Решение задач с кругами эйлера: круги Эйлера — Основы логики и логические основы компьютера

Содержание

круги Эйлера — Основы логики и логические основы компьютера

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер & Линкор?Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи. При этом цифры 1, 2 и 3 используем, чтобы обозначить полученные в итоге области.

Опираясь на условия задачи, составим уравнения:

Чтобы найти Крейсер & Линкор (обозначенный на чертеже как область 2), подставим уравнение (2) в уравнение (1) и выясним, что:

4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200.

Теперь этот результат мы можем подставить в уравнение (3) и выяснить, что:

2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300.

Ответ: 2300 — количество страниц, найденных по запросу Крейсер & Линкор.

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение

Для решения задачи отобразим множества Тортов и Пирогов в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Из условия задачи следует:

Торты │Пироги =  А+Б+В = 12000

Торты & Пироги = Б = 6500

Пироги = Б+В = 7700

Чтобы найти количество Тортов (Торты = А+Б), надо найти сектор А, для этого из общего множества (Торты│Пироги) отнимем множество Пироги.

Торты│Пироги – Пироги = А+Б+В-(Б+В) = А = 1200 – 7700 = 4300

Сектор А равен 4300, следовательно

Торты = А+Б = 4300+6500 = 10800


Задача 3

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос
Найдено страниц (в тысячах)
Пироженое & Выпечка
5100
Пироженое
9700
Пироженое | Выпечка
14200

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросуВыпечка?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.Решение 

Для решения задачи отобразим множестваПироженых и Выпечек в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А, Б, В).

Из условия задачи следует:

Пироженое & Выпечка = Б = 5100

Пироженое = А+Б = 9700

Пироженое │ Выпечка =  А+Б+В = 14200

Чтобы найти количество Выпечки (Выпечка = Б+В), надо найти секторВ, для этого из общего множества (Пироженое │ Выпечка ) отнимем множество Пироженое.

Пироженое │ Выпечка – Пироженное = А+Б+В-(А+Б) = В = 14200–9700 = 4500

Сектор В равен 4500, следовательно  Выпечка = Б + В = 4500+5100 =9600

Задача 4
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1
спаниели | (терьеры & овчарки)
2
спаниели | овчарки
3
спаниели | терьеры | овчарки
4
терьеры & овчарки

Решение 

Представим множества овчарок, терьеров и спаниелей в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

спаниели │(терьеры & овчарки) = Г + Б

спаниели│овчарки = Г + Б + В

спаниели│терьеры│овчарки = А + Б + В + Г

терьеры & овчарки = Б

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке убывания количества страниц: 3 2 1 4


Задача 5

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1
барокко | классицизм | ампир
2
барокко | (классицизм & ампир)
3
классицизм & ампир
4
барокко | классицизм

Решение 

Представим множества классицизм, ампир и классицизм в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А, Б, В, Г).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

барокко│ классицизм │ампир = А + Б + В + Г
барокко │(классицизм & ампир) = Г + Б
классицизм & ампир = Б
барокко│ классицизм = Г + Б + А

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке возрастания количества страниц: 3 2 4 1


Задача 6
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1
канарейки | щеглы | содержание
2
канарейки & содержание
3
канарейки & щеглы & содержание
4
разведение & содержание & канарейки & щеглы

Решение 

Для решения задачи представим запросы в виде кругов Эйлера.

K —  канарейки,

Щ – щеглы,

С – содержание,

Р – разведение.

Далее будем закрашивать красным цветом сектора согласно запросам, наибольший по величине сектор даст большее количество страниц на запрос.

канарейки | терьеры | содержание канарейки & содержание канарейки & щеглы & содержание разведение & содержание & канарейки & щеглы

Самая большая область закрашенных секторов у первого запроса, затем у второго, затем у третьего, а у четвертого запроса самый маленький.

В порядке возрастания по количеству страниц запросы будут представлены в следующем порядке: 4 3 2 1

Обратите внимание что в первом запросе закрашенные сектора кругов Эйлера содержат в себе закрашенные сектора второго запроса, а закрашенные сектора второго запроса содержат закрашенные сектора третьего запроса, закрашенные сектора третьего запроса содержат закрашенный сектор четвертого запроса.

Только при таких условиях мы можем быть уверены, что правильно решили задачу.

 

Задача 7 (ЕГЭ 2013)

 В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» – символ «&». 

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет. 

Запрос Найдено страниц
(в тысячах)
Фрегат | Эсминец 3400
Фрегат & Эсминец 900
Фрегат 2100

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Эсминец
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Ответ: 2200

Решение: Запрос «Фрегат» обозначим символом «Ф», «Эсминец» — символом «Э».

Э=(Ф|Э)-Ф+(Ф&Э)=3400-2100+900=2200.

Разбор задачи B12 (демо ЕГЭ 2012)

Время выполнения-2 мин, уровень сложности-повышенный

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» – символ «&».
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос Найдено страниц
(в тысячах)
Шахматы | Теннис 7770
Теннис 5500
Шахматы & Теннис 1000

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Шахматы?
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Ответ: 3270

Решение: Изобразим запросы в виде диаграмм Эйлера-Венна.

Запрос «Шахматы» обозначим символом «Ш», «Теннис» — символом «Т».

Ш=(Ш|Т)-Т+(Ш&Т)=7770-5500+1000=3270.


Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1
принтеры & сканеры & продажа
2
принтеры  & продажа
3
принтеры | продажа
4
принтеры | сканеры | продажа

Задача 2

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

1
физкультура
2
физкультура & подтягивания & отжимания
3
физкультура & подтягивания
4
физкультура | фитнесс

Решение. Воспользуемся кругами Эйлера — Решение

Занятие по
подготовке к ГИА по математике по решению
задач с помощью кругов Эйлера. Теория
графов. ( учитель Артемова Л.И.)

С
портивный
класс

В
классе 38 человек. Из них 16 играют в
баскетбол, 17 — в хоккей, 18 — в футбол.
Увлекаются двумя видами спорта —
баскетболом и хоккеем — четверо,
баскетболом и футболом — трое, футболом
и хоккеем — пятеро. Трое не увлекаются
ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом.

Сколько
ребят увлекаются одновременно тремя
видами спорта?

Сколько
ребят увлекается лишь одним из этих
видов спорта?

Решение.

В
оспользуемся
кругами Эйлера.

Пусть
большой круг изображает всех учащихся
класса,

а
три меньших круга Б, Х и Ф изображают
соответственно баскетболистов, хоккеистов
и футболистов.

Тогда
фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф,
изображает ребят, увлекающихся тремя
видами спорта.

Из
рассмотрения кругов Эйлера видно, что
одним лишь видом спорта —

баскетболом
занимаются

16
— (4 + z + 3) = 9 — z;

одним
лишь хоккеем

17
— (4 + z + 5) = 8 — z;

одним
лишь футболом

18
— (3 + z + 5) = 10 — z.

Составляем
уравнение, пользуясь тем, что класс
разбился на отдельные группы ребят;
количества ребят в каждой группе обведены
на рисунке рамочкам:

3
+ (9 — z) + (8 — z) + (10 — z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,

z
= 2.

Таким
образом, двое ребят увлекаются всеми
тремя видами спорта.

Складывая
числа 9 — z, 8 — z и 10 — z, где z = 2, найдем
количество ребят, увлекающихся лишь
одним видом спорта: 21 человек.

Ответ.

Двое
ребят увлекаются всеми тремя видами
спорта человека.

Увлекающихся
лишь одним видом спорта: 21 человек.

Круги
Эйлера – задачи на пересечение или
объединение множеств

Это
новый тип задач, в которых требуется
найти некоторое пересечение множеств
или их объединение, соблюдая условия
задачи.

Круги
Эйлера — геометрическая схема, с помощью
которой можно изобразить отношения
между подмножествами, для наглядного
представления.

Метод
Эйлера является незаменимым при решении
некоторых задач, а также упрощает
рассуждения. Однако, прежде чем приступить
к решению задачи, нужно проанализировать
условие. Иногда с помощью арифметических
действий решить задачу легче.

«Обитаемый
остров» и «Стиляги»

Некоторые
ребята из нашего класса любят ходить в
кино. Известно, что 15 ребят смотрели
фильм «Обитаемый остров», 11 человек –
фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и
«Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько
человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение

Чертим
два множества таким образом:

6
человек, которые смотрели фильмы
«Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем
в пересечение множеств.

15
– 6 = 9 – человек, которые смотрели только
«Обитаемый остров».

11
– 6 = 5 – человек, которые смотрели только
«Стиляги».

Получаем:

Ответ.
5 человек смотрели только «Стиляги».

Любимые
мультфильмы

Среди
школьников шестого класса проводилось
анкетирование по любимым мультфильмам.
Самыми популярными оказались три
мультфильма: «Белоснежка и семь гномов»,
«Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и
теленок». Всего в классе 38 человек.
«Белоснежку и семь гномов» выбрали 21
ученик, среди которых трое назвали еще
«Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб
Квадратные Штаны», а один написал все
три мультфильма. Мультфильм «Волк и
теленок» назвали 13 ребят, среди которых
пятеро выбрали сразу два мультфильма.
Сколько человек выбрали мультфильм
«Губка Боб Квадратные Штаны»?

Решение

В
этой задаче 3 множества, из условий
задачи видно, что все они пересекаются
между собой. Получаем такой чертеж:

Учитывая
условие, что среди ребят, которые назвали
мультфильм «Волк и теленок» пятеро
выбрали сразу два мультфильма, получаем:

21
– 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только
«Белоснежку и семь гномов».

13
– 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только
«Волк и теленок».

Получаем:

38
– (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят
только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Делаем
вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны»
выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.

Ответ.
17 человек выбрали мультфильм «Губка
Боб Квадратные Штаны».

«Мир
музыки»

В
магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей.
Из них 20 человек купили новый диск певицы
Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не
купили ни одного диска. Сколько человек
купили диски и Максим, и Земфиры?

Решение

Изобразим
эти множества на кругах Эйлера.

Теперь
посчитаем: Всего внутри большого круга
35 покупателей, внутри двух меньших
35–10=25 покупателей. По условию задачи
20 покупателей купили новый диск певицы
Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей
купили только диск Земфиры. А в задаче
сказано, что 11 покупателей купили диск
Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей
купили диски и Максим, и Земфиры:

Ответ:
6 покупателей купили диски и Максим, и
Земфиры.

Гарри
Поттер, Рон и Гермиона

На
полке стояло 26 волшебных книг по
заклинаниям. Из них 4 прочитал и Гарри
Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг,
которых не читали ни Гарри Поттер, ни
Рон, и две книги, которые читал Гарри
Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11
книг. Сколько книг прочитал Рон?

Решение

Учитывая
условия задачи, чертеж будет таков:

Так
как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг,
из них 4 книги читал Рон и 2 книги –
Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал
только Гарри. Следовательно,

26
– 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал Рон.

Ответ.
8 книг прочитал Рон.


Пионерский
лагерь

В
пионерском лагере 70 ребят. Из них 27
занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре,
22 увлекаются спортом. В драмкружке 10
ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в
драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена
посещают и драмкружок и хор. Сколько
ребят не поют, не увлекаются спортом,
не занимаются в драмкружке? Сколько
ребят заняты только спортом?

Решение

Изобразим
множества следующим образом:

70
– (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют,
не увлекаются спортом, не занимаются в
драмкружке. Только спортом заняты 5
человек.

Ответ.
5 человек заняты только спортом.

Экстрим

Из
100 ребят, отправляющихся в детский
оздоровительный лагерь, кататься на
сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде
– 28, на роликах – 42. На скейтборде и на
сноуборде умеют кататься 8 ребят, на
скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде
и на роликах – 5, а на всех трех – 3.
Сколько ребят не умеют кататься ни на
сноуборде, ни на скейтборде, ни на
роликах?

Решение

Всеми
тремя спортивными снарядами владеют
три человека, значит, в общей части
кругов вписываем число 3. На скейтборде
и на роликах умеют кататься 10 человек,
а 3 из них катаются еще и на сноуборде.
Следовательно, кататься только на
скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят.
Аналогично получаем, что только на
скейтборде и на сноуборде умеют кататься
8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на
роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные
в соответствующие части. Определим
теперь, сколько человек умеют кататься
только на одном спортивном снаряде.
Кататься на сноуборде умеют 30 человек,
но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами,
следовательно, только на сноуборде
умеют кататься 20 ребят. Аналогично
получаем, что только на скейтборде умеют
кататься 13 ребят, а только на роликах –
30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят.
20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя
бы на одном спортивном снаряде.
Следовательно, 20 человек не умеют
кататься ни на одном спортивном снаряде.

Ответ.
20 человек не умеют кататься ни на одном
спортивном снаряде.

Задача:
В классе учатся 40 человек. Из них по
русскому языку имеют «тройки» 19 человек,
по математике – 17 человек и по физике
– 22 человека. Только по одному предмету
имеют «тройки»: по русскому языку – 4
человека, по математике – 4 человека и
по физике – 11 человек. Семь человек
имеют «тройки» и по математике и по
физике, из них пятеро имеют тройки и по
русскому языку. Сколько человек учатся
без «троек». Сколько человек имеют
«тройки» по двум из трёх предметов.
Рассмотрим решение с помощью следующего
слайда

Теория
графов

Теория
графов – наука сравнительно молодая.
Первая работа по теории графов принадлежит
Леонарду Эйлеру. Она появилась в 1736 году
в публикациях Петербургской Академии
Наук и начиналась с рассмотрения задачи
о кенигсбергских мостах. Графы придали
условиям наглядность, упростили решение
и выявили сходство задач. Сейчас почти
в любой отрасли науки и техники
встречаешься с графами: в электротехнике
при построении электрических схем, в
химии – при изучении молекул и их
цепочек, в экономике – при решении задач
выбора оптимального пути для потоков
грузового транспорта. Граф – это фигура,
состоящая из точек и линий.

Решим
следующую задачу:

В
школьном драматическом кружке решили
ставить гоголевского «Ревизора». И тут
разгорелся жаркий спор. Всё началось с
Ляпкина-Тяпкина.


Ляпкиным-Тяпкиным
буду я! Решительно заявил Дима. С раннего
детства я мечтал воплотить этот образ
на сцене.

– Ну
хорошо, согласен уступить эту роль, если
мне дадут сыграть Хлестакова, проявил
великодушие Гена.

– …
А мне – Осипа,
– не уступил ему в великодушии Дима.


Хочу быть
Земляникой или Городничим, – сказал
Вова.


Нет, Городничим
буду я, – хором закричали Алик и Боря.
– или Хлестаковым, добавили они
одновременно.

Удастся
ли распределить роли так. Чтобы исполнители
были довольны?

Изобразим
каждого участника драматического кружка
точкой, а все их пожелания будем изображать
линиями. Видно, что Осипа будет играть
Дима, Вова – Землянику, Гена – Ляпкина
– Тяпкина, Алик и Боря – Хлестакова и
Городничего.

Решите
с помощью графов следующую задачу: В
первенстве класса по настольному теннису
6 участников: Андрей, Борис, Виктор,
Галина, Дмитрий и Елена. Первенство
проводят по круговой системе – каждый
из участников играет с каждым из остальных
один раз.



13
Из 100 туристов, отправляющихся в
заграничное путешествие, немецким
языком владеют 30 человек, английским —
28, французским — 42. Английским и немецким
одновременно владеют 8 человек, английским
и французским — 10, немецким и французским
— 5, всеми тремя языками — 3. Сколько
туристов не владеют ни одним языком?

Выразим
условие этой задачи графически. Обозначим
кругом тех кто знает английский, другим
кругом — тех, кто знает французский, и
третим кругом — тех, кто знают немецкий.
Тогда, например, те, кто владеет и
английским и немецким, «попадут»
в общую часть первого и третьего круга.

Всеми
тремя языками владеют три туриста,
значит, в общей части кругов вписываем
число 3. Английским и французским языками
владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще
и немецким. Следовательно, только
английским и французским владеют 10-3=7
человек.

Аналогично
получаем, что только английским и
немецким владеют 8-3=5 человек, а немецким
и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти
данные в соответствующие части.

Определим
теперь, сколько человек владеют только
одним из перечисленных языков. Немецкий
знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют
и другими языками, следовательно, только
немецкий знают 20 человек. Аналогично
получаем, что одним английским владеют
13 человек, а одним французским — 30 человек.

По
условию задачи всего 100 туристов.
20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один
язык, следовательно, 20 человек не владеют
ни одним из данных языков.

Ответ:
только английским владеет 13 человек,
только французским — 30, только немецким
— 20 человек. 20 человек не знают ни одного
из этих языков.

Задачи
на круги Эйлера

Задача
1. Про учеников школы, которые участвовали
в физико-математическом конкурсе,
известно, что 7 из них справились с
задачами и по математике и по физике,
11 из них справились с задачами по
математике, 9 из них справились с задачами
по физике. Сколько учеников принимали
участие в конкурсе?

Задача
2. В одной семье было много детей. 7 из
них любили капусту, 6 — морковь, 5 — горох,
4 — капусту и морковь, 3 — капусту и горох,
2 — морковь и горох, один — и капусту, и
морковь, и горох. Сколько детей было в
семье?

Задача
3. На полу комнаты площадью 24 м2 лежат
три ковра. Площадь одного из них — 10 м2,
другого — 8 м2, третьего — 6 м2. Каждые два
ковра перекрываются по площади 3 м2, а
площадь участка пола, покрытого всеми
тремя коврами, составляет 1 м2. Найдите
площадь участка пола: а) покрытого первым
и вторым коврами, но не покрытого третьим
ковром; б) покрытого только одним первым
ковром; в) не покрытого коврами.

Задача
4. На спортивные соревнования в Летней
математической школе ходили 220 школьников.
При этом некоторые из них участвовали
в чемпионатах, а остальные были зрителями.
В легкоатлетической эстафете приняли
участие 30 человек, в соревнованиях по
волейболу — 26, пионерболу — 32, футболу —
31, шахматам — 28 и теннису — 36 человек. 53
школьника приняли участие более чем в
одном соревновании; из них 24 школьника
участвовали 3 или более раз, 9 школьников
— не менее 4 раз и 3 школьника — даже 5 раз
(в последнюю тройку входит и один чудак,
который выступал во всех шести
соревнованиях). Сколько школьников были
зрителями?

Разнобой

Задача
5. Дано 6 гирь: две зеленых, две красных,
две синих. В каждой паре одна гиря
тяжелая, а другая легкая, причём все
тяжелые гири весят одинаково и все
легкие тоже. Можно ли за 2 взвешивания
на чашечных весах найти все тяжелые
гири?

Задача
6. На плоскости расположено 11 шестерёнок,
соединенных в кольцо. Могут ли все
шестерёнки вращаться одновременно?

Круги эйлера примеры решения.

Отношения между понятиями. круги эйлера. Изучение нового материала

Если вы думаете, что ничего не знаете о кругах Эйлера, вы ошибаетесь. На самом деле вы наверняка не раз с ними сталкивались, просто не знали, как это называется. Где именно? Схемы в виде кругов Эйлера легли в основу многих популярных интернет-мемов (растиражированных в сети изображений на определенную тему).

Давайте вместе разберемся, что же это за круги, почему они так называются и почему ими так удобно пользоваться для решения многих задач.

Происхождение термина

– это геометрическая схема, которая помогает находить и/или делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.

Пока не очень понятно, верно? Посмотрите на этот рисунок:

На рисунке представлено множество – все возможные игрушки. Некоторые из игрушек являются конструкторами – они выделены в отдельный овал. Это часть большого множества «игрушки» и одновременно отдельное множество (ведь конструктором может быть и «Лего», и примитивные конструкторы из кубиков для малышей). Какая-то часть большого множества «игрушки» может быть заводными игрушками. Они не конструкторы, поэтому мы рисуем для них отдельный овал. Желтый овал «заводной автомобиль» относится одновременно к множеству «игрушки» и является частью меньшего множества «заводная игрушка». Поэтому и изображается внутри обоих овалов сразу.

Ну что, так стало понятнее? Именно поэтому круги Эйлера – это тот метод, который наглядно демонстрирует: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Его заслуга в том, что наглядность упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ.

Автор метода — ученый Леонард Эйлер (1707-1783). Он так и говорил о названных его именем схемах: «круги подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Эйлер считается немецким, швейцарским и даже российским математиком, механиком и физиком. Дело в том, что он много лет проработал в Петербургской академии наук и внес существенный вклад в развитие российской науки.

До него подобным принципом при построении своих умозаключений руководствовался немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц.

Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. И после него немало ученых использовали его в своей работе, а также видоизменяли на свой лад. Например, чешский математик Бернард Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами.

Свою лепту внес также немецкий математике Эрнест Шредер. Но главные заслуги принадлежат англичанину Джону Венну. Он был специалистом в логике и издал книгу «Символическая логика», в которой подробно изложил свой вариант метода (использовал преимущественно изображения пересечений множеств).

Благодаря вкладу Венна метод даже называют диаграммами Венна или еще Эйлера-Венна.

Зачем нужны круги Эйлера?

Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только.

Если говорить о видах кругов Эйлера, то можно разделить их на те, что описывают объединение каких-то понятий (например, соотношение рода и вида) – мы их рассмотрели на примере в начале статьи.

А также на те, что описывают пересечение множеств по какому-то признаку. Таким принципом руководствовался Джон Венн в своих схемах. И именно он лежит в основе многих популярных в интернете мемов. Вот вам один из примеров таких кругов Эйлера:

Забавно, правда? И главное, все сразу становится понятно. Можно потратить много слов, объясняя свою точку зрения, а можно просто нарисовать простую схему, которая сразу расставит все по местам.

Кстати, если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, чертеж вроде этого поможет вам определиться с выбором:

Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет вас прокормить, но и будет вам нравиться.

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Давайте рассмотрим несколько примеров задач, которые можно решить с помощью кругов Эйлера.

Вот на этом сайте — http://logika.vobrazovanie. ru/index.php?link=kr_e.html Елена Сергеевна Саженина предлагает интересные и несложные задачи, для решения которых потребуется метод Эйлера. Используя логику и математику, разберем одну из них.

Задача про любимые мультфильмы

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым — «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».

Решение:

Так как по условиям задачи у нас даны три множества, чертим три круга. А так как по ответам ребят выходит, что множества пересекаются друг с другом, чертеж будет выглядеть так:

Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма «Волк и теленок» пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу:

Выходит, что:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».

Осталось только разобраться, сколько шестиклассников двум другим вариантам предпочитает мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны». От всего количества учеников отнимаем всех тех, кто любит два других мультфильма или выбрал несколько вариантов:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».

Теперь смело можем сложить все полученные цифры и выяснить, что:

мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. Это и есть ответ на поставленный в задаче вопрос.

А еще давайте рассмотрим задачу
, которая в 2011 году была вынесена на демонстрационный тест ЕГЭ по информатике и ИКТ (источник — http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Условия задачи:

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.

Запрос Найдено страниц (в тысячах)
Крейсер | Линкор 7000
Крейсер 4800
Линкор 4500

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер & Линкор
?

Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение:

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи. При этом цифры 1, 2 и 3 используем, чтобы обозначить полученные в итоге области.

Опираясь на условия задачи, составим уравнения:

  1. Крейсер | Линкор: 1 + 2 + 3 = 7000
  2. Крейсер: 1 + 2 = 4800
  3. Линкор: 2 + 3 = 4500

Чтобы найти Крейсер & Линкор
(обозначенный на чертеже как область 2), подставим уравнение (2) в уравнение (1) и выясним, что:

4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200.

Теперь этот результат мы можем подставить в уравнение (3) и выяснить, что:

2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300.

Ответ: 2300 — количество страниц, найденных по запросу Крейсер & Линкор.

Как видите, круги Эйлера помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

Заключение

Полагаю, нам удалось убедить вас, что круги Эйлера – не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный метод решения задач. Причем не только абстрактных задач на школьный уроках, но и вполне себе житейских проблем. Выбора будущей профессии, например.

Вам еще наверняка будет любопытно узнать, что в современной массовой культуре круги Эйлера нашли отражение не только в виде мемов, но и в популярных сериалах. Таких, как «Теория большого взрыва» и «4исла».

Используйте это полезный и наглядный метод для решения задач. И обязательно расскажите о нем друзьям и одноклассникам. Для этого под статьей есть специальные кнопки.

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Каждый предмет или явление обладает некими свойствами (признаками).

Получается, что составить понятие об объекте означает, прежде всего, умение отличить его от других сходных с ним объектов.

Можно сказать, что понятие — это мысленное содержание слова.

Понятие —
это форма мысли, отображающая предметы в их наиболее общих и существенных признаках.

Понятие — это форма мысли, а не форма слова, так как слово лишь метка, которой мы помечаем ту или иную мысль.

Слова могут быть различны, но при этом обозначать одно и то же понятие. По-русски — «карандаш», по-английски — «pencil», по-немецки — bleistift. Одна и та же мысль в разных языках имеет разное словесное выражение.

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ. КРУГИ ЭЙЛЕРА.

Понятия, имеющие в своих содержаниях общие признаки, называются СРАВНИМЫМИ
(«адвокат» и «депутат»; «студент» и «спортсмен»).

В противном случае, понятия считаются НЕСРАВНИМЫМИ
(«крокодил» и «блокнот»; «человек» и «пароход»).

Если кроме общих признаков понятия имеют и общие элементы объёма, то они называются СОВМЕСТИМЫМИ
.

Существует шесть видов отношений между сравнимыми понятиями. Отношения между объёмами понятий удобно обозначать с помощью кругов Эйлера (круговые схемы, где каждый круг обозначает объём понятия).

ВИД ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ ИЗОБРАЖЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА
РАВНОЗНАЧНОСТЬ (ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ) Объёмы понятий полностью совпадают. Т.е. это понятия, которые различаются по содержанию, но в них мыслятся одни и те же элементы объёма. 1) А — Аристотель В — основатель логики 2) А — квадрат В — равносторонний прямоугольник
ПОДЧИНЕНИЕ (СУБОРДИНАЦИЯ) Объём одного понятия полностью входит в объём другого, но не исчерпывает его. 1) А — человек В — студент 2) А — животное В — слон
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ (ПЕРЕКРЕЩИВАНИЕ) Объёмы двух понятий частично совпадают. То есть понятия содержат общие элементы, но и включают элементы, принадлежащие только одному из них. 1) А — юрист В — депутат 2) А — студент В — спортсмен
СОПОДЧИНЕНИЕ (КООРДИНАЦИЯ) Понятия, не имеющие общих элементов, полностью входят в объём третьего, более широкого понятия. 1) А — животное В — кот; С — собака; D — мышь 2) А — драгоценный металл В — золото; С — серебро; D — платина
ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ (КОНТРАРНОСТЬ) Понятия А и В не просто включены в объём третьего понятия, а как бы находятся на его противоположных полюсах. То есть, понятие А имеет в своём содержании такой признак, которых в понятии В заменён на противополжный. 1) А — белый кот; В — рыжий кот (коты бывают и чёрными и серыми) 2) А — горячий чай; холодный чай (чай может быть и тёплым) Т.е. понятия А и В не исчерпывают всего объёма понятия, в которое они входят.
ПРОТИВОРЕЧИЕ (КОНТРАДИКТОРНОСТЬ) Отношение между понятиями, одно из которых выражает наличие каких-либо признаков, а другое — их отсутствие, то есть просто отрицает эти признаки, не заменяя их никакими другими. 1) А — высокий дом В — невысокий дом 2) А — выигрышный билет В — невыигрышный билет Т.е. понятия А и не-А исчерпывают весь объём понятия, в которое они входят, так как между ними нельзя поставить никакое дополнительное понятие.

Упражнение
:
Определите вид отношений по объёму приведённых ниже понятий. Изобразите их с помощью кругов Эйлера .

1) А — горячий чай; В — холодный чай; С — чай с лимоном

Горячий чай (В) и холодный чай (С) — находятся в отношении противоположности.

Чай с лимоном (С) может быть как горячим,

так и холодным, но может быть и, например, тёплым.

2) А
— деревянный; В
— каменный; С
— строение; D
— дом.

Всякое ли строение (С) — дом (D)? — Нет.

Всякий ли дом (D) — строение (С)? — Да.

Что-то деревянное (А) обязательно ли дом (D) или строение (С) — Нет.

Но можно найти деревянное строение (например, будка),

также можно найти деревянный дом.

Что-то каменное (В) не обязательно дом (D) или строение (С).

Но может быть и каменное строение, и каменный дом.

3) А
— российский город; В
— столица России;

С
— Москва; D
— город на Волге; Е
— Углич.

Столица России (В) и Москва (С) — один и тот же город.

Углич (Е) является городом на Волге (D).

При этом, Москва, Углич, как и любой город на Волге,

являются российскими городами (А)

Задача 1
.

Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 – в районной.

Сколько шестиклассников:


1. Являются читателями обеих библиотек;

2. Не являются читателями районной библиотеки;

3. Не являются читателями школьной библиотеки;

4. Являются читателями только районной библиотеки;

5. Являются читателями только школьной библиотеки?

Заметим, что первый вопрос является ключевым для понимания и решения данной задачи. Ведь не сразу сообразишь, как получается 20 + 25 = 45 из 35. В первом вопросе звучит подсказка к пониманию условия: есть ученики, которые посещают обе библиотеки. А если условие задачи изобразить на схеме, то ответ на первый вопрос становится очевидным.

Решение.

1. 20 + 25 – 35 = 10 (человек) – являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.

2. 35 – 20 = 15 (человек) – не являются читателями районной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга)

3. 35 – 25 = 10 (человек) – не являются читателями школьной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)

4. 35 – 25 = 10 (человек) – являются читателями только районной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)

5. 35 – 20 = 15 (человек) – являются читателями только школьной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга).

Очевидно, что 2 и 5

, а также 3 и 4

– равнозначны и ответы на них совпадают

.

При решении данной задачи мы использовали способ ее графического представления при помощи так называемых кругов Эйлера.
Этот способ был предложен Леонардом Эйлером и широко используется при решении логических задач.

Леона́рд Э́йлер
(4(15) апреля 1707, Базель, Швейцария – 7(18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) – швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Рассмотрим еще один пример.

Задача 2.

Часть жителей нашего дома выписывают только газету «Комсомольская правда», часть – только газету «Известия», а часть – и ту, и другую газету. Сколько процентов жителей дома выписывают обе газеты, если на газету «Комсомольская правда» из них подписаны 85%, а на «Известия» – 75%?

Решение.

Здесь нет принципиального отличия от решения предыдущей. На готовом рисунке заменим данные: 25 на 85% и 20 на 75%. Учитывая, что все жители дома составляют 100%, заменяем 35 на 100% и получаем готовое решение: 85% + 75% – 100% = 60%.

Ответ: обе газеты выписывают 60% жителей.

Чем более сложная и запутанная логическая задача, связанная с множествами, тем более очевиден эффект от применения кругов Эйлера. Только после составления рисунка их решение становится достаточно очевидным.

Задача 3.

В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение.

Пусть
Д – драмкружок,
Х – хор,
С – спорт.

Тогда
в круге Д – 27 ребят,
в круге Х – 32 человека,
в круге С – 22 ученика.

Те 10 ребят из драмкружка, которые поют в хоре, окажутся в общей части кругов Д и X. Трое из них ещё и спортсмены, они окажутся в общей части всех трёх кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8 – 3 = 5 спортсменов, не поющих в хоре и 6 – 3 = 3, не посещающих драмкружок.

Легко видеть, что 5 + 3 + 3 = 11 спортсменов посещают хор или драмкружок,

22 – (5 + 3 + 3) = 11 занимаются только спортом;

70 – (11 + 12 + 19 + 7 + 3 + 3 + 5) = 10 – не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.

Ответ: 10 человек и 11 человек.

Задача 4.

В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?

Решение.

1 способ.

Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера. Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются
только метро и троллейбусом – (10 – х) человек,
только автобусом и троллейбусом – (9 – х) человек,
только метро и автобусом – (12 – х) человек.

Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:
20 – (12 – х) – (10 – х) – х = х – 2.

Аналогично получаем: х – 6 – только автобусом и х + 4 – только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:
х + (12 – х) + (9 – х) + (10 – х) + (х + 4) + (х – 2) + (х – 6) = 30,
отсюда х = 3.

2 способ.

А можно эту задачу решить задачу другим способом: 20 + 15 + 23 – 10 – 12 – 9 + х = 30, 27 + х = 30, х = 3
. Здесь сложили количество учеников, которые пользуются хотя бы одним видом транспорта и из полученной суммы вычли количество тех, кто пользуется двумя или тремя видами и, поэтому, вошли в сумму 2-3 раза. Таким образом, получили количество всех учеников в классе.

Ответ. 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.

Остались вопросы? Не знаете, как решить задачу?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

кругами Эйлера называют фигуры, условно изображающие множества и наглядно иллюстрирующие некоторые свойства операций над множествами. В литературе круги Эйлера иногда называют диаграммами Вен на (или диаграммами Эйлера — Венна). Круги Эйлера, иллюстрирующие основные операции над множествами, представлены на рис. 1.2 (множества, полученные в результате этих операций, отмечены штриховкой).
АПВ
00 АЬВ
Рис. 1.2
Пример 1.8. При помощи кругов Эйлера установим сначаг ла справедливость первого соотношения, выражающего свойство дистрибутивности операций объединения и пересечения множеств,
На рис. 1.3,а вертикально заштрихован круг, изображающий множество А) а горизонтально — область, отвечающая пересечению множеств В и С. В итоге тем или иным способом заштрихована область, изображающая множество A U (БПС). На рис. 1.3,5 вертикально заштрихована область, соответствующая объединению множеств Л и Б, а горизонтально — объединению множеств Л и С, так что обоими способами заштрихована область, изображающая множество (A U В) П (A U С) и совпадающая с областью, заштрихованной каким-либо способом на рис. 1.3,а. Таким образом, круги Эйлера позволяют установить справедливость (1.10).
Теперь рассмотрим второй закон де Моргана (1.7)
Заштрихованная на рис. 1.4,а область изображает множество ЛИВ, а незаштрихованная часть прямоугольника Q (внешняя по отношению к заштрихованной) соответствует множеству ЛПВ. На рис. 1.4,5 части прямоугольника 12, заштрихованные вертикально и горизонтально, отвечают соответственно А и В. Тогда множеству Ли В отвечает область, заштрихованная хотя бы одним из указанных способов. Она совпадает с областью, не заштрихованной на рис. 1.4,а и отвечающей множеству ЛПБ, что устанавливает справедливость (1.11).
Вопросы и задачи
1.1. Запись m|n, где m,n € Z, означает, что число m нацело делит число п (то — делитель п). Описать заданные множества при условии, что х € N:
1.2. Доказать следующие соотношения и проиллюстрировать их кругами Эйлера:
.
1.3. Установить, в каком отношении (X С Y, X Э У или X = Y) находятся множества X и У, если:
а
Использовать для иллюстрации круги Эйлера.
1.4. Пусть Aj — множество точек, образующих стороны некоторого треугольника, вписанного в заданную окружность. Описать объединение и пересечение всех таких множеств, если треугольники: а) произвольные; б) правильные; в) прямоугольные. Найти
IK и flAi
ieN i en
для заданных семейств множеств:
1.6. Указать, какие из представленных ниже соотношений неверны, и объяснить, почему:
1.7. Указать, какие из множеств равны между собой: .
1.8. Найти множества Ли В, АГ\В, А\В, В\А и изобразить их на числовой прямой, если А = (1.0. Считая отрезок универсальным множеством, найти и изобразить на числовой прямой дополнения множеств: .
1.10. По приведенным ниже описаниям множеств людей подберите для каждой записи высказывания на языке множеств подходящую пословицу или поговорку. Надеемся, что это позволит лишний раз проанализировать смысл народных изречений. Например, если Z -множество людей, которые сами как следует не знают того, о чем говорят, то запись х £ Z можно отнести к пословице „Слышал звон, да не знает, где он, поскольку именно так говорят о человеке, наделенном указанным свойством (в данном случае — характеристическим свойством множества Z, см. 1.1).
Множества людей ft — универсальное множество всех людей, Л — добрые, 5е
В — незаурядные, с большими способностями, С — глупые, D — умные,
Е — поступающие по своему, не слушающие советов,
F — связанные корыстными отношениями,
G — много обещающие,
Я — не выполняющие своих обещаний,
J — злоупотребляющие своим служебным положением,
К — слишком важничающие, задающиеся,
L — вмешивающиеся не в свое дело,
М — предприимчивые, ловкие, умеющие устраиваться,
Р — берущиеся за несколько дел сразу,
Q — плодотворно работающие,
S — ошибающиеся,
Т — чувствующие вину и возможность расплаты, U — не добивающиеся результатов, V — выдающие себя своим поведением, W- недальновидные,
X — действующие заодно, не предающие друг друга, У — бывалые, опытные люди. 1 + ns, Vs>-1 (неравенство Бернулли).
1.14. Доказать, что среднее арифметическое п положительных действительных чисел не меньше их среднего геометрического, т.е.
п
1.15. Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что это был синий „Бьюик», Джонс — голубой „Крайслер», а Смит — „Форд Мустанг», но не синий. Какого цвета был автомобиль и какой марки, если известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо только ее цвет?
1.1в. Для полярной экспедиции из восьми претендентов А, В, С, Д J5, F, G и Я надо отобрать шесть специалистов: биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика и врача. Обязанности биолога могут выполнять Е и G, гидролога — В и F, синоптика — F и G, радиста — С и Д механика — С и Я, врача — А и Д но каждый из них, если будет в экспедиции, сможет выполнять лишь одну обязанность. Кого и кем следует взять в экспедицию, если F не может ехать без
D — без Я и без С, С не может ехать с G, а Д — с В?

Леонард Эйлер –
величайший из математиков,написал более 850 научных работ.
В одной из них и появились эти круги.

Учёный писал, что
«они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

Круги Эйлера
– это геометрическая схема, которая помогает находить и/или делать более наглядными логические связи между явлениями и понятиями. А также помогает изобразить отношения между каким-либо множеством и его частью.

Задача 1

Из 90 туристов, отправляющихся в путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28 чел, французским – 42 чел.
Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским -10 чел, немецким и французским – 5 чел, всеми тремя языками – 3 чел. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение:

Покажем условие задачи графически – с помощью трёх кругов

Ответ:

10 человек.

Задача 2

Многие ребята нашего класса любят футбол, баскетбол и волейбол. А некоторые — даже два или три из этих видов спорта. Известно, что 6 человек из класса играют только в волейбол, 2 – только в футбол, 5 – только в баскетбол. Только в волейбол и футбол умеют играть 3 человека, в футбол и баскетбол – 4, в волейбол и баскетбол – 2. Один человек из класса умеет играть во все игры, 7 не умеют играть ни в одну игру. Требуется найти:

Сколько всего человек в классе?

Сколько человек умеют играть в футбол?

Сколько человек умеют играть в волейбол?

Задача 3

В детском лагере отдыхало 70 ребят. Из них 20 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, а 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Задача 4

Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 – в Италии, 6 – в Англии. В Англии и Италии – пятеро, в Англии и Франции – 6, во всех трёх странах – 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работает 19 человек, и каждый их них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Задача 5

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым — «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».

Задачи для решения учащимися

1.
В классе 35 учеников. Все они являются читателями школьной и район­ной библиотек. Из них 25 берут книги в школьной библиотеке, 20 — в рай­онной.


Сколько из них:

а) не являются читателями школь­ной библиотеки;

б) не являются читателями район­ной библиотеки;

в) являются читателями только школьной библиотеки;

г) являются читателями только рай­онной библиотеки;

д) являются читателями обеих библиотек?

2.Каждый ученик в классе изучает английский или немецкий язык, или оба этих языка. Английский язык изучают 25 человек, немецкий — 27 человек, а тот и другой — 18 человек. Сколько всего учеников в классе?

3.На листе бумаги начертили круг площадью 78 см2 и квадрат площадью 55 см2. Площадь пересечения круга и квадрата равна 30 см2. Не занятая кру­гом и квадратом часть листа имеет пло­щадь 150 см2. Найдите площадь листа.

4. В группе туристов 25 человек. Среди них 20 человек моложе 30 лет и 15 человек старше 20 лет. Может ли так быть? Если может, то в каком случае?

5. В детском саду 52 ребенка. Каж­дый из них любит пирожное или моро­женое, или то и другое. Половина де­тей любит пирожное, а 20 человек — пирожное и мороженое. Сколько де­тей любит мороженое?

6. В классе 36 человек. Ученики это­го класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок по­сещают 18 человек, физический — 14, химический — 10. Кроме того, извест­но, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек -.и математиче­ский, и физический, 5 — и математи­ческий, и химический, 3 — и физи­ческий, и химический кружки. Сколько учеников класса не посещают ни­какие кружки?

7. После каникул классный руково­дитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 36 учеников двое не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино побы­вали 25 человек; в театре — 11; в цир­ке — 17; и в кино, и в театре — 6; и в кино, и в цирке — 10; и в театре, и в цирке — 4. Сколько человек побы­вали в театре, кино и цирке одновре­менно?

Решение задач ЕГЭ с помощью кругов Эйлера

Задача 1

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» — символ «&».

Крейсер & Линкор
?
Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Запрос Найдено страниц (в тысячах)
Крейсер | Линкор 7000
Крейсер 4800
Линкор 4500

Решение:

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи. При этом цифры 1, 2 и 3 используем, чтобы обозначить полученные в итоге области.

Опираясь на условия задачи, составим уравнения:

  1. Крейсер | Линкор: 1 + 2 + 3 = 7000
  2. Крейсер: 1 + 2 = 4800
  3. Линкор: 2 + 3 = 4500

Чтобы найти Крейсер & Линкор
(обозначенный на чертеже как область 2), подставим уравнение (2) в уравнение (1) и выясним, что:

4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200.

Теперь этот результат мы можем подставить в уравнение (3) и выяснить, что:

2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300.

Ответ:
2300 — количество страниц, найденных по запросу
Крейсер & Линкор.

Задача 2

В языке запросов поискового сервера для обозначения

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос
Найдено страниц (в тысячах)
Торты | Пироги
12000
Торты & Пироги
6500
Пироги
7700

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Торты
?

Решение

Для решения задачи отобразим множества Тортов и Пирогов в виде кругов Эйлера.

А
,
Б
,
В
).

Из условия задачи следует:

Торты
│Пироги
=
А
+
Б
+
В
= 12000

Торты & Пироги =
Б
= 6500

Пироги =
Б
+
В
= 7700

Чтобы найти количество Тортов (Торты =
А
+
Б
), надо найти сектор
А
Торты│Пироги
) отнимем множество Пироги.

Торты│Пироги
– Пироги =
А
+
Б
+
В
-(Б
+
В
) =
А
= 1200 – 7700 = 4300

Сектор
А
равен 4300, следовательно

Торты =
А
+
Б
= 4300+6500 =
10800

Задача 3

|», а для логической операции «И» — символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

Пироженое & Выпечка

5100

Пироженое

9700

Пироженое | Выпечка

14200

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросуВыпечка
?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение

Для решения задачи отобразим множества
Пироженых
и Выпечек в виде кругов Эйлера.

Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А
,
Б
,
В
).

Из условия задачи следует:

Пироженое
& Выпечка =
Б
= 5100

Пироженое
=
А
+
Б
= 9700

Пироженое
│ Выпечка =
А
+
Б
+
В
= 14200

Чтобы найти количество Выпечки (Выпечка =
Б
+
В
), надо найти сектор
В
, для этого из общего множества (Пироженое
│ Выпечка) отнимем множество
Пироженое
.

Пироженое
│ Выпечка –
Пироженное
=
А
+
Б
+
В
-(А
+
Б
) =
В
= 14200–9700 = 4500

Сектор
В
равен 4500, следовательноВыпечка =
Б
+
В
= 4500+5100 =
9600

Задача 4


убывания

Для обозначения
логической операции «ИЛИ» используется символ »
|», а для логической операции «И» — символ «&».

Решение

Представим множества овчарок, терьеров и спаниелей в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (

А
,
Б
,
В
,
Г
).

с
паниели │(терьеры & овчарки) =
Г
+
Б

с
паниели│овчарки
=
Г
+
Б
+
В

спаниели│терьеры│овчарки
=
А
+
Б
+
В
+
Г

терьеры & овчарки =
Б

Расположим номера запросов в порядке убывания количества страниц:
3 2 1 4

Задача 5

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания
количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения
логической операции «ИЛИ» используется символ »
|», а для логической операции «И» — символ «&».

1

барокко | классицизм | ампир

2

барокко | (классицизм & ампир)

3

классицизм & ампир

4

барокко | классицизм

Решение

Представим множества классицизм, ампир и классицизм в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А
,
Б
,
В
,
Г
).

Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:

барокко│
классицизм
│ампир
=
А
+
Б
+
В
+
Г

барокко │(классицизм & ампир) =
Г
+
Б

классицизм
&
ампир =
Б

барокко│

классицизм =
Г
+
Б
+
А

Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.

Расположим номера запросов в порядке возрастания количества страниц:
3 2 4 1

Задача 6


В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания
количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения
логической операции «ИЛИ» используется символ »
|», а для логической операции «И» — символ «&».

1
канарейки | щеглы | содержание


2
канарейки & содержание
3
канарейки & щеглы & содержание
4
разведение & содержание & канарейки & щеглы

Решение

Для решения задачи представим запросы в виде кругов Эйлера.

K —
канарейки,

Щ – щеглы,

Р – разведение.

канарейки | терьеры | содержание

канарейки & содержание

канарейки & щеглы & содержание

разведение & содержание & канарейки & щеглы

Самая большая область закрашенных секторов у первого запроса, затем у второго, затем у третьего, а у четвертого запроса самый маленький.

В порядке возрастания по количеству страниц запросы будут представлены в следующем порядке: 4 3 2 1

Обратите внимание что в первом запросе закрашенные сектора кругов Эйлера содержат в себе закрашенные сектора второго запроса, а закрашенные сектора второго запроса содержат закрашенные сектора третьего запроса, закрашенные сектора третьего запроса содержат закрашенный сектор четвертого запроса.

Только при таких условиях мы можем быть уверены, что правильно решили задачу.

Задача 7 (ЕГЭ 2013)

В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» – символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос

Найдено страниц
(в тысячах)

Фрегат | Эсминец

3400

Фрегат & Эсминец

900
Фрегат

2100

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Эсминец
?
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение логических задач с помощью кругов эйлера

Муниципальное общеобразовательное учреждение

лицей № 8 «Олимпия»

Дзержинского района г. Волгограда

Телефоны (8442) 58-80-83, 51-81-31 адрес электронной почты lyceum[email protected]mail.ru

Решение логических задач с помощью кругов Эйлера

Выполнил:

Назаретян Сюзана Горовна,

ученица 5 Б класса

Учитель:

Кокиева Лилия Диляверовна, учитель

математики высшей категории

Волгоград, 2011

Оглавление

С.

Введение……………………………………………………………………………………

3 — 4

Глава I. Логические задачи и круги Эйлера ……………..…….……

5 — 9

1.1. Трудно решать логические задачи? …..…………………….

5 — 6

1.2. Немного о множествах ………..……………………………

6 — 8

1.3. Из истории кругов Эйлера …….……..…………………….

8 — 9

Глава II. Решение логических задач с помощью кругов Эйлера…..

7 — 14

2.1. Задачи на пересечение и объединение двух множеств…….

9 —12

2.2. Задачи на пересечение и объединение трёх множеств ……

12 — 14

Заключение………………………………………………………………………………..

15

Список источников и литературы……………………………………………….

16

Приложения ………………………………………………………………………………

17—20

Введение.

Сколько гостей Вам встречать, если собираются друзья с 15 угощениями и 20 украшениями? Может ли хватить всем места за столом, вмещающем 22 человека? Первое, что приходит на ум, это 35 человек. А причём здесь 22 человека? Есть подвох? Конечно! Ведь надо рассмотреть несколько вариантов.

Как узнать количество учащихся класса, посещающих одновременно две или три секции, если известны количества участников каждой секции отдельно? Можно ли научиться решать такие задачи, планируя результат? Хочется ответить положительно.

А как решить такую задачу: «Министерство послало в один из лицеев инспектора для проверки, как в нём ведётся преподавание иностранных языков. Сотрудник министерства в отчёте записал, что в лицее учатся 100 детей. Каждый изучает по крайней мере один из трёх языков: французский, немецкий и испанский. Причём все три языка изучают 5 человек; немецкий и испанский 10;французский и испанский 8; немецкий и французский 20; испанский 30, немецкий 23, французский 50. Инспектор, представивший отчёт, был уволен. Почему?»? Такое длинное условие: пока дочитали до конца – забыли начало. Что делать?

Оказывается, такие задачи решаются с помощью кругов Эйлера. Изображение условий задачи в виде кругов Эйлера, как правило, упрощает и облегчает путь к её решению.

Актуальность нашей работы заключается в том, чтобы такие задачи не ставили нас «в тупик» и мы могли их решать.

С учетом этого и была выбрана темаиссле­дования: «Решение логических задач с помощью кругов Эйлера».

Объект исследования — логические задачи.

Предмет исследования —использование кругов Эйлера для решения логических задач .

Гипотеза исследования. Можно решать логические задачи определённого вида специальными способами и в 5 – 6 классах.

Целью нашего исследования является исследование механизма решения определённых логических задач при помощи кругов Эйлера.

Для достижения цели исследования и обоснования гипотезы нам необходимо решить ряд задач:

  1. Найти необходимые сведения о пересечении и объединении множеств, о кругах Эйлера.

  2. Рассмотреть способы решения логических задач на пересечение и объединение двух и трёх множеств.

  3. Вывести в общем виде способ решения логических задач определённого вида с помощью кругов Эйлера.

  4. Научиться решать конкретные логические задачи с помощью кругов Эйлера.

  5. Создать модели «Круги Эйлера» для решения задач с двумя и тремя множествами в помощь учащимся.

Методы исследования:

1. Поиск, анализ и синтез различных источников информации.

2. Интервьюирование, беседы.

Практическая значимость заключается в расширении аппарата для решения логических задач. Данный материал можно будет использовать на некоторых уроках, для проведения кружков, факультативных занятий по математике. Применение кругов Эйлера придает задачам наглядность и простоту.

Теоретическая значимость заключается в разработке способа действий при решении логических задач с помощью кругов Эйлера в общем виде.

Здесь будет выводиться история переписки.

Глава I. Логические задачи и круги Эйлера

1.1. Трудно решать логические задачи?

Логика – это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация «замаскирована», представлена неявно, и надо уметь её извлечь.

Решение логических задач – одно из важнейших средств развития мыслительных способностей.

Логические задачи обладают рядом достоинств, позволяющих использовать их для развития соображения и улучшения логического мышления детей, начиная с детского сада и заканчивая старшими классами средней школы. Логические задачи допускают изложение в занимательной, игровой форме. С другой стороны, такие задачи труднее, для их решения часто не требуется глубоких знаний, а следует применить смекалку.

Вдоль овражка
Шла фуражка,
Две косынки,
Три корзинки
И от них не отставала
Белоснежная панама.
Посчитай поскорей
Сколько было детей?

Задача предполагает несколько решений. Потому что мы точно не знаем, носил ли кто — нибудь и головной убор, и корзинку.
1 Решение. Предполагается, что каждый ребёнок носил 1 предмет. Значит, детей было 7.
2 Решение. Предполагается, что 1 из детей нёс корзинку и головной убор. Следовательно, детей было 6.
3 Решение. Предполагается, что 2 из детей носили и корзинку, и головной убор. Следовательно, детей было 5 .
4 Решение. Предполагается, что 3 из детей носили и корзинку, и головной убор. Следовательно, детей было 4.

1.2. Немного о множествах

Множество – одно из основных понятий математики. Его смысл выражается словами: совокупность, собрание, класс, набор, команда и т.д. Этот смысл поясняется многочисленными примерами. Так, можно говорить о множестве всех учащихся 5-го класса, о множестве всех жителей Волгограда, о множестве всех натуральных чисел, о множестве корней данного уравнения. Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) так определил множество – «многое, мыслимое как единое, целое».

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита А, В, С, …

О предметах, составляющих множество, говорят, что они принадлежат этому множеству или являются его элементами. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами.

Множество может быть задано перечислением всех его элементов в произвольном порядке. Такое множество называют конечным. Мы будем рассматривать только конечные множества.

Множество, в котором нуль элементов, называют пустым.

Над множествами, как и над числами, производят операции. Рассмотрим некоторые из них: пересече­ние, объединение и разность.

Пересечение множеств

Возьмем множество X, состоящее из букв а, б, в, г, д, и множество Y, состоящее из букв г, д, е, ж:

X = {а, б, в, г, д}, Y= {г, д, е, ж}.

Эти множества имеют общие элементы гид. Множества X и Y называются пересекающимися множествами. Множество общих элементов X и Y на­зывают пересечением множеств X и Y и обозначают с помощью знака :Х Y={г, д} (рис. 1).

Пусть множество А = {1, 3, 5}. Множества А и X не имеют ни одного общего элемента. В таком случае множества А и X называются непересекающимися множествами. Пересечением множеств А и X являет­ся пустое множество: А  Х=  (рис. 2).

Пересечением множеств называется новое множество, состоящее
из элементов, принадлежащих одновременно нескольким множествам

Рис. 1

Рис. 2

Объединение множеств

Если из элементов множеств X и Y составить новое множество, состоящее из всех элементов этих мно­жеств и не содержащее других элементов, то полу­чится объединение множеств Х и Y, которое обозна­чают с помощью знака :

X и Y= {а, б, в, г, д, е, ж) (рис. 4).

Объединение множеств А и X не является пустым:

А X = {1, 3, 5, а, б, в, г, д) (рис. 5).

Объединением множеств называется новое множество, состоящее
из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств.

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 4

Разность

Разность множеств X и Y — это множество всех элементов из X, не являющихся элементами из Y.Разность обозначают Х\Y = {а, б, в} (рис. 5).

Рис. 5

1.3. Из истории кругов Эйлера

Часто множество изображают кругами, эти круги обычно называют «кругами Эйлера» по имени величайшего математика Леонарда Эйлера.

Леонард Эйлер (Euler) (1707 – 1783 г.г.) – математик, механик, физик и астроном. По происхождению швейцарец, а работал в основном в Росси и в Германии. В 1726 году был приглашен в Петербургскую АН и в 1727 году переехал в Россию. В 1741 – 1766 годах работал в Берлине, член Берлинской АН. Эйлер – ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших значительное влияние на развитие науки.

Одним из первых, кто разрабатывал метод решения задач с помощью кругов Эйлера, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с такими кругами. Затем этот метод довольно основательно развил швейцарский математик Леонард Эйлер (1707 – 1783). Он долгие годы работал в Петербургской Академии наук. К этому времени относятся его знаменитые «Письма к немецкой принцессе», написанные в период с 1761 по 1768 год. В некоторых из этих «Писем…» Эйлер как раз и рассказывает о кругах, которые «очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». После Эйлера этот же метод разрабатывал чешский математик Бернард Больцано (1781 – 1848).

Только в отличие от Эйлера он рисовал не круговые, а прямоугольные схемы. Методом кругов пользовался и немецкий математик Эрнест Шредер (1841 – 1902). Этот метод широко используется в книге «Алгебра логики». Но наибольшего расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна (1843 – 1923). С наибольшей полнотой этот метод изложен им в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. В честь Венна вместо кругов Эйлера соответствующие рисунки называют иногда диаграммами Венна; в некоторых книгах их называют также диаграммами (или кругами) Эйлера – Венна.

Глава II. Решение логических задач с помощью кругов Эйлера

2.1. Задачи на пересечение и объединение двух множеств

К Лене на День Рождения пришли гости с подарками. Получилось так, что подарили только букеты цветов и воздушные шарики. Шесть гостей подарили букеты цветов, четыре — воздушные шарики. Сколько было гостей?
Задача предполагает несколько решений. Потому что мы точно не знаем, брал ли кто — нибудь из гостей два подарка.

1 Решение. Предполагается, что каждый гость с одним подарком. Следовательно, гостей 10.

2 Решение. Предполагается, что 1 из гостей пришел и с шариком, и с букетом цветов. Следовательно, 6 + 3 = 9 гостей.

3 Решение. Предполагается, что 2 из гостей пришли с двумя подарками. Следовательно, гостей 8.

4 Решение. Предполагается, что 3 из гостей пришли и с шариком, и с букетом цветов. Следовательно, 6 + 1 = 7.

5 Решение. Предполагается, 4 из гостей пришли с 2 подарками. Следовательно, 4 + 2 = 6 гостей.

1

Ц

)2)

Ш

Ш

4

5

1

3

Ш

Ц

Ш

Ц

) 4)

4

2

2

3

3

Ш

Ц

5)

2

В одном множестве 40 элементов, а в другом 30. Сколь­ко элементов может быть в их:

а) пересечении; б) объединении?

Ответ: а) от 0 до 30; б) от 40 до 70.

«;Ёлки»; и «;Неудержимый»;: Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 12 ребят смотрели фильм «Ёлки», 9 человек – фильм «Неудержимый», из них 6 смотрели и «Ёлки», и «Неудержимый». Сколько человек смотрели только фильм «Неудержимый»?
Сначала заполняем пересечение. Это будет число 6. Потом заполняем множество ребят, смотревших фильм «Ёлки». Это будет число 6. Так как 6 из двенадцати к тому же ещё смотрели фильм «Неудержимый». После заполняем множество ребят, смотревших фильм «Неудержимый». Это будет число 3. Так как 6 из 9 к тому же ещё смотрели фильм «Ёлки».
Ответ: 3 человека смотрели только фильм «Неудержимый».

20 человек знают английский и 10 — немецкий, из них 5 знают и английский, и немецкий. Сколько человек всего?

Способ 1. С помощью модели «Круги Эйлера» (Приложение 1).

10+20 – 5=25 человек.

Способ 2.

1) 20 – 5 = 15(чел.) – знают только английский язык;

2) 10 – 5 = 5 (чел.) – знают только немецкий язык;

3) 15+5+5 = 25 (чел.) – всего.

15

5

10

А

Можно решать и короче:

  1. 20 – 5 = 15(чел.) – знают только английский язык;

  2. 10+15 = 25 (чел.) — знают немецкий и только английский

2.2. Задачи на пересечение и объединение трёх множеств

В классе всего 36 человек. Учащиеся посещают математический, физический и химический кружки, причем, математический кружок посещают 18 человек, физический — 14 человек, химический — 10 человек. Кроме того, известно, что все три кружка посещают 2 человека, математический и физический -8,математический и химический — 5, физический и химический — 3.

Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?

Способ 1. На рисунке большой круг изображает множество всех учеников класса. Внутри этого круга расположены три пересекающихся круга меньшего диаметра: эти круги изображают соответственно множества членов математического, физического и химического кружков. Эти круги обозначены буквами М, Ф, Х.

Общей части всех трех кругов соответствует множество ребят, посещающих все три кружка, поэтому она обозначена МФХ.

Через обозначено множество ребят, посещающих математический и физический кружки, но не посещающих химический кружок. Аналогичным образом обозначены и все остальные области. Здесь для удобства обозначений мы будем отсутствие отмечать чертой над символом.

Теперь обратимся к числовым данным (см. Приложение 2).

В область МФХ впишем число 2, т.к. все три кружка посещают 2 ученика. Далее известно, что ребят, посещающих математический и физический кружки, было 8. Значит, в область МФ надо вписать число 8. Но область МФ состоит из двух частей: и МФХ, причем в МФХ входят 2 человека. Значит, на долю остается 6 человек.

Теперь рассмотрим множество МХ, на которое приходится 5 человек. Эта область также состоит из двух частей. На МФХ приходится 2 человека, значит, на приходится 3.

Рассмотрим теперь множество М, в которое входят 18 учеников. Оно состоит из 4 частей. Количественный состав трех подмножеств мы уже нашли: это 2, 6 и 3. Значит, в четвертое подмножество входит 18 – (2+3+6) = 7 человек.

Рассмотрим множество ФХ, на которое приходится 3 человека. Эта область также состоит из двух частей. На МФХ приходится 2 человека, значит, на приходится 1.

Рассмотрим множество Ф, в которое входят 14 учеников. Оно состоит из 4 частей. Количественный состав трех подмножеств мы уже нашли: это 2, 6 и 1. Значит, в четвертое подмножество входит 14 – (2+1+6) = 5 человек.

36 – (10+7+6+5) = 8 человек. Таким образом, в классе 8 ребят, не посещающих никаких кружков.

М

6

5

7

2

3

1

4

? 8

Способ 2. С помощью модели «Круги Эйлера» (Приложение 1).

Представим множества учащихся, посещаю­щих математический, физический и химический круж­ки, в виде кругов, вырезанных из плотной бумаги. Бу­дем считать, что площадь каждого из этих кругов равна числу учащихся, посещающих соответствующий кру­жок. Наложим круги друг на друга так, чтобы было по­нятно, что есть учащиеся, посещающие один, два или три кружка. Вычислим площадь получившейся фигуры:

14 + 18 + 10 – ((8 + 5 + 3)  2) – 2 = 8 (чел.)— не посещают кружки.

Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским — 28, французским — 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским — 10, немецким и французским — 5, всеми тремя языками — 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языком владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек.

Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5 человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста.

Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек,а одним французским — 30.

Всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.

Заключение

Существует множество приемов, которые используются при решении текстовых логических задач (Приложение 3). Очень часто решение задачи помогает найти рисунок, он делает решение простым и наглядным. Задачи, решаемые с помощью кругов Эйлера, предлагаются на математических олимпиадах, но в школьной программе не отводятся часы на изучение данной темы. Ценность использования кругов Эйлера состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными становятся проще.

Подобные задачи часто имеют практический характер, что немаловажно в современной жизни. Они заставляют задумываться, подходить к решению какой-либо проблемы с разных сторон, уметь выбирать из множества способов решения наиболее простой, легкий путь.

Нами созданы модели «Круги Эйлера» для решения логических задач на пересечение двух и трёх множеств, которыми можно пользоваться как на месте (за партой), так и у доски (Приложение 4).

Поиск готовых способов решения выделенных логических задач, самостоятельное описание способа действий при использовании кругов Эйлера для их решения, а также попытки рассмотрения другой формы представления данных условия позволили нам решить поставленные задачи.

Цель была достигнута. С результатами работы были ознакомлены наши одноклассники, что позволило решать логические задачи этого вида не только нам.

Теперь наши одноклассники решают такие задачи, используя не только модели, но и памятку со способом действий, написанных нами.

Теперь мы точно будем знать, сколько друзей нам надо встречать в гости. От 20 до 35! А значит, и за стол всех всё же можно будет посадить.

Данная тема, безусловно, расширяет математический кругозор учащихся, обогащает арсенал средств, используемых в решении разнообразных задач.

Литература

  1. Задачи для внеклассной работы по математике в V – VI классах: Пособие для учителей Текст/ Сост. В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса, А. Л. Гавронского. М.: МИРОС, 1993. с. 42. – ISBN 5-7084-0023-4

  2. Занимательная математика. 5 – 11 классы. Текст: (Как сделать уроки нескучными) / Авт. – сост. Т.Д. Гаврилова. Волгоград: Учитель, 2005. с.32-38. – 10000 экз. –5-7057-0482-8

  3. Депман,И.Я., Виленкин, Н.Я. За страницами учебника математики Пособие для учащихся 5 – 6 кл. Текст/ И.Я Депман. М.: Просвещение, 1999. с. 189 – 191, 231. – 10000 экз. – ISBN 5-09-007107-1

  4. Смыкалова, Е.В. Дополнительные главы по математике для учащихся 5 класса. Текст: СПб: СМИО Пресс, 2009. с.14-20. – 2000 экз. – ISBN 5-7704-0055-2

  5. Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе.5–11 классы.Текст / А.В. Фарков. М.: Айрис–пресс, 2007. с. 27, 34, 61. – 7000 экз. – ISBN 978-5-8112-2394-7

  6. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика Текст/ Глав.ред. М.Д. Аксёнова. М.: Аванта +,2001. с. 537 — 542. – 20000экз. – ISBN 5-8483-0015-1

  7. Иванищев, Д. М. Поляна загадок – математика царица.

/

  1. Дистанционная обучающая олимпиада по математике (ДООМ)

/

  1. Сопова, С. С. Диаграмма Эйлера-Вена и «;дерево»;. Взаимодополнение.

/

Приложение 1

Модель «Круги Эйлера» на пересечение двух множеств

  1. На листе бумаги нарисовать два круга.

  2. Разрезать по пунктирным линиям и получить детали.

  3. На бумаге цвета 1 обвести и вырезать детали № 1 () (), № 2 ().

На бумаге цвета 2 обвести и вырезать детали № 2, № 3 () ().

 — окошко для названия множества,  — окошко для числа

Модель «Круги Эйлера» на пересечение трёх множеств

  1. На листе бумаги нарисовать три круга.

  2. Разрезать по пунктирным линиям и получить детали.

  3. На бумаге цвета 1 обвести и вырезать детали № 5 () (), № 2, № 1, № 4.

На бумаге цвета 2 обвести и вырезать детали № 6 (), (), № 2, № 1, № 3.

На бумаге цвета 3 обвести и вырезать детали № 7 (), (), № 4 (), № 1 (),

№ 3 ().

Приложение 2.

Способ действий при решении задач

на пересечение и объединение трёх множеств с помощью кругов Эйлера

  1. Начертить три пересекающихся круга. Обозначить множества: A, B, C.

  2. Начертить большой круг, в котором окажутся три маленьких. Это общее количество объектов – множество Е.

  3. Начертить отдельное множество D – подмножество множества E Это те, кто не является элементом множеств А, В и С.

  4. Найти часть круга, являющуюся общей для всех трёх множеств (№1) и записать данные.

  5. Найти часть круга, являющуюся общей для двух множеств (№1 и №2) и записать данные в №2.

Найти часть круга, являющуюся общей для двух множеств (№1 и №3) и записать данные в №3.

Найти часть круга, являющуюся общей для двух множеств (№1 и №4) и записать данные в №4.

  1. Найти часть круга, отвечающую за каждое множество в отдельности:

5 = А – (1 + 2 + 4), 6 = В – (1 + 2 + 3), 7 = С – (1 + 3 + 4).

  1. Должно выполняться: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + D = E/

  2. Записываем ответ на вопрос задачи.

Приложение 3.

Задача (/). а)На 3 курсе факультета обучается 81 студент. Многие из них выбрали одинаковые дисциплины, посещают одни и те же лекции и хорошо знают друг друга. б) 43 студента посещают лекции по философии, в)32 — по логике и г)41 — по естествознанию. д) Философию и логику выбрали 11 человек. е) Философию и естествознание посещает 21 студент, ж)а логику и естествознание — 16. з) 4 человека выбрали только философию и логику.

Сколько студентов посещают лекции:

1) по всем трём предметам,

2)только по философии и естествознанию,

3)только по логике и естествознанию,

4)только по философии,

5)только по естествознанию,

6)только по логике,

7)не выбрали ни одну из этих дисциплин.

Каждое высказывание из условия записать в виде логического выражения, строго подписывая друг под другом элементы. Решать систему будем с тех уравнений, где меньше всего неизвестных, попарно вычитая уравнения. При решении стремимся убрать как можно больше неизвестных.

1) Возможные варианты перебираем с учетом

а) + + + + + + + = 81

б) + 0 + 0 + + + 0 + + 0 = 43

в) 0 + + 0 + + 0 + + + 0 = 32

г) 0 + 0 + + 0 + + + + 0 = 41

д) 0 + 0 + 0 + + 0 + 0 + + 0 = 11

е) 0 + 0 + 0 + 0 + + 0 + + 0 = 21

ж) 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + + + 0 = 16

з) 0 + 0 + 0 + + 0 + 0 + 0 + 0 = 4

2) Четко видно, что = 4. Подписываем под чертой вычисленные значения и убираем использованные уравнения. Ниже приведен подробный ход решения.

а) + + + + + + + = 81

б) + 0 + 0 + + + 0 + + 0 = 43

в) 0 + + 0 + + 0 + + + 0 = 32

г) 0 + 0 + + 0 + + + + 0 = 41

д) 0 + 0 + 0 + + 0 + 0 + + 0 = 11

е) 0 + 0 + 0 + 0 + + 0 + + 0 = 21

ж) 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + + + 0 = 16

и) 4

а) + + + + + + + = 81

б) + 0 + 0 + + + 0 + + 0 = 43

в) 0 + + 0 + + 0 + + + 0 = 32

г) 0 + 0 + + 0 + + + + 0 = 41

е) 0 + 0 + 0 + 0 + + 0 + + 0 = 21

ж) 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + + + 0 = 16

и) 4 7

а) + + + + + + + = 81

б) + 0 + 0 + + + 0 + + 0 = 43

в) 0 + + 0 + + 0 + + + 0 = 32

г) 0 + 0 + + 0 + + + + 0 = 41

и) 4 14 9 7

а) + + + + + + + = 81

и) 18 12 11 4 14 9 7

0) + + ++ + + + = 81

и) 18 12 11 4 14 9 7 6

Ответ:1) по всем трём предметам, , 7

2)только по философии и естествознанию, , 14

3)только по логике и естествознанию, , 9

4)только по философии, , 18

5)только по естествознанию, , 11

6)только по логике, , 12

7)не выбрали ни одну из этих дисциплин, , 6

Приложение 4

Отчёт о проделанной работе перед коллегами

Решение задач с помощью кругов Эйлера

Пояснительная записка

Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение простым и наглядным.

В данной разработке приведены примеры решения задач с помощью кругов Эйлера. Это не просто занимательная и интересная штука, но и весьма полезный метод решения задач. Они помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

С данным способом решения задач учащихся можно познакомить как на уроках, так и на кружковых занятиях.

Главной целью этой работы является помощь учителям математики для подготовки учащихся к олимпиадам, а также к экзаменам.

Основные понятия

Понятие множества − одно из первичных в математике. Поэтому очень трудно дать ему какое-либо определение, которое бы не заменяло слово «множество» каким-нибудь равнозначным выражением, например, совокупность, собрание элементов и т.д. Элементы множества − это то, из чего это множество состоит, например, каждый ученик вашего класса есть элемент множества школьников.

Пересечение множеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Леонардом Эйлером. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях.

2. Решение задач с помощью кругов Эйлера

2.1. «Обитаемый остров» и «Стиляги»

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек — фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение:

Чертим два множества таким образом:

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.

1. 15 — 6 = 9 — человек, которые смотрели только «Обитаемый остров»,

2. 11- 6 = 5 — человек, которые смотрели только «Стиляги».

Получаем:

Ответ: 5 человек.

2.2. Задача про библиотеки

Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 — в районной.

Сколько шестиклассников:

  1. Являются читателями обеих библиотек;
  2. Не являются читателями районной библиотеки;
  3. Не являются читателями школьной библиотеки;
  4. Являются читателями только районной библиотеки;
  5. Являются читателями только школьной библиотеки?

Решение:

Чертим два множества таким образом:

1) 20+ 25 — 35 = 10 (человек) — являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.

2) 35 — 20 = 15 (человек) — не являются читателями районной библиотеки,

3) 35 — 25 = 10 (человек) — не являются читателями школьной библиотеки,

4) 35- 20 = 10 (человек) — являются читателями только районной библиотеки,

5) 35- 20 = 15 (человек) — являются читателями только школьной библиотеки.

Очевидно, что вопросы 2 и 5, а также 3 и 4 — равнозначны и ответы на них совпадают.

Ответ: 10 человек; 15 человек; 10 человек; 10 человек; 15 человек.

2.3. Гарри Поттер, Рон и Гермиона

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Решение:

Учитывая условия задачи, сделаем чертеж:

Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги — Гермиона, то 11 — 4 — 2 = 5 — книг прочитал только Гарри.

Следовательно, 26 — 7 — 2 — 5 — 4 = 8 — книг прочитал только Рон.

Ответ: 8 книг.

2.4. Задача про любимые мультфильмы

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах. Оказалось, что большинству из них нравятся «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. «Белоснежка и семь гномов» нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и «Волк и теленок», шестерым — «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У «Волка и теленка» 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким же шестиклассникам нравится «Губка Боб Квадратные Штаны».

Решение:

Чертим три круга, таким образом:

Из условия знаем, что трем ученикам нравиться и «Белоснежка и семь гномов», и «Волк и теленок», шестерым — «Белоснежка и семь гномов» и «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма.

Мы помним, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма «Волк и теленок» пятеро ребят выбрали два мультфильма сразу, т.е. 5 — 3 = 2 — ученика выбрали «Волк и теленок» и «Губка Боб Квадратные Штаны».

1) 21 — 3 — 1 — 6 = 11 — учеников выбрали только «Белоснежка и семь гномов»,

2) 13 — 3 — 1 — 2 = 7 — учеников выбрали — «Волк и теленок»,

3) 38 — (11 + 3 + 1 + 2 + 6 + 7) = 8 — ребят выбрали «Губка Боб Квадратные Штаны».

4) 8 + 2 + 1 + 6 = 17 — человек выбрали мультик «Губка Боб Квадратные Штаны».

Ответ: 17 учеников.

2.5. Задача про Крейсер и Линкор

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети интернет.

Запрос

Найдено страниц, тыс.

Крейсер и Линкор

7000

Крейсер

4800

Линкор

4500

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Крейсер и Линкор? (Считается, что все вопросы выполняются практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.)

Решение:

При помощи кругов Эйлера изобразим условия задачи.

1) 4800 + 4500 — 7000 = 2300 (тыс. страниц) — найдено по запросу Крейсер и Линкор,

2) 4800 — 2300 = 2500 (тыс. страниц) — найдено по запросу Крейсер,

3) 4500 — 2300 = 2200 (тыс. страниц) — найдено по запросу Линкор.

Ответ: 2300 тыс. страниц.

2.6. Задача про блондинок

Каждый ученик класса — либо девочка, либо блондин, либо любит математику. В классе 20 девочек, из них 12 блондинок, но одна блондинка любит математику. Всего в классе 24 ученика — блондина, математику из них любят 12, а всего учеников (мальчиков и девочек), которые любят математику, 17, из них 6 девочек. Сколько учеников в данном классе?

Решение:

Изобразим с помощью кругов Эйлера данные из задачи:

1) 12 — 1 = 11 (учеников) — девочек блондинок,

2) 12 — 1 = 11 (учеников) — блондины и любят математику,

3) 6 — 1 = 5 (учеников) — девочек, которые любят математику,

4) 20 — 11 — 1 — 5 = 3 (ученика) — девочки,

5) 24 — 11 — 1 — 11 = 1 (ученик) — блондин,

6) 17- 5 — 1 — 11 = 0 (учеников) — любят математику,

7) 3 + 1 + 0 + 5 + 11 + 11 + 1 = 32 (ученика) — всего в классе.

Ответ: 32 ученика.

2.7. Задача про кружки

В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение:

Учитывая условия задачи, сделаем чертеж:

1) 10 — 3 = 7 (ребят) — посещают драмкружок и хор,

2) 6 — 3 = 3 (ребят) — поют в хоре и занимаются спортом,

3) 8 — 3 = 5 (ребят) — занимаются спортом и посещают драмкружок,

4) 27 — 7 — 3 — 5 = 12 (ребят) — посещают драмкружок,

5) 32 — 7 3 — 3 = 19 (ребят) — поют в хоре,

6) 22 — 5 — 3 — 3 = 11 (ребят) — увлекаются спортом,

7) 70 — (12 + 19 + 11 + 5+ 7 + 3 + 3) = 10 (ребят) — не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке.

Ответ: 10 человек и 11 человек.

Задачи для самостоятельного решения

1. На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 — немецкий язык, а 23 — оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни английского, ни немецкого языков?

2. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 — лимонад, а 15 — и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?

3. 12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 — фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?

4. Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в нашем классе 25 учеников, каждый из которых любит смотреть или триллеры, или мультфильмы, или и то и другое?

5. Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимаются спортом, а остальные посещают футбольную или теннисную секции, а то и обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а теннисом — 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько теннисистов играет в футбол?

6. В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 — черешню. Двое любят груши и черешню; 6 — груши и яблоки; 5 — яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

7. В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 — умных и 9 — добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время добрых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?

8. В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике — 12; по истории — 23. По русскому и математике — 4; по математике и истории — 9; по русскому языку и истории — 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?

9. Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 — испанский, 75 — немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?

10. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 — в Италии, 6 — в Англии; в Англии и Италии — 5; в Англии и Франции — 6; во всех трех странах — 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Список использованных источников

1. Баженов И.И, Порошкин А.Г., Тимофеев А.Ю., Яковлев В.Д. Задачи для школьных математических кружков: учеб. пособие / Сыктывкар: Сыктывкарский университет, 2006.

2. Марков И.С. Новые олимпиады по математике — Ростов н/Д: Феникс, 2005.

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/

4. http://logika.vobrazovanie.ru

5. http://www.otvet-prost.ru/load/diskretnaja_matematika/na_krugi_ehjlera/zadacha_na_krugi_ehjlera/18-1-0-22

6. http://urok.1sept.ru/articles/550092/

7. http://www.tutoronline.ru/blog/reshit-zadachu-pomogut-krugi-jejlera

6 класс Математика. Решение задач с помощью кругов Эйлера | Презентация к уроку по математике (6 класс):

Конспект урока

6 класс

Предмет: Математика

Тема: Решение задач с помощью кругов Эйлера

Здравствуйте, ребята! Сегодня на занятии мы с вами познакомимся с новым для вас методом решения логических задач — кругами Эйлера. Мы научимся решать некоторые из тех задач, которые входят в группу конкурсных и олимпиадных. Целью нашего урока: является познакомиться с решением простейших логических задач методом кругов.

Разминка

 Устно:

  1. Кирпич весит 3кги ещё полкирпича. Сколько весит кирпич?
  2. Два спортсмена на соревновании пробежали по стадиону 8 кругов. Сколько кругов пробежал каждый?
  3. Назовите два числа, разность которых равна их сумме.
  4. Сколько будет: два плюс пять умножить на три?

Изучение нового материала

В математике рисунки в виде кругов, изображающих множества, используются очень давно. Одним из первых, кто пользовался этим методом, был выдающийся немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). В его черновых набросках были обнаружены рисунки с такими кругами. Затем этот метод довольно основательно развил и Леонард Эйлер. Он долгие годы работал в Петербургской Академии наук.

Для наглядной геометрической иллюстрации понятий и соотношений между ними используется диаграммы Эйлера-Венна (круги Эйлера). Если имеются какие-либо понятия А, В, С и т.д., то объем каждого понятия (множество) можно представить в виде круга, а отношения между этими объектами (множествами) — в виде пересекающихся кругов.

Перед решением задачи ответьте сначала на следующие вопросы:

  1. О скольких множествах идет речь в данной задаче?
  2. Какие из перечисленных в задаче данных относятся к разным множествам одновременно?

Задачи разобрать и записать в тетрадь с правильным оформлением: дано, рисунок (круги Эйлера), решение, ответ.

Задача 1. Домашние любимцы. У всех моих подруг есть домашние питомцы. Шестеро из них любят и держат кошек, а пятеро — собак. И только у двоих есть и те и другие. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение: Изобразим два круга, так как у нас два вида питомцев. В одном будем фиксировать владелиц кошек, в другом — собак. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие животные, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кошки и собаки есть у двоих. В оставшейся части «кошачьего» круга ставим цифру 4 (6 — 2 = 4). В свободной части «собачьего» круга ставим цифру 3 (5 — 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

Ответ. 9 подруг.

Задача 2. Библиотеки. В классе 30 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 20 ребят берут книги в школьной библиотеке, 15 — в районной. Сколько учеников не являются читателями школьной библиотеки?

Решение: Пусть круг Ш изображает читателей только школьной библиотеки, круг Р — только районной. Тогда ШР — изображение читателей и районной, и школьной библиотек одновременно. Из рисунка следует, что число учеников, не являющихся читателями школьной библиотеки, равно:

(не Шк.биб) = Р — ШР.

Всего 30 учеников,

Ш = 20 человек,

Р = 15 человек.

Тогда значение ШР может быть найдено так (см. рисунок): ШР = (Ш + Р) — 30 = (20 + 15) — 30 =  5, т.е. 5 учеников являются читателями школьной и районной библиотек одновременно.

Тогда (не Шк.биб) = Р — ШР= 15 — 5= 10.

Ответ: 10 учеников не являются читателями школьной библиотеки.

Задача 3. Любимые мультфильмы. Среди школьников пятого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Винни Пух», «Микки Маус». Всего в классе 28 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 16 учеников, среди которых трое назвали еще «Микки Маус», шестеро — «Винни Пух», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Микки Маус» назвали 9 ребят, среди которых пятеро выбрали по два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Винни Пух»?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Только «Белоснежку» выбрали 16-6-3-1=6 человек. Только «Микки-Маус» выбрали 9-3-2-1=3 человека.

Только «Винни-Пух» выбрали 28-(6+3+3+2+6+1)=7 человек. Тогда, учитывая, что некоторые выбрали по несколько мультфильмов, получаем, что «Винни-Пух» выбрали 7+6+1+2=16 человек.

Задачи на оценку:

Задача 1. Спортивный класс. В классе 35 учеников. 24 из них играют в футбол, 18 — в волейбол, 12 — в баскетбол. 10 учеников одновременно играют в футбол и волейбол, 8 — в футбол и баскетбол, а 5 — в волейбол и баскетбол. Сколько учеников играют и в футбол, и в волейбол, и в баскетбол одновременно?

Задача 2. Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 – лимонад, а 15 – и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?

Задача 3. 12 моих одноклассников любят читать детективы , 18 – фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?

Домашнее задание:

Задача 1. Хобби. Из 24 учеников 5 класса музыкальную школу посещают 10 человек, художественную школу — 8 человек, спортивную школу — 12 человек, музыкальную и художественную школу- 3, художественную и спортивную школу — 2, музыкальную и спортивную школу — 2, все три школы посещает 1 человек. Сколько учеников посещают только одну школу? Сколько учащихся ни в чем себя не развивают?

 

Круги Эйлера, диаграммы Венна | Онлайн калькулятор

Для наглядного геометрического моделирования множеств и отношений между ними используется диаграммы Венна также иногда их называют кругами Эйлера или диаграммами Эйлера – Венна.

Универсальное множество изображают в виде прямоугольника (универсум), а множества изображаются в виде кругов (если используется 2-3 множества) и эллипсов (если используется 4 и более множеств). Диаграмма Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

С помощью диаграмм Венна удобно иллюстрировать операции над множествами. Примеры команд:
(A union B) intersect C
symmetric difference of S and T
(complement S) intersect (A union B)
(A intersection B) union C
(A intersection B) union C’
(A union B’) intersection C
(A intersection B) union (A intersection C)

Используйте следующие правила ввода основных обозначений операций над множествами:
Дополнение: ¯A = A’
Пересечение: (A∩B) = (A intersection B)
Объединение: (А⋃B) = (A union B)
Симметрическая разность: (A∆B) = (symmetric difference of A and B)
Относительное дополнение: (A\B) = (A\B)

Синтаксис
основных функций:

xa: x^a
|x|: abs(x)
√x: Sqrt[x]
n√x: x^(1/n)
ax: a^x
logax: Log[a, x]
ln x: Log[x]
cos x: cos[x] или Cos[x]

sin x: sin[x] или Sin[x]
tg: tan[x] или Tan[x]
ctg: cot[x] или Cot[x]
sec x: sec[x] или Sec[x]
cosec x: csc[x] или Csc[x]
arccos x: ArcCos[x]
arcsin x: ArcSin[x]
arctg x: ArcTan[x]
arcctg x: ArcCot[x]
arcsec x: ArcSec[x]

arccosec x: ArcCsc[x]
ch x: cosh[x] или Cosh[x]
sh x: sinh[x] или Sinh[x]
th x: tanh[x] или Tanh[x]
cth x: coth[x] или Coth[x]
sech x: sech[x] или Sech[x]
cosech x: csch[x] или Csch[е]
areach x: ArcCosh[x]
areash x: ArcSinh[x]
areath x: ArcTanh[x]

areacth x: ArcCoth[x]
areasech x: ArcSech[x]
areacosech x: ArcCsch[x]
конъюнкция «И» ∧: &&
дизъюнкция «ИЛИ» ∨: ||
отрицание «НЕ» ¬: !
импликация =>
число π pi : Pi
число e: E
бесконечность ∞: Infinity, inf или oo

Смотрите также

Диаграмма Эйлера

: как нарисовать ее простыми шагами

Вероятность и статистика> Вероятность> Как создать диаграмму Эйлера

Диаграмма Эйлера: Обзор

Диаграмма Эйлера похожа, но не идентична диаграмме Венна. Хотя они оба используют круги для создания диаграмм, есть существенное различие: диаграммы Венна представляют всего набора , а диаграммы Эйлера могут представлять часть набора. На диаграмме Венна может быть заштрихованная область, показывающая пустой набор.Эта область на диаграмме Эйлера могла просто отсутствовать на диаграмме вообще. Диаграммы Эйлера сложно нарисовать вручную (простая схема описана ниже). Вам, вероятно, лучше использовать программное обеспечение для его создания, например Smart Draw или Venn Master.

Диаграмма Эйлера: Шаги

Пример вопроса: Нарисуйте диаграмму Эйлера для представления следующих утверждений:
Все волшебники могут творить магию.
Ящерицы не умеют колдовать.
Никакой волшебник не ящерица.

Шаг 1: Нарисуйте три круга, представляющих три категории (волшебник, ящерица, магия).Совместите их все (используйте карандаш или программное обеспечение, чтобы вы могли перемещать круги позже):

Шаг 2: Прочтите первое утверждение и переместите соответствующий круг соответственно . «Все волшебники могут творить магию» должно означать, что весь волшебный круг должен находиться внутри магического круга.

Шаг 2: Прочтите второй оператор и переместите соответствующий кружок соответственно . «Никакие ящерицы не могут творить магию» должно означать, что весь круг ящерицы должен находиться на за пределами магического круга.

Шаг 3: Прочтите третье утверждение и переместите соответствующий круг соответственно . «Волшебники не являются ящерицами» должно означать, что весь круг ящерицы должен быть за пределами круга волшебника. В этом случае на графике круг ящерицы уже есть за пределами круга волшебника, так что мы закончили!

Ссылка:
Кентский университет. Проверено 19 октября, 2015.

.

————————————————— —————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые решения на свои вопросы от эксперта в данной области.Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .

Диаграммы Венна и диаграммы Эйлера, объясненные на примерах

Диаграммы

Венна и диаграммы Эйлера выглядят очень похожими, поэтому понятно, что многих людей смущает понимание разницы. Хотя оба типа диаграмм основаны на теории множеств, есть некоторые тонкие различия, которые делают их уникальными.Надеюсь, эта статья развеет ваши сомнения относительно диаграмм Венна и диаграмм Эйлера, и я приведу несколько примеров, чтобы сделать ее более ясной.

Венн против Эйлера: определение

Как я упоминал ранее, оба набора диаграмм основаны на теории множеств. Диаграмма Венна показывает все возможные логические отношения между набором наборов. Но диаграмма Эйлера показывает только отношения, существующие в реальном мире.

Диаграммы Венна и

Диаграммы Эйлера Примеры

Начнем с очень простого примера.Давайте рассмотрим надмножество животных с млекопитающими и птицами как подмножества. Диаграмма Венна показывает пересечение двух множеств, хотя такой возможности не существует в реальном мире. Диаграмма Эйлера, с другой стороны, не показывает пересечения.

Диаграммы Венна показывают все возможные комбинации, даже если они не существуют в реальном сценарии.

Теперь давайте рассмотрим более сложный пример с колодой карт. Опять же, важно помнить о различии между двумя типами диаграмм: всех возможных комбинаций и реальных комбинаций.Давайте возьмем карты как суперсет, а черные, красные и ромбовидные карточки как подмножества.

Как одни и те же данные представлены по-разному с помощью диаграмм Венна и диаграмм Эйлера

Как показано в приведенном выше примере, диаграммы Венна показывают четыре пересечения, для которых нет данных, потому что они должны отображать все возможные комбинации.

Существуют различные методы преобразования диаграмм Венна в диаграммы Эйлера , и наоборот. Ознакомьтесь с этой замечательной вики-статьей о диаграммах Эйлера, в которой объясняются некоторые методы, которые вы можете использовать для преобразования диаграмм Венна в диаграммы Эйлера.Я надеюсь, что приведенные выше примеры помогли вам развеять ваши сомнения относительно диаграмм Венна и диаграмм Эйлера. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их в разделе комментариев.

Рисуете ли вы диаграммы Венна или диаграммы Эйлера, Creately предоставит вам все необходимые инструменты. Вы можете быстро начать работу, используя шаблоны диаграмм Венна, доступные нашим пользователям, или начать с нуля в области рисования. Если вы хотите добавить значки и изображения на диаграмму Венна, это можно легко сделать с помощью встроенного поиска изображений Google, доступного на левой боковой панели.Благодаря такому количеству супер крутых функций вы не ошибетесь с Creately.

12.2: Использование диаграмм Венна-Эйлера для проверки на недействительность

В логике классов мы можем создавать диаграммы, которые помогают нам проверять аргументы на валидность. Однако, прежде чем мы это сделаем, давайте улучшим наши навыки рассуждений с помощью дополнения классов, то есть набора всего, что не входит в класс. Если вы американец, то как нас зовут неамериканцы? Это «иностранец». Чем больше путешествуют американцы, тем чаще они встречаются с неамериканцами.

Предполагая, что никто не может быть одновременно евреем и христианином, было бы верно сказать, что все евреи — нехристиане, и верно сказать, что некоторые неевреи не являются христианами, но было бы неверно утверждать, что все нехристиане. -Христиане — евреи, и ложно говорить, что все нехристиане неевреи. Ух! Поздравления и комплименты, если вы смогли понять всю сложность этих дополнений к занятиям. Если бы вы могли, вы можете правильно выполнить эту проверку концепции.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Мартин (на фото выше) не белый мужчина, если Мартину

а.белый не мужчина.
г. небелого кобеля,
г. не белый, не мужчина.
г. любой из вышеперечисленных.

Ответ

Ответ (d). Ответить на подобные вопросы было бы намного проще, если бы у нас был какой-то метод изображения или диаграммы, который бы показал нам, что происходит. Может, тебе удастся изобрести такой. Эйлер пытался сделать это еще в XVIII веке в Швейцарии.

Умение отрицать члены необходимо для построения диаграмм Венна-Эйлера.Этот метод построения диаграмм — полезный способ быстро оценить дедуктивную достоверность аргументов в логике класса. Он может подсказать вам правильную оценку, когда аргумент слишком сложен для анализа в вашей голове. Представляя этот метод, мы сначала представим диаграммы для классов, затем обобщим метод, чтобы его можно было использовать для отображения того, являются ли предложения о классах истинными или ложными, а затем снова обобщим метод, чтобы его можно было использовать, чтобы показать, являются ли предложения о классах истинными или ложными. аргументы, использующие эти предложения, дедуктивно верны.

Кружок ниже — диаграмма Эйлера класса яблок.

r

На этой двумерной диаграмме любая точка внутри круга представляет яблоко, а любая точка за пределами круга представляет собой не яблоко, например мусульманина или карандаш. Обычно для маркировки используется заглавная буква для начала имени региона (класса) и строчная буква для имени конкретного члена региона (класса). Маленькая буква «r» обозначает точку справа от круга, которая представляет конкретное не яблоко, скажем, Томаса Эдисона, американского изобретателя и основателя General Electric Corporation.В форме региона нет ничего важного. Эллипс или прямоугольник подойдут, если ясно, что находится в области, а что нет, то есть что входит в класс, а что нет. Размер круга тоже не важен. Мы также не обращаем внимания на перемещение диаграммы влево, вправо, вверх или вниз. Все эти изменения приведут к одной и той же диаграмме с точки зрения логики классов.

Ниже приводится более сложная диаграмма, которая представляет как класс яблок, так и класс фруктов.В реальном мире класс яблок полностью входит в более крупный класс фруктов. На диаграмме представлена ​​картина этих отношений в реальном мире:

Приведенная выше диаграмма отражает истинность предложения «Все яблоки — плоды», но вы можете рисовать диаграммы, которые не представляют того, каков мир.

Любая метка для региона может находиться внутри или вне его, при условии, что нет двусмысленности в том, какая метка соответствует какому региону. Иногда мы будем называть овальные области «кругами», поскольку не обращаем внимания на разницу между кругом и эллипсом.

Вот диаграмма Эйлера, в которой верны утверждения вида «Нет А есть Б»:

Что важно в этой диаграмме, так это то, что две окружности не пересекаются (перекрываются). Круги также не должны касаться друг друга, потому что это затруднит определение того, есть ли у двух классов общий член.

Вот диаграмма Венна, показывающая ту же информацию, но менее интуитивно:

На диаграмме Венна все круги должны взаимно перекрываться.Для диаграмм Эйлера этого не требуется. Рассмотрим точки x, y и z на следующей диаграмме. Классы A и B пересекаются, то есть у них есть общие члены. Один из этих участников — y.

Пункт x не входит ни в класс A, ни в класс B. Он входит в дополнение к каждому из них. Точка y находится как в A, так и в B. Точка z находится в B, но не в A. Просматривая диаграмму, вы можете видеть, что некоторые элементы B находятся в A, а некоторые нет. Однако вы не можете сказать, имеет ли A больше участников, чем B.Если область A на диаграмме больше, чем B, вы не можете сказать, имеет ли A больше членов, чем B. В этом отношении вы даже не можете сказать, есть ли у класса какие-либо члены вообще. Однако на всех диаграммах с этого момента мы будем предполагать, что мы начинаем с классов, которые не пусты.

Вот диаграмма, представляющая реальные отношения между яблоками, фруктами, апельсинами, яблоками в Париже, яблоками в ресторанах в Париже и фруктами, принадлежащими нашему другу Хуану:

Для ясности, мы всегда будем использовать заглавные буквы или прописные слова для классов вещей.Если мы хотим добавить информацию о том, что какой-то конкретный объект является членом одного из классов, мы будем использовать строчную букву для представления этого члена. На предыдущей диаграмме строчная буква a представляет одно яблоко в моем холодильнике. Вы можете видеть, что буква а находится за пределами круга P; это показывает, что яблоко в моем холодильнике не в Париже. Обратите внимание, что сам Хуан не входит ни в один из классов на приведенной выше диаграмме; информация о Хуане заложена в определение Дж.Изучив диаграмму, вы можете сказать, что Хуану не принадлежат парижские яблоки (потому что J и P не пересекаются), но он владеет яблоками (потому что J пересекает A), владеет апельсинами (потому что J пересекает O) и имеет владеть каким-то другим неуказанным фруктом (потому что J находится в F, но не все J в A или O).

Пусть A = граждане США, проживающие в Нью-Йорке, B = горожане, C = американцы. Вот диаграмма Эйлера, отображающая их отношения в реальном мире.

Вот как отобразить те же отношения с диаграммой Венна:

На диаграммах Венна заштрихованные области представляют собой пустое множество; они ничего не содержат.При применении техники Венна к трем множествам, три окружности должны пересекаться друг с другом, в отличие от диаграмм Эйлера.

Как бы вы нарисовали диаграмму, на которой утверждение, что некоторые яблоки из Канады, а некоторые нет, верно? Это поможет:

C = класс вещей из Канады

А = сорт яблок

Шаблон предложения «Все А не-Б» верен на следующей диаграмме:

Обратите внимание, что это та же диаграмма, которую вы нарисовали для «Нет А есть Б.«Логически эквивалентные предложения имеют одинаковые виды диаграмм. Это ключевая идея классовой логики.

Приведенная выше диаграмма представляла бы ложное предложение «Техасцы не американцы», если бы использовался следующий словарь:

A = техасцы
B = американцы

Хотя это предложение неверно в реальном мире, диаграмма показывает, каким был бы мир, если бы предложение было истинным. То же самое можно сказать и о том, что диаграмма — это картина того, что истинно в определенном «возможном мире», который не является реальным миром.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Сделайте утверждение «Все техасцы не американцы» верным на диаграмме, используя приведенный выше словарь для A и B.

Ответ

Обратите внимание, что на этой диаграмме каждый техасец A находится за пределами Америки B и, следовательно, не является американцем. Итак, этот возможный мир — не реальный мир.

Пусть A будет классом яблок. На двух диаграммах ниже предложение «Все яблоки — бананы» верно (даже если это предложение неверно в реальном мире):

Но обратите внимание на разницу в двух диаграммах.В том, что слева, несколько бананов не могут быть яблоками. На диаграмме справа это не так. На второй диаграмме класс яблок и класс бананов — это один и тот же класс. Диаграмма реальных отношений между яблоками и бананами будет выглядеть так:

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Нарисуйте диаграмму для яблок и фруктов, в которой следующее предложение на диаграмме неверно: «Все яблоки — плоды». Предложение верно в реальном мире, но его не будет в возможном мире, представленном на вашей диаграмме.

Ответ

Есть несколько типов диаграмм, которые будут работать.

С таким предложением, как «Все яблоки — фрукты», аналитик может рассматривать его в логике классов или в логике предложений. В логике классов это логически эквивалентно «Все вещи в классе яблок являются также вещами в классе фруктов». Это устанавливает отношения между двумя классами. В сентенциальной логике это предложение логически эквивалентно «Если это яблоко, то это фрукт.»Это устанавливает условную связь между двумя вложенными предложениями.

Теперь мы можем обобщить метод диаграмм на метод оценки дедуктивной достоверности аргументов при условии, что предложения, составляющие аргумент, описывают, как классы объектов связаны друг с другом. Диаграмма Венна-Эйлера метод оценки аргументов работает только для дедуктивных аргументов в логике классов. Он показывает, что аргумент действителен, если нет диаграммы контрпримера к аргументу. По определению, контрпример к аргументу — это возможная ситуация или интерпретация аргумента, показывающая, как у него могут быть истинные посылки и ложный вывод.

Более конкретно, вот , как применить метод проверки действительности в логике класса:

Переведите посылки и заключение аргумента в соответствующие предложения классовой логики. Найдите контрпример. То есть попытайтесь изобразить эти предложения в логике классов так, чтобы посылки оказались верными на диаграмме, а вывод на диаграмме оказался ложным. Если есть диаграмма, подобная этой, то эта диаграмма контрпримера показывает, что аргумент дедуктивно неверен.Однако, если все возможные диаграммы не дают контрпримера, аргумент объявляется дедуктивно действительным.

Этот метод никогда не даст неправильного ответа, если вы действительно правильно изучили все возможные схемы. Аргумент действителен, если контрпримера не существует, а не только в том случае, если вы не можете его найти. Может быть, вы не можете его найти, потому что не присмотрелись. Итак, применение метода диаграмм Венна-Эйлера рискованно, поскольку его ответ зависит от того, правильно ли вы говорите, что смотрели, и уверены, что контрпример не существует.

Чтобы увидеть эту технику в действии, давайте опробуем ее на следующем шаблоне аргумента:

Нет A — B.
Нет C — B.
Итак, нет A — C.

Вот диаграмма, которая подтверждает все предпосылки:

Ни один из кругов не пересекается и не содержится внутри другого. На этой диаграмме вывод верный. Можем ли мы сделать вывод, что шаблон аргумента действителен? Нет, не из этой информации. Вместо этого нам следовало бы поискать, чтобы убедиться, что нет диаграммы, которая делает предположения истинными, а вывод ложным.На самом деле есть такая диаграмма:

Здесь вывод неверен, когда посылки верны, что является явным признаком недействительности. Поэтому метод диаграммы объявляет шаблон аргумента недопустимым.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Используйте метод диаграммы, чтобы показать действительность этого шаблона аргумента:

Все A — B.
Все B — C.
Итак, все A — C.

Ответ

Вот способ нарисовать схему, на которой оба предположения верны

Могут быть и другие схемы помещений: разрешить окружность A равной окружности B, или для B равной C.Однако на всех возможных схемах помещений вывод на схеме оказывается верным. Итак, контрпример не может быть приведен. Следовательно, метод Венна-Эйлера объявляет этот шаблон аргумента действительным.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Используйте технику диаграмм, чтобы оценить достоверность или несостоятельность этого аргумента. Некоторые интерпретируйте как «хотя бы один, а может быть, и все».

Некоторые кошки относятся к кошачьим.
Некоторые животные относятся к кошачьим.
Итак, некоторые животные — кошки.

Ответ

Аргумент недопустимый; следующая диаграмма служит контрпримером:

Некоторые C являются F.
Некоторые A являются F.
Некоторые A являются C

Пытаясь найти логическую форму аргумента, не всегда можно сказать, следует ли искать его форму в логике класса или в логике предложений. Поэкспериментируйте, чтобы увидеть, что сработает.Некоторые аргументы имеют логические формы, которые не могут быть адекватно выражены в любом случае, и тогда для аргументации необходимо использовать более мощные логики, такие как логика предикатов.

Кроме того, некоторые аргументы являются дедуктивно действительными, хотя их достоверность не зависит от логической формы с использованием какой-либо формальной логики. Вот пример:

Джон — холостяк.
Значит, он не женат.

Действительность обусловлена ​​не только формой, но и содержанием — в частности, тем фактом, что определение холостяка подразумевает, что все холостяки не состоят в браке.Мы могли бы заставить этот аргумент быть действительным из-за его логической формы в логике класса, если бы мы могли закодировать идею о том, что все холостяки не связаны с логикой класса, и мы можем. Просто добавьте предпосылку: все холостяки не женаты. Допустимые аргументы, для которых не требуется вставка определений, называются формально действительными. Все формально верные аргументы дедуктивно действительны, но обратное неверно. Однако в нашем курсе мы не будем обращать внимания на это тонкое различие. Если вы видите, что для того, чтобы аргумент был действительным, необходимо определение, вставьте его и не беспокойтесь о том, что это показывает, что ваш аргумент дедуктивно действителен, но не формально.

Диаграммы

Венна-Эйлера используются не только для проверки достоверности. Если два предложения могут иметь одну и ту же диаграмму, то они будут логически эквивалентны в логике классов. Диаграммы также можно использовать для проверки согласованности. Если есть диаграмма, на которой каждое предложение в наборе предложений оказывается истинным, то набор составляет логически непротиворечивых .

Диаграммы Венна и Эйлера | Давайте поговорим о науке

Диаграммы Венна

Иногда мы используем картинки для рисования наборов.Один тип изображения называется Диаграмма Венна . Диаграммы Венна помогают визуально показать отношения между наборами. Обычно диаграммы Венна имеют два перекрывающихся круга. Но вы можете нарисовать диаграммы Венна с тремя или более перекрывающимися замкнутыми кривыми. Диаграммы Венна не всегда показывают, что конкретно входит в набор. Например, на картинке ниже показаны наборы K и L:

.

Диаграмма Венна множеств K и L (© 2021 Let’s Talk Science).

Каждый кружок представляет все элементы набора.Имея только картинку, вы можете задать вопросы о подмножествах , пересечении и соединении .

K L (находится ли K внутри L)? НЕТ.

L K (находится ли L внутри K)? НЕТ.

Вопросы 1: Что такое K ∩ L? (Какая область внутри обоих наборов?) Нарисуйте изображение, а затем закрасьте его. Ответы даны внизу страницы.

Диаграмма Венна множеств K и L (© 2021 Let’s Talk Science).

Вопросы 2: Что такое K ∪ L? (Какова общая площадь набора K, набора L или обоих?) Закрасьте картинку, чтобы показать свой ответ.

Диаграмма Венна множеств K и L (© 2021 Let’s Talk Science).

Попробуйте это с наборами:

E = {1, 3, 8, 9, 14, 17}

F = {0, 14, 3, 5, 10, 20}

Вопросы 3: Используйте диаграмму Венна, чтобы показать наборы E и F .

Что такое E ∩ F ?

Что такое E ∪ F ?

Кем был Венн?

Джон Венн (1834-1923) был английским логиком .Логик — это тот, кто изучает способы логического мышления. Его помнят за изобретение диаграммы, названной в его честь — диаграммы Венна.

Венн был воспитан его отцом, который был преподобным англиканской церкви. Его мать умерла, когда он был очень молод. Он поступил в Кембриджский университет, где на втором курсе получил стипендию по математике. Несмотря на то, что в школе он действительно хорошо разбирался в математике, после ее окончания он стал преподобным, как его отец и дед.

Венн никогда не переставал думать о математике. После нескольких лет религиозной работы он вернулся в Кембридж, где преподавал логику и вероятность. В 1867 году он женился, и у него родился сын — Джон. Его сын Джон в конце концов стал президентом Королевского колледжа Кембриджского университета, где вместе со своим отцом выполнял важные исследовательские проекты.

Диаграммы Венна были впервые опубликованы в 1880 году в статье под названием «О схематическом и механическом представлении предложений и рассуждений.»в» Философском журнале и научном журнале «.

Диаграммы Эйлера

Другой способ показать множества и их отношения — использовать диаграмму Эйлера . Эти диаграммы похожи на диаграммы Венна, но имеют тенденцию быть более сложными. Они часто показывают подмножества, а также пересечение и объединение. В диаграмме Эйлера размер и форма кругов / овалов не важны. Важно то, как они перекрываются или не перекрываются.

Пример диаграммы Эйлера для множеств M, N, P, Q и R (© 2021 Let’s Talk Science).

Вопрос 4:

Является ли какой-либо набор подмножеством (⊆) другого?

Если да, то какой?

Вопрос 5:

A) Цвет в N ∪ Q

Пример диаграммы Эйлера для множеств M, N, P, Q и R (© 2021 Let’s Talk Science).

B) Тень в M ∩ R

Пример диаграммы Эйлера для множеств M, N, P, Q и R (© 2021 Let’s Talk Science).

C) Цвет в P ∩ N ∩ Q

Пример диаграммы Эйлера для множеств M, N, P, Q и R (© 2021 Let’s Talk Science).

D) Тень в M ∪ P ∪ R

Пример диаграммы Эйлера для множеств M, N, P, Q и R (© 2021 Let’s Talk Science).

Возможно ли N ∩ R ? Нет! N и R не перекрываются. В теории множеств мы называем это пустым набором или пустым набором , потому что он ничего не содержит. Символ для нулевого набора — . Вот еще один пример нулевого набора:

G — количество жирафов в классе миссис Браун.B = {} =

Приложения диаграмм Венна и Эйлера

Диаграммы Венна и Эйлера полезны в самых разных контекстах. Оба типа диаграмм помогают нам визуализировать концепции и отношения. Это может помочь нам легче понять сложную информацию. Эти диаграммы используют одну и ту же структуру для представления множества различных типов контента.

Например, диаграммы Венна часто используются для решения математических задач. Представление вопроса в виде диаграммы Венна часто упрощает понимание и решение.Компании часто используют диаграммы Венна для сравнения продуктов, анализа конкурентов и принятия решений. Диаграммы Венна представляют собой множество других видов практической информации, от химии до географии. Их можно использовать даже для юмора или для представления сложных философских вопросов. Диаграммы Венна и Эйлера — простой способ представить все виды информации.

ОТВЕТОВ

Вопрос 1:

Что такое K ∩ L? (Какая область внутри обоих наборов?) Закрасьте картинку, чтобы показать свой ответ.

Пересечение множеств K и L (© 2021 Let’s Talk Science).

Вопрос 2:

Что такое K ∪ L? (Какова общая площадь набора K, набора L или обоих?) Закрасьте картинку, чтобы показать свой ответ.

Объединение множеств K и L (© 2021 Let’s Talk Science).

Вопрос 3:

Используйте диаграмму Венна, чтобы показать наборы E и F .

Пересечение и объединение множеств E и F (© 2021 Let’s Talk Science).

E ∩ F = {3, 14}

E ∪ F = {0, 1, 3, 5, 8, 9, 10, 14, 17, 20}

Вопрос 4:

Является ли какой-либо набор подмножеством (⊆) другого?

Если да, то какой?

Да, R является подмножеством P ( R P )

Вопрос 5:

A) Цвет в N ∪ Q

N ∪ Q (© 2021 Let’s Talk Science).

B) Тень в M ∩ R

M ∩ R (© 2021 Давайте поговорим о науке).

C) Цвет в P ∩ N ∩ Q

P ∩ N ∩ Q (© 2021 Let’s Talk Science).

D) Тень в M ∪ P ∪ R

M ∪ P ∪ R (© 2021 Let’s Talk Science).

    (PDF) Отрицательные члены в диаграммах Эйлера: решение Пирса

    Отрицательные члены в диаграммах Эйлера:

    Решение Пирса

    Амироуч Моктеф

    (&)

    и Ахти-Вейкко, Таллиннский технологический университет

    en,

    Эстония

    {amirouche.moktef, ahti-veikko.pietarinen}@ttu.ee

    Резюме. Обычно мы представляем класс кривой, охватывающей индивидов

    , имеющих общий атрибут. Лица, которые не имеют этого атрибута, остаются за пределами

    . Статус этого внешнего класса долгое время был предметом споров в логике

    . В современных обозначениях отрицательные термины просто выражаются обозначением

    пробелов, которые они охватывают. В этой заметке мы обсуждаем необычный (и ранее

    неопубликованный) метод, разработанный Пирсом в 1896 году для обработки отрицательных членов: в

    указывается положение терминов по форме кривой, а не по

    , помечающим пробелы.

    Ключевые слова: Отрицательный член Диаграмма Эйлера  Чарльз С. Пирс  Силлогизм

    1 Введение

    Традиционные диаграммы Эйлера впервые были введены для решения силлогистических проблем, где

    встречаются только с положительными членами [1]. Следовательно, они вряд ли поддаются обработке

    отрицательных терминов. Например, внешнее пространство, обозначающее отрицание всех терминов

    в аргументе, всегда показывается как существующее. Следовательно, без дальнейших поправок заявить о его отсутствии

    невозможно.Первые логики предложили несколько решений, чтобы преодолеть эту трудность

    . Очевидный трюк состоит в замене отрицательного члена на положительный

    при решении задачи [2: 63]. Например, предложение «Some xare not-

    y» можно просто преобразовать в «Some xare z» (с z = not-y) и, следовательно,

    представить с помощью традиционных диаграмм Эйлера. Однако этот метод работает только

    , когда в рассматриваемой задаче термин не выражается дважды с противоположными знаками.

    Другим решением могло бы стать улучшение диаграмм Эйлера, чтобы представить реальные

    отношений между членами и их противоположностями, а не только положительные члены. Этого можно достичь, представляя вселенную дискурса и, таким образом, выделяя конечное пространство

    внешней области диаграммы, если она существует, или не занимая места вообще, если она отсутствует [3: 170–4]. Преимущество

    этого решения состоит в том, что оно создает настоящие диаграммы типа Эйлера, которые не требуют дополнительных соглашений

    для их использования.Однако это решение страдает сложностью

    и множеством фигур, необходимых для решения проблем, и, таким образом,

    увеличивает риск неправильного использования диаграмм.

    Это возражение исчезает в случае диаграмм Венна, где все комбинации из

    терминов сначала представлены отсеками, а затем добавляются синтаксические знаки, чтобы пометить их

    и указать их статус [8]. Однако такие диаграммы не эйлеровы, так как

    они не представляют актуальную информацию [6].Следовательно, они выходят за рамки

    настоящей записки.

    © Springer International Publishing Switzerland 2016

    M. Jamnik et al. (Eds.): Diagrams 2016, LNAI 9781, pp. 286–288, 2016.

    DOI: 10.1007 / 978-3-319-42333-3_25

    Диаграмма Эйлера-Венна пересечения и объединения множеств. Как решать задачи с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Принцип построения графика

    Если вы думаете, что ничего не знаете о кругах Эйлера, вы ошибаетесь. На самом деле вы наверняка сталкивались с ними не раз, просто не знали, как это называется.Где именно? Кружки Эйлера легли в основу многих популярных интернет-мемов (изображения, распространяемые в сети по определенной теме).

    Давайте вместе разберемся, что это за круги, почему они так называются и почему их так удобно использовать для решения многих задач.

    Происхождение термина

    — это геометрическая схема, которая помогает находить и / или делать логические связи между явлениями и понятиями более очевидными. Это также помогает изобразить отношения между любым набором и его частью.

    Еще не очень понятно, правда? Взгляните на это изображение:

    На рисунке показано много — всевозможные игрушки. Некоторые игрушки являются конструкторами — они выделены отдельным овалом. Это часть большого набора «игрушек» и одновременно отдельный набор (ведь конструктором может быть как «Лего», так и примитивные конструкторы из кубиков для детей). Некоторой частью большого разнообразия «игрушек» могут быть заводные игрушки. Они не конструкторы, поэтому рисуем для них отдельный овал. Желтый овальный «заводной автомобиль» относится как к набору «игрушек», так и является частью меньшего набора «заводных игрушек».Поэтому он изображен сразу внутри обоих овалов.

    Ну стало понятнее? Вот почему круги Эйлера — это метод, который наглядно демонстрирует: лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Его заслуга в том, что ясность упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ.

    Автор метода — ученый Леонард Эйлер (1707-1783). Он говорил о схемах, названных его именем: «круги подходят для того, чтобы облегчить наше мышление». Эйлера считают немецким, швейцарским и даже российским математиком, механиком и физиком.Дело в том, что он много лет проработал в Петербургской Академии наук и внес значительный вклад в развитие российской науки.

    До него немецкий математик и философ Готфрид Лейбниц руководствовался аналогичным принципом при построении своих выводов.

    Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. А после него многие ученые использовали его в своей работе, а также модифицировали по-своему. Например, чешский математик Бернар Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами.

    Немецкий математик Эрнест Шредер также внес свой вклад. Но главная заслуга принадлежит англичанину Джону Венну. Он был знатоком логики и опубликовал книгу «Символическая логика», в которой подробно описал свою версию метода (в основном он использовал изображения пересечений множеств).

    Благодаря вкладу Венна этот метод даже называют диаграммами Венна или даже диаграммами Эйлера-Венна.

    Зачем нужны круги Эйлера?

    Круги Эйлера

    имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решают задачи объединения или пересечения множеств в математике, логике, управлении и многом другом.

    Если говорить о типах кругов Эйлера, то можно разделить их на те, которые описывают сочетание некоторых понятий (например, соотношение рода и вида) — мы рассмотрели их на примере в начале статьи.

    А также на тех, которые почему-то описывают пересечение множеств. Этим принципом руководствовался в своих схемах Джон Венн. И именно он лежит в основе многих популярных мемов в Интернете. Вот один из примеров таких кругов Эйлера:

    Забавно, не правда ли? А главное все сразу становится понятно.Вы можете потратить много слов, объясняя свою точку зрения, или вы можете просто нарисовать простую диаграмму, которая сразу расставит все по своим местам.

    Кстати, если вы не можете определиться, какую профессию выбрать, попробуйте нарисовать схему в виде кругов Эйлера. Возможно, такой рисунок поможет вам сделать правильный выбор:

    Те варианты, которые будут на пересечении всех трех кругов, и есть профессия, которая не только сможет вас накормить, но и порадует.

    Решение задач с помощью кругов Эйлера

    Давайте рассмотрим несколько примеров задач, которые можно решить с помощью кругов Эйлера.

    Здесь, на этом сайте — http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link\u003dkr_e.html Елена Сергеевна Саженина предлагает интересные и простые задачи, для решения которых требуется метод Эйлера. Используя логику и математику, давайте проанализируем один из них.

    Задача про любимые мультики

    Шестиклассники заполнили анкету с вопросами о любимых мультфильмах.Оказалось, что большинству из них нравились «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные штаны» и «Волк и теленок». В классе 38 учеников. 21 ученику понравились Белоснежка и семь гномов. Причем трем из них тоже нравится «Волк и теленок», шести — «Губка Боб Квадратные Штаны», а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У Волка и Теленка 13 поклонников, пятеро из которых назвали в своем профиле два мультфильма. Мы должны определить, скольким шестиклассникам нравится Губка Боб Квадратные Штаны.

    Решение:

    Так как по условиям задачи у нас есть три набора, рисуем три круга.А поскольку по ответам ребят оказывается, что наборы пересекаются друг с другом, рисунок будет выглядеть так:

    Напоминаем, что по условиям задачи среди фанатов мультфильма «Волк и теленок» пятеро детей выбрали сразу два мультфильма:

    Получается, что:

    21-3-6-1 = 11 — ребята выбрали только Белоснежку и Семь гномов.

    13-3-1-2 = 7 — ребята смотрят только Волка и Теленка.

    Осталось только выяснить, сколько шестиклассников предпочитают мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны» двум другим вариантам. Вычитаем из общего количества учеников всех тех, кто любит два других мультика или выбрал несколько вариантов:

    38 — (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 — люди смотрят только SpongeBob SquarePants.

    Теперь мы можем смело сложить все полученные числа и выяснить, что:

    мультика «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.Это ответ на поставленный в задаче вопрос.

    А еще рассмотрим задание , которое в 2011 году было вынесено на демонстрационный тест ЕГЭ по информатике и ИКТ (источник — http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

    Условия задачи:

    В языке запросов поисковых систем символ «|» используется для обозначения логической операции «ИЛИ», а символ «&» — для логической операции «И».

    В таблице указаны запросы и количество найденных на них страниц для определенного сегмента Интернета.

    Запрос Найдено страниц (в тысячах)
    Крейсер | Линкор 7000
    Крейсер 4800
    Линкор 4500

    Сколько страниц (в тысячах) будет найдено при запросе Cruiser & Battleship ?

    Предполагается, что все вопросы выполняются практически одновременно, поэтому набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменился во время выполнения запросов.

    Решение:

    С помощью кружков Эйлера изобразим условия задачи. В этом случае цифры 1, 2 и 3 используются для обозначения результирующих областей.

    Исходя из условий задачи составляем уравнения:

    1. Крейсер | Линкор: 1 + 2 + 3 = 7000
    2. Крейсер: 1 + 2 = 4800
    3. Линкор: 2 + 3 = 4500

    Чтобы найти Cruiser & Battleship (обозначенный на чертеже как область 2), подставьте уравнение (2) в уравнение (1) и выясните, что:

    4800 + 3 = 7000, откуда получаем 3 = 2200.

    Теперь мы можем подставить этот результат в уравнение (3) и выяснить, что:

    2 + 2200 = 4500, откуда 2 = 2300.

    Ответ: 2300 — количество страниц, найденных по запросу Cruiser & Battleship.

    Как видите, круги Эйлера помогают быстро и легко решать даже довольно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.

    Заключение

    Думаю, нам удалось убедить вас, что круги Эйлера — это не только занимательная и интересная вещь, но и очень полезный метод решения задач.И не только абстрактные задания на школьных уроках, но и вполне бытовые задачи. Например, выбор будущей профессии.

    Вам, вероятно, также будет любопытно узнать, что в современной поп-культуре круги Эйлера отражаются не только в форме мемов, но и в популярных сериалах. Такие как «Теория большого взрыва» и «4исла».

    Используйте этот полезный и наглядный метод для решения проблем. И обязательно расскажи об этом своим друзьям и одноклассникам. Для этого под статьей есть специальные кнопки.

    Сайт

    , при полном или частичном копировании материала ссылка на источник обязательна.

    Диаграмма Венна представляет собой перекрывающуюся круговую диаграмму, которая показывает, сколько общего у разных наборов. Для построения диаграммы Венна выделяются несколько групп объектов и помещаются в отдельные круги, при этом объекты, сочетающие свойства этих наборов, попадают в область пересечения кругов.

    Приведем простой пример. Допустим, у нас есть две группы объектов — осветительные приборы (обозначьте их в первом кружке) и энергосберегающие технологии (обозначьте их во втором кружке).В этом случае область пересечения кругов будет охватывать предметы, которые можно отнести как к первой, так и ко второй группе, то есть энергосберегающие осветительные приборы.

    Диаграммы

    Венна успешно используются в математике, логике, управлении и других прикладных областях для сравнения любых наборов и установления взаимосвязей между ними.

    Единственным недостатком таких диаграмм является то, что они могут использоваться только для определения общих качеств рассматриваемых объектов и не дают информации о количестве объектов.

    Диаграммы Венна

    : что это такое для

    Диаграммы Венна используются для сравнения исходных данных в двух случаях:

    • данные слишком сложны для понимания;
    • есть проблемы с установлением отношений между этими данными.

    Благодаря наглядной форме представления информации и простоте декодирования диаграммы Венна значительно облегчают процесс понимания и анализа сравниваемых объектов. Именно поэтому они широко используются в презентациях.

    Построение диаграммы Венна совсем несложный процесс, состоящий всего из четырех шагов:

    1. Подсчитайте группы объектов, которые вам нужно сравнить — их количество должно быть равно количеству кружков на вашей диаграмме.
    2. Немного отойдя от центра, нарисуйте первый круг. Учитывая, что каждый кружок будет содержать информацию о характеристиках рассматриваемого объекта, личности, месте и т. Д., Он должен быть достаточно большим.
    3. Нарисуйте второй круг так, чтобы он частично перекрывал первый круг.В этом случае оба круга должны быть одинакового размера. Убедитесь, что внутри области пересечения достаточно места — здесь вы отметите объекты, которые обнаруживают сходство между группами.
    4. Дайте имя каждой группе элементов и пометьте кружки.

    Чтобы лучше представить себе набор, вы можете использовать рисунок, называемый диаграммой Эйлера-Венна. Это замкнутая линия, внутри которой находятся элементы данного набора, а снаружи — элементы, не входящие в набор.

    Загрузить:

    Предварительный просмотр:

    Чтобы использовать предварительный просмотр презентаций, создайте себе учетную запись (учетную запись) Google и войдите в нее: https: // accounts.google.com

    Подписи к слайдам:

    Диаграмма Венна Знаки ∈ и ∉ Математика для 3-го класса Петерсон Л.Г.

    Любой набор A можно изобразить графически в виде замкнутой линии. Считается, что элементы множества (A) находятся внутри этой линии, а все элементы, не принадлежащие множеству (A), находятся снаружи. Это называется диаграммой Венна. a 2 m Например, диаграмму множества B = (2, m,) можно нарисовать следующим образом: B

    Знаки ∈ и ∉ a 2 m Предложение «Число 2 принадлежит множеству B» записывается короче: 2 ∈ B.Знак ∈ читается: «принадлежит». Предложение «Буква a не принадлежит множеству B» можно также записать короче: a ∉ B. Знак ∉ читается: «Не принадлежит» B

    e 8 b A 4 На рисунке показана диаграмма множества A. Какие элементы принадлежат множеству A, а какие нет? b… A e… A… A 8… A 4… A… A ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉ Прочтите полученные записи еще раз.

    Отметьте элементы d, 10, 5 на диаграмме множества C, если известно, что: ∈ C ∉ CC d ∉ C 10 ∈ C ∈ C 5 ∉ C d 10 5

    Существует множество М \ u003d (а, б, в,).Какой знак поставить: ∈ или ∉? a… M… M c… M… M… M 8… M ∈ ∈ ∉ ∉ ∉

    D — набор двузначных чисел. Являются ли числа 26, 307, 8, 940, 15, 60 элементами множества D? 26… D 8… D 15… D 307… D 940… D 60… D ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ Отметим эти числа на схеме. 26 307 8 940 15 60 Какое наименьшее и наибольшее число множества D. D = (10,…,…,… 99)

    A — много бабочек, а B — много роз. Как построить схемы наборов А и Б? Сколько бабочек принадлежит набору А? Сколько роз принадлежит набору Б? Сколько общих элементов у наборов A и B?

    Домашнее задание.Стр. 12 № 11, 12

    Диаграмма Эйлера-Венна
    — наглядный инструмент для работы с наборами. На этих диаграммах изображены все возможные множества пересечений. Количество пересечений (площадей) n определяется по формуле:

    n = 2 N,

    , где N — количество наборов.

    Таким образом, если в задаче используются два набора, то n = 2 2 = 4, если три набора, то n = 2 3 = 8, если четыре набора, то n = 2 4 = 16. Следовательно , Диаграммы Эйлера-Венна используются в основном для двух или трех множеств.

    Наборы изображаются в виде кругов (если используются 2-3 набора) и эллипсов (если используются 4 набора), помещенных в прямоугольник (универсум).

    Универсальный набор (вселенная) У
    (в контексте задачи) — набор, содержащий все элементы рассматриваемой задачи: элементы всех наборов задачи и элементы, не входящие в них.

    Пустой набор Ø (в контексте задачи) — набор, не содержащий ни одного элемента рассматриваемой задачи.

    Перекрывающиеся множества построены на диаграмме, они заключены во вселенную. Выбираются участки, количество которых равно количеству пересечений.

    Диаграммы Эйлера-Венна также используются для визуального представления логических операций.

    Рассмотрим примеры построения диаграмм Эйлера-Венна для двух и трех множеств.

    Пример 1

    Universum U = (0,1,2,3,4,5,6)

    Диаграммы Эйлера-Венна для двух наборов A и B:

    Пример 2

    Пусть будут следующие наборы чисел:

    Universum U = (0,1,2,3,4,5,6,7)

    Диаграммы Эйлера-Венна для трех наборов A, B, C:

    Определим области и номера, которые им принадлежат:

    И В С Обозначение
    участков
    Номера
    0 0 0 0)
    0
    0 0 1 1)
    7
    0 1 0 2)
    5
    0 1 1 3)
    6
    1 0 0 4)
    2
    1 0 1 5)
    1
    1 1 0 6)
    4
    1 1 1 7)
    3

    Пример 3

    Пусть будут следующие наборы чисел:

    А = (0,1,2,3,4,5,6,7)

    В = (3,4,5,7,8,9,10,13)

    С = (0,2,3,7,8,10,11,12)

    D = (0,3,4,6,9,10,11,14)

    Универсум U = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)

    Диаграммы Эйлера-Венна для четырех наборов A, B, C, D:

    Определим области и номера, которые им принадлежат:

    И В С D
    Обозначение
    участков
    Номера
    0 0 0 0
    0)
    15
    0 0 0 1
    1)
    14
    0 0 1 0
    2)
    12
    0 0 1 1
    3)
    11
    0 1 0 0
    4)
    13
    0 1 0 1
    5)
    9
    0 1 1 0
    6)
    8
    0
    1
    1
    1
    7)
    10
    1 0 0 0
    8)
    1
    1
    0
    0
    1
    9)
    6
    1
    0
    1
    0
    10)
    2
    1
    0
    1
    1
    11)
    0
    1
    1
    0
    0
    12)
    5
    1
    1
    0
    1
    13)
    4
    1
    1
    1
    0
    14)
    7
    1
    1
    1
    1
    15)
    3

    Если вы хотите решать типовые задачи комплектами, то переходите к статье.

    Wikispaces была основана в 2005 году и с тех пор используется преподавателями, компаниями и отдельными лицами по всему миру.

    К сожалению, настало время, когда нам пришлось принять трудное бизнес-решение о прекращении обслуживания Wikispaces.

    Мы впервые объявили о закрытии сайта в январе 2018 года с помощью общесайтового баннера, который отображался для всех вошедших в систему пользователей, и его нужно было щелкнуть, чтобы закрыть

    В период закрытия пользователям был показан ряд баннеров, включая баннер обратного отсчета в последний месяц.Кроме того, домашняя страница Wikispaces.com превратилась в блог, в котором подробно описаны причины закрытия. С администраторами сайтов частной торговой марки связались отдельно по поводу закрытия

    Wikispaces Tier Дата закрытия
    Окончание обслуживания Класса и бесплатных вики 31 июля 2018 г.
    Прекращение обслуживания Plus и Super Wikis 30 сентября 2018
    Окончание обслуживания Private Label Wikis 31 января 2019

    Почему закрылись Wikispaces?

    Примерно 18 месяцев назад мы завершили технический обзор инфраструктуры и программного обеспечения, которые мы использовали для обслуживания пользователей Wikispaces.В ходе обзора стало очевидно, что требуемые инвестиции для приведения инфраструктуры и кода в соответствие с современными стандартами были очень значительными. Мы изучили все возможные варианты сохранения работоспособности Wikispaces, но пришли к выводу, что продолжать работу службы в долгосрочной перспективе невозможно. К сожалению, нам пришлось закрыть сайт, но нас тронули сообщения пользователей со всего мира, которые начали создавать с его помощью вики-сайты и теперь запускают их на новых платформах.

    Мы хотели бы воспользоваться этой возможностью, чтобы поблагодарить вас за вашу поддержку на протяжении многих лет.

    Что такое диаграмма Венна и для чего она используется?

    Диаграмма Венна — полезный инструмент для математиков, учителей, статистиков и всех, кому необходимо представить визуальные эффекты или упростить понимание сложной информации. В этой статье мы обсудим диаграмму Венна, включая ее приложения, преимущества и то, как вы можете создать диаграмму для визуального представления различных концепций и сделать выводы.

    Что такое диаграмма Венна?

    Диаграмма Венна — это представление того, как группы относятся друг к другу. Группы обычно называют «наборами».

    Диаграммы Венна обычно состоят из двух-трех перекрывающихся кругов, но в зависимости от количества наборов на диаграмме может быть больше фигур. Кроме того, любой, кто делает такую ​​диаграмму, может использовать разные формы. Каждая фигура представляет собой набор чисел, предметов или понятий. Когда наборы имеют похожие значения, эти значения появляются в перекрывающихся областях, называемых «пересечениями».«

    Диаграммы Венна названы в честь английского логика Джона Венна. Эти формы в значительной степени основаны на диаграммах Эйлера, однако, в отличие от диаграмм Эйлера, диаграммы Венна предназначены для отображения всех возможных отношений между двумя или более анализируемыми группами, даже если одна или несколько наборов не имеют значений.

    Когда использовать диаграмму Венна

    Диаграммы Венна часто встречаются в математическом контексте, но предприятия и профессионалы также используют эти формы. В каждом случае человек, создающий иллюстрацию, хочет решить проблема, принять важное решение, предсказать вероятности или понять или визуализировать, как несколько наборов, концепций или объектов связаны друг с другом.Примеры, когда диаграмма Венна может быть полезной, включают:

    Математика

    Математические диаграммы Венна позволяют ученым решать сложные задачи. Вот наиболее распространенные типы математических задач, с которыми помогают диаграммы Венна:

    Задача объединения

    Задача объединения требует, чтобы учащиеся поместили все числа во все наборы на диаграмме.

    Задача пересечения

    Задача пересечения требует от учащихся размещать только те числа, которые пересекаются на диаграмме.Например, если задача дает набор из трех чисел (1, 15 и 27) и набор из семи чисел (1, 3, 14, 19, 21, 25 и 27), на диаграмме появятся только 1 и 27. , на пересечении кругов.

    Симметричная проблема

    Симметричная разность двух наборов требует, чтобы на иллюстрации были представлены только числа, которые не перекрываются.

    Абсолютная проблема

    Абсолютное дополнение одного набора требует, чтобы все числа, не входящие в этот набор, были представлены на диаграмме.

    Связано: дедуктивное рассуждение: определение и примеры

    Business

    На многих деловых встречах диаграммы Венна используются, особенно как часть слайд-шоу. Вот сколько предприятий могут использовать диаграммы:

    Анализ рынка

    Бизнес-лидер может использовать диаграмму Венна для базового анализа рынка. Используя два или более набора информации, участники собрания смотрят на пересекающиеся области, поскольку эти области содержат целевой рынок бизнеса.

    Анализ конкурентов

    Компании могут использовать диаграммы Венна для сравнения себя и / или своей продукции с конкурентами. Во многих случаях бизнес, использующий диаграмму Венна, может использовать только два набора информации, чтобы увидеть, чем они отличаются от конкурентов, и найти какие-либо сходства. Это помогает бизнесу узнать, какие преимущества у него уже есть, и сосредоточиться на областях, в которых они могут внести улучшения.

    Сравнение продуктов

    В качестве альтернативы, бизнесмен может создать иллюстрацию с перекрывающимися формами, чтобы взвесить преимущества двух или более идей продукта.Точно так же, как бизнес анализирует рынок, бизнесмен взвешивает любые различия и сходства, которые разделяют две или более идей, чтобы определить, какие характеристики продукта являются наиболее желательными, как показано в пересекающихся областях.

    Принятие решений

    Те же принципы анализа двух или более продуктовых идей применимы к общему процессу принятия решений в бизнесе.

    Связано: Как анализ данных может улучшить процесс принятия решений

    Другое применение

    Диаграммы Венна также используются в информатике, лингвистике, логике, статистике и обучении:

    • Ученые-информатики используют диаграммы Венна для визуализации компьютера языки и их иерархии.
    • В лингвистике люди, использующие эти иллюстрации, пытаются понять сходство разных языков.
    • В логике кто-то может использовать эти иллюстрации для прохождения логических операторов, которые содержат союзы «или» и «и», чтобы проверить правильность этих аргументов. Там, где стоит «и», идеи пересекаются.
    • Статистики могут использовать диаграммы Венна для сравнения возможных событий и прогнозирования вероятности их возникновения.
    • Учителя могут использовать диаграммы, чтобы помочь учащимся улучшить понимание прочитанного.При анализе романов диаграммы Венна позволяют учащимся понять различия и сходства между персонажами, идеями, темами и обстановкой, а также другими элементами этих историй.

    Связано: Индуктивное мышление: определение и как его использовать

    Преимущества диаграммы Венна

    Диаграмма Венна дает следующие преимущества:

    Она позволяет людям визуализировать концепции и отношения.

    Иногда людям необходимо визуализировать концепции, чтобы лучше понять их, даже если идеи просты.Например, если два продукта, такие как автомобили, имеют в общей сложности 20 функций, но 10 различных функций, иллюстрация может позволить людям узнать, какие функции у автомобилей общие, быстрее, чем в устном обсуждении.

    Он превращает сложную информацию в понятные людям термины.

    Это верно, когда люди смотрят статистику или когда они рассматривают различные темы в истории. Часто диаграммы Венна используют отдельные слова или краткие идеи для представления сложных мыслей.В зависимости от объема доступных данных людям может потребоваться иллюстрация, чтобы лучше обрабатывать всю эту информацию.

    Помогает людям лучше запоминать информацию.

    Многие диаграммы Венна красочны, а цвет позволяет людям ассоциировать идеи с используемыми цветами. В других случаях простое действие по созданию диаграммы Венна и заметок позволяет людям усвоить информацию и легко вспомнить концепции.

    Типы диаграмм Венна

    Существует множество типов диаграмм Венна, которые можно использовать для выражения идей или анализа данных.Вот несколько типов:

    Диаграммы Венна

    Когда Венн задумал свою диаграмму, он начал с двух симметричных замкнутых кривых (кругов), но он разрешил диаграммы с тремя или более формами:

    • Два круга диаграмма. Двухкружная диаграмма Венна показывает взаимосвязь между двумя наборами информации. Два круга обычно пересекаются по вертикали, поэтому одна фигура находится слева, а другая — справа.
    • Трехкружная диаграмма. Его трехкружная диаграмма показывает взаимосвязь между тремя группами информации. Обычно два набора ориентированы так, как если бы были доступны только два набора информации. Третий набор пересекает два других по горизонтали (вверх или вниз).
    • Четырехкружная диаграмма. Его четырехугольная диаграмма потеряет симметрию, и пересечение всех форм станет возможным. Венн придумал схему из четырех фигур, включающую три круга и изогнутую форму. В качестве альтернативы он построил диаграмму с четырьмя эллипсами.

    Помимо четырех наборов, Венн построил наборы, в которых каждая последующая кривая будет переплетаться с предыдущими кривыми, пересекаясь с исходными тремя наборами.

    Диаграмма Бранко Грунбаума

    Математик Бранко Грумбаум создал диаграмму Венна с пятью наборами:

    • Диаграмма содержит конгруэнтные осесимметричные эллипсы.
    • Все формы встречаются на большом пересечении.
    • Есть 25 небольших перекрестков.

    Всего на диаграмме Бранко Грумбаума Венна 31 регион.Некоторые математики экспериментируют с ним и помещают числа во все области так, чтобы сумма во всех пяти наборах (A, B, C, D и E) была одинаковой.

    Диаграммы Эдвардса-Венна

    Британский статистик Энтони Уильям Фэйрбэнк Эдвардс создал серию диаграмм, состоящих из трех или более наборов:

    • Диаграмма с тремя наборами. Его трехкомпонентная диаграмма имеет два прямоугольника, пересекающих круг под прямым углом (один прямоугольник ориентирован горизонтально, а другой — вертикально).
    • Четырехнаборная диаграмма. Его диаграмма с четырьмя наборами включает форму, которая похожа на шов теннисного мяча и лежит вокруг центра круга. По длине форма шва тянется вертикально.
    • Диаграмма из четырех элементов плюс. Помимо четырех наборов, Эдвардс допустил последовательные формы зубчатых колес, каждая из которых удваивает количество зубцов по сравнению с предыдущей формой. Каждая из этих форм покоится в центре вселенной.

    Как создать диаграмму Венна

    Вы можете создать диаграмму Венна, выполнив следующие действия:

    1.Установите параметры вашего анализа.

    Сначала вам может потребоваться задать себе несколько вопросов. Во-первых, определите, какова ваша цель, например, принять важное решение или понять сложные темы. Затем определите, сколько понятий или наборов идей, чисел или объектов будет задействовано. Затем определите тип диаграммы Венна, которую нужно создать, установив, как вы хотите показать взаимосвязь каждого набора друг с другом.

    2. Создайте свою вселенную.

    Как только вы узнаете, что вы хотите делать со своей диаграммой Венна, создайте область или «вселенную», которая обычно представляет собой прямоугольник, в котором будут располагаться все остальные формы.Убедитесь, что другие формы перекрываются, чтобы вы могли найти возможные отношения между наборами.

    3. Промаркируйте все свои наборы.

    Выбранные вами имена наборов должны отражать простые или упрощенные идеи, которые относятся ко всем данным в каждом наборе. Например, если вы сравниваете двух персонажей из романа, вы должны использовать имена персонажей для обозначения наборов. В математике наборы обычно имеют отдельные буквы (например, A, B, C и т. Д.), Которые служат метками для наборов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.