Решите задачу с помощью уравнения задачу: Решите с помощью уравнения задачу: а) Продолжительность дня с 7 октября до 19 ноября уменьшилась на 3 ч и стала равной 8 ч. Какой была продолжительность дня 7 октября? б) В пакете было 350 г сахара. Когда в него добавили ещё сахара, в нём стало 900 г. Сколько граммов сахара добавили в пакет? в) На первой остановке в пустой автобус вошли несколько человек. На второй остановке вошли 10 человек, а на третьей

Решение задач с помощью уравнений

В решении задач с помощью уравнений, необходимо соблюдать следующее: во-первых, записать условие задачи алгебраическим языком, т.е. таким образом, чтобы получить уравнение; во-вторых, упростить это уравнение до такого вида, в котором неизвестная величина будет стоять с одной стороны, а все известные величины — на противоположной стороне. Способы этого уже были рассмотрены ранее.

Один из основных принципов алгебраических решений, это то, что величина должна присутствовать в уравнении. Это позволит нам записать условия так, как если бы задача уже была решена. После этого, останется лишь решить уравнение и найти общее значение всех известных величин. Так как эти величины равны неизвестной величине на другой стороне уравнения, то величина всех известных значений будет означать, что задача решена.

Задача 1. Человек на вопрос, сколько он заплатил за часы, ответил: «Если умножить цену на 4, и к результату прибавить 70, а из этой суммы вычесть 50, то остаток будет равен 220 долларов». Сколько он заплатил за часы?

Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала записать условие задачи как алгебраическое выражение, то есть как уравнение.

Пусть цена часов равна   $x$

Эта цена была умножена на 4, то есть получаем   $4x$

К произведению прибавили 70, то есть   $4x + 70$

Из этого вычли 50, то есть   $4x + 70 — 50$

Таким образом, мы записали условие задачи с помощью чисел в алгебраической форме, но у нас еще нет уравнения. Однако, согласно последнему условию задачи, все предыдущие действия в итоге привели к результату, который равен $220$.

Поэтому, это уравнение выглядит так:   $4x + 70 — 50 = 220$

После проведения операций с уравнением, получаем, что     $x = 50$.

То есть, значение $x$ равно 50 долларов, что и есть искомой ценой часов.

Чтобы проверить, что мы получили верное значение искомой величины, мы должны подставить это значение вместо $х$ в уравнение, которое мы записали по условию задачи. Если в результате этой подстановки значения сторон будут равны, мы провели вычисление правильно.

Уравнение задачи имело вид      $4x + 70 — 50 = 220$

Подставляя 50 вместо $x$, получаем    $4 \cdot 50 + 70 — 50 = 220$

Отсюда,        $220 = 220$.

Задача 2. Если к числу прибавить его половину, а из этого результата вычесть $20$, то получим четверть первоначального числа. Что это за число?

В задачах такого типа, где рассматриваются дроби, надо помнить, что $\left(\frac{1}{3}\right)x$ то же самое, что и $\frac{x}{3}$; отсюда $\left(\frac{2}{5}\right)x = \frac{2x}{5}$.

Обозначим через x искомое число.

Тогда согласно условию   $x + \frac{x}{2} — 20 = \frac{x}{4}$

После выполнения операций на уравнением, получим    $x = 16$.

         Проверка:    $16 + \frac{16}{2} — 20 = \frac{16}{4}$.

Задача 3. Отец разделил наследство между своими тремя сыновьями так, что:

Первый сын получил на $\$1000$ меньше, чем половина всего наследства;

Второй сын получил на $\$800$ меньше, чем треть всего наследства;

Третий сын получил на $\$600$ меньше, чем четверть всего наследства;

Какая сумма была всего наследства?

Если обозначить все наследство как x, тогда три сына получили $\frac{x}{2} — 1000, \frac{x}{3} — 800$ и $\frac{x}{4} — 600$.

Так как эти части все вместе представляют все наследство, то их сумма равна $x$.

Тогда мы имеем равенство $\frac{x}{2} — 1000 + \frac{x}{3} — 800 + \frac{x}{4} — 600 = x$.

После выполения операций с членами уравнения, получим, что         $x = 28800$

Проверка: $\frac{28800}{2} — 1000 + \frac{28800}{3} — 800 + \frac{28800}{4} — 600 = 28800$.

Чтобы избежать лишнего представления неизвестных величин в уравнении, иногда хорошо заметить, что когда дана сумма или разница двух значений, обе эти величины могут быть выражена одной и той же буквой. Так, если одна из двух величин вычитается из суммы этих величин, очевидно, что остаток буде равен другому вычитаемому. А если разница этих двух величин вычитается из большего, то остаток будет равен меньшему.

Так, если сумма двух чисел равна 20

И если один из них будет представлен через $x$

То другой будет равен $20 — x$.

Задача 4. Разделите 48 на две такие части, что если меньшая разделена на 4, а большая часть на 6, то суммая частных будет равна 9.

Здесь, если $x$ выразить как меньшую часть, то большая часть будет $48 — x$.

Согласно условию задачи, $\frac{x}{4} + \frac{48 — x}{6} = 9$.

Поэтому,     $x = 12$, то есть меншая часть.

И      $48 — x = 36 -$ большая часть.

Буквы могут быть использованы для выражения как известных величин в уравнении, так и неизвестных. Определенные значения присваиваются числам, а в конце они слова записываются как числа.

Задача 5. Если к определенному числу прибавить 720 и сумму разделить на 125, то результат будет равен 7392, разделенному на 462. Что это за число?

Обозначим через $x$ искомое число.

a = 720   d = 7392

b = 125   h = 462

Тогда, согласно условию задачи      $\frac{x + a}{b} = \frac{d}{h}$

Поэтому          $x = \frac{bd — ah}{h}$

Возвращая числа в уравнение, получим $х = \frac{(125.7392) — (720.462)}{462} = 1280$.

Когда решение уравнения дает отрицательный ответ, это показывает, что значение неизвестной величины противоположно значениям, которые по условию вопроса » рассматриваются как положительные.

Задача 6. Торговец получает или теряет при проведении сделки определенную сумму. Во второй сделке он получает 350 долларов, а в третьей теряет $60$. В конце концов, он обнаруживает, что получил 200 долларов за результатами трех сделок. Сколько он получил или потерял в первой сделке?

В этом примере, так как прибыль и убыток противоположны по природе, то они должны иметь противоположные знаки. Если прибыль обозначается с «+», то убыток должен обозначаться с «-«.

Пусть x = искомой сумме.

Тогда, согласно условию      $x + 350 — 60 = 200$

и x = -90.

Отрицательный знак перед ответом показывает, что первая сделка прошла с убытком.

Задача 7. Корабль плывет 4 градуса на север, потом 13 на юг. После этого 17 на север, потом 19 на юг и в конце оказывается на 11 градусе южной широты. С какой широты начал плыть корабль?

Пусть $x$ — искомая широта.

Тогда, обозначаем с «+» северное направление, а южное с «-«.

Согласно условию,      x + 4 — 13 + 17 — 19 = -11

и x = 0.

Ответ означает, что корабль начал свой путь с экватора, который не имеет широты.

Задача 8. Если определенное число разделить на 12, частное, делимое и делитель, сложенные вместе, дадут 64. Что это за число?

Пусть x — искомое число.

Тогда          $\frac{x}{12} + x + 12 = 64$.

Отсюда          $x — \frac{624}{13} = 48$.

Задача 9. Недвижимость была разделена между четырьмя детьми так, что,

Первый получил на 200 долларов больше чем $\frac{1}{4}$ всей недвижимости,

Второй получил на 340 долларов больше чем $\frac{16}{5}$ всей недвижимости,

Третий получил на 300 долларов больше чем $\frac{1}{6}$ всей недвижимости,

Четвертый получил на 400 долларов больше чем $\frac{1}{8}$ всей недвижимости.

Какова стоимость недвижимости?
Ответ: 4800 долларов.

Задача 10. Есть два числа, разница которых равна 40 и которые относятся друг к другу как 6 к 5. Что это за числа?
Ответ: 240 и 200.

Задача 11. Если число умножить в три раза, то оно будет относится к 12, как 2 к 9? Что это за число?
Ответ: 8.

Задача 12. Катер и лодка одновременно отправляются в путь по реке. Катер проходит пристань на реке, когда лодка находится ниже пристани на 13 миль. Катер проходит пять миль, а лодка проходит три мили. На каком расстоянии ниже пристани они встретятся?      Ответ: $32,5$ мили.

Задача 13. Найдите число, если шестая его часть больше его восьмой части на 20?
Ответ: 480.

Задача 14. Разделите приз в 2000 долларов на две такие части, при которых одна из частей относится к другой как 9 к 7.

Ответ: 1125 и 875.

Задача 15. Найдите сумму денег, для которой третья, четвертая и пятая части, сложенные вместе, дадут 94 доллара?

Ответ: 120 долларов.

Задача 16. Человек провел одну треть жизни в Англии, одну четвертую в Шотландии, а остаток жизни, который равнялся 20-и годам — в США. До какого возраста он дожил?      Ответ: $48$ лет.

Задача 17. Найдите число, для которого $frac{1}{4}$ этого числа больше $\frac{1}{5}$ его на 96?

Задача 18. Палка находится вертикально в воде. $\frac{3}{7}$ длины палки находится в воде, а 13 футов — над водой. Какая длина палки?

Ответ: 35 футов.

Задача 19. Если к числу прибавить 10, то $\frac{3}{5}$ этой суммы будет равняться 66. Что это за число?

Задача 20. Из всех деревьев в саду $\frac{3}{4}$ — яблони, $\frac{1}{10}$ — персики, а оставшиеся деревья — груши, которых на $20$ больше чем $\frac{1}{8}$ всех деревьев. Сколько всего деревьев в саду?

Ответ: 800.

Задача 21. Джентльмен купил несколько галлонов вина за $94$ долларов и после использования 7 галлонов он продал $\frac{1}{4}$ от оставшихся галлонов за 20 долларов. Сколько галлонов у него было вначале?

Ответ: 47.

Задача 22. Если сложить $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{7}$ числа, то сумма будет равна $73$. Что это за число?

Ответ: 84.

Задача 23. После того, как человек истратил на 100 долларов больше чем $\frac{1}{3}$ его дохода, у него осталось на 35 долларов больше чем $\frac{1}{2}$ его дохода. Чему равнялся его доход?

Задача 24. В составе пороха было:

селитры на 10 фунтов больше чем $\frac{2}{3}$ всего веса пороха,

серы на 4,5 фунта меньше чем $\frac{1}{5}$ всего веса пороха,

древесного угля на 2 фунта меньше чем $\frac{1}{7}$ селитры.

Какой вес пороха? Ответ: 69 фунтов.

Задача 25. Бочка емкостью 146 галлонов была наполнена смесью бренди, вина и воды. Причем, вина было на 15 галлонов больше, чем бренди, а воды столько же, сколько бренди и вина вместе. Чему равнялось количество каждой жидкости?

Задача 26. Четыре человека купили ферму за 4755 долларов, из которых B заплатил в три раза больше, чем А; С заплатил столько же, сколько и B, а D заплатил столько же, сколько C и B. Сколько заплатил каждый из них?

Ответ: 317, 951, 1268, 2219.

Задача 27. Отец разделил небольшую сумму денег между своими четырьмя сыновьями.

Третий сын получил на 9 шиллингов больше, чем четвертый;

Второй сын получил на 12 шиллингов больше, чем третий;

Первый получил на 18 шиллингов больше, чем второй;

А вся сумма денег была на 6 шиллингов больше чем умноженная в 7 раз сумма, которую получил самый младший.

Чему была равна вся сумма?
Ответ: 153.

Задача 28. У фермера было два стада овец, каждое из которых состояло из одной и того же числа животных. Продав из одного стада 39 овец, а с другого стада — $93$ овцы, он посчитал овец и обнаружил, что в одном стаде осталось в два раза больше овец чем в другом. Сколько первоначально овец было в каждом стаде?

Задача 29. Экспресс, двигаясь со скоростью 60 миль в день, был отправлен на 5 дней в путь ранее второго, который двигался со скоростью 75 миль в день. Когда второй экспресс догнал второго?      Ответ: $20$ дней.

Задача 30. Возраст А вдвое больше, чем В, возраст B втрое больше чем С, а сумма всех их возрастов равна $140$. Какой возраст каждого из них?

Задача 31. Было куплено два куска ткани одинаковой цены, но разной длины. Стоимость одного куска — 5 долларов, а другого — 6,5. Если удлинить каждый кусок на $10$ м, то эти длины будет относится друг к другу как 5 к 6. Найдите длину каждого куска.

Задача 32. Если к числу прибавить 36 и 52, то первая сумма будет относиться ко второй, как 3 к 4. Что это за число?

Задача 33. Джентльмен купил фаэтон, лошадь и упряжь на 360 долларов. Стоимость лошади вдвое больше чем упряжи, а фаэтон стоил вдвое больше, чем упряжь и лошадь вместе. Какова была цена каждой покупки?

Задача 34. Из бочки вина, из которой просочилось $\frac{1}{3}$ часть вина, 21 галлон вина впоследствии было использовано. После этого бочка оказалась наполовину полной. Сколько первоначально было вина в бочке?

Задача 35. У Человек имеет 6 сыновей, каждый из которых на 4 года старше следующего младшего брата, а самый старший в три раза старше, чем самый младший. Каков возраст каждого из них?

Задача 36. Разделите число 49 на две части с условием, что если большую часть увеличить на 6, а от меньшей отнять 11, то они относились бы друг к другу как 9 к 2.

Задача 37. Два числа относятся друг к другу как 2 к 3. Если к каждому из них прибавить 4, то полученные суммы относились бы друг к другу как 5 к 7. Найдите эти два числа.

Задача 38. Человек купил две бочки портера, одна из которых была в 3 раза больше, чем другая. Из каждой бочки он отлил по 4 галлона, а затем он обнаружил, что в большей бочке осталось в $4$ раза больше галлонов чем в меньшей бочке. Сколько галлонов было в каждой из бочек?

Задача 39. Разделите число 68 на две такие части, чтобы разница между большей частью и 84 должна быть равна утроенной разнице между меньшей частью и 40.

Задача 40. разделите число 36 на 3 такие части, что $\frac{1}{2}$ первой части, $\frac{1}{3}$ второй и $\frac{1}{4}$ третьей равны между собой.

Задача 41. Генерал после проигранной битвы обнаружил, что у него осталось только половина армии +3600 человек, годных для действий; $\frac{1}{8}$ армии +600 человек было ранено; а остальная часть солдат, которая равнялась $\frac{1}{5}$ от всей армии, были либо убита, либо взята в плен или пропала без вести. Какова была численность армии?

Ответ: 24000.

Для решения многих алгебраических задач, требуется уметь обращаться со степенями и арифметическими корнями. Поэтому необходимо изучить соответствующий раздел до окончания изучения уравнений.

Уравнения. Решение задач с помощью уравнений 5 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Введение

 

Для начала дадим краткое определение уравнению. Разберем, в каких областях математики оно встречается. Слово «уравнение» производное от слов «уравнивать», «равняться». Также оно является однокоренным со словом «равенство», которое нам уже встречались неоднократно. Приведем примеры равенств:

 

Важно вспомнить, что равенства бывают верные и неверные. Рассмотрим пример неверного равенства: . Отметим, что в левой и правой частях равенств, приведенных в примерах, написаны только числовые выражения. Мы знаем, что есть еще и буквенные выражения. Например, .

Возникает вопрос, откуда может взяться такое выражение и зачем приравнивать такое выражение к какому-нибудь числу (). В таком равенстве мы уже не можем проверить, верное оно или нет. Давайте разберем на примере, откуда такое равенство может взяться, зачем нам оно нужно и что за  в нем стоит.

 

Решение задач

 

 

Дано: нам нужно взвесить арбуз. Мы знаем, что если на одну чашу весов положить арбуз и гирю массой  килограмма, а на другую гирю массой  килограммов, то весы уравновесятся. Найдите массу арбуза.

 

Путем нехитрых вычислений мы определяем, что масса арбуза  кг. Может возникнуть вопрос, почему мы взвешивали арбуз именно так, ведь можно было просто уравновесить весы, поставив на другую чашу гирю массой  кг. Ответ простой, ведь может быть и так, что в нашем распоряжении есть только гири по  и  кг.

Давайте попробуем решить данную задачу через составление уравнения.

Решение: пусть  – вес арбуза, тогда на чаше весов с арбузом будет вес . По условию мы знаем, что на противоположной чаше находится  кг и весы уравновешены. Можем составить уравнение.

Ответ:  кг.

Теперь становится понятно, в каком случае мы можем вводить в равенства переменные.

Уравнением называется равенство двух выражений, в которых есть буквенная переменная.

Выходит, что уравнения нужны для того, чтобы находить значение буквенной переменной, которая обращает уравнение в верное равенство. Это приводит нас к определению того, что же означает решить уравнение.

Решить уравнение – значит найти все значения буквенной переменной, при подстановке которых уравнение обращается в верное равенство (или доказать, что таких значений нет).

Важно отметить, что уравнение может иметь больше одного решения, но с такими уравнениями мы познакомимся позже. В некоторых уравнениях вам может встретиться несколько переменных, но решить такое уравнение вам пока будет сложно, так как найти все возможные корни достаточно затруднительно. Пример такого уравнения: .

Можно сказать, что уравнение чаще всего составляют при решении каких-то практических задач. Таким образом, составив уравнение, мы можем решить его и найти неизвестную величину.

 

Решение уравнений путем переноса слагаемых

 

 

Иногда уравнение можно решить подбором, но легче всего пользоваться несколькими правилами, которые упростят для вас вычисления. Разберемся с ними на примере.

 

Дано: через  лет Коле исполнится . Сколько лет Коле в данный момент?

Решение: пусть  – возраст Коли (на данный момент в годах), тогда через  лет ему будет . Из условия задачи известно, что ему через  лет будет  год. Составим и решим уравнение: .

Стоит отметить, что уравнение не меняется, если применить любое действия к обеим его частям. В данном случае отнимем с каждой стороны по : .

Ответ: Коле сейчас  лет.

Действие, которое мы применили для решения уравнения, называется переносом слагаемого из одной части уравнения в другую. Важно помнить, что при переносе выражения знак перед ним меняется на противоположный.

Рассмотрим еще один пример: . В этом уравнении нам нужно перенести тройку. Чтобы избавиться от нее в левой части уравнения, нужно прибавить три, соответственно, и к правой части прибавляем тройку:

Решим еще одну задачу.

Дано: Ксения задумала натуральное число, к этому числу она прибавила , после чего из суммы вычла задуманное число. Далее к полученному числу она прибавила  и в итоге получила . Какое число задумала Ксения?

Решение: пусть  – число, которое задумала Ксения, тогда мы можем составить уравнение с учетом преобразований задуманного числа.

Потренируем перенос, начнем с восьмерки:

В итоге мы пришли к верному числовому равенству, значит, оно верное для любого икса. Можно сделать вывод, что, какое бы число ни задумала Ксения, у нее все равно выйдет одиннадцать.

Ответ: Ксения могла задумать любое число.

Рассмотрим подобную задачу и решим ее составив уравнение.

Дано: Дмитрий задумал натуральное число, прибавил к нему , вычел из него , вычел задуманное число и получил . Какое число задумал Дмитрий?

Решение: пусть  – задуманное Дмитрием число, тогда можем составить уравнение.

В итоге мы получили неверное равенство, и это приводит нас к заключению, что решений это уравнение не имеет.

Значит, в условии задачи ошибка и  получить в результате указанных действий Дмитрий не мог.

 

Заключение

 

 

На этом уроке мы познакомились с понятием уравнения. Выяснили, что значит решить уравнение, познакомились с методами решения уравнений. Также мы выяснили, для чего нужны уравнения и как решать с их помощью задачи.

 

 

Список рекомендованной литературы

  1. Математика 5 класс. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И., 31-е изд., стер. — М: Мнемозина, 2013. — 280 с.
  2. Математика 5 класс. Ерина Т. М. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н. Я., М.: Экзамен, 2013. — 128 с.
  3. Математика 5 класс. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С., М.: Вентана — Граф, 2013.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
  2. Интернет-портал «mat-zadachi.ru» (Источник)
  3. Интернет-портал «uroki.tv» (Источник)

 

Домашнее задание

1) Решите уравнения.

2) На правой чашке уравновешенных весов лежат дыня и гиря массой  кг, а на левой чашке – гиря массой  кг. Какова масса дыни?

3) Составьте и решите уравнение:

  1. Сумма удвоенного числа  и числа  равна .
  2. Разность чисел  и  в  раза меньше числа .
  3. Частное суммы чисел  и  и числа  равно .
  4. Сумма чисел  и  в  раза больше числа .
  5. Частное разности чисел  и  и числа  равно .
  6. Утроенная разность чисел  и  равна .

 

Как составить алгебраические уравнения для решения текстовых задач

Вы здесь: Главная → Статьи → Как составить уравнение для текстовых задач

Учащиеся часто сталкиваются с проблемами при составлении уравнения для текстовой задачи по алгебре. Для этого им нужно увидеть СВЯЗЬ между различными величинами в задаче. В этой статье объясняются некоторые из этих отношений.

Меня спросили,

Мне нужен простой и полезный способ научить писать уравнения.

Пример: Хелен отрезает 2 дюйма волос каждый раз, когда она идет в парикмахерскую. Если ч равно длине волос до того, как она их подстрижет, а c равно длине волос после того, как она их подстрижет, какое уравнение вы используете, чтобы найти
длина волос Хелен после посещения парикмахерской?

а) ч = 2 − в       в) в = ч − 2
б) в = 2 − ч                  2

02 с

− 2

Существует ли единый метод обучения учащихся написанию алгебраических уравнений? Мне нужна помощь.

Первое, что я делаю, пытаясь понять, как чему-то научить , это анализирую собственное мышление. Как я думаю, решая это
проблема? Каковы шаги и мелкие детали? Именно эти детали и шаги, которые я могу выполнять автоматически, мне нужно объяснить студентам.
помочь им.

Видение величин и их соотношения вместо чисел

В этой задаче, казалось бы, много информации, но на самом деле она о распознавании величин и простых отношениях между ними.
их
. Это, конечно, та же самая задача, что и перевод ситуации, объясненной словами, в математическое выражение с использованием символов.

Дети проявляют трудности в этом задании, когда они читают простую задачу со словами, а затем спрашивают: «Мне нужно это умножить на это или разделить?», просто угадывая действие, которое нужно выполнить с различными числами, указанными в задаче.

Студенты должны увидеть количества и ОТНОШЕНИЕ между ними. Им нужно выйти за рамки 5, 2, 10, 789 или любых других чисел в задаче и увидеть общие задействованные количества и то, как они связаны друг с другом. В очень простых текстовых задачах эта связь обычно включает только одну из четырех основных операций. Тогда в алгебре может быть больше величин и больше операций между ними.

 

Примеры задач на сложение слов

Пример. У Дженни 7 шариков, а у Кенни 5. Сколько у них вместе?

Ключевое слово вместе с говорит нам о том, что операция ДОБАВЛЕНИЕ, вероятно, необходима. Количества здесь: шариков Дженни , шариков Кенни и шариков всего . Отношения между тремя

шариков Дженни  +  шарики Кенни  =  всего шариков

Из этого общего соотношения между величинами легко написать уравнение для задачи, которое ее решает:

Связь: Шарики Дженни  +  Шарики Кенни  =  Всего шариков
Уравнение: 7  +  5  =  _____

Я написал ____ вместо общего количества шариков, так как это то, о чем просит задача (неизвестно).

Все это может показаться слишком упрощенным, но важно помочь детям увидеть лежащую в основе взаимосвязь между величинами. Рассмотрим теперь эту проблему:

Пример: У Дженни и Кенни вместе 37 шариков, а у Кенни 15. Сколько у Дженни?

Многие учителя могут попытаться объяснить это как задачу на вычитание, , но на самом базовом уровне это примерно сложение! Он по-прежнему говорит о том, что у двух человек есть определенное количество шариков вместе . Соотношение между величинами такое же, как и выше, поэтому нам все еще нужно написать уравнение сложения.

Связь: шарики Дженни  +  Шарики Кенни  =  Всего шариков
Уравнение: _____ + 15 = 37

Тогда мы можем решить уравнение ____ + 15 = 37 с помощью
вычитание. Использование такого подхода в начальных классах поможет детям составлять уравнения
в задачах по алгебре позже.

Пример : Дженни, Кенни и Пенни вместе имеют 51 шарик.
У Кенни в два раза больше шариков, чем у Дженни, а у Пенни 12. Сколько у Дженни?

Соотношение между величинами такое же, поэтому оно решается так же: путем написания уравнения сложения. Однако нам нужно чем-то обозначить количество шариков Дженни и Кенни. Шарики Дженни неизвестны, поэтому мы можем обозначить их с помощью переменной п . Тогда у Кенни 2 n шариков.

Связь: шарики Дженни  +  Шарики Кенни  +  Шарики Пенни  =  Всего шариков
Уравнение: нет + 2 нет  +  12 = 51

 

Пример: Джейн находится на 79 странице своей книги. В книге 254 страницы. Сколько страниц ей осталось прочитать?

На этот раз слово « все еще » указывает нам на аддитивную связь, в которой отсутствует одно из слагаемых. Вы можете сначала написать пустую строку для неизвестного, а позже заменить ее переменной.

страниц уже прочитано  +  страниц осталось прочитать  =  всего страниц
+ =

Конечно, это уравнение затем решается вычитанием, но лучше, если вы рассмотрите его как ситуацию сложения и напишете для него уравнение сложения.

 

Пример:   Количество часов, оставшихся в дне, составляет одну треть от количества уже прошедших часов. Сколько часов осталось в сутках?
(Из 5 класса словесные задачи для детей)

Вы видите общий принцип решения этой проблемы? В нем говорится о часах дня, когда несколько часов уже прошли, а некоторые остались. Это, конечно, еще раз указывает на сложение: у нас есть одна часть дня, другая часть и сумма.

Единственная известная нам величина — это общее количество часов в день. Мы не знаем ни уже прошедших, ни оставшихся часов, поэтому , изначально , вы можете использовать две пустые строки в уравнении, показывающем базовую взаимосвязь между величинами:

часов уже прошло  +  часов осталось = всего часов
=

Тогда информация в первом предложении дает нам другую связь:

«Количество часов, которые остались в дне, составляло одну треть количества уже прошедших часов».

Мы не знаем, сколько часов прошло и сколько осталось. Итак, давайте использовать переменную p для прошедших часов. Тогда мы можем написать выражение, включающее p для оставшихся часов, потому что «оставшиеся часы — это треть пройденных часов», или

.
Осталось

часа  =  1/3 p

Тогда запись 1/3 p вместо «оставшихся часов» в первом уравнении даст нам:

часов уже прошло + часов осталось = всего часов
р + 1/3 стр = 24

Это можно решить с помощью базовой алгебры или методом «угадай и проверь».

Задачи на вычитание

Одной из ситуаций, указывающих на вычитание, является разница или  сколько/намного больше . Однако наличие слова «еще» может указывать как на сложение, так и на вычитание, так что будьте осторожны.

Пример:   Сегодня Тед прочитал 17 страниц, а Фред — 28. Сколько еще страниц прочитал Фред?

Решение, конечно, 28 − 17 = 11, но недостаточно просто объявить это — дети должны также понять, что разность является результатом вычитания и сообщает ответу на , сколько еще .

Связь:    страниц Фред прочитал  −  страниц Тед прочитал = разница
Уравнение:

28

 − 

17

=

__


Пример:   У Грега на 17 шариков больше, чем у Джека. Джек имеет
15. Сколько у Грега?

Здесь слово больше имеет другое значение. Этот
проблема не в разнице. Вопрос спрашивает, сколько
Грег есть – не то, что разница в количестве шариков. В нем просто говорится, что у Грега на 17 больше, чем у Джека, поэтому здесь слово больше просто указывает на сложение: у Грега столько же шариков, сколько у Джека И на 17 больше, поэтому у Грега 15 + 17 шариков.

 

Пример: Масса Великой пирамиды на 557 тонн больше, чем у Пизанской башни. Каменный Хендж имеет массу 2695 тонн, что на 95 тонн меньше, чем у Пизанской башни. Когда-то существовала Великая пирамида, масса которой вдвое превышала массу Великой пирамиды. Какова была масса Великой пирамиды?
(Из 5 класса словесные задачи для детей)

Каждое из первых трех предложений содержит информацию, которую можно перевести в уравнение. Вопрос не в сколько еще так что дело не в разнице. Одно дело, что больше, чем , другое означает, что вы добавляете. Одно дело, что меньше, чем , другое подразумевает вычитание. И одна вещь, удвоенная чем-то, указывает на умножение на 2.

Когда я прочитал эту задачу, я сразу увидел, что могу писать уравнения из разных предложений задачи, но не мог
смотри ответ сразу. Я полагал, что, написав уравнения, смогу продвинуться вперед; вероятно, одно уравнение решается и дает ответ на другое уравнение.

В первом предложении говорится: «Масса Великой пирамиды на 557 т больше, чем у Пизанской башни». Каковы здесь величины и отношения между ними?

Масса Великой Пирамиды = масса Пизанской башни + 557т

Второе предложение гласит: «Стоунхендж имеет массу 2695 тонн, что на 95 тонн меньше, чем у Пизанской башни».
Здесь это дает вам отношение, подобное приведенному выше, и это
на самом деле описывает массу Стоунхенджа. Это как две отдельные части
информации: «Стоунхендж весит на 95 тонн меньше, чем башня.
Стоунхендж весит 2695 тонн». Меньше означает, что вы вычитаете. Если у вас есть
проблема решить, что из чего вычитается, вы можете думать в уме
что тяжелее: Стоунхендж или башня?

либо      масса Стоунхенджа = масса башни − 95т
или масса башни = масса Стоунхенджа – 95т

Теперь, когда известна масса Стоунхенджа, вы можете решить это уравнение, и, зная это, вы
может решить первое уравнение, а затем перейти к массе « Greater Pyramid «.

Если учитель сразу переходит к числовым предложениям при разгадывании слова
проблемы, то учащиеся не увидят шага, который происходит в уме перед
что. Величины и отношения между ними должны быть установлены
очистите и запишите, прежде чем возиться с фактическими числами. Нахождение
эти отношения должны быть самой важной частью словесных проблем.
Можно было бы даже опустить фактические расчеты и сосредоточиться только на поиске
количества и отношения.

 

Проблема длины волос Елены

Проблема.  Каждый раз, когда Хелен идет в парикмахерскую, Хелен отрезает 2 дюйма волос. Если
h равно длине волос до того, как она их подстрижет, а c равно длине волос после того, как она их подстрижет, какое уравнение вы используете, чтобы найти
длина волос Хелен после посещения парикмахерской?
а. ч = 2 − с      с. в = ч — 2
б. c = 2 − h      d. ч = с − 2

Раствор.   Пока игнорируем буквы c и h ,
какие количества? Какой принцип или связь существует между
их? Какая из перечисленных ниже возможностей верна? Что от чего отнять?

1.   стрижка длина волос до стрижки = длина волос после стрижки
2. стрижка длина волос после стрижки = длина волос до стрижки
3. длина волос до стрижки стрижка = длина волос после стрижки
4. длина волос после стрижки стрижка = длина волос до стрижки

ПРОСТО, не так ли?? В исходной задаче даны уравнения
с помощью ч и с вместо длинных фраз «длина волос до
стрижка» и «длина волос после стрижки». Вы можете
подставьте c , h и 2 в приведенные выше соотношения, а затем сопоставьте уравнения (1) — (4) с уравнениями (a) — (d).

 

Помощь учащимся в написании алгебраических уравнений

Одна идея, которая пришла на ум, состоит в том, чтобы пройти через приведенные выше и другие примеры, основываясь на типичных задачах со словами в учебниках по математике, а затем перевернуть все это и предложить учащимся выполнить такие упражнения, как:

  • Напишите 3 разные сюжетные задачи, решение которых основано на отношениях

    заработанные деньги – потраченные на это деньги – потраченные на то деньги = оставшиеся деньги

  • Напишите 3 разные сюжетные задачи, решение которых основано на отношениях

    первоначальная цена − процент скидки x первоначальная цена = цена со скидкой

  • Напишите 3 разные сюжетные задачи, решение которых основано на отношениях

    деньги, заработанные каждый месяц − расходы/налоги каждый месяц = ​​деньги для использования каждый месяц И

    деньги для использования каждый месяц × количество месяцев = деньги для использования в течение определенного периода времени

  • Напишите 3 разные сюжетные задачи, решение которых основано на отношениях

    скорость × время = расстояние И

    расстояние от А до В + расстояние от В до С = расстояние от А до С

Я уверен, что вы можете придумать больше подобных упражнений.


См. также:

Почему математические задачи ТАК сложны для детей начальной школы?
Подсказка: это связано с «рецептом», которому следуют многие уроки математики.

Что можно и чего нельзя делать при обучении решению задач по математике
Общие советы о том, как можно обучать решению задач по математике в начальной, средней и старшей школе.

Как я преподаю словесные задачи Андре Тоом (PDF)
Эта статья написана русским, иммигрировавшим в США и заметившим, как студенты УРОВНЯ КОЛЛЕДЖА испытывают трудности даже с простейшими словесными задачками! Он описывает свои идеи о том, как заполнить пробел, образовавшийся, когда учащиеся не научились решать текстовые задачи в предыдущем обучении.

Список веб-сайтов, посвященных задачам со словами и решению задач.
Используйте эти сайты, чтобы найти задачи со словами для решения. Большинство бесплатно!

 

Комментарии

При решении текстовых задач учащиеся должны сначала решить, какая величина представляет x, а затем должны записать все остальные величины через x. Я учу студентов расставлять стрелки в соответствии с языком задачи. Все стрелки указывают на х.
Пример. У Гарри было на 10 игрушек меньше, чем у Марка. У Сью вдвое больше игрушек, чем у Гарри. Установите стрелки: Сью— Гарри—Марк Следовательно, Марк равен x, Гарри равен x-10, а Сью равен 2(x-10). Студенты находят это очень полезным.

Сэнди Денни

Моя идея состоит в том, что учитель математики мог бы одновременно учить и понимать учеников, и у всех было бы чувство юмора. Поэтому я думаю, что она/он будет знать, слушают ученики или нет, когда после урока поговорите со учеником и спросите, что не так. Не оскорбляйте чувства ученика.

Лоренс

Меню уроков математики


Написание систем линейных уравнений из текстовых задач

Горячая математика

Немного

текстовые задачи

требуют использования

системы линейных уравнений

. Вот подсказки, которые помогут вам понять, когда задача со словами требует от вас написать систему линейных уравнений:

(i) Здесь задействованы два разных количества: например, количество взрослых и количество детей, количество больших ящиков и количество маленьких ящиков и т. д.

(ii) С каждым количеством связана ценность: например, цена билета для взрослых или билетов для детей, или количество предметов в большой коробке, а не в маленькой.

Такие задачи часто требуют написания двух разных линейных уравнений с двумя переменными. Как правило, одно уравнение связывает количество предметов (людей или ящиков), а другое уравнение связывает значения (цена билетов или количество предметов в ящиках).

Вот несколько шагов, которые нужно выполнить:

1. Понять проблему.

Поймите все слова, используемые в постановке проблемы.

Поймите, что вас просят найти.

Ознакомьтесь с проблемной ситуацией.

2. Переведите задачу в уравнение.

Назначьте переменную (или переменные) для представления неизвестного.

Четко укажите, что представляет переменная.

3. Выполните план и решите проблему.

Использовать

замена

,

устранение

или же

графическое изображение

метод решения проблемы.


Пример:

Стоимость входного билета на концерт популярной музыки составила

$

162

за

12

дети и

3

взрослые люди. Допуск был

$

122

за

8

дети и

3

взрослые на другом музыкальном концерте. Сколько стоил вход на каждого ребенка и взрослого?

1

. Поймите проблему:

Стоимость приема на

12

дети и

3

взрослые были

$

162

.

Стоимость приема на

8

дети и

3

взрослые были

$

122

.

2

. Переведите задачу в уравнение.

Позволять

Икс

представляет собой стоимость входного билета для каждого ребенка.

Позволять

у

представляет собой стоимость входного билета для каждого взрослого.

Стоимость приема на

12

дети плюс

3

взрослые равны

$

162

.

То есть,

12

Икс

+

3

у

знак равно

162

.

Стоимость входного билета для 8 детей плюс 3 взрослых составляет 122 доллара.

То есть,

8

Икс

+

3

у

знак равно

122

.

3

. Выполните план и решите проблему.

Вычесть второе уравнение из первого.

12

Икс

+

3

у

знак равно

162

8

Икс

+

3

у

знак равно

122

_

4

Икс

знак равно

40

Икс

знак равно

10

Заменять

10

за

Икс

в

8

Икс

+

3

у

знак равно

122

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *