Задачи на пропорции 3 класс: Задачи на пропорции по математике — примеры с ответами

Содержание

Задачи на пропорции по математике — примеры с ответами

Понятие пропорции

Чтобы решать задачи на тему пропорции, вспомним главное определение.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин.

Главное свойство пропорции:

Произведение крайних членов равно произведению средних.

a : b = c : d,

где a, b, c, d — члены пропорции, a, d — крайние члены, b, c — средние члены.

Вывод из главного свойства пропорции:

  • Крайний член равен произведению средних, которые разделены на другой крайний. То есть для пропорции a/b = c/d:
  • Средний член равен произведению крайних, которые разделены на другой средний. То есть для пропорции a/b = c/d:

Решить пропорцию — значит найти неизвестный член. Свойство пропорции — главный помощник в решении.

Запомним!

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Рассмотрим легкие и сложные задачи, которые можно решить с помощью пропорции. 5, 6, 7, 8 класс — неважно, всем школьникам полезно проанализировать занимательные задачки.

Задачи на пропорции с решением и ответами

Свойства пропорции придумали не просто так! С их помощью можно найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Решим 10 задач на пропорцию.

Задание 1. Найти неизвестный член пропорции: x/2 = 3/1

Как решаем:

В этом примере неизвестны крайние члены, поэтому умножим средние члены и разделим полученный результат на известный крайний член:

x = (2 * 3)/1 = 6

Ответ: x = 6.

Задание 2. Найти неизвестный член: 1/3 = 5/y

Как решаем:

y = (3 * 5)/1 = 15

Ответ: y = 15.

Задача 3. Решить пропорцию: 30/x = 5/8

Как решаем:

x = (30 * 8)/5 = 48

Ответ: x = 48.

Задание 4. Решить: 7/5 = y/10

Как решаем:

y = (7 * 10)/5 = 14

Ответ: y = 14.

Задание 5. Известно, что 21x = 14y. Найти отношение x — к y

Как решаем:

  • Сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7: 21x/7 = 14y/7.

    Получим: 3x = 2y.

  • Теперь разделим обе части на 3y, чтобы в левой части убрать множитель 3, а в правой части избавиться от y: 3x/3y = 2y/3y.
  • После сокращения отношений получилось: x/y = 2/3.

Ответ: 2 к 3.

На следующем примере мы узнаем как составить пропорцию по задаче💡

Задание 6. Из 300 подписчиков в инстаграм 108 человек — поставили лайк под постом. Какой процент всех подписчиков составляют те, кому понравился пост и они поставили лайк?

Как решаем:

  • Примем всех подписчиков за 100% и запишем условие задачи кратко:

    300 — 100%

    108 — ?%

  • Составим пропорцию: 300/108 = 100/x.
  • Найдем х: (108 * 100) : 300 = 36.

Ответ: 36% всех подписчиков поставили лайк под постом.

Задание 7. Подруга Гарри Поттера при варке оборотного зелья использовала водоросли и пиявки в отношении 5 к 2. Сколько нужно водорослей, если есть только 450 грамм пиявок?

Как решаем:

  • Составим пропорцию: 5/2 = x/450.
  • Найдем х: (5 * 450) : 2 = 1125.

Ответ: на 450 грамм пиявок нужно взять 1125 гр водорослей.

Задание 8. Известно, что арбуз состоит на 98% из воды. Сколько воды в 5 кг арбуза?

Как решаем:

Вес арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода — 98% или х кг.

Составим пропорцию:

5 : 100 = х : 98

х = (5 * 98) : 100

х = 4,9

Ответ: в 5 кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Перейдем к примерам посложнее. Рассмотрим задачу на пропорции из учебника по алгебре за 8 класс.

Задание 9. Папин автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Как рассуждаем:

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Обозначим:

  • v1 = 75 км/ч
  • v2 = 52 км/ч
  • t1 = 13 ч
  • t2 = х

Как решаем:

  1. Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.

    Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

  2. Подставим известные значения: 75/52 = t2/13

    t2 = (75 * 13)/52 = 75/4 = 18 3/4 = 18 ч 45 мин

Ответ: 18 часов 45 минут.

Задание 10. 24 человека за 5 дней раскрутили канал в телеграм. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

Как рассуждаем:

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.

3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Как решаем:

  1. Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:

    30 : 24 = 5 : х

  2. Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:

    х = 24 * 5 : 30

    х = 4

  3. Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

Давайте практиковаться еще! Приходите на интерактивные уроки по математике в онлайн-школу Skysmart. Мы создали тысячи увлекательных заданий, чтобы учеба не вгоняла в тоску, а вдохновляла и приносила приятные оценки в дневник.

На бесплатном вводном уроке расскажем, как у нас все устроено и наметим план развития школьника.

Задачи и задания на пропорции: примеры и решение

Решение заданий на пропорции

Если один из членов пропорции неизвестен и надо его найти, то говорят, что надо решить пропорцию. Решение пропорций всегда выполняется с помощью свойства пропорции.

Задание 1. Найдите неизвестный член пропорции:



a)   x   =   3 ;     б)   1   =   5  .
2 1 3 x

Решение: Так как неизвестны крайние члены пропорции, то для их нахождения надо умножить средние члены и разделить полученный результат на известный крайний член:



a) x =   2 · 3 ,   x = 6.
1



б) x =   3 · 5 ,   x = 15.
1

Ответ:  а) x = 6,   б) x = 15.

Задание 2. Решите пропорции:



a)   30   =   5 ;     б)   7   =   x  .
x 8 5 10

Решение: Так как неизвестны средние члены пропорции, то для их нахождения надо умножить крайние члены и разделить полученный результат на известный средний член:



a) x =   30 · 8 ,   x = 48.
5



б) x =   7 · 10 ,   x = 14.
5

Ответ:  а) x = 48,   б) x = 14.

Задание 3. Известно, что  21x = 14y.  Найдите отношение  x  к  y.

Решение: Сначала сократим обе части равенства на общий множитель  7:

получим:

3x = 2y.

Теперь разделим обе части на  3y,  чтобы в левой части у  x  убрать множитель  3,  а в правой части избавиться от  y:

После сокращения отношений у нас остаётся:

Ответ:  2 к 3.

Задачи на пропорции с решением

Задача 1. Из  300  читателей библиотеки  108  человек — студенты. Какой процент всех читателей составляют студенты?

Решение: Примем всех читателей библиотеки за  100%  и запишем условие задачи кратко:

300 — 100%

108 — ?%

Составим пропорцию:

Найдём  x:



x =   108 · 100   = 36.
300

Ответ:  36%  всех читателей составляют студенты.

Задача 2. При варке варенья используют ягоды и сахар в отношении  5:2.  Сколько надо ягод, если взяли  450  грамм сахара?

Решение: Составим пропорцию:

Найдём  x:



x =   5 · 450   = 1125.
2

Ответ:  На  450  гр сахара надо взять  1125  гр ягод.

6.1.2. Задачи на пропорцию.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 5.1k. Опубликовано

Задача 1. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?

Решение. Пусть х см — толщина пачки бумаги из 500 листов. Двумя способами найдем толщину одного листа бумаги:

3,3:300 или х:500.

Так как листы бумаги одинаковые, то эти два отношения равны между собой. Получаем пропорцию (напоминание: пропорция — это равенство двух отношений):

3,3:300=х:500. Неизвестный средний член пропорции равен произведению крайних членов пропорции, деленному на известный средний член. (Подробно о пропорции и нахождению ее крайнего, среднего членов читайте в статье: «6.1.1. Пропорция. Основное свойство пропорции.»)

х=(3,3·500):300;

х=5,5.  Ответ: пачка 500 листов бумаги имеет толщину 5,5 см.

Это классическое рассуждение и оформление решения задачи.  Такие задачи часто включают в тестовые задания для выпускников, которые обычно записывают решение в таком виде:

или решают устно, рассуждая так: если 300 листов имеют толщину 3,3 см, то 100 листов имеют толщину в 3 раза меньшую. Делим 3,3 на 3, получаем 1,1 см. Это толщина 100 листовой пачки бумаги. Следовательно, 500 листов будут иметь толщину в 5 раз большую, поэтому, 1,1 см умножаем на 5 и получаем ответ: 5,5 см.

Разумеется, это оправдано, так как время тестирования выпускников и абитуриентов ограничено. Однако, на этом занятии мы будем рассуждать и записывать решение так, как положено это делать в 6 классе.

Задача 2. Сколько воды содержится в 5 кг арбуза, если известно, что арбуз состоит на 98% из воды?

Решение.

Вся масса арбуза (5 кг) составляет 100%.  Вода составит х кг или 98%. Двумя способами можно найти, сколько кг приходится на 1% массы.

5:100 или х:98. Получаем пропорцию:

5:100 = х:98.

х=(5·98):100;

х=4,9  Ответ: в 5кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Задача 3. Масса 21 литра нефти составляет 16,8 кг. Какова масса 35 литров нефти?

Решение.

Пусть масса 35 литров нефти составляет х кг. Тогда двумя способами можно найти массу 1 литра нефти:

16,8:21 или х:35. Получаем пропорцию:

16,8:21=х:35.

Находим средний член пропорции. Для этого перемножаем крайние члены пропорции (16,8 и 35) и делим на известный средний член (21). Сократим дробь на 7.

Умножаем числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы в числителе и знаменателе были только натуральные числа. Сокращаем дробь на 5 (5 и 10)  и на 3 (168 и 3).

Ответ: 35 литров нефти имеют массу 28 кг.

 Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?

Решение. 

Пусть площадь всего поля х га, что составляет 100%. Осталось вспахать 9 га, что составляет 100% — 82% = 18% всего поля. Двумя способами выразим 1% площади поля. Это:

х:100 или 9:18. Составляем пропорцию:

х:100 = 9:18.

Находим неизвестный крайний член пропорции. Для этого перемножаем средние члены пропорции (100 и 9) и делим на известный крайний член (18). Сокращаем дробь.

Ответ: площадь всего поля 50 га.

Решение задач с помощью пропорции

Презентация позволяет провести урок  в соревновательном духе, закрепить материал, поддержать интерес учащихся к предмету.


Просмотр содержимого документа

«Решение задач с помощью пропорции»

17. 01.08 « Решение задач с помощью пропорции»

Эпиграф

Каждая решенная мною задача становилась образцом, который служил впоследствии для решения других задач

Декарт


Вопросы для повторения

Частное двух чисел

Если при увеличении (уменьшении) одной другая наоборот уменьшается пропорции):

двух крайних

и

двух средних

(увеличивается), то зависимость является обратной пропорциональной зависимостью

Если

поменять местами

средние или крайние члены то получится снова верная пропорция

Произведение крайних членов равно произведению средних

Если при увеличении (уменьшении) одной другая также увеличивается (уменьшается), то зависимость между ними является прямой пропорциональной зависимостью

Равенство двух отношений

  • Что называется отношением двух чисел?
  • Что показывает отношение?
  • Что называется пропорцией?
  • Из чего состоит пропорция?
  • В чем заключается основное свойство пропорции?
  • Каким еще свойством обладает пропорция?
  • Чему равен неизвестный член пропорции ?
  • Какая зависимость между двумя величинами называется прямой пропорциональной зависимостью?
  • Какая зависимость между двумя величинами называется прямой пропорциональной зависимостью?

Отношение большего к меньшему показывает во сколько раз одно число больше другого

Отношение меньшего к большему показывает какую часть одно число составляет от другого

Пропорция состоит из четырех чисел (членов

х = 8

Задача № 1

  • Малыш и Карлсон любили пить чай. Малыш наливал себе 100 г заваренного чая и добавлял в него 3 ложечки сахара. Карлсон наливал себе 200 г чая. Сколько ложечек сахара должен добавить в свой чай Карлсон, чтобы чай его был таким же сладким , как у Малыша?
  • Ответ: 6 ложечек

Вода

Малыш

Сахар

100г

Карлсон

3 лож.

200г

Х лож

Задача № 2

  • За 4 м ткани заплатили 180 р. Сколько стоят 14 м этой ткани?

Кол-во ткани

I покупка

Стоимость

II покупка

Алгоритм составления пропорции

  • Внимательно прочитайте условие задачи.
  • Найдите в условии 3 известных величины и 1 неизвестную.
  • 4 найденные величины впишите в таблицу из 2 строк и 2 столбцов, так чтобы в строках стояли величины связанные между собой, а в столбцах величины одинаковой размерности (неизвестную величину при этом нужно обозначить буквой!).
  • Определите характер зависимости между взаимосвязанными величинами и укажите его в краткой записи с помощью стрелок.
  • Преобразуйте краткую запись условия в пропорцию учитывая характер зависимости (если зависимость обратная и стрелки направлены в разные стороны то при записи пропорции вторую дробь необходимо перевернуть!).
  • Найдите неизвестный член пропорции.
  • Запишите ответ.

Задача 3

  • Чтобы покрасить стены дома за 2 дня требуется 20 маляров. За сколько дней эту работу выполнят 4 маляра?

20 маляров

4 маляра

2 дня

х дней

Задача №4 (на проценты)

  • Из свежей малины получается 15% сухой. Сколько взяли свежей малины, если получили при ее сушке 6 кг сухой?

кг

Свежая

%

Сухая

х

100

6

15

Задачи для классной работы

Стр. 130

  • № 783
  • № 784
  • № 785
  • № 786
  • № 787
  • № 788
  • № 789
  • № 784

Решите, составив пропорцию.

  • Ответ: 19,5 г.
  • Ответ: 1,7 кг.
  • Ответ: 150 мин.
  • Ответ: 40 машин.
  • Ответ: 85 %.
  • Ответ: 60 лип.
  • Ответ: 40% д., 60 % м
  • Ответ:1125 т.

Пропорция находит себе множество применений. С ее помощью вы сможете сейчас или в будущем решать следующие задачи:

  • Задачи на проценты
  • Задачи на деньги
  • Задачи на выполнение работы
  • Задачи на движение
  • Задачи на смеси и сплавы
  • Нахождение расстояний с помощью карты
  • Геометрические задачи
  • Физические задачи
  • Химические задачи
  • Многие другие задачи в самых различных отраслях знаний и деятельности.

Интересные задачи

  • Сколько воды надо добавить к 600г жидкости, содержащей 40% соли, чтобы получить раствор, содержащий 12% этой соли.
  • Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150 м за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость.

Домашнее задание

п. 22, № 811 – 813

Желаю успеха!

Математика – 6 класс. Отношение чисел и пропорции

Дата публикации: .

Отношение чисел

1. Найдите отношение чисел.

а) 340 к 2 б) 91 к 0,7 в) 8 к 30 г) 89 к 0,3
д) 1,4 к 17 е) 512 к 0,6 ж) 18 к 0,5 з) 89 к 12

2. Решите задачу.
Трубу разрезали на два куска. Длина первого куска равна 0,8 м, а длина второго – 2,4 м. Какую часть от длины трубы составляет длина первого куска? Какую часть от длины трубы составляет длина второго куска? Какую часть от длины второго куска составляет длина первого куска?

3. Решите задачу.
Трактор работал на поле прямоугольной формы. Площадь поля составляла 44,1 га. Длина поля равна 210 м. Найдите отношение ширины поля к его длине.

4. Решите задачу.
На уроке математики ребята выполняли самостоятельную работу, которая длилась 15 минут. Какую часть урока составила самостоятельная работа?

5. Решите задачу.
В столовую привезли сахар и разложили в 3 коробки. В первую коробку положили 0,2 части сахара, во вторую – 0,5 части сахара, а в третью – 0,3 части сахара. Поясните следующие отношение:
а) 0,2 к 0,5 ;    б) 0,7 к 0,3;    в) 0,2 к 0,8;    г) 0,2 к 1;   д) 0,7 к 1

6. Решите задачу.
На ремонт стены помещения потребовалось 3,6 кг штукатурки. Это составляет 49 всей штукатурки, выделенной на ремонт. Сколько кг штукатурки было выделено на ремонт?

7. Решите задачу.
В трехлитровую банку налили 2 л воды и положили 40 г соли. Найдите процентное содержание соли в воде. Как оно изменилось, если через два дня из банки испарилось 300 г воды?

Пропорции

1. Запишите пропорции.
а) 12 относится к 8, как 3 к 2 ;    б) 0,8 относится к 49, как 9 к 50.

2. Составьте все возможные варианты верных пропорций, используя равенство: 0,5 * 16 = 2 * 4.

3. Определите, верны ли пропорции?
а) 24,6 : 3 = 41 : 5;
б) 0,04 : 0,8 = 5 : 100.

4. Решите задачу.
За 2,5 кг мандарин мама заплатила 83 рубля. Какую сумму заплатит мама, если она купит 7,5 кг мандарин?

5. Решите задачу.
В 6 классе занимается 25 учеников, из них 12 – девочки. Какой процент от общего количества детей класса составляют мальчики, а какой девочки?

6. Решите задачу.
За 8 месяцев работы завод выполнил 80% объема годового плана. На сколько % завод перевыполнит план, если будет работать в таком же темпе?

«Решение задач с помощью пропорций»

Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

  • научить учащихся выделять в условиях задач две
    величины;
  • устанавливать вид зависимости между ними;
  • научить их делать краткую запись условия задачи
    и составлять пропорцию;
  • развить воображение, математическую интуицию,
    память, мышление, сформировать правильную
    математическую речь;
  • активизировать познавательную и творческую
    активность учащихся.

Оборудование: плакаты, индивидуальные
карточки, сигнальные карточки

ХОД УРОКА

Организационный момент

  • Проверка готовности класса к уроку;
  • Сообщение темы и цели урока.

Устные задания (тест с использованием
сигнальных карточек):

Найти отношение:

а) [8]; б)
[6].

Верна ли пропорция:

а) [2]; б)
[1].

3. Решить пропорцию:

а) 12,5:Х = 1,2 : 0,6 [4]

б) [0]

Ответы: 1) да; 2) нет; 3) 2; 4) 6,25; 5); 6) ; 7)12,05; 8); 9); 0) ?.

Вопросы:

  1. Что называется отношением двух чисел?
  2. Что показывает отношение двух чисел?
  3. Что такое пропорция?
  4. Сформулируйте основное свойство пропорции?

Решение задач

На предыдущем уроке учащимся были введены
понятия прямой и обратной пропорциональности,
отработаны данные понятия на задачах. На данном
уроке решаем задачи с помощью пропорций.
Рассматриваемые задачи – это задачи с целыми
значениями величин, отношение которых тоже целое
число. Для этого составляем краткую запись
условия задачи. В процессе устного обсуждения
выделяем 2 величины, устанавливаем вид
зависимости. Уменьшение величины показываем
стрелкой вниз, а увеличение — стрелкой вверх.
Затем составляем пропорцию и решаем её.

1. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь
прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была
постоянна.

Решение.

I способ (“по-старому”).

1) 480 : 6 = 80 (км/ч)
2) 80 • 2 = 160 (км)

II способ

Составим краткую запись условия задачи:

Краткая запись заранее оформляется на
плакате. В процессе устного обсуждения выясняем,
что время и путь уменьшились в одно и то же число
раз, так как при постоянной скорости эти величины
прямо пропорциональны.

Затем, составляем пропорцию и решаем её: ; Х= 160 (км)

2. Для варки варенья из вишни на 6 кг
ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько
килограмм сахарного песку надо взять на 12 кг
ягод? [8 кг]. (Задача дается на самостоятельное
решение, но перед этим устное обсуждение задачи).

3. Расстояние между городами
пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3
ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же
расстояние, со скоростью 40 км/ч?

Решение.

В процессе устного обсуждения выясняем, что
скорость уменьшилась, а время увеличилось в одно
и то же число раз, следовательно, эти величины при
одном и том же расстоянии являются обратно
пропорциональными.

(ч)

4. Пять маляров могли бы покрасить
забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же
забор 10 маляров? [4 дня] (Для самостоятельного
решения).

В этой задаче предполагается, что все
работники трудятся с одинаковой
производительностью. Для того, чтобы учащиеся
лучше освоили прием составления пропорций,
постоянно задаём вопрос: “Во сколько раз
увеличилась (уменьшилась) первая величина?”.
Тогда число, дающее ответ, будет находиться
делением большего значения величины на меньшее
(в направлении стрелок).
Чтобы у учащихся не сложилось впечатление, будто
зависимость бывает только двух видов – прямой
или обратной пропорциональностью, —
рассматриваем провокационные задачи, в которых
зависимость имеет другой характер.

5.

1) За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей
поймали за 3 ч?
2) Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему
осталось прочитать ещё 90 страниц. Сколько
страниц ему останется прочитать, когда он
прочитает 30 страниц?
Затем, рассматриваем задачу, в которой
зависимость между величинами часто принимают за
прямую пропорциональность.

6. * Пруд зарастает лилиями, причём за
неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За
сколько недель пруд покрылся лилиями наполовину,
если полностью он покрылся лилиями за 8 недель? [7
недель]

IV. Задача на смекалку (на “совместную
работу”).

За пять недель пират Ерёма
Способен выпить бочку рома.
А у пирата у Емели
Ушло б на это две недели
За сколько дней прикончат ром
Пираты, действуя вдвоем? [10 дней]

V. Задание на дом

1) В 100 граммах раствора содержится 4 грамма соли.
Сколько граммов соли содержится в 300 граммах
раствора?
2) 4 комбайна могут убрать пшеницу с поля за 10 дней.
За сколько дней уберут это поле 8 комбайнов?
3) Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек
разбудят пять петухов?
4) По учебнику  № 803 (а).

VI. Подведение итогов урока

Урок математики в 6 классе по теме «Пропорции»

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

Урок математики в 6 классе по теме: «Пропорции»

Слайд 2

Отгадай ребус

Слайд 3

Тема урока: Пропорции
Цель урока: Узнать, что такое пропорции Как называются члены пропорции Вывести основное свойство пропорции Познакомиться с видами пропорций

Слайд 4

Уже древние греки использовали законы пропорции для строительства зданий. Для строительства фасада Парфенона, храма в Афинах использована « божественная пропорция». Знания, полученные на этом уроке, помогут решать задачи с помощью пропорций. Позже задачи с помощью пропорций вы будете решать по химии, физике, геометрии.
Что же такое пропорция?

Слайд 5

Из отношений выберите равные:
20 : 5 3 : 15 10 : 4 7 : 3,5 3 : 0,5 2 : 10 16 : 4 6 : 1

Слайд 6

Одинаковые отношения запишем в виде равенства:
20 : 5 = 16 : 4 3 : 15 = 2 : 10 3 : 0,5 = 6 : 1

Слайд 7

Равенство двух отношений называют пропорцией.
Слово «пропорция» (от латинского proportio) означает «соразмерность», «определенное соотношение частей между собой»

Слайд 8

С помощью букв пропорцию можно записать так:
а : в = с : d
КРАЙНИЕ ЧЛЕНЫ
СРЕДНИЕ ЧЛЕНЫ

Слайд 9

Пропорция 20 : 5 = 16 : 4 3 : 15 = 2 : 10 3 : 0,5 = 6 : 1 а : в = с : d
Крайние члены
Средние члены
Произведение крайних членов
Произведение средних членов
Заполните таблицу:

Слайд 10

Пропорция 20 : 5 = 16 : 4 3 : 15 = 2 : 10 3 : 0,5 = 6 : 1 а : в = с : d
Крайние члены 20 и 4 3 и 10 3 и 1 а и d
Средние члены 5 и 16 15 и 2 0,5 и 6 в и с
Произведение крайних членов 80 30 3 ad
Произведение средних членов 80 30 3 вс

Слайд 11

Основное свойство пропорции:
Если а : в = c : d, то а·d = в·с В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Если а·d = в·с, то а : в = c : d Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.

Слайд 12

Используя верное равенство 15 · 8 = 40 · 3, составьте 4 верные пропорции.
15 : 3 = 40 : 8 3 : 15 = 8 : 40 3 : 8 = 15 : 40 40 : 15 = 8 : 3

Big Checks 3 Act Math Задача


Без ожиданий / стандарты выбраны

Онтарио Выравнивание по классу
Выравнивание Онтарио в соответствии с общими ожиданиями
Выравнивание CCSS по стандарту

Пропорциональное мышление — проблемы соотношения реального мира

Я большой сторонник прикладного математического ресурса TIPS4RM для 9 классов.Когда традиционная заметка, за которой следуют вопросы из учебника, заменяется этим ресурсом, я испытал только значительные улучшения в вовлечении учащихся и их успеваемости на моих прикладных курсах в 9 классе. Несмотря на то, что TIPS4RM предлагает набор уроков, тесно связанных с прикладной учебной программой 9-го класса Онтарио, некоторым задачам не хватает крючка, чтобы привлечь учащихся.

Я заметил это особенно в модуле «Пропорциональное мышление». В то время как уроки предлагают несколько стратегий для введения и решения пропорций, я считаю, что большинство вопросов довольно мягкие и скучные.В начале модуля я создал анимацию, чтобы сделать пропорции наглядными, и использовал несколько математических задач с 3 актами, включая Sugar Packets и Super Bear, чтобы добиться успеха. Однако по мере того, как мы приближаемся к концу раздела, мое внимание смещается на связь между пропорциями, процентами, а затем на прямые вариационные линейные отношения.

Я думал о том, чтобы сделать что-то похожее на математическое задание Дэна Мейера «Невероятное сокращение доллара в 3-м акте», но сосредоточиться на снижении планки путем увеличения / уменьшения чего-то один раз, а не многократно.

Я придумал 5 заданий, разбитых на 3 действия каждое. Да, это примерно 15 актов. Казалось, что в прошлую среду все сработало хорошо, когда группа администраторов GECDSB пришла, чтобы наблюдать за основным собранием системы. Вот она…

Задача 1, Акт 1 — Знакомство с проблемой

Покажите своим ученикам это видео:

В первом акте этого трехактового математического задания я захожу в фотокопировальную комнату, вынимаю чек из бумажника и кладу его на копировальный аппарат.Затем я начинаю нажимать кнопку, чтобы многократно увеличивать фотокопию.

Какой вопрос приходит в голову?

Я использую общедоступный документ Google, чтобы мои ученики обсуждали некоторые вопросы, которые могут прийти в голову в режиме реального времени во время занятий. Вот документ Google, который мы использовали на этой неделе для мозгового штурма:

Вопрос, на котором мы сосредоточимся для этой проблемы:

Во сколько раз печатный чек больше оригинала?

Задача 1, действие 2: раскрыть некоторую информацию

Покажите своим ученикам эту фотографию:

Задача 1, Акт 3: Покажите ответ


Задача 2, действие 1 — Введение в проблему

Покажите своим ученикам это видео:

Задача 2, действие 2: раскрыть некоторую информацию

Покажите своим ученикам эту фотографию:

Задача 2, Акт 3: Покажите ответ

Задача 3, действие 2: раскрыть некоторую информацию

Покажите своим ученикам эту фотографию:

Задание 3, Акт 3: Покажите ответ

[Скоро будет]


Задача 4, действие 1 — Введение в проблему

Покажите своим ученикам это видео:

Задача 4, действие 2: раскрыть некоторую информацию

Покажите своим ученикам эту фотографию:

Задание 4, Акт 3: Покажите ответ

[Скоро появится]


Задача 5, Акт 1 — Введение в проблему

Покажите своим ученикам это видео:

Примечание: нет звука. Не можете посмотреть видео, потому что просматриваете этот пост в RSS-ридере? Щелкните здесь, чтобы перейти на страницу сообщения.

Вот возможные заметки и чудеса от участников нашего семинара, а также от наших студентов:

  • На них обоих пледы.
  • Видео в обратном порядке.
  • Сколько конфет они съедят?
  • Они заболели?
  • Сколько времени нужно, чтобы съесть весь шоколад?
  • Похоже, они это выплевывают.
  • Кайл ест поцелуи.

На этом этапе ответы учащихся заносятся на доску во время обсуждения в классе.

После фиксации всех замечаний и чудес на доске, направьте класс к работе над проблемой:

«Сколько шоколада съел Кайл? Сколько съел Джон? »

Попросите ваших учеников подсчитать, сколько каждый из нас съел.Что слишком высоко? Что слишком низко? Ваши ученики могут быть обеспокоены своими оценками; это нормально! Дело в том, что у нас недостаточно информации. Чтобы помочь с оценками на этом этапе, мы сообщаем, что все обертки всех шоколадных конфет, которые мы съели, показаны на изображении выше.

Мы рекомендуем вам записывать многие оценки в таблицу как класс. Это окажет определенное давление на точные оценки.

Акт 2: Раскрытие информации для понимания топлива

Чтобы не спешить с алгоритмом, мы еще немного продвинемся по пути любопытства.Вместо того, чтобы просто передать всю необходимую информацию для решения проблемы, спросите учащихся, о чем они хотят узнать больше. Этот процесс является ключевым; Предвкушение студентами того, что им необходимо, — это золотая жила для понимания того, в чем они заключаются. Попросив их предоставить информацию, они должны приступить к решению проблем!

Учащиеся могут спросить, сколько времени потребуется для всего видео, и вы, как учитель, можете тогда сказать: «И что бы вы сделали с этим, если бы я вам его дал?» Послушайте, как они на это ответят.Вы получите ценную информацию о том, на каком этапе пути к решению проблем находится этот ученик. После этого ответа вы узнаете, думает ученик пропорционально или нет.

Вот некоторая информация, которой стоит поделиться:

Попросите учащихся рассказать, о чем им рассказывает эта серия фотографий. Что они замечают? Что им интересно? Тогда поделитесь этим фото. Он показывает общее количество мл, которое выпил каждый из нас.

На этом этапе у учащихся будет достаточно информации, чтобы определить, сколько кусочков шоколада съел каждый из нас.Пусть они это сделают!

Fuel Sense-Making для консолидации обучения.

Примечание: вы или ваши ученики можете захотеть работать с более знакомыми числами по сравнению с теми, которые вы видите выше. Например, чтобы получить точное представление о фактическом количестве конфет, которое каждый из нас съел, ученик может округлить 111,8 мл до 110 мл и аналогичным образом округлить 17 мл для 3 конфет до 20 мл.

В зависимости от класса или уровня навыков ваших учеников мы можем ожидать появления некоторых из этих стратегий.

  • Счет по знакомым числам;
  • Использование массивов;
  • Счетчик числовых строк;
  • Таблицы стоимостного подсчета;
  • Длинная дробь;
  • Удельные расценки;
  • Решение пропорций;
  • Создание и решение уравнений.

Вот некоторые из этих стратегий:

Подсчет конфет и мл.

Учащиеся могут отсчитывать 17 мл на каждые 3 тыквы, пока не достигнет общего количества мл. Если они превысят общую сумму, они могут захотеть вычесть чашку шоколадных конфет, чтобы получить более точные данные.

Вот эта стратегия в действии

Работа с дробями:

Чтобы получить более точные ответы, мы можем предложить учащимся работать с частями шоколадных конфет в десятичных или дробных числах.Многие учителя будут склонны держаться подальше от дробей, потому что они считают, что это может «сорвать» урок. Мы говорим использовать этот контекст, чтобы усилить работу с дробями и понимание.

Подсчет / умножение / деление с использованием массивов:

Студенты могут организовать свою стратегию счета в модели двойного массива. Одновременный подсчет в группах по 3 тыквы и 17 мл позволит им увидеть, что им потребуется чуть более 6 чашек тыкв, при этом будет показано пропорциональное соотношение между тыквами и объемом.

Строка с двойным номером:

Учащимся, решившим задачу с помощью пропорции, будет полезно увидеть ее в виде двойной числовой линии. Показывая, как решить пропорцию на двойной числовой прямой, мы берем знакомую концепцию (счет на числовой прямой) и расширяем ее, чтобы она работала мультипликативно. Студенты, решившие задачу с помощью аддитивной стратегии, увидят преимущество большей точности использования масштабного коэффициента.

Стоимость:

Многие студенты могут использовать ставку за единицу, чтобы решить эту проблему.

Примечание: этому учащемуся будет полезно поговорить об обозначениях, единицах измерения и порядке деления.

Линейные отношения:

Вы можете использовать эту задачу, чтобы ввести или попрактиковаться в линейных отношениях. Я использовал эту задачу, чтобы связать идею нахождения удельной нормы с определением скорости изменения (наклона) в линейной зависимости, а затем использовать ее для построения уравнения, которое поможет решить проблему.

Раскройте ответ:

После обобщения учебных целей, которые вы хотели вынести на обсуждение с вашим классом, покажите им это видео с фактическим количеством конфет, которые каждый из нас съел.Обязательно вернитесь и проверьте тех учеников, которые оценили наиболее близких в начале выполнения этого задания.

Есть ли отношение объема?

Мы хотим, чтобы вы немного поразмыслили. Мы выбрали эти шоколадные конфеты по очень конкретной причине. Фактически, мы отыскали шоколад в форме шаров, который имеет ту же высоту и диаметр, что и Hershey’s Kiss.

Ваша задача: Какие объемные отношения мы можем извлечь из этого изображения?

Вы заметили взаимосвязь между количеством шоколада по объему, которое съел Джон и Кайл?

Ищите следующий пост о том, как мы использовали это задание для обучения объему. Но прежде чем мы это сделаем, мы хотим знать, каким вы видите урок по формированию объема с помощью этой информации. Используйте раздел комментариев ниже, чтобы поделиться своими идеями, вопросами, комментариями или даже просто фрагментами того, как может выглядеть урок.

Связанные

Иллюстративная математика

Задача

Джессика получает свой любимый оттенок фиолетовой краски, смешивая 1/3 стакана синей краски с 1/2 стакана красной краски. Сколько чашек синей и красной краски нужно Джессике, чтобы приготовить 20 чашек ее любимой фиолетовой краски?

IM Комментарий

Цель этого задания — предоставить учащимся контекст, в котором они могут развить свои умственные и пропорциональные навыки мышления.Многие методы, разработанные в шестом классе, могут быть легко применены здесь: например, в решении 2 ниже используется таблица соотношений. Также можно применять другие методы, такие как двойные числовые линии или ленточные диаграммы (см. Решение 6), хотя дроби усложняют их. Если дроби в задаче (1/3 и 1/2) были более сложными (например, 1/3 и 1/5), то есть реальная мотивация изучить более абстрактные методы. Выбранные числа делают эту задачу хорошей связкой, позволяя учащимся практиковать методы, изученные в шестом классе, а также работать с более абстрактными идеями седьмого класса.

Версия этой задачи для шестого класса, https://www.illustrativemat Mathematics.org/tasks/2049, заменяет дроби 1/3 и 1/2 в подсказке целыми числами 2 и 3. Если учащиеся успешно применяют двойное число линий, ленточных диаграмм и таблиц соотношений с дробями, тогда они продемонстрировали мастерство техники шестого класса и готовы перейти к более абстрактным методам соотношения и пропорции, примером которых являются решения 3 и 4.

Если это задание используется для мотивации методов пропорционального мышления, учитель может пожелать дать учащимся более сложные дроби, чем 1/2 и 1/3.По мере того, как числа становятся более сложными, манипулировать физическими представлениями, такими как ленточные диаграммы и двойные числовые линии, становится все труднее. Такие методы, как масштабирование (решение 1), задание пропорции (решение 3) или задание уравнения (решение 4), работают для любых дробей при условии, что учащиеся свободно выполняют дробную арифметику.

Эта задача не только используется для преодоления соотношения шестого и седьмого классов и пропорционального мышления, но также может использоваться после того, как учащиеся приобретут опыт работы с языком и методами седьмого класса.В этом случае, как показано, следует поощрять и ожидать большое разнообразие ответов, и учитель может пожелать, чтобы ученики поделились своими различными подходами. Обширный набор методов, доступных для решения этой проблемы, свидетельствует о центральной роли соотношения и пропорции в учебной программе средней школы. Основываясь на арифметике с дробями, он подготавливает студентов к использованию выражений и уравнений, построению линий и пониманию значения функций.

Это задание было разработано при содействии группы учителей из Вашингтона и Иллинойса в связи с проектом цифровой библиотеки SBAC. В уроке проблема была сформулирована следующим образом: «Если Perfect Purple Paint получен путем смешивания 1/3 стакана синей краски с 1/2 стакана красной краски, сколько каждой из них необходимо на 20 чашек?»

Это задание было написано в рамках совместного проекта Illustrative Mathematics, Smarter Balanced Digital Library, Teaching Channel и Desmos.

Решения

Решение:
1 Арифметика и масштабирование

Одна партия фиолетовой краски содержит 1/3 стакана синей краски и 1/2 стакана красной краски.В итоге получится 1/2 + 1/3 = 5/6 стакана фиолетовой краски. Для того, чтобы сделать 20 стаканов фиолетовой краски, нам понадобится 20 $ \ div $ 5/6 = 24 партии. Каждая партия содержит 1/3 стакана синей краски, поэтому 24 партии будут содержать 24 $ \ times 1/3 = 8 чашек синей краски. Каждая партия содержит 1/2 стакана красной краски, поэтому 24 партии будут содержать 24 $ \ x 1/2 = 12 чашек красной краски.

Решение:
2 Таблица соотношений

Мы можем использовать таблицу соотношений, чтобы найти, сколько синей и красной краски будет в 20 чашках идеальной фиолетовой краски Джессики:

Синяя краска (чашки) Красная краска (чашки) Purple Paint (чашки)
1/3 1/2 5/6
2 3 5
4 6 10
8 12 20

Для второго ряда берем 6 порций смеси пурпурной краски, чтобы получить целое количество чашек пурпурной краски. Отсюда, удвоение этой смеси дважды показывает, что в 20 чашках фиолетовой краски находится 8 чашек синей краски и 12 чашек красной краски.

Решение:
3 пропорции

Объединение 1/3 стакана синей краски и 1/2 стакана красной краски дает 1/3 + 1/2 = 5/6 стакана синей краски. Чтобы узнать, сколько синей краски содержится в 20 чашках фиолетовой краски, мы можем использовать пропорцию: $$ \ frac {1} {3}: \ frac {5} {6} :: \, \,?: 20. $$ Обратите внимание, что $ \ frac {1} {3} = \ frac {2} {6} $, поэтому $ \ frac {1} {3} \ div \ frac {5} {6} = \ frac {2} {6} \ div \ frac {5} {6} = \ frac {2} {5} $.Так ? удовлетворяет уравнению $$ \ frac {?} {20} = \ frac {2} {5}. $$ Мы можем решить это уравнение, чтобы найти? = 8. В 20 чашках фиолетовой краски Джессики 8 чашек синей краски.

Так как остальная часть краски в 20 чашках пурпурной краски красная, это означает, что в смеси пурпурной краски находится 12 чашек красной краски.

Решение:
4 Уравнения

Одна партия пурпурной краски — 1/3 + 1/2 = 5/6 стаканов. Количество синей краски 1/3 = 2/6 стакана. Это означает, что фиолетовой краски в 5/2 раза больше, чем синей.Если $ p $ — это количество фиолетовой краски, а $ b $ — количество синей краски, это означает $$ p = \ frac {5} {2} b. $$ Итак, если у нас есть 20 чашек фиолетовой краски, то нужно найти Сколько синей краски осталось, мы можем решить $$ 20 = \ frac {5} {2} b $$ и найти 8 чашек синей краски.

Точно так же, если $ r $ обозначает красную краску в смеси, тогда $$ p = \ frac {5} {3} r $$ и если $ p = 20 $, то мы находим $ r = 12 $, так что получается 12 чашек. красной краски в 20 чашках фиолетовой краски Джессики.

Решение:
5 Использование процента

В одной партии любимого пурпурного цвета Джессики 1/3 + 1/2 = 5/6 чашек фиолетовой краски.Поскольку 1/3 = 2/6, это означает, что 2 из 5 равных частей или 40% фиолетовой краски поступают из синей краски. Поскольку 40% от 20 чашек — это 8 чашек, необходимо 8 чашек синей краски, чтобы сделать 20 чашек фиолетовой краски.

Точно так же оставшиеся 60% пурпурной краски поступают из добавленной красной краски. Поскольку 60% от 20 чашек — это 12 чашек, необходимо 12 чашек красной краски, чтобы сделать 20 чашек фиолетовой краски.

Решение:
6 Ленточные схемы

Мы собираем партии фиолетовой краски, пока не найдем целое количество чашек красной и синей краски:

  Â

Здесь мы взяли 6 партий, каждая из которых состоит из 1/3 стакана синей краски и 1/2 стакана красной краски.Вместе получается 5 чашек фиолетовой краски. Итак, если мы объединим четыре из них, получится 20 чашек идеальной фиолетовой краски. Четыре группы по 2 чашки синей краски составляют 8 чашек синей краски, а четыре группы по 3 чашки красной краски составляют 12 чашек. Итак, 20 чашек идеальной фиолетовой краски содержат 8 чашек синей краски и 12 чашек красной краски.

Веселых заданий — Рабочие листы бесплатных заданий для средней школы — Math Blaster

Упражнения с пропорциями очень полезны для демонстрации различных реальных приложений этой математической концепции. Загрузите эти задания и попробуйте их сегодня на своем классе!

Гигантская конфета

Превратите свой урок пропорций в увлекательный и увлекательный урок рисования с помощью этого задания для печати пропорций «Гигантская конфета». Узнать больше

Сколько пакетов с сахаром

«Сколько пакетов с сахаром» — это интересное задание для определения пропорций, которое исследует, сколько сахара содержится в обычных нездоровой пище. Узнать больше

Если бы у меня был сверхскоростной пассажирский экспресс

«Если бы у меня был сверхскоростной пассажирский экспресс» — это увлекательное занятие, в котором рассказывается, каково было бы передвигаться по городу на сверхскоростном экспрессе.Узнать больше

Цена правильная

Это бесплатное упражнение по математике демонстрирует важность использования пропорций для определения действительной цены предметов, вместо того, чтобы просто смотреть на общую стоимость упаковки. Узнать больше

Куклы в натуральную величину

Узнайте, как выглядели бы ваши куклы, если бы они стали такими же высокими, как вы, с помощью этого забавного задания «Куклы в натуральную величину». Узнать больше

Действия с пропорциями — это первый шаг к решению сложных задач с пропорциями.Веселые математические задания вызывают интерес у детей, что, в свою очередь, помогает ученикам решать сложные задачи пропорций . Мероприятия веселые и интересные, а также полезные для обучения.

Как помогает пропорциональная деятельность?

Эти задания для печати — удобный способ хорошо изучить сложную концепцию. Бесплатные мероприятия в размере для средней школы также помогут учителям и родителям оценить, насколько хорошо ученики поняли концепцию и выявить свои проблемные области.

Таблицы работ по свободной пропорции

Рабочие листы бесплатны и могут быть загружены и распечатаны несколько раз с Math Blaster как для одноразового, так и для многократного использования. Печатные таблицы PDF Proportion помогут учащимся полюбить эту концепцию и решить их с энтузиазмом и весело. Задача состоит в том, чтобы сначала решить печатные задания, а затем постепенно переходить к сложным сюжетным задачам.

Обучение пропорциональным отношениям — маневрирование средним

Пропорциональные отношения укоренились в нашей повседневной жизни.Хотя большинство студентов довольно быстро усваивают процесс решения пропорций, существует так много фундаментальных концептуальных знаний, что мы не хотим упускать из виду.

Сегодня я рассказываю, как пропорциональные отношения выходят далеко за рамки простого решения недостающего числа и как заложить основу для успеха в алгебре. Вот все способы, которыми семиклассник должен знать и понимать пропорциональные отношения:

7.RP.2 Распознавать и отображать пропорциональные отношения между количествами.

  • 7.RP.2A Определите, находятся ли две величины в пропорциональном отношении , например, проверив эквивалентные отношения в таблице или , построив график на координатной плоскости
  • 7. RP.2B Определите константу пропорциональности (удельная ставка) в таблицах, графиках, уравнениях, диаграммах и словесных описаниях пропорций.
  • 7.RP.2C Представьте пропорциональные отношения уравнениями.
  • 7.RP.2D Объясните, что означает точка (x, y) на графике пропорциональной зависимости с точки зрения ситуации, уделяя особое внимание точкам (0, 0) и (1, r), где r — удельная ставка.

Визуальные представления

Эти стандарты сильно нагружены визуальными представлениями, включая таблицы, графики на координатной плоскости и диаграммы. Некоторые ученики познакомятся с этими множественными представлениями в 6-м классе по стандарту 6.RP.3 и эквивалентные соотношения. Цель состоит в том, чтобы учащиеся могли легко связать таблицу, уравнение, график, словесное описание и даже диаграмму. При получении одного фрагмента информации учащиеся должны иметь возможность представить эту же информацию несколькими способами. Учащиеся, которые могут это сделать, будут иметь прочный фундамент для 8-го класса по математике и алгебре 1.

Идеи для обучения пропорциональным отношениям

Есть масса замечательных идей и занятий, но ниже приведены некоторые из моих любимых «проверенных и верных».«Все они легко интегрируются и служат подмостками для учащихся, которые испытывают трудности в классе математики.

1. Графический органайзер для нескольких представлений

Некоторым студентам необходимо видеть все вместе, и именно здесь может пригодиться этот графический органайзер с несколькими изображениями. Это идеальный размер для студентов, чтобы показать свои работы. Мне очень нравится, как компоненты остаются прежними, но данная информация меняется.

Получите бесплатный графический органайзер здесь!

Они идеально подходят для представления различных визуальных представлений, но их также можно повторно использовать в чистом кармане для использования в репетиторстве или при выполнении упражнений по математике. Как только студенты ознакомятся с графическим органайзером, я бы даже дал студентам разделочную бумагу и различную информацию. Затем они будут использовать маркеры для представления оставшейся информации. Это идея для быстрой неформальной оценки или даже в качестве партнерской работы в течение пятницы.

2. Выделите единицу скорости / константу пропорциональности

Быстрый трюк, который поможет ученикам увидеть все связи, — это использовать маркер! Смоделируйте и попросите учащихся выделить единичную ставку / константу пропорциональности в различных представлениях.Это идеально подходит для представления k в уравнении и в таблице или для встречи 7.RP.2D путем обозначения (1, r) на графике.

3. Подчеркните словарь

Надеюсь, учащиеся знакомы с термином «единичная ставка» и с тем, как его найти. Постоянная соразмерности звучит так громоздко и сложно. Когда мы говорим о цене за единицу (стоимость за унцию и т. Д.), Часто подчеркивается стоимость единицы, поэтому я думаю, что учащимся трудно увидеть график или таблицу, а также использовать фразу «ставка за единицу». В любом случае учащиеся должны быть знакомы с многословием и понимать, о чем идет речь. Вот более подробное объяснение того, почему они одинаковы.

Распространенные заблуждения

  1. Отношение непропорционально, если (0,0) не отображается в таблице или графике
  2. Разделив x / y, чтобы найти k
  3. Общая путаница по поводу к
  4. Общее разъединение между k и пропорциями
  5. Пропорциональные отношения включают только положительные числа
  6. Перемешивание x и y в таблице, когда оно не задано

Идеи якорных диаграмм

Якорные диаграммы — отличный способ наглядно продемонстрировать содержание, чтобы учащиеся могли сослаться на него.Их можно легко создать перед уроком или во время преподавания, в зависимости от содержания. Визуальные представления пропорциональных отношений идеально подходят для якорных диаграмм.

Идеи для учащихся с трудностями

  1. Потренируйтесь находить разные точки в пропорции, которые не указаны в таблице.
  2. Начните с уравнения и используйте таблицу ввода-вывода для создания таблицы.
  3. Используйте графический органайзер с четырьмя углами.
  4. Сопоставьте несколько представлений.
  5. Попрактикуйтесь в построении графиков с четырьмя квадрантами (с 6 класса).

Надеюсь, это даст вам некоторые идеи для обучения пропорциям или даже понимание того, с какими знаниями приходят ваши ученики. Я хотел бы услышать другие замечательные занятия или идеи, которые вы использовали! Не стесняйтесь делиться в комментариях.

Ознакомьтесь с некоторыми из наших сообщений о других математических концепциях: проценты | соотношения | целые числа

О какой концепции вы бы хотели услышать от нас больше?

Две увлекательные задачи пропорционального рассуждения

Я надеюсь, что есть и другие учителя 6-го (и 7-го) класса, которые могут найти этот анализ полезным, если они ищут способы повысить вовлеченность учеников, их мышление и дискурс о процентах, дробях и стандартах пропорционального мышления. Эту увлекательную возможность обучения можно использовать в начале раздела в качестве исследования и предварительной оценки на основе запросов. Его также можно использовать как способ оценки успеваемости учащихся в середине или в конце раздела. Это низкопрофильная возможность, которая позволяет участвовать студентам всех уровней. Это также дает возможность для обширных дискуссий и осмысления, потому что решения могут быть достигнуты с помощью нескольких стратегий.

Пожалуйста, не стесняйтесь использовать плагиат и сделать его своим по своему усмотрению.Я хотел бы получить известие от вас, если вы воспользуетесь им, чтобы мы могли поправиться вместе. Вы можете найти наши изображения и раздаточные материалы здесь. (Особая благодарность Грэму Флетчеру за такой потрясающий урок из 3-х действий, а также Эндрю Стаделу за его сенсационные задания «Оценка 180».)

Прежде чем читать дальше, может быть полезно посмотреть видео о Акте 1 на веб-сайте Грэма, а также изображение Эндрю Estimation180. Идите вперед и проверьте их здесь и здесь. Я буду ждать.

И… добро пожаловать обратно! Давайте погрузимся.

Немного истории:

Я провел опрос на уроке, используя эти наглядные пособия, с командой учителей 6-го класса. Оба урока были уникальными, со своими поворотами, поворотами и выбором. Схема урока ниже показывает основной процесс обучения и заняла около 60 минут. Дальнейший анализ и выводы можно найти в конце этого поста, но я постарался вложить большую часть нашего мышления в ход урока.

Этот урок был проведен в 2 классах учеников 6-х классов.Студенты заполнили блоки по соотношениям и пропорциональным рассуждениям из своей учебной программы по GoMath. Мы использовали этот урок как способ оценить концептуальное понимание студентами пропорционального мышления и их навыки решения проблем. Нам было любопытно узнать, сколько знаний сохранили студенты.

Наши цели (как учителя):

  • Мы хотели, чтобы все студенты были вовлечены, заинтересованы, мотивированы, позитивны, энергичны… и упорно продолжали решать задачи пропорционального мышления.
  • В частности, нас интересовало: как учащиеся реагируют на визуальные зацепки? Повышает ли этот подход вовлеченность и обучение студентов на всех уровнях?
  • Более важные вопросы, которые нас интересовали: как мои ученики говорят о математике? Как мне, как преподавателю, управлять открытостью урока таким образом, чтобы он был достаточно структурированным, чтобы способствовать обучению учащихся для всех?

Задачи обучения (для студентов):

  • Вы будете использовать стратегии для решения некоторых математических задач.
  • Вы поделитесь своими рассуждениями друг с другом.

В:

Мы показали изображение ниже.

Сколько пирога я съел вчера вечером на десерт? Вперед, продолжать. Сделайте оценку. Теперь поделитесь своим ответом со своим партнером по локтям. Если они такие же, объясните, почему вы согласны. Если они разные, попытайтесь убедить партнера, в чем вы правы.

Изображение Эндрю позволяет попасть на урок с низкого пола. Мы хотели активизировать и заинтересовать студентов размышлениями о дробях и процентах от части к целому. Мы раздали полоски бумаги с изображением, чтобы студенты могли рисовать на бумаге. Мы также загрузили изображение в классную комнату Google, чтобы студенты могли получить к нему доступ на своих iPad.

На изображении ниже вы можете увидеть полоски бумаги с изображением. Несколько студентов (например, этот) разделили пирог на четверти. Студенты смогли быстро определить эту ошибку, потому что они могли визуально видеть, что «острие» недостающего элемента не было квадратным углом.

Многие студенты (как мы и надеялись) рисовали прямо на бумаге или на своих iPad. Вот пример того, что мы часто видели:

Этот ученик пытался добиться большей точности, производя измерения на изображении.

Большинство студентов пришли к «1/5» в качестве ответа примерно за 5 минут. Мы ожидали, что «1/5» будет более распространенным ответом, чем «20%», но мы хотели, чтобы и дроби, и проценты были частью разговорного языка урока. К счастью, ответ Эндрю заставляет говорить о процентах.

Мы сказали студентам игнорировать 72˚, если они не понимают, что это значит. Вместо этого мы сосредоточились на 20%.

Кажется, вы все согласны с тем, что я съел пятую часть пирога, потому что мы можем разделить пирог поровну на пять частей, и ясно, что я съела одну из них. Поэтому я съела один кусок из пяти или пятую часть всего пирога.

Но ответ говорит, что 20%. Что это означает в нашем ответе? Мы правы?

Мы позволяем студентам кратко обсудить и раскрыть этот момент.В обоих классах было несколько учеников, которые признали, что пятая часть соответствует 20/100 и, следовательно, 20%. Мы показали эту стратегию на доске: 1/5 x 20/20 = 20/100 или 20%.

Это был ключевой момент разминки и то, почему образ Эндрю идеален: Мы смогли представить содержание уровня класса (проценты), используя стратегию очень низкого уровня (модель площади). Такой подход позволил студентам всех уровней органически осмыслить задачу, которая должна была возникнуть следующей. Кроме того, обе стратегии (модель площади и пропорциональное рассуждение / проценты) были рассмотрены в контексте проблемы. Студенты всех уровней могут принять участие в программе и ощутить положительный импульс.

(Интересный дополнительный вопрос для тех, кто рано решил эту задачу: «Если я буду есть кусок такого размера каждую ночь, как долго его хватит?»)

Через (Часть 1):

Затем мы использовали модифицированную версию задачи Грэма Kool-Aid Kid в качестве задания для учащихся, чтобы практиковать свои навыки пропорционального мышления и укреплять взаимосвязь между дробями и процентами.

Отличная работа. Посмотрите это короткое видео, чтобы узнать о нашей следующей задаче.

Мы просмотрели видео из первого акта. Мы приостановили видео на этом изображении. Студенты также имели доступ к изображениям на бумаге и на своих планшетах iPad.

Что вы заметили?

«Он выпил большую часть!» «Он выпил больше половины!» Мы писали на доске полезные предложения.

Какой процент Kool-Aid я выпил? Сделайте оценку.

Обратите внимание, что мы очень четко указали процент.Мы хотели сосредоточиться на мышлении на уровне класса, а также предоставить инструмент (изображение, на котором они могли рисовать), который позволил бы им использовать предыдущую стратегию на уровне класса (модель области).

Многие делят разделы прямо на бумаге или на своем iPad-образе. Студенты, кажется, думают, что это было 66,6% или 75%. Между студентами, пытаясь убедить друг друга, происходили ожесточенные математические баталии. Мы ожидали этих дебатов, когда планировали урок, и были взволнованы, увидев, что дебаты, похоже, подогревают интерес.

Вот образцы некоторых студенческих работ. Вы увидите, что ученики бегали туда-сюда примерно от трети до четверти. (Я поэт-математик!)

Этот студент (ниже) совершил интересную (и полезную) ошибку при преобразовании двух третей в проценты.

Он знал, что совершил ошибку, потому что 15% не имели смысла, потому что он знал, что 2/3 — это больше, чем 50%. Не только он допустил эту ошибку, поэтому мы смогли раскрыть недоразумение. Мы скопировали некоторые его работы на доске.

Я видел, как это делали несколько студентов. Посмотрите, пожалуйста, работу на доске. Какая ошибка здесь делается? И что мы можем сказать тем, кто совершает эту ошибку, чтобы помочь их мышлению?

По возможности, позвольте студенческой работе управлять дискурсом, особенно когда дело касается разъяснения заблуждений.

Через (Часть 2):

Вот мой любимый основной вопрос! Я считаю, что это действительно полезно, когда студенты думают о числовой информации в контексте.

Если вы хотите уточнить оценку, какая информация может быть вам полезна?

Мы позволяем студентам обсуждать в группах. Большинство групп в каждом классе поняли, что им нужно знать, сколько Kool-Aid было там в начале и в конце.

Мы изменили изображения Акта 2 Грэма и вместо этого отображали следующее:

Отсюда студенты приступили к работе. Нам было любопытно посмотреть, как студенты понимают проблему и продвигаются к ее решению.Смогут ли они сначала найти разницу в 500 и 125, а затем разделить 375 на 500? Разделят ли они сначала 125 на 500, а затем сделают вычитание (от 1 или 100%) позже в процессе? Смогут ли они упростить дроби? Установят ли они пропорцию?

Вот снимок некоторых студенческих работ, которые мы видели, наблюдая за комнатой.

Приведенный выше образец работы показывает, насколько эта задача доступна студентам с концептуальным пониманием дробей. Она может создать ленточную диаграмму (которая выглядит как кружка), чтобы понять, что ей нужно четыре «125», чтобы получить 500.Поэтому я выпил три четверти и оставил одну четвертую в стакане. После того, как мы поделились своей работой с нами и ее соседями, мы призвали ее (и других, придерживающихся аналогичного подхода) доказать / показать, что три четверти составляют 75%.

Этот студент предоставил нам возможность изучить ошибку, связанную с ошибкой во время разминки (нахождение значения от целого к частям). Она застряла, потому что 4 или 4% не имели смысла. Она не могла достаточно хорошо контекстуализировать значение чисел, чтобы увидеть свою ошибку.

Мы скопировали ее работу на переднюю панель.

Чем занимались эти студенты? Что они узнали?

Модель столбца ученика, изображенная сверху, предоставила полезный обучающий инструмент, который помог этому ученику увидеть, что 4 было полезным числом в решении.

Мы видели, как некоторые студенты упрощают дроби, чтобы найти процент.

Я записал работу этого ученика (сверху), чтобы было понятнее следовать (см. Ниже).

Этот ученик (ниже) показывает, как он использовал умножение, чтобы преобразовать упрощенную дробь в процент.

Немного, но несколько студентов установили пропорцию и использовали некоторые навыки рассуждения, чтобы найти недостающую переменную.

Этот студент сказал: «Я знаю, что 500 — это 5 умножить на 100. Я знаю, что мне нужно выяснить, сколько 5 умножить на 125. А это число равно 25. Следовательно, ответ — 25%».

Отличное рассуждение. Правильный ответ на другой вопрос. Многие студенты забыли обдумывать свой ответ в контексте, выбирая 25% вместо 75% в качестве правильного ответа.

Когда продуктивная борьба достигла максимума (примерно через 20 минут), мы организовали математическое обсуждение их стратегий и попытались помочь им разобраться в математических стратегиях и установить связи между ними. Обсуждение обычно длится около 5-10 минут. Некоторые вопросы, которые мы задали:

Чем занимался этот студент? Кто еще использовал подобную стратегию? Кто может объяснить это иначе? Из всех рассмотренных нами стратегий какая стратегия показалась вам наиболее эффективной? Какой из них казался наиболее конкретным?

За гранью:

Затем мы показали ответ.И снова мы изменили видео / изображение Грэма в третьем акте, чтобы отразить выбор, который мы сделали ранее в уроке.

Затем мы попросили студентов поразмышлять над опытом урока. Получили ли они сегодня удовольствие от математики больше, чем обычно? Почему? А почему бы и нет?

Было несколько ответов, подобных этому от студентов:

(Примечание: я не думаю, что цель состоит в том, чтобы упростить математику, просто сделать ее более доступной.)

Мы также изменили это задание по иллюстративной математике как выходное.

Размышления, выводы, анализ:

В конце дня мы подумали о наших целях и обучении студентов. Кое-что мы заметили и задались вопросом, а некоторые профессиональные цели продвигаются вперед.

  • Важно, чтобы дети исследовали. Эта задача была достаточно сложной; он попал в золотую середину между доступностью и вызовом почти для всех студентов.
  • Демонстрация наглядных материалов повысила интерес и вовлеченность студентов по сравнению с работой по учебнику.
  • Важно дать ученикам возможность самостоятельно сформулировать проблему. Мы можем сделать это, создав им головную боль, для решения которой требуются математические навыки / рассуждения.
  • Бесчисленное введение (изображение пирога Эндрю) было низкопольным, так что все студенты были в курсе с самого начала.
  • Кроме того, введение позволило нам проанализировать навыки в контексте, используя работы учащихся для облегчения обсуждения. Этот процесс был более увлекательным, чем анализ навыков вне контекста с использованием явных прямых инструкций.
  • Очень важно выполнять подобные задачи. Учебник заставляет студентов слишком много думать; это ограничивает их выбор и голос в процессе обучения. Эти задачи позволяют обмениваться идеями.

Приглашение:

Как всегда, отзывы и комментарии приветствуются. Что вас вдохновило? Какие возможности мы упустили?

Помогите нам стать лучше вместе.

Связанные

Как учить пропорции в 7-8 классах по математике

Вы здесь: Главная → Статьи → Обучение пропорциям и пропорциям

Часто ученики учатся решать пропорции, запоминая шаги, но они также забывают их в мгновение ока после окончания школы. Они могут слабо вспомнить кое-что о крестовом умножении, но это все, что нужно. Как мы, преподаватели, можем помочь им научиться решать пропорции и запоминать их?

Соотношения и пропорции НЕ являются выходом из математики

На самом деле это не так. Мы используем их постоянно, осознаем мы это или нет. Вы когда-нибудь говорили о скорости 55 миль в час? Или посчитайте, сколько времени нужно, чтобы куда-нибудь поехать с такой-то скоростью? Вы видели цены за единицу, такие как 1,22 доллара за фунт, 4 доллара за фут или 2 доллара.50 на галлон. Вы когда-нибудь задумывались, сколько что-то стоит с учетом цены за единицу или какова ваша ежемесячная оплата с учетом почасовой оплаты? Вы использовали соотношения (или ставки) и пропорции.

Какие пропорции?

Следующие две задачи включают пропорцию:

  • Если 2 галлона бензина стоят 5,40 доллара, сколько будут стоить 5 галлонов?
  • Если автомобиль преодолевает определенное расстояние за 3 часа, какое расстояние он может проехать за 7 часов?

Общая идея этих задач состоит в том, что у нас есть двух величин, которые обе изменяются с одинаковой скоростью . Например, в главной задаче у нас есть (1) бензин, измеренный в галлонах, и (2) деньги, измеренный в долларах. Мы знаем оба количества (и доллары, и галлоны) для в одной ситуации (2 галлона стоят 5,40 доллара), мы знаем ОДНО количество для другой ситуации ( либо долларов, или галлонов), и нам задают недостающее количество (в данном случае стоимость за 5 галлонов).

Вы можете составить таблицу для систематизации информации. Ниже длинная линия означает «соответствует», а не вычитанию.

Пример 1:

 2 галлона —— 5,40 доллара
5 галлонов —— x долларов 

Пример 2:

 110 миль —— 3 часа
 x миль —— 4 часа 

В обоих примерах две величины изменяются с одинаковой скоростью. Обе ситуации включают четыре числа, из которых три даны, а одно неизвестно. Как мы можем решить такие проблемы?

Многочисленные способы решения пропорции

На самом деле есть несколько способов выяснить ответ на вопрос о пропорции — все они включают пропорциональное мышление .

  1. Если два галлона стоят 5,40 доллара и меня спрашивают, сколько стоят 5 галлонов, поскольку количество галлонов увеличилось в 2,5 раза, я могу просто умножить доллары на 2,5.
  2. Если два галлона стоят 5,40 доллара, я сначала подсчитываю, сколько стоит 1 галлон, а затем умножаю это на пять, чтобы получить стоимость 5 галлонов. Теперь 1 галлон будет стоить 5,40 доллара США ÷ 2 = 2,70 доллара США, а затем 2,70 доллара США × 5 = 13,50 доллара США.
  3. Я могу написать пропорцию и решить ее крестным умножением:
    5.40

    2 галлона

    = x

    5 галлонов

    После перемножения я получаю:

    5,40 · 5 = 2 x

    x = 5,40 · 5

    2

    = 13,50 долл. США

  4. Я записываю пропорцию, как указано выше, но вместо перекрестного умножения я просто умножаю обе части уравнения на 5.
  5. Я записываю пропорцию таким образом: (и это все еще работает, потому что вы можете записать два отношения для пропорции несколькими разными способами)
    5.40

    x

    = 2 галлона

    5 галлонов

Я хочу сказать, что для решения задач, подобных вышеупомянутому, вам не нужно помнить, как написать пропорцию или как ее решить — вы ВСЕГДА можете решить их, просто используя здравый смысл и калькулятор.

Студенты тоже должны это понимать. Дайте им понять основную идею настолько хорошо, чтобы они могли решать задачи пропорций без использования уравнения, если это необходимо.Тем не менее, я считаю, что вам также следует научить перекрестному умножению, поскольку это очень необходимый «трюк» или сокращение при решении уравнений.

Одна из основных идей, которая всегда работает для решения пропорций, — сначала найти единицу измерения, а затем умножить ее, чтобы получить то, что просят. Например: если автомобиль проезжает 110 миль за 3 часа, сколько он проедет за четыре часа? Сначала вычислите удельную стоимость (сколько машина уезжает за 1 час), затем умножьте это на 4.

Как научить пропорциям

Чтобы познакомить учащихся с пропорциями, дайте им таблиц с эквивалентными коэффициентами для заполнения, например, приведенную ниже.Это поможет им выучить пропорциональное рассуждение .

9047 9351 9047 9351 9047 9351 9047 9351 9047 9351 9047 9351 9047 9351 9047 9351 9047 9351

миль 45

долларов 3.30
Фунты 1 4

2 1 4

2 1 4

Работайте с этими таблицами (сначала используя простые числа), пока ученики не привыкнут к ним. Вы можете связать некоторые из них с жизненными ситуациями.Например, вы можете взять ситуацию из задачи о пропорциях слов в вашем учебном плане по математике и составить из нее эквивалентную таблицу ставок.

По мере продвижения дайте студентам заполнить таблицы с эквивалентными оценками, где «данность» находится посередине:

долларов 45
9351 9047 9047 9351 9047 9351 9047 1 9047 9351 9047 9351

0

Часы

9047

долларов 1 2 3 4 5
9046 11 15.50
  • 0,50
  • Метры 0,10 0,20 0,30 0,40 4

  • Конечно, ученики должны заметить, что таблицу легко заполнить, если вы сначала вычислите ставку за единицу, а затем найдете другие суммы.

    Следующий шаг: проблемы пропорций и мышление

    Изучив таблицы эквивалентных оценок, студенты готовы решать словесные задачи. Выбирайте сначала простые, и пусть думают! Они вполне могли бы придумать ответ самостоятельно, составив таблицу или вычислив удельную стоимость. Итак … на самом деле вам не нужно писать действительную пропорцию, чтобы решить проблему со словом пропорции.

    Однако я не хочу записывать уравнения или перекрестное умножение; студентам, изучающим алгебру и предалгебру, все еще необходимо научиться решать пропорции с помощью перекрестного умножения.Просто научиться пользоваться здравым смыслом еще важнее.

    Определения

    Вы заметили, что я не дал определений терминам соотношение и пропорция? Что ж, не хотелось путать. Иногда вам не нужно заучивать точные определения заранее, но вы можете начать с обучения решению словесных задач — даже проблем из реальной жизни.

    СООТНОШЕНИЕ — это две «вещи» (числа или количества) по сравнению друг с другом. Например, «3 доллара за галлон» — это соотношение, а «40 миль в 1 час» — другое.Вот еще несколько: 15 девочек против 14 мальчиков, 569 слов за 2 минуты, 23 зеленых шара против 41 синего шара. В вашем учебнике по математике может быть сказано, что это сравнение двух чисел или количественных величин.

    Связанный термин, СТАВКА, определяется как отношение, в котором две величины имеют разные единицы измерения. Некоторые люди различают и говорят, что две величины в соотношении должны иметь одинаковых единиц ; некоторые люди не делают различий и позволяют также назвать соотношение «3 доллара за галлон».

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.