Площадь треугольника задачи: Задачи на нахождение площади треугольника

Содержание

Задачи на нахождение площади треугольника

Для нахождения площади треугольника используют несколько формул. Первый способ. Чтобы найти площадь треугольника, нужно сторону умножить на высоту, проведенную к этой стороне, и полученное произведение поделить на два. То есть если сторона треугольника равна \(a\), а длина высоты, проведенной к этой стороне — \(h\), то имеет место формула:

$$
S = \frac{1}{2}ah
$$

Задача. Найти площадь треугольника, если его основание равно 5 см, а высота, проведенная к основанию 6 см.

Решение задачи:

Инструкция. Для вашего примера введите ваши данные в математическом блокноте ниже. Если данные будут введены не верно, то появится сообщение об ошибке. Чтобы восстановить исходный пример просто перезагрузите страницу (клавиша F5). После ввода данных в строку следует нажать клавишу «Enter» для выполнения вычислений.

Второй способ. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. То есть если известны длины двух сторон треугольника, которые равны \(a\) и \(b\), а также угол \(\alpha\) между этими сторонами, то искомая площадь:

$$
S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(\alpha)
$$

Задача. Найти площадь треугольника, если известны длины двух его сторон 4 см и 5 см соответственно, а угол между этими сторонами равен 30°.

Решение задачи:

Третий способ. Если известны длины всех трех сторон треугольника \(a\), \(b\) и \(c\), для нахождения площади нужно воспользоваться формулой Герона:

$$
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},
$$

где \(p\) — полупериметр, \(p = \frac{a+b+c}{2}\).

Задача. Чему равна площадь треугольника, если его стороны равны 3 см, 4 см и 5 см соответственно?

Решение задачи:

Четвертый способ. Для нахождения площади треугольника, нужно радиус \(r\) вписанной в этот треугольник окружности умножить на полупериметр \(p\) треугольника:

$$
S = pr
$$

Задача. Найти площадь треугольника, если его периметр равен 14 см, а радиус вписанной окружности равен 3 см.

Решение задачи:

Пятый способ. Чтобы найти площадь треугольника со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\), необходимо произведение этих сторон поделить на четыре радиуса \(R\), описанной около треугольника окружности:

$$
S = \frac{abc}{4R}
$$

Задача. Известно, что стороны треугольника равны 5 см, 6 см и 8 см, а радиус описанной около треугольника окружности равен 4 см. Найти площадь треугольника.

Решение задачи:


2016-05-17 • Просмотров [ 19324 ]

Как найти площадь треугольника: прямоугольного, равнобедренного и тд

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон, образованных путем соединения трех точек на плоскости, не принадлежащих одной прямой.

Общие формулы расчета площади треугольника

1.

По основанию и высоте

Площадь (S) треугольника равняется половине произведения его основания и высоты, проведенной к нему.

2. Формула Герона

Для нахождения площади (S) треугольника необходимо знать длины всех его сторон. Считается она следующим образом:

p – полупериметр треугольника:

3. Через две стороны и угол между ними

Площадь треугольника (S) равняется половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь (S) фигуры равняется половине произведения его катетов.

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь (S) рассчитывается по следующей формуле:

Площадь равностороннего треугольника

Чтобы найти площадь правильного треугольника (все стороны фигуры равны), необходимо воспользоваться одной из формул ниже:

1.

Через длину стороны

2. Через высоту

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь треугольника, если одна из его сторон равна 7 см, а высота, проведенная к ней – 5 см.

Решение:
Используем формулу, в которой участвуют длина стороны и высота: S = 1/2 * 7 см * 5 см = 17,5 см2.

Задание 2
Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 3, 4 и 5 см.

Решение 1:
Воспользуемся формулой Герона. Полупериметр (p) = (3+4+5)/2 = 6 см. Следовательно, S = √6(6-3)(6-4)(6-5) = 6 см2.

Решение 2:
Т.к. треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – это прямоугольный треугольник, его площадь можно посчитать по соответствующей формуле: S = 1/2 * 3 см * 4 см = 6 см2.

Площадь треугольника. Решение задач на нахождение площади треугольника

Тема: Площадь треугольника.

Цель: Ознакомить учащихся с площадью треугольника.

Задачи: 1. Повторение материала (понятие треугольника, виды треугольников, свойства прямоугольного, равнобедренного и равностороннего треугольников).

2. Развитие коммуникативности обучения (умение правильно поставить вопрос).

3. Воспитание культуры общения.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы работы: индивидуальная, работа в парах, групповая.

Методы работы: словесные, наглядные, практические.

Оборудование: модели треугольников, индивидуальные карты.

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Подготовка к изучению нового материала.

  3. Изучение нового материала (осмысливание).

  4. Проверка и понимание (сравнение чего-либо со старым материалом).

  5. Итог урока (рефлексия).

Ход урока.

  1. Организационный момент.

  2. Подготовка к изучению нового материала. (Новые подходы в преподавании и обучении).

Вопросы классу: 1. Дайте определение треугольника.
2. Назовите виды треугольников. Их определение.
3. Назовите свойства прямоугольного, равнобедренного и равностороннего треугольников.

Проблемная ситуация: (Обучение критическому мышлению).

Найдите площадь треугольников, представленных на рисунке:

прямоугольный

равнобедренный

равносторонний

произвольный

S= ½ ав

S=½АС·СВ

S=(а/4) √4в2 –а2

S=(АС/4)·

√4ВС2 –АС2

S= (а2 √3)/4

S= (АВ2 √3)/4

S=½ав sinφ

S=½ АВ·АС·

sinА

Р=(а+в+с)/2

S=√р(р-а)(р-

-в)(р-с)

  1. Изучение нового материала (осмысливание). (Обучение талантливых и одаренных детей, управление и лидерство в обучении).

(В форме диалоговой беседы, используя модели треугольников, помощь сильных учеников).

Площадь треугольника равна половине произведении его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. (основная формула).

S = ½ аhа.

S = ½ АС∙ВД.

а) Нахождение площади прямоугольного треугольника через площадь прямоугольника.

б) Нахождение площади равнобедренного треугольника через основную формулу.

в) Нахождение площади равностороннего треугольника через основную формулу.

г) Нахождение площади произвольного треугольника по формуле (рассматривается 2 случая).

Формулы площадей треугольников записываются в таблицу.

  1. Проверка и понимание (сравнение чего-либо со старым материалом). (Преподавание и обучение в соответствии с возрастными особенностями учеников).

а) Работа с текстом учебника,
б) Решение задач по готовым чертежам. (на карточках). (Работа в парах сильный ученик и средний или слабый)

Рисунок к задаче

Условие задачи.

Решение задачи, ответ.

1

Дано: ∆ АВС прямоугольный.АС=12см, СВ=5см.

Найти: S∆.

S∆.=1/2 *12*5=30 см2.

2

Дано: ∆ АВС равнобедренный.АС=8см, СВ= АВ=10см.

Найти: S∆.

S∆.=2*√336= 8√21 см2.

3

Дано: ∆ АВС равносторонний.

АС=6см.

Найти: S∆.

S∆.=(36*√3)/4=9 √3 см2.

4

Дано: ∆ АВС произвольный. АС=9см, АВ=7см, СВ=8см.

Найти: S∆.

Р=(7+8+9)/2=12 см

S∆.=√12*5*4*3=12√5 см2.

5

Дано: ∆ АВС произвольный.АС=20см, АВ=15см,

Найти: S∆.

S∆.=1/2*20*15*1/2= 75 см2

Рефлексия урока.

1-меня заинтересовало…, 2-я хочу знать больше…, 3-мне это не нужно…,

4-мне это не приемлемо…, 5-я буду использовать эти знания… .

Я сегодня на уроке работал в _______________________________________ ,

и оценил свою работу на оценку «_____».

5. Оценивание ответов учащихся. (Оценивание для обучения и оценивание обучения).

Задание на дом. п. 20, № 233, № 236(1).

Итог урока (рефлексия) Стратегия пяти пальцев: 1-меня заинтересовало…, 2-я хочу знать больше…, 3-мне это не нужно…, 4-мне это не приемлемо…,
5-я буду использовать эти знания….

Тема: Решение задач на нахождение площади треугольника.

Цель: Закрепить и обобщить знания по нахождению площади треугольника.

Задачи: 1. Закрепление, повторение и применение формул при решение задач.

2. Развитие мышление (умение делать анализ, логическая цепочка).

3. Воспитание интереса к предмету.

Тип урока: Урок повторение и закрепление изученного материала.

Формы работы: Индивидуальная, работа в микрогруппах.

Методы работы: словесный, наглядный и эвристический – усвоение знаний и умений путем рассуждений, требующих догадки, поиска, находчивости.

Оборудование: модели треугольников, оценочные листы, компьютер, интерактивная доска, школьные принадлежности, стики для определения рефлексии.

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний (проверка домашнего задания).

  3. Опрос – повторение ранее изученного материала.

  4. Закрепление.

  5. Итог урока (рефлексия).

Ход урока:

  1. Организационный момент.

Актуализация знаний (проверка домашнего задания). (Использование ИКТ в преподавании, оценивание для обучения и оценивание обучения, обучение критическому мышлению).

  1. Опрос по теме прошлого урока и проверка домашних задач.

А) Математический диктант: (в форме «да-нет-ки»). Использую компьютер.

Показываю заранее заготовленные формулы площадей треугольников и называю вид треугольника. Задание: сопоставить вид треугольника с формулой. (5 заданий). Ответы в презентации.

Б) Предлагаю проверить свои знания по ключам ответов. Оценка записывается в оценочный лист за первое задание.

В) Проверка №№ 233, 236 (1) – по готовым чертежам – объяснить решение. Оценка за выполнение домашних задач заносится в оценочный лист.

Решение задач:

№ 233. S∆.= 1/2 * 34,5*12,6 = 217,35 дм2 . Ответ: 217,35 дм2.

№ 236 (1). h = √20 = 2√5 см.

S∆.= 1/2*8*2√5 = 8√5 см2. Ответ: 8√5 см2.

  1. Опрос – повторение ранее изученного материала. Решение задач.

(Преподавание и обучение в соответствии с возрастными особенностями учеников).

Использую компьютер Решение задач в тетради, можно с одним рисунком решить первые три задачи. (кратким решением). Оценку за работу – в оценочный лист, но ставят только те, кто решал у доски или помогал с места.

Решение задач:

№ 1. S∆.= 1/2*7*11 = 38,5 см2.

№ 2. h — ? h = (2 S∆)/а = (2*37,8)/2 = 5,4 см.

№ 3. а — ? а = (2 S∆)/ h = (2*12)/3√2 = 4√2 см.

№ 4. S∆.= 1/2*16*11 = 88 см2. h = 88 : 22 = 4 см.

  1. Закрепление. (Новые подходы в преподавании и обучении).

А) Практическая работа. Задание: по моделям треугольника найти его площадь. Оценить свою работу и выставить себе за работу оценку в оценочный лист.

В) Решение задач по учебнику № 245(2), № 246 (у доски и в тетрадях) – оценки выставляются по критерии оценивания, но оценки себе ставят только те, которые работали у доски или помогали с места.

Решение задач:

№ 245(2). Р = (5 + 6 + 9)/2 =10 см

S∆.= √10*5*4*1 = 10√2 см2

№ 246. Р = (25 + 29 + 36)/2 = 45 см

S∆.= √45*20*16*9 = 360 см2

h = (2 S∆)/а = (2*360)/25 = 28,8 см.

5. Оценивание ответов учащихся.

Задание на дом: повторить все формулы для нахождение площади треугольников, определение и свойства всех треугольников, подумайте о плюсах и минусах площадей фигур.

П.20. № 247.

Итог урока (рефлексия). Метод светофора: красный – не понравился, зеленый – все понравилось, желтый – неточный ответ.

Тема: Площади треугольников.

Цель: Углубить и закрепить знания по формулам площади треугольников через творческую работу учащихся.

Задачи: 1. Систематизировать умение применения формулы для решения задач.

2. Развитие логического мышления и творческих способностей.

3. Воспитание культуры общения, понимание определенной среды.

Тип урока: Урок повторение и закрепление изученного материала.

Формы работы: Групповая.

Методы работы: репродуктивный, проблемно – поисковый.

Оборудование: модели треугольников, готовые рисунки для устной работы, карточки с условием задания.

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний (проверка домашнего задания).

  3. Опрос – повторение ранее изученного материала.

  4. Закрепление.

  5. Итог урока (рефлексия).

Ход урока:

  1. Организационный момент. Класс разделить на 3 группы.

  1. Актуализация знаний. (Новые подходы в преподавании и обучении). Проверка решения домашней задачи по готовому чертежу.

  2. Опрос – повторение ранее изученного материала. (Преподавание и обучение в соответствии с возрастными особенностями учеников).

Даете определение треугольника. Назовите его элементы. Назовите основную формулу нахождения площади треугольника.

  1. Закрепление. Показ фильмов. «Барашек». (Использование ИКТ преподавании).

А) Творческая работа: (Управление и лидерство в обучение, новые подходы в преподавании и обучении, Обучение талантливых и одаренных детей). Подготовить проект по различным видам треугольникам.

( 1 группа – прямоугольный, 2 – равнобедренный, 3 — произвольный).

По вопросам:

        1. Дайте определение прямоугольного треугольника. Назовите свойства прямоугольного треугольника. Назовите формулу нахождения площади прямоугольного треугольника.

        2. Дайте определение равнобедренного (равностороннего) треугольника. Назовите свойства равнобедренного (равностороннего) треугольника. Назовите формулу нахождения площади равнобедренного (равностороннего) треугольника.

        3. Дайте определение произвольного треугольника. Назовите свойства произвольного треугольника. Назовите формулу нахождения площади разностороннего треугольника.

Б) Показ фильмов. «Дети». (Использование ИКТ в преподавании, управление и лидерство в обучение, новые подходы в преподавании и обучении).

Задание группам: 1 группа «адвокаты» раскрывает и защищает все плюсы треугольника и его площади; 2 группа «прокуроры» находит все минусы треугольника и его площадь; 3 группа «судьи» выносят окончательный вердикт по плюсам и минуса треугольников и их площадей.

В) Решение логической задачи: «Из треугольника-многоугольник».

Итог урока (рефлексия). Бочка с заморочками (или ящик с пожеланиями): отдельно на листочках записывают + и – урока.

  1. Задание на дом: п. 20 № 254. .

Подготовить 3 вопроса по данной теме.

Тема: Решение задач и тестовых измерителей.

Цель: Проверка и контроль знаний по данной теме.

Задачи: 1. Применения формулы для решения задач.

2. Развитие умение работать самостоятельно.

3. Воспитание культуры учебного труда, толерантности.

Тип урока: Урок учета и контроля знаний..

Формы работы: Групповая, индивидуальная.

Методы работы: Устный и письменный контроль.

Оборудование: Модели треугольников для устного решения, индивидуальные карточки с условиями задач, тестовые измерители.

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний (проверка домашнего задания). Проверка и понимание применения формулы для нахождения площади треугольников.

  3. Самостоятельная работа (решение тестовых заданий).

  4. Итог урока (рефлексия).

Ход урока:

  1. Организационный момент.

  2. Актуализация знаний (Новые подходы в преподавании и обучении). (проверка домашнего задания).

Объяснение решения домашней работы по чужой тетради или обменом тетрадей. (Оценивание для обучения и оценивание обучения).

  1. Проверка и понимание применения формулы для нахождения площади треугольников. (Обучение талантливых и одаренных детей).

Сильные ученики решают индивидуальные задачи, чуть сложнее, и в это время вопросы по повторению адресую любому в классе.

Решение задач. (Преподавание и обучение в соответствии с возрастными особенностями учеников).

(из учебника и дополнительного материала.)

№ 234 (1 – 1,3 группы; 2 – 2,4 группы),

№ 250 (1).

Оценивания с помощью критерии.

Консультанты решают со своими ребятами задачу № 243. И в это время средний ученик решает задачу у доски № 250 (1).

№ 243

1) h — ? h = (2 S∆)/а = (2*36)/12 = 6 см.

2) а — ? а = (2 S∆)/ h = (2*36)/4 = 18 см.

Ответ: 6 и 18 см.

№ 250 (1).

а = 12, в = 8,4, угол = 30 º.

S∆.= 1/2*12*8,4*1/2 = 25,2 см2

Ответ: 25,2 см2

0) (П. с решением) Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см2 .

Найдите катеты, если отношение их длин равно 7/12.

Решение: 7х*12х=168, 84х=168, х=2 см. 1 катет= 2*7=14см,

2 катет= 12*2=24 см. Ответ: 14 см, 24 см.

1) (У) Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 12 и 13 см. Найти площадь треугольника.

Решение:

в = √169 — 144 = √25 = 5см.

S = 1/2*12*5 = 30 см2 .

Ответ: 30 см2

2) (У.) Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 10 см.

Площадь треугольника равна.

Решение: S = 1/2*8*10 = 40 см2 .

Ответ: 40 см2

3) (У) Две стороны треугольника равны 8 см и 15 см, а угол между ними 60º.

Найти площадь треугольника.

Решение: S = ½ *8*15 * √3/2 = 30 √3 см 2 .

Ответ: 30 √3 см 2 .

4) (У) Сторона равностороннего треугольника равна 6 см. Найдите площадь.

Решение: S = 36 √3/4 = 9 √3см2 .

Ответ: 9 √3см2.

.

  1. Самостоятельная работа.

(Новые подходы в преподавании и обучении).

Решение тестовых заданий.

1. Если стороны треугольника 4 см, 6 см, 6 см, то его площадь равна:

А) 80 √2 см 2, В) 18 см 2, С) 24 см 2, Д) 8 √2 см 2.

2. В треугольнике АВС угол ВАС=30º . Если АВ=3 см, АС=8 см, то площадь треугольника АВС равна:

А) 6 √3 см 2, В) 6 см 2, С) 12 см 2, Д) 12 √3 см 2.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны. Найдите их длину, если площадь треугольника равна 20 см2 .

А) 5 см , В) √10 см , С) 4√10 см , Д) 2 √10 см .

4. Если стороны треугольника равны 5 см, 6 см, 9 см, то его площадь равна:

А) 10 √2 см 2, В) 10 см 2,

С) 20 см 2, Д) 6 √2 см 2.

5. Две стороны треугольника 16 см и 10 см, площадь 40 см 2 , тогда высоты, опущенные на эти стороны равны:

А) 5 см и 4 см , В) 2,5 см и 4 см ,

С) 5 см и 8 см , Д) 2,5 см и 8 см.

Сдав работы, ученики проверяют решение (ответы на доске). (Оценивании для обучения и оценивания обучения).

1-Д) 2-В) 3- Д) 4-А) 5-С)

Критерий: «3» — 3 зад., «4» — 4 зад., «5» — 5 зад..

Задание на дом.п.20, № 237 (2), № 241 (1).

Итог урока (рефлексия).

Вовлечение учеников к выставление оценок в группах. Три звезды и одно пожелание (предложение).

8 класс. Геометрия. Площадь. Площадь треугольника и трапеции. — Повторение темы «Площадь». Решение задач.

Комментарии преподавателя

Повторение темы «Площадь». Решение задач

1. Повторение теоретической части главы «Площадь»

Вначале уделим внимание тому, что вспомним все основные теоремы, формулы и факты, полученные нами при изучении главы «Площадь», и акцентируем внимание на их особенностях. Затем рассмотрим сложный пример на комплексное применение нескольких из упомянутых фактов, касающихся площадей фигур.

1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны (см. Рис. 1). .

Рис. 1. Квадрат

2. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон (см. Рис. 2).  .

Рис. 2. Прямоугольник

          3. Площадь параллелограмма равна произведению основания на опущенную на него высоту (см. Рис. 3). .

Рис. 3. Параллелограмм

4. Площадь произвольного треугольника равна половине произведения основания на опущенную на него высоту (см. Рис. 4). .

Рис. 4. Произвольный треугольник

5. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (см. Рис. 5). .

Рис. 5. Прямоугольный треугольник

6. Если у двух треугольников высоты равны (), то их площади относятся, как основания (см. Рис. 6). . Полезный факт, необязательный к изучению.

Рис. 6

7. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (см. Рис. 7).  .

Рис. 7

8. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей (см. Рис. 8). . Однако, поскольку ромб является частным случаем параллелограмма, то его площадь можно находить и по формуле площади параллелограмма.

Рис. 8. Ромб

9. Если у двух треугольников равны углы (), то их площади относятся, как произведение сторон, заключающих данные углы (см. Рис. 9). . Полезный факт, не обязательный к изучению.

Рис. 9

10. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту (см. Рис. 10). .

Рис. 10. Трапеция

11. Теорема Пифагора. Для прямоугольного треугольника с катетами  и  и гипотенузой  квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов  (см. Рис. 11).

Теорема, обратная теореме Пифагора. Для всякой тройки положительных чисел , такой, что , существует прямоугольный треугольник с катетами  и гипотенузой .

Рис. 11

12. Формула Герона. Применяется для нахождения площади треугольника, если известны длины его сторон (см. Рис. 12). , где  полупериметр треугольника.

Рис. 12

2. Рассмотрение сложного примера

Пример 1. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 м и 8 м проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить площади образовавшихся треугольников.

Решение. Изобразим Рис.13.

Рис. 13

Нам известно:  высота в .

Найдем по теореме Пифагора гипотенузу треугольника: .

Для того чтобы в дальнейшем выразить высоту треугольника, вычислим его площадь с помощью катетов: . Выразим высоту треугольника  из формулы площади произвольного треугольника: .

Рассмотрим треугольник  (первый из тех, на которые высота разбила треугольник ). Его площадь как прямоугольного . Поскольку сторона  не известна, найдем ее по теореме Пифагора: . Тогда .

Площадь треугольника  (второго из тех, на которые высота разбила треугольник ) можно найти аналогично либо путем вычитания из площади треугольника  площади треугольника . Но воспользуемся тем же методом, который мы уже применяли в этой задаче.  прямоугольный, следовательно, . Найдем : . Тогда .

Ответ: ; .

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/povtorenie-temy-ploschad

http://www. youtube.com/watch?v=Zw9Vm3gDOno

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/96-test-po-geometrii-8-klass-obobshchenie-temy-ploshchad-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/97-test-po-geometrii-8-klass-obobshchenie-temy-ploshchad-variant-2.html

http://www.uchportal.ru/_ld/105/10586_zad_ploschadi.rar

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJh2OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

 

 

Площадь треугольника. Решение задач.

Решение задач по теме: «Площадь треугольника»

8 класс

5

Повторение:

1.

Дано:

Найти:

C

B

4

А

D

6 см

Устная работа

ABCD – параллелограмм

Найти площадь АВСD.

В

С

А

D

К

10 см

5 см

Устная работа.

С

В

D

А

8 см

ABCD – параллелограмм. Найти S ABCD .

Устный опрос

  • Сформулировать теорему о площади параллелограмма;
  • Сформулировать теорему о площади треугольника;
  • Чему равна площадь прямоугольного треугольника?
  • Если высоты двух треугольников равны, то как относятся их площади?
  • Если основания двух треугольников равны, то как относятся их площади?
  • Если в треугольниках есть пара равных углов, то как относятся их площади?

8см

Дано :

Решить задачу:

Найти:

B

30 0

А

С

9см

А

Решить задачу:

Дано:

45 0

Найти:

B

4

С

Дано:

Решить задачу:

Найти:

B

C

К

5

4

D

А

Дано:

Решить задачу:

Найти:

B

135 0

C

А

8см

7см

D

Дано:

Решить задачу:

Найти:

B

D

6см

C

А

8см

Дано:

Решить задачу:

Найти:

B

100 0

9

50 0

А

С

12

9см

Дано:

Решить задачу:

Найти:

B

30 0

C

А

D

Дано:

Найти:

Решить задачу:

B

45 0

C

А

D

6

3

Дано:

Решить задачу:

Найти:

B

10

45 0

C

А

D

6

8

Дано:

Найти:

Решить задачу:

В

30 0

10

D

75 0

C

А

Презентация «Решение задач на вычисление площади треугольника»

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

Решение задач потеме: «Площадь треугольника». Урок геометрии в 8 классе

Номер слайда 2

Основные свойства площадей фигур

Номер слайда 3

1. Две стороны треугольника равны 9 см и 12 см, а угол между ними 30°. Найдите площадь треугольника.30°9 см 12 см. S = a·h/2ahа = 12 см, h = 9:2 = 4,5см (h- катет против угла в 30°)S = 12 · 4,5 : 2 = 27 см²

Номер слайда 4

2. Дано: AO = 4; ВО = 9; СО = 5; DO = 8. SAOC = 15. Найти: SBOD. OACDB4958 SAOCSBOD=AO · СО DO · ВО 15 SBOD=4 · 5 8 · 9 SBOD = 27 СМ²

Номер слайда 5

3. В треугольнике ABC ∟А = 45°, ВС = 10 см, а высота ВD делит сторону АС на отрезки AD = 6 см, DC = 8 см. Найдите площадь треугольника и высоту, проведенную к стороне ВС. АВСDh20 см6 см8 см45°SABC = AC·BD/2∆ABD – прямоугольный и равнобедренный, BD = 6см. SABC = 14 · 6 :2 = 42 см². AH = 42 · 2 : 10 = 8,4 см

Номер слайда 6

OACDB==4. Дано: OB = AO, OC = 2 OD, SAOC = 12 см²Найти: SBOD. SAOCSBOD=AO · СО DO · ВО 12 SBOD=AO · 2 ОD DO · ВО SBOD = 6 см²

Номер слайда 7

5. В треугольнике ABC ∟А = 75°, ∟В = 30°, АВ = 10 см. Найдите площадь треугольника АВС75°30°10 см. HSABC = AB·CH/2∆ABС –равнобедренный, АВ = ВС. CH = BC : 2 = 5 см. SАВС = 5 · 10 : 2 = 25 см²

Номер слайда 8

==ОАВСD6. Дано: OA = AB, AC ║ BD. Доказать: SOBC = SOAD. SOВCSОАD=OВ · ОС OА · ОD OC = CD (по теореме Фалеса),значит OD = 2 OC, OB = 2 OA. SOВCSОАD=2 OА · ОС OА · 2 ОС= 1

Треугольник. Площадь треугольника. Математика, 5 класс: уроки, тесты, задания.








1.

Свойство сторон треугольника


Сложность:
среднее

3


2.

Площадь прямоугольного треугольника


Сложность:
среднее

2


3.

Площадь треугольника


Сложность:
сложное

1


4.

Определение периметра равностороннего треугольника


Сложность:
сложное

2


5.

Сколько маленьких треугольников?


Сложность:
сложное

5


6.

Определение площади, состоящей из треугольников


Сложность:
сложное

6

Площадь треугольника — предалгебра

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Площадь треугольника Формула, примеры, картинки и интерактивные практические задачи. Найти базу иногда непросто, но ..

Площадь треугольника всегда равна половине произведения высоты и основания.

$
Площадь = \ frac {1} {2} (базовая \ cdot высота)
$

Так с какой стороны база?

Выведение площади треугольника из прямоугольника

Пример 1

Какова площадь изображенного ниже треугольника?

Покажи ответ

Используйте формулу выше.

$$
A = \ frac {1} {2} (базовая высота \ cdot)
\\
A = \ frac {1} {2} (10 \ cdot 3)
\\ = \ frac {1} {2} (30)
\\ = \ frac {30} {2} = 15
$$

Найдите площадь каждого треугольника ниже.Округлите каждый ответ до ближайшей десятой доли.

Проблема 1

Какова площадь треугольника на следующем рисунке?

Покажи ответ

Чтобы найти площадь треугольника слева, подставьте основание и высоту в формулу для площади.

$$
Площадь = \ frac {1} {2} (базовая \ cdot высота)
\\ = \ frac {1} {2} (3 \ cdot 3)
\\ = \ frac {1} {2} (9)
\\ = \ frac {9} {2}
\\ = 4.5 \ text {дюймы в квадрате}
$$

Проблема 2

Вычислите площадь изображенного ниже треугольника.

Покажи ответ

Чтобы найти площадь треугольника слева, подставьте основание и высоту в формулу для площади.

$$
Площадь = \ frac {1} {2} (базовая \ cdot высота)
\\ = \ frac {1} {2} (24 \ cdot 27.6)
\\ = 331,2 \ text {дюймы в квадрате}
$$

Проблема 3

Вычислите площадь изображенного ниже треугольника.

Покажи ответ

Чтобы найти площадь треугольника слева, подставьте основание и высоту в формулу для площади.

$$
Площадь = \ frac {1} {2} (базовая \ cdot высота)
\\ = \ frac {1} {2} (12 \ cdot 2.5)
\\ = 15 \ text {дюймы в квадрате}
$$

Проблема 4

Вычислите площадь изображенного ниже треугольника.

Покажи ответ

Чтобы найти площадь треугольника слева, подставьте основание и высоту в формулу для площади.

$$
Площадь = \ frac {1} {2} (базовая \ cdot высота)
\\ = \ frac {1} {2} (12 \ cdot 3.9)
\\ = 23,4 \ text {дюймы в квадрате}
$$

Проблема 5

Вычислите площадь изображенного ниже треугольника.

Покажи ответ

Чтобы найти площадь треугольника слева, подставьте основание и высоту в формулу для площади.

$$
Площадь = \ frac {1} {2} (базовая \ cdot высота)
\\ = \ frac {1} {2} (14 \ cdot 4)
\\ = 28 \ text {дюймы в квадрате}
$$

Проблема 6

Какова площадь следующего треугольника?

Покажи ответ

Эта задача включает в себя 1 небольшой поворот.Вы должны решить, какую из 3 баз использовать. Только помните, что основание и высота перпендикулярны. Следовательно, основание — 11, поскольку оно перпендикулярно высоте 13,4.

Чтобы найти площадь треугольника слева, подставьте основание и высоту в формулу для площади.

$$
Площадь = \ frac {1} {2} (базовая \ cdot высота)
\\ = \ frac {1} {2} (11 \ cdot 13.4)
\\ = 73,7 \ text {дюймы в квадрате}
$$

Проблема 7

Какова площадь следующего треугольника?

Покажи ответ

Эта задача включает в себя 1 небольшой поворот.Вы должны решить, какую из 3 баз использовать. Только помните, что основание и высота перпендикулярны. Следовательно, основание — «12», поскольку оно перпендикулярно высоте 5,9.

Чтобы найти площадь треугольника слева, подставьте основание и высоту в формулу для площади.

$$
Площадь = \ frac {1} {2} (базовая \ cdot высота)
\\ = \ frac {1} {2} (12 \ cdot 5.9)
\\ = 35,4 \ text {дюймы в квадрате}
$$

Проблема 8

Какова площадь следующего треугольника?

Покажи ответ

Как и в последней задаче, вы должны решить, какую из 3 баз использовать.Только помните, что основание и высота перпендикулярны. Следовательно, основание — «4», поскольку оно перпендикулярно высоте 17,7.

Чтобы найти площадь треугольника слева, подставьте основание и высоту в формулу для площади.

$$
Площадь = \ frac {1} {2} (базовая \ cdot высота)
\\ = \ frac {1} {2} (4 \ cdot 17.7)
\\ = 35,4 \ text {дюймы в квадрате}
$$

Проблема 9

Какова площадь следующего треугольника?

Покажи ответ

Опять же, вы должны решить, какую из 3 баз использовать.Только помните, что основание и высота перпендикулярны. Следовательно, основание — «22», поскольку оно перпендикулярно высоте 26,8.

Чтобы найти площадь треугольника слева, подставьте основание и высоту в формулу для площади.

$$
Площадь = \ frac {1} {2} (базовая \ cdot высота)
\\ = \ frac {1} {2} (22 \ cdot 26.8)
\\ = 294,8 \ text {дюймы в квадрате}
$$

Задачи о треугольных словах

Задача 1:

Каждая треугольная грань Пирамиды Мира в Казахстане состоит из 25 равносторонних треугольников меньшего размера.Эти треугольники имеют размеры, как показано на диаграмме. Какова площадь одного из меньших равносторонних треугольников?

Решение:

Площадь меньшего равностороннего треугольника равна

= (1/2) x b x h

Заменить 2 на b и 10,4 на h.

= (1/2) x 12 x 10,4

= 6 x 10,4

= 62,4 квадратных метра

Задача 2:

Эми необходимо заказать абажур для треугольного- формованное окно с основанием 6 футов и высотой 4 фута.Какая площадь тени?

Решение:

Поскольку тень имеет форму треугольника, мы должны использовать формулу площади треугольника, чтобы найти площадь тени.

Площадь тени

= (1/2) x b x h

Заменить 6 вместо b и 4 вместо h.

= (1/2) x 6 x 4

= 12 квадратных футов

Пример 3:

У Моники есть треугольный кусок ткани. Высота треугольника составляет 15 дюймов, а основание треугольника — 6 дюймов.Моника говорит, что площадь ткани составляет 90 квадратных дюймов. Какую ошибку допустила Моника? Поясните свой ответ.

Решение:

Площадь треугольника

= (1/2) x b x h

Замените 6 вместо b и 15 вместо h.

= (1/2) x 6 x 15

= 15 x 3

= 45 квадратных дюймов

Фактическая площадь треугольного куска ткани составляет 45 квадратных дюймов. Но Моника говорит, что площадь ткани составляет 90 квадратных дюймов.Это означает, что она забыла умножить произведение базы и роста на 1/2. Это ошибка, которую она сделала.

Пример 4:

Шестиклассники рисуют мозаику из плиток в форме прямоугольного треугольника. Две стороны, которые встречаются, образуя прямой угол, имеют длину 3 и 5 сантиметров. Если в мозаике 200 плиток, какова площадь мозаики?

Решение:

Площадь каждой плитки

= (1/2) x b x h

Замените 5 на b и 3 на h.

= (1/2) x 5 x 3

= 7,5 см²

Площадь 200 мозаики составляет

= 200 x 7,5

= 1500 см²

Пример 5:

Уэйн собирается раскрасьте сторону дома, показанную на схеме. Какая область будет окрашена? Объясните, как вы нашли свой ответ.

Solution:

Дом Уэйна на картинке выше состоит из двух фигур. Один — треугольник, а другой — прямоугольник.

Найдя сумму площадей треугольника и прямоугольника, мы можем получить требуемую площадь, которая будет закрашена.

Требуемая площадь:

= Площадь треугольника + Площадь прямоугольника

= [(1/2) xbxh] + [lxw]

= [(1/2) x 25 x 8] + (25 x 12)

= 100 + 300

= 400 квадратных футов

Помимо вышеперечисленного, если вам нужны еще какие-либо сведения по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Если у вас есть отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

v4formath @ gmail.com

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях 3

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямой и обратной вариациям

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по скорости работы

задачи по сравнению ставок

Преобразование обычных единиц словесные задачи

Преобразование метрических единиц текстовые задачи

Word задачи по простому проценту

Word задачи по сложным процентам

Word задачи по типам ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

Проблемы со словами с двойными фактами

Проблемы со словами тригонометрии

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами для разметки

Задачи

Задачи с десятичными словами

Задачи со словами на дроби

Задачи со словами на смешанные фракции

Одношаговые задачи со словами с уравнениями

Проблемы со словами с линейным неравенством и соотношением

33

32 Задачи

Проблемы со временем и рабочими словами

Задачи со словами на множествах и диаграммах Венна

Проблемы со словами на возрастах

Проблемы со словами из теоремы Пифагора

Процент числового слова проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибыли и убытков

Сокращения в процентах

Сокращения в таблице времен

Сокращения времени, скорости и расстояния

Сокращения соотношения и пропорции

Домен и диапазон рациональных функций 9 функции с отверстиями

График рациональных функций

График рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

видение

Л.Метод CM для решения задач времени и работы

Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении степени 17 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

Задачи геометрического слова: теорема Пифагора и т. Д.

Геометрия
Задачи со словами: треугольники
(стр.
3 из 6)

Разделы: Введение,
Основные примеры, Формулы треугольника, Комплексные
примеры, Проблема с коробкой и проблема с козой,
Проблемы с макс. / Мин.


  • Если высота
    треугольника на пять дюймов меньше длины его основания, а если
    площадь треугольника 52
    квадратных дюймов, найдите основание и высоту.

    Мне дали
    отношения между высотой и основанием, и дали мне
    стоимость площади. Поэтому мне нужно использовать формулу для площади
    треугольник с заданными основанием и высотой, и мне нужно будет создать выражение
    или уравнение, связывающее высоту и основание.

    Площадь треугольника
    выдает:

    … где « b »
    это база и « х »
    высота (или «высота»).Мне дано, что высота
    на пять меньше, чем основание, поэтому уравнение для их отношения:

    Поскольку мне дано, что
    площадь 52
    квадратных дюймов, затем я могу подключить базовую переменную, выражение высоты,
    и значение площади в формулу для площади треугольника, и
    посмотрите, к чему это приведет:

      (1/2) ( b ) ( b
      5) = 52
      (заменой
      для ч
      из приведенного выше уравнения)

      b ( b
      5) = 104

      б 2
      5 б = 104

      б 2
      5 б 104 = 0

      ( b
      13) (Ь + 8) = 0

      б
      = 13 или
      b
      = 8

    Я могу спокойно игнорировать
    посторонний отрицательный раствор.(Решение «постороннее»,
    произносится как «ek-STRAY-nee-uss», это действительное число
    решение уравнения, но не является релевантным значением в контексте
    проблемы слова. В этом случае длина не может быть отрицательной.)
    означает, что b
    = 13, поэтому h
    = b 5 = 13 5 = 8.

      База 13
      дюймов, а высота 8
      дюймы.

В последнем упражнении выше,
Я решил для одного значения (длина базы), а затем снова решил для
другое значение (длина по высоте). Это другое значение оказалось
быть таким же, как постороннее значение, , кроме
для смены знака
.
Предупреждение: не думайте, что вы можете получить оба ответа произвольно.
изменение знака на постороннем растворе. Это не всегда работает,
это неверно с математической точки зрения, это раздражает вашего учителя и может вас
в беде дальше по линии.


Другая формула треугольника
Вы должны помнить, что это теорема Пифагора:

    Возьмем прямоугольный треугольник,
    и возведите в квадрат длины всех трех сторон. Если сложить квадраты
    из двух более коротких сторон эта сумма будет равна значению
    квадрата самой длинной стороны »

Пифагорейская формула
Теорема часто формулируется в виде « a 2
+ b 2 = c 2 «,
где , и
b сот
длины двух ножек (двух более коротких сторон) и c составляет
длина гипотенузы (самая длинная сторона, противоположная правой
угол).

  • Если сумма сторон
    прямоугольного треугольника равно 49
    дюймов, а гипотенеза — 41
    дюймов, найдите две стороны.

    «По бокам»,
    они означают «длины двух более коротких сторон». Сдача
    « a »
    и « b »
    быть длинами этих сторон, сумма равна:
    Авторские права
    Элизабет Стапель 2000-2011 Все права защищены

    Я могу решить это за
    либо одна из переменных.Думаю решу для а
    в пересчете на b :

    Это дает мне выражения
    или переменные для всех трех сторон прямоугольного треугольника: a
    = 49 b , b ,
    и c
    = 41. Я воткну эти
    в теорему Пифагора:

      а 2
      + b 2 = c 2

      (49
      b ) 2 + b 2 = 41 2

      (путем замены)

      2401
      98 b + b 2 + b 2 = 1681

      2 б 2
      98 б + 720 = 0

      б 2
      49 б + 360 = 0

      ( b
      9) ( б 40) = 0

      б
      = 9 или
      б = 40

    В этом случае либо
    решение сделаю.Если b
    = 9, тогда a
    = 49 b = 49 9 = 40. Или
    если b
    = 40, затем a
    = 49 b = 49 40 = 9. Поскольку
    проблема не уточняла, какая из двух ног длиннее, это не
    независимо от того, какой из них я назову « a »
    и который я называю « b ».
    Ответ:

      Одна сторона сорок
      дюймов в длину, а другая сторона — девять дюймов в длину.

  • Деревянная рама для заливки
    бетон имеет внутренний периметр 14 метров. Его длина составляет один метр.
    больше его ширины. Рама должна быть закреплена двенадцатью калибром.
    стальные поперечины. Предполагая, что дополнительные полметра провода используются в любом
    конец поперечной проволоки для анкеровки, какую длину проволоки следует обрезать
    за каждую скобу?
  • Меня не волнует, что
    проволока стальная; Меня не волнует, что они заливают бетон в дерево
    Рамка.Все, что мне нужно, это геометрическая информация: это прямоугольник.
    с определенным периметром и определенным соотношением длины
    и ширина. По сути, они просят меня найти длину
    диагональ. И эта диагональ вместе с длиной и шириной,
    образует прямоугольный треугольник. Итак, формула периметра прямоугольника
    может быть полезен, как и теорема Пифагора.

      ширина: w

      длина:
      Вт
      + 1
      периметр
      формула: 14
      = 2 ( w + 1) + 2 ( w )

      14 = 2 w
      + 2 + 2 w

      14
      = 4 w + 2

      12
      = 4 Вт

      3 =
      Вт

    Тогда длина, будучи
    на единицу больше, это 4,
    а теорема Пифагора позволяет мне найти длину диагонали
    d :

    Добавляем полметра на
    на любом конце провода, я нахожу, что:


Еще один полезный треугольник
Дело в том, что меры трех углов любого треугольника в сумме дают 180
градусов.

  • Наименьший угол
    треугольника составляет две трети среднего угла, а средний угол
    угол составляет три седьмых от наибольшего угла. Найдите все три меры угла.

    Наименьший угол
    определяется в терминах среднего угла, но средний угол определяется
    с точки зрения наибольшего угла. Поэтому имеет смысл выбрать переменную
    для измерения наибольшего угла, а затем создайте выражения для
    средний, а затем наименьший углы, используя эту переменную.

    Отдам « »
    расшифровывается как «бета», наибольший угол, а точнее — мера
    самого большого угла. Тогда средний угол имеет меру (
    3 / 7 ) .
    Наименьший угол составляет две трети среднего угла, поэтому он имеет меру
    из ( 2 / 3
    ) ( 3 / 7 ) = ( 2 / 7
    ) .Тогда мой
    формула суммы углов:

    Так что самый большой угол
    имеет меру 105
    градусов. Тогда средний угол:

    … или 45
    градусов, а наименьший угол:

    … или
    30 градусов.

      Угол меры
      30 лет
      ,
      45, и
      105.

<< Предыдущая Вверх | 1
| 2 | 3 | 4 |
5 | 6
|
Вернуться к указателю Далее
>>

Цитируйте эту статью
как:

Стапель, Елизавета.«Задачи геометрического слова: треугольники». Пурпурная математика . Имеется в наличии
из
https://www.purplemath.com/modules/perimetr3.htm .
Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

Площадь треугольника | Блестящая вики по математике и науке

Площадь треугольника с учетом координат его вершин равна по модулю

.

12det⁡∣x1y11x2y21x3y31∣.\ frac 12 \ det \ begin {vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \ end {vmatrix} .21 det∣∣∣∣∣∣ x1 x2 x3 Y1 y2 y3 111 ∣∣∣∣∣∣.

(Знак положительный, если точки указаны по часовой стрелке, и отрицательный, если они расположены против часовой стрелки.)

При расширении получаем 12∣x1y2 − x3y2 + x3y1 − x1y3 + x2y3 − x2y1∣. \ Frac {1} {2} | x_1y_2-x_3y_2 + x_3y_1-x_1y_3 + x_2y_3-x_2y_1 | .21 ∣x1 y2 −x3 y2 + x3 y1 −x1 y3 + x2 y3 −x2 y1 ∣.

Если треугольник трехмерный, то площадь становится

.

12 (det⁡∣x1y11x2y21x3y31∣) 2+ (det⁡∣x1z11x2z21x3z31∣) 2+ (det⁡∣z1y11z2y21z3y31∣) 2.2} .21 ⎝⎛ det∣∣∣∣∣∣ x1 x2 x3 y1 y2 y3 111 ∣∣∣∣∣∣ ⎠⎞ 2 + ⎝⎛ det∣∣ ∣∣∣∣ x1 x2 x3 z1 z2 z3 111 ∣∣∣∣∣∣ ⎠⎞ 2 + ⎝⎛ det∣∣∣∣∣∣ z1 z2 z3 У1 у2 у3 111 ∣∣∣∣∣∣ ⎠⎞ 2.

Или это просто абсолютное значение

12det⁡∣x1y1z1x2y2z2x3y3z3∣. □ \ frac 12 \ det \ begin {vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \ end {vmatrix}. \ _ \ Square21 det∣∣∣∣∣∣ x1 X2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 ∣∣∣∣∣∣. □

Координаты вершин треугольника равны A = (1,7), B = (4,5), C = (10,12) A = (1,7), B = (4,5). , C = (10,12) A = (1,7), B = (4,5), C = (10,12).Найдите площадь треугольника ABCABCABC.


У нас

(Площадь) = 12∣17145110121∣ = 12 [(1⋅5 + 4⋅12 + 10⋅7) — (4⋅7 + 5⋅10 + 12⋅1)] = 1612. □ \ begin {align} (\ text {Area}) & = & \ frac12 \ begin {vmatrix} 1 & 7 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ 10 & 12 & 1 \ end {vmatrix} \\
& = & \ frac12 \ big [(1 \ cdot5 + 4 \ cdot12 + 10 \ cdot7) — (4 \ cdot7 + 5 \ cdot10 + 12 \ cdot1) \ big] \\ & = & 16 \ tfrac12. \ _ \ квадрат \ конец {выровнен} (Площадь) === 21 ∣∣∣∣∣∣ 1410 7512 111 ∣∣∣∣∣∣ 21 [(1⋅5 + 4⋅12 + 10⋅ 7) — (4⋅7 + 5⋅10 + 12⋅1)] 1621.2-1y = x2−1 и раскрываясь, получаем 12∣ (x − 2) (5x + 13) ∣. \ Frac {1} {2} \ big | (x-2) (5x + 13) \ big | .21 ∣∣ (x − 2) (5x + 13) ∣∣.

Используя −b2a \ frac {-b} {2a} 2a − b, максимум достигается при x = −310x = — \ frac {3} {10} x = −103.

Однако, поскольку это уравнение абсолютного значения и оба корня находятся между −3-3−3 и 333, мы должны проверить, какое значение x = −3,3, −310x = {- 3,3, — \ frac {3} {10}} x = −3,3, −103 максимизирует функцию. Таким образом, после небольшого затыкания и пыхтения мы обнаруживаем, что x = 310x = \ frac {3} {10} x = 103 дает наибольшее значение для площади треугольника ABC, ABC, ABC, которое составляет 52940.\ frac {529} {40} .40529. □ _ \ квадрат □

Для этого есть несколько элегантных доказательств, использующих векторные перекрестные произведения, определители и исчисление. Однако, поскольку это вики по геометрии, я опубликую простейшее геометрическое доказательство. К сожалению, несмотря на то, что это самый простой, он также и самый уродливый.

Для простоты обозначим x1 = a, x2 = b, x3 = c, y1 = d, y2 = e, y3 = fx_1 = a, ~ x_2 = b, ~ x_3 = c, ~ y_1 = d, ~ y_2 = е, ~ y_3 = fx1 = a, x2 = b, x3 = c, y1 = d, y2 = e, y3 = f.

Таким образом, мы имеем координаты (a, d), (b, e), (c, f) (a, d), (b, e), (c, f) (a, d), (b, e ), (в, е).2} = | x | .x2 = ∣x∣. Таким образом, после извлечения квадратного корня с обеих сторон получаем

∣T∣ = 12∣ (a − c) (e − d) — (a − b) (f − d) ∣. □ | T | = \ frac {1} {2} \ big | (a-c) (e-d) — (a-b) (f-d) \ big |. \ _ \ square∣T∣ = 21 ∣∣ (a − c) (e − d) — (a − b) (f − d) ∣∣. □

Площадь треугольников

Есть несколько способов найти площадь треугольника.

Зная основание и высоту

Когда мы знаем основание и высоту, это легко.

Это просто , половина b умноженная на h

Площадь = 1 2 bh

(Подробная информация на странице Треугольников)

Самое главное, чтобы основание и высота были под прямым углом.Поиграйте здесь:

Пример: Какова площадь этого треугольника?


(Примечание: 12 — это высота , а не длина левой стороны)

Высота = h = 12

База = b = 20

Площадь = ½ bh = ½ × 20 × 12 = 120

Знание трех сторон

Существует также формула для определения площади любого треугольника, когда мы знаем длины всех трех его сторон.

Его можно найти на странице формул Герона.

Зная две стороны и угол наклона

Когда мы знаем две стороны и включенный угол (SAS), мы можем использовать другую формулу (фактически, три эквивалентные формулы).

В зависимости от того, какие стороны и углы нам известны, формулу можно записать тремя способами:

Площадь = 1 2 ab sin C

Площадь = 1 2 bc sin A

Площадь = 1 2 ca sin B

Это действительно та же формула, только с измененными сторонами и углом.

Пример: Найдите площадь этого треугольника:

Прежде всего мы должны решить, что мы знаем.

Мы знаем угол C = 25º, а стороны a = 7 и b = 10.

Итак, приступим:

Площадь = (½) ab sin C

Введите известные нам значения: ½ × 7 × 10 × sin (25º)

Сделайте некоторую работу с калькулятором: 35 × 0,4226 …

Площадь = 14,8 с точностью до одного десятичного знака

Как помнить

Подумайте только о «abc»: Площадь = ½ a b sin C

Также хорошо помнить, что угол между двумя известными сторонами всегда равен , что называется «включенным углом».

Как это работает?

Мы знаем, как найти область, когда знаем базу и высоту:

Площадь = ½ × основание × высота

В этом треугольнике:

  • база: c
  • высота: b × sin A

Получаем:

Площадь = ½ × (c) × (b × sin A)

Что (проще):

Площадь = 1 2 bc sin A

Изменив метки на треугольнике, мы также можем получить:

  • Площадь = ½ ab sin C
  • Площадь = ½ ca sin B

Еще один пример:

Пример: Найдите сколько земли

Фермер Джонс владеет треугольным участком земли.

Длина забора АВ 150 м. Длина забора БЦ 231 м.

Угол между ограждением AB и ограждением BC составляет 123 °.

Сколько земли принадлежит фермеру Джонсу?

Прежде всего мы должны решить, какие длины и углы нам известны:

  • AB = c = 150 м,
  • BC = a = 231 м,
  • и угол B = 123º

Итак, мы используем:

Площадь = 1 2 ca sin B

Введите известные нам значения: ½ × 150 × 231 × sin (123º) м 2

Сделайте некоторую работу с калькулятором: 17,325 × 0.838 … м 2

Площадь = 14530 м 2

Фермер Джонс владеет 14530 м 2 земли

Решение задач с помощью формулы Херона

Введение

Формула Герона для определения площади треугольника со сторонами длины
a, b, c равно

где

Очень жаль, что эта тема практически исчезла
из школьной программы сегодня.Расчет с учетом имеющихся расчетов
и компьютеры, больше не может быть причиной для отказа от формулы.
В дальнейшем я надеюсь показать несколько интересных и сложных
задачи с использованием формулы Герона.

Будет ли кто-нибудь доказывать или доказывать
формула для конкретного класса будет зависеть от класса. Первоначально,
исследование с помощью формулы Херона может включать вычислительные области
используя формулу и сравнивая результаты — много
поскольку мы осмысленно ставим аналогичные упражнения с пифагорейскими
Теорема задолго до того, как ее доказательство или демонстрация будут полностью поняты.

Например, одно упражнение может заключаться в том, чтобы ученики измерили
стороны и высота на нескольких треугольниках и, с помощью калькулятора,
вычислить площади с помощью обеих формул

Сравнение результатов может привести к интуитивному
области треугольников и понимание того, когда одна формула может
быть более применимым, чем другие.

Формула Герона

Демонстрация и доказательство формулы Герона могут быть выполнены.
из элементарного рассмотрения геометрии и алгебры.Я представлю здесь алгебраическое доказательство. Альтернативные доказательства и выводы предлагаются на веб-сайте Джвильсона, Формула Герона, а особенно краткое геометрическое доказательство приводится в Формуле Герона, Геометрическое доказательство.

Я буду
предположим теорему Пифагора и формулу площади для треугольника

, где b — длина основания, а h — высота этого основания.
база.

У нас

итак, для справки в будущем,

2s = a + b + c
2 (s — a) = — a + b + c
2 (s — b) = a — b + c
2 (s — c) = a + b — c

У нашего треугольника есть хотя бы одна сторона, для которой высота
лежит «внутри» треугольника.Для удобства сделайте это
сторона длиной c . Это не будет иметь никакого значения, просто проще.

Пусть p + q = c, как указано. Тогда

Эта демонстрация формулы Герона проста и элементарна.
Работа над ним со студентами может дать плодотворные идеи
стратегия, симметрия, планирование и наблюдение.Теперь перейдем к
рассмотрим некоторые задачи и исследования, для которых формула Герона
является полезным.

Проблема:

Покажите, что максимальная площадь треугольной области с фиксированной
периметр получается равносторонним треугольником.

Комментарий. Я бы адаптировал формулировку и контекст этой проблемы
в зависимости от фона студентов. Выше я упоминал
исследовательское расследование, в ходе которого студенты изучали разные
треугольные области, которые могут быть сформированы с периметром 100
ноги.Теперь расширите это. Попросите учащихся организовать стол, за которым
длины сторон систематически меняются.

Чтобы что-то «систематически» варьировать, нужно
для определения переменной, которую можно упорядочить в таблице. Например,
исследовать более решаемую проблему равнобедренных треугольников.
Пусть сторона длиной a будет основанием и будет изменяться от 2 до
48 с шагом 2, как показано ниже

 

Эту таблицу можно создать с помощью калькулятора всего за несколько
минут, и данные открывают много возможностей для обсуждения,
правдоподобные рассуждения и постановка проблемы.

  • Например, в четырех строках таблицы будут отображаться треугольники.
    с целыми областями. Есть ли другие треугольники (не равнобедренные)
    с периметром 100, имеющим целые стороны и целую площадь?
  • Между прочим, глядя на эту таблицу и интерпретируя ее,
    студенты могут понять, что для любой выбранной длины
    для основания равнобедренный треугольник будет иметь наибольшую площадь для
    все треугольники с периметром в 100 единиц, которые можно было построить
    на этой базе.
  • Когда таблица будет заполнена, подумайте о том, чтобы ученики
    построить график длиной a по оси x и
    площадь по оси ординат. Полученная кривая дает больше возможностей
    для правдоподобных рассуждений.

Вернемся теперь к показу, что равносторонний
треугольник имеет наибольшую площадь для любого фиксированного периметра.

и равенство наступает, когда s — a = s — b = s — c, то есть a = b
= с.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.