Сложные задачи на проценты как решать: Урок 84. сложные задачи на проценты — Математика — 6 класс

Содержание

Сложные задачи на проценты — Сайт учителя математики Кобец Анны Викторовны — Сайт учителя математики Кобец Анны Викторовны

СЛОЖНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

1.* В начале года винтики, шпунтики и гаечки продавались по одинаковой цене 1 р. за 1 кг. 30 февраля Верховный Совет СССР принял закон о повышении цен на винтики на 50 % и снижению цен на шпунтики на 50 %. 31 февраля Верховный Совет РСФСР принял закон о снижении цен на винтики на 50 % и повышению цен на шпунтики на 50 %. Какой товар будет самым дорогим и какой самым дешевым в марте?

2.* 1) Число увеличили на 10 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов увеличили число за два раза?

2) Число увеличили на 10 %, результат уменьшили на 10 %. Какое получилось число — большее или меньшее первоначального? На сколько процентов?

3. * Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10 % за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

4.* Женя за весну похудел на 20 %, потом поправился за лето на 30 %, за осень опять похудел на 20 % и за зиму прибавил в весе 10 %. Остался ли за этот год его вес прежним?

5.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь? Зависит ли результат от того, какую пару сторон увеличили на 10 %?

6.* Все стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?

7.* Каждую сторону квадрата увеличили на 20 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?

8.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие — уменьшили на 20 %. Как изменилась площадь прямоугольника?

9.* Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие — уменьшили на 10 %. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

10.* Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

11.* Магазин продал на прошлой неделе некоторый товар. На этой неделе запланировано продать того же товара на 10 % меньше, но по цене на 10 % больше. Большую или меньшую сумму выручит магазин от продажи товара на этой неделе и на сколько процентов?

12.* На некотором участке пути машинист уменьшил скорость поезда на 25 %. На сколько процентов увеличится время движения на этом участке?

13.* Арбуз массой 20 кг содержал 99 % воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98 %. Какова теперь масса арбуза?

14.* Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вырубить леспромхоз?

15.* а) Яблоки, содержащие 70 % воды, потеряли при сушке 60 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?

б) Груши, содержащие 65 % воды, потеряли при сушке 50 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные груши?

16.* а) Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15 % соли, чтобы получить 10%-й раствор соли?

б) Сколько граммов воды нужно добавить к 120 г раствора, содержащего 30 % сахара, чтобы получить раствор, содержащий 20 % сахара?

17. * На коробке вермишели написано: «Масса нетто 500 г при влажности 13 %». Какова масса вермишели, если она хранится при влажности 25 %?

18.* Для получения томат-пасты протертую массу томатов выпаривают в специальных машинах. Сколько томат-пасты, содержащей 30 % воды, получится из 28 т протертой массы томатов, содержащей 95 % воды?

19.* Из 40 т руды выплавили 20 т металла, содержащего 6 % примесей. Сколько процентов примесей в руде?

20.* Свежие фрукты содержат 72 % воды, а сухие — 20 %. Сколько сухих фруктов получится из
40 кг свежих?

21.* До сушки влажность зерна составляла 23 %, а после сушки составила 12 %. Сколько процентов массы теряет зерно при сушке?

22.* В драмкружке число мальчиков составляет 80 % от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков в этом кружке?

23. С 1 октября 1993 г. за хранение денег на срочном депозите в течение года Сбербанк выплачивал доход из расчета 150 % от вложенной суммы; в течение полугода — 130 % годовых, в течение трех месяцев — 120 % годовых. Каким образом за год на условиях Сбербанка можно было получить наибольший доход на 100 000 р.? Каков этот наибольший доход?

24.* Компания X выплачивает доход по своим акциям ежегодно из расчета 140 % годовых. Компания Y выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?

25.* Производительность труда повысили на 25 %. На сколько процентов уменьшится время выполнения задания.

26.* Если при повышении производительности труда рабочего на 10 % повысить его зарплату на 6,7 %, то это позволит снизить расход на оплату труда в расчете на единицу продукции на 3 %. Проверьте это.

27.* Рабочий повысил производительность труда на 15 %, а его зарплата увеличилась на 10,4 %. На сколько процентов уменьшился расход на оплату труда в расчете на единицу продукции?

28.* Купили конфеты и печенье. За 1 кг конфет заплатили на 50 % больше, чем за 1 кг печенья, но их купили на 50 % меньше, чем печенья. За что заплатили больше?

29.* Кусок сплава весом 700 г, содержащий 80 % олова, сплавили с куском олова весом 300 г. Определите процентное содержание олова в полученном сплаве.

30.* Имеется 500 г 40 %-го раствора кислоты. Сколько воды требуется добавить, чтобы получить 25 %-й раствор кислоты?

31.* В первый день рабочий перевыполнил дневное задание на 2 %, во второй день он перевыполнил дневное задание на 4 %. На сколько процентов рабочий перевыполнил задание двух дней?

32.* В автоинспекции города N подсчитали, что число легковых автомобилей увеличивалось в последние годы на 15 % ежегодно. Во сколько раз увеличится число легковых автомобилей за пять лет, если эта тенденция сохранится?

33.* Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20 % дохода. За сколько лет вложенная сумма удвоится?

34.* В спортивной секции девочки составляют 60 % числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки?

35. В некотором царстве, в некотором государстве пятиклас­сники стали изучать математику не 6, а 5 уроков в неделю. Кроме того, урок у них стал длиться не 45, а 40 минут. Сколько процентов учебного времени потеряли пятиклассники? Ответ округлите до десятых.

36.* а) Торговец продал книгу со скидкой 5 % от назначенной цены и получил 14 % прибыли. Сколько процентов прибыли планировал получить торговец при продаже книги?

       б) Торговец продал товар, имевший небольшой дефект, уступив покупателю 30 % от назначенной цены. При этом он имел 16 % убытка. Какой процент прибыли планировал получить торговец при продаже товара?

Литература: Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике в 5-6 классах

Решение более сложных задач на проценты. на Сёзнайке.ру

В курсе 7-11 класса практически отсутствуют задачи на проценты. Так как эти задачи можно решать с помощью уравнений и систем уравнений, то их необходимо включать в курс алгебры при изучении данных тем.

 

Задача 1. (решаемая с помощью уравнения, сводимого к линейному)

В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?

 

Решение:

Пусть x г весь первоначальный раствор, тогда

0.4x г – соли в первоначальном растворе,

(x + 120) г – стало раствора,

(0,4x + 120) г – стало соли в растворе, которая теперь составляет 70% раствора, т. е. 0,7 от всего раствора, составляем уравнение:

0,4x +120 = 0,7(x + 120), решив которое получим

x = 120

120 · 0,4 = 48 (г)

Ответ: 48 г.

 

 

Задача 2. (решаемая с помощью уравнения, сводимого к квадратному)

В сплаве золота с серебром содержится 80 г золота. К сплаву добавили 100 г чистого золота. Содержание золота в сплаве повысилось на 20%. Сколько серебра было в сплаве?

 

Решение:

 




Было:

Стало:

серебро

золото

серебро

золото

x г

80 г

x г

180 г

 

Пусть x г – серебра в сплаве, тогда

(x + 80) г – масса первоначального сплава,

(x + 180) г – масса нового сплава,

80/(x+80) г – часть золота в первом сплаве,

180/(x+180) г – часть золота во втором сплаве,

Т. к. содержание золота повысилось на 20% (т.е. на 1/5), составляем уравнение:

180/(x+180)-80/(x+80)=1/5

решая которое получим

x- 240x + 14400 = 0

(x – 120) = 0

x = 120

Ответ: 120 г.

 

Задача 3. (решаемая с помощью системы уравнений)

Вычислите массу и пробу сплава серебра с медью, зная, что сплавив его с 3 кг чистого серебра, получим сплав 900-й пробы (т.е. в сплаве 90% серебра), а сплавив с 2 кг сплава 900-й пробы, получим сплав 840-й пробы.

 

Решение:

Пусть x кг – масса сплава, y% — серебра в сплаве, тогда

(y : 100) · x = 0,01xy (кг) – серебра в сплаве,

(x + 3) кг – нового первого сплава,

(0,01xy + 3) кг – серебра в новом первом сплаве.

Т.к. серебра в новом первом сплаве 90%, составляем уравнение:

0,01xy + 3 = 0,9(x + 3).

(x + 2) кг – масса второго сплава,

2 кг сплава 900-й пробы будут содержать 0,9 · 2 = 1,8 (кг) серебра, тогда

(0,01xy + 1,8) кг – масса серебра во втором сплаве.

Т.к. серебра во втором сплаве 84%, составляем уравнение:

0,01xy + 1,8 = 0,84(x + 2).

Получаем систему уравнений:

0,01xy + 3 = 0,9(x + 3)                    x = 3

0,01xy + 1,8 = 0,84(x + 2)               y = 80

 

Ответ: 3 кг 800-ой пробы

 

Задача 4. (решаемая с помощью системы уравнений)

Фабрика должна была сшить 360 костюмов. В первые 8 дней она перевыполняла план на 20%, а в остальные на 25%. Сколько дней работала фабрика, если всего сшито 442 костюма?

 

Решение:

Пусть x костюмов должна была сшить фабрика за один день,

y дней должна была работать.

Т.к. всего должно было быть сшито 360 костюмов, составляем уравнение:

xy = 360.

1,2x · 8 костюмов сшили за первые 8 дней,

1,25x(y — 8) костюмов сшили за остальные дни.

Т.к. всего сшито 442 костюма, составляем уравнение:

1,2x · 8 +  1,25x(y — 8) = 442.

Получаем систему уравнений:

xy = 360                                           x = 20

1,2x · 8  +  1,25x(y — 8) = 442            y = 18

Ответ: 18 дней

 

Задача 5. (решаемая с помощью алгебраических выражений)

Процесс очищения воды в водохранилище от содержания в ней тяжелых металлов состоит из четырех этапов. На каждом этапе содержание уменьшается на определенное количество процентов к их количеству на предыдущем этапе:

на 1-ом – на 25%

на 2-ом – на 20%

на 3-ем – на 15%

на 4-ом – на 10%

На сколько процентов в результате уменьшается их количество?

 

Решение:

Пусть x – количество воды, тогда оставшееся количество тяжелых металлов после очистки:

На 1-ом этапе – 0,75x

На 2-ом этапе – 0,8 · (0,75x) = 0,6x

На 3-ем этапе – 0,85 · (0,6x) = 0,51x

На 4-ом этапе – 0,9 · (0,51x) = 0,459x.

Таким образом всего ушло x — 0,459x = 0,541x, т.е. 54,1% тяжелых металлов.

Ответ: 54,1%

 

 

Задача 6. (решаемая комбинированным способом)

В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?

 

 

Решение:

Пусть x – месячный план, тогда

1,05x – выпущено в январе,

1,04 · (1,05x) = 1,092x – выпущено в феврале, а всего за два месяца выпущено

1,05x + 1,092x = 2,142x.

Таким образом двухмесячный план 2x, а фактически выполнено 2,142x, т.е.

2x – 100%

2,142x – y%

 

y = (2,142x · 100) : (2x) = 107,1%, т.е. план перевыполнен на 7,1%.

 

Ответ: 7,1%

 

 

 

Задача 7. (решаемая логическими рассуждениями)

В одном из городов Украины часть жителей говорит только по-русски, часть только по-украински, часть говорит и по-русски и по-украински. Известно, что 90% жителей говорит по-русски, а 80% по-украински. Какой процент жителей этого города говорит на обоих языках?

 

Решение:

На каждых 100 жителей – 90 говорит по-русски, значит, 10 не говорит по-русски, т.е. 10 говорит только по-украински. Известно, что из каждых 100 жителей говорит по-украински 80 человек, из них, как мы выяснили, 10 человек говорит только по-украински, следовательно из этих 80 знают еще и русский 80 – 10 = 70 человек, т.е. 70%

 

Ответ: 70%

Сложные проценты на примерах

Задачи на сложные проценты решаются в достаточно быстрый способ при знании нескольких простых формул. Часть из них касается начислений по вкладу или кредиту, когда те осуществляются через определенные промежутки времени . Также сложные проценты используют в задачах химии, медицины и ряде других сфер.

ФОРМУЛЫ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

В случае размещения вкладов с капитализацией процентов на годы конечная сумма депозита определяется формулой
Здесь P – первоначальный взнос, r – процентная ставка, n – количество лет. По сложным процентам работают банки, инвестиционные фонды, страховые компании. Распространенные за рубежом, а теперь и в Украине — пенсионные фонды и фонды страхования жизни работают по схеме сложных процентов.
При размещении вкладов с капитализацией процентов ежеквартально формула сложных процентов будет выглядеть
где q – количество полных кварталов.
При капитализации процентов ежемесячно применяют следующую формулу для вычислений
где s – количество месяцев существования соглашения.
Последний случай, непрерывное начисление процентов, когда сложные проценты начисляются ежедневно, рассчитывают по формуле
где m – количество дней.
Страхование жизни и откладывания пенсий исчисляют сложными формулами, кроме начисления сложных процентов ежегодно осуществляются необходимые взносы.
Рассмотрим два случая накопления. Мужчина откладывает 5000 грн. в течение 20 лет. За это время он отложит
20*5000=100000 (грн).
При откладывании в накопительные фонды с годовой ставкой 13%, за первый год сумма возрастет до
5000*(1+13/100)=5650 (грн).
В следующем году человек в данной суммы добавляет еще 5000 грн. В результате, за второй год сумма увеличится
(5650+5000)*(1+0,13)=12034. 50 (грн) .
Продолжая подобные вычисления, в конце срока получим сумму размером 457349,58 грн.
Поверьте — ошибок при исчислении форуме, большое значение набегает за счет сложных процентов. Сомнительным остается только история изменения платежеспособности гривны через 20 лет. Учитывая политику государства вкладывать деньги в такие фонды люди не спешат, однако за рубежом практика откладывания денег распространена, правда процентные ставки намного ниже.

Рассмотрим распространенные задачи на сложные проценты.

Пример 1. Вкладчик положил на депозит $ 3000 под 9% годовых на 10 лет. Какая сумма аккумулируется конце 10-го года при годовой капитализации? На сколько вырастет сумма по сравнению с первоначальным взносом?

Решение: Применяем формулу сложных процентов для нахождения суммы в конце срока

Чтобы ответить на второй вопрос, от значения 7102,09 вычитаем сумму вклада.

Разница составляет 4102 доллара.

 

Пример 2. Инвестор вложил 7000 грн под 10% годовых при условии начисления сложных процентов ежеквартально. Какую сумму он получит через 8 лет?

Решение: Применяем 2 формулу сложных процентов. Находим количество кварталов
8*4=32.
и подставляем в формулу

Школьные задачи на сложные проценты

Например, возьмем задачи из учебника для 9 класса авторов А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Аглгебра». (Номер в скобках)

Задача 1. (556) Костюм стоил 600 грн. После того как цена была снижена дважды, он стал стоить 432 грн., Причем процент снижения второй был в 2 раза больше, чем в первый раз. На сколько процентов каждый раз снижалась цена?

Решение: Для упрощения вычислений обозначим
X – первая скидка;
X/2 – вторая скидка.
Для вычисления неизвестной X составляем уравнение

Упрощаем, и сводим к квадратному уравнению

и решаем

Первый решение не имеет физического смысла, второй учитываем при вычислениях. Значение 0,2 соответствует снижению на 0,2*100%=20% после первой скидки, и X/2 =10% после второй скидки.

 

Задача 2. (557) Определенный товар стоил 200 грн. Сначала его цену повысили на несколько процентов, а затем снизили на столько же процентов, после чего стоимость его стала 192 грн. На сколько процентов каждый раз происходила смена цены товара?

Решение: Поскольку проценты одинаковы, то обозначаем изменении цены товара через X.
На основе условия задачи получим уравнение

Его упрощение приведет к решению уравнения

откуда корни приобретут значений

Первая значение отвергаем, оно меняет суть задачи (сначала имеем снижение, а затем рост процентов, противоречит условию). Второе при пересчете составит 0,2*100%=20% процентов.

 

Задача 3. (558) Вкладчик положил в банк 4000 грн. За первый год ему начислена определенный процент годовых, а второго года банковский процент увеличен на 4%. На конец второго года на счете стало 4664 грн. Сколько процентов составила банковская ставка в первый год?

Решение: Обозначим через X – увеличение вклада в первый год, тогда
X+4/100%=X+0,04
начисления во второй год.
По условию задачи составляем уравнение для определения неизвестной X

После упрощений получим квадратное уравнение вида

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения

Первый корень отбрасываем, второй соответствует ставке в 6% годовых.

 

Задача 4. (564) В сосуде 12 кг кислоты. Часть кислоты отлили и долили до прежнего уровня водой. Затем снова отлили столько же, как и в первый раз, и долили водой до прежнего уровня. Сколько литров жидкости отливали каждый раз, если в результате получили 25-процентный раствор кислоты?

Решение: Обозначим через X – часть кислоты, которую отливали.
После первого раза ее осталось 12-X, а процентное содержание кислоты

После второй попытки содержание кислоты в сосуде составило
.
Разведя водой до 12 кг, процентное содержание составляло 25%. Составляем уравнение

Упрощаем проценты и избавляемся знаменателей

Решаем квадратное уравнение

Условии задачи удовлетворяет второе решение, а это значит, что каждый раз отливали 6 кг жидкости.

На этом знакомство со сложными процентами завершается. На практике Вам встретятся как простые так и сложные задачи. При проблемах с вычисления сложных процентов обращайтесь к нам, мы поможем Вам в решении задач.

Задачи на «сложные» проценты









1
Собрали 100 кг винограда. После сортировки 30% ягод были отсеяны, а остальные отправлены в магазин для продажи. В магазине 10% ягод испортилось, поэтому они не поступили в продажу. Сколько килограммов винограда поступило в продажу?

2
Число 17,28 трижды увеличивали, а затем трижды уменьшали на одно и то же число процентов. Получили 7,29. Чему равно это число процентов?

3
После двух последовательных повышений зарплата выросла на 56%. На сколько процентов повысили зарплату в первый раз, если второе повышение в процентном отношении было в полтора раза больше первого?

4
В некотором регионе в течение двух лет наблюдался рост рождаемости: в первом году рост рождаемости составил р%, а во втором году — увеличился на единицу по сравнению с процентом роста рождаемости в первом году. Найти процент роста рождаемости в регионе за первый год, если известно, что он на 5,2 меньше, чем процент роста рождаемости за два года.


Рождаемость выросла на 4%.

5
В течение года яблоки подешевели на 40%, а зарплата дважды увеличивалась на 20%. На сколько процентов больше можно купить яблок после снижения цены и повышения зарплаты? А во сколько раз?


На 140% больше яблок, что в 2,4 раза больше первоначального значения

6
В первый год работы завода было выпущено 100 станков типа А. В течение нескольких последующих лет годовой объем производства станков этого типа увеличивался на 25% по сравнению с каждым предыдущим годом, затем на протяжении последующих трех лет поддерживался на достигнутом уровне, после чего станки типа А были сняты с производства. Общее количество выпущенных станков типа А за все время составило 850 штук. Сколько лет завод выпускал станки типа А?


Завод выпускал станки типа А в течение 6 лет.

7
Курс рубля по отношению к доллару падает на 2847% в квартал. Вкладчик разделил имеющуюся у него сумму в долларах на две равные части и одну половину разместил в банке «А» на депозите с начислением 60% годовых, а вторую половину конвертировал в рубли и разместил в банке «Б» на депозите с начислением 510% годовых. В каком из банков через год сумма денег в пересчете на рубли окажется больше?


Через год сумма денег в пересчете на рубли окажется больше в банке «А», чем в банке «Б».

8
Курс рубля в течение двух месяцев уменьшался каждый месяц на одно и то же, не превышающее 22, число процентов. В начале первого месяца гражданин А имел некоторую сумму в долларах, которую он тогда же конвертировал в рубли. Двое других граждан (В и С), имея каждый рублевые суммы в 6,25 раза большие, чем та, которую получил гражданин А от совершенно им валютной операции, конвертировали их в доллары: один — в конце первого месяца, другой — в конце второго. При этом у одного из них оказалось долларов больше ровно на столько, сколько гражданин А имел в начале первого месяца. На сколько процентов за два месяца уменьшился курс рубля?

Занятия 1 4. Что мы знаем о процентах? Три основные задачи на проценты. Занимательные задачи на проценты.

Задачи по теме «Проценты»

Задачи по теме «Проценты» Что такое процент? — это одна сотая часть от числа. Процент записывается с помощью знака %. Проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить

Подробнее

Проценты в нашей жизни

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ «ШКОЛА 2048» Проценты в нашей жизни Даниэль Айратович Мустафин, ученик 6 «е» класса Научный

Подробнее

Задчи на проценты % 250 х%

Задчи на проценты Процентом (%) числа а называется его сотая часть. Следовательно, само число составляет 100 процентов. При решении задач на проценты некоторая величина b принимается за 100%, а ее часть

Подробнее

Проценты. План работы:

Белоусов Андрей. . 6 класс, МБОУ гимназия 11 Королев, Россия Проценты План работы: 1.История возникновения процентов. 2. Правило, объяснение решения задач с процентами. 3. Закрепление материала, решение

Подробнее

Процентные расчеты на каждый день

Краевой конкурс учебно-исследовательских и проектных работ учащихся «Прикладные вопросы математики» Теория вероятности Процентные расчеты на каждый день Кравцов Максим Олегович, МОУ «Лицей 9» г. Пермь,

Подробнее

М 6 Вводное тестирование. I вариант

М 6 Вводное тестирование. I вариант Часть А 1. Найдите значение выражения: 12,4 9,36. А. 2,14 Б. 3,04 В. 3,14 Г. 2,04 2. Вычислите: 41,5 + 2,26. А. 6,31 Б. 6,21 В. 43,7 Г. 4,37 3. Найдите частное : 53,4

Подробнее

г. Малоярославец 2015 г.

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 4», г. Малоярославец Малоярославецкого района Калужской области «Задачи с экономическим содержанием» Выполнила ученица 5

Подробнее

б) 5837 г) свой ответ. 45

Содержание: 1. Сложение и вычитание натуральных чисел. Сравнение натуральных чисел. 2. Числовые и буквенные выражения. Уравнение. 3. Умножение натуральных чисел. 4. Деление натуральных чисел.. Обыкновенные

Подробнее

Предлагаются задания в 20 вариантах.

Годовая контрольная работа по математике в 6-х классах для тех, кто обучается по ученику авторов: С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. Предлагаются задания в 20 вариантах. Каждый вариант

Подробнее

21. Текстовые задачи

21. Текстовые задачи 1. Сколькими нулями заканчивается число, полученное от умножения всех натуральных чисел от 1 до 100? 2. Доказать, что при делении двух целых чисел на их разность получаются равные

Подробнее

Вариант 1. Вариант 2.

Вариант 1. Вариант 2. 1. Скорый поезд за час проходит 60км, а пассажирский 40км. Определить расстояние между двумя городами, если известно, что скорый поезд проходит это расстояние на 2ч 15мин быстрее

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ Учебно-методическое пособие для школьников К. Л. Самаров, 2010 ООО «Резольвента», 2010 числа? Определение

Подробнее

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования «Тульский государственный университет» КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

Математика 6. 1 задание 2 задания

Математика 6. Контрольная работа 1 Вариант 1 Оценка «зачет» «4» «5» Обязательная 5 заданий 5 заданий 6 заданий Дополнительная 1 задание 2 задания Обязательная 1 о. Вычислите: 3/8 * 2/5 : 3/16 2 о. В школу

Подробнее

Математика 6 класс Учебник: «Математика», 6 класс. Авторы: Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд, Москва, «Мнемозина» Пояснительная записка

Математика 6 класс Учебник: «Математика», 6 класс. Авторы: Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд, Москва, «Мнемозина» Пояснительная записка Учащиеся должны знать Делимость натуральных чисел.

Подробнее

Решение текстовых задач (проценты)

Краевой конкурс творческих работ учащихся «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Решение текстовых задач (проценты) Шанев Евгений Витальевич, 8 кл.,

Подробнее

ID_1082 1/6 neznaika.pro

1 Простейшие текстовые задачи Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Стоимость

Подробнее

Решать задачи становится интереснее

Светлана Станиславовна Минаева Решать задачи становится интереснее Газета «Математика», 21, 2007, ИД «Первое сентября» (продолжение, начало 8, с. -16 и 19, с.29-31, 2007) Продолжим примеры задач, при решении

Подробнее

«Проценты и семейный бюджет»

Научно-исследовательская работа Тема работы: «Проценты и семейный бюджет» Выполнила: Артамонова Валерия Алексеевна, учащаяся 8 класса МБОУ «Аннинская СОШ с УИОП». Руководитель: Авдеева Ольга Анатольевна,

Подробнее

Проценты в нашей жизни

Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Методические аспекты изучения математики Проценты в нашей

Подробнее

Математика 3 класс Рабочая программа

Математика 3 класс Рабочая программа 1.Пояснительная записка Программа разработана на основе федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования, основной образовательной

Подробнее

Задание 17 Практические задачи

Задание 17 Практические задачи 1. Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов

Подробнее

Справка В1. Проценты. 1% — это есть одна сотая часть чего-либо, то есть 1% = 0,01 =. Соответственно, 2% = 0,02 =, 5% = 0,05 =, 10% = 0,10 = 0,1 = =.

1. Нахождение процента ОТ числа Справка В1 Проценты 1% — это есть одна сотая часть чего-либо, то есть 1% = 0,01 =. Соответственно, 2% = 0,02 =, 5% = 0,05 =, 10% = 0,10 = 0,1 = =. Найдем, например, 25%

Подробнее

Технология и практика обучения

Технология и практика обучения Л.И. Лапушкина, доцент кафедры прикладной математики СТАНКИНа. К.Н. Лунгу, профессор кафедры дифференциальных уравнений МГОУ ПРЕЕМСТВЕННОСТЬ В ОБУЧЕНИИ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ

Подробнее

ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ В. С. Крамор ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ ШКОЛЬНЫ ОНИКС Москва Мир и Образование УДК 512(075.3) ББК 22.14я75 К78 К78 Крамор В. С.

Подробнее

Калькулятор онлайн — Калькулятор процентов. Сложные проценты. Депозитный калькулятор


Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.

Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Понятие о проценте

Проценты — одно из понятий прикладной математики, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, часто можно
прочитать или услышать, что, например, в выборах приняли участие 56,3% избирателей, рейтинг победителя конкурса равен 74%,
промышленное производство увеличилось на 3,2%, банк начисляет 8% годовых, молоко содержит 1,5% жира, ткань содержит 100% хлопка
и т.д. Ясно, что понимание такой информации необходимо в современном обществе.

Одним процентом от любой величины — денежной суммы, числа учащихся школы и т.д. — называется одна сотая ее часть. Обозначается
процент знаком %, Таким образом,

1% — это 0,01, или \( \frac{1}{100} \) часть величины

Приведем примеры:

— 1% от минимальной заработной платы 2300 р. (сентябрь 2007 г.) — это 2300/100 = 23 рубля;

— 1% от населения России, равного примерно 145 млн. человек (2007 г.), — это 1,45 млн. человек;

— 3%-я концентрация раствора соли — это 3 г соли в 100 г раствора (напомним, что концентрация раствора — это часть, которую
составляет масса растворенного вещества от массы всего раствора).

Понятно, что вся рассматриваемая величина составляет 100 сотых, или 100% от самой себя. Поэтому, например, надпись на этикетке
«хлопок 100%» означает, что ткань состоит из чистого хлопка, а стопроцентная успеваемость означает, что в классе нет неуспевающих
учеников.

Слово «процент» происходит от латинского pro centum, означающего «от сотни» или «на 100». Это словосочетание можно встретить и в
современной речи. Например, говорят: «Из каждых 100 участников лотереи 7 участников получили призы». Если понимать это выражение
буквально, то это утверждение, разумеется, неверно: ясно, что можно выбрать 100 человек, участвующих в лотерее и не получивших
призы. В действительности точный смысл этого выражения состоит в том, что призы получили 7% участников лотереи, и именно такое
понимание соответствует происхождению слова «процент»: 7% — это 7 из 100, 7 человек из 100 человек.

Знак «%» получил распространение в конце XVII века. В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой
арифметике» Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращенно от cento). Однако
наборщик принял это «с/о» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки этот знак вошел в обиход.

Любое число процентов можно записать в виде десятичной дроби, выражающей часть величины.

Чтобы выразить проценты числом, нужно количество процентов разделить на 100. Например:


\( 58\% = \frac{58}{100} = 0,58; \;\;\; 4,5\% = \frac{4,5}{100} = 0,045; \;\;\; 200\% = \frac{200}{100} = 2 \)

Для обратного перехода выполняется обратное действие. Таким образом, чтобы выразить число в процентах, надо его умножить
на 100:


\( 0,58 = (0,58 \cdot 100)\% = 58\% \)

\( 0,045 = (0,045 \cdot 100)\% = 4,5\% \)

В практической жизни полезно понимать связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями: половина — 50%,
четверть — 25%, три четверти — 75%, пятая часть — 20%, три пятых — 60% и т.д.

Полезно также понимать разные формы выражения одного и того же изменения величины, сформулированные без процентов и с помощью
процентов. Например, в сообщениях «Минимальная заработная плата повышена с февраля на 50%» и «Минимальная заработная плата повышена
с февраля в 1,5 раз» говорится об одном и том же.
Точно так же увеличить в 2 раза — это значит увеличить на 100%, увеличить в 3 раза — это значит увеличить на 200%, уменьшить
в 2 раза — это значит уменьшить на 50%.

Аналогично

— увеличить на 300% — это значит увеличить в 4 раза,

— уменьшить на 80% — это значит уменьшить в 5 раз.

Задачи на проценты

Поскольку проценты можно выразить дробями, то задачи на проценты являются, по существу, теми же задачами на дроби.
В простейших задачах на проценты некоторая величина а принимается за 100% («целое»), а ее часть b выражается числом p%.

В зависимости от того, что неизвестно — а, b или р, выделяются три типа задач на проценты. Эти задачи решаются так же, как и
соответствующие задачи на дроби, но перед их решением число р% выражается дробью.

1. Нахождение процента от числа.

Чтобы найти \( \frac{p}{100} \) от a, надо a умножить на \( \frac{p}{100} \):


\( b = a \cdot \frac{p}{100} \)

Итак, чтобы найти р% от числа, надо это число умножить на дробь \( \frac{p}{100} \). Например, 20% от 45 кг равны 45 • 0,2 = 9 кг,
а 118% от х равны 1,18x

2. Нахождение числа по его проценту.

Чтобы найти число по его части b, выраженной дробью \( \frac{p}{100} , \; (p \neq 0) \), надо b разделить на \( \frac{p}{100} \):

\( a = b : \frac{p}{100} \)



Таким образом, чтобы найти число по его части, составляющей р% этого числа, надо эту часть разделить на \( \frac{p}{100} \).
Например, если 8% длины отрезка составляют 2,4 см, то длина всего отрезка равна 2,4:0,08 = 240:8 = 30 см.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.

Чтобы найти, сколько процентов число b составляет от а \( (a \neq 0) \), надо сначала узнать, какую часть b составляет от а, а
затем эту часть выразить в процентах:


\( p = \frac{b}{a} \cdot 100\% \)


Значит, чтобы узнать, сколько процентов первое число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат
умножить на 100.


Например, 9 г соли в растворе массой 180 г составляют \( \frac{9 \cdot 100}{180} = 5\% \) раствора.

Частное двух чисел, выраженное в процентах, называется процентным отношением этих чисел. Поэтому последнее правило
называют правилом нахождения процентного отношения двух чисел.

Нетрудно заметить, что формулы


\( b = a \cdot \frac{p}{100}, \;\; a = b : \frac{p}{100}, \;\; p = \frac{b}{a} \cdot 100\% \;\; (a,b,p \neq 0 ) \)


взаимосвязаны, а именно, две последние формулы получаются из первой, если выразить из нее значения a и p. Поэтому первую формулу
считают основной и называют формулой процентов. Формула процентов объединяет все три типа задач на дроби, и, при желании,
можно ею пользоваться, чтобы найти любую из неизвестных величин a, b и p.

Составные задачи на проценты решаются аналогично задачам на дроби.

Простой процентный рост

Когда человек не вносит своевременную плату за квартиру, на него налагается штраф, который называется «пеня» (от латинского роеnа
— наказание). Так, если пеня составляет 0,1% от суммы квартплаты за каждый день просрочки, то, например, за 19 дней просрочки сумма
составит 1,9% от суммы квартплаты. Поэтому вместе, скажем, с 1000 р. квартплаты человек должен будет внести пеню 1000 • 0,019 = 19 р.,
а всего 1019 р.

Ясно, что в разных городах и у разных людей квартплата, размер пени и время просрочки разные. Поэтому имеет смысл составить общую
формулу квартплаты для неаккуратных плательщиков, применимую при любых обстоятельствах.

Пусть S — ежемесячная квартплата, пеня составляет р% квартплаты за каждый день просрочки, а n — число просроченных дней. Сумму,
которую должен заплатить человек после n дней просрочки, обозначим Sn.


Тогда за n дней просрочки пеня составит рn% от S, или \( \frac{pn}{100}S \), а всего придется заплатить
\( S + \frac{pn}{100}S = \left( 1+ \frac{pn}{100} \right) S \)

Таким образом:

\( S_n = \left( 1+ \frac{pn}{100} \right) S \)

Эта формула описывает многие конкретные ситуации и имеет специальное название: формула простого процентного роста.

Аналогичная формула получится, если некоторая величина уменьшается за данный период времени на определенное число процентов.
Как и выше, нетрудно убедиться, что в этом случае

\( S_n = \left( 1- \frac{pn}{100} \right) S \)

Эта формула также называется формулой простого процентного роста, хотя заданная величина в действительности убывает.
Рост в этом случае «отрицательный».

Сложный процентный рост

В банках России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять раньше, чем через определенный
договором срок, например, через год) принята следующая система выплаты доходов: за первый год нахождения внесенной суммы на счете
доход составляет, например, 10% от нее. В конце года вкладчик может забрать из банка вложенные деньги и заработанный доход -
«проценты», как его обычно называют.

Если же вкладчик этого не сделал, то проценты присоединяются к начальному вкладу (капитализируются), и поэтому в конце следующего
года 10% начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Иначе говоря, при такой системе начисляются «проценты на проценты»,
или, как их обычно называют, сложные проценты.

Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик через 3 года, если он положил на срочный счет в банк 1000 р. и ни разу в течение трех
лет не будет брать деньги со счета.

10% от 1000 р. составляют 0,1 • 1000 = 100 р., следовательно, через год на его счете будет

1000 + 100 = 1100 (р.)

10% от новой суммы 1100 р. составляют 0,1 • 1100 = 110 р., следовательно, через 2 года на его счете будет

1100 + 110 = 1210 (р.)

10% от новой суммы 1210 р. составляют 0,1 • 1210 = 121 р., следовательно, через 3 года на его счете будет

1210 + 121 = 1331 (р.)

Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, «лобовом» подсчете понадобилось бы времени для нахождения суммы
вклада через 20 лет. Между тем подсчет можно вести значительно проще.

А именно, через год начальная сумма увеличится на 10%, то есть составит 110% от начальной, или, другими словами, увеличится в 1,1
раза. В следующем году новая, уже увеличенная сумма тоже увеличится на те же 10%. Следовательно, через 2 года начальная сумма
увеличится в 1,1 • 1,1 = 1,12 раз.

Еще через один год и эта сумма увеличится в 1,1 раза, так что начальная сумма увеличится в 1,1 • 1,12 = 1,13
раз. При таком способе рассуждений получаем решение нашей задачи значительно более простое:
1,13 • 1000 = 1,331 • 1000 — 1331 (р.)

Решим теперь эту задачу в общем виде. Пусть банк начисляет доход в размере р% годовых, внесенная сумма равна S р., а сумма,
которая будет на счете через n лет, равна Sn р.

Величина p% от S составляет \( \frac{p}{100}S \) р., и через год на счете окажется сумма

\( S_1 = S+ \frac{p}{100}S = \left( 1+ \frac{p}{100} \right)S \)

то есть начальная сумма увеличится в \( 1+ \frac{p}{100} \) раз.

За следующий год сумма S1 увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счете будет сумма

\( S_2 = \left( 1+ \frac{p}{100} \right)S_1 = \left( 1+ \frac{p}{100} \right) \left( 1+ \frac{p}{100} \right)S = \left( 1+ \frac{p}{100} \right)^2 S \)

Аналогично \( S_3 = \left( 1+ \frac{p}{100} \right)^3 S \) и т.n S \)

Эту формулу называют формулой сложного процентного роста, или просто формулой сложных процентов.

Более сложные задачи на проценты

 

Задачи на смеси, сплавы, растворы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 1.

  Морская вода содержит 4% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 50 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1%?
Решение.

    1. Найдем массу соли содержащейся в 50 кг морской воды:

                                50 · 0,04 = 2 (кг)

    2. Найдем количество раствора в котором 2 кг соли будут с

                       

                        Масса          Процент                              

                          2 кг              1%

                           х кг             100%

     3. Найдем количество пресной воды:

                         200 — 50 = 150 (кг)

                                                  Ответ: необходимо добавить 150 кг пресной воды.

 

Пример 2.

     Смешали 20%-ный раствор соляной кислоты с 5%-ным и получили 600 г 10%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

  Решение.

  В условии задачи фигурирует три раствора (раствор — смесь, состоящая из частиц растворённого вещества и растворителя). В нашем случае растворенное вещество это кислота, а растворитель — вода. 

  Пусть было х г  20%-го раствора (1-й раствор), тогда 5%-го раствора(2-й раствор) было (600-х) кг, а 10%-го(3-й раствор) по условию задачи — 600 г. Найдем массу кислоты в каждом из этих растворов.

1-й раствор :   0,2х г

2-й раствор :  0,05(600-х) г

3-й раствор :   60 г

  Т.к. масса 3-го раствора равна сумме масс 1-го раствора и 2-го, то можно составитть уравнение                                 

0.2x + 0.05(600 — x) = 60
0.2x + 30 — 0.05x = 60

0.15x +30= 60
0.15x = 30
x = 200 (г)

  Тогда масса второго раствора:

   600 — 200 = 400(г)

                                                  Ответ: смешали 200 г 20% и 400 г 5% растворов соляной кислоты.

Пример 3.

  Сколько килограммов олова нужно добавить к куску бронзы массой 3 кг и содержащему 15% олова, чтобы повысить содержание в нем олова до 25% от общей массы?

  Решение.

  1. Найдем массу олова в первом сплаве.

          3· 0,15=0,45 (кг).

  2. Пусть х кг олова надо добавить к первому сплаву, чтобы получить сплав с 25% -м содержанием олова, тогда масса олова в новом сплаве 0,45+х кг, а масса сплава будет равна 3+х кг.       3. Составим пропорцию.

 0,45+х кг   —  25%

 3+х кг     —  100%

(0,45+х)· 100=(3+х)· 25

45+100х=75+25х

75х=30

х=0,4 (кг)

                                                     Ответ: 0,4 кг олова надо добавить.

Пример 4.

Сплав меди и олова массой 10 кг содержит 70% олова. К этому сплаву добавили 8 кг меди. Сколько нужно добавить килограмм олова, чтобы его концентрация в новом сплаве стала 75%?

  Решение. 

1. Найдем массу олова в первом сплаве.

    10· 0,7=7 (кг)

2. К этому сплаву добавили 8 кг меди, значит масса сплава стала равной 10+8=18 (кг).

3. Теперь найдем сколько олова надо добавит, чтобы его содержание было 75%. Пусть х кг надо добавить к сплаву, тогда масса сплава станет равной 18+х кг, а масса олова в нем 7+х кг

4.Составим пропорцию

7+х  —  75%

18+х  —  100%

(18+х)·75=(7+х)·100

18·75 +х· 75=7·100+х·100

1350+75х=700+100х

25х=650

х=26 (кг)

Ответ : 26 кг олова надо добавить

Пример 5.

Первоначально влажность зерна составляла 25%. После того как 200 кг зерна просушили, оно потеряло в массе 30 кг. Вычислить влажность просушенного зерна.

Решение.

1. Найдем сколько воды содержится в не просушенном зерне.

              200·0,25=50 (кг)

2. Масса зерна после сушки 200-30 =170 кг, а масса воды после сушки 50-30=20 кг. Составим пропрцию.

170 кг  —  100%

20 кг  —  х %

х=20·100% : 170=11,8%

Ответ : 11,8% воды

 

Рассмотрим еще один способ решения задач на смеси. Этот способ не является универсальным, но все равно может быть очень полезен.

Алгебра: проблемы с процентами

Проблемы с процентами

Есть три веские причины положить свои сбережения на банковский счет, а не прятать их в шкафу или матрасе:

  1. В банке безопаснее, и если ваши деньги украдут , обычно существуют федеральные законы, которые страхуют ваши инвестиции.
  2. Банк предоставляет вам уникальную возможность писать ручками, прикованными к столу. Несмотря на то, что ваши деньги позволяют банкам сами загребать деньги, по какой-то причине они очень непреклонны, чтобы вы случайно не взяли их ручки, каждая из которых стоит всего гроши.
  3. Вы зарабатываете проценты на свои деньги вообще без каких-либо усилий.
Talk the Talk

Сумма денег, которую вы изначально вкладываете в процентную ставку, называется основной суммой .

Интерес — это здорово. Это бесплатные деньги, которые вы зарабатываете, просто храня деньги в надежном месте. В алгебре вас могут попросить решить задачи, в которых вы вычисляете проценты, полученные от некоторых первоначальных инвестиций (которые называются основной суммой ) за некоторый промежуток времени.В частности, вас могут попросить решить два основных типа проблем с процентами: простые проценты и сложные проценты.

Простые проценты

Если ваши деньги растут в соответствии с простыми процентами, вы в основном зарабатываете небольшой процент от своих первоначальных инвестиций каждый год в виде процентов. Например, если основная сумма счета составляет 100 долларов США, а ваша годовая процентная ставка составляет 6,75%, в конце каждого года вы заработаете дополнительно 6,75 доллара США (поскольку 6,75 доллара США равны 6.75% от 100 долларов).

Вот и плохие новости: даже если ваш счет будет немного расти с каждым годом, вы не зарабатываете больше процентов! В простых задачах с процентами вы получаете проценты только на первоначальные инвестиции, независимо от того, как долго у вас был активный банковский счет или сколько процентов были начислены на эти деньги.

Формула для расчета простых процентов:

, где p — ваша основная сумма, r — годовая процентная ставка, выраженная в десятичной дроби, а i — это проценты, которые вы заработали после того, как деньги были инвестированы в т. гг.

Пример 1 : Вы были очень экономным и экономным ребенком. Вместо того, чтобы тратить деньги, которые зубная фея дала вам на молочные зубы, вы в подростковом возрасте вложили эти деньги единовременно в размере 32 долларов США на банковский счет с фиксированной годовой процентной ставкой 7,75%. Каков остаток на счете ровно 30 лет спустя?

Критическая точка

Чтобы преобразовать процент в десятичную дробь, отбросьте знак процента и умножьте его на 0,01. Например, десятичный эквивалент 6.75% равно (6,75) (0,01) = 0,0675. (И наоборот, чтобы преобразовать десятичную дробь в процент, умножьте ее на 100 и приклейте знак процента в конце. Следовательно, процентный эквивалент 0,45 будет (0,45) (100) = 45%.)

Решение : Чтобы рассчитать баланс счета, просто добавьте проценты, которые вы заработали, к основной сумме. Конечно, вам все еще нужно понять, что это за интерес. Используйте формулу i = prt , где p = 32, r = 0,0775 (десятичный эквивалент 7,75%) и t = 30.

  • i = prt
  • i = (32) (. 0775) (30)
  • i = 74,4

Вы заработали 74,40 доллара США в виде процентов за этот 30-летний период, поэтому, если вы добавите при первоначальных инвестициях ваш общий баланс составляет:

  • остаток = основная сумма + полученные проценты
  • = 32 доллара + 74,40 доллара
  • = 106,40 доллара

Сложные проценты

Большинство банков не используют простые проценты; чем больше денег вы вкладываете, тем больше денег они потенциально могут заработать, поэтому они хотят побудить вас внести как можно больше на свой счет.Один из способов сделать это — использовать сложных процентов , в которых вы зарабатываете деньги на основе вашей первоначальной основной суммы и процентов, которые вы накопили к этому моменту.

Talk the Talk

Если на ваш банковский счет начисляются сложных процентов , то вы получаете проценты на основе всего вашего баланса, а не только начальных инвестиций.

Допустим, вы вносите 100 долларов на счет, на который ежегодно начисляются проценты по ставке 6,0%. В конце первого года у вас будет баланс в размере 106 долларов, как и с простыми процентами.Однако в конце второго года вы заработаете 6,0% процентов от нового баланса в размере 106 долларов, а не только от первоначального баланса в 100 долларов.

Еще лучше то, что большинство банков не увеличивают проценты раз в год. Суммируются ли они еженедельно (52 раза в год), ежемесячно (12 раз в год) или ежеквартально (4 раза в год), может иметь большое значение для вашей чистой прибыли.

Формула расчета сложных процентов немного сложнее простых процентов; это выглядит так:

Critical Point

Чем больше будет начисляться процент на вашем счете, тем больше денег вы заработаете.Наилучшим возможным сценарием было бы непрерывное начисление процентов, которое составляет бесконечное количество раз. Подобные вещи возможны; фактически, вы научитесь делать это в предварительном исчислении.

Предостережения Келли

Обратите внимание, что формула сложных процентов дает вам общий баланс , тогда как формула простых процентов дает вам процент , только вам нужно было добавить основную сумму к процентам в примере 1, чтобы рассчитать простой процент. остаток средств.

В этой формуле p — это основная инвестиция, r — это еще раз годовая процентная ставка в десятичной форме, n — количество раз, когда проценты начисляются за один год, а b — это остаток. на вашем счете по прошествии ровно t лет.

Пример 2 : Сколько больше денег вы заработали бы, если бы вложили 3000 долларов в сберегательный счет, годовая процентная ставка которого 6,25% начислялась ежемесячно, а не ежеквартально, если вы планировали оставить деньги в покое на 18 месяцев? (Чтобы наши ответы были единообразными, округлите все десятичные дроби до семи десятичных знаков при вычислении.)

Решение : вам нужно будет рассчитать два отдельных баланса: один с n = 12 для ежемесячного начисления сложных процентов и один с n = 4 для квартальных процентов. Остальные переменные будут соответствовать обеим задачам: p = 3000, r = 0,0625 и t = 1,5. Будь осторожен! Переменная t должна измерять годы, а не месяцы; поскольку 18 месяцев — это ровно полтора года, t = 1,5, а не 18.

Предостережения Келли

Как в простых, так и в сложных задачах с процентами t должны измеряться годами.Следовательно, если ваша инвестиция приносит проценты в течение 24 месяцев, t = 2, а не 24, поскольку 24 месяца равны двум годам.

Рассчитайте остаток, если начисляете ежемесячно.

  • = 3000 (1 + .0052083) 18
  • = 3000 (1.0980173)
  • = 3294,0519

Поскольку банки не присуждают доли пенни, ваш окончательный ответ должен содержать только 2 десятичных знака: 3294,05 доллара . Теперь рассчитайте баланс, если проценты начисляются только ежеквартально.

  • 3000 (1 + 0,015625) 6
  • 3000 (1.0974893)
  • = 3292,4679

На этот раз ваш баланс составляет 3292,47 доллара США. Вычтите два остатка, чтобы найти общую разницу: 3294,05 доллара — 3292,47 доллара = 1,58 доллара. Конечно, 1,58 доллара — это не большая разница, но чем больше сумма основного долга и чем дольше вы оставляете деньги, тем больше эта разница будет расти.

У вас проблемы

Задача 1. Рассчитайте остаток на счете, если его основная сумма в 5000 долларов приносит:

(a) Простые проценты по годовой процентной ставке 8.25% на 20 лет.

(b) Начисление процентов еженедельно ( n = 52) по годовой процентной ставке 8,25% в течение 20 лет.

При необходимости округлите десятичные дроби до 7 знаков при расчетах.

Выдержки из Полное руководство для идиотов по алгебре 2004 У. Майкла Келли. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

Вы можете приобрести эту книгу на Amazon.com и Barnes & Noble.

Решите это простым способом: проблемы со сложными процентами

Один из типов количественных вопросов GRE связан с начислением сложных процентов. Если у вас возникла такая проблема, вам в первую очередь следует подумать о том, чтобы избежать точного расчета суммы сложных процентов. Для этого существует сложная формула, но здесь мы рассмотрим более простой и быстрый метод.

Рассмотрим следующий вопрос из банка вопросов GRE Tutor The Economist :

Кейт сделала вклад на сберегательный счет, на который выплачиваются 5% сложных процентов ежегодно два года назад.Если ее текущий баланс составляет 1323 доллара, сколько она внесла на счет?

A) 1000 долларов

B) 1100 долларов

C) 1200 долларов

D) 1300 долларов

так много E) 1400 долларов

Сложные проценты просто подумайте об этом как о простой задаче с процентами, определите, сколько простых процентов она могла бы заработать, сделайте несколько быстрых сумм, и мы получим ответ.

Начните с варианта B. Я предлагаю это, потому что, если мы увидим, что вариант B слишком мал, мы можем одновременно исключить вариант A, без необходимости его вычислять.

5% от 1100 — 55 долларов.

Процентные ставки за два года по этой ставке принесут 110 долларов.

1,100 + 110 = 1,210. Этого недостаточно. Исключите варианты A и B.

Посмотрите на вариант D. Если бы она начала с 1300, она заработала бы больше, чем $ 23. Исключите варианты D и E.

На этом этапе нет необходимости производить расчеты с использованием варианта C, но давайте сделаем это просто для вашего спокойствия.

5% от 1200 долларов — 60 долларов.

На два года это 120 долларов.

1,200 + 120 = 1320, и это очень близко к цифре с использованием сложных процентов в размере 1323 долларов. Вариант C это так.

Помните: во многих областях математики GRE не требуется точных вычислений. Часто это бывает проще и быстрее оценить. У вас будет больше времени для ответов на более сложные вопросы.

Сложные проценты: концепция, уловки и проблемы

Сложные проценты — это проценты, начисляемые на первоначальную основную сумму и накопленные проценты за предыдущие периоды депозита или ссуды.

Проще говоря, это можно сказать как «проценты на проценты». Это ускоряет рост депозита или кредита по сравнению с простыми процентами. Проценты, по которым накапливаются сложные проценты, зависят от частоты начисления сложных процентов; Чем больше количество периодов начисления сложных процентов, тем больше сложный процент.

Примечание: Проценты за первый месяц одинаковы как для простых, так и для сложных процентов. Со второго месяца проценты начинают меняться.

P [1+ R / 100] n [При ежегодном начислении денег]
= P [1+ R / (2 * 100)] 2n [При начислении суммы раз в полгода]
= P [1+ R / (12 * 100)] 12n [При ежемесячном начислении денег]
Кроме того, A = CI + P
Где,
P = Основной
R = процентная ставка
n = Время (в годах)
A = Сумма
CI = сложный процент

Примечание: Приведенная выше формула: A = CI + P даст нам общую сумму.Чтобы получить только сложный процент, нам нужно вычесть основную сумму из суммы.

В приведенной ниже таблице перечислены значения первоначальных инвестиций P = Re. 1 для определенных периодов времени и процентных ставок, рассчитываемых как для простых, так и для сложных процентов. Если выучить его наизусть, это будет большим подспорьем в управлении временем во время экзамена,

Чтобы понять обсуждаемые выше концепции, давайте попробуем задать несколько вопросов.

Обязательно ознакомьтесь со статьями о сложных процентах

Решенные вопросы

Вопросы 1: Найдите сумму, если 20000 рупий инвестируются под 10% p.а. в течение 3 лет.

Решение: Используя формулу: A = P [1+ R / 100] n
A = 20000 [1 + (10/100)] 3
При решении мы получаем A = Rs. 26620

Вопрос 2: Найдите CI, если 1000 рупий были инвестированы в течение 1,5 лет под 20% годовых. составляется раз в полгода.

Решение: Как сказано, проценты начисляются раз в полгода. Таким образом, процентная ставка будет уменьшена вдвое, а время увеличено вдвое.

CI = P [1+ (R / 100)] n — P
CI = 1000 [1+ (10/100)] 3 — 1000
При решении мы получаем
CI = Rs.331

Пройдите этот тест, чтобы проверить свой уровень понимания данной темы.

Вопрос 3: КИ на сумму 625 рупий за 2 года составляет 51 рупий. Найдите процентную ставку.

Решение: Мы знаем, что A = CI + P
A = 625 + 51 = 676
Теперь по формуле: A = P [1+ (R / 100)] n
676 = 625 [1+ (R / 100)] 2
676/625 = [1+ (R / 100)] 2
Мы видим, что 676 — это квадрат 26, а 625 — квадрат 25.
Следовательно, (26 / 25) 2 = [1+ (R / 100)] 2
26/25 = [1+ (R / 100)]
26/25 — 1 = R / 100
При решении, R = 4%

Вопрос 4: Денежная сумма ставится на КИ сроком на 2 года под 20%.Если бы проценты выплачивались раз в полгода, это принесло бы на 482 рупии больше, чем если бы они выплачивались ежегодно. Найдите сумму.

Решение: Пусть основная сумма = 100 рупий
При ежегодном начислении
A = 100 [1 + 20/100] 2
При начислении каждые полгода
A = 100 [1 + 10/100] 4
Разница, 146,41 — 144 = 2,41
Если разница равна 2,41, то основная = 100 рупий
Если разница 482, то основная = 100 / 2,41 × 482
P = 20000 рупий

Вопрос 5: Маниш вложил денежную сумму в CI.Он составил 2420 рупий через 2 года и 2662 рупия через 3 года. Найдите процентную ставку годовых.

Решение: Проценты за прошлый год = 2662 — 2420 = 242 рупий
Следовательно, ставка% = (242 * 100) / (2420 * 1)
R% = 10%
Важная формула: Чтобы найти разницу между SI и CI за 2 года, мы используем формулу Разница = P [R / 100] 2

Вопрос 6: Разница между SI и CI на 2 года при 20% годовых составляет 8 рупий.Что главное?

Решение: Использование формулы: Разница = P (R / 100) 2
8 = P [20/100] 2
При решении, P = 200 рупий

Ключевое обучение
  • В этой статье мы узнали, как найти разницу между SI и CI, когда указаны основная сумма, период времени и процент ставки. Формулы находят прямое применение в вопросах.
  • В этой статье мы узнали, как найти CI, когда ставка складывается раз в полгода / раз в полгода.

Вы также можете разместить в разделе комментариев ниже любой запрос или объяснение любой концепции, упомянутой в статье.

Формула с примерами и практическими задачами. Как работает формула

Сложные проценты — отличная вещь, когда вы их зарабатываете! Сложные проценты — это когда банк выплачивает проценты как на основную сумму (первоначальную сумму денег), так и на проценты, уже заработанные на счете.

Для расчета сложных процентов используйте приведенную ниже формулу.В формуле A представляет собой окончательную сумму на счете после t лет, сложенную n раз при процентной ставке r с начальной суммой p.

Эта страница посвящена пониманию формулы сложных процентов; Если вы хотите глубже понять, как работают сложные проценты, и изучить некоторые примеры из реального мира, прочтите нашу статью здесь.

Задача 1

Если у вас есть банковский счет, основная сумма которого равна 1000 долларов, и ваш банк взимает проценты дважды в год по процентной ставке 5%, сколько денег у вас будет на вашем счете в конце года?

Количество денег

Задача 2

Если вы открываете банковский счет с 10 000 долларов, и ваш банк ежеквартально взимает проценты по ставке 8%, сколько денег у вас будет на конец года? (предположим, что вы не добавляете и не снимаете деньги со счета)

Количество денег

Задача 3

Первая кредитная карта, которую вы получили, списания 12.49% процентов своим клиентам и компаундам, которые начисляют проценты ежемесячно. В течение одного дня после получения первой кредитной карты вы максимально исчерпываете кредитный лимит, потратив 1200 долларов США. Если вы больше ничего не покупаете по карте и не производите никаких платежей, сколько денег вы должны компании через 6 месяцев?

Конечная сумма после смешивания

Примечание: , поскольку продолжительность составляет полгода, стоимость т. составляет ½.


6 месяцев — это половина года, а т. в формуле сложных процентов измеряются годами.

Задача 4

Вы выигрываете в лотерею и получаете 1 000 000 долларов. Вы решаете, что хотите вложить все деньги на сберегательный счет.{60}
\\
A = 1 348 850,15 долл. США
$$

Я бы выбрал вариант №1

План 2

Банк дает вам 12% процентной ставки и начисляет проценты каждые 2 месяца .{30}
\\
A = 1 811 361,58 долл. США
$$

Я бы выбрал вариант №2

Вопрос: Какой план принесет вам больше денег через 5 лет.

проблем со словами интереса

проблем со словами интереса

Проблемы со словом «интерес»

Сначала несколько определений:

Основная сумма деньги, вложенные на счет

Проценты деньги, выплачиваемые за инвестирование
главный

Простые проценты проценты, рассчитываемые с использованием
формула Проценты = (Основная сумма) × (Ставка) ×
(Время).Эта формула часто обозначается I = PRT. Если время равно
через год формула становится I = PR.

В наиболее интересных задачах мы постараемся найти
сумма денег (основная сумма), вложенная на каждый из двух банковских счетов. Помогать
найдем эти вещи, нам сообщат общую сумму вложенных денег
и общая сумма процентов, выплаченных по двум счетам.

Давайте рассмотрим пример типичной проблемы со словом «интерес».

Сэм инвестирует 6000 долларов на два банковских счета. Один из
на счетах выплачивается 8% годовых, а на другом счете — 10%.
в год. Если общий процент, полученный от инвестиций, составляет 560 долларов после
в год, сколько денег было вложено в каждый счет?

  1. Что мы должны найти в этой проблеме? Последний
    Часть проблемы дает нам ответ на этот вопрос.Мы пытаемся
    чтобы узнать, сколько денег было вложено в каждую учетную запись.

  • Давайте определим переменную. Мы не знаем сколько денег
    был вложен в любую учетную запись, поэтому примите решение использовать x, чтобы
    представляют собой сумму денег, вложенную в первый счет (тот, который
    зарабатывает 8% в год). Как мы называем сумму денег, вложенных в
    второй аккаунт? Мы могли бы дать ему другое имя переменной, например y, но
    в этой главе мы собирались ограничить наши проблемы одной переменной.

    Итак, представьте: Сэм несет стек в 6000 долларов в
    первый банк и говорит: «Я хотел бы положить x долларов на счет, который
    платит 8% годовых «. Затем кассир снимает x долларов с
    свои 6000 долларов, а Сэм кладет оставшиеся деньги в другой банк. Помнить
    что для вас значили слова «забрать», когда вы были в начальной школе
    студент-математик? Вычесть, верно ?? Так что «забери x долларов из 6000 долларов» можно
    быть записано символически как 6,000-x.Вот сколько денег вложено в
    второй банк.

    При проблемах с процентами часто бывает полезно использовать диаграмму
    систематизировать информацию в задаче. Хорошо промаркируйте верхнюю часть
    график с двумя объектами, которые искали (деньги, вложенные под 8% и
    деньги, вложенные под 10%), и хорошо пометьте сторону графика
    две части информации, которую предоставляет проблема (основной
    и заработанные проценты). Поскольку проблема дает нам информацию о
    общая сумма основного долга и общий процент, а также столбец для итогов.

    деньги под 8% деньги под 10% всего
    основной
    процентов

    На данный момент известно следующее:

    долларов вложено под 8%

    6000 x долларов вложено под 10%

    общая сумма инвестиций составила 6000 долларов США.

    общая сумма полученных процентов составила 560 долларов США

    Давайте поместим эту информацию в нашу диаграмму:

    деньги под 8% деньги под 10% всего
    основной Икс 6000 — х 6000
    процентов 560

    Чтобы заполнить поля процентов, помните, что через один год
    время I = PR.Итак, в каждом поле процентов мы умножаем сумму основного долга.
    вкладывается на этот счет по процентной ставке, полученной на эти деньги. Сейчас
    наша диаграмма выглядит так:

    деньги под 8% деньги под 10% всего
    основной Икс 6000 — х 6000
    процентов .08x 0,10 (6000 х) 560
  • Наше уравнение исходит из последней строки на графике. С
    проценты, полученные на первом счете, плюс проценты, заработанные на
    второй счет должен равняться общей сумме процентов, мы можем написать:

    0,08x + 0,10 (6000 x) = 560

  • Чтобы решить уравнение, сначала умножьте обе части
    уравнения на 100, чтобы убрать десятичные дроби.Помните, умножение
    на 100 сдвинет одну десятичную точку в каждом члене вправо на два разряда.

    100 [0,08x + 0,10 (6000 x)] = 100 [560]

    8x + 10 (6000 x) = 56000

    8x + 60,000 10x = 56,000

    -2x + 60 000 = 56 000

    -2x = -4,000

    х = 2,000

    Поскольку x представляет собой сумму денег, вложенных в
    По первому счету можно сказать, что 2000 долларов было вложено под 8%.

  • Нам нужно решить проблему. Нас спросили, сколько
    деньги были вложены в каждый счет, и, поскольку мы еще не знаем, сколько
    деньги были вложены под 10%, у нас есть только половина нашего ответа. В соответствии с
    на нашем графике сумма денег, вложенных во второй счет, равна
    до 6000- x, поэтому

    6000 x = 6000 2000 = 4000

    $ 4000 вложено под 10%

  • Прежде чем мы оставим эту проблему, давайте проверим наш ответ с помощью
    слова проблемы:

    слов проверка
    $ 6000 вложено во все 2 000 + 4 000 = 6 000
    560 долл. США было получено в виде процентов Процентный доход 8%:
    .08 (2,000) = 160 Процентный доход по ставке 10%:
    0,10 (4,000) = 400Общий процент заработанных процентов:
    160 + 400 = 560

    Наши ответы проверены. Были сделаны!

    Проблемы со сложным процентным словом и решения

    Мы будем использовать формулу сложных процентов для решения этих задач со сложными процентами.

    Пример № 1

    Депозит в размере 3000 долларов приносит 2% годовых, начисляемых раз в полгода.Сколько денег будет в банке через 4 года?

    Решение

    B = P (1 + r) n

    P = 3000 долларов США

    r = 2% годовая процентная ставка / 2 процентных периода = 1% годовая процентная ставка

    n = количество периодов выплат = количество процентных периодов, умноженное на количество лет

    n = 2 раза 4 = 8

    B = 3000 (1 + 1%) 8 = 3000 (1 + 0,01) 8 = 3000 (1,01) 8

    B = 3000 (1.082856)

    B = 3248,57

    Через четыре года на банковском счете будет 3248,57 доллара.

    Пример № 2

    Депозит в размере 2150 долларов приносит 6% процентов, начисляемых ежеквартально. Сколько денег будет в банке через 6 лет?

    Решение

    B = P (1 + r) n

    P = 2150 долларов США

    r = 6% годовая процентная ставка / 4 процентных периода = 1,5% квартальная процентная ставка

    n = количество периодов выплат = количество процентных периодов, умноженное на количество лет

    n = 4 умноженное на 6 = 24

    B = 2150 (1 + 1.5%) 24 = 2150 (1 + 0,015) 24 = 2150 (1,015) 24

    B = 2150 (1,4295)

    B = 3073,425

    Через 6 лет в банковский счет.

    Пример № 3

    Депозит в размере 495 долларов приносит 3% годовых с начислением процентов. Сколько денег будет в банке через 3 года?

    Решение

    B = P (1 + r) n

    P = 495 долларов США

    r = 3% годовая процентная ставка / 1 процентный период = 3% годовая процентная ставка

    n = количество периодов выплат = количество процентных периодов, умноженное на количество лет

    n = 1 умноженное на 3 = 3

    B = 495 (1 + 3%) 3 = 495 (1 + 0.03) 3 = 495 (1.03) 3

    B = 495 (1.092727)

    B = 540,89

    Через 3 года на банковском счете будет 540,89 долларов.

    Решение проблем с аннуитетом | Колледж алгебры

    В начале раздела мы рассмотрели задачу, в которой пара ежемесячно вкладывала определенную сумму денег в фонд колледжа в течение шести лет. Аннуитет — это инвестиция, при которой покупатель производит последовательность периодических равных платежей.Чтобы узнать размер аннуитета, нам нужно найти сумму всех выплат и заработанных процентов. В этом примере пара инвестирует 50 долларов в месяц. Это размер первоначального депозита. По счету выплачено 6% годовых процентов, начисляемых ежемесячно. Чтобы найти процентную ставку за период выплаты, нам нужно разделить годовую процентную ставку (APR) в размере 6% на 12. Таким образом, ежемесячная процентная ставка составляет 0,5%. Мы можем каждый месяц умножать сумму на счете на 100,5%, чтобы определить стоимость счета после начисления процентов.

    Мы можем определить размер аннуитета сразу после последнего депозита, используя геометрический ряд с [latex] {a} _ {1} = 50 [/ latex] и [latex] r = 100,5% = 1,005 [/ latex] . После первого депозита размер аннуитета составит 50 долларов. Посмотрим, сможем ли мы определить сумму фонда колледжа и заработанные проценты.

    Мы можем найти значение аннуитета после депозита [латекс] n [/ латекс], используя формулу для суммы первых членов [latex] n [/ latex] геометрического ряда. В 6 лет осталось 72 месяца, поэтому [латекс] n = 72 [/ латекс].{72} \ right)} {1 — 1.005} \ приблизительно 4 \ text {,} 320,44 [/ латекс]

    После последнего депозита у пары на счету будет 4 320,44 доллара. Обратите внимание, пара совершила 72 платежа по 50 долларов каждый на общую сумму [латекс] 72 \ left (50 \ right) = 3600 долларов [/ латекс]. Это означает, что из-за аннуитета пара заработала 720,44 доллара на свой фонд колледжа.

    Как сделать: учитывая начальный депозит и процентную ставку, найдите размер аннуитета. {n} \ right)} {1-r} [/ latex ].

  • Упростите, чтобы найти [latex] {S} _ {n} [/ latex], стоимость ренты после депозитов [latex] n [/ latex].
  • Пример 9: Решение проблемы ренты

    Депозит в размере 100 долларов вносится в фонд колледжа в начале каждого месяца на 10 лет. Фонд получает 9% годовых, начисляется ежемесячно и выплачивается в конце месяца. Сколько стоит на счете сразу после последнего депозита?

    Решение

    Размер первоначального депозита составляет 100 долларов США, поэтому [latex] {a} _ {1} = 100 [/ latex].Всего за 10 лет сделано 120 ежемесячных вкладов, так что [латекс] n = 120 [/ латекс]. Чтобы найти [latex] r [/ latex], разделите годовую процентную ставку на 12, чтобы найти ежемесячную процентную ставку, и добавьте 1, чтобы представить новый ежемесячный депозит.

    [латекс] r = 1 + \ frac {0,09} {12} = 1,0075 [/ латекс]

    Замените [латекс] {a} _ {1} = 100 \ text {,} r = 1.0075 \ text {,} \ text {и} n = 120 [/ latex] в формулу для суммы первых [латекс ] n [/ latex] терминов геометрического ряда, и упростим, чтобы найти значение аннуитета.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.