Как решить методом алгебраического сложения систему уравнений: Метод алгебраического сложения — урок. Алгебра, 9 класс.

Метод алгебраического сложения. Алгоритм решения системы уравнений методом алгебраического сложения

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. Урок по теме «Метод алгебраического сложения»

Цель урока:
освоить метод алгебраического
сложения
Метапредметные УУД:
Коммуникативные: осуществлять
совместную деятельность в парах, уметь
отстаивать свою точку зрения
Регулятивные: систематизировать
собственные знания, оценивать
достигнутый результат, использовать
различные ресурсы для достижения цели.
Познавательные: приобретать умение
мотивированно организовывать свою
деятельность ,выбирать успешные
стратегии в трудных ситуациях
Устная работа
1. Как можно преобразовать (упростить)
заданные уравнения:
-х-у=-1;
=
2х+2у=4;
х=14 ;
1.
2.Какие
действия
(сложение
или
вычитание)надо выполнить с уравнениями в
парах,
чтобы
в
результате
получилось
уравнение с одной переменной:
1. 2х+11у=15
10х-11у=9
4.
х-6у=8
-5х+8у=4
2.
4х-7у=30
4х-5у=90
5.
3. 9х-7у=19
-9х-4у=25
2х+9у=25
5х+6у=-20

6. Алгоритм решения системы уравнений методом алгебраического сложения

1.Умножить
уравнения
системы,
подбирая
множители так, чтобы коэффициенты при
одной из переменных стали одинаковыми или
противоположными числами;
2.Сложить почленно левые и правые части
уравнений системы, если коэффициенты при
одной
из
переменных
являются
противоположными числами, и вычесть, если
одинаковыми;
3. Решить получившееся уравнения с одной
переменной;
4.Подставить найденное значение переменной в
одно из уравнений системы и найти значение
второй переменной;
5.Записать ответ.

7. Домашнее задание

№13.4(в), 13.5(в), 13.7(в),
№13.8(в),п.13
1. Упражнения для головы, шейного и грудного
отделов позвоночника «Имитации».
Цель: снять утомление у ребенка, обеспечить активный
отдых и повысить умственную работоспособность
учащихся.
Для проведения физкультминутки используются
упражнения для головы, шейного и грудного отделов
позвоночника:
Упражнения:
1) «Черепаха»: наклоны головы вперед-назад.
2) «Маятник»: наклоны головы вправо-влево.
3) «Собачка»: вращение головы вокруг воображаемой
оси, проходящей через нос и затылок.
4) «Сова»: поворот головы вправо-влево.
5) «Ёжик нахмурился» (плечи вперёд, подбородок к
груди) → «Ёжик весёлый» (плечи назад, голову назад).
6) «Весы»: левое плечо вверх, правое вниз. Поменять
положение рук.
7) «Тянемся – потянемся»: руки вверх, вытягиваем
позвоночник.

English    
Русский
Правила

Решение систем уравнений методом алгебраического сложения | План-конспект урока по алгебре (7 класс) на тему:

Открытый урок по алгебре в 7б классе. «Где есть желание, найдется путь».

Тема: Решение систем линейных уравнений методом  алгебраического сложения.

Слайд 1

Цели урока:

  1. Образовательные:
  • Систематизировать знания о различных способах решения системы двух линейных уравнений.
  •  Совершенствовать навык решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом алгебраического сложения;
  1. Развивающие:
  • развитие математической речи учащихся;
  • умения анализировать, сравнивать, сопоставлять;
  • развитие внимания, наблюдательности, памяти;
  • развитие познавательного интереса учащихся через введение исторического материала;
  1. Воспитательные:
  • формирование таких качеств личности, как организованность, ответственность, аккуратность;
  • выработать умение анализировать проделанную работу и адекватно её оценивать.

1.Организационная часть

Здраствуйте, все участники образовательного процесса! Я хочу всем пожелать с пользой провести  предстоящий урок алгебры. Ребята, на прошлом занятии мы начали изучение темы « Решение систем линейных уравнений методом алгебраического сложения». А на этом уроке мы продолжим эту тему. Попробуйте формулировать цель сегодняшнего урока.

             Ученики формулируют цель урока. Слайд 2.

Давайте настроимся на урок и проведём небольшую разминку.

  1.   Устная работа (3 мин.)
  1. Упростите выражения

а)  5а+а;   б) -7х+7х;  в) 4у-8у;  г) -3в+3в;   д) 2с+9

     2. Согласны ли вы с решением  следующего уравнения

3х — 5 = 7х — 3,

3х- 7х = -3- 5,

     -4х = -8,

        х =2.        Ответ: х =2. ?                       (-0,5)

3 На листе было записано решение линейных уравнений, но со временем оно исчезло. Восстановите её.

а) 3х =                     б) 5х =                       в)   х =                г) 5х =  

   х = -11.                     х = 0.                         х = 14.                х = -9.

3.Проверка домашнего задания (8 мин)

2 ученика у доски показывают решения

№ 13.6 а)

 х+ у=4        *5     5х + 5у=20

 4х- 5у=7              4х- 5у =7

                              9х=27

                              х=3

Подставим  х=3 в уравнение(1)

3+у=4

у=1

Ответ (3;1)

№13.8 а)

3х+7у=46     *3           9х+21у=138

4х-3у=12       *7          28х-21у=84

                                         37х=222

                                         х=6

Подставим  х=6 в уравнение (2)

4*6-3у=12

-3у=12-24

-3у=-12

у=4

Ответ (6;4)

Пока ученики готовят решения  мы с вами повторим прошлый материал

Фронтальный опрос (6мин.)

1. Какие методы решения систем уравнений вы знаете?

2. Суть графического метода

3. Сколько решений может иметь система уравнений?

Слайд

а)  б)  в)

4. Алгоритм метода подстановки.

слайд

5.Алгоритм метода сложения.

слайд

6.Зависит ли ответ системы уравнений от выбора метода?

Проверка решения на доске.

4.Тест (10мин)

  1. вариант

А1. Выразить х через у х+3у=6
а)х=6-3у
б)х=-6-3у
в) х=6+3у

А2.  Если графики прямых параллельны, то система имеет решение:
   а) единственное
  б) много решений
 в) не имеет решений

А3. Для решения системы уравнений  3х+5у=3

                                                                      2х+5у=7

методом алгебраического сложения лучше

а) сложить уравнения
б) вычитать из одного уравнения другое

В1. Решением системы уравнений    х — 2у =1

                                                         у — х= 1    является пара 
а) (3;-2)
б) (-3; -2),
в) (-2; -3)

В2. Результат сложения уравнений х+5у =7, 3х-2у=4 равен
а) 4х-3у =11
б) 4х+7у 11
в) 4х+3у =11

С. Запишите для системы уравнений   х+4у=6

                                                                              3х-2у=4

равносильную систему, у которой противоположные коэффициенты при переменной Х

2 вариант

А1. Выразить х через у х-2у= 8
а)  х=8-2у,
б ) х=-8-2у,
в)  х=8+2у

А2. Если графики прямых совпадают, то система имеет решение:
   а) единственное
  б) много решений
 в) не имеет решений

А3. Для решения системы уравнений  3х + 5у = 3

                                                                      2х — 5у = 7

методом алгебраического сложения лучше

а) сложить уравнения
б) вычитать из одного уравнения другое

В1. Решением системы уравнений    х + 4у = 6

                                                        3х – 2у = 4    является пара 
а) (-2;1)
б) (2; 1),
в) (1; 2)

В2. Результат сложения уравнений 3х + 7у = 2, х — 2у = 1 равен
а) 4х+5у =3
б) 4х+9у=3
в) 4х-5у =3

С. Запишите для системы уравнений   5х+7у=4

                                                                               х-2у=3

равносильную систему, у которой противоположные коэффициенты при переменной Х

Ответы записать в бланке ответов

Бланк ответов

№ задания

Ответ

Правильность (+или -)

Балл

А1      (2 балла)

А2    (2балла)

А3    (2балла)

В1    (3 балла)

В2    (3 балла)

С   (4балла)

Система уравнений

(1-5 баллов)

ИТОГ

Взаимопроверка. Учащиеся меняются бланками ответов. Проверяющие заполняют 3и4 колонки.( Слайд с правильными ответами)

  1. Физкультминутка (1мин)

1)Игра «Великаны и карлики».

Если согласны с утверждением, то встаем и два раза хлопаем, если нет, то сидя мотаем головой  и топаем ногами.(упражнение для мышц шеи)

1.Уравнение 8ху+2у=12 является линейным уравнением с двумя переменными

2.График функции у =-2х проходит через начало координат.

3. Функция  у= 2х-5 является возрастающей.

Решением  системы уравнений являются х=6 и у=4. Значит система уравнений имеет два решения.

2) А теперь все встаём и показываем возрастаюшую прямую иповторяем 4 раза.

3)Показываем убывающую прямую и повторяем ещё 4 раза.

4) Пересекающиеся прямые и повторяем ещё 4 раза.

Вдох, выдох. Садимся на свои места и с продуктивно продолжим работу.

5.Работа у доски.(5мин)

№13.9 г)

4х-3у=12   *3

3х-4у=30    *(-4)

                     12х-9у=36

                -12х+16у=-120

12х-12х-9у+16у=36-120

7у=-84

у=-12

Подставим у=-12 в ур-е (1) 4х-3*(-12)=12

                                                4х=12-36

                                                  х=-24/4

                                                   х=-6

Ответ (-6;-12)

  1. Работа в группах. (6 мин)

Учащиеся группируются группы по 4 человека.

I группа -№13.9 а)            II группа -№13.9 б)                  III группа -№13.9 в)

4х+5у=1            *5

5х+7у=5            *-4

3х-5у=25            *4

4х-3у=37             *-3

7х+5у=-5            *-5

5х+3у=1              *7

20х+25у=5

-20х-28у=-20

25у-28у=5-20

-3у=-15

у=5

4х+5*5=1

4х=1-25

х=-24/4

х=-6

Ответ (-6;5)

12х-20у=100

-12х+9у=-111

-20у+9у=100-111

-11у=-11

  у=1

3х-5*1=25

3х=25+5

х=30/3

х=10

Ответ (10;1)

-35х-25у=25

35х+21у=7

-25у+21у=25+7

-4у=32

у=-8

5х+3*(-8)=1

5х=1+24

х=25/5

х=5

Ответ (5;-8)

Узнать кто автор известных оперетт. Вовремя работы в группах звучит музыка.

Слайд.

6.Решить у доски №13.10а),б,)в). 3 ученика у доски.1вариант а), 2вариант-б) 3вариант-в)

Ответы: а) (-3;-2)     б) (35;-46),  в)  (5;1)

7.Рефлексия

Учитель монотонным голосом предлагает отдохнуть учащимся.

Закройте глаза.

 Расслабьтесь. Поводите глазами вверх, вниз, влево, вправо.

Откройте глаза.

Потянитесь как маленькие котята.

Улыбнитесь друг другу.

И с хорошим настроением продолжим работу.

8.Самостоятельная работа (5мин)  решить на бланке ответов

1 вариант

4х+7у=90

-6х+5у=20

2 вариант

9х+8у=-2

4х+5у=-11

3 вариант

-3х+10у=0,1

4х-15у=2,7

Ответ (5;10)

Ответ(6;-7)

Ответ(-5,7; -1,7)

Проверяют ответы. Решение проверяет учитель(собирает работы)

9.Домашнее задание №13.7(а,б), по желанию  либо №13.10(г), либо №13.11(а)-

10. Итог урока.

Вы активно поработали на уроке, приятно было с вами работать. Что сегодня на уроке вам понравилось? Мы достигли цели урока?

За работу у доски отметки:

За групповую работу отметки

За тест и самостоятельную работу отметки узнаем на следующем уроке.

Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу.

У первого спросил: «Что ты делал целый день?» И тот ответил с ухмылкой, что целый день возил эти проклятые камни.  

У второго мудрец спросил: «А что ты делал  целый день?», и тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу».

А  третий улыбнулся, лицо его  просияло: «А я принимал участие в строительстве Храма!»

Ребята, каждый для себя оцените свою работу.

Спасибо всем за работу!

Решение систем уравнений (одновременных уравнений)

Если у вас есть два разных уравнения с одними и теми же двумя неизвестными в каждом, вы можете решить для обоих неизвестных. Есть три распространенных метода решения: сложение/вычитание, замена и построение графика.

Метод сложения/вычитания

Этот метод также известен как метод исключения.

Чтобы использовать метод сложения/вычитания, сделайте следующее:

  1. Умножьте одно или оба уравнения на какое-либо число (числа), чтобы сделать число перед одной из букв (неизвестных) одинаковым или прямо противоположным в каждом уравнение.
  2. Сложите или вычтите два уравнения, чтобы исключить одну букву.
  3. Найдите оставшееся неизвестное.
  4. Найдите другое неизвестное, подставив значение найденного неизвестного в одно из исходных уравнений.

Пример 1

Найдите x и y .

Добавление уравнений устраняет y ‐членов.

Теперь подставив 5 вместо x в первое уравнение, мы получим следующее:

Ответ: x = 5, y = 2 

Заменив в исходных уравнениях каждые x на 5 и каждые y на 2, вы увидите, что каждое уравнение станет верным.

В Примере и Примере существовал уникальный ответ для x и y , который делал каждое предложение верным одновременно. В некоторых ситуациях вы не получаете уникальных ответов или не получаете ответов. Вы должны знать об этом, когда используете метод сложения/вычитания.

Пример 2

Решите для x и лет.

Сначала умножьте нижнее уравнение на 3. Теперь y предшествует цифра 3 в каждом уравнении.

Уравнения можно вычесть, исключив члены y .

Вставьте x = 5 в одно из исходных уравнений, чтобы найти y .

Ответ: х = 5, y = 3 

Конечно, если число перед буквой в каждом уравнении уже одно и то же, вам не нужно изменять ни одно из уравнений. Просто добавьте или вычтите.

Чтобы проверить решение, замените каждое x в каждом уравнении на 5 и замените каждое y в каждом уравнении на 3.  

Пример 3

Умножьте верхнее уравнение на 2. Обратите внимание, что получится.

Теперь, если вы должны вычесть одно уравнение из другого, результат будет 0 = 0.

Это утверждение всегда верно .

Когда это происходит, система уравнений не имеет единственного решения. На самом деле, любая замена на и на , которая делает одно из уравнений верным, также делает верным другое уравнение. Например, если a = -6 и b = 5, то оба уравнения выполняются.

[3(– 6) + 4(5) = 2 И 6(– 6) + 8(5) = 4]

На самом деле у нас есть только одно уравнение, записанное двумя разными способами. В этом случае второе уравнение фактически является первым уравнением, умноженным на 2. Решением для этой ситуации является либо исходное уравнение, либо упрощенная форма любого уравнения.

Пример 4

Найдите x и y .

Умножьте верхнее уравнение на 2. Обратите внимание, что получится.

Теперь, если вы вычтете нижнее уравнение из верхнего уравнения, результат будет 0 = 1. Это утверждение равно 9.0023 никогда не верно . В этом случае система уравнений не имеет решения.

В примерах 1–4 только одно уравнение умножалось на число, чтобы числа перед буквой были одинаковыми или противоположными. Иногда каждое уравнение нужно умножать на разные числа, чтобы числа перед буквой были одинаковыми или противоположными.

Найдите x и y .

Обратите внимание, что нет простого числа, на которое можно умножить любое уравнение, чтобы получить числа перед 9.0023 x или y , чтобы стать одинаковыми или противоположными. В этом случае сделайте следующее:

  1. Выберите букву для исключения.
  2. Используйте две цифры слева от этой буквы. Найдите наименьшее общее кратное этого значения в качестве желаемого числа, которое должно стоять перед каждой буквой.
  3. Определите, на какое значение нужно умножить каждое уравнение, чтобы получить это значение, и умножьте уравнение на это число.

Предположим, вы хотите исключить x . Наименьшее общее кратное 3 и 5, число перед x , равно 15. Первое уравнение нужно умножить на 5, чтобы получить 15 перед x . Второе уравнение нужно умножить на 3, чтобы получить 15 перед x .

Теперь вычтите второе уравнение из первого уравнения, чтобы получить следующее:

В этот момент вы можете либо заменить y на и найти x (метод 1 ниже), либо начать с исходного два уравнения и исключить y , чтобы вычислить x (способ 2 ниже).

Метод 1

Используя верхнее уравнение: Замените y на и найдите x .

Метод 2

Исключите y и найдите x .

Наименьшее общее кратное 4 и 6 равно 12. Умножьте верхнее уравнение на 3, а нижнее на 2.

Теперь сложите два уравнения, чтобы исключить y .

Решение x = 1 и .

Метод подстановки

Иногда система легче решается методом подстановки . Этот метод включает подстановку одного уравнения в другое.

Пример 6

Решите для x и лет.

Из первого уравнения подставьте ( y + 8) вместо x во второе уравнение.

( у + 8) + 3 г = 48 

Теперь найдите г. Упростите, объединив и .

Теперь подставьте y значение 10 в одно из исходных уравнений.

Ответ: y = 10, x = 18 

Проверьте решение.

Пример 7

Найдите x и y методом подстановки.

Сначала найдите уравнение, в котором перед буквой стоит либо «1», либо «– 1». Решите для этой буквы через другую букву.

Затем действуйте, как в примере 6.

В этом примере в нижнем уравнении стоит «1» перед y .

Найдите y через x .

Подставьте 4 x – 17 вместо y в верхнем уравнении, а затем найдите x .

Замените x на 4 в уравнении y – 4 x = –17 и найдите y .

Решение: x = 4, y = –1.

Проверить решение:

Графический метод

Другой метод решения уравнений состоит в построении каждого уравнения на координатном графике. Координаты пересечения и будут решением системы. Если вы не знакомы с построением координатных графиков, внимательно изучите статьи по координатной геометрии, прежде чем пытаться использовать этот метод.

Пример 8

Решите систему с помощью графика.

Сначала найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению. (Хотя для определения прямой линии необходимы только две точки, нахождение третьей точки является хорошим способом проверки.) Ниже приведены таблицы значений x и y :


x
и
 | 4 | 0
 | 2 | –2
 | 5 | 1


x
и
 | 1 | -1
 | 4 | 0
 | 7 | 1

Теперь начертите две линии на координатной плоскости, как показано на рис. 1. 

Точка пересечения двух прямых (4, 0) является решением системы.

Если прямые параллельны, то они не пересекаются, а значит, у этой системы нет решений.

Рис. 1. График линий х = 4 + y и х – 3 y = 4 с указанием решения.

Пример 9

Решите систему с помощью графика.

Найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению.

3 x + 4 y = 2 6 x + 8 y = 4

Ниже приведены таблицы значений x и 4 y 9002. См. рис. 2. 


x
и
 | 0 |
| 2 | – 1
| 4 |


x
и
 | 0 |
| 2 | – 1
| 4 |

Обратите внимание, что одинаковые точки удовлетворяют каждому уравнению. Эти уравнения представляют одну и ту же прямую.

Следовательно, решение не является единственной точкой. Решением являются все точки на прямой.

Следовательно, решением является любое уравнение прямой, поскольку они оба представляют одну и ту же прямую.

Это похоже на пример, когда это было сделано с использованием метода сложения/вычитания.

Рис. 2. График линий 3 x + 4 y = 2 и 6 x + 8 y = 4 с указанием решения.

Пример 10

Решите систему с помощью графика.

Найдите три значения для x и y , которые удовлетворяют каждому уравнению. См. следующие таблицы значений x и y :


x
и
 | 0 | 1
 | 2 |
| 4 | -2 


x
и
 | 0 | 2
 | 2 |
| 4 | -1 

Обратите внимание, что на рисунке 3 два графика параллельны. Они никогда не встретятся. Следовательно, для этой системы уравнений решения нет.

Для этой системы уравнений не существует решения.

Это похоже на пример, выполненный с использованием метода сложения/вычитания.

Рис. 3. График линий 3 х + 4 у = 4 и 6 х + 8 у = 16, обозначающий решение.

Системы трех уравнений: решение методом сложения и вычитания

Решение путем сложения и вычитания

Сложение/вычитание
обсуждали, как решать системы двух уравнений с двумя переменными сложением/вычитанием
метод. Системы с тремя уравнениями и тремя переменными также могут быть
решается методом сложения/вычитания.

Выберите любые две пары уравнений в системе. Затем используйте сложение и
вычитание для исключения одной и той же переменной из обеих пар
уравнения. Это оставляет два уравнения с двумя переменными — одно уравнение
от каждой пары. Решите эту систему , используя сложение/вычитание
метод. Затем снова подключите решение к одному из трех исходных
уравнения для решения оставшейся переменной.

Здесь в пошаговом формате показано, как решить систему с тремя уравнениями и
три переменные:

  1. Выберите любые две пары уравнений из системы.
  2. Удалите одну и ту же переменную из каждой пары, используя
    Метод сложения/вычитания.
  3. Решите систему двух новых уравнений, используя
    Метод сложения/вычитания.
  4. Подставьте решение обратно в одно из исходных уравнений и
    найти третью переменную.
  5. Проверьте, подключив раствор к одному из трех других
    уравнения.


Пример : Решите следующую систему:

4 х — 3 у + z = — 10

2 х + у + 3 z = 0

х + 2 у — 5 х = 17

  1. Выберите две пары:

    4 x — 3 y + z = — 10
    2 х + у + 3 z = 0

    и

  2. Удалить одну и ту же переменную из каждой системы:

    4 х — 3 у + z = — 10

    2 х + у + 3 z = 0

    4 х — 3 у + z = — 10

    -4 х — 2 у — 6 х = 0

    -5 у — 5 у = — 10

    2 х + у + 3 z = 0

    х + 2 у — 5 г = 17

    2 х + у + 3 z = 0

    -2 х + 4 у — 10 z = 34

    5 у — 7 у = 34

  3. Решите систему двух новых уравнений:

    -5 г — 5 г = — 10

    5 у — 7 у = 34

    -12 z = 24

    Таким образом, z = — 2

    -5 у — 5(- 2) = — 10

    -5 у = — 20

    Таким образом, y = 4

  4. Подставим в одно из исходных уравнений:
    x + 2 y — 5 z = 17

    х + 2(4) — 5(- 2) = 17

    х + 18 = 17

    х = — 1

    х = 1

    Следовательно, ( x , y , z ) = (1, 4, — 2).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *