Задачи с помощью уравнений: Решение задач с помощью уравнений

Урок по математике «Решение задач с помощью уравнений». 6-й класс

Разделы:

Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Класс:
6

Ключевые слова:

решение задач с помощью уравнений


Презентация к уроку

Загрузить презентацию (8 МБ)


Предмет: Математика.

Класс: 6.

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

Цели урока:

  • личностные: развивать умение слушать; ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи; развивать креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении задач; метапредметные: формировать умение строить логические рассуждения, умозаключения и делать выводы;
  • предметные: уметь решать задачи с помощью уравнений.

Дидактические средства: учебник «Математика. 6 класс» Мерзляк А.Г., презентация.

Оборудование:: доска, проектор>

Этапы урока

Цель этапа

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Универсальные учебные действия

Организационный момент

Создание благоприятного психологического настроя на работу

Приветствует учащихся,
проверяет готовность к уроку, создаёт эмоциональный настрой

Взаимное приветствие, настраиваются на работу

Коммуникативные:
планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками
Регулятивные:
способность к мобилизации сил и энергии

Актуализация знаний

Актуализация опорных знаний и способов действий

Демонстрирует слайд 2 и предлагает выполнить устные вычисления

Выполняют вычисления с подробными объяснениями, при необходимости исправляют и дополняют ответы одноклассников

Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками;
умение выражать мысли
Познавательные: структурирование знаний;
осознанное построение речевого высказывания в устной форме

Демонстрирует слайды 3, 4 и предлагает решить два уравнения. Каждое задание выполняется одним учащимся. Учитель открывает последующую строчку только после того, как обучающийся правильно проговорил ее

Один учащийся проговаривает алгоритм решения уравнения, остальные – внимательно слушают, при необходимости дополняют или исправляют ответ.

Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками; умение выражать мысли
Познавательные: структурирование знаний; осознанное построение речевого высказывания в устной форме

Постановка учебной задачи

Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими цели урока

Демонстрирует слайды 5, 6 и предлагает решить две задачи: первая задача решается арифметическим способом, вторая – алгебраическим (с помощью уравнения). Учитель задает вопросы, приводящие к пониманию о недостаточности знаний для решения второй задачи. Слайд 7.

В ходе беседы помогает определить связь между изученной темой «Уравнения» и новой задачей, подводит к  формулированию темы урока (слайд 8)

Решают первую задачу.
Размышляют над решением второй: сравнивают условия, краткую запись, выдвигают гипотезы, отвечают на поставленные вопросы.

 

 

Формулируют цель и тему урока
Записывают тему урока в тетрадь

Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками; умение выражать мысли
Регулятивные:
постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно; составление плана и последовательности действий
Познавательные:
формулирование гипотез

«Открытие» учащимися новых знаний

Обеспечение восприятия и осмысления и первичного запоминания детьми новой темы

Демонстрирует слайд 9, объясняет решение задачи

Отвечают на вопросы учителя, записывают решение в тетрадь

Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками; умение выражать мысли
Познавательные:
поиск и выделение необходимой информации;
установление причинно-следственных связей

Физкультминутка

Смена деятельности.

Демонстрирует слайды 10-15

Учащиеся выполняют упражнения

 

Первичное закрепление

Установление правильности и осознанности изучения темы.

Слайды 16-18. Вместе с учащимися разбирает задачи по плану:

— О чем задача?

— Какие слова будут в краткой записи?

— Что обозначим за х?

— Как будут записаны остальные данные?

— Какое уравнение можно составить?

Учащиеся вместе с учителем разбирают условия предложенных задач, выбирают данные для краткой записи, определяются с обозначением неизвестной и составляют уравнения

Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками; умение выражать мысли
Познавательные:
смысловое чтение; построение логической цепочки рассуждений
Регулятивные:
составление плана и последовательности действий

Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Установление правильности и осознанности изучения темы. Выявление первичного осмысления изучаемого  материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу

Предлагает учащимся самостоятельно решить задачу (слайд 19). После завершения работы открывает слайд 20 с готовым образцом решения.

Самостоятельно решают задачу, затем сверяют с образцом решения на экране (слайд 20). Оценивают свою работу (слайд 21)

Регулятивные: составление плана и последовательности действий; сличение способа действия и его результата с заданным эталоном, в случае необходимости – коррекция
Познавательные:
смысловое чтение; построение логической цепочки рассуждений

Подведение итогов

Самооценка результатов своей деятельности и всего класса

Учитель предлагает ответить на вопросы (слайд 22)

Учащиеся отвечают на вопросы

Регулятивные:
выделение и осознание учащимся «новых» знаний, оценивание их необходимости
Коммуникативные: взаимодействие с учителем и сверстниками; умение выражать мысли

Постановка домашнего задания

 

Домашнее задание: выучить признаки § 42, № 1174, 1176
(слайд 23)

Записывают домашнее задание в дневник

 

§ 6. Решение задач с помощью уравнений

Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.

Введение

В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.

Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.

Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.

Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.

Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений

Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:

  1. Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
  2. Решают уравнение.
  3. Истолковывают результат.

Примеры решений

Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?

Решение:

Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет.
После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.

Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.

Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)

Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7\cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7\cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.

Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.

Монет в мешке: $48$

Монет в сундуке: $48\cdot 3=144$

Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?

Решение:

Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.

Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.

Муки в первом мешке: $700\cdot 3=2100$ кг.

Муки во втором мешке: $700$ кг.

Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.

Решение:

Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:

$$4x-40=x+5$$

Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:

$$4x-x=5+40$$

Упростим выражения:

$$3x=45$$

Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:

$$x=15$$

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.

Картошки в первом мешке: $15\cdot 4=60$ кг.

Картошки во втором мешке: $15$ кг.

Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.

Решение:

Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:

По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)

$$2(v+20)=4(v-20)$$

Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.

$$v+20=2v-2\cdot 20$$

$$v+20=2v-40$$

$$20+40=2v-v$$

$$v=60$$

Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).

Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.

Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Решение:

Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3\cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3\cdot 200$ кг.

По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:

$$x-50-3\cdot 150=1,5(x-3\cdot 200)$$

Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.

Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:

$$x-500=1,5x-1,5\cdot 600$$

Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$.

Запишем с учётом перевода дробей и упростим:

$$x-500=\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\cdot \frac{600}{1}$$

$$x-500=\frac{3x}{2}-\frac{3}{1}\cdot \frac{300}{1}$$

$$x-500=\frac{3x}{2}-900$$

Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:

$$900-500=\frac{3x}{2}-x$$

$$400=\frac{3x}{2}-\frac{x}{1}$$

$$400=\frac{3x-2x}{2}$$

$$400=\frac{x}{2}$$

Домножим обе части на 2 и получим ответ:

$$x=800$$

Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$

Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.

Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.

Задачи для самостоятельного решения

Условие

№1.

Задача Э. Безу.

По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

Решение

Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.

В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$

$$48n-12\cdot 30+12n=0$$

$$48n+12n=12\cdot 30$$

$$60n=360$$

$$n=\frac{360}{60}$$

$$n=6$$

Ответ: Рабочие отработали 6 дней.

Условие

№2.

Задача В.И Арнольда.

Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?

Решение

Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:

1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.

$1+0,5k=k$

$1=k-0,5k$

$0,5k=1$

$k=1:0,5$

$k=2$

Ответ: Кирпич весит 2 фунта.

Условие

№3.

Задача В.И Арнольда

Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на
9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?

Решение

Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:

$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:

$$p+9+p=10$$

$$2p=10-9$$

$$2p=1$$

$$p=1:2$$

$$p=0,5$$

Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.

Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.

Условие

№4.

На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Решение

Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:

$$5x+x+x-5=555$$

$$7x=555+5$$

$$x=560:7$$

$$x=80$$

Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5\cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.

Условие

№5.

Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?

Решение

Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:

$$2x-10+0,3(2x-10)=65$$

$$2x-10+0,3\cdot 2x-0,3\cdot 10=65$$

$$2x+0,3\cdot 2x=65+10+0,3\cdot 10$$

$$2,6x=65+13$$

$$2,6x=78$$

$$x=78:2,6$$

$$x=30$$

Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.

Следующая тема

Решения текстовых задач с уравнениями

При решении задач с помощью уравнений необходимо две вещи: во-первых, перевести постановку вопроса с общеупотребительного языка на алгебраический, таким образом, чтобы получилось уравнение; во-вторых, привести это уравнение к состоянию в котором неизвестная величина будет стоять сама по себе, а ее значение будет дано в известных терминах на противоположной стороне. Как это происходит, мы уже рассмотрели.

Одной из основных особенностей алгебраического решения является то, что искомая величина сама вводится в операцию. Это позволяет нам формулировать условия в той же форме, как если бы задача уже была решена. Тогда ничего не остается делать, как свести к уравнение и найти совокупное значение известных величин. (Статья 52.) Так как они равны неизвестной величине в другой части уравнения, значение этой величины также определяется, и, следовательно, задача решена.

Задача 1. Мужчина, которого спросили, сколько он отдал за часы, ответил; Если умножить цену на 4, а к товару прибавить 70, а из этой суммы вычесть 50, то остаток будет равен 220 долларам.

Чтобы решить это, мы должны сначала перевести условия задачи в такие алгебраические выражения, которые образуют уравнение.

Пусть цена часов представлена ​​как   x

Эта цена должна быть умножена на 4, что дает   4x

К произведению нужно добавить 70, получится   4x + 70

Из этого следует вычесть 50, получив 4x + 70 — 50.

Здесь мы имеем ряд условий, выраженных в алгебраических терминах; но пока еще нет уравнения . Тогда мы должны заметить, что по последнему условию задачи говорят, что предыдущие члены равны , равным к 220.

Таким образом, у нас есть это уравнение: 4x + 70 — 50 = 220

Уменьшение дает     x = 50.

Здесь значение x равно 50 долларам, что является ценой часов.

Чтобы доказать , получили ли мы истинное значение буквы, обозначающей неизвестную величину, нам нужно — только подставить это значение самой буквы в уравнение, содержащее первую формулировку условий задачи; и посмотреть, равны ли стороны, после замены. Ибо если ответ таким образом удовлетворяет предложенным условиям, то это искомое количество. Таким образом, в предыдущем примере

Исходное уравнение      4x + 70 — 50 = 220

Если заменить x на 50, получится   4,50 + 70 — 50 = 220.

То есть        220 = 220.

Задача 2. Какое число такое, к которому, если прибавить его половину и вычесть из суммы 20, остаток будет составлять четвертую часть самого числа?

При постановке вопросов такого рода, касающихся дробей, следует помнить, что (1/3)x равно x/3; что (2/5)x = 2x/5 и т. д. (Статья 158.)

В этой задаче искомое число обозначим через х.

Тогда по предложенным условиям   x + x/2 — 20 = x/4

И сокращение уравнения    x = 16.

         Доказательство,    16 + 16/2 — 20 = 16/4.

Задача 3. Отец делит свое имущество между тремя сыновьями таким образом, что:

У первого на 1000 долларов меньше половины всего;

У второго на 800 меньше одной трети всего;

У третьего на 600 меньше четверти целого;

Какова стоимость недвижимости?

Если все имение будет представлено x, то несколько долей будут x/2 — 1000, x/3 — 800 и x/4 — 600.

А так как они составляют все состояние, то вместе они равны х.

У нас есть тогда это уравнение x/2 — 1000 + x/3 — 800 + x/4 — 600 = x.

Уменьшение дает         x = 28800

Доказательство 28800/2 — 1000 + 28800/3 — 800 + 28800/4 — 600 = 28800.

Чтобы избежать ненужного введения неизвестных величин в уравнение, было бы хорошо заметить в этом месте, что, когда дана сумма или разность двух величин, обе они могут быть выражены с помощью одного и того же письмо. Если из их суммы вычесть одну из двух величин, очевидно, что остаток будет равен другой. И если разность двух величин вычесть из большей, то остаток будет меньше.

Таким образом, если сумма двух чисел равна      20

И если один из них представлен     x

Другой будет равен      20 — x.

Задача 4. Разделите 48 на две такие части, что если меньшую разделить на 4, а большую на 6, то сумма частных будет 9.

Здесь, если в качестве меньшей части положить х, то большая будет равна 48 — х.

По условиям задачи х/4 + ​​(48 — х)/6 = 9.

Следовательно,     x = 12, тем меньше.

А      48 — x = 36, большее.

Буквы могут использоваться для выражения в уравнении известных величин, а также неизвестных. Числам присваивается особое значение; при их введении в расчет: и при закрытии цифры восстанавливаются.

Задача 5. Если к некоторому числу прибавить 720, а сумму разделить на 125; частное будет равно 7392, деленное на 462. Что это за число?

Пусть х = искомое число.

а = 720          d = 7392

б = 125          ч = 462

Тогда по условиям задачи      (x + a)/b = d/h

Следовательно,          x = (bd — ah)/h

Восстановление чисел,x = [(125,7392) — (720,462)]/462 = 1280.

Когда решение уравнения дает отрицательный ответ, это показывает, что значение неизвестной величины противоположно величинам, которые в постановке вопроса «считаются положительными».

Задача 6. Купец выигрывает или теряет при сделке определенную сумму. При второй сделке он получает 350 долларов, а при третьей теряет 60. В конце концов он обнаруживает, что выиграл 200 долларов, причем втроем. Сколько он выиграл или потерял в первом случае?

В этом примере, поскольку прибыль и убыток противоположны по своей природе, их необходимо различать противоположными знаками. Если прибыль отмечена +, убыток должен быть -.

Пусть x = требуемая сумма.

Тогда согласно утверждению      x + 350 — 60 = 200

И          x = -90.

Знак минус, стоящий перед ответом, показывает, что в первой сделке был убыток ; и, следовательно, собственный знак x также отрицателен. Но так как это определяется ответом, то его упущение при вычислении не может привести к ошибке.

Задача 7. Корабль плывет на 4 градуса северной широты, затем на 13 градусов южной широты, затем на 17 градусов северной широты, затем на 19 градусов южной широты и, наконец, на 11 градусов южной широты. Какова была ее широта в начале?

Пусть x = искомая широта.

Затем маркировка северных + и южных -;

По утверждению      x + 4 — 13 + 17 — 19 = -11

И        x = 0.

Ответ здесь показывает, что место, откуда стартовал корабль, находилось на экваторе, где широта ничего не значит.

Задача 8. Если некоторое число разделить на 12, то частное, делимое и делитель вместе дадут 64. Что это за число?

Пусть x = искомое число.

Тогда          x/12 + x + 12 = 64.

И          x — 624/13 = 48.

Задача 9. Имущество делится между четырьмя детьми таким образом, что

У первого на 200 долларов больше 1/4 всего,

У второго на 340 долларов больше 1/5 всего,

У третьего на 300 долларов больше 1/6 от всего,

У четвертого 400 долларов больше 1/8 всего,

Какова стоимость недвижимости? Ответ 4800 долларов.

Задача 10. Какое число меньше 500 настолько, насколько его пятая часть больше 40? Ответ 450.

Задача 11. Есть два числа, разность которых равна 40 и которые относятся друг к другу как 6 к 5. Что это за числа? Ответ 240 и 200.

Задача 12. Какое число то, которое до 12 умножается на тройное число, как 2 до 9? Ответ 8.

Задача 13. Корабль и лодка одновременно спускаются по реке. Корабль проходит некий форт, когда лодка находится на 13 миль ниже. Корабль спускается на пять миль, а лодка — на три. На каком расстоянии ниже форта они будут вместе? Ответ 32,5 мили.

Задача 14. Какое число называется тем, шестая часть которого больше восьмой части на 20? Ответ 480.

Задача 15. Разделите приз в 2000 долларов на две такие части, чтобы одна из них была к другой, как 9:7.

         Ответ Части 1125 и 875.

Задача 16. Какая это сумма денег, третья, четвертая и пятая части которой вместе взятые составляют 94 доллара? Ответ 120 долларов.

Задача 17. Человек провел одну треть своей жизни в Англии, одну четвертую ее часть в Шотландии, а остаток ее, то есть 20 лет, в Соединенных Штатах. До какого возраста он дожил? Ответ на возраст 48 лет.

Задача 18. Какое число является таким, 1/4 которого больше 1/5 его на 96?

Задача 19. Столб находится в земле, на 3/7 в воде и на 13 футах над водой. Какова длина поста?

         Ответ 35 футов.

Задача 20. Какое число то, к которому прибавив 10, 3/5 суммы будет 66?

Задача 21. Из деревьев в саду 3/4 составляют яблони, 1/10 груши, а остальные персики, что на 20 больше, чем 1/8 всего. Какое целое число в саду? Ответ 800.

Задача 22. Джентльмен купил несколько галлонов вина за 94 доллара; и после того, как сам использовал 7 галлонов, продал 1/4 остатка за 20 долларов. Сколько галлонов было у него сначала?

         Ответ 47.

Задача 23. Какое это число, если сложить 1/3, 1/4 и 2/7, сумма будет 73? Ответ 84.

Задача 24. У человека, потратившего на 100 долларов больше 1/3 своего дохода, осталось 35 долларов больше 1/2 его дохода. Требуется его доход

Задача 25. В составе количество пороха

Нитра весила 10 фунтов. более 2/3 всего,

Сера 4,5 фунта. менее 1/5 части,

Уголь 2 фунта. менее 1/7 селитры.

Сколько было пороха? Ответ 69 фунтов.

Задача 26. Бочка объемом 146 галлонов была наполнена смесью бренди, вина и воды. Вина было на 15 галлонов больше, чем бренди, и столько же воды, сколько бренди и вина вместе взятых. Какое количество было каждого?

Задача 27. Четыре человека совместно купили ферму за 4755 долларов; из которых B заплатил в три раза больше, чем A; C заплатил столько же, сколько A и B; и D заплатили столько же, сколько C и B. Сколько заплатил каждый? Ответьте 317, 951, 1268, 2219.

Задача 28. Отец разделил небольшую сумму между четырьмя сыновьями.

У третьего было на 9 шиллингов больше, чем у четвертого;

У второго было на 12 шиллингов больше, чем у третьего;

У первого было на 18 шиллингов больше, чем у второго;

И вся сумма была на 6 шиллингов более чем в 7 раз больше суммы, которую получил младший.

На что была поделена сумма? Ответ 153.

Задача 29. У фермера было две отары овец, в каждой из которых было одинаковое количество овец. Продав из одного из этих 39, а из другого 93, он находит, что в одном осталось вдвое больше, чем в другом. Сколько их было в каждом стаде изначально?

Задача 30. Экспресс, идущий со скоростью 60 миль в день, был отправлен через 5 дней, когда за ним был отправлен второй, проезжавший 75 миль в день. Через какое время одно догонит другое? Ответ 20 дней.

Задача 31. Возраст A в два раза больше, чем у B, возраст B в три раза больше, чем у C, а сумма всех их возрастов равна 140. Каков возраст каждого?

Задача 32. Были куплены два куска сукна одинаковой цены за ярд, но разной длины, один за пять фунтов, другой за 6,5. Если к длине каждой прибавить 10, сумма будет как 5 к 6. Требуемая длина каждой части.

Задача 33. Какое число, если его по отдельности прибавить к 36 и 52, даст первое в сумме со вторым, как 3 к 4?

Задача 34. Джентльмен купил фаэтон, лошадь и упряжь за 360 долларов. Лошадь стоила вдвое дороже сбруи; а фаэтон стоил в два раза дороже, чем сбруя и лошадь вместе взятые. Какова была цена каждого?

Задача 35. Из бочонка вина, из которого вытекла 1/3 часть, впоследствии вылили 21 галлон; когда оказалось, что бочка наполовину полна. Сколько держало?

Задача 36. У мужчины 6 сыновей, каждый из которых на 4 года старше своего следующего младшего брата; а старший в три раза старше младшего. Каков возраст каждого?

Задача 37. Разделите число 49 на две такие части, чтобы большая, увеличенная на 6, относилась к меньшей, уменьшенной на 11, как 9 к 2.

Задача 38. Какие два числа равны от 2 до 3; к каждой из которых, если прибавить 4, суммы будут как 5 к 7?

Задача 39. Человек купил две бочки портера, одна из которых вместила всего в 3 раза больше, чем другая; из каждого из них он вынул по 4 галлона, а затем обнаружил, что в большем осталось в 4 раза больше галлонов, чем в другом. Сколько галлонов было в каждом?

Задача 40. Разделите число 68 на две части так, чтобы разница между большей и 84 была равна 3-кратной разнице между меньшей и 40.

Задача 41. Четыре места расположены в порядке букв A, B, C, D. Расстояние от A до D равно 34 милям. Расстояние от А до В равно расстоянию от С до D как 2 к 3. А 1/4 расстояния от А до В, прибавленное к половине расстояния от С до D, в три раза больше расстояния от 2? до C. Каковы соответствующие расстояния?

     Ответ От А до В = 12; от В до С = 4; от С до D = 18.

Задача 42. Разделите число 36 на 3 части так, чтобы 1/2 первой, 1/3 второй и 1/4 третьей были равны между собой.

Задача 43. Купец содержал себя 3 года на 50 ф. В конце третьего года его первоначальный запас удвоился. Что это был за запас?

         Ответ 740 фунтов.

Задача 44. Полководец, проиграв сражение, обнаружил, что у него осталась боеспособной только половина его армии +3600 человек; 1/8 армии +600 человек ранено; а остальные, которых было 1/5 всего, либо убиты, взяты в плен, либо пропали без вести. Из скольких человек состояло его войско? Ответ 24000.

Для решения многих алгебраических задач требуется знакомство с вычислением степеней и радикальных величин. Поэтому будет необходимо обратить внимание на них, прежде чем закончить тему уравнений.

Как писать текстовые задачи в виде уравнений — Криста Кинг Математика

Как слова и фразы переводятся в математику

Поначалу задачи со словами могут показаться сложными. В чем проблема на самом деле просит вас сделать?

Некоторые фразы всегда означают одну и ту же операцию в математике.

Приведенная ниже таблица поможет вам выучить распространенные математические фразы и операции, которые они обозначают.

Привет! Я Криста.

Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

Перевод слов и фраз в выражения:

Примеры преобразования текстовых задач в математические выражения и уравнения

Пройти курс

Хотите узнать больше об Алгебре 1? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

Учить больше

Запись фразы в виде алгебраического выражения

Пример

Запишите фразу в виде алгебраического выражения.

«Четыре меньше, чем вдвое ???x???»

Фраза «дважды ???x???» означает «???2??? раз ???х???” что, как мы знаем, означает умножение, поэтому мы можем записать его как ???2x???. Теперь у нас есть

«Четыре меньше, чем ???2x???»

Меньше означает вычитание, поэтому мы вычтем ???4??? от ???2x???.

???2x-4???

Может возникнуть соблазн написать ???4??? сначала и вычтите ???2x???. Давайте воспользуемся цифрами, чтобы визуализировать это. Когда мы говорим ???4??? менее ???10??? Вы знаете, что вам придется вычесть ???4??? от???10???, записывается как???10-4???. Так ???4??? менее ???2x??? будет ???2x-4???.

Фраза «дважды х» означает «в 2 раза х», что, как мы знаем, означает умножение, поэтому мы можем написать это как 2x.

Пример

Найдите значение выражения.

???\frac{1}{4}??? из ???120???

В математике слово «из» (сразу после правильной или неправильной дроби) говорит нам умножать. Следовательно, математическое выражение фразы будет

???\frac{1}{4} \cdot 120???

Поскольку нас попросили найти значение выражения, мы выполним умножение, чтобы получить упрощенное значение.

???30???

Мы можем не только переводить фразы в выражения, но и составлять уравнения из некоторых фраз.

Например, предположим, что вы хотите использовать алгебру для решения следующей текстовой задачи:

Возраст Джона на четыре месяца меньше, чем удвоенный возраст Мэри. Если Мэри ???18???, сколько лет Джону?

Первым шагом в решении такой задачи со словами является определение переменных. Это означает, что нужно указать конкретное количество, которое обозначает каждая переменная.

В этой задаче у нас есть две величины: возраст Мэри и возраст Джона. Итак, мы определим переменные, сказав «Let ???x??? быть в возрасте Марии, и пусть ???y??? быть в возрасте Джона». (Мы могли бы использовать любые буквы алфавита для переменных, но люди часто используют ???x??? для одной из переменных, а если есть одна или две дополнительные переменные, они, как правило, используют ???y?? ? и ???z???, именно в таком порядке.)

Следующим шагом в решении задач со словами является «перевод» каждого слова или фразы в математические символы. Здесь «возраст Джона» переводится как «???2x-4???».

Как насчет слова «является» (в «Возраст Джона на четыре меньше, чем удвоенный возраст Марии»)? Ну, «есть» переводится как знак равенства. Чтобы убедиться в этом, полезно подумать о том, что слово «есть» имеет то же значение (в математике), что и «равно».

Объединяя все это, мы получаем уравнение

???y=2x-4???

Третий шаг в решении задачи со словами состоит в том, чтобы использовать данные и решить уравнение. Здесь нам дан возраст Мэри как ???18???, поэтому мы заменяем ???18??? для ???х??? а затем решить для ???y???.

???y=2(18)-4???

???y=36-4???

???y=32???

Последний шаг — ответить на заданный вопрос. Здесь нас спрашивают о возрасте Джона. Поскольку мы определили ???y??? как возраст Джона, ответ ???32???.

Предположим, вместо этого нам дали следующую задачу со словами:

В настоящее время возраст Джона на четыре года меньше, чем удвоенный возраст Мэри. Если Мэри сейчас ???18???, сколько лет будет Джону через семь лет?

Для решения этой задачи было бы удобно определить ???x??? сколько сейчас лет Мэри, и ???y??? как возраст Джона сейчас, потому что нам дано соотношение между возрастом Марии (сейчас) и возрастом Джона (сейчас).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *