Задачи с параметрами в теме квадратичная функция мордкович: Место задач с параметрами в изучении свойств квадратичной функции | Методическая разработка (алгебра, 8 класс) на тему:

Линия задач с параметрами в школьном курсе математики Текст научной статьи по специальности «Математика»

минимальны. Все эти выводы учащиеся формулируют после решения задач и убеждаются в значимости математики в выбранной профессии.

Как показывает опыт изучения математики учащимися ПУ, использование в обучение профессионально-ориентированных задач способствует:

1. Развитию познавательного интереса к математике за счет профессионального интереса;

2. Созданию устойчивой мотивации изучения математических понятий на основе сопоставления их с профессиональными знаниями;

3. Повышению уровня осознанности учащимися ПУ теоретических знаний по математике с точки зрения профессиональной направленности [1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дорибидонтова А.А., Макарченко М.Г. Визуализация теоретических фактов как средство взаимосвязи геометрии с профессиональными дисциплинами // Вестник ТГПИ. № 1. Физико-математические и естественные науки, 2009.

2. Вербицкий А.А. Компетентностный подход и теория контекстного обучения. М.: ИЦ ПКПС. 2004. 84 с.

3. Космина И.В. Формирование профессионального интереса у учащихся профессионального лицея, 2006.

4. Суслова Л.Н. Обучение решению профессионально—значимых задач, 2006.

5. Костюк Н.В. Развитие у обучающихся позитивной мотивации к профессиональному образованию / Н.В. Костюк // Образование. Карьера. 2004. № 3.

С.И. Дяченко

ЛИНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

В статье обосновывается целесообразность и необходимость выделения содержательно-методической линии в школьном курсе математики — линии задач с параметрами; проводится анализ реализации линии задач с параметрами через выделение понятийного аппарата линии, через классификацию задач и методов их решения; намечаются основные этапы формирования данной линии.

В школьном курсе математики выделяются различные содержательно-методические линии. Под термином «содержательно-методическая линия» обычно понимают систему примеров, задач, которые опираются на соответствующие понятия, определяющие линию, а также присущие ей методы решения [4], однако устоявшееся определение данного понятия отсутствует.

Л.М. Фридман, выделяя в содержании школьного курса семь содержательных линий: числа и вычисления; выражения и их преобразования; уравнения и неравенства; функции; геометрические фигуры, их изображения и свойства; геометрические измерения и величины; элементы анализа; считает, что все содержание должно основываться, группироваться вокруг системы основных идей и методов современной математики [9]. Отдавая дань таким важным идеям математики, как идеи функциональной зависимости, математических структур и метода математического моделирования; идеям, которые, несомненно, должны войти в основу школьного курса, Л. М. Фридман, как и Л.С. Трегуб, определяют следующий набор общих понятий, которые являются основой построения курса школьной математики в современных условиях: множество, отображение, преобразование, равенство, симметрия, структура, свойство, модель.

В пособии [5] выделяют несколько сквозных идейных линий: числовая, функциональная, формально-оперативная, содержательно-прикладная, вычислительно -графическая, алгоритмическая и др. «Не все они одинаково воплощаются на разных этапах обучения математике, но все значимы» ([5], с.5). Некоторые из линий (функциональная, алгоритмическая линии) проходят через весь курс школьной математики, являются «сквозными методическими линиями», имеющими продолжение в курсе высшей математики. К.Н. Лунгу, занимаясь вопросами преемственности

школьной и вузовской математики, рассматривает такие методические линии, на основе которых эффективно формирование системы приемов учебной деятельности студентов: алгоритмическая линия; матричная линия; линия неопределенных коэффициентов; линия подстановок [4].

Последнее время в школьном курсе математики выделяют вероятностно-статистическую линию. «Теория вероятностей и математическая статистика за последние десятилетия приобрели огромное практическое значение в физике, биологии, инженерном деле, социологии, психологии и других направлениях научных исследований…. Понятие случайного события и его вероятности следует внедрить в жизнь средней школы, чтобы дать необходимую подготовку к рассмотрению типичных жизненных ситуаций. Наше убеждение таково, что с основными понятиями теории вероятностей и математической статистики школьников следует знакомить задолго до окончания школы (возможно не позднее 7-го класса) и давать представление не только о самых основных, но и об основных первичных понятиях, результатах и простейших методах. Такое первичное знакомство окажет огромную помощь в будущем нашим воспитанникам, кем бы они ни стали — рабочими, агрономами, врачами или исследователями. Это откроет перед ними огромный мир явлений, с которыми всем нам приходится сталкиваться каждодневно, позволит шире глядеть на закономерности окружающего нас мира. Это методологическое понимание значения теории вероятностей и математической статистики» ([1], с. 121).

В настоящее время помимо разнообразных уже оговоренных выше содержательно-методических линий школьного курса математики особо в литературе стали выделять линию задач с параметрами ([2]; [7]; [8]). А.Г. Мордкович выдвинул: «идею, которая в равной степени найдет и сторонников, и противников: наряду с традиционными содержательно-методическими линиями школьного курса математики, как функциональная, числовая, геометрическая, линия уравнений и линия тождественны преобразования, должна занять определенное положение и линия параметров. Эта линия может быть где-то слегка намечена, где-то прорисована более явно, где-то углублена (в зависимости от уровня подготовки класса, от методических взглядов учителя) — дело не в этом; главное, о ней следует думать и помнить» ([7], с.245). Значимость задач с параметрами неоспорима, в частности, при решении этих задач происходит систематизация математических знаний таких линий, как функциональная линия, линия уравнений, неравенств и их систем, с другой стороны, параметры привносят богатейший спектр идей, методов и подходов. «Уравнения и неравенства с параметрами — это тема, на которой проверяется не уровень «натасканности» ученика, а подлинное понимание им материала» ([8], с.219). «Линия задач с параметрами не только продолжит функциональный подход, но и значительно расширит возможности исследования реальных процессов, которые в большинстве случаев зависят от целого комплекса переменных. Таким образом, линия задач с параметрами будет иметь продолжение в курсе высшей математики, являясь пропедевтикой содержательно-методической линии функции многих переменных» ([7], с.29).

Несмотря на то, что задач с параметрами в существующих УМК по математике очень мало, в методической и учебной литературе вырисовывается и развивается соответствующая содержательно-методическая линия. Отрицательное отношение некоторых учителей математики к задачам с параметрами, отношение к этим задачам как к нестандартным задачам начало меняться в связи с использованием этих задач в ЕГЭ по математике. В 2009 году задачи с параметрами реализовыва-лись не только в группе «С», но и в группе «В», что определяло и тестовую, и аттестационную отметку выпускника. К сожалению, демонстрационные материалы ЕГЭ 2010 года показывают, что задача с параметром отправлена в «С5», что относится к уровню высокой сложности.

Анализ результатов государственной (итоговой) аттестации по алгебре выпускников девятых классов общеобразовательных учреждений в 2008 году показал, что задачи с параметрами должны присутствовать и в основной школе. Пример одного из вариантов задания — задачи, решаемой с опорой на графические представления, приведен ниже:

Задание. Найдите все значения к, при которых прямая у = кх пересекает в трех различных точках график функции

«Эта задача, безусловно, трудная. Её решение предполагает два этапа. Первый — технического характера, заключающийся в построении графика. Этот этап для хорошо подготовленного школьника не должен представлять затруднений. Вся суть этой задачи — во втором этапе, требующем проведения некоторого исследования. Надо увидеть границы, в которых должна «вращаться» прямая у = кх , чтобы иметь с графиком три общие точки, и найти граничные значения коэффициента к. Решение, в котором присутствует только первый этап и не сделано никакой попытки перейти ко второму, не должно оцениваться положительным баллом. В этом случае задача считается нерешенной. Но во всех территориях нашлись выпускники, которые справились с этой задачей (до 8 % учащихся). Это, безусловно, потенциал профильных классов с высокими требованиями к уровню математической подготовки» ([6], с. 11).

Анализ реализации математической идеи или линии требует:

— определение целей и мотивов изучения линии в каждом классе;

— выделение понятийного аппарата линии;

— выделение математических методов реализации линии, логических и содержательных обоснований применения того или иного метода;

— раскрытие сферы применения изученного материала;

— подбор средств формирования понятийного аппарата линии и методов применения этого аппарата для математики и ее приложений;

— разработку системы оценок достигнутых результатов по изучению линии;

— установку содержательных связей по реализации линии между материалом разных классов.

Остановимся на понятийном аппарате линии задач с параметрами, в частности, на определении понятий «параметр», «задача с параметрами». Авторы большинства пособий по математике не пытаются дать определение параметра или задачи с параметрами. Очень часто предлагается чисто формальное разделение переменных на неизвестные и параметры по признаку обозначения, используется подход к введению понятия параметра на примерах. В задачах некоторая переменная, входящая в условие, явно «назначается» параметром: «Решите … при всех значениях параметра …», «Найдите все значения параметра …, при каждом из которых …», «При каких значениях параметра ..». Но существует класс задач, в которых параметр появляется по ходу решения задачи или при составлении математической модели задачи. Например, «Сколько корней имеет

уравнение: (cosТТХ — l)log0 7(4 — X2) = 0 » или «Найдите наибольший корень уравнения

COS2X + 3 sin X — 2 = 0, принадлежащий отрезку [- Ъп’—л ».

А.Г. Мордкович, рассматривая уравнения и неравенства с параметрами, дает следующее определение: «Пусть дано уравнение

Если ставится задача отыскать все такие пары (х; а), которые удовлетворяют данному уравнению, то уравнение (1) — это уравнение с двумя переменными х и а. Однако относительно уравнения (1) можно поставить и другую задачу: решить его при фиксированном значении переменной а. В этом случае равнение (1) можно рассматривать как уравнение с одной переменной х, и его решение, естественно, зависят от выбранного значения а.

Если ставится задача решить уравнение (1) относительно х для каждого значения а из некоторого множества А, то уравнение (1) называется уравнением с переменной х и параметром а, а множество А — областью изменения параметра.

2х + 8, если х < -3 у = < 2, если — 3 < х < 3 2х-4, если х > 3.

F(x;a) = О.

(1)

Уравнение (1) — это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Уравнения этого семейства получаются из уравнения (1) при различных конкретных значениях параметра а» ([8], с.220).

В.В. Мирошин [7] перед определением параметра дает поясняющее описание вспомогательному термину: «управляемость» решением задачи данной переменной заключается в том, что мы должны ей каждый раз «подчиняться», каждый раз указывая ответ в зависимости от значений этой переменной.

«Определение 1. Параметром называется независимая переменная величина, входящая в условие задачи или появляющаяся в процессе ее решения, «управляющая» решением задачи.

Определение 2. Задача, условие которой содержит или в ходе решения которой появляется хотя бы одна независимая переменная, удовлетворяющая определению понятия «параметр», называется задачей с параметрами» ([7], с. 84).

А.Г. Мордкович вводит термин «контрольного значения параметра», т.е. такое значения параметра, при переходе через которое происходит качественное изменение задачи. В.В. Мирошин использует другую терминологию, вводит понятия «множество однотипности параметра» и «граничные точки области однотипности параметра». Главное предназначение граничных значений параметра — обособление областей однотипности во множестве допустимых значений параметра.

Решить задачу с параметрами — это значит: 1) провести классификацию совокупности всех получающихся частных видов данной задачи; 2) найти все ее общие решения на соответствующих областях допустимых значений параметров, включая и те, при которых задача решений не имеет. Контрольные значения параметра позволяют провести эту классификацию частных видов задачи. При этом все задачи с параметрами делятся «по условию» на два класса. В одном классе задач ставится условие отыскать решение задачи, во втором — отыскать некоторое подмножество допустимых значений параметра, при каждом из которых соответствующие решения задачи обладают указанными свойствами.

Помимо классификации задач по «условию», в школьном курсе широко используется классификация задач с параметрами по теме. Эта классификация носит учебный характер. Традиционно выделяют следующие темы:

1. Линейные уравнения и неравенства, линейная функция.

2. Квадратные уравнения и неравенства, квадратичная функция.

3. Многочлены. Целые уравнения и неравенства.

4. Дробно-рациональные уравнения и неравенства.

5. Иррациональные уравнения и неравенства.

6. Системы уравнений и неравенств.

7. Показательные уравнения и неравенства.

8. Логарифмические уравнения и неравенства.

9. Тригонометрические уравнения и неравенства.

10. Производная функции и приложение производной.

11. Интеграл и его приложения.

12. Сюжетные задачи.

13. Геометрические задачи.

Под геометрическими задачами с параметрами понимаются такие, в процессе решения которых приходится проводить исследование результатов от какого-то параметра. При этом параметр может быть задан в двух формах: аналитически и геометрически. При аналитическом задании через буквы обозначаются меры некоторых геометрических величин. При геометрическом задании параметра он обычно наделяется характеристическим свойством. Например, Задача: Дан острый угол АОВ и точки М и Р на луче ОА. Постройте такую точку К на луче ОВ, чтобы угол МКР был наибольшим.

Другая классификация задач по методу решения тоже носит учебный характер. Среди методов решения задач с параметрами обычно выделяют следующие:

1. Аналитический метод.

2. Функциональный метод.

3. Координатно-графический метод.

4. Метод замены.

5. Метод изменение ролей переменных.

6. Метод составления симметрической системы уравнений.

Перечисленные методы не исчерпывают все многообразие методов решения задач с параметрами, но являются универсальными и часто используемыми. Аналитический метод выступает не только самостоятельно, но и часто является составной частью остальных методов. В аналитическом методе используются равносильные преобразования. Функциональный метод основан на использовании тех или иных свойств функций: непрерывности, монотонности, четности и нечетности, периодичности, ограниченности области определения или множества значений функции, дифференцируемости. Координатно-графический метод представляет искомые решения в виде геометрического места точек на координатной плоскости, где в качестве одной из координат выступает параметр, а в качестве другой — искомая переменная. Метод замены позволяет переформулировать задачу в терминах новых переменных так, чтобы существенно упростить процесс решения. Метод изменения ролей переменных сводится к необходимости перемене ролей искомого переменного и параметра. Изменение ролей часто используется, если степень искомого переменного гораздо выше, чем степень параметра. Метод составления симметрической системы уравнений является частным случаем метода замены. К решению симметрических систем может сводиться решение уравнений высших степеней, иррациональных уравнений.

Формирование содержательно-методической линии задач с параметрами как сквозной линии, проходящей через всю школьную математику и имеющую продолжение в курсе высшей математике, необходимо начинать одновременно с введением основных понятий курса алгебры и развитием таких содержательно-методических линий, как линия преобразований, линия уравнений, неравенств и их систем, функциональная линия. Линейные и квадратные уравнения и неравенства, линейная и квадратичная функции — это фундаментальные темы школьного математического образования, на которых возможно и целесообразно формировать содержательно-методическую линию задач с параметрами.

Этап введения понятия «параметр» возможно осуществлять на теме «Линейные уравнения», здесь получает логическое обоснование разделение величин на постоянные и переменные, разделение переменных величин на искомые и параметр. При рассмотрении общего вида линейного уравнения и его решения происходит переход от частного, конкретного линейного уравнения к абстрактному понятию линейного уравнения, выражающего бесконечное множество частных уравнений, задаваемых одной формулой. Наряду с линейным алгоритмом решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами появляется и отрабатывается нелинейный алгоритм решения уравнений с параметрами и исследования полученного решения.

Следующим шагом формирования линии является переход от решения конкретных линейных неравенств к решению неравенств с параметрами.

Следующими объектами, на которых продолжается формирование линии, являются график линейной функции, система линейных уравнений с двумя переменными и линейное неравенство с двумя переменными.

Изучение задач с параметрами продолжается на темах: «Квадратный трехчлен», «Квадратное уравнение», «Квадратичная функция». Продолжением формирования линии задач с параметрами является исследование графика квадратичной функции — параболы в зависимости от знака первого коэффициента и знака дискриминанта. Одновременно рассматривается вопрос о нахождении не только корней квадратного уравнения, но и решений соответствующего неравенства. Неотрицательность дискриминанта квадратного трехчлена есть необходимое и достаточное условие наличия корней этого трехчлена, а его отрицательность — необходимое и достаточное условие сохранение знака значений трехчлена при всех значений переменной. Эти условия дают возможность для решения целого класса задач с параметрами.

Теорема Виета дает возможность выяснить расположение корней квадратного трехчлена относительно начала координат и относительно точки числовой прямой. Далее выясняется расположение корней квадратного трехчлена относительно интервала или отрезка числовой прямой, взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов. Это еще один пласт задач с параметрами.

Дальнейшее изучение общих свойств функций и появление других видов функций дает материал для продолжения развития содержательно-методической линии задач с параметрами.

Итак, введение содержательно-методической линии задач с параметрами является не самоцелью, а средством развития творческой деятельности, исследовательских способностей и системного мышления как учащегося, так и учителя. Альтернативность идей и методов решения задач с параметрами может стать основой для развития самостоятельности учащихся, что станет инструментом их дальнейшей деятельности в различных областях. В статье прослежены основные математические объекты, на которых возможно формирование линии задач с параметрами как сквозной линии школьного курса математики.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гнеденко Б.В., Гнеденко Д.Б. Об обучении математике в университетах и педвузах на рубеже двух тысячелетий. М.: КомКнига, 2006. 160 с.

2. Жафяров А.Ж. Математика. ЕГЭ. Экспресс-консультация. Новосибирск: Сиб. унив., 2009. 160 с.

3. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / под ред. Е.И. Лященко. М.: Просвещение, 1988. 223 с.

4. Лунгу К.Н. Систематизация приемов учебной деятельности студентов при обучении математике. М.: КомКнига, 2007. 424 с.

5. Методика преподавания математики в средней школе. Частая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / сост. В.И. Мишин. М.: Просвещение, 1987. 416 с.

6. Методическое письмо. Об использовании результатов государственной (итоговой) аттестации выпускников основной школы в новой форме в 2008 году в преподавании алгебры в общеобразовательных учреждениях.

7. Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика. М.: Экзамен, 2009. 286 с.

8. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики: учеб.-метод. пособие. М.: Оникс 21 век, Мир и образование, 2005. 336 с.

9. Фридман Л.М. Теоретические основ методики обучения математике: учеб. пособие. М.: Едиториал УРСС, 2005. 248 с.

М.Г. Макарченко

ВИДЫ И ТИПОЛОГИЯ УЧЕБНО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО КОНТЕКСТОВ УЧЕБНЫХ МАТЕРИАЛОВ В ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКАХ МАТЕМАТИКИ И В УЧЕБНО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ

Основной целью данной статьи является построение классификаций указанных типов контекстов учебных материалов по математике.

Учебно-математический контекст

Учебник математики, используясь учеником, представляет собой некоторый сценарий учебной деятельности школьника. Рассматривая учебный материал в качестве минисценария учебной деятельности школьника, направленный на усвоение единицы учебно-математической информации, в этом тексте саму «единицу информации» можно понимать как предмет учебной деятельности.

«Предметом деятельности является то, что субъект имеет к началу своей деятельности и что подлежит трансформации в ее ходе в продукт. Таким образом, данные два структурных момента связаны между собой генетическими отношениями: предмет — как бы «будущий продукт», соответственно продукт — «бывший предмет» [4, 24.].

Пример 1. В учебнике алгебры для 8 класса содержится параграф 2 «Числовые неравенства» [2]. Один из его учебных материалов представлен следующим текстом.

Анализ учебного материала по теме «Квадратичная функция» в учебниках по алгебре — FINDOUT.SU

 

Проведем анализ учебников по теме «Квадратичная функция».

1. Авторы учебников Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. В данном учебнике изучение темы «Квадратичная функция» начинается с 1 главы «Функции и их свойства, графики», со второго параграфа «Квадратичная функция», где функцию описывают в общем виде. Сначала учащиеся знакомятся с понятием функции и ее графиком, рассматривается линейная функция и прямая пропорциональность, функция рассматривается на основе зависимости площади квадрата от его стороны. Изучается частный случай квадратичной функции. Изучаются квадратичные функции вида: у=𝑎𝑥2; у=𝑎𝑥2+n; у=а (𝑥 − 𝑚)2. Затем учащимся предлагается построить график функции по точкам. Для чего составляется таблица значений функции и строится ее график. График функции может быть получен из графика функции с помощью симметрии относительно оси х. Далее описываются некоторые свойства рассматриваемой функции: график функции проходит через начало координат; все точки графика функции, расположенные выше оси х; точки графика, имеющие противоположные координаты, симметричны относительно оси у.

В параграфе данного учебника излагается, что построение графика, симметричного данному относительно оси х, растяжение графика от оси х или сжатие к оси х — различные виды преобразования графиков функций. Предложены и изложены авторами учебника система упражнений на закрепление этой темы. Рассматриваются в учебнике графики функций различного вида, где в качестве примеров берутся другие частные случаи квадратичной функции. При изучении данной темы учащиеся должны понять, что графиком квадратичной функции является парабола, которую можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх или на n единиц вниз и вдоль оси х на m единиц вправо или на m единиц влево.

В заключении данного параграфа дается система упражнений на нахождение по графику функции значения х по заданному значению у и наоборот, на нахождение значения y по заданному значению х.

2. Авторы учебников Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин.

Данный коллектив в учебниках 7 класса рассматривают прямоугольную систему координат, понятие функции, линейная функция и ее график, где изучение квадратичной функции начинается в 5 главе после изучения квадратных корней и квадратных уравнений. Сначала рассматриваются примеры из разных областей науки и техники, где встречаются квадратичные функции. После этого вводится определение квадратичной функции, и рассматриваются примеры квадратичных функций и задачи. Например, найти значение функции 𝑦 𝑥 = 5𝑥2 − 5𝑥 + 6 при x=-2; при каких значениях х квадратичная 𝑦 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥 – 5 принимает значение, равное 7; найти нули функции 𝑦 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥. Только после этого начинается рассмотрение непосредственно квадратичной функции, ее некоторых свойств и графика. Таким же образом в 8 классе решаются квадратные неравенства с помощью графика квадратичной функции. Их решение сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков возрастания или убывания. В конце дается подробный алгоритм решения неравенства графическим методом.

3. Авторы учебников С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.

В 8 классе авторы вводят понятия функции, графика функции. После этого рассматриваются линейная, квадратичная функции и обратная пропорциональность.

При изучении квадратичной функции сначала рассматриваются ее свойства, после формулировки каждого свойства даются пояснения. Затем рассматривается график функции и определяются ранее обозначенные свойства функции, дается определение параболы. Далее рассматривается понятие квадратного корня, опираясь на график функции, после вводится понятие арифметического квадратного корня из данного неотрицательного числа. Сравнивают две функции и делают вывод: что график функции получается из графика другой функции растяжением последнего в 2 раза вдоль оси Оу. Затем авторы рассматривают график квадратичной функции – параболу с вершиной в точке 𝑥0, 𝑦0, полученную параллельным переносом параболы, где𝑥0 = − 𝑏 2𝑎, 𝑦0 = − 𝐷 4𝑎. Для закрепления данного материала в учебниках предлагают задания на построение графика квадратичной функции.

Авторы учебников А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.

В 7 классе квадратичная функция изучается после линейной функции. Поэтому перед ее изучением автор приводит резкие аргументы для чего «она нужна». В 8 классе продолжается рассмотрение квадратичной функции.

Авторы учебников К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. Изучение квадратичной функции в данном учебнике начинается только в 8 классе и ведется на двух языках — алгебраическом и геометрическом.

В 9 классе данный коллектив авторов функциям выделяет 2 главы.

Вначале рассказывается про квадратичную функцию. Напоминаются основные ранее изученные свойства функции, ось симметрии, и на этой основе рассматриваются различные квадратичные функции такие, как 𝑦 =

1 𝑥2 и𝑦 =   − 1

4             4

𝑥2. После каждого из этих примеров делаются выводы о

преобразованиях, применимых для графика функции, которые приводят к получению графика заданной функции.

В конце параграфа даны упражнения на построение графика и контрольные вопросы.

Далее рассматривается выделение полного квадрата квадратичной функции. Получают функцию 𝑦 𝑥 = 𝑎 (𝑥 + 𝑝)2 + 𝑞, где p и q – некоторые числа.

Приводятся примеры, наглядно показывается как изменяется график в зависимости от чисел p и q и затем делается вывод, что график функции получается из графика функции𝑦 𝑥 = 𝑎 (𝑥 + 𝑝)2 сдвигом параллельно оси ординат на q единиц вверх приq>0 и на |q| единиц вниз при q <0. Далее говорится, что тем же приемом — сдвигом вдоль осей координат графика произвольной функции можно получить графики функций𝑦 = 𝑓 (𝑥 + 𝑝) и

𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑞. Именно, график функции получается из графика функции сдвигом параллельно оси абсцисс на p единиц влево при p>0 и на |p| единиц вправо при p <0.

Вывод: изучение квадратичной функции в проанализированных учебниках начинается в 7 (Ю.Н. Макарычев и др., А.Г. Мордкович и др.) и 8 (С.М. Никольский и др., Ш.А. Алимов и др., Г.В. Дорофеев и др.) классах. В учебниках А.Г. Мордковича и др., Ю.Н. Макарычева и др., Ш.А. Алимова и др. изложение материала ведется доступным языком. Прослеживается нить

«От простого к сложному». В остальных учебниках теоретический материал изложен на более научном уровне. Во всех учебниках рассматриваются приложения квадратичной функции (решение уравнений, неравенств, систем уравнений, построение графиков функций, задачи с параметрами). Отличие лишь в том, какое внимание уделяется тому или иному разделу. Задачи с параметрами наиболее ярко отражены в учебнике А.Г. Мордковича и др.

В учебнике Г.В. Дорофеева и др. изучение квадратичной функции ведется в 8 и 9 классах на двух языках — алгебраическом и геометрическом. Уделяется большое внимание преобразованиям графиков функций. Вся теория изложена кратко, без отступлений.

В учебниках А.Г. Мордковича и др. функциональная линия является ведущей. Автор выделяет в системе упражнений по изучению того или иного класса функций инвариантное ядро, универсальное для любого класса функций, которое состоит из пяти направлений: графическое решение уравнений; отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке; преобразование     графиков; функциональная символика; чтение графика. Это пять элементов, с помощью которых, функция становится привлекательной, понятной и привычной.

В учебнике Ш.А. Алимова и др. квадратичной функции и ее применению посвящен практически весь учебник 8 класса. Блоком рассматривается квадратичная функция и ее свойства, и затем квадратные неравенства и задачи с параметрами, решаемые с помощью построения графика квадратичной функции.

В учебнике Ю.Н. Макарычева определение квадратичной функции дается в 9 классе предлагается учащимся сразу, затем рассматриваются частные случаи квадратичной функции и после непосредственно общий вид квадратичной функции. Только после этого авторы обращают внимание на решение квадратных уравнений и систем уравнений (в частности, графический метод), опираясь на свойства квадратичной функции. Задачам с параметрами уделяется крайне мало внимания.

Ершова Голобородько 9 класс самостоятельные и контрольные работы ГДЗ

Здесь представлены ответы к самостоятельным и контрольным работам по алгебре и геометрии 9 класс Ершова Голобородько. Вы можете смотреть и читать гдз онлайн (без скачивания) с компьютера и мобильных устройств.

АЛГЕБРА

Квадратичная функция

С-1. Функции и их свойства 1 2 3 4 5

С-2. Квадратный трехчлен 1 2 3 4 5 6 7

С-3. График квадратичной функции 1 2 3 4 5 6 7 8 9

С-4*. Квадратичная функция: задачи с параметрами (домашняя самостоятельная работа)

К-1. Квадратичная функция 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15

С-5. Решение квадратичных неравенств 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

С-6. Решение неравенств методом интервалов 1 2 3 4 5 6 7 8

К-2. Решение неравенств 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Уравнения и системы уравнений

С-7. Решение целых уравнений 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

С-8*. Уравнения высших степеней: методы решения, задачи с параметрами (домашняя самостоятельная работа)

С-9. Решение систем уравнений второй степени 1 2 3 4 5 6 7

С-10. Решение задач с помощью систем уравнений. Графическое решение систем 1 2 3 4 5 6 7

С-11*. Системы рациональных уравнений (домашняя самостоятельная работа)

К-3. Целые уравнения и системы уравнений 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Арифметическая и геометрическая прогрессии

С-12. Арифметическая прогрессия. Формула n-ого члена 1 2 3

С-13. Формула суммы п первых членов арифметической прогрессии 1 2 3 4

К-4. Арифметическая прогрессия 1 2 3 4 5 6

С-14. Геометрическая прогрессия. Формула n-ого члена 1 2 3 4

С-15. Формула суммы первых п членов геометрической прогрессии. 1 2 3 4

С-16*. Комбинированные задачи на прогрессии (домашняя самостоятельная работа)

К-5. Геометрическая прогрессия 1 2 3 4

Степень с рациональным показателем

С-17. Четные и нечетные функции. Функция У = *» 1 2 3

С-18. Корень n-ой степени и его свойства 1 2 3

С-19. Определение и свойства степени с дробным показателем 1 2 3

С-20. Преобразование степенных выражений с рациональными показателями 1 2

К-6. Степень с рациональным показателем 1 2 3 4 5

Тригонометрические выражения и их преобразования

С-21. Определение тригонометрических функций 1 2

С-22. Свойства тригонометрических функций. Радианная мера угла 1 2

С-23. Тригонометрические тождества и их применение 1 2 3

С-24. Формулы приведения 1 2

К-7. Свойства тригонометрических функций. 1 2 3 4 5

С-25. Формулы сложения 1 2 3

С-26. Формулы двойного угла 1 2 3

С-27. Формулы суммы и разности тригонометрических функций 1 2

К-8. Формулы сложения и их следствия 1 2 3 4 5

С-28*. Дополнительные тригонометрические задачи (домашняя самостоятельная работа)

К-9. Годовая контрольная работа 1 2 3 4 5 6 7 8

ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)

Подобие фигур

СП-1. Преобразование подобия и его свойства 1 2 3

СП-2. Признаки подобия треугольников 1 2 3

СП-3. Подобие прямоугольных треугольников. 1 2 3 4 5 6

СП-4*. Подобие треугольников (домашняя самостоятельная работа)

КП-1. Подобие фигур 1 2 3 4 5 6 7

СП-5. Теорема о вписанных углах и ее следствия 1 2 3 4 5 6 7

СП-6*. Применение теоремы о вписанных углах и ее следствий в задачах (домашняя самостоятельная работа)

Решение треугольников

СП-7. Теорема косинусов. Соотношение диагоналей и сторон параллелограмма 1 2 3 4 5 6 7

СП-8. Теорема синусов и ее следствия 1 2 3 4 5 6

СП-9*. Теоремы косинусов и синусов (домашняя самостоятельная работа)

КП-2. Решение треугольников 1 2 3 4 5 6 7

Многоугольники

СП-10. Выпуклый многоугольник 1 2 3 4 5

СП-11. Правильные многоугольники. 1 2 3 4 5 6

СП-12. Длина окружности. Радианная мера угла 1 2 3 4 5 6 7

КП-3. Многоугольники 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Площади фигур

СП-13. Площадь прямоугольника, квадрата, параллелограмма 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

СП-14. Площадь треугольника 1 2 3 4 5 6 7 8 9

СП-15. Площадь трапеции. Площадь четырехугольника 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

СП-16*. Окружность и многоугольник (домашняя самостоятельная работа)

СП-17. Площади подобных фигур. Площадь круга и его частей 1 2 3 4 5 6

СП-18*. Площади фигур (домашняя самостоятельная работа)

КП-4. Площади фигур 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

КП-5. Годовая контрольная работа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)

Метод координат

СА-1. Координаты вектора 1 2 3 4 5

СА-2.Простейшие задачи в координатах 1 2 3 4 5 6

СА-3.Уравнение окружности 1 2 3 4 5 6 7

СА-4.Уравнение прямой 1 2 3 4

С-5*. Применение векторов и координат к решению задач (домашняя самостоятельная работа)

КА-1. Метод координат 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

СА-6.Синус, косинус, тангенс угла 1 2 3 4 5

СА-7.Теорема о площади треугольника. 1 2 3 4 5 6 7

Теорема синусов

СА-8.Теорема косинусов. Решение треугольников 1 2 3 4 5 6 7 8

СА-9.Скалярное произведение векторов 1 2 3 4 5 6 7

СА-10*. Решение треугольников. Скалярное произведение (домашняя самостоятельная работа)

КА-2. Соотношение между сторонами и углами треугольника 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Длина окружности и площадь круга

СА-11. Правильные многоугольники 1 2 3 4 5 6

СА-12. Длина окружности, площадь круга, площадь кругового сектора 1 2 3 4 5 6 7 8 9

КА-3. Длина окружности и площадь круга 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Движения

СА-13. Понятие движения 1 2 3 4 5

СА-14. Параллельный перенос и поворот 1 2 3

КА-4. Движение 1 2 3 4 5 6

КА-5. Годовая контрольная работа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Карта сайта


  • Новости









  • Родителям
    • Горячая линия









    • Информация для родителей









    • Управляющий совет









    • Психологическая поддержка









    • Информационная безопасность









    • Памятка – антикоррупция









    • Расписание звонков и график питания обучающихся









    • Профилактика ОРВИ и коронавирусной инфекции









    • Анкета «Оценка качества образования»








  • Учащимся
    • Расписание учебной и внеурочной деятельности









    • Информация об актировках









    • Всероссийская олимпиада школьников









    • Математический марафон









    • XLVIII Уральский турнир юных математиков









    • Турнир юных математиков «Тюм_72»









    • Летние задания









    • ВООШ









    • Геометрическая олимпиада









    • Устная олимпиада









    • ЕГЭ/ОГЭ









    • Проектная неделя









    • Информационная безопасность









    • ВКоШП









    • ГТО









    • Здоровье








  • Поступающим
    • Решаем вместе






  • Галерея









  • Воспитательный уклад
    • Культурно-образовательное пространство — школе









    • Уклад









    • Профилактическая работа









    • Электронная библиотека









    • ФМШ о Победе









    • Школьный спортивный клуб








  • Здоровье









  • ГИА






Решение задач с параметрами — математика, планирование

На Краевой конкурс программ

элективных (факультативных) курсов

по предпрофильной подготовке в

рамках ФГОС ООО и профильному обучению

Номинация: программы элективных курсов углубленного изучения профильных предметов по БУП-2004

Название программы:

Элективный курс «Избранные вопросы математики. Задачи с параметрами» 10 класс

Автор: Смирнова Любовь Васильевна

Тел. 8 960 4888938

рабочий 8 86132 46543

электронный адрес: [email protected]

Муниципальное образование Ейский район

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение гимназия №14 имени первого летчика-космонавта Юрия Алексеевича Гагарина города Ейска муниципального образования Ейский район

УТВЕРЖДЕНО

решением

педагогического совета

от 31.08. 2015 года протокол №1

Председатель ___ А.П.Кравцова

Авторская ПРОГРАММА

по элективному курсу «Избранные вопросы математики. Задачи с параметрами»

Уровень образования (класс) среднее общее образование 10 класс

Количество часов 68

Учитель Смирнова Любовь Васильевна

Программа разработана на основе программы «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы» авторы И.И.Зубарева, А.Г. Мордкович, издательство «Мнемозина», 2009г., Москва, с учетом «Методических рекомендаций для образовательных организаций Краснодарского края о преподавании предмета «Математика» в 2015-2016 учебном году», автор И.В.Васильева, Краснодар, 2015.

Утверждена и рекомендована к использованию решением методического совета ИМЦ системы образования Ейского района (приказ от 16.09.2015 №100)

Пояснительная записка

Авторская программа по курсу «Избранные вопросы математики. Задачи с параметрами» составлена в соответствии с федеральном законом от 29 декабря 2012 года № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации», федеральным государственным образовательным стандартом общего образования (приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 6 октября 2009 г. № 373, с изменениями), Федеральным компонентом государственных образовательных стандартов основного общего и среднего ( полного ) общего образования (приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 5 марта 2004 г. № 1089 ( для 6-11(12)) классов. Использованы методические рекомендации министерства образования и науки Краснодарского края о преподавании математики в 2015 — 2016 учебном году.

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования.

Уровень сложности задач, предлагаемых на ЕГЭ, растет. Учащимся предлагаются задачи повышенной сложности, обладающие диагностической ценностью, с помощью которых можно проверить не только знание основных разделов школьной математики, но и проверить уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности, проверить перспективные возможности обучения в высшей школе.

Такой диагностической и прогностической ценностью в полной мере обладают задачи с параметрами.

Общая характеристика курса.

Преподавание курса « Избранные вопросы математики. Задачи с параметрами» строится на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно — теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся.

Тематика задач не выходит за пределы основного курса, но уровень их трудности — повышенный, существенно превышающий обязательный. Предлагаемый курс рассчитан на детей мотивированных и имеющих багаж знаний по методам решения уравнений и неравенств курса алгебры основной школы. Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Целью данного курса является подготовка учащихся к ЕГЭ, к продолжению образования в вузе, а также к участию в математических олимпиадах.

Задачи курса:

  • Формирование у учащихся умения и навыков по решению задач с параметрами.

  • Активизация исследовательской и познавательной деятельности учащихся.

  • Развитие у учащихся интереса к предмету.

  • Совершенствование навыков самостоятельной творческой работы.

Описание места курса в учебном плане

Данная программа предусмотрена для проведения элективного годового курса по математике для учащихся 10 классов. Всего 68 часов (2 часа в неделю ) в соответствии с учебным планом МБОУ гимназия №14 на 2015-2016 учебны1 год.

Наряду с используемыми методами обучения: беседа, практикум, самостоятельная работа, введен новый метод обучения — лекция.

Содержание учебного курса

Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Линейные уравнения с параметрами. Понятие уравнения с параметром. Запись ответа задач с параметром. Рациональные уравнения с двумя параметрами. Уравнения с модулем, содержащие параметр.

Характерные особенности уравнения с модулем и параметром, Простейшие уравнения с двумя модулями. Системы уравнений с параметром. Системы уравнений первой степени с параметром. Графический метод. Неравенства с модулем. Неравенства с модулем. Аналитический и графический методы решения данного вида.

Уравнения и неравенства с параметрами второй степени

Простейшие уравнения с параметром второй степени. Уравнения второй степени без дополнительных ограничений. Соотношения между корнями уравнения второй степени с параметром. «Каркас» квадратичной функции. Расположение корней уравнения второй степени на числовой оси. Знаки корней квадратного трехчлена. Расположение корней на числовой прямой.

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами

Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью замены. Тригонометрические уравнения, решаемые относительно параметра

Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к квадратным

Простейшие показательные уравнения с параметром, сводящиеся к квадратным. Иррациональные уравнения с параметром, решаемые с помощью замены. Уравнения высших степеней, сводящиеся к квадратным. Иррациональные уравнения с параметром. Понятие иррационального уравнения с параметром. Иррациональные уравнения с двумя параметрами.

Координатные плоскости (х;у), (х;а)

Основные графические приемы решения задач. Движение на плоскости. Выражение параметра через переменную.

Тематическое планирование

№п/п

Разделы и темы

Количество часов

Авторская программа

1

Линейные уравнения и неравенства с параметрами

17

2

Уравнения и неравенства с параметрами второй степени

19

3

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами

8

4

Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к квадратным

14

5

Координатные плоскости (х;у), (х;а)

10

Методы:

частично-поисковый

— словесно-наглядный

— рассказ с элементами беседы

— самостоятельная работа учащихся.

Средства:

— практические: работа по составлению алгоритма, построение эскизов графиков, письменные упражнения контрольного и обучающего характера

— интеллектуальные: анализ, сравнение.

Формы организации учебных занятий:

— лекции

— беседа

-практические занятия.

Основной тип занятий – комбинированный урок. Теоретический материал излагается в форме лекции. Активное обучение проходит через практические занятия.

Контроль и система оценивания

Текущий контроль усвоения учащимися изучаемого материала осуществляется на каждом занятии в ходе выполнения самостоятельных работ, контроля выполнения домашних заданий. В конце каждой темы проводятся контрольные работы

Программа применима для групп школьников, обучающихся по расширенной или углубленной программе, подразумевает достаточно прочную базу знаний основного учебного материала.

Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение образовательной деятельности

1. Горнштейн П.И. и др. «Задачи с параметрами»

2. Дорофеев Г.В., Затахавай В.В. « Решение задач, содержащих параметры»

3. Прокофьев А.А.. Корянов А.Г. Математика ЕГЭ 2015 Функция и параметр (типовые задания С5),www.alexlarin.net

4. Сукманюк В.Н. «Решение задач с параметрами (метод «каркас функции)».

5. Материалы по подготовке к ЕГЭ 2016

6. Интернет – ресурсы:

  • www.edu.ru

  • www.school-collection.ru

  • www.ege.yandex.ru

  • www.reshuege.ru

  • www.alexlarin.net

В ходе изучения курса учащийся должен:

1. Овладеть основными методами решения уравнений и неравенств первой и второй степеней, содержащих параметр, подготовиться к решению более сложных логарифмических, показательных, тригонометрических уравнений и неравенств

2. Пользоваться аналитическим и графическим методами решения математических задач.

3. Научиться формулировать и обосновывать решение задачи

4. Овладеть умением самостоятельной творческой работы, исследовательской деятельности.

Заключение

Введение элективного курса « Избранные вопросы математики. Задачи с параметрами» необходимо учащимся для успешной сдачи ЕГЭ мо математике, для формирования логического мышления. Решение задач с параметрами прививает школьнику математическую культуру, учит мыслить самостоятельно. Имея навык решения задач с параметрами, в дальнейшем школьник сможет вести успешно исследовательскую деятельность на любом другом математическом материале.

Календарно- тематическое планирование

№ урока

Содержание

Количество

часов

Дата проведения по плану

Дата проведения

фактически

Обору

дование

Линейные уравнения и неравенства с параметрами

17часов

1

Уравнения первой степени с параметром

1

2

Рациональные уравнения с параметром

1

3

Рациональные уравнения с двумя параметрами

1

4

Уравнения с одним модулем Самостоятельная работа №1

1

5

Простейшие уравнения с двумя модулями

1

6

Системы уравнений первой степени, содержащие параметр

1

7

Системы уравнений первой степени (графический метод)

Самостоятельная работа №2

1

8

Исследование полученного ответа

1

9

Неравенства с двумя параметрами

1

10

Обработка результатов, полученных при решении

1

11

Неравенства с модулем.

1

12

Графические иллюстрации при решении задач.

Лекция

1

13

Использование графических иллюстраций в решении задач с параметрами

1

14

Аналитический способ решения неравенств с модулями, содержащими параметр

1

15

Графический способ решения задач с модулем.

Лекция

1

16

Графический способ решения задач с модулем.

1

17

Контрольная работа № 1 по теме «Линейные уравнения с параметром»

1

Уравнения и неравенства с параметрами второй степени 19 часов

18

Актуализация знаний о квадратном уравнении

1

19

Простейшие уравнения с параметром второй степени

1

20

Исследование количества корней в зависимости от дискриминанта

1

21

Использование теоремы Виета при решении задач с параметрами

1

22

Уравнения второй степени с параметрами без дополнительных ограничений

Самостоятельная работа №3

1

23

Соотношения между корнями уравнения второй степени с параметрами

1

24

«Каркас» квадратичной функции

1

25

Двигаем параболу вдоль оси Оу

1

26

Знаки корней (теорема Виета)

1

27

Двигаем параболу вдоль оси Ох

1

28

Решаем противоположное

1

29

Постановка задачи

1

30

Расположение корней уравнения второй степени, содержащих параметр, на числовой оси. 1

1

31

Знаки корней квадратного трехчлена.

1

32

Расположение корней квадратного трехчлена относительно точки на числовой оси

Самостоятельная работа №4

1

33

Квадратные неравенства с параметром

1

34

Применение метода интервалов

1

35

Использование графических иллюстраций при решении квадратных неравенств

1

36

Контрольная работа №2 по теме «Параметр и квадратичная функция»

1

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами 8 часов

37

Тригонометрия и параметр

Лекция

1

»

38

Свойства тригонометрических функций.

Лекция

1

39

Область значений тригонометрических функций

1

40

Тригонометрические уравнения с параметрами, решаемые с помощью замены

1

41

Графический метод решения тригонометрических задач с параметрами

1

42

Задачи, решаемые относительно параметра

Лекция

1

43

Тригонометрические уравнения с параметрами, решаемые относительно параметра

1

44

Простейшие тригонометрические неравенства с параметром

Самостоятельная работа №5

1

Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся

к квадратным 14 часов

45

Свойства степеней

1

46

Свойства показательной функции

1

47

Простейшие показательные уравнения с параметрами, решаемые с помощью замены

1

48

Простейшие показательные неравенства с параметрами, решаемые с помощью замены

1

49

Свойства логарифмов и логарифмической функции

Лекция

1

50

Простейшие логарифмические уравнения с параметрами, решаемые с помощью замены

1

51

Простейшие логарифмические неравенства с параметрами, решаемые с помощью замены

1

52

Иррациональные уравнения с параметром

Самостоятельная работа №6

1

53

Простейшие иррациональные уравнения с двумя параметрами

1

54

Иррациональные уравнения с параметром, решаемые с помощью замены

1

55

Иррациональные неравенства, содержащие параметр

1

56

Замена модуля в уравнениях с параметрами, сведение к квадратным

1

57

Уравнения высших степеней с параметрами, сводящиеся к квадратным

Самостоятельная работа №7

1

58

Контрольная работа №3 по теме «Задачи, сводящиеся к квадратным»

1

Координатные плоскости (х;у). (х;а).

10 часов

59

Два основных графических приема решения задач

1

1

60

Понятие кривой семейства.

Переход от одной кривой к другой.

1

61

Движение на плоскости

1

62

Параллельный перенос.

1

63

Поворот

1

64

Сжатие

1

65

Выражение параметра через переменную

Самостоятельная работа №8

1

66

Выражение параметра через переменную. Решение задач

1

67

Итоговая контрольная работа №4

1

68

Решение задач с параметрами по материалам ЕГЭ

1

итого

68

К.р 4

С.р. 8

Аннотация к элективному курсу «Избранные вопросы математики. Задачи с параметрами» 10 класс

Элективный курс «Избранные вопросы математики. Задачи с параметрами» разработан на основе Федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего и основного образования, в соответствии с федеральным законом от 29 декабря 2012года №273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации», на основе программы «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы» авторы И.И.Зубарева, А.Г. Мордкович, издательство «Мнемозина», 2009г., Москва, с учетом «Методических рекомендаций для образовательных организаций Краснодарского края о преподавании предмета «Математика» в 2015-2016 учебном году», автор И.В.Васильева, Краснодар, 2015.

В программе отражены нормативные документы, цели и задачи курса, основное содержание курса, тематическое планирование, УМК учителя и учащегося, календарно-тематическое планирование курса.

Элективный курс предназначен для учителей математики старшей школы.

В КИМ единого государственного экзамена включены задания с параметрами. Школьная программа не содержит материал по отработке навыка решения задач с параметрами, что затрудняет полноценную подготовку учащегося к государственной итоговой аттестации по математике.

Задачи курса « Избранные вопросы математики. Задачи с параметрами» для 10 класса:

— научить школьников мыслить логически, самостоятельно искать пути решения, творчески подходить к поиску ответов на поставленные вопросы,

— подготовить учащегося к решению задач с параметрами более сложного содержания в 11 классе

— активизация исследовательской и познавательной деятельности учащихся.

Для реализации программы используется учебно- методический комплекс:

  1. Алгебра и начала анализа.10 класс: для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г.Мордкович и др. – М. «Мнемозина»,2012

  2. Алгебра и начала анализа.11 класс: для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ А.Г.Мордкович и др. – М. «Мнемозина»,2012

3. Горнштейн П.И. и др. «Задачи с параметрами»

4. Дорофеев Г.В., Затахавай В.В. « Решение задач, содержащих параметры»

5. Прокофьев А.А.. Корянов А.Г. Математика ЕГЭ 2015 Функция и параметр (типовые задания С5),www.alexlarin.net

6. Сукманюк В.Н. «Решение задач с параметрами (метод «каркас функции)».

7. Материалы по подготовке к ЕГЭ 2016

8. Интернет – ресурсы:

1 www.edu.ru

2 www.school-collection.ru

  1. www.ege.yandex.ru

  2. www. reshuege.ru

  3. www.alexlarin.net

Программа рассчитана на 2 часа в неделю, 68 учебных часов в год.

Отзыв на программу элективного курса «Избранные вопросы математики. Задачи с параметрами» учителя математики МБОУ гимназия №14Смирновой Любови Васильевны.

Программа «Избранные вопросы математики. Задачи с параметрами» предназначена для учащихся 10 классов профильного уровня обучения

(68 часов в год).

Программа проходит апробацию в 10 классе профильного гимназического класса.

Элективные курсы по решению задач с параметрами ведутся в профильных классах МБОУ гимназии № 14 не первый год. Учителем Смирновой Л.В. с 2009 года ведутся элективные курсы по решению задач с параметрами для обучающихся профильных 8-11 классов. Программы по решению задач с параметрами апробировались, совершенствовались, использовались в работе другими учителями математики. Именно благодаря работе в данном направлении учащиеся профильных классов получают навык исследовательской деятельности, навык самостоятельного поиска ответов на поставленные вопросы, учатся логически мыслить, не бояться решать задачи нестандартного содержания. Как результат, это победы на олимпиадах, конкурсах различного уровня, высокие баллы при государственной итоговой аттестации.

Приводим таблицу среднего балла по математике единого государственного экзамена профильных математических классов

год

2012

2013

2014

2015

Средний балл 11Б(профильного) класса

67

66

66

69

Средний балл по краю

43,9

44,8

47,3

49,5

Выпускники профильного класса до90% поступают в лучшие высшие учебные заведения Москвы, Петербурга, Краснодара на бюджет.

Данная программа 2016года учителем переработана с учетом новых требований, выявленных в ходе работы недостатков предыдущей программы.

Программа «Избранные вопросы математики. Задачи с параметрами» утверждена и рекомендована к применению на заседании методического совета ИМЦ системы образования Ейского района (приказ от 16.09.2015г. № 100).

Директор

МБОУ гимназия №14 А.П.Кравцова

11

Контрольная Работа По Алгебре 9 Квадратичная Функция – Telegraph

➡➡➡ ДЛЯ ПЕРЕХОДА НАЖМИТЕ ЗДЕСЬ!

Контрольная Работа По Алгебре 9 Квадратичная Функция
28 . 2020 — Cкачать: Контрольная работа по алгебре 9 класс по теме «Квадратичная функция и ее график»
Алгебра 9 Дорофеев К-2 . Контрольная работа по алгебре в 9 классе «Квадратичная функция» с ОТВЕТАМИ . В учебных целях использованы цитаты из  . .
15 . 2019 — Контрольная работа по алгебре предназначена для проверки знаний учащихся 9 класса по теме: «Квадратичная функция . Степенная  . .
27 ав 2019 — Навыки построения графиков квадратичных функций крайне необходимы для усвоения учениками .
Контрольная работа № 1 .(9 класс) . «Квадратичная функция и её график» . . . Рабочая программа по алгебре для 7 9 классов Учитель: Вайнбаум Татьяна  . .
21 . — Контрольная работа №2 . Квадратичная функция . Вариант 1 . А1 . Найдите значение квадратичной функции . А2 . Найдите наименьшее  . .
15 . 2020 — Контрольный срез по алгебре по теме «Квадратичная функция» 9 класс 2020-2020 учебный год методическая разработка по алгебре (9 класс) . . Контрольная работа по Алгебре на тему «Свойства функций»( 9  . .
1 Контрольные работы по алгебре 9 класс, вариант . Контрольная работа «Квадратичная функция» .дана функция f ( x) 7x 5 . При каких значениях  . .
Поурочные разработки по Алгебре для 9 класса к учебнику Ю .Н . Макарычева . Контрольная работа по теме «Квадратичная функция» — Степенная  . .
Алгебра 8 класс по учебнику А .Г . Мордковича · Глава II . Квадратичная функция . Функция y = k/x . Урок 38 . Контрольная работа по теме квадратичная  . .
Скачать Контрольная работа «Квадратичная функция . Степени» 9 класс . . . Алгебра — еще материалы к урокам: Контрольная работа «Геометрическая  . .
13 . 2019 — Контрольные / проверочные работы для учителя-предметника для 8 класса по ФГОС . Учебно-дидактические материалы по Алгебре для 8 класса по УМК А . Г . Мордковича . . . Самостоятельная работа по теме: «Квадратичная функция» . . Итоговая контрольная работа па алгебре (9 класс)
Title: алгебра 9 класс 20192019, Author: 18 школа, Length: 28 pages, Published: 2019-11-18 . . . Контрольная работа № 2 по теме «Квадратичная функция .
Решебник по алгебре за 9 класс авторы Кузнецова, Минаева издательство Просвещение Задание: Вариант 2 . . . Квадратичная функция . Сообщить об  . .
Материал по алгебре (9 класс) по теме: Все контрольные работы по алгебре 9 класс . Контрольная работа №2 . Квадратичная функция . Вариант 1 . А1 .
Контрольные и самостоятельные работы по алгебре 9 класс Журавлев, Малышева Экзамен . . СР-4 . Квадратичная функция — задачи с параметрами .
22 . 2020 — Поурочное планирование по алгебре для 9 класса . Глава I . КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ . Урок 10 . Контрольная работа по теме  . .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2 ПО ТЕМЕ «КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ . . работ, предусмотренных традиционным планированием курса алгебры 9  . .
17 . — Контрольная работа №1 Квадратный трехчлен . Квадратичная функция . (Приложение 1) . . Тематические тесты для подготовке к ГИА-9 .
8 . 2019 — квадратичная функция контрольная работа по алгебре 8 класс . . . Контрольная работа по теме «Квадратичная функция» 9 класс  . .
Ершова Голобородько 9 класс самостоятельные и контрольные работы ГДЗ . . Алгебра . Квадратичная функция . С-1 . Функции и их свойства12345 . С-2 . . . Системы рациональных уравнений (домашняя самостоятельная работа)
Контрольная работа №1 по алгебре в 9 классе . по теме «Функции и их . . №2 по алгебре в 9 классе . по теме «квадратичная функция и ее график» .
11 . 2020 — Алгебра 9 Мерзляк Контрольная № 2 . Контрольная работа 2 «Функция . Квадратичная функция, её график и свойства» по алгебре в 9  . .
Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений . Составители: . . . Контрольная работа №1 по теме «Квадратичная функция» . 1 . 2 .
3 А .Г .Мерзляк, В .М . Поляков Алгебра, 9 класс . . использовать свойства и график квадратичной функции при решении задач из других учебных предметов . . . Контрольная работа . 28 . Квадратичная функция, ее график и свойства .
Программа соответствует учебнику «Алгебра . 9 класс» / Ю .Н . Макарычев, Н .Г . Миндюк и др .; под ред . . . изучение квадратичной функции, методов решения квадратных неравенств; . — развитие . . Входная контрольная работа . 4 .
«ГДЗ по алгебре 9 класс Тетрадь для контрольных работ Кузнецова, Минаева Просвещение» . . Контрольная работа №1 . . . Квадратичная функция .
Интерактивные презентации по алгебре 9 класса, УМК Дорофеева . . . Обобщение по теме «Квадратичная функция» · Контрольная работа по теме  . .
лицеев по математике, а также авторской программы по алгебре 9 класс Г . В . Дорофеева . . Контрольная работа № 2 по теме: Квадратичная функция . 1 .
19 . 2019 — Все контрольные работы за курс 9 класса Предназначена для выявления уровня знаний обучающимися по темам курса . . ВХОДНАЯ контрольная работа . В а р и . . по теме «Квадратичная функция и её свойства» .
1 . 2019 — Контрольная работа по теме «Квадратичная функция»1 вариант 1 . . . координаты точек пересечения графиков функции у = х2 + 9 и у  . .
14 . 2019 — Уроков по математике 8 класс . Корень й степени 21 . Сравните и . Контрольная работа по алгебре .9 кл . Квадратичная функция . Вариант  . .
предметных результатов обученияпо теме «Квадратичная функция» . В работе проверяются . . практике . Контрольная работа №1 по алгебре в 9 классе .
учитель математики МОУ СОШ№6 им . . Контрольная работа по алгебре в 9 классе по учебнику Макарычева . Тема «Квадратичная функция» . Вариант 1 .
Алгебра 9 классКонтрольные работыКузнецова, Минаева, . . Квадратичная функция . . . Проверочная работа по всему курсу девятого класса . Пособие  . .
Контрольная работа №3 по теме «Квадратичная функция» . Вариант №1 . 1 . Построить график функции у=х2-1,5 . 2 . Решить уравнение: х4-10х2+9=0 . 3 .
5 . 2019 — 9 класс Контрольная работа №1 по теме «Функции и их свойства, . . по алгебре в 9 классе по теме «квадратичная функция и ее график»  . .
Контрольная работа № 6 составлена в формате демонстрационного варианта . . Квадратичная функция и ее график 16 . . Самостоятельная работа 9
14 . 2019 — Контрольная работа по теме: «Квадратичная функция» . . . А 9 . На каком промежутке функция, изображенная на рисунке убывает?
Контрольная работа №1 . 1 . 5 . Квадратичная функция и её график . 6 . Уметь строить графики и выполнять простейшие преобразования графиков . 6 .
Контрольная работа №2 по алгебре в 9 классе по теме «квадратичная функция и ее график» . Вариант 1 . • 1 . Постройте график функции у = х2 — 6х + 5 .
28 . 2020 — Cкачать: Контрольная работа по алгебре 9 класс по теме «Квадратичная функция и ее график»
Алгебра 9 Дорофеев К-2 . Контрольная работа по алгебре в 9 классе «Квадратичная функция» с ОТВЕТАМИ . В учебных целях использованы цитаты из  . .
15 . 2019 — Контрольная работа по алгебре предназначена для проверки знаний учащихся 9 класса по теме: «Квадратичная функция . Степенная  . .
27 ав 2019 — Навыки построения графиков квадратичных функций крайне необходимы для усвоения учениками .
Контрольная работа № 1 .(9 класс) . «Квадратичная функция и её график» . . . Рабочая программа по алгебре для 7 9 классов Учитель: Вайнбаум Татьяна  . .
21 . — Контрольная работа №2 . Квадратичная функция . Вариант 1 . А1 . Найдите значение квадратичной функции . А2 . Найдите наименьшее  . .
15 . 2020 — Контрольный срез по алгебре по теме «Квадратичная функция» 9 класс 2020-2020 учебный год методическая разработка по алгебре (9 класс) . . Контрольная работа по Алгебре на тему «Свойства функций»( 9  . .
1 Контрольные работы по алгебре 9 класс, вариант . Контрольная работа «Квадратичная функция» . дана функция f ( x) 7x 5 . При каких значениях  . .
Поурочные разработки по Алгебре для 9 класса к учебнику Ю .Н . Макарычева . Контрольная работа по теме «Квадратичная функция» — Степенная  . .
Алгебра 8 класс по учебнику А .Г . Мордковича · Глава II . Квадратичная функция . Функция y = k/x . Урок 38 . Контрольная работа по теме квадратичная  . .
Скачать Контрольная работа «Квадратичная функция . Степени» 9 класс . . . Алгебра — еще материалы к урокам: Контрольная работа «Геометрическая  . .
13 . 2019 — Контрольные / проверочные работы для учителя-предметника для 8 класса по ФГОС . Учебно-дидактические материалы по Алгебре для 8 класса по УМК А . Г . Мордковича . . . Самостоятельная работа по теме: «Квадратичная функция» . . Итоговая контрольная работа па алгебре (9 класс)
Title: алгебра 9 класс 20192019, Author: 18 школа, Length: 28 pages, Published: 2019-11-18 . . . Контрольная работа № 2 по теме «Квадратичная функция .
Решебник по алгебре за 9 класс авторы Кузнецова, Минаева издательство Просвещение Задание: Вариант 2 . . . Квадратичная функция . Сообщить об  . .
Материал по алгебре (9 класс) по теме: Все контрольные работы по алгебре 9 класс . Контрольная работа №2 . Квадратичная функция . Вариант 1 . А1 .
Контрольные и самостоятельные работы по алгебре 9 класс Журавлев, Малышева Экзамен . . СР-4 . Квадратичная функция — задачи с параметрами .
22 . 2020 — Поурочное планирование по алгебре для 9 класса . Глава I . КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ . Урок 10 . Контрольная работа по теме  . .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2 ПО ТЕМЕ «КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ . . работ, предусмотренных традиционным планированием курса алгебры 9  . .
17 . — Контрольная работа №1 Квадратный трехчлен . Квадратичная функция . (Приложение 1) . . Тематические тесты для подготовке к ГИА-9 .
8 . 2019 — квадратичная функция контрольная работа по алгебре 8 класс . . . Контрольная работа по теме «Квадратичная функция» 9 класс  . .
Ершова Голобородько 9 класс самостоятельные и контрольные работы ГДЗ . . Алгебра . Квадратичная функция . С-1 . Функции и их свойства12345 . С-2 . . . Системы рациональных уравнений (домашняя самостоятельная работа)
Контрольная работа №1 по алгебре в 9 классе . по теме «Функции и их . . №2 по алгебре в 9 классе . по теме «квадратичная функция и ее график» .
11 . 2020 — Алгебра 9 Мерзляк Контрольная № 2 . Контрольная работа 2 «Функция . Квадратичная функция, её график и свойства» по алгебре в 9  . .
Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений . Составители: . . . Контрольная работа №1 по теме «Квадратичная функция» . 1 . 2 .
3 А .Г .Мерзляк, В .М . Поляков Алгебра, 9 класс . . использовать свойства и график квадратичной функции при решении задач из других учебных предметов . . . Контрольная работа . 28 . Квадратичная функция, ее график и свойства .
Программа соответствует учебнику «Алгебра . 9 класс» / Ю .Н . Макарычев, Н .Г . Миндюк и др .; под ред . . . изучение квадратичной функции, методов решения квадратных неравенств; . — развитие . . Входная контрольная работа . 4 .
«ГДЗ по алгебре 9 класс Тетрадь для контрольных работ Кузнецова, Минаева Просвещение» . . Контрольная работа №1 . . . Квадратичная функция .
Интерактивные презентации по алгебре 9 класса, УМК Дорофеева . . . Обобщение по теме «Квадратичная функция» · Контрольная работа по теме  . .
лицеев по математике, а также авторской программы по алгебре 9 класс Г . В . Дорофеева . . Контрольная работа № 2 по теме: Квадратичная функция . 1 .
19 . 2019 — Все контрольные работы за курс 9 класса Предназначена для выявления уровня знаний обучающимися по темам курса . . ВХОДНАЯ контрольная работа . В а р и . . по теме «Квадратичная функция и её свойства» .
1 . 2019 — Контрольная работа по теме «Квадратичная функция»1 вариант 1 . . . координаты точек пересечения графиков функции у = х2 + 9 и у  . .
14 . 2019 — Уроков по математике 8 класс . Корень й степени 21 . Сравните и . Контрольная работа по алгебре .9 кл . Квадратичная функция . Вариант  . .
предметных результатов обученияпо теме «Квадратичная функция» . В работе проверяются . . практике . Контрольная работа №1 по алгебре в 9 классе .
учитель математики МОУ СОШ№6 им . . Контрольная работа по алгебре в 9 классе по учебнику Макарычева . Тема «Квадратичная функция» . Вариант 1 .
Алгебра 9 классКонтрольные работыКузнецова, Минаева, . . Квадратичная функция . . . Проверочная работа по всему курсу девятого класса . Пособие  . .
Контрольная работа №3 по теме «Квадратичная функция» . Вариант №1 . 1 . Построить график функции у=х2-1,5 . 2 . Решить уравнение: х4-10х2+9=0 . 3 .
5 . 2019 — 9 класс Контрольная работа №1 по теме «Функции и их свойства, . . по алгебре в 9 классе по теме «квадратичная функция и ее график»  . .
Контрольная работа № 6 составлена в формате демонстрационного варианта . . Квадратичная функция и ее график 16 . . Самостоятельная работа 9
14 . 2019 — Контрольная работа по теме: «Квадратичная функция» . . . А 9 . На каком промежутке функция, изображенная на рисунке убывает?
Контрольная работа №1 . 1 . 5 . Квадратичная функция и её график . 6 . Уметь строить графики и выполнять простейшие преобразования графиков . 6 .
Контрольная работа №2 по алгебре в 9 классе по теме «квадратичная функция и ее график» . Вариант 1 . • 1 . Постройте график функции у = х2 — 6х + 5 .

Контрольная Работа Философия Монофизиты

Философия Права В России Контрольные Вопросы

Контрольная Работа По Экономике Система Оплаты Культработника

Контрольная Работа Квадратичная Функция 9

Вариант Контрольных Работ По Экономике СПбгасу

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА (2 вида) (3)

Прикубанский
внутригородской административный округ

Муниципальное общеобразовательное
учреждение

средняя общеобразовательная
школа № 50 г.Краснодара

УТВЕРЖДЕНО

решение педсовета протокол
1

от 31.08.2010
года

Председатель педсовета

_____________ В. В.Апестина

подпись
руководителя ОУ Ф.И.О.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
(2 вида)

По элективному
курсу «Решение задач» для учащихся
10-11 классов.

(указать предмет, курс, модуль)

Ступень
обучения (класс) __среднее
(полное) общее образование 11А класс

(начальное общее, основное
общее, среднее (полное) общее образование
с указанием классов)

Количество
часов ___68
Уровень ________профильный_________

(базовый,
профильный)

Учитель Донец
Светлана Теофиловна
_________________

Программа разработана
на основе учебной литературы «Алгебра
плюс: элементарная алгебра с точки
зрения высшей математики». А.Н. Землякова.
НФПК-М; Вита-пресс, 2004г.

__________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

(указать примерную или
авторскую программу/программы,
издательство,
год издания при наличии)

1. Пояснительная
записка

.
Рабочая программа элективных курсов
по математике «Решение задач по
мате­матике» в 11 классе на 2010 — 2011
учебный год составлен на основе программы
МОРФ, НФПК «Элективные курсы в профильном
обучении. Образовательная об­ласть
«Математика»» и авторской программы:
«Алгебра плюс: элементарная алгеб­ра
с точки зрения высшей математики.
Рациональные алгебраические уравнения
и неравенства», авторы: А.Н. Земляков,
общая редакция: А.Г. Каспржаком, — М.,
Вита-пресс, 2004 г.

Для
реализации программы использовано
учебное пособие: А.Г.Мордкович. Алгебра
и начала анализа, 10-11. Части 1-2. Учебник.
Мнемозина, 2008. Курс рассчитан на 1 года
обучения — 11 класс. Количество часов на
год по программе: 68.

Количество
часов в неделю: 2, что соответствует
школьному учебному плану.

Курс
рассчитан на учащихся 11 класс профильной
школы и предполагает со­вершенствование
подготовки школьников по освоению
основных разделов матема­тики.

Основные
цели курса:

  • развитие
    интереса к математике и решению задач;

  • совершенствование
    полученных в основном курсе знаний и
    умений;

  • формирование
    представлений о постановке, классификации,
    приемах и ме­тодах решения школьных
    математических задач;

  • подготовка
    к ЕГЭ.

Программа
элективного курса согласована с
требованиями государственного
образовательного стандарта и содержанием
основных программ курса математики
профильной школы. Она ориентирует
учителя на дальнейшее совершенствование
уже усвоенных учащимися знаний и умений.
Для этого вся программа делится на
несколько разделов.

Таблица тематического
распределения количества часов:

№ п/п

Разделы, темы

Количество часов

Авторская программа

Рабочая
программа

1

2

3

4

5

6

Логика
алгебраических задач

Многочлены
и полиномиальные алгебраические
уравнения.

Алгебраические
уравнения и неравенства.

Алгебраические
системы.

Иррациональные
алгебраические задачи.

Алгебраические
задачи с параметрами.

Резерв

Всего

6

12

6

15

9

12

10

70

6

12

8

16

12

14

68

2.
Содержание
обучения

Тема
1. Логика алгебраических задач
(6
ч)

Элементарные
алгебраические задачи как предложения
с переменными. Множество решений задач.
Следование и равносильность
(эквивалентность) за­дач.

Уравнения
с переменными. Числовые неравенства и
неравенства с переменной. Свойства
числовых неравенств.

Сложные
(составные) алгебраические задачи.
Конъюнкция и дизъюнкция пред­ложений.
Системы и совокупность задач. Алгебраические
задачи с параметрами.

Логические
задачи с параметрами. Задачи на следование
и равносильность. Интерпретация задач
с параметрами на координатной плоскости.

Тема
2. Многочлены и полиноминальные
алгебраические уравнения
(12
ч)

Представление
о целых рациональных алгебраических
выражениях. Многочлены над полями R,
Q
и над кольцом Z.
Степень многочлена. Кольца многочленов.
Делимость и деление многочленов с
остатком. Алгоритмы деления с остатком.
Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия
из теоремы Безу: теоремы о дели­мости
на двучлен и о числе корней многочленов.
Кратные корни. Полностью разложимые
многочлены и система Виета. Общая теорема
Виета. Квадратичные неравенства: метод
интервалов и схема знаков квадратного
трех­члена.

Кубические
многочлены. Теорема о существовании
корня у полинома нечетной степени.
Угадывание корней и разложение.

Куб
суммы/разности. Линейная замена и
укороченное кубическое уравнение.
Формула Кардано.

Графический
анализ кубического уравнения хЗ + ах —
Ь. Неприводимый случай (три корня) и
необходимость комплексных чисел.

Уравнения
степени 4. Биквадратные уравнения.
Представление о методе замены. Линейная
замена, основанная на симметрии.

Угадывание
корней. Разложение. Метод неопределенных
коэффициентов. Схема разложения Феррари.

Полиномиальные
уравнения высших степеней. Понижение
степени заменой и разложением. Теоремы
о рациональных корнях многочленов с
целыми коэффи­циентами.

Приемы
установления иррациональности и
рациональности чисел.

Тема
3.
Алгебраические
уравнения и неравенства
(8
ч)

Представление
о рациональных алгебраических выражениях.
Симметрические, кососимметрические и
возвратные многочлены и уравнения.

Дробно-
рациональные алгебраические уравнения.
Общая схема решения.

  • Метод
    интервалов решения дробно-рациональных
    алгебраических неравенств.

  • Метод
    интервалов решения алгебраических
    неравенств.

Тема
4 Алгебраические системы
(16
ч)

  • Уравнения
    с несколькими переменными. Рациональные
    уравнения с двумя пе­ременными.
    Однородные уравнения с двумя переменными.

  • Рациональные
    алгебраические системы. Метод подстановки.
    Метод исключения переменной. Равносильные
    линейные преобразования систем.

  • Симметрические
    выражения от двух переменных. Теорема
    Варинга- Гаусса о представлении
    симметрических многочленов через
    элементарные. Рекуррентное представление
    сумм степеней через элементарные
    симметрические многочлены (от двух
    переменных).

  • Системы
    Виета и симметрические системы с двумя
    переменными.

  • Метод
    разложения при решении систем уравнений.

  • Методы
    оценок и интераций при решении систем
    уравнений.

  • Оценка
    значений переменных.

  • Сведение
    уравнений к системам.


Системы с тремя переменными. Основные
методы.


Системы Виета с тремя переменными.

Тема
5. Иррациональные алгебраические задачи
(12
ч)

  • Представление
    об иррациональных алгебраических
    функциях. Понятия арифме­тических и
    алгебраических корней. Иррациональные
    алгебраические выражения и уравнения.

  • Уравнения
    с квадратными радикалами. Замена
    переменной. Замена с ограниче­ниями.

  • Неэквивалентные
    преобразования. Сущность проверки.

  • Метод
    эквивалентных преобразований уравнений
    с квадратными радикалами.

  • Сведение
    иррациональных и рациональных уравнений
    к системам.

  • Освобождение
    от кубических радикалов.

  • Метод
    оценки. Использование монотонности.
    Использование однородности.


Иррациональные алгебраические
неравенства. Почему неравенства с
радикалами сложных уравнений.

  • Эквивалентные
    преобразования неравенств. Стандартные
    схемы освобождения от радикалов в
    неравенствах (сведение к системам и
    совокупностям систем). «Дробно-иррациональные»
    неравенства. Сведение к совокупностям
    систем. Теорема о промежуточном значении
    непрерывной функции. Определение
    про­межутков знаков постоянства
    непрерывных функций. Метод интервалов
    при решении иррациональных неравенств.
    Замена при решении иррациональных
    неравенств. Использование монотонности
    и оценок при решении неравенств.
    Уравнения с модулями. Раскрытие модулей-
    стандартные схемы. Метод интер­валов
    при раскрытии модулей.

  • Неравенства
    с модулями. Простейшие неравенства.
    Схемы освобождения от мо­дулей в
    неравенствах.

  • Эквивалентные
    замены разностей модулей- в разложенных
    и дробных неравенст­вах («правило
    знаков»).


Иррациональные алгебраические системы.
Основные приемы. — Смешанные системы
с двумя переменными.

Тема
6. Алгебраические задачи с параметрами
(
l4)

  • Что
    такое задача с параметрами. Аналитический
    подход. Выписывание ответа

  • (описание
    множеств решений) в задачах с параметрами.

  • Рациональные
    задачи с параметрами. Запись ответов.

  • Иррациональные
    задачи с параметрами. «Собирание»
    ответов.

  • Задачи
    с модулями и параметрами. Критические
    значения параметра.

  • Метод
    интервалов в неравенствах с параметрами.

  • Замена
    в задачах с параметрами.

  • Метод
    разложения в задачах с параметрами.
    Разложение с помощью разрешения
    относительно параметра. Системы с
    параметрами.

  • Метод
    координат (метод «Оха», или горизонтальных
    сечений) в задачах с пара­метрами.
    Идея метода.

  • Метод
    «Оха» при решении рациональных и
    иррациональных алгебраических уравнений
    с параметрами. Уединение параметра и
    метод «Оха». Метод «Оха» при решении
    рациональных и иррациональных
    алгебраических не­равенств и систем
    неравенств с параметрами.


Метод областей в рациональных и
иррациональных неравенствах с параметрами.
Замена при использовании метода «Оха».
Задачи с модулями и параметрами.


Задачи на следование и равносильность
задач с параметрами. Аналитический
подход. Метод координат.

-Применение
производной при анализе и решении задач
с параметрами.

5.
Список
рекомендуемой учебно-методической
литературы

  1. Виленкин.
    Алгебра и математический анализ. 10, 11
    кл. Просвещение. Москва, 2008-2010

  2. Горнштейн.
    Задачи с параметрами. Киев, Текст, 1998

  3. Галицкий,
    Мордкович. Углубленное изучение курса
    алг. и мат. анализа. Про­свещение,
    2006-2010

  4. Фаддеев
    и Соминский. Алгебра. Наука, Москва,
    1964

Литература
для учителя:

  1. Высшая
    математика под ред. Яковлева. Просвещение,
    1968

  2. Математика.
    Решение задач с модулями. Фельдман.
    «Оракул». С-Петербург, 1997

Используемая
литература

  1. Говоров
    В.М. Сборник конкурсных задач по
    математике для поступающих в ВУЗы /
    В.М. говоров, П.Т. Дыбов, Н.В.Мирошин, С.Ф.
    Смирнова. — М.: 000»Издательский дом «Оникс
    21 век». — 2003 г.;

  2. Единая
    коллекция цифровых образовательных
    ресурсов / http://schoolcollection.edu.ru/catalog

  3. Мордкович
    А.Г. Алгебра и начала анализа, 10. Часть
    1. Учебник для учащихся

,
общеобразовательных заведений
(профильный уровень)./ А.Г.Мордкович,
П.В. Семенов — Мнемозина, 2008.

  1. Мордкович
    А.Г. Алгебра и начала анализа, 10. Часть
    2. Задачник для учащихся общеобразовательных
    заведений (профильный уровень)./
    А.Г.Мордкович, Л.О. Денищева, Л.И. Звавич,
    Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина, А.Р.
    Рязановский, П.В. Семенов. — Мнемозина,
    2008

  2. Мордкович
    А.Г. Алгебра и начала анализа, 11. Часть
    1. Учебник для учащихся общеобразовательных
    заведений (профильный уровень)./
    А.Г.Мордкович, П.В. Семенов — Мнемозина,
    2008.

  3. Мордкович
    А.Г. Алгебра и начала анализа, 11. Часть
    2. Задачник для учащихся общеобразовательных
    заведений (профильный уровень)./
    А.Г.Мордкович, Л.О. Денищева, Л.И. Звавич,
    Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина, А.Р.
    Рязановский, П.В. Семенов. — Мнемозина,
    2008

  4. МОРФ.
    Примерная программа среднего (полного)
    общего образования по мате­матике.
    10-11 классы; составители. Днепров Э.Д.,
    Аркадьев А.Г. — М.: Дрофа, 2006;

  5. Федеральный
    институт педагогических измерений.
    Контрольные измерите

СОГЛАСОВАНО

СОГЛАСОВАНО

Протокол заседания
методического объединения учителей

от
31.08.2010г.
1

Заместитель
директора по УВР ___________ /______________/

(подпись)
Расшифровка подписи

____________
/___________________/

подпись
расшифровка подписи

руководителя

МО МОУ СОШ №50

31.08.2010г.

Календарно-тематичесеое
планирование

Тема

К-во
ч.

Даты

I.
Логика алгебраических задач

6

1.

Элементарные
алгебраические задачи как предложения
с переменными. Множество решений
задач. Следование и равносильность
(эквивалент­ность) задач.

1

2.

Уравнения
с переменными. Числовые неравенства
и неравенства с пере­менной. Свойства
числовых неравенств.

1

3.

Сложные
(составные) алгебраические задачи.
Конъюнкция и дизъюнкция предложений.
Системы и совокупность задач.

1

4.

Алгебраические
задачи с параметрами.

1

5.

Логические
задачи с параметрами. Задачи на
следование и равносильность.

1

6.

Интерпретация
задач с параметрами на координатной
плоскости.

1

II.
Многочлены и алгебраические уравнения

12

7.

Представление
о целых рациональных алгебраических
выражениях. Много­члены над полями
R,
Q
и над кольцом Z.
Степень многочлена. Кольца мно­гочленов

1

00

Делимость
и деление многочленов с остатком.
Алгоритмы деления с остат­ком.

1

9.

Теорема
Безу. Корни многочленов. Следствия из
теоремы Безу: теоремы о делимости на
двучлен и о числе корней многочленов.
Кратные корни

1

10.

Полностью
разложимые многочлены и система Виета.
Общая теорема Вие­та. Квадратичные
неравенства: метод интервалов и схема
знаков квадратно­го трехчлена

1

11.

>

Кубические
многочлены. Теорема о существовании
корня у полинома не­четной степени.
Угадывание корней и разложение

1

12.

Куб
суммы (разности). Линейная замена и
укороченное кубическое уравне­ние.
Формула Кардано

1

13.

Графический
анализ кубического уравнения хЗ + ах
— Ь. Неприводимый случай (три корня) и
необходимость комплексных чисел

1

14.

Уравнения
степени 4. Биквадратные уравнения.
Представление о методе замены

1

15.

Линейная
замена, основанная на симметрии.
Угадывание корней. Разложе­ние.
Метод неопределенных коэффициентов.
Схема разложения Феррари

1

16.

Полиномиальные
уравнения высших степеней. Понижение
степени заменой и разложением.

1

17.

Теоремы
о рациональных корнях многочленов с
целыми коэффициентами

1

18.

Приемы
установления иррациональности и
рациональности чисел

1

III.
Алгебраические уравнения и неравенства

8

19.

Представление
о рациональных алгебраических
выражениях. Симметриче­ские,
кососимметрические и возвратные
многочлены и уравнения. Дробно-рациональные
алгебраические уравнения. Общая схема
решения.

1

Тема

К-во
ч.

Даты

20.

Метод
замены при решении дробно- рациональных
уравнений

1

21.

Дробно-
рациональные алгебраические неравенства.
Общая схема решения методом сведения
к совокупностям систем

1

22.

Метод
интервалов решения дробно-рациональных
алгебраических нера­венств.

1

23.

Метод
оценки. Использование монотонности.
Метод замены при решении неравенств.

1

24.

Метод
декомпозиции

]

25.

Неравенства
с двумя переменными. Множества решений
на координатной плоскости. Стандартные
неравенства. Метод областей.

1

26.

Неравенства
с двумя переменными. Множества решений
на координатной плоскости. Стандартные
неравенства. Метод областей.

1

IV.
Алгебраические системы

16

27.

Уравнения
с несколькими переменными. Рациональные
уравнения с двумя переменными.
Однородные уравнения с двумя переменными

1

28.

Рациональные
алгебраические системы. Метод
подстановки. Метод исклю­чения
переменной. Равносильные линейные
преобразования систем.

1

29.

Однородные
системы уравнений с двумя переменными

1

30.

Замена
переменных в системах уравнений

1

31.

Симметрические
выражения от двух переменных. Теорема
Варинга- Гаусса о представлении
симметрических многочленов через
элементарные.

1

32.

Рекуррентное
представление сумм степеней через
элементарные симметри­ческие
многочлены (от двух переменных).

1

33.

Системы
Виета и симметрические системы с двумя
переменными

1

34.

Системы
Виета и симметрические системы с двумя
переменными

1

35.

Метод
разложения при решении систем уравнений

1

36.

Метод
разложения при решении систем уравнений

1

37.

Методы
оценок и итераций при решении систем
уравнений

1

38.

Методы
оценок и итераций при решении систем
уравнений

1

39.

Оценка
значений переменных.

1

40.

Сведение
уравнений к системам.

1

41.

Системы
с тремя переменными. Основные методы.

1

42.

Системы
Виета с тремя переменными.

1

V.
Иррациональные алгебраические задачи

12

43.

Представление
об иррациональных алгебраических
функциях. Понятия арифметических и
алгебраических корней. Иррациональные
алгебраиче­ские выражения и уравнения.

1

44.

Уравнения
с квадратными радикалами. Замена
переменной. Замена с огра­ничениями.
Неэквивалентные преобразования.
Сущность проверки.

1

45.

Метод
эквивалентных преобразований уравнений
с квадратными радикала­ми. Сведение
иррациональных и рациональных уравнений
к системам.

1

46.

Освобождение
от кубических радикалов.

1

Тема

47.уравнений

1

48.

Эквивалентные
преобразования неравенств. Стандартные
схемы освобож­дения от радикалов в
неравенствах (сведение к системам и
совокупностям систем). Дробно-иррациональные»
неравенства. Сведение к совокупностям
систем

1

49.

Теорема
о промежуточном значении непрерывной
функции. Определение промежутков
знаков постоянства непрерывных
функций. Метод интервалов при решении
иррациональных неравенств.

1

50.

Замена
при решении иррациональных неравенств.
Использование монотон­ности и оценок
при решении неравенств.

1

51.

Уравнения
с модулями. Раскрытие модулей-
стандартные схемы. Метод интервалов
при раскрытии модулей.

1

52.

Неравенства
с модулями. Простейшие неравенства.
Схемы освобождения от модулей в
неравенствах.

1

53.

Эквивалентные
замены разностей модулей в разложенных
и дробных нера­венствах («правило
знаков»).

1

54.

Иррациональные
алгебраические системы. Основные
приемы. Смешанные системы с двумя
переменными.

1

VI.
Алгебраические задачи с параметрами

14

55.

Что
такое задача с параметрами. Аналитический
подход. Выписывание от­вета (описание
множеств решений) в задачах с параметрами.

1

56.

Рациональные
задачи с параметрами. Запись ответов.

1

57.
х

Иррациональные
задачи с параметрами. «Собирание»
ответов.

1

58.

Задачи
с модулями и параметрами. Критические
значения параметра.

1

59.

Метод
интервалов в неравенствах с параметрами.

1

60.

Замена
в задачах с параметрами

1

61.

Метод
разложения в задачах с параметрами.
Разложение с помощью разре­шения
относительно параметра.

1

62.

Системы
с параметрами.

1

63.

Метод
координат (метод «Оха», или горизонтальных
сечений) в задачах с парметрами. Идея
метода.

1

64.

Метод
«Оха» при решении рациональных и
иррациональных алгебраиче­ских
уравнений с параметрами. Уединение
параметра и метод «Оха».

1

65.

Метод
областей в рациональных и иррациональных
неравенствах с пара­метрами.

1

66.

Задачи
с модулями и параметрами

1

67.

Задачи
на следование и равносильность задач
с параметрами. Аналитиче­ский подход.
Метод координат.

1

68.

Применение
производной при анализе и решении
задач с параметрами

1

{2} + 80т + 40. \\ [/ латекс]

а. Когда мяч достигает максимальной высоты?

г. Какая максимальная высота мяча?

г. Когда мяч падает на землю?

Решение

а. Мяч достигает максимальной высоты в вершине параболы.

[латекс] \ begin {case} h = — \ frac {80} {2 \ left (-16 \ right)} \ text {} = \ frac {80} {32} \ hfill \\ \ text {} = \ frac {5} {2} \ hfill \\ \ text {} = 2,5 \ hfill \ end {case} \\ [/ latex]

Мяч достигает максимальной высоты после 2.{2} -4 \ left (-16 \ right) \ left (40 \ right)}} {2 \ left (-16 \ right)} \ hfill \\ \ text {} = \ frac {-80 \ pm \ sqrt {8960}} {- 32} \ hfill \ end {case} \\ [/ latex]

Поскольку квадратный корень плохо упрощается, мы можем использовать калькулятор для аппроксимации значений решений.

[латекс] \ begin {case} t = \ frac {-80- \ sqrt {8960}} {- 32} \ приблизительно 5,458 \ hfill & \ text {или} \ hfill & t = \ frac {-80+ \ sqrt {8960}} {- 32} \ приблизительно -0,458 \ hfill \ end {case} [/ latex]

Второй ответ находится за пределами разумной области нашей модели, поэтому мы заключаем, что мяч ударится о землю примерно через 5 секунд.458 секунд.

Рисунок 16

Квадратичная функция

Общий вид квадратичной функции:

ж

(

Икс

)

знак равно

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

. График квадратичной функции — это

парабола

, тип

2

-мерная кривая.

«Основная» парабола,

у

знак равно

Икс

2

, выглядит так:

Функция коэффициента

а

в общем уравнении состоит в том, чтобы сделать параболу «шире» или «тоньше» или перевернуть ее вверх ногами (если отрицательно):

Если коэффициент

Икс

2

положительный, парабола раскрывается; в противном случае он откроется.

Вершина

В

вершина

параболы — это точка внизу »

U

«форма (или вершина, если парабола открывается вниз).

Уравнение для параболы также можно записать в «вершинной форме»:

у

знак равно

а

(

Икс

час

)

2

+

k

В этом уравнении вершиной параболы является точка

(

час

,

k

)

.

Вы можете увидеть, как это соотносится со стандартным уравнением, умножив его:

у

знак равно

а

(

Икс

час

)

(

Икс

час

)

+

k

у

знак равно

а

Икс

2

2

а

час

Икс

+

а

час

2

+

k

Коэффициент

Икс

вот

2

а

час

.Это означает, что в стандартной форме

у

знак равно

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

, выражение

б

2

а

дает

Икс

-координата вершины.


Пример:

Найдите вершину параболы.

у

знак равно

3

Икс

2

+

12

Икс

12

Здесь,

а

знак равно

3

а также

б

знак равно

12

.Итак

Икс

-координата вершины:

12

2

(

3

)

знак равно

2

Подставляя в исходное уравнение, чтобы получить

у

-координат, получаем:

у

знак равно

3

(

2

)

2

+

12

(

2

)

12

знак равно

24

Итак, вершина параболы находится в точке

(

2

,

24

)

.

Ось симметрии

Ось симметрии параболы — это вертикальная линия, проходящая через вершину. Для параболы стандартной формы

у

знак равно

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

, ось симметрии имеет уравнение

Икс

знак равно

б

2

а

Обратите внимание, что

б

2

а

также

Икс

-координата вершины параболы.


Пример:

Найдите ось симметрии.

у

знак равно

2

Икс

2

+

Икс

1

Здесь,

а

знак равно

2

а также

б

знак равно

1

. Итак, осью симметрии является вертикальная линия

Икс

знак равно

1

4

Перехваты

Вы можете найти

у

-перехват параболы простым вводом

0

для

Икс

.Если уравнение имеет стандартную форму, то можно просто взять

c

как

у

-перехват. Например, в приведенном выше примере:

у

знак равно

2

(

0

)

2

+

(

0

)

1

знак равно

1

Итак

у

-перехват

1

.

В

Икс

-перехват немного сложнее. Ты можешь использовать

факторинг

, или же

завершение квадрата

, или

квадратичная формула

найти их (если они есть!).

Домен и диапазон

Как и в случае с любой другой функцией,

домен

квадратичной функции

ж

(

Икс

)

это набор

Икс

-значения, для которых определена функция, и

диапазон

— это набор всех выходных значений (значения

ж

). {2} x2.{2} у = х2.

Пример графика простого квадратичного выражения

Существует так много разных типов задач, которые вам могут задать относительно квадратных уравнений. В этой статье основное внимание будет уделено тому, как мы можем построить квадратное уравнение из квадратичного графа, используя несколько различных методов. Но, прежде чем мы перейдем к этим типам задач, найдите момент, чтобы поиграть с квадратичными выражениями в этом замечательном онлайн-калькуляторе для построения графиков. Чем удобнее вы будете работать с квадратичными графиками и выражениями, тем проще будет эта тема!

Теперь давайте приступим к решению задач с этими знаниями, а именно, как найти уравнение параболы!

Как найти квадратное уравнение из графика:

Чтобы найти квадратное уравнение из графика, можно использовать два простых метода: с использованием 2 точек или 3 точек.{2} \ mp dy = a (x ± f) 2∓d

Используя эту формулу, все, что нам нужно сделать, это перебрать вершину и другую точку, решить для a, а затем переписать наше окончательное уравнение. {2} 8 = a (−2) 2
8 = 4a8 = 4a8 = 4a
а = 2а = 2а = 2

Решите значение a, используя координату

Шаг 3. Запишите квадратное уравнение

После решения «а» у нас теперь есть вся информация, необходимая для написания нашего окончательного ответа.{2} + 4y = 2 (x + 1) 2 + 4

На этом урок о форме вершин и о том, как найти квадратное уравнение по двум точкам, завершен! Если вы хотите освежить свою память на связанные темы, такие как, как решать квадратные выражения в форме вершин, как преобразовать регулярное квадратное уравнение из стандартной формы в форму вершины, заполнив квадрат, и как использовать формулу вершины, убедитесь, что чтобы посмотреть наши уроки.

2) Найдите квадратное уравнение по 3 точкам

В некоторых случаях нам не повезет получить точку на вершине.Если это так, мы больше не сможем найти квадратичное выражение, используя всего две точки, и нам нужно сделать что-то немного другое. В случае, если нам дана информация о пересечениях параболы по оси x, а также об одной другой точке, мы можем найти квадратное уравнение, используя уравнение, которое называется «факторизованной формой». Общее уравнение для формулы факторизованной формы выглядит следующим образом, где b и c являются значениями координаты x точек пересечения с осью x:

y = a (x − b) (x − c) y = a (x — b) (x — c) y = a (x − b) (x − c)

Используя эту формулу, все, что нам нужно сделать, это подставить координаты x точек пересечения по оси x, другую точку и затем найти a, чтобы мы могли записать наш окончательный ответ.Опять же, лучший способ освоить эту форму квадратных уравнений — это решить задачу-пример.

Пример:

Определите уравнение параболы, показанное на изображении ниже:

Найдите уравнение параболы

Шаг 1. Определите точки

Поскольку нам даны три точки в этой задаче, x-точки пересечения и еще одна точка, мы можем использовать факторизованную форму для решения этого вопроса.

Из графика мы видим, что точки пересечения по оси x равны -2 и 5, а точка на параболе равна (8,6).

Шаг 2. Подточки в форме вершины и решение для «a»

Теперь все, что нам нужно сделать, это подставить наши значения в формулу факторизованной формы и решить для «a», чтобы получить всю информацию для написания нашего окончательного квадратного уравнения. Напомним, факторизованная форма:

y = a (x − b) (x − c) y = a (x — b) (x — c) y = a (x − b) (x − c)

Используя координаты отрезков x:

ххх-перехват = -2-2-2
х = −2x = -2x = −2
(х + 2) = 0 (х + 2) = 0 (х + 2) = 0
ххх-перехват = 555
х = 5х = 5х = 5
(х-5) = 0 (х — 5) = 0 (х-5) = 0
y = (x + 2) (x − 5) y = (x + 2) (x — 5) y = (x + 2) (x − 5)

Затем мы можем использовать точку на параболе (8,6), чтобы найти «a»:

6 = a (8 + 2) (8−5) 6 = a (8 + 2) (8-5) 6 = a (8 + 2) (8−5)
6 = а (10) (3) 6 = а (10) (3) 6 = а (10) (3)
6 = 30a6 = 30a6 = 30a
a = 15a = \ frac {1} {5} a = 51

Шаг 3. Запишите квадратное уравнение

После решения «а» у нас теперь есть вся информация, необходимая для написания нашего окончательного ответа.

y = 15 (x + 2) (x − 5) y = \ frac {1} {5} (x + 2) (x — 5) y = 51 (x + 2) (x − 5)

Вот и все! Это два наиболее важных метода нахождения квадратичной функции по заданной параболе. Для дальнейшего изучения квадратичных функций и их графиков посмотрите эти полезные видео, посвященные дискриминанту и построению графиков квадратичных неравенств.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.