5 \\ 3 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 3 & 8 \ end {pmatrix} [/ latex]

Затем эта матрица модифицируется с помощью операций с элементарными строками, пока не достигнет уменьшенной формы эшелона строк.

Поскольку эти операции обратимы, полученная расширенная матрица всегда представляет собой линейную систему, эквивалентную исходной.

Существует несколько специальных алгоритмов сокращения строк расширенной матрицы, простейшими из которых являются исключение Гаусса и исключение Гаусса-Жордана. Это вычисление может быть выполнено вручную (с использованием трех типов ERO) или на калькуляторе с использованием матричной функции «rref» (сокращенная форма эшелона строк).

Окончательная матрица представлена ​​в виде уменьшенного ряда строк и представляет систему [латекс] x = -15 [/ latex], [latex] y = 8 [/ latex] [latex] z = 2 [/ latex].

[латекс] \ displaystyle A = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -15 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \ end {pmatrix} [/ latex]

Упрощение матриц с помощью операций со строками

Используя элементарные операции, метод исключения Гаусса приводит матрицы к форме эшелона строк.

Цели обучения

Используйте операции с элементарными строками, чтобы представить матрицу в упрощенном виде

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Поскольку элементарные операции со строками сохраняют пространство строк матрицы, пространство строк формы эшелона строк такое же, как и у исходной матрицы.
  • Существует три типа операций с элементарными строками: меняют местами две строки, умножают строку на ненулевой скаляр и добавляют к одной строке скалярное значение, кратное другой.
  • На практике обычно не рассматривают системы в терминах уравнений, а вместо этого используют расширенную матрицу (которая также подходит для компьютерных манипуляций).
Ключевые термины
  • Расширенная матрица : Матрица, полученная путем добавления столбцов двух заданных матриц, обычно с целью выполнения одних и тех же элементарных операций со строками для каждой из данных матриц.

С помощью конечной последовательности элементарных операций со строками, называемых исключением по Гауссу, любую матрицу можно преобразовать в форму эшелона строк. Это преобразование необходимо для решения системы линейных уравнений.

Прежде чем углубляться в детали, следует упомянуть несколько ключевых терминов:

  • Расширенная матрица : расширенная матрица — это матрица, полученная путем добавления столбцов двух заданных матриц, обычно с целью выполнения одних и тех же операций с элементарной строкой для каждой из данных матриц.
  • Форма верхнего треугольника : Квадратная матрица называется верхней треугольной, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Треугольная матрица — это нижнетреугольная или верхнетреугольная матрица. Матрица, имеющая одновременно верхний и нижний треугольники, является диагональной матрицей.
  • Элементарные операции со строками : Поменять местами строки, добавить строки или умножить строки.

Исключение по Гауссу

  1. Напишите расширенную матрицу для линейных уравнений.
  2. Используйте элементарные операции со строками в расширенной матрице [latex] [A | b] [/ latex], чтобы преобразовать [latex] A [/ latex] в форму верхнего треугольника. Если на диагонали находится ноль, переключайте строки, пока на его месте не окажется ненулевое значение.
  3. Используйте обратную замену, чтобы найти решение.

Пример 1: Решите систему методом исключения Гаусса:

[латекс] \ displaystyle 2x + y-z = 8 \\ -3x-y + 2z = -11 \ -2x + y + 2z = -3 [/ latex]

Запишите расширенную матрицу:

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr | r} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3 \ end {array} \ right] [/ latex]

Используйте элементарные операции со строками, чтобы уменьшить матрицу до уменьшенной формы эшелона строк:

[латекс] \ left [\ begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \ end {array} \ right ] [/ латекс]

Используя элементарные операции со строками для получения сокращенной формы эшелона строк (‘rref’ в калькуляторе), решение системы отображается в последнем столбце: [latex] x = 2, y = 3, z = -1 [/ latex] .

4.6: Решение систем уравнений с помощью матриц

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Запишите расширенную матрицу для системы уравнений
  • Использовать операции со строками в матрице
  • Решать системы уравнений с помощью матриц

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

  1. Решите: \ (3 (x + 2) + 4 = 4 (2x − 1) +9 \).
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка] .2 \).
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка] .

Напишите расширенную матрицу для системы уравнений

Решение системы уравнений может быть утомительной операцией, когда простая ошибка может нанести ущерб поиску решения. Доступен альтернативный метод, использующий основные процедуры исключения, но с более простой нотацией. Метод предполагает использование матрицы . Матрица — это прямоугольный массив чисел, упорядоченный по строкам и столбцам.

МАТРИЦА

Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, упорядоченных по строкам и столбцам.

Матрица с m строками и n столбцами имеет порядок \ (m \ times n \). Матрица слева внизу имеет 2 строки и 3 столбца, поэтому она имеет порядок \ (2 \ times 3 \). Мы говорим, что это матрица 2 на 3.

Каждое число в матрице называется элементом или записью в матрице.

Мы будем использовать матрицу для представления системы линейных уравнений.Мы записываем каждое уравнение в стандартной форме, и коэффициенты переменных и константа каждого уравнения становятся строкой в ​​матрице. Тогда каждый столбец будет коэффициентами одной из переменных в системе или констант. Вертикальная линия заменяет знаки равенства. Полученную матрицу назовем расширенной матрицей системы уравнений.

Обратите внимание, что первый столбец состоит из всех коэффициентов x , второй столбец — это все коэффициенты y , а третий столбец — все константы.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 5x − 3y = −1 \\ y = 2x − 2 \ end {array} \ right. \) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array } {l} 6x − 5y + 2z = 3 \\ 2x + y − 4z = 5 \\ 3x − 3y + z = −1 \ end {array} \ right. \)

Ответ

ⓐ Второе уравнение не имеет стандартной формы. Перепишем второе уравнение в стандартном виде.

\ [\ начало {выровнено} y = 2x − 2 \\ −2x + y = −2 \ end {выровнено} \ nonumber \]

Заменим второе уравнение на его стандартную форму.В расширенной матрице первое уравнение дает нам первую строку, а второе уравнение дает нам вторую строку. Вертикальная линия заменяет знаки равенства.

ⓑ Все три уравнения имеют стандартную форму. В расширенной матрице первое уравнение дает нам первую строку, второе уравнение дает нам вторую строку, а третье уравнение дает нам третью строку. Вертикальная линия заменяет знаки равенства.

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы:

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 8y = −3 \\ 2x = −5y − 3 \ end {array} \ right.\) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x − 5y + 3z = 8 \\ 3x − y + 4z = 7 \\ x + 3y + 2z = −3 \ end {array} \ right . \)

Ответ

ⓐ \ (\ left [\ begin {matrix} 3 & 8 & -3 \\ 2 & 5 & −3 \ end {matrix} \ right] \)

ⓑ \ (\ left [\ begin {matrix} 2 & 3 & 1 & −5 \\ ​​−1 & 3 & 3 & 3 & 4 \\ 2 & 8 & 7 & −3 \ end {matrix} \ right] \)

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы:

ⓐ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 11x = −9y − 5 \\ 7x + 5y = −1 \ end {array} \ right.\) Ⓑ \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 5x − 3y + 2z = −5 \\ ​​2x − y − z = 4 \\ 3x − 2y + 2z = −7 \ end {array} \ вправо. \)

Ответ

ⓐ \ (\ left [\ begin {matrix} 11 & 9 & −5 \\ ​​7 & 5 & −1 \ end {matrix} \ right] \)
ⓑ \ (\ left [\ begin {matrix} 5 & −3 & 2 & −5 \\ ​​2 & −1 & −1 & 4 \\ 3 & −2 & 2 & −7 \ end {matrix} \ right] \)

Это важно, поскольку мы решаем системы уравнений с использованием матриц, чтобы иметь возможность перемещаться между системой и матрицей.В следующем примере нам предлагается взять информацию из матрицы и написать систему уравнений.

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице:

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 4 & −3 & 3 & −1 \\ 1 & 2 & −1 & 2 \\ −2 & −1 & 3 & −4 \ end {array} \ right ] \).

Ответ

Мы помним, что каждая строка соответствует уравнению и что каждая запись является коэффициентом переменной или константы.Вертикальная линия заменяет знак равенства. Поскольку эта матрица представляет собой \ (4 \ times 3 \), мы знаем, что она преобразуется в систему трех уравнений с тремя переменными.

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице: \ (\ left [\ begin {matrix} 1 & −1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & −2 & 1 \\ 4 & −1 & 2 & 0 \ end {matrix} \верно] \).

Ответ

\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − y + 2z = 3 \\ 2x + y − 2z = 1 \\ 4x − y + 2z = 0 \ end {array} \ right.\)

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Запишите систему уравнений, которая соответствует расширенной матрице: \ (\ left [\ begin {matrix} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & −1 & 8 \\ 1 & 1 & −1 & 3 \ end {matrix} \ right ] \).

Ответ

\ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + y + z = 4 \\ 2x + 3y − z = 8 \ x + y − z = 3 \ end {array} \ right. \)

Использование операций со строками в матрице

Когда система уравнений принимает форму расширенной матрицы, мы будем выполнять операции со строками, которые приведут нас к решению.

Для решения методом исключения не имеет значения, в каком порядке мы размещаем уравнения в системе. Точно так же в матрице мы можем поменять местами строки.

Когда мы решаем методом исключения, мы часто умножаем одно из уравнений на константу. Поскольку каждая строка представляет собой уравнение, и мы можем умножить каждую часть уравнения на константу, аналогичным образом мы можем умножить каждую запись в строке на любое действительное число, кроме 0.

При исключении мы часто добавляем число, кратное одной строке, к другой строке.В матрице мы можем заменить строку с ее суммой на кратное другой строке.

Эти действия называются строковыми операциями и помогут нам использовать матрицу для решения системы уравнений.

РАБОТА С РЯДОМ

В матрице следующие операции могут быть выполнены с любой строкой, и результирующая матрица будет эквивалентна исходной матрице.

  1. Поменяйте местами любые два ряда.
  2. Умножить строку на любое действительное число, кроме 0.
  3. Добавить ненулевое кратное одной строки в другую строку.

Выполнить эти операции легко, но все вычисления могут привести к ошибке. Если мы используем систему для записи операций со строками на каждом шаге, гораздо легче вернуться и проверить нашу работу.

Мы используем заглавные буквы с нижними индексами для обозначения каждой строки. Затем мы показываем операцию слева от новой матрицы. Чтобы показать перестановку ряда:

Чтобы умножить строку 2 на \ (- 3 \):

Чтобы умножить строку 2 на \ (- 3 \) и добавить ее к строке 1:

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Выполните указанные операции над расширенной матрицей:

ⓐ Поменяйте местами 2 и 3 ряды.

ⓑ Строку 2 умножить на 5.

ⓒ Умножить строку 3 на −2−2 и прибавить к строке 1.

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 6 & −5 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & −4 & 5 \\ 3 & −3 & 1 & −1 \ end {array} \ right] \)

Ответ

ⓐ Меняем ряды 2 и 3.

ⓑ Строку 2 умножаем на 5.

ⓒ Строку 3 умножаем на \ (- 2 \) и прибавляем к строке 1.

Пример \ (\ PageIndex {8} \)

Выполните указанные операции над расширенной матрицей:

ⓐ Поменяйте местами ряды 1 и 3.

ⓑ Строку 3 умножить на 3.

ⓒ Строку 3 умножить на 2 и прибавить к строке 2.

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 5 & −2 & -2 & -2 \\ 4 & -1 & −4 & 4 \\ -2 & 3 & 0 & −1 \ end {array} \ справа] \)

Ответ

ⓐ \ (\ left [\ begin {matrix} −2 & 3 & 0 & −2 \\ 4 & −1 & −4 & 4 \\ 5 & −2 & −2 & −2 \ end {matrix} \ right] \ )

ⓑ \ (\ left [\ begin {matrix} −2 & 3 & 0 & −2 \\ 4 & −1 & −4 & 4 \\ 15 & −6 & −6 & −6 \ end {matrix} \ right] \ )

ⓒ \ (\ left [\ begin {matrix} -2 & 3 & 0 & 2 & \\ 3 & 4 & -13 & -16 & -8 \\ 15 & -6 & -6 & -6 & \ end {matrix} \ справа] \)

Пример \ (\ PageIndex {9} \)

Выполните указанные операции над расширенной матрицей:

ⓐ Поменяйте местами ряды 1 и 2,

ⓑ Умножить строку 1 на 2,

ⓒ Строку 2 умножить на 3 и прибавить к строке 1.

\ (\ left [\ begin {array} {ccc | c} 2 & −3 & −2 & −4 \\ 4 & 1 & −3 & 2 \\ 5 & 0 & 4 & −1 \ end {array} \ right] \)

Ответ

ⓐ \ (\ left [\ begin {matrix} 4 & 1 & −3 & 2 \\ 2 & −3 & −2 & −4 \\ 5 & 0 & 4 & −1 \ end {matrix} \ right] \)
ⓑ \ (\ left [\ begin {matrix} 8 & 2 & −6 & 4 \\ 2 & −3 & −2 & −4 \\ 5 & 0 & 4 & −1 \ end {matrix} \ right] \)
ⓒ \ ( \ left [\ begin {matrix} 14 & −7 & −12 & −8 \\ 2 & −3 & −2 & −4 \\ 5 & 0 & 4 & −1 \ end {matrix} \ right] \)

Теперь, когда мы попрактиковались в операциях со строками, мы рассмотрим расширенную матрицу и выясним, какую операцию мы будем использовать для достижения цели.Это именно то, что мы сделали, когда выполняли выбывание. Мы решили, на какое число умножить строку, чтобы переменная была исключена при сложении строк.

Учитывая эту систему, что бы вы сделали, чтобы исключить x ?

Следующий пример по сути делает то же самое, но с матрицей.

Пример \ (\ PageIndex {10} \)

Выполните необходимую операцию со строкой, чтобы первая запись в строке 2 была равна нулю в расширенной матрице: \ (\ left [\ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 2 \\ 4 & −8 & 0 \ end {array} \ right] \)

Ответ

Чтобы сделать 4 равным 0, мы могли бы умножить строку 1 на \ (- 4 \), а затем добавить ее к строке 2.

Пример \ (\ PageIndex {11} \)

Выполните необходимую операцию со строкой, чтобы первая запись в строке 2 была равна нулю в расширенной матрице: \ (\ left [\ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 2 \\ 3 & −6 & 2 \ end {array} \ right] \)

Ответ

\ (\ left [\ begin {matrix} 1 & −1 & 2 \\ 0 & −3 & −4 \ end {matrix} \ right] \)

Пример \ (\ PageIndex {12} \)

Выполните необходимую операцию со строкой, чтобы первая запись в строке 2 была равна нулю в расширенной матрице: \ (\ left [\ begin {array} {cc | c} 1 & −1 & 3 \\ -2 & −3 & 2 \ end {array} \ right] \)

Ответ

\ (\ left [\ begin {matrix} 1 & −1 & 3 \\ 0 & −5 & 8 \ end {matrix} \ right] \)

Решение систем уравнений с помощью матриц

Чтобы решить систему уравнений с использованием матриц, мы преобразуем расширенную матрицу в матрицу строковой формы , используя строковые операции.Для согласованной и независимой системы уравнений ее расширенная матрица находится в виде эшелона строк, когда слева от вертикальной линии каждая запись на диагонали равна 1, а все записи ниже диагонали — нули.

ФОРМА ROW-ECHELON

Для непротиворечивой и независимой системы уравнений ее расширенная матрица находится в форме рядов , когда слева от вертикальной линии каждая запись на диагонали равна 1, а все записи ниже диагонали — нули.

Как только мы получим расширенную матрицу в виде ряда строк, мы можем написать эквивалентную систему уравнений и прочитать значение по крайней мере одной переменной. Затем мы подставляем это значение в другое уравнение, чтобы продолжить поиск других переменных. Этот процесс проиллюстрирован в следующем примере.

Пример \ (\ PageIndex {14} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = 7 \\ x − 2y = 6 \ end {array} \ right. \)

Ответ

Решение: \ ((4, −1) \).

Пример \ (\ PageIndex {15} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x + y = −4 \\ x − y = −2 \ end {array} \ right. \)

Ответ

Решение: \ ((- 2,0) \).

Шаги кратко описаны здесь.

РЕШИТЕ ​​СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МАТРИЦ.

  1. Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.
  2. Используя операции со строками, получите запись в строке 1, столбец 1 равной 1.
  3. Используя операции со строками, получите нули в столбце 1 под 1.
  4. Используя операции со строками, получите запись в строке 2, столбце 2, равной 1.
  5. Продолжайте процесс до тех пор, пока матрица не примет вид ряда строк.
  6. Напишите соответствующую систему уравнений.
  7. Используйте подстановку, чтобы найти оставшиеся переменные.
  8. Запишите решение в виде упорядоченной пары или тройки.
  9. Убедитесь, что решение соответствует исходным уравнениям.

Вот наглядное пособие, показывающее порядок получения единиц и нулей в правильном положении для строковой формы.

Мы используем ту же процедуру, когда система уравнений состоит из трех уравнений.

Пример \ (\ PageIndex {16} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 8y + 2z = −5 \\ ​​2x + 5y − 3z = 0 \\ x + 2y − 2z = — 1 \ end {array} \ right. \)

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {17} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 2x − 5y + 3z = 8 \\ 3x − y + 4z = 7 \\ x + 3y + 2z = −3 \ end {array} \ right.\)

Ответ

\ ((6, −1, −3) \)

Пример \ (\ PageIndex {18} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} −3x + y + z = −4 \\ −x + 2y − 2z = 1 \\ 2x − y − z = −1 \ end {array} \ right. \)

Ответ

\ ((5,7,4) \)

До сих пор мы работали с матрицами только с системами, которые согласованы и независимы, что означает, что у них есть только одно решение.Давайте теперь посмотрим, что происходит, когда мы используем матрицу для зависимой или несовместимой системы.

Пример \ (\ PageIndex {19} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + y + 3z = 0 \\ x + 3y + 5z = 0 \\ 2x + 4z = 1 \ end { array} \ right. \)

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {20} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − 2y + 2z = 1 \\ −2x + y − z = 2 \\ x − y + z = 5 \ end {array} \ right.\)

Ответ

нет решения

Пример \ (\ PageIndex {21} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} 3x + 4y − 3z = −2 \\ −2x + 3y − z = −1 \\ 2x + y − 2z = 6 \ end {array} \ right. \)

Ответ

нет решения

Последняя система была несовместимой и поэтому не имела решений. Следующий пример зависимый и имеет бесконечно много решений.

Пример \ (\ PageIndex {22} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − 2y + 3z = 1 \\ x + y − 3z = 7 \\ 3x − 4y + 5z = 7 \ конец {массив} \ right. \)

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {23} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x + y − z = 0 \\ 2x + 4y − 2z = 6 \\ 3x + 6y − 3z = 9 \ конец {массив} \ право. \)

Ответ

бесконечно много решений \ ((x, y, z) \), где \ (x = z − 3; \ space y = 3; \ space z \) — любое действительное число.

Пример \ (\ PageIndex {24} \)

Решите систему уравнений, используя матрицу: \ (\ left \ {\ begin {array} {l} x − y − z = 1 \\ −x + 2y − 3z = −4 \\ 3x − 2y − 7z = 0 \ end {array} \ right. \)

Ответ

бесконечно много решений \ ((x, y, z) \), где \ (x = 5z − 2; \ space y = 4z − 3; \ space z \) — любое действительное число.

Получите доступ к этому онлайн-ресурсу для получения дополнительных инструкций и практики с методом исключения Гаусса.

Ключевые концепции

  • Матрица: Матрица — это прямоугольный массив чисел, расположенных в строках и столбцах. Матрица с m строками и n столбцами имеет порядок \ (m \ times n \). Матрица слева внизу имеет 2 строки и 3 столбца, поэтому она имеет порядок \ (2 \ times 3 \). Мы говорим, что это матрица 2 на 3.

    Каждое число в матрице называется элементом или элементом в матрице.

  • Операции со строками: В матрице следующие операции могут выполняться с любой строкой, и результирующая матрица будет эквивалентна исходной матрице.
    • Поменять местами любые два ряда
    • Умножить строку на любое действительное число, кроме 0
    • Добавить ненулевое кратное одной строки к другой строке
  • Форма рядов-эшелонов: Для непротиворечивой и независимой системы уравнений ее расширенная матрица находится в строчно-эшелонной форме, когда слева от вертикальной линии каждая запись на диагонали равна 1, а все записи ниже диагонали — нули.
  • Как решить систему уравнений с помощью матриц.
    1. Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.
    2. Используя операции со строками, получить запись в строке 1, столбце 1, чтобы она была 1.
    3. Используя операции со строками, получите нули в столбце 1 под 1.
    4. Используя операции со строками, получите запись в строке 2, столбце 2, равной 1.
    5. Продолжайте процесс до тех пор, пока матрица не примет вид ряда строк.
    6. Напишите соответствующую систему уравнений.
    7. Используйте подстановку, чтобы найти оставшиеся переменные.
    8. Запишите решение в виде упорядоченной пары или тройки.
    9. Убедитесь, что решение соответствует исходным уравнениям.

Глоссарий

матрица
Матрица — это прямоугольный массив чисел, упорядоченный по строкам и столбцам.
рядная форма
Матрица находится в виде эшелона строк, когда слева от вертикальной линии каждая запись на диагонали равна 1, а все записи ниже диагонали — нули.

Объяснитель урока: Решение системы трех уравнений с использованием обратной матрицы

В этом объяснении мы узнаем, как решить систему трех линейных уравнений, используя обратную матрицу коэффициентов.

Есть несколько перспектив, с которых линейная алгебра может быть плодотворно
последовательно просматривается. Одна из таких перспектив — понимать матрицы как способ кодирования
информация о том, как векторы трансформируются в пространстве, что дает алгебраический
понимание того, как мы трансформируем точки, линии, плоскости и многомерные объекты.Другой
перспектива состоит в том, что линейная алгебра является одним из проявлений более общей идеи, известной как вектор
пространства, в которых привлекательные абстрактные свойства используются для определения многих систем, которые разделяют
алгебраические свойства с линейной алгеброй, обычной алгеброй и многими другими областями
математика.

Из всех возможных перспектив линейной алгебры, возможно, существует
тот, который больше всего способствовал развитию предмета, по крайней мере, на начальных этапах.На протяжении всей истории математики всегда испытывали особую тягу к решению
уравнения. После популяризации алгебры вскоре она стала интересной для
математики для изучения одновременных уравнений, где две переменные должны быть решены для
тандем. Эта идея естественным образом обобщается на системы уравнений со многими неизвестными.
переменных, и именно здесь мы начинаем свидетельствовать об универсальности и силе линейной алгебры в
движущими силами исторического развития математики, предлагая все более отточенные
и разнообразный инструментарий.

Нашей целью в этом объяснителе будет решение систем линейных уравнений с использованием нашего
понимание инверсии квадратной матрицы. Как мы увидим, любая система линейных
уравнения могут быть выражены строго в терминах матриц, что означает, что мы можем использовать наши
понимание линейной алгебры для их решения.

Определение: матричная форма системы линейных уравнений

Рассмотрим общую систему линейных уравнений относительно переменных 𝑥, 𝑥,…, 𝑥 и коэффициентов 𝑎: 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏, 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏, ⋮⋮⋮ ⋱ ⋮⋮⋮ 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏.

Затем определим матрицу коэффициентов 𝐴 = ⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎 ⋯ 𝑎𝑎𝑎 ⋯ 𝑎 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑎 ⋯ 𝑎⎞⎟⎟⎠ и два вектора
⃑𝑢 = ⎛⎜⎜⎝𝑥𝑥 ⋮ 𝑥⎞⎟⎟⎠, ⃑𝑣 = ⎛⎜⎜⎜⎝𝑏𝑏 ⋮ 𝑏⎞⎟⎟⎟⎠.

Тогда систему линейных уравнений можно заключить в матрицу уравнение 𝐴⃑𝑢 = ⃑𝑣, которое в длинной форме можно было бы записать как
⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎 ⋯ 𝑎𝑎𝑎 ⋯ 𝑎 ⋮⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑎 ⋯ 𝑎⎞⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎝𝑥𝑥 ⋮ 𝑥⎞⎟⎟⎠ = ⎛⎜⎜⎜⎝𝑏𝑏 ⋮ 𝑏⎞⎟⎟⎟⎠. 

Позже мы увидим, что такой способ использования умножения матриц очень полезен для
выражая систему линейных уравнений, так как это позволяет нам использовать любой инструмент из огромного
математический инструментарий линейной алгебры.Рассмотрим, например, систему линейных
уравнения

3𝑥 + 𝑦 = −1, −2𝑥 + 4𝑦 = 24. (1)

На данном этапе у нас, вероятно, возникнет соблазн решить эту систему линейных уравнений, используя
любой из известных стандартных методов решения одновременных уравнений двух переменных.
Однако мы предпочитаем следовать приведенному выше определению и выражаем указанную выше систему линейных
уравнений путем построения матриц 𝐴 = 31−24, ⃑𝑢 = 𝑥𝑦, ⃑𝑣 =  − 124.

Тогда систему линейных уравнений можно выразить как 𝐴⃑𝑢 = ⃑𝑣. В полной форме это

31−24− =  − 124. (2)

Вполне понятно, что это представление нам ничуть не помогло,
Именно здесь концепция инверсии матрицы может быть реализована с парашютом, чтобы обеспечить поддержку.
Предположим, что нам нужно было построить матрицу, обратную к, используя
хорошо известная формула для обратной матрицы 2 × 2.Для генерала
2 × 2 матрица 𝐵 = 𝑎𝑏𝑐𝑑, обратная матрица имеет вид
𝐵 = 1𝑎𝑑 − 𝑏𝑐𝑑 − 𝑏 − 𝑐𝑎.

Для нашей матрицы 𝐵 мы найдем, что 𝐴 = 13 × 4−1 × (−2) 4−123 = 1144−123 .

Предположим теперь, что мы умножили левую часть уравнения (2) на матрицу
обратный 𝐴. Получим 1144−12331−24𝑥𝑦 = 1144−123 − 124.

Поскольку матричное умножение ассоциативно, мы можем сгруппировать члены в левой части в
в следующем порядке: 1144−12331−24𝑥𝑦 = 1144−123 − 124.

Как по волшебству, мы обнаруживаем, что термин в изогнутых скобках — просто копия
единичная матрица. Завершение этого матричного умножения дает 114140014𝑥𝑦 = 1144−123 − 124,
позволяя нам взять константу масштабирования в матрице, чтобы найти 1001𝑥𝑦 = 1144−123 − 124.

Завершение последнего матричного умножения в левой части дает 𝑥𝑦 = 1144−123 − 124.

Теперь у нас есть выражение для 𝑥 и 𝑦 через один
финальное матричное умножение.Выполнение этого дает 𝑥𝑦 = 114 − 2870 =  − 25.

Мы можем проверить, что 𝑥 = −2 и 𝑦 = 5 — единственные два значения
которые решают систему линейных уравнений в (1), подтверждая, что
решил проблему.

Вместо того, чтобы сосредоточиться на конкретной проблеме выше, мы можем показать, что этот метод может быть применен
к общей системе линейных уравнений при соблюдении нескольких условий. Предположим, что
у нас есть линейная система, в которой есть столько уравнений, сколько неизвестных переменных.В
другими словами, имеем 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏, 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏, ⋮⋮⋮ ⋱ ⋮⋮⋮ 𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ⋯ 𝑎𝑥 = 𝑏. 

Затем определим матрицу и два вектора 𝐴 = ⎛⎜⎜⎝𝑎𝑎 ⋯ 𝑎𝑎𝑎 ⋯ 𝑎 ⋮⋮ ⋱ ⋯ 𝑎⎞⎟⎟⎠, ⃑𝑢 = ⎛⎜⎜⎝𝑥𝑥 ⋮ 𝑥⎞⎟⎟⎠, ⃑𝑣 = ⎛⎜⎜⎜⎝𝑏𝑏 ⋮ 𝑏⎞⎟⎟⎟⎠. 

Тогда систему линейных уравнений можно описать матричным уравнением
𝐴⃑𝑢 = ⃑𝑣, где
𝐴 — квадратная матрица. Очень важно, чтобы 𝐴 было квадратом.
матрица как мультипликативная обратная не определена для неквадратных матриц. Теперь предположим
что 𝐴 существует, мы можем умножить на него в левой части приведенного выше
уравнение, дающее 𝐴 (𝐴⃑𝑢) = 𝐴⃑𝑣.

Умножение матриц является ассоциативным, что означает, что мы можем написать
𝐴𝐴⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣.

По определению имеем 𝐴𝐴 = 𝐼, где 𝐼 —
единичная матрица размера 𝑛 ×. Отсюда следует, что 𝐼⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣.

Мы также знаем, что единичная матрица 𝐼 оставляет матрицу неизменной, когда
совмещены при операции умножения матриц. Это позволяет окончательно упростить
⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣.

Если нашей целью было найти вектор, он явно был
достигается в приведенном выше уравнении.Теперь мы продемонстрируем, как этот метод может быть применен к
другие системы линейных уравнений.

Пример 1: Использование обратной матрицы для решения системы линейных уравнений

Решите систему линейных уравнений 3𝑥 + 2𝑦 = 8,6𝑥 − 9𝑦 = 3, используя обратную матрицу.

Ответ

Создаем матрицы, соответствующие системе линейных уравнений выше. Если мы
присвоить 𝐴 = 326−9, ⃑𝑢 = 𝑥𝑦, ⃑𝑣 = 83, тогда задача может быть эквивалентно закодирована
матричная задача 326−9𝑥𝑦 = 83.

Более кратко, мы могли бы написать 𝐴⃑𝑢 = ⃑𝑣.

Наша цель — решить это уравнение относительно ⃑𝑢, учитывая, что
этот вектор содержит переменные 𝑥 и, которые мы
хотел бы найти. Предполагая, что существует обратное, мы могли бы
умножьте на него в левой части уравнения, получив 𝐴𝐴⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣.

Учитывая, что умножение матриц ассоциативно, это утверждение эквивалентно высказыванию
что
𝐴𝐴⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣.

По определению мы знаем, что 𝐴𝐴 = 𝐼, где 𝐼
является единичной матрицей 2 × 2, что дает 𝐼⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣.

В единичной матрице вектор ⃑𝑢 останется неизменным.
при объединении при матричном умножении как 𝐼⃑𝑢. Этот
означает, что

⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣. (3)

Теперь у нас есть формула для ⃑𝑢, при условии, что мы можем найти
𝐴. Для этого воспользуемся выражением, обратным к
Матрица 2 × 2: 𝐵 = 𝑎𝑏𝑐𝑑, 𝐵 = 1𝑎𝑑 − 𝑏𝑐𝑑 − 𝑏 − 𝑐𝑎.

Учитывая, что 𝐴 = 326−9, имеем 𝐴 = 13 × (−9) −2 × 6 − 9−2−63 = −139 − 9−2−63.

Теперь мы можем использовать уравнение (3), чтобы найти ⃑𝑢:
⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣 = −139 − 9−2−6383 = −139 − 78−39 = 21.

Ранее мы целенаправленно определили 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦.

Таким образом, мы находим, что = 2 и 𝑦 = 1, как мы можем проверить
в исходных уравнениях.

На данном этапе может показаться, что метод, который мы только что представили, слишком
запутанный способ найти решение системы линейных уравнений, где есть два
переменные и две неизвестные. Обычно мы предпочитаем использовать знакомую и более простую технику.
для решения систем этого типа.Значение обращения матрицы
метод легче понять при работе с матрицами порядка 3 × 3
и выше. Кроме того, обратная квадратная матрица — это то, что мы, вероятно, возьмем
самостоятельный интерес, независимо от актуальной проблемы, которую мы пытаемся решить, поэтому
может случиться так, что мы будем вычислять эту матрицу независимо от проблемы, связанной с ней
что мы на самом деле пытаемся решить.

Есть более тонкий момент, который мы также должны учитывать.Предположим, что в приведенном выше примере
система линейных уравнений была точно такой же, за исключением величин справа
стороны обоих уравнений, как было закодировано вектором. В
чтобы решить проблему, нам все равно нужно найти обратную матрицу
𝐴 и завершите расчет
⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣. В этом смысле нахождение
обратная матрица — это задача, которая решит систему линейных уравнений для любого вектора
⃑𝑣. Кроме того, может быть невозможно найти
𝐴, потому что матрица 𝐴 имеет нулевой определитель.В этой ситуации значение ⃑𝑣 не имеет значения, потому что
решить проблему не удастся.

Пример 2: Использование обратной матрицы для решения системы линейных уравнений (с
Метод Гаусса – Жордана)

Решите систему линейных уравнений −𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 8, −2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −5,6𝑥 − 3𝑦 = −6, используя матрицу, обратную матрице.

Ответ

Начнем с присвоения значений 𝐴 =  − 111−21−16−30, ⃑𝑢 = 𝑥𝑦𝑧, ⃑𝑣 = 8−5−6.

Это позволяет нам записать указанную выше систему линейных уравнений в виде
 − 111−21−16−30𝑥𝑦𝑧 = 8−5−6.

Аналогично, теперь мы можем определять уравнения в очень аккуратной форме.
𝐴⃑𝑢 = ⃑𝑣.

Сформулировав таким образом, мы теперь стремимся найти ⃑𝑢, поскольку этот вектор
содержит все неизвестные переменные 𝑥, 𝑦 и 𝑧. В
для этого воспользуемся сначала предположением, что обратное 𝐴
существует, и затем мы умножаем левую часть приведенного выше уравнения на эту матрицу:
𝐴 (𝐴⃑𝑢) = 𝐴⃑𝑣.

Учитывая, что по определению 𝐴𝐴 = 𝐼, где 𝐼 —
единичная матрица, а также учитывая, что 𝐼𝐵 = 𝐵 для любой матрицы
𝐵 с порядком 3 × 𝑝, имеем

⃑𝑣 = 𝐴⃑𝑢. (4)

Теперь мы знаем, как выразить ⃑𝑣 через обратное
матрица 𝐴, которую мы теперь должны вычислить. Для этого воспользуемся
Метод исключения Гаусса – Жордана для вычисления обратной квадратной матрицы. Мы
напомним себе две матрицы 𝐴 =  − 111−21−16−30, 𝐼 = 100010001, , которые мы затем соединяем вместе как
𝐴𝐼 = ⎛⎜⎜⎝ − 111100−21−10106−30001⎞⎟⎟⎠.

Если существует обратный, то мы сможем использовать элементарные
строковые операции, чтобы преобразовать указанную выше матрицу в форму 𝐼𝐴.Сначала мы
выделите точку поворота, которая является первой ненулевой записью в каждой строке:
⎛⎜⎜⎝ − 111100−21−10106−30001⎞⎟⎟⎠.

Запись −1 в верхнем левом углу довольно удобна, но будет
было бы более полезно, если бы эта запись имела значение 1. Мы быстро масштабируем верхнюю строку с помощью
операция 𝑟 → −𝑟, что дает
⎛⎜⎜⎝1−1−1−100−21−10106−30001⎞⎟⎟⎠.

Чтобы получить желаемый вид, мы должны получить единичную матрицу 𝐼 в
левая часть объединенной матрицы.В единичной матрице в левом верхнем углу стоит 1.
а остальные записи в этом столбце равны нулю. Поэтому необходимо удалить
две сводные записи в первом столбце с использованием строковых операций 𝑟 → 𝑟 + 2𝑟 и 𝑟 → 𝑟 − 6𝑟:
⎛⎜⎜⎝1−1−1−1000−1−3−210036601⎞⎟⎟⎠.

По причинам, аналогичным приведенным выше, мы предпочли бы, чтобы точка поворота во второй строке
имеют значение 1, поэтому мы выполняем строковую операцию 𝑟 → −𝑟: ⎛⎜⎜⎝1−1−1−1000132−10036601⎞⎟⎟⎠.

Теперь мы удалим точку поворота в третьей строке, так как она находится непосредственно под точкой поворота в
второй ряд.Операция со строками 𝑟 → 𝑟 − 3𝑟 дает
матрица ⎛⎜⎜⎝1−1−1−1000132−1000−3031⎞⎟⎟⎠.

На этом этапе может возникнуть соблазн немедленно выполнить строковую операцию 𝑟 → −13𝑟, которая внесет дроби в третью
строка и, следовательно, оставшиеся вычисления. Хотя в этом нет необходимости,
обычно предпочтительно по возможности избегать этого. Из-за этого мы вместо этого выбираем
строковая операция 𝑟 → −𝑟, которая дает
⎛⎜⎜⎝1−1−1−1000132−100030−3−1⎞⎟⎟⎠.

Также выполняем строковые операции 𝑟 → 3𝑟 и
𝑟 → 3𝑟: ⎛⎜⎜⎝3−3−3−3000396−300030−3−1⎞⎟⎟⎠.

Мы выполнили эти операции со строками в качестве подготовительной меры. Теперь удалим
ненулевые записи, которые находятся над точкой поворота в третьей строке, с использованием строковых операций
𝑟 → 𝑟 − 3𝑟 и 𝑟 → 𝑟 + 𝑟. В результате получается матрица ⎛⎜⎜⎝3−30−3−3−10306630030−3−1⎞⎟⎟⎠.

Теперь у нас есть предпоследний шаг по удалению ненулевой записи над точкой поворота в
второй ряд.Операция со строками 𝑟 → 𝑟 + 𝑟 дает
⎛⎜⎜⎝3003320306630030−3−1⎞⎟⎟⎠.

Вместо формы 𝐼𝐴 мы создали матрицу
3𝐼𝐴. Это, конечно, не провал на нашем
часть, так как теперь мы можем написать, что = 133326630−3−1.

Можно проверить, что 𝐴𝐴 = 𝐼, что означает, что мы нашли
правильная инверсия. Теперь мы можем решить проблему, используя уравнение (4). Мы
имеем ⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣 = 133326630−3−18−5−6 = 13 − 3021 =  − 107.

Это дает окончательные ответы, что = −1, 𝑦 = 0 и
𝑧 = 7. В исходной системе линейных уравнений можно проверить, что
это правильные значения.

В предыдущем вопросе мы использовали метод Гаусса – Жордана для нахождения обратной матрицы
соответствующей системы линейных уравнений. Использование строковых операций для управления матрицей
является фундаментальным навыком в линейной алгебре, и вопросы, подобные приведенному выше, являются отличным
источник практики.Тем не менее, есть и другие методы, которые можно использовать для расчета
инверсия матрицы, которая может быть предпочтительнее в зависимости от задействованной матрицы. В следующих
Например, мы воспользуемся методом сопряженных матриц для вычисления необходимой обратной матрицы. Этот
метод часто считается предпочтительным для вычисления обратной матрицы,
особенно для матриц порядка 3 × 3, хотя это относится и к квадратным
матрицы любого порядка.

Пример 3: Использование обратной матрицы для решения системы линейных уравнений (с сопряженной матрицей
Method)

Используйте обратную матрицу для решения системы линейных уравнений −4𝑥 − 2𝑦 − 9𝑧 = −8, −3𝑥 − 2𝑦 − 6𝑧 = −3, −𝑥 + 𝑦 − 6𝑧 = 7.

Ответ

Сначала создадим матрицы 𝐴 =  − 4−2−9−3−2−6−11−6, ⃑𝑢 = 𝑥𝑦𝑧, ⃑𝑣 =  − 8−37.

Система линейных уравнений может быть эквивалентно закодирована умножением матриц.
 − 4−2−9−3−2−6−11−6𝑥𝑦𝑧 =  − 8−37.

Это позволяет простейшее выражение системы уравнений, как 𝐴⃑𝑢 = ⃑𝑣. Умножив левую часть на
обратный 𝐴, а затем упрощая, мы можем выразить вектор
⃑𝑢 выражением

⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣. (5)

Мы хотели бы вычислить ⃑𝑢, так как этот вектор имеет
записи, которые являются неизвестными переменными 𝑥, 𝑦 и 𝑧. К
используйте приведенное выше уравнение, чтобы найти ⃑𝑢, мы должны сначала вычислить
𝐴. Для этого воспользуемся методом сопряженных матриц:
описывается следующим образом.

Использование метода сопряженных матриц означает, что мы должны вычислить определитель
𝐴. Мы используем правило Сарруса, которое дает

| 𝐴 | = 𝑎 | 𝐴 | −𝑎 | 𝐴 | + 𝑎 | 𝐴 | = −4 × |||| −2−61−6 |||| — (- 2) × ||| | −3−6−1−6 |||| −9 × |||| −3−2−11 |||| = −4 × 18 — (- 2) × 12−9 × (−5) = −3. (6)

Поскольку определитель отличен от нуля, мы знаем, что матрица 𝐴
невырожден и, следовательно, обратный 𝐴 существует. Мы уже
использовали 3 минора матрицы 𝐴 при вычислении
| 𝐴 |, но использовать
метод сопряженной матрицы для вычисления 𝐴 необходимо перечислить все 9
матричные миноры: 𝐴 =  − 2−61−6, 𝐴 =  − 3−6−1−6, 𝐴 =  − 3−2−11, 𝐴 =  − 2−91−6 , 𝐴 =  − 4−9−1−6, 𝐴 =  − 4−2−11, 𝐴 =  − 2−9−2−6, 𝐴 =  − 4−9−3−6 , =  − 4−2−3−2.

Для этих матриц 2 × 2 мы можем вычислить определители, но мы
не забудьте включить член четности, который используется при создании сопряженной матрицы. Этот
вместе мы имеем + | 𝐴 | = + || −2−61−6 || = 18, — | 𝐴 | = — || −3−6−1−6 || = −12, + | 𝐴 | = + || −3−2−11 || = −5, — | 𝐴 | = — || −2−91−6 || = −21, + | 𝐴 | = + || −4−9−1− 6 || = 15, — | 𝐴 | = — || −4−2−11 || = 6, + | 𝐴 | = + || −2−9−2−6 || = −6, — | 𝐴 | = — || −4−9−3−6 || = 3, + | 𝐴 | = + || −4−2−3−2 || = 2. 

Матрица сомножителей заполняется правыми членами приведенных выше 9 уравнений:
𝐶 = 18−12−5−21156−632.

Сопряженная матрица — это транспонированная матрица кофакторов: adj (𝐴) = 18−21−6−12153−562.

Обратная матрица записывается через сопряженную матрицу и определитель, который мы
вычислено в уравнении (6) по формуле 𝐴 = 1 | 𝐴 | (𝐴) = — 1318−21−6−12153−562.adj

Теперь, когда мы знаем, мы можем решить исходная система линейных
уравнения с использованием уравнения (5): ⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣 = −1318−21−6−12153−562 − 8−37 = −13 − 1237236 = 41−24−12.

Это означает, что решение исходной задачи = 41,
𝑦 = −24 и 𝑧 = −12.

К приведенным выше вопросам можно подойти с абстрактной простотой, если система
уравнения сводится к матричному уравнению
𝐴⃑𝑢 = ⃑𝑣. Преимущества такого выражения:
что мы можем рассматривать его в отстраненном, алгебраическом смысле, что позволяет легко увидеть, что
Система может быть решена с помощью линейной алгебры для получения матричного уравнения
⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣. Лечить проблему только в этом
абстрактный способ, однако, опровергнет вычислительную сложность, возникающую при попытке
для вычисления обратной матрицы 𝐴.Кроме того, очевидно, что это не
возможно решить систему уравнений, если у нас нет точного вида для
𝐴, в котором обычно используется метод Гаусса – Жордана
или метод сопряженных матриц. Возможность изменять перспективу между абстрактным видом и
вычислительная точка зрения является определяющей характеристикой линейной алгебры, в которой мы должны
часто меняют нашу точку зрения, чтобы полностью понять проблему, над которой мы работаем
с и методы, которые мы могли бы использовать для ее решения.Для многих математиков это один
радостей изучения линейной алгебры, но даже если это не для всех, это
было бы трудно не посочувствовать этой точке зрения в данной конкретной ситуации, учитывая
примеры выше.

Ключевые моменты

  • Система линейных уравнений может быть закодирована матричным уравнением 𝐴⃑𝑢 = ⃑𝑣, где цель состоит в том, чтобы решить систему с помощью
    найти ⃑𝑢.
  • Если 𝐴 — квадратная матрица и обратимая, то мы можем найти матрицу
    𝐴 либо методом Гаусса – Жордана, либо присоединенным
    матричный метод.
  • Если обратная может быть найдена, то мы можем использовать линейную алгебру для
    найти ⃑𝑢 = 𝐴⃑𝑣.

3 Методы решения систем уравнений

Три метода, наиболее часто используемые для решения систем уравнений, — это подстановка, исключение и расширенные матрицы. Замена и исключение — это простые методы, с помощью которых можно эффективно решить большинство систем двух уравнений за несколько простых шагов. Метод расширенных матриц требует большего количества шагов, но его применение распространяется на большее количество систем.

Замена

Замена — это метод решения систем уравнений путем удаления всех переменных, кроме одной, в одном из уравнений, а затем решения этого уравнения. Это достигается путем выделения другой переменной в уравнении и последующей подстановки значений этих переменных в другое уравнение. Например, чтобы решить систему уравнений x + y = 4, 2x — 3y = 3, выделите переменную x в первом уравнении, чтобы получить x = 4 — y, затем подставьте это значение y во второе уравнение, чтобы получить 2 (4 — у) — 3у = 3.Это уравнение упрощается до -5y = -5 или y = 1. Подставьте это значение во второе уравнение, чтобы найти значение x: x + 1 = 4 или x = 3.

Исключение

Исключение — еще один способ решения системы уравнений, переписав одно из уравнений в терминах только одной переменной. Метод исключения достигает этого путем сложения или вычитания уравнений друг из друга, чтобы сократить одну из переменных. Например, сложение уравнений x + 2y = 3 и 2x — 2y = 3 дает новое уравнение 3x = 6 (обратите внимание, что члены y сокращены).Затем система решается с использованием тех же методов, что и для замены. Если невозможно сократить переменные в уравнениях, необходимо будет умножить все уравнение на коэффициент, чтобы коэффициенты совпали.

Расширенная матрица

Расширенные матрицы также могут использоваться для решения систем уравнений. Расширенная матрица состоит из строк для каждого уравнения, столбцов для каждой переменной и расширенного столбца, который содержит постоянный член с другой стороны уравнения.Например, расширенная матрица для системы уравнений 2x + y = 4, 2x — y = 0 имеет вид [[2 1], [2 -1] … [4, 0]].

Определение решения

Следующий шаг включает использование элементарных операций со строками, таких как умножение или деление строки на константу, отличную от нуля, и добавление или вычитание строк. Цель этих операций — преобразовать матрицу в форму строки-эшелона, в которой первая ненулевая запись в каждой строке равна 1, записи выше и ниже этой записи — все нули, а первая ненулевая запись для каждого row всегда находится справа от всех таких записей в строках над ней.Строчно-эшелонированная форма для указанной выше матрицы — [[1 0], [0 1] … [1, 2]]. Значение первой переменной задается первой строкой (1x + 0y = 1 или x = 1). Значение второй переменной задается второй строкой (0x + 1y = 2 или y = 2).

Приложения

Подстановка и исключение — это более простые методы решения уравнений, которые используются гораздо чаще, чем расширенные матрицы в базовой алгебре. Метод подстановки особенно полезен, когда одна из переменных уже изолирована в одном из уравнений.Метод исключения полезен, когда коэффициент одной из переменных одинаков (или его отрицательный эквивалент) во всех уравнениях. Основное преимущество расширенных матриц состоит в том, что их можно использовать для решения систем из трех или более уравнений в ситуациях, когда замена и исключение либо невозможны, либо невозможны.

Правило Крамера с двумя переменными

Правило Крамера — еще один метод, позволяющий решать системы линейных уравнений с использованием определителей.

В терминах обозначений матрица представляет собой массив чисел, заключенный в квадратные скобки, а определитель представляет собой массив чисел, заключенный в две вертикальные черты.

Обозначения


Формула для определения определителя матрицы 2 x 2 очень проста.

Давайте быстро рассмотрим:


Определитель матрицы 2 x 2

Быстрые примеры того, как найти детерминанты матрицы 2 x 2

Пример 1 : Найдите определитель матрицы A ниже.


Пример 2 : Найдите определитель матрицы B ниже.


Пример 3 : Найдите определитель матрицы C ниже.

Зная, как найти определитель матрицы 2 x 2, теперь вы готовы изучить процедуры или шаги по использованию правила Крамера. Вот так!


Правила Крамера для систем линейных уравнений с двумя переменными

  • Присвойте имена каждой матрице

матрица коэффициентов:

X — матрица:

Y — матрица:

От

до найдите переменную x.

От

до найдите переменную y.

Несколько моментов, которые следует учитывать при рассмотрении формулы:

1) Столбцы \ large {x}, \ large {y} и постоянные члены \ large {c} получаются следующим образом:

2) Оба знаменателя при решении \ large {x} и \ large {y} совпадают. Они происходят из столбцов \ large {x} и \ large {y}.

3) Глядя на числитель при решении для \ large {x}, коэффициенты столбца \ large {x} заменяются постоянным столбцом (красным).

4) Таким же образом, чтобы найти \ large {y}, коэффициенты \ large {y} -столбца заменяются постоянным столбцом (красным).


Примеры решения систем линейных уравнений с двумя переменными с использованием правила Крамера

Пример 1 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Начните с извлечения трех соответствующих матриц: коэффициент, \ large {x} и \ large {y}. Затем решите каждый соответствующий определитель.

После того, как все три детерминанты вычислены, пора найти значения \ large {x} и \ large {y}, используя приведенную выше формулу.

Я могу записать окончательный ответ как \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({2, — 1} \ right)}.


Пример 2 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Задайте свои коэффициенты, матрицы \ large {x} и \ large {y} из данной системы линейных уравнений. Затем рассчитайте их детерминанты соответственно.

Помните, что мы всегда вычитаем произведений диагональных записей.

  • Для матрицы коэффициентов (используйте коэффициенты обеих переменных x и y )
  • Для X — матрица (заменить столбец x на столбец констант)
  • Для Y — матрица (заменить столбец y на постоянный столбец)

Надеюсь, вам удобно вычислять определитель двумерной матрицы.Чтобы окончательно решить требуемые переменные, я получаю следующие результаты…

Записав окончательный ответ в точечной нотации, я получил \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({6, — 5} \ right)}.


Пример 3 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

Эту проблему на самом деле довольно легко решить методом исключения. Это связано с тем, что коэффициенты переменной x являются «одинаковыми», но только противоположными по знакам (+1 и -1). Чтобы решить эту проблему с помощью метода исключения, вы добавляете соответствующие столбцы, и переменная x исчезает, оставляя вам одношаговое уравнение в \ large {y}.Я говорю об этом, потому что у каждой техники есть недостатки, и лучше выбрать наиболее эффективную. Всегда уточняйте у своего учителя, можно ли использовать другой подход, если метод не указан для данной проблемы.

В любом случае, поскольку мы учимся решать по правилу Крамера, давайте продолжим и разберемся с этим методом.

Я построю три матрицы (коэффициент, \ large {x} и \ large {y}) и оценю их соответствующие детерминанты.

  • Для X — матрица (прописная D с индексом x)
  • Для Y — матрица (прописная D с индексом y)

После получения значений трех требуемых определителей я вычислю \ large {x} и \ large {y} следующим образом.

Окончательный ответ в виде баллов: \ large {\ left ({x, y} \ right) = \ left ({- 1,2} \ right)}.


Пример 4 : Решить по правилу Крамера систему с двумя переменными

Поскольку мы уже рассмотрели несколько примеров, я предлагаю вам попробовать решить эту проблему самостоятельно. Затем сравните свои ответы с решением ниже.

Если вы поймете все правильно с первого раза, это означает, что вы становитесь «профи» в отношении правила Крамера. Если вы этого не сделали, попытайтесь выяснить, что пошло не так, и научитесь не совершать ту же ошибку в следующий раз.Так вы станете лучше в математике. Изучите множество проблем и, что более важно, много практикуйтесь самостоятельно.

Вы должны получить ответ ниже…


Пример 5 : Решите систему с двумя переменными по правилу Крамера

В нашем последнем примере я включил ноль в столбец констант. Каждый раз, когда вы видите число ноль в столбце констант, я настоятельно рекомендую использовать правило Крамера для решения системы линейных уравнений.Почему? Потому что вычисление определителей для матриц \ large {x} и \ large {y} значительно упрощается. Убедитесь сами!

Окончательное решение этой проблемы —


Практика с рабочими листами


Возможно, вас заинтересует:

Правило Крамера 3 × 3

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.