Решите с помощью уравнения задачу в: Решите с помощью уравнения задачу: а) Продолжительность дня с 7 октября до 19 ноября уменьшилась на 3 ч и стала равной 8 ч. Какой была продолжительность дня 7 октября? б) В пакете было 350 г сахара. Когда в него добавили ещё сахара, в нём стало 900 г. Сколько граммов сахара добавили в пакет? в) На первой остановке в пустой автобус вошли несколько человек. На второй остановке вошли 10 человек, а на третьей

Содержание

Решение задач с помощью уравнений

В решении задач с помощью уравнений, необходимо соблюдать следующее: во-первых, записать условие задачи алгебраическим языком, т.е. таким образом, чтобы получить уравнение; во-вторых, упростить это уравнение до такого вида, в котором неизвестная величина будет стоять с одной стороны, а все известные величины — на противоположной стороне. Способы этого уже были рассмотрены ранее.

Один из основных принципов алгебраических решений, это то, что величина должна присутствовать в уравнении. Это позволит нам записать условия так, как если бы задача уже была решена. После этого, останется лишь решить уравнение и найти общее значение всех известных величин. Так как эти величины равны неизвестной величине на другой стороне уравнения, то величина всех известных значений будет означать, что задача решена.

Задача 1. Человек на вопрос, сколько он заплатил за часы, ответил: «Если умножить цену на 4, и к результату прибавить 70, а из этой суммы вычесть 50, то остаток будет равен 220 долларов». Сколько он заплатил за часы?

Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала записать условие задачи как алгебраическое выражение, то есть как уравнение.

Пусть цена часов равна   $x$

Эта цена была умножена на 4, то есть получаем   $4x$

К произведению прибавили 70, то есть   $4x + 70$

Из этого вычли 50, то есть   $4x + 70 — 50$

Таким образом, мы записали условие задачи с помощью чисел в алгебраической форме, но у нас еще нет уравнения. Однако, согласно последнему условию задачи, все предыдущие действия в итоге привели к результату, который равен $220$.

Поэтому, это уравнение выглядит так:   $4x + 70 — 50 = 220$

После проведения операций с уравнением, получаем, что     $x = 50$.

То есть, значение $x$ равно 50 долларов, что и есть искомой ценой часов.

Чтобы проверить, что мы получили верное значение искомой величины, мы должны подставить это значение вместо $х$ в уравнение, которое мы записали по условию задачи. Если в результате этой подстановки значения сторон будут равны, мы провели вычисление правильно.

Уравнение задачи имело вид      $4x + 70 — 50 = 220$

Подставляя 50 вместо $x$, получаем    $4 \cdot 50 + 70 — 50 = 220$

Отсюда,        $220 = 220$.

Задача 2. Если к числу прибавить его половину, а из этого результата вычесть $20$, то получим четверть первоначального числа. Что это за число?

В задачах такого типа, где рассматриваются дроби, надо помнить, что $\left(\frac{1}{3}\right)x$ то же самое, что и $\frac{x}{3}$; отсюда $\left(\frac{2}{5}\right)x = \frac{2x}{5}$.

Обозначим через x искомое число.

Тогда согласно условию   $x + \frac{x}{2} — 20 = \frac{x}{4}$

После выполнения операций на уравнением, получим    $x = 16$.

         Проверка:    $16 + \frac{16}{2} — 20 = \frac{16}{4}$.

Задача 3. Отец разделил наследство между своими тремя сыновьями так, что:

Первый сын получил на $\$1000$ меньше, чем половина всего наследства;

Второй сын получил на $\$800$ меньше, чем треть всего наследства;

Третий сын получил на $\$600$ меньше, чем четверть всего наследства;

Какая сумма была всего наследства?

Если обозначить все наследство как x, тогда три сына получили $\frac{x}{2} — 1000, \frac{x}{3} — 800$ и $\frac{x}{4} — 600$.

Так как эти части все вместе представляют все наследство, то их сумма равна $x$.

Тогда мы имеем равенство $\frac{x}{2} — 1000 + \frac{x}{3} — 800 + \frac{x}{4} — 600 = x$.

После выполения операций с членами уравнения, получим, что         $x = 28800$

Проверка: $\frac{28800}{2} — 1000 + \frac{28800}{3} — 800 + \frac{28800}{4} — 600 = 28800$.

Чтобы избежать лишнего представления неизвестных величин в уравнении, иногда хорошо заметить, что когда дана сумма или разница двух значений, обе эти величины могут быть выражена одной и той же буквой. Так, если одна из двух величин вычитается из суммы этих величин, очевидно, что остаток буде равен другому вычитаемому. А если разница этих двух величин вычитается из большего, то остаток будет равен меньшему.

Так, если сумма двух чисел равна 20

И если один из них будет представлен через $x$

То другой будет равен $20 — x$.

Задача 4. Разделите 48 на две такие части, что если меньшая разделена на 4, а большая часть на 6, то суммая частных будет равна 9.

Здесь, если $x$ выразить как меньшую часть, то большая часть будет $48 — x$.

Согласно условию задачи, $\frac{x}{4} + \frac{48 — x}{6} = 9$.

Поэтому,     $x = 12$, то есть меншая часть.

И      $48 — x = 36 -$ большая часть.

Буквы могут быть использованы для выражения как известных величин в уравнении, так и неизвестных. Определенные значения присваиваются числам, а в конце они слова записываются как числа.

Задача 5. Если к определенному числу прибавить 720 и сумму разделить на 125, то результат будет равен 7392, разделенному на 462. Что это за число?

Обозначим через $x$ искомое число.

a = 720   d = 7392

b = 125   h = 462

Тогда, согласно условию задачи      $\frac{x + a}{b} = \frac{d}{h}$

Поэтому          $x = \frac{bd — ah}{h}$

Возвращая числа в уравнение, получим $х = \frac{(125.7392) — (720.462)}{462} = 1280$.

Когда решение уравнения дает отрицательный ответ, это показывает, что значение неизвестной величины противоположно значениям, которые по условию вопроса » рассматриваются как положительные.

Задача 6. Торговец получает или теряет при проведении сделки определенную сумму. Во второй сделке он получает 350 долларов, а в третьей теряет $60$. В конце концов, он обнаруживает, что получил 200 долларов за результатами трех сделок. Сколько он получил или потерял в первой сделке?

В этом примере, так как прибыль и убыток противоположны по природе, то они должны иметь противоположные знаки. Если прибыль обозначается с «+», то убыток должен обозначаться с «-«.

Пусть x = искомой сумме.

Тогда, согласно условию      $x + 350 — 60 = 200$

и x = -90.

Отрицательный знак перед ответом показывает, что первая сделка прошла с убытком.

Задача 7. Корабль плывет 4 градуса на север, потом 13 на юг. После этого 17 на север, потом 19 на юг и в конце оказывается на 11 градусе южной широты. С какой широты начал плыть корабль?

Пусть $x$ — искомая широта.

Тогда, обозначаем с «+» северное направление, а южное с «-«.

Согласно условию,      x + 4 — 13 + 17 — 19 = -11

и x = 0.

Ответ означает, что корабль начал свой путь с экватора, который не имеет широты.

Задача 8. Если определенное число разделить на 12, частное, делимое и делитель, сложенные вместе, дадут 64. Что это за число?

Пусть x — искомое число.

Тогда          $\frac{x}{12} + x + 12 = 64$.

Отсюда          $x — \frac{624}{13} = 48$.

Задача 9. Недвижимость была разделена между четырьмя детьми так, что,

Первый получил на 200 долларов больше чем $\frac{1}{4}$ всей недвижимости,

Второй получил на 340 долларов больше чем $\frac{16}{5}$ всей недвижимости,

Третий получил на 300 долларов больше чем $\frac{1}{6}$ всей недвижимости,

Четвертый получил на 400 долларов больше чем $\frac{1}{8}$ всей недвижимости.

Какова стоимость недвижимости?
Ответ: 4800 долларов.

Задача 10. Есть два числа, разница которых равна 40 и которые относятся друг к другу как 6 к 5. Что это за числа?
Ответ: 240 и 200.

Задача 11. Если число умножить в три раза, то оно будет относится к 12, как 2 к 9? Что это за число?
Ответ: 8.

Задача 12. Катер и лодка одновременно отправляются в путь по реке. Катер проходит пристань на реке, когда лодка находится ниже пристани на 13 миль. Катер проходит пять миль, а лодка проходит три мили. На каком расстоянии ниже пристани они встретятся?      Ответ: $32,5$ мили.

Задача 13. Найдите число, если шестая его часть больше его восьмой части на 20?
Ответ: 480.

Задача 14. Разделите приз в 2000 долларов на две такие части, при которых одна из частей относится к другой как 9 к 7.

Ответ: 1125 и 875.

Задача 15. Найдите сумму денег, для которой третья, четвертая и пятая части, сложенные вместе, дадут 94 доллара?

Ответ: 120 долларов.

Задача 16. Человек провел одну треть жизни в Англии, одну четвертую в Шотландии, а остаток жизни, который равнялся 20-и годам — в США. До какого возраста он дожил?      Ответ: $48$ лет.

Задача 17. Найдите число, для которого $frac{1}{4}$ этого числа больше $\frac{1}{5}$ его на 96?

Задача 18. Палка находится вертикально в воде. $\frac{3}{7}$ длины палки находится в воде, а 13 футов — над водой. Какая длина палки?

Ответ: 35 футов.

Задача 19. Если к числу прибавить 10, то $\frac{3}{5}$ этой суммы будет равняться 66. Что это за число?

Задача 20. Из всех деревьев в саду $\frac{3}{4}$ — яблони, $\frac{1}{10}$ — персики, а оставшиеся деревья — груши, которых на $20$ больше чем $\frac{1}{8}$ всех деревьев. Сколько всего деревьев в саду?

Ответ: 800.

Задача 21. Джентльмен купил несколько галлонов вина за $94$ долларов и после использования 7 галлонов он продал $\frac{1}{4}$ от оставшихся галлонов за 20 долларов. Сколько галлонов у него было вначале?

Ответ: 47.

Задача 22. Если сложить $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{7}$ числа, то сумма будет равна $73$. Что это за число?

Ответ: 84.

Задача 23. После того, как человек истратил на 100 долларов больше чем $\frac{1}{3}$ его дохода, у него осталось на 35 долларов больше чем $\frac{1}{2}$ его дохода. Чему равнялся его доход?

Задача 24. В составе пороха было:

селитры на 10 фунтов больше чем $\frac{2}{3}$ всего веса пороха,

серы на 4,5 фунта меньше чем $\frac{1}{5}$ всего веса пороха,

древесного угля на 2 фунта меньше чем $\frac{1}{7}$ селитры.

Какой вес пороха? Ответ: 69 фунтов.

Задача 25. Бочка емкостью 146 галлонов была наполнена смесью бренди, вина и воды. Причем, вина было на 15 галлонов больше, чем бренди, а воды столько же, сколько бренди и вина вместе. Чему равнялось количество каждой жидкости?

Задача 26. Четыре человека купили ферму за 4755 долларов, из которых B заплатил в три раза больше, чем А; С заплатил столько же, сколько и B, а D заплатил столько же, сколько C и B. Сколько заплатил каждый из них?

Ответ: 317, 951, 1268, 2219.

Задача 27. Отец разделил небольшую сумму денег между своими четырьмя сыновьями.

Третий сын получил на 9 шиллингов больше, чем четвертый;

Второй сын получил на 12 шиллингов больше, чем третий;

Первый получил на 18 шиллингов больше, чем второй;

А вся сумма денег была на 6 шиллингов больше чем умноженная в 7 раз сумма, которую получил самый младший.

Чему была равна вся сумма?
Ответ: 153.

Задача 28. У фермера было два стада овец, каждое из которых состояло из одной и того же числа животных. Продав из одного стада 39 овец, а с другого стада — $93$ овцы, он посчитал овец и обнаружил, что в одном стаде осталось в два раза больше овец чем в другом. Сколько первоначально овец было в каждом стаде?

Задача 29. Экспресс, двигаясь со скоростью 60 миль в день, был отправлен на 5 дней в путь ранее второго, который двигался со скоростью 75 миль в день. Когда второй экспресс догнал второго?      Ответ: $20$ дней.

Задача 30. Возраст А вдвое больше, чем В, возраст B втрое больше чем С, а сумма всех их возрастов равна $140$. Какой возраст каждого из них?

Задача 31. Было куплено два куска ткани одинаковой цены, но разной длины. Стоимость одного куска — 5 долларов, а другого — 6,5. Если удлинить каждый кусок на $10$ м, то эти длины будет относится друг к другу как 5 к 6. Найдите длину каждого куска.

Задача 32. Если к числу прибавить 36 и 52, то первая сумма будет относиться ко второй, как 3 к 4. Что это за число?

Задача 33. Джентльмен купил фаэтон, лошадь и упряжь на 360 долларов. Стоимость лошади вдвое больше чем упряжи, а фаэтон стоил вдвое больше, чем упряжь и лошадь вместе. Какова была цена каждой покупки?

Задача 34. Из бочки вина, из которой просочилось $\frac{1}{3}$ часть вина, 21 галлон вина впоследствии было использовано. После этого бочка оказалась наполовину полной. Сколько первоначально было вина в бочке?

Задача 35. У Человек имеет 6 сыновей, каждый из которых на 4 года старше следующего младшего брата, а самый старший в три раза старше, чем самый младший. Каков возраст каждого из них?

Задача 36. Разделите число 49 на две части с условием, что если большую часть увеличить на 6, а от меньшей отнять 11, то они относились бы друг к другу как 9 к 2.

Задача 37. Два числа относятся друг к другу как 2 к 3. Если к каждому из них прибавить 4, то полученные суммы относились бы друг к другу как 5 к 7. Найдите эти два числа.

Задача 38. Человек купил две бочки портера, одна из которых была в 3 раза больше, чем другая. Из каждой бочки он отлил по 4 галлона, а затем он обнаружил, что в большей бочке осталось в $4$ раза больше галлонов чем в меньшей бочке. Сколько галлонов было в каждой из бочек?

Задача 39. Разделите число 68 на две такие части, чтобы разница между большей частью и 84 должна быть равна утроенной разнице между меньшей частью и 40.

Задача 40. разделите число 36 на 3 такие части, что $\frac{1}{2}$ первой части, $\frac{1}{3}$ второй и $\frac{1}{4}$ третьей равны между собой.

Задача 41. Генерал после проигранной битвы обнаружил, что у него осталось только половина армии +3600 человек, годных для действий; $\frac{1}{8}$ армии +600 человек было ранено; а остальная часть солдат, которая равнялась $\frac{1}{5}$ от всей армии, были либо убита, либо взята в плен или пропала без вести. Какова была численность армии?

Ответ: 24000.

Для решения многих алгебраических задач, требуется уметь обращаться со степенями и арифметическими корнями. Поэтому необходимо изучить соответствующий раздел до окончания изучения уравнений.

Контрольная работа № 4 (математика, 5 класс, по учебнику Виленкина)

Контрольная работа № 4 (математика, 5 класс, по учебнику Виленкина)

 


Контрольная работа № 4 (математика, 5 класс, по учебнику Виленкина)

 


 

K-4


Вариант 1

1. Найдите значение выражения:
а) 8 · 76 — 930 : 10; б) 89 · (269 + 631) : 180.

2. Упростите выражение:
а) 57 · s · 6;
б) 51 · v · 30.

3. Решите уравнение:
а) 7490 : v = 35;
б) 6q — 22 = 62.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«На трех одинаковых клумбах и вдоль дорожек парка высадили 46 кустов роз.
Сколько кустов роз на одной клумбе, если вдоль дорожек посажено 16 кустов?»

5. Угадайте корень уравнения
x · x — 1 = 35 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 2

1. Найдите значение выражения:
а) 6 · 70 — 609 : 7; б) 8150 : 163 · (172 + 193).

2. Упростите выражение:
а) 48 · r · 6;
б) 60 · s · 80.

3. Решите уравнение:
а) 22950 : x = 90;
б) 96 — 6v = 12.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Из 14 м2 материи сшили 2 пододеяльника.
На каждый пододеяльник израсходовали 6 м2.
Сколько квадратных метров материи осталось?»

5. Угадайте корень уравнения
5 — x · x = 1 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 3

1. Найдите значение выражения:
а) 7 · 88 — 648 : 9; б) (665 + 859) · 70 : 127.

2. Упростите выражение:
а) 50 · x · 12;
б) 62 · v · 30.

3. Решите уравнение:
а) 40290 : u = 85;
б) 4p — 39 = 33.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Туристы за 5 дней проплыли на байдарке 98 км. В первый день
они проплыли 22 км. В каждый из последующих дней они проплывали
одно и то же расстояние. Найдите это расстояние.»

5. Угадайте корень уравнения
x · x — 1 = 15 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 4

1. Найдите значение выражения:
а) 9 · 95 — 581 : 7; б) 11400 : 190 · (172 + 160).

2. Упростите выражение:
а) 54 · w · 3;
б) 45 · t · 60.

3. Решите уравнение:
а) 14940 : q = 45;
б) 68 — 3y = 14.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Из 830 г шерсти связали 4 варежки и шарф. Сколько граммов
шерсти истратили на каждую варежку, если на шарф израсходовали 350 г?»

5. Угадайте корень уравнения
y · y + 1 = 50 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 5

1. Найдите значение выражения:
а) 8 · 84 — 360 : 5; б) 98 · (224 + 394) : 147.

2. Упростите выражение:
а) 39 · x · 5;
б) 50 · t · 50.

3. Решите уравнение:
а) 47405 : w = 95;
б) 2t — 21 = 33.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«На трех одинаковых клумбах и вдоль дорожек парка высадили 46 кустов роз.
Сколько кустов роз на одной клумбе, если вдоль дорожек
посажено 16 кустов?»

5. Угадайте корень уравнения
x · x — 1 = 48 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 6

1. Найдите значение выражения:
а) 7 · 83 — 594 : 9; б) 6820 : 124 · (220 + 180).

2. Упростите выражение:
а) 25 · r · 9;
б) 49 · q · 130.

3. Решите уравнение:
а) 31200 : t = 80;
б) 103 — 3q = 31.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Из 14 м2 материи сшили 2 пододеяльника.
На каждый пододеяльник израсходовали 6 м2.
Сколько квадратных метров материи осталось?»

5. Угадайте корень уравнения
17 — x · x = 1 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 7

1. Найдите значение выражения:
а) 9 · 73 — 595 : 7;
б) (785 + 687) · 99 : 132.

2. Упростите выражение:
а) 61 · v · 3;
б) 65 · x · 60.

3. Решите уравнение:
а) 19195 : q = 55;
б) 4r — 36 = 48.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Туристы за 5 дней проплыли на байдарке 98 км. В первый день
они проплыли 22 км. В каждый из последующих дней они проплывали
одно и то же расстояние. Найдите это расстояние.»

5. Угадайте корень уравнения
x · x — 1 = 15 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 8

1. Найдите значение выражения:
а) 8 · 72 — 828 : 9; б) 7008 : 146 · (218 + 177).

2. Упростите выражение:
а) 28 · s · 7;
б) 58 · q · 90.

3. Решите уравнение:
а) 2355 : t = 15;
б) 144 — 4w = 16.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Из 830 г шерсти связали 4 варежки и шарф. Сколько граммов
шерсти истратили на каждую варежку, если на шарф израсходовали 350 г?»

5. Угадайте корень уравнения
y · y + 1 = 50 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 9

1. Найдите значение выражения:
а) 9 · 74 — 425 : 5; б) 75 · (959 + 219) : 186.

2. Упростите выражение:
а) 58 · u · 7;
б) 50 · q · 20.

3. Решите уравнение:
а) 19710 : t = 45;
б) 5w — 19 = 41.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«На трех одинаковых клумбах и вдоль дорожек парка высадили 46 кустов роз.
Сколько кустов роз на одной клумбе, если вдоль дорожек
посажено 16 кустов?»

5. Угадайте корень уравнения
x · x — 1 = 24 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 10

1. Найдите значение выражения:
а) 9 · 84 — 738 : 9; б) 6656 : 104 · (181 + 187).

2. Упростите выражение:
а) 32 · q · 10;
б) 57 · u · 110.

3. Решите уравнение:
а) 10965 : q = 85;
б) 116 — 6w = 20.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Из 14 м2 материи сшили 2 пододеяльника.
На каждый пододеяльник израсходовали 6 м2.
Сколько квадратных метров материи осталось?»

5. Угадайте корень уравнения
17 — x · x = 1 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 11

1. Найдите значение выражения:
а) 8 · 85 — 462 : 6; б) (521 + 578) · 96 : 112.

2. Упростите выражение:
а) 37 · u · 3;
б) 53 · x · 20.

3. Решите уравнение:
а) 26775 : t = 85;
б) 5r — 19 = 51.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Туристы за 5 дней проплыли на байдарке 98 км. В первый день
они проплыли 22 км. В каждый из последующих дней они проплывали
одно и то же расстояние. Найдите это расстояние.»

5. Угадайте корень уравнения
x · x — 1 = 8 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 12

1. Найдите значение выражения:
а) 9 · 85 — 335 : 5; б) 7875 : 125 · (182 + 174).

2. Упростите выражение:
а) 44 · s · 13;
б) 54 · p · 110.

3. Решите уравнение:
а) 15560 : w = 40;
б) 190 — 6t = 22.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Из 830 г шерсти связали 4 варежки и шарф. Сколько граммов
шерсти истратили на каждую варежку, если на шарф израсходовали 350 г?»

5. Угадайте корень уравнения
y · y + 1 = 17 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 13

1. Найдите значение выражения:
а) 8 · 81 — 801 : 9; б) 95 · (897 + 493) : 139.

2. Упростите выражение:
а) 66 · p · 8;
б) 49 · v · 120.

3. Решите уравнение:
а) 20070 : x = 90;
б) 3p — 50 = 40.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«На трех одинаковых клумбах и вдоль дорожек парка высадили 46 кустов роз.
Сколько кустов роз на одной клумбе, если вдоль дорожек
посажено 16 кустов?»

5. Угадайте корень уравнения
x · x — 1 = 35 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 14

1. Найдите значение выражения:
а) 7 · 93 — 784 : 8; б) 5661 : 111 · (143 + 138).

2. Упростите выражение:
а) 65 · r · 5;
б) 57 · q · 70.

3. Решите уравнение:
а) 38760 : y = 85;
б) 99 — 5u = 14.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Из 14 м2 материи сшили 2 пододеяльника.
На каждый пододеяльник израсходовали 6 м2.
Сколько квадратных метров материи осталось?»

5. Угадайте корень уравнения
5 — x · x = 1 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 15

1. Найдите значение выражения:
а) 7 · 87 — 720 : 8; б) (657 + 208) · 90 : 173.

2. Упростите выражение:
а) 51 · y · 3;
б) 65 · q · 110.

3. Решите уравнение:
а) 13230 : v = 45;
б) 4t — 23 = 65.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Туристы за 5 дней проплыли на байдарке 98 км. В первый день
они проплыли 22 км. В каждый из последующих дней они проплывали
одно и то же расстояние. Найдите это расстояние.»

5. Угадайте корень уравнения
x · x — 1 = 15 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 16

1. Найдите значение выражения:
а) 8 · 89 — 624 : 8; б) 5472 : 114 · (125 + 158).

2. Упростите выражение:
а) 45 · w · 7;
б) 46 · x · 60.

3. Решите уравнение:
а) 3825 : p = 15;
б) 173 — 5x = 18.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Из 830 г шерсти связали 4 варежки и шарф. Сколько граммов
шерсти истратили на каждую варежку, если на шарф израсходовали 350 г?»

5. Угадайте корень уравнения
y · y + 1 = 50 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 17

1. Найдите значение выражения:
а) 7 · 80 — 375 : 5; б) 85 · (555 + 657) : 102.

2. Упростите выражение:
а) 40 · r · 8;
б) 64 · p · 70.

3. Решите уравнение:
а) 27610 : t = 55;
б) 4y — 50 = 66.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«На трех одинаковых клумбах и вдоль дорожек парка высадили 46 кустов роз.
Сколько кустов роз на одной клумбе, если вдоль дорожек
посажено 16 кустов?»

5. Угадайте корень уравнения
x · x — 1 = 8 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 18

1. Найдите значение выражения:
а) 8 · 89 — 546 : 7; б) 9741 : 191 · (221 + 185).

2. Упростите выражение:
а) 63 · v · 5;
б) 65 · q · 40.

3. Решите уравнение:
а) 20520 : s = 60;
б) 102 — 4 v = 26.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Из 14 м2 материи сшили 2 пододеяльника.
На каждый пододеяльник израсходовали 6 м2.
Сколько квадратных метров материи осталось?»

5. Угадайте корень уравнения
37 — x · x = 1 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 19

1. Найдите значение выражения:
а) 8 · 75 — 774 : 9; б) (999 + 349) · 97 : 194.

2. Упростите выражение:
а) 39 · s · 12;
б) 49 · v · 30.

3. Решите уравнение:
а) 37725 : r = 75;
б) 3v — 44 = 46.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Туристы за 5 дней проплыли на байдарке 98 км. В первый день
они проплыли 22 км. В каждый из последующих дней они проплывали
одно и то же расстояние. Найдите это расстояние.»

5. Угадайте корень уравнения
x · x — 1= 80 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 20

1. Найдите значение выражения:
а) 8 · 92 — 930 : 10; б) 5145 : 105 · (189 + 156).

2. Упростите выражение:
а) 24 · q · 2;
б) 56 · t · 80.

3. Решите уравнение:
а) 35370 : s = 90;
б) 129 — 4r = 21.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Из 830 г шерсти связали 4 варежки и шарф. Сколько граммов
шерсти истратили на каждую варежку, если на шарф израсходовали 350 г?»

5. Угадайте корень уравнения
y · y + 1 = 5 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 21

1. Найдите значение выражения:
а) 7 · 97 — 720 : 9; б) 91 · (601 + 935) : 104.

2. Упростите выражение:
а) 36 · t · 9;
б) 56 · p · 110.

3. Решите уравнение:
а) 36765 : t = 95;
б) 4w — 12 = 32.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«На трех одинаковых клумбах и вдоль дорожек парка высадили 46 кустов роз.
Сколько кустов роз на одной клумбе, если вдоль дорожек
посажено 16 кустов?»

5. Угадайте корень уравнения
x · x — 1 = 80 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 22

1. Найдите значение выражения:
а) 8 · 84 — 760 : 8; б) 8052 : 183 · (218 + 202).

2. Упростите выражение:
а) 58 · w · 4;
б) 46 · s · 110.

3. Решите уравнение:
а) 13455 : u = 65;
б) 57 — 2r = 25.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Из 14 м2 материи сшили 2 пододеяльника.
На каждый пододеяльник израсходовали 6 м2.
Сколько квадратных метров материи осталось?»

5. Угадайте корень уравнения
50 — x · x = 1 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 23

1. Найдите значение выражения:
а) 6 · 73 — 582 : 6; б) (717 + 203) · 77 : 184.

2. Упростите выражение:
а) 55 · v · 4;
б) 46 · p · 80.

3. Решите уравнение:
а) 17400 : p = 50;
б) 3s — 37 = 26.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Туристы за 5 дней проплыли на байдарке 98 км. В первый день
они проплыли 22 км. В каждый из последующих дней они проплывали
одно и то же расстояние. Найдите это расстояние.»

5. Угадайте корень уравнения
x · x — 1 = 80 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

K-4


Вариант 24

1. Найдите значение выражения:
а) 8 · 79 — 546 : 7; б) 6885 : 153 · (119 + 121).

2. Упростите выражение:
а) 35 · q · 9;
б) 47 · s · 20.

3. Решите уравнение:
а) 6160 : u = 20;
б) 98 — 4q = 22.

4. Решите с помощью уравнения задачу:
«Из 830 г шерсти связали 4 варежки и шарф. Сколько граммов
шерсти истратили на каждую варежку, если на шарф израсходовали 350 г?»

5. Угадайте корень уравнения
y · y + 1 = 82 и выполните проверку.

© А.П. Шестаков, 1996

 


 

 














 


© Шестаков А.П., 2001

Сайт создан в системе uCoz

Самостоятельная работа по математике на тему Уравнения (5 класс)

Вариант 1.

1.Решите с помощью уравнения задачу: « Петя задумал число. Если вычесть его из числа 333, то получится 195. Какое число задумал Петя?»

2. Решите уравнения:

а) 965 + х = 1505; б) 802 – а = 416.

3.Решите уравнение: 44 + ( а – 85) = 105.

Вариант 2.

1.Решите с помощью уравнения задачу: «Если из задуманного числа вычесть 242, то получится 120. Каково задуманное число?»

2.Решите уравнения:

а) x + 223 = 1308; б) у – 127 = 353.

3.Решите уравнение: 69 + ( 87 – у) = 103.

Вариант 1.

1.Решите с помощью уравнения задачу: « Петя задумал число. Если вычесть его из числа 333, то получится 195. Какое число задумал Петя?»

2. Решите уравнения:

а) 965 + х = 1505; б) 802 – а = 416.

3.Решите уравнение: 44 + ( а – 85) = 105.

Вариант 2.

1.Решите с помощью уравнения задачу: «Если из задуманного числа вычесть 242, то получится 120. Каково задуманное число?»

2.Решите уравнения:

а) x + 223 = 1308; б) у – 127 = 353.

3.Решите уравнение: 69 + ( 87 – у) = 103.

Вариант 1.

1.Решите с помощью уравнения задачу: « Петя задумал число. Если вычесть его из числа 333, то получится 195. Какое число задумал Петя?»

2. Решите уравнения:

а) 965 + х = 1505; б) 802 – а = 416.

3.Решите уравнение: 44 + ( а – 85) = 105.

Вариант 2.

1.Решите с помощью уравнения задачу: «Если из задуманного числа вычесть 242, то получится 120. Каково задуманное число?»

2.Решите уравнения:

а) x + 223 = 1308; б) у – 127 = 353.

3.Решите уравнение: 69 + ( 87 – у) = 103.

Вариант 1.

1.Решите с помощью уравнения задачу: « Петя задумал число. Если вычесть его из числа 333, то получится 195. Какое число задумал Петя?»

2. Решите уравнения:

а) 965 + х = 1505; б) 802 – а = 416.

3.Решите уравнение: 44 + ( а – 85) = 105.

Вариант 2.

1.Решите с помощью уравнения задачу: «Если из задуманного числа вычесть 242, то получится 120. Каково задуманное число?»

2.Решите уравнения:

а) x + 223 = 1308; б) у – 127 = 353.

3.Решите уравнение: 69 + ( 87 – у) = 103.

Вариант 1.

1.Решите с помощью уравнения задачу: « Петя задумал число. Если вычесть его из числа 333, то получится 195. Какое число задумал Петя?»

2. Решите уравнения:

а) 965 + х = 1505; б) 802 – а = 416.

3.Решите уравнение: 44 + ( а – 85) = 105.

Вариант 2.

1.Решите с помощью уравнения задачу: «Если из задуманного числа вычесть 242, то получится 120. Каково задуманное число?»

2.Решите уравнения:

а) x + 223 = 1308; б) у – 127 = 353.

3.Решите уравнение: 69 + ( 87 – у) = 103.

Вариант 1.

1.Решите с помощью уравнения задачу: « Петя задумал число. Если вычесть его из числа 333, то получится 195. Какое число задумал Петя?»

2. Решите уравнения:

а) 965 + х = 1505; б) 802 – а = 416.

3.Решите уравнение: 44 + ( а – 85) = 105.

Вариант 2.

1.Решите с помощью уравнения задачу: «Если из задуманного числа вычесть 242, то получится 120. Каково задуманное число?»

2.Решите уравнения:

а) x + 223 = 1308; б) у – 127 = 353.

3.Решите уравнение: 69 + ( 87 – у) = 103.

Вариант 1.

1.Решите с помощью уравнения задачу: « Петя задумал число. Если вычесть его из числа 333, то получится 195. Какое число задумал Петя?»

2. Решите уравнения:

а) 965 + х = 1505; б) 802 – а = 416.

3.Решите уравнение: 44 + ( а – 85) = 105.

Вариант 2.

1.Решите с помощью уравнения задачу: «Если из задуманного числа вычесть 242, то получится 120. Каково задуманное число?»

2.Решите уравнения:

а) x + 223 = 1308; б) у – 127 = 353.

3.Решите уравнение: 69 + ( 87 – у) = 103.

Вариант 1.

1.Решите с помощью уравнения задачу: « Петя задумал число. Если вычесть его из числа 333, то получится 195. Какое число задумал Петя?»

2. Решите уравнения:

а) 965 + х = 1505; б) 802 – а = 416.

3.Решите уравнение: 44 + ( а – 85) = 105.

Видеоурок «Решение задач с помощью уравнений»

В курсе школьной математики обязательно встречаются задачи. Некоторые из них решаются в несколько действий, а другие требуют некоторой головоломки, то есть составления и решения уравнения.

Решение задач с помощью уравнений вызывает немало затруднений у школьников, несмотря на то, что эта тема начинается ещё в младшей школе. Задачи, решаемые с помощью уравнения, только на первый взгляд трудные. Если потренироваться, то этот процесс дойдёт до автоматизма.

В решении задач с помощью уравнений необходимо соблюдать следующие правила: во-первых, записать условие задачи алгебраическим языком, т. е. таким образом, чтобы получить уравнение; во-вторых, упростить это уравнение до такого вида, в котором неизвестная величина будет стоять с одной стороны, а все известные величины — на противоположной стороне.

В этом уроке мы усовершенствуем навыки решения текстовых задач с помощью уравнений. Заметим, что не всегда корень составленного уравнения является ответом на вопрос задачи. В этом случае, чтобы ответить на вопрос задачи, надо с помощью найденных корней дополнительно выполнить необходимые преобразования. В этом нам помогут разобраться два друга — Саша и Паша.

Паша, заметив, что заплатил меньше денег за мороженое, чем Саша, захочет выяснить, сколько же стоит одна порция мороженого. Его лучший друг Саша согласится помочь.

Решив свою задачу, мальчишки поймут, что узнать, сколько стоит одна порция мороженого, можно было бы и другим способом. На этот вопрос ребятам поможет найти ответ умный Мудряш.

Мудряш с радостью научит решать задачи с помощью уравнений. При этом он не забудет показать, как составляют и решают уравнения. А чтобы мальчишки ещё лучше научились решать уравнения, Мудряш предложит им усовершенствовать свои знания при решении задач.

«Мы дадим подсказку к созданию новых принципов энергетики»

Интервью Владимира Александрова с Григорием Трубниковым
«Коммерсантъ Наука» № 9 (1), апрель 2021

Академик Григорий Трубников, директор Объединенного института ядерных исследований, рассказывает о грандиозном проекте NICA, объясняет, зачем крупному ученому нужно побывать бюрократом, комментирует реформы в российской науке и делится главным правилом воспитания.

— Дело идет к полномасштабному запуску NICA — экспериментальной установки, без преувеличения, всемирного значения, в создании которой принимают участие многие страны. Скажите, какие препятствия пришлось преодолевать на пути к запуску? Не мешали ли, особенно в последнее время, политические проблемы, возникшие в отношениях России с Западом?

— NICA — огромный, важнейший не только в нашей жизни проект, это огромный проект в повестке мировой, по масштабам сравнимый с институтом. Для сравнения: среднего размера научная организация в Европе — это 300–500 человек, средний академический институт — тоже около 400 человек, а в проекте NICA, только в одном, задействовано не менее 1500 человек, из которых половина — научные сотрудники. Примерно поровну — россияне и зарубежные ученые из более чем 30 стран мира. NICA для института — это определенный фазовый переход в новое состояние, которое даст впоследствии дополнительную стабильность и устойчивость минимум на 10–15 лет, потому что такой проект привлекает внимание всего мира. По масштабам в России, я считаю, в этой области физики не делалось ничего подобного лет 40, наверное. Сотни институтов, предприятий со всего мира сейчас задействованы в той или иной степени в науке, в индустрии, в контрактах, в моделировании, в реконструкции события. И главный вызов — это набраться смелости, сделать такой проект и до конца пройти этот путь от идеи до ее защиты на международном уровне и дальше до реализации. Положительное решение по проекту было принято только после того, как мировое сообщество признало, что то, на что нацелен проект, это действительно новое слово в мировой науке, новые знания для человечества. Решение о создании проекта было принято в 2011 году, и после этого примерно пять лет ушло на проектирование — подготовку документации как на основное оборудование, так и на здания, сооружения. Также была доказана реалистичность предлагаемых технологий. Что физика явлений, наблюдаемых процессов будет соответствовать уровню точности, который мы предъявляем к эксперименту. В 2015 году мы подписали контракт на начало строительства, и с 2016 года пошла полномасштабная работа по изготовлению оборудования, по распределению контрактов по всему миру, синхронизации всех процессов. Параллельно с нами в этой области физики в мире развиваются еще три установки: проект ФАИР в Германии, в Брукхейвенской национальной лаборатории в США, ну и идет экспериментальная программа в ЦЕРН на выведенных пучках из суперпротонного синхротрона. Поскольку физика «горячая», то все мы — четыре конкурента-«спортсмена» — движемся к своей цели, пристально глядя на то, как бегут остальные. Мы все время смотрим, что делают наши партнеры, куда они движутся, на какой они стадии, и модернизируем по ходу дела те или иные системы. Главная наша планка или требование, которое мы сами себе предъявляем, — это то, чтобы проект именно в момент своего запуска, то есть через 10–12 лет после предложения идеи, стал самым передовым и самым «крутым» в мире. Только тогда он будет конкурентным еще лет 10 как минимум. Иначе вы построите очередную египетскую пирамиду, удивив мир размером, но отнюдь не ее возможностями. Амбициозность параметров, масштабность проекта — это, пожалуй, самая главная сложность. Никакого серьезного влияния политических катаклизмов мы не чувствуем. Есть (ведь проекту уже 10 лет) возникающие регулярно влияния экономических кризисов в окружающем мире, но это текущие проблемы — они решаются в рабочем порядке. Все партнеры верили и верят в то, что одна из самых грандиозных установок в мире будет построена, поэтому все хотят быть причастными к этому проекту, ищут решения, а не проблемы. Пытаются по ходу дела преодолевать барьеры, понимая, что отказ от контракта будет означать, что ты пилишь сук, на котором сидишь.

— Широко известны сложности с финансированием российской науки. Коснулись ли они этого проекта? Можно ли сказать, что чиновники осознали необходимость этого научного проекта для России?

— В целом у нас пока проблем нет, есть общее желание сделать этот проект. Да и я бы не обобщал со сложностями финансирования науки — есть дефицит идей и воли. В нашем случае — министерство и правительство осознают значимость этого проекта, его перспективность с точки зрения продвижения не только национальной науки, но и нашего реноме в мире. Финансовые сложности, конечно, есть, как и у всех стран, денег на науку всегда не хватает не только в России, но и в Европе, Штатах и в Китае. Объемы экономик разные, удельные расходы на исследователей, дифференцированы научно-технологические приоритеты. В этом смысле мы каждый день должны доказывать, что делаем амбициозную установку и это наш главный спасательный круг.

— Помешал ли делу коронавирус?

— Пандемия, конечно, добавила сложности всем — и нам, и конкурентам тоже. Думаю, что по разным этапам проекта мы получили задержку там от трех до восьми месяцев. Все задержались. Но до запуска у нас еще почти два года, и мы стараемся сейчас нивелировать задержки, чтобы все-таки быть первыми. Наши подрядчики уходили в локдаун на разные сроки: в Европе и Америке — побольше, а в России — поменьше, поскольку удалось добиться большего в деле сдерживания пандемии. Здесь у нас задержка на три-четыре месяца — период, когда персонал на предприятиях не работал. Но внутренние процессы в Дубне — мы старались темп держать. Спасибо огромное нашему правительству: поскольку NICA входит в нацпроект «Наука», то у нас был особый режим благоприятствования. Мы, соблюдая все меры безопасности, не останавливали ни один процесс: ни строительство, ни проектирование, ни изготовление и сборку. Что-то перевели в онлайн, где-то сработали на упреждение. Главная потеря от пандемии, наверное, это сбой в логистике поставок уже готовых компонентов, которые мы не могли привезти в Дубну. Закрыты были аэропорты, логистические центры, сокращены или вовсе приостановлены железнодорожные и морские перевозки. Эта проблема, которую мы сейчас пробуем как-то выправить, наверное, окажет наряду с выводом персонала в онлайн наибольшее влияние на задержки с реализацией проекта. Хотя хочу заметить, что, несмотря на онлайн-режим, у нас за этот год по работам, связанным с NICA, защищено несколько диссертаций, вышло несколько публикаций в ведущих зарубежных журналах, таких как Nature. Мы провели довольно длинный трехнедельный сеанс на первом каскаде NICA в декабре 2020 года, когда запустили его с участием премьер-министра страны Михаила Мишустина.

— В целом, если оценивать сегодняшнее состояние российской науки, насколько и в чем изменилась ситуация в сравнении с 2013 годом, когда началась реформа РАН?

— Я бы не назвал это реформой. Была попытка изменить статус и работу Академии наук. Что-то получилось, что-то — нет. Ряд сфер исследований, ряд институтов если и не исчезли, то стагнируют. Но те, кто либо сам реализует амбициозные проекты, либо участвует в них, абсолютно на плаву. Посмотрите, сколько в стране создается: геномные центры, международные математические центры, новые мегасайенс-установки в Новосибирске, Нижнем Новгороде и на Дальнем Востоке. Примеров множество: конечно же, Курчатовский институт, Институт ядерной физики в Новосибирске, Институт цитологии и генетики, центр «Вектор», Институт прикладной физики, Центр эндокринологии РАН, Институт катализа, химики в Черноголовке, Алмазовский центр, ИБХ и ИМБ РАН, многие и многие другие. Те, кто хочет и готов меняться, чтобы не отстать от цивилизованного мира, думаю, практически все успешны. Да, ряд наук, я считаю, незаслуженно в забвении, с точки зрения поддержки государства в первую очередь — гуманитарные: социология, экономика, историки, филологи. А ведь за ними в каком-то смысле будущее: взаимодействие общества и нового цифрового уклада. Но в целом ситуация в российской науке сейчас, на мой взгляд, имеет все перспективы к росту. Мы наблюдаем рост финансирования науки — на 15–20% за последние несколько лет. Едва ли мы можем себя называть отстающими. Но сейчас все ведущие страны делают ставку на науку, и абсолютные цифры, которые показывают, например, Китай и США, должны наше правительство заставить задуматься. Но мне кажется, что одним увеличением финансирования вопрос не решить, это большая комплексная задача, решение которой увязано также с предложением интересных конкурентных проектов, с подготовкой кадров, созданием специальных режимов благоприятствования — налоговых, регуляторных, бюджетных, законодательных для организаций и тех территорий, которые занимаются исследованиями и разработками.

— Мы всегда просим академиков популяризировать одну из последних работ для читателей «Ъ». Но на сей раз правильным, вероятно, будет популяризация задач, стоящих перед NICA. Расскажите, чего удастся добиться с его помощью?

— Каждый большой проект должен иметь яркий список завоеваний и достижений. Можно говорить о быстрых победах, о победах среднего горизонта, о долгосрочных стратегических достижениях. В первую очередь NICA — это фундаментальные исследования нового состояния ядерной материи, доселе не изученного и не наблюдаемого. Почему это интересно? Ну, например, Фарадей 190 лет назад изобрел электромагнитную индукцию, Максвелл 130 лет назад вывел свои уравнения. В тот момент никто не мог сказать, что это даст человечеству. Но, как сказал Фарадей: «Это точно где-то пригодится лет через 50, и наши правительства от этого будут получать громадные налоги». И он был прав: сейчас без электроэнергетики невозможна наша жизнь, мы не можем ее представить. Что дала теория относительности Эйнштейна народному хозяйству сразу после опубликования? Ничего. Но через 40–50 лет эта теория стала основой космонавтики и спутниковой навигации, базисом для развития микроэлектроники. Без преобразований Лоренца, без учета теории относительности неработоспособны многие современные технологические системы. В 1911 году Резерфорд в своих экспериментах первым увидел строение атома и ядра, а за 13 лет до этого Беккерель обнаружил явление радиоактивности. Только через 40 лет появились первые подобия ядерных реакторов, а в 1954 году в Советском Союзе была запущена в работу первая в мире промышленная Обнинская атомная станция, которую создал Дмитрий Блохинцев, первый директор нашего института. Сейчас 20% всей мировой энергетики — это атомные станции. NICA нацелен на исследование новых состояний материи, из которой мы с вами состоим. И которая, возможно, строит некоторые наблюдаемые объекты во Вселенной — например, в нейтронных звездах. Если мы сможем смоделировать и исследовать в эксперименте фазовые переходы в ядерной материи на коллайдере — это будут новые знания об экзотических состояниях ядерного вещества, ответы на вопросы о происхождении нашей Вселенной. После Большого взрыва примерно через 5–10 микросекунд материя, из которой возникла наша Вселенная, была в состоянии кварк-глюонной плазмы. Потом по каким-то причинам свободные кварки и глюоны объединились в тройки и образовали протоны и нейтроны — основу ядерной материи. Дальше возникли легкие и тяжелые стабильные ядра, которые построили галактики, планеты и наш мир. Наблюдения и понимание этих процессов — главная фундаментальная задача проекта NICA. И здесь мы потенциально можем получить абсолютно новые знания об окружающем мире: как возникла наша Вселенная, как она эволюционирует. Более «приземленные» формулировки можно и так озвучить: мы будем искать ключи к тому, как в лабораторных условиях здесь, на нашем коллайдере, получить и «приручить» такое состояние ядерной материи. И этот эксперимент может стать подсказкой к созданию новых принципов источников энергии. Ведь мы наблюдаем в космосе такие тела, как нейтронные звезды — компактные объекты, около 15–20 км в поперечнике, огромной плотности и излучающие колоссальную энергию, как будто несколько солнечных систем. Ну а если говорить про короткий горизонт «внедрения» результатов наших экспериментов, то они, конечно, совсем прикладные. Десять лет назад, начав планировать проект, мы сформулировали требования к тому, чтобы стало возможным наблюдение фазовых переходов в ядерной материи: нам нужно измерять процессы с пикосекундной (10 в минус 12-й степени) точностью. Сейчас в любом, даже самом сложном приборе точность разрешения на уровне лучше одной наносекунды никому не нужна. Но это вовсе не означает, что разрабатываемые нами технологии уже через два-три года не будут востребованы и подобные приборы не будут лежать на полке магазина! Конечно, мы хотим более высокие скорости анализа и обработки данных — это гонка человека со временем, наша жизнь с каждым днем все быстрее, и мы хотим успевать все больше и больше. Похожая ситуация с точностью измерения траектории движения частиц. Вот посмотрите, тут совсем простая история. Коллайдер NICA — это два сталкивающихся пучка, два плотных сгустка, летящих со скоростями, близкими к скорости света. В каждом встречном — несколько миллиардов частиц, они сталкиваются и на ультракороткие времена (мы уже знаем — пикосекунды), возможно, образуют «бульон» из свободных кирпичиков материи — кипящую кварк-глюонную материю. Это как растопить лед и наблюдать за кипящими пузырьками газа. Интересно, что напрямую мы эти частицы (кварки и глюоны) наблюдать и фиксировать не можем — природа запрещает. Да и времена такой их свободной жизни — совсем запредельно короткие — в миллионы раз меньше даже пикосекунд. Но по вылетающим продуктам реакции из точки столкновения можем восстановить, что был такой фазовый переход в ядерной материи. Только нужно миллиарды траекторий этих самых продуктов реакции распознать, а они непрерывным потоком выплескиваются. И главное тут — быстрая работа системы распознавания треков и портретов частиц. Точный аналог системы распознавания образов в любой системе безопасности. Очень даже, выходит, земная задача.

— Тогда, простите за дилетантский вопрос, означает ли это, что вы с коллегами из других стран приближаете человечество к какому-то новому пониманию микромира? Не стоим ли мы на пороге очередной технологической революции?

— Это абсолютно так. И очень важно, что вы обсуждаете нас всех как один большой интернациональный коллектив, работающий одновременно в нескольких странах мира. Очень важно наукой заниматься открыто, без барьеров и каких-либо ограничений. Ведь самое престижное соревнование — открытое, конкурентное, неизолированное. Можно соревноваться в стометровке с самим собой. Но другое дело, когда ты участвуешь в эстафете и рядом с тобой бегут еще другие сильные атлеты. Когда ты соревнуешься открыто с соперником, то прикладываешь совсем другие усилия, чтобы прибежать к финишу первым. Ни Россия, ни Соединенные Штаты не реализуют такой проект в одиночку, это всегда сосредоточение и консолидация лучших технологий, самых ярких и амбициозных «голов», и только так можно получить самый передовой результат…

— И изменить мир… В том числе политический?

— Да, в том числе. Сейчас много сложностей на этом нашем маленьком земном шаре. Большие страны, большие амбиции, сложности, связанные с турбулентностями: экономическими, политическими, «ковидными», глобальным потеплением и так далее. Политикам для того, чтобы двигаться дальше, нужен прогресс и движение навстречу друг другу. А без взаимопонимания, взаимной выгоды и открытости никогда прогресса не будет — он всегда только в любви и мире. Политикам, садящимся, например, обсуждать сложные вопросы, имеющим только негативную повестку, никогда не договориться о прогрессе. Им нужно обязательно каждому что-то иметь в запасе, чтобы из десяти вопросов как минимум хотя бы один-два были позитивными. И такими вопросами, конечно, являются наука, образование, культура — это человеческие скрепы, очевидные и признанные моральные ценности, интеллектуальная копилка человечества. Эти вещи всегда позитивны в любых, даже самых сложных, переговорах. Поэтому умные политики никогда не жгут мосты науки и культуры, никогда.

— Вы стали недавно директором института. Насколько сильно административные обязанности отвлекают вас от науки? Если можно, сравните свою нынешнюю бюрократическую нагрузку с той, что у вас была, когда вы работали первым заместителем министра.

— Бюрократия всегда всем мешает: и тем, кто управляет, и тем, кто подчиняется. Те, кто подчиняется, отвлекаются от основной деятельности, а значит, делают свою работу неэффективно. Бесконечная отчетность, доказывание кому-то, что ты квалифицированный, сильный и можешь ту или иную задачу решить, — это все пожирает огромное количество ресурсов. А главный ресурс — это время. Оно такое важное и такое дорогое. В том числе и для исследователя. Перенесемся на другую сторону — чиновника или контролера. Раз он требует эту отчетность, он вынужден будет ее читать, контролируя не конечный результат, а бесконечные промежуточные этапы. Он тоже отвлекается и тем самым свой труд делает неэффективным. А значит, тоже тратит свой самый драгоценный ресурс — время — на пустое, вместо более конструктивной деятельности. По поводу сравнения работы директора и первого замминистра. Во-первых, ни одного дня не жалею о том, что работал в министерстве: совершенно фантастический опыт, и главное, что человек на такой должности получает, это широту взгляда. Масштаб совершенно другой, и я всем руководителям научных организаций пожелал бы обязательно пройти через опыт управления и администрирования — это полезный багаж. Идеальный возраст для этого как раз в районе 40–45 лет, когда ты уже понимаешь, как работает твоя сфера, уже чего-то добился, и у тебя есть идеи, что можно было бы изменить, поменять, улучшить. И вторая вещь, которую воспитывает такая позиция, — это ответственность. Масштаб страны (сферы исследований и разработок) и научной организации — это совершенно разные вещи. Ты по-другому начинаешь предсказывать или моделировать последствия от тех или иных своих действий, слов, рекомендаций. Это отбирает много нервов, физических сил и времени, но все не зря. А главный урок — точно у каждого из нас есть возможность многое поменять при упорстве, аккуратности, усидчивости, терпении, чувстве ответственности. Ну а про совмещение… Науку бросить невозможно. Административные заботы, конечно, закруживают, но современные обзоры я ежедневно читаю, в текущих оперативках по коллайдеру и по экспериментальной программе обязательно участвую. Нельзя из повестки выпадать — тогда ничего содержательного не останется.

— Вы нынешний довольны собой тогдашним?

— Пожалуй, да. Хотя должно такую оценку делать, конечно, сообщество, в котором и для которого я работал. На той должности для меня главным было (и для человека, и для ученого) не потерять свою репутацию. Ну и достичь определенного прогресса в развитии национальной научной сферы. И надеюсь, что мне это удалось. Несомненно, были ошибки, просчеты, упущенные где-то время или возможности, но в целом — да, я скорее доволен.

— Уж простите, еще про бюрократию. Прокомментируйте, пожалуйста, слияние Российского научного фонда и Российского фонда фундаментальных исследований.

— Понимаете, что-то нужно было менять и в одном, и в другом фонде. Потому что система, не меняющаяся в течение 10 или 20 лет, начинает стагнировать, обрастать той самой дополнительной бюрократией. Как сейчас принято говорить, трансакционными издержками. А любая такая издержка — потерянное время. И в этом смысле и тот, и другой фонд нуждались и нуждаются в модернизации. Приведет ли объединение к улучшению работы, сейчас трудно сказать, нужно время. У РФФИ были очень профессиональные экспертные советы, были свои уникальные и успешные программы, было огромное множество международных программ. Давайте дождемся результата этих преобразований (большое всегда видится на расстоянии), но в любом случае это изменения. Другое дело, что такие изменения должны быть, конечно, перед своим воплощением объяснены научному сообществу. Ведь именно для него, а не для чиновников или организаторов науки созданы эти фонды. Студенты, аспиранты, научные сотрудники, желающие заниматься сильной и амбициозной фундаментальной наукой, прогрессивные научные школы — вот адресат этих фондов. А это элита общества, она одна из самых преданных и патриотичных, одна из самых надежных и неконфликтных, и уж точно она наиболее высокообразованная и интеллигентная. Она заслуживает уважения и диалога от государства.

— О молодежи в науке и о студентах: сравните их со своими молодыми и студенческими временами, пожалуйста.

— Конечно, отличие есть. Я бы сказал, что мотивы не изменились. Мотив исследователя — это любопытство. Оно было, есть и будет, это главный внутренний двигатель для человека, который хочет стать ученым. Мотив быть первым и причастным к открытию, к технологическим достижениям. И в этом смысле, думаю, современное поколение молодежи не отличается от моего, как мы не отличались от поколения 60–70-х годов. Но, конечно, мы меняемся. Я думаю, поменялся менталитет: мир стал более открытым, и у молодежи сейчас больше возможностей реализовать себя, поскольку за это время банально добавились десятки и сотни новых профессий и специальностей, сфер науки и технологий. И, конечно, коренное отличие — это информационные потоки, умение ими оперировать, анализировать информацию. Оно, конечно, разное у тех, кому сейчас 40 и кому 25. Но и в молодежи тоже дифференциация: кто-то более системный, кто-то более клиповый, как говорят сейчас, короткометражный. Но объемы информации, которые человек способен переварить сейчас и был способен переварить 20 лет назад, просто колоссально увеличились. Что дальше будет, посмотрим. Это, пожалуй, один из главных вызовов для человека.

— Вы многодетный отец. Как удается совмещать семейную, научную, административную деятельность?

— Я в первую очередь счастливый отец — у меня трое детей. Это большое счастье! Совмещать удается, но я постоянно задаю вопрос: достаточно ли времени я провожу с детьми (они школьники средних и младших классов), обучаю их чему-то, довожу до них что-то, достаточно ли хорошо знаю их внутренний мир и, вообще, глубоко ли я вникаю в их жизнь? У каждого из нас своя миссия и задача в жизни. Дети — это то, что остается после нас. Но остаются и дела. Счастье — в балансе. Я ведь прекрасно понимаю, что иметь причастность к такому большому проекту, как NICA, — это огромное счастье, оно выпадает одному из миллиона. Получить опыт и нести «кафедру» федерального министерства — это тоже редкая возможность, уникальный опыт, шанс оставить государственный след. С учетом этого я в какой-то момент не то чтобы избрал, но понял: принятая мною модель правильного отца в том, чтобы показывать детям своим примером, что должно и что не должно делать. На общение и объяснения ведь очень часто времени просто нет. Кстати, и дети тоже все меньше и меньше свободного времени имеют. У них, как и у взрослых, — заполненный календарь. Найти бы возможность как можно более частого живого общения. И я воспитываю детей своим примером, реакцией на те или иные обстоятельства в жизни: они видят книги, которые я читаю, мы вместе выбираем и смотрим фильмы, путешествуем и открываем для себя мир, они полноценные участники моей широкой сферы общения. Но дети в итоге, имея все эти возможности, сами должны выбирать. И это самое ценное, когда у человека есть свой выбор в жизни. Я ведь им показываю свой выбор. И если я в их глазах успешен, значит, они будут следовать многим вещам, которые мне помогли достичь того, что я собой представляю. Такая вот модель воспитания. Надеюсь, что они будут счастливы.

Продвинутые дженерики в TypeScript. Доклад Яндекса / Блог компании Яндекс / Хабр

Дженерики, или параметризованные типы, позволяют писать более гибкие функции и интерфейсы. Чтобы зайти дальше, чем параметризация одним типом, нужно понять лишь несколько общих принципов составления дженериков — и TypeScript раскроется перед вами, как шкатулка с секретом. AlexandrNikolaichev объяснил, как не бояться вкладывать дженерики друг в друга и использовать автоматический вывод типов в ваших проектах.— Всем привет, меня зовут Александр Николаичев. Я работаю в Yandex.Cloud фронтенд-разработчиком, занимаюсь внутренней инфраструктурой Яндекса. Сегодня расскажу об очень полезной вещи, без которой сложно представить современное приложение, особенно большого масштаба. Это TypeScript, типизация, более узкая тема — дженерики, и то, почему они нужны.

Сначала ответим на вопрос, почему TypeScript и при чем тут инфраструктура. У нас главное свойство инфраструктуры — ее надежность. Как это можно обеспечить? В первую очередь — можно тестировать.


У нас есть юнит- и интеграционные тесты. Тестирование — нужная стандартная практика.

Еще нужно использовать ревью кода. В довесок — сбор ошибок. Если все-таки ошибка случилась, то специальный механизм ее отсылает, и мы можем оперативно что-то пофиксить.

Как было бы хорошо вообще не совершать ошибок. Для этого есть типизация, которая вообще не позволит нам получить ошибку в рантайме. В Яндексе используется промышленный стандарт TypeScript. И так как приложения большие и сложные, то мы получим вот такую формулу: если у нас фронтенд, типизация, да еще и сложные абстракции, то мы обязательно придем к TypeScript-дженерикам. Без них никак.

Синтаксис

Чтобы провести базовый ликбез, сначала рассмотрим основы синтаксиса.

Дженерик в TypeScript — это тип, который зависит от другого типа.

У нас есть простой тип, Page. Мы его параметризуем неким параметром <T>, записывается через угловые скобки. И мы видим, что есть какие-то строки, числа, а вот <T> у нас вариативный.

Кроме интерфейсов и типов мы можем тот же синтаксис применять и для функций. То есть тот же параметр <T> пробрасывается в аргумент функции, и в ответе мы переиспользуем тот же самый интерфейс, туда его тоже пробросим.

Наш вызов дженерика также записывается через угловые скобки с нужным типом, как и при его инициализации.

Для классов существует похожий синтаксис. Прокидываем параметр в приватные поля, и у нас есть некий геттер. Но там мы тип не записываем. Почему? Потому что TypeScript умеет выводить тип. Это очень полезная его фишка, и мы ее применим.

Посмотрим, что происходит при использовании этого класса. Мы создаем инстанс, и вместо нашего параметра <T> передаем один из элементов перечисления. Создаем перечисление — русский, английский язык. TypeScript понимает, что мы передали элемент из перечисления, и выводит тип lang.


Но посмотрим, как работает вывод типа. Если мы вместо элементов перечисления передадим константу из этого перечисления, то TypeScript понимает, что это не всё перечисление, не все его элементы. И будет уже конкретное значение типа, то есть lang en, английский язык.

Если мы передаем что-то другое, допустим, строку, то, казалось бы, она имеет то же самое значение, что и у перечисления. Но это уже строка, другой тип в TypeScript, и мы его получим. И если мы передаем строку как константу, то вместо строки и будет константа, строковый литерал, это не все строки. В нашем случае будет конкретная строка en.

Теперь посмотрим, как можно это расширить.


У нас был один параметр. Ничто нам не мешает использовать несколько параметров. Все они записываются через запятую. В тех же угловых скобках, и мы их применяем по порядку — от первого к третьему. Мы подставляем нужные значения при вызове.

Допустим, объединение числовых литералов, некий стандартный тип, объединение строковых литералов. Все они просто записываются по порядку.

Посмотрим, как это происходит в функциях. Мы создаем функцию random. Она рандомно дает либо первый аргумент, либо второй.

Первый аргумент типа A, второй — типа B. Соответственно, возвращается их объединение: либо тот, либо этот. В первую очередь мы можем явно типизировать функцию. Мы указываем, что A — это строка, B — число. TypeScript посмотрит, что мы явно указали, и выведет тип.

Но мы также можем воспользоваться и выводом типа. Главное — знать, что выводится не просто тип, а минимально возможный тип для аргумента.

Предположим, мы передаем аргумент, строковый литерал, и он должен соответствовать типу A, а второй аргумент, единичка, типу B. Минимально возможные для строкового литерала и единички — литерал A и та же самая единичка. Нам TypeScript это и выведет. Получается такое сужение типов.

Прежде чем перейти к следующим примерам, мы посмотрим, как типы вообще соотносятся друг с другом, как использовать эти связи, как получить порядок из хаоса всех типов.

Отношение типов

Типы можно условно рассматривать как некие множества. Посмотрим на диаграммку, где показан кусок всего множества типов.

Мы видим, что типы в нем связаны некими отношениями. Но какими? Это отношения частичного порядка — значит, для типа всегда указан его супертип, то есть тип «выше» его, который охватывает все возможные значения.

Если идти в обратную сторону, то у каждого типа может быть подтип, «меньше» его.

Какие супертипы у строки? Любые объединения, которые включают строку. Строка с числом, строка с массивом чисел, с чем угодно. Подтипы — это все строковые литералы: a, b, c, или ac, или ab.

Но важно понимать, что порядок не линейный. То есть не все типы можно сравнить. Это логично, именно это и приводит к ошибкам несоответствия типов. То есть строку нельзя просто сравнить с числом.

И в этом порядке есть тип, как бы самый верхний, — unknown. И самый нижний, аналог пустого множества, — never. Never — подтип любого типа. А unknown — супертип любого типа.

И, конечно, есть исключение — any. Это специальный тип, он вообще игнорирует этот порядок, и используется, если мы мигрируем с JavaScript, чтобы не заботиться о типах. С нуля не рекомендуется использовать any. Это стоит делать, если нам на самом деле не важно положение типа в этом порядке.

Посмотрим, что нам даст знание этого порядка.

Мы можем ограничивать параметры их супертипами. Ключевое слово — extends. Мы определим тип, дженерик, у которого будет всего один параметр. Но мы скажем, что он может быть только подтипом строки либо самой строкой. Числа мы передавать не сможем, это вызовет ошибку типа. Если мы явно типизируем функцию, то в параметрах можем указать только подтипы строки или строку — apple и orange. Обе строки это объединение строковых литералов. Проверка прошла.

Еще мы можем сами автоматически выводить типы, исходя из аргументов. Если мы передали строку литерал, то это тоже строка. Проверка сработала.

Посмотрим, как расширить эти ограничения.

Мы ограничились просто строкой. Но строка — слишком простой тип. Хотелось бы работать с ключами объектов. Чтобы с ними работать, мы сначала поймем, как устроены сами ключи объектов и их типы.


У нас есть некий объектик. У него какие-то поля: строки, числа, булевы значения и ключи по именам. Чтобы получить ключи, используем ключевое слово keyof. Получаем объединение всех имен ключей.

Если мы хотим получить значения, то можем сделать это через синтаксис квадратных скобок. Это похоже на JS-синтаксис. Только он возвращает типы. Если мы передадим все подмножество ключей, то получим объединение вообще всех значений этого объекта.

Если мы хотим получить часть, то мы можем так и указать — не все ключи, а какое-то подмножество. Мы ожидаемо получим лишь те поля, которым соответствуют указанным ключам. Если совсем всё редуцировать до одинарного случая, — это одно поле, и один ключ дает одно значение. Так можно получать соответствующее поле.

Посмотрим, как использовать ключи объекта.


Важно понимать, что после ключевого слова extends может быть любой валидный тип. В том числе и образованный из других дженериков или с применением ключевых слов.

Посмотрим, как это работает с keyof. Мы определили тип CustomPick. На самом деле это почти полная копия библиотечного типа Pick из TypeScript. Что он делает?

У него есть два параметра. Второй — это не просто какой-то параметр. Он должен быть ключами первого. Мы видим, что у нас он расширяет keyof от <T>. Значит, это должно быть какое-то подмножество ключей.

Далее мы для каждого ключа K из этого подмножества бегаем по объекту, кладем то же самое значение и специально убираем синтаксисом опциональность, минус знак вопроса. То есть все поля будут обязательными.

Смотрим на применение. У нас есть объект, в нем имена полей. Мы можем брать только их подмножество — a, b или c, либо все сразу. Мы взяли a или c. Выводятся только соответствующие значения, но мы видим, что поле a стало обязательным, потому что мы, условно говоря, убрали знак вопроса. Мы определили такой тип, использовали его. Никто нам не мешает взять этот дженерик и засунуть его в еще один дженерик.

Как это происходит? Мы определили еще один тип Custom. Второй параметр расширяет не keyof, а результат применения дженерика, который мы привели справа. Как это работает, что мы вообще в него передаем?

Мы в этот дженерик передаем любой объект и все его ключи. Значит, на выходе будет копия объекта со всеми обязательными полями. Эту цепочку вкладывания дженерика в другой дженерик и так далее можно продолжать до бесконечности, в зависимости от задач, и структурировать код. Выносить в дженерики переиспользуемые конструкции и так далее.

Указанные аргументы не обязательно должны идти по порядку. Вроде как параметр P расширяет ключи T в дженерике CustomPick. Но никто нам не мешал указать его первым параметром, а T — вторым. TypeScript не идет последовательно по параметрам. Он смотрит все параметры, что мы указали. Потом решает некую систему уравнений, и если он находит решение типов, которые удовлетворяют этой системе, то проверка типов прошла.

В связи с этим можно вывести такой забавный дженерик, у которого параметры расширяют ключи друг друга: a — это ключи b, b — ключи a. Казалось бы, как такое может быть, ключи ключей? Но мы знаем, что строки TypeScript — это на самом деле строки JavaScript, а у JavaScript-строк есть свои методы. Соответственно, подойдет любое имя метода строки. Потому что имя у метода строки — это тоже строка. И у нее оттуда есть свое имя.

Соответственно, мы можем получить такое ограничение, и система уравнений разрешится, если мы укажем нужные типы.


Посмотрим, как это можно использовать в реальности. Используем для API. Есть сайт, на котором деплоятся приложения Яндекса. Мы хотим вывести проект и сервис, который ему соответствует.

В примере я взял проект для запуска виртуальных машин qyp для разработчиков. Мы знаем, что у нас в бэкенде есть структура этого объекта, берем его из базы. Но помимо проекта есть и другие объекты: черновики, ресурсы. И у всех есть свои структуры.

Более того, мы хотим запрашивать не весь объект, а пару полей — имя и имя сервиса. Такая возможность есть, бэкенд позволяет передавать пути и получить неполную структуру. Здесь описан DeepPartial. Мы его чуть попозже научимся конструировать. Но это значит, что передается не весь объект, а какая-то его часть.

Мы хотим написать некоторую функцию, которая бы запрашивала эти объекты. Напишем на JS. Но если присмотреться, видны опечатки. В типе какой-то «Projeact», в путях тоже опечатка в сервисе. Нехорошо, ошибка будет в рантайме.

Вариант TS, казалось бы, не сильно отличается, кроме путей. Но мы покажем, что на самом деле в поле Type не может быть других значений, кроме тех, что есть у нас на бэкенде.

Поле путей имеет специальный синтаксис, который просто не позволит нам выбрать другие отсутствующие поля. Мы используем такую функцию, где просто перечисляем нужные нам уровни вложенности и получаем объект. На самом деле из этой функции получить пути — забота нашей реализации. Секрета тут нет, она использует прокси. Нам это не столь важно.

Посмотрим, как получить функцию.

У нас есть функция, ее использование. Есть вот эта структура. Сначала мы хотим получить все имена. Мы записываем такой тип, где имя соответствует структуре.

Допустим, для проекта мы где-то описываем его тип. В нашем проекте мы генерируем тайпинги из protobuf-файлов, которые доступны в общем репозитории. Далее мы смотрим, что у нас есть все используемые типы: Project, Draft, Resource.

Посмотрим на реализацию. Разберем по порядку.

Есть функция. Сначала смотрим, чем она параметризуется. Как раз этими уже ранее описанными именами. Посмотрим, что она возвращает. Она возвращает значения. Почему это так? Мы использовали синтаксис квадратных скобок. Но так как мы передаем в тип одну строку, объединение строковых литералов при использовании — это всегда одна строка. Невозможно составить строку, которая одновременно была бы и проектом, и ресурсом. Она всегда одна, и значение тоже одно.

Обернем все в DeepPartial. Необязательный тип, необязательная структура. Самое интересное — это параметры. Задаем их с помощью еще одного дженерика.

Тип, которым параметризуется дженерик параметров, также совпадает с ограничением на функцию. Он может принимать только тип имени — Project, Resource, Draft. ID — это, конечно, строка, она нам не интересна. Вот тип, который мы указали, один из трех. Интересно, как устроена функция для путей. Это еще один дженерик — почему бы нам его не переиспользовать. На самом деле все, что он делает, — просто создает функцию, которая возвращает массив из any, потому что в нашем объекте могут быть поля любых типов, мы не знаем каких. В такой реализации мы получаем контроль над типами.

Если кому-то это показалось простым, перейдем к управляющим конструкциям.

Управляющие конструкции

Мы рассмотрим всего две конструкции, но их хватит, чтобы покрывать практически все задачи, которые нам нужны.

Что такое условные типы? Они очень напоминают тернарки в JavaScript, только для типов. У нас есть условие, что тип a — это подтип b. Если это так, то возврати c. Если это не так — возврати d. То есть это обычный if, только для типов.


Смотрим, как это работает. Мы определим тип CustomExclude, который по сути копирует библиотечный Exclude. Он просто выкидывает нужные нам элементы из объединения типов. Если a — это подтип b, то возврати пустоту, иначе возврати a. Это странно, если посмотреть, почему это работает с объединениями.

Нам пригодится специальный закон, который говорит: если есть объединение и мы проверяем с помощью extends условия, то мы проверяем каждый элемент отдельно и потом снова их объединяем. Это такой транзитивный закон, только для условных типов.

Когда мы применяем CustomExclude, то смотрим поочередно на каждый элемент наблюдения. a расширяет a, a — это подтип, но верни пустоту; b это подтип a? Нет — верни b. c — это тоже не подтип a, верни c. Потом мы объединяем то, что осталось, все плюсики, получаем b и c. Мы выкинули a и добились того, что хотели.

Ту же технику можно использовать, чтобы получить все ключи кортежа. Мы знаем, что кортеж — это тот же массив. То есть у него есть JS-методы, но нам это не нужно, а нужны только индексы. Соответственно, мы просто из всех ключей кортежа выкидываем имена всех методов и получаем только индексы.

Как нам определить наш ранее упомянутый тип DeepPartial? Тут впервые используется рекурсия. Мы пробегаемся по всем ключам объекта и смотрим. Значение — это объект? Если да, применяем рекурсивно. Если нет и это строка или число — оставляем и все поля делаем опциональными. Это все-таки Partial-тип.

Этот рекурсивный вызов и условные типы на самом деле делают TypeScript полным по Тьюрингу. Но не спешите этому радоваться. Он надает вам по рукам, если вы попытаетесь провернуть нечто подобное, абстракцию с большой рекурсивностью.

TypeScript за этим следит и выдаст ошибку еще на уровне своего компилятора. Вы даже не дождетесь, пока там что-то посчитается. А для таких простых кейсов, где у нас всего один вызов, рекурсия вполне подходит.


Посмотрим, как это работает. Мы хотим решить задачу патчинга поля объекта. Для планирования выкатки приложений у нас используется виртуальное облако, и нам нужны ресурсы.

Допустим, мы взяли ресурсы CPU, ядра. Всем нужны ядра. Я упростил пример, и тут всего лишь ресурсы, только ядра, и они представляют собой числа.

Мы хотим сделать функцию, которая их патчит, патчит значения. Добавить ядер или убавить. В том же JavaScript, как вы могли догадаться, возникают опечатки. Здесь же мы складываем число со строкой — не очень хорошо.

В TypeScript почти ничего не изменилось, но на самом деле этот контроль еще на уровне IDE вам подскажет, что вы не можете передать ничего кроме этой строки или конкретного числа.

Посмотрим, как этого добиться. Нам надо получить такую функцию, и мы знаем, что у нас есть вот такого вида объект. Нужно понять, что мы патчим только число и поля. То есть надо получить имя только тех полей, где есть числа. У нас всего одно поле, и оно является числом.

Посмотрим, как это реализовывается в TypeScript.


Мы определили функцию. У нее как раз три аргумента, сам объект, который мы патчим, и имя поля. Но это не просто имя поля. Оно может быть только именем числовых полей. Мы сейчас узнаем, как это делается. И сам патчер, который представляет собой чистую функцию.

Есть некая обезличенная функция, патч. Нам интересна не ее реализация, а то, как получить такой интересный тип, получить ключи не только числовых, а любых полей по условию. Здесь у нас содержатся числа.

Вновь разберем по порядку, как это происходит.

Мы пробегаемся по всем ключам переданного объекта, потом делаем вот такую процедуру. Смотрим, что поле объекта — это подтип нужного, то есть числовое поле. Если да, то важно, что мы записываем не значение поля, а имя поля, а иначе вообще, пустоту, never.

Но потом получился такой странный объект. Все числовые поля стали иметь свои имена в качестве значений, а все не числовые поля — пустоту. Дальше мы берем все значения этого странного объекта.

Но так как все значения содержат пустоту, а пустота при объединении схлопывается, то остаются только те поля, которые соответствуют числовым. То есть мы получили только нужные поля.

В примере показано: есть простой объект, поле — единичка. Это число? Да. Поле — число, это число? Да. Последняя строка — не число. Получаем только нужные, числовые поля.

С этим разобрались. Самый сложный я оставил напоследок. Это вывод типа — Infer. Захват типа в условной конструкции.

Он неотделим от предыдущей темы, потому что работает только с условной конструкцией.

Как это выглядит? Допустим, мы хотим знать элементы массива. Пришел некий тип массива, нам бы хотелось узнать конкретный элемент. Мы смотрим: нам пришел какой-то массив. Это подтип массива из переменной x. Если да — верни этот x, элемент массива. Если нет — верни пустоту.

В этом условии вторая ветка никогда не будет выполнена, потому что мы параметризовали тип любым массивом. Конечно, это будет массив чего-то, потому что массив из any не может не иметь элементов.

Если мы передаем массив строк, то нам ожидаемо возвратится строка. И важно понимать, что у нас определяется не просто тип. Из массива строк визуально понятно: там — строки. А вот с кортежем все не так просто. Нам важно знать, что определяется минимально возможный супертип. Понятно, что все массивы как бы являются подтипами массива с any или с unknown. Нам это знание ничего не дает. Нам важно знать минимально возможное.

Предположим, мы передаем кортеж. На самом деле кортежи — это тоже массивы, но как нам сказать, что за элементы у этого массива? Если есть кортеж из строки числа, то на самом деле это массив. Но элемент должен иметь один тип. А если там есть и строка, и число — значит, будет объединение.

TypeScript это и выведет, и мы получим для такого примера именно объединение строки и числа.

Можно использовать не только захват в одном месте, но и сколько угодно переменных. Допустим, мы определим тип, который просто меняет элементы кортежа местами: первый со вторым. Мы захватываем первый элемент, второй и меняем их местами.

Но на самом деле не рекомендуется слишком с этим заигрываться. Обычно для 90% задач хватает захвата всего лишь одного типа.

Посмотрим пример. Задача: нужно показать в зависимости от состояния запроса либо хороший вариант, либо плохой. Тут представлены скриншоты из нашего сервиса для деплоймента приложений. Некая сущность, ReplicaSet. Если запрос с бэкенда вернул ошибку, надо ее отрисовать. При этом есть API для бэкенда. Посмотрим, при чем тут Infer.

Мы знаем, что используем, во-первых, redux, а, во-вторых, redux thunk. И нам надо преобразовать библиотечный thunk, чтобы получить такую возможность. У нас есть плохой путь и хороший.

И мы знаем, что хороший путь в extraReducers в redux toolkit выглядит так. Знаем, что есть PayLoad, и хотим вытащить кастомные типы, которые нам пришли с бэкенда, но не только, а плюс еще информация про хороший или плохой запрос: есть там ошибка или нет. Нам нужен дженерик для этого вывода.

Про JavaScript я не привожу сравнение, потому что оно не имеет смысла. В JavaScript в принципе нельзя никак контролировать типы и полагаться только на память. Здесь нет плохого варианта, потому что его просто нет.

Мы знаем, что хотим получить этот тип. Но у нас же не просто так появляется action. Нам нужно вызвать dispatch с этим action. И нам нужен вот такой вид, где по ключу запроса нужно отображать ошибку. То есть нужно поверх redux thunk примешивать такую дополнительную функциональность с помощью метода withRequestKey.

У нас, конечно, есть этот метод, но у нас есть и исходный метод API — getReplicaSet. Он где-то записан и нам надо оверрайдить redux thunk с помощью некоего адаптера. Посмотрим, как это сделать.

Надо получить функцию вот такого вида. Это thunk с такой дополнительной функциональностью. Звучит страшно, но не пугайтесь, сейчас разберем по полочкам, чтобы было понятно.


Есть адаптер, который расширяет исходный библиотечный тип. Мы к этому библиотечному типу просто примешиваем дополнительный метод withRequestKey и кастомный вызов. Посмотрим, в чем основная фишка дженерика, какие параметры используются.

Первое — это просто наш API, объектик с методами. Мы можем делать getReplicaSet, получать проекты, ресурсы, неважно. Мы в текущем методе используем конкретный метод, а второй параметр — это просто имя метода. Далее мы используем параметры функции, которую запрашиваем, используем библиотечный тип Parameters, это TypeScript-тип. И аналогично для ответа с бэкенда мы используем библиотечный тип ReturnType. Это для того, что вернула функция.

Дальше мы просто прокидываем свой кастомный вывод в AsyncThunk-тип, который нам предоставила библиотека. Но что это за вывод? Это еще один дженерик. На самом деле он выглядит просто. Мы сохраняем не только ответ с сервера, но и наши параметры, то, что мы передали. Просто чтобы в Reducer за ними следить. Дальше мы смотрим withRequestKey. Наш метод просто добавляет ключ. Что он возвращает? Тот же адаптер, потому что мы можем его переиспользовать. Мы вообще не обязаны писать withRequestKey. Это просто дополнительная функциональность. Она оборачивает и рекурсивно нам возвращает тот же самый адаптер, и мы прокидываем туда то же самое.

Наконец, посмотрим, как выводить в Reducer то, что нам этот thunk вернул.

У нас есть этот адаптер. Главное — помнить, что там четыре параметра: API, метод API, параметры (вход) и выход. Нам надо получить выход. Но мы помним, что выход у нас кастомный: и ответ сервера, и параметр запроса.

Как это сделать с помощью Infer? Мы смотрим, что на вход подается этот адаптер, но он вообще любой: any, any, any, any. Мы должны вернуть этот тип, выглядит он вот так, ответ сервера и параметры запроса. И мы смотрим, на каком месте должен быть вход. На третьем. На это место мы и помещаем наш захват типа. Получаем вход. Аналогично, на четвертом месте стоит выход.

TypeScript основывается на структурной типизации. Он эту структуру разбирает и понимает, что вход находится здесь, на третьем месте, а выход на четвертом. И мы возвращаем нужные типы.

Так мы добились вывода типов, у нас есть доступ к ним уже в самом Reducer. В JavaScript сделать такое в принципе невозможно.

ГДЗ по Алгебре 7 класс Никольский, Потапов Учебник Решебник

Готовые домашние задания – это эффективный элемент обучения для любого ребенка, в том числе и семиклассника. Многие могут скептически относиться к этому средству, однако на практике оно давно показало свою состоятельность. Сборники с ГДЗ выпускаются вдобавок ко многим книгам. Не лишен подобного пособия и учебник по алгебре за 7 класс Никольского С. М.

В процессе прохождения седьмого класса учащиеся, использующие материалы данного автора, изучают следующие разделы:

  • действительные числа;

  • алгебраические выражения;

  • линейные уравнения.

К каждой из тем прикреплены разнообразные упражнения определенного уровня сложности. При их выполнении у некоторых учеников могут возникнуть вопросы и сложности. Разрешить трудную ситуацию и помогают ГДЗ.

Как структурирован онлайн-ресурс и каким образом им эффективно пользоваться

Сборник по алгебре для 7 класса (авторы: С. М. Никольский. М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин) разделен на три блока, включающих в себя задания для самоконтроля и на исследования, а также основные упражнения. Найти нужный номер не составит труда благодаря полю поиска и удобной навигации.

При применении решебника подростку следует помнить, что простое списывание сведёт к нулю всю подготовку к урокам. Для эффективности усвоения материала ему нужно сначала самостоятельно попытаться решить задачу, а уже потом сопоставлять полученные результаты с имеющимися ключами. Такой подход позволит в дальнейшем получать хорошие оценки и преодолевать испытания в виде проверочных, контрольных, тестов и других диагностических мероприятий.

Для кого еще предназначены ГДЗ по алгебре за 7 класс Никольского

Сборник может понадобиться также и следующим пользователям:

  • родители учеников;

  • учителя;

  • репетиторы;

  • заведующие математическими кружками и подготовительными курсами.

Для родителей пособие станет способом контролирования учебной деятельности своего отпрыска. Для связанных с образовательным процессом оно будет полезно при формировании методических материалов, составления планов занятий, ускоренной проверки домашних работ учащихся. Не будет лишним и ознакомление со справочными данными для повышения профессиональной квалификации.

Использование формул для решения задач

Результаты обучения

  • Составьте линейное уравнение, включающее расстояние, скорость и время.
  • Найдите размеры прямоугольника с учетом площади.
  • Найдите размеры коробки, зная о длине ее сторон.

Многие приложения решаются по известным формулам. Задача формулируется, формула идентифицируется, известные величины подставляются в формулу, уравнение решается относительно неизвестного и дается ответ на вопрос задачи.Обычно эти задачи включают два уравнения, представляющих две поездки, две инвестиции, две области и так далее. Примеры формул включают область , прямоугольной области, [латекс] A = LW [/ латекс]; периметр прямоугольника, [латекс] P = 2L + 2W [/ латекс]; и объем твердого прямоугольного сечения, [латекс] V = LWH [/ латекс]. Когда есть два неизвестных, мы находим способ записать одно через другое, потому что мы можем решать только одну переменную за раз.

Пример: решение приложения с использованием формулы

Эндрю утром до работы добирается 30 минут.Он едет домой по тому же маршруту, но это занимает на 10 минут дольше, а скорость у него в среднем на 10 миль / ч меньше, чем утром. Как далеко Эндрю едет на работу?

Показать Показать решение

Это проблема расстояния, поэтому мы можем использовать формулу [latex] d = rt [/ latex], где расстояние равно коэффициенту, умноженному на время. Обратите внимание, что когда скорость указывается в миль / ч, время должно быть выражено в часах. Последовательные единицы измерения являются ключом к получению правильного решения.

Сначала мы идентифицируем известные и неизвестные величины.Утренняя поездка Эндрю на работу занимает 30 минут, или [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] h по тарифу [latex] r [/ latex]. Его дорога домой занимает 40 минут, или [latex] \ frac {2} {3} [/ latex] ч, а его скорость в среднем на 10 миль / ч меньше, чем при утренней поездке. Обе поездки покрывают дистанцию ​​[латекс] д [/ латекс]. Таблица, подобная приведенной ниже, часто бывает полезной для отслеживания информации о подобных проблемах.

[латекс] d [/ латекс] [латекс] r [/ латекс] [латекс] т [/ латекс]
На работу [латекс] d [/ латекс] [латекс] r [/ латекс] [латекс] \ frac {1} {2} [/ латекс]
К дому [латекс] d [/ латекс] [латекс] r — 10 [/ латекс] [латекс] \ frac {2} {3} [/ латекс]

Напишите два уравнения, по одному для каждой поездки.

[латекс] \ begin {array} {ll} d = r \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ hfill & \ text {To work} \ hfill \\ d = \ left (r — 10 \ right) \ left (\ frac {2} {3} \ right) \ hfill & \ text {На главную} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Поскольку оба уравнения равны одинаковому расстоянию, мы устанавливаем их равными друг другу и решаем относительно r .

[латекс] \ begin {array} {c} r \ left (\ frac {1} {2} \ right) = \ left (r — 10 \ right) \ left (\ frac {2} {3} \ right ) \ hfill \\ \ frac {1} {2} r = \ frac {2} {3} r- \ frac {20} {3} \ hfill \\ \ frac {1} {2} r- \ frac { 2} {3} r = — \ frac {20} {3} \ hfill \\ — \ frac {1} {6} r = — \ frac {20} {3} \ hfill \\ r = — \ frac { 20} {3} \ left (-6 \ right) \ hfill \\ r = 40 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решили за скорость работы, 40 кмч.Подставив 40 в ставку на обратном пути, вы получите 30 миль / ч. Теперь мы можем ответить на вопрос. Подставляем коэффициент обратно в любое уравнение и решаем: d.

[латекс] \ begin {array} {l} d \ hfill & = 40 \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ hfill \\ \ hfill & = 20 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Расстояние между домом и работой — 20 mi.

Анализ решения

Обратите внимание, что мы могли бы очистить дроби в уравнении, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплей, чтобы найти [латекс] r [/ латекс].

[латекс] \ begin {array} {l} r \ left (\ frac {1} {2} \ right) = \ left (r — 10 \ right) \ left (\ frac {2} {3} \ right ) \ hfill \\ 6 \ times r \ left (\ frac {1} {2} \ right) = 6 \ times \ left (r — 10 \ right) \ left (\ frac {2} {3} \ right) \ hfill \\ 3r = 4 \ left (r — 10 \ right) \ hfill \\ 3r = 4r — 40 \ hfill \\ -r = -40 \ hfill \\ r = 40 \ hfill \ end {array} [/ латекс]

Попробуйте

В субботу утром Дженнифер потребовалось 3,6 часа, чтобы добраться до дома своей матери на выходные. В воскресенье вечером из-за интенсивного движения Дженнифер вернулась домой за 4 часа.В воскресенье ее скорость была на 5 миль / ч ниже, чем в субботу. Какая у нее была скорость в воскресенье?

Показать Показать решение

45 [латекс] \ frac {\ text {mi}} {\ text {h}} [/ латекс]

Пример: решение проблемы периметра

Периметр прямоугольного патио на открытом воздухе составляет [латекс] 54 [/ латекс] футов. Длина [латекс] на 3 [/ латекс] фута больше ширины. Каковы размеры патио?

Показать Показать решение

Формула периметра стандартная: [латекс] P = 2L + 2W [/ латекс]. У нас есть две неизвестные величины: длина и ширина.Однако мы можем записать длину через ширину как [латекс] L = W + 3 [/ латекс]. Подставьте значение периметра и выражение для длины в формулу. Часто бывает полезно сделать набросок и пометить стороны, как показано ниже.

Теперь мы можем найти ширину, а затем вычислить длину.

[латекс] \ begin {array} {l} P = 2L + 2W \ hfill \\ 54 = 2 \ left (W + 3 \ right) + 2W \ hfill \\ 54 = 2W + 6 + 2W \ hfill \\ 54 = 4W + 6 \ hfill \\ 48 = 4W \ hfill \\ 12 = W \ hfill \\ \ left (12 + 3 \ right) = L \ hfill \\ 15 = L \ hfill \ end {array} [/ латекс]

Размеры [латекс] L = 15 [/ латекс] футов и [латекса] W = 12 [/ латекс] футов.

Попробуйте

Найдите размеры прямоугольника, учитывая, что его периметр составляет [латекс] 110 [/ латекс] см. и длина 1 см. более чем в два раза шире.

Пример: решение задачи с площадью

Периметр таблетки миллиметровой бумаги составляет 48 дюймов. Длина на [латекс] на 6 [/ латекс] дюймов больше ширины. Найдите область миллиметровой бумаги.

Показать Показать решение

Стандартная формула для определения площади [латекс] A = LW [/ латекс]; однако мы решим проблему, используя формулу периметра.Причина, по которой мы используем формулу периметра, заключается в том, что мы знаем достаточно информации о периметре, которую формула позволит нам решить для одного из неизвестных. Поскольку и периметр, и площадь используют длину и ширину в качестве размеров, они часто используются вместе для решения такой проблемы, как эта.

Мы знаем, что длина на 6 дюймов больше ширины, поэтому мы можем записать длину как [латекс] L = W + 6 [/ латекс]. Подставьте значение периметра и выражение для длины в формулу периметра и найдите длину.{2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Площадь [латекс] 135 [/ латекс] 2 .

Попробуйте

Игровая комната имеет периметр 70 футов. Длина в пять раз больше ширины в два раза. Сколько футов 2 новых ковровых покрытий следует заказать?

Пример: решение проблемы объема

Найдите размеры транспортной коробки, учитывая, что длина в два раза больше ширины, высота [латекс] 8 [/ латекс] дюймов, а объем — 1600 дюймов. 3 .{2} [/ latex] приведет к положительному и отрицательному значению. Однако, поскольку мы описываем ширину, мы можем использовать только положительный результат.

Сделайте вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить страницуПодробнее

Решение проблем | Начальная алгебра

Цели обучения

  • Определите процесс решения проблем
    • Перевести слова в алгебраические выражения и уравнения
    • Определите процесс решения текстовых задач
  • Решение задач, содержащих ставки
    • Примените шаги для решения задач со словами к задачам расстояния, скорости и времени
    • Примените шаги для решения проблем со словами к проблемам с процентной ставкой
    • Вычислить формулу с помощью замены
    • Переупорядочить формулы для выделения определенных переменных
    • Определить неизвестное по формуле
  • Решение дополнительных приложений линейных уравнений
    • Примените шаги для решения задач со словами к задачам геометрии
    • Используйте формулу для преобразования между градусами Фаренгейта и Цельсия
    • Вычислить формулу с помощью замены
    • Переупорядочить формулы для выделения определенных переменных
    • Определить неизвестное по формуле

Определите процесс решения проблем

Проблемы со словами могут быть непростыми.Часто требуется немного практики, чтобы преобразовать английское предложение в математическое, что является одним из первых шагов к решению словесных задач. В таблице ниже разбиты по категориям слова или фразы, обычно связанные с математическими операторами. Задачи со словами часто содержат эти или похожие слова, поэтому полезно узнать, какие математические операторы с ними связаны.

Дополнение [латекс] + [/ латекс] Вычитание [латекс] — [/ латекс] Умножение [латекс] \ раз [/ латекс] Переменная? Равно [латекс] = [/ латекс]
Более Менее Двойной Номер Это
Вместе В прошлом Товар Часто значение, для которого нет информации. То же, что
Сумма медленнее раз Через сколько часов?
Итого остаток от Сколько это будет стоить?
В будущее разница
быстрее, чем

Ниже приведены некоторые примеры:

  • [латекс] x \ text {is} 5 [/ latex] становится [latex] x = 5 [/ latex]
  • Три больше числа становится [латекс] x + 3 [/ латекс]
  • Четыре меньше числа становится [латекс] x-4 [/ латекс]
  • Двойная стоимость становится [latex] 2 \ cdot \ text {cost} [/ latex]
  • Продукты и бензин вместе на неделю стоят 250 долларов, значит [латекс] \ text {groceries} + \ text {gas} = 250 [/ latex]
  • Разница в 9 и число становится [латекс] 9-х [/ латекс].Обратите внимание на то, что 9 стоит первым в предложении, а выражение

Давайте попрактикуемся в переводе еще нескольких английских фраз в алгебраические выражения.

Пример

Перевести таблицу в алгебраические выражения:

какой-то номер сумма числа и 3 удвоенная сумма числа и 3
длина удвоить длину удвоенная длина, уменьшенная на 6
а стоимость разница в стоимости и 20 2 раза разница в стоимости и 20
некоторое количество разница 5 и количество разница в 5 и количество, деленное на 2
количество времени утроить количество времени утроенное количество времени, увеличенное на 5
расстояние сумма [латекс] -4 [/ латекс] и расстояние сумма [латекс] -4 [/ латекс] и удвоенное расстояние

Показать решение

[латекс] a [/ латекс] [латекс] a + 3 [/ латекс] [латекс] 2 \ слева (x + 3 \ справа) [/ латекс]
[латекс] l [/ латекс] [латекс] 2л [/ латекс] [латекс] 2л-6 [/ латекс]
[латекс] c [/ латекс] [латекс] c-20 [/ латекс] [латекс] 2 \ левый (c-20 \ правый) [/ латекс]
[латекс] q [/ латекс] [латекс] 5-q [/ латекс] [латекс] \ frac {5-q} {2} [/ латекс]
[латекс] т [/ латекс] [латекс] 3т [/ латекс] [латекс] 3т + 5 [/ латекс]
[латекс] d [/ латекс] [латекс] -4 + d [/ латекс] [латекс] -4 + 2d [/ латекс]

В этом примере видео мы показываем, как перевести больше слов в математические выражения.

Сила алгебры в том, как она может помочь вам смоделировать реальные ситуации, чтобы ответить на вопросы о них.

Вот несколько шагов по переводу проблемных ситуаций в алгебраические уравнения, которые вы можете решить. Не каждая проблема слова идеально подходит для этих шагов, но они помогут вам начать работу.

  1. Прочтите и разберитесь в проблеме.
  2. Определите константы и переменные в задаче.
  3. Переводите слова в алгебраические выражения и уравнения.
  4. Напишите уравнение для описания проблемы.
  5. Решите уравнение.
  6. Проверьте и интерпретируйте свой ответ. Иногда помогает написание предложения.

Пример

Двадцать восемь меньше пятикратного определенного числа равно 232. Какое число?

Показать решение

Следуя инструкциям:

  1. Прочтите и поймите: ищем номер.
  2. Константы и переменные: 28 и 232 — это константы, «определенное число» — это наша переменная, потому что мы не знаем его значения, и нас просят его найти.Назовем его x.
  3. Перевести: пять раз определенное число переводится в [латекс] 5x [/ latex]
    Двадцать восемь меньше пяти раз определенного числа переводится в [латекс] 5x-28 [/ латекс], потому что вычитание строится в обратном порядке.
    is 232 переводится в [latex] = 232 [/ latex], потому что «is» связано с равным.
  4. Напишите уравнение: [латекс] 5x-28 = 232 [/ латекс]
  5. Решите уравнение, используя свои знания о решении линейных уравнений:

    [латекс] \ begin {массив} {r} 5x-28 = 232 \\ 5x = 260 \\ x = 52 \, \, \, \ end {array} [/ latex]

  6. Проверить и интерпретировать: Мы можем заменить 52 на x.

    [латекс] \ begin {array} {r} 5 \ left (52 \ right) -28 = 232 \\ 5 \ left (52 \ right) = 260 \ 260 = 260 \ end {array} [/ latex] .

    ИСТИНА!

В следующем видео мы показываем еще один пример того, как преобразовать предложение в математическое выражение с помощью метода решения задач.

Другой тип числовой проблемы связан с последовательными числами. Последовательные числа — это числа, которые идут одно за другим, например, 3, 4, 5. Если мы ищем несколько последовательных чисел, важно сначала определить, как они выглядят с переменными, прежде чем мы создадим уравнение.

Например, скажем, я хочу узнать следующее целое число после 4. С математической точки зрения, мы должны прибавить 1 к 4, чтобы получить 5. Мы можем обобщить эту идею следующим образом: последовательное целое число любого числа, x , это [латекс] x + 1 [/ латекс]. Если мы продолжим этот шаблон, мы сможем определить любое количество последовательных целых чисел из любой начальной точки. В следующей таблице показано, как описать четыре последовательных целых числа с помощью алгебраической записи.

Первый [латекс] x [/ латекс]
Второй [латекс] x + 1 [/ латекс]
Третий [латекс] x + 2 [/ латекс]
Четвертый [латекс] x + 3 [/ латекс]

Мы применяем идею последовательных целых чисел для решения проблемы слов в следующем примере.

Пример

Сумма трех последовательных целых чисел равна 93. Какие целые числа?

Показать решение

Следуя предоставленным шагам:

  1. Прочтите и поймите: Мы ищем три числа и знаем, что они являются последовательными целыми числами.
  2. Константы и переменные: 93 — постоянная.
    Первое целое число, которое мы назовем x .
    Второй: [латекс] x + 1 [/ латекс]
    Третий: [латекс] x + 2 [/ латекс]
  3. Перевести: Сумма трех последовательных целых чисел переводится в [латекс] x + \ left (x + 1 \ right) + \ left (x + 2 \ right) [/ latex], в зависимости от того, как мы определили первое, второе , и третьи целые числа.Обратите внимание, как мы заключили в круглые скобки второе и третье целые числа. Это просто для того, чтобы каждое целое число было более различимым. — 93, переводится как [latex] = 93 [/ latex], потому что — это , связанное с равным.
  4. Напишите уравнение: [латекс] x + \ left (x + 1 \ right) + \ left (x + 2 \ right) = 93 [/ latex]
  5. Решите уравнение, используя то, что вы знаете о решении линейных уравнений: Мы не можем упростить в каждом наборе круглых скобок, и нам не нужно использовать свойство распределения, чтобы мы могли переписать уравнение без скобок.

    [латекс] x + x + 1 + x + 2 = 93 [/ латекс]

    Объединяйте одинаковые термины, упрощайте и решайте.

    [латекс] \ begin {array} {r} x + x + 1 + x + 2 = 93 \\ 3x + 3 = 93 \\\ подчеркивание {-3 \, \, \, \, \, — 3} \\ 3x = 90 \\\ frac {3x} {3} = \ frac {90} {3} \\ x = 30 \ end {array} [/ latex]

  6. Проверить и интерпретировать: Хорошо, мы нашли значение x . Нас попросили найти значение трех последовательных целых чисел, поэтому нам нужно сделать еще пару шагов. Помните, как мы определили наши переменные: первое целое число, которое мы назовем [latex] x [/ latex], [latex] x = 30 [/ latex]
    , второе: [latex] x + 1 [/ latex], так что [latex] 30 + 1 = 31 [/ latex]
    Третье: [latex] x + 2 [/ latex] так [latex] 30 + 2 = 32 [/ latex] Три последовательных целых числа, сумма которых равна [latex] 93 [/ latex], равны [латекс] 30 \ text {,} 31 \ text {и} 32 [/ латекс]

В следующем видео мы показываем еще один пример последовательной целочисленной задачи.

Тарифы

Часто к словесной проблеме применима хорошо известная формула или отношение. Например, если вы планируете поездку, вам нужно знать, сколько времени вам потребуется, чтобы добраться до места назначения. [latex] d = rt [/ latex] — это хорошо известная взаимосвязь, которая связывает пройденное расстояние, скорость, с которой вы путешествуете, и продолжительность путешествия.

Расстояние, скорость и время

Если вам известны две величины в соотношении [latex] d = rt [/ latex], вы можете легко найти третью, используя методы решения линейных уравнений.Например, если вы знаете, что будете путешествовать по дороге с ограничением скорости [latex] 30 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] в течение 2 часов, вы можете найти расстояние, которое вы бы преодолели, умножив скорость на время или [латекс] \ left (30 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} \ right) \ left (2 \ text {hours} \ right) = 60 \ text {miles} [/ latex].

Мы можем обобщить эту идею в зависимости от того, какую информацию нам дают и что мы ищем. Например, если нам нужно найти время, мы можем решить уравнение [latex] d = rt [/ latex] для t , используя деление:

[латекс] d = rt \\\ frac {d} {r} = t [/ латекс]

Аналогичным образом, если мы хотим найти коэффициент, мы можем выделить r с помощью деления:

[латекс] d = rt \\\ frac {d} {t} = r [/ латекс]

В следующих примерах вы увидите, как эта формула применяется для ответа на вопросы об ультрамарафонском беге.

Энн Трэсон

Ультрамарафонский бег (определяемый как бег длиной более 26,2 миль) становится очень популярным среди женщин, хотя он остается нишевым видом спорта, в котором доминируют мужчины. Энн Трейсон за свою карьеру побила двадцать мировых рекордов. Одним из таких рекордов стал бег на выносливость на 50 миль по реке Американ, который начинается в Сакраменто, Калифорния, и заканчивается в Оберне, Калифорния. В 1993 году Трэсон закончил забег со временем 6:09:08. Мужской рекорд на той же дистанции был установлен в 1994 году Томом Джонсоном, завершившим курс со временем 5:33:21.

В следующих примерах мы будем использовать формулу [latex] d = rt [/ latex], чтобы ответить на следующие вопросы о двух бегунах.

  1. Какова была скорость каждого бегуна во время их рекордных пробежек?
  2. К тому времени, как Джонсон финишировал, сколько еще миль Трейсон должен был пробежать?
  3. Насколько дальше мог бы бежать Джонсон, если бы он бежал так же долго, как Трейсон?
  4. Сколько времени было у каждого бегуна, чтобы пробежать одну милю?

Чтобы вам было легче отвечать на вопросы, мы округлим время двух бегунов до 6 часов 5.5 часов.

Пример

Какова была скорость каждого бегуна за их рекордные пробежки?

Показать решение

Прочтите и поймите: Мы ищем скорость и знаем расстояние и время, поэтому мы можем использовать идею: [latex] d = rt \\\ frac {d} {t} = r [/ latex]

Определить и перевести: Поскольку бегунов два, создание таблицы для упорядочивания этой информации помогает. Обратите внимание на то, как мы храним единицы измерения, чтобы отслеживать, как все термины связаны друг с другом.

Бегунок Расстояние = (Оценка) (время)
Trason 50 миль р 6 часов
Джонсон 50 миль р 5,5 часов

Написать и решить:

Оценка Трасона:

[латекс] d = rt \\\ frac {d} {t} = r [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {c} d = rt \\\\ 50 \ text {miles} = \ text {r} \ left (6 \ text {hours} \ right) \\\ frac {50 \ текст {миль}} {6 \ text {часы}} = \ frac {8.33 \ text {miles}} {\ text {hour}} \ end {array} [/ latex].

(округлено до двух знаков после запятой)

Рейтинг Джонсона:

[латекс] d = rt \\\ frac {d} {t} = r [/ латекс]

[латекс] \ begin {array} {c} d = rt \\\\, \, \, \, \, \, \, 50 \ text {miles} = \ text {r} \ left (5.5 \ text {часы} \ right) \\\ frac {50 \ text {miles}} {6 \ text {hours}} = \ frac {9.1 \ text {miles}} {\ text {hour}} \ end {array} [ / латекс]

(округлено до двух знаков после запятой)

Проверка и интерпретация:

Мы можем заполнить нашу таблицу этой информацией.

Бегунок Расстояние = (Оценка) (время)
Trason 50 миль 8,33 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] 6 часов
Джонсон 50 миль 9,1 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] 5,5 часов

Теперь, когда мы знаем рейтинг каждого бегуна, мы можем ответить на второй вопрос.

Пример

К тому времени, как Джонсон финишировал, сколько еще миль Трейсон должен был пробежать?

Показать решение

Вот таблица, которую мы создали для справки:

Бегунок Расстояние = (Оценка) (время)
Trason 50 миль 8,33 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] 6 часов
Джонсон 50 миль 9.1 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] 5,5 часов

Прочтите и поймите: Мы ищем, сколько миль осталось у Трасона, когда Джонсон финишировал через 5,5 часов. Это расстояние, а мы знаем скорость и время.

Определить и перевести: Мы снова можем использовать формулу [latex] d = rt [/ latex]. На этот раз неизвестное — d , а время пробега Трейсона — 5,5 часов.

Написать и решить:

[латекс] \ begin {array} {l} d = rt \\\\ d = 8.33 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} \ left (5.5 \ text {hours} \ right) \\\\ d = 45.82 \ text {miles} \ end {array} [/ latex] .

Проверка и интерпретация:

Мы ответили на вопрос? Нас попросили узнать, сколько миль ей нужно пробежать за 5,5 часов. Мы выяснили, как долго она бегала после 5,5 часов. Нам нужно вычесть [latex] d = 45,82 \ text {miles} [/ latex] из общего расстояния трассы.

[латекс] 50 \ text {miles} -45,82 \ text {miles} = 1,48 \ text {miles} [/ latex]

Третий вопрос аналогичен второму.Теперь, когда мы знаем рейтинг каждого бегуна, мы можем ответить на вопросы об отдельных дистанциях или времени.

Примеры

Как далеко мог бы бежать Джонсон, если бы он бежал так же долго, как Трейсон?

Показать решение

Вот таблица, которую мы создали для справки:

Бегунок Расстояние = (Оценка) (время)
Trason 50 миль 8,33 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] 6 часов
Джонсон 50 миль 9.1 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] 5,5 часов

Прочтите и поймите: Слово далее подразумевает, что мы ищем расстояние.

Определить и перевести: Мы снова можем использовать формулу [latex] d = rt [/ latex]. На этот раз неизвестное — d , время — 6 часов, а коэффициент Джонсона — [latex] 9,1 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex]

Написать и решить:

[латекс] \ begin {array} {l} d = rt \\\\ d = 9.1 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} \ left (6 \ text {hours} \ right) \\\\ d = 54,6 \ text {miles} \ end {array} [/ latex] .

Проверка и интерпретация:

Мы ответили на вопрос? Нас попросили определить, сколько еще миль пробежал бы Джонсон, если бы он пробежал со своей скоростью [latex] 9,1 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] в течение 6 часов.

Джонсон пробежал бы 54,6 мили, то есть на 4,6 мили больше, чем он пробежал во время гонки.

Теперь мы займемся последним вопросом, где нас просят выделить время для каждого бегуна.

Пример

Сколько времени было у каждого бегуна, чтобы пробежать одну милю?

Показать решение

Вот таблица, которую мы создали для справки:

Бегунок Расстояние = (Оценка) (время)
Trason 50 миль 8,33 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] 6 часов
Джонсон 50 миль 9.1 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] 5,5 часов

Прочтите и поймите: мы ищем время, и на этот раз наше расстояние изменилось с 50 миль на 1 милю, поэтому мы можем использовать

[латекс] d = rt \\\ frac {d} {r} = t [/ латекс]

Определить и перевести: мы можем снова использовать формулу [latex] d = rt [/ latex]. На этот раз неизвестно t , расстояние составляет 1 милю, и мы знаем скорость каждого бегуна. Может помочь создать новую таблицу:

Бегунок Расстояние = (Оценка) (время)
Trason 1 миля 8.33 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] т часы
Джонсон 1 миля 9,1 [латекс] \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} [/ latex] т часы

Написать и решить:

Трэсон:

Нам нужно будет разделить, чтобы изолировать время.

[латекс] \ begin {array} {c} d = rt \\\\ 1 \ text {mile} = 8.33 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} \ left (t \ text { часов} \ right) \\\\\ frac {1 \ text {mile}} {\ frac {8.33 \ text {miles}} {\ text {hour}}} = t \ text {hours} \\\\ 0,12 \ text {hours} = t \ end {array} [/ latex].

0,12 часа составляет примерно 7,2 минуты, поэтому время пробега Трейсона на одну милю составило примерно 7,2 минуты. УХ ТЫ! Она делала это за 6 часов!

Джонсон:

Нам нужно будет разделить, чтобы изолировать время.

[латекс] \ begin {array} {c} d = rt \\\\ 1 \ text {mile} = 9.1 \ frac {\ text {miles}} {\ text {hour}} \ left (t \ text { часов} \ right) \\\\\ frac {1 \ text {mile}} {\ frac {9.1 \ text {miles}} {\ text {hour}}} = t \ text {hours} \\\\ 0 .11 \ text {часы} = t \ end {array} [/ latex].

0,11 часа составляет около 6,6 минут, поэтому время Джонсона на пробег одной мили составляло около 6,6 минут. УХ ТЫ! Он делал это за 5,5 часов!

Проверка и интерпретация:

Мы ответили на вопрос? Нас попросили определить, сколько времени требуется каждому бегуну, чтобы пробежать одну милю с учетом скорости, с которой они пробежали всю дистанцию ​​в 50 миль. Да, мы ответили на наш вопрос.

Трейсон провел милю [латекс] 7,2 \ frac {\ text {minutes}} {\ text {mile}} [/ latex], а Джонсон провел милю [латекс] 6.6 \ frac {\ text {minutes}} {\ text {mile}} [/ latex]

В следующем видео мы показываем еще один пример ответа на многие вопросы по оценке с учетом расстояния и времени.

Простой процент

Чтобы побудить клиентов инвестировать свои деньги, многие банки открывают процентные счета. Счета работают следующим образом: клиент вносит определенную сумму денег (называемую Принципалом или P ), которая затем медленно растет в зависимости от процентной ставки ( R , измеряемой в процентах) и продолжительности времени ( P ). T , обычно измеряется в месяцах), что деньги остаются на счете.Сумма, заработанная с течением времени, называется процентами ( I ), которые затем выплачиваются покупателю.

Остерегаться! Процентные ставки обычно указываются как годовые, но также могут быть ежемесячными, ежеквартальными, двухмесячными или даже в течение определенного периода времени. Важно, чтобы единицы времени и единицы процентной ставки совпадали. Вы поймете, почему это важно, в следующем примере.

Самый простой способ рассчитать проценты, полученные по счету, — использовать формулу [latex] \ displaystyle I = P \, \ cdot \, R \, \ cdot \, T [/ latex].

Если мы знаем любую из трех величин, связанных с этим уравнением, мы можем найти четвертую. Например, если мы хотим найти время, необходимое для начисления определенной суммы процентов, мы можем решить для T с помощью деления:

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, I = P \, \ cdot \, R \, \ cdot \, T \\\\ \ frac {I} {{P} \, \ cdot \, R} = \ frac {P \ cdot \, R \, \ cdot \, T} {\, P \, \ cdot \, R} \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {T} = \ frac {I} {\, R \, \ cdot \ , T} \ end {array} [/ latex]

Ниже приведена таблица, показывающая результат решения для каждой отдельной переменной в формуле.

Решить для Результат
I [латекс] I = P \, \ cdot \, R \, \ cdot \, T [/ латекс]
п. [латекс] {P} = \ frac {I} {{R} \, \ cdot \, T} [/ латекс]
R [латекс] {R} = \ frac {I} {{P} \, \ cdot \, T} [/ латекс]
т [латекс] {T} = \ frac {I} {{P} \, \ cdot \, R} [/ латекс]

В следующих примерах мы покажем, как подставить заданные значения в формулу простого процента и расшифровать, какую переменную нужно найти.

Пример

Если клиент вносит основную сумму в размере 2000 долларов по ставке 0,7% в месяц, какова общая сумма, которая у него будет через 24 месяца?

Показать решение

Заменить значения, указанные для основного долга, ставки и времени.

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} I = P \, \ cdot \, R \, \ cdot \, T \\ I = 2000 \ cdot 0.7 \% \ cdot 24 \ end {array} [ / латекс]

Записываем 0,7% в виде десятичной дроби 0,007, затем умножаем.

[латекс] \ begin {array} {l} I = 2000 \ cdot 0.007 \ cdot 24 \\ I = 336 \ end {array} [/ latex]

Добавьте проценты и первоначальную сумму основного долга, чтобы получить общую сумму на ее счету.

[латекс] \ displaystyle 2000 + 336 = 2336 [/ латекс]

У нее 2336 долларов через 24 месяца.

В следующем видео показан еще один пример нахождения остатка на счете по прошествии заданного времени, основной суммы инвестиций и ставки.

В следующем примере вы увидите, почему важно, чтобы единицы процентной ставки соответствовали единицам времени при использовании простой формулы процента.

Пример

Алекс инвестирует 600 долларов под 3,25% ежемесячно сроком на 3 года. Какую сумму процентов заработал Алекс?

Показать решение

Прочтите и поймите: В вопросе запрашивается сумма, чтобы мы могли заменить то, что нам дано, в формулу простого процента [латекс] I = P \, \ cdot \, R \, \ cdot \, T [/ latex ]

Определить и перевести: мы знаем P, R и T, поэтому можем использовать замену. R = 0,0325, P = 600 долларов и T = 3 года. Надо быть осторожными! R в месяцах, а T в годах.Нам нужно заменить T на месяцы, потому что мы не можем изменить ставку — она ​​устанавливается банком.

[латекс] {T} = 3 \ text {лет} \ cdot12 \ frac {\ text {месяцев}} {год} = 36 \ text {месяцев} [/ latex]

Написать и решить:

Подставить указанные значения в формулу.

[латекс] \ begin {array} {l} I = P \, \ cdot \, R \, \ cdot \, T \\\\ I = 600 \, \ cdot \, 0,035 \, \ cdot \, 36 \\\\ {I} = 756 \ end {array} [/ latex]

Проверка и интерпретация:

Нас спросили, какую сумму заработал Алекс, которая является суммой, предусмотренной формулой.В предыдущем примере нас спросили об общей сумме на счете, которая включает основную сумму и полученные проценты.

Алекс заработал 756 долларов.

В следующем видео мы показываем еще один пример того, как найти сумму процентов, заработанных после того, как инвестиции были отложены на заданные ежемесячные проценты.

Пример

По прошествии 10 лет остаток на счете Джоди заработал 1080 долларов в виде процентов. Ставка по счету 0,09% в месяц.Какую первоначальную сумму она вложила на счет?

Показать решение

Прочтите и поймите: В вопросе запрашивается исходная сумма инвестиций, основная сумма. Нам дается период времени в годах, процентная ставка в месяцах и сумма полученных процентов.

Определить и перевести: мы знаем, что I = 1080 долларов США, R = 0,009 и T = 10 лет, поэтому мы можем использовать [latex] {P} = \ frac {I} {{R} \, \ cdot \, T} [/ латекс]

Нам также необходимо убедиться, что единицы измерения процентной ставки и продолжительности времени совпадают, а они — нет.Нам снова нужно перевести время на месяцы.

[латекс] {T} = 10 \ text {лет} \ cdot12 \ frac {\ text {месяцев}} {год} = 120 \ text {месяцев} [/ latex]

Написать и решить:

Подставить полученные значения в формулу

[латекс] \ begin {array} {l} {P} = \ frac {I} {{R} \, \ cdot \, T} \\\\ {P} = \ frac {1080} {{0,009} \, \ cdot \, 120} \\\\ {P} = \ frac {1080} {1.08} = 1000 \ end {array} [/ latex]

Проверка и интерпретация:

Нас попросили найти основную сумму с учетом суммы процентов, полученных по счету.Если подставить P = 1000 $ в формулу [latex] I = P \, \ cdot \, R \, \ cdot \, T [/ latex], мы получим

[латекс] I = 1000 \, \ cdot \, 0,009 \, \ cdot \, 120 \\ I = 1080 [/ латекс]

Наше решение прошло проверку. Джоди вложила 1000 долларов.

В последнем видео показан еще один пример определения основной суммы инвестирования на основе простых процентов.

В следующем разделе мы применим наш метод решения проблем к задачам, связанным с размерами геометрических фигур.

Дополнительные приложения линейных уравнений

Формулы используются в самых разных сферах жизни.Мы видели формулу, связывающую расстояние, скорость и время, а также формулу простого процента на инвестиции. В этом разделе мы рассмотрим формулы и примеры формул для измерения геометрических фигур, а также формулы для преобразования температуры из Фаренгейта в Цельсия.

Геометрия

Есть много геометрических фигур, которые были хорошо изучены на протяжении многих лет. Мы довольно много знаем о кругах, прямоугольниках и треугольниках. Математики доказали множество формул, описывающих размеры геометрических фигур, включая площадь, периметр, площадь поверхности и объем.

Периметр

Периметр — это расстояние вокруг объекта. Например, рассмотрим прямоугольник длиной 8 и шириной 3. В прямоугольнике две длины и две ширины (противоположные стороны), поэтому мы добавляем [латекс] 8 + 8 + 3 + 3 = 22 [/ latex ]. Поскольку в прямоугольнике две длины и две ширины, вы можете найти периметр прямоугольника, используя формулу [латекс] {P} = 2 \ left ({L} \ right) +2 \ left ({W} \ right ) [/ latex] где

L = длина

W = ширина

В следующем примере мы воспользуемся разработанным нами методом решения проблем, чтобы найти неизвестную ширину, используя формулу для периметра прямоугольника.Подставляя известные нам размеры в формулу, мы сможем выделить неизвестную ширину и найти решение.

Пример

Вы хотите сделать еще один садовый ящик того же размера, что и тот, который у вас уже есть. Вы записываете размеры коробки и идете в магазин пиломатериалов, чтобы купить доски. Когда вы попадаете туда, вы понимаете, что записали не ширину, а только периметр и длину. Вам нужны точные размеры, чтобы в магазине можно было резать пиломатериалы за вас.

Вот что вы записали:

Периметр = 16,4 фута
Длина = 4,7 фута

Сможете ли вы найти размеры, необходимые для распиловки досок, в магазине пиломатериалов? Если да, то сколько досок вам нужно и какой длины они должны быть?

Показать решение

Прочтите и поймите: Мы знаем, что периметр = 16,4 фута, а длина = 4,7 фута, и мы хотим найти ширину.

Определить и перевести:

Определите известные и неизвестные размеры:

w = ширина

р = 16.4

л = 4,7

Написать и решить:

Сначала подставим известные нам размеры в формулу для периметра:

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, P = 2 {W} +2 {L} \\\\ 16,4 = 2 \ left (w \ right) +2 \ слева (4,7 \ справа) \ end {array} [/ latex]

Затем мы выделим w , чтобы найти неизвестную ширину.

[латекс] \ begin {array} {l} 16,4 = 2 \ left (w \ right) +2 \ left (4,7 \ right) \\ 16,4 = 2 {w} +9,4 \\\ подчеркивание {-9,4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, — 9.4} \\\, \, \, \, \, \, \, 7 = 2 \ left (w \ right) \\\, \, \, \, \, \, \, \ frac {7} {2} = \ frac {2 \ left (w \ right)} {2} \\\, \, \ , \, 3.5 = w \ end {array} [/ latex]

Запишите ширину в виде десятичной дроби, чтобы было проще разрезать доски, и замените единицы измерения, иначе вы не получите доски нужного размера!

Проверка и интерпретация:

Если мы заменим найденную ширину [latex] w = 3.5 \ text {feet} [/ latex] в формулу для периметра с размерами, которые мы записали, мы можем проверить нашу работу:

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, {P} = 2 \ left ({L} \ right) +2 \ left ({W} \ right) \\\ \ {16.4} = 2 \ left ({4.7} \ right) +2 \ left ({3.5} \ right) \\\\ {16.4} = 9.4 + 7 \\\\ {16.4} = 16.4 \ end {array} [/ latex]

Наш расчет ширины подтвержден. Нам нужно попросить 2 доски, обрезанные до 3,5 футов, и 2 доски, обрезанные до 4,7 футов, чтобы мы могли сделать новый садовый ящик.

На этом видео показана аналогичная проблема садового ящика.

Мы могли бы выделить w в формуле для периметра до того, как решим уравнение, и если бы мы собирались использовать формулу много раз, это могло бы сэкономить много времени.В следующем примере показано, как изолировать переменную в формуле перед заменой известных измерений или значений в формулу.

Пример

Выделите член, содержащий переменную, w, , из формулы для периметра прямоугольника :

[латекс] {P} = 2 \ left ({L} \ right) +2 \ left ({W} \ right) [/ latex].

Показать решение

Сначала выделите член с w , вычтя 2 l из обеих частей уравнения.

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, p \, = \, \, \, \, 2l + 2w \ \\ подчеркивание {\, \, \, \, \, — 2l \, \, \, \, \, — 2l \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, } \\ p-2l = \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2w \ end {array} [/ latex]

Затем очистите коэффициент w , разделив обе части уравнения на 2.

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \ underline {p-2l} = \ underline {2w} \\\, \, \, \, \, \, 2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2 \\ \, \, \, \ frac {p-2l} {2} \, \, = \, \, w \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, w = \ frac {p-2l} {2} \ end {array} [/ latex]

Вы можете переписать уравнение так, чтобы изолированная переменная находилась слева.

[латекс] w = \ frac {p-2l} {2} [/ латекс]

Площадь

Площадь треугольника определяется выражением [latex] A = \ frac {1} {2} bh [/ latex], где

A = площадь
b = длина основания
h = высота треугольника

Помните, что когда две переменные или число и переменная находятся рядом друг с другом без математического оператора между ними, вы можете предположить, что они умножаются.Это может показаться разочаровывающим, но вы можете думать об этом как о математическом сленге. За прошедшие годы люди, которые часто используют математику, просто сделали этот короткий путь достаточно, чтобы он был принят как условность.

В следующем примере мы воспользуемся формулой площади треугольника, чтобы найти недостающий размер, а также воспользуемся подстановкой для определения основания треугольника с учетом площади и высоты.

Пример

Найдите основание ( b) треугольника с площадью ( A ) 20 квадратных футов и высотой ( h) 8 футов.

Показать решение

Используйте формулу площади треугольника [latex] {A} = \ frac {{1}} {{2}} {bh} [/ latex] .

Подставьте указанные длины в формулу и решите для b.

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {l} \, \, A = \ frac {1} {2} bh \\\\ 20 = \ frac {1} {2} b \ cdot 8 \\\ \ 20 = \ frac {8} {2} b \\\\ 20 = 4b \\\\\ frac {20} {4} = \ frac {4b} {4} \\\\ \, \, \, 5 = b \ end {array} [/ latex]

Ответ

Основание треугольника составляет 5 футов.

Мы можем переписать формулу в виде b или h , как мы делали с периметром ранее.Это, вероятно, кажется абстрактным, но может помочь вам развить навыки решения уравнений, а также поможет вам более комфортно работать со всеми видами переменных, а не только с x .

Пример

Используйте свойства равенства умножения и деления, чтобы выделить переменную b .

Показать решение

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, A = \ frac {1} {2} bh \\\\\ left (2 \ right) A = \ left (2 \ right) \ frac {1} {2} bh \\\\\, \, \, \, \, \, 2A = bh \\\\\, \, \, \, \ , \, \, \ frac {2A} {h} = \ frac {bh} {h} \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, \ frac {2A} {h} = \ frac {b \ cancel {h}} {\ cancel {h}} \ end {array} [/ latex]

Условно запишите уравнение с нужной переменной в левой части:

[латекс] b = \ frac {2A} {h} [/ латекс]

Используйте свойства равенства умножения и деления, чтобы выделить переменную h .

Показать решение

[латекс] \ begin {array} {l} \, \, \, \, \, \, \, \, A = \ frac {1} {2} bh \\\\\ left (2 \ right) A = \ left (2 \ right) \ frac {1} {2} bh \\\\\, \, \, \, \, \, 2A = bh \\\\\, \, \, \, \ , \, \, \ frac {2A} {b} = \ frac {bh} {b} \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, \ frac {2A} {b} = \ frac {h \ cancel {b}} {\ cancel {b}} \ end {array} [/ latex]

Условно запишите уравнение с нужной переменной в левой части:

[латекс] h = \ frac {2A} {b} [/ латекс]

В следующем видео показан еще один пример нахождения основания треугольника с заданной площадью и высотой.{\ circ} {C} [/ latex] в формулу преобразования:

[латекс] 12 = \ left (F-32 \ right) \ cdot \ frac {5} {9} [/ latex]

Изолируйте переменную F, чтобы получить эквивалентную температуру.

[латекс] \ begin {array} {r} 12 = \ left (F-32 \ right) \ cdot \ frac {5} {9} \\\\\ left (\ frac {9} {5} \ right ) 12 = F-32 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\\ влево (\ frac {108} {5} \ right) 12 = F-32 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\ 21.6 = F-32 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\ подчеркивание {+32 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, + 32} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \\\\ 53.{\ circ} {F} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \ end {array} [/ latex]

Как и в случае с другими формулами, с которыми мы работали, мы могли бы сначала выделить переменную F, а затем подставить ее в заданную температуру в градусах Цельсия.

Пример

Решите приведенную ниже формулу для преобразования шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия для F.

[латекс] C = \ left (F-32 \ right) \ cdot \ frac {5} {9} [/ latex]

Показать решение

Чтобы выделить переменную F, лучше сначала очистить фракцию, содержащую F.Умножьте обе части уравнения на [latex] \ displaystyle \ frac {9} {5} [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {l} \\\, \, \, \, \ left (\ frac {9} {5} \ right) C = \ left (F-32 \ right) \ left ( \ frac {5} {9} \ right) \ left (\ frac {9} {5} \ right) \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \ frac {9} {5} C = F-32 \ end {array} [/ latex]

Добавьте 32 к обеим сторонам. {2} [/ latex] через высоту, h .{2}} {2 \ pi r} [/ латекс]

В последнем видео мы показываем, как преобразовать градусы Цельсия в градусы Фаренгейта.


задач со словами системы уравнений | Purplemath

Purplemath

Многие задачи можно решить с помощью систем линейных уравнений. В «реальной жизни» эти проблемы могут быть невероятно сложными.Это одна из причин, почему линейная алгебра (изучение линейных систем и связанных понятий) является отдельным разделом математики.

Однако в процессе обучения вы обычно будете сталкиваться с гораздо более простыми задачами. Ниже приведены некоторые типичные примеры.


  • Плата за вход на небольшую ярмарку составляет 1,50 доллара для детей и 4 доллара для взрослых. В определенный день на ярмарку заходят 2200 человек и собирают 5050 долларов. Сколько детей и сколько взрослых посетили?

MathHelp.com

Раньше я устанавливал это, выбирая переменную для одной из групп (скажем, « c » для «детей»), а затем использовал «(всего) меньше (что я уже учел). «(в данном случае» 2200 — c «) для другой группы.Однако использование системы уравнений позволяет мне использовать две разные переменные для двух разных неизвестных.

количество взрослых: а

кол-во детей: c

С этими переменными я могу составить уравнения для итогов, которые они мне дали:

общее количество: a + c = 2200

общий доход: 4 a + 1.5 с = 5050

Теперь я могу решить систему по количеству взрослых и количеству детей. Я решу первое уравнение для одной из переменных, а затем подставлю результат в другое уравнение:

a = 2200 — c

4 (2200 — c ) + 1,5 c = 5050

8800 — 4 c + 1.5 с = 5050

8800 — 2,5 c = 5050

–2,5 c = –3750

c = 1500

Теперь я могу вычислить значение другой переменной:

a = 2200 — (1500) = 700

У меня есть значения для двух моих переменных. Я могу вернуться к своим определениям переменных, чтобы интерпретировать эти значения.Чтобы ответить на исходный вопрос, их было:

1500 детей и 700 взрослых.


Вы, вероятно, начнете с проблем, которые, как и вышеприведенная, кажутся вам очень знакомыми. Но затем вы перейдете к более сложным задачам.

  • Сумма цифр двузначного числа равна 7. Когда цифры меняются местами, число увеличивается на 27.Найдите номер.

Хитрость здесь в том, чтобы работать с цифрами явно. Я буду использовать « t » для цифры «десятки» исходного числа и « u » для цифры «единиц» (или «единиц»). У меня тогда есть:

Цифра десятков означает «десятикратное значение этой цифры». Точно так же, как «26» равно «10 умножить на 2, плюс 6 умножить на 1», так и двузначное число, которое они мне дали, будет в десять раз больше цифры «десятки», плюс одна цифра «единиц».Другими словами:

оригинальный номер: 10 t + 1 u

Новое число имеет значения цифр (представленных переменными) в обратном порядке. Это дает мне:

И это новое число на двадцать семь больше, чем исходное число. Ключевое слово «равно» означает «равно», поэтому я получаю:

(новый номер) — (старый номер) увеличен на (двадцать семь)

10 u + 1 t = (10 t + 1 u ) + 27

Теперь у меня есть система уравнений, которую я могу решить:

т + u = 7

10 u + t = 10 t + u + 27

Сначала я упрощу второе уравнение:

10 u + t = 10 t + u + 27

9 u — 9 t = 27

u t = 3

После перестановки переменных в первом уравнении у меня теперь есть:

Складывая, получаем:

Тогда t = 2.Обратное решение, это означает, что исходное число было 25, а новое число (полученное переключением цифр) — 52. Поскольку 52-25 = 27, это решение проверяется.


  • Найдите уравнение параболы, проходящей через точки (–1, 9), (1, 5) и (2, 12).

Вспоминая, что уравнение параболы имеет квадратное уравнение, я знаю, что ищу уравнение вида ax 2 + bx + c = y .Кроме того, я знаю, что точки имеют форму ( x , y ). С практической точки зрения это означает, что в каждой из этих точек они дали мне значения для x и y , которые делают квадратное уравнение истинным. Подставляя три точки в общее уравнение для квадратичного, я получаю систему из трех уравнений, где переменные обозначают неизвестные коэффициенты этого квадратичного уравнения:

a (–1) 2 + b (–1) + c = 9

a (1) 2 + b (1) + c = 5

a (2) 2 + b (2) + c = 12

Упрощая три уравнения, получаем:

1 a b + c = 9

1 a + b + c = 5

4 a + 2 b + c = 12

Я не буду отображать решение этой проблемы, но результат таков: a = 3, b = –2 и c = 4, поэтому им нужно уравнение:


Вы также можете увидеть похожие упражнения, относящиеся к кругам, используя:

x 2 + y 2 + bx + cy + d = 0

…или другие коники, хотя параболы являются наиболее распространенными. Имейте в виду, что проблемы со снарядами (например, запуск стрелы в воздух или падение пенни с крыши высокого здания) также являются проблемами параболы, используя:

— ( 1 / 2 ) gt 2 + v 0 t + h 0 = s

… где h 0 — исходная высота, v 0 — начальная скорость, s — высота в момент времени t , обычно измеряется в секундах, а g относится к гравитация, будучи 9.8, если вы работаете в метрах, и 32, если вы работаете в футах).

Все эти различные перестановки в приведенном выше примере работают одинаково: возьмите общее уравнение для кривой, вставьте заданные точки и решите полученную систему уравнений для значений коэффициентов. Предупреждение: если вы видите подобное упражнение в домашнем задании, имейте в виду, что, возможно, ожидает, что знает формы общих уравнений (например, « ax 2 + bx + c = y «для парабол) в следующем тексте.


URL: https://www.purplemath.com/modules/systprob.htm

10 способов использования одновременных уравнений в повседневной жизни

Одновременные уравнения — это система уравнений, которые верны вместе. Вы должны найти ответ или ответы, которые работают для всех уравнений одновременно. Например, если вы работаете с двумя одновременными уравнениями, даже если может быть решение, которое делает одно из уравнений истинным, вы должны найти решение, которое делает оба уравнения истинными.Одновременные уравнения можно использовать для решения повседневных задач, особенно тех, которые сложнее обдумать, ничего не записывая.

Скорость, расстояние и время

Вы можете рассчитать лучшие маршруты для вашего графика бега или езды на велосипеде, создав математическое выражение, которое учитывает расстояние и вашу среднюю скорость для различных участков маршрута. Вы можете использовать уравнения для постановки различных целей, например, чтобы максимизировать время для наращивания выносливости или максимизировать скорость для производительности.

Самолеты, поезда и автомобили

Ту же формулу, используемую для расчета времени пробега, можно использовать для определения скорости, расстояния и продолжительности времени при поездке на машине, самолете или поезде, и вы хотите знать значения неизвестных переменных в вашем путешествии. ситуации.

Лучшее предложение

Вы хотите узнать более выгодное предложение при аренде автомобиля, и вы сравниваете две компании по аренде. Поместив переменные и фиксированные затраты, такие как стоимость проезда в милю и дневная ставка, в алгебраическое выражение, а затем вычислив общую стоимость, вы сможете увидеть, какая компания экономит вам деньги при различных объемах вождения.

Лучший тарифный план

Вы можете использовать этот же процесс с системой уравнений при попытке выбрать лучший тарифный план для мобильного телефона, определяя, за сколько минут обе компании берут одинаковую сумму, и исходя из этого, выбирая лучший план для вы и ваше предполагаемое использование.

Принятие решения о ссуде

Одновременные уравнения могут использоваться для определения наилучшего выбора ссуды при покупке автомобиля или дома, если учесть продолжительность ссуды, процентную ставку и ежемесячный платеж по ссуде.Могут быть задействованы и другие переменные. Имея под рукой информацию, вы можете рассчитать, какой кредит лучше всего подходит для вас.

Стоимость и спрос

Одновременные уравнения могут использоваться при рассмотрении взаимосвязи между ценой товара и количеством товара, которое люди хотят купить по определенной цене. Можно написать уравнение, которое описывает взаимосвязь между количеством, ценой и другими переменными, такими как доход. Эти уравнения взаимосвязи могут быть решены одновременно, чтобы определить лучший способ установить цену на товар и продать его.

В воздухе

Диспетчер управления воздушным движением может использовать одновременные уравнения, чтобы два самолета не пересекались одновременно.

Лучшая работа за деньги

Системы уравнений можно использовать при попытке определить, будете ли вы зарабатывать больше денег на той или иной работе, принимая во внимание множество переменных, таких как зарплата, льготы и комиссионные.

Инвестирование с умом

Вы можете использовать одновременные уравнения, чтобы выбрать лучший вариант инвестирования, принимая во внимание продолжительность инвестиций, проценты, которые будут начисляться, а также другие переменные, которые повлияют на конечный результат.Если вы знаете сумму, которую хотите накопить, вы можете установить одинаковые варианты и выяснить, какой из них лучше всего подходит для вашей ситуации.

Смешивание

Что касается смесей, одновременные уравнения могут использоваться для достижения определенной консистенции в конечном продукте, которая зависит от консистенции соединений, смешанных вместе для его производства.

College Algebra
Учебник 49: Решение систем
линейных уравнений с двумя переменными


Цели обучения


После изучения этого руководства вы сможете:

  1. Узнайте, является ли заказанная пара решением системы
    линейные уравнения
    в
    две переменные или нет.
  2. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными.
    путем построения графиков.
  3. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными.
    заменой
    метод.
  4. Решите систему линейных уравнений с двумя переменными.
    устранением
    методом сложения.

Введение


В этом уроке мы специально рассмотрим
системы, которые имеют
два уравнения и две неизвестные.Урок 50: Решение систем
Линейный
Уравнения в трех переменных будут охватывать системы, которые имеют три
уравнения
и три неизвестных. Мы рассмотрим их решение трех разных
способы:
путем построения графиков, методом подстановки и путем исключения
добавление
метод.
Итак, давайте посмотрим на эти системы.

Учебник


Система линейных уравнений

Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных
уравнения, которые
решаются одновременно.

В этом руководстве мы рассмотрим системы, которые
имеют только два линейных
уравнения и две неизвестные.

В общем, решение системы двух переменных
заказанный
пара, которая делает ОБЕИХ уравнениями верными.

Другими словами, здесь пересекаются два графика,
что у них есть
в общем.Итак, если упорядоченная пара является решением одного уравнения,
но
не другой, то это НЕ решение системы.

Согласованная система — это система, в которой
хотя бы одно решение.

Несогласованная система — это система, имеющая
нет решения .

Уравнения системы зависимы если ВСЕ
решения
одного уравнения являются решениями другого уравнения.В
Другие
словами, они заканчиваются тем, что и та же строка .

Уравнения системы независимы , если
они не разделяют
ВСЕ решения
. У них может быть одна общая черта, только не
все
их.

Одно решение
Если система с двумя переменными имеет одно решение, это
заказанный
пара, которая является решением ОБЕИХ уравнений.
Другими словами,
когда
вы вставляете значения упорядоченной пары, она делает ОБА уравнения
ПРАВДА.

Если у вас есть одно решение для окончательного ответа, — это
эта система непротиворечива или непоследовательна?

Если вы сказали «последовательный», похлопайте себя по плечу!

Если вы получите одно решение для окончательного ответа, будет
уравнения быть зависимыми или независимыми?

Если вы сказали независимый, вы правы!

График ниже иллюстрирует систему двух уравнений.
и два неизвестных
у которого есть одно решение:

Нет решения
Если две линии параллельны друг другу, они будут
никогда не пересекаются.

Значит, у них нет ничего общего. В этом
ситуация
у вас не будет решения.

Если вы не получили решения для окончательного ответа, — это
эта система непротиворечива или непоследовательна?

Если вы сказали «непоследовательно», вы правы!

Если вы не получите окончательного ответа, будет
уравнения быть зависимыми или независимыми?

Если вы сказали независимый, вы правы!

График ниже иллюстрирует систему двух уравнений.
и два неизвестных
не имеющий решения:

Бесконечный
Решения

Если две линии в конечном итоге лежат друг на друге, то
Там есть
бесконечное количество решений.
В этой ситуации они
было бы
в конечном итоге будут одной и той же строкой, поэтому любое решение, которое будет работать в одном
уравнение
будет работать в другом.

Если вы получите бесконечное количество решений для
Ваш окончательный ответ, я с
эта система непротиворечива или непоследовательна?

Если вы сказали «последовательный», вы правы!

Если вы получите бесконечное количество решений для
ваш окончательный ответ, будет
уравнения быть зависимыми или независимыми?

Если вы сказали иждивенец, вы правы!

График ниже иллюстрирует систему двух уравнений.
и два неизвестных
имеющий бесконечное количество решений:

Пример
1
: Определите, является ли каждая заказанная пара решением
из
система.
(3, 1) и (0, -1)

Давайте проверим заказанную пару (3, 1) в первом
уравнение:

* Вставка 3 для x и 1 для y

* Истинное утверждение

Пока все хорошо, (3, 1) — решение первого
уравнение 2 x — 3 y = 3.

Теперь давайте проверим (3, 1) во втором уравнении:

* Вставка 3 для x и 1 для y

* Истинное утверждение

Эй, мы закончили с еще одним верным утверждением, которое
означает, что (3, 1) есть
также решение второго уравнения 4 x
2 y = 10.

Вот большой вопрос, является ли (3, 1) решением
данная система ?????

Поскольку это было решение ОБЕИХ уравнений в
система, тогда это
это решение для всей системы.

Теперь давайте подставим (0, -1) в первое уравнение:

* Вставка 0 для x и -1 для y

* Истинное утверждение

Это истинное утверждение, поэтому (0, -1) является решением
первое уравнение
2 x — 3 y =
3.

Наконец, давайте поместим (0, -1) во второе уравнение:

* Вставка 0 для x и -1 для y

* Ложное заявление

На этот раз мы получили ложное заявление, вы знаете, что это
средства.
(0, -1) НЕ является решением второго уравнения 4 x — 2 y = 10.

Вот большой вопрос, является ли (0, -1) решением
данная система ?????

Поскольку это не было решением ОБЕИХ уравнений в
система, тогда
это не решение всей системы.

Три способа
Решение систем линейных
Уравнений с двумя переменными

Шаг
1: Изобразите первое уравнение.

Если в инструкциях указано иное, вы можете использовать
любой «законный»
способ построить линию. Если вам нужен обзор линий графика,
не стесняйтесь вернуться к Урок 27: Графические линии.

Шаг
2: Изобразите второе уравнение на
та же координата
система как первая.

Вы изобразите второе уравнение так же, как любое другое.
уравнение.
Обратитесь к первому шагу, если вам нужно узнать, как
график
линия.

Отличие вот в том, что на такой же ставишь
система координат
как первый. Это как две задачи с графиком в одной.

Шаг
3: Найдите решение.

Если две линии пересекаются в одном месте , то
точка
перекресток
— решение системы.

Если две линии параллельны , то они никогда не
пересекаются, так что
нет решения.

Если две линии лежат друг над другом , то
они
та же строка
, и у вас есть бесконечное количество решений .
В этом случае вы можете записать любое уравнение как решение
указывать
это одна и та же линия.

Шаг
4: Проверьте предложенный заказанный
парное решение в
ОБА уравнения.

Предлагаемое решение можно подключить к ОБА
уравнения.Если
он делает ОБЕИЕ уравнения истинными, тогда у вас есть решение
система.

Если хотя бы один из них окажется ложным, вам нужно перейти
назад и повторить
проблема.

Пример
2
: Решите систему уравнений, построив график.

* Вставка 0 для y для x -int
* x -intercept

Перехват по оси x равен (3, 0).

Y-перехват

* Вставка 0 для x для y -int
* y -intercept

Пересечение оси Y равно (0, 3).

Найти другого
решение, положив x = 1.

* Вставка 1 для x

Другое решение (1, 2).

Решения:

х y (х, у)
3 0 (3, 0)
0 3 (0, 3)
1 2 (1, 2)

Построение упорядоченных парных решений и построение
линия:

* Вставка 0 для y для x -int
* x -Intercept

Перехват по оси x равен (1, 0).

Y-перехват

* Вставка 0 для x для y -int

* Инверсная по отношению к мульт. на -1 — это div.
по -1

* y -перехват

Пересечение оси Y равно (0, -1).

Найти другого
решение, положив x = 2.

* Вставить 2 для x
* Сумма 2, обратная добавлению, является вспомогательной. 2

* Инверсная по отношению к мульт. на -1 это div
по -1

Другое решение (2, 1).

Решения:

х y (х, у)
1 0 (1, 0)
0 -1 (0, -1)
2 1 (2, 1)

Построение упорядоченных парных решений и построение
линия:

Мы должны спросить себя, есть ли место, где
две линии пересекаются,
и если да, то где?

Ответ — да, они пересекаются в (2, 1).

Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (2, 1)
в ОБЕИХ уравнения
исходной системы, что это решение ОБЕИХ из них.

Решение этой системы — (2, 1).

Пример
3
: Решите систему уравнений, построив график.

* Вставка 0 для y для x -int
* x -intercept

Перехват по оси x равен (5, 0).

Y-перехват

* Вставка 0 для x для y -int

* y -перехват

Пересечение оси Y равно (0, 5).

Найти другого
решение, положив x = 1.

* Вставить 1 для x
* Сумма, обратная сумме 1, является вспомогательной. 1

Другое решение (1, 4).

Решения:

х y (х, у)
5 0 (5, 0)
0 5 (0, 5)
1 4 (1, 4)

Построение упорядоченных парных решений и построение
линия:

* Вставить 0 для y для x -int
* Значение, обратное добавлению 3, является sub.3

* Инверсная по отношению к мульт. на -1 — это div.
по -1

* x -перехват

Перехват по оси x равен (3, 0).

Y-перехват

* Вставка 0 для x для y -int
* y -intercept

Пересечение оси Y равно (0, 3).

Найти другого
решение, положив x = 1.

* Вставка 1 для x

Другое решение (1, 2).

Решения:

х y (х, у)
3 0 (3, 0)
0 3 (0, 3)
1 2 (1, 2)

Построение упорядоченных парных решений и построение
линия:

Мы должны спросить себя, есть ли место, где
две линии пересекаются,
и если да, то где?

Ответ — нет, они не пересекаются.Мы
иметь два параллельных
линий.

Нет заказанных пар для проверки.

Ответа нет.

Решить методом подстановки

Шаг 1. При необходимости упростите.

Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и
удаление фракций.

Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive.

Для удаления дробей: поскольку дроби — это еще один способ
написать деление,
а обратное деление — умножение, дробь удаляется на
умножение
обе стороны ЖК-дисплеем всех ваших фракций.

Шаг 2: Решите один
уравнение для любой переменной.

Неважно, какое уравнение вы используете или какое
переменная, которую вы выбираете
решить для.

Вы хотите сделать это как можно проще. Если один
уравнений
уже решена для одной из переменных, это быстро и легко
способ
идти.

Если вам нужно найти переменную, попробуйте выбрать
тот, у которого есть
1 как коэффициент. Таким образом, когда вы идете решать это, вы
не будет
делить на число и рисковать работать с
доля
(фу !!).

Шаг 3: Заменить что
вы попадаете на шаг 2 в другое уравнение.

Вот почему он называется методом замещения.
Убедись в том, что
вы подставляете выражение в ДРУГОЕ уравнение, то, которое вы
не сделал
используйте на шаге 2.

Это даст вам одно уравнение с одним неизвестным.

Шаг 4: Решить для
оставшаяся переменная.

Решите уравнение, заданное на шаге 3 для переменной
что осталось.

Если вам нужен обзор решения линейных уравнений, прочувствуйте
бесплатно перейти к Учебное пособие
14: Линейные уравнения от переменной.

Если ваша переменная выпадает и вы получаете ЛОЖЬ
заявление, что означает
ваш ответ не решение.

Если ваша переменная выпадает и у вас есть ИСТИНА
заявление, что означает
ваш ответ — бесконечные решения, которые были бы уравнением
линия.

Шаг 5: Решить для
вторая переменная.

Если вы нашли значение переменной на шаге
4, что означает
два уравнения имеют одно решение.
Вставьте значение, найденное в
шаг 4 в любое уравнение задачи и решить для другого
Переменная.

Шаг 6. Проверьте предлагаемые
упорядоченное парное решение в ОБЕИХ исходных уравнениях.

Предлагаемое решение можно подключить к ОБА
уравнения.Если
это делает ОБЕИЕ уравнения истинными, тогда у вас есть решение
система.

Если хотя бы один из них окажется ложным, вам нужно перейти
назад и повторить
проблема.

Пример 4 : Решите систему уравнений
заменой
метод:

Оба эти уравнения уже упрощены.
Нет необходимости в работе
делать здесь.

Неважно, какое уравнение или какую переменную вы используете.
выбрать решение
для. Просто будьте проще.

Так как x во втором
уравнение имеет
коэффициент 1, это означало бы, что нам не нужно было бы делить на
номер
решить эту проблему и рискнуть работать с дробями
(YUCK).
Самый простой способ — решить второе уравнение для x ,
и мы определенно хотим выбрать легкий путь.

Вы не ошибетесь, если выберете другой
уравнение и / или решить
для y , вы снова хотите оставить его как
просто
насколько возможно.

Решая второе уравнение для x , мы
получить:

* 2-е уравнение решено для x

Подставьте выражение y + 1 вместо x в первое уравнение и решите относительно y :
(когда вы вставляете подобное выражение, это похоже на то, как вы подключаете
в номере вашей переменной)

* Под. л + 1 дюйм
для x

* Расст. С 3 по ()
* Объединить похожие термины

* Прибавление 3 — это sub. 3

Вставить 3 для y в
уравнение в
шаг 2, чтобы найти значение x .

* Вставка 3 на л

Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (4, 3)
в ОБЕИХ уравнения
исходной системы, что это решение ОБЕИХ из них.

(4, 3) — это решение нашей системы.

Пример 5 : Решите систему уравнений
заменой
метод:

В этом уравнении полно неприятных дробей.
Мы можем упростить
оба уравнения, умножив каждое в отдельности на ЖК-дисплей, как
вы можете сделать это, когда работаете с одним уравнением.До тех пор, как вы
проделайте то же самое с обеими сторонами уравнения, оставив обе стороны
равны друг другу.

Умножая каждое уравнение на соответствующий ЖК-дисплей, мы
получить:

* Мног. по ЖК из 2

* Разн. по ЖК из 2

Обратите внимание, что второе уравнение уже решено для y .
Мы можем использовать его на этом этапе.

Неважно, какое уравнение или переменную вы
выбрать решение
для. Но в ваших интересах, чтобы это было так просто, как
возможный.

Второе уравнение решено для y :

* Решено для y

Заменить выражение -3 x +
4 для y в первое уравнение и решите относительно x :

(когда вы вставляете подобное выражение, это похоже на то, как вы подключаете
в номере вашей переменной)

* Под.-3 х + 4
для y

* Переменная выпала И ложь

Погодите, а где наш
переменная go ????

Как упоминалось выше, если ваша переменная выпадает и вы
иметь оператор FALSE,
тогда решения нет. Если бы мы изобразили эти два графика,
они будут параллельны друг другу.

Поскольку мы не получили значение для x ,
там
здесь нечего подключать.

Нет заказанных пар для проверки.

Ответа нет.

Пример 6 : Решите систему уравнений
заменой
метод:

Оба эти уравнения уже упрощены.
Нет необходимости в работе
делать здесь.

Обратите внимание, что второе уравнение уже решено для y .
Мы можем использовать его на этом этапе.

Неважно, какое уравнение или переменную вы
выбрать решение
для. Но в ваших интересах, чтобы это было так просто, как
возможный.

Второе уравнение решено для y :

* Решено для y

Подставить выражение 2 x
4 для y в первое уравнение и решите относительно x :

(когда вы вставляете подобное выражение, это похоже на то, как вы подключаете
в номере вашей переменной)

* Под.2 x — 4 для y

* Переменная выпала И истинно

Погодите, а где наш
переменная go ????

Как упоминалось выше, если переменная выпадает И мы
иметь ИСТИННОЕ заявление,
тогда когда есть бесконечное количество решений.Они в конечном итоге
та же линия.

Поскольку мы не получили значение для x ,
там
здесь нечего подключать.

Здесь нет никакой ценности для подключения.

Когда они оказываются в одном и том же уравнении, у вас есть
бесконечное число
решений.Вы можете написать свой ответ, написав либо
уравнение, чтобы указать, что это одно и то же уравнение.

Два способа написать ответ: {( x , y ) | 2 x y = 4} OR {( x , y )
| y = 2 x
4}.

Решить устранением
Метод сложения

Шаг 1. Упростите и
при необходимости запишите оба уравнения в виде A x + B y = C.

Это может включать в себя такие вещи, как удаление () и
удаление фракций.

Чтобы удалить (): просто используйте свойство distributive.

Для удаления дробей: поскольку дроби — это еще один способ
написать деление,
а обратное деление — умножение, дробь удаляется на
умножение
обе стороны ЖК-дисплеем всех ваших фракций.

Шаг 2: умножить на единицу
или оба уравнения на число, которое создаст противоположные коэффициенты
для
либо x , либо y , если необходимо.

Забегая вперед, мы добавим эти два
уравнения вместе
.
В этом процессе нам нужно убедиться, что одна из переменных падает
вне,
оставив нам одно уравнение и одно неизвестное.Единственный способ, которым мы можем
гарантия, что если мы добавляем противоположностей . Сумма
противоположности
равно 0.

Если ни одна из переменных не выпадает, то мы застреваем с
уравнение с
две неизвестные, которые неразрешимы.

Неважно, какую переменную вы выберете для удаления
вне.

Вы хотите, чтобы это было как можно проще.Если переменная уже
имеет противоположные коэффициенты, чем при добавлении двух уравнений
все вместе.
В противном случае вам нужно умножить одно или оба уравнения на число.
что
создаст противоположные коэффициенты в одной из ваших переменных. Ты
может
думайте об этом как о ЖК-дисплее. Подумайте, какой номер оригинал
коэффициенты
оба входят и соответственно умножают каждое отдельное уравнение.
Делать
убедитесь, что одна переменная положительна, а другая отрицательна, прежде чем вы
Добавлять.

Например, если у вас есть 2 x в одном уравнении
и 3 x в другом уравнении, мы могли бы
умножать
первое уравнение на 3 и получаем 6 x и
в
второе уравнение на -2, чтобы получить -6 x .
Так
когда вы собираетесь сложить эти два, они выпадут.

Сложите два уравнения вместе.

Переменная с противоположными коэффициентами будет
выпадать из этого
шаг, и у вас останется одно уравнение с одним неизвестным.

Шаг 4: Решите оставшиеся
Переменная.

Решите уравнение, найденное на шаге 3 для переменной
что осталось.

Если вам нужен обзор решения линейных уравнений, прочувствуйте
бесплатно перейти к Учебное пособие
14: Линейные уравнения от переменной.

Если выпадают обе переменные и вы получаете ЛОЖЬ
заявление, что означает
ваш ответ не решение.

Если выпадают обе переменные и у вас есть ИСТИНА
заявление, что означает
ваш ответ — бесконечные решения, которые были бы уравнением
линия.

Шаг 5: Решить
на секунду
Переменная.

Если вы нашли значение переменной на шаге
4, что означает
два уравнения имеют одно решение.
Вставьте значение, найденное в
шаг 4 в любое уравнение задачи и решить для другого
Переменная.

Шаг 6: Проверка
предлагаемый
упорядоченное парное решение в ОБЕИХ исходных уравнениях.

Предлагаемое решение можно подключить к ОБА
уравнения.Если это
делает ОБЕИХ уравнения истинными, тогда у вас есть решение
система.

Если хотя бы один из них окажется ложным, вам нужно перейти
назад и повторить
проблема.

Пример 7 : Решите систему уравнений с помощью
устранение
метод:

В этом уравнении полно неприятных дробей.
Мы можем упростить
оба уравнения, умножив каждое в отдельности на ЖК-дисплей, как
вы можете сделать это, когда работаете с одним уравнением. До тех пор, как вы
проделайте то же самое с обеими сторонами уравнения, оставив обе стороны
равны друг другу.

Умножая каждое уравнение на соответствующий ЖК-дисплей, мы
получить:

* Мног.по ЖК из 6

* Разн. по ЖК 40

Опять же, вы хотите сделать это так же просто, как
возможный.

Обратите внимание, как коэффициент на y в первом
уравнение равно 2, а во втором уравнении — 5.Нам нужно иметь
противоположности, поэтому, если одному из них будет 10, а другому -10, они бы
отменить
друг друга, когда мы собираемся их добавить. Если бы мы сложили их вместе
в том виде, в каком они сейчас, мы бы получили одно уравнение и два
переменные,
ничего бы не выпадало. И мы бы не смогли ее решить.

Итак, я предложил умножить первое уравнение на
5 и второй
уравнение на -2,
, это создаст 10 и -10 перед y ’s
и у нас будут свои противоположности.

Умножение первого уравнения на 5 и второго
уравнение на -2
получаем:

* Мног. обе стороны 1-го ур.
по 5

* Мульт. обе стороны 2-го ур. по -2

* л ‘а
иметь противоположное
коэффициенты

* Обратите внимание, что y ‘s
выпал

Вы можете выбрать любое уравнение, используемое в этой задаче,
вставьте найденное значение x .

Я выбираю 10 для x в
первое упрощенное уравнение (найдено на шаге 1), чтобы найти y ’s
значение.

* Вставка 10 для x

* Сумма, обратная сумме 30, является sub. 30

* Инверсная по отношению к мульт.на 2 — div.
по 2

Вы обнаружите, что если вы подключите заказанную пару (10,
24) в ОБЕИХ
уравнения исходной системы, что это решение ОБЕИХ из
их.

(10, 24) — это решение нашей системы.

Пример 8 : Решите систему уравнений с помощью
устранение
метод:

Эта задача уже упрощена, однако вторая
уравнение
не записывается в форме A x + B y = C.Другими словами, нам нужно записать его в таком виде, чтобы
все
выстраивается в линию, когда мы складываем два уравнения вместе.

Переписывая второе уравнение, получаем:

* Сумма, обратная x , является вспомогательной. х

* Все выстроено

Обратите внимание, что x ’s
коэффициенты уже
противоположности. y коэффициенты равны
также
противоположности в этом отношении.

Таким образом, нам не нужно умножать любое уравнение на
номер.

* Обратите внимание, что x ‘s
и y оба выпали

Эй, откуда у нас переменные
идти??

Как упоминалось выше, если переменная выпадает И мы
иметь ИСТИННОЕ заявление,
тогда когда есть бесконечное количество решений.Они в конечном итоге
та же линия.

Здесь нет никакой ценности для подключения.

Здесь нет никакой ценности для подключения.

Когда они оказываются в одном и том же уравнении, у вас есть
бесконечное число
решений.Вы можете написать свой ответ, написав либо
уравнение, чтобы указать, что это одно и то же уравнение.

Два способа написать ответ: {( x , y ) | x y = 3} OR {( x , y )
| y = x
3}.

Пример 9 : Решите систему уравнений с помощью
устранение
метод:

Оба эти уравнения уже упрощены и в
правильная форма.
Здесь не нужно ничего делать.

Опять же, вы хотите сделать это так же просто, как
возможный.

Обратите внимание, как коэффициент при x в первом
уравнение равно 5, а во втором уравнении — 10. Нам нужно
имеют
противоположности, поэтому, если один из них -10, а другой 10, они бы
отменить
друг друга, когда мы собираемся их добавить.Если бы мы сложили их вместе
в том виде, в каком они сейчас, мы бы получили одно уравнение и два
переменные,
ничего бы не выпадало. И мы бы не смогли ее решить.

Итак, я предложил умножить первое уравнение на
-2,
это
создаст -10 и 10 перед x ‘s
и у нас будут свои противоположности.

Умножая первое уравнение на -2, получаем:

* Мног.обе стороны 1-го ур.
по -2

* x ‘s
и л х
имеют противоположные коэффициенты

* Обратите внимание, что x ‘s
и y оба выпали

Погодите, а где наш
переменная go ????

Как упоминалось выше, если ваша переменная выпадает и вы
иметь оператор FALSE,
тогда решения нет. Если бы мы изобразили эти два графика,
они будут параллельны друг другу.

Здесь нет никакой ценности для подключения.

Здесь нет никакой ценности для подключения.

Ответа нет.

Практические задачи


Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень.
Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти
типы проблем. Математика работает как и все
в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это.
Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много
практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте.

На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить от них максимальную отдачу, вы должны решить проблему на
свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения
для этой проблемы
.По ссылке вы найдете ответ
а также любые шаги, которые позволили найти этот ответ.

Практические задачи 1a — 1c: Решите каждую систему с помощью
подмена
или исключение методом добавления.

Практическая задача 2a: Решите систему, построив график.

Нужна дополнительная помощь по этим темам?




Последний раз редактировал Ким Сьюард 25 марта 2011 г.
Авторские права на все содержание (C) 2002 — 2011, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Простые / линейные уравнения: проблемы с решениями

Проблема 1

Найти решение n уравнения n + 2 = 6

Проблема 2

Решите уравнение z — 5 = 6.

Проблема 3

Решите уравнение 5 — t = 0.

Проблема 4

Решите уравнение: n + 7 = 13

Проблема 5

Решите уравнение [текс] x + 34 = 82 [/ текс]

Проблема 6

Решите линейное уравнение 3-a = 2a.

Проблема 7

Решите линейное уравнение [текс] 2x-20 = 10 [/ текс]

Проблема 8

Решите уравнение [текс] 20 — 2x = 18 [/ текс]

Проблема 9

Найдите c, если [tex] 5c — 2 = 33 [/ tex].

Проблема 10

Решите уравнение [текс] 4x = 72 [/ текс]

Проблема 11

Решите уравнение [текс] 13x-15 = 24 [/ текс]

Проблема 12

Найдите решение b уравнения [tex] \ frac {b} {3} = 3 [/ tex].

Проблема 13

Решите линейное уравнение [текс] 2x + 2 = 40 [/ текс]

Проблема 14

Решите уравнение 3x + 1 = 16.

Проблема 15

Решите уравнение 2x + 5 = 9

Проблема 16

Решите уравнение m + 10 = 3m.

Проблема 17

Решите линейное уравнение [tex] 19z = 38 + 6 \ times 19 [/ tex]

Проблема 18

Найдите решение y линейного уравнения 2y + 6 = y + 11.

Проблема 19

Решите уравнение [tex] \ frac {1} {x} = \ frac {1} {5} [/ tex]

Проблема 20

Найдите решение x уравнения [tex] x-1 + x-2 + x-3 = 0 [/ tex]

Проблема 21

Найдите решение y уравнения [tex] y + 10 = 13y-74 [/ tex]

Проблема 22

Решите уравнение 3c = 8c.

Проблема 23

Решите линейное уравнение [tex] \ frac {3} {8} a = 3 [/ tex]

Проблема 24

Решите уравнение 4x — 9 = 2x + 7.

Проблема 25

Если [текс] 5x + 12 = 3x-24 [/ текс], определить значение x.

Проблема 26

Найдите решение уравнения [tex] \ frac {x} {5} = 8 [/ tex].

Проблема 27

Если 28 = 10y — 3y, найти y.

Задача 29 прислала Бхуми Бембде

Если 19 + 19x = 3x — 9, найдите значение x.

Задача 30 прислал Ошин Патель

Если x + 7 = 16, то какое значение 8x — 72 =?

Проблема 31

3x + 3 = 7x — 9

Задача 32, посланная Самартом Шиванандой Матхадом

Сумма двух чисел равна 45. Одно из чисел превышает другое на 9. Найдите числа.

Решение:
Пусть число будет x.

Тогда другое число = x + 9

Сумма двух чисел = 45

Согласно вопросу, x + (x + 9) = 45

⇒ 2x + 9 = 45

⇒ 2x = 45 — 9 ( переставив 9 на R.HS меняется на -9)

⇒ 2x = 36

⇒ 2x / 2 = 36/2 (разделить на 2 с обеих сторон)

⇒ x = 18

Следовательно, x + 9 = 18 + 9 = 27

Следовательно, два числа — 18 и 27.

Как решить физическую задачу | Джозеф Меллор

Чтобы стать мастером физики, нужно много работать, но изучение методов и рекомендаций, изложенных в этой статье, является первым шагом.

Автор сделал все изображения в этой статье, используя LaTeX, tikz, numpy, pyplot и GIMP.

Люди часто говорят о физике, как если бы это был просто набор фактов и уравнений: F = ma , энергия не может быть ни создана, ни уничтожена, E = mc² , звезды — это гигантские шары водорода, сливающиеся в гелий и более тяжелые элементы и т. д. Эти факты и уравнения могут либо сформировать основу нашего понимания, либо быть результатом нашего понимания, но заниматься физикой — значит соединять эти два понятия. Другими словами, для изучения физики требуется методов обучения и руководств наряду с фактами и уравнениями.

Я не смогу пройти через все техники и рекомендации, используемые в каждой отдельной задаче, но я хочу осветить некоторые из наиболее распространенных техник и руководств, используемых в физике.

За исключением особого случая, когда вас просят вывести уравнение, вы можете использовать данные уравнения для решения приличного количества задач, используя простую алгебру и базовую алгебру. Если вы знаете все значения в уравнении, кроме одного, вы можете получить это одно значение .

Пример: Небесная механика

Сколько времени понадобилось бы Земле, чтобы обойти вокруг Солнца, если бы масса Солнца составляла одну сотую от текущей массы, а орбита Земли не изменилась?

Третий закон Кеплера связывает массу Солнца, радиус / большую полуось орбиты и период орбиты, поэтому мы можем получить период, решив третий закон Кеплера для T и подключив в уже известных нам значениях.

Продвинутый трюк

Всякий раз, когда у вас есть физическая проблема, которая изменяет несколько значений (в данном случае массы солнца) в формуле, постарайтесь выразить свой ответ в терминах значений до изменения. Для этой задачи нам не нужно искать какие-либо из этих физических констант в задаче, и нам даже не нужен калькулятор.

Обратите внимание, что сине-зеленые выражения те же, поэтому мы можем заменить его обратно, не зная ничего, кроме того, что Земле требуется год, чтобы обойти вокруг Солнца.Вы можете получить аналогичный результат, разделив период для Земли на новый период и исключив условия.

Расширение этого принципа

Я обсуждал только случай, когда у вас есть сингулярное уравнение с одним неизвестным, но , если у вас есть n уравнений, вы можете иметь n неизвестных значений . Позже мы рассмотрим конкретные примеры.

Если вы когда-нибудь окажетесь в ситуации, когда не знаете, как перейти от информации, указанной в задаче, к тому, что проблема требует от вас, возьмите имеющуюся у вас информацию и сделайте с ней что-нибудь, даже если вы Не знаю, чем может помочь .Физика часто требует от вас взять то, что вы знаете, найти уравнение, которое может дать вам дополнительную информацию, а затем повторять процесс, пока у вас не будет достаточно информации, чтобы ответить на вопрос. Следуя этой методике, не забудьте просмотреть всю имеющуюся у вас информацию, даже если вы уже использовали ее раньше.

Пример: кинематика

Какой длины должна быть взлетно-посадочная полоса для самолета с массой м , движущегося с постоянной чистой силой F для достижения скорости vf из остальных?

Фраза «Какой длины должна быть взлетно-посадочная полоса» означает, что вы ищете расстояние.Вы знаете массу, силу, начальную скорость (0 м / с, поскольку вы находитесь в состоянии покоя) и конечную скорость. Поскольку вы пытаетесь использовать явное уравнение, если это возможно, вы ищете какое-либо уравнение в своей таблице, но не находите его. Помня, что вы пытаетесь получить любую информацию, которую можете, вместо этого вы ищете уравнения, в которых вам известны все переменные, кроме одной. Вы найдете классический F = ma и поймете, что знаете F и m , так что теперь у вас есть a , ускорение.Теперь вы ищете уравнения, в которых вы знаете все переменные, кроме одной, и обнаруживаете, что одно из кинематических уравнений имеет a , s (расстояние / смещение), vi (начальная скорость). , и vf (конечная скорость):

Понимая, что вы знаете все, кроме расстояния, вы можете вычислить расстояние и решить задачу.

С большим опытом

По мере того, как вы набираетесь опыта, вы будете помнить шаблоны вроде «использование F = ma , а затем использование кинематического уравнения для получения скорости, времени или расстояния» и вам не придется просматривать все уравнения в таблице уравнений, чтобы найти соответствующее уравнение.Все сэкономленное время можно решить и над другими проблемами.

Я дам вам методы, которые работают в примерах для последующих разделов, но я понял их только потому, что я продолжал следовать этому руководству, делать ошибки и учиться на них. Есть очень много способов ошибиться при решении проблемы. Пока вы, , продолжаете пробовать , а вы, , стараетесь не делать ошибок, которые уже сделали , у вас не будет ошибок, которые нужно делать.

В декартовых координатах (т.е.е. стандартная система координат (x, y, z) ) каждое измерение ортогонально, что означает, что вы можете рассматривать каждое измерение индивидуально. На практике вы можете создать систему уравнений с одним уравнением для каждого измерения. Вы можете использовать эту технику для любой величины, которая может быть выражена как вектор, включая скорость, импульс, силы, угловой момент и крутящий момент.

Расширения этой техники

В физике более высокого уровня вы увидите несколько других расширений этой техники: использование симметрии , для уменьшения количества уравнений, которые необходимо учитывать, метод разделения переменных , , и метод расширения собственных функций (вы можете рассматривать каждую собственную функцию, как если бы это было отдельное измерение).Поскольку я не хочу дублировать работу, а метод разделения переменных ведет непосредственно к разложению по собственным функциям, я приведу только пример техники симметрии.

Пример: баллистика

Если пренебречь сопротивлением воздуха и предположить, что кривизна Земли незначительна, какова максимальная дальность полета пушки с начальной скоростью v ?

Мы можем рассматривать размеры x и y по отдельности и использовать кинематические уравнения, чтобы найти ответ.Нам нужно разделить скорость на составляющие x и y , используя синус и косинус . Обратите внимание: поскольку у нас есть система из двух уравнений, у нас может быть две неизвестных, как я сказал ранее в разделе Explicit Equation . К сожалению, у нас, кажется, есть три неизвестных, поскольку мы не знаем θ , угол, под которым пушка стреляет, но мы можем получить другое уравнение, поскольку мы пытаемся максимизировать дальность. Мы получим диапазон в единицах единственного неизвестного, затем мы возьмем производную диапазона относительно этого неизвестного, установим его равным нулю, решим для неизвестного в новом уравнении, а затем выберем решение, которое дает нам максимальное значение.

В этом случае мы знаем

  • начальное положение: (0, 0)
  • вектор начальной скорости (в терминах других переменных): ( v cos θ , v sin θ )
  • вектор ускорения (сила тяжести тянет его вниз): (0, -g)

Мы также знаем окончательный y , поскольку диапазон относится к тому, как далеко он уходит до того, как упадет на землю, что происходит, когда y снова становится равным нулю.

Два кинематических уравнения связывают начальную скорость и начальное ускорение с положением, и каждое имеет разные неизвестные. Если мы используем тот, у которого конечная скорость неизвестна (тот, который мы использовали ранее), мы получим

в направлении x и

в направлении y , где мы взяли отрицательное решение, поскольку пушечное ядро ​​движется вниз, когда ударяется о землю. Это кинематическое уравнение не позволяло определить расстояние, потому что мы не могли использовать информацию из одного уравнения для решения другого и наоборот.Если вместо этого мы воспользуемся кинематическим уравнением, которое имеет время как неизвестное

, мы получим

, что означает, что мы можем получить ответ, решив для t в терминах θ или наоборот. Глядя на уравнение y, получаем

, где мы выбрали ненулевое решение для t , поскольку пушечное ядро ​​находится на (0, 0) при t = 0 . Поскольку у нас есть t в терминах θ , мы можем снова включить его в уравнение для диапазона, которое дает нам

Теперь единственное неизвестное — θ , поэтому мы хотим найти угол, который максимизирует расстояние выстрела, что мы делаем, используя процесс, описанный ранее в этом разделе (или используем тот факт, что max sin θ равен 1, и пропустите эту часть).

Вы можете решить это уравнение разными способами, но я собираюсь сделать это чисто математическим способом (который станет более полезным в более поздней математике и физике, хотя для этой задачи это будет излишним). Я также собираюсь использовать радианы, потому что математика и физика обычно проще с радианами.

Первое уравнение вытекает из того факта, что cos ( θ ) имеет ноль при 1/2 π (90 градусов) и повторяет каждое целое число, кратное π (180 градусов ), что и означает правая часть первого уравнения ( 1/2 π плюс некоторое целое число, кратное π ).Затем я делю обе стороны на 2 и получаю возможные значения θ . Поскольку θ должно находиться в диапазоне от 0 (стрельба прямо вперед) до 1/2 π (стрельба прямо вверх), единственное значение θ , которое максимизирует расстояние, на которое проходит пушечное ядро, составляет 1/4 π (45 градусов).

Подключение всего к розетке дает нам окончательный ответ:

Пример: сбалансированные силы

Автомобиль движется вперед с постоянным ускорением.Внутри этого вагона кольцо массой м в состоянии равновесия свисает с натянутой струны под углом θ , отличным от свисания прямо вниз, как показано на диаграмме. Определите ускорение автомобиля.

Сделано с помощью tikz и LaTeX

На кольцо действуют три силы:

  • ускорение автомобиля
  • сила тяжести
  • натяжение струны

Поскольку мы имеем дело с силами, действующими на объект с известным чистым ускорением (я.е. 0, поскольку он находится в равновесии) и мы знаем направления всех сил, мы можем нарисовать диаграмму свободного тела.

Обратите внимание, что сила от автомобиля полностью направлена ​​в направлении x , сила тяжести полностью в направлении y , а сила от натяжения имеет компоненты x и y . Как и в предыдущей задаче, мы можем разбить силу натяжения на составляющие x и y , используя синус и косинус .Обратите внимание, что поскольку θ относительно положительной оси y , мы получаем компонент натяжения y , умножая его на cos (θ) , а не на sin (θ) . Аналогично, мы должны умножить на sin (θ) , чтобы получить компонент натяжения x . Разбив эту систему на одно уравнение для каждого измерения, мы получим

. Вы можете подумать, что мы застряли, потому что сейчас мы не знаем никаких сил, кроме силы тяжести (это -mg ).Мы можем попробовать несколько вещей, но мы можем сделать замену F = ma для всех сил, и поскольку все силы действуют на кольцо, мы можем сделать следующее:

После этого мы решаем ускорение автомобиля и получим выражение в терминах ускорения от натяжения и θ .

Мы знаем θ , поэтому нам нужно другое уравнение, которое связывает ускорение от напряжения с чем-то еще, что мы знаем.В данном случае это θ и g . Подставляя выражение для ускорения сзади в ускорение от автомобиля, мы получаем окончательный ответ: g tan ( θ ) с помощью описанного ниже процесса.

Обратите внимание, что вам не нужно использовать массу кольца, даже если она указана в задаче. В реальном мире у вас часто будет больше информации, чем нужно, поэтому вам нужно будет выяснить, какую информацию использовать, а какую игнорировать.

A Shortcut

Поскольку силы в сумме равны нулю, если вы поместите векторы встык, они образуют треугольник с силой натяжения в качестве гипотенузы, силой автомобиля в качестве противоположной стороны и силой тяжести в качестве смежная сторона, что означает, что вы можете использовать определение касательной , чтобы получить ответ. Этот ярлык редко используется, но здесь он работает. Если вы не знаете, как использовать этот ярлык, не делайте этого, а используйте описанную выше процедуру.

Пример: симметрия в электрических полях

Что такое электрическое поле на расстоянии r от бесконечно длинной линии заряда (т.е.е. проволока) с равномерной плотностью заряда λ и без тока?

Эта проблема возникнет позже при изучении физики и требует полного понимания векторного исчисления, но общий принцип симметрии все еще остается в силе.

Если хотите, вы можете интегрировать по всему проводу и получить ответ, но закон Гаусса требует меньше работы (я могу взглянуть на эту проблему и сказать вам, что ответ: λ / (2πεr) , потому что математика довольно просто с законом Гаусса, но я собираюсь пройти весь процесс, чтобы вы поняли, что происходит за кулисами).Однако, чтобы использовать закон Гаусса с максимальной эффективностью, мы должны найти полный набор поверхностей, которые можно использовать в любом месте на проводе, чтобы электрическое поле не менялось по величине или направлению относительно поверхности. Вы можете подумать, что нам уже нужно знать электрическое поле, чтобы найти такую ​​поверхность, но мы можем использовать симметрию задачи, чтобы вычислить поверхность. Я собираюсь настроить свою систему координат так, чтобы линия заряда проходила в направлении z , которое вы можете себе представить, идя вверх и вниз.Я также собираюсь предположить, что заряд положительный на всех диаграммах (это означает, что электрическое поле направлено в сторону), но если λ отрицательный, поменяйте направление всех стрелок на диаграмме.

Поскольку линия заряда бесконечно длинная, не имеет значения, на какой участок провода мы смотрим. Каждая точка на проводе будет иметь одинаковое количество заряда на одинаковом расстоянии с обеих сторон.

Этот факт дает нам два упрощения, которые мы можем сделать:

  • Провод имеет трансляционную симметрию по длине, что означает, что компонент z провода не имеет значения, и мы можем выбрать любой участок провода для рисования. наша поверхность.
  • Электрическое поле имеет нулевую составляющую z , поскольку распределение заряда симметрично в направлении z вокруг каждой точки.

Это поле невозможно, потому что оно имеет положительную компоненту z. Все возможные поля не имеют компоненты z.

Мы также можем заметить, что вращение вокруг линии заряда не меняет распределение заряда, поэтому у нас также есть симметрия вращения , что означает, что электрическое поле не может выглядеть как

, построенное с использованием numpy и pyplot.

, где красная точка — провод, выходящий из экрана. Он также не может выглядеть как

, потому что магнитное поле постоянно (в частности, 0), а уравнение Максвелла-Фарадея означает, что оно не имеет никакого изгиба. В этот момент электрическое поле может выглядеть только как

с проводом, выходящим из экрана. Длина стрелок может быть разной, но это правильное направление.

На данный момент мы знаем, что ищем поверхность, которую можно вращать вокруг проволоки или скользить по ней. Это означает, что мы можем использовать цилиндр с центром вокруг проволоки в качестве поверхности .Таким образом, закон Гаусса для нас равен

. Заряд, содержащийся в цилиндре длиной L , составляет всего , поэтому правая часть уравнения решена. Общий поток через поверхность — это сумма потока через оба конца цилиндра и сторону цилиндра (там, где вы бы наклеили этикетку на банку). Их подключение дает

Поскольку электрическое поле перпендикулярно основанию цилиндра (используйте нормали к поверхности для потока), они вносят нулевой поток.

Поскольку электрическое поле направлено прямо из стороны цилиндра, скалярное произведение в интеграле просто становится двумерным интегралом, который представляет собой площадь поверхности стороны цилиндра. На этом этапе мы можем получить ответ с помощью некоторой алгебры.

С опытом вы поймете цилиндрическую симметрию и сможете без особых усилий перейти от закона Гаусса к математике.

Хотя вы можете использовать силы и моменты, чтобы выяснить, как что-либо в классической механике будет двигаться, и, следовательно, вычислить другие связанные величины, это может быть проблемой.Если вы пытаетесь определить, насколько быстро мяч, катящийся по прямой рампы (без проскальзывания и сопротивления воздуха), движется в нижней части рампы, то вы можете использовать силы и моменты, даже если они требуют больше усилий.

Все силы во всем одинаковы.

Если вы пытаетесь определить, с какой скоростью мяч, катящийся по изогнутой рампе (без проскальзывания и сопротивления воздуха), движется по нижней части рампы с использованием сил и крутящих моментов, вам придется выполнить интеграл по траектории от сила, которая меняется в зависимости от позиции, так что удачи.

AAAAAAHHHHHHH

В лучшем случае, даже если вы найдете решение, вы потратите на проблему гораздо больше времени, чем вам нужно. Вместо этого поиск консервированных количеств может дать вам ответ, который вы сможете быстро проверить. Три наиболее распространенных сохраняемых количества в задачах Физики I:

  • Linear Momentum: Отсутствие чистых внешних сил в системе означает, что общий линейный импульс сохраняется.
  • Общая механическая энергия: Отсутствие сопротивления воздуха, скольжения, трения или повреждения объектов в системе, вероятно, означает сохранение общей механической энергии системы.Говоря более техническим языком, если все силы в каждой точке образуют консервативное векторное поле, то энергия сохраняется. Если в задаче указано упругое столкновение, полная механическая энергия также сохраняется.
  • Угловой момент: Что-то будет вращаться, и чистых внешних крутящих моментов не будет.

Если вы можете сохранить линейный или угловой момент, вы получите уравнение для каждого соответствующего измерения. Точно так же, если энергия сохраняется, вы получаете одно бесплатное уравнение, но это уравнение часто дает вам гораздо больше информации с меньшими усилиями.

Пример: сохранение импульса и энергии

Космонавт в космосе сбивает шар в позиции (-1, -3) в другой шар такой же массы в позиции (0, 0), который затем ударяется о стену в позиция (2, 3). Перед столкновением первый шар движется со скоростью vi . Каковы скорости обоих мячей сразу после столкновения? Предположим, что нет трения, сопротивления воздуха, силы тяжести и вращения.

Механическая энергия сохраняется, поскольку в задаче говорилось, что столкновение было упругим, и мы получаем уравнение.Мы также можем получить некоторые уравнения из сохранения количества движения, поскольку после того, как космонавт ударит первый шар, внешние силы не действуют. У нас есть три неизвестных:

  • v1 , скорость первого шара
  • v2 , скорость второго шара
  • направление первого шара после столкновения

Мы знаем направление, в котором прошел первый шар до столкновения, потому что он изменился с (-1, -3) на (0, 0) .над этими векторами, чтобы мы знали, что это единичные векторы.

Мы прошли тот же процесс для v2 , что и для vi . Теперь, когда у нас есть единичные векторы, мы можем выразить векторы как произведение величины и направления.

После этого я собираюсь сохранить все в переменных и работать с векторами, потому что это позволит мне работать с измерениями x и y одновременно, потому что математика довольно полезно.Сначала мы рассмотрим уравнение импульса.

Теперь, когда у нас есть явное уравнение для v1 , мы можем взглянуть на уравнение полной механической энергии. Обратите внимание: поскольку v1 является вектором, мы можем поставить точки над ним, чтобы получить квадрат его величины, что нам понадобится для уравнения кинетической энергии.

Поскольку скалярное произведение между векторами шляп является скаляром (в частности, косинус угла между vi и v2 ), я заменю его символом C , чтобы очистить математика.

Теперь мы включаем это в уравнение полной механической энергии, и в итоге у нас должно получиться что-то, что мы сможем решить.

Мы отклоняем решение v2 = 0 , потому что мы знаем, что v2 не равно нулю, поэтому мы остаемся с другим решением. Мы вставляем наш результат для v2 обратно в наше уравнение для v1 , и все готово.

Пример: Энергосбережение

Шар массой м и радиусом R с равномерной плотностью начинает катиться по пандусу (не обязательно ровно) без сопротивления воздуха, без скольжения .Мяч имеет начальную скорость vi , прежде чем достигнет пандуса. Вершина пандуса находится на высоте h метра над основанием пандуса. Насколько быстро мяч летит, когда достигает нижней части рампы?

Иногда эти проблемы содержат гораздо больше информации о пандусе, но вам даже не понадобится все, что я дал вам в этой задаче. Поскольку нет ни сопротивления воздуха, ни скольжения, мы можем использовать энергосбережение.У нас есть гравитационная потенциальная энергия, поступательная кинетическая энергия (масса и скорость) и кинетическая энергия вращения (инерция и угловая скорость) как в начале рампы, так и в нижней части рампы. По причинам, слишком сложным, чтобы вдаваться в подробности, только различия в потенциальной энергии материи , что означает, что мы можем произвольно сказать, что потенциальная энергия внизу равна 0, чтобы упростить наши вычисления.

Поскольку он не скользит в любой точке, Rω = v в каждой точке, что означает, что у нас есть еще два уравнения, которые связывают скорость и угловую скорость: одно в начале и одно в конце.Наконец, нам нужно знать момент инерции сферы, который мы можем найти либо путем прямой интеграции, либо путем поиска.

Подставив все в уравнение энергии, получим

Мы можем исключить массу везде, поскольку она является частью каждого члена.

Мы также можем использовать подстановку Rω = v , чтобы уменьшить количество переменных до одной неизвестной и трех заданных переменных. Затем мы можем найти окончательную скорость. Весь процесс выглядит как

Вы можете быть немного сбиты с толку, потому что думаете, что конечная скорость должна зависеть от массы или радиуса объекта, но это не так.Помните, что в нашей ситуации нет сопротивления воздуха, и единственная энергия, добавляемая к сфере, исходит от силы тяжести, которая обеспечивает постоянное ускорение всем объектам независимо от массы. Точно так же больший радиус означает более высокий момент инерции, но поскольку скольжение отсутствует, угловая скорость, скорость и радиус ограничены таким образом, что кинетическая энергия вращения не зависит от радиуса.

Нахождение обобщения

Если мы допустим c как отношение между моментом инерции и массой, умноженной на квадрат радиуса вращения, мы можем прийти к общему решению

Если бы объект не имел момента инерции или не может вращаться (скажем, коробка скользит по поверхности без трения), мы бы получили стандартное кинематическое уравнение

, которое должно помочь вам почувствовать себя немного увереннее в решении.

У этого метода несколько неправильное название, так как Знать фундаментальные отношения между различными величинами было бы более точным, но большинство этих отношений определены в терминах производных (или эквивалентных интегралов), поэтому я решил выделить эту часть. Все пять кинематических уравнений могут быть выведены из того факта, что скорость — это производная по времени от положения, ускорение — это производная по времени от скорости, и из предположения о постоянном ускорении.Другими важными соотношениями Физики I являются

  • Сила — это производная по времени от импульса и отрицательный градиент (общая пространственная производная, которая может быть выражена в различных системах координат и в любом количестве измерений) потенциальной энергии.
  • Крутящий момент — это производная по времени от углового момента.
  • Работа в невращающейся системе — это интеграл силы по траектории относительно положения.
  • Работа во вращающейся системе — это интеграл по траектории крутящего момента относительно углового положения.

Поскольку я использовал эту технику во всех своих примерах, я не буду приводить пример этого руководства.

Хранение всего в переменных имеет несколько преимуществ:

  • Вы можете определить, имеет ли ответ смысл, изменив заданные значения до их логических крайностей. Например, если сила тяжести возрастает по мере удаления от массы, вы, вероятно, где-то допустили ошибку.
  • Гораздо сложнее определить, какой конкретный шаг привел к ошибке в серии арифметических операций, чем найти ошибку в серии алгебраических операций.
  • Переменные часто сводятся на нет, оставляя вам более простое уравнение и меньше работы.
  • Как и в разделе Расширенный прием , в обоих примерах из раздела «Взгляните на каждое измерение по отдельности» и в примере «Сохранение энергии » , вы часто можете найти части выражения, которые можно преобразовать во что-то свое. уже знаете и уменьшите количество арифметических действий, которые вам нужно сделать.

Вы можете обобщить этот принцип на такие вещи, как не расширять все до тех пор, пока вам это не понадобится, например, не разбивать вещи на отдельные измерения, пока у вас не будут уравнения, не расширять факторизованные многочлены и т. Д.Вам также следует искать упрощения, которые вы можете сделать в математике, будь то факторизация переменных, безразмерность переменных, введение констант и т. Д.

Эти методы или концепции либо слишком специфичны, чтобы получить весь раздел, либо не нуждаются в полное объяснение, поэтому я собираюсь перечислить их здесь.

  • Натяжение — это передача силы с одной стороны веревки / цепи на другую, поэтому вы можете сложить все силы на одной стороне веревки, получить ее величину, сложить все силы на другой стороне веревки. веревку, определите ее величину, а затем найдите разницу, чтобы найти чистую силу.
  • Волны, поток / давление жидкости и колебательные движения, такие как маятник (среднее число с латинским оканчивается на «а»), пружины и орбиты на уровне Физики I описываются алгебраическими уравнениями, но в более поздних классах они становятся дифференциальными уравнениями. А пока придерживайтесь версий алгебры.
  • Физика — это в основном математика, в основе которой лежит несколько конкретных фактов и уравнений. Изучение математики даст вам новые методы, ярлыки и более глубокое понимание физики. По основам физики (импульс, энергия, силы, моменты и т. Д.), Я предлагаю изучить базовую линейную алгебру (векторы, скалярные произведения и перекрестные произведения), тригонометрию и исчисление одной переменной. Для базового электромагнетизма я предлагаю изучить многомерное исчисление (обычно Calculus III в США). Для всего, что после этого, я предлагаю изучить обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных.
  • Будьте последовательны . Если вы решите, что положительная ось и будет направлена ​​вниз, то сила тяжести обеспечит положительное ускорение.Если вы решите, что W — это работа, выполненная в системе, тогда U = Q + W . В общем, после того, как вы определитесь с настройкой, вы можете выполнять математические вычисления, не слишком задумываясь, и интерпретировать результаты в соответствии с вашей настройкой.

Угловая кинематика

Угловые величины были моей наименее любимой частью Physics I, потому что их проблемы были линейными задачами с несколькими дополнительными шагами или уравнениями, поэтому я избегал использовать проблемы с угловыми величинами в качестве примеров, чтобы избежать этой статьи. быть слишком длинным.

  • Все угловые кинематические величины (угловое расстояние, угловая скорость и угловое ускорение) представляют собой нормальные линейные величины, деленные на r , или расстояние от оси вращения, и они имеют одинаковые кинематические уравнения.
  • Угловой момент, угловая скорость и крутящий момент — это векторы (псевдовекторы по-прежнему являются элементами векторного пространства), направление которых является осью вращения, поэтому вы можете делать такие вещи, как складывать их вместе и разделять на отдельные измерения.
  • При решении проблем с крутящим моментом, если вы не знаете силы в точке, попробуйте найти крутящий момент вокруг этой точки, поскольку неизвестные силы будут вносить нулевой крутящий момент. Например, лестница, прислоненная к стене, будет воздействовать на стену с силой, но вы, вероятно, не сможете вычислить эту силу, не решив всю проблему, поэтому найдите крутящий момент в точке, где лестница касается стены.

Выясните, что работает для вас, что не работает для вас, что работает для других и причины всех трех.Если что-то работает для кого-то другого, но не для вас, посмотрите, стоит ли заставить это работать на вас, и подумайте, что вам нужно сделать, чтобы это сработало для вас. Например, я склонен использовать более мощную математику, потому что это позволяет мне поставить задачу и позволить математике делать работу за меня, и вы можете извлечь выгоду из такого подхода.

Хотя я могу дать вам то, что знаю, лучшие методы и рекомендации — это те, которые вы вырабатываете самостоятельно, благодаря своим ошибкам, усилиям и достижениям.Если вы хотите преуспеть в физике, возьмите то, что я вам дал, и сделайте это своим собственным.

Если вы изучали или изучали физику, пожалуйста, оставьте любые методы и рекомендации, которые сработали для вас, в комментариях ниже.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.