Задачи теорема фалеса 8 класс: формула и примеры решения задач

Содержание

формула и примеры решения задач

Содержание:

Формулировка теоремы Фалеса

Теорема

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые,
пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки (рис. 1).

В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и
для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.

Теорема

Обобщённая теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки (рис. 1):

$$\frac{A_{1} A_{2}}{B_{1} B_{2}}=\frac{A_{2} A_{3}}{B_{2} B_{3}}=\frac{A_{1} A_{3}}{B_{1} B_{3}}$$

Теорема Фалеса является частным случаем обобщённой теоремы Фалеса, поскольку равные отрезки можно считать
пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Теорема

Обратная теорема Фалеса

Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные
(или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны (рис. 2).

Замечание. В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Разделить данный отрезок на четыре равные части.

Решение. Пусть
$AB$ — заданный отрезок (рис. 3),
который необходимо разделить на четыре равные части.

Через точку $A$ проведем произвольную полупрямую
$a$ и отложим на ней последовательно четыре
равных между собой отрезка $AC, CD, DE, EK$ .

Соединим точки $B$ и $K$ отрезком и проведем через оставшиеся точки
$C$, $D$ и $E$ прямые, параллельные прямой
$BK$ так, чтобы они пересекли отрезок
$AB$ .

Согласно теореме Фалеса отрезок
$AB$ разделится на четыре равные части.

Слишком сложно?

Теорема Фалеса не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. На стороне $AB$ треугольника
$ABC$ отмечена точка
$K$. Отрезок
$CK$ пересекает медиану
$AM$ треугольника в точке
$P$, причем
$AK = AP$. Найти отношение
$BK : PM$ .

Решение. Проведем через точку
$M$ прямую, параллельную
$CK$, которая пересечет
$AB$ в точке
$D$ (рис. 4).

По теореме Фалеса $BD = KD$ .

По теореме о пропорциональных отрезках имеем, что

$$P M=K D=\frac{B K}{2} \Rightarrow B K: P M=2: 1$$

Ответ. $B K: P M=2: 1$

Историческая справка

Теорема Фалеса (а также теоремы Чевы и Менелая) применяются в первую очередь тогда, когда в задаче даны соотношения между
отрезками. Очень часто при этом приходится проводить дополнительный отрезок.

Аргентинская музыкальная группа представила песню, посвящённую теореме. В видеоклипе для этой песни приводится доказательство
для прямой теоремы для пропорциональных отрезков.

Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с
постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что
вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу,
о чём есть свидетельство Прокла.

Формулировка теоремы Фалеса по геометрии 8 класса: обобщенная, обратная

В данной публикации мы рассмотрим одну из основных теорем по геометрии 8 класса – теорему Фалеса, которая получила такое название в честь греческого математика и философа Фалеса Милетского. Также разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.

Формулировка теоремы

Если на одной из двух прямых отмерить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то пересекая вторую прямую они отсекут на ней равные между собой отрезки.

  • A1A2 = A2A3
  • B1B2 = B2B3

Примечание: Взаимное пересечение секущих не играет роли, т.е. теорема верна и для пересекающихся прямых, и для параллельных. Расположение отрезков на секущих, также, не важно.

Обобщенная формулировка

Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках*: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

В соответствии с этим для нашего чертежа выше справедливо следующее равенство:

* т.к. равные отрезки, в т.ч., являются пропорциональными с коэффициентом пропорциональности, равным единице.

Обратная теорема Фалеса

1. Для пересекающихся секущих

Если прямые пересекают две другие прямые (параллельные или нет) и отсекают на них равные или пропорциональные отрезки, начиная от вершины, значит эти прямые являются параллельными.

Из обратной теоремы следует:

Обязательное условие: равные отрезки должны начинаться от вершины.

2. Для параллельных секущих

Отрезки на обеих секущих должны быть равны между собой. Только в этом случае теорема применима.

  • a || b
  • A1A2 = B1B2 = A2A3 = B2B3

Пример задачи

Дан отрезок AB на плоскости. Разделите его на 3 равные части.

Решение

Проведем из точки A прямую a и отметим на ней три подряд идущих равных отрезка: AC, CD и DE.

Крайнюю точку E на прямой a соединяем с точкой B на отрезке. После этого через оставшиеся точки C и D параллельно BE проведем две прямые, пересекающие отрезок AB.

Образованные таким образом точки пересечения на отрезке AB делят его на три части, равные между собой (согласно теореме Фалеса).

«Теорема Фалеса» 8 класс. Урок №9 по геометрии

1. Теорема Фалеса

Урок №9 по геометрии в 8
классе
Учитель: Федорова Т.Ф.
2009-2010 уч. год.
5klass.net

2. Цели урока:

• Рассмотреть теорему Фалеса и
закрепить ее в процессе решения
задач.
Совершенствовать навыки решения
задач на применение свойств
равнобедренной трапеции, ее
признаков, а также на применение
знаний по теме « Трапеция»

3. Задачи на готовых чертежах

В
В
С
С
75
40
А
D
Найти углы трапеции
В
А
BC║CD
Е
Найти углы трапеции
В
С
60
50
А
Найти С
D
А
5
D
С
60
Р
К
AD=7.Найти: СМ
D
В
С
х
Составим уравнение:
2х +х+90 = 180
3х = 180 — 90
х
х
3х = 90

А
D
Х = 30
C = 30 + 90 = 120 .
Найти углы трапеции
Ответ:
А = D = 60 ,
C = B = 120 .

5. Ответы к задачам

1. A = D = 60 , B = C =120 .
2. A=40 , D=65 , C=115 , B=140 .
3. C = 100 .
4. CM =2.
Фалес Милетский
624-547г.г. до н.э.
Великий учёный Фалес
Милетский основал одну из
прекраснейших наукгеометрию. Известно, что
Фалес Милетский имел титул
одного из семи мудрецов
Греции, что он был поистине
первым философом, первым
математиком, астрономом и
вообще первым по всем наукам
в Греции. Короче: он был то
же для Греции, что Ломоносов
для России.
Карьеру он начинал как купец и ещё в
молодости попал в Египет. В Египте
Фалес застрял на много лет, изучая
науки в Фивах и Мемфисе.
Считается, что геометрию и
астрономию в Грецию привёз он.
Фалес- математик. Он измерил по
тени высоту пирамиды; установил,
что окружность диаметром
делится пополам, что углы при
основании равнобедренного
треугольника равны. Ему же
принадлежит теорема, что
вписанный угол, опирающийся на
диаметр окружности- прямой
До наших дней дошли изречения Фалеса, вот некоторые из них:
.
Фалес известен как геометр. Ему приписывают открытие и доказательство
ряда теорем: о делении круга диаметром пополам, о равенстве углов при
основании равнобедренного треугольника, о равенстве вертикальных
углов, один из признаков равенства прямоугольных треугольников и
другие. Он открыл любопытный способ определения расстояния от берега
до видимого корабля.
Столь же остроумно Фалес предложил измерять высоту предметов. Став недалеко
от предмета, надо дождаться пока тень человека не сделается равной его росту.
Измерив тогда длину тени предмета, можно заключить, что она равно длине
предмета. Говорят, что таким способом он измерял высоту египетских пирамид.

13. Задача № 384

В
1
М
3
Дано: тр-к АВС
АМ =МВ
N
4 D
МN || АС
Доказать: ВN =NC
2
А
С
Теорема: если параллельные прямые, пересекающие стороны
угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они
отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Дано: угол, параллельные прямые
пересекают стороны угла, А1А2=А2А3
В2
F
Доказать: В1В2=В2В3
В3
Доказательство.
E
1. Проведём через точку В2 прямую ЕF,
параллельную прямой А1А3.
В1
А1
А2
А3
2. По свойству параллелограмма
А1А2=FВ2, А2А3=В2Е.
3. Так как А1А2=А2А3, то FВ2=В2Е
4. Треугольники В2В1F и В2В3Е равны по
второму признаку ( у них В2F=В2Е по
доказанному. Углы при вершине В2
равны как вертикальные, а углы
В2FВ3равны как внутренние накрест
лежащие при параллельных А1В1 и А3В3
и секущей ЕF.)
5. Из равенства треугольников следует

16. Задача № 385

А1
А2
А3
А4
А1
А2
А3
А4
В1
В2
В3
В4
С
D
В1
В2
В3
В4
а
в
а
с
в
ЗАДАЧА: РАЗДЕЛИТЕ ДАННЫЙ ОТРЕЗОК НА n
РАВНЫХ ЧАСТЕЙ
Вn-1
В1
В2
В
2.Отложим на луче АО
равные отрезки:АА1,
А1А2, А2А3, …, Аn-1Аn.
В3
А
А1
А2
А3
1.Проведём из точки А
луч АО, не лежащий на
отрезке АВ.
Аn-1
Аn
О
3.Соединим отрезком
точку Аn с точкой В.
4.Через точки А1,А2, …
Аn-1проведём прямые,
параллельные АnВ.
5.По теореме Фалеса
отрезки АВ1, В1В2, …,Вn1В равны.

18. Задачи на готовых чертежах

B
Задачи на готовых чертежах
A
A1 A2 A3 A4
F
E
B1
5
4
12
A
C
EF║AC. Найти:РАВС
В
B3
B4
АВ4=20. Найти:В2В3.
С
10
В
С
М
N
М
B2
O
А
Доказать:АО = СО
D
А
К
Е
МК║ВЕ║СD, AD=16.
Найти:АК.
D

19. Задача №386

• Докажите, что отрезок, соединяющий середины
боковых сторон трапеции, параллелен
основаниям трапеции.
В
M
А
С
N
D

20. Задача № 393 б)

d1
d2
Дано:d1-диагональАС
d2- диагональ ВD
а- угол между диагоналями
a
Построить:
АВСD

21. Анализ

В
С
О
А
D
Допустим, что АВСD построен. СО = 0,5d1, ОD = 0,5d2,
значит, треугольник СОD можем построить по двум
сторонам и углу между ними, а затем достроим его до
параллелограмма.

22. Доказательство

В четырёхугольнике АВСD диагонали точкой
пересечения делятся пополам, значит АВСDпараллелограмм. АС=d1, ВD = d2 ,
угол СОD=a, значит АВСD – искомый
параллелограмм.

23. Исследование

Задача имеет одно решение и всегда возможна.

24. Домашнее задание

Задачи № 391, № 392
Дополнительная задача:
В равнобедренной трапеции острый
угол равен 60 . Докажите, что меньшее
основание равно разности большего
основания и боковой стороны.

Урок 5. теорема фалеса — Геометрия — 8 класс

Возьмем лист бумаги с параллельными краями, отложим не нем произвольный отрезок AB и проведем прямые, перпендикулярные AB. Согнем лист по этим перпендикулярам, повторим сгибы несколько раз и раскроем лист. Измерим отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1.
Повторим такие же действия с листом бумаги, у которого края не параллельны. Измерим отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1.
И в первом и во втором случае отрезки А1В1, В1С1, С1Д1, Д1E1 равны. Их равенство доказывается теоремой, которую нызывают по имени греческого математика Фалеса Милетского.
Формулировка теоремы Фалеса:
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных).
Дано: А1А2 = А2А3
c || d || e
Доказать: В1В2 = B2В3
Доказательство:
А) пусть a || b
А1А2 = В1В2
А2А3 = B2В3
Как противоположные стороны параллелограммов. По условию А1А2 = А2А3, следовательно В1В2 = B2В3
Б) пусть ab

Проведем прямую k, параллельную прямой a, она пересечет прямую с в точке F, прямую d в точке В2, прямую e в точке Е.
A1FB2A2 – параллелограмм, значит А1А2 = FB2
Аналогично доказывается, что А2А3 = B2E, по условию А1А2 = А2А3, значит FB2 = B2E. Треугольники B1FB2 и B2B3E равны по стороне и двум углам.
Следовательно, В1В2 = B2В3
В общем виде теорема Фалеса формулируется так: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки.
Есть и более короткая формулировка: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Доказанная выше теорема является частным случаем общей теоремы Фалеса, так как равные отрезки пропорциональны с коэффициентом, равным единице.
Для теоремы Фалеса верно обратное утверждение:
Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.
В этой теореме важно, что равные отрезки начинаются от вершины.

С помощью теоремы Фалеса можно разделить данный отрезок на n равных частей.
Пусть дан отрезок AB длиной 8 см. Требуется разделить его на 7 равных частей.
Решение:
Проведем луч с началом в точке А, отличный от отрезка АВ, и отложим на нем с помощью циркуля последовательно семь равных отрезков, начиная от точки А.
Конец последнего отрезка соединим с точкой B и проведем параллельные прямые через каждую из точек до пересечения с отрезком АВ.

Отрезок АВ разделится на 7 частей, они равны между собой по теореме Фалеса.

Фалес Милетский – родился приблизительно в 625 г. умер в середине VI в. до н.э. – родоначальник европейской науки и философии математик, астроном и политический деятель. Фалес происходил из знатного финикийского рода, был современником Солона и Креза, среди сограждан пользовался большим уважением.
В геометрии Фалесу приписывают открытие и доказательство ряда теорем: о делении круга диаметром пополам, о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, о равенстве вертикальных углов, один из признаков равенства прямоугольных треугольников и другие.
Фалес впервые ввел в науку, и в частности в математику, доказательство.
Теорема Фалеса используется не только в геометрии, но и в морской навигации. Она выступает в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

Конспект урока «Теорема Фалеса» — геометрия, уроки


Тема: «Теорема Фалеса»


Тип урока: изучение нового материала


Цели:


Образовательные: способствовать закреплению ранее усвоенного теоретического материала; осуществить взаимоконтроль знаний учащихся; сформулировать и доказать теорему Фалеса.


Воспитательные: содействовать в воспитании навыков учебного труда; формировать ответственность за конечный результат; воспитание интерес к предмету.


Развивающие: создать условия для развития логического мышления; выработки умения систематизировать и обобщать.


Ход урока:


1. Организационный момент


Проверить готовность учащихся к уроку.


2. Проверка домашнего задания


Собрать тетради с домашним заданием.


3. Актуализация знаний


1. Какие отрезки называются равными?


2. Какие прямые называются параллельными?


3. Какие углы называются вертикальными, внутренними накрест лежащими?


4. Сформулируйте теорему о свойстве параллельных прямых, пересечённых третьей прямой.


4. Целемотивационный этап


Сегодня на уроке мы с вами познакомимся с новой теоремой, которая носит название «Теорема Фалеса».


Евклид (300г. до н.э.) счёл эту задачу неразрешимой, при этом ранее Фалес (600г. до н.э.) наоборот решил её как частность в своей теореме.


Фалес – купец, политический деятель, астроном, математик, живший в греческом городе Милете, первый доказал ряд геометрических теорем. Эти положения были частично известны еще вавилонянам и египтянам, но в отличие от вавилонской и египетской геометрии, имевшей преимущественно практический характер, греческая геометрия характеризуется стремлением установить, что геометрические факты справедливы в любом случае.


Как философ, Фалес учил, что явления мира не случайны, мир не хаотичен, а закономерен. Он считал, что вода есть начало всего. Из нее возникло все существующее и в нее, в конце концов, опять превращается.


Фалес сделал ряд открытий в области астрономии: установил время равноденствий и солнцестояний, определил продолжительность года, впервые наблюдал Малую медведицу. Особую славу ему принесло предсказание солнечного затмения, происшедшего в 585 г. до н. э. Вот почему он был причислен к группе “семи мудрецов древности”.


Фалес также входил в число знаменитых семи мудрецов, чьи изречения дошли до наших дней.


4. Изучение нового материала


Сформулировать теорему Фалеса.


Теорема (теорема Фалеса). Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла, то на другой стороне угла отложатся равные отрезки.


Дано: АВ = ВС, АА1||ВВ1||СС1


Доказать: A1B1 = B1C1.


Доказательство.


1) Проведем AKA1C1, BMA1C1, тогда AKBM.


2) ABK=BCM по 2-му признаку (AB=BC по условию, ∠BAK=∠CBM и ∠ABK=∠BCM), значит AK=BM.


3) Т.к. AA1B1K и BB1C1M — параллелограммы (их противоположные стороны параллельны), то A1B1 = AK, B1C1 = BM. Значит, A1B1 = B1C1 ЧТД.


Замечания:


1. Отложенных равных отрезков может быть два, три и более.


2. Теорема Фалеса справедлива не только для сторон угла, но и для произвольных прямых.


Сформулировать теорему, обратную теореме Фалеса.


Теорема (обратная теореме Фалеса). Если на сторонах угла от его вершины отложить равные отрезки, то прямые, проходящие через их концы, будут параллельны.


 


 


 


 


Алгоритм деления отрезка на равные части:


  1. Построить отрезок.

  2. Построить луч, исходящий из одного из концов отрезка.

  3. С помощью циркуля отложить на луче необходимое количество отрезков равной длины.

  4. Провести прямую через последнюю точку на луче и другой конец отрезка.

  5. Провести прямые, проходящие через оставшиеся точки на луче, параллельные прямой, построенной в предыдущем пункте.

  6. Обозначить точки пересечения прямых с отрезком.


Разделить отрезок на три равные части по данному алгоритму на доске.


5. Первичное закрепление изученного материала


Задача на готовом чертеже:


6. Физкультминутка


Разминка шеи, спины и кистей рук.


7. Решение задач


Решаем задачи из учебника:


Устно: № 95, № 96


Письменно: № 98


8.  Домашнее задание: Гл. 1 §7 № 97


9. Подведение итогов. Рефлексия


  1. Какова была тема урока?

  2. Какую задачу ставили?

  3. Каким способом решали поставленную задачу?

  • Если вы считаете, что поняли тему урока, то разделите отрезок на 9 равных частей.

  • Если вы считаете, что не достаточно усвоили материал, то разделите отрезок на 7 равных частей.

  • Если вы считаете, что не поняли тему урока, то разделите отрезок на 3 равные части.


 


 


Алгоритм деления отрезка на равные части:


  1. Построить отрезок.

  2. Построить луч, исходящий из одного из концов отрезка.

  3. С помощью циркуля отложить на луче необходимое количество отрезков равной длины.

  4. Провести прямую через последнюю точку на луче и другой конец отрезка.

  5. Провести прямые, проходящие через оставшиеся точки на луче, параллельные прямой, построенной в предыдущем пункте.

  1. Обозначить точки пересечения прямых с отрезком.


 


 


Алгоритм деления отрезка на равные части:


  1. Построить отрезок.

  2. Построить луч, исходящий из одного из концов отрезка.

  3. С помощью циркуля отложить на луче необходимое количество отрезков равной длины.

  4. Провести прямую через последнюю точку на луче и другой конец отрезка.

  5. Провести прямые, проходящие через оставшиеся точки на луче, параллельные прямой, построенной в предыдущем пункте.

  1. Обозначить точки пересечения прямых с отрезком.


 


 


Алгоритм деления отрезка на равные части:


  1. Построить отрезок.

  2. Построить луч, исходящий из одного из концов отрезка.

  3. С помощью циркуля отложить на луче необходимое количество отрезков равной длины.

  4. Провести прямую через последнюю точку на луче и другой конец отрезка.

  5. Провести прямые, проходящие через оставшиеся точки на луче, параллельные прямой, построенной в предыдущем пункте.

  1. Обозначить точки пересечения прямых с отрезком.


 


 


Алгоритм деления отрезка на равные части:


  1. Построить отрезок.

  2. Построить луч, исходящий из одного из концов отрезка.

  3. С помощью циркуля отложить на луче необходимое количество отрезков равной длины.

  4. Провести прямую через последнюю точку на луче и другой конец отрезка.

  5. Провести прямые, проходящие через оставшиеся точки на луче, параллельные прямой, построенной в предыдущем пункте.

  1. Обозначить точки пересечения прямых с отрезком.


 


 

Презентация. Теорема Фалеса. 8 класс.

ТЕОРЕМА

ФАЛЕСА

8 класс

МБОУ «Большаковская СОШ» Яковлева Ирина Владимировна

Фалес Милетский VI век до н. э.

Фалес первым сформулировал и доказал несколько геометрических теорем, среди которых:

1) вертикальные углы равны;

2) имеет место равенство треугольников по одной стороне и двум прилегающим к ней углам;

3) углы при основании равнобедренного треугольника равны;

Фалес научился определять расстояние от берега до корабля. В основе этого способа лежит теорема, названная впоследствии теоремой Фалеса:

Е сли параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают равные отрезки на одной его стороне, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Легенда рассказывает о том, что Фалес, будучи в Египте, поразил фараона Амасиса тем, что сумел точно установить высоту пирамиды, дождавшись момента, когда длина тени палки становится равной её высоте, и тогда измерил длину тени пирамиды.

Теорема Фалеса

Теорема. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (рис. а).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Теорему Фалеса можно применять для деления отрезка на n равных частей (рис. б).

Теорема о пропорциональных отрезках

Отношением двух отрезков AB и CD называется число, показывающее сколько раз отрезок CD и его части укладываются в отрезке АВ .

Говорят, что отрезки АВ , CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 , C 1 D 1 , если равны их отношения

Теорема. (О пропорциональных отрезках.) Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Свойство биссектрисы треугольника

Б иссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е. если CD – биссектриса треугольника ABC , то AD : DB = AC : BC .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Доказательство: Проведем прямую BE , параллельную CD . В треугольнике BEC угол B равен углу E . Следовательно, BC = EC . По теореме о пропорциональных отрезках, AD : DB = AC : CE = AC : BC .

5

Обратное свойство

Е сли луч, проведенный из вершины угла треугольника, делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника, прилежащим к лучу, то этот луч является биссектрисой угла треугольника.

Доказательство: Пусть для луча CD выполняется равенство AD : DB = AC : BC . Проведем прямую BE , параллельную CD . По теореме о пропорциональных отрезках, AD : DB = AC : CE . Сравнивая эти два равенства, получаем равенство BC = CE , из которого следует равенство углов CBE и BEC . Но угол CBE равен углу BCD , а угол BEC равен углу ACD . Значит, CD – биссектриса треугольника ABC .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

5

№ 1

Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A , C и B , D соответственно. Найдите OC , если OB = BD = 5 и OA = 6.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 12.

5

№ 2

Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A , C и B , D соответственно. Найдите OD , если OA = 6, AC = 12 и OB = 5.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 15.

5

№ 3

Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A , C и B , D соответственно. Найдите OA , если OC = 24 и OB : OD = 2 : 3.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 16.

5

№ 4

Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A , B и C , D соответственно. Найдите OA , если OB = 15 см и OC : OD = 2 : 5 .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 6 см.

5

№ 5

Определите, пропорциональны ли пары отрезков а , b и c , d , если:

а) a = 0,8 см, b = 0,3 см, с = 2,4 см, d = 0,9 см;

б) а = 50 мм, b = 6 см, с = 10 см, d = 18,5 см.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) Да;

б) нет.

5

№ 6

Среди отрезков a , b , c , d , e выберите пары пропорциональных отрезков, если а = 2 см, b = 17,5 см, с = 16 см, d = 35 см, е = 4 см.

Ответ: a , e и b , d .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

5

Ответ: 8 см.

№ 7

Даны три отрезка: а , b , и с . Какова должна быть длина четвертого отрезка d , чтобы из них можно было образовать две пары пропорциональных отрезков, если а = 6 см, b = 3 cм, с = 4 см, и отрезок d больше каждого из этих отрезков.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

5

№ 8

На одной из сторон угла расположены два отрезка 3 см и 4 см. Через их концы проведены параллельные прямые, образующие на другой стороне также два отрезка. Больший из отрезков равен 6 см. Чему равен другой отрезок?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 4,5 см.

5

№ 9

Стороны угла с вершиной O пересечены двумя параллельными прямыми в точках A 1 , A 2 и B 1 , B 2 соответственно. Найдите: а) B 1 B 2 , если OA 1 = 8 см, A 1 A 2 = 4 см, OB 2 = 6 см; б) OB 1 и OB 2 , если OA 1 : OA 2 = 3 : 5 и OB 2 – OB 1 = 8 см; в) OA 1 и OA 2 , если OB 1 : B 1 B 2 = 2 : 3 и OA 1 + OA 2 = 14 см.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) 2 см;

б) 12 см и 20 см;

в) 4 см и 10 см .

5

№ 10

В треугольнике АВС сторона ВС разделена на четыре равные части и через полученные точки деления проведены прямые, параллельные стороне АВ , равной 18 см. Найдите отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 4,5 см, 9 см, 13,5 см.

5

№ 11

Основания трапеции равны 14 см и 20 см. Одна из боковых сторон разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найдите отрезки этих прямых, заключенные внутри трапеции.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 16 см и 18 см.

5

№ 12

На медиане CC 1 треугольника ABC взята точка M , CM : MC 1 = 3:1. Через нее проведена прямая, параллельная стороне BC , пересекающая сторону AB в точке N . Найдите отношение AN : NB .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Решение. C 1 N : NB = 1:3, AC 1 = C 1 B , следовательно, AN : NB = 5:3.

5

№ 13

В треугольнике ABC проведены медианы AA 1 и CC 1 , которые пересекаются в точке M . Найдите отношение CM : MC 1 .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Решение. Проведем отрезок C 1 D , параллельный отрезку AA 1 . Он является средней линией треугольника AA 1 B , следовательно, A 1 D = DB . В треугольнике CC 1 D CA 1 : A 1 D = 1:0,5. Значит, CM : MC 1 = 2:1.

19

№ 14

На продолжении стороны AC треугольника ABC взята точка K , AC = CK . Через нее и середину L стороны AB проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке N . Найдите отношение BN : NC .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Решение. Проведем отрезок BK .

В треугольнике ABK отрезки BC и KL являются медианами. В силу предыдущей задачи, BN : NC = 2:1.

20

№ 15

На продолжении стороны AC треугольника ABC взята точка D , AC = CD . Через нее и середину E стороны BC проведена прямая, пересекающая сторону AB в точке F . Найдите отношение AF : FB .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Решение. Проведем среднюю линию CG треугольника ADF .

Треугольнике BEF и CEG равны по 2-му признаку. Следовательно, AF = 2 CG = 2 FB , значит, AF : FB = 2:1.

21

№ 16

В треугольнике ABC проведена медиана СС 1 и отрезок AA 1 , пересекающий CC 1 в точке M , для которого CA 1 : A 1 B = 3:1. Найдите отношение CM : MC 1 .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Решение. Проведем отрезок C 1 D , параллельный отрезку AA 1 .

Он является средней линией треугольника AA 1 B , следовательно, A 1 D = DB . В треугольнике CC 1 D CA 1 : A 1 D = 3:0,5. Значит, CM : MC 1 = 6:1.

22

№ 17

В треугольнике ABC проведена медиана СС 1 и отрезок AA 1 , пересекающий CC 1 в точке M , для которого CA 1 : A 1 B = 3:1. Найдите отношение AM : MA 1 .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Решение. Проведем отрезок A 1 D , параллельный отрезку CC 1 .

Имеем, C 1 D : DB = 3:1. Следовательно, AC 1 : C 1 D = 4:3. Значит, AM : MA 1 = 4:3.

23

№ 18

В треугольнике ABC проведена медиана СС 1 и отрезок AA 1 , пересекающий CC 1 в точке M , для которого CA 1 : A 1 B = 1:2. Найдите отношение CM : MC 1 .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Решение. Проведем отрезок C 1 D , параллельный отрезку AA 1 .

Он является средней линией треугольника AA 1 B , следовательно, A 1 D = DB . В треугольнике CC 1 D CA 1 : A 1 D = 1:1. Значит, CM : MC 1 = 1:1.

24

№ 19

В треугольнике ABC проведена медиана СС 1 и отрезок AA 1 , пересекающий CC 1 в точке M , для которого CA 1 : A 1 B = 1:2. Найдите отношение AM : MA 1 .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Решение. Проведем отрезок A 1 D , параллельный отрезку CC 1 .

Имеем, С 1 D : DB = 1:2. Следовательно, AC 1 : C 1 D = 3:1. Значит, AM : MA 1 = 3:1.

25

№ 20

В треугольнике ABC проведена отрезки AA 1 и отрезок CC 1 , пересекающиеся в точке M , для которых AC 1 : C 1 B = 1:2, CA 1 : A 1 B = 2:1. Найдите отношение CM : MC 1 .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Решение. Проведем отрезок C 1 D , параллельный отрезку AA 1 . Тогда A 1 D : DB = AC 1 : C 1 B = 1:2 . В треугольнике CC 1 D CA 1 : A 1 D = 2 : 1/3. Значит, CM : MC 1 = 6:1.

26

№ 21

В треугольнике ABC проведена медиана СС 1 и отрезок AA 1 , пересекающий CC 1 в точке M , для которого CA 1 : A 1 B = 2:1. Найдите отношение AM : MA 1 .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Решение. Проведем отрезок A 1 D , параллельный отрезку CC 1 . Тогда C 1 D : DB = 2:1, AC 1 = C 1 B . Следовательно, AC 1 : C 1 D = 3:2. Значит, AM : MA 1 = 3:2.

27

№ 22

В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны CD . Отрезок AE пересекает диагональ BD в точке F . Найдите отношение DF : FB .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Решение. Проведем отрезок CG , параллельный отрезку AE . Обозначим H его точку пересечения с диагональю BD .

В треугольнике CDH EF – средняя линия. Следовательно, DF = FH . В треугольнике ABF GH – средняя линия. Следовательно, BH = HG . Значит, DF : FB = 1 : 2.

28

№ 23

В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны CD . Отрезок AE пересекает диагональ BD в точке F . Найдите отношение AF : FE .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Решение. Проведем отрезок CG , параллельный отрезку AE . Обозначим H его точку пересечения с диагональю BD .

В треугольнике CDH EF – средняя линия. Следовательно, AF = CH = 2 FE . Значит, AF : FE = 2 : 1.

29

№ 24

В параллелограмме ABCD точки E и F – середины сторон соответственно CD и AD . Отрезки AE и BF пересекаются в точке G . Найдите отношение AG : GE .

Решение. Проведем отрезки CK и DL , Соединяющие вершины параллелограмма с серединами сторон соответственно AB и BC . Обозначим M их точку пересечения, H – точку пересечения отрезков AE и DL .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

В треугольнике ADH FG – средняя линия. Следовательно, AG = GH . В треугольнике CDM EH – средняя линия. Следовательно, EH = CM /2 = AG /2. Значит, AG : GE = 2 : 3.

30

Использованы ресурсы:

Конспект урока по математике «Теорема Фалеса» 8 класс

Конспект урока.

Математика, 8 класс, учитель Селюнина Зинаида Михайловна.

Тема: Теорема Фалеса.

Планируемый результат:

Организация пространства

Этап урока

Часов на изучение темы: 1

Тип урока: «Открытие» нового знания

В теме: первый урок

Цель урока:

  1. Формировать представление о теореме Фалеса.

  2. Организовать деятельность, направленную на усвоение теоремы и применения ее при решении задач.

  3. Создать условия для развития логического мышления, умения вести доказательства, содействовать формированию аккуратности в записи и оформлении решений.

Задачи урока:

Образовательные

Ввести формулировку теоремы Фалеса, научить делить отрезок на n равных частей, формировать умение применять теорему Фалеса при выполнении различных заданий.

Развивающие

Развивать умение анализировать, сравнивать, делать выводы, развивать устную речь.

Воспитательные

Воспитывать умение высказывать свою точку зрения, слушать других, принимать участие в диалоге, формировать способность к позитивному сотрудничеству.

Новые термины и понятия:

Теорема Фалеса.

УУД

Личностные: доказывают теорему Фалеса, делят произвольный отрезок на n равных частей

Познавательные: выбирают и формулируют познавательную цель, выражают смысл ситуации с помощью различных примеров

Регулятивные: самостоятельно формулируют познавательную цель и строят свои действия в соответствии с ней

Коммуникативные: регулируют собственную деятельность посредством речевых действий

Межпредметные связи

Формы работы

Ресурсы

Черчение

Индивидуальная,

Фронтальная,

Парная

Учебник,

Раздаточный материал,

Компьютер,

Презентация.

Время

Цель этапа

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Планируемые результаты

Оценка результата деятельности ученика

прим

Организационный.

1 мин

Включение учащихся в учебную деятельность.

Приветствую учащихся, сообщаю структуру урока.

Настраиваются на работу, получают позитивный заряд, концентрируют внимание.

Личностные: самоопределяются, настраиваются на урок.

Познавательные: ставят перед собой цель: «Что я хочу получить сегодня от урока».

Коммуникативные: планируют учебное сотрудничество с учителем и одноклассниками.

Готовы к сотрудничеству, внимательны, собраны.

Слайд 1.

Актуализация знаний.

6 мин

Актуализация знаний: восстановление определения параллельных прямых, равных отрезков, признаков равенства треугольников, свойство параллельных прямых, пересеченных третьей прямой, фиксирование индивидуальных затруднений.

Организую фронтальный опрос учащихся:

1.Какие отрезки

называются

равными?

2. Какие прямые называются параллельными? На рис. 1 покажите параллельные прямые.

3. Какие углы называются вертикальными, внутренними накрест лежащими? Покажите их на рис.2

4. Сформулируйте теорему о свойстве параллельных прямых, пересечённых третьей прямой.

5. Сформулируйте признаки равенства треугольников. По каким признакам равны треугольники на рис 3?

Выполняют задания, повторяют определения параллельных прямых, равных отрезков, признаки равенства треугольников, свойство параллельных прямых, пересеченных третьей прямой.

Познавательные: анализируя и сравнивая предлагаемые задания, извлекают необходимую информацию для построения математического высказывания.

Регулятивные: выполняют тренировочное учебное действие.

Коммуникативные: выражают свои мысли с достаточной полнотой и точностью, используют чужие высказывания для обоснования своего суждения.

Участие в устной работе, понимание необходимости владения теоретическим материалом.

Слайд 2.

Создание проблемной ситуации.

3 мин

Обсуждение незнакомой ситуации, порождающей проблему появления нового понятия

Организую обсуждение: «Можно ли без помощи линейки со шкалой разделить отрезок пополам? Как разделить отрезок на 4 равные части? На 8?

Как разделить отрезок на 3 равные части?

Создаю проблемную ситуацию.

Обнаруживают, что им недостаточно знаний для того, чтобы разделить отрезок на 3 равные части, формулируют цель урока.

Познавательные: анализируя и сравнивая выбираемые задания, извлекают необходимую информацию для введения нового понятия.

Регулятивные: в ситуации затруднения регулируют ход мыслей.

Коммуникативные: выражают свои мысли с достаточной полнотой и точностью, аргументируют свое мнение.

Понимают, что появляется новое математическое понятие и т.д., участвуют в диалоге.

Слайд 3

Формулирование проблемы: тема и цель урока.

3 мин

Обсуждение необходимости введения нового знания.

Вывожу на формулировку темы и целей урока. Четко проговариваю тему и цель урока.

Выходят на необходимость формулирования и доказательство теоремы Фалеса.

Познавательные: Формулируют тему и цель урока.

Регулятивные: в ситуации затруднения регулируют ход мыслей.

Коммуникативные: выражают свои мысли с достаточной полнотой и точностью, аргументируют свое мнение.

Понимают, что появляется новое математическое понятие, участвуют в диалоге, записывают тему урока.

Слайд 4

Открытие нового знания.

11 мин

Знакомство с формулировкой теоремы и доказательство данной теоремы.

Организую работу с учебником, путем решения вспомогательной задачи подвожу к пониманию доказательства теоремы, побуждаю учащихся к формулированию следствий из теоремы.

Учатся применять определения в процессе фронтальной и парной работы.

Познавательные: выделяют необходимую информацию, планируют свою деятельность, прогнозируют результат.

Регулятивные: в ситуации затруднения регулируют свою деятельность.

Коммуникативные: планируют сотрудничество с одноклассниками и учителем.

Открывают новые знания и возможность их применение.

Слайд 5, 6,7,8,9

Первичное применение нового знания.

7 мин

Формирование навыка применения теоремы Фалеса для деления отрезка на равные части и решения задач.

Организую работу учащихся по выводу алгоритма деления отрезка на равные части, по решению задач на готовых чертежах; с последующей проверкой ответов и алгоритма рассуждений.

Учатся применять теорему в процессе парной работы.

Личностные: самоопределяются, осознают ответственность за работу пары.

Познавательные: самостоятельно планируют свою деятельность, применяют способы решения, прогнозируют результат, выстраивают логическую цепь рассуждений.

Регулятивные: проявляют познавательную инициативу.

Коммуникативные: планируют сотрудничество с одноклассниками и учителем, учитывают мнение в паре, координируют свои действия.

Проговаривают формулировку теоремы; на конкретных примерах учатся ее применять.

Слайд 10, 11,12

3 мин

Физкультминутка для глаз.

Слайд 13

Самостоятельная работа по закреплению изученного ранее.

7 мин

Обеспечение усвоения алгоритма выполнения заданий с использованием теоремы Фалеса.

Организую работу по решению задач с последующей проверкой.

Учатся применять теорему процессе индивидуальной работы.

Личностные: стараются следовать в поведении моральным нормам.

Познавательные: самостоятельно выполняют действия по алгоритму.

Регулятивные: проявляют познавательную инициативу, контролирую свои действия.

Коммуникативные: осознают применяемый алгоритм с достаточной полнотой.

Решают задачи на применение теоремы Фалеса.

Слайд 14

Информация о домашнем задании.

1 мин

Обсуждение домашнего задания.

Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Поясняю домашнее задание: п.57, в. 15, № 49 (2,3). Творческое задание — подготовить сообщение по теме:

  1. Деление отрезка на 3 равные части (звезда Давида).

  2. Фалес Милетский и его открытия.

  3. Применение теоремы Фалеса.

  4. Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.

Записывают домашнее задание.

Слайд 15

Рефлексия.

3 мин

Обеспечение осознания учащимися своей учебной деятельности на уроке. Инициировать рефлексию детей по поводу психоэмоционального состояния, мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми в классе.

Организую обсуждение: Какова была тема урока? Какую задачу ставили? Каким способом решали поставленную задачу? Если вы считаете, что поняли тему урока, то разделите отрезок на 9 равных частей.

Если вы считаете, что не достаточно усвоили материал, то разделите отрезок на 7 равных частей.

Если вы считаете, что не поняли тему урока, то разделите отрезок на 3 равные части.

Проводят самооценку результатов своей деятельности.

Личностные: проводят самооценку, учатся адекватно принимать причины успеха (неуспеха).

Познавательные: проводят рефлексию способов и условий своих действий.

Коммуникативные: планируют сотрудничество, используют критерии для обоснования своих суждений.

Слайд 16

Теорема Фалеса — GeeksforGeeks

Формулировка теоремы: Теорема Фалеса или основная теорема пропорциональности гласит, что если линия проводится параллельно одной стороне треугольника, пересекающей две другие стороны в разных точках, то две другие стороны делятся в одинаковом соотношении .

Доказательство основной теоремы о пропорциональности

Предположим, у нас есть треугольник ABC, если мы проведем линию LM, параллельную стороне BC, то теорема утверждает, что

В треугольнике ABC соедините вершину B к M на прямой AC и соединить вершину C на прямой AB.Затем опустите перпендикуляр MX на линию AB и перпендикуляр LY на линию AC. На приведенной ниже диаграмме показана конструкция того же самого.

Так как площадь треугольника =

Площадь ALM =

Площадь LBM =

Площадь ALM =

Площадь LMC =

Соотношение площадей ALM и LBM:

—- (1)

Соотношение площадей ALM и LMC:

—- (2)

Согласно свойству треугольников, треугольники на одном основании и между одинаковыми параллельными линиями имеют равные площади.

Следовательно, LBM и LMC имеют равные площади .—- (3)

Из уравнений (1), (2) и (3) мы можем заключить:

Следовательно, основная теорема пропорциональности доказано.

Решенные примеры по основной теореме пропорциональности

Пример 1. В ∆ABC стороны AB и AC пересекаются линией в точках D и E соответственно, которая параллельна стороне BC. Докажите, что AD / AB = AE / AC.

Решение:

Дано: DE || ДО Н.Э.Итак, AD / DB = AE / EC

или путем замены соотношений как => DB / AD = EC / AE

Теперь добавьте 1 с обеих сторон => (DB / AD) + 1 = (EC / AE) + 1

(DB + AD) / AD = (EC + AE) / AE

AB / AD = AC / AE

Если мы снова поменяем отношения местами, мы получим => AD / AB = AE / AC

Значит, доказано.

Пример 2. В треугольнике ABC, где DE — линия, проведенная из средней точки AB и заканчивающаяся средней точкой AC в E.AD / DB = AE / EC и ∠ADE = ∠ACB. Затем докажите, что ABC — равнобедренный треугольник.

Решение:

Дано: AD / DB = AE / EC

Обращаясь к основной теореме пропорциональности, получаем => DE || BC

Согласно вопросу => ∠ADE = ∠ACB

Следовательно, ∠ABC = ∠ACB

Сторона, противоположная равным углам, также равна AB = AC

Следовательно, ABC — равнобедренный треугольник.

Основная теорема пропорциональности или теорема Фалеса

Основная теорема пропорциональности или теорема Фалеса

Заявление: Если линия проводится параллельно одной стороне треугольника, пересекающему две другие стороны, то она делит две стороны в одинаковом соотношении.
Дано: Треугольник ABC, в котором DE || BC и пересекает AB в D и AC в E.

Обращение к основной теореме о пропорциональности

Заявление: Если прямая разделяет любые две стороны треугольника в одинаковом соотношении, то эта линия должна быть параллельна третьей стороне.
Дано: DABC и прямая l, пересекающая AB в D и AC в E,

Пример основной теоремы пропорциональности Проблемы с решениями

Пример 1: D и E — это точки на сторонах AB и AC соответственно ∆ABC, такие что DE || ДО Н.Э.
Найдите значение x, когда
(i) AD = 4 см, DB = (x — 4) см, AE = 8 см и EC = (3x — 19) см
(ii) AD = (7x — 4) см, AE = (5x — 2) см,
DB = (3x + 4) см и EC = 3x см.
Раствор:

Пример 2: Пусть X — любая точка на стороне BC треугольника ABC. Если XM, XN нарисованы параллельно BA и CA, которые встречаются с CA, BA в M, N соответственно; MN соответствует BC, произведенному в T, докажите, что TX 2 = TB × TC.
Решение: В ΔTXM мы имеем

Пример 3: На рис., EF || AB || ОКРУГ КОЛУМБИЯ. Докажите, что \ (\ frac {AE} {ED} = \ frac {BF} {FC} \).
Решение: У нас есть, EF || AB || Постоянный ток

Пример 4: На рисунке ∠A = ∠B и DE || ДО Н.Э. Докажите, что AD = BE
Решение:

Пример 5: На рис., DE || ДО Н.Э. Если AD = 4x — 3, DB = 3x — 1, AE = 8x — 7 и EC = 5x — 3, найдите значение x.
Раствор:

Пример 6: Докажите, что отрезок прямой, соединяющий середины соседних сторон четырехугольника, образует параллелограмм.
Решение:
Дано: Четырехугольник ABCD, в котором P, Q, R, S являются серединами AB, BC, CD и DA соответственно.
Доказать: PQRS — параллелограмм.

Пример 7: На рис. DE || BC и CD || EF. Докажите, что AD 2 = AB × AF.
Раствор:

Пример 8: Пример 8 На данном рисунке PA, QB и RC перпендикулярны AC, так что PA = x,
RC = y, QB = z, AB = a и BC = b.Докажите, что \ (\ frac {1} {x} + \ frac {1} {y} = \ frac {1} {z} \).
Решение:

Пример 9: На рис. LM || AB. Если AL = x — 3, AC = 2x, BM = x — 2 и BC = 2x + 3, найдите значение x.
Раствор:

Пример 10: В заданном ∆ABC, DE || BC и \ (\ frac {AD} {DB} = \ frac {3} {4} \). Если AC = 14 см, найдите AE.
Раствор:

Пример 11: На рисунке DE || ДО Н.Э. Найдите AE.
Раствор:

Пример 12: На рисунке ABC представляет собой треугольник, в котором AB = AC. Точки D и E — это точки на сторонах AB и AC соответственно, такие что AD = AE. Покажите, что точки B, C, E и D совпадают.
Решение: Чтобы доказать, что точки B, C, E и D совпадают, достаточно показать, что

Пример 13: На рис. \ (\ Frac {AD} {DB} = \ frac {1} {3} \ text {и} \ frac {AE} {AC} = \ frac {1} {4 } \).Используя обратную основную теорему о пропорциональности, докажите, что DE || ДО Н.Э.
Раствор:

Пример 14: Используя основную теорему пропорциональности, докажите, что линии, проведенные через точки деления одной стороны треугольника, параллельной другой стороне, пересекают третью сторону.
Раствор:

Пример 15: На данном рисунке \ (\ frac {AD} {DB} = \ frac {AE} {EC} \) и ∠ADE = ∠ACB. Докажите, что ∆ABC — равнобедренный треугольник.
Раствор:

Пример 16: На рис., Если DE || AQ и DF || AR. Докажите, что EF || QR.
Решение:

Пример 17: Два треугольника ABC и DBC лежат на одной стороне основания BC. Из точки P на BC, PQ || AB и PR || БД нарисованы. Они соответствуют переменному току в Q и постоянному току в R соответственно. Докажите, что QR || ОБЪЯВЛЕНИЕ.
Решение: Дано: Два треугольника ABC и DBC лежат с одной стороны от основания BC.Точки P, Q и R — это точки на BC, AC и CD соответственно такие, что PR || BD и PQ || AB.

Пример 18: ABCD — трапеция с AB || ОКРУГ КОЛУМБИЯ. E и F — точки на непараллельных сторонах AD и BC соответственно, такие что EF || AB. Покажите, что \ (\ frac {AE} {ED} = \ frac {BF} {FC} \)
Решение: Дано: Ловушка ABCD, в которой AB || ОКРУГ КОЛУМБИЯ.
E и F — точки на AD и BC соответственно такие, что EF || AB.

Пример 19: На рис., A, B и C — точки на OP, OQ и OR соответственно такие, что AB || PQ и AC || PR. Покажи, что BC || QR.
Решение:

Пример 20: Любая точка X внутри ∆DEF соединяется со своими вершинами. Из точки P в DX, PQ проводится параллельно DE, пересекающему XE в Q, а QR проводится параллельно EF, пересекающему XF в R. Докажите, что PR || DF.
Решение: A ΔDEF и точка X внутри него. Точка X соединяется с вершинами D, E и F. P — любая точка на DX.PQ || DE и QR || EF.

Таким образом, в ΔXFD точки R и P разделяют стороны XF и XD в одинаковом соотношении. Следовательно, согласно обратной основной теореме о пропорциональности, PR || DF

Пример 21: Докажите, что любая линия, параллельная параллельным сторонам трапеции, пропорционально делит непараллельные стороны.
Решение: Дано: Трапеция ABCD, в которой DC || AB и EF — это линия, параллельная DC и AB.

Пример 22: Докажите, что линия, проведенная от середины одной стороны треугольника параллельно другой стороне, делит третью сторону пополам.
Решение: Дано: DABC, в котором D — это середина стороны AB, а линия DE проведена параллельно BC, пересекаясь с AC в E.
Доказать: E — средняя точка переменного тока, т.е.
AE = EC.

Следовательно, E делит пополам AC.

Пример 23: Докажите, что линия, соединяющая середину двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне.
Решение: Дано: A ΔABC, в котором D и E являются серединами сторон AB и AC соответственно.

Таким образом, прямая DE делит стороны AB и AC ΔABC в одинаковом соотношении. Следовательно, в силу обратной основной теоремы о пропорциональности, мы имеем
DE || BC

Пример 24: AD является медианным значением ∆ABC. Биссектриса ADB и ∠ADC пересекает AB и AC в E и F соответственно. Докажите, что EF || ДО Н.Э.
Решение: Дано: В ∆ABC AD — это медиана, а DE и DF — биссектрисы ∠ADB и ∠ADC соответственно, пересекаясь с AB и AC в E и F соответственно.
Доказать: EF || BC
Доказательство: В ∆ADB DE — биссектриса ADB.

Таким образом, в ∆ABC отрезок EF делит стороны AB и AC в одинаковом соотношении.
Следовательно, EF параллельно BC.

Пример 25: O — любая точка внутри треугольника ABC. Биссектриса AOB, ∠BOC и ∠COA пересекает стороны AB, BC и CA в точках D, E и F соответственно. Покажите, что AD × BE × CF = DB × EC × FA.
Решение:

Рабочий лист практических вопросов по основной теореме пропорциональности

(1) В ΔABC, D и E — точки на сторонах AB и AC соответственно, такие, что DE ∥ BC

(i) Если AD / DB = 3/4 и AC = 15 см, найдите AE.Решение

(ii) Если AD = 8x −7, DB = 5x −3, AE = 4x −3 и EC = 3x −1, найдите значение x. Решение

(2) ABCD представляет собой трапецию, в которой AB || DC и P, Q — точки на AD и BC соответственно, такие что PQ || DC, если PD = 18 см, BQ = 35 см и QC = 15 см, найдите AD

Решение

(3) В ΔABC, D и E — точки на сторонах AB и AC соответственно. Для каждого из следующих случаев покажите, что DE || BC

(i) AB = 12 см, AD = 8 см, AE = 12 см и AC = 18 см.

(ii) AB = 5,6 см, AD = 1,4 см, AC = 7,2 см и AE = 1,8 см.

Раствор

(4) На рис. если PQ || БК и PR || CD доказать, что

(i) AR / RD = AQ / AB

(ii) QB / AQ = DR / AR Решение

(5) Ромб PQRB вписан в ΔABC, так что ÐB является одним из его углов. P, Q и R лежат на AB, AC и BC соответственно. Если AB = 12 см и BC = 6 см, найдите стороны PQ, RB ромба

.

Раствор

(6) В форме трапеции ABCD, AB || DC, E и F — точки на непараллельных сторонах AD и BC соответственно, такие что EF || AB.Покажите, что AE / ED = BF / FC

Раствор

(7) На рисунке DE || BC и CD || EF. Докажите, что AD 2 = AB × AF

Решение

(8) В ΔABC AD — это биссектриса

Решение

(9) Проверьте, является ли AD биссектрисой

(i) AB = 5 см, AC = 10 см, BD = 1,5 см и CD = 3.5 см.

(ii) AB = 4 см, AC = 6 см, BD = 1,6 см и CD = 2,4 см.

Решение

(10) На рисунке

Решение

(11) ABCD — это четырехугольник, в котором AB = AD, биссектриса

Решение

Помимо вышеперечисленного, если вам нужны еще какие-либо сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Если у вас есть какие-либо отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

[email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях

0 Алгебра

0 Алгебра

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямому и обратному изменению

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словом по цене за единицу

Word Задачи по сравнению ставок

Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

Преобразование в метрические единицы в словесных задачах

Проблемы со словами по простому проценту

Проблемы со словами по сложным процентам

Проблемы со словами по типам ngles

Проблемы со словами с дополнительными и дополнительными углами

Проблемы со словами с двойными фактами

Проблемы со словами тригонометрии

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами о прибылях и убытках

задачи

задачи с десятичными числами

задачи со словами на дроби

задачи со словами на смешанные фракции

одностадийные задачи на слова с уравнениями

задачи на слова с линейными неравенствами

Задачи

Проблемы со временем и рабочими словами

Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

Задачи со словами на возрастах

Проблемы со словами по теореме Пифагора

Процент числового слова pr проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибылей и убытков

Сокращения в процентах

Сокращения в таблице времен

Сокращения времени, скорости и расстояния

Сокращения соотношения и пропорции

Домен и диапазон рациональных функций

Домен и диапазон рациональных функций

функции с отверстиями

График рациональных функций

График рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

Нахождение квадратного корня с использованием длинного di видение

Л.Метод CM для решения временных и рабочих задач

Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении 17 в степени 23 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

теорем о круге

Некоторые интересные вещи об углах и окружностях.

Угол с надписью

Прежде всего, определение:

Inscribed Angle : угол, образованный точками, расположенными на окружности круга.

A и C — «конечные точки»
B — «вершины»

Поиграйте с ним здесь:

Что происходит с углом, когда вы перемещаете точку «B»?

Теоремы о вписанных углах

Вписанный угол a ° равен половине центрального угла 2a °

(называется углом в центре теоремы )

и (с фиксированными конечными точками)…

… угол a ° всегда один и тот же ,
независимо от того, где он находится на той же дуге между конечными точками:

Угол а ° то же .
(так называемые углы , подчиненные теореме по дуге)

Пример: Каков размер POQ Angle? (О — центр круга)

Угол POQ = 2 × Угол PRQ = 2 × 62 ° = 124 °

Пример: Какой размер Angle CBX?

Угол ADB = 32 ° также равен углу ACB.

А Angle ACB также равен Angle XCB.

Итак, в треугольнике BXC мы знаем, что угол BXC = 85 °, а угол XCB = 32 °.

Теперь используем углы треугольника и прибавляем к 180 °:

Угол CBX + Угол BXC + Угол XCB = 180 °

Угол CBX + 85 ° + 32 ° = 180 °

Угол CBX = 63 °

Угол в полукруге (теорема Фалеса)

Угол , вписанный поперек диаметра круга , всегда является прямым углом:

(Конечные точки — это любой конец диаметра окружности,
точка вершины может находиться в любом месте окружности.)

Почему? Потому что:

Вписанный угол 90 ° составляет половину центрального угла 180 °

(с использованием «теоремы об угле в центре» выше)

Еще одна веская причина, почему это работает

Мы также можем повернуть фигуру на 180 °, чтобы получился прямоугольник!

Это — это прямоугольник, потому что все стороны параллельны и обе диагонали равны.

Итак, его внутренние углы прямые (90 °).

Итак, поехали! Независимо от того, где , этот угол равен
на окружности, это всегда 90 °

Пример: Какой размер Angle BAC?

Угол в теореме о полукруге говорит нам, что угол ACB = 90 °

Теперь используйте углы треугольника и прибавьте к 180 °, чтобы найти угол ВАС:

.

Угол ВАС + 55 ° + 90 ° = 180 °

Угол ВАС = 35 °

В поисках центра круга

Мы можем использовать эту идею, чтобы найти центр круга:

  • нарисуйте прямой угол из любого места на окружности круга, затем нарисуйте диаметр, где две ноги касаются круга
  • сделайте это снова, но для другого диаметра

Где крест диаметров — центр!

Циклический четырехугольник

«Циклический» четырехугольник имеет каждую вершину на окружности:

Противоположные углы циклического четырехугольника складываются в 180 ° :

  • а + с = 180 °
  • б + г = 180 °

Пример: Каков размер угла WXY?

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника дает 180 °

Угол WZY + Угол WXY = 180 °

69 ° + угол WXY = 180 °

Угол WXY = 111 °

Касательный угол

Касательная линия просто касается окружности в одной точке.

Всегда образует прямой угол с радиусом круга.

Задачи геометрии с решениями и ответами для 12 класса

Бесплатная практика для тестов SAT, ACT
и Compass Math

Решения вышеуказанных проблем

  1. мера угла ВАС = (180 — 36) / 2 = 72 градуса: равнобедренный треугольник

    мера угла BOC = 2 * мера угла BAC = 144 градуса: вписанный угол и центральный угол, пересекающий ту же дугу.

  2. Пусть R1, R2 и R3 — радиусы окружностей C1, C2 и C3 соответственно, причем R1 = R2 = R

    час = C3O + R

    C3O 2 + (x / 2) 2 = (R + R3) 2 : Теорема Пифагора применима к треугольнику C3OC1.

    h = R + C3O = R + √ [(R + R3) 2 — (x / 2) 2 ]

    .

  3. Пусть r, R2 и R3 — радиусы окружностей C1, C2 и C3 соответственно, причем R2 = R3 = R

    (r + R) 2 = R 2 + (R — r) 2 : Теорема Пифагора, примененная к треугольнику MC1C3

    R = 4r = 40 см: развернуть и решить для R.

    .

  4. Угол BtA равен 90 градусам: вертикальные углы.

    AB — диаметр окружности: обратная теореме Фалеса.

    треугольника BtA и CtD похожи: CD параллельно AB

    3/5 = AB / x: соответствующие стороны пропорциональны.

    AB = 3x / 5: решить для AB

    радиус = AB / 2 = 3x / 10

    площадь = Pi (3x / 10) 2 = 0,09 Pi x 2

  5. Квадрат ниже имеет длину стороны 2x, что составляет половину данного квадрата.Часть этого заштрихована, а другая часть не заштрихована. Найдем площадь незатененной части (белого цвета). Заштрихованная часть — четверть диска (кружок).

    площадь незатененной области = (2x) 2 — (1/4) Pi (2x) 2
    Если мы вернемся к заданной форме в задаче 5, площадь незатененной части в 8 раз больше Незаштрихованная область в данной форме, которая была рассчитана выше.

    площадь заштрихованной части в форме задачи 5 = общая площадь квадрата — общая незатененная площадь = (4x) 2 — 8 * [(2x) 2 — (1/4) Pi (2x) 2 ]

    = 16x 2 (Pi / 2 — 1)

    .

  6. R 2 = r 2 + 10 2 : Теорема Пифагора

    Pi (R 2 — r 2 ) = 100 Pi: площадь кольца

    .

  7. Площадь параллелограмма может быть вычислена с использованием векторного произведения векторов AB и AD следующим образом.

    площадь = | AB x AD | где AB и AD — трехмерные векторы.

    вектор AB = <4, b + 2, 0>: установить третий компонент в ноль, так как данная форма является 2-мерной.
    вектор AD = <6, 4, 0>

    | <4, b + 2, 0> x <6, 4, 0> | = 80: модуль поперечного произведения равен площади

    | 4 — 6b | = 80

    b = 14 и b = -38/3: выбираем решение b = 14, так как точка B (2, b) находится в квадранте I.

    Поскольку ABCD — параллелограмм, вектор AB = вектор DC

    Вектор AB = <4, 16, 0>
    Вектор
    DC =
    c — 4 = 4 и d — 2 = 16: Если два вектора равны, их соответствующие площади компонентов равны.

    c = 8 и d = 18: решите вышеуказанные уравнения.

  8. y 2 + z 2 = 12 2 : Теорема Пифагора

    x 2 + z 2 = 9 2 : Теорема Пифагора

    (y + x) 2 = 12 2 + 9 2 : Теорема Пифагора

    x + y = 15: Решите уравнение C, извлекая квадратный корень

    y 2 — x 2 = 63: вычитание уравнений A и B

    (y — x) (y + x) = 63: факторизация левого члена уравнения E.

    у — х = 21/5

    x = 27/5, y = 48/5 и z = 36/5: решите систему, состоящую из уравнений D и G.

  9. Разделите данный прямоугольник на 4 других прямоугольника, как показано.

    a 2 + c 2 = 4 2 : Теорема Пифагора применяется к верхнему левому правому треугольнику.

    b 2 + c 2 = x 2 : Теорема Пифагора применяется к нижнему левому правому треугольнику.

    b 2 + d 2 = 5 2 : Теорема Пифагора применима к нижнему правому треугольнику.

    a 2 + d 2 = 6 2 : Теорема Пифагора применима к нижнему правому треугольнику.
    a 2 — b 2 = 4 2 — x 2 : вычесть уравнения B и C.

    a 2 — b 2 = 6 2 — 5 2 : вычесть уравнения D и E.

    4 2 — x 2 = 6 2 — 5 2 : объедините уравнения F и G.

    x = √5: решите приведенное выше уравнение относительно x.

    .

  10. Из-за симметрии заштрихованную область можно рассматривать как состоящую из двух равных (по площади) областей.Площадь левой половины заштрихованной области определяется площадью сектора BOC за вычетом площади треугольника BOC.

    длина OM = 3 (по симметрии), так как расстояние между центрами 6, а радиус r = 4.

    Пусть t будет мерой угловой спецификации.

    cos (t) = OM / OB = 3/4, t = arccos (3/4): с использованием спецификации прямоугольного треугольника.

    площадь сектора BOC = (1/2) (2t) r 2
    площадь треугольника BOC = (1/2) sin (2t) r 2
    площадь заштрихованной области = 2 [(1/2) (2t) r 2 — (1/2) sin (2t) r 2 ]

    = [2t — sin (2t)] r 2 = 7.25 квадратных единиц (с округлением до 3 знаков после запятой)

    .

Теорема Фалеса. Решенные упражнения. Как нанести пошагово

Хотите узнать, как решать задачи ТЕОРЕМЫ THALES ?

Далее я объясню, как понять теорему Фалеса и как применять ее с определенными упражнениями шаг за шагом.

В чем причина двух сегментов

Чтобы понять теорему Фалеса, вам нужно очень хорошо понимать, в чем причина между двумя сегментами.

Например, у нас есть два сегмента:

Как вы знаете, сегменты разделены двумя крайними точками и названы по крайним значениям, которые их ограничивают. Красный сегмент, который начинается в конце A и заканчивается в конце B, называется сегментом AB.

Если между двумя сегментами существует какая-то связь, для их имен используются одни и те же буквы, но, поскольку они не могут повторяться, используется одинарная кавычка рядом с каждой буквой, а кавычка читается как «прима». Итак, А ‘читал бы «А прима».

Таким образом, синий сегмент, который начинается в A ’и заканчивается в B’, будет называться сегментом A ’B’.

Box] Соотношение (или соотношение) двух сегментов является результатом деления длины этих двух сегментов . [/ Box]

Если размер сегмента AB составляет 5 см, а сегмента A ’B’ — 10 см, в чем причина появления этих двух сегментов?

Все, что нам нужно сделать, это разделить длину сегмента AB на длину сегмента A ’B’:

Соотношение этих двух сегментов равно 0.5, что означает, что AB вдвое меньше, чем A ’B’.

Мы также можем вычислить соотношение, разделив длину сегмента A ’B’ на длину сегмента AB:

В этом случае соотношение равно 2, или, другими словами, сегмент A ’B’ в два раза выше сегмента AB.

Если вы заметили, сказать, что сегмент AB вдвое меньше сегмента A ’B’, значит сказать, что сегмент A ’B’ вдвое больше, чем сегмент AB.

Следовательно, нет необходимости рассчитывать соотношение обоими способами.Достаточно рассчитать его одним из двух способов.

Пропорциональность между парами сегментов

Теперь у нас есть два сегмента:

Красный сегмент CD имеет размер 3 см, а синий сегмент C ’D’ — 6 см.

Давайте выясним его причину:

Соотношение сегментов CD и C ’D’ такое же, как соотношение сегментов AB и A ’B’.

Когда две пары сегментов имеют одинаковую причину, они считаются пропорциональными.

Следовательно, сегменты AB и A ’B’ пропорциональны CD и C ’D’:

Две пары сегментов пропорциональны, если их соотношение одинаково

Теорема Фалеса

После того, как я объяснил рассуждения между двумя сегментами и пропорциональность между двумя парами сегментов, давайте взглянем на теорему Фалеса.

У нас есть две секущие (непараллельные) прямые. Одна называется прямой линией r (красный цвет), а другая — прямой s (синий цвет):

К этим двум прямым линиям мы разрезаем их несколькими параллельными линиями (зеленого цвета), как показано ниже:

В точках, где они разрезают линии, параллельные прямой, я назову их A, B и C, а в точках, где они разрезают линии, параллельные прямой, я назову их A ‘, B’ и C. ‘:

Зеленые линии разделили прямую r на два сегмента: отрезок AB и отрезок BC.У нас также есть третий сегмент, если мы рассмотрим первую и последнюю параллельную линию, т.е. е. сегмент переменного тока.

Они также разделили прямую s на два сегмента A ’B’ и B ’C’, и если мы рассмотрим первую и последнюю параллельную линию, есть третий сегмент A ’C’.

Теорема Фалеса говорит нам следующее:

Box] Когда любые две прямые, r и s, разделены несколькими параллельными линиями, сегменты, составляющие линию r, пропорциональны сегментам, составляющим линию s .[/коробка].

И что это значит?

Итак, если вы разделите длины сегментов, которые находятся в противоречии, т.е. е. сегмент AB на сегмент A ’B’, они имеют ту же причину, как если бы вы делили сегмент BC на сегмент B ’C’:

Поскольку у них одна и та же причина, AB и A ’B’ пропорциональны BC и B ’C’.

Если мы рассмотрим отрезок, образованный первой и последней параллельными линиями, т.е. е. сегмент AC, он также пропорционален сегменту AB:

И, следовательно, все отрезки прямой r пропорциональны отрезкам прямой s:

Для чего нужна теорема Фалеса?

Теорема

Фалеса позволяет вычислить длину отрезка, зная значения всех других отрезков двух прямых линий, находящихся в положении Фалеса.

Находиться в позиции Фалеса означает, что прямые линии должны быть такими, как говорит теорема Фалеса, то есть двумя прямыми линиями, пересеченными несколькими параллельными прямыми линиями.

Решим несколько упражнений, чтобы было понятнее.

Решенные упражнения по теореме Фалеса

Упражнение 1

Линии a и b на чертеже параллельны. Проверьте по теореме Фалеса, верна ли линия c.

Как доказать, что прямая c параллельна?

Ибо мы должны доказать, что прямые находятся в положении Фалеса и что теорема Фалеса выполняется, проверяя, имеют ли сегменты обеих прямых одну и ту же причину и что между ними они пропорциональны.

Рассчитываем причину первых сегментов:

И причина следующих двух сегментов:

Причина та же, поэтому обе пары сегментов пропорциональны.

Тогда выполняется теорема Фалеса и, как следствие, прямая c параллельна.

Упражнение 2

Сколько измеряет отрезок x на этом чертеже?

Мы знаем, что измеряют два сегмента r, но нам остается знать, сколько измеряет один из сегментов s, поэтому мы называем этот сегмент x.

Тогда, согласно теореме Фалеса, секции, которые находятся в противоречии, имеют одну и ту же причину, поэтому их деления должны быть одинаковыми, и поэтому мы можем сопоставить их:

У нас осталось одно уравнение первой степени, из которого мы должны очистить x.

При решении уравнений такого типа возникает большая путаница.

Чтобы решить это уравнение, мы передаем знаменатели каждого члена, умножая числитель противоположного члена (умножаем крестиком).

5, которая делит 8 в первом члене, проходит, умножая 6 во втором члене, а x, который делит 6 во втором члене, проходит, умножая 8 в первом члене, и мы остаемся вот так:

У нас больше нет знаменателей. Уберем x.

Теперь 8, которая умножает x, переходит ко второму члену деления:

И, наконец, мы вычисляем значение x:

Если вы отметите галочку, пары сегментов будут пропорциональными.

занятий по теореме Фалеса — математический класс [2021]

Визуальные задания

В этом разделе предлагаются упражнения, которые понравятся учащимся, обучающимся наглядно, по мере их понимания теоремы Фалеса.

Попытайтесь доказать, что это неверно

Один из отличных способов для студентов убедиться в эффективности теоремы — дать им возможность ее опровергнуть.

Работая в партнерстве или независимо, попросите учащихся попытаться нарисовать диаметры нескольких разных кругов.Попросите их посмотреть, смогут ли они найти точку на окружности, в которой угол ABC на самом деле не будет прямым. Пусть они используют транспортиры, чтобы измерить углы, которые они образуют. Студенты не смогут опровергнуть теорему, но они узнают значительно больше о том, как и почему она работает.

Проиллюстрируйте доказательство

Это еще одно задание, которое студенты могут выполнять самостоятельно или с партнерами.

Пусть посмотрят на доказательство теоремы Фалеса и проанализируют его. Затем попросите их создать короткий комикс или буклет, поэтапно иллюстрирующий доказательство.Их иллюстрации должны быть точными, но они также могут быть забавными и креативными. Студенты должны показать, как и почему теорема верна. Наконец, позвольте учащимся поделиться тем, что они придумали.

Кинестетические упражнения

Эти упражнения позволяют учащимся использовать руки и тело, чтобы больше узнать о теореме Фалеса.

Разыграть интервью

Студенты могут быть заинтригованы тем, что на самом деле очень мало известно о Фалесе и его трудах.

Разделите их на партнерские отношения и позвольте им узнать все, что они могут о Фалесе и работе, которая привела к его теореме.Затем попросите их разыграть сцену, в которой репортер берет интервью у Фалеса. Поощряйте их действовать как можно более драматично, используя жесты и мимику, чтобы драматизировать то, что, по их представлениям, было открытие Фалеса.

Создание углов в кругах

Выведите учащихся на перерывы для этого задания.

Мелом нарисуйте на земле несколько разных кругов. Затем разделите учащихся на группы по четыре человека. Попросите их использовать свои тела, чтобы представить диаметры окружностей и углы, образованные, когда они создают точку B на окружности.Они могут использовать транспортиры для измерения новых прямых углов, создаваемых их телами. Сфотографируйте своих учеников, исполняющих теорему Фалеса, для напоминаний и повторения в будущем.

Устные упражнения

Наконец, в этом разделе предлагаются упражнения, которые позволяют учащимся получить доступ к теореме Фалеса через язык.

Сравните и сопоставьте доказательства

Попросите ваших учеников рассмотреть два разных доказательства теоремы Фалеса.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.