Задачи с пропорциональными величинами в начальных классах: Решение задач с пропорциональными величинами

Содержание

Головня О.В. ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ НА УРОКЕ МАТЕМАТИКИ В 3 КЛАССЕ

УДК 373.3.016:51

 

О.В. Головня,

студентка 4 курса педагогического факультета

(научный руководитель – С.В. Гадзаова, старший преподаватель)

 

ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ НА УРОКЕ МАТЕМАТИКИ В 3 КЛАССЕ

 

В статье обоснована необходимость использования различных методических приемов в процессе формирования умений решать задачи с пропорциональными величинами.

 

В начальных классах рассматриваются задачи, связанные с пропорциональными величинами: цена-количество-стоимость, скорость-время-расстояние и другие. К основным видам этих задач относятся задачи на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление и на нахождение неизвестных по двум разностям.

Решение задач с пропорциональными величинами вызывает значительные трудности у младших школьников. Одна из причин заключается в том, что понятие «пропорциональная зависимость» не является предметом специального изучения и усвоения [1, с. 226]. Именно поэтому методика работы над такими задачами должна обеспечивать наиболее полную реализацию их обучающего потенциала.

Связи между пропорциональными величинами раскрываются с помощью решения простых задач на нахождение одной из величин по данным, соответствующим значениям двух других величин (например, задача на нахождение стоимости по известным цене и количеству). Поэтому при решении простых задач с пропорциональными величинами (а затем и составных) целесообразно использовать методические приемы, способствующие формированию у учащихся представлений о пропорциональной зависимости величин. К таким приемам  относятся: интерпретация текста задачи с помощью таблицы и чертежа; сравнение результатов решения задач, в которых изменяется одно из данных; составление и решение обратных задач; выбор решения задачи; анализ текстов задач с недостающими и лишними данными [1, с.  227].

Решение задачи разными способами, получение из нее новых, более сложных задач и их решение в сравнении с решением исходной задачи, другие приемы творческой работы создают предпосылки для формирования у ученика умения находить свой «оригинальный» способ решения задачи, воспитывают стремление вести самостоятельно поиск решения новой задачи, той, которая раньше ему «не встречалась». Поиск разных путей решения задач с пропорциональными величинами способствует осознанию причинно-следственных связей, накоплению представлений о функциональной зависимости величин, осуществлению подготовки учеников начальных классов к изучению функций в последующих классах [2, с. 45].

Однако в практике обучения возможности задач с пропорциональными величинами в осуществлении функциональной пропедевтики и развитии математического мышления учащихся, как правило, не используются из-за временных затрат на подготовку и проведение такой работы на уроке. Недостатки методики обучения, на наш взгляд, характеризуются невниманием к интерпретации текста задачи с помощью таблицы и чертежа, игнорированием приемов творческой работы над задачей.

С целью выявления уровня умений решать задачи с пропорциональными величинами было проведено исследование на базе третьих классов СШ № 11 г. Гродно в 2010–2011 учебном году. Были определены экспериментальный класс – 3 «А» (18 человек) и контрольный – 3 «Б» (19 человек). Следует отметить, что математику в обоих классах преподает один учитель.

Для проведения констатирующего этапа эксперимента нами была составлена проверочная работа из 7 заданий, в которых предлагалось выбрать выражение, являющееся решением задачи (1), подставить в граф-схему нужные числа (2), заполнить таблицу к задаче (3), решить задачу на нахождение четвертого пропорционального (4), написать пояснения к действиям (5), выбрать правильный чертеж (6), решить задачу на движение (7). В таблице (таблица 1) представлены результаты правильности выполнения заданий проверочной работы.

 

Таблица 1 – Результаты правильности выполнения проверочной работы на констатирующем этапе эксперимента

 

 

Результаты констатирующего эксперимента позволили сделать вывод о том, что учащиеся 3 «А» и 3 «Б» классов показали практически одинаковый уровень умений решать задачи. Наиболее низкие показатели в заданиях, связанных с интерпретацией текста задачи в виде таблицы и чертежа, при решении задачи на нахождение четвертого пропорционального способом отношения. Вопреки ожиданиям простая задача на движение, являющаяся на данный момент задачей нового вида для учащихся 3 класса, вызвала меньше трудностей. Констатирующий эксперимент показал необходимость целенаправленной работы по обучению решению задач с пропорциональными величинами.

На обучающем этапе эксперимента нами была составлена и апробирована специальная серия заданий, позволяющая реализовать различные приемы работы над задачами с пропорциональными величинами. Рассмотрим некоторые из них:

  Постройте чертеж и решите задачу: «В 3 ведрах 31 л молока. Сколько молока в 9 таких же ведрах?»

Выбор чертежа позволяет выявить, правильно ли понимает учащийся связь между величинами и характер отношений.

Решите задачу двумя способами: «В 6 одинаковых домах 24 подъезда. Сколько подъездов в 12 таких же домах?»

Составьте граф-схему решения задачи: «В 4 тетрадях 48 листов. Сколько листов в 7 таких же тетрадях?»

Выберите выражение, которое является решением задачи: «Бабушка связала 4 одинаковые шапочки из 12 мотков шерсти. Сколько мотков шерсти понадобиться на 8 таких шапочек?»

а) 12 : 4 ∙ 8 = 24 (м.)

б) 12 : 4 – 8 = 5 (м.)

в) 12 ∙ (8 : 4) = 24 (м.)

г) 12 : (8 – 4 ) = 3 (м.)

Особенностью данного задания является то, что выбор решения задачи следует осуществить среди выражений, представляющих наряду с неверными два верных решения задачи разными способами.

Постройте таблицу и решите задачу: «На пошив 8 одинаковых пальто израсходовали 24 м ткани. Сколько ткани потребуется на 2 таких же пальто?»

Мы также использовали различные методы и формы работы: самостоятельная работа, проблемный метод, использование опорных схем; работа в парах и группах, работа на карточках.

С целью проверки эффективности проделанной работы был проведен контрольный эксперимент. В таблице 2 представлены результаты правильности выполнения заданий проверочной работы.

 

Таблица 2 – Результаты правильности выполнения проверочной работы на контрольном этапе эксперимента

 

 

Результаты контрольного этапа эксперимента свидетельствуют о том, что процент учащихся экспериментального класса, справившихся с заданиями, превышает соответствующий процент учащихся контрольного класса.

На основании метода углового преобразования Фишера была оценена достоверность различий между процентными долями экспериментального и контрольного классов. Экспериментальное значение Ф* находится в зоне значимости по четырем показателям (1, 3, 4 и 6 задания), в зоне неопределенности по одному показателю (7-е задание), в зоне незначимости в двух случаях (2, 5 задания).

Исследование показало, что работа над задачами с пропорциональными величинами с использованием вариативных методических приемов, заданий творческого характера эффективно влияет на развитие умений решать задачи с пропорциональными величинами и обеспечивает функциональную пропедевтику.

 

In the article substantiated the necessity  of using various methodical techniques in the process of formation  abilities of doing a sums with proportional sizes.

 

Список литературы

 

1. Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: учеб. пособие для студ. сред. и высш. учеб. заведений / Н.Б. Истомина. – 3-е изд. – М.: «Академия», 2000. – 288 с.

2. Гребенникова, Н.Л. Решение задач на зависимость величин разными способами / Н.Л. Гребенникова // Начальная школа. – 1999. – № 2. – С. 45–50.

МЕТОДИКА РАБОТЫ НАД ЗАДАЧАМИ С ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

МЕТОДИКА РАБОТЫ НАД ЗАДАЧАМИ С ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Балашова А. П., студентка 3 курса

Научный руководитель: Новикова Е. В.

ГБПОУ РА «Адыгейский педагогический колледж им. Х. Андрухаева», г. Майкоп

В начальном обучении математике велика роль текстовых задач. Решая их, обучающиеся приобретают математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение текстовых задач и в воспитании личности, поэтому учитель должен иметь глубокие представления о текстовой задаче, о её структуре, уметь решать такие задачи разными способами.

Традиционно в процессе обучения решению текстовых задач у большинства учеников возникают трудности в усвоении материала, поэтому одной из важнейших целей в начальном курсе математики является подбор целесообразного дидактического материала, приемов и методов, направленных на формирование умения решать математические задачи. Это, в свою очередь, способствует формированию у школьников знаний и умений, необходимых в повседневной жизни при решении тех или иных проблемных ситуаций.

Особую сложность в процессе обучения решению математических задач для младших школьников представляют задачи с пропорциональными величинами. Затруднения при освоении и решении таких задач возникают как правило на этапе выделения связей между данным и искомым. Глубокое понимание данного этапа решения задачи необходимо для поиска способа и составления плана решения задачи. Одна из причин возникновения у детей такого рода трудностей заключается в том, что понятие пропорциональная зависимость не является предметом специального изучения и усвоения в начальном курсе математики.

Решение задачи разными способами, получение из нее новых, более сложных задач и их решение в сравнении с решением исходной задачи, другие приемы творческой работы создают предпосылки для формирования у ученика умения находить свой «оригинальный» способ решения задачи, воспитывают стремление вести самостоятельно поиск решения новой задачи, той, которая раньше ему «не встречалась». Поиск разных путей решения задач с пропорциональными величинами способствует осознанию причинно-следственных связей, накоплению представлений о функциональной зависимости величин, осуществлению подготовки учеников начальных классов к изучению функций в последующих классах.

Таким образом, актуальность проблемы формирования у обучающихся умения решать задачи на пропорциональную зависимость обусловлена:

1. необходимостью формировать у обучающихся умения решать задачи на пропорциональную зависимость;

2. недостаточно выделенному количеству времени на изучение понятия «пропорциональная зависимость» в начальном курсе математики.

В практике обучения возможности задач с пропорциональными величинами в развитии математического мышления учащихся, как правило, не используются из-за временных затрат на подготовку и проведение такой работы на уроке. Недостатки методики обучения характеризуются невниманием к интерпретации текста задачи с помощью таблицы и чертежа, игнорированием приемов творческой работы над задачей.

В будущем планируется составить некий сборник задач с пропорциональными величинами для решения с детьми в школе на уроках математики, дополнительных занятиях, а также дома.

В сборник будут входить задачи 3-х видов:

Задачи на нахождение четвёртого пропорционального;

На пропорциональное деление;

На нахождение неизвестного по двум разностям.

Для наиболее успешной работы над формированием у младших школьников навыка решения задач с пропорциональной зависимостью целесообразно вести систематическую, целенаправленную методическую деятельность при которой важно применять систему методических приемов.

Таким образом, опираясь на источники, можно смело утверждать, что задачи, решаемые школьниками в младших классах, занимают одну из важнейших ступеней в их обучении. Существует множество различных определений понятию текстовой задачи, огромное количество классификаций и методов их решения.

Список использованных источников:

Белошистая, А. В. Методика преподавания математики в начальной школе / А.В. Белошистая. — М.: Владос, 2005. — 455с.

Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах / Н.Б. Истомина – М.: ACADEMIA, 2002. – с. 165 – 173.

Макаренко, Т. А. Затруднения младшего школьника в освоении задач на пропорциональные величины / Т. А. Макаренко. – М.: Молодой ученый, 2019. — с. 146-147.

Математика, 7 класс, Пропорциональные отношения, Решение задач на пропорциональные отношения

CCSS.Math.Content.7.RP.A.2b

7 класс, Соотношения и пропорциональные отношения

Кластер: Анализ пропорциональных отношений и их использование для решения реальных и математических задач

Стандарт: Определение константы пропорциональности (единицы измерения) в таблицах, графиках, уравнениях, диаграммах и словесных описаниях пропорциональных отношений.

Степень выравнивания:
Без рейтинга

(0 пользователей)

CCSS.Math.Content.7.RP.A.2

7 класс, Соотношения и пропорциональные отношения

Кластер: Анализ пропорциональных отношений и их использование для решения реальных и математических задач

Стандарт: Распознавание и представление пропорциональных отношений между величинами.

Степень выравнивания:
Без рейтинга

(0 пользователей)

CCSS.Math.Content.7.RP.A.1

7 класс, Отношения и пропорциональные отношения

Кластер: Анализ пропорциональных отношений и их использование для решения реальных и математических задач

Стандарт: Вычисление удельных скоростей, связанных с отношениями дробей, включая отношения длин, площадей и других величин, измеренных в подобных единицах. или разные единицы. Например, если человек проходит 1/2 мили каждые 1/4 часа, рассчитайте удельную скорость как комплексную дробь (1/2)/(1/4) мили в час, что эквивалентно 2 милям в час.

Степень выравнивания:
Без рейтинга

(0 пользователей)

CCSS.Math.Content.7.RP.A.2a

7 класс, Соотношения и пропорциональные отношения

Кластер: Анализ пропорциональных отношений и их использование для решения реальных и математических задач

Стандарт: Определите, находятся ли две величины в пропорциональном отношении, например, путем проверки эквивалентных отношений в таблице или построение графика на координатной плоскости и наблюдение за тем, является ли график прямой линией, проходящей через начало координат.

Степень выравнивания:
Без рейтинга

(0 пользователей)

CCSS.Math.Content.7.RP.A.2c

7 класс, Соотношения и пропорциональные отношения

Кластер: Анализ пропорциональных отношений и их использование для решения реальных и математических задач

Стандарт: Представление пропорциональных отношений уравнениями. Например, если общая стоимость t пропорциональна количеству n товаров, купленных по постоянной цене p, соотношение между общей стоимостью и количеством товаров может быть выражено как t = pn.

Степень выравнивания:
Без рейтинга

(0 пользователей)

MCCRS.Math.Content.7.RP.A.1

7 класс

Область обучения: Отношения и пропорциональные отношения

Стандарт: Анализ пропорциональных отношений и их использование для решения реальных и математических задач

Индикатор: Вычисление удельных показателей, связанных с отношениями дробей, включая отношения длин, площадей и др. величины, измеряемые в одинаковых или разных единицах. Например, если человек проходит 1/2 мили каждые 1/4 часа, рассчитайте удельную скорость как комплексную дробь (1/2)/(1/4) мили в час, что эквивалентно 2 милям в час.

Степень выравнивания:
Без рейтинга

(0 пользователей)

MCCRS. Math.Content.7.RP.A.2

7 класс

Область обучения: Соотношения и пропорциональные отношения

Стандарт: Анализ пропорциональных отношений и их использование для решения реальных и математических задач

Показатель: Распознавание и представление пропорциональных отношений между величинами.

Степень выравнивания:
Без рейтинга

(0 пользователей)

MCCRS.Math.Content.7.RP.A.2c

7 класс

Область обучения: Соотношения и пропорциональные отношения

Стандарт: Анализ пропорциональных отношений и их использование для решения реальных и математических задач

Индикатор: Представление пропорциональных отношений уравнениями. Например, если общая стоимость t пропорциональна количеству n товаров, купленных по постоянной цене p, соотношение между общей стоимостью и количеством товаров может быть выражено как t = pn.

Степень выравнивания:
Без рейтинга

(0 пользователей)

MCCRS. Math.Content.7.RP.A.2b

7 класс

Область обучения: Соотношения и пропорциональные отношения

Стандарт: Анализ пропорциональных отношений и их использование для решения реальных и математических задач

Индикатор: Определение константы пропорциональности (единицы измерения) в таблицах, графиках, уравнениях, диаграммах и словесные описания пропорциональных отношений.

Степень выравнивания:
Без рейтинга

(0 пользователей)

MCCRS.Math.Content.7.RP.A.2a

7 класс

Область обучения: Отношения и пропорциональные отношения

Стандарт: Анализ пропорциональных отношений и их использование для решения реальных и математических задач

Индикатор: Определите, находятся ли две величины в пропорциональном отношении, например, путем проверки эквивалентных отношений в таблице или на графике на координатной плоскости и наблюдая, является ли график прямой линией, проходящей через начало координат.

Степень выравнивания:
Без рейтинга

(0 пользователей)

WY.Math.7.RP.A.2

7 класс

Область обучения: Соотношения и пропорциональные отношения

Стандарт: Анализ пропорциональных отношений и их использование для решения реальных и математических задач.

Индикатор: Распознавание и представление пропорциональных отношений между величинами.

Степень выравнивания:
Без рейтинга

(0 пользователей)

WY.Math.7.RP.A.2a

7 класс

Область обучения: Отношения и отношения пропорциональности

Стандарт:

Индикатор: Определите, находятся ли две величины в таблице или на графике в пропорциональной зависимости.

Степень выравнивания:
Без рейтинга

(0 пользователей)

WY.Math.7.RP.A.2c

7 класс

Область обучения: соотношения и пропорциональные отношения

Стандарт:

Индикатор: представление пропорциональных отношений с помощью уравнений.

Степень выравнивания:
Без рейтинга

(0 пользователей)

WY.Math.7.RP.A.1

7 класс

Область обучения: Соотношения и пропорциональные отношения

Стандарт: Анализ пропорциональных отношений и их использование для решения реальных и математических задач.

Индикатор: вычисление удельных ставок, в том числе сложных дробей, с одинаковыми или разными единицами измерения.

Степень выравнивания:
Без рейтинга

(0 пользователей)

WY.Math.7.RP.A.2b

7 класс

Область обучения: Соотношения и отношения пропорциональности

Стандарт:

Индикатор: Определите константу пропорциональности (единичную скорость) в таблицах, графиках, уравнениях, диаграммах и словесных описаниях пропорциональных отношений.

Степень выравнивания:
Без рейтинга

(0 пользователей)

Математика 7 класс | Пропорциональные отношения

Учащиеся углубляют свое понимание пропорций, исследуя пропорциональные отношения, чтобы решать многоэтапные задачи на отношения в реальном мире, используя новые стратегии, основанные на пропорциональных рассуждениях.

Раздел 1

7-й класс

Краткое содержание раздела


В Разделе 1 учащиеся седьмого класса углубляют свое понимание отношений, чтобы исследовать и анализировать пропорциональные отношения. Они начинают модуль с рассмотрения того, как пропорциональные отношения представлены в таблицах, уравнениях и графиках. Анализируя каждое представление, учащиеся продолжают усваивать, что означает пропорциональность, и как такие понятия, как константа пропорциональности, видны по-разному. Затем учащиеся проводят время, сравнивая примеры пропорциональных и непропорциональных ассоциаций и изучая, как все представления связаны друг с другом. Наконец, в этом разделе учащиеся будут решать многоэтапные, реальные задачи на соотношение и скорость, используя эффективные стратегии и представления, основанные на пропорциональных рассуждениях (MP.4). Эти новые стратегии и представления, такие как построение и решение пропорции, добавляются к постоянно растущему списку подходов к решению задач. На протяжении всего модуля учащиеся будут использовать MP.2 и MP.6. Перевод между уравнениями, графиками, таблицами и письменными объяснениями требует, чтобы учащиеся рассуждали как абстрактно, так и количественно, а также уделяли особое внимание единицам, расчетам и формам связи на протяжении всей своей работы.

В шестом классе учащиеся познакомились с понятием соотношения и нормы. Они изучили несколько стратегий представления соотношений и решения задач, включая использование конкретных рисунков, линий с двойными числами, таблиц, ленточных диаграмм и графиков. Они определили и нашли удельные цены и применили это к задачам преобразования измерений. Учащиеся седьмого класса будут опираться на эти концептуальные представления, чтобы полностью понять пропорциональные отношения.

Помимо этого раздела, в Разделе 5 учащиеся седьмого класса вновь займутся пропорциональными рассуждениями, решат задачи на проценты и исследуют, как пропорциональные рассуждения применимы к чертежам в масштабе. 2$$.

Темп: 22 учебных дня (18 уроков, 3 гибких дня, 1 контрольный день)

Fishtank Plus для математики

Разблокируйте функции, чтобы оптимизировать время подготовки, планировать увлекательные уроки и следить за успеваемостью учащихся.

Узнать больше

Оценка


Следующие оценки сопровождают Блок 1.

Предварительная часть

Предложите учащимся пройти предварительную оценку и самооценку перед началом модуля. Используйте Руководство по анализу предварительной оценки, чтобы определить пробелы в фундаментальном понимании и наметить план ускорения обучения на протяжении всего модуля.

Промежуточный модуль

Предложите учащимся выполнить оценку промежуточного модуля после урока 9.

Послемодуль

Используйте приведенные ниже ресурсы для оценки усвоения учащимися содержания модуля и плана действий для будущих модулей.

  • Постмодальная оценка

  • Ключ к ответам после модульной оценки

  • Руководство по анализу послемодульной оценки

    92F25A3F-8529-4314-9899-6EE68694E3D0

  • Последипломная самооценка студентов

Расширенный пакет оценивания

Используйте данные учащихся для управления планированием с помощью расширенного набора модульных оценок, помогающих оценить способности учащихся с базовыми навыками и понятиями, а также их прогресс в изучении содержания модуля.

Скачать образец

Подготовка блока


Интеллектуальная подготовка

Предложения по подготовке к обучению данного модуля

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

Запуск модуля

Подготовьтесь к преподаванию этого модуля, погрузившись в стандарты, большие идеи и связи с предыдущим и будущим содержанием. Запуск модулей включает в себя серию коротких видеороликов, целевую литературу и возможности для планирования действий.

Обновление до Plus

Интернализация стандартов с помощью оценки после завершения обучения
  • Пройдите оценку после завершения обучения. Аннотировать для:
    • Стандарты, которым соответствует каждый вопрос
    • Стратегии и представления, используемые на ежедневных уроках
    • Связь с основными понятиями модуля
    • Уроки, на которые Оценка указывает
Интернализация траектории отряда
  • Прочтите и аннотируйте сводку отряда.
  • Обратите внимание на продвижение понятий по блоку, используя карту урока.
  • Выполнить все целевые задания. Аннотируйте целевые задачи для:
    • Основные понятия
    • Связь с вопросами послемодульной оценки
  • Определите ключевые возможности для вовлечения учащихся в академический дискурс. Прочтите наш Инструмент для учителя на
    Академический дискурс и ссылайтесь на него на протяжении всего модуля.
Интеллектуальная подготовка для конкретных модулей
  • Прочтите разделы 6–7 «Общие базовые государственные стандарты по математике», «Соотношения и пропорциональные отношения», чтобы лучше понять, чему учащиеся научились в шестом классе и что ожидается в седьмом классе.
  • The UnboundEd Ratios: Unbound: A Guide to Grade 7 Mathematics Standards это также отличное чтение.
  • Прочтите следующую таблицу, в которой указаны модели, используемые во всем устройстве:
Модель Пример
Составление и решение пропорции

Группа из 4 студентов покупает билеты в кино за 24 доллара. При таком расценке сколько 20 студентов заплатили бы за фильм?

$$\frac{4\space \mathrm{студенты}}{$24} = \frac{20\space \mathrm{студенты}}{$x}$$

$$4x=24(20)$$

$$x=120$$

Таблица эквивалентных соотношений

В таблице ниже показан вес риса в фунтах и ​​соответствующая стоимость в долларах.

Рис (фунты) Стоимость ($)
2 11
10 55
13 ?
? 88
Уравнение Уравнение $$y=8,75x$$ представляет стоимость в долларах, $$y$$, для покупки $$x$$ фунтов мяса индейки в гастрономе.
График

На приведенном ниже графике показана зависимость между стоимостью газа и количеством галлонов газа, купленных на заправочной станции.

Основные понятия

Основные математические понятия, которые учащиеся усвоят в этом разделе

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

  • Пропорциональная связь между двумя величинами представляет собой совокупность эквивалентных отношений, связанных друг с другом константой пропорциональности.
  • Пропорциональные отношения могут быть представлены различными родственными способами, включая таблицу, уравнение, график и письменное описание. Знание одного представления предоставляет информацию, необходимую для представления отношения другим способом.
  • Удельная ставка, связанная с соотношением $$a:b$$, составляет $$a/b$$ или $$b/a$$ единиц одного количества за 1 единицу другого количества. Удельные ставки представлены в уравнениях вида $${y=kx}$$ и в графиках пропорциональных отношений в виде упорядоченной пары $$(1, r)$$.
  • Существует множество приложений, которые можно решить с помощью пропорциональных рассуждений, включая задачи с повышением и понижением цен, комиссионными сборами, ценами за единицу и постоянной скоростью.

Запас слов

Термины и обозначения, которые студенты изучают или используют в модуле

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

комиссия

константа пропорциональности

зависимая переменная

независимая переменная

4 эквивалентное отношение

40004

отношение части к целому

отношение части к части

пропорция

пропорциональная зависимость

отношение

скорость

единица измерения

Чтобы увидеть весь словарный запас для Раздела 1, просмотрите наш глоссарий лексики для 7-го класса.

Материалы

Материалы, иллюстрации и инструменты, которые потребуются преподавателям и учащимся для работы с данным разделом

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

  • Калькуляторы (по 1 на учащегося)
  • Миллиметровая бумага (2-3 листа на учащегося)
  • Линейка (1 на ученика)

Чтобы ознакомиться со всеми материалами, необходимыми для этого курса, ознакомьтесь с нашим Обзором материалов курса для 7-го класса.

Карта урока


Тема A: Представление отношений пропорциональности в таблицах, уравнениях и графиках

Решите проблемы соотношения и скорости, используя строки с двойными числами, таблицы и единичную скорость.

7.РП.А.1
7.РП.А.2

Представление пропорциональных отношений в таблицах и определение константы пропорциональности.

7.РП.А.2
7.РП.А.2.Б

Определите константу пропорциональности в таблицах и используйте ее для поиска пропущенных значений.

7.РП.А.2.А
7.РП.А.2.Б

Напишите уравнения пропорциональных отношений, представленные в таблицах.

7.РП.А.2.Б
7.РП.А.2.С

Напишите уравнения пропорциональных отношений из текстовых задач.

7.РП.А.2
7.РП.А.2.С

Представление пропорциональных отношений на графиках.

7.РП.А.2
7.РП.А.2.А
7.РП.А.2.Д

Интерпретация пропорциональных отношений, представленных на графиках.

7.РП.А.2
7.РП.А.2.Д

Тема B: Непропорциональные отношения

Сравните пропорциональные и непропорциональные отношения.

7.РП.А.2.А

Определите, являются ли отношения пропорциональными или непропорциональными.

7.РП.А.2.А

Тема C: Соединение всего вместе

Установите связи между четырьмя представлениями о пропорциональных отношениях (Часть 1).

7.РП.А.2
7.РП.А.2.А
7.РП.А.2.Б
7.РП.А.2.С
7.РП.А.2.Д

Установите связи между четырьмя представлениями о пропорциональных отношениях (Часть 2).

7.РП.А.2
7.РП.А.2.А
7.РП.А.2.Б
7.РП.А.2.С
7.РП.А.2.Д

Используйте различные стратегии для представления и распознавания пропорциональных отношений.

7.РП.А.2
7.РП.А.2.А
7.РП.А.2.Б
7.РП.А.2.С
7.РП.А.2.Д

Тема D: Решение задач на отношения и доли с помощью дробей

Найдите норму отношения, состоящего из дробей.

7.РП.А.1

Найдите удельную ставку и используйте ее для решения задач.

7.РП.А.1
7.РП.А.3

Решите проблемы соотношения и скорости, установив пропорцию.

7.РП.А.1
7. РП.А.3

Решите проблемы соотношения и доли, установив пропорцию, в том числе задачи часть-часть-целое.

7.РП.А.1
7.РП.А.3

Решайте многошаговые задачи соотношения и ставок, используя пропорциональные рассуждения, включая дробное увеличение и уменьшение цены, комиссионные и сборы.

7.РП.А.3

Используйте пропорциональные рассуждения для решения реальных многошаговых задач.

7.РП.А.1
7.РП.А.2
7.РП.А.3

Общие основные стандарты


Ключ

Основной кластер

Вспомогательный кластер

Дополнительный кластер

Основные стандарты

Стандарты содержания, рассматриваемые в этом модуле

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

Соотношения и пропорциональные отношения
  • 7.РП.А.1

    — Вычислить удельные нормы, связанные с отношениями дробей, включая отношения длин, площадей и других величин, измеренных в одинаковых или разных единицах.
    Например, если человек проходит 1/2 мили за каждые 1/4 часа, рассчитайте удельную скорость как сложную дробь 1/2 / 1/4 миль в час, что эквивалентно 2 милям в час.

  • 7.РП.А.2

    — Распознавать и представлять пропорциональные отношения между величинами.

  • 7.РП.А.2.А

    — Определите, находятся ли две величины в пропорциональном отношении, например, проверив эквивалентные отношения в таблице или нарисовав график на координатной плоскости и наблюдая, является ли график прямой линией, проходящей через начало координат.

  • 7.РП.А.2.Б

    — Определить константу пропорциональности (единичную норму) в таблицах, графиках, уравнениях, схемах и словесных описаниях пропорциональных отношений.

  • 7.РП. А.2.С

    — Представлять пропорциональные отношения уравнениями.
    Например, если общая стоимость t пропорциональна количеству n товаров, купленных по постоянной цене p, соотношение между общей стоимостью и количеством товаров может быть выражено как t = pn.

  • 7.РП.А.2.Д

    — Объясните, что означает точка (x, y) на графике пропорциональной зависимости с точки зрения ситуации, уделив особое внимание точкам (0, 0) и (1, r), где r — единичная ставка.

  • 7.РП.А.3

    — Используйте пропорциональные отношения для решения многошаговых задач на соотношение и проценты.
    Примеры: простые проценты, налоги, надбавки и скидки, чаевые и комиссионные, сборы, процентное увеличение и уменьшение, процентная ошибка.

Основополагающие стандарты

Стандарты, описанные в предыдущих модулях или классах, которые являются важной основой для текущего модуля

6. EE.B.7

  • 6.EE.C.9

  • Числа и операции — дроби
    • 5.NF.B.6

    Соотношения и отношения пропорциональности
    • 6.РП.А.1

    • 6.РП.А.2

    • 6.РП.А.3

    • 6.РП.А.3.А

    • 6.РП.А.3.Б

    Система счисления
    • 6.НС.А.1

    Будущие стандарты

    Стандарты будущих классов или разделов, которые связаны с содержанием данного раздела

    A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

    Выражения и уравнения
    • 8. EE.B.5

    • 8.EE.B.6

    Функции
    • 8.F.A.1

    • 8.F.A.2

    • 8.F.A.3

    • 8.F.B.4

    • 8.F.B.5

    Стандарты математической практики

    • CCSS.MATH.PRACTICE.MP1
      — Разбираться в проблемах и настойчиво решать их.

    • CCSS.MATH.PRACTICE.MP2
      — Рассуждайте абстрактно и количественно.

    • CCSS.MATH.PRACTICE.MP3
      — Придумывайте жизнеспособные аргументы и критикуйте рассуждения других.

    • CCSS.MATH.PRACTICE.MP4
      — Модель с математикой.

    • CCSS.MATH.PRACTICE.MP5
      — Стратегически используйте соответствующие инструменты.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *