Виды геометрических задач и особенности их решения: Структура и виды геометрических задач (обобщение опыта)

Некоторые методы решения геометрических задач. Программа элективного курса для профильной подготовки учащихся 9–11-х классов по математике

Пояснительная записка

Если мы действительно что-то знаем, то мы
знаем это благодаря изучению математики.

П. Гассенди

Основная функция элективных курсов по выбору в
системе предпрофильной и профильной подготовки
по математике – формирование представлений об
идеях и методах математики, о математике как
универсальном языке науки; развитие творческих
способностей у школьников, осознанных мотивов
учения, подготовка к продолжению образования и
сознательному выбору профессии.

Решение геометрических задач вызывает
трудности у многих учащихся. Это объясняется
прежде всего тем, что редко какая либо задача по
геометрии может быть решена с использованием
определённой теоремы или формулы. Большинство
задач требует применения разнообразных
теоретических знаний, доказательства
утверждений, справедливых лишь при определенном
расположении фигуры, применение различных
формул. Приобрести навыки в решении задач можно,
лишь решив достаточно большое их количество,
ознакомившись с различными методами, приёмами и
подходами.

Программа для общеобразовательных школ по
геометрии не акцентирует внимание на методах
решения задач, особенно на их частные случаи.

Искусство же решать задачи основывается на
хорошем знании теоретической части курса, знании
достаточного количества геометрических фактов,
в овладении определённым арсеналом приёмов и
методов решения геометрических задач.

Методы решения геометрических задач обладают
некоторыми особенностями, а именно:

  • большое разнообразие, трудность формального
    описания;
  • взаимозаменяемость;
  • отсутствие чётких границ области применения.

Поэтому целесообразно рассмотреть применение
подходов, приёмов, методов при решении
конкретных задач.

Знакомство учащихся с методами решения
геометрических задач стимулирует анализ
учащихся своей деятельности по решению задач,
выделению в них общих подходов и методов, их
теоретическое осмысление и обоснование, решение
задач несколькими способами. Особое внимание
уделяется аналитическому способу решения задач,
доводится до понимания учащихся, что анализ
условия задачи, анализ решения задачи –
важнейшие этапы её решения. Учащиеся знакомятся
со схемой восходящего анализа.

Знание методов решения геометрических задач
позволяет решать, казалось бы, сложные
математические задачи просто, понятно и красиво.

Кроме того, предлагаемый курс позволяет
создать целостное представление о теме и
значительно расширить спектр задач, благодаря
пониманию методов, приёмов решения задач.

Конструирование программного содержания на
занятиях по курсу может быть проведено по
алгоритму:

  1. обобщение первоначальных знаний;
  2. систематизация, конкретизация и углубление
    теоретических знаний;
  3. проектирование и организация практической
    деятельности учащихся по применению базисных
    знаний.

Такая конструкция программного материала,
законченность блоков содержания, помогает
ученику достигать поставленных перед ним
дидактических задач и позволяет осуществлять
интеграцию разных видов и форм обучения.

Важное значение при организации
учебно-познавательной деятельности имеет
обратная связь: внутренняя при взаимоконтроле,
самоконтроле и внешняя.

Технологии, используемые в организации
изучения элективного курса по геометрии должны
быть личностно-ориентированными, направленными
на запланированный конечный результат, а именно,
содержание материала, поуровневая
индивидуализация учебной и дифференциация
обучающей деятельности на фоне благоприятного
психологического климата дают возможность
создать ситуацию выбора для учителя и ученика,
помогают ученику сформировать общеучебные
умения и навыки, повысить его образовательный
уровень, что связано с дальнейшим успешным
самообразованием и профессиональным
самоопределением.

I. Организационно-методический раздел

Цель курса: расширить представления
учащихся о методах, приемах, подходах решения
задач по планиметрии в системе предпрофильной и
профильной подготовки.



Задачи курса

1. Познакомить учащихся с некоторыми методами
решения задач:

а) методом опорного элемента;

б) методом площадей;

в) методом введения вспомогательного параметра;

г) методом восходящего анализа;

д) методом подобия;

е) методом дополнительного построения;

2. Познакомить учащихся с некоторыми теоремами
планиметрии и свойствами фигур, не
рассматриваемыми в курсе геометрии 7-9 классов.

3. Развивать общеучебные умения учащихся,
логическое мышление, алгоритмическую культуру,
математическое мышление и интуицию, повысить их
уровень обученности.

4. Развивать творческие способности школьников,
готовить их к продолжению образования и
сознательному выбору профессии.



Место курса в системе профильной подготовки.

Курс направлен на профильную подготовку по
математике. Он расширяет и углубляет базовый
курс по геометрии, является предметно
ориентированным, дает возможность учащимся
познакомиться с различными методами, приемами
решения задач по геометрии, которые являются не
только эффектными, но и эффективными.

Данный элективный курс будет способствовать
совершенствованию и развитию знаний и умений по
математике, даст возможность учащимся
проанализировать свои способности к
математической деятельности.



Требования к уровню усвоения содержания
курса

Административной проверки усвоения материала
курса “Некоторые методы решения геометрических
задач” не предполагается. В технологии
проведения занятий осуществляется обратная
связь при взаимоконтроле и самоконтроле.
Возможно проведение обучающих самостоятельных
работ и итогового тестирования.



Распределение часов курса по темам

Данный элективный курс предполагает 17
тематических занятий.

Тематический план курса







Тема Кол-во часов Форма занятия
1 Методы решения геометрических задач 2 Лекция
2 Треугольник 6 Практикум
3 Четырехугольники 7 Практикум
4 Итоговое занятие 2 Тестирование

II. Содержание курса

Тема 1. Методы решения геометрических задач

Три основных метода решения геометрических
задач: геометрический; алгебраический;
комбинированный.

Анализ и синтез. Метод восходящего анализа.

Дополнительные методы и приемы решения задач.
Анализ условия задачи, анализ решения задачи –
этапы решения задачи.

Решение задач.

Тема 2. Треугольник

Обзор теоретического материала по теме.

Решение задач с использованием методов:

1. метода опорного элемента, метода площадей;

2. метода введения вспомогательного параметра;

3. метода дополнительного построения:

а) проведение прямой параллельной или
перпендикулярной одной из имеющихся на рисунке;

б) удвоение медианы треугольника;

в) проведение вспомогательной окружности;

г) проведение радиусов в точки касания
окружности и прямой или двух окружностей;

4. использование свойства медиан, биссектрис и
высот треугольника;

5. метода подобия;

6. применение тригонометрии (теоремы синусов и
теоремы косинусов).

Тема 3. Четырехугольники

Обзор теоретического материала по теме.

Параллелограмм. Вписанные и описанные
четырехугольники.

Трапеция. Свойства трапеции определенного
вида.

Решение задач с использованием:

1. метода подобия;

2. метода опорного элемента; метода площадей;

3. метода введения вспомогательного параметра;

4. свойств трапеции определенного вида;

5. метода дополнительного построения.

Задания для самостоятельной работы учащихся

Работа с рекомендованной литературой.

Самостоятельное решение предложенных задач с
последующим обсуждением вариантов решения.

Самостоятельный подбор задач по теме
элективного курса с использованием
дополнительной математической литературы.

Самостоятельное конструирование задач по
изучаемому курсу и их презентация.

Самоанализ когнитивной и креативной
деятельности учащихся.

III. Учебно-методическое обеспечение курса

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 кл.
общеобразовательных учреждений. – М.:
Просвещение, 1998.

2. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению
геометрических задач. – М.: Просвещение, 1996.

3. Гусев В.А. и др. Практикум по решению
математических задач. – М.: Просвещение, 1985.

4. Пиголкина Т.С. Математическая энциклопедия
абитуриента. – М.: изд. Российского открытого
университета, 1992.

5. Пойа Д. Как решать задачу. – М.: Просвещение,
1959.

6. Семенов С.В., Хазанкин Р.Г. Математика.
Трапеция. – УРЭК, 1997.

7. Шарыгин И.Ф. Геометрия-8. Теория и задачи. – М.:
Рост, МИРОС, 1996.

8. Шарыгин И.Ф. Решение задач: учеб. пособие для 10
кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение,
1994.

9. Сборник конкурсных задач по математике для
поступающих во ВТУЗы. Под ред. М.И. Сканави. Учеб.
пособие. – С.-Петербург, 1994.

Методы решения геометрических задач — Пособие по геометрии

Методы решения геометрических задач

При решении геометрических задач обычно
используются три основных метода: геометрический – когда требуемое утверждение
выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем; алгебраический
– когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных
зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с
помощью уравнений; комбинированный – когда на одних этапах решение ведется
геометрическим методом, а на других — алгебраическим.

Какой
бы путь решения ни был выбран, успешность его использования зависит,
естественно, от знания теорем и умения их применять.

Метод дополнительного построения

Всякое геометрическое
решение геометрической задачи начинается с работы над чертежом. При этом иногда
на «естественном» чертеже (т.е. на чертеже, на котором изображено только
условие) трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, а если
фигуру достроить, эти связи становятся очевидными.

Метод подобия

Подобие треугольников

Две фигуры F и F1
называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием
подобия, т.е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками
изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз.

Признаки
подобия треугольников:

1)    Если
два угла одного соответственно равны двум углам другого;

2)    Если
две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные
этими сторонами равны;

3)    Если
три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.

                                                                                                                                                                                                                      Метод
замены

Метод
замены широко применяется в алгебре, но не менее эффективно «замена» может быть
применена в геометрии. Сущность этого приема решения геометрических задач
состоит в следующем: фигура, о которой идет речь в условии задачи, так
заменяется фигурой с той же искомой величиной, чтобы найти эту величину было
легче.

   Метод
введения вспомогательного неизвестного

Суть метода заключается в том, что исходя из условия задачи
составляют уравнение (или систему уравнений). В качестве вспомогательных
аргументов удобно выбирать величины, которые вместе с данными из условия задачи
дают набор элементов, однозначно задающих некоторую фигуру.

 Метод площадей

В
математических задачах часто бывает полезен такой прием: двумя способами найти
одну и ту же величину и приравнять полученные для нее выражения. Пусть мы,
например, двумя способами нашли площадь некоторой фигуры. Если в одном из
выражений для площади входит, скажем синус какого-либо угла α, то при помощи
соотношения
 из
полученного равенства можно получить некоторое неравенство, порой интересное.

Метод
«вспомогательных объёмов»

Для
нахождения расстояния от точки до плоскости или при нахождении углов между
прямой и плоскостью метод «вспомогательного объёма» во многих случаях
оказывается наиболее эффективным. Суть метода заключается в том, что объём
некоторой фигуры выражается двумя способами, а затем из полученных равенств
выражается искомая величина. Причём в этом методе нет необходимости строить
проекцию прямой на плоскость или проекцию точки, что во многих случаях
оказывается очень затруднительным.

Векторный
метод

Применение критериев
коллинеарности и компланарности векторов в решении  задач.

Критерии
коллинеарности и компланарности векторов служат основной для применения
векторной алгебры в решении стереометрических задач. Они позволяют выразить в
виде векторных равенств различные утверждения о расположенных точках, прямых и
плоскостей в пространстве. Переход от векторных равенств к скалярным происходит
на основе единственности разложения вектора по двум неколлинеарным и трём
некомпланарным векторам.

 

Координатный
метод

Координаты
на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов.
И, решая ту или иную геометрическую задачу методом координат, можно
использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой
задача решается проще, удобнее. Некоторые виды координатных систем, отличные от
прямоугольных.

1.Косоугольные
(аффинные) координаты.

2.Полярные
координаты.

3.Цилиндрические
координаты.

4.Сферические
координаты.

5.Прямоугольные
координаты.

Рассмотрим
самые употребительные и простые координаты в пространстве, называемые
прямоугольными. Их называют ещё декартовыми по имени Рене Декарта (1596-1650) –
французского учёного и философа, впервые ввёдшего координаты в геометрию (на
плоскость).

4.5 Геометрические задачи — Алгебра среднего уровня

Глава 4. Неравенства

Обычно встречаются текстовые задачи на основе геометрии, которые рассматривают внутренние углы, периметр или площадь фигур. Если посмотреть на внутренние углы, то сумму углов любого многоугольника можно найти, взяв количество сторон, вычитая 2 и затем умножая результат на 180°. Другими словами:

Это означает, что сумма внутренних углов треугольника составляет 180° × (3 − 2), или 180°. Любой четырехсторонний многоугольник будет иметь внутренние углы в сумме 180 ° × (4 — 2) или 360 °. Из них можно составить диаграмму:

Второй угол треугольника в 2 раза больше первого Третий угол на 40° меньше первого Найдите три угла.

Соотношения, описанные в форме уравнения, выглядят следующим образом:

   

Поскольку фигура, о которой идет речь, представляет собой треугольник, сумма внутренних углов составляет 180°. Следовательно:

   

Что можно упростить, используя замены:

   

Остается:

   

Это означает или 110° и или 15°.

Общие геометрические фигуры со связанными уравнениями площади и периметра
Форма Изображение Район Периметр
Круг
Квадрат
Прямоугольник
Треугольник
Ромб
Трапеция
Параллелограмм
Правильный многоугольник (-угольник)

Еще одна распространенная геометрическая проблема связана с периметром или расстоянием вокруг объекта. Например, рассмотрим прямоугольник, для которого

Если длина прямоугольника на 5 м меньше удвоенной ширины, а периметр равен 44 м, найдите его длину и ширину.

Отношения, описанные в форме уравнения, следующие:

Для прямоугольника, периметр определяется:

Замена и значение для периметра:

, который упрощает:

.

Дальнейшее упрощение, чтобы найти длину и ширину:

   

Ширина 9 м, длина 13 м.

Другие распространенные геометрические задачи:

Кабель длиной 15 м разрезается на две части так, что первая часть в четыре раза больше второй. Найдите длину каждой части.

Соотношения, описанные в виде уравнения, выглядят следующим образом:

   

Объединение этих выходов:

   

Это означает, что 3 м или 12 м.

 

Для вопросов с 1 по 8 напишите формулу, определяющую каждое отношение. Не решать.

  1. Длина прямоугольника на 3 см меньше, чем удвоенная ширина, а периметр равен 54 см.
  2. Длина прямоугольника на 8 см меньше его ширины в два раза, а периметр равен 64 см.
  3. Длина прямоугольника на 4 см больше его ширины в два раза, а периметр равен 32 см.
  4. Первый угол треугольника в два раза больше второго и на 10° больше третьего.
  5. Первый угол треугольника в два раза меньше второго и на 20° больше третьего.
  6. Сумма первого и второго углов треугольника вдвое меньше третьего угла.
  7. Кабель длиной 140 см разрезается на две части. Первая часть в пять раз длиннее второй.
  8. Кусок шланга длиной 48 м нужно разрезать на две части так, чтобы вторая часть была на 5 м длиннее первой.

Для вопросов с 9 по 18 напишите и решите уравнение, описывающее каждую взаимосвязь.

  1. Второй угол треугольника такой же величины, как и первый угол. Третий угол на 12° больше первого угла. Насколько велики углы?
  2. Два угла треугольника имеют одинаковую величину. Третий угол на 12° меньше первого угла. Найдите величину углов.
  3. Два угла треугольника имеют одинаковую величину. Третий угол в три раза больше первого. Насколько велики углы?
  4. Второй угол треугольника в два раза больше первого. Размер третьего угла на 20° больше первого. Насколько велики углы?
  5. Найдите размеры прямоугольника, если его периметр равен 150 см, а длина на 15 см больше ширины.
  6. Если периметр прямоугольника равен 304 см, а длина на 40 см больше ширины, найдите длину и ширину.
  7. Найдите длину и ширину прямоугольного сада, если его периметр равен 152 м, а ширина на 22 м меньше длины.
  8. Если периметр прямоугольника равен 280 м, а ширина на 26 м меньше длины, найдите его длину и ширину.
  9. Лаборант разрезает кусок трубки длиной 12 см на две части так, чтобы одна часть была в два раза длиннее другой. Как долго куски?
  10. Электрик разрезает 30-метровый кабель на две части. Одна часть на 2 м длиннее другой. Как долго куски?

Ключ ответа 4. 5

Как решать геометрические задачи с участием прямоугольников и треугольников

Ключевые термины

 

o Точка

o Линия

o Отрезок

05 Угол

o Луч

0005

o прямоугольник

o Периметр

o Площадь

o Square

O Треугольник

Цели

o Познайте с некоторым основным геометрическим фигром

Osculate As Persement and Persemetrale As PersemetraLe As Pere и Persemetral Artimeter and Persemetral and Persemetral and and a Persemetral and a a a extameter and persemetra ratemetral

o Вывести формулу площади треугольника

 

Геометрия изучает точки, линии, фигуры, углы и отношения между ними. Мы рассмотрим некоторые простые формы, такие как треугольники и прямоугольники, и обсудим, как вычислить некоторые их свойства.

 

Элементы геометрии

 

Прежде чем рассматривать некоторые более сложные фигуры, мы должны иметь представление об определенных терминах, которые используются при изучении геометрии. Несколько основных геометрических понятий включают точки, линии и углы. Точка , по сути, является местоположением — ее часто изображают с помощью маленькой точки, и она представляет собой местоположение в пространстве и не имеет ни длины, ни ширины, ни глубины. Несколько точек показаны ниже.

 

 

 

Линия в геометрии имеет почти те же характеристики, что и в реальной жизни (и в алгебре). Геометрическая линия прямая и бесконечно простирается в противоположных направлениях. Если две прямые пересекаются в одной точке, то говорят, что они пересекаются на 90 173. Пример строки показан ниже; обратите внимание, что на концах линии есть стрелки, указывающие на то, что линия продолжается бесконечно.

 

Конечная часть линии называется сегмент линии. Отрезки линий имеют длины, которые являются конечными (ограниченными) числами, в отличие от линий, длина которых бесконечна (неограничена). Отрезок линии показан ниже; концы отрезка показаны точками.

 

Луч — это часть линии только с одной конечной точкой, как показано ниже. Его длина по-прежнему бесконечна, но у него есть один опознаваемый конец.

 

 

Когда две прямые, отрезки, лучи или их комбинации пересекаются, они образуют угол. Пример угла показан ниже.

 

 

Углы можно измерять в градусах (°) в диапазоне от 0° до 360°. Некоторые примеры угловых измерений показаны ниже.

 

 

Используя эти основные геометрические термины и фигуры, мы можем теперь перейти к изучению некоторых более сложных фигур.

 

Прямоугольники

 

Прямоугольник представляет собой особый вид замкнутой геометрической фигуры с четырьмя сторонами; пример прямоугольника показан ниже.

 

 

Прямоугольники можно описать двумя их измерениями: длиной (которую мы можем обозначить как l ) и шириной (которую мы можем обозначить как w ). Противоположные стороны прямоугольника равны по длине, а все «внутренние» углы равны 90°; таким образом, мы можем нарисовать прямоугольник, как показано ниже.

Одной из характеристик прямоугольников, которую мы можем легко вычислить, является его периметр, который представляет собой сумму длин всех сторон. Периметр P — следующее:

P = L + W + L + W

Мы можем упростить это выражение, преобразуя добавление такого же терминов в умножение:

P ume l + l + w + w

P = 2 l + 2 w

 

Например, рассмотрим прямоугольник ниже.

 

 

Поскольку противоположные стороны равны по длине, две стороны прямоугольника имеют длину 6 единиц и две стороны длины 3 единицы. Таким образом, периметр будет следующим:

 


 

Хотите узнать больше? Почему бы не пройти онлайн-курс Pre-Algebra?

Периметр 18 единиц. (Обратите внимание, что «единицей» могут быть дюймы, футы, метры или любой другой тип измерения длины. Если единица измерения указана, используйте ее; в противном случае достаточно общего термина «единицы».)

 

Практическая задача : Вычислите периметр прямоугольника ниже. Все измерения указаны в футах.

 

 

Решение : Напомним, что противоположные стороны прямоугольника равны по длине. Таким образом, этот прямоугольник имеет две стороны длиной 10 футов и две стороны длиной 2 фута. Тогда периметр P будет следующим:

 


 

В качестве альтернативы мы могли бы просто использовать формулу, полученную выше.

 


 

 

Практическая задача : Некоторый прямоугольник имеет периметр 50 метров и длину 14 метров. Какова его ширина?

 

Решение : Мы можем решить эту задачу, внимательно изучив представленную информацию и применяя то, что мы знаем о решении уравнений. Мы знаем, прежде всего, что периметр P прямоугольника подчиняется следующей формуле, где l — длина, а w это ширина.

 

Постановка задачи говорит нам, каков периметр ( P ), а также какова длина ( l ). Давайте введем эти значения в приведенное выше уравнение, а затем максимально упростим результат.

 


 

Чтобы найти ширину прямоугольника, нам нужно найти только w , используя тот же подход, который мы использовали при решении линейных уравнений.

 






 

Thus, the width of the rectangle is 11 meters. Давайте проверим этот результат, чтобы убедиться, что он работает. Из условия задачи мы знаем, что длина прямоугольника равна 14 метрам.

 


 

Таким образом, ответ подтверждается.

 

 

Мы также можем вычислить площадь прямоугольника, которая является мерой того, сколько места он занимает. Рассмотрим прямоугольник шириной 4 единицы и длиной 2 единицы.

 

 

Разделим каждую сторону на сегменты длиной 1, как показано ниже.

 

 

Теперь, используя эти деления, мы нарисуем сетку, которая разделит прямоугольник.

 

 

Обратите внимание, что сетка разделена на более мелкие области, каждая сторона которых имеет длину 1 единицу.

 

Каждая из этих меньших областей представляет собой квадрат (прямоугольник, длина и ширина которого равны) со сторонами длины 1. Мы определим одну из этих областей как 1 квадратную единицу — квадрат, размеры которого (длина и ширина) равны 1 единице. Теперь обратите внимание, что прямоугольник имеет в общей сложности 8 квадратных единиц, которые разделены на два ряда по четыре или четыре ряда по два (в зависимости от того, как вы смотрите на диаграмму). Но вычислить количество объектов (в данном случае квадратных единиц) в строках и столбцах можно путем умножения: обратите внимание, что количество квадратных единиц в прямоугольнике — это просто произведение длины и ширины. Таким образом, площадь A прямоугольника длиной l и шириной w является произведением l и w:

 

 

Эта формула применима к любому прямоугольнику, независимо от длины его сторон. (То есть длины могут быть целыми положительными, дробными, десятичными, рациональными или иррациональными числами.)

 

Например, предположим, что у нас есть прямоугольник длиной 5 дюймов и шириной 3 дюйма, как показано ниже.

 

Наша цель состоит в том, чтобы вычислить, сколько квадратов со стороной в 1 дюйм может поместиться в этот прямоугольник. Результатом будет общая площадь прямоугольника. Располагая квадраты краем к краю, мы можем разместить пять из них поперек прямоугольника и три по прямоугольнику.

 

 

Из диаграммы видно, что в прямоугольник можно поместить 15 квадратов размером в один квадратный дюйм, т. е. прямоугольник имеет площадь 15 квадратных дюймов. Конечно, на это указывает и формула:

 


 

 

Практическая задача : Вычислите площадь прямоугольника шириной 32 дюйма и длиной 3,2 дюйма.

 

Решение : Формула площади прямоугольника применяется независимо от используемых чисел (конечно, если они положительные). Таким образом, давайте просто воспользуемся формулой для площади A:

 

 

 

Треугольники

 

Мы также можем рассмотреть некоторые характеристики другой распространенной геометрической фигуры: треугольника. Треугольник — замкнутая геометрическая фигура с тремя сторонами; примеры треугольников показаны ниже.

 

 

Периметр треугольника вычисляется почти так же, как периметр прямоугольника: просто сложите длины сторон треугольника (в этом случае у фигуры только три стороны, и эти стороны могут быть разной длины). Однако рассчитать площадь несколько сложнее. Для прямоугольников мы смогли увидеть площадь просто как ряды и столбцы квадратов. Из-за формы треугольника мы не можем аккуратно вписать в него квадраты.

 

 

Мы должны использовать несколько иной подход к нахождению площади треугольника. Давайте рассмотрим общий треугольник, показанный ниже; этот треугольник не имеет особых свойств.

Теперь определим два характерных размера этого (или любого) треугольника: длину основания (обозначим b ) и высоту (обозначим h ). Основание — это просто длина стороны «на земле» или внизу фигуры. Тогда высота является максимальным расстоянием, на которое треугольник достигает «над землей».

 

 

Площадь треугольника равна A. Если бы у нас было два таких треугольника совершенно одинаковой формы, общая площадь двух треугольников была бы тогда 2 A. Давайте воспользуемся этим фактом. попытаться построить более знакомую фигуру.

 

 

Сначала разрежем один из треугольников по высоте.

 

 

Обратите внимание, что оба разделенных треугольника имеют высоту ч 90 272 (как мы определили для исходного треугольника) и что их основания равны 90 269 х 90 272 и 90 269 у, 90 272, где 90 269 х + у 90 272 равно 90 269 б. Мы не знаем, что такое x и y , но поскольку мы разрезали треугольник, мы знаем, что эти два основания должны в сумме давать основание исходного треугольника. Теперь давайте попробуем переставить части так, чтобы получился прямоугольник!

 

Теперь рассмотрим характеристики этой новой фигуры (помните, ее площадь 2 A, , где A — площадь исходного треугольника).

 

 

Фигура представляет собой прямоугольник — обратите внимание, что противоположные стороны равны по длине (помните, что x + y = b ). Но мы знаем, как вычислить площадь прямоугольника: это просто произведение длины и ширины (в данном случае 90 269 b 90 272 и 90 269 h 90 272). Однако эта общая площадь равна 90 269, удвоенной по 90 272 площади исходного треугольника. Таким образом, произведение b и h равно 2 A.


Изучая линейные уравнения, мы узнали, как решать линейные уравнения для конкретной переменной. В этом случае мы можем выделить A , умножив обе части выражения на .



Таким образом, мы получили формулу площади треугольника. Этот вывод, хотя и не показан в полной математической строгости, дает правильную формулу площади для всех треугольников, а не только для показанного выше.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *